Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương V

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 27 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.26★★Trang 87— Quy tắc tính giới hạn hữu hạn của dãy số

Bài 5.26 (trang 87). Cho hai dãy số

(u_{n})

và

(v_{n})

thoả mãn

n \to + \infty lim u_{n} = 1

và

n \to + \infty lim v_{n} = b \in R

. Xét các khẳng định sau:
(1)

n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = 1 + b

;
(2)

n \to + \infty lim \frac{v _{n}}{u _{n}} = b

;
(3)

n \to + \infty lim (u_{n} + v_{n}) = b

;
(4)

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{1}{b}

.
Số khẳng định đúng là
A.

2

.
B.

1

.
C.

3

.
D.

4

Kiến thức cần nhớ

$lim (u_{n} \pm v_{n}) = lim u_{n} \pm lim v_{n}$ khi hai giới hạn hữu hạn.
$lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = \frac{lim u _{n}}{lim v _{n}}$ chỉ khi $lim v_{n} \neq = 0$ .
Một khẳng định “đúng” phải đúng với mọi dãy thoả giả thiết.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định là bốn phép toán tổng, thương với giới hạn hữu hạn: quy tắc thương chỉ dùng được khi giới hạn của mẫu khác

0

. Mẫu

u_{n}

có giới hạn

1 \neq = 0

nên (2) đúng; mẫu

v_{n}

có giới hạn

b

chưa chắc khác

0

nên (4) không luôn đúng. Bẫy: coi (4) đúng vì “quên” trường hợp

b = 0

1Cách 1. Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc

Định hướng. Áp quy tắc tổng, thương; chú ý điều kiện mẫu khác $0$ .

(1):

lim (u_{n} + v_{n}) = 1 + b

— đúng
(2):

lim u_{n} = 1 \neq = 0 \Rightarrow lim \frac{v _{n}}{u _{n}} = \frac{b}{1} = b

— đúng
(3):

lim (u_{n} + v_{n}) = 1 + b \neq = b

— sai
(4): khi

b = 0

thì

\frac{1}{b}

không xác định — không luôn đúng, sai

Vậy có $2$ khẳng định đúng. Chọn A.

2Cách 2. Phản ví dụ cụ thể

Định hướng. Chọn dãy thật đơn giản thoả giả thiết để thử từng khẳng định.

u_{n} = 1

v_{n} = \frac{1}{n}

(b = 0)

(3):

lim (u_{n} + v_{n}) = 1 \neq = 0 = b

— sai
(4):

\frac{u _{n}}{v _{n}} = n \to + \infty

, còn

\frac{1}{b}

vô nghĩa — sai
(1), (2) là đúng quy tắc tổng, thương (mẫu

u_{n} \to 1 \neq = 0

)

Vậy $2$ khẳng định đúng; chọn A.

3Cách 3. Lập luận loại trừ

Định hướng. Dùng quan hệ giữa các khẳng định để đếm nhanh.

(1) và (3) cùng nói về

lim (u_{n} + v_{n})

nhưng

1 + b \neq = b

\Rightarrow

đúng nhiều nhất một trong hai
(1) đúng theo quy tắc tổng

\Rightarrow

(3) sai
(4) hỏng khi

b = 0

; (2) đúng vì mẫu có giới hạn

1

Vậy đúng (1), (2); chọn A.

Nhận xét. Chính điều kiện “giới hạn của mẫu khác $0$ ” tạo ra sự khác nhau giữa (2) và (4).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, kèm một phản ví dụ

b = 0

như Cách 2 để loại (4) cho chắc.

Đáp số. A. Có

2

khẳng định đúng: (1) và (2).

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì coi (4) đúng — quên rằng

b

có thể bằng

0

. Chọn D vì không để ý (1) và (3) mâu thuẫn nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm giả thiết

b \neq = 0

thì (4) đúng và số khẳng định đúng là

3

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.27★Trang 87— Giới hạn vô cực của dãy đa thức

Bài 5.27 (trang 87). Cho

L = n \to + \infty lim (n^{3} - 2 n + 1)

. Giá trị của

L

là
A.

L = 0

.
B.

L = - \infty

.
C.

L = + \infty

.
D.

L = 1

Kiến thức cần nhớ

$lim n^{k} = + \infty$ $(k > 0)$ .
Nếu $lim u_{n} = + \infty$ , $lim v_{n} = L > 0$ thì $lim u_{n} v_{n} = + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dãy là đa thức bậc ba theo

n

với hệ số cao nhất dương: số hạng

n^{3}

lấn át mọi số hạng còn lại. Đặt

n^{3}

ra ngoài là thấy ngay. Bẫy: “

+ \infty - \infty

” rồi đoán bằng

0

1Cách 1. Đặt

n^{3}

ra ngoài

Định hướng. Đưa về dạng $(+ \infty) \cdot 1$ .

n^{3} - 2 n + 1 = n^{3} (1 - \frac{2}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}})

lim n^{3} = + \infty

lim (1 - \frac{2}{n ^{2}} + \frac{1}{n ^{3}}) = 1 > 0

\Rightarrow L = + \infty

Vậy $L = + \infty$ . Chọn C.

2Cách 2. So sánh với dãy dần tới

+ \infty

Định hướng. Chặn dưới dãy bởi một dãy đơn giản hơn.

n \geq 2 \Rightarrow n^{2} - 2 \geq 2 \Rightarrow n^{3} - 2 n + 1 = n (n^{2} - 2) + 1 > n

lim n = + \infty \Rightarrow L = + \infty

Vậy chọn C.

3Cách 3. Thử số hạng lớn

Định hướng. Tính vài số hạng để loại các phương án.

n = 10

1000 - 20 + 1 = 981

n = 100

1000000 - 200 + 1 = 999801

Vậy dãy dương và tăng rất nhanh, loại A, B, D; chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hệ số của

n^{3}

dương là kết luận

+ \infty

Đáp số. C.

L = + \infty

Sai lầm thường gặp. Tách

lim n^{3} - lim 2 n

thành “

\infty - \infty = 0

” rồi chọn A hoặc D. Nhầm dấu hệ số cao nhất thành âm nên chọn B.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lim (a_{k} n^{k} + \dots + a_{0}) = + \infty

nếu

a_{k} > 0

= - \infty

nếu

a_{k} < 0

(k \geq 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.28★★Trang 87— Tìm tham số từ giới hạn của dãy phân thức

Bài 5.28 (trang 87). Biết

n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + n - 1}{a n ^{2} + 1} = 1

với

a

là tham số. Giá trị của

a^{2} - 2 a

là
A.

- 1

.
B.

0

.
C.

2

.
D. Không xác định.

Kiến thức cần nhớ

Tử, mẫu cùng bậc thì giới hạn bằng tỉ các hệ số bậc cao nhất.
Bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì giới hạn là vô cực.

🧠 Phân tích tư duy

Giới hạn bằng số hữu hạn khác

0

nên mẫu phải cùng bậc với tử, tức

a \neq = 0

, và giới hạn bằng tỉ hai hệ số bậc cao nhất

\frac{2}{a}

. Bẫy: quên xét

a = 0

(khi đó giới hạn là

+ \infty

), hoặc tính xong

a

quên bước tính

a^{2} - 2 a

1Cách 1. Chia cho

n^{2}

, xét hai trường hợp của

a

Định hướng. Tách trường hợp $a = 0$ và $a \neq = 0$ .

a = 0

\frac{2 n ^{2} + n - 1}{1} \to + \infty \neq = 1

— loại

a \neq = 0

\frac{2 n ^{2} + n - 1}{a n ^{2} + 1} = \frac{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}{a + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{2}{a}

\frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow a^{2} - 2 a = 4 - 4 = 0

Vậy $a^{2} - 2 a = 0$ . Chọn B.

2Cách 2. Thử ngược từ phương án

Định hướng. Mỗi giá trị của $a^{2} - 2 a$ cho các giá trị $a$ tương ứng; thay vào giới hạn.

a^{2} - 2 a = - 1 \Rightarrow (a - 1)^{2} = 0 \Rightarrow a = 1

: giới hạn

\frac{2}{1} = 2 \neq = 1

— loại
B:

a^{2} - 2 a = 0 \Rightarrow a (a - 2) = 0 \Rightarrow a = 0

hoặc

a = 2

;

a = 2

cho giới hạn

\frac{2}{2} = 1

— thoả
C:

a^{2} - 2 a = 2 \Rightarrow a = 1 \pm 3

: giới hạn

\frac{2}{1 \pm 3} \neq = 1

— loại

Vậy chọn B.

3Cách 3. Lập luận theo bậc

Định hướng. Giới hạn là số khác $0$ buộc tử, mẫu cùng bậc; khi đó chỉ còn so hệ số.

giới hạn

= 1 \neq = 0

, hữu hạn

\Rightarrow

bậc mẫu

=

bậc tử

= 2 \Rightarrow a \neq = 0

hệ số

n^{2}

: tử

2

, mẫu

a

\Rightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2

a^{2} - 2 a = 2^{2} - 2 \cdot 2 = 0

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy phương án B “ôm” cả $a = 0$ lẫn $a = 2$ , nhưng chỉ $a = 2$ thoả — đáp số $a^{2} - 2 a$ vẫn là $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm “tỉ hệ số bậc cao nhất

\frac{2}{a} = 1

” ra

a = 2

trong một dòng.

Đáp số. B.

a^{2} - 2 a = 0

(vì

a = 2

Sai lầm thường gặp. Tính được

a = 2

rồi chọn luôn C (lấy nhầm giá trị

a

thay cho

a^{2} - 2 a

). Chọn D vì cho rằng không biết

a

có bằng

0

hay không.

🚀 Mở rộng. Nếu

n \to + \infty lim \frac{2 n ^{2} + n - 1}{a n ^{2} + bn + 1} = 1

thì

a = 2

, còn

b

tuỳ ý — số hạng bậc thấp không ảnh hưởng tới giới hạn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.29★★Trang 87— Giới hạn dãy dạng

\infty \cdot 0

chứa căn

Bài 5.29 (trang 87). Cho

u_{n} = n (n + 2 - n + 1)

. Khi đó

n \to + \infty lim u_{n}

bằng
A.

+ \infty

.
B.

0

.
C.

\frac{1}{2}

.
D.

1

Kiến thức cần nhớ

$A - B = \frac{A - B}{A + B}$ .
Nguyên lí kẹp.

