Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 11. Nguyên hàm

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 24 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 4— Bài toán thực tiễn: tìm quãng đường khi biết vận tốc

Mở đầu (trang 4). Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi

v (t) = 5 + 3 t

(m/s), với

t

là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau

30

giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm: nếu $S (t)$ là quãng đường thì $S^{'} (t) = v (t)$ .
$F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $K$ khi $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in K$ .
$\int k d t = k t + C$ và $\int t d t = \frac{t ^{2}}{2} + C$ .
Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc và hỏi quãng đường, mà quãng đường có đạo hàm chính là vận tốc, nên đây là bài đi ngược chiều đạo hàm. Vì vậy phải tìm một hàm số có đạo hàm bằng

5 + 3 t

, rồi dùng thêm dữ kiện lúc bắt đầu chạy đà quãng đường bằng không để chốt hằng số. Bẫy của đề là dễ lấy thẳng

v (30) = 95

nhân với

30

giây, nhưng vận tốc thay đổi liên tục nên không được nhân như chuyển động đều.

1Cách 1. Lấy nguyên hàm của vận tốc rồi dùng mốc xuất phát

Định hướng. Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc, nên tìm họ nguyên hàm của $5 + 3 t$ rồi chọn hằng số sao cho lúc $t = 0$ quãng đường bằng $0$ .

S^{'} (t) = v (t) = 5 + 3 t

S (t) = \int (5 + 3 t) d t = 5 \int d t + 3 \int t d t

S (t) = 5 t + \frac{3}{2} t^{2} + C

S (0) = 0 \Rightarrow C = 0

S (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t

S (30) = \frac{3}{2} \cdot 3 0^{2} + 5 \cdot 30

S (30) = 1350 + 150 = 1500

Vậy máy bay đã chạy đà được $1500 m$ .

2Cách 2. Đặt quãng đường là đa thức bậc hai rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Đạo hàm của quãng đường là đa thức bậc nhất nên bản thân quãng đường phải là đa thức bậc hai; chỉ cần dò ba hệ số.

Đặt

S (t) = a t^{2} + b t + c

S^{'} (t) = 2 a t + b

2 a t + b = 3 t + 5

với mọi

t

2 a = 3

và

b = 5

a = \frac{3}{2}

b = 5

S (0) = c = 0

S (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t

S (30) = \frac{3}{2} \cdot 900 + 150 = 1500

Vậy quãng đường chạy đà là $1500 m$ .

3Cách 3. Đọc quãng đường bằng diện tích hình thang dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Vận tốc là hàm bậc nhất nên đồ thị là một đoạn thẳng, phần hình thang giữa đồ thị và trục hoành có diện tích đúng bằng quãng đường.

v (0) = 5 + 3 \cdot 0 = 5

v (30) = 5 + 3 \cdot 30 = 95

S = \frac{v ( 0 ) + v ( 30 )}{2} \cdot 30

S = \frac{5 + 95}{2} \cdot 30

S = 50 \cdot 30 = 1500

Vậy $S = 1500 m$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một số vì chuyển động có gia tốc không đổi; Cách 3 chỉ đúng khi đồ thị vận tốc là đoạn thẳng, còn Cách 1 dùng được cho mọi hàm vận tốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó là lối đi tổng quát: đổi vận tốc bất kì thành quãng đường chỉ bằng một lần lấy nguyên hàm, không phụ thuộc đồ thị có phải đoạn thẳng hay không.

Đáp số.

S = 1500

Sai lầm thường gặp. Lấy

v (30) = 95

rồi nhân với

30

2850

m — sai vì công thức quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian chỉ đúng cho chuyển động đều. Một lỗi nữa là quên hằng số

C

rồi vẫn viết

S (t) = 5 t + \frac{3}{2} t^{2}

mà không kiểm tra

S (0) = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

v (t) = v_{0} + a t

thì

S (T) = v_{0} T + \frac{a T ^{2}}{2}

, đúng bằng công thức quãng đường của chuyển động biến đổi đều trong Vật lí.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 4— Kiểm tra một hàm số có là nguyên hàm của hàm số khác hay không

HĐ1 (trang 4). Nhận biết khái niệm nguyên hàm. Cho hai hàm số

f (x) = x^{2} + 1

và

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x

, với

x \in R

.
a) Tính đạo hàm của hàm số

F (x)

.
b)

F^{'} (x)

và

f (x)

có bằng nhau không?

