Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Định hướng. Dấu của $f^{\prime }$ hiện ngay trên hình: phần đồ thị nằm trên trục hoành cho $f^{\prime }$ dương, phần nằm dưới cho $f^{\prime }$ âm.

Vậy $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$, đồng biến trên $(0;4)$; $f$ có điểm cực tiểu $x=0$ và điểm cực đại $x=4$.

Định hướng. Một bảng xét dấu gọn thay cho việc nhìn hình nhiều lần, và bảng biến thiên cho luôn cả hai câu hỏi a, b.

Vậy bảng biến thiên cho $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$, đồng biến trên $(0;4)$, cực tiểu tại $x=0$ và cực đại tại $x=4$.

Định hướng. Đồ thị là parabol bề lõm hướng xuống cắt trục hoành tại $0$ và $4$, nên viết được $f^{\prime }$ dưới dạng tường minh và kiểm tra kết luận bằng tính toán.

Vậy mô hình tường minh cho cùng kết quả: cực tiểu tại $x=0$, cực đại tại $x=4$, $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$, đồng biến trên $(0;4)$.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy kết luận không phụ thuộc hệ số $k$ hay hằng số $\mathrm{C}$: chỉ DẤU của $f^{\prime }$ quyết định chiều biến thiên.

Định hướng. Quy trình chuẩn: tập xác định, đạo hàm, nghiệm của đạo hàm, bảng biến thiên; giá trị cực trị lấy ngay từ bảng.

Vậy a) hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(8;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;8)$, cực đại $y=104$ tại $x=-2$, cực tiểu $y=-396$ tại $x=8$; b) hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$, đồng biến trên $(0;4)$, cực tiểu $y=9$ tại $x=0$, cực đại $y=41$ tại $x=4$.

Định hướng. Khi $y^{\prime }$ đã thành tích hai nhân tử bậc nhất thì dấu đọc được ngay, khỏi cần bảng.

Vậy kết quả trùng Cách 1: ý a cực đại $104$ tại $x=-2$ và cực tiểu $-396$ tại $x=8$; ý b cực tiểu $9$ tại $x=0$ và cực đại $41$ tại $x=4$.

Định hướng. Đưa $y^{\prime }$ về dạng bình phương cộng hằng số thì việc xét dấu chỉ còn là so sánh một bình phương với một số.

Vậy ba cách cho cùng một bảng dấu, do đó cùng kết luận về khoảng đơn điệu và cực trị như trên.

Nhận xét. Dạng bình phương còn cho ngay tâm đối xứng của đồ thị: ý a là điểm uốn $x=3$, ý b là $x=2$, đúng bằng trung điểm của hai điểm cực trị.

Định hướng. Tập xác định của ý a có hai khoảng rời, nên bảng biến thiên phải có vạch đôi tại $x=0$ để không nhập hai khoảng làm một.

Vậy a) hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$, cực đại $y=-2$ tại $x=-1$, cực tiểu $y=2$ tại $x=1$; b) hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$, cực tiểu $y=-\frac{1}{2}$ tại $x=-1$, cực đại $y=\frac{1}{2}$ tại $x=1$.

Định hướng. Hai hàm này đều chặn được bằng bất đẳng thức cơ bản, và điểm xảy ra dấu bằng chính là điểm cực trị.

Vậy cách chặn cho ngay giá trị cực trị $\pm 2$ ở ý a và $\pm \frac{1}{2}$ ở ý b, trùng khớp kết quả tính bằng đạo hàm.

Định hướng. Cả hai hàm đều thoả $y(-x)=-y(x)$, nên mọi kết luận trên $(0;+\infty )$ đều lật ngược được sang $(-\infty ;0)$.

Vậy tính lẻ cho một nửa kết quả miễn phí, và kết luận cuối cùng giống hai cách trên.

Nhận xét. Ở ý b còn có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$; hai giá trị cực trị $\pm \frac{1}{2}$ đồng thời là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$.

Định hướng. Với ý a thì ba nghiệm của $y^{\prime }$ chia trục thành bốn khoảng; với ý b thì $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu một lần nên bảng rất gọn.

Vậy a) hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, cực tiểu $y=2$ tại $x=\pm 1$, cực đại $y=3$ tại $x=0$; b) hàm nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$, đồng biến trên $\left(\frac{1}{\sqrt{e}};+\infty \right)$, cực tiểu $y=-\frac{1}{2e}$ tại $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$.

Định hướng. Ý a viết được thành bình phương cộng hằng số nên cực tiểu lộ ngay; ý b đổi biến biến logarit thành biến đa thức.

Vậy hai phép biến đổi cho cùng kết quả: ý a cực tiểu $2$ tại $x=\pm 1$ và cực đại $3$ tại $x=0$; ý b cực tiểu $-\frac{1}{2e}$ tại $x=e^{-\frac{1}{2}}$.

Định hướng. Khi chỉ cần biết điểm nào là cực đại, điểm nào là cực tiểu thì thay vào $y^{\prime \prime }$ nhanh hơn lập bảng.

Vậy dấu $y^{\prime \prime }$ xác nhận đúng loại của từng điểm cực trị đã tìm được ở hai cách trên.

