Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 11. Nguyên hàm

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.1★★Trang 7— Tìm hàm số khi biết đạo hàm và một giá trị

Bài 4.1 (trang 7). Tìm hàm số

y = f (x)

, biết

f^{'} (x) = 3 x + \frac{2}{3 x}

(x > 0)

và

f (1) = 1

Kiến thức cần nhớ

$x = x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{3 x} = x^{- \frac{1}{3}}$ với $x > 0$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .
Một điều kiện dạng $f (x_{0}) = y_{0}$ xác định đúng một hằng số $C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đạo hàm chứa căn nên việc đầu tiên là viết lại thành luỹ thừa với số mũ phân số. Sau khi có họ nguyên hàm, dữ kiện

f (1) = 1

chốt duy nhất hằng số

C

. Bẫy là đổi

\frac{2}{3 x}

thành

2 x^{- 3}

thay vì

2 x^{- \frac{1}{3}}

1Cách 1. Đưa về luỹ thừa rồi dùng điều kiện

f (1) = 1

Định hướng. Đổi căn thành số mũ phân số, lấy nguyên hàm rồi thay $x = 1$ để tìm $C$ .

f^{'} (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{3}}

f (x) = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 2 \cdot \frac{x ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C

f (x) = 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{3}} + C

f (1) = 2 + 3 + C = 1

C = - 4

f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4

Vậy $f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4$ với $x > 0$ .

2Cách 2. Đặt hệ số chưa biết cho hai hạng tử luỹ thừa

Định hướng. Đạo hàm có hai luỹ thừa với số mũ $\frac{1}{2}$ và $- \frac{1}{3}$ , nên $f$ phải chứa hai luỹ thừa số mũ $\frac{3}{2}$ và $\frac{2}{3}$ .

Đặt

f (x) = a x^{\frac{3}{2}} + b x^{\frac{2}{3}} + c

f^{'} (x) = \frac{3}{2} a x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} b x^{- \frac{1}{3}}

\frac{3}{2} a = 3

và

\frac{2}{3} b = 2

a = 2

b = 3

f (1) = 2 + 3 + c = 1

nên

c = - 4

Vậy $f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4$ .

3Cách 3. Đổi biến

x = t^{6}

để khử cả hai loại căn

Định hướng. Bậc chung của căn bậc hai và căn bậc ba là $6$ , đặt $x = t^{6}$ thì mọi căn biến mất và chỉ còn nguyên hàm của đa thức.

Đặt

x = t^{6}

với

t > 0

thì

d x = 6 t^{5} d t

x = t^{3}

3 x = t^{2}

\int (3 t^{3} + \frac{2}{t ^{2}}) 6 t^{5} d t = \int (18 t^{8} + 12 t^{3}) d t

= 2 t^{9} + 3 t^{4} + C

t = 6 x

nên

2 t^{9} + 3 t^{4} = 2 x x + 3 3 x^{2}

f (1) = 2 + 3 + C = 1

nên

C = - 4

Vậy $f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{3}} - 4^{'} = 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{3}}$ , đúng đạo hàm đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đổi căn thành số mũ rồi tra bảng chỉ mất ba dòng; Cách 3 chỉ đáng dùng khi biểu thức căn phức tạp hơn nhiều.

Đáp số.

f (x) = 2 x x + 3 3 x^{2} - 4

với

x > 0

Sai lầm thường gặp. Đổi

\frac{2}{3 x}

thành

2 x^{- 3}

rồi được nguyên hàm

- x^{- 2}

; thử lại bằng đạo hàm thấy ra

\frac{2}{x ^{3}}

chứ không phải

\frac{2}{3 x}

. Lỗi thứ hai là quên

C

nên không dùng được điều kiện

f (1) = 1

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên

f^{'}

nhưng đổi điều kiện thành

f (1) = 0

thì

C = - 5

; điều đó cho thấy vô số hàm số cùng đạo hàm, chỉ khác nhau đúng một hằng số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.2★★Trang 7— Nguyên hàm của phân thức và tích chứa căn sau khi tách hạng tử

Bài 4.2 (trang 7). Tìm:
a)

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} d x

;
b)

\int x (7 x^{2} + 6) d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .
Nguyên hàm của một thương không bằng thương các nguyên hàm.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là một phân thức nên phải khai triển tử rồi chia từng hạng tử cho

x^{4}

, ý b chỉ cần nhân phá ngoặc. Sau hai bước đại số ấy cả hai đều thành tổng các luỹ thừa quen thuộc. Bẫy ở ý a là lấy nguyên hàm của tử rồi chia cho nguyên hàm của mẫu, một phép hoàn toàn không có thật.

1Cách 1. Chia từng hạng tử cho mẫu rồi tra bảng luỹ thừa

Định hướng. Khai triển tử, chia từng hạng tử cho $x^{4}$ ở ý a, nhân phá ngoặc ở ý b, rồi dùng công thức luỹ thừa.

\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{4}} = x^{- 2} + 4 x^{- 3} + 4 x^{- 4}

\int (x^{- 2} + 4 x^{- 3} + 4 x^{- 4}) d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + 4 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} + 4 \cdot \frac{x ^{- 3}}{- 3} + C

= - \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C

x (7 x^{2} + 6) = 7 x^{\frac{5}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}}

\int 7 x^{\frac{5}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} d x = 7 \cdot \frac{x ^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + 6 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C

= 2 x^{3} x + 4 x x + C

Vậy a) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $2 x^{3} x + 4 x x + C$ .

