Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Bài tập cuối chương IV

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 4.35★Trang 102— Trắc nghiệm — vị trí tương đối của đường thẳng với giao tuyến

4.35 (trang 102). Cho đường thẳng

a

song song với mặt phẳng

(P)

. Mặt phẳng

(Q)

chứa đường thẳng

a

và cắt mặt phẳng

(P)

theo giao tuyến là đường thẳng

b

. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

a

và

b

là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung thì song song.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

a ∥ (P)

và một mặt phẳng chứa

a

cắt

(P)

— đúng khung của tính chất giao tuyến trong Bài 12. Có thể loại trừ nhanh:

a

b

cùng nằm trong

(Q)

nên không chéo,

a

không có điểm chung với

(P)

nên không cắt, không trùng

b

. Bẫy: chọn D vì nghĩ giao tuyến "chính là"

a

1Cách 1. Dùng tính chất giao tuyến

Định hướng. Mặt phẳng chứa đường song song với $(P)$ mà cắt $(P)$ thì giao tuyến song song với đường đó.

a ∥ (P)

a \subset (Q)

(Q) \cap (P) = b

\Rightarrow b ∥ a

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ theo điểm chung

Định hướng. Đếm điểm chung của $a$ và $b$ , rồi xét đồng phẳng.

b \subset (P)

a \cap (P) = \emptyset

\Rightarrow a \cap b = \emptyset

(loại B, D).

a, b \subset (Q)

\Rightarrow a

b

đồng phẳng (loại A).

\Rightarrow a ∥ b

Vậy chọn C.

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử $a$ cắt $b$ tại $I$ rồi đi tới mâu thuẫn.

a \cap b = I

\Rightarrow I \in b \subset (P)

\Rightarrow I \in a \cap (P)

.
Mâu thuẫn với

a ∥ (P)

; mà

a, b

đồng phẳng

\Rightarrow a ∥ b

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 1 là một dòng nhưng phải nhớ định lí; Cách 2 tự dựng lại định lí đó từ định nghĩa nên không sợ quên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một định lí vừa học, trả lời tức thì.

Đáp số. C. song song.

Sai lầm thường gặp. Chọn A "chéo nhau" vì thấy

a

nằm ngoài

(P)

còn

b

nằm trong

(P)

— quên rằng

a

b

cùng nằm trong

(Q)

nên không thể chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm

(R) \supset a

cắt

(P)

theo

c

thì

b ∥ c

(cùng song song với

a

) — đây là cách dựng giao tuyến song song hay dùng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.36★★Trang 102— Trắc nghiệm — chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

4.36 (trang 102). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

M

là trung điểm của cạnh

S D

. Đường thẳng

S B

song song với mặt phẳng
A.

(C D M)

.
B.

(A C M)

.
C.

(A D M)

.
D.

(A C D)

Kiến thức cần nhớ

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d^{'}$ nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.
Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Có trung điểm

M

của

S D

và tâm

O

của hình bình hành (trung điểm

B D

) — gợi ngay đường trung bình

O M

của tam giác

S B D

, song song

S B

. Mặt phẳng nào chứa

O M

thì song song

S B

;

(A C M)

chứa

O

và

M

. Bẫy:

(C D M)

(A D M)

thực chất là

(S C D)

(S A D)

, mặt

(A C D)

là mặt đáy — đều cắt

S B

1Cách 1. Đường trung bình

O M

Định hướng. Tìm trong $(A C M)$ một đường song song với $S B$ .

O = A C \cap B D

\Rightarrow O

là trung điểm

B D

O \in (A C M)

△ S B D

O M

là đường trung bình

\Rightarrow O M ∥ S B

O M \subset (A C M)

S B \neq \subset (A C M)

\Rightarrow S B ∥ (A C M)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Loại trừ bằng điểm chung

Định hướng. Ba phương án còn lại đều là những mặt phẳng có điểm chung với $S B$ .

(C D M) = (S C D)

chứa

S

\Rightarrow S B \cap (C D M) = S

(loại A).

(A D M) = (S A D)

chứa

S

\Rightarrow S B \cap (A D M) = S

(loại C).

(A C D) = (A B C D)

chứa

B

\Rightarrow S B \cap (A C D) = B

(loại D).

Vậy chọn B.

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. Biểu diễn $S B$ qua hai vectơ chỉ phương của $(A C M)$ .

O M = \frac{1}{2} (O S + O D) = \frac{1}{2} (O S - O B) = \frac{1}{2} B S

\Rightarrow S B ∥ O M \subset (A C M)

B \in / (A C M)

\Rightarrow S B ∥ (A C M)

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 2 không cần dựng hình: nhận ra mặt phẳng nào "thực chất" là mặt bên hay mặt đáy là loại được ngay. Kết quả đã kiểm bằng sympy với toạ độ tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: ba phương án sai đều là mặt bên hoặc mặt đáy chứa

S

hay

B

, loại trong vài giây.

Đáp số. B.

(A C M)

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy

M

và

C D

"ở phía sau" — thực ra

(C D M)

trùng mặt bên

(S C D)

, chứa điểm

S

của

S B

🚀 Mở rộng. Tương tự, gọi

N

là trung điểm

S B

thì

S D ∥ (A C N)

; tổng quát: mặt phẳng qua

A C

và trung điểm một cạnh bên song song với cạnh bên đối diện.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.37★★Trang 102— Trắc nghiệm — hai mặt phẳng song song trong hình hộp

4.37 (trang 102). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Mặt phẳng

(A B^{'} D^{'})

song song với mặt phẳng
A.

(A B C D)

.
B.

(B C C^{'} B^{'})

.
C.

(B D A^{'})

.
D.

(B D C^{'})

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$ thì $(P) ∥ (Q)$ .
Hình hộp: sáu mặt là hình bình hành, các cặp mặt đối diện song song; các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mặt phẳng song song khi mặt này chứa hai đường cắt nhau song song với mặt kia. Trong hình hộp,

B^{'} D^{'} ∥ B D

và

A B^{'} ∥ D C^{'}

(hai đường chéo "cùng hướng" của hai mặt đối diện). Bẫy:

(B D A^{'})

cũng chứa

B D ∥ B^{'} D^{'}

nhưng vẫn cắt

(A B^{'} D^{'})

1Cách 1. Hai cặp đường thẳng song song

Định hướng. Ghép $B^{'} D^{'}$ với $B D$ , $A B^{'}$ với $D C^{'}$ .

