Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương V

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 5.18★★Trang 123— Giới hạn vô cực của dãy chứa căn thức

5.18 (trang 123). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = n^{2} + 1 - n

. Mệnh đề đúng là
A.

n \to + \infty lim u_{n} = - \infty

.
B.

n \to + \infty lim u_{n} = 1

.
C.

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

.
D.

n \to + \infty lim u_{n} = 0

Kiến thức cần nhớ

Nếu $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = L > 0$ thì $lim (u_{n} v_{n}) = + \infty$ .
Nếu $u_{n} \geq v_{n}$ với mọi $n$ và $lim v_{n} = + \infty$ thì $lim u_{n} = + \infty$ .
$lim \frac{1}{n ^{k}} = 0$ với $k > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai căn không cùng bậc tăng:

n^{2} + 1

tăng như

n

, còn

n

tăng chậm hơn hẳn, nên hiệu bị số hạng lớn “kéo” ra vô cực. Hướng chuẩn là đặt

n

— lũy thừa cao nhất — ra ngoài. Bẫy: thấy “hiệu hai căn” liền nhân liên hợp như dạng

n + 1 - n

rồi đoán ra

0

1Cách 1. Đặt lũy thừa cao nhất

n

ra ngoài

Định hướng. Rút $n$ khỏi cả hai căn để thấy dạng $(+ \infty) \cdot L$ với $L > 0$ .

u_{n} = n 1 + \frac{1}{n ^{2}} - n = n (1 + \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{n})

lim (1 + \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{n}) = 1 + 0 - 0 = 1 > 0

lim n = + \infty \Rightarrow lim u_{n} = + \infty

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ . Chọn C.

2Cách 2. So sánh với một dãy dần tới

+ \infty

Định hướng. Bỏ số $1$ dưới căn làm biểu thức nhỏ đi; chỉ cần dãy nhỏ hơn đã tiến ra $+ \infty$ .

n^{2} + 1 > n^{2} = n \Rightarrow u_{n} > n - n = n (n - 1)

lim n = + \infty

lim (n - 1) = + \infty \Rightarrow lim n (n - 1) = + \infty

\Rightarrow lim u_{n} = + \infty

Vậy chọn C.

3Cách 3. Thử số hạng lớn để loại trừ

Định hướng. Tính vài số hạng có $n$ lớn rồi đối chiếu bốn phương án.

u_{100} = 10001 - 10 \approx 100, 005 - 10 = 90, 005

u_{10000} = 100000001 - 100 \approx 10000 - 100 = 9900

\Rightarrow u_{n}

dương và tăng rất nhanh: loại A, B, D

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 chỉ để kiểm tra nhanh; kết luận chặt chẽ phải dựa vào Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng đặt

n

ra ngoài là thấy ngay dạng

(+ \infty) \cdot 1

, không phải nhân liên hợp.

Đáp số. C.

lim u_{n} = + \infty

Sai lầm thường gặp. Nhân liên hợp máy móc:

u_{n} = \frac{n ^{2} + 1 - n}{n ^{2} + 1 + n}

rồi chia nhầm cả tử lẫn mẫu cho

n^{2}

0

— sai vì mẫu chỉ bậc

1

, không phải bậc

2

. Cũng hay nhầm với dãy

n^{2} + 1 - n

(dãy này mới có giới hạn

0

🚀 Mở rộng. Với

u_{n} = n^{2} + 1 - n^{2} + n

thì hai căn cùng bậc, nhân liên hợp ra

lim u_{n} = - \frac{1}{2}

— hãy so sánh hai trường hợp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.19★★Trang 123— Giới hạn dãy chứa tổng cấp số nhân

5.19 (trang 123). Cho

u_{n} = \frac{2 + 2 ^{2} + \dots + 2 ^{n}}{2 ^{n}}

. Giới hạn của dãy số

(u_{n})

bằng
A.

1

.
B.

2

.
C.

- 1

.
D.

0

Kiến thức cần nhớ

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_{n} = u_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ $(q \neq = 1)$ .
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ với $∣ q ∣ < 1$ .
$lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tử số là tổng

n

số hạng đầu của cấp số nhân công bội

2

, nên phải rút gọn tử bằng công thức tổng trước khi lấy giới hạn. Sau khi rút gọn, dãy có dạng hằng số trừ một lượng dần về

0

. Bẫy: thấy tử và mẫu đều “cỡ

2^{n}

” rồi đoán giới hạn bằng

1

1Cách 1. Rút gọn tử bằng công thức tổng cấp số nhân

Định hướng. Tử là cấp số nhân $u_{1} = 2$ , $q = 2$ , có $n$ số hạng.

2 + 2^{2} + \dots + 2^{n} = 2 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 2

u_{n} = \frac{2 ^{n + 1} - 2}{2 ^{n}} = 2 - \frac{2}{2 ^{n}} = 2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}

lim u_{n} = 2 - 0 = 2

Vậy $lim u_{n} = 2$ . Chọn B.

2Cách 2. Chia từng số hạng cho

2^{n}

— cấp số nhân lùi

Định hướng. Chia từng số hạng của tử cho $2^{n}$ rồi viết theo thứ tự ngược.

u_{n} = \frac{2 ^{n}}{2 ^{n}} + \frac{2 ^{n - 1}}{2 ^{n}} + \dots + \frac{2}{2 ^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n - 1}}

u_{n}

là tổng

n

số hạng đầu của cấp số nhân

u_{1} = 1

q = \frac{1}{2}

lim u_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

Vậy chọn B.

3Cách 3. Tính vài số hạng đầu, nhận ra quy luật

Định hướng. Tính trực tiếp vài số hạng để thấy khoảng cách tới giới hạn.

u_{1} = \frac{2}{2} = 1

u_{2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

u_{3} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}

u_{4} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}

2 - u_{1} = 1

2 - u_{2} = \frac{1}{2}

2 - u_{3} = \frac{1}{4}

2 - u_{4} = \frac{1}{8}

\Rightarrow 2 - u_{n} = \frac{1}{2 ^{n - 1}} \to 0

Vậy $u_{n}$ tiến tới $2$ ; chọn B.

Nhận xét. Quy luật đoán ở Cách 3 được Cách 1 chứng minh chặt chẽ; Cách 2 cho thấy $u_{n}$ chính là tổng riêng của $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra ngay tổng cấp số nhân lùi

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

, bấm công thức

\frac{u _{1}}{1 - q}

là xong.

Đáp số. B.

lim u_{n} = 2

Sai lầm thường gặp. Chia tử và mẫu cho

2^{n}

nhưng coi tử chỉ là

2^{n}

nên ra

1

(chọn A). Hoặc tính tổng tử là

2^{n} - 1

(quên số hạng đầu là

2

chứ không phải

1

) rồi ra

lim u_{n} = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lim \frac{a + a ^{2} + \dots + a ^{n}}{a ^{n}} = \frac{a}{a - 1}

với

a > 1

; thử với

a = 3

được

\frac{3}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.20★Trang 123— Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

5.20 (trang 123). Cho cấp số nhân lùi vô hạn

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{2}{3 ^{n}}

. Tổng của cấp số nhân này bằng
A.

3

.
B.

2

.
C.

1

.
D.

6

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân lùi vô hạn $(∣ q ∣ < 1)$ có tổng $S = u_{1} + u_{2} + \dots = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .
$S = lim S_{n}$ với $S_{n}$ là tổng $n$ số hạng đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số hạng tổng quát nên phải đọc ra số hạng đầu

u_{1}

và công bội

q

rồi áp công thức

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

. Chỉ cần cẩn thận:

u_{1} = \frac{2}{3}

chứ không phải

2

(dãy bắt đầu từ

n = 1

). Bẫy: lấy

u_{0} = 2

làm số hạng đầu sẽ ra

3

(phương án A).

1Cách 1. Áp công thức

S = \frac{u _{1}}{1 - q}

Định hướng. Tìm $u_{1}$ và $q$ từ công thức số hạng tổng quát.

u_{1} = \frac{2}{3}

q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2}{3 ^{n + 1}} \cdot \frac{3 ^{n}}{2} = \frac{1}{3}

S = \frac{u _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = 1

Vậy $S = 1$ . Chọn C.

2Cách 2. Đặt thừa số chung, dùng tổng quen thuộc

Định hướng. Rút $2$ ra ngoài, còn lại tổng $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$

S = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots)

\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

S = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

Vậy chọn C.