2Cách 2. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất sau khi đạo hàm

Định hướng. Dự đoán nguyên hàm là tổ hợp của đúng các luỹ thừa cao hơn một bậc, rồi so hệ số.

a) Đặt

F (x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x ^{2}} + \frac{c}{x ^{3}}

F^{'} (x) = - \frac{a}{x ^{2}} - \frac{2 b}{x ^{3}} - \frac{3 c}{x ^{4}}

- a = 1

- 2 b = 4

- 3 c = 4

a = - 1

b = - 2

c = - \frac{4}{3}

b) Đặt

G (x) = p x^{\frac{7}{2}} + q x^{\frac{3}{2}}

thì

\frac{7}{2} p = 7

và

\frac{3}{2} q = 6

p = 2

q = 4

Vậy a) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $2 x^{3} x + 4 x x + C$ .

3Cách 3. Đổi biến đưa phân thức và căn về đa thức

Định hướng. Ý a đặt $u = \frac{1}{x}$ cho mẫu biến mất, ý b đặt $x = t^{2}$ cho căn biến mất.

a) Đặt

u = \frac{1}{x}

thì

d u = - \frac{1}{x ^{2}} d x

nên

d x = - \frac{d u}{u ^{2}}

và

x = \frac{1}{u}

\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} = u^{4} (\frac{1}{u} + 2)^{2} = u^{2} (1 + 2 u)^{2}

\int u^{2} (1 + 2 u)^{2} (- \frac{d u}{u ^{2}}) = - \int (1 + 4 u + 4 u^{2}) d u

= - u - 2 u^{2} - \frac{4}{3} u^{3} + C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C

b) Đặt

x = t^{2}

với

t > 0

thì

d x = 2 t d t

và

x = t

\int t (7 t^{4} + 6) 2 t d t = \int (14 t^{6} + 12 t^{2}) d t = 2 t^{7} + 4 t^{3} + C

Vậy a) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $2 x^{3} x + 4 x x + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}})^{'} = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{x ^{3}} + \frac{4}{x ^{4}} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần hai phép đại số rồi tra bảng; Cách 3 cho thấy phép đổi biến vẫn chạy được nhưng dài hơn hẳn với dạng này.

Đáp số. a)

- \frac{1}{x} - \frac{2}{x ^{2}} - \frac{4}{3 x ^{3}} + C

; b)

2 x^{3} x + 4 x x + C

Sai lầm thường gặp. Ý a viết

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{4}} d x = \frac{( x + 2 ) ^{3}}{3} : \frac{x ^{5}}{5} + C

; đây là phép chia hai nguyên hàm, hoàn toàn không có công thức nào cho phép.

🚀 Mở rộng. Đổi ý a thành

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2}} d x

thì sau khi chia được

1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x ^{2}}

và nguyên hàm là

x + 4 ln ∣ x ∣ - \frac{4}{x} + C

, lần này có thêm hàm

ln

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.3★★Trang 7— Nguyên hàm của tích và thương chứa căn bậc hai, căn bậc ba

Bài 4.3 (trang 7). Tìm:
a)

\int (3 x + 4) 3 x d x

;
b)

\int \frac{( 2 x + 3 ) ^{2}}{x} d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ và $\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$ .
$3 x = x^{\frac{1}{3}}$ , $\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$ với $x > 0$ .
$(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều là tích hoặc thương của một đa thức với một căn, dấu hiệu phải nhân phân phối rồi cộng số mũ. Sau khi mọi hạng tử thành

x^{α}

thì chỉ việc tra bảng. Bẫy là cộng nhầm số mũ khi nhân, chẳng hạn

x \cdot x^{\frac{1}{3}}

x^{\frac{1}{3}}

thay vì

x^{\frac{4}{3}}

1Cách 1. Nhân phân phối rồi cộng số mũ, sau đó tra bảng

Định hướng. Đưa căn về số mũ, nhân phân phối để mỗi hạng tử thành một luỹ thừa của $x$ .

(3 x + 4) x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}

\int 3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} d x = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} + 4 \cdot \frac{x ^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C

= \frac{9}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} + C

\frac{( 2 x + 3 ) ^{2}}{x} = (4 x^{2} + 12 x + 9) x^{- \frac{1}{2}} = 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}}

\int 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{1}{2}} d x = 4 \cdot \frac{x ^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + 12 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 9 \cdot \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C

= \frac{8}{5} x^{2} x + 8 x x + 18 x + C

Vậy a) $\frac{9}{7} 3 x^{7} + 3 3 x^{4} + C$ ; b) $\frac{8}{5} x^{2} x + 8 x x + 18 x + C$ .

2Cách 2. Đổi biến

x = t^{3}

và

x = t^{2}

để khử căn

Định hướng. Chọn biến mới sao cho căn biến mất hoàn toàn, khi đó chỉ còn nguyên hàm của đa thức.

a) Đặt

x = t^{3}

với

t > 0

thì

d x = 3 t^{2} d t

và

3 x = t

\int (3 t^{3} + 4) t \cdot 3 t^{2} d t = \int (9 t^{6} + 12 t^{3}) d t

= \frac{9}{7} t^{7} + 3 t^{4} + C = \frac{9}{7} 3 x^{7} + 3 3 x^{4} + C

b) Đặt

x = t^{2}

với

t > 0

thì

d x = 2 t d t

và

x = t

\int \frac{( 2 t ^{2} + 3 ) ^{2}}{t} \cdot 2 t d t = \int (8 t^{4} + 24 t^{2} + 18) d t

= \frac{8}{5} t^{5} + 8 t^{3} + 18 t + C

Vậy b) $\frac{8}{5} x^{2} x + 8 x x + 18 x + C$ , trùng với Cách 1.