🧠 Phân tích tư duy

Thừa số

n \to + \infty

còn hiệu hai căn cùng bậc

\to 0

: dạng vô định

\infty \cdot 0

. Nhân liên hợp biến hiệu thành phân số có tử hằng, lúc đó cả biểu thức thành dạng

\frac{\infty}{\infty}

cùng bậc. Bẫy: thấy

n + 2 - n + 1 \to 0

rồi kết luận ngay

u_{n} \to 0

1Cách 1. Nhân liên hợp rồi chia cho

n

Định hướng. Khử hiệu căn, sau đó chia tử và mẫu cho $n$ .

u_{n} = \frac{n [ ( n + 2 ) - ( n + 1 ) ]}{n + 2 + n + 1} = \frac{n}{n + 2 + n + 1}

u_{n} = \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + 1 + \frac{1}{n}} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Vậy $lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Chọn C.

2Cách 2. Kẹp sau khi liên hợp

Định hướng. Chặn mẫu $n + 2 + n + 1$ giữa $2 n + 1$ và $2 n + 2$ .

2 n + 1 < n + 2 + n + 1 < 2 n + 2

\frac{n}{2 n + 2} < u_{n} < \frac{n}{2 n + 1}

lim \frac{n}{2 n + 2} = lim \frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow lim u_{n} = \frac{1}{2}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Máy tính cầm tay

Định hướng. CALC biểu thức tại $n$ lớn.

n = 1 0^{4}

u_{n} \approx 0, 49996

n = 1 0^{6}

u_{n} \approx 0, 4999996

Vậy giá trị tiến về $0, 5$ ; chọn C.

Nhận xét. Máy tính chỉ để kiểm tra; với $n$ quá lớn máy có thể trả về $0$ do sai số làm tròn khi trừ hai căn gần nhau — một lí do nữa để nhân liên hợp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần liên hợp, một lần chia

n

, ra

\frac{1}{2}

Đáp số. C.

lim u_{n} = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Kết luận

lim u_{n} = 0

vì “hiệu căn dần về

0

” (bỏ quên thừa số

n \to + \infty

). Nhân liên hợp xong chia nhầm cho

n

nên ra

0

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \to + \infty lim n (n + a - n + b) = \frac{a - b}{2}

; ở đây

\frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.30★★Trang 87— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn có công bội âm

Bài 5.30 (trang 87). Tính tổng

S = - \frac{2}{3} + \frac{2}{9} - \frac{2}{27} + \dots + (- 1)^{n} \frac{2}{3 ^{n}} + \dots

S = \frac{1}{2}

.
B.

S = - \frac{1}{2}

.
C.

S = - 3

.
D.

S = 3

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân lùi vô hạn $∣ q ∣ < 1$ : $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .
Tổng riêng $S_{n} = u_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các số hạng đổi dấu xen kẽ và giảm về trị tuyệt đối theo tỉ số

\frac{1}{3}

: đó là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội âm

q = - \frac{1}{3}

. Áp

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

, cẩn thận dấu. Bẫy: lấy

q = \frac{1}{3}

hoặc

u_{1} = \frac{2}{3}

1Cách 1. Công thức tổng lùi vô hạn

Định hướng. Xác định $u_{1}$ và $q$ .

u_{1} = - \frac{2}{3}

q = \frac{2/9}{- 2/3} = - \frac{1}{3}

∣ q ∣ < 1

S = \frac{- \frac{2}{3}}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{- \frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = - \frac{1}{2}

Vậy $S = - \frac{1}{2}$ . Chọn B.

2Cách 2. Ghép từng cặp số hạng

Định hướng. Gộp hai số hạng liên tiếp thành một số hạng âm, được cấp số nhân mới công bội dương.

S = (- \frac{2}{3} + \frac{2}{9}) + (- \frac{2}{27} + \frac{2}{81}) + \dots = - \frac{4}{9} - \frac{4}{81} - \dots

cấp số nhân

v_{1} = - \frac{4}{9}

q = \frac{1}{9}

S = \frac{- \frac{4}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{- \frac{4}{9}}{\frac{8}{9}} = - \frac{1}{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tổng riêng và bảng giá trị

Định hướng. Viết công thức tổng riêng rồi cho $n \to + \infty$ .

S_{n} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - ( - \frac{1}{3} ) ^{n}}{\frac{4}{3}} = - \frac{1}{2} [1 - (- \frac{1}{3})^{n}]

S_{1} \approx - 0, 667

;

S_{2} \approx - 0, 444

;

S_{3} \approx - 0, 519

;

S_{4} \approx - 0, 494

lim S_{n} = - \frac{1}{2} (1 - 0) = - \frac{1}{2}

Vậy $S = - \frac{1}{2}$ ; chọn B.

Nhận xét. Các tổng riêng nhảy lên xuống quanh $- 0, 5$ và ngày càng sát — hình ảnh điển hình của cấp số lùi có công bội âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc

u_{1}

q

đúng dấu rồi thay công thức.

Đáp số. B.

S = - \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy

q = \frac{1}{3}

nên được

S = \frac{- \frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = - 1

(không có trong phương án) hoặc bỏ dấu

u_{1}

\frac{1}{2}

(chọn A).

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \geq 1 \sum (- 1)^{n} \frac{c}{b ^{n}} = - \frac{c}{b + 1}

với

b > 1

; ở đây

- \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.31★Trang 87— Liên hệ giới hạn một bên và giới hạn

Bài 5.31 (trang 87). Cho hàm số

f (x)

thoả mãn

x \to 1^{+} lim f (x) = 3

và

x \to 1^{-} lim f (x) = - 3

. Khẳng định đúng là
A.

x \to 1 lim f (x) = 3

.
B.

x \to 1 lim f (x) = 0

.
C. Không tồn tại

x \to 1 lim f (x)

.
D.

x \to 1 lim f (x) = - 3

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x) = L \Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giới hạn tại

x_{0}

tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một bên bằng nhau. Ở đây

3 \neq = - 3

nên kết luận ngay. Bẫy: lấy trung bình cộng hai giới hạn một bên ra

0

1Cách 1. So sánh hai giới hạn một bên

Định hướng. Áp điều kiện cần và đủ để giới hạn tồn tại.

x \to 1^{+} lim f (x) = 3 \neq = - 3 = x \to 1^{-} lim f (x)

\Rightarrow x \to 1 lim f (x)

không tồn tại

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ từng phương án

Định hướng. Nếu giới hạn bằng $L$ thì cả hai giới hạn một bên đều bằng $L$ .

A: cần

x \to 1^{-} lim f (x) = 3

— trái giả thiết
D: cần

x \to 1^{+} lim f (x) = - 3

— trái giả thiết
B: cần cả hai bằng

0

— trái giả thiết

Vậy chỉ còn C.

3Cách 3. Minh hoạ bằng hàm cụ thể và dãy số

Định hướng. Chọn một hàm thoả giả thiết và hai dãy tiến về $1$ từ hai phía.

f (x) = 3

khi

x > 1

f (x) = - 3

khi

x < 1

x_{n} = 1 + \frac{1}{n}

f (x_{n}) = 3

;

y_{n} = 1 - \frac{1}{n}

f (y_{n}) = - 3

hai dãy cùng tiến về

1

mà

f (x_{n})

f (y_{n})

có giới hạn khác nhau

Vậy giới hạn tại $1$ không tồn tại; chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng so sánh

3 \neq = - 3

Đáp số. C. Không tồn tại

x \to 1 lim f (x)

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì lấy trung bình

\frac{3 + ( - 3 )}{2} = 0

— giới hạn không phải trung bình của hai giới hạn một bên.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành

x \to 1^{-} lim f (x) = m

thì giới hạn tại

1

tồn tại khi và chỉ khi

m = 3

(xem bài 5.32).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.32★Trang 88— Tìm tham số để giới hạn tồn tại

Bài 5.32 (trang 88). Cho hàm số

f (x)

thoả mãn

x \to 1^{+} lim f (x) = 2

và

x \to 1^{-} lim f (x) = m + 1

. Biết giới hạn của

f (x)

khi

x \to 1

tồn tại. Giá trị của

m

là
A.

m = 1

.
B.

m = - 1

.
C.

m = 3

.
D. Không tồn tại

m

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x)$ tồn tại $\Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giới hạn tồn tại buộc hai giới hạn một bên bằng nhau, cho ngay phương trình bậc nhất theo

m

. Bẫy: giải nhầm

m + 1 = 2

thành

m = 3

1Cách 1. Cho hai giới hạn một bên bằng nhau

Định hướng. Lập phương trình theo $m$ .

m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1

Vậy $m = 1$ . Chọn A.

2Cách 2. Thử từng phương án

Định hướng. Thay $m$ vào, xem giới hạn trái có bằng $2$ không.

m = 1

m + 1 = 2

— thoả

m = - 1

m + 1 = 0 \neq = 2

m = 3

m + 1 = 4 \neq = 2

Vậy chọn A.

3Cách 3. Minh hoạ bằng đồ thị

Định hướng. Lấy hàm $f (x) = 2$ khi $x > 1$ , $f (x) = m + 1$ khi $x < 1$ : đồ thị là hai tia nằm ngang.

hai tia phải cùng độ cao khi tiến tới

x = 1

m + 1 = 2 \Rightarrow m = 1

Vậy $m = 1$ ; chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phương trình bậc nhất.

Đáp số. A.

m = 1

Sai lầm thường gặp. Giải

m + 1 = 2

thành

m = 2 + 1 = 3

(chuyển vế sai dấu) nên chọn C.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm điều kiện

f (1) = m^{2}

và yêu cầu

f

liên tục tại

1

thì cần

m = 1

và

m^{2} = 2

— vô lí, nên không tồn tại

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.33★★Trang 88— Tìm tham số để hàm nhiều công thức có giới hạn

Bài 5.33 (trang 88). Biết hàm số

f (x) = {x^{2} + a 2 x + b khi x \leq 1 khi x > 1

có giới hạn khi

x \to 1

. Giá trị của

a - b

bằng
A.

- 1

.
B.

0

.
C.

1

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Giới hạn tồn tại $\Leftrightarrow$ hai giới hạn một bên bằng nhau.
Đa thức: $x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm nối là

x = 1

, mỗi nhánh là đa thức nên giới hạn một bên tính bằng cách thay số. Có giới hạn khi hai giới hạn một bên bằng nhau, cho một hệ thức giữa

a

và

b

— đủ để tính

a - b

dù không tìm được riêng

a

b

. Bẫy: cố tìm riêng

a

và

b

1Cách 1. Hai giới hạn một bên bằng nhau

Định hướng. Tính giới hạn trái (nhánh $x^{2} + a$ ) và phải (nhánh $2 x + b$ ).

x \to 1^{-} lim f (x) = 1 + a

;

x \to 1^{+} lim f (x) = 2 + b

1 + a = 2 + b \Leftrightarrow a - b = 1

Vậy $a - b = 1$ . Chọn C.

