Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang8–10 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.1★★Trang 8— Đọc chiều biến thiên và cực trị của

f

từ đồ thị của

f^{'}

Cho hàm số

f (x)

xác định trên

R

và đạo hàm

f^{'} (x)

có đồ thị như hình bên. a) Các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số

f (x)

? b) Hàm số

f (x)

có cực đại, cực tiểu không? Nếu có, hãy cho biết các điểm cực trị tương ứng.

Kiến thức cần nhớ

Trên khoảng mà $f^{'} (x) > 0$ thì $f$ đồng biến; trên khoảng mà $f^{'} (x) < 0$ thì $f$ nghịch biến.
Nếu $f^{'}$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_{0}$ thì $f$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ ; đổi dấu từ dương sang âm thì $f$ đạt cực đại tại $x_{0}$ .
Dấu của $f^{'} (x)$ đọc theo vị trí đồ thị so với trục hoành: phía trên trục là dương, phía dưới trục là âm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho công thức của

f

mà chỉ cho đồ thị của

f^{'}

, nên toàn bộ thông tin phải khai thác qua DẤU của

f^{'}

chứ không qua giá trị. Hai hoành độ giao điểm với trục hoành là

x = 0

và

x = 4

chia trục số thành ba khoảng, trên mỗi khoảng dấu của

f^{'}

không đổi. Bẫy quen thuộc là nhìn đồ thị đi lên rồi kết luận hàm đồng biến: đồ thị trong hình là của

f^{'}

, không phải của

f

1Cách 1. Đọc dấu của f' theo vị trí đồ thị so với trục hoành

Định hướng. Dấu của $f^{'}$ hiện ngay trên hình: phần đồ thị nằm trên trục hoành cho $f^{'}$ dương, phần nằm dưới cho $f^{'}$ âm.

a) Đồ thị

y = f^{'} (x)

cắt trục hoành tại

x = 0

và

x = 4

f^{'} (x) < 0

trên

(- \infty; 0)

và trên

(4; + \infty)

f^{'} (x) > 0

trên

(0; 4)

f

nghịch biến trên

(- \infty; 0)

và trên

(4; + \infty)

f

đồng biến trên

(0; 4)

f^{'}

đổi dấu từ âm sang dương khi

x

qua

0

f

đạt cực tiểu tại

x = 0

f^{'}

đổi dấu từ dương sang âm khi

x

qua

4

f

đạt cực đại tại

x = 4

Vậy $f$ nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và $(4; + \infty)$ , đồng biến trên $(0; 4)$ ; $f$ có điểm cực tiểu $x = 0$ và điểm cực đại $x = 4$ .

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm số y = f '(x): parabol bề lõm hướng xuống, cắt trục hoành tại x = 0 và x = 4

2Cách 2. Chuyển hình vẽ thành bảng xét dấu rồi đọc bảng biến thiên

Định hướng. Một bảng xét dấu gọn thay cho việc nhìn hình nhiều lần, và bảng biến thiên cho luôn cả hai câu hỏi a, b.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 4

Trên

(- \infty; 0)

f^{'} (x) < 0

Trên

(0; 4)

f^{'} (x) > 0

Trên

(4; + \infty)

f^{'} (x) < 0

Bảng biến thiên của

f

: giảm trên

(- \infty; 0)

, tăng trên

(0; 4)

, giảm trên

(4; + \infty)

Điểm thấp nhất địa phương ứng với

x = 0

, điểm cao nhất địa phương ứng với

x = 4

Vậy bảng biến thiên cho $f$ nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và $(4; + \infty)$ , đồng biến trên $(0; 4)$ , cực tiểu tại $x = 0$ và cực đại tại $x = 4$ .

3Cách 3. Mô hình hoá đồ thị f' bằng một parabol rồi kiểm chứng bằng đạo hàm cấp hai

Định hướng. Đồ thị là parabol bề lõm hướng xuống cắt trục hoành tại $0$ và $4$ , nên viết được $f^{'}$ dưới dạng tường minh và kiểm tra kết luận bằng tính toán.

f^{'} (x) = - k x (x - 4)

với

k > 0

f^{''} (x) = - k (2 x - 4)

f^{''} (0) = 4 k > 0

f

đạt cực tiểu tại

x = 0

f^{''} (4) = - 4 k < 0

f

đạt cực đại tại

x = 4

f (x) = - k (\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2}) + C

f^{'} < 0

trên

(- \infty; 0) \cup (4; + \infty)

và

f^{'} > 0

trên

(0; 4)

Vậy mô hình tường minh cho cùng kết quả: cực tiểu tại $x = 0$ , cực đại tại $x = 4$ , $f$ nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và $(4; + \infty)$ , đồng biến trên $(0; 4)$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy kết luận không phụ thuộc hệ số $k$ hay hằng số $C$ : chỉ DẤU của $f^{'}$ quyết định chiều biến thiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần đọc hình một lượt là xong cả hai ý, không mất thời gian dựng thêm bảng. Cách 2 nên dùng khi đề có nhiều hơn ba khoảng dấu, lúc đó bảng giúp khỏi lẫn.