Kiến thức cần nhớ

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ với $n$ nguyên dương.
$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ và $(k u)^{'} = k u^{'}$ .
Hai hàm số bằng nhau trên $R$ khi giá trị tại mọi điểm trùng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đặt cạnh nhau một hàm bậc ba và một hàm bậc hai, dấu hiệu quen của phép lấy đạo hàm hạ bậc. Chỉ cần đạo hàm

F (x)

rồi so sánh từng hạng tử với

f (x)

, không phải biến đổi gì thêm. Chỗ dễ nhầm là hệ số

\frac{1}{3}

bị bỏ quên khi nhân với số mũ

3

1Cách 1. Đạo hàm trực tiếp theo quy tắc tổng và luỹ thừa

Định hướng. Tách $F (x)$ thành hai hạng tử rồi đạo hàm từng hạng tử.

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x

F^{'} (x) = \frac{1}{3} (x^{3})^{'} + (x)^{'}

F^{'} (x) = \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} + 1

F^{'} (x) = x^{2} + 1

f (x) = x^{2} + 1

Vậy $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in R$ .

2Cách 2. Quay về định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

Định hướng. Dùng thẳng định nghĩa để thấy rõ vì sao đạo hàm lại đúng bằng $x^{2} + 1$ .

F (x + h) - F (x) = \frac{1}{3} [(x + h)^{3} - x^{3}] + h

F (x + h) - F (x) = \frac{1}{3} (3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + h

\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = x^{2} + x h + \frac{h ^{2}}{3} + 1

F^{'} (x) = h \to 0 lim (x^{2} + x h + \frac{h ^{2}}{3} + 1)

F^{'} (x) = x^{2} + 1

Vậy $F^{'} (x) = f (x)$ , tức $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ .

3Cách 3. Viết

F (x)

thành tích rồi đạo hàm theo quy tắc tích

Định hướng. Đặt $x$ làm nhân tử chung rồi dùng quy tắc đạo hàm của một tích để kiểm chứng lại kết quả.

F (x) = \frac{x ( x ^{2} + 3 )}{3}

F^{'} (x) = \frac{1}{3} [(x)^{'} (x^{2} + 3) + x (x^{2} + 3)^{'}]

F^{'} (x) = \frac{1}{3} [(x^{2} + 3) + x \cdot 2 x]

F^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} + 3}{3}

F^{'} (x) = x^{2} + 1

Vậy $F^{'} (x) = f (x)$ trên $R$ .

Nhận xét. Ba đường tính khác nhau cùng cho $x^{2} + 1$ , đó chính là phép thử lại bằng đạo hàm mà mọi bài nguyên hàm đều phải làm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ mất hai dòng; Cách 2 chỉ nên dùng khi đề yêu cầu chứng minh bằng định nghĩa.

Đáp số. a)

F^{'} (x) = x^{2} + 1

. b) Có,

F^{'} (x) = f (x)

với mọi

x \in R

Sai lầm thường gặp. Đạo hàm

\frac{1}{3} x^{3}

x^{3}

hoặc ra

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{3}

vì quên hạ bậc; quên đạo hàm hạng tử

x

nên thiếu số

1

và kết luận nhầm rằng

F^{'} (x) \neq = f (x)

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

(\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + x)^{'} = x^{n} + 1

, nên

\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + x

là một nguyên hàm của

x^{n} + 1

với mọi

n

nguyên dương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 5— Chọn nguyên hàm đúng trong hai hàm số cho trước

Luyện tập 1 (trang 5). Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = x + \frac{1}{x}

trên khoảng

(0; + \infty)

?
a)

F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + ln x

;
b)

G (x) = \frac{x ^{2}}{2} - ln x

Kiến thức cần nhớ

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ với $x > 0$ .
$(\frac{x ^{2}}{2})^{'} = x$ .
Muốn bác bỏ một khẳng định chỉ cần chỉ ra một giá trị làm nó sai.