2Cách 2. Đồ thị hai nhánh gặp nhau

Định hướng. Parabol $y = x^{2} + a$ (bên trái) và đường thẳng $y = 2 x + b$ (bên phải) phải cùng “đến” một điểm khi $x \to 1$ .

parabol cho điểm

(1; 1 + a)

, đường thẳng cho điểm

(1; 2 + b)

trùng nhau

\Leftrightarrow 1 + a = 2 + b \Leftrightarrow a - b = 1

Vậy chọn C.

3Cách 3. Dùng dãy từ hai phía

Định hướng. Lấy $x_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ và $y_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ ; giới hạn tồn tại thì $f (x_{n})$ và $f (y_{n})$ cùng giới hạn.

f (x_{n}) = (1 - \frac{1}{n})^{2} + a \to 1 + a

f (y_{n}) = 2 + \frac{2}{n} + b \to 2 + b

1 + a = 2 + b \Rightarrow a - b = 1

Vậy chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay

x = 1

vào hai nhánh, cho bằng nhau.

Đáp số. C.

a - b = 1

Sai lầm thường gặp. Tính nhánh phải là

2 + b

nhưng viết thành

1 + a = 2 b

hoặc lấy

a - b = - 1

(chuyển vế sai) nên chọn A.

🚀 Mở rộng. Nếu yêu cầu thêm

f

liên tục tại

1

thì vẫn chỉ cần

a - b = 1

(vì

f (1) = 1 + a

trùng giới hạn trái); nếu nhánh trái là

x < 1

và

f (1) = c

thì cần thêm

c = 1 + a

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.34★Trang 88— Giới hạn một bên dạng

\frac{0}{0}

chứa căn

Bài 5.34 (trang 88). Giới hạn

x \to 1^{+} lim \frac{x - 1}{x - 1}

là
A.

+ \infty

.
B. Không tồn tại.
C.

2

.
D.

0

Kiến thức cần nhớ

$A = (A)^{2}$ với $A \geq 0$ .
$x \to 1^{+} lim x - 1 = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng

\frac{0}{0}

, nhưng với

x > 1

có ngay

x - 1 = (x - 1)^{2}

, nên giản ước được. Bẫy: thấy mẫu dần về

0

rồi chọn

+ \infty

1Cách 1. Giản ước

Định hướng. Viết tử thành bình phương của mẫu.

x > 1

\frac{x - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 1} = x - 1

x \to 1^{+} lim x - 1 = 0

Vậy giới hạn bằng $0$ . Chọn D.

2Cách 2. Đổi biến

t = x - 1

Định hướng. Khi $x \to 1^{+}$ thì $t \to 0^{+}$ và $x - 1 = t^{2}$ .

\frac{x - 1}{x - 1} = \frac{t ^{2}}{t} = t \to 0

Vậy chọn D.

3Cách 3. Máy tính cầm tay

Định hướng. CALC tại $x$ sát $1$ về bên phải.

x = 1, 0001

\approx 0, 01

x = 1, 000001

\approx 0, 001

Vậy giá trị về $0$ ; chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giản ước còn

x - 1

, thay số.

Đáp số. D. Giới hạn bằng

0

Sai lầm thường gặp. Thấy mẫu

\to 0

nên chọn A, quên rằng tử cũng

\to 0

và còn nhanh hơn mẫu. Chọn B vì nghĩ tại

x = 1

biểu thức vô nghĩa — giới hạn không cần hàm xác định tại điểm đó.

🚀 Mở rộng. So sánh:

x \to 1^{+} lim \frac{x - 1}{x - 1} = + \infty

— đảo tử và mẫu thì kết quả đổi hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.35★★Trang 88— Giới hạn hàm chứa trị tuyệt đối — xét hai phía

Bài 5.35 (trang 88). Cho

f (x) = \frac{x ^{2} - x}{∣ x ∣}

. Khi đó, giới hạn

x \to 0 lim f (x)

là
A.

0

.
B.

- 1

.
C.

1

.
D. Không tồn tại.

Kiến thức cần nhớ

$∣ x ∣ = x$ khi $x > 0$ , $∣ x ∣ = - x$ khi $x < 0$ .
Giới hạn tồn tại $\Leftrightarrow$ hai giới hạn một bên bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Có

∣ x ∣

và

x \to 0

theo cả hai phía nên phải tính riêng giới hạn trái, phải. Rút gọn xong mỗi phía ra một số khác nhau. Bẫy: bỏ trị tuyệt đối như

x

thường rồi chọn

- 1

1Cách 1. Tính hai giới hạn một bên

Định hướng. Phá trị tuyệt đối theo từng phía.

x > 0

f (x) = \frac{x ( x - 1 )}{x} = x - 1 \Rightarrow x \to 0^{+} lim f (x) = - 1

x < 0

f (x) = \frac{x ( x - 1 )}{- x} = 1 - x \Rightarrow x \to 0^{-} lim f (x) = 1

- 1 \neq = 1

Vậy giới hạn không tồn tại. Chọn D.

2Cách 2. Tách thừa số “dấu của

x

”

Định hướng. Viết $f (x) = \frac{x}{∣ x ∣} \cdot (x - 1)$ .

\frac{x}{∣ x ∣} = 1

khi

x > 0

= - 1

khi

x < 0

;

x \to 0 lim (x - 1) = - 1

x \to 0^{+} lim f (x) = 1 \cdot (- 1) = - 1

;

x \to 0^{-} lim f (x) = (- 1) \cdot (- 1) = 1

Vậy giới hạn không tồn tại; chọn D.

3Cách 3. Hai dãy số

Định hướng. Dùng $x_{n} = \frac{1}{n}$ và $y_{n} = - \frac{1}{n}$ cùng tiến về $0$ .

f (x_{n}) = \frac{1}{n} - 1 \to - 1

f (y_{n}) = 1 + \frac{1}{n} \to 1

hai giới hạn khác nhau

Vậy không tồn tại giới hạn; chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng phá trị tuyệt đối là thấy

- 1 \neq = 1

Đáp số. D. Không tồn tại.

Sai lầm thường gặp. Chỉ xét

x > 0

nên chọn B (

- 1

); chỉ xét

x < 0

nên chọn C (

1

); thay

x = 0

vào tử được

0

nên chọn A.

🚀 Mở rộng. Với

g (x) = \frac{x ^{2} - x}{∣ x ∣} \cdot x

thì cả hai phía đều về

0

, nên

x \to 0 lim g (x) = 0

— nhân thêm

x

đã “xoá” bước nhảy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.36★★Trang 88— Giới hạn tại

- \infty

chứa căn bậc hai

Bài 5.36 (trang 88). Giới hạn

x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 2 - x}{x}

là
A.

+ \infty

.
B.

0

.
C.

- 2

.
D. Không tồn tại.

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} = ∣ x ∣$ ; $x < 0 \Rightarrow ∣ x ∣ = - x$ .
$x \to \pm \infty lim \frac{c}{x ^{k}} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng

\frac{\infty}{\infty}

tại

- \infty

: đưa

x

ra khỏi căn, nhớ

x^{2} = ∣ x ∣ = - x

vì

x < 0

. Chính dấu này quyết định đáp án. Bẫy: viết

x^{2} + 2 \approx x

nên tử “

\approx 0

” rồi chọn B.

1Cách 1. Đưa

x

ra khỏi căn với

∣ x ∣ = - x

Định hướng. Chia từng phần của tử cho $x$ .

x < 0

x^{2} + 2 = - x 1 + \frac{2}{x ^{2}}

\frac{x ^{2} + 2 - x}{x} = \frac{- x 1 + \frac{2}{x ^{2}} - x}{x} = - 1 + \frac{2}{x ^{2}} - 1

x \to - \infty lim (- 1 + \frac{2}{x ^{2}} - 1) = - 1 - 1 = - 2

Vậy giới hạn bằng $- 2$ . Chọn C.

2Cách 2. Đổi biến

t = - x \to + \infty

Định hướng. Đưa về giới hạn tại $+ \infty$ để khỏi lo dấu.

\frac{t ^{2} + 2 + t}{- t} = - (1 + \frac{2}{t ^{2}} + 1) \to - (1 + 1) = - 2

Vậy chọn C.

3Cách 3. Máy tính cầm tay

Định hướng. CALC tại $x$ âm rất lớn.

x = - 1 0^{4}

\approx - 2, 00000001

x = - 1 0^{6}

\approx - 2

Vậy chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi

t = - x

là hết lo sai dấu.

Đáp số. C. Giới hạn bằng

- 2

Sai lầm thường gặp. Đưa

x

ra khỏi căn thành

x 1 + \frac{2}{x ^{2}}

(quên

x < 0

) nên tử thành

x (1 + \frac{2}{x ^{2}} - 1)

và ra

0

(chọn B).

🚀 Mở rộng. Tại

+ \infty

thì

x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 2 - x}{x} = 0

; cùng một biểu thức nhưng hai phía vô cực cho kết quả khác nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.37★★★Trang 88— Tính liên tục của hàm nhiều công thức trên khoảng, đoạn

Bài 5.37 (trang 88). Cho hàm số

f (x) = {2 1 - x khi - 1 < x \leq 1 khi x \leq - 1 hay x > 1

. Mệnh đề đúng là
A. Hàm số

f (x)

liên tục trên

[- 1; 1]

.
B. Hàm số

f (x)

liên tục trên

(- 1; 1]

.
C. Hàm số

f (x)

liên tục trên

[- 1; 1)

.
D. Hàm số

f (x)

liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục trên $[a; b]$ nếu liên tục trên $(a; b)$ và $x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$ , $x \to b^{-} lim f (x) = f (b)$ .
$f$ liên tục tại $x_{0}$ $\Leftrightarrow$ hai giới hạn một bên bằng $f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có hai điểm nối

x = - 1

và

x = 1

; phải tính giá trị hàm và hai giới hạn một bên tại mỗi điểm. Sau đó đối chiếu với định nghĩa liên tục trên đoạn/nửa khoảng: chỉ cần liên tục bên phải tại đầu mút trái và liên tục bên trái tại đầu mút phải. Bẫy: đòi liên tục “hai phía” tại đầu mút của đoạn.

