Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang65–66 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.5★★Trang 65— Tính số trung bình và độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm

Bài 3.5 (trang 65). Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian ngủ trong ngày của các học sinh lớp 12A.

Thời gian ngủ (giờ)	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$	$[7, 5; 8)$	$[8; 8, 5)$
Số học sinh	$5$	$12$	$15$	$3$

Tìm số trung bình và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài tính trực tiếp,

n = 35

. Cạm bẫy nằm ở con số:

\overline{x} = \frac{1047}{140}

là số thập phân vô hạn, nếu làm tròn

7, 48

rồi dùng công thức rút gọn thì sai ở chữ số thứ hai của

s

. Hướng an toàn: giữ phân số hoặc đổi biến.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Giá trị đại diện $6, 75; 7, 25; 7, 75; 8, 25$ , cỡ mẫu $35$ ; số trung bình ra phân số nên giữ dạng phân số khi tính độ lệch.

x_{1} = 6, 75; x_{2} = 7, 25; x_{3} = 7, 75; x_{4} = 8, 25

n = 5 + 12 + 15 + 3 = 35

\overline{x} = \frac{5 \cdot 6 , 75 + 12 \cdot 7 , 25 + 15 \cdot 7 , 75 + 3 \cdot 8 , 25}{35} = \frac{261 , 75}{35} = \frac{1047}{140} \approx 7, 479

s^{2} = \frac{1}{35} [5 \cdot (6, 75 - \frac{1047}{140})^{2} + 12 \cdot (7, 25 - \frac{1047}{140})^{2} + 15 \cdot (7, 75 - \frac{1047}{140})^{2} + 3 \cdot (8, 25 - \frac{1047}{140})^{2}]

s^{2} = \frac{1}{35} [5 \cdot (- \frac{102}{140})^{2} + 12 \cdot (- \frac{32}{140})^{2} + 15 \cdot (\frac{38}{140})^{2} + 3 \cdot (\frac{108}{140})^{2}]

s^{2} = \frac{5 \cdot 10 2 ^{2} + 12 \cdot 3 2 ^{2} + 15 \cdot 3 8 ^{2} + 3 \cdot 10 8 ^{2}}{35 \cdot 14 0 ^{2}} = \frac{120960}{686000} = \frac{216}{1225}

s = s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 420

Vậy $\overline{x} = \frac{1047}{140} \approx 7, 48$ giờ, $s = \frac{216}{1225} = \frac{6 6}{35} \approx 0, 42$ giờ.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn, giữ $\overline{x} = \frac{1047}{140}$ ở dạng phân số khi bình phương, không làm tròn giữa chừng.

\overline{x} = \frac{5 \cdot 6 , 75 + 12 \cdot 7 , 25 + 15 \cdot 7 , 75 + 3 \cdot 8 , 25}{35} = \frac{261 , 75}{35} = \frac{1047}{140} \approx 7, 479

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{5 \cdot 6 , 7 5 ^{2} + 12 \cdot 7 , 2 5 ^{2} + 15 \cdot 7 , 7 5 ^{2} + 3 \cdot 8 , 2 5 ^{2}}{35} = \frac{1963 , 6875}{35} = \frac{31419}{560}

s^{2} = \frac{31419}{560} - (\frac{1047}{140})^{2} = \frac{216}{1225}

s = s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 420

Vậy $\overline{x} = \frac{1047}{140} \approx 7, 48$ giờ, $s = \frac{216}{1225} = \frac{6 6}{35} \approx 0, 42$ giờ.

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Đổi $u = \frac{x - 7 , 75}{0 , 5}$ về $- 2; - 1; 0; 1$ , mọi phép tính là phân số mẫu $35$ .

u = \frac{x - 7 , 75}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{5 \cdot ( - 2 ) + 12 \cdot ( - 1 ) + 15 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{35} = - \frac{19}{35}

s_{u}^{2} = \frac{5 \cdot 4 + 12 \cdot 1 + 15 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{35} - (- \frac{19}{35})^{2} = 1 - \frac{361}{1225} = \frac{864}{1225}

\overline{x} = 7, 75 + 0, 5 \cdot (- \frac{19}{35}) = \frac{1047}{140}

s^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot \frac{864}{1225} = \frac{216}{1225}

s = s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 420

Vậy $\overline{x} = \frac{1047}{140} \approx 7, 48$ giờ, $s = \frac{216}{1225} = \frac{6 6}{35} \approx 0, 42$ giờ.

Nhận xét. Số trung bình $\frac{1047}{140}$ không hữu hạn nên Cách 2 dễ bị làm tròn sớm; Cách 3 giữ mọi thứ ở phân số mẫu $35$ và cho luôn dạng đúng $s = \frac{6 6}{35}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: số nguyên nhỏ, phân số cùng mẫu

35

, không phải bình phương

\frac{1047}{140}

— vừa nhanh vừa chính xác.