3Cách 3. Tổng riêng dạng hiệu liên tiếp (khử liên tiếp)

Định hướng. Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy $\frac{1}{3 ^{n}}$ .

\frac{2}{3 ^{k}} = \frac{3 - 1}{3 ^{k}} = \frac{1}{3 ^{k - 1}} - \frac{1}{3 ^{k}}

S_{n} = (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{9}) + \dots + (\frac{1}{3 ^{n - 1}} - \frac{1}{3 ^{n}}) = 1 - \frac{1}{3 ^{n}}

S = lim S_{n} = 1 - 0 = 1

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 không cần nhớ công thức tổng lùi vô hạn mà vẫn thấy rõ $S_{n}$ tiến tới $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc

u_{1} = \frac{2}{3}

q = \frac{1}{3}

rồi thay công thức, mất chưa tới nửa phút.

Đáp số. C.

S = 1

Sai lầm thường gặp. Lấy số hạng đầu là

2

(ứng với

n = 0

) nên ra

S = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3

— sai vì dãy

(u_{n})

bắt đầu từ

u_{1} = \frac{2}{3}

. Lấy

q = 3

(nhầm với cơ số ở mẫu) thì cấp số không lùi, công thức không áp dụng được.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

n \geq 1 \sum \frac{a}{b ^{n}} = \frac{a}{b - 1}

với

b > 1

; ở đây

\frac{2}{3 - 1} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.21★★Trang 123— Giới hạn tại vô cực dạng

\infty - \infty

chứa căn

5.21 (trang 123). Cho hàm số

f (x) = x + 1 - x + 2

. Mệnh đề đúng là
A.

x \to + \infty lim f (x) = - \infty

.
B.

x \to + \infty lim f (x) = 0

.
C.

x \to + \infty lim f (x) = - 1

.
D.

x \to + \infty lim f (x) = - \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

$A - B = \frac{A - B}{A + B}$ $(A, B \geq 0$ , không đồng thời bằng $0)$ .
Nếu $lim g (x) = \pm \infty$ thì $lim \frac{c}{g ( x )} = 0$ .
Nguyên lí kẹp cho giới hạn hàm số.

🧠 Phân tích tư duy

Hai căn cùng bậc, cùng hệ số nên có dạng vô định

\infty - \infty

: phải nhân liên hợp để khử. Sau khi nhân, tử còn hằng số, mẫu ra vô cực. Bẫy: tách thành

lim x + 1 - lim x + 2 = \infty - \infty

rồi kết luận bừa.

1Cách 1. Nhân liên hợp

Định hướng. Khử dạng $\infty - \infty$ bằng lượng liên hợp $x + 1 + x + 2$ .

f (x) = \frac{( x + 1 ) - ( x + 2 )}{x + 1 + x + 2} = \frac{- 1}{x + 1 + x + 2}

x \to + \infty lim (x + 1 + x + 2) = + \infty

\Rightarrow x \to + \infty lim f (x) = 0

Vậy $x \to + \infty lim f (x) = 0$ . Chọn B.

2Cách 2. Kẹp giữa hai hàm

Định hướng. Sau khi liên hợp, chặn $∣ f (x) ∣$ bởi một hàm dần về $0$ .

∣ f (x) ∣ = \frac{1}{x + 1 + x + 2} < \frac{1}{2 x + 1}

với

x > - 1

0 < ∣ f (x) ∣ < \frac{1}{2 x + 1}

x \to + \infty lim \frac{1}{2 x + 1} = 0

\Rightarrow x \to + \infty lim ∣ f (x) ∣ = 0 \Rightarrow x \to + \infty lim f (x) = 0

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử giá trị lớn (máy tính cầm tay)

Định hướng. Nhập $X + 1 - X + 2$ , CALC với $X$ rất lớn.

X = 1 0^{4}

f \approx - 0, 005

X = 1 0^{6}

f \approx - 0, 0005

X = 1 0^{8}

f \approx - 0, 00005

Vậy giá trị dần về $0$ ; loại A, C, D, chọn B.

Nhận xét. Máy tính chỉ để dò phương án; lời giải tự luận phải trình bày Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần nhân liên hợp là tử còn

- 1

, kết luận ngay.

Đáp số. B.

x \to + \infty lim f (x) = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

lim f (x) = lim x + 1 - lim x + 2

rồi “trừ hai vô cực” ra

0

hoặc

- \infty

— phép trừ giới hạn chỉ dùng được khi hai giới hạn hữu hạn. Nhân liên hợp nhưng viết tử thành

(x + 1) + (x + 2)

nên ra

- \infty

🚀 Mở rộng. Với

f (x) = x^{2} + x - x

thì liên hợp xong tử còn

x

chứ không còn hằng số, giới hạn tại

+ \infty

bằng

\frac{1}{2}

— thử làm để thấy khác biệt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.22★★Trang 123— Giới hạn một bên của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

5.22 (trang 123). Cho hàm số

f (x) = \frac{x - x ^{2}}{∣ x ∣}

. Khi đó

x \to 0^{+} lim f (x)

bằng
A.

0

.
B.

1

.
C.

+ \infty

.
D.

- 1

Kiến thức cần nhớ

$∣ x ∣ = x$ khi $x > 0$ ; $∣ x ∣ = - x$ khi $x < 0$ .
Khi $x \to x_{0}^{+}$ chỉ xét các giá trị $x > x_{0}$ .
Hàm đa thức: $x \to x_{0} lim P (x) = P (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có

∣ x ∣

và

x \to 0^{+}

nên việc đầu tiên là phá dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của

x

x > 0

nên

∣ x ∣ = x

. Sau đó rút gọn phân thức rồi thay số. Bẫy: thay thẳng

x = 0

\frac{0}{0}

rồi kết luận

0

1Cách 1. Phá trị tuyệt đối rồi rút gọn

Định hướng. Với $x > 0$ thay $∣ x ∣ = x$ .

x > 0 \Rightarrow f (x) = \frac{x - x ^{2}}{x} = \frac{x ( 1 - x )}{x} = 1 - x

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim (1 - x) = 1

Vậy $x \to 0^{+} lim f (x) = 1$ . Chọn B.

2Cách 2. Tách thành hai phân thức quen thuộc

Định hướng. Tách $f (x) = \frac{x}{∣ x ∣} - \frac{x ^{2}}{∣ x ∣}$ , mỗi phần có giới hạn rõ ràng.

\frac{x ^{2}}{∣ x ∣} = \frac{∣ x ∣ ^{2}}{∣ x ∣} = ∣ x ∣ \Rightarrow f (x) = \frac{x}{∣ x ∣} - ∣ x ∣

x \to 0^{+} lim \frac{x}{∣ x ∣} = 1

x \to 0^{+} lim ∣ x ∣ = 0

x \to 0^{+} lim f (x) = 1 - 0 = 1

Vậy chọn B.

3Cách 3. Dùng dãy số

x_{n} = \frac{1}{n} \to 0^{+}

Định hướng. Theo định nghĩa giới hạn bên phải, xét một dãy dương tiến về $0$ .

f (\frac{1}{n}) = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}{\frac{1}{n}} = 1 - \frac{1}{n}

lim (1 - \frac{1}{n}) = 1

Vậy giới hạn bằng $1$ (với mọi dãy $x_{n} \to 0^{+}$ đều có $f (x_{n}) = 1 - x_{n} \to 1$ ); chọn B.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy thêm: $x \to 0^{-} lim f (x) = - 1$ , nên $x \to 0 lim f (x)$ không tồn tại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phá trị tuyệt đối theo chiều

x \to 0^{+}

là rút gọn được ngay, không thể sai.

Đáp số. B.

x \to 0^{+} lim f (x) = 1

Sai lầm thường gặp. Phá

∣ x ∣ = - x

(nhầm chiều) nên ra

- 1

(phương án D) — đó là giới hạn bên trái. Thay

x = 0

vào tử được

0

rồi chọn A mà quên mẫu cũng bằng

0

🚀 Mở rộng. Tính thêm

x \to 0^{-} lim \frac{x - x ^{2}}{∣ x ∣} = - 1

và rút ra kết luận về

x \to 0 lim f (x)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.23★★Trang 123— Tính liên tục của hàm số trên tập xác định

5.23 (trang 123). Cho hàm số

f (x) = \frac{x + 1}{∣ x + 1∣}

. Hàm số

f (x)

liên tục trên
A.

