Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 11. Nguyên hàm

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập2 #trang7–8 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.1★★Trang 7— Tìm hàm số khi biết đạo hàm và một giá trị

Bài 4.1 (trang 7). Tìm hàm số

y = f (x)

, biết

f^{'} (x) = 3 x + \frac{2}{3 x}

(x > 0)

và

f (1) = 1

Kiến thức cần nhớ

$x = x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{3 x} = x^{- \frac{1}{3}}$ với $x > 0$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .
Một điều kiện dạng $f (x_{0}) = y_{0}$ xác định đúng một hằng số $C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đạo hàm chứa căn nên việc đầu tiên là viết lại thành luỹ thừa với số mũ phân số. Sau khi có họ nguyên hàm, dữ kiện

f (1) = 1

chốt duy nhất hằng số

C

. Bẫy là đổi

\frac{2}{3 x}

thành

2 x^{- 3}

thay vì

2 x^{- \frac{1}{3}}

1Cách 1. Đưa về luỹ thừa rồi dùng điều kiện

f (1) = 1

Định hướng. Đổi căn thành số mũ phân số, lấy nguyên hàm rồi thay $x = 1$ để tìm $C$ .

f^{'} (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{3}}

f (x) = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 2 \cdot \frac{x ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C

f (x) = 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{3}} + C

f (1) = 2 + 3 + C = 1

C = - 4

f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4

Vậy $f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4$ với $x > 0$ .

2Cách 2. Đặt hệ số chưa biết cho hai hạng tử luỹ thừa

Định hướng. Đạo hàm có hai luỹ thừa với số mũ $\frac{1}{2}$ và $- \frac{1}{3}$ , nên $f$ phải chứa hai luỹ thừa số mũ $\frac{3}{2}$ và $\frac{2}{3}$ .

Đặt

f (x) = a x^{\frac{3}{2}} + b x^{\frac{2}{3}} + c

f^{'} (x) = \frac{3}{2} a x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} b x^{- \frac{1}{3}}

\frac{3}{2} a = 3

và

\frac{2}{3} b = 2

a = 2

b = 3

f (1) = 2 + 3 + c = 1

nên

c = - 4

Vậy $f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4$ .

3Cách 3. Đổi biến

x = t^{6}

để khử cả hai loại căn

Định hướng. Bậc chung của căn bậc hai và căn bậc ba là $6$ , đặt $x = t^{6}$ thì mọi căn biến mất và chỉ còn nguyên hàm của đa thức.

Đặt

x = t^{6}

với

t > 0

thì

d x = 6 t^{5} d t

x = t^{3}

3 x = t^{2}

\int (3 t^{3} + \frac{2}{t ^{2}}) 6 t^{5} d t = \int (18 t^{8} + 12 t^{3}) d t

= 2 t^{9} + 3 t^{4} + C

t = 6 x

nên

2 t^{9} + 3 t^{4} = 2 x x + 3 3 x^{2}

f (1) = 2 + 3 + C = 1

nên

C = - 4

Vậy $f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 4^{'} = 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{3}}$ , đúng đạo hàm đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đổi căn thành số mũ rồi tra bảng chỉ mất ba dòng; Cách 3 chỉ đáng dùng khi biểu thức căn phức tạp hơn nhiều.

Đáp số.

f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4

với

x > 0

Sai lầm thường gặp. Đổi

\frac{2}{3 x}

thành

2 x^{- 3}

rồi được nguyên hàm

- x^{- 2}

; thử lại bằng đạo hàm thấy ra

\frac{2}{x ^{3}}

chứ không phải

\frac{2}{3 x}

. Lỗi thứ hai là quên

C

nên không dùng được điều kiện

f (1) = 1

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên

f^{'}

nhưng đổi điều kiện thành

f (1) = 0

thì

C = - 5

; điều đó cho thấy vô số hàm số cùng đạo hàm, chỉ khác nhau đúng một hằng số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.2★★Trang 7— Nguyên hàm của phân thức và tích chứa căn sau khi tách hạng tử

Bài 4.2 (trang 7). Tìm:
a)

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} d x

;
b)

\int x (7 x^{2} + 6) d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .
Nguyên hàm của một thương không bằng thương các nguyên hàm.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là một phân thức nên phải khai triển tử rồi chia từng hạng tử cho

x^{4}

, ý b chỉ cần nhân phá ngoặc. Sau hai bước đại số ấy cả hai đều thành tổng các luỹ thừa quen thuộc. Bẫy ở ý a là lấy nguyên hàm của tử rồi chia cho nguyên hàm của mẫu, một phép hoàn toàn không có thật.