Nhận xét. Đạo hàm cấp hai chỉ phân loại được điểm cực trị, không cho biết các khoảng đơn điệu; và khi $y^{\prime \prime }(x_0)=0$ thì cách này bất lực, phải quay về xét dấu $y^{\prime }$.

Định hướng. Hệ số của $x^2$ trong $y^{\prime }$ là $3>0$ nên $y^{\prime }$ không âm với mọi $x$ khi và chỉ khi biệt thức không dương.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m\in [-3;3]$.

Định hướng. Viết $y^{\prime }$ thành bình phương cộng hằng số thì giá trị nhỏ nhất của $y^{\prime }$ lộ ra, chỉ việc bắt nó không âm.

Vậy điều kiện thu được vẫn là $m\in [-3;3]$, và tại $m=\pm 3$ thì $y^{\prime }=3(x\pm 1{)}^2\ge 0$ nên hai đầu mút được nhận.

Định hướng. Tách $m$ về một vế để điều kiện trở thành so sánh $m$ với giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức theo $x$.

Vậy ba hướng độc lập đều dẫn tới $m\in [-3;3]$.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng là cách duy nhất còn dùng được khi $y^{\prime }$ không phải tam thức, chẳng hạn khi đề đổi thành $y=x^3+m{x}^2+3x+2\sin x$.

Định hướng. Không có đạo hàm chứng minh bằng giới hạn tỉ số gia, còn cực tiểu chứng minh bằng bất đẳng thức $f(x)\ge f(0)$.

Vậy $f$ không có đạo hàm tại $x=0$ nhưng đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị cực tiểu $f(0)=0$.

Định hướng. Trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ hàm có đạo hàm, nên vẫn xét dấu được và dùng quy tắc đổi dấu của $f^{\prime }$ tại điểm tới hạn.

Vậy bảng dấu của $f^{\prime }$ khẳng định $x=0$ là điểm cực tiểu, đồng thời hai giới hạn vô cực khẳng định không có đạo hàm tại đó.

Định hướng. Phép đổi biến $t=\sqrt[3]{x}$ là song ánh tăng từ $\mathbb{R}$ lên $\mathbb{R}$ nên giữ nguyên chiều biến thiên và vị trí cực trị.

Vậy qua biến $t$ thì đồ thị là parabol bị kéo ngang, có điểm nhọn tại gốc: cực tiểu tại $x=0$ mà tiếp tuyến thẳng đứng nên không có đạo hàm.

Nhận xét. Bài này chỉ ra định lí Fermat là điều kiện cần một chiều: điểm cực trị chỉ có thể nằm trong tập các điểm mà $f^{\prime }=0$ HOẶC $f^{\prime }$ không tồn tại, nên khi tìm cực trị không được quên nhóm điểm thứ hai.

Định hướng. Trừ hai hàm cho $P$, rồi dấu của $P^{\prime }$ quyết định khoảng đồng biến.

Vậy $P$ đồng biến trên khoảng $(0;3000)$ và nghịch biến trên $(3000;6000)$. Về thực tiễn: khi sản lượng còn dưới $3000$ đồ chơi thì càng sản xuất và bán thêm, lợi nhuận càng tăng; vượt mốc $3000$ thì làm thêm lại giảm lãi, nên mức $x=3000$ cho lợi nhuận lớn nhất là $3600$ trăm nghìn đồng.

Định hướng. Hàm lợi nhuận là parabol bề lõm hướng xuống nên chỉ cần biết hoành độ đỉnh là biết ngay hai khoảng đơn điệu.

Vậy dạng đỉnh cho ngay lợi nhuận lớn nhất $3600$ trăm nghìn đồng tại $x=3000$, và khoảng đồng biến cần tìm là $(0;3000)$.

Định hướng. Định nghĩa đồng biến kiểm tra được trực tiếp bằng dấu của hiệu hai giá trị, không cần đạo hàm.

Vậy hiệu hai giá trị đổi dấu đúng tại mốc $x=3000$, khẳng định lại kết quả của hai cách trên.

Nhận xét. Mốc $x=3000$ là nơi doanh thu biên $R^{\prime }(x)$ bằng chi phí biên $C^{\prime }(x)$; đây chính là nguyên tắc kinh tế cơ bản để chọn sản lượng tối ưu.

Định hướng. Rút gọn trước để $\overline{P}$ chỉ còn hằng số trừ một phân thức đơn giản, mọi câu hỏi sau đó chỉ là thay số và đạo hàm.

Vậy a) $\overline{P}(x)=50-\frac{1000}{x}$; b) lần lượt là $40$, $48$, $49$ triệu đồng; c) $\overline{P}$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{P}(x)=50$, nghĩa là càng sản xuất nhiều thì phần chi phí cố định chia cho mỗi sản phẩm càng nhỏ nên lãi trung bình mỗi sản phẩm càng tăng, nhưng luôn nhỏ hơn $50$ triệu đồng và tiến dần tới $50$ triệu đồng.

Định hướng. Biểu thức chỉ gồm một hằng số trừ $\frac{1000}{x}$, mà $\frac{1000}{x}$ giảm trên $(0;+\infty )$ nên hiệu phải tăng.

Vậy $\overline{P}$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và có giới hạn $50$ khi $x\to +\infty$, đúng như kết quả tính bằng đạo hàm.