(- \infty; + \infty)

.
B.

(- \infty; - 1]

.
C.

(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)

.
D.

[- 1; + \infty)

Kiến thức cần nhớ

Hàm phân thức, hàm chứa căn, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Hàm số không xác định tại $x_{0}$ thì không liên tục tại $x_{0}$ .
Hàm hằng liên tục trên $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu chứa

∣ x + 1∣

nên hàm không xác định tại

x = - 1

: mọi phương án chứa

- 1

đều loại ngay. Trên phần còn lại, phá trị tuyệt đối thì

f

là hàm hằng. Bẫy: thấy biểu thức “đơn giản” rồi chọn A.

1Cách 1. Tìm tập xác định rồi dùng định lí về tính liên tục

Định hướng. Hàm $f$ liên tục trên các khoảng của tập xác định.

∣ x + 1∣ \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = - 1

D = (- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)

x + 1

và

∣ x + 1∣

liên tục trên

R

, mẫu khác

0

trên

D

\Rightarrow f

liên tục trên từng khoảng của

D

Vậy $f$ liên tục trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ . Chọn C.

2Cách 2. Phá trị tuyệt đối, đưa về hàm hằng từng khúc

Định hướng. Viết lại $f$ theo từng phía của $- 1$ .

x > - 1

∣ x + 1∣ = x + 1 \Rightarrow f (x) = 1

x < - 1

∣ x + 1∣ = - (x + 1) \Rightarrow f (x) = - 1

f

là hàm hằng trên mỗi khoảng

(- \infty; - 1)

(- 1; + \infty)

;

f (- 1)

không xác định

Vậy chọn C.

3Cách 3. Loại trừ phương án

Định hướng. Chỉ cần kiểm tra điểm $x = - 1$ có thuộc tập đang xét hay không.

A, B, D đều chứa

x = - 1

, mà

f (- 1) = \frac{0}{0}

không xác định

\Rightarrow

loại A, B, D

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 2 còn cho thấy $x \to - 1^{+} lim f (x) = 1 \neq = - 1 = x \to - 1^{-} lim f (x)$ : dù có gán $f (- 1)$ bằng bao nhiêu cũng không làm $f$ liên tục tại $- 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thấy

x = - 1

làm mẫu bằng

0

là loại ngay ba phương án chứa

- 1

Đáp số. C.

f

liên tục trên

(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)

(tức trên từng khoảng

(- \infty; - 1)

và

(- 1; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Chọn B hoặc D vì nghĩ “đoạn chứa đầu mút vẫn liên tục một phía” — sai vì

f (- 1)

không tồn tại. Chọn A vì quên điều kiện mẫu khác

0

🚀 Mở rộng. Hàm

g (x) = \frac{x ^{2} - 1}{∣ x + 1∣}

thì sao? Giới hạn hai bên tại

- 1

là

- 2

và

2

— vẫn không thể bổ sung để liên tục.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.24★★Trang 123— Tìm tham số để hàm số liên tục tại một điểm

5.24 (trang 123). Cho hàm số

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} a khi x \neq = 1 khi x = 1

. Hàm số

f (x)

liên tục tại

x = 1

khi
A.

a = 0

.
B.

a = 3

.
C.

a = - 1

.
D.

a = 1

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0} \Leftrightarrow x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Tam thức $a x^{2} + b x + c$ có $a + b + c = 0$ thì có nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{c}{a}$ .
Dạng $\frac{0}{0}$ của phân thức: phân tích nhân tử rồi giản ước.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm cho bởi hai công thức, điểm nối là

x = 1

: liên tục khi

x \to 1 lim f (x) = f (1) = a

. Giới hạn có dạng

\frac{0}{0}

nên phải phân tích tử thành nhân tử để giản ước

x - 1

. Bẫy: thay

x = 1

vào tử được

0

rồi chọn

a = 0

1Cách 1. Phân tích nhân tử rồi giản ước

Định hướng. Tính $x \to 1 lim f (x)$ rồi cho bằng $f (1) = a$ .

x^{2} + x - 2

Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9

, nghiệm

x = \frac{- 1 \pm 3}{2}

, tức

x = 1

;

x = - 2

x^{2} + x - 2 = x^{2} + 2 x - x - 2 = x (x + 2) - (x + 2) = (x - 1) (x + 2)

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 2) = 3

f

liên tục tại

1 \Leftrightarrow a = f (1) = 3

Vậy $a = 3$ . Chọn B.

2Cách 2. Đổi biến

x = 1 + h

h \to 0

Định hướng. Dời điểm nối về $0$ để thấy tử chứa sẵn thừa số $h$ .

x^{2} + x - 2 = (1 + h)^{2} + (1 + h) - 2 = h^{2} + 3 h

\frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} = \frac{h ^{2} + 3 h}{h} = h + 3

(h \neq = 0)

x \to 1 lim f (x) = h \to 0 lim (h + 3) = 3 = a

Vậy $a = 3$ ; chọn B.

3Cách 3. Nhìn đồ thị

Định hướng. Khi $x \neq = 1$ , đồ thị $f$ là đường thẳng bị khuyết một điểm; phải “lấp” đúng lỗ đó.

x \neq = 1

f (x) = x + 2

, đồ thị là đường thẳng

y = x + 2

bỏ đi điểm

(1; 3)

đồ thị liền nét tại

x = 1

\Leftrightarrow

điểm

(1; a)

trùng

(1; 3)

Vậy $a = 3$ ; chọn B.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về một ý: $f (x) = x + 2$ khi $x \neq = 1$ , nên giá trị “đúng” tại $1$ là $1 + 2 = 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhẩm

a + b + c = 1 + 1 - 2 = 0

là biết tử có nhân tử

x - 1

, giản ước còn

x + 2

, thay

x = 1

3

Đáp số. B.

a = 3

Sai lầm thường gặp. Thay

x = 1

vào tử được

0

rồi kết luận

a = 0

(chọn A) — quên rằng mẫu cũng bằng

0

, đây là dạng vô định. Phân tích nhầm

x^{2} + x - 2 = (x + 1) (x - 2)

sẽ không giản ước được với

x - 1

🚀 Mở rộng. Tìm

a

để

g (x) = \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

(x \neq = 1)

g (1) = a

liên tục tại

1

(đáp số

a = 3

) — hai bài khác nhau nhưng cùng một đáp số, vì sao?

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.25★★Trang 124— Giới hạn dãy số bằng nguyên lí kẹp

5.25 (trang 124). Cho dãy số

(u_{n})

có tính chất

∣ u_{n} - 1∣ < \frac{2}{n}

. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Kiến thức cần nhớ

Nếu $∣ u_{n} - L ∣ \leq v_{n}$ và $lim v_{n} = 0$ thì $lim u_{n} = L$ .
Định nghĩa: $lim u_{n} = L \Leftrightarrow lim (u_{n} - L) = 0$ .
Nguyên lí kẹp: $a_{n} \leq u_{n} \leq b_{n}$ , $lim a_{n} = lim b_{n} = L \Rightarrow lim u_{n} = L$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho công thức

u_{n}

mà chỉ cho một bất đẳng thức chặn khoảng cách từ

u_{n}

tới

1

— dấu hiệu dùng nguyên lí kẹp hoặc định nghĩa giới hạn. Vì

\frac{2}{n} \to 0

nên khoảng cách đó phải dần về

0

. Bẫy: nghĩ rằng thiếu công thức

u_{n}

thì không kết luận được gì.

1Cách 1. Kẹp khoảng cách

∣ u_{n} - 1∣

Định hướng. Đưa về dãy $∣ u_{n} - 1∣$ bị kẹp giữa $0$ và $\frac{2}{n}$ .

0 \leq ∣ u_{n} - 1∣ < \frac{2}{n}

lim 0 = 0

lim \frac{2}{n} = 0

\Rightarrow lim ∣ u_{n} - 1∣ = 0 \Rightarrow lim (u_{n} - 1) = 0

\Rightarrow lim u_{n} = 1

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ .

2Cách 2. Kẹp trực tiếp

u_{n}

giữa hai dãy

Định hướng. Phá dấu giá trị tuyệt đối thành hai bất đẳng thức.