3Cách 3. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất

Định hướng. Nguyên hàm phải là tổ hợp của đúng các luỹ thừa có số mũ lớn hơn một đơn vị so với từng hạng tử.

a) Đặt

F (x) = a x^{\frac{7}{3}} + b x^{\frac{4}{3}}

F^{'} (x) = \frac{7}{3} a x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} b x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}

\frac{7}{3} a = 3

và

\frac{4}{3} b = 4

nên

a = \frac{9}{7}

b = 3

b) Đặt

G (x) = p x^{\frac{5}{2}} + q x^{\frac{3}{2}} + r x^{\frac{1}{2}}

\frac{5}{2} p = 4

\frac{3}{2} q = 12

\frac{1}{2} r = 9

p = \frac{8}{5}

q = 8

r = 18

Vậy hai kết quả trùng khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $\frac{9}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}}^{'} = 3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} = (3 x + 4) 3 x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhân phân phối rồi cộng số mũ là thao tác nhanh nhất; Cách 2 để dành cho bài có căn của một nhị thức chứ không phải căn của riêng

x

Đáp số. a)

\frac{9}{7} 3 x^{7} + 3 3 x^{4} + C

; b)

\frac{8}{5} x^{2} x + 8 x x + 18 x + C

Sai lầm thường gặp. Ý b lấy nguyên hàm của tử rồi chia cho

x

; ý a nhân sai số mũ, viết

3 x \cdot x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{1}{3}}

nên mất hẳn bậc của

x

🚀 Mở rộng. Đổi ý b thành

\int \frac{( 2 x + 3 ) ^{2}}{x x} d x

thì sau khi chia được

4 x^{\frac{1}{2}} + 12 x^{- \frac{1}{2}} + 9 x^{- \frac{3}{2}}

và kết quả là

\frac{8}{3} x x + 24 x - \frac{18}{x} + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.4★★Trang 7— Nguyên hàm của tổng hàm mũ và hàm luỹ thừa

Bài 4.4 (trang 7). Tìm:
a)

\int (2 e^{x} + \frac{1}{3 ^{x}}) d x

;
b)

\int (x^{2} + 2^{x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ và $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ với $0 < a \neq = 1$ .
$\frac{1}{3 ^{x}} = (\frac{1}{3})^{x}$ và $ln \frac{1}{3} = - ln 3$ .
$\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a có

\frac{1}{3 ^{x}}

nằm ở mẫu, phải nhận ra đó là hàm mũ cơ số

\frac{1}{3}

chứ không phải phân thức. Ý b trộn một luỹ thừa

x^{2}

với một hàm mũ

2^{x}

, hai hạng tử dùng hai công thức hoàn toàn khác nhau. Bẫy lớn nhất là lẫn lộn

x^{2}

với

2^{x}

rồi áp nhầm công thức cho nhau.

1Cách 1. Tách tổng rồi áp đúng hai bảng công thức

Định hướng. Nhận diện cơ số của từng hàm mũ và số mũ của từng luỹ thừa, rồi dùng đúng công thức cho mỗi loại.

\frac{1}{3 ^{x}} = (\frac{1}{3})^{x}

\int (2 e^{x} + (\frac{1}{3})^{x}) d x = 2 e^{x} + \frac{( \frac{1}{3} ) ^{x}}{ln \frac{1}{3}} + C

= 2 e^{x} + \frac{3 ^{- x}}{- ln 3} + C = 2 e^{x} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C

\int (x^{2} + 2^{x}) d x = \int x^{2} d x + \int 2^{x} d x

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Vậy a) $2 e^{x} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C$ ; b) $\frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$ .

2Cách 2. Quy mọi cơ số về

e

Định hướng. Viết $a^{x} = e^{x l n a}$ thì chỉ còn một công thức $\int e^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k} + C$ phải nhớ.

\frac{1}{3 ^{x}} = e^{- x l n 3}

\int e^{- x l n 3} d x = \frac{e ^{- x l n 3}}{- ln 3} + C = - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C

\int 2 e^{x} d x = 2 e^{x} + C

2^{x} = e^{x l n 2}

\int e^{x l n 2} d x = \frac{e ^{x l n 2}}{ln 2} + C = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Vậy a) $2 e^{x} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C$ ; b) $\frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$ .

3Cách 3. Dò hệ số của nguyên hàm dạng hàm mũ

Định hướng. Nguyên hàm của hàm mũ vẫn là hàm mũ cùng cơ số, chỉ khác một hệ số, nên đặt rồi so là ra.

a) Đặt

F (x) = 2 e^{x} + λ \cdot 3^{- x}

F^{'} (x) = 2 e^{x} - λ \cdot 3^{- x} ln 3 = 2 e^{x} + 3^{- x}

- λ ln 3 = 1

nên

λ = - \frac{1}{ln 3}

b) Đặt

G (x) = a x^{3} + μ \cdot 2^{x}

G^{'} (x) = 3 a x^{2} + μ 2^{x} ln 2 = x^{2} + 2^{x}

3 a = 1

và

μ ln 2 = 1

nên

a = \frac{1}{3}

μ = \frac{1}{ln 2}

Vậy a) $2 e^{x} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C$ ; b) $\frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(2 e^{x} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3})^{'} = 2 e^{x} + \frac{1}{3 ^{x}}$ , đúng hàm dưới dấu nguyên hàm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần đọc đúng cơ số rồi chia cho

ln

của nó; Cách 2 tiện hơn khi số mũ có dạng

k x

hoặc

a x + b

Đáp số. a)

2 e^{x} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C

; b)

\frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Sai lầm thường gặp. Ý b viết

\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x + 1}}{x + 1}

vì áp công thức luỹ thừa cho hàm mũ; ý a bỏ quên dấu trừ do

ln \frac{1}{3} = - ln 3

nên kết quả ngược dấu.