Đáp số.

\overline{x} \approx 7, 48

giờ;

s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 176

s \approx 0, 42

giờ.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

\overline{x} \approx 7, 48

rồi tính

\frac{31419}{560} - 7, 4 8^{2} \approx 0, 155

s \approx 0, 39

— sai (đúng là

0, 42

), vì hai số cỡ

56

gần bằng nhau bị trừ cho nhau. Ghi nhầm giá trị đại diện nhóm cuối là

8, 35

thay vì

8, 25

cũng làm lệch cả

\overline{x}

lẫn

s

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi học sinh ngủ thêm đúng

30

phút thì

\overline{x}

và

s

thay đổi thế nào? (Gợi ý: cộng hằng số

0, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.6★★★Trang 66— Độ lệch chuẩn mẫu gốc và mẫu ghép nhóm; giá trị chính xác, xấp xỉ

Bài 3.6 (trang 66). Chiều cao của

20

cây xoan giống (đơn vị là cm) được cho như sau:

15192431272318192529

23333427312427212930

a) Tính độ lệch chuẩn

s_{g}

của mẫu số liệu.
b) Hoàn thiện bảng số liệu ghép nhóm sau và tính độ lệch chuẩn

s_{n}

của mẫu số liệu ghép nhóm này:

Chiều cao (cm)	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Số cây	?	?	?	?

c) Nên dùng giá trị

s_{g}

hay

s_{n}

để đo mức độ phân tán về chiều cao của

20

cây xoan giống này?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Mẫu gốc cho độ lệch chuẩn chính xác; mẫu ghép nhóm chỉ cho giá trị xấp xỉ, dùng khi không có số liệu gốc.

🧠 Phân tích tư duy

Bài đặt cạnh nhau hai con số:

s_{g}

từ số liệu gốc và

s_{n}

từ số liệu đã ghép nhóm, để thấy ghép nhóm làm mất thông tin. Tổ chức tính:

\sum x_{i}

\sum x_{i}^{2}

hoặc đổi biến

u = x - 25

cho số nhỏ. Khi đếm tần số nhớ

[25; 30)

chứa

25

mà không chứa

30

1Cách 1. Công thức rút gọn trên tổng và tổng bình phương

Định hướng. Mẫu gốc dùng $\sum x_{i}$ , $\sum x_{i}^{2}$ ; đếm số cây theo nhóm rồi dùng giá trị đại diện cho mẫu ghép nhóm.

\sum x_{i} = 509

\sum x_{i}^{2} = 13483

\overline{x} = \frac{509}{20} = 25, 45

s_{g}^{2} = \frac{13483}{20} - 25, 4 5^{2} = 674, 15 - 647, 7025 = 26, 4475

s_{g} = 26, 4475 \approx 5, 14

[15; 20)

15; 18; 19; 19

\Rightarrow 4

[20; 25)

21; 23; 23; 24; 24

\Rightarrow 5

[25; 30)

25; 27; 27; 27; 29; 29

\Rightarrow 6

[30; 35)

30; 31; 31; 33; 34

\Rightarrow 5

x_{1} = 17, 5; x_{2} = 22, 5; x_{3} = 27, 5; x_{4} = 32, 5

\overline{x} = \frac{4 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 6 \cdot 27 , 5 + 5 \cdot 32 , 5}{20} = \frac{510}{20} = 25, 5

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{4 \cdot 17 , 5 ^{2} + 5 \cdot 22 , 5 ^{2} + 6 \cdot 27 , 5 ^{2} + 5 \cdot 32 , 5 ^{2}}{20} = \frac{13575}{20} = 678, 75

s_{n}^{2} = 678, 75 - 25, 5^{2} = 28, 5

s_{n} = s_{n}^{2} = 28, 5 \approx 5, 34

Vậy a) $s_{g} \approx 5, 14$ cm; b) tần số $4; 5; 6; 5$ , $s_{n} \approx 5, 34$ cm; c) nên dùng $s_{g}$ , vì $s_{g}$ tính từ số liệu gốc là giá trị chính xác, còn $s_{n}$ chỉ là giá trị xấp xỉ.