∣ u_{n} - 1∣ < \frac{2}{n} \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{n} < u_{n} < 1 + \frac{2}{n}

lim (1 - \frac{2}{n}) = 1

lim (1 + \frac{2}{n}) = 1

\Rightarrow lim u_{n} = 1

Vậy $n \to + \infty lim u_{n} = 1$ .

3Cách 3. Theo định nghĩa giới hạn

Định hướng. Chứng tỏ $∣ u_{n} - 1∣$ nhỏ hơn mọi số dương cho trước kể từ một số hạng nào đó.

cho

ε > 0

tuỳ ý, chọn

N > \frac{2}{ε}

n > N \Rightarrow ∣ u_{n} - 1∣ < \frac{2}{n} < \frac{2}{N} < ε

\Rightarrow lim (u_{n} - 1) = 0

Vậy $lim u_{n} = 1$ .

Nhận xét. Chẳng hạn muốn $∣ u_{n} - 1∣ < 0, 001$ chỉ cần $n > 2000$ — đây chính là ý nghĩa “ $u_{n}$ gần $1$ bao nhiêu cũng được”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng phá trị tuyệt đối thành kẹp hai phía, hai dãy chặn đều dần về

1

Đáp số.

n \to + \infty lim u_{n} = 1

Sai lầm thường gặp. Kết luận “không tìm được giới hạn vì không biết

u_{n}

” — sai, bất đẳng thức đã đủ để kẹp. Hoặc suy ra nhầm

lim u_{n} = 0

vì thấy

\frac{2}{n} \to 0

(đó là giới hạn của

u_{n} - 1

chứ không phải của

u_{n}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

∣ u_{n} - L ∣ \leq c \cdot q^{n}

với

0 < q < 1

(hoặc

\leq \frac{c}{n ^{k}}

k > 0

) thì

lim u_{n} = L

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.26★★Trang 124— Giới hạn dãy: phân thức, tổng cấp số nhân, nguyên lí kẹp

5.26 (trang 124). Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a)

u_{n} = \frac{n ^{2}}{3 n ^{2} + 7 n - 2}

;
b)

v_{n} = k = 0 \sum n \frac{3 ^{k} + 5 ^{k}}{6 ^{k}}

;
c)

w_{n} = \frac{sin n}{4 n}

Kiến thức cần nhớ

$lim \frac{1}{n ^{k}} = 0$ $(k > 0)$ ; $lim q^{n} = 0$ khi $∣ q ∣ < 1$ .
$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ $(q \neq = 1)$ .
Nguyên lí kẹp; $∣ sin n ∣ \leq 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu, ba kĩ thuật: a) phân thức bậc tử bằng bậc mẫu — chia cho lũy thừa cao nhất; b) mỗi số hạng tách được thành hai lũy thừa

(\frac{1}{2})^{k}

(\frac{5}{6})^{k}

nên

v_{n}

là tổng của hai cấp số nhân; c)

sin n

không có giới hạn nhưng bị chặn, còn

\frac{1}{4 n} \to 0

— dấu hiệu kẹp. Bẫy ở câu b: tổng bắt đầu từ

k = 0

nên mỗi cấp số có số hạng đầu bằng

1

1Cách 1. Biến đổi trực tiếp (chia lũy thừa cao nhất, tính tổng riêng, kẹp)

Định hướng. Mỗi câu đưa về các giới hạn cơ bản.

u_{n} = \frac{1}{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n ^{2}}}

lim u_{n} = \frac{1}{3 + 0 - 0} = \frac{1}{3}

v_{n} = k = 0 \sum n (\frac{1}{2})^{k} + k = 0 \sum n (\frac{5}{6})^{k}

v_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1 - ( \frac{5}{6} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{5}{6}} = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}] + 6 [1 - (\frac{5}{6})^{n + 1}]

lim v_{n} = 2 (1 - 0) + 6 (1 - 0) = 8

0 \leq ∣ w_{n} ∣ = \frac{∣ sin n ∣}{4 n} \leq \frac{1}{4 n}

lim \frac{1}{4 n} = 0 \Rightarrow lim ∣ w_{n} ∣ = 0 \Rightarrow lim w_{n} = 0

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $8$ ; c) $0$ .

2Cách 2. Dùng kết quả “khung”: tỉ hệ số, tổng lùi vô hạn, tích bị chặn

Định hướng. Nhận dạng mỗi dãy là một mẫu đã biết kết quả.

a) tử và mẫu cùng bậc

2

, hệ số của

n^{2}

ở tử là

1

, ở mẫu là

3

\Rightarrow lim u_{n} = \frac{1}{3}

lim v_{n} = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots) + (1 + \frac{5}{6} + (\frac{5}{6})^{2} + \dots)

lim v_{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = 2 + 6 = 8

w_{n} = \frac{1}{4 n} \cdot sin n

với

∣ sin n ∣ \leq 1

(bị chặn) và

lim \frac{1}{4 n} = 0

\Rightarrow lim w_{n} = 0

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $8$ ; c) $0$ .

3Cách 3. Đánh giá sai số tới giới hạn dự đoán

Định hướng. Dự đoán giới hạn $L$ , rồi chứng minh $∣ x_{n} - L ∣$ bị chặn bởi một dãy dần về $0$ .

u_{n} - \frac{1}{3} = \frac{3 n ^{2} - ( 3 n ^{2} + 7 n - 2 )}{3 ( 3 n ^{2} + 7 n - 2 )} = \frac{- ( 7 n - 2 )}{3 ( 3 n ^{2} + 7 n - 2 )}

u_{n} - \frac{1}{3} < \frac{7 n}{9 n ^{2}} = \frac{7}{9 n} \to 0 \Rightarrow lim u_{n} = \frac{1}{3}

8 - v_{n} = 2 (\frac{1}{2})^{n + 1} + 6 (\frac{5}{6})^{n + 1} = (\frac{1}{2})^{n} + 5 (\frac{5}{6})^{n} \to 0

\Rightarrow lim v_{n} = 8

∣ w_{n} - 0∣ \leq \frac{1}{4 n} \to 0 \Rightarrow lim w_{n} = 0

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $8$ ; c) $0$ .

Nhận xét. Cách 3 còn cho biết tốc độ hội tụ: ở câu b, sai số $5 (\frac{5}{6})^{n}$ giảm chậm hơn nhiều so với $(\frac{1}{2})^{n}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 để ra kết quả nhanh (nhất là câu b: hai tổng lùi vô hạn

2 + 6

), trình bày tự luận theo Cách 1.

Đáp số. a)

lim u_{n} = \frac{1}{3}

; b)

lim v_{n} = 8

; c)

lim w_{n} = 0

Sai lầm thường gặp. Câu b: coi số hạng đầu là

\frac{1}{2}

và

\frac{5}{6}

(quên

k = 0

) nên ra

1 + 5 = 6

. Câu c: viết

lim w_{n} = \frac{lim sin n}{lim 4 n}

— sai vì

sin n

không có giới hạn. Câu a: chia cho

n

thay vì

n^{2}

nên còn dạng

\frac{\infty}{\infty}

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu b:

k = 0 \sum \infty \frac{a ^{k} + b ^{k}}{c ^{k}} = \frac{c}{c - a} + \frac{c}{c - b}

khi

0 < a, b < c

; với

a = 3

b = 5

c = 6

được

2 + 6 = 8

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.27★★Trang 124— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

5.27 (trang 124). Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.
a)

1, (01)

;
b)

5, (132)

Kiến thức cần nhớ

$0, (a_{1} a_{2} \dots a_{k}) = \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{k}}{1 0 ^{k}} + \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{k}}{1 0 ^{2 k}} + \dots = \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{k}}{1 0 ^{k} - 1}$ .
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \frac{u _{1}}{1 - q}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phần tuần hoàn

0, 0101 \dots

là tổng một cấp số nhân lùi vô hạn — đó là chỗ nối với chương giới hạn. Công bội bằng

1 0^{- k}

với

k

là số chữ số của chu kì. Bẫy: nhầm chu kì của

1, (01)

là

1

chữ số.

1Cách 1. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Định hướng. Tách phần nguyên, phần tuần hoàn viết thành tổng lùi vô hạn.