🚀 Mở rộng. Ghép hai ý lại thành

\int (x^{2} + 2^{x} + \frac{1}{3 ^{x}}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{2 ^{x}}{ln 2} - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C

, cho thấy mỗi loại hàm đi theo đúng công thức riêng của nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.5★★★Trang 8— Nguyên hàm sau khi khai triển bình phương của tổng hàm mũ

Bài 4.5 (trang 8). Tìm:
a)

\int (2^{x} + 3^{x})^{2} d x

;
b)

\int (e^{x} - e^{- x})^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$a^{x} b^{x} = (ab)^{x}$ và $(a^{x})^{2} = (a^{2})^{x}$ .
$e^{x} \cdot e^{- x} = 1$ và $(e^{x})^{2} = e^{2 x} = (e^{2})^{x}$ .
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ với $0 < a \neq = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai ý đều còn dấu bình phương nên phải khai triển trước, và điểm quyết định là biết gộp tích các hàm mũ thành một hàm mũ mới. Cụ thể

2^{x} \cdot 3^{x} = 6^{x}

(2^{x})^{2} = 4^{x}

e^{x} \cdot e^{- x} = 1

. Bẫy là bình phương số mũ thay vì bình phương cơ số, ví dụ viết

(2^{x})^{2} = 2^{x^{2}}

1Cách 1. Khai triển rồi gộp thành các hàm mũ cơ số mới

Định hướng. Bung hằng đẳng thức, gộp mỗi tích thành một hàm mũ với cơ số mới rồi tra bảng.

(2^{x} + 3^{x})^{2} = 4^{x} + 2 \cdot 6^{x} + 9^{x}

\int (4^{x} + 2 \cdot 6^{x} + 9^{x}) d x = \frac{4 ^{x}}{ln 4} + \frac{2 \cdot 6 ^{x}}{ln 6} + \frac{9 ^{x}}{ln 9} + C

(e^{x} - e^{- x})^{2} = e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}

\int (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}) d x = \frac{e ^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C

Vậy a) $\frac{4 ^{x}}{ln 4} + \frac{2 \cdot 6 ^{x}}{ln 6} + \frac{9 ^{x}}{ln 9} + C$ ; b) $\frac{e ^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C$ .

2Cách 2. Quy mọi cơ số về

e

rồi dùng công thức

e^{k x}

Định hướng. Viết mọi hàm mũ dưới dạng $e^{k x}$ thì chỉ cần một công thức duy nhất $\int e^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k} + C$ .

4^{x} = e^{x l n 4}

6^{x} = e^{x l n 6}

9^{x} = e^{x l n 9}

\int (e^{x l n 4} + 2 e^{x l n 6} + e^{x l n 9}) d x = \frac{e ^{x l n 4}}{ln 4} + \frac{2 e ^{x l n 6}}{ln 6} + \frac{e ^{x l n 9}}{ln 9} + C

\int e^{2 x} d x = \frac{e ^{2 x}}{2} + C

và

\int e^{- 2 x} d x = - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C

\int (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}) d x = \frac{e ^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C

Vậy hai kết quả trùng với Cách 1.

3Cách 3. Dò hệ số bằng cách đạo hàm biểu thức giả định

Định hướng. Nguyên hàm phải là tổ hợp của đúng các hàm mũ đã xuất hiện, cộng thêm một hạng tử bậc nhất cho hằng số $- 2$ ở ý b.

a) Đặt

F (x) = p \cdot 4^{x} + q \cdot 6^{x} + r \cdot 9^{x}

F^{'} (x) = p 4^{x} ln 4 + q 6^{x} ln 6 + r 9^{x} ln 9 = 4^{x} + 2 \cdot 6^{x} + 9^{x}

p = \frac{1}{ln 4}

q = \frac{2}{ln 6}

r = \frac{1}{ln 9}

b) Đặt

G (x) = m e^{2 x} + n x + k e^{- 2 x}

G^{'} (x) = 2 m e^{2 x} + n - 2 k e^{- 2 x} = e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}

2 m = 1

n = - 2

- 2 k = 1

nên

m = \frac{1}{2}

k = - \frac{1}{2}

Vậy a) $\frac{4 ^{x}}{ln 4} + \frac{2 \cdot 6 ^{x}}{ln 6} + \frac{9 ^{x}}{ln 9} + C$ ; b) $\frac{e ^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(\frac{e ^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2})^{'} = e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} = (e^{x} - e^{- x})^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì gộp

2^{x} 3^{x} = 6^{x}

rồi tra bảng là con đường ngắn nhất; nhớ rằng hạng tử hằng

- 2

ở ý b cho ra

- 2 x

chứ không biến mất.

Đáp số. a)

\frac{4 ^{x}}{ln 4} + \frac{2 \cdot 6 ^{x}}{ln 6} + \frac{9 ^{x}}{ln 9} + C

; b)

\frac{e ^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C

Sai lầm thường gặp. Viết

(2^{x} + 3^{x})^{2} = 4^{x} + 9^{x}

vì quên số hạng nhân đôi

2 \cdot 6^{x}

; ở ý b quên hằng số

- 2

nên mất hẳn hạng tử

- 2 x

trong kết quả.

🚀 Mở rộng. Đổi ý b thành

\int (e^{x} + e^{- x})^{2} d x

thì được

\frac{e ^{2 x}}{2} + 2 x - \frac{e ^{- 2 x}}{2} + C

— chỉ hạng tử giữa đổi dấu, hai hạng tử mũ giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.6★★Trang 8— Nguyên hàm của tổng một hàm lượng giác với một hàm luỹ thừa

Bài 4.6 (trang 8). Tìm:
a)

\int (2 cos x + \frac{3}{x}) d x

(x > 0)

;
b)

\int (3 x - 4 sin x) d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$\int cos x d x = sin x + C$ và $\int sin x d x = - cos x + C$ .
$\frac{1}{x} = x^{- \frac{1}{2}}$ và $x = x^{\frac{1}{2}}$ với $x > 0$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý trộn hai loại hàm khác hẳn nhau nên phải tách tổng rồi dùng hai bảng công thức riêng. Hạng tử chứa căn cần đổi về số mũ phân số trước, còn hạng tử lượng giác tra thẳng bảng. Bẫy là ở ý b lấy nguyên hàm của

- 4 sin x

thành

- 4 cos x

vì quên dấu trừ sẵn có trong công thức.

