Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.5★★Trang 65— Tính số trung bình và độ lệch chuẩn mẫu ghép nhóm

Bài 3.5 (trang 65). Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian ngủ trong ngày của các học sinh lớp 12A.

Thời gian ngủ (giờ)	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$	$[7, 5; 8)$	$[8; 8, 5)$
Số học sinh	$5$	$12$	$15$	$3$

Tìm số trung bình và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài tính trực tiếp,

n = 35

. Cạm bẫy nằm ở con số:

\overline{x} = \frac{1047}{140}

là số thập phân vô hạn, nếu làm tròn

7, 48

rồi dùng công thức rút gọn thì sai ở chữ số thứ hai của

s

. Hướng an toàn: giữ phân số hoặc đổi biến.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Giá trị đại diện $6, 75; 7, 25; 7, 75; 8, 25$ , cỡ mẫu $35$ ; số trung bình ra phân số nên giữ dạng phân số khi tính độ lệch.

x_{1} = 6, 75; x_{2} = 7, 25; x_{3} = 7, 75; x_{4} = 8, 25

n = 5 + 12 + 15 + 3 = 35

\overline{x} = \frac{5 \cdot 6 , 75 + 12 \cdot 7 , 25 + 15 \cdot 7 , 75 + 3 \cdot 8 , 25}{35} = \frac{261 , 75}{35} = \frac{1047}{140} \approx 7, 479

s^{2} = \frac{1}{35} [5 \cdot (6, 75 - \frac{1047}{140})^{2} + 12 \cdot (7, 25 - \frac{1047}{140})^{2} + 15 \cdot (7, 75 - \frac{1047}{140})^{2} + 3 \cdot (8, 25 - \frac{1047}{140})^{2}]

s^{2} = \frac{1}{35} [5 \cdot (- \frac{102}{140})^{2} + 12 \cdot (- \frac{32}{140})^{2} + 15 \cdot (\frac{38}{140})^{2} + 3 \cdot (\frac{108}{140})^{2}]

s^{2} = \frac{5 \cdot 10 2 ^{2} + 12 \cdot 3 2 ^{2} + 15 \cdot 3 8 ^{2} + 3 \cdot 10 8 ^{2}}{35 \cdot 14 0 ^{2}} = \frac{120960}{686000} = \frac{216}{1225}

s = s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 420

Vậy $\overline{x} = \frac{1047}{140} \approx 7, 48$ giờ, $s = \frac{216}{1225} = \frac{6 6}{35} \approx 0, 42$ giờ.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn, giữ $\overline{x} = \frac{1047}{140}$ ở dạng phân số khi bình phương, không làm tròn giữa chừng.

\overline{x} = \frac{5 \cdot 6 , 75 + 12 \cdot 7 , 25 + 15 \cdot 7 , 75 + 3 \cdot 8 , 25}{35} = \frac{261 , 75}{35} = \frac{1047}{140} \approx 7, 479

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{5 \cdot 6 , 7 5 ^{2} + 12 \cdot 7 , 2 5 ^{2} + 15 \cdot 7 , 7 5 ^{2} + 3 \cdot 8 , 2 5 ^{2}}{35} = \frac{1963 , 6875}{35} = \frac{31419}{560}

s^{2} = \frac{31419}{560} - (\frac{1047}{140})^{2} = \frac{216}{1225}

s = s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 420

Vậy $\overline{x} = \frac{1047}{140} \approx 7, 48$ giờ, $s = \frac{216}{1225} = \frac{6 6}{35} \approx 0, 42$ giờ.

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Đổi $u = \frac{x - 7 , 75}{0 , 5}$ về $- 2; - 1; 0; 1$ , mọi phép tính là phân số mẫu $35$ .

u = \frac{x - 7 , 75}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{5 \cdot ( - 2 ) + 12 \cdot ( - 1 ) + 15 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{35} = - \frac{19}{35}

s_{u}^{2} = \frac{5 \cdot 4 + 12 \cdot 1 + 15 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{35} - (- \frac{19}{35})^{2} = 1 - \frac{361}{1225} = \frac{864}{1225}

\overline{x} = 7, 75 + 0, 5 \cdot (- \frac{19}{35}) = \frac{1047}{140}

s^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot \frac{864}{1225} = \frac{216}{1225}

s = s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 420

Vậy $\overline{x} = \frac{1047}{140} \approx 7, 48$ giờ, $s = \frac{216}{1225} = \frac{6 6}{35} \approx 0, 42$ giờ.