1, (01) = 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{10 0 ^{2}} + \dots = 1 + \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = 1 + \frac{1}{99} = \frac{100}{99}

5, (132) = 5 + \frac{132}{1000} + \frac{132}{100 0 ^{2}} + \dots = 5 + \frac{\frac{132}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = 5 + \frac{132}{999}

5, (132) = 5 + \frac{44}{333} = \frac{1 665 + 44}{333} = \frac{1 709}{333}

Vậy a) $1, (01) = \frac{100}{99}$ ; b) $5, (132) = \frac{1 709}{333}$ .

2Cách 2. Nhân với

1 0^{k}

rồi trừ để khử phần tuần hoàn

Định hướng. Nhân với lũy thừa của $10$ bằng độ dài chu kì, hai số có cùng phần đuôi nên trừ đi hết.

x = 1, 0101 \dots

100 x = 101, 0101 \dots

100 x - x = 101 - 1 \Rightarrow 99 x = 100 \Rightarrow x = \frac{100}{99}

y = 5, 132132 \dots

1000 y = 5132, 132132 \dots

1000 y - y = 5132 - 5 \Rightarrow 999 y = 5127 \Rightarrow y = \frac{5 127}{999} = \frac{1 709}{333}

Vậy a) $\frac{100}{99}$ ; b) $\frac{1 709}{333}$ .

3Cách 3. Quy tắc “chu kì chia cho các chữ số

9

” và thử lại

Định hướng. Dùng công thức $0, (a_{1} \dots a_{k}) = \frac{a _{1} \dots a _{k}}{99 \dots 9}$ ( $k$ chữ số $9$ ), rồi chia ngược để kiểm tra.

1, (01) = 1 + \frac{1}{99} = \frac{100}{99}

thử:

100 : 99 = 1, 0101 \dots

5, (132) = 5 + \frac{132}{999} = \frac{5 127}{999} = \frac{1 709}{333}

thử:

1709 : 333 = 5, 132132 \dots

Vậy a) $\frac{100}{99}$ ; b) $\frac{1 709}{333}$ .

Nhận xét. Quy tắc ở Cách 3 chính là kết quả của Cách 1 viết gọn; nhớ rút gọn $\frac{5 127}{999}$ vì $5127$ và $999$ cùng chia hết cho $3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi đề hỏi trong chương giới hạn (đúng kiến thức cấp số nhân lùi); cần nhanh thì Cách 3.

Đáp số. a)

1, (01) = \frac{100}{99}

; b)

5, (132) = \frac{1 709}{333}

Sai lầm thường gặp. Câu a: coi chu kì là “

1

” nên viết

1, (01) = 1 + \frac{1}{90}

— sai, chu kì là

01

gồm

2

chữ số. Câu b: quên rút gọn

\frac{5 127}{999}

hoặc cộng nhầm phần nguyên

5 = \frac{5 \cdot 333}{333}

🚀 Mở rộng. Với số tuần hoàn tạp như

0, 1 (6)

thì tách

0, 1 + \frac{1}{10} \cdot 0, (6) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}

— thử tự làm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.28★★★Trang 124— Giới hạn hàm số: dạng

\frac{0}{0}

, dạng

\frac{L}{0}

, dạng

\frac{\infty}{\infty}

5.28 (trang 124). Tính các giới hạn sau:
a)

x \to 7 lim \frac{x + 2 - 3}{x - 7}

;
b)

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1}

;
c)

x \to 1 lim \frac{2 - x}{( 1 - x ) ^{2}}

;
d)

x \to - \infty lim \frac{x + 2}{4 x ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

$A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}$ ; $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ ; $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Nếu $lim f = L > 0$ , $lim g = 0$ và $g > 0$ gần $x_{0}$ thì $lim \frac{f}{g} = + \infty$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ ; khi $x \to - \infty$ thì $∣ x ∣ = - x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Thay thử giá trị để nhận dạng: a), b) ra

\frac{0}{0}

— khử bằng liên hợp hoặc nhân tử; c) ra

\frac{1}{0}

với mẫu luôn dương — giới hạn vô cực; d) dạng

\frac{\infty}{\infty}

tại

- \infty

. Bẫy lớn nhất ở câu d: đưa

x

ra khỏi căn phải được

∣ x ∣ = - x

vì

x < 0

1Cách 1. Biến đổi đại số (liên hợp, nhân tử, xét dấu, đưa

x

ra ngoài căn)

Định hướng. Khử dạng vô định rồi thay số.

\frac{x + 2 - 3}{x - 7} = \frac{( x + 2 ) - 9}{( x - 7 ) ( x + 2 + 3 )} = \frac{1}{x + 2 + 3}

x \to 7 lim \frac{1}{x + 2 + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1} = \frac{3}{2}

x \to 1 lim (2 - x) = 1 > 0

;

x \to 1 lim (1 - x)^{2} = 0

và

(1 - x)^{2} > 0

với

x \neq = 1

\Rightarrow x \to 1 lim \frac{2 - x}{( 1 - x ) ^{2}} = + \infty

x < 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 4 + \frac{1}{x ^{2}} = - x 4 + \frac{1}{x ^{2}}

\frac{x + 2}{4 x ^{2} + 1} = \frac{x ( 1 + \frac{2}{x} )}{- x 4 + \frac{1}{x ^{2}}} = - \frac{1 + \frac{2}{x}}{4 + \frac{1}{x ^{2}}}

x \to - \infty lim \frac{x + 2}{4 x ^{2} + 1} = - \frac{1 + 0}{4 + 0} = - \frac{1}{2}

Vậy a) $\frac{1}{6}$ ; b) $\frac{3}{2}$ ; c) $+ \infty$ ; d) $- \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Đổi biến để đưa về giới hạn quen thuộc

Định hướng. Mỗi câu chọn một ẩn phụ làm biến mất căn hoặc dời điểm về $0$ / về $+ \infty$ .

t = x + 2

x = t^{2} - 2

x \to 7 \Leftrightarrow t \to 3

\frac{t - 3}{t ^{2} - 9} = \frac{1}{t + 3} \to \frac{1}{6}

x = 1 + h

h \to 0

\frac{( 1 + h ) ^{3} - 1}{( 1 + h ) ^{2} - 1} = \frac{3 h + 3 h ^{2} + h ^{3}}{2 h + h ^{2}} = \frac{3 + 3 h + h ^{2}}{2 + h} \to \frac{3}{2}

t = 1 - x \to 0

\frac{2 - x}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{1 + t}{t ^{2}}

1 + t \to 1 > 0

t^{2} \to 0^{+} \Rightarrow \frac{1 + t}{t ^{2}} \to + \infty

t = - x \to + \infty

\frac{2 - t}{4 t ^{2} + 1} = \frac{\frac{2}{t} - 1}{4 + \frac{1}{t ^{2}}} \to \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2}

Vậy a) $\frac{1}{6}$ ; b) $\frac{3}{2}$ ; c) $+ \infty$ ; d) $- \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng bảng giá trị (máy tính cầm tay)

Định hướng. Nhập từng biểu thức, CALC tại giá trị rất gần điểm cần tính (hoặc rất lớn về trị tuyệt đối).

x = 7, 0001

\approx 0, 166666

\approx \frac{1}{6}

x = 1, 0001

\approx 1, 500025

\approx \frac{3}{2}

x = 1, 001

\approx 999000

;

x = 0, 999

\approx 1001000

— tăng vô hạn

x = - 1 0^{6}

\approx - 0, 499999

\approx - \frac{1}{2}

Vậy kết quả khớp: a) $\frac{1}{6}$ ; b) $\frac{3}{2}$ ; c) $+ \infty$ ; d) $- \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Máy tính chỉ dùng để kiểm tra; ở câu d, nếu quên dấu “ $-$ ” khi đưa $x$ ra khỏi căn sẽ ra $\frac{1}{2}$ , bảng giá trị báo sai ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đúng khuôn tự luận), rồi CALC như Cách 3 mất 10 giây để chắc chắn dấu ở câu d.