1Cách 1. Xét hai điểm nối rồi đối chiếu định nghĩa

Định hướng. Tính $f$ và giới hạn một bên tại $- 1$ và $1$ .

tại

- 1

f (- 1) = 1 - (- 1) = 2

;

x \to - 1^{-} lim (1 - x) = 2

;

x \to - 1^{+} lim 2 = 2

\Rightarrow

liên tục tại

- 1

tại

1

f (1) = 2

;

x \to 1^{-} lim 2 = 2 = f (1)

;

x \to 1^{+} lim (1 - x) = 0 \neq = f (1)

\Rightarrow

gián đoạn tại

1

nhưng liên tục bên trái tại

1

trên

(- 1; 1)

f = 2

liên tục

\Rightarrow f

liên tục trên

[- 1; 1]

(- 1; 1]

[- 1; 1)

; không liên tục trên

R

Vậy theo đúng định nghĩa SGK, A, B, C cùng đúng, D sai. Đáp án sách chọn C (bản mạnh nhất đúng là A).

2Cách 2. Đọc đồ thị

Định hướng. Vẽ đồ thị ba mảnh, xem chỗ bị đứt.

x \leq - 1

: tia

y = 1 - x

kết thúc tại

(- 1; 2)

- 1 < x \leq 1

: đoạn nằm ngang

y = 2

nối liền từ

(- 1; 2)

tới

(1; 2)

(điểm

(1; 2)

được tô đặc)

x > 1

: tia

y = 1 - x

bắt đầu từ điểm rỗng

(1; 0)

— đồ thị đứt tại

x = 1

trên đoạn

[- 1; 1]

phần đồ thị là đoạn liền từ

(- 1; 2)

tới

(1; 2)

Vậy D sai; A (và cả B, C) đúng theo định nghĩa. Sách chọn C.

3Cách 3. Loại trừ theo điểm gián đoạn

Định hướng. Chỉ có một điểm gián đoạn là $x = 1$ và gián đoạn “từ bên phải”.

D chứa

x = 1

ở bên trong (có cả hai phía)

\Rightarrow

D sai
A, B có

x = 1

là đầu mút phải: chỉ cần

x \to 1^{-} lim f (x) = f (1) = 2

— thoả
C không chứa

x = 1

, trên

[- 1; 1)

hàm liên tục — thoả

Vậy phương án chắc chắn đúng mà sách chọn là C; theo định nghĩa thì A, B cũng đúng.

Nhận xét. Đề có nhiều hơn một phương án đúng theo định nghĩa liên tục trên đoạn của SGK; khi làm bài theo sách, chọn C như đáp án in sẵn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính đủ ba giá trị tại

x = 1

là thấy gián đoạn chỉ từ bên phải — loại D ngay.

Đáp số. Theo định nghĩa SGK: A, B, C cùng đúng, D sai (

f

gián đoạn tại

x = 1

). Đáp án sách (vietjack, loigiaihay): C.

Sai lầm thường gặp. Nghĩ rằng gián đoạn tại

x = 1

thì mọi đoạn chứa

1

đều “không liên tục” — sai, tại đầu mút phải chỉ xét giới hạn bên trái. Lỗi ngược lại: chọn D vì chỉ kiểm tra tại

x = - 1

. (Đề sách có lỗi: A và B cũng đúng theo định nghĩa.)

🚀 Mở rộng. Muốn câu hỏi chỉ có đúng một đáp án C, có thể sửa nhánh giữa thành “

- 1 < x < 1

” và cho

f (1) = 0

: khi đó

f

không liên tục bên trái tại

1

nên A, B sai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.38★★Trang 88— Tìm tham số để hàm số liên tục trên

R

Bài 5.38 (trang 88). Xét hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1} m khi x \neq = - 1 khi x = - 1

với

m

là tham số. Hàm số

f (x)

liên tục trên

R

khi
A.

m = 0

.
B.

m = 3

.
C.

m = - 1

.
D.

m = 1

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0} \Leftrightarrow x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Tam thức $a x^{2} + b x + c$ có $a - b + c = 0$ thì có nghiệm $x = - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Với

x \neq = - 1

hàm là phân thức xác định nên liên tục; chỉ còn điểm

x = - 1

. Giới hạn tại

- 1

có dạng

\frac{0}{0}

, tử có nghiệm

- 1

nên phân tích được nhân tử

(x + 1)

. Bẫy: thay

x = - 1

vào

x + 3

(nhầm nhân tử) ra

m = 2

1Cách 1. Phân tích nhân tử, cho giới hạn bằng

m

Định hướng. Tính $x \to - 1 lim f (x)$ .

x^{2} + 3 x + 2

Δ = 9 - 8 = 1

, nghiệm

x = \frac{- 3 \pm 1}{2}

, tức

x = - 1

;

x = - 2

x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2 = x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

x \to - 1 lim f (x) = x \to - 1 lim (x + 2) = 1

liên tục tại

- 1 \Leftrightarrow m = 1

; với

x \neq = - 1

hàm luôn liên tục

Vậy $m = 1$ . Chọn D.

2Cách 2. Đổi biến

x = - 1 + h

Định hướng. Dời điểm $- 1$ về $0$ .

x^{2} + 3 x + 2 = (h - 1)^{2} + 3 (h - 1) + 2 = h^{2} + h

\frac{h ^{2} + h}{h} = h + 1 \to 1

khi

h \to 0

m = 1

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đồ thị

Định hướng. Khi $x \neq = - 1$ , $f (x) = x + 2$ : đồ thị là đường thẳng khuyết điểm $(- 1; 1)$ .

lấp đúng lỗ khuyết

\Leftrightarrow (- 1; m) \equiv (- 1; 1)

Vậy $m = 1$ ; chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhẩm

a - b + c = 1 - 3 + 2 = 0

nên tử có nhân tử

x + 1

, còn lại

x + 2

, thay

x = - 1

Đáp số. D.

m = 1

Sai lầm thường gặp. Thay

x = - 1

vào tử được

0

nên chọn

m = 0

(A). Phân tích nhầm thành

(x - 1) (x - 2)

hoặc

(x + 1) (x + 3)

rồi ra

m = 3

hoặc

m = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{( x - x _{1} ) ( x - x _{2} )}{x - x _{1}}

bổ sung giá trị

x_{1} - x_{2}

tại

x_{1}

; ở đây

- 1 - (- 2) = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.39★Trang 89— Tính liên tục của hàm chứa căn trên tập xác định

Bài 5.39 (trang 89). Cho hàm số

f (x) = \frac{x ( x - 1 )}{x - 1}

. Hàm số này liên tục trên
A.

(1; + \infty)

.
B.

(- \infty; 1)

.
C.

[1; + \infty)

.
D.

(- \infty; 1]

Kiến thức cần nhớ

$\frac{A}{B}$ xác định khi $B > 0$ .
Hàm sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Căn ở mẫu nên điều kiện là biểu thức dưới căn dương:

x > 1

. Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định. Bẫy: lấy điều kiện

x \geq 1

như căn ở tử.

1Cách 1. Tìm tập xác định

Định hướng. Mẫu là căn nên $x - 1 > 0$ .

x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1

D = (1; + \infty)

; tử, mẫu liên tục, mẫu khác

0

trên

D

Vậy $f$ liên tục trên $(1; + \infty)$ . Chọn A.

2Cách 2. Rút gọn trên tập xác định

Định hướng. Với $x > 1$ , $x - 1 = (x - 1)^{2}$ .

f (x) = x x - 1

với

x > 1

tích của hai hàm liên tục trên

(1; + \infty)

Vậy chọn A.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Kiểm tra các điểm mà phương án chứa nhưng hàm không xác định.

B, D chứa

x = 0

0 - 1

vô nghĩa — loại
C chứa

x = 1

: mẫu

0 = 0

— loại

Vậy chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thử

x = 1

và một điểm nhỏ hơn

1

là loại ba phương án.

Đáp số. A.

(1; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì lấy điều kiện

x \geq 1

— quên căn nằm dưới mẫu nên phải khác

0

. Rút gọn thành

x x - 1

rồi cho rằng hàm xác định cả tại

x = 1

🚀 Mở rộng. Hàm

g (x) = x x - 1

thì liên tục trên

[1; + \infty)

— rút gọn làm thay đổi tập xác định, nên phải tìm tập xác định trước khi rút gọn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 5.40★★Trang 89— Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính liên tục

Bài 5.40 (trang 89). Cho phương trình

x^{7} + x^{5} = 1

. Mệnh đề đúng là
A. Phương trình có nghiệm âm.
B. Phương trình có nghiệm trong khoảng

(0; 1)

.
C. Phương trình có nghiệm trong khoảng

(1; 2)

.
D. Phương trình vô nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $g$ liên tục trên $[a; b]$ và $g (a) g (b) < 0$ thì $g (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong $(a; b)$ .
Đa thức liên tục trên $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình bậc bảy không giải được trực tiếp, nhưng hỏi “có nghiệm trong khoảng nào” — dấu hiệu dùng định lí giá trị trung gian: tìm hai đầu mút làm hàm đổi dấu. Bẫy: tính

g (1) = 1

nhầm thành

0

1Cách 1. Định lí giá trị trung gian trên

[0; 1]

Định hướng. Xét $g (x) = x^{7} + x^{5} - 1$ .

g

liên tục trên

[0; 1]

g (0) = - 1 < 0

;

g (1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0

g (0) g (1) = - 1 < 0

Vậy phương trình có nghiệm trong $(0; 1)$ . Chọn B.

2Cách 2. Loại trừ bằng đánh giá dấu

Định hướng. Chỉ ra các phương án A, C, D sai.

x \leq 0

x^{7} + x^{5} = x^{5} (x^{2} + 1) \leq 0 < 1

\Rightarrow

không có nghiệm âm (A sai)

x \geq 1

x^{7} + x^{5} \geq 1 + 1 = 2 > 1

\Rightarrow

không có nghiệm trong

(1; 2)

(C sai)
D sai theo Cách 1

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tính đơn điệu và máy tính

Định hướng. $g (x) = x^{7} + x^{5} - 1$ là tổng các hàm đồng biến nên có đúng một nghiệm; dò nghiệm bằng máy.

x^{7}

x^{5}

đồng biến trên

R

\Rightarrow g

đồng biến, có nhiều nhất một nghiệm
SOLVE:

x \approx 0, 8899 \in (0; 1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x \approx 0, 89$ thuộc $(0; 1)$ ; chọn B.

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 cho biết thêm: nghiệm là duy nhất và nằm trong $(0; 1)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai giá trị

g (0)

g (1)

trái dấu là đủ.