Nhận xét. Số trung bình $\frac{1047}{140}$ không hữu hạn nên Cách 2 dễ bị làm tròn sớm; Cách 3 giữ mọi thứ ở phân số mẫu $35$ và cho luôn dạng đúng $s = \frac{6 6}{35}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: số nguyên nhỏ, phân số cùng mẫu

35

, không phải bình phương

\frac{1047}{140}

— vừa nhanh vừa chính xác.

Đáp số.

\overline{x} \approx 7, 48

giờ;

s^{2} = \frac{216}{1225} \approx 0, 176

s \approx 0, 42

giờ.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

\overline{x} \approx 7, 48

rồi tính

\frac{31419}{560} - 7, 4 8^{2} \approx 0, 155

s \approx 0, 39

— sai (đúng là

0, 42

), vì hai số cỡ

56

gần bằng nhau bị trừ cho nhau. Ghi nhầm giá trị đại diện nhóm cuối là

8, 35

thay vì

8, 25

cũng làm lệch cả

\overline{x}

lẫn

s

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi học sinh ngủ thêm đúng

30

phút thì

\overline{x}

và

s

thay đổi thế nào? (Gợi ý: cộng hằng số

0, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.6★★★Trang 66— Độ lệch chuẩn mẫu gốc và mẫu ghép nhóm; giá trị chính xác, xấp xỉ

Bài 3.6 (trang 66). Chiều cao của

20

cây xoan giống (đơn vị là cm) được cho như sau:

15192431272318192529

23333427312427212930

a) Tính độ lệch chuẩn

s_{g}

của mẫu số liệu.
b) Hoàn thiện bảng số liệu ghép nhóm sau và tính độ lệch chuẩn

s_{n}

của mẫu số liệu ghép nhóm này:

Chiều cao (cm)	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Số cây	?	?	?	?

c) Nên dùng giá trị

s_{g}

hay

s_{n}

để đo mức độ phân tán về chiều cao của

20

cây xoan giống này?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Mẫu gốc cho độ lệch chuẩn chính xác; mẫu ghép nhóm chỉ cho giá trị xấp xỉ, dùng khi không có số liệu gốc.

🧠 Phân tích tư duy

Bài đặt cạnh nhau hai con số:

s_{g}

từ số liệu gốc và

s_{n}

từ số liệu đã ghép nhóm, để thấy ghép nhóm làm mất thông tin. Tổ chức tính:

\sum x_{i}

\sum x_{i}^{2}

hoặc đổi biến

u = x - 25

cho số nhỏ. Khi đếm tần số nhớ

[25; 30)

chứa

25

mà không chứa

30

1Cách 1. Công thức rút gọn trên tổng và tổng bình phương

Định hướng. Mẫu gốc dùng $\sum x_{i}$ , $\sum x_{i}^{2}$ ; đếm số cây theo nhóm rồi dùng giá trị đại diện cho mẫu ghép nhóm.

\sum x_{i} = 509

\sum x_{i}^{2} = 13483

\overline{x} = \frac{509}{20} = 25, 45

s_{g}^{2} = \frac{13483}{20} - 25, 4 5^{2} = 674, 15 - 647, 7025 = 26, 4475

s_{g} = 26, 4475 \approx 5, 14

[15; 20)

15; 18; 19; 19

\Rightarrow 4

[20; 25)

21; 23; 23; 24; 24

\Rightarrow 5

[25; 30)

25; 27; 27; 27; 29; 29

\Rightarrow 6

[30; 35)

30; 31; 31; 33; 34

\Rightarrow 5

x_{1} = 17, 5; x_{2} = 22, 5; x_{3} = 27, 5; x_{4} = 32, 5

\overline{x} = \frac{4 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 6 \cdot 27 , 5 + 5 \cdot 32 , 5}{20} = \frac{510}{20} = 25, 5