1Cách 1. Tách tổng rồi dùng hai bảng công thức riêng

Định hướng. Đưa hằng số ra ngoài, đổi căn thành số mũ, rồi lấy nguyên hàm từng hạng tử.

\int 2 cos x + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x = 2 \int cos x d x + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x

= 2 sin x + 3 \cdot \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C

= 2 sin x + 6 x + C

\int 3 x^{\frac{1}{2}} - 4 sin x d x = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 4 (- cos x) + C

= 2 x x + 4 cos x + C

Vậy a) $2 sin x + 6 x + C$ ; b) $2 x x + 4 cos x + C$ .

2Cách 2. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất

Định hướng. Nguyên hàm nằm trong họ gồm $sin x$ , $cos x$ và một luỹ thừa của $x$ , chỉ còn dò hai hệ số.

a) Đặt

F (x) = a sin x + b x

F^{'} (x) = a cos x + \frac{b}{2 x} = 2 cos x + \frac{3}{x}

a = 2

và

\frac{b}{2} = 3

nên

b = 6

b) Đặt

G (x) = p x^{\frac{3}{2}} + q cos x

G^{'} (x) = \frac{3}{2} p x^{\frac{1}{2}} - q sin x = 3 x^{\frac{1}{2}} - 4 sin x

\frac{3}{2} p = 3

và

q = 4

nên

p = 2

Vậy a) $2 sin x + 6 x + C$ ; b) $2 x x + 4 cos x + C$ .

3Cách 3. Đổi biến

x = t^{2}

cho riêng phần chứa căn

Định hướng. Phần lượng giác đã nằm trong bảng, chỉ cần xử lí riêng phần căn bằng phép đổi biến khử căn.

Đặt

x = t^{2}

với

t > 0

thì

d x = 2 t d t

và

x = t

\int \frac{3}{x} d x = \int \frac{3}{t} \cdot 2 t d t = \int 6 d t = 6 t + C = 6 x + C

\int 2 cos x d x = 2 sin x + C

\int 3 x d x = \int 3 t \cdot 2 t d t = 2 t^{3} + C = 2 x x + C

\int (- 4 sin x) d x = 4 cos x + C

Vậy a) $2 sin x + 6 x + C$ ; b) $2 x x + 4 cos x + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(2 sin x + 6 x)^{'} = 2 cos x + \frac{3}{x}$ , đúng hàm dưới dấu nguyên hàm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tách tổng rồi tra hai bảng là nhanh và an toàn nhất; đặc biệt nhớ

\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C

để khỏi tính lại mỗi lần.

Đáp số. a)

2 sin x + 6 x + C

; b)

2 x x + 4 cos x + C

Sai lầm thường gặp. Ý b viết

- 4 cos x

vì nghĩ nguyên hàm của

sin x

là

cos x

; đạo hàm thử lại cho

4 sin x

, ngược dấu hoàn toàn. Ý a nhầm

\frac{3}{x}

thành

3 ln x

vì thấy có phân thức.

🚀 Mở rộng. Đổi ý a thành

\int (2 cos x + \frac{3}{x}) d x

thì hạng tử thứ hai rơi đúng vào trường hợp

α = - 1

và kết quả là

2 sin x + 3 ln ∣ x ∣ + C

, một dạng hoàn toàn khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.7★★★★Trang 8— Nguyên hàm lượng giác sau khi hạ bậc và dùng đồng nhất thức

Bài 4.7 (trang 8). Tìm:
a)

\int (x + sin^{2} \frac{x}{2}) d x

;
b)

\int (2 tan x + cot x)^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}$ .
$tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1$ và $cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x} - 1$ .
$tan x cot x = 1$ với mọi $x$ làm cả hai hàm xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều có hàm lượng giác bậc hai, mà bảng nguyên hàm chỉ có bậc một, nên bắt buộc phải hạ bậc hoặc thay bằng

\frac{1}{cos ^{2} x}

\frac{1}{sin ^{2} x}

. Ý b sau khi khai triển có số hạng

4 tan x cot x

, và chính đẳng thức

tan x cot x = 1

mới biến nó thành hằng số. Bẫy là lấy nguyên hàm trực tiếp của

tan^{2} x

hay

cot^{2} x

vì hai hàm này không nằm trong bảng.

1Cách 1. Hạ bậc và dùng đồng nhất thức trước khi tra bảng

Định hướng. Biến mọi biểu thức bậc hai thành bậc một hoặc thành $\frac{1}{cos ^{2} x}$ , $\frac{1}{sin ^{2} x}$ rồi dùng bảng nguyên hàm lượng giác.

x + sin^{2} \frac{x}{2} = x + \frac{1 - cos x}{2} = x + \frac{1}{2} - \frac{cos x}{2}

\int (x + \frac{1}{2} - \frac{cos x}{2}) d x = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{sin x}{2} + C

(2 tan x + cot x)^{2} = 4 tan^{2} x + 4 tan x cot x + cot^{2} x

= 4 (\frac{1}{cos ^{2} x} - 1) + 4 + (\frac{1}{sin ^{2} x} - 1)

= \frac{4}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x} - 1

\int (\frac{4}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x} - 1) d x = 4 tan x - cot x - x + C

Vậy a) $\frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{sin x}{2} + C$ ; b) $4 tan x - cot x - x + C$ .

2Cách 2. Đi đường

cos^{2}

và đường phân thức lượng giác

Định hướng. Ý a hạ bậc qua $cos^{2} \frac{x}{2}$ , ý b gộp thành một phân thức theo $sin x$ và $cos x$ để thấy rõ cấu trúc.

sin^{2} \frac{x}{2} = 1 - cos^{2} \frac{x}{2} = 1 - \frac{1 + cos x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}

\int (x + \frac{1 - cos x}{2}) d x = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{sin x}{2} + C

2 tan x + cot x = \frac{2 sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x} = \frac{1 + sin ^{2} x}{sin x cos x}

(2 tan x + cot x)^{2} = \frac{( 1 + sin ^{2} x ) ^{2}}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{1 + 2 sin ^{2} x + sin ^{4} x}{sin ^{2} x cos ^{2} x}

1 + 2 sin^{2} x + sin^{4} x = 4 sin^{2} x + cos^{2} x - sin^{2} x cos^{2} x

(2 tan x + cot x)^{2} = \frac{4}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x} - 1

Vậy b) $\int (2 tan x + cot x)^{2} d x = 4 tan x - cot x - x + C$ .

