Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★★Trang 80— Ước lượng phương sai của mẫu gốc từ mẫu ghép nhóm

HĐ1 (trang 80). Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu: để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo

20

lần và có mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Độ ẩm (%)	$[52; 52, 1)$	$[52, 1; 52, 2)$	$[52, 2; 52, 3)$	$[52, 3; 52, 4)$	$[52, 4; 52, 5)$
Tần số	$1$	$5$	$8$	$4$	$2$

Gọi

x_{1}, \dots, x_{20}

là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng chỉ cho biết mỗi kết quả đo rơi vào nhóm nào, không cho giá trị cụ thể — nên ý a) có câu trả lời "không". Ý b) gợi ý đúng tinh thần của số trung bình ghép nhóm đã học ở lớp 11: thay mọi giá trị trong nhóm

[a_{i}; a_{i + 1})

bởi trung điểm

x_{i}

, rồi dùng công thức phương sai của mẫu có tần số.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Không biết từng giá trị $x_{i}$ , chỉ biết nhóm chứa nó, nên thay mỗi giá trị bằng trung điểm nhóm rồi tính phương sai theo định nghĩa.

x_{1} = 52, 05; x_{2} = 52, 15; x_{3} = 52, 25; x_{4} = 52, 35; x_{5} = 52, 45

n = 1 + 5 + 8 + 4 + 2 = 20

\overline{x} = \frac{1 \cdot 52 , 05 + 5 \cdot 52 , 15 + 8 \cdot 52 , 25 + 4 \cdot 52 , 35 + 2 \cdot 52 , 45}{20} = \frac{1045 , 1}{20} = 52, 255

s^{2} = \frac{1 \cdot ( 52 , 05 - 52 , 255 ) ^{2} + 5 \cdot ( 52 , 15 - 52 , 255 ) ^{2} + 8 \cdot ( 52 , 25 - 52 , 255 ) ^{2} + 4 \cdot ( 52 , 35 - 52 , 255 ) ^{2} + 2 \cdot ( 52 , 45 - 52 , 255 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 205 ) ^{2} + 5 \cdot ( - 0 , 105 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 0 , 005 ) ^{2} + 4 \cdot 0 , 09 5 ^{2} + 2 \cdot 0 , 19 5 ^{2}}{20} = \frac{0 , 2095}{20} = 0, 010475

s = s^{2} = 0, 010475 \approx 0, 102

Vậy a) Không tính được chính xác; b) ước lượng phương sai của mẫu gốc bởi $s^{2} = 0, 010475$ và độ lệch chuẩn bởi $s \approx 0, 102$ .

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Vẫn thay bằng trung điểm, nhưng tránh $5$ phép trừ lẻ $x_{i} - \overline{x}$ bằng công thức trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình.

\overline{x} = \frac{1 \cdot 52 , 05 + 5 \cdot 52 , 15 + 8 \cdot 52 , 25 + 4 \cdot 52 , 35 + 2 \cdot 52 , 45}{20} = \frac{1045 , 1}{20} = 52, 255

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot 52 , 0 5 ^{2} + 5 \cdot 52 , 1 5 ^{2} + 8 \cdot 52 , 2 5 ^{2} + 4 \cdot 52 , 3 5 ^{2} + 2 \cdot 52 , 4 5 ^{2}}{20} = \frac{54611 , 91}{20} = 2730, 5955

s^{2} = 2730, 5955 - 52, 25 5^{2} = 0, 010475

s = s^{2} = 0, 010475 \approx 0, 102

Vậy a) Không tính được chính xác; b) ước lượng phương sai của mẫu gốc bởi $s^{2} = 0, 010475$ và độ lệch chuẩn bởi $s \approx 0, 102$ .

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Các trung điểm cách đều $0, 1$ nên đổi sang $u \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ , tính trên số nguyên rồi nhân lại $0, 1^{2}$ .

u = \frac{x - 52 , 25}{0 , 1}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 8 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{20} = 0, 05

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{20} - 0, 0 5^{2} = 1, 05 - 0, 0025 = 1, 0475

\overline{x} = 52, 25 + 0, 1 \cdot 0, 05 = 52, 255

s^{2} = 0, 1^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 01 \cdot 1, 0475 = 0, 010475

s = s^{2} = 0, 010475 \approx 0, 102

Vậy a) Không tính được chính xác; b) ước lượng phương sai của mẫu gốc bởi $s^{2} = 0, 010475$ và độ lệch chuẩn bởi $s \approx 0, 102$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cùng một ý tưởng xấp xỉ — "mọi số liệu trong nhóm dồn về trung điểm" — nên ra đúng một số $0, 010475$ ; đây chính là định nghĩa phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm ở trang 80.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: các giá trị đại diện cách đều nên đổi biến đưa mọi phép tính về số nguyên nhỏ, không phải bình phương số

52, 255

— ít sai nhất khi tính tay.

Đáp số. a) Không. b)

s^{2} \approx 0, 010475

s \approx 0, 102

(ước lượng bằng giá trị đại diện của mỗi nhóm).

Sai lầm thường gặp. Dùng đầu mút trái

52; 52, 1; \dots

làm giá trị đại diện: số trung bình lệch đi

0, 05

thành

52, 205

(sai), dù phương sai vô tình không đổi vì mọi giá trị cùng dịch

0, 05

. Ở Cách 2 nếu làm tròn

\overline{x} \approx 52, 26

trước khi bình phương thì

2730, 5955 - 52, 2 6^{2} = - 0, 5121 < 0

— phương sai âm, vô lí: số trung bình lớn phải giữ nguyên, không làm tròn.