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{4 \cdot 17 , 5 ^{2} + 5 \cdot 22 , 5 ^{2} + 6 \cdot 27 , 5 ^{2} + 5 \cdot 32 , 5 ^{2}}{20} = \frac{13575}{20} = 678, 75

s_{n}^{2} = 678, 75 - 25, 5^{2} = 28, 5

s_{n} = s_{n}^{2} = 28, 5 \approx 5, 34

Vậy a) $s_{g} \approx 5, 14$ cm; b) tần số $4; 5; 6; 5$ , $s_{n} \approx 5, 34$ cm; c) nên dùng $s_{g}$ , vì $s_{g}$ tính từ số liệu gốc là giá trị chính xác, còn $s_{n}$ chỉ là giá trị xấp xỉ.

2Cách 2. Đổi biến về số nguyên nhỏ

Định hướng. Mẫu gốc đổi $u = x - 25$ (các số từ $- 10$ đến $9$ ); mẫu ghép nhóm đổi $u = \frac{x - 27 , 5}{5}$ .

u

- 10; - 6; - 1; 6; 2; - 2; - 7; - 6; 0; 4; - 2; 8; 9; 2; 6; - 1; 2; - 4; 4; 5

\sum u_{i} = 9

\sum u_{i}^{2} = 533

\overline{x} = 25 + \frac{9}{20} = 25, 45

s_{g}^{2} = s_{u}^{2} = \frac{533}{20} - (\frac{9}{20})^{2} = 26, 65 - 0, 2025 = 26, 4475

s_{g} \approx 5, 14

b) tần số

4; 5; 6; 5

u = \frac{x - 27 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{4 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1}{20} = - 0, 4

s_{u}^{2} = \frac{4 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1}{20} - (- 0, 4)^{2} = 1, 3 - 0, 16 = 1, 14

\overline{x} = 27, 5 + 5 \cdot (- 0, 4) = 25, 5

s_{n}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot 1, 14 = 28, 5

s_{n} = s_{n}^{2} = 28, 5 \approx 5, 34

3Cách 3. Máy tính cầm tay (chế độ thống kê)

Định hướng. Nhập $20$ số liệu gốc để đọc $σ x$ ; mẫu ghép nhóm nhập $4$ giá trị đại diện kèm tần số. Chọn $σ x$ (chia $n$ ), không chọn $s x$ .

a) STAT 1-VAR, nhập

15; 19; \dots; 30

\overline{x} = 25, 45

σ x \approx 5, 1427

b) bật tần số, nhập

17, 5; 22, 5; 27, 5; 32, 5

với tần số

4; 5; 6; 5

\overline{x} = 25, 5

σ x \approx 5, 3385

Nhận xét. Ở đây ghép nhóm làm $s$ lệch khoảng $0, 2$ cm; khi đã có đủ số liệu gốc thì luôn ưu tiên giá trị tính từ số liệu gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 khi làm tay:

\sum u_{i}^{2} = 533

với các

u

nhỏ hơn

10

nhẩm nhanh hơn nhiều so với

\sum x_{i}^{2} = 13483

; có máy thì Cách 3.

Đáp số. a)

s_{g} = 26, 4475 \approx 5, 14

cm. b) Tần số

4; 5; 6; 5

;

s_{n} = 28, 5 \approx 5, 34

cm. c) Dùng

s_{g}

(giá trị chính xác).

Sai lầm thường gặp. Đếm cây cao

30

cm vào nhóm

[25; 30)

— sai,

30

thuộc nhóm

[30; 35)

; khi đó tần số thành

4; 5; 7; 4

và

s_{n}

sai. Chọn c) là

s_{n}

"vì dùng công thức ghép nhóm của bài học" — sai: có số liệu gốc thì giá trị gốc chính xác hơn.