Đáp số. a)

f

nghịch biến trên

(- \infty; 0)

và

(4; + \infty)

, đồng biến trên

(0; 4)

. b)

f

có cực tiểu tại

x = 0

và cực đại tại

x = 4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là coi hình vẽ là đồ thị của

f

: thấy nhánh parabol đi lên trên

(- \infty; 2)

rồi kết luận

f

đồng biến trên

(- \infty; 2)

và

f

đạt cực đại tại

x = 2

. Thực tế

x = 2

chỉ là điểm mà

f^{'}

lớn nhất, tức nơi

f

tăng nhanh nhất, còn

f

hoàn toàn không có cực trị tại

x = 2

🚀 Mở rộng. Nếu đồ thị

f^{'}

tiếp xúc trục hoành tại

x = 4

(nghiệm kép) thì

f^{'}

không đổi dấu khi qua

4

, khi đó

x = 4

không còn là điểm cực trị dù vẫn có

f^{'} (4) = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.2★★Trang 9— Khảo sát tính đơn điệu và cực trị của hàm đa thức bậc ba

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = x^{3} - 9 x^{2} - 48 x + 52

; b)

y = - x^{3} + 6 x^{2} + 9

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức xác định trên $R$ .
$y^{'} > 0$ trên khoảng nào thì hàm đồng biến trên khoảng đó, $y^{'} < 0$ thì nghịch biến.
Tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ có hai nghiệm phân biệt thì cùng dấu với $a$ ở ngoài hai nghiệm, trái dấu với $a$ ở giữa hai nghiệm.
Giá trị cực trị là giá trị của hàm số tại điểm cực trị, không phải nghiệm của $y^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều là đa thức bậc ba nên

y^{'}

là tam thức bậc hai, dấu hiệu rõ ràng của dạng chỉ cần giải

y^{'} = 0

rồi xét dấu tam thức. Chọn hướng nhân tử hoá

y^{'}

vì hệ số dễ tách, đọc dấu nhanh hơn hẳn việc lập bảng bằng cách thử số. Bẫy ở ý b là hệ số

a

của

y^{'}

âm nên khoảng giữa hai nghiệm mới là khoảng

y^{'}

dương, ngược với ý a.

1Cách 1. Giải y' = 0 rồi lập bảng biến thiên

Định hướng. Quy trình chuẩn: tập xác định, đạo hàm, nghiệm của đạo hàm, bảng biến thiên; giá trị cực trị lấy ngay từ bảng.

D = R

y^{'} = 3 x^{2} - 18 x - 48

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 6 x - 16 = 0 \Leftrightarrow x = - 2

hoặc

x = 8

y (- 2) = - 8 - 36 + 96 + 52 = 104

y (8) = 512 - 576 - 384 + 52 = - 396

D = R

y^{'} = - 3 x^{2} + 12 x

y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 3 x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 4

y (0) = 9

y (4) = - 64 + 96 + 9 = 41

Vậy a) hàm đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(8; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- 2; 8)$ , cực đại $y = 104$ tại $x = - 2$ , cực tiểu $y = - 396$ tại $x = 8$ ; b) hàm nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và $(4; + \infty)$ , đồng biến trên $(0; 4)$ , cực tiểu $y = 9$ tại $x = 0$ , cực đại $y = 41$ tại $x = 4$ .

Hình minh hoạ lời giải

Bảng biến thiên của hai hàm số bậc ba ở ý a và ý b

2Cách 2. Nhân tử hoá y' và dùng quy tắc dấu tam thức trong trái ngoài cùng

Định hướng. Khi $y^{'}$ đã thành tích hai nhân tử bậc nhất thì dấu đọc được ngay, khỏi cần bảng.

y^{'} = 3 (x + 2) (x - 8)

y^{'} > 0 \Leftrightarrow x < - 2

hoặc

x > 8

y^{'} < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 8

y (- 2) = 104

là giá trị cực đại,

y (8) = - 396

là giá trị cực tiểu

y^{'} = - 3 x (x - 4)

y^{'} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4

y^{'} < 0 \Leftrightarrow x < 0

hoặc

x > 4

y (0) = 9

là giá trị cực tiểu,

y (4) = 41

là giá trị cực đại

Vậy kết quả trùng Cách 1: ý a cực đại $104$ tại $x = - 2$ và cực tiểu $- 396$ tại $x = 8$ ; ý b cực tiểu $9$ tại $x = 0$ và cực đại $41$ tại $x = 4$ .