2Cách 2. Đổi biến về số nguyên nhỏ

Định hướng. Mẫu gốc đổi $u = x - 25$ (các số từ $- 10$ đến $9$ ); mẫu ghép nhóm đổi $u = \frac{x - 27 , 5}{5}$ .

u

- 10; - 6; - 1; 6; 2; - 2; - 7; - 6; 0; 4; - 2; 8; 9; 2; 6; - 1; 2; - 4; 4; 5

\sum u_{i} = 9

\sum u_{i}^{2} = 533

\overline{x} = 25 + \frac{9}{20} = 25, 45

s_{g}^{2} = s_{u}^{2} = \frac{533}{20} - (\frac{9}{20})^{2} = 26, 65 - 0, 2025 = 26, 4475

s_{g} \approx 5, 14

b) tần số

4; 5; 6; 5

u = \frac{x - 27 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{4 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1}{20} = - 0, 4

s_{u}^{2} = \frac{4 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1}{20} - (- 0, 4)^{2} = 1, 3 - 0, 16 = 1, 14

\overline{x} = 27, 5 + 5 \cdot (- 0, 4) = 25, 5

s_{n}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot 1, 14 = 28, 5

s_{n} = s_{n}^{2} = 28, 5 \approx 5, 34

3Cách 3. Máy tính cầm tay (chế độ thống kê)

Định hướng. Nhập $20$ số liệu gốc để đọc $σ x$ ; mẫu ghép nhóm nhập $4$ giá trị đại diện kèm tần số. Chọn $σ x$ (chia $n$ ), không chọn $s x$ .

a) STAT 1-VAR, nhập

15; 19; \dots; 30

\overline{x} = 25, 45

σ x \approx 5, 1427

b) bật tần số, nhập

17, 5; 22, 5; 27, 5; 32, 5

với tần số

4; 5; 6; 5

\overline{x} = 25, 5

σ x \approx 5, 3385

Nhận xét. Ở đây ghép nhóm làm $s$ lệch khoảng $0, 2$ cm; khi đã có đủ số liệu gốc thì luôn ưu tiên giá trị tính từ số liệu gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 khi làm tay:

\sum u_{i}^{2} = 533

với các

u

nhỏ hơn

10

nhẩm nhanh hơn nhiều so với

\sum x_{i}^{2} = 13483

; có máy thì Cách 3.

Đáp số. a)

s_{g} = 26, 4475 \approx 5, 14

cm. b) Tần số

4; 5; 6; 5

;

s_{n} = 28, 5 \approx 5, 34

cm. c) Dùng

s_{g}

(giá trị chính xác).

Sai lầm thường gặp. Đếm cây cao

30

cm vào nhóm

[25; 30)

— sai,

30

thuộc nhóm

[30; 35)

; khi đó tần số thành

4; 5; 7; 4

và

s_{n}

sai. Chọn c) là

s_{n}

"vì dùng công thức ghép nhóm của bài học" — sai: có số liệu gốc thì giá trị gốc chính xác hơn.

🚀 Mở rộng. Chia lại thành các nhóm độ rộng

10

[15; 25), [25; 35)

rồi tính độ lệch chuẩn ghép nhóm mới: nó xa

s_{g}

hơn hay gần hơn

s_{n}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.7★Trang 66— Ý nghĩa của độ lệch chuẩn trong thực tiễn

Bài 3.7 (trang 66). Độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm sau đây cho biết điều gì?
a) Mẫu số liệu ghép nhóm về thành tích

20

lần luyện tập (đơn vị tính là phút) của một vận động viên chạy cự li

1000

mét.
b) Mẫu số liệu ghép nhóm về kết quả

20

lần đo khoảng cách từ Trái Đất đến một ngôi sao (đơn vị là năm ánh sáng) khi dùng một thiết bị đo mới được chế tạo.

Kiến thức cần nhớ

Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của số liệu quanh số trung bình; cùng đơn vị với số liệu.
Với các lần đo lặp một đại lượng cố định, độ lệch chuẩn phản ánh độ chính xác của phép đo (thiết bị đo).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.8★★Trang 66— So sánh độ ổn định hai mẫu bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.8 (trang 66). Doanh thu theo tháng của một cửa hàng trong hai năm 2022 và 2023 được cho như sau:

Doanh thu (triệu đồng)	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Số tháng năm 2022	$1$	$5$	$4$	$2$
Số tháng năm 2023	$3$	$4$	$3$	$2$

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết trong năm nào cửa hàng này có doanh thu hằng tháng ổn định hơn.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.9★★★Trang 66— Dùng độ lệch chuẩn đo độ rủi ro đầu tư

Bài 3.9 (trang 66). Lợi nhuận của

20

nhà đầu tư quy mô nhỏ ở hai lĩnh vực A và B được cho như sau (lợi nhuận âm được hiểu là lỗ vốn):

Lợi nhuận (tỉ đồng)	$[- 1; - 0, 5)$	$[- 0, 5; 0)$	$[0; 0, 5)$	$[0, 5; 1)$	$[1; 1, 5)$
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực A	$2$	$3$	$7$	$5$	$3$
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực B	$1$	$3$	$10$	$4$	$2$

Hỏi đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Độ lệch chuẩn của lợi nhuận càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro (khi lợi nhuận trung bình xấp xỉ nhau).