🚀 Mở rộng. Chia lại thành các nhóm độ rộng

10

[15; 25), [25; 35)

rồi tính độ lệch chuẩn ghép nhóm mới: nó xa

s_{g}

hơn hay gần hơn

s_{n}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.7★Trang 66— Ý nghĩa của độ lệch chuẩn trong thực tiễn

Bài 3.7 (trang 66). Độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm sau đây cho biết điều gì?
a) Mẫu số liệu ghép nhóm về thành tích

20

lần luyện tập (đơn vị tính là phút) của một vận động viên chạy cự li

1000

mét.
b) Mẫu số liệu ghép nhóm về kết quả

20

lần đo khoảng cách từ Trái Đất đến một ngôi sao (đơn vị là năm ánh sáng) khi dùng một thiết bị đo mới được chế tạo.

Kiến thức cần nhớ

Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của số liệu quanh số trung bình; cùng đơn vị với số liệu.
Với các lần đo lặp một đại lượng cố định, độ lệch chuẩn phản ánh độ chính xác của phép đo (thiết bị đo).

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi khái niệm: độ lệch chuẩn luôn đo mức phân tán quanh số trung bình, nhưng phải "dịch" sang ngôn ngữ của bối cảnh. Ở a) cùng một người chạy nhiều lần nên phân tán nghĩa là thành tích lên xuống; ở b) đại lượng được đo là cố định nên phân tán hoàn toàn do sai số của thiết bị.

1Cách 1. Đọc ý nghĩa độ lệch chuẩn trong từng bối cảnh

Định hướng. Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của số liệu quanh số trung bình; mỗi bối cảnh cho "phân tán" một ý nghĩa cụ thể.

20

lần chạy của một vận động viên:

s

nhỏ

\Rightarrow

thời gian các lần chạy sát nhau
b)

20

lần đo một khoảng cách cố định:

s

nhỏ

\Rightarrow

các kết quả đo sát nhau

Vậy a) độ lệch chuẩn cho biết mức độ ổn định thành tích của vận động viên: càng nhỏ thì thành tích càng ổn định. b) độ lệch chuẩn cho biết độ chính xác của thiết bị đo mới: khoảng cách thật không đổi nên mọi sự phân tán là do sai số đo, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì thiết bị càng chính xác.

2Cách 2. Minh hoạ bằng hai mẫu số liệu cụ thể

Định hướng. So hai mẫu tự dựng có cùng số trung bình nhưng độ lệch chuẩn khác nhau để thấy $s$ nói lên điều gì.

a) người 1:

4; 4; 4; 4

(phút)

\Rightarrow \overline{x} = 4

s = 0

người 2:

3; 5; 3; 5

(phút)

\Rightarrow \overline{x} = 4

s = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{4} = 1

b) máy 1:

10; 10; 10; 10

(năm ánh sáng)

\Rightarrow s = 0

; máy 2:

9; 11; 9; 11 \Rightarrow s = 1

Vậy cùng trung bình, người (máy) có $s$ nhỏ hơn cho kết quả sát nhau hơn: ở a) đó là vận động viên chạy ổn định hơn, ở b) đó là thiết bị đo chính xác hơn.

Nhận xét. Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu: ở a) tính bằng phút, ở b) tính bằng năm ánh sáng — có thể nói "trung bình mỗi lần lệch khỏi mức chung cỡ $s$ phút (năm ánh sáng)".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — đi thi chỉ cần nêu đúng hai cụm "mức độ ổn định" (a) và "độ chính xác của thiết bị" (b) kèm chiều "càng nhỏ càng…".

Đáp số. a) Mức độ ổn định thành tích của vận động viên (càng nhỏ càng ổn định). b) Độ chính xác của thiết bị đo mới (càng nhỏ càng chính xác).

Sai lầm thường gặp. Trả lời a) "độ lệch chuẩn cho biết vận động viên chạy nhanh hay chậm" — sai, nhanh chậm do số trung bình quyết định. Trả lời b) "khoảng cách tới ngôi sao thay đổi nhiều" — sai, khoảng cách là cố định, chỉ kết quả đo dao động.