🚀 Mở rộng. Chứng minh rằng nếu cộng cùng một số

c

vào mọi số liệu thì phương sai không đổi — đó là lí do Cách 3 được trừ đi

52, 25

mà không làm thay đổi

s^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 82— Tính phương sai, độ lệch chuẩn và nêu ý nghĩa

Luyện tập 1 (trang 82). Một vận động viên luyện tập chạy cự li

100

m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:

Thời gian (giây)	$[10, 2; 10, 4)$	$[10, 4; 10, 6)$	$[10, 6; 10, 8)$	$[10, 8; 11)$
Số vận động viên	$3$	$7$	$8$	$2$

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu ghép nhóm

4

nhóm độ rộng

0, 2

giây, cỡ mẫu

n = 20

— áp dụng thẳng công thức. Vì các giá trị đại diện đều quanh

10, 5

nên dùng công thức rút gọn phải bình phương số lớn; đổi biến về số nguyên nhỏ thì an toàn hơn. Phần "cho biết điều gì" phải nói được đơn vị:

s

đo bằng giây.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Tính giá trị đại diện, số trung bình rồi lấy trung bình của bình phương độ lệch.

x_{1} = 10, 3; x_{2} = 10, 5; x_{3} = 10, 7; x_{4} = 10, 9

n = 3 + 7 + 8 + 2 = 20

\overline{x} = \frac{3 \cdot 10 , 3 + 7 \cdot 10 , 5 + 8 \cdot 10 , 7 + 2 \cdot 10 , 9}{20} = \frac{211 , 8}{20} = 10, 59

s^{2} = \frac{3 \cdot ( 10 , 3 - 10 , 59 ) ^{2} + 7 \cdot ( 10 , 5 - 10 , 59 ) ^{2} + 8 \cdot ( 10 , 7 - 10 , 59 ) ^{2} + 2 \cdot ( 10 , 9 - 10 , 59 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{3 \cdot ( - 0 , 29 ) ^{2} + 7 \cdot ( - 0 , 09 ) ^{2} + 8 \cdot 0 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 0 , 3 1 ^{2}}{20} = \frac{0 , 598}{20} = 0, 0299

s = s^{2} = 0, 0299 \approx 0, 173

Vậy phương sai $s^{2} = 0, 0299$ (giây $^{2}$ ), độ lệch chuẩn $s \approx 0, 17$ giây: thời gian chạy $100$ m của vận động viên dao động quanh mức trung bình $10, 59$ giây khoảng $0, 17$ giây, thành tích khá ổn định.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Tính trung bình các $x_{i}^{2}$ rồi trừ $\overline{x}^{2}$ ; số trung bình $10, 59$ là số hữu hạn nên phép trừ gọn.

\overline{x} = \frac{3 \cdot 10 , 3 + 7 \cdot 10 , 5 + 8 \cdot 10 , 7 + 2 \cdot 10 , 9}{20} = \frac{211 , 8}{20} = 10, 59

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{3 \cdot 10 , 3 ^{2} + 7 \cdot 10 , 5 ^{2} + 8 \cdot 10 , 7 ^{2} + 2 \cdot 10 , 9 ^{2}}{20} = \frac{2243 , 56}{20} = 112, 178

s^{2} = 112, 178 - 10, 5 9^{2} = 0, 0299

s = s^{2} = 0, 0299 \approx 0, 173

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Các giá trị đại diện cách đều $0, 2$ : đổi $u = \frac{x - 10 , 7}{0 , 2}$ để tính trên $- 2; - 1; 0; 1$ .

u = \frac{x - 10 , 7}{0 , 2}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{3 \cdot ( - 2 ) + 7 \cdot ( - 1 ) + 8 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{20} = - 0, 55

s_{u}^{2} = \frac{3 \cdot 4 + 7 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{20} - (- 0, 55)^{2} = 1, 05 - 0, 3025 = 0, 7475

\overline{x} = 10, 7 + 0, 2 \cdot (- 0, 55) = 10, 59

s^{2} = 0, 2^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 04 \cdot 0, 7475 = 0, 0299

s = s^{2} = 0, 0299 \approx 0, 173

Nhận xét. Độ lệch chuẩn $0, 17$ giây chưa bằng $2%$ của $10, 59$ giây — con số nhỏ so với số trung bình cho thấy vận động viên chạy khá đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: chỉ làm với

u \in {- 2; - 1; 0; 1}

, nhẩm được

\overline{u}

và

s_{u}^{2}

; Cách 1 phải bình phương bốn số thập phân

- 0, 29; - 0, 09; \dots

dễ nhầm.

Đáp số.

s^{2} = 0, 0299

;

s \approx 0, 17

giây. Thời gian chạy dao động quanh

10, 59

giây khoảng

0, 17

giây — thành tích khá ổn định.

Sai lầm thường gặp. Ghi đơn vị của phương sai là "giây" — sai, phương sai có đơn vị giây

^{2}

; chỉ độ lệch chuẩn mới cùng đơn vị với số liệu. Quên lấy căn: trả lời

s = 0, 0299

là nhầm phương sai với độ lệch chuẩn.

🚀 Mở rộng. Nếu vận động viên luyện thêm và cả

20

lần đều nhanh hơn đúng

0, 1

giây thì

\overline{x}

giảm

0, 1

còn

s

giữ nguyên — độ lệch chuẩn không phản ánh "nhanh hay chậm" mà phản ánh "đều hay không đều".

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng★★Trang 82— So sánh độ lệch chuẩn với ngưỡng cho trước

Vận dụng (trang 82). Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.
Tình huống mở đầu (trang 80): Để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo

20

lần. Nếu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đo lớn hơn

0, 15

thì người ta sẽ đưa máy đo đi sửa chữa. Trong một lần lấy mẫu, kĩ thuật viên có được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Độ ẩm (%)	$[52; 52, 1)$	$[52, 1; 52, 2)$	$[52, 2; 52, 3)$	$[52, 3; 52, 4)$	$[52, 4; 52, 5)$
Tần số	$1$	$5$	$8$	$4$	$2$

Liệu có cần đưa máy đo này đi sửa chữa hay không?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiêu chí sửa máy là "độ lệch chuẩn lớn hơn

0, 15

" — câu hỏi quy về tính

s

rồi so sánh. Các số đo đều quanh

52, 2

mà chênh nhau chỉ phần trăm, nên dùng công thức rút gọn rất dễ mất chính xác; đổi biến

u

là hướng an toàn.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Đem độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm (ước lượng cho mẫu gốc) so với ngưỡng $0, 15$ .

x_{1} = 52, 05; x_{2} = 52, 15; x_{3} = 52, 25; x_{4} = 52, 35; x_{5} = 52, 45

n = 1 + 5 + 8 + 4 + 2 = 20

\overline{x} = \frac{1 \cdot 52 , 05 + 5 \cdot 52 , 15 + 8 \cdot 52 , 25 + 4 \cdot 52 , 35 + 2 \cdot 52 , 45}{20} = \frac{1045 , 1}{20} = 52, 255

s^{2} = \frac{1 \cdot ( 52 , 05 - 52 , 255 ) ^{2} + 5 \cdot ( 52 , 15 - 52 , 255 ) ^{2} + 8 \cdot ( 52 , 25 - 52 , 255 ) ^{2} + 4 \cdot ( 52 , 35 - 52 , 255 ) ^{2} + 2 \cdot ( 52 , 45 - 52 , 255 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 205 ) ^{2} + 5 \cdot ( - 0 , 105 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 0 , 005 ) ^{2} + 4 \cdot 0 , 09 5 ^{2} + 2 \cdot 0 , 19 5 ^{2}}{20} = \frac{0 , 2095}{20} = 0, 010475

s = s^{2} = 0, 010475 \approx 0, 102

Vậy $s \approx 0, 102 < 0, 15$ nên không cần đưa máy đo đi sửa chữa.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Dùng công thức rút gọn; giữ nguyên $\overline{x} = 52, 255$ khi bình phương vì hiệu hai số rất gần nhau.