1Cách 1. Chia từng hạng tử cho mẫu rồi tra bảng luỹ thừa

Định hướng. Khai triển tử, chia từng hạng tử cho $x^{4}$ ở ý a, nhân phá ngoặc ở ý b, rồi dùng công thức luỹ thừa.

\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{4}} = x^{- 2} + 4 x^{- 3} + 4 x^{- 4}

\int (x^{- 2} + 4 x^{- 3} + 4 x^{- 4}) d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + 4 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} + 4 \cdot \frac{x ^{- 3}}{- 3} + C

= - \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C

x (7 x^{2} + 6) = 7 x^{\frac{5}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}}

\int 7 x^{\frac{5}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} d x = 7 \cdot \frac{x ^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + 6 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C

= 2 x^{3} x + 4 x x + C

Vậy a) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $2 x^{3} x + 4 x x + C$ .

2Cách 2. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất sau khi đạo hàm

Định hướng. Dự đoán nguyên hàm là tổ hợp của đúng các luỹ thừa cao hơn một bậc, rồi so hệ số.

a) Đặt

F (x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x ^{2}} + \frac{c}{x ^{3}}

F^{'} (x) = - \frac{a}{x ^{2}} - \frac{2 b}{x ^{3}} - \frac{3 c}{x ^{4}}

- a = 1

- 2 b = 4

- 3 c = 4

a = - 1

b = - 2

c = - \frac{4}{3}

b) Đặt

G (x) = p x^{\frac{7}{2}} + q x^{\frac{3}{2}}

thì

\frac{7}{2} p = 7

và

\frac{3}{2} q = 6

p = 2

q = 4

Vậy a) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $2 x^{3} x + 4 x x + C$ .

3Cách 3. Đổi biến đưa phân thức và căn về đa thức

Định hướng. Ý a đặt $u = \frac{1}{x}$ cho mẫu biến mất, ý b đặt $x = t^{2}$ cho căn biến mất.

a) Đặt

u = \frac{1}{x}

thì

d u = - \frac{1}{x ^{2}} d x

nên

d x = - \frac{d u}{u ^{2}}

và

x = \frac{1}{u}

\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} = u^{4} (\frac{1}{u} + 2)^{2} = u^{2} (1 + 2 u)^{2}

\int u^{2} (1 + 2 u)^{2} (- \frac{d u}{u ^{2}}) = - \int (1 + 4 u + 4 u^{2}) d u

= - u - 2 u^{2} - \frac{4}{3} u^{3} + C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C

b) Đặt

x = t^{2}

với

t > 0

thì

d x = 2 t d t

và

x = t

\int t (7 t^{4} + 6) 2 t d t = \int (14 t^{6} + 12 t^{2}) d t = 2 t^{7} + 4 t^{3} + C

Vậy a) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $2 x^{3} x + 4 x x + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}})^{'} = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{x ^{3}} + \frac{4}{x ^{4}} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần hai phép đại số rồi tra bảng; Cách 3 cho thấy phép đổi biến vẫn chạy được nhưng dài hơn hẳn với dạng này.

Đáp số. a)

- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C

; b)

2 x^{3} x + 4 x x + C

Sai lầm thường gặp. Ý a viết

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} d x = \frac{( x + 2 ) ^{3}}{3} : \frac{x ^{5}}{5} + C

; đây là phép chia hai nguyên hàm, hoàn toàn không có công thức nào cho phép.