B D D^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow B^{'} D^{'} ∥ B D \subset (B D C^{'})

A B^{'} C^{'} D

là hình bình hành (

A D ∥ B^{'} C^{'}

A D = B^{'} C^{'}

)

\Rightarrow A B^{'} ∥ D C^{'} \subset (B D C^{'})

A B^{'} \cap B^{'} D^{'} = B^{'}

\Rightarrow (A B^{'} D^{'}) ∥ (B D C^{'})

Vậy chọn D.

2Cách 2. Loại trừ bằng điểm chung

Định hướng. Chỉ ra ba mặt phẳng còn lại đều có điểm chung với $(A B^{'} D^{'})$ .

A \in (A B^{'} D^{'}) \cap (A B C D)

(loại A);

B^{'} \in (A B^{'} D^{'}) \cap (B C C^{'} B^{'})

(loại B).

(B D A^{'})

I = A B^{'} \cap A^{'} B

là tâm mặt

A B B^{'} A^{'}

\Rightarrow I \in (A B^{'} D^{'}) \cap (B D A^{'})

(loại C).

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. Đặt $A B = b$ , $A D = d$ , $A A^{'} = a$ .

A B^{'} = a + b

A D^{'} = a + d

D C^{'} = a + b = A B^{'}

B C^{'} = a + d = A D^{'}

\Rightarrow (B D C^{'})

có cặp vectơ chỉ phương trùng

(A B^{'} D^{'})

B \in / (A B^{'} D^{'})

\Rightarrow (A B^{'} D^{'}) ∥ (B D C^{'})

Vậy chọn D.

Nhận xét. Hai tam giác $A B^{'} D^{'}$ và $C^{'} D B$ là một cặp "đối xứng tâm" qua tâm hình hộp — đó là lí do hai mặt phẳng song song.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra hai cặp đường chéo song song là xong.

Đáp số. D.

(B D C^{'})

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì

(B D A^{'})

cũng chứa

B D ∥ B^{'} D^{'}

— một cặp song song là chưa đủ, cần hai đường cắt nhau;

(B D A^{'})

cắt

(A B^{'} D^{'})

tại tâm mặt

A B B^{'} A^{'}

🚀 Mở rộng. Hai mặt phẳng

(A B^{'} D^{'})

và

(B D C^{'})

chia đường chéo

A^{'} C

thành ba đoạn bằng nhau (xem Bài 4.45 b).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.38★Trang 102— Trắc nghiệm — định lí Thalès trong không gian

4.38 (trang 102). Cho ba mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

đôi một song song với nhau. Đường thẳng

a

cắt các mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

lần lượt tại

A

B

C

sao cho

\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}

và đường thẳng

b

cắt các mặt phẳng

(P)

(Q)

(R)

lần lượt tại

A^{'}

B^{'}

C^{'}

. Tỉ số

\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

bằng
A.

\frac{2}{3}

.
B.

\frac{1}{2}

.
C.

\frac{3}{2}

.
D.

\frac{2}{5}

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Ba mặt phẳng song song cắt hai cát tuyến — đúng giả thiết định lí Thalès. Tỉ số hỏi có cùng "cấu trúc" với tỉ số cho (

A^{'} B^{'}

ứng

A B

B^{'} C^{'}

ứng

B C

) nên giữ nguyên. Bẫy: nhầm sang

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{2}{5}

(phương án D).

1Cách 1. Áp dụng thẳng định lí Thalès

Định hướng. Các đoạn tương ứng tỉ lệ.

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}

\Rightarrow \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Dựng đường phụ qua

A

Định hướng. Đưa về định lí Thalès phẳng bằng đường thẳng $c$ qua $A$ song song $b$ .

c ∥ b

c

cắt

(Q)

(R)

tại

B_{1}

C_{1}

\Rightarrow A B_{1} = A^{'} B^{'}

B_{1} C_{1} = B^{'} C^{'}

(hình bình hành).

(A C C_{1})

cắt

(Q)

(R)

theo

B B_{1} ∥ C C_{1}

\Rightarrow \frac{A B _{1}}{B _{1} C _{1}} = \frac{A B}{B C}

\Rightarrow \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Đặt độ dài

Định hướng. Đặt $A B = 2 x$ , $B C = 3 x$ rồi dùng hệ số tỉ lệ $k$ .

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = k

\Rightarrow A^{'} B^{'} = 2 k x

B^{'} C^{'} = 3 k x

\frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{2 k x}{3 k x} = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 giúp trả lời luôn các câu hỏi biến thể: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{2}{5}$ , $\frac{B ^{'} C ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{3}{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng, không cần hình.

Đáp số. A.

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Chọn D

\frac{2}{5}

vì đọc nhầm mẫu là

A^{'} C^{'}

; hoặc chọn C vì đảo ngược thứ tự tỉ số.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm

A^{'} C^{'} = 10

cm thì

A^{'} B^{'} = 4

cm,

B^{'} C^{'} = 6

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.39★★★Trang 102— Trắc nghiệm — giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng và tỉ số

4.39 (trang 102). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

S B

S D

;

K

là giao điểm của mặt phẳng

(A M N)

và đường thẳng

S C

. Tỉ số

\frac{S K}{S C}

bằng
A.

\frac{1}{2}

.
B.

\frac{1}{3}

.
C.

\frac{1}{4}

.
D.

\frac{2}{3}

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với $(P)$ : chọn mặt phẳng phụ $(Q) \supset d$ , tìm giao tuyến $Δ = (P) \cap (Q)$ , giao điểm cần tìm là $d \cap Δ$ .
Định lí Menelaus: đường thẳng cắt ba cạnh (hoặc phần kéo dài) $B C$ , $C A$ , $A B$ tại $X$ , $Y$ , $Z$ thì $\frac{X B}{X C} \cdot \frac{Y C}{Y A} \cdot \frac{Z A}{Z B} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Muốn tìm

S C \cap (A M N)

ta chọn mặt phẳng phụ chứa

S C

là

(S A C)

; giao tuyến

(S A C) \cap (A M N)

là

A I

với

I = M N \cap S O

. Khi đó

K = A I \cap S C

, và tỉ số tính bằng Menelaus hoặc kẻ đường song song trong tam giác

S A C

. Bẫy: đoán

K

là trung điểm

S C

vì "

M

N

đều là trung điểm".