Đáp số. B. Phương trình có nghiệm trong khoảng

(0; 1)

Sai lầm thường gặp. Xét

g (x) = x^{7} + x^{5}

(quên chuyển

1

sang) rồi thấy

g (0) = 0

và chọn sai. Tính

g (1) = 0

nên tưởng

x = 1

là nghiệm.

🚀 Mở rộng. Chứng minh

x^{7} + x^{5} = 1

có nghiệm trong

(\frac{1}{2}; 1)

g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{128} + \frac{1}{32} - 1 < 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 5.41★★Trang 89— Giới hạn dãy bằng nguyên lí kẹp

Bài 5.41 (trang 89). Cho dãy số

(u_{n})

thoả mãn

∣ u_{n} ∣ \leq 1

. Tính

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{n + 1}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}$ và $lim v_{n} = 0$ thì $lim u_{n} = 0$ .
Dãy bị chặn nhân dãy có giới hạn $0$ thì có giới hạn $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không biết

u_{n}

cụ thể, chỉ biết bị chặn; mẫu

n + 1 \to + \infty

. Tích “bị chặn nhân vô cùng bé” — dấu hiệu dùng kẹp. Bẫy: viết

lim u_{n}

trong khi

u_{n}

có thể không có giới hạn.

1Cách 1. Kẹp giá trị tuyệt đối

Định hướng. Chặn $\frac{u _{n}}{n + 1}$ bởi dãy dần về $0$ .

\frac{u _{n}}{n + 1} = \frac{∣ u _{n} ∣}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}

lim \frac{1}{n + 1} = 0

\Rightarrow lim \frac{u _{n}}{n + 1} = 0

Vậy $n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{n + 1} = 0$ .

2Cách 2. Kẹp hai phía

Định hướng. Phá trị tuyệt đối $- 1 \leq u_{n} \leq 1$ .

- \frac{1}{n + 1} \leq \frac{u _{n}}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}

lim (- \frac{1}{n + 1}) = lim \frac{1}{n + 1} = 0

Vậy giới hạn bằng $0$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa

Định hướng. Chỉ ra $\frac{u _{n}}{n + 1}$ nhỏ hơn mọi $ε > 0$ khi $n$ đủ lớn.

cho

ε > 0

, chọn

N > \frac{1}{ε}

n > N \Rightarrow \frac{u _{n}}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{N} < ε

Vậy giới hạn bằng $0$ .

Nhận xét. Kết quả đúng với mọi dãy bị chặn, kể cả dãy không có giới hạn như $u_{n} = (- 1)^{n}$ hay $u_{n} = sin n$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một bất đẳng thức và một giới hạn cơ bản.

Đáp số.

n \to + \infty lim \frac{u _{n}}{n + 1} = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

lim \frac{u _{n}}{n + 1} = \frac{lim u _{n}}{lim ( n + 1 )}

— sai vì

lim u_{n}

có thể không tồn tại và mẫu ra vô cực. Nói “không tính được vì không biết

u_{n}

”.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

∣ u_{n} ∣ \leq M

và

lim v_{n} = \pm \infty

thì

lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 5.42★★★Trang 89— Giới hạn dãy chứa tổng cấp số cộng dưới căn

Bài 5.42 (trang 89). Tìm giới hạn của dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{n 1 + 2 + \dots + n}{2 n ^{2} + 3}

Kiến thức cần nhớ

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
Chia tử, mẫu cho lũy thừa cao nhất.
Nguyên lí kẹp.

🧠 Phân tích tư duy

Dưới căn là tổng cấp số cộng nên phải rút gọn thành

\frac{n ( n + 1 )}{2}

trước. Khi đó tử có “bậc”

n \cdot n = n^{2}

, bằng bậc mẫu: giới hạn hữu hạn khác

0

. Bẫy: đưa

n

ra khỏi căn sai (được

n

thay vì

n^{2}

dưới căn).

1Cách 1. Rút gọn tổng rồi chia cho

n^{2}

Định hướng. Thay tổng bằng công thức, đưa $n$ vào căn.

u_{n} = \frac{n \frac{n ( n + 1 )}{2}}{2 n ^{2} + 3} = \frac{n ^{2} \frac{1}{2} ( 1 + \frac{1}{n} )}{2 n ^{2} + 3}

u_{n} = \frac{\frac{1}{2} ( 1 + \frac{1}{n} )}{2 + \frac{3}{n ^{2}}} \to \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

Vậy $lim u_{n} = \frac{2}{4}$ .

2Cách 2. Kẹp tổng dưới căn

Định hướng. Chặn $n^{2} \leq n (n + 1) \leq (n + 1)^{2}$ để bỏ căn.

\frac{n ^{2}}{2} \leq \frac{n ( n + 1 )}{2} \leq \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2}

\frac{n ^{2}}{2 ( 2 n ^{2} + 3 )} \leq u_{n} \leq \frac{n ( n + 1 )}{2 ( 2 n ^{2} + 3 )}

hai dãy chặn đều có giới hạn

\frac{1}{2 2}

Vậy $lim u_{n} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}$ .

3Cách 3. Máy tính cầm tay

Định hướng. Dùng công thức rút gọn rồi CALC với $n$ lớn.

u_{n} = \frac{n n ( n + 1 ) /2}{2 n ^{2} + 3}

n = 1 0^{3}

cho

u_{n} \approx 0, 35373

;

n = 1 0^{6}

cho

u_{n} \approx 0, 353554

\frac{2}{4} \approx 0, 353553

Vậy kết quả khớp $\frac{2}{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn tổng, chia

n^{2}

, ra ngay

\frac{2}{4}

Đáp số.

lim u_{n} = \frac{2}{4}

(tức

\frac{1}{2 2}

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{n ( n + 1 )}{2} \approx n

(quên chia

2

) nên ra

\frac{1}{2}

. Để nguyên tổng

1 + 2 + \dots + n

rồi coi nó “cỡ

n

” nên ra

0

🚀 Mở rộng. Thử với

u_{n} = \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{2} + 1}

: dùng

1^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}

, giới hạn bằng

\frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 5.43★★Trang 89— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

Bài 5.43 (trang 89). Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a)

- 0, (31)

;
b)

2, (121)

Kiến thức cần nhớ

$0, (a_{1} \dots a_{k}) = \frac{a _{1} \dots a _{k}}{1 0 ^{k} - 1}$ .
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phần tuần hoàn là tổng cấp số nhân lùi vô hạn công bội

1 0^{- k}

(

k

là số chữ số của chu kì). Câu a có dấu âm đứng trước toàn bộ số. Bẫy: đặt dấu âm chỉ cho phần nguyên, hoặc chu kì

121

tưởng là

12

1Cách 1. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Định hướng. Viết phần tuần hoàn thành tổng lùi vô hạn.

0, (31) = \frac{31}{100} + \frac{31}{10 0 ^{2}} + \dots = \frac{\frac{31}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{31}{99} \Rightarrow - 0, (31) = - \frac{31}{99}

2, (121) = 2 + \frac{121}{1000} + \frac{121}{100 0 ^{2}} + \dots = 2 + \frac{\frac{121}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = 2 + \frac{121}{999} = \frac{2 119}{999}

Vậy a) $- \frac{31}{99}$ ; b) $\frac{2 119}{999}$ .

2Cách 2. Nhân với

1 0^{k}

rồi trừ

Định hướng. Hai số có cùng phần đuôi tuần hoàn thì hiệu là số nguyên.

x = 0, 3131 \dots

;

100 x = 31, 3131 \dots

99 x = 31 \Rightarrow x = \frac{31}{99} \Rightarrow - 0, (31) = - \frac{31}{99}

y = 2, 121121 \dots

;

1000 y = 2121, 121121 \dots

999 y = 2119 \Rightarrow y = \frac{2 119}{999}

Vậy a) $- \frac{31}{99}$ ; b) $\frac{2 119}{999}$ .

3Cách 3. Quy tắc chu kì chia

99 \dots 9

và thử lại

Định hướng. Áp quy tắc, kiểm tra tối giản và chia ngược.

- \frac{31}{99}

;

31

nguyên tố, không chia hết

99

— tối giản;

31 : 99 = 0, 3131 \dots

2 + \frac{121}{999} = \frac{2 \cdot 999 + 121}{999} = \frac{2 119}{999}

;

999 = 3^{3} \cdot 37

2119

không chia hết cho

3

và

37

— tối giản

2119 : 999 = 2, 121121 \dots

Vậy a) $- \frac{31}{99}$ ; b) $\frac{2 119}{999}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đúng kiến thức chương giới hạn), kiểm tra nhanh bằng Cách 3.

Đáp số. a)

- 0, (31) = - \frac{31}{99}

; b)

2, (121) = \frac{2 119}{999}

Sai lầm thường gặp. Câu a: viết

- 0, (31) = \frac{- 31}{100} \cdot \dots

rồi đổi dấu công bội. Câu b: tách chu kì là

12

nên ra

2 + \frac{12}{99}

— sai, chu kì là

121

(ba chữ số).

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại bằng phép cộng:

0, (31) + 0, (68) = 0, (99) = 1

, tức

\frac{31}{99} + \frac{68}{99} = 1

— minh hoạ thú vị cho

0, (9) = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 5.44★★★Trang 89— Cấp số nhân lùi vô hạn trong bài toán hình học

Bài 5.44 (trang 89). Cho hình vuông

H_{1}

có cạnh bằng

a

. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông

H_{2}

. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông

H_{2}

để được hình vuông

H_{3}

. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông

H_{1}

H_{2}

H_{3}

, …,

H_{n}

, … Gọi

s_{n}

là diện tích của hình vuông

H_{n}

.
a) Tính

s_{n}

.
b) Tính tổng

T = s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n} + \dots

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore.
Cấp số nhân: $s_{n} = s_{1} q^{n - 1}$ .
Tổng lùi vô hạn: $T = \frac{s _{1}}{1 - q}$ , $∣ q ∣ < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi lần lặp, hình vuông mới được dựng theo cùng một quy tắc nên diện tích nhân với cùng một tỉ số:

(s_{n})

là cấp số nhân. Chỉ cần tính tỉ số

\frac{s _{2}}{s _{1}}

bằng Pythagore hoặc bằng cách trừ bốn tam giác góc. Bẫy: cho rằng cạnh mới bằng

\frac{3}{4}

cạnh cũ.