3Cách 3. Hoàn chỉnh bình phương y' để quy về một bất phương trình chứa trị tuyệt đối

Định hướng. Đưa $y^{'}$ về dạng bình phương cộng hằng số thì việc xét dấu chỉ còn là so sánh một bình phương với một số.

y^{'} = 3 (x^{2} - 6 x - 16) = 3 [(x - 3)^{2} - 25]

y^{'} \geq 0 \Leftrightarrow (x - 3)^{2} \geq 25 \Leftrightarrow ∣ x - 3∣ \geq 5

\Leftrightarrow x \leq - 2

hoặc

x \geq 8

y^{'} = - 3 (x^{2} - 4 x) = - 3 [(x - 2)^{2} - 4]

y^{'} \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} \leq 4 \Leftrightarrow ∣ x - 2∣ \leq 2

\Leftrightarrow 0 \leq x \leq 4

Vậy ba cách cho cùng một bảng dấu, do đó cùng kết luận về khoảng đơn điệu và cực trị như trên.

Nhận xét. Dạng bình phương còn cho ngay tâm đối xứng của đồ thị: ý a là điểm uốn $x = 3$ , ý b là $x = 2$ , đúng bằng trung điểm của hai điểm cực trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ hai dòng nhân tử là đọc xong dấu, ít sai hơn khi hệ số

a

âm. Cách 1 vẫn nên viết bảng biến thiên nếu đề yêu cầu khảo sát đầy đủ.

Đáp số. a) Đồng biến trên

(- \infty; - 2)

và

(8; + \infty)

, nghịch biến trên

(- 2; 8)

; cực đại

y = 104

, cực tiểu

y = - 396

. b) Nghịch biến trên

(- \infty; 0)

và

(4; + \infty)

, đồng biến trên

(0; 4)

; cực tiểu

y = 9

, cực đại

y = 41

Sai lầm thường gặp. Rất nhiều bạn trả lời cực trị của ý a là

x = - 2

và

x = 8

rồi ghi luôn cực đại bằng

- 2

. Giá trị cực đại là

y (- 2) = 104

, còn

- 2

chỉ là điểm cực đại; viết cực đại bằng

- 2

là sai hẳn về bản chất.

🚀 Mở rộng. Thay ý b bằng

y = - x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 9

thì

y^{'} = - 3 (x - 2)^{2} \leq 0

không đổi dấu, hàm nghịch biến trên cả

R

và không có cực trị nào, dù vẫn có

y^{'} (2) = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.3★★★Trang 9— Khảo sát tính đơn điệu và cực trị của hàm phân thức

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = x + \frac{1}{x}

; b)

y = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Phải tìm tập xác định trước: ý a loại $x = 0$ , ý b xác định trên $R$ vì $x^{2} + 1 > 0$ .
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Điểm không thuộc tập xác định KHÔNG bao giờ là điểm cực trị, trong bảng biến thiên phải đánh dấu bằng vạch đôi.
Bất đẳng thức $a + b \geq 2 ab$ với $a, b > 0$ , dấu bằng khi $a = b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.4★★★Trang 9— Khảo sát hàm trùng phương và hàm chứa logarit

Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = x^{4} - 2 x^{2} + 3

; b)

y = x^{2} ln x

Kiến thức cần nhớ

Hàm chứa $ln x$ chỉ xác định khi $x > 0$ .
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ và $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Nếu $y^{'} (x_{0}) = 0$ và $y^{''} (x_{0}) > 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu; nếu $y^{''} (x_{0}) < 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại.
$x \to 0^{+} lim x^{2} ln x = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.5★★★Trang 9— Tìm tham số để hàm bậc ba đồng biến trên toàn trục số

Tìm các giá trị của tham số

m

sao cho hàm số

y = x^{3} + m x^{2} + 3 x + 2

đồng biến trên

R

Kiến thức cần nhớ

Hàm số có đạo hàm đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $y^{'} \geq 0$ với mọi $x \in R$ .
Tam thức $a x^{2} + b x + c$ với $a > 0$ không âm với mọi $x$ khi và chỉ khi $Δ \leq 0$ .
Với $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ .
$a + b \geq 2 ab$ khi $a, b > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.6★★★★Trang 9— Cực trị tại điểm hàm số không có đạo hàm

Chứng minh rằng hàm số

f (x) = 3 x^{2}

không có đạo hàm tại

x = 0

nhưng có cực tiểu tại điểm

x = 0

Kiến thức cần nhớ

$f$ có đạo hàm tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ tồn tại và hữu hạn.
Hàm $f$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ nếu $f (x) \geq f (x_{0})$ với mọi $x$ trong một khoảng chứa $x_{0}$ .
Điểm cực trị không bắt buộc phải là điểm có đạo hàm bằng $0$ .
$3 x^{2} = x^{\frac{2}{3}}$ xác định với mọi $x \in R$ và luôn không âm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.7★★★Trang 9— Ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán lợi nhuận

Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác định hàm chi phí

C (x)

và hàm doanh thu

R (x)

(đều tính bằng trăm nghìn đồng) cho một loại đồ chơi như sau:

C (x) = 1, 2 x - 0, 0001 x^{2}

với

0 \leq x \leq 6000

;

R (x) = 3, 6 x - 0, 0005 x^{2}

với

0 \leq x \leq 6000

, trong đó

x

là số lượng đồ chơi loại đó được sản xuất và bán ra. Xác định khoảng của

x

để hàm lợi nhuận

P (x) = R (x) - C (x)

đồng biến trên khoảng đó. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.

Kiến thức cần nhớ

Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí: $P (x) = R (x) - C (x)$ .
$P$ đồng biến trên khoảng mà $P^{'} (x) > 0$ .
Parabol $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ với $a < 0$ đồng biến trên $(- \infty; x_{0})$ và nghịch biến trên $(x_{0}; + \infty)$ .
Miền thực tế của bài toán là $0 \leq x \leq 6000$ , mọi kết luận phải giao với miền đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.8★★★Trang 9— Lợi nhuận trung bình và tiệm cận ngang của hàm phân thức

Hàm chi phí và hàm doanh thu (đều tính bằng triệu đồng) của một loại sản phẩm lần lượt là

C (x) = 25, 5 x + 1000

và

R (x) = 75, 5 x

, trong đó

x

là số đơn vị sản phẩm được sản xuất và bán ra. a) Tìm hàm lợi nhuận trung bình

\overline{P} (x) = \frac{R ( x ) - C ( x )}{x}

. b) Tìm lợi nhuận trung bình khi

x

lần lượt là

100

500

và

1000

đơn vị sản phẩm. c) Xét tính đơn điệu của hàm

\overline{P} (x)

trên khoảng

(0; + \infty)

và tính

x \to + \infty lim \overline{P} (x)

. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.

Kiến thức cần nhớ

Lợi nhuận trung bình bằng lợi nhuận chia cho số sản phẩm.
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
$x \to + \infty lim \frac{k}{x} = 0$ với mọi hằng số $k$ .
Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $x \to + \infty lim y = y_{0}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.9★★★★Trang 10— Vận tốc và gia tốc là đạo hàm cấp một, cấp hai của li độ

Một con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng

1

kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hoà với biên độ

A = 0, 24

m và chu kì

T = 4

giây. Vị trí

x

(mét) của vật tại thời điểm

t

được cho bởi

x (t) = A cos (ω t)

, trong đó

ω = \frac{2 π}{T}

là tần số góc và thời gian

t

tính bằng giây. a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm

t

và tại thời điểm

t = 0, 5

giây. b) Tìm vận tốc

v

của vật tại thời điểm

t

giây và tìm vận tốc của vật khi

t = 0, 5

giây. c) Tìm gia tốc

a

của vật. d) Sử dụng định luật thứ hai của Newton

F = ma

, tìm độ lớn và hướng của lực tác dụng lên vật khi

t = 0, 5

giây. e) Tìm thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí

x = - 0, 12

m. Tìm vận tốc của vật khi

x = - 0, 12

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian: $v (t) = x^{'} (t)$ ; gia tốc là $a (t) = v^{'} (t) = x^{''} (t)$ .
$(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ và $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ .
Trong dao động điều hoà luôn có $a = - ω^{2} x$ và $v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$ .
$cos α = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow α = \pm \frac{2 π}{3} + 2 k π$ với $k \in Z$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.10★★★★Trang 10— Vận tốc, tốc độ và gia tốc của chuyển động trên trục số

Một vật chuyển động dọc theo trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật

x

(mét) từ thời điểm

t = 0

giây đến thời điểm

t = 5

giây được cho bởi công thức

x (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 11 t + 5

. a) Xác định vận tốc

v

của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển động sang trái. b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ

t = 1

giây đến

t = 4

giây. c) Xác định gia tốc

a

của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.

Kiến thức cần nhớ

$v (t) = x^{'} (t)$ và $a (t) = v^{'} (t) = x^{''} (t)$ .
Vật chuyển động theo chiều dương khi $v (t) > 0$ , theo chiều âm khi $v (t) < 0$ , dừng lại khi $v (t) = 0$ .
Tốc độ là độ lớn của vận tốc: $∣ v (t) ∣$ .
Vật tăng tốc khi $a (t) > 0$ và giảm tốc khi $a (t) < 0$ theo quy ước của bài.