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm

F

và

G

chỉ khác nhau đúng một dấu trước

ln x

, nên đề muốn kiểm tra việc nhớ chính xác

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

. Cách nhanh nhất là đạo hàm cả hai rồi đối chiếu với

f (x)

. Bẫy nằm ở chỗ nhìn lướt thấy hai hàm gần giống nhau nên dễ chọn bừa một hàm.

1Cách 1. Đạo hàm cả hai hàm rồi đối chiếu với

f (x)

Định hướng. Lấy đạo hàm từng hàm, hàm nào cho đúng $x + \frac{1}{x}$ thì hàm đó là nguyên hàm.

F^{'} (x) = (\frac{1}{2} x^{2})^{'} + (ln x)^{'}

F^{'} (x) = x + \frac{1}{x}

G^{'} (x) = (\frac{x ^{2}}{2})^{'} - (ln x)^{'}

G^{'} (x) = x - \frac{1}{x}

F^{'} (x) = f (x)

và

G^{'} (x) \neq = f (x)

trên

(0; + \infty)

Vậy chỉ có $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + ln x$ là một nguyên hàm của $f (x)$ .

2Cách 2. Dựng ngược nguyên hàm từ

f (x)

rồi so sánh

Định hướng. Tìm hẳn họ nguyên hàm của $f (x)$ , sau đó xem hàm nào trong hai hàm đã cho nằm trong họ đó.

\int (x + \frac{1}{x}) d x = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x

\int (x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x ^{2}}{2} + ln x + C

(với

x > 0

)

F (x) = \frac{x ^{2}}{2} + ln x

ứng với

C = 0

G (x) = \frac{x ^{2}}{2} - ln x

không có dạng

\frac{x ^{2}}{2} + ln x + C

vì

- ln x - ln x = - 2 ln x

không phải hằng số

Vậy $F (x)$ là nguyên hàm của $f (x)$ , còn $G (x)$ thì không.

3Cách 3. Bác bỏ nhanh bằng một giá trị cụ thể

Định hướng. Muốn loại $G$ chỉ cần một điểm làm cho $G^{'}$ khác $f$ , chọn $x = 1$ cho số đẹp.

G^{'} (x) = x - \frac{1}{x}

G^{'} (1) = 1 - 1 = 0

f (1) = 1 + 1 = 2

G^{'} (1) = 0 \neq = 2 = f (1)

F^{'} (1) = 1 + 1 = 2 = f (1)

Vậy $G (x)$ bị loại ngay tại $x = 1$ , đáp án là $F (x)$ .

Nhận xét. Một điểm phản ví dụ đủ để bác bỏ, nhưng muốn khẳng định $F$ đúng thì bắt buộc phải đạo hàm trên cả khoảng chứ không được thử vài điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Với dạng trắc nghiệm nên dùng Cách 3 để loại phương án sai trong vài giây, rồi dùng Cách 1 xác nhận phương án còn lại cho chắc.

Đáp số. Hàm số

F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + ln x

là một nguyên hàm của

f (x)

trên

(0; + \infty)

;

G (x)

thì không.

Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm

(ln x)^{'} = - \frac{1}{x}

rồi chọn

G

; hoặc thấy

G

cũng có

\frac{x ^{2}}{2}

nên kết luận cả hai đều đúng mà quên rằng

F

và

G

lệch nhau

2 ln x

chứ không lệch một hằng số.