1Cách 1. Mặt phẳng phụ

(S A C)

+ đường song song

Định hướng. Dựng $K$ rồi kẻ $O E ∥ A K$ để chuyển tỉ số.

O = A C \cap B D

I = M N \cap S O

;

M N

là đường trung bình

△ S B D

\Rightarrow I

là trung điểm

S O

(A M N) \cap (S A C) = A I

\Rightarrow K = A I \cap S C

.
Kẻ

O E ∥ A K

E \in S C

△ C A K

có

O

là trung điểm

A C

\Rightarrow E

là trung điểm

C K

\Rightarrow E C = E K

△ S O E

có

I

là trung điểm

S O

I K ∥ O E

\Rightarrow K

là trung điểm

S E

\Rightarrow S K = K E

\Rightarrow S K = K E = E C

\Rightarrow \frac{S K}{S C} = \frac{1}{3}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Định lí Menelaus trong

△ S O C

Định hướng. Cát tuyến $A$ , $I$ , $K$ cắt ba cạnh của tam giác $S O C$ .

\frac{I S}{I O} \cdot \frac{A O}{A C} \cdot \frac{K C}{K S} = 1

1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{K C}{K S} = 1

K C = 2 K S

\Rightarrow \frac{S K}{S C} = \frac{1}{3}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. Đặt $S K = x S C$ và dùng điều kiện đồng phẳng của $A$ , $M$ , $N$ , $K$ .

S C = S B + S D - S A = 2 S M + 2 S N - S A

S K = 2 x S M + 2 x S N - x S A

K \in (A M N)

\Leftrightarrow 2 x + 2 x - x = 1

\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 dùng: $K \in (A M N)$ khi và chỉ khi tổng các hệ số của $S M$ , $S N$ , $S A$ bằng $1$ . Đáp số đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (Menelaus): ba tỉ số đọc ngay trên hình, ra kết quả trong một dòng.

Đáp số. B.

\frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Đoán

K

là trung điểm

S C

(chọn A) vì "

M

N

là trung điểm" — sai: mặt phẳng đi qua

A

ở đáy nên cắt

S C

gần

S

hơn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = t

thì

\frac{S K}{S C} = \frac{t}{2 - t}

(với

t = \frac{1}{2}

được

\frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.40★Trang 102— Trắc nghiệm — hình chiếu song song của tam giác

4.40 (trang 102). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

M

M^{'}

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

B^{'} C^{'}

. Hình chiếu của

△ B^{'} D M

qua phép chiếu song song trên

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

theo phương chiếu

A A^{'}

là
A.

△ B^{'} A^{'} M^{'}

.
B.

△ C^{'} D^{'} M^{'}

.
C.

△ D M M^{'}

.
D.

△ B^{'} D^{'} M^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song theo phương $ℓ$ : hình chiếu của $M$ là giao điểm của mặt phẳng chiếu với đường thẳng qua $M$ song song (hoặc trùng) $ℓ$ ; điểm nằm trên mặt phẳng chiếu thì hình chiếu là chính nó.
Hình hộp: sáu mặt là hình bình hành, các cặp mặt đối diện song song; các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Chiếu theo phương cạnh bên

A A^{'}

lên mặt đáy trên: mỗi điểm ở đáy dưới "đi thẳng lên" theo cạnh bên, điểm ở đáy trên giữ nguyên. Chỉ cần chiếu ba đỉnh

B^{'}

D

M

. Bẫy: quên

B^{'}

đã nằm trên mặt chiếu nên hình chiếu là chính nó.

1Cách 1. Chiếu từng đỉnh

Định hướng. Ba đỉnh chiếu thành ba đỉnh của tam giác ảnh.

B^{'} \in (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

\Rightarrow

hình chiếu của

B^{'}

là

B^{'}

D D^{'} ∥ A A^{'}

D^{'} \in (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

\Rightarrow

hình chiếu của

D

là

D^{'}

B C C^{'} B^{'}

là hình bình hành,

M

M^{'}

là trung điểm

B C

B^{'} C^{'}

\Rightarrow M M^{'} ∥ B B^{'} ∥ A A^{'}

\Rightarrow

hình chiếu của

M

là

M^{'}

Vậy hình chiếu là $△ B^{'} D^{'} M^{'}$ , chọn D.

2Cách 2. Loại trừ

Định hướng. Hình chiếu phải chứa $B^{'}$ (vì $B^{'}$ nằm trên mặt chiếu) và phải nằm trong mặt chiếu.

△ D M M^{'}

có

D

M \in / (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

(loại C).

△ C^{'} D^{'} M^{'}

không chứa

B^{'}

(loại B).

△ B^{'} A^{'} M^{'}

A^{'}

là ảnh của

A \in / △ B^{'} D M

(loại A).

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. Phép chiếu theo $A A^{'}$ "xoá" thành phần theo $A A^{'}$ rồi đặt lên đáy trên.

A D = d \mapsto A^{'} D^{'}

;

A M = b + \frac{1}{2} d \mapsto A^{'} M^{'}

A B^{'} = b + a \mapsto A^{'} B^{'}

\Rightarrow D \mapsto D^{'}

M \mapsto M^{'}

B^{'} \mapsto B^{'}

Vậy chọn D.

Nhận xét. Kết quả đã kiểm bằng sympy với hình hộp tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chiếu ba đỉnh, mỗi đỉnh một cạnh bên.

Đáp số. D.

△ B^{'} D^{'} M^{'}

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nghĩ hình chiếu phải "chứa" đoạn chiếu

M M^{'}

— hình chiếu là tập ảnh, phải nằm hoàn toàn trong mặt phẳng chiếu.