1Cách 1. Pythagore tính cạnh

H_{2}

Định hướng. Mỗi đỉnh $H_{2}$ chia cạnh $H_{1}$ thành hai đoạn $\frac{a}{4}$ và $\frac{3 a}{4}$ ; cạnh $H_{2}$ là cạnh huyền.

a) cạnh

H_{2}

a_{2} = (\frac{a}{4})^{2} + (\frac{3 a}{4})^{2} = \frac{10 a ^{2}}{16} = \frac{a 10}{4}

s_{2} = a_{2}^{2} = \frac{10 a ^{2}}{16} = \frac{5}{8} a^{2} = \frac{5}{8} s_{1}

tương tự

s_{k + 1} = \frac{5}{8} s_{k}

\Rightarrow s_{n} = a^{2} (\frac{5}{8})^{n - 1}

(s_{n})

là cấp số nhân lùi vô hạn

s_{1} = a^{2}

q = \frac{5}{8}

T = \frac{a ^{2}}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{8 a ^{2}}{3}

Vậy a) $s_{n} = a^{2} (\frac{5}{8})^{n - 1}$ ; b) $T = \frac{8 a ^{2}}{3}$ .

2Cách 2. Diện tích bù trừ bốn tam giác góc

Định hướng. $H_{2}$ bằng $H_{1}$ bỏ đi bốn tam giác vuông bằng nhau ở bốn góc.

a) mỗi tam giác góc có hai cạnh góc vuông

\frac{a}{4}

\frac{3 a}{4}

s_{2} = a^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{3 a}{4} = a^{2} - \frac{3 a ^{2}}{8} = \frac{5}{8} a^{2}

\Rightarrow s_{n} = (\frac{5}{8})^{n - 1} a^{2}

T = a^{2} [1 + \frac{5}{8} + (\frac{5}{8})^{2} + \dots] = a^{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{8 a ^{2}}{3}

Vậy a) $s_{n} = (\frac{5}{8})^{n - 1} a^{2}$ ; b) $T = \frac{8 a ^{2}}{3}$ .

3Cách 3. Tổng riêng rồi lấy giới hạn

Định hướng. Tính $T_{n} = s_{1} + \dots + s_{n}$ bằng công thức tổng $n$ số hạng, sau đó cho $n \to + \infty$ .

T_{n} = a^{2} \cdot \frac{1 - ( \frac{5}{8} ) ^{n}}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{8 a ^{2}}{3} [1 - (\frac{5}{8})^{n}]

lim (\frac{5}{8})^{n} = 0 \Rightarrow T = lim T_{n} = \frac{8 a ^{2}}{3}

Vậy $T = \frac{8 a ^{2}}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 tránh căn thức và cho thấy ý nghĩa: mỗi bước “cắt bỏ” đúng $\frac{3}{8}$ diện tích hình trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính

s_{2}

bằng trừ bốn tam giác, không cần căn; phần b áp công thức tổng lùi.

Đáp số. a)

s_{n} = a^{2} (\frac{5}{8})^{n - 1}

; b)

T = \frac{8 a ^{2}}{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy cạnh

H_{2}

bằng

\frac{3 a}{4}

nên

q = \frac{9}{16}

và

T = \frac{16 a ^{2}}{7}

— sai, cạnh

H_{2}

là cạnh huyền. Quên số hạng đầu

s_{1} = a^{2}

khi tính

T

nên ra

\frac{5 a ^{2}}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: chia mỗi cạnh theo tỉ lệ

k : (1 - k)

thì

q = k^{2} + (1 - k)^{2}

và

T = \frac{a ^{2}}{2 k ( 1 - k )}

; với

k = \frac{1}{4}

được

\frac{8 a ^{2}}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 5.45★★Trang 89— Tìm tham số từ giới hạn tại vô cực

Bài 5.45 (trang 89). Tìm

a

là số thực thoả mãn

x \to + \infty lim (\frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 3} + a^{2} + 3 a) = 0

Kiến thức cần nhớ

Tử, mẫu cùng bậc: giới hạn tại vô cực bằng tỉ hệ số bậc cao nhất.
$lim (f (x) + c) = lim f (x) + c$ .
Phương trình bậc hai: công thức nghiệm và tách nhân tử.

🧠 Phân tích tư duy

a^{2} + 3 a

là hằng số nên giới hạn bằng giới hạn của phân thức cộng hằng số đó. Phân thức cùng bậc hai ở tử và mẫu có giới hạn

2

. Còn lại là phương trình bậc hai theo

a

. Bẫy: quên rằng có hai giá trị

a

1Cách 1. Chia cho

x^{2}

Định hướng. Tính giới hạn của phân thức rồi lập phương trình theo $a$ .

\frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 3} = \frac{2 + \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x ^{2}}} \to 2

2 + a^{2} + 3 a = 0 \Leftrightarrow a^{2} + 3 a + 2 = 0

Δ = 9 - 8 = 1

a = \frac{- 3 \pm 1}{2}

, tức

a = - 1

;

a = - 2

a^{2} + 3 a + 2 = a^{2} + a + 2 a + 2 = a (a + 1) + 2 (a + 1) = (a + 1) (a + 2) = 0

Vậy $a = - 1$ hoặc $a = - 2$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên của phân thức

Định hướng. Viết phân thức thành $2$ cộng một phần dần về $0$ .

\frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 3} = 2 - \frac{4 x + 5}{x ^{2} + 2 x + 3}

\frac{4 x + 5}{x ^{2} + 2 x + 3} \to 0

(bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu)

2 + a^{2} + 3 a = 0 \Leftrightarrow (a + 1) (a + 2) = 0 \Leftrightarrow a = - 1

hoặc

a = - 2

Vậy $a \in {- 2; - 1}$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng máy tính và thử lại

Định hướng. Dò giới hạn của phân thức rồi thử hai giá trị $a$ .

x = 1 0^{6}

\frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 3} \approx 1, 999996 \approx 2

a = - 1

a^{2} + 3 a = - 2

;

a = - 2

a^{2} + 3 a = 4 - 6 = - 2

khi đó biểu thức có giới hạn

2 - 2 = 0

Vậy $a = - 1$ hoặc $a = - 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giới hạn phân thức bằng

2

, giải

a^{2} + 3 a + 2 = 0

Đáp số.

a = - 1

hoặc

a = - 2

Sai lầm thường gặp. Cho

lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 3} = 1

(lấy nhầm hệ số) nên giải

a^{2} + 3 a + 1 = 0

. Chỉ ghi một nghiệm

a = - 1

🚀 Mở rộng. Tìm

a

b

để

x \to + \infty lim (\frac{2 x ^{2} + 1}{x + 1} - a x - b) = 0

(đáp số

a = 2

b = - 2

) — bài tiệm cận xiên sau này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 5.46★★★Trang 89— Giới hạn tại vô cực: phân thức, tích, dạng

\infty - \infty

căn bậc ba

Bài 5.46 (trang 89). Tính các giới hạn sau:
a)

x \to - \infty lim \frac{x ( x + 1 ) ( 2 x - 1 )}{5 x ^{3} + x + 7}

;
b)

x \to - \infty lim (x^{3} - 1) (2 - x^{5})

;
c)

x \to + \infty lim (3 x^{3} + x^{2} + 1 - x)

Kiến thức cần nhớ

$A - B = \frac{A ^{3} - B ^{3}}{A ^{2} + A B + B ^{2}}$ .
Giới hạn của tích khi một thừa số ra vô cực, thừa số kia có dấu xác định.
Đa thức tại vô cực cùng dấu với số hạng bậc cao nhất.

🧠 Phân tích tư duy

a) Tử, mẫu cùng bậc ba — tỉ hệ số. b) Tích hai thừa số: tìm dấu của từng thừa số khi

x \to - \infty

, hoặc số hạng bậc cao nhất

- x^{8}

. c) Dạng

\infty - \infty

với căn bậc ba: nhân liên hợp bậc ba theo

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

. Bẫy câu b:

x^{3} \to - \infty

và

- x^{5} \to + \infty

, dấu dễ lẫn.

1Cách 1. Chia lũy thừa cao nhất; xét dấu từng thừa số; liên hợp bậc ba

Định hướng. Mỗi câu một công cụ chuẩn.

\frac{x ( x + 1 ) ( 2 x - 1 )}{5 x ^{3} + x + 7} = \frac{1 \cdot ( 1 + \frac{1}{x} ) ( 2 - \frac{1}{x} )}{5 + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{7}{x ^{3}}} \to \frac{2}{5}

x \to - \infty lim (x^{3} - 1) = - \infty

;

x \to - \infty lim (2 - x^{5}) = + \infty

\Rightarrow x \to - \infty lim (x^{3} - 1) (2 - x^{5}) = - \infty

c) đặt

A = 3 x^{3} + x^{2} + 1

A - x = \frac{A ^{3} - x ^{3}}{A ^{2} + A x + x ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1}{A ^{2} + A x + x ^{2}}

\frac{A}{x} = 3 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{3}} \to 1 \Rightarrow \frac{x ^{2} + 1}{A ^{2} + A x + x ^{2}} = \frac{1 + \frac{1}{x ^{2}}}{( \frac{A}{x} ) ^{2} + \frac{A}{x} + 1} \to \frac{1}{3}

Vậy a) $\frac{2}{5}$ ; b) $- \infty$ ; c) $\frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Đặt số hạng bậc cao nhất ra ngoài / đổi biến

t = \frac{1}{x}

Định hướng. Tách phần “chính” khỏi phần dần về hằng số.

a) tử

= 2 x^{3} + x^{2} - x

, mẫu

= 5 x^{3} + x + 7

: cùng bậc

3

, hệ số

2

và

5

\Rightarrow \frac{2}{5}

(x^{3} - 1) (2 - x^{5}) = - x^{8} (1 - \frac{1}{x ^{3}}) (1 - \frac{2}{x ^{5}})

;

- x^{8} \to - \infty

, ngoặc

\to 1

\Rightarrow - \infty

t = \frac{1}{x} \to 0^{+}

3 x^{3} + x^{2} + 1 - x = \frac{3 1 + t + t ^{3} - 1}{t}

B = 3 1 + t + t^{3}

\frac{B - 1}{t} = \frac{B ^{3} - 1}{t ( B ^{2} + B + 1 )} = \frac{1 + t ^{2}}{B ^{2} + B + 1} \to \frac{1}{3}

Vậy a) $\frac{2}{5}$ ; b) $- \infty$ ; c) $\frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng máy tính cầm tay

Định hướng. CALC tại $x$ có trị tuyệt đối rất lớn.

x = - 1 0^{5}

\approx 0, 399998

x = - 10

(- 1001) \cdot 100002 \approx - 1, 0 \cdot 1 0^{8}

, càng về

- \infty

càng âm lớn

x = 1 0^{3}

\approx 0, 33322

;

x = 1 0^{5}

\approx 0, 333332

Vậy khớp: a) $\frac{2}{5}$ ; b) $- \infty$ ; c) $\frac{1}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho a, b (nhìn số hạng bậc cao nhất) và Cách 1 cho c (liên hợp bậc ba chuẩn khuôn).