🚀 Mở rộng. Nếu hai thiết bị đo cho số trung bình khác nhau (

10, 0

và

10, 8

năm ánh sáng) nhưng thiết bị thứ hai có

s

nhỏ hơn thì đã chắc thiết bị thứ hai tốt hơn chưa? (Phân biệt "chính xác" và "đúng".)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.8★★Trang 66— So sánh độ ổn định hai mẫu bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.8 (trang 66). Doanh thu theo tháng của một cửa hàng trong hai năm 2022 và 2023 được cho như sau:

Doanh thu (triệu đồng)	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Số tháng năm 2022	$1$	$5$	$4$	$2$
Số tháng năm 2023	$3$	$4$	$3$	$2$

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết trong năm nào cửa hàng này có doanh thu hằng tháng ổn định hơn.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

"Ổn định hơn" là ít phân tán hơn, quy về so sánh

s_{2022}

và

s_{2023}

. Số trung bình của cả hai năm đều là phân số mẫu

12

nên dễ làm tròn sớm; đổi biến với

h = 5

đưa về số nguyên và phân số mẫu

12

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Mỗi năm $12$ tháng; tính $s$ từng năm theo định nghĩa (giữ số trung bình ở dạng phân số) rồi so sánh.

Năm 2022

x_{1} = 17, 5; x_{2} = 22, 5; x_{3} = 27, 5; x_{4} = 32, 5

n = 1 + 5 + 4 + 2 = 12

\overline{x}_{2022} = \frac{1 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 4 \cdot 27 , 5 + 2 \cdot 32 , 5}{12} = \frac{305}{12} = \frac{305}{12} \approx 25, 417

s_{2022}^{2} = \frac{1}{12} [1 \cdot (17, 5 - \frac{305}{12})^{2} + 5 \cdot (22, 5 - \frac{305}{12})^{2} + 4 \cdot (27, 5 - \frac{305}{12})^{2} + 2 \cdot (32, 5 - \frac{305}{12})^{2}]

s_{2022}^{2} = \frac{1}{12} [1 \cdot (- \frac{95}{12})^{2} + 5 \cdot (- \frac{35}{12})^{2} + 4 \cdot (\frac{25}{12})^{2} + 2 \cdot (\frac{85}{12})^{2}]

s_{2022}^{2} = \frac{1 \cdot 9 5 ^{2} + 5 \cdot 3 5 ^{2} + 4 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 8 5 ^{2}}{12 \cdot 1 2 ^{2}} = \frac{32100}{1728} = \frac{2675}{144}

s_{2022} = s_{2022}^{2} = \frac{2675}{144} \approx 4, 31

Năm 2023

x_{1} = 17, 5; x_{2} = 22, 5; x_{3} = 27, 5; x_{4} = 32, 5

n = 3 + 4 + 3 + 2 = 12

\overline{x}_{2023} = \frac{3 \cdot 17 , 5 + 4 \cdot 22 , 5 + 3 \cdot 27 , 5 + 2 \cdot 32 , 5}{12} = \frac{290}{12} = \frac{145}{6} \approx 24, 167

s_{2023}^{2} = \frac{1}{12} [3 \cdot (17, 5 - \frac{145}{6})^{2} + 4 \cdot (22, 5 - \frac{145}{6})^{2} + 3 \cdot (27, 5 - \frac{145}{6})^{2} + 2 \cdot (32, 5 - \frac{145}{6})^{2}]

s_{2023}^{2} = \frac{1}{12} [3 \cdot (- \frac{40}{6})^{2} + 4 \cdot (- \frac{10}{6})^{2} + 3 \cdot (\frac{20}{6})^{2} + 2 \cdot (\frac{50}{6})^{2}]

s_{2023}^{2} = \frac{3 \cdot 4 0 ^{2} + 4 \cdot 1 0 ^{2} + 3 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2}}{12 \cdot 6 ^{2}} = \frac{11400}{432} = \frac{475}{18}

s_{2023} = s_{2023}^{2} = \frac{475}{18} \approx 5, 14

Vậy $s_{2022} \approx 4, 31$ , $s_{2023} \approx 5, 14$ (triệu đồng); doanh thu trung bình hai năm xấp xỉ nhau ( $25, 42$ và $24, 17$ triệu đồng) mà $s_{2022} < s_{2023}$ nên năm 2022 cửa hàng có doanh thu hằng tháng ổn định hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn cho từng năm, giữ $\overline{x}$ dạng phân số khi bình phương.