🚀 Mở rộng. Nếu chiếu theo phương

A C^{'}

lên

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

thì hình chiếu của

A

là

C^{'}

— thử tìm ảnh của

△ B^{'} D M

khi đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.41★★Trang 103— Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

4.41 (trang 103). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thang,

A B ∥ C D

và

A B < C D

. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a)

(S A D)

và

(S B C)

;
b)

(S A B)

và

(S C D)

;
c)

(S A C)

và

(S B D)

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt; hoặc một điểm chung và phương của giao tuyến (song song với hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng).
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau thì giao tuyến song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi cặp mặt phẳng đều có sẵn điểm chung

S

; việc còn lại là điểm chung thứ hai hoặc phương giao tuyến. Câu a, c: hai cạnh bên

A D

B C

(hai đường chéo

A C

B D

) đồng phẳng trong đáy và cắt nhau, cho điểm chung thứ hai. Câu b:

A B ∥ C D

không cắt nhau — phải dùng phương song song. Bẫy: đi tìm

A B \cap C D

1Cách 1. Hai điểm chung / điểm chung + phương

Định hướng. Dùng $S$ và giao điểm của các đường trong đáy.

A B < C D

\Rightarrow A D

B C

cắt nhau tại

I

I \in A D \subset (S A D)

I \in B C \subset (S B C)

\Rightarrow (S A D) \cap (S B C) = S I

.
b)

S \in (S A B) \cap (S C D)

A B \subset (S A B)

C D \subset (S C D)

A B ∥ C D

\Rightarrow (S A B) \cap (S C D) = d

qua

S

d ∥ A B ∥ C D

.
c)

O = A C \cap B D

\Rightarrow O \in (S A C) \cap (S B D)

\Rightarrow (S A C) \cap (S B D) = S O

Vậy a) $S I$ với $I = A D \cap B C$ ; b) đường thẳng $d$ qua $S$ song song $A B$ ; c) $S O$ với $O = A C \cap B D$ .

2Cách 2. Câu b bằng tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng

Định hướng. Chứng minh $A B ∥ (S C D)$ rồi dùng tính chất giao tuyến.

A B ∥ C D \subset (S C D)

A B \neq \subset (S C D)

\Rightarrow A B ∥ (S C D)

(S A B) \supset A B

(S A B) \cap (S C D) = d

\Rightarrow d ∥ A B

S \in d

.
Câu a, c:

I

O

là hai điểm chung thứ hai như trên

\Rightarrow S I

S O

Vậy giao tuyến là $S I$ , $d$ (qua $S$ , song song $A B$ ), $S O$ .

3Cách 3. Câu b bằng phản chứng

Định hướng. Giả sử giao tuyến $d$ cắt $A B$ để thấy vô lí.

Nếu

d \cap A B = J

thì

J \in d \subset (S C D)

J \in A B \subset (A B C D)

\Rightarrow J \in C D

\Rightarrow J \in A B \cap C D

, mâu thuẫn với

A B ∥ C D

d

A B

cùng nằm trong

(S A B)

, không cắt nhau

\Rightarrow d ∥ A B

Vậy $(S A B) \cap (S C D)$ là đường thẳng qua $S$ song song $A B$ ; câu a, c như Cách 1.

Nhận xét. Điều kiện $A B < C D$ chỉ để bảo đảm $A D$ và $B C$ cắt nhau (hình thang không phải hình bình hành); $I$ nằm về phía đáy nhỏ $A B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý hai dòng, đúng khuôn "điểm chung + điểm chung" và "điểm chung + phương".

Đáp số. a)

S I

, với

I = A D \cap B C

. b) Đường thẳng qua

S

song song với

A B

(và

C D

). c)

S O

, với

O = A C \cap B D

Sai lầm thường gặp. Ở câu b tìm giao điểm

A B \cap C D

để nối với

S

— không có giao điểm vì

A B ∥ C D

. Ở câu a nối

S

với giao điểm

A B \cap C D

— sai cặp cạnh.

🚀 Mở rộng. Nếu đáy là hình bình hành thì cả câu a cũng thành "điểm chung + phương": giao tuyến qua

S

song song

A D

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.42★★★Trang 103— Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng — tỉ số trong lăng trụ

4.42 (trang 103). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

B C

và

A A^{'}

.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng

(M N P)

với đường thẳng

B^{'} C

.
b) Gọi

K

là giao điểm của mặt phẳng

(M N P)

với đường thẳng

B^{'} C

. Tính tỉ số

\frac{K B ^{'}}{K C}

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với $(P)$ : chọn mặt phẳng phụ $(Q) \supset d$ , tìm giao tuyến $Δ = (P) \cap (Q)$ , giao điểm cần tìm là $d \cap Δ$ .
Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Mặt bên của lăng trụ là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

B^{'} C

nằm trong mặt bên

(B C C^{'} B^{'})

— chọn mặt phụ này; cần giao tuyến của

(M N P)

với

(B C C^{'} B^{'})

, đã có điểm chung

N

M N ∥ A C

nên

(M N P)

cắt

(A C C^{'} A^{'})

theo đường qua

P

song song

A C

, cho thêm điểm

Q

(trung điểm

C C^{'}

). Bẫy: lấy nhầm đường thẳng

B^{'} C^{'}

thay cho

B^{'} C

1Cách 1. Thiết diện

M N QP

và đường trung bình

Định hướng. Tìm điểm chung thứ hai $Q$ trên $C C^{'}$ , rồi $K = N Q \cap B^{'} C$ .

M N ∥ A C

\Rightarrow (M N P) \cap (A C C^{'} A^{'})

là đường qua

P

song song

A C

, cắt

C C^{'}

tại trung điểm

Q

của

C C^{'}

(M N P) \cap (B C C^{'} B^{'}) = N Q

\Rightarrow K = N Q \cap B^{'} C

△ C B C^{'}

N Q

là đường trung bình

\Rightarrow N Q ∥ B C^{'}

O = B C^{'} \cap B^{'} C

(tâm hình bình hành

B C C^{'} B^{'}

)

\Rightarrow C O = \frac{1}{2} C B^{'}

△ C B O

N

là trung điểm

C B

N K ∥ B O

\Rightarrow K

là trung điểm

C O

\Rightarrow C K = \frac{1}{4} C B^{'}

K B^{'} = \frac{3}{4} C B^{'}

\Rightarrow \frac{K B ^{'}}{K C} = 3

Vậy a) $K$ là giao điểm của $N Q$ ( $Q$ là trung điểm $C C^{'}$ ) với $B^{'} C$ ; b) $\frac{K B ^{'}}{K C} = 3$ .