3Cách 3. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất sau khi đạo hàm

Định hướng. Dự đoán nguyên hàm là tổ hợp của $x$ , $x^{2}$ , $sin x$ , $tan x$ , $cot x$ rồi dò các hệ số.

a) Đặt

F (x) = a x^{2} + b x + c sin x

F^{'} (x) = 2 a x + b + c cos x = x + \frac{1}{2} - \frac{cos x}{2}

2 a = 1

b = \frac{1}{2}

c = - \frac{1}{2}

nên

a = \frac{1}{2}

b) Đặt

G (x) = p tan x + q cot x + r x

G^{'} (x) = \frac{p}{cos ^{2} x} - \frac{q}{sin ^{2} x} + r = \frac{4}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x} - 1

p = 4

- q = 1

r = - 1

nên

q = - 1

Vậy a) $\frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{sin x}{2} + C$ ; b) $4 tan x - cot x - x + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(4 tan x - cot x - x)^{'} = \frac{4}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x} - 1 = (2 tan x + cot x)^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hạ bậc và thay

tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1

là hai thao tác chuẩn, cho lời giải ngắn và ít sai; Cách 2 chỉ dùng khi muốn kiểm tra chéo.

Đáp số. a)

\frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{sin x}{2} + C

; b)

4 tan x - cot x - x + C

Sai lầm thường gặp. Ý b khai triển quên số hạng

4 tan x cot x = 4

nên thiếu hẳn hằng số làm triệt tiêu bớt phần

- x

; ý a hạ bậc nhầm thành

\frac{1 - cos 2 x}{2}

vì áp công thức cho

sin^{2} x

thay vì cho

sin^{2} \frac{x}{2}

🚀 Mở rộng. Đổi ý b thành

\int (tan x + cot x)^{2} d x

thì được

tan x - cot x + C

vì khi ấy

(tan x + cot x)^{2} = \frac{1}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x}

, hằng số

- 2

vừa vặn bị

+ 2

triệt tiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.8★★★Trang 8— Bài toán chuyển động thẳng đứng: độ cao và độ cao lớn nhất

Bài 4.8 (trang 8). Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm

t

(coi

t = 0

là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi

v (t) = 150 - 9, 8 t

(m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau

t = 3

giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Kiến thức cần nhớ

$h^{'} (t) = v (t)$ và $h (0) = 0$ vì viên đạn xuất phát từ mặt đất.
$\int t d t = \frac{t ^{2}}{2} + C$ .
Hàm bậc hai $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 150 t$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = \frac{150}{9 , 8}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ cao là nguyên hàm của vận tốc, còn mốc bắn từ mặt đất cho điều kiện độ cao ban đầu bằng không. Câu b hỏi độ cao lớn nhất, mà viên đạn lên cao nhất đúng lúc vận tốc triệt tiêu chứ không phải tại mốc thời gian của câu a. Bẫy là quên chia đôi khi lấy nguyên hàm của

- 9, 8 t

, hoặc lấy luôn

t = 3

cho câu b.

1Cách 1. Lấy nguyên hàm vận tốc rồi giải phương trình đạo hàm bằng không

Định hướng. Tìm $h (t)$ từ $v (t)$ nhờ điều kiện $h (0) = 0$ , thay $t = 3$ cho câu a; câu b tìm nghiệm của $h^{'} (t) = 0$ .

h (t) = \int (150 - 9, 8 t) d t

h (t) = 150 t - 9, 8 \cdot \frac{t ^{2}}{2} + C

h (t) = 150 t - 4, 9 t^{2} + C

h (0) = 0 \Rightarrow C = 0

h (3) = 150 \cdot 3 - 4, 9 \cdot 9 = 450 - 44, 1

h (3) = 405, 9

h^{'} (t) = 150 - 9, 8 t = 0

t = \frac{150}{9 , 8} = \frac{750}{49}

h (\frac{750}{49}) = \frac{15 0 ^{2}}{2 \cdot 9 , 8} = \frac{22 500}{19 , 6} \approx 1148, 0

Vậy a) $h (3) = 405, 9$ m; b) độ cao lớn nhất khoảng $1148, 0 m$ .

2Cách 2. Đưa

h (t)

về dạng chính tắc của parabol

Định hướng. Hoàn chỉnh bình phương để đọc thẳng giá trị lớn nhất, khỏi phải xét dấu đạo hàm.

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 150 t

h (t) = - 4, 9 (t^{2} - \frac{150}{4 , 9} t)

h (t) = - 4, 9 (t - \frac{75}{4 , 9})^{2} + \frac{15 0 ^{2}}{4 \cdot 4 , 9}

h (t) \leq \frac{22 500}{19 , 6}

với mọi

t

\frac{22 500}{19 , 6} \approx 1148, 0

Dấu bằng xảy ra khi

t = \frac{75}{4 , 9} = \frac{750}{49} \approx 15, 3

Vậy viên đạn cao nhất khoảng $1148, 0$ m, sau khoảng $15, 3$ giây.