Năm 2022

\overline{x}_{2022} = \frac{1 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 4 \cdot 27 , 5 + 2 \cdot 32 , 5}{12} = \frac{305}{12} = \frac{305}{12} \approx 25, 417

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot 17 , 5 ^{2} + 5 \cdot 22 , 5 ^{2} + 4 \cdot 27 , 5 ^{2} + 2 \cdot 32 , 5 ^{2}}{12} = \frac{7975}{12} = \frac{7975}{12}

s_{2022}^{2} = \frac{7975}{12} - (\frac{305}{12})^{2} = \frac{2675}{144}

s_{2022} = s_{2022}^{2} = \frac{2675}{144} \approx 4, 31

Năm 2023

\overline{x}_{2023} = \frac{3 \cdot 17 , 5 + 4 \cdot 22 , 5 + 3 \cdot 27 , 5 + 2 \cdot 32 , 5}{12} = \frac{290}{12} = \frac{145}{6} \approx 24, 167

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{3 \cdot 17 , 5 ^{2} + 4 \cdot 22 , 5 ^{2} + 3 \cdot 27 , 5 ^{2} + 2 \cdot 32 , 5 ^{2}}{12} = \frac{7325}{12} = \frac{7325}{12}

s_{2023}^{2} = \frac{7325}{12} - (\frac{145}{6})^{2} = \frac{475}{18}

s_{2023} = s_{2023}^{2} = \frac{475}{18} \approx 5, 14

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Chung phép đổi biến $u = \frac{x - 27 , 5}{5}$ cho hai năm.

Năm 2022

u = \frac{x - 27 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{12} = - \frac{5}{12}

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{12} - (- \frac{5}{12})^{2} = \frac{11}{12} - \frac{25}{144} = \frac{107}{144}

\overline{x}_{2022} = 27, 5 + 5 \cdot (- \frac{5}{12}) = \frac{305}{12}

s_{2022}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot \frac{107}{144} = \frac{2675}{144}

s_{2022} = s_{2022}^{2} = \frac{2675}{144} \approx 4, 31

Năm 2023

u = \frac{x - 27 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{3 \cdot ( - 2 ) + 4 \cdot ( - 1 ) + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{12} = - \frac{2}{3}

s_{u}^{2} = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{12} - (- \frac{2}{3})^{2} = 1, 5 - \frac{4}{9} = \frac{19}{18}

\overline{x}_{2023} = 27, 5 + 5 \cdot (- \frac{2}{3}) = \frac{145}{6}

s_{2023}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot \frac{19}{18} = \frac{475}{18}

s_{2023} = s_{2023}^{2} = \frac{475}{18} \approx 5, 14

Nhận xét. So nhanh bằng $s_{u}^{2}$ : $\frac{107}{144} \approx 0, 743 < 1, 056 \approx \frac{19}{18}$ là kết luận được năm 2022 ổn định hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: bảng

u = - 2; - 1; 0; 1

dùng chung, phép tính chỉ còn phân số mẫu

12

, không bình phương số lẻ

25, 4166 \dots

Đáp số.

s_{2022} = \frac{2675}{144} \approx 4, 31

;

s_{2023} = \frac{475}{18} \approx 5, 14

(triệu đồng). Năm 2022 doanh thu ổn định hơn.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

\overline{x}_{2022} \approx 25, 42

rồi dùng công thức rút gọn được

s_{2022} \approx 4, 29

thay vì

4, 31

— kết luận vẫn đúng nhưng số sai. Kết luận "2022 tốt hơn vì doanh thu trung bình cao hơn" là trả lời sai câu hỏi (hỏi ổn định, không hỏi cao thấp).