\overline{x} = \frac{1 \cdot 52 , 05 + 5 \cdot 52 , 15 + 8 \cdot 52 , 25 + 4 \cdot 52 , 35 + 2 \cdot 52 , 45}{20} = \frac{1045 , 1}{20} = 52, 255

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot 52 , 0 5 ^{2} + 5 \cdot 52 , 1 5 ^{2} + 8 \cdot 52 , 2 5 ^{2} + 4 \cdot 52 , 3 5 ^{2} + 2 \cdot 52 , 4 5 ^{2}}{20} = \frac{54611 , 91}{20} = 2730, 5955

s^{2} = 2730, 5955 - 52, 25 5^{2} = 0, 010475

s = s^{2} = 0, 010475 \approx 0, 102

Vậy $s \approx 0, 102 < 0, 15$ nên không cần đưa máy đo đi sửa chữa.

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Đổi biến $u = \frac{x - 52 , 25}{0 , 1}$ , tính $s_{u}$ rồi $s = 0, 1 s_{u}$ — so sánh $s_{u}$ với $1, 5$ là đủ.

u = \frac{x - 52 , 25}{0 , 1}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 8 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{20} = 0, 05

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{20} - 0, 0 5^{2} = 1, 05 - 0, 0025 = 1, 0475

\overline{x} = 52, 25 + 0, 1 \cdot 0, 05 = 52, 255

s^{2} = 0, 1^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 01 \cdot 1, 0475 = 0, 010475

s = s^{2} = 0, 010475 \approx 0, 102

Vậy $s \approx 0, 102 < 0, 15$ nên không cần đưa máy đo đi sửa chữa.

Nhận xét. Ở Cách 3 chỉ cần so $s_{u}^{2} = 1, 0475$ với $1, 5^{2} = 2, 25$ là thấy ngay $s < 0, 15$ , không phải khai căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: mọi phép tính trên số nguyên

- 2; \dots; 2

, chỉ cần so

s_{u}^{2}

với

2, 25

; Cách 2 phải trừ hai số cỡ

2730

gần bằng nhau, làm tròn sớm một chút là ra kết quả vô nghĩa.

Đáp số.

s \approx 0, 102 < 0, 15

— không cần đưa máy đi sửa chữa.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

\overline{x} \approx 52, 26

rồi dùng công thức rút gọn:

2730, 5955 - 52, 2 6^{2} < 0

— phương sai âm. Hoặc so phương sai

0, 0105

với

0, 15

(so nhầm đại lượng): kết luận tuy trùng nhưng lập luận sai, đổi ngưỡng thành

0, 05

là lộ ngay.

🚀 Mở rộng. Tìm số lần đo lớn nhất có thể rơi vào nhóm

[52, 4; 52, 5)

(thay cho nhóm

[52, 2; 52, 3)

, tổng vẫn

20

) mà máy vẫn chưa phải sửa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.4★★★Trang 84— Ghép nhóm số liệu; so sánh phương sai mẫu gốc và mẫu ghép nhóm

Bài 3.4 (trang 84). Kiểm tra khối lượng của

30

bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:

49, 551, 150, 850, 248, 749, 651, 351, 450, 150, 5

48, 949, 350, 748, 849, 848, 851, 250, 450, 051, 2

51, 448, 751, 250, 650, 949, 250, 751, 148, 649, 6

a) Thay dấu "?" bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau.

Nhóm số liệu	$[48, 5; 49)$	$[49; 49, 5)$	$[49, 5; 50)$	$[50; 50, 5)$	$[50, 5; 51)$	$[51; 51, 5)$
Số bao xi măng	?	?	?	?	?	?

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Mẫu gốc $x_{1}, \dots, x_{n}$ : $s^{2} = \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \overline{x}^{2}$ cho giá trị chính xác; mẫu ghép nhóm chỉ cho giá trị xấp xỉ.

🧠 Phân tích tư duy

Bài có hai tầng: đếm tần số (chú ý nửa khoảng

[a; b)

lấy đầu trái, bỏ đầu phải — số

50, 0

thuộc nhóm

[50; 50, 5)

) rồi tính

s

cho cả hai mẫu. Mẫu gốc có

30

số nên cần tổ chức tổng

\sum x_{i}

\sum x_{i}^{2}

hoặc đổi biến cho gọn. Câu hỏi cuối kiểm tra ý nghĩa: số liệu ghép nhóm đã bị làm tròn về trung điểm nên chỉ cho giá trị xấp xỉ.

1Cách 1. Công thức rút gọn trên tổng và tổng bình phương

Định hướng. Đếm số liệu theo từng nhóm; với mẫu gốc dùng $\sum x_{i}$ , $\sum x_{i}^{2}$ , với mẫu ghép nhóm dùng giá trị đại diện.

[48, 5; 49)

48, 7; 48, 9; 48, 8; 48, 8; 48, 7; 48, 6

\Rightarrow 6

[49; 49, 5)

49, 3; 49, 2

\Rightarrow 2

[49, 5; 50)

49, 5; 49, 6; 49, 8; 49, 6

\Rightarrow 4

[50; 50, 5)

50, 2; 50, 1; 50, 4; 50, 0

\Rightarrow 4

[50, 5; 51)

50, 8; 50, 5; 50, 7; 50, 6; 50, 9; 50, 7

\Rightarrow 6

[51; 51, 5)

51, 1; 51, 3; 51, 4; 51, 2; 51, 2; 51, 4; 51, 2; 51, 1

\Rightarrow 8

b) Mẫu gốc

\sum x_{i} = 1504, 3

\sum x_{i}^{2} = 75456, 77

\overline{x} = \frac{1504 , 3}{30} = \frac{15043}{300} \approx 50, 143

s^{2} = \frac{75456 , 77}{30} - (\frac{15043}{300})^{2} = \frac{78461}{90000} \approx 0, 8718

s = \frac{78461}{90000} \approx 0, 934

Mẫu ghép nhóm

x_{1} = 48, 75; x_{2} = 49, 25; x_{3} = 49, 75; x_{4} = 50, 25; x_{5} = 50, 75; x_{6} = 51, 25