Đáp số. a)

\frac{1}{6}

; b)

\frac{3}{2}

; c)

+ \infty

; d)

- \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu d: viết

4 x^{2} + 1 = x 4 + \frac{1}{x ^{2}}

khi

x \to - \infty

nên ra

\frac{1}{2}

— sai dấu. Câu c: tưởng dạng

\frac{1}{0}

là “không tồn tại” hoặc ra

- \infty

mà không xét dấu mẫu

(1 - x)^{2} > 0

. Câu b: giản ước xong quên thay

x = 1

vào

x + 1

mà vội kết luận

3

🚀 Mở rộng. Đổi câu d thành

x \to + \infty

thì được

\frac{1}{2}

; nên

x \to \infty lim \frac{x + 2}{4 x ^{2} + 1}

không tồn tại — hàm có hai tiệm cận ngang

y = \pm \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.29★★Trang 124— Giới hạn một bên: trị tuyệt đối và dạng

\frac{L}{0 ^{+}}

5.29 (trang 124). Tính các giới hạn một bên:
a)

x \to 3^{+} lim \frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣}

;
b)

x \to 1^{-} lim \frac{x}{1 - x}

Kiến thức cần nhớ

$∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ .
Nếu $lim f = L > 0$ , $lim g = 0$ , $g > 0$ thì $lim \frac{f}{g} = + \infty$ .
$x \to x_{0}^{-}$ : chỉ xét $x < x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

a) Có

∣ x - 3∣

và

x \to 3^{+}

: phá trị tuyệt đối theo dấu

x - 3 > 0

rồi giản ước. b) Thay

x = 1

được

\frac{1}{0}

, mẫu là căn nên luôn dương: giới hạn là

+ \infty

. Bẫy: ở câu b lo lắng “căn âm” — không đâu,

x \to 1^{-}

nên

1 - x > 0

1Cách 1. Phá trị tuyệt đối và xét dấu mẫu

Định hướng. Làm rõ dấu từng biểu thức theo phía đang xét.

x > 3 \Rightarrow ∣ x - 3∣ = x - 3

\frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3

x \to 3^{+} lim (x + 3) = 6

x \to 1^{-} lim x = 1 > 0

;

x \to 1^{-} lim 1 - x = 0

và

1 - x > 0

với

x < 1

\Rightarrow x \to 1^{-} lim \frac{x}{1 - x} = + \infty

Vậy a) $6$ ; b) $+ \infty$ .

2Cách 2. Đổi biến về giới hạn tại

0^{+}

Định hướng. Đặt ẩn phụ dương dần về $0$ .

x = 3 + h

h \to 0^{+}

\frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{∣ h ∣} = \frac{6 h + h ^{2}}{h} = 6 + h \to 6

t = 1 - x

x = 1 - t^{2}

x \to 1^{-} \Leftrightarrow t \to 0^{+}

\frac{x}{1 - x} = \frac{1 - t ^{2}}{t} = \frac{1}{t} - t \to + \infty

Vậy a) $6$ ; b) $+ \infty$ .

3Cách 3. Dùng dãy số theo định nghĩa

Định hướng. Lấy dãy cụ thể tiến về điểm từ đúng phía, tính dãy giá trị hàm.

a) Với mọi dãy

x_{n} \to 3

x_{n} > 3

f (x_{n}) = x_{n} + 3 \to 6

; chẳng hạn

x_{n} = 3 + \frac{1}{n}

cho

f (x_{n}) = 6 + \frac{1}{n}

b) Với mọi dãy

x_{n} \to 1

x_{n} < 1

1 - x_{n} \to 0^{+}

x_{n} \to 1

\Rightarrow f (x_{n}) \to + \infty

chẳng hạn

x_{n} = 1 - \frac{1}{n ^{2}}

f (x_{n}) = (1 - \frac{1}{n ^{2}}) n = n - \frac{1}{n} \to + \infty

Vậy a) $6$ ; b) $+ \infty$ .

Nhận xét. Ở câu a, giới hạn bên trái là $x \to 3^{-} lim (- (x + 3)) = - 6$ , nên $x \to 3 lim$ không tồn tại — đó là lí do đề chỉ hỏi một bên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phá trị tuyệt đối/ xét dấu mẫu là ra ngay, hai dòng mỗi câu.

Đáp số. a)

6

; b)

+ \infty

Sai lầm thường gặp. Câu a: phá

∣ x - 3∣ = 3 - x

(nhầm phía) nên ra

- 6

. Câu b: kết luận “không tồn tại” vì mẫu bằng

0

, hoặc ra

- \infty

mà không để ý căn luôn dương.

🚀 Mở rộng. Tính

x \to 3^{-} lim \frac{x ^{2} - 9}{∣ x - 3∣}

và

x \to 1^{-} lim \frac{x - 1}{1 - x}

(đáp số

- 6

và

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.30★★Trang 124— Chứng minh giới hạn không tồn tại

5.30 (trang 124). Chứng minh rằng giới hạn

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

không tồn tại.

Kiến thức cần nhớ

$x \to x_{0} lim f (x) = L \Leftrightarrow x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ .
Nếu $x \to x_{0} lim f (x) = L$ thì với mọi dãy $x_{n} \to x_{0}$ $(x_{n} \neq = x_{0})$ ta có $f (x_{n}) \to L$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có

∣ x ∣

và

x \to 0

theo cả hai phía: dấu của

x

đổi nên biểu thức nhận hai giá trị khác nhau. Chỉ cần chỉ ra hai giới hạn một bên khác nhau. Bẫy: rút gọn

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

cho mọi

x

1Cách 1. So sánh hai giới hạn một bên

Định hướng. Tính giới hạn trái và phải tại $0$ .

x > 0

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{x}{x} = 1 \Rightarrow x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1

x < 0

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{- x}{x} = - 1 \Rightarrow x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1

1 \neq = - 1

Vậy $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}$ không tồn tại.

2Cách 2. Phản chứng bằng hai dãy số

Định hướng. Giả sử giới hạn bằng $L$ ; hai dãy khác nhau cùng dần về $0$ phải cho cùng giới hạn $L$ .

x_{n} = \frac{1}{n} \to 0

f (x_{n}) = 1 \Rightarrow L = 1

y_{n} = - \frac{1}{n} \to 0

f (y_{n}) = - 1 \Rightarrow L = - 1

1 = L = - 1

: vô lí

Vậy giới hạn không tồn tại.

3Cách 3. Đọc đồ thị

Định hướng. Đồ thị $y = \frac{∣ x ∣}{x}$ là hai tia nằm ngang tách rời tại $x = 0$ .

y = 1

khi

x > 0

;

y = - 1

khi

x < 0

khi

x

tiến về

0

từ bên phải, điểm trên đồ thị tiến về

(0; 1)

; từ bên trái tiến về

(0; - 1)

hai điểm khác nhau

\Rightarrow

không có một số

L

chung

Vậy giới hạn không tồn tại.

Nhận xét. Hàm $\frac{∣ x ∣}{x}$ (hàm “dấu” của $x$ ) là ví dụ chuẩn cho giới hạn một bên tồn tại nhưng giới hạn hai bên không tồn tại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đây đúng là khuôn chứng minh giới hạn không tồn tại của SGK — hai giới hạn một bên khác nhau.

Đáp số. Vì

x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1 \neq = - 1 = x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x}

nên giới hạn không tồn tại.

Sai lầm thường gặp. Rút gọn

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

cho mọi

x \neq = 0

— sai với

x < 0

. Hoặc chỉ tính một phía rồi kết luận giới hạn bằng

1

🚀 Mở rộng. Tìm

a

để

x \to 0 lim (\frac{∣ x ∣}{x} + a \cdot \frac{x}{∣ x ∣})

tồn tại (đáp số

a = - 1

, khi đó biểu thức luôn bằng

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.31★★Trang 124— Chứng minh hàm số gián đoạn tại một điểm

5.31 (trang 124). Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.
a)

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} 1 khi x \neq = 0 khi x = 0

tại điểm

x = 0

;
b)

g (x) = {1 + x 2 - x khi x < 1 khi x \geq 1

tại điểm

x = 1

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0} \Leftrightarrow x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .
$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ , $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ .
Giới hạn tồn tại khi hai giới hạn một bên bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm liên tục tại

x_{0}

đòi hỏi đủ ba điều:

f (x_{0})

xác định,

x \to x_{0} lim f (x)

tồn tại (hữu hạn), và hai số đó bằng nhau. Chỉ cần chỉ ra một điều bị vi phạm. Câu a vi phạm “giới hạn tồn tại” (vì

\frac{1}{x}

ra vô cực), câu b vi phạm vì hai giới hạn một bên lệch nhau. Bẫy: chỉ so

f (x_{0})

với một giới hạn một bên.

1Cách 1. Chỉ ra giới hạn tại điểm đó không tồn tại

Định hướng. Tính các giới hạn một bên tại điểm đã cho.