🚀 Mở rộng. Trên khoảng

(- \infty; 0)

thì nguyên hàm của

x + \frac{1}{x}

lại là

\frac{x ^{2}}{2} + ln (- x) + C

, cho thấy phải luôn để ý khoảng

K

khi viết

ln ∣ x ∣

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 5— Chứng minh nguyên hàm và vai trò của hằng số cộng thêm

HĐ2 (trang 5). Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số.
a) Chứng minh rằng hàm số

F (x) = \frac{x ^{4}}{4}

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{3}

trên

R

.
b) Hàm số

G (x) = \frac{x ^{4}}{4} + C

(với

C

là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

trên

R

không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

$(x^{4})^{'} = 4 x^{3}$ .
Đạo hàm của hàm hằng bằng $0$ .
Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì $F + C$ cũng vậy, với mọi hằng số $C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ là một phép đạo hàm, nhưng câu b mới là ý chính: đề muốn học sinh thấy hằng số

C

biến mất khi lấy đạo hàm. Vì vậy hướng đi là đạo hàm

G

rồi chỉ ra nó vẫn bằng

x^{3}

dù

C

là số nào. Bẫy là nghĩ rằng thêm

C

vào thì hàm đổi nên nguyên hàm cũng phải đổi.

1Cách 1. Đạo hàm trực tiếp cả

F

và

G

Định hướng. Lấy đạo hàm hai hàm, chú ý đạo hàm của hằng số $C$ bằng $0$ .

F^{'} (x) = (\frac{x ^{4}}{4})^{'} = \frac{4 x ^{3}}{4} = x^{3}

F^{'} (x) = f (x)

với mọi

x \in R

G^{'} (x) = (\frac{x ^{4}}{4})^{'} + (C)^{'}

G^{'} (x) = x^{3} + 0 = x^{3}

G^{'} (x) = f (x)

với mọi

x \in R

Vậy cả $F (x)$ và $G (x)$ đều là nguyên hàm của $f (x) = x^{3}$ trên $R$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

Định hướng. Khai triển $(x + h)^{4}$ để thấy hằng số $C$ bị triệt tiêu ngay từ hiệu $G (x + h) - G (x)$ .

G (x + h) - G (x) = \frac{( x + h ) ^{4} - x ^{4}}{4}

G (x + h) - G (x) = \frac{4 x ^{3} h + 6 x ^{2} h ^{2} + 4 x h ^{3} + h ^{4}}{4}

\frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h} = x^{3} + \frac{3 x ^{2} h}{2} + x h^{2} + \frac{h ^{3}}{4}

G^{'} (x) = h \to 0 lim (x^{3} + \frac{3 x ^{2} h}{2} + x h^{2} + \frac{h ^{3}}{4})

G^{'} (x) = x^{3}

Vậy $G^{'} (x) = f (x)$ , nên $G (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ với mọi hằng số $C$ .

3Cách 3. Dùng tính chất hiệu hai nguyên hàm là hằng số

Định hướng. Đặt hiệu $H = G - F$ rồi xét đạo hàm của $H$ , khỏi phải đạo hàm lại $G$ từ đầu.

H (x) = G (x) - F (x) = C

H^{'} (x) = 0

với mọi

x \in R

G^{'} (x) = F^{'} (x) + H^{'} (x)

G^{'} (x) = x^{3} + 0 = x^{3}

G^{'} (x) = f (x)

Vậy $G (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ .

Nhận xét. Kết quả này chính là lí do mọi kết quả nguyên hàm đều phải viết kèm hằng số $C$ : bỏ $C$ là bỏ mất vô số nguyên hàm khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi chọn Cách 1 vì gọn nhất và nêu đúng mấu chốt đạo hàm hằng số bằng

0

; Cách 3 hay ở chỗ giải thích được vì sao họ nguyên hàm lại có dạng

F (x) + C

Đáp số. a)