\overline{x} = \frac{6 \cdot 48 , 75 + 2 \cdot 49 , 25 + 4 \cdot 49 , 75 + 4 \cdot 50 , 25 + 6 \cdot 50 , 75 + 8 \cdot 51 , 25}{30} = \frac{1505 , 5}{30} = \frac{3011}{60} \approx 50, 183

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{6 \cdot 48 , 7 5 ^{2} + 2 \cdot 49 , 2 5 ^{2} + 4 \cdot 49 , 7 5 ^{2} + 4 \cdot 50 , 2 5 ^{2} + 6 \cdot 50 , 7 5 ^{2} + 8 \cdot 51 , 2 5 ^{2}}{30} = \frac{75576 , 875}{30} = \frac{120923}{48}

s^{2} = \frac{120923}{48} - (\frac{3011}{60})^{2} = \frac{194}{225}

s = \frac{194}{225} \approx 0, 929

Vậy a) Tần số các nhóm lần lượt là $6; 2; 4; 4; 6; 8$ . b) Mẫu gốc: $s^{2} \approx 0, 872$ , $s \approx 0, 934$ — giá trị chính xác; mẫu ghép nhóm: $s^{2} \approx 0, 862$ , $s \approx 0, 929$ — giá trị xấp xỉ.

2Cách 2. Đổi biến về số nguyên cho cả hai mẫu

Định hướng. Số liệu gốc có một chữ số thập phân quanh $50$ : đặt $u = 10 x - 500$ để có các số nguyên từ $- 14$ đến $14$ ; mẫu ghép nhóm đổi $u = \frac{x - 50 , 25}{0 , 5}$ .

6; 2; 4; 4; 6; 8

(đếm như Cách 1)
b) Mẫu gốc:

u = 10 x - 500

u

- 5; 11; 8; 2; - 13; - 4; 13; 14; 1; 5; - 11; - 7; 7; - 12; - 2; - 12; 12; 4; 0; 12; 14; - 13; 12; 6; 9; - 8; 7; 11; - 14; - 4

\sum u_{i} = 43

\sum u_{i}^{2} = 2677

\overline{u} = \frac{43}{30}

s_{u}^{2} = \frac{2677}{30} - (\frac{43}{30})^{2} = \frac{78461}{900}

\overline{x} = 50 + \frac{1}{10} \cdot \frac{43}{30} = \frac{15043}{300}

s^{2} = \frac{s _{u}^{2}}{100} = \frac{78461}{90000} \approx 0, 8718

s \approx 0, 934

Mẫu ghép nhóm

u = \frac{x - 50 , 25}{0 , 5}

u_{1} = - 3; u_{2} = - 2; u_{3} = - 1; u_{4} = 0; u_{5} = 1; u_{6} = 2

\overline{u} = \frac{6 \cdot ( - 3 ) + 2 \cdot ( - 2 ) + 4 \cdot ( - 1 ) + 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 8 \cdot 2}{30} = - \frac{2}{15}

s_{u}^{2} = \frac{6 \cdot 9 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 8 \cdot 4}{30} - (- \frac{2}{15})^{2} = \frac{52}{15} - \frac{4}{225} = \frac{776}{225}

\overline{x} = 50, 25 + 0, 5 \cdot (- \frac{2}{15}) = \frac{3011}{60}

s^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot \frac{776}{225} = \frac{194}{225}

s = s^{2} = \frac{194}{225} \approx 0, 929

3Cách 3. Máy tính cầm tay (chế độ thống kê)

Định hướng. Để máy làm các tổng; mẫu gốc nhập $30$ số, mẫu ghép nhóm nhập giá trị đại diện kèm tần số. Độ lệch chuẩn theo SGK là $σ x$ (chia cho $n$ ), không phải $s x$ .

6; 2; 4; 4; 6; 8

b) Mẫu gốc: MODE STAT 1-VAR, nhập

30

số liệu, đọc

σ x \approx 0, 9337

s^{2} = σ x^{2} \approx 0, 8718

Mẫu ghép nhóm: bật cột tần số, nhập

x

48, 75; 49, 25; \dots; 51, 25

, tần số

6; 2; 4; 4; 6; 8

\overline{x} \approx 50, 1833

σ x \approx 0, 9286

s^{2} \approx 0, 8622

Nhận xét. Hai độ lệch chuẩn chỉ chênh nhau khoảng $0, 005$ kg: ghép nhóm làm mất thông tin nên $0, 929$ chỉ là xấp xỉ; giá trị tính từ $30$ số liệu gốc $0, 934$ mới là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 khi làm tay: bình phương các số nguyên

\leq 14

nhẩm được, tránh bình phương

30

số dạng

49, 5

; đi thi được dùng máy thì Cách 3 nhanh nhất, nhưng phải chọn đúng

σ x

Đáp số. a)

6; 2; 4; 4; 6; 8

. b) Mẫu gốc:

s^{2} = \frac{78461}{90000} \approx 0, 872

s \approx 0, 934

(chính xác); mẫu ghép nhóm:

s^{2} = \frac{194}{225} \approx 0, 862

s \approx 0, 929

(xấp xỉ).

Sai lầm thường gặp. Xếp

50, 0

vào nhóm

[49, 5; 50)

— sai, nhóm

[a; b)

chứa đầu mút trái, không chứa đầu mút phải. Dùng

s x

(chia

n - 1

) trên máy tính cho

s \approx 0, 950

(mẫu gốc) — đó là

\overset{s}{^}

ở mục Chú ý, không phải

s

của bài.

🚀 Mở rộng. Thử ghép lại với độ rộng nhóm

1

kg (

[48, 5; 49, 5), \dots

) và so sánh: nhóm càng rộng thì độ lệch chuẩn ghép nhóm thường càng xa giá trị chính xác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.5★★Trang 84— So sánh độ phân tán hai mẫu bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.5 (trang 84). Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[1, 5; 2)$	$[2; 2, 5)$	$[2, 5; 3)$	$[3; 3, 5)$	$[3, 5; 4)$
Số linh kiện của phân xưởng 1	$4$	$9$	$13$	$8$	$6$
Số linh kiện của phân xưởng 2	$2$	$8$	$20$	$7$	$3$

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu cùng các nhóm và cùng cỡ mẫu

40

, chỉ khác tần số: phân xưởng 2 dồn

20

linh kiện vào nhóm giữa nên dự đoán ít phân tán hơn. Muốn so sánh bằng

s

phải kiểm tra thêm hai số trung bình xấp xỉ nhau. Đổi biến chung cho hai mẫu giúp so sánh gọn nhất.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Hai mẫu cùng các nhóm, cùng cỡ mẫu $40$ ; tính $s^{2}$ , $s$ cho từng mẫu theo định nghĩa rồi so sánh.