Đáp số. a)

\frac{2}{5}

; b)

- \infty

; c)

\frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Câu b: cho rằng “âm nhân dương ra dương” nhưng xác định sai dấu của

2 - x^{5}

(khi

x \to - \infty

thì

- x^{5} \to + \infty

), kết luận

+ \infty

. Câu c: nhân liên hợp kiểu căn bậc hai

(A + x)

— không khử được căn bậc ba.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu c:

x \to + \infty lim (3 x^{3} + b x^{2} + \dots - x) = \frac{b}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 5.47★★Trang 90— Giới hạn tích nhiều thừa số tại vô cực

Bài 5.47 (trang 90). Tính

x \to - \infty lim (1 - x) (1 - 2 x) \dots (1 - 2018 x)

Kiến thức cần nhớ

Tích các hàm cùng có giới hạn $+ \infty$ thì có giới hạn $+ \infty$ .
Đa thức tại vô cực cùng dấu với số hạng bậc cao nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Có

2018

thừa số, mỗi thừa số

1 - k x

với

k > 0

; khi

x \to - \infty

thì

- k x \to + \infty

nên mọi thừa số đều dương và ra

+ \infty

. Không cần khai triển. Bẫy: đếm dấu sai khi viết số hạng bậc cao nhất

(- 1)^{2018} 2018! x^{2018}

1Cách 1. Mỗi thừa số dần tới

+ \infty

Định hướng. Xét giới hạn từng thừa số.

k = 1, 2, \dots, 2018

x \to - \infty lim (1 - k x) = + \infty

tích của

2018

hàm cùng ra

+ \infty

Vậy giới hạn bằng $+ \infty$ .

2Cách 2. Số hạng bậc cao nhất

Định hướng. Đặt $x$ ra khỏi mỗi thừa số.

(1 - x) (1 - 2 x) \dots (1 - 2018 x) = x^{2018} (\frac{1}{x} - 1) (\frac{1}{x} - 2) \dots (\frac{1}{x} - 2018)

ngoặc

\to (- 1) (- 2) \dots (- 2018) = (- 1)^{2018} \cdot 2018 \neq = 2018! > 0

x^{2018} \to + \infty

(số mũ chẵn)

Vậy giới hạn bằng $+ \infty$ .

3Cách 3. Đổi biến

t = - x

và so sánh

Định hướng. Với $t > 0$ , mọi thừa số $1 + k t \geq 1$ .

t = - x \to + \infty

: tích

= (1 + t) (1 + 2 t) \dots (1 + 2018 t)

mỗi thừa số

\geq 1

\Rightarrow

tích

\geq 1 + t

1 + t \to + \infty

Vậy giới hạn bằng $+ \infty$ .

Nhận xét. Nếu số thừa số là lẻ (chẳng hạn đến $2019 x$ ) thì tại $- \infty$ vẫn ra $+ \infty$ theo Cách 1, còn tại $+ \infty$ mới cần đếm dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 3): không cần khai triển, không cần đếm dấu.

Đáp số.

x \to - \infty lim (1 - x) (1 - 2 x) \dots (1 - 2018 x) = + \infty

Sai lầm thường gặp. Đếm dấu: hệ số bậc cao nhất là

(- 1) (- 2) \dots (- 2018)

nhưng tính nhầm là số âm, rồi nhân với

x^{2018} > 0

- \infty

🚀 Mở rộng. Tại

+ \infty

x \to + \infty lim (1 - x) \dots (1 - 2018 x) = + \infty

vì có

2018

(chẵn) thừa số âm; với

2019

thừa số sẽ ra

- \infty

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 5.48★★★Trang 90— Giới hạn vô cực dựa vào

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

Bài 5.48 (trang 90). Biết

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

. Hãy tính:
a)

x \to 0 lim \frac{sin x}{x ^{3}}

;
b)

x \to 0^{+} lim \frac{sin x}{x ^{2}}

;
c)

x \to 0^{-} lim \frac{sin x}{x ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ .
$x \to 0 lim \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ ; $x \to 0^{\pm} lim \frac{1}{x} = \pm \infty$ .
Nếu $lim f = L > 0$ và $lim g = \pm \infty$ thì $lim f g = \pm \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tách mỗi biểu thức thành

\frac{sin x}{x}

nhân phần còn lại

\frac{1}{x ^{2}}

hoặc

\frac{1}{x}

. Phần đầu dần về

1

, phần sau ra vô cực — dấu phụ thuộc phía tiến tới

0

. Bẫy: câu a cũng tách hai phía nhưng

\frac{1}{x ^{2}} > 0

cả hai phía nên có giới hạn.

1Cách 1. Tách thừa số

\frac{sin x}{x}

Định hướng. Viết thành tích của một thừa số dần về $1$ và một thừa số ra vô cực.

\frac{sin x}{x ^{3}} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{x ^{2}}

;

\frac{sin x}{x} \to 1 > 0

\frac{1}{x ^{2}} \to + \infty

\Rightarrow + \infty

\frac{sin x}{x ^{2}} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{x}

;

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty \Rightarrow + \infty

x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty \Rightarrow x \to 0^{-} lim \frac{sin x}{x ^{2}} = - \infty

Vậy a) $+ \infty$ ; b) $+ \infty$ ; c) $- \infty$ .

2Cách 2. So sánh (chặn dưới/chặn trên)

Định hướng. Vì $\frac{sin x}{x} \to 1$ nên gần $0$ có $\frac{sin x}{x} > \frac{1}{2}$ ; dùng bất đẳng thức này để so sánh.

0 < ∣ x ∣ < δ

\frac{sin x}{x ^{3}} > \frac{1}{2 x ^{2}} \to + \infty

0 < x < δ

\frac{sin x}{x ^{2}} > \frac{1}{2 x} \to + \infty

- δ < x < 0

\frac{sin x}{x ^{2}} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{x} < \frac{1}{2 x} \to - \infty

Vậy a) $+ \infty$ ; b) $+ \infty$ ; c) $- \infty$ .

3Cách 3. Bảng giá trị

Định hướng. CALC tại $x$ sát $0$ (chế độ radian).

x = \pm 0, 01

\approx 9999, 8

x = 0, 01

\approx 99, 998

;

x = 0, 001

\approx 999, 9998

x = - 0, 01

\approx - 99, 998

Vậy khớp: a) $+ \infty$ ; b) $+ \infty$ ; c) $- \infty$ .

Nhận xét. Hệ quả: $x \to 0 lim \frac{sin x}{x ^{2}}$ không tồn tại (hai phía khác nhau), còn $x \to 0 lim \frac{sin x}{x ^{3}} = + \infty$ tồn tại theo nghĩa vô cực.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách

\frac{sin x}{x}

là thấy ngay, chỉ cần để ý dấu của

\frac{1}{x}

Đáp số. a)

+ \infty

; b)

+ \infty

; c)

- \infty

Sai lầm thường gặp. Câu c: quên

x < 0

nên ra

+ \infty

. Câu a: viết

\frac{sin x}{x ^{3}} \to \frac{1}{x ^{2}}

rồi “thay

x = 0

” ra

\frac{1}{0}

và kết luận không tồn tại. Máy tính để đơn vị góc là độ (D) cho kết quả sai hẳn.

🚀 Mở rộng. Tính

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3

bằng cách viết

\frac{sin 3 x}{3 x} \cdot 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 5.49★★Trang 90— Giới hạn bằng nguyên lí kẹp (hàm dao động)

Bài 5.49 (trang 90). Tính

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}

Kiến thức cần nhớ

$∣ sin t ∣ \leq 1$ với mọi $t$ .
Nguyên lí kẹp cho giới hạn hàm số.
Nếu với mọi dãy $x_{n} \to x_{0}$ $(x_{n} \neq = x_{0})$ có $f (x_{n}) \to L$ thì $x \to x_{0} lim f (x) = L$ .

🧠 Phân tích tư duy

sin \frac{1}{x}

dao động giữa

- 1

và

1

, không có giới hạn tại

0

, nhưng bị nhân với

x \to 0

. Đây là dạng “bị chặn nhân vô cùng bé”, dùng kẹp. Bẫy: nhầm với

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

nên đoán

1

1Cách 1. Kẹp giá trị tuyệt đối

Định hướng. Chặn $∣ f (x) ∣$ bởi $∣ x ∣$ .

x sin \frac{1}{x} = ∣ x ∣ \cdot sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0

\Rightarrow x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0

Vậy $x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0$ .

2Cách 2. Kẹp hai phía

Định hướng. Viết $- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣$ .

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

với mọi

x \neq = 0

x \to 0 lim (- ∣ x ∣) = x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0

Vậy giới hạn bằng $0$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa bằng dãy

Định hướng. Lấy dãy bất kì $x_{n} \to 0$ , $x_{n} \neq = 0$ và kẹp dãy giá trị.

∣ f (x_{n}) ∣ = ∣ x_{n} ∣ sin \frac{1}{x _{n}} \leq ∣ x_{n} ∣

lim ∣ x_{n} ∣ = 0 \Rightarrow lim f (x_{n}) = 0

đúng với mọi dãy

x_{n} \to 0

\Rightarrow

giới hạn hàm bằng

0

Vậy giới hạn bằng $0$ .

Nhận xét. Hàm $sin \frac{1}{x}$ dao động ngày càng nhanh gần $0$ , nhưng biên độ bị “bóp” bởi $∣ x ∣$ nên đồ thị $x sin \frac{1}{x}$ bị ép về gốc toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một bất đẳng thức

∣ x sin \frac{1}{x} ∣ \leq ∣ x ∣

Đáp số.