2Cách 2. Kéo dài

M P

cắt

B B^{'}

Định hướng. Điểm chung thứ hai của $(M N P)$ và $(B C C^{'} B^{'})$ lấy trên đường thẳng $B B^{'}$ .

△ M A P

và

△ M B E

với

E = M P \cap B B^{'}

M A = M B

A P ∥ B E

\Rightarrow B E = A P = \frac{1}{2} B B^{'}

(

E

nằm ngoài đoạn

B B^{'}

, phía

B

(M N P) \cap (B C C^{'} B^{'}) = E N

\Rightarrow K = E N \cap B^{'} C

\frac{E B}{E B ^{'}} \cdot \frac{K B ^{'}}{K C} \cdot \frac{N C}{N B} = 1

\frac{1}{3} \cdot \frac{K B ^{'}}{K C} \cdot 1 = 1

\frac{K B ^{'}}{K C} = 3

Vậy $K = E N \cap B^{'} C$ và $\frac{K B ^{'}}{K C} = 3$ .

3Cách 3. Toạ độ trong mặt bên

Định hướng. Đặt $B C = u$ , $B B^{'} = v$ rồi giải giao điểm.

N = B + \frac{1}{2} u

Q = B + u + \frac{1}{2} v

;

K \in N Q

B K = \frac{1}{2} u + t (\frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v)

K \in B^{'} C

B K = v + s (u - v)

\frac{1}{2} + \frac{t}{2} = s

\frac{t}{2} = 1 - s

\Rightarrow s = \frac{3}{4}

B^{'} K = \frac{3}{4} B^{'} C

\Rightarrow \frac{K B ^{'}}{K C} = 3

Vậy $\frac{K B ^{'}}{K C} = 3$ .

Nhận xét. Cách 1 dựng luôn thiết diện $M N QP$ (hình bình hành) nên trực quan; Cách 3 không cần nhìn hình. Đáp số đã kiểm bằng sympy với lăng trụ tổng quát.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dựng

Q

là trung điểm

C C^{'}

rồi hai lần đường trung bình, không cần công thức Menelaus.

Đáp số. a)

K = N Q \cap B^{'} C

, trong đó

Q

là trung điểm

C C^{'}

(tương đương

K = E N \cap B^{'} C

với

E = M P \cap B B^{'}

). b)

\frac{K B ^{'}}{K C} = 3

Sai lầm thường gặp. Nhầm đường chéo mặt bên

B^{'} C

thành cạnh đáy trên

B^{'} C^{'}

và đi tìm giao điểm trên đáy trên — sai đối tượng; ngoài ra hay tính

\frac{K B ^{'}}{K C} = 2

vì tưởng

K

là trọng tâm.

🚀 Mở rộng. Nếu

M

N

vẫn là trung điểm nhưng

P

chia

A A^{'}

theo

\frac{A P}{A A ^{'}} = t

thì

\frac{K B ^{'}}{K C} = \frac{2 - t}{t}

(với

t = \frac{1}{2}

được

3

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.43★★★Trang 103— Giao điểm, tỉ số và chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

4.43 (trang 103). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Trên cạnh

S C

và cạnh

A B

lần lượt lấy điểm

M

và

N

sao cho

C M = 2 S M

và

B N = 2 A N

.
a) Xác định giao điểm

K

của mặt phẳng

(A B M)

với đường thẳng

S D

. Tính tỉ số

\frac{S K}{S D}

.
b) Chứng minh rằng

M N ∥ (S A D)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d^{'}$ nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Định lí Thalès trong tam giác: $M K ∥ C D$ $\Rightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{S M}{S C} = \frac{M K}{C D}$ .

🧠 Phân tích tư duy

(A B M)

chứa

A B ∥ C D

nên cắt

(S C D)

theo đường qua

M

song song

C D

— cho ngay

K

trên

S D

, tỉ số theo Thalès trong tam giác

S C D

. Câu b:

M K = \frac{1}{3} C D = \frac{1}{3} A B = A N

nên

A K M N

là hình bình hành,

M N ∥ A K \subset (S A D)

. Bẫy: đọc

C M = 2 S M

thành

\frac{S M}{S C} = \frac{1}{2}

1Cách 1. Giao tuyến song song + hình bình hành

A K M N

Định hướng. Qua $M$ kẻ song song $C D$ trong $(S C D)$ .

A B ∥ C D

\Rightarrow A B ∥ (S C D)

;

(A B M) \cap (S C D)

qua

M

, song song

C D

, cắt

S D

tại

K

C M = 2 S M

\Rightarrow \frac{S M}{S C} = \frac{1}{3}

\Rightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{3}

.
b)

M K = \frac{1}{3} C D = \frac{1}{3} A B

;

B N = 2 A N

\Rightarrow A N = \frac{1}{3} A B

\Rightarrow M K = A N

M K ∥ C D ∥ A N

(cùng hướng)

\Rightarrow A K M N

là hình bình hành

\Rightarrow M N ∥ A K

A K \subset (S A D)

M N \neq \subset (S A D)

\Rightarrow M N ∥ (S A D)

Vậy $K$ là giao điểm của $S D$ với đường qua $M$ song song $C D$ , $\frac{S K}{S D} = \frac{1}{3}$ và $M N ∥ (S A D)$ .

2Cách 2. Câu a bằng mặt phẳng phụ

(S B D)

; câu b bằng mặt phẳng song song

Định hướng. Tìm $K$ qua $O = A C \cap B D$ ; chứng minh $M N$ nằm trong một mặt phẳng song song $(S A D)$ .