🚀 Mở rộng. Tháng có doanh thu thấp nhất năm 2023 được điều chỉnh lên nhóm

[25; 30)

: tính lại

s_{2023}

và xem kết luận có đổi không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.9★★★Trang 66— Dùng độ lệch chuẩn đo độ rủi ro đầu tư

Bài 3.9 (trang 66). Lợi nhuận của

20

nhà đầu tư quy mô nhỏ ở hai lĩnh vực A và B được cho như sau (lợi nhuận âm được hiểu là lỗ vốn):

Lợi nhuận (tỉ đồng)	$[- 1; - 0, 5)$	$[- 0, 5; 0)$	$[0; 0, 5)$	$[0, 5; 1)$	$[1; 1, 5)$
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực A	$2$	$3$	$7$	$5$	$3$
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực B	$1$	$3$	$10$	$4$	$2$

Hỏi đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Độ lệch chuẩn của lợi nhuận càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro (khi lợi nhuận trung bình xấp xỉ nhau).

🧠 Phân tích tư duy

Theo mục 2 (trang 82), độ rủi ro của phương án đầu tư đo bằng độ lệch chuẩn của lợi nhuận — câu hỏi quy về so

s_{A}

s_{B}

. Trước khi so phải kiểm tra hai lợi nhuận trung bình xấp xỉ nhau (điều kiện của Nhận xét trang 83). Chú ý giá trị đại diện âm

- 0, 75

- 0, 25

khi bình phương.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Độ rủi ro đo bằng độ lệch chuẩn của lợi nhuận; tính $s_{A}$ , $s_{B}$ theo định nghĩa (giá trị đại diện có số âm).

Lĩnh vực A

x_{1} = - 0, 75; x_{2} = - 0, 25; x_{3} = 0, 25; x_{4} = 0, 75; x_{5} = 1, 25

n = 2 + 3 + 7 + 5 + 3 = 20

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot ( - 0 , 75 ) + 3 \cdot ( - 0 , 25 ) + 7 \cdot 0 , 25 + 5 \cdot 0 , 75 + 3 \cdot 1 , 25}{20} = \frac{7}{20} = 0, 35

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 0 , 75 - 0 , 35 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 25 - 0 , 35 ) ^{2} + 7 \cdot ( 0 , 25 - 0 , 35 ) ^{2} + 5 \cdot ( 0 , 75 - 0 , 35 ) ^{2} + 3 \cdot ( 1 , 25 - 0 , 35 ) ^{2}}{20}

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 1 , 1 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 6 ) ^{2} + 7 \cdot ( - 0 , 1 ) ^{2} + 5 \cdot 0 , 4 ^{2} + 3 \cdot 0 , 9 ^{2}}{20} = \frac{6 , 8}{20} = 0, 34

s_{A} = s_{A}^{2} = 0, 34 \approx 0, 583

Lĩnh vực B

x_{1} = - 0, 75; x_{2} = - 0, 25; x_{3} = 0, 25; x_{4} = 0, 75; x_{5} = 1, 25

n = 1 + 3 + 10 + 4 + 2 = 20

\overline{x}_{B} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 75 ) + 3 \cdot ( - 0 , 25 ) + 10 \cdot 0 , 25 + 4 \cdot 0 , 75 + 2 \cdot 1 , 25}{20} = \frac{6 , 5}{20} = 0, 325

s_{B}^{2} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 75 - 0 , 325 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 25 - 0 , 325 ) ^{2} + 10 \cdot ( 0 , 25 - 0 , 325 ) ^{2} + 4 \cdot ( 0 , 75 - 0 , 325 ) ^{2} + 2 \cdot ( 1 , 25 - 0 , 325 ) ^{2}}{20}

s_{B}^{2} = \frac{1 \cdot ( - 1 , 075 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 575 ) ^{2} + 10 \cdot ( - 0 , 075 ) ^{2} + 4 \cdot 0 , 42 5 ^{2} + 2 \cdot 0 , 92 5 ^{2}}{20} = \frac{4 , 6375}{20} = 0, 231875

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 231875 \approx 0, 482

Vậy $s_{A} = 0, 34 \approx 0, 58$ , $s_{B} \approx 0, 48$ (tỉ đồng); lợi nhuận trung bình hai lĩnh vực xấp xỉ nhau ( $0, 35$ và $0, 325$ tỉ đồng) mà $s_{A} > s_{B}$ nên đầu tư vào lĩnh vực A "rủi ro" hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn cho từng lĩnh vực; bình phương số âm cho số dương nên $\sum m_{i} x_{i}^{2}$ không bị triệt tiêu.