Phân xưởng 1

x_{1} = 1, 75; x_{2} = 2, 25; x_{3} = 2, 75; x_{4} = 3, 25; x_{5} = 3, 75

n = 4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40

\overline{x}_{1} = \frac{4 \cdot 1 , 75 + 9 \cdot 2 , 25 + 13 \cdot 2 , 75 + 8 \cdot 3 , 25 + 6 \cdot 3 , 75}{40} = \frac{111 , 5}{40} = 2, 7875

s_{1}^{2} = \frac{4 \cdot ( 1 , 75 - 2 , 7875 ) ^{2} + 9 \cdot ( 2 , 25 - 2 , 7875 ) ^{2} + 13 \cdot ( 2 , 75 - 2 , 7875 ) ^{2} + 8 \cdot ( 3 , 25 - 2 , 7875 ) ^{2} + 6 \cdot ( 3 , 75 - 2 , 7875 ) ^{2}}{40}

s_{1}^{2} = \frac{4 \cdot ( - 1 , 0375 ) ^{2} + 9 \cdot ( - 0 , 5375 ) ^{2} + 13 \cdot ( - 0 , 0375 ) ^{2} + 8 \cdot 0 , 462 5 ^{2} + 6 \cdot 0 , 962 5 ^{2}}{40} = \frac{14 , 19375}{40} = 0, 35484375

s_{1} = s_{1}^{2} = 0, 35484375 \approx 0, 596

Phân xưởng 2

x_{1} = 1, 75; x_{2} = 2, 25; x_{3} = 2, 75; x_{4} = 3, 25; x_{5} = 3, 75

n = 2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40

\overline{x}_{2} = \frac{2 \cdot 1 , 75 + 8 \cdot 2 , 25 + 20 \cdot 2 , 75 + 7 \cdot 3 , 25 + 3 \cdot 3 , 75}{40} = \frac{110 , 5}{40} = 2, 7625

s_{2}^{2} = \frac{2 \cdot ( 1 , 75 - 2 , 7625 ) ^{2} + 8 \cdot ( 2 , 25 - 2 , 7625 ) ^{2} + 20 \cdot ( 2 , 75 - 2 , 7625 ) ^{2} + 7 \cdot ( 3 , 25 - 2 , 7625 ) ^{2} + 3 \cdot ( 3 , 75 - 2 , 7625 ) ^{2}}{40}

s_{2}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 1 , 0125 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 0 , 5125 ) ^{2} + 20 \cdot ( - 0 , 0125 ) ^{2} + 7 \cdot 0 , 487 5 ^{2} + 3 \cdot 0 , 987 5 ^{2}}{40} = \frac{8 , 74375}{40} = 0, 21859375

s_{2} = s_{2}^{2} = 0, 21859375 \approx 0, 468

Vậy $s_{1} \approx 0, 596$ năm, $s_{2} \approx 0, 468$ năm; tuổi thọ trung bình hai phân xưởng xấp xỉ nhau ( $2, 79$ và $2, 76$ năm) mà $s_{2} < s_{1}$ , nên tuổi thọ linh kiện của phân xưởng 2 ít phân tán hơn (đồng đều hơn) phân xưởng 1.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn cho từng phân xưởng; hai mẫu dùng chung bảng giá trị đại diện $1, 75; \dots; 3, 75$ .

Phân xưởng 1

\overline{x}_{1} = \frac{4 \cdot 1 , 75 + 9 \cdot 2 , 25 + 13 \cdot 2 , 75 + 8 \cdot 3 , 25 + 6 \cdot 3 , 75}{40} = \frac{111 , 5}{40} = 2, 7875

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{4 \cdot 1 , 7 5 ^{2} + 9 \cdot 2 , 2 5 ^{2} + 13 \cdot 2 , 7 5 ^{2} + 8 \cdot 3 , 2 5 ^{2} + 6 \cdot 3 , 7 5 ^{2}}{40} = \frac{325}{40} = 8, 125

s_{1}^{2} = 8, 125 - 2, 787 5^{2} = 0, 35484375

s_{1} = s_{1}^{2} = 0, 35484375 \approx 0, 596

Phân xưởng 2

\overline{x}_{2} = \frac{2 \cdot 1 , 75 + 8 \cdot 2 , 25 + 20 \cdot 2 , 75 + 7 \cdot 3 , 25 + 3 \cdot 3 , 75}{40} = \frac{110 , 5}{40} = 2, 7625

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 1 , 7 5 ^{2} + 8 \cdot 2 , 2 5 ^{2} + 20 \cdot 2 , 7 5 ^{2} + 7 \cdot 3 , 2 5 ^{2} + 3 \cdot 3 , 7 5 ^{2}}{40} = \frac{314}{40} = 7, 85

s_{2}^{2} = 7, 85 - 2, 762 5^{2} = 0, 21859375

s_{2} = s_{2}^{2} = 0, 21859375 \approx 0, 468

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Chung một phép đổi biến $u = \frac{x - 2 , 75}{0 , 5}$ cho cả hai mẫu, chỉ khác cột tần số.

Phân xưởng 1

u = \frac{x - 2 , 75}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{4 \cdot ( - 2 ) + 9 \cdot ( - 1 ) + 13 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 6 \cdot 2}{40} = 0, 075

s_{u}^{2} = \frac{4 \cdot 4 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 6 \cdot 4}{40} - 0, 07 5^{2} = 1, 425 - 0, 005625 = 1, 419375

\overline{x}_{1} = 2, 75 + 0, 5 \cdot 0, 075 = 2, 7875

s_{1}^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot 1, 419375 = 0, 35484375

s_{1} = s_{1}^{2} = 0, 35484375 \approx 0, 596

Phân xưởng 2

u = \frac{x - 2 , 75}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 8 \cdot ( - 1 ) + 20 \cdot 0 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{40} = 0, 025

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 20 \cdot 0 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot 4}{40} - 0, 02 5^{2} = 0, 875 - 0, 000625 = 0, 874375

\overline{x}_{2} = 2, 75 + 0, 5 \cdot 0, 025 = 2, 7625

s_{2}^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot 0, 874375 = 0, 21859375

s_{2} = s_{2}^{2} = 0, 21859375 \approx 0, 468

Nhận xét. Với Cách 3 chỉ cần so $s_{u}^{2}$ : $\frac{2271}{1600} > \frac{1399}{1600}$ là đủ kết luận, vì cùng hệ số $h^{2} = 0, 25$ — phép so sánh không cần tính hết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: một phép đổi biến dùng cho cả hai mẫu, so sánh ngay trên

s_{u}^{2}

; Cách 1 phải trừ số trung bình lẻ

2, 7875

và

2, 7625

mười lần.