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty

\Rightarrow x \to 0 lim f (x)

không tồn tại (hữu hạn)

\Rightarrow f

gián đoạn tại

x = 0

x \to 1^{-} lim g (x) = x \to 1^{-} lim (1 + x) = 2

;

x \to 1^{+} lim g (x) = x \to 1^{+} lim (2 - x) = 1

2 \neq = 1 \Rightarrow x \to 1 lim g (x)

không tồn tại

\Rightarrow g

gián đoạn tại

x = 1

Vậy $f$ gián đoạn tại $0$ và $g$ gián đoạn tại $1$ vì giới hạn của hàm tại điểm đó không tồn tại.

2Cách 2. Dùng dãy số:

f (x_{n})

không dần tới

f (x_{0})

Định hướng. Nếu liên tục thì mọi dãy $x_{n} \to x_{0}$ đều cho $f (x_{n}) \to f (x_{0})$ ; tìm một dãy vi phạm.

x_{n} = \frac{1}{n} \to 0

f (x_{n}) = n \to + \infty \neq = 1 = f (0)

x_{n} = 1 - \frac{1}{n} \to 1

g (x_{n}) = 2 - \frac{1}{n} \to 2 \neq = 1 = g (1)

Vậy cả hai hàm đều gián đoạn tại điểm đã cho.

3Cách 3. Nhìn đồ thị

Định hướng. Hàm liên tục tại $x_{0}$ khi đồ thị “liền nét” qua điểm có hoành độ $x_{0}$ .

a) đồ thị

y = \frac{1}{x}

gồm hai nhánh hypebol chạy ra vô cực hai bên trục tung; điểm

(0; 1)

đứng riêng lẻ, không nối với nhánh nào

b) bên trái

x = 1

đồ thị là tia của

y = 1 + x

tiến tới

(1; 2)

; bên phải là tia

y = 2 - x

bắt đầu từ

(1; 1)

đồ thị bị “nhảy” một đoạn

2 - 1 = 1

tại

x = 1

Vậy đồ thị hai hàm bị đứt tại điểm đã cho, nên chúng gián đoạn tại đó.

Nhận xét. Câu b là gián đoạn kiểu “bước nhảy”; câu a là gián đoạn “vô cực” — việc gán $f (0) = 1$ không cứu được vì nhánh đồ thị không tiến về số hữu hạn nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng khuôn SGK, chỉ cần tính giới hạn một bên và kết luận.

Đáp số. a)

x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty

nên

f

không có giới hạn hữu hạn tại

0

, gián đoạn tại

0

. b)

x \to 1^{-} lim g (x) = 2 \neq = 1 = x \to 1^{+} lim g (x)

nên

g

gián đoạn tại

1

Sai lầm thường gặp. Câu b: chỉ so

g (1) = 1

với

x \to 1^{+} lim g (x) = 1

rồi kết luận “liên tục” — quên giới hạn bên trái. Câu a: viết

x \to 0 lim \frac{1}{x} = \infty \neq = 1

là chưa chuẩn, vì hai phía ra

+ \infty

và

- \infty

khác nhau.

🚀 Mở rộng. Sửa công thức nhánh phải của

g

thành

3 - x

thì

g

liên tục tại

1

; tổng quát nhánh phải

c - x

cần

c = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 5.32★★Trang 124— Xét tính liên tục của hàm nhiều công thức (bài toán thực tế)

5.32 (trang 124). Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách

r

tính từ tâm Trái Đất là

F (r) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{GM r}{R ^{3}} \frac{GM}{r ^{2}} khi r < R khi r \geq R

trong đó

M

và

R

lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất,

G

là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số

F (r)

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0} \Leftrightarrow x \to x_{0}^{-} lim f (x) = x \to x_{0}^{+} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Hàm đa thức liên tục trên $R$ ; hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm cho bởi hai công thức với điểm nối

r = R

; mỗi công thức đều là hàm sơ cấp liên tục trên khoảng của nó. Vậy chỉ còn kiểm tra tại

r = R

(với

G

M

R

là các hằng số dương). Bẫy: coi

G

M

R

là biến, hoặc quên xét điểm nối.

1Cách 1. Xét từng khoảng và điểm nối

Định hướng. Khoảng cách $r > 0$ ; kiểm tra lần lượt $(0; R)$ , $(R; + \infty)$ và $r = R$ .

0 < r < R

F (r) = \frac{GM}{R ^{3}} \cdot r

là hàm bậc nhất

\Rightarrow

liên tục

r > R

F (r) = \frac{GM}{r ^{2}}

là phân thức xác định với

r \neq = 0

\Rightarrow

liên tục

F (R) = \frac{GM}{R ^{2}}

r \to R^{-} lim F (r) = r \to R^{-} lim \frac{GM r}{R ^{3}} = \frac{GM R}{R ^{3}} = \frac{GM}{R ^{2}}

r \to R^{+} lim F (r) = r \to R^{+} lim \frac{GM}{r ^{2}} = \frac{GM}{R ^{2}}

\Rightarrow r \to R lim F (r) = F (R)

F

liên tục tại

R

Vậy hàm số $F (r)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

2Cách 2. Hai công thức “khớp nhau” tại điểm nối

Định hướng. Hai hàm thành phần đều liên tục tại chính $R$ , nên chỉ cần chúng cho cùng một giá trị tại $R$ .

F_{1} (r) = \frac{GM r}{R ^{3}}

và

F_{2} (r) = \frac{GM}{r ^{2}}

liên tục trên

(0; + \infty)

F_{1} (R) = \frac{GM R}{R ^{3}} = \frac{GM}{R ^{2}} = F_{2} (R)

F = F_{1}

trên

(0; R)

F = F_{2}

trên

[R; + \infty)

, hai mảnh gặp nhau tại cùng giá trị

Vậy $F$ liên tục trên $(0; + \infty)$ .

3Cách 3. Đồ thị và ý nghĩa vật lí

Định hướng. Vẽ đồ thị $F (r)$ để thấy hai mảnh nối liền tại $r = R$ .

0 < r < R

: đoạn thẳng đi lên từ gốc

O

tới điểm

(R; \frac{GM}{R ^{2}})

r \geq R

: nhánh giảm

\frac{GM}{r ^{2}}

xuất phát đúng từ điểm

(R; \frac{GM}{R ^{2}})

đồ thị liền nét, lực lớn nhất tại mặt đất

r = R

Vậy $F$ liên tục trên $(0; + \infty)$ (xem hình).

Nhận xét. Về vật lí: đi từ trong lòng đất ra ngoài, lực hấp dẫn thay đổi dần dần, không có bước nhảy nào tại bề mặt — đúng như tính liên tục của $F$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trình bày đủ ba giá trị

F (R)

, giới hạn trái, giới hạn phải — đúng thang điểm.

Đáp số. Hàm số

F (r)

liên tục trên

(0; + \infty)

(liên tục tại mọi

r > 0

, kể cả tại

r = R

vì

r \to R lim F (r) = F (R) = \frac{GM}{R ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Chỉ tính

r \to R^{+} lim F (r) = F (R)

rồi kết luận liên tục — thiếu giới hạn bên trái. Rút gọn sai

\frac{GM R}{R ^{3}} = \frac{GM}{R ^{3}}

nên tưởng hàm gián đoạn.

🚀 Mở rộng. Nếu xét cả

r = 0

(tâm Trái Đất) thì

F (0) = 0 = r \to 0^{+} lim F (r)

, nên

F

liên tục trên

[0; + \infty)

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 5.33★★Trang 124— Tập xác định và tính liên tục của hàm sơ cấp

5.33 (trang 124). Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
a)

f (x) = \frac{cos x}{x ^{2} + 5 x + 6}

;
b)

g (x) = \frac{x - 2}{sin x}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $f$ , $g$ liên tục tại $x_{0}$ và $g (x_{0}) \neq = 0$ thì $\frac{f}{g}$ liên tục tại $x_{0}$ .
Hàm đa thức, $sin x$ , $cos x$ liên tục trên $R$ .
$sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ , $k \in Z$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai là thương của hai hàm liên tục trên

R

; định lí thương cho liên tục ở mọi điểm làm mẫu khác

0

. Vậy việc chính là giải phương trình “mẫu

= 0

”. Câu a mẫu là tam thức bậc hai, câu b là

sin x = 0

cho vô số điểm

x = k π

. Bẫy: quên

k \in Z

, hoặc nói “liên tục trên

R

”.