Lĩnh vực A

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot ( - 0 , 75 ) + 3 \cdot ( - 0 , 25 ) + 7 \cdot 0 , 25 + 5 \cdot 0 , 75 + 3 \cdot 1 , 25}{20} = \frac{7}{20} = 0, 35

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot ( - 0 , 75 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 25 ) ^{2} + 7 \cdot 0 , 2 5 ^{2} + 5 \cdot 0 , 7 5 ^{2} + 3 \cdot 1 , 2 5 ^{2}}{20} = \frac{9 , 25}{20} = 0, 4625

s_{A}^{2} = 0, 4625 - 0, 3 5^{2} = 0, 34

s_{A} = s_{A}^{2} = 0, 34 \approx 0, 583

Lĩnh vực B

\overline{x}_{B} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 75 ) + 3 \cdot ( - 0 , 25 ) + 10 \cdot 0 , 25 + 4 \cdot 0 , 75 + 2 \cdot 1 , 25}{20} = \frac{6 , 5}{20} = 0, 325

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot ( - 0 , 75 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 25 ) ^{2} + 10 \cdot 0 , 2 5 ^{2} + 4 \cdot 0 , 7 5 ^{2} + 2 \cdot 1 , 2 5 ^{2}}{20} = \frac{6 , 75}{20} = 0, 3375

s_{B}^{2} = 0, 3375 - 0, 32 5^{2} = 0, 231875

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 231875 \approx 0, 482

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Đổi $u = \frac{x - 0 , 25}{0 , 5}$ về $- 2; - 1; 0; 1; 2$ — bảng đối xứng quanh $0$ .

Lĩnh vực A

u = \frac{x - 0 , 25}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 3 \cdot ( - 1 ) + 7 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{20} = 0, 2

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 7 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 4}{20} - 0, 2^{2} = 1, 4 - 0, 04 = 1, 36

\overline{x}_{A} = 0, 25 + 0, 5 \cdot 0, 2 = 0, 35

s_{A}^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot 1, 36 = 0, 34

s_{A} = s_{A}^{2} = 0, 34 \approx 0, 583

Lĩnh vực B

u = \frac{x - 0 , 25}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 3 \cdot ( - 1 ) + 10 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{20} = 0, 15

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{20} - 0, 1 5^{2} = 0, 95 - 0, 0225 = 0, 9275

\overline{x}_{B} = 0, 25 + 0, 5 \cdot 0, 15 = 0, 325

s_{B}^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot 0, 9275 = 0, 231875

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 231875 \approx 0, 482

Nhận xét. So $s_{u}^{2}$ : $1, 36 > 0, 9275$ đủ để kết luận A rủi ro hơn; để ý A có $5$ nhà đầu tư lỗ vốn còn B chỉ có $4$ , và A cũng có nhiều nhà đầu tư lãi cao hơn — lợi nhuận A "dao động mạnh" về cả hai phía.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: các

u

là

- 2; \dots; 2

, số âm được xử lí trên số nguyên nên không nhầm dấu; Cách 1 phải bình phương các độ lệch như

- 1, 1

- 0, 6

dễ sai.

Đáp số.

\overline{x}_{A} = 0, 35

s_{A} = 0, 34 \approx 0, 58

;

\overline{x}_{B} = 0, 325

s_{B} = \frac{371}{1600} \approx 0, 48

(tỉ đồng). Lĩnh vực A rủi ro hơn.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "B rủi ro hơn vì lợi nhuận trung bình thấp hơn" — sai tiêu chí: rủi ro đo bằng độ lệch chuẩn, không bằng số trung bình. Bình phương

(- 0, 75)^{2}

thành

- 0, 5625

làm

s^{2}

nhỏ đi, thậm chí âm.

🚀 Mở rộng. Tính hệ số biến thiên

C V = \frac{s}{x}

của hai lĩnh vực và kiểm tra kết luận "A rủi ro hơn" vẫn giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