3Cách 3. Đọc độ cao bằng diện tích dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Đồ thị vận tốc là đoạn thẳng, nên độ cao sau $3$ giây là diện tích hình thang, độ cao lớn nhất là diện tích tam giác tính tới lúc vận tốc bằng $0$ .

v (0) = 150

và

v (3) = 150 - 29, 4 = 120, 6

h (3) = \frac{150 + 120 , 6}{2} \cdot 3

h (3) = 135, 3 \cdot 3 = 405, 9

v (t) = 0

khi

t = \frac{150}{9 , 8}

h_{m a x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{150}{9 , 8} \cdot 150

h_{m a x} = \frac{11 250}{9 , 8} \approx 1148, 0

Vậy a) $405, 9$ m; b) khoảng $1148, 0$ m.

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(150 t - 4, 9 t^{2})^{'} = 150 - 9, 8 t = v (t)$ , đúng hàm vận tốc đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì một mạch nguyên hàm trả lời được cả hai câu và dùng lại được cho mọi hàm vận tốc; Cách 3 dùng để soát nhanh con số.

Đáp số. a)

h (3) = 405, 9

m; b)

h_{m a x} = \frac{11 250}{9 , 8} \approx 1148, 0

m khi

t = \frac{750}{49} \approx 15, 3

giây.

Sai lầm thường gặp. Lấy nguyên hàm của

- 9, 8 t

thành

- 9, 8 t^{2}

nên độ cao sai gấp đôi phần bậc hai; hoặc lấy

h (3)

làm luôn đáp số cho câu b vì tưởng đề chỉ có một mốc thời gian.

🚀 Mở rộng. Vẫn bài này nhưng hỏi lúc chạm đất: giải

150 t - 4, 9 t^{2} = 0

được

t = \frac{1 500}{49} \approx 30, 6

giây, đúng gấp đôi thời điểm lên cao nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.9★★★★Trang 8— Chứng minh và vận dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp

Bài 4.9 (trang 8). Cho

F (u)

là một nguyên hàm của hàm số

f (u)

trên khoảng

K

và

u (x)

x \in J

, là hàm số có đạo hàm liên tục,

u (x) \in K

với mọi

x \in J

. Tìm

\int f (u (x)) \cdot u^{'} (x) d x

.
Áp dụng: Tìm

\int (2 x + 1)^{5} d x

và

\int \frac{1}{2 x + 1} d x

Kiến thức cần nhớ

$[F (u (x))]^{'} = F^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ (đạo hàm hàm hợp).
$\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6} + C$ và $\int \frac{1}{u} d u = 2 u + C$ .
$(2 x + 1)^{'} = 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức

f (u (x)) \cdot u^{'} (x)

có cấu trúc y hệt vế phải của quy tắc đạo hàm hàm hợp, đó là dấu hiệu để đạo hàm

F (u (x))

chứ không phải biến đổi gì thêm. Ở phần áp dụng, cả hai biểu thức đều có

u = 2 x + 1

với

u^{'} = 2

là hằng số, nên chỉ cần nhân và chia cho

2

là dựng được đúng dạng. Bẫy là quên nhân bù hệ số

\frac{1}{2}

ấy.

1Cách 1. Đạo hàm hàm hợp rồi dựng lại dạng

f (u) u^{'}

Định hướng. Đạo hàm $F (u (x))$ để thấy nó cho ra đúng biểu thức dưới dấu nguyên hàm, sau đó nhân và chia cho $2$ ở phần áp dụng.

F^{'} (u) = f (u)

với mọi

u \in K

[F (u (x))]^{'} = F^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x) = f (u (x)) \cdot u^{'} (x)

với mọi

x \in J

\int f (u (x)) \cdot u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C

(2 x + 1)^{5} = \frac{1}{2} (2 x + 1)^{5} \cdot (2 x + 1)^{'}

\int (2 x + 1)^{5} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{6} + C = \frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} + C

\frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1)^{'}

\int \frac{1}{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} \cdot 2 2 x + 1 + C = 2 x + 1 + C

Vậy $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$ ; $\int (2 x + 1)^{5} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} + C$ ; $\int \frac{1}{2 x + 1} d x = 2 x + 1 + C$ .

2Cách 2. Đổi hẳn sang biến mới

t = 2 x + 1

Định hướng. Đặt $t = 2 x + 1$ thì $d t = 2 d x$ , mọi thứ chuyển sang biến $t$ và bài trở thành nguyên hàm cơ bản.

Đặt

t = 2 x + 1

thì

d t = 2 d x

nên

d x = \frac{d t}{2}

\int (2 x + 1)^{5} d x = \int t^{5} \cdot \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t ^{6}}{6} + C

= \frac{t ^{6}}{12} + C = \frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} + C

\int \frac{1}{2 x + 1} d x = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 t + C

= t + C = 2 x + 1 + C

Vậy hai kết quả trùng với Cách 1.

3Cách 3. Khai triển nhị thức và dò hệ số

Định hướng. Kiểm chứng lại bằng con đường hoàn toàn sơ cấp: khai triển cho luỹ thừa, đặt hệ số cho căn.

(2 x + 1)^{5} = 32 x^{5} + 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 1

\int (2 x + 1)^{5} d x = \frac{16}{3} x^{6} + 16 x^{5} + 20 x^{4} + \frac{40}{3} x^{3} + 5 x^{2} + x + C

\frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} = \frac{16}{3} x^{6} + 16 x^{5} + 20 x^{4} + \frac{40}{3} x^{3} + 5 x^{2} + x + \frac{1}{12}

Đặt

G (x) = a 2 x + 1

thì

G^{'} (x) = \frac{2 a}{2 2 x + 1} = \frac{a}{2 x + 1}

a = 1

Vậy hai dạng viết của nguyên hàm thứ nhất chỉ lệch nhau hằng số $\frac{1}{12}$ , còn nguyên hàm thứ hai đúng bằng $2 x + 1 + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(2 x + 1)^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ và $(\frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12})^{'} = (2 x + 1)^{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đổi biến viết ra rất gọn và dùng lại được cho mọi hàm hợp; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra vì khai triển bậc năm rất dễ sai hệ số.