Đáp số. Phân xưởng 1:

s_{1}^{2} = \frac{2271}{6400} \approx 0, 355

s_{1} \approx 0, 596

; phân xưởng 2:

s_{2}^{2} = \frac{1399}{6400} \approx 0, 219

s_{2} \approx 0, 468

. Tuổi thọ linh kiện phân xưởng 2 ít phân tán hơn.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "phân xưởng 1 tốt hơn vì tuổi thọ trung bình

2, 79 > 2, 76

" — lạc đề: bài hỏi độ phân tán, không hỏi tuổi thọ lớn hay nhỏ. Dùng đầu mút trái làm đại diện vẫn ra đúng

s

nhưng số trung bình sai

0, 25

năm.

🚀 Mở rộng. Nếu phân xưởng 2 chuyển

3

linh kiện từ nhóm

[2, 5; 3)

sang nhóm

[3, 5; 4)

thì

s_{2}

tăng hay giảm, và có vượt

s_{1}

không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.6★★Trang 84— Số trung bình, độ lệch chuẩn và ý nghĩa trong phép đo

Bài 3.6 (trang 84). Một nhóm

20

học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:

Kết quả đo ( $μ$ m)	$[4, 5; 5)$	$[5; 5, 5)$	$[5, 5; 6)$	$[6; 6, 5)$
Số học sinh	$3$	$8$	$7$	$2$

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng ghép nhóm

4

nhóm độ rộng

0, 5 μ

n = 20

— tính theo công thức. Điểm mấu chốt của ý b) là nhận ra

20

lần đo cùng một đại lượng: số trung bình là ước lượng giá trị thật, còn độ lệch chuẩn phản ánh sai số của các lần đo.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Giá trị đại diện $4, 75; 5, 25; 5, 75; 6, 25$ ; tính $\overline{x}$ rồi phương sai theo định nghĩa.

x_{1} = 4, 75; x_{2} = 5, 25; x_{3} = 5, 75; x_{4} = 6, 25

n = 3 + 8 + 7 + 2 = 20

\overline{x} = \frac{3 \cdot 4 , 75 + 8 \cdot 5 , 25 + 7 \cdot 5 , 75 + 2 \cdot 6 , 25}{20} = \frac{109}{20} = 5, 45

s^{2} = \frac{3 \cdot ( 4 , 75 - 5 , 45 ) ^{2} + 8 \cdot ( 5 , 25 - 5 , 45 ) ^{2} + 7 \cdot ( 5 , 75 - 5 , 45 ) ^{2} + 2 \cdot ( 6 , 25 - 5 , 45 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{3 \cdot ( - 0 , 7 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 0 , 2 ) ^{2} + 7 \cdot 0 , 3 ^{2} + 2 \cdot 0 , 8 ^{2}}{20} = \frac{3 , 7}{20} = 0, 185

s = s^{2} = 0, 185 \approx 0, 430

Vậy a) $\overline{x} = 5, 45$ ( $μ$ m), $s \approx 0, 43$ ( $μ$ m). b) Số trung bình $5, 45 μ$ m là ước lượng cho đường kính của nhân tế bào; độ lệch chuẩn $0, 43 μ$ m cho biết các kết quả đo dao động quanh $5, 45 μ$ m khoảng $0, 43 μ$ m — đo mức độ sai khác (độ chính xác) giữa các lần đo.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Lấy trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình; $\overline{x} = 5, 45$ hữu hạn nên phép trừ gọn.

\overline{x} = \frac{3 \cdot 4 , 75 + 8 \cdot 5 , 25 + 7 \cdot 5 , 75 + 2 \cdot 6 , 25}{20} = \frac{109}{20} = 5, 45

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{3 \cdot 4 , 7 5 ^{2} + 8 \cdot 5 , 2 5 ^{2} + 7 \cdot 5 , 7 5 ^{2} + 2 \cdot 6 , 2 5 ^{2}}{20} = \frac{597 , 75}{20} = 29, 8875

s^{2} = 29, 8875 - 5, 4 5^{2} = 0, 185

s = s^{2} = 0, 185 \approx 0, 430

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Đổi $u = \frac{x - 5 , 75}{0 , 5}$ về $- 2; - 1; 0; 1$ .

u = \frac{x - 5 , 75}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{3 \cdot ( - 2 ) + 8 \cdot ( - 1 ) + 7 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{20} = - 0, 6

s_{u}^{2} = \frac{3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 7 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{20} - (- 0, 6)^{2} = 1, 1 - 0, 36 = 0, 74

\overline{x} = 5, 75 + 0, 5 \cdot (- 0, 6) = 5, 45

s^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot 0, 74 = 0, 185

s = s^{2} = 0, 185 \approx 0, 430

Nhận xét. Cả $20$ học sinh đo cùng một nhân tế bào, nên đường kính thật chỉ có một giá trị: sự phân tán ở đây hoàn toàn do sai số đo, và $s$ chính là thước đo độ chính xác của phép đo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 gọn nhất:

\overline{u} = - 0, 6

s_{u}^{2} = 0, 74

nhẩm được; nhân lại

h^{2} = 0, 25

là xong.

Đáp số. a)

\overline{x} = 5, 45 μ

s^{2} = 0, 185

s \approx 0, 43 μ

m. b)

\overline{x}

ước lượng đường kính nhân tế bào;

s

cho biết các kết quả đo lệch quanh

5, 45 μ

m khoảng

0, 43 μ

m (độ chính xác của phép đo).

Sai lầm thường gặp. Trả lời ý b) "độ lệch chuẩn cho biết các nhân tế bào có kích thước khác nhau" — sai, chỉ đo một nhân tế bào. Quên khai căn, ghi

s = 0, 185

là phương sai.