I = A M \cap S O

trong

(S A C)

;

K = B I \cap S D

trong

(S B D)

;

M K ∥ C D

(giao tuyến với

(S C D)

)

\Rightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{1}{3}

.
b) Qua

N

kẻ

N E ∥ A D

E \in C D

\Rightarrow \frac{D E}{D C} = \frac{A N}{A B} = \frac{1}{3}

\Rightarrow \frac{C E}{C D} = \frac{2}{3} = \frac{C M}{C S}

\Rightarrow M E ∥ S D

N E ∥ A D

M E ∥ S D

\Rightarrow (M N E) ∥ (S A D)

\Rightarrow M N ∥ (S A D)

Vậy $\frac{S K}{S D} = \frac{1}{3}$ , $M N ∥ (S A D)$ .

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. Đặt $A B = b$ , $A D = d$ , $A S = s$ .

A M = s + \frac{1}{3} (b + d - s) = \frac{2}{3} s + \frac{1}{3} b + \frac{1}{3} d

A K = A M - \frac{1}{3} b = \frac{2}{3} s + \frac{1}{3} d = s + \frac{1}{3} (d - s)

\Rightarrow K \in S D

\frac{S K}{S D} = \frac{1}{3}

N M = A M - \frac{1}{3} b = A K = \frac{2}{3} s + \frac{1}{3} d

\Rightarrow M N ∥ A K \subset (S A D)

Vậy $\frac{S K}{S D} = \frac{1}{3}$ và $M N ∥ (S A D)$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $N M = A K$ — chính là hình bình hành $A K M N$ của Cách 1. Kết quả đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một đường song song cho cả câu a lẫn câu b.

Đáp số. a)

K

là giao điểm của

S D

với đường thẳng qua

M

song song

C D

;

\frac{S K}{S D} = \frac{1}{3}

. b)

A K M N

là hình bình hành nên

M N ∥ A K \subset (S A D)

, do đó

M N ∥ (S A D)

Sai lầm thường gặp. Đọc

C M = 2 S M

thành

S M = 2 C M

và ra

\frac{S K}{S D} = \frac{2}{3}

; hoặc kết luận

M N ∥ (S A D)

chỉ vì "

M N

không cắt

S A

A D

" — không đủ, phải chỉ ra đường song song nằm trong

(S A D)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

\frac{S M}{S C} = \frac{A N}{A B} = t

thì luôn có

\frac{S K}{S D} = t

và

M N ∥ (S A D)

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.44★★★Trang 103— Chứng minh song song và hình bình hành nhờ trọng tâm, mặt phẳng song song

4.44 (trang 103). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành. Gọi

G

K

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

S A D

S C D

.
a) Chứng minh rằng

G K ∥ (A B C D)

.
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng

G K

và song song với mặt phẳng

(A B C D)

cắt các cạnh

S A

S B

S C

S D

lần lượt tại

M

N

E

F

. Chứng minh rằng tứ giác

M N E F

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm $G$ của tam giác $S A D$ nằm trên trung tuyến $S I$ và $\frac{S G}{S I} = \frac{2}{3}$ .
Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d^{'}$ nằm trong $(P)$ thì $d ∥ (P)$ .
Hai mặt phẳng song song bị mặt phẳng thứ ba cắt theo hai giao tuyến song song.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Trọng tâm nằm trên trung tuyến và chia theo tỉ số

\frac{2}{3}

từ đỉnh

S

— hai trọng tâm

G

K

cùng tỉ số nên

G K

song song với đoạn nối hai trung điểm

I

J

ở đáy. Câu b: mặt phẳng song song với đáy cắt các mặt bên theo các đường song song với cạnh đáy, và cùng tỉ số

\frac{2}{3}

. Bẫy: chứng minh

M N E F

là hình bình hành chỉ bằng một cặp cạnh song song.

1Cách 1. Tỉ số

\frac{2}{3}

và giao tuyến song song

Định hướng. Gọi $I$ , $J$ là trung điểm $A D$ , $C D$ .

\frac{S G}{S I} = \frac{S K}{S J} = \frac{2}{3}

\Rightarrow G K ∥ I J

I J \subset (A B C D)

G K \neq \subset (A B C D)

\Rightarrow G K ∥ (A B C D)

.
b)

(M N E F) ∥ (A B C D)

(S A B)

cắt hai mặt theo

M N

A B

\Rightarrow M N ∥ A B

; tương tự

F E ∥ D C

(S A D)

M F ∥ A D

và

M F

đi qua

G

\Rightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{S G}{S I} = \frac{2}{3}

; tương tự

\frac{S N}{S B} = \frac{S E}{S C} = \frac{S F}{S D} = \frac{2}{3}

M N = \frac{2}{3} A B

F E = \frac{2}{3} D C

A B = D C

A B ∥ D C

\Rightarrow M N ∥ F E

M N = F E

\Rightarrow M N E F

là hình bình hành.

Vậy $G K ∥ (A B C D)$ và $M N E F$ là hình bình hành.

2Cách 2. Hai cặp cạnh đối song song

Định hướng. Chỉ dùng các giao tuyến song song, không tính tỉ số.

G \in S I

K \in S J

với

\frac{S G}{S I} = \frac{S K}{S J}

\Rightarrow G K ∥ I J ∥ A C

\Rightarrow G K ∥ (A B C D)

.
b)

(S A B) \cap (M N E F) = M N ∥ A B

(S C D) \cap (M N E F) = F E ∥ C D

\Rightarrow M N ∥ F E

(S B C) \cap (M N E F) = N E ∥ B C

(S A D) \cap (M N E F) = M F ∥ A D

\Rightarrow N E ∥ M F

\Rightarrow M N E F

có hai cặp cạnh đối song song

\Rightarrow

là hình bình hành.

Vậy $M N E F$ là hình bình hành.

3Cách 3. Phép vị tự tâm

S

(vectơ)

Định hướng. Mọi điểm của mặt phẳng song song đáy qua $G$ ứng với tỉ số $\frac{2}{3}$ trên các cạnh bên.

S M = \frac{2}{3} S A

S N = \frac{2}{3} S B

S E = \frac{2}{3} S C

S F = \frac{2}{3} S D

M N = \frac{2}{3} A B = \frac{2}{3} D C = F E

G K = \frac{2}{3} (S J - S I) = \frac{2}{3} I J = \frac{1}{3} A C

Vậy $G K ∥ A C$ nên $G K ∥ (A B C D)$ ; $M N = F E$ nên $M N E F$ là hình bình hành.