1Cách 1. Định lí về thương của hai hàm liên tục

Định hướng. Tìm các điểm làm mẫu bằng $0$ rồi áp định lí.

x^{2} + 5 x + 6 = 0

Δ = 25 - 24 = 1

x = \frac{- 5 \pm 1}{2}

, tức

x = - 2

;

x = - 3

x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3)

D_{f} = R ∖ {- 3; - 2} = (- \infty; - 3) \cup (- 3; - 2) \cup (- 2; + \infty)

cos x

và

x^{2} + 5 x + 6

liên tục trên

R

, mẫu khác

0

trên

D_{f}

\Rightarrow f

liên tục trên mỗi khoảng của

D_{f}

sin x \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = k π

k \in Z

D_{g} = R ∖ {k π ∣ k \in Z}

x - 2

và

sin x

liên tục trên

R

sin x \neq = 0

trên

D_{g}

\Rightarrow g

liên tục trên mỗi khoảng

(k π; (k + 1) π)

Vậy a) $D_{f} = R ∖ {- 3; - 2}$ ; b) $D_{g} = R ∖ {k π ∣ k \in Z}$ ; hai hàm liên tục trên từng khoảng xác định.

2Cách 2. Kiểm tra định nghĩa tại một điểm bất kì của tập xác định

Định hướng. Lấy $x_{0}$ tuỳ ý thuộc tập xác định và dùng quy tắc tính giới hạn.

x_{0} \in D_{f}

x \to x_{0} lim cos x = cos x_{0}

x \to x_{0} lim (x^{2} + 5 x + 6) = x_{0}^{2} + 5 x_{0} + 6 \neq = 0

\Rightarrow x \to x_{0} lim f (x) = \frac{cos x _{0}}{x _{0}^{2} + 5 x _{0} + 6} = f (x_{0})

x_{0} \neq = k π

x \to x_{0} lim (x - 2) = x_{0} - 2

x \to x_{0} lim sin x = sin x_{0} \neq = 0

\Rightarrow x \to x_{0} lim g (x) = \frac{x _{0} - 2}{sin x _{0}} = g (x_{0})

Vậy $f$ , $g$ liên tục tại mọi điểm của tập xác định, tức liên tục trên các khoảng xác định.

3Cách 3. Phân rã thành tích các hàm liên tục đơn giản

Định hướng. Viết mỗi hàm thành tích/hiệu của những hàm mà tính liên tục đã rõ.

\frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}

f (x) = cos x (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3})

;

\frac{1}{x + 2}

liên tục khi

x \neq = - 2

\frac{1}{x + 3}

liên tục khi

x \neq = - 3

g (x) = (x - 2) \cdot \frac{1}{sin x}

;

\frac{1}{sin x}

liên tục trên mỗi khoảng

(k π; (k + 1) π)

tích của hai hàm liên tục trên cùng một khoảng là hàm liên tục

Vậy hai hàm liên tục trên các khoảng xác định: $D_{f} = R ∖ {- 3; - 2}$ , $D_{g} = R ∖ {k π ∣ k \in Z}$ .

Nhận xét. Tại các điểm bị loại ( $- 2$ , $- 3$ , $k π$ ) hàm không xác định nên gián đoạn; ví dụ $x \to 0^{+} lim g (x) = - \infty$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải “mẫu

\neq = 0

” ra tập xác định rồi dẫn định lí thương — đủ ý, ngắn gọn.

Đáp số. a)

D_{f} = R ∖ {- 3; - 2}

; b)

D_{g} = R ∖ {k π ∣ k \in Z}

. Mỗi hàm là thương của hai hàm liên tục trên

R

với mẫu khác

0

trên tập xác định, nên liên tục trên các khoảng xác định.

Sai lầm thường gặp. Câu b: viết

D_{g} = R ∖ {0}

hoặc

x \neq = \frac{π}{2} + k π

(nhầm với

cos x = 0

). Câu a: giải nhầm nghiệm

x = 2

x = 3

do sai dấu. Nói “

f

liên tục trên

R

” là sai, vì tại

- 2

- 3

hàm không xác định.

🚀 Mở rộng. Với

h (x) = \frac{sin x}{x}

thì

D_{h} = R ∖ {0}

; bổ sung

h (0) = 1

ta được hàm liên tục trên cả

R

(vì

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 5.34★★★Trang 124— Tìm tham số để hàm nhiều công thức liên tục trên

R

5.34 (trang 124). Tìm các giá trị của

a

để hàm số

f (x) = {x + 1 x^{2} khi x \leq a khi x > a

liên tục trên

R

Kiến thức cần nhớ

$f$ liên tục tại $x_{0} \Leftrightarrow x \to x_{0}^{-} lim f (x) = x \to x_{0}^{+} lim f (x) = f (x_{0})$ .
Hàm đa thức liên tục trên $R$ .
Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ : $Δ = b^{2} - 4 a c$ , $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm nối không cố định mà chính là tham số

a

: hai công thức đa thức luôn liên tục, nên chỉ cần hai nhánh gặp nhau tại

x = a

. Điều kiện đưa về phương trình bậc hai ẩn

a

. Bẫy: tìm

a

để liên tục “tại

x = 1

” hay chỉ lấy một nghiệm.

1Cách 1. Liên tục trên từng khoảng, xét điểm nối

x = a

Định hướng. Trên $(- \infty; a)$ và $(a; + \infty)$ hàm là đa thức; còn lại điều kiện tại $x = a$ .

f (a) = a + 1

;

x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{-} lim (x + 1) = a + 1

;

x \to a^{+} lim f (x) = x \to a^{+} lim x^{2} = a^{2}

f

liên tục tại

a \Leftrightarrow a^{2} = a + 1 \Leftrightarrow a^{2} - a - 1 = 0

Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

a = \frac{1 \pm 5}{2}

a^{2} - a - 1 = (a - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} = (a - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}) (a - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}) = 0

Vậy $a = \frac{1 + 5}{2}$ hoặc $a = \frac{1 - 5}{2}$ .

2Cách 2. Đồ thị: hai nhánh phải gặp nhau tại

x = a

Định hướng. Đồ thị $f$ là phần đường thẳng $y = x + 1$ bên trái $a$ ghép với phần parabol $y = x^{2}$ bên phải $a$ .

đồ thị liền nét

\Leftrightarrow

tại

x = a

đường thẳng và parabol có cùng tung độ

\Leftrightarrow a

là hoành độ giao điểm của

y = x + 1

và

y = x^{2}

x^{2} = x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm 5}{2}

Vậy $a = \frac{1 \pm 5}{2}$ .

3Cách 3. Dùng dãy số tiến về

a

từ bên phải

Định hướng. Liên tục tại $a$ buộc mọi dãy $x_{n} \to a$ cho $f (x_{n}) \to f (a)$ ; chọn dãy từ phía phải là nhánh còn “chưa khớp”.

x_{n} = a + \frac{1}{n} > a

x_{n} \to a

f (x_{n}) = (a + \frac{1}{n})^{2} \to a^{2}

cần

a^{2} = f (a) = a + 1

; ngược lại khi

a^{2} = a + 1

thì hai giới hạn một bên đều bằng

f (a)

a^{2} - a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1 \pm 5}{2}

Vậy $a \in {\frac{1 - 5}{2}; \frac{1 + 5}{2}}$ .

Nhận xét. Hai giá trị $a$ chính là hai hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x + 1$ với parabol $y = x^{2}$ — mọi điểm nối khác đều làm đồ thị bị “nhảy”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba giá trị

f (a)

, giới hạn trái, giới hạn phải rồi giải

a^{2} - a - 1 = 0

Đáp số.

a = \frac{1 + 5}{2}

hoặc

a = \frac{1 - 5}{2}

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy nghiệm dương

a = \frac{1 + 5}{2}

mà bỏ nghiệm âm — cả hai đều thoả. Giải nhầm

a^{2} = a + 1

thành

a^{2} + a - 1 = 0

nên ra

a = \frac{- 1 \pm 5}{2}

🚀 Mở rộng. Với

f (x) = x + m

khi

x \leq a

f (x) = x^{2}

khi

x > a

: có

a

để

f

liên tục trên

R

khi và chỉ khi

x^{2} - x - m = 0

có nghiệm, tức

m \geq - \frac{1}{4}

Mở bài này trong app ↗