🚀 Mở rộng. Nếu dùng thiết bị tốt hơn mà

20

lần đo đều rơi vào hai nhóm giữa (

10

và

10

) thì

s = 0, 25 μ

m — hãy kiểm tra và giải thích vì sao thiết bị đó chính xác hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.7★★Trang 84— So sánh độ ổn định hai mẫu bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.7 (trang 84). Thời gian chạy tập luyện cự li

100

m của hai vận động viên được cho trong bảng sau:

Thời gian (giây)	$[10; 10, 3)$	$[10, 3; 10, 6)$	$[10, 6; 10, 9)$	$[10, 9; 11, 2)$
Số lần chạy của A	$2$	$10$	$5$	$3$
Số lần chạy của B	$3$	$7$	$9$	$6$

Dựa trên độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

"Ổn định hơn" nghĩa là ít phân tán hơn — quy về so sánh

s_{A}

s_{B}

. Cạm bẫy: cỡ mẫu khác nhau (

20

lần và

25

lần) nên không được so tần số trực tiếp; phải tính

s

theo

n

riêng. Hai số trung bình xấp xỉ nhau nên so sánh bằng

s

là hợp lệ.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Tính độ lệch chuẩn của từng người theo định nghĩa; hai cỡ mẫu khác nhau ( $20$ và $25$ ) nên phải chia đúng $n$ của từng người.

Vận động viên A

x_{1} = 10, 15; x_{2} = 10, 45; x_{3} = 10, 75; x_{4} = 11, 05

n = 2 + 10 + 5 + 3 = 20

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot 10 , 15 + 10 \cdot 10 , 45 + 5 \cdot 10 , 75 + 3 \cdot 11 , 05}{20} = \frac{211 , 7}{20} = 10, 585

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( 10 , 15 - 10 , 585 ) ^{2} + 10 \cdot ( 10 , 45 - 10 , 585 ) ^{2} + 5 \cdot ( 10 , 75 - 10 , 585 ) ^{2} + 3 \cdot ( 11 , 05 - 10 , 585 ) ^{2}}{20}

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 0 , 435 ) ^{2} + 10 \cdot ( - 0 , 135 ) ^{2} + 5 \cdot 0 , 16 5 ^{2} + 3 \cdot 0 , 46 5 ^{2}}{20} = \frac{1 , 3455}{20} = 0, 067275

s_{A} = s_{A}^{2} = 0, 067275 \approx 0, 259

Vận động viên B

x_{1} = 10, 15; x_{2} = 10, 45; x_{3} = 10, 75; x_{4} = 11, 05

n = 3 + 7 + 9 + 6 = 25

\overline{x}_{B} = \frac{3 \cdot 10 , 15 + 7 \cdot 10 , 45 + 9 \cdot 10 , 75 + 6 \cdot 11 , 05}{25} = \frac{266 , 65}{25} = 10, 666

s_{B}^{2} = \frac{3 \cdot ( 10 , 15 - 10 , 666 ) ^{2} + 7 \cdot ( 10 , 45 - 10 , 666 ) ^{2} + 9 \cdot ( 10 , 75 - 10 , 666 ) ^{2} + 6 \cdot ( 11 , 05 - 10 , 666 ) ^{2}}{25}

s_{B}^{2} = \frac{3 \cdot ( - 0 , 516 ) ^{2} + 7 \cdot ( - 0 , 216 ) ^{2} + 9 \cdot 0 , 08 4 ^{2} + 6 \cdot 0 , 38 4 ^{2}}{25} = \frac{2 , 0736}{25} = 0, 082944

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 082944 \approx 0, 288

Vậy $s_{A} \approx 0, 259$ giây, $s_{B} = 0, 288$ giây; thời gian trung bình hai người xấp xỉ nhau ( $10, 585$ và $10, 666$ giây) mà $s_{A} < s_{B}$ , nên vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn cho từng mẫu, dùng chung bảng giá trị đại diện $10, 15; 10, 45; 10, 75; 11, 05$ .

Vận động viên A

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot 10 , 15 + 10 \cdot 10 , 45 + 5 \cdot 10 , 75 + 3 \cdot 11 , 05}{20} = \frac{211 , 7}{20} = 10, 585

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 10 , 1 5 ^{2} + 10 \cdot 10 , 4 5 ^{2} + 5 \cdot 10 , 7 5 ^{2} + 3 \cdot 11 , 0 5 ^{2}}{20} = \frac{2242 , 19}{20} = 112, 1095

s_{A}^{2} = 112, 1095 - 10, 58 5^{2} = 0, 067275

s_{A} = s_{A}^{2} = 0, 067275 \approx 0, 259

Vận động viên B

\overline{x}_{B} = \frac{3 \cdot 10 , 15 + 7 \cdot 10 , 45 + 9 \cdot 10 , 75 + 6 \cdot 11 , 05}{25} = \frac{266 , 65}{25} = 10, 666

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{3 \cdot 10 , 1 5 ^{2} + 7 \cdot 10 , 4 5 ^{2} + 9 \cdot 10 , 7 5 ^{2} + 6 \cdot 11 , 0 5 ^{2}}{25} = \frac{2846 , 1625}{25} = 113, 8465

s_{B}^{2} = 113, 8465 - 10, 66 6^{2} = 0, 082944

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 082944 \approx 0, 288

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Chung phép đổi biến $u = \frac{x - 10 , 75}{0 , 3}$ cho cả hai người.

Vận động viên A

u = \frac{x - 10 , 75}{0 , 3}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 10 \cdot ( - 1 ) + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{20} = - 0, 55

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{20} - (- 0, 55)^{2} = 1, 05 - 0, 3025 = 0, 7475

\overline{x}_{A} = 10, 75 + 0, 3 \cdot (- 0, 55) = 10, 585

s_{A}^{2} = 0, 3^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 09 \cdot 0, 7475 = 0, 067275

s_{A} = s_{A}^{2} = 0, 067275 \approx 0, 259

Vận động viên B

u = \frac{x - 10 , 75}{0 , 3}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{3 \cdot ( - 2 ) + 7 \cdot ( - 1 ) + 9 \cdot 0 + 6 \cdot 1}{25} = - 0, 28

s_{u}^{2} = \frac{3 \cdot 4 + 7 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 6 \cdot 1}{25} - (- 0, 28)^{2} = 1 - 0, 0784 = 0, 9216

\overline{x}_{B} = 10, 75 + 0, 3 \cdot (- 0, 28) = 10, 666

s_{B}^{2} = 0, 3^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 09 \cdot 0, 9216 = 0, 082944

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 082944 \approx 0, 288

Nhận xét. So $s_{u}^{2}$ : $\frac{299}{400} = 0, 7475 < 0, 9216 = \frac{576}{625}$ là kết luận được, không cần nhân lại $h^{2}$ hay khai căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: cùng một bảng

u

cho hai người, so

s_{u}^{2}

là xong; đặc biệt

s_{B}

ra số đẹp

0, 288

nhờ

s_{u}^{2} = \frac{576}{625} = 0, 9 6^{2}

Đáp số.

s_{A} \approx 0, 259

giây,

s_{B} = 0, 288

giây; vận động viên A ổn định hơn.