Nhận xét. Thiết diện $M N E F$ là ảnh của đáy $A B C D$ qua phép vị tự tâm $S$ tỉ số $\frac{2}{3}$ , nên giữ nguyên dạng hình bình hành. Kết quả đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần bốn giao tuyến song song với bốn cạnh đáy, không phải tính tỉ số.

Đáp số. a)

\frac{S G}{S I} = \frac{S K}{S J} = \frac{2}{3}

nên

G K ∥ I J \subset (A B C D)

. b)

M N ∥ A B ∥ C D ∥ F E

và

N E ∥ B C ∥ A D ∥ M F

nên

M N E F

là hình bình hành (thực ra

M N = F E = \frac{2}{3} A B

Sai lầm thường gặp. Viết "

G K ∥ I J

vì

G

K

là trọng tâm" mà không nêu tỉ số

\frac{S G}{S I} = \frac{S K}{S J}

— thiếu căn cứ Thalès; hoặc chỉ chứng minh

M N ∥ F E

rồi kết luận hình bình hành (hình thang cũng có một cặp cạnh song song).

🚀 Mở rộng. Nếu đáy

A B C D

là hình thang thì

M N E F

cũng là hình thang cùng tỉ số hai đáy — thiết diện song song đáy luôn "đồng dạng" với đáy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.45★★★Trang 103— Chứng minh quan hệ song song và điểm thẳng hàng trong hình hộp

4.45 (trang 103). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của cạnh

A D

A^{'} B^{'}

. Chứng minh rằng:
a)

B D ∥ B^{'} D^{'}

(A^{'} B D) ∥ (C B^{'} D^{'})

và

M N ∥ (B D D^{'} B^{'})

;
b) Đường thẳng

A C^{'}

đi qua trọng tâm

G

của tam giác

A^{'} B D

Kiến thức cần nhớ

Hình hộp: sáu mặt là hình bình hành, các cặp mặt đối diện song song; các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Nếu $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$ thì $(P) ∥ (Q)$ .
Nếu $(P) ∥ (Q)$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều song song với $(Q)$ .
Trọng tâm tam giác nằm trên trung tuyến, cách đỉnh $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Mọi mặt hình hộp là hình bình hành — các cặp đường chéo song song có sẵn (

B D ∥ B^{'} D^{'}

A^{'} B ∥ D^{'} C

). Để chứng minh

M N ∥ (B D D^{'} B^{'})

, dựng mặt phẳng qua

M N

song song

(B D D^{'} B^{'})

bằng trung điểm

Q

của

A B

. Câu b: nằm trong mặt chéo

(A C C^{'} A^{'})

A C^{'}

cắt trung tuyến

A^{'} O

của tam giác

A^{'} B D

theo tỉ số

2 : 1

1Cách 1. Hình bình hành và mặt phẳng trung gian

Định hướng. Dùng các mặt chéo là hình bình hành; với $M N$ dựng mặt $(M N Q)$ .

B B^{'} ∥ D D^{'}

B B^{'} = D D^{'}

\Rightarrow B D D^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow B D ∥ B^{'} D^{'}

A^{'} D^{'} ∥ B C

A^{'} D^{'} = B C

\Rightarrow A^{'} B C D^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A^{'} B ∥ D^{'} C

B D ∥ B^{'} D^{'}

A^{'} B ∥ D^{'} C

\Rightarrow (A^{'} B D) ∥ (C B^{'} D^{'})

Q

là trung điểm

A B

M Q ∥ B D

(đường trung bình

△ A B D

QN ∥ B B^{'}

(

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành).

\Rightarrow (M N Q) ∥ (B D D^{'} B^{'})

\Rightarrow M N ∥ (B D D^{'} B^{'})

.
b)

O = A C \cap B D

G^{'} = A C^{'} \cap A^{'} O

trong

(A C C^{'} A^{'})

;

A O ∥ A^{'} C^{'}

A O = \frac{1}{2} A^{'} C^{'}

\Rightarrow \frac{O G ^{'}}{G ^{'} A ^{'}} = \frac{A O}{C ^{'} A ^{'}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow A^{'} G^{'} = \frac{2}{3} A^{'} O

A^{'} O

là trung tuyến

△ A^{'} B D

\Rightarrow G^{'} \equiv G

\Rightarrow A C^{'}

đi qua

G

Vậy cả ba quan hệ song song ở câu a đều đúng, và $A C^{'}$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $A^{'} B D$ .

2Cách 2. Phương pháp vectơ

Định hướng. Đặt $A B = b$ , $A D = d$ , $A A^{'} = a$ .

B D = d - b = B^{'} D^{'}

;

A^{'} B = b - a = D^{'} C

\Rightarrow (A^{'} B D) ∥ (C B^{'} D^{'})

M N = (a + \frac{1}{2} b) - \frac{1}{2} d = B B^{'} + \frac{1}{2} D B

\Rightarrow M N ∥ (B D D^{'} B^{'})

(

M \in / (B D D^{'} B^{'})

A G = \frac{1}{3} (A A^{'} + A B + A D) = \frac{1}{3} (a + b + d) = \frac{1}{3} A C^{'}

Vậy các quan hệ song song ở câu a đúng, và $G \in A C^{'}$ với $A G = \frac{1}{3} A C^{'}$ .

3Cách 3. Câu a qua mặt phẳng song song khác; câu b qua giao tuyến

Định hướng. Với $M N$ : dùng mặt phẳng qua $N$ song song $(B D D^{'} B^{'})$ ; với câu b: $G$ nằm trên giao tuyến của hai mặt chéo.

P

là trung điểm

A^{'} D^{'}

\Rightarrow N P ∥ B^{'} D^{'}

P M ∥ D D^{'}

\Rightarrow (M N P) ∥ (B D D^{'} B^{'})

\Rightarrow M N ∥ (B D D^{'} B^{'})

.
b)

A^{'} O = (A^{'} B D) \cap (A C C^{'} A^{'})

;

A C^{'} \subset (A C C^{'} A^{'})

không song song

A^{'} O

\Rightarrow A C^{'} \cap A^{'} O = G^{'}

△ G^{'} A O \sim △ G^{'} C^{'} A^{'}

(tỉ số

\frac{1}{2}

)

\Rightarrow \frac{A ^{'} G ^{'}}{A ^{'} O} = \frac{2}{3}

\Rightarrow G^{'} = G

Vậy câu a, b được chứng minh.