Đáp số.

\int f (u (x)) \cdot u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C

;

\int (2 x + 1)^{5} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} + C

;

\int \frac{1}{2 x + 1} d x = 2 x + 1 + C

Sai lầm thường gặp. Viết ngay

\int (2 x + 1)^{5} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{6} + C

vì quên hệ số

\frac{1}{2}

; đạo hàm thử lại ra

2 (2 x + 1)^{5}

, gấp đôi hàm dưới dấu nguyên hàm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho mọi nhị thức,

\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C

và

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{2 a x + b}{a} + C

với

a \neq = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.10★★★Trang 8— Nguyên hàm của phân thức bậc nhất trên bậc nhất và biểu thức lượng giác bậc hai

Bài 4.10 (trang 8). Tìm:
a)

\int \frac{2 x - 1}{x + 1} d x

;
b)

\int (3 + 2 sin^{2} x) d x

Kiến thức cần nhớ

$\frac{2 x - 1}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$ .
$\int \frac{1}{x + 1} d x = ln ∣ x + 1∣ + C$ .
$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ và $\int cos 2 x d x = \frac{sin 2 x}{2} + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a có tử và mẫu cùng bậc nhất, dấu hiệu bắt buộc phải tách phần nguyên trước khi lấy nguyên hàm. Ý b lại có

sin^{2} x

nên phải hạ bậc bằng công thức nhân đôi, vì bảng nguyên hàm không có hàm lượng giác bậc hai. Bẫy chung của hai ý là lấy nguyên hàm thẳng từng phần rời rạc: chia hai nguyên hàm ở ý a, bình phương nguyên hàm ở ý b.

1Cách 1. Tách phần nguyên và hạ bậc rồi tra bảng

Định hướng. Ý a chia tử cho mẫu để tách ra một hằng số cộng một phân thức đơn giản; ý b hạ bậc $sin^{2} x$ về $cos 2 x$ .

\frac{2 x - 1}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 ) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}

\int (2 - \frac{3}{x + 1}) d x = 2 x - 3 ln ∣ x + 1∣ + C

3 + 2 sin^{2} x = 3 + 2 \cdot \frac{1 - cos 2 x}{2} = 4 - cos 2 x

\int (4 - cos 2 x) d x = 4 x - \frac{sin 2 x}{2} + C

Vậy a) $2 x - 3 ln ∣ x + 1∣ + C$ ; b) $4 x - \frac{sin 2 x}{2} + C$ .

2Cách 2. Đổi biến để đưa về nguyên hàm cơ bản

Định hướng. Ý a đặt $t = x + 1$ cho mẫu thành một chữ, ý b đặt $t = 2 x$ cho hàm lượng giác thành bậc một theo biến mới.

a) Đặt

t = x + 1

thì

d t = d x

và

x = t - 1

\frac{2 x - 1}{x + 1} = \frac{2 t - 3}{t} = 2 - \frac{3}{t}

\int (2 - \frac{3}{t}) d t = 2 t - 3 ln ∣ t ∣ + C = 2 (x + 1) - 3 ln ∣ x + 1∣ + C

b) Đặt

t = 2 x

thì

d t = 2 d x

\int cos 2 x d x = \int cos t \cdot \frac{d t}{2} = \frac{sin t}{2} + C = \frac{sin 2 x}{2} + C

\int (4 - cos 2 x) d x = 4 x - \frac{sin 2 x}{2} + C

Vậy a) $2 x - 3 ln ∣ x + 1∣ + C$ (hằng số $2$ đã gộp vào $C$ ); b) $4 x - \frac{sin 2 x}{2} + C$ .

3Cách 3. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất sau khi đạo hàm

Định hướng. Dự đoán nguyên hàm là tổ hợp của $x$ , $ln ∣ x + 1∣$ ở ý a và của $x$ , $sin 2 x$ ở ý b rồi dò hệ số.

a) Đặt

F (x) = a x + b ln ∣ x + 1∣

F^{'} (x) = a + \frac{b}{x + 1} = \frac{a ( x + 1 ) + b}{x + 1} = \frac{2 x - 1}{x + 1}

a = 2

và

a + b = - 1

nên

b = - 3

b) Đặt

G (x) = p x + q sin 2 x

G^{'} (x) = p + 2 q cos 2 x = 4 - cos 2 x

p = 4

và

2 q = - 1

nên

q = - \frac{1}{2}

Vậy a) $2 x - 3 ln ∣ x + 1∣ + C$ ; b) $4 x - \frac{sin 2 x}{2} + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(2 x - 3 ln ∣ x + 1∣)^{'} = 2 - \frac{3}{x + 1} = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và $(4 x - \frac{sin 2 x}{2})^{'} = 4 - cos 2 x = 3 + 2 sin^{2} x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tách phần nguyên và hạ bậc là hai thao tác chuẩn, mỗi ý chỉ mất hai dòng; Cách 3 tiện để soát lại khi nghi ngờ hệ số.

Đáp số. a)

2 x - 3 ln ∣ x + 1∣ + C

(x \neq = - 1)

; b)

4 x - \frac{sin 2 x}{2} + C

Sai lầm thường gặp. Ý a viết

\int \frac{2 x - 1}{x + 1} d x = \frac{x ^{2} - x}{ln ∣ x + 1∣} + C

vì chia hai nguyên hàm cho nhau; ý b viết

3 x + 2 \cdot (- \frac{cos ^{3} x}{3}) + C

do định lấy nguyên hàm trực tiếp của

sin^{2} x

, một hàm không có trong bảng.

🚀 Mở rộng. Đổi ý a thành

\int \frac{2 x - 1}{x + 2} d x

thì tách được

2 - \frac{5}{x + 2}

và kết quả là

2 x - 5 ln ∣ x + 2∣ + C

, cho thấy phần dư quyết định hệ số trước hàm

ln

Mở bài này trong app ↗