Sai lầm thường gặp. Lấy

n = 20

cho cả B (nhầm vì A chạy

20

lần) — tổng tần số của B là

25

. Kết luận "B ổn định hơn vì chạy nhiều lần hơn" là lẫn cỡ mẫu với độ phân tán.

🚀 Mở rộng. So sánh thêm hệ số biến thiên

C V = \frac{s}{x}

của hai người và kiểm tra rằng kết luận không đổi, vì hai số trung bình gần như bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.8★★★Trang 84— Điều kiện dùng độ lệch chuẩn để so sánh độ phân tán

Bài 3.8 (trang 84). Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?
a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của

100

cửa hàng bán lẻ và doanh thu của

100

siêu thị.

Kiến thức cần nhớ

Không nên dùng phương sai hay độ lệch chuẩn để so sánh độ phân tán (độ rủi ro) của hai mẫu khi số trung bình của chúng khác nhau rất nhiều, hoặc khi đơn vị đo khác nhau.
Nếu mọi số liệu nhân với $k > 0$ thì $\overline{x}$ và $s$ cùng nhân với $k$ , còn $s^{2}$ nhân với $k^{2}$ .
Hệ số biến thiên $C V = \frac{s}{x}$ dùng để so sánh độ phân tán khi đơn vị khác nhau hoặc số trung bình khác nhau nhiều.

🧠 Phân tích tư duy

Bài không có số — kiểm tra hiểu bản chất. Nhận xét sau Ví dụ 3 (trang 83) nêu rõ: không nên dùng phương sai, độ lệch chuẩn để so sánh khi hai số trung bình khác nhau rất nhiều. Việc cần làm là đoán hai số trung bình trong mỗi tình huống: "chất lượng tương đương" gợi ý xấp xỉ nhau, còn "cửa hàng bán lẻ" với "siêu thị" chênh nhau về quy mô.

1Cách 1. Kiểm tra hai điều kiện so sánh: cùng đơn vị và số trung bình xấp xỉ

Định hướng. Độ lệch chuẩn chỉ so sánh được hai mẫu khi chúng cùng đơn vị và có số trung bình không khác nhau quá nhiều; soát từng trường hợp theo hai điều kiện này.

a) cùng thang điểm

0

–

10

, chất lượng tương đương

\Rightarrow \overline{x}_{1} \approx \overline{x}_{2}

b) cùng đơn vị tiền, nhưng doanh thu siêu thị lớn gấp nhiều lần cửa hàng bán lẻ

\Rightarrow \overline{x}_{st} ≫ \overline{x}_{ch}

Vậy a) Nên dùng phương sai (độ lệch chuẩn): hai mẫu cùng thang đo và có điểm trung bình xấp xỉ nhau. b) Không nên: số trung bình của hai mẫu khác nhau rất nhiều, độ lệch chuẩn của siêu thị lớn chủ yếu do quy mô doanh thu lớn chứ không phải do phân tán hơn.

2Cách 2. Phản ví dụ bằng phép co giãn số liệu

Định hướng. Nhân mọi số liệu với $k > 0$ thì độ lệch chuẩn cũng nhân với $k$ ; dựng hai mẫu "phân tán như nhau" nhưng khác quy mô để thấy $s$ đánh lừa.

cửa hàng:

10; 20; 30

(triệu đồng)

\Rightarrow \overline{x} = 20

s = \frac{1 0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 0 ^{2}}{3} = \frac{200}{3} \approx 8, 16

siêu thị:

1000; 2000; 3000

(triệu đồng)

\Rightarrow \overline{x} = 2000

s = \frac{100 0 ^{2} + 0 ^{2} + 100 0 ^{2}}{3} \approx 816, 5

\frac{8 , 16}{20} = \frac{816 , 5}{2000} \approx 0, 41

Vậy b) hai mẫu dao động cùng tỉ lệ $41%$ quanh số trung bình mà $s$ chênh nhau $100$ lần, nên không nên dùng phương sai (độ lệch chuẩn) để so sánh; a) điểm thi hai trường cùng thang $0$ – $10$ , không có hiệu ứng quy mô nên nên dùng.

3Cách 3. Dùng hệ số biến thiên CV làm thước đo thay thế

Định hướng. Theo mục "Em có biết?", khi số trung bình khác nhau nhiều thì so sánh bằng $C V = \frac{s}{x}$ — đại lượng không phụ thuộc quy mô.

C V = \frac{s}{x}

\overline{x}_{1} \approx \overline{x}_{2} \Rightarrow C V_{1} \approx \frac{s _{1}}{x _{1}}

C V_{2} \approx \frac{s _{2}}{x _{1}}

: so

C V

cũng là so

s

\overline{x}_{st} ≫ \overline{x}_{ch}

: so

C V_{st}

với

C V_{ch}

, không so

s

Vậy a) nên dùng phương sai/độ lệch chuẩn (cho cùng kết luận với $C V$ ); b) không nên — hãy dùng hệ số biến thiên $C V$ .

Nhận xét. Cách 2 là lí do sâu xa của nhận xét trong Ví dụ 3 (trang 83): độ lệch chuẩn "mang theo" đơn vị và quy mô của số liệu, còn $C V$ là tỉ số nên đã khử quy mô.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi viết theo Cách 1 (nêu đúng hai điều kiện so sánh rồi soát từng ý) là đủ ý và ngắn; Cách 2 là phản ví dụ nên dùng khi cần thuyết phục vì sao.

Đáp số. a) Nên, vì hai mẫu cùng thang điểm và điểm trung bình xấp xỉ nhau. b) Không nên, vì doanh thu trung bình của siêu thị lớn hơn nhiều so với cửa hàng bán lẻ (nên dùng hệ số biến thiên).

Sai lầm thường gặp. Trả lời b) "nên, vì cùng đơn vị là tiền" — cùng đơn vị là chưa đủ, còn cần số trung bình xấp xỉ nhau. Trả lời a) "không nên vì hai trường khác nhau" — khác trường không phải lí do, thang điểm và mức điểm trung bình mới quyết định.

🚀 Mở rộng. Tính

C V

cho hai nhà đầu tư ở Ví dụ 3 (

s_{A} \approx 10, 95

\overline{x}_{A} = 35

;

s_{B} \approx 13, 78

\overline{x}_{B} = 535

) và cho biết theo

C V

thì ai rủi ro hơn.

Mở bài này trong app ↗