🚀 Mở rộng. Đổi ý a thành

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2}} d x

thì sau khi chia được

1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x ^{2}}

và nguyên hàm là

x + 4 ln ∣ x ∣ - \frac{4}{x} + C

, lần này có thêm hàm

ln

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.3★★Trang 7— Nguyên hàm của tích và thương chứa căn bậc hai, căn bậc ba

Bài 4.3 (trang 7). Tìm:
a)

\int (3 x + 4) 3 x d x

;
b)

\int \frac{( 2 x + 3 ) ^{2}}{x} d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ và $\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$ .
$3 x = x^{\frac{1}{3}}$ , $\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$ với $x > 0$ .
$(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.4★★Trang 7— Nguyên hàm của tổng hàm mũ và hàm luỹ thừa

Bài 4.4 (trang 7). Tìm:
a)

\int (2 e^{x} + \frac{1}{3 ^{x}}) d x

;
b)

\int (x^{2} + 2^{x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ và $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ với $0 < a \neq = 1$ .
$\frac{1}{3 ^{x}} = (\frac{1}{3})^{x}$ và $ln \frac{1}{3} = - ln 3$ .
$\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.5★★★Trang 8— Nguyên hàm sau khi khai triển bình phương của tổng hàm mũ

Bài 4.5 (trang 8). Tìm:
a)

\int (2^{x} + 3^{x})^{2} d x

;
b)

\int (e^{x} - e^{- x})^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$a^{x} b^{x} = (ab)^{x}$ và $(a^{x})^{2} = (a^{2})^{x}$ .
$e^{x} \cdot e^{- x} = 1$ và $(e^{x})^{2} = e^{2 x} = (e^{2})^{x}$ .
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ với $0 < a \neq = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.6★★Trang 8— Nguyên hàm của tổng một hàm lượng giác với một hàm luỹ thừa

Bài 4.6 (trang 8). Tìm:
a)

\int (2 cos x + \frac{3}{x}) d x

(x > 0)

;
b)

\int (3 x - 4 sin x) d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$\int cos x d x = sin x + C$ và $\int sin x d x = - cos x + C$ .
$\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$ và $x = x^{\frac{1}{2}}$ với $x > 0$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.7★★★★Trang 8— Nguyên hàm lượng giác sau khi hạ bậc và dùng đồng nhất thức

Bài 4.7 (trang 8). Tìm:
a)

\int (x + sin^{2} \frac{x}{2}) d x

;
b)

\int (2 tan x + cot x)^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}$ .
$tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1$ và $cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x} - 1$ .
$tan x cot x = 1$ với mọi $x$ làm cả hai hàm xác định.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.8★★★Trang 8— Bài toán chuyển động thẳng đứng: độ cao và độ cao lớn nhất

Bài 4.8 (trang 8). Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm

t

(coi

t = 0

là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi

v (t) = 150 - 9, 8 t

(m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau

t = 3

giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Kiến thức cần nhớ

$h^{'} (t) = v (t)$ và $h (0) = 0$ vì viên đạn xuất phát từ mặt đất.
$\int t d t = \frac{t ^{2}}{2} + C$ .
Hàm bậc hai $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 150 t$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = \frac{150}{9 , 8}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.9★★★★Trang 8— Chứng minh và vận dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp

Bài 4.9 (trang 8). Cho

F (u)

là một nguyên hàm của hàm số

f (u)

trên khoảng

K

và

u (x)

x \in J

, là hàm số có đạo hàm liên tục,

u (x) \in K

với mọi

x \in J

. Tìm

\int f (u (x)) \cdot u^{'} (x) d x

.
Áp dụng: Tìm

\int (2 x + 1)^{5} d x

và

\int \frac{1}{2 x + 1} d x

Kiến thức cần nhớ

$[F (u (x))]^{'} = F^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ (đạo hàm hàm hợp).
$\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6} + C$ và $\int \frac{1}{u} d u = 2 u + C$ .
$(2 x + 1)^{'} = 2$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.10★★★Trang 8— Nguyên hàm của phân thức bậc nhất trên bậc nhất và biểu thức lượng giác bậc hai

Bài 4.10 (trang 8). Tìm:
a)

\int \frac{2 x - 1}{x + 1} d x

;
b)

\int (3 + 2 sin^{2} x) d x

Kiến thức cần nhớ

$\frac{2 x - 1}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$ .
$\int \frac{1}{x + 1} d x = ln ∣ x + 1∣ + C$ .
$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ và $\int cos 2 x d x = \frac{sin 2 x}{2} + C$ .