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

lim x \cdot lim sin \frac{1}{x} = 0 \cdot lim sin \frac{1}{x}

— sai vì

x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

không tồn tại. Nhầm với

x \to \infty lim x sin \frac{1}{x} = 1

nên trả lời

1

🚀 Mở rộng. So sánh:

x \to + \infty lim x sin \frac{1}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{sin t}{t} = 1

(đặt

t = \frac{1}{x}

) — cùng biểu thức, khác điểm tới, khác kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 5.50★★★Trang 90— Bổ sung giá trị để hàm liên tục — kiểm tra tập xác định

Bài 5.50 (trang 90). Cho hàm số

f (x) = \frac{x - 1 - 1 - x}{x}

. Phải bổ sung thêm giá trị

f (0)

bằng bao nhiêu để hàm số

f (x)

liên tục tại

x = 0

Kiến thức cần nhớ

Liên tục tại $x_{0}$ đòi hỏi $f$ xác định trên một khoảng chứa $x_{0}$ và $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .
$A$ xác định khi $A \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trước khi tính giới hạn phải tìm tập xác định:

x - 1

cần

x \geq 1

1 - x

cần

x \leq 1

, nên hàm chỉ xác định tại đúng một điểm

x = 1

. Không có khoảng nào quanh

0

để nói tới giới hạn hay liên tục. Bẫy: nhân liên hợp máy móc như bài

\frac{1 + x - 1 - x}{x}

rồi ra

f (0) = 1

1Cách 1. Tìm tập xác định

Định hướng. Giải hệ điều kiện của hai căn và mẫu.

⎩ ⎨ ⎧ x - 1 \geq 0 1 - x \geq 0 x \neq = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x \geq 1 x \leq 1 x \neq = 0 \Leftrightarrow x = 1

D = {1}

: không có khoảng nào chứa

0

mà

f

xác định

Vậy không có giá trị $f (0)$ nào làm $f$ liên tục tại $x = 0$ .

2Cách 2. Giới hạn tại

0

không có nghĩa

Định hướng. Muốn tính $x \to 0 lim f (x)$ cần các dãy $x_{n} \to 0$ nằm trong tập xác định.

mọi

x_{n} \in D

đều bằng

1

không có dãy

x_{n} \in D

x_{n} \to 0

\Rightarrow x \to 0 lim f (x)

không tồn tại

Vậy không thể chọn $f (0)$ để $x \to 0 lim f (x) = f (0)$ ; không có giá trị nào.

3Cách 3. Phản chứng với một điểm cụ thể

Định hướng. Giả sử bổ sung $f (0) = c$ mà $f$ liên tục tại $0$ ; khi đó $f$ phải xác định trên một khoảng $(- δ; δ)$ .

lấy

x = \frac{δ}{2} \in (0; 1)

(chọn

δ < 1

\frac{δ}{2} - 1

vô nghĩa vì

\frac{δ}{2} - 1 < 0

\Rightarrow f

không xác định tại

\frac{δ}{2}

: mâu thuẫn

Vậy không tồn tại giá trị $f (0)$ thoả mãn.

Nhận xét. Đề sách có thể in nhầm; với $f (x) = \frac{1 + x - 1 - x}{x}$ thì $f (x) = \frac{2}{1 + x + 1 - x} \to 1$ và cần bổ sung $f (0) = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tìm tập xác định trước tiên — bài này chỉ cần đúng bước đó.

Đáp số. Không có giá trị

f (0)

nào thoả mãn, vì

f

chỉ xác định tại

x = 1

(tập xác định

D = {1}

Sai lầm thường gặp. Nhân liên hợp:

f (x) = \frac{( x - 1 ) - ( 1 - x )}{x ( x - 1 + 1 - x )} = \frac{2 ( x - 1 )}{x ( \dots )}

rồi “tính” giới hạn — mọi phép biến đổi đều vô nghĩa vì hàm không xác định gần

0

🚀 Mở rộng. Với

g (x) = \frac{1 + x - 1 - x}{x}

(khả năng đề muốn hỏi) thì phải bổ sung

g (0) = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 5.51★★★Trang 90— Điều kiện liên tục trong định lí giá trị trung gian

Bài 5.51 (trang 90). Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} 2 khi x \neq = 0 khi x = 0

.
a) Chứng minh rằng

f (- 1) \cdot f (1) < 0

.
b) Chứng minh rằng phương trình

f (x) = 0

không có nghiệm thuộc khoảng

(- 1; 1)

.
c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số

f (x)

trên đoạn

[- 1; 1]

Kiến thức cần nhớ

Nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f (a) f (b) < 0$ thì $f (x) = 0$ có nghiệm trong $(a; b)$ .
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài dựng sẵn một “phản ví dụ”: hàm đổi dấu trên

[- 1; 1]

nhưng không có nghiệm. Nếu

f

liên tục trên đoạn thì định lí giá trị trung gian bắt buộc có nghiệm, nên

f

không thể liên tục. Bẫy: áp định lí giá trị trung gian mà không kiểm tra tính liên tục.

1Cách 1. Tính trực tiếp từng ý

Định hướng. a), b) thay số; c) xét giới hạn tại $0$ .

f (- 1) = - 1

f (1) = 1 \Rightarrow f (- 1) f (1) = - 1 < 0

x \neq = 0

f (x) = \frac{1}{x} \neq = 0

;

x = 0

f (0) = 2 \neq = 0

\Rightarrow f (x) = 0

vô nghiệm trên

(- 1; 1)

x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty

\Rightarrow f

không có giới hạn hữu hạn tại

0

\Rightarrow f

gián đoạn tại

0 \in [- 1; 1]

Vậy a), b) đã chứng minh; c) $f$ không liên tục trên $[- 1; 1]$ (gián đoạn tại $x = 0$ ).

2Cách 2. Phản chứng bằng định lí giá trị trung gian (ý c)

Định hướng. Dùng a), b) để suy ra c) mà không cần tính giới hạn.

giả sử

f

liên tục trên

[- 1; 1]

theo a):

f (- 1) f (1) < 0

\Rightarrow f (x) = 0

có nghiệm trong

(- 1; 1)

trái với b)

Vậy $f$ không liên tục trên $[- 1; 1]$ .

3Cách 3. Đồ thị

Định hướng. Vẽ đồ thị: hai nhánh hypebol $y = \frac{1}{x}$ và điểm $(0; 2)$ .

nhánh trái nằm dưới trục hoành, nhánh phải nằm trên trục hoành
không nhánh nào cắt trục hoành; điểm

(0; 2)

cũng không
đồ thị bị đứt tại

x = 0

nên “đi từ dưới lên trên” mà không cắt

O x

Vậy đồ thị đứt tại $0$ : $f$ gián đoạn tại $0$ , không liên tục trên $[- 1; 1]$ .

Nhận xét. Bài cho thấy giả thiết “liên tục” trong định lí giá trị trung gian là không thể bỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: a), b) theo Cách 1; ý c trình bày theo Cách 2 — gọn và cho thấy hiểu bản chất định lí.

Đáp số. a)

f (- 1) f (1) = - 1 < 0

; b)

f (x) \neq = 0

với mọi

x \in (- 1; 1)

; c)

f

không liên tục trên

[- 1; 1]

(gián đoạn tại

x = 0

Sai lầm thường gặp. Kết luận ý b sai (“có nghiệm”) vì áp định lí giá trị trung gian từ ý a mà không kiểm tra tính liên tục. Quên kiểm tra riêng

x = 0

trong ý b.

🚀 Mở rộng. Hàm

g (x) = x

khi

x \neq = 0

g (0) = 2

cũng đổi dấu trên

[- 1; 1]

, gián đoạn tại

0

nhưng vẫn không có nghiệm — thử giải thích.

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 5.52★★★Trang 90— Lập hàm nhiều công thức từ bài toán thực tế và xét tính liên tục

Bài 5.52 (trang 90). Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí

30

nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm

20

nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo.
a) Viết hàm số

f (x)

mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.
b) Xét tính liên tục của hàm số này.

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0} \Leftrightarrow x \to x_{0}^{-} lim f (x) = x \to x_{0}^{+} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Hàm đa thức liên tục trên $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phí chia hai khúc theo thời gian

x

(giờ): giờ đầu cố định

30

, sau đó tăng

20

mỗi giờ. Theo cách hiểu của đề (tính phí tỉ lệ thời gian sau giờ đầu), khúc sau là

30 + 20 (x - 1)

; chỉ cần kiểm tra điểm nối

x = 1

. Bẫy: viết khúc sau là

20 x

(quên

30

nghìn của giờ đầu).

1Cách 1. Lập công thức và xét điểm nối

x = 1

Định hướng. Gọi $x$ (giờ), $x > 0$ , là thời gian gửi; $f (x)$ tính bằng nghìn đồng.

0 < x \leq 1

f (x) = 30

;

x > 1

f (x) = 30 + 20 (x - 1) = 20 x + 10

f (x) = {30 20 x + 10 khi 0 < x \leq 1 khi x > 1

b) trên

(0; 1)

(1; + \infty)

f

là đa thức, liên tục

f (1) = 30

;

x \to 1^{-} lim f (x) = 30

;

x \to 1^{+} lim (20 x + 10) = 30

\Rightarrow f

liên tục tại

1

Vậy a) như trên; b) $f$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

2Cách 2. Viết khúc sau dạng “giá trị tại mốc

+

đơn giá

\times

phần vượt”

Định hướng. Công thức khúc sau bắt đầu bằng đúng giá trị tại mốc nên hai khúc tự khớp.

x > 1

f (x) = 30 + 20 (x - 1)

; tại

x = 1

cho

30 + 0 = 30 = f (1)

mỗi khúc là đa thức, giá trị hai bên mốc bằng nhau

Vậy $f$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

3Cách 3. Đồ thị

Định hướng. Đồ thị là đoạn nằm ngang nối với một tia đi lên.

đoạn

y = 30

trên

(0; 1]

kết thúc tại

(1; 30)

tia

y = 20 x + 10

với

x > 1

xuất phát từ

(1; 30)

hai mảnh nối liền

Vậy đồ thị liền nét, $f$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

Nhận xét. Nếu bãi xe làm tròn lên theo giờ (phần lẻ tính trọn một giờ) thì $f (x) = 30 + 20 (n - 1)$ khi $n - 1 < x \leq n$ — hàm bậc thang, gián đoạn tại mọi $x = 1, 2, 3, \dots$ Lời giải trên theo cách hiểu tính phí tỉ lệ thời gian như đáp án sách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết hai công thức, kiểm tra ba giá trị tại

x = 1

Đáp số. a)

f (x) = 30

khi

0 < x \leq 1

;

f (x) = 20 x + 10

khi

x > 1

(nghìn đồng). b)

f

liên tục trên

(0; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Viết khúc sau là

f (x) = 20 x

hoặc

30 + 20 x

nên tại

x = 1

lệch với

f (1) = 30

và kết luận sai “gián đoạn”.

🚀 Mở rộng. So sánh với cách tính làm tròn giờ:

f (1, 5) = 50

thay vì

40

— hàm bậc thang gián đoạn tại các số nguyên dương.

Mở bài này trong app ↗