Nhận xét. Cách 2 còn cho thêm: $A G = \frac{1}{3} A C^{'}$ , tức $(A^{'} B D)$ và $(C B^{'} D^{'})$ chia đường chéo $A C^{'}$ thành ba đoạn bằng nhau. Đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a (trình bày hình học quen thuộc) và Cách 2 cho câu b (một dòng vectơ là xong).

Đáp số. a)

B D D^{'} B^{'}

A^{'} B C D^{'}

là hình bình hành nên

B D ∥ B^{'} D^{'}

A^{'} B ∥ D^{'} C

, suy ra

(A^{'} B D) ∥ (C B^{'} D^{'})

; mặt phẳng qua

M

N

và trung điểm

A B

song song

(B D D^{'} B^{'})

nên

M N ∥ (B D D^{'} B^{'})

. b)

A G = \frac{1}{3} A C^{'}

nên

A C^{'}

đi qua

G

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

(A^{'} B D) ∥ (C B^{'} D^{'})

chỉ bằng

B D ∥ B^{'} D^{'}

— thiếu cặp thứ hai cắt nhau. Ở câu b, nhầm

G

là giao điểm của

A C^{'}

với

(A^{'} B D)

mà không chứng minh nó là trọng tâm.

🚀 Mở rộng. Cũng vậy,

A C^{'}

đi qua trọng tâm

G_{2}

của tam giác

C B^{'} D^{'}

với

A G_{2} = \frac{2}{3} A C^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.46★★★Trang 103— Thiết diện song song với hai cạnh — giao điểm và tỉ số

4.46 (trang 103). Cho tứ diện

A B C D

. Trên cạnh

A B

lấy điểm

M

sao cho

B M = 3 A M

. Mặt phẳng

(P)

đi qua

M

song song với hai đường thẳng

A D

và

B C

.
a) Xác định giao điểm

K

của mặt phẳng

(P)

với đường thẳng

C D

.
b) Tính tỉ số

\frac{K C}{C D}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ∥ (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b ∥ a$ .
Định lí Thalès trong tam giác.
Hai con đường dựng khác nhau phải cho cùng một điểm $K$ — đó là cách tự kiểm.

🧠 Phân tích tư duy

(P)

song song

A D

và

B C

nên cắt mỗi mặt chứa

A D

hoặc

B C

theo đường song song với cạnh đó — thiết diện được dựng hoàn toàn bằng các đường song song. Tỉ số chạy qua dãy Thalès:

A B \to B D \to C D

(hoặc

A B \to A C \to C D

). Bẫy:

B M = 3 A M

nghĩa là

\frac{A M}{A B} = \frac{1}{4}

, không phải

\frac{1}{3}

1Cách 1. Đi qua mặt

(A B D)

rồi

(B C D)

Định hướng. Kẻ $M Q ∥ A D$ trong $(A B D)$ , rồi $Q K ∥ B C$ trong $(B C D)$ .

M Q ∥ A D

Q \in B D

\Rightarrow \frac{B Q}{B D} = \frac{B M}{B A} = \frac{3}{4}

Q K ∥ B C

K \in C D

\Rightarrow K = (P) \cap C D

\frac{D K}{D C} = \frac{D Q}{D B} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

\Rightarrow \frac{K C}{C D} = \frac{3}{4}

Vậy $K$ là giao điểm của $C D$ với đường qua $Q$ song song $B C$ ( $Q \in B D$ , $M Q ∥ A D$ ), và $\frac{K C}{C D} = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Đi qua mặt

(A B C)

rồi

(A C D)

Định hướng. Kẻ $M N ∥ B C$ trong $(A B C)$ , rồi $N K ∥ A D$ trong $(A C D)$ .

M N ∥ B C

N \in A C

\Rightarrow \frac{A N}{A C} = \frac{A M}{A B} = \frac{1}{4}

\Rightarrow \frac{C N}{C A} = \frac{3}{4}

N K ∥ A D

K \in C D

\Rightarrow \frac{C K}{C D} = \frac{C N}{C A} = \frac{3}{4}

Vậy $\frac{K C}{C D} = \frac{3}{4}$ .

3Cách 3. Phương pháp vectơ

Định hướng. Đặt $C K = x C D$ , $M K$ phải biểu diễn được qua $A D$ và $B C$ .

M K = M B + B C + x C D = \frac{3}{4} A B + B C + x (A D - A B - B C)

= (\frac{3}{4} - x) A B + (1 - x) B C + x A D

M K

đồng phẳng với

A D

B C

\Leftrightarrow \frac{3}{4} - x = 0

\Leftrightarrow x = \frac{3}{4}

Vậy $\frac{K C}{C D} = \frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Thiết diện $M N K Q$ là hình bình hành ( $M N ∥ Q K ∥ B C$ , $M Q ∥ N K ∥ A D$ ); hai đường dựng ở Cách 1 và Cách 2 gặp nhau tại cùng $K$ . Đáp số đã kiểm bằng sympy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai lần Thalès, không phải lấy phần bù hai lần.

Đáp số. a) Kẻ

M N ∥ B C

(

N \in A C

N K ∥ A D

(

K \in C D

);

K

là giao điểm cần tìm (thiết diện

M N K Q

là hình bình hành). b)

\frac{K C}{C D} = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Hiểu

B M = 3 A M

thành

\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}

và ra

\frac{K C}{C D} = \frac{2}{3}

; hoặc tính ra

\frac{D K}{D C} = \frac{1}{4}

rồi ghi nhầm làm đáp số

\frac{K C}{C D}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

\frac{A M}{A B} = t

thì

\frac{K C}{C D} = 1 - t

và thiết diện là hình bình hành với

M N = t \cdot B C

M Q = (1 - t) \cdot A D

Mở bài này trong app ↗