F^{'} (x) = x^{3} = f (x)

nên

F

là nguyên hàm của

f

. b) Có, vì

G^{'} (x) = x^{3} = f (x)

với mọi hằng số

C

Sai lầm thường gặp. Viết

(C)^{'} = C

hoặc

(C)^{'} = 1

rồi kết luận

G

không phải nguyên hàm; hoặc đạo hàm

\frac{x ^{4}}{4}

\frac{4 x ^{3}}{4}

mà quên rút gọn nên tưởng khác

x^{3}

🚀 Mở rộng. Ngược lại cũng đúng: nếu

G^{'} = F^{'}

trên một khoảng thì

G - F

là hằng số, đó là lí do họ nguyên hàm của

x^{3}

chỉ gồm các hàm

\frac{x ^{4}}{4} + C

chứ không có hàm nào khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★Trang 6— Tìm họ nguyên hàm của một hàm luỹ thừa cơ bản

Luyện tập 2 (trang 6). Tìm

\int x^{3} d x

Kiến thức cần nhớ

$\int f (x) d x = F (x) + C$ nếu $F^{'} (x) = f (x)$ .
$(x^{n + 1})^{'} = (n + 1) x^{n}$ .
Mọi kết quả nguyên hàm đều phải có hằng số $C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi thẳng họ nguyên hàm nên kết quả bắt buộc phải kèm hằng số

C

. Chỉ cần tìm một hàm có đạo hàm bằng

x^{3}

, mà HĐ2 vừa chỉ ra đó là

\frac{x ^{4}}{4}

. Bẫy phổ biến là viết

\frac{x ^{4}}{4}

rồi quên mất

+ C

, khiến bài chỉ được nửa số điểm.

1Cách 1. Dùng lại kết quả của HĐ2

Định hướng. HĐ2 đã cho sẵn một nguyên hàm của $x^{3}$ , chỉ việc viết cả họ.

(\frac{x ^{4}}{4})^{'} = x^{3}

\frac{x ^{4}}{4}

là một nguyên hàm của

x^{3}

trên

R

\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C

Vậy $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C$ .

2Cách 2. Đặt nguyên hàm dạng

a x^{4}

rồi dò hệ số

Định hướng. Đạo hàm hạ một bậc nên nguyên hàm của $x^{3}$ phải là $a x^{4}$ , chỉ còn tìm $a$ .

Đặt

F (x) = a x^{4}

F^{'} (x) = 4 a x^{3}

4 a x^{3} = x^{3}

với mọi

x

4 a = 1

a = \frac{1}{4}

F (x) = \frac{x ^{4}}{4}

Vậy $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C$ .

3Cách 3. Đưa biểu thức dưới dấu nguyên hàm về một đạo hàm có sẵn

Định hướng. Viết $x^{3}$ thành $\frac{1}{4} (x^{4})^{'}$ để nguyên hàm hiện ra ngay.

x^{3} = \frac{1}{4} \cdot 4 x^{3} = \frac{1}{4} (x^{4})^{'}

\int x^{3} d x = \frac{1}{4} \int (x^{4})^{'} d x

\int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + C

Thử lại:

(\frac{x ^{4}}{4} + C)^{'} = x^{3}

Vậy $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C$ .

Nhận xét. Dòng thử lại bằng đạo hàm ở Cách 3 nên làm cho mọi bài nguyên hàm, vì nó phát hiện ngay sai hệ số hay sai số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì công thức luỹ thừa đã thuộc lòng; Cách 2 để dành cho các hàm lạ chưa có trong bảng.

Đáp số.

\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C

Sai lầm thường gặp. Quên hằng số

C

; hoặc nhớ nhầm sang chiều đạo hàm mà viết

\int x^{3} d x = 3 x^{2} + C

— thử lại bằng đạo hàm sẽ ra

6 x

chứ không phải

x^{3}

🚀 Mở rộng. Cùng lối làm này,

\int x^{2024} d x = \frac{x ^{2025}}{2025} + C

, và tổng quát là công thức

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

sẽ gặp ở Luyện tập 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 6— Chứng minh tính chất đưa hằng số ra ngoài dấu nguyên hàm

HĐ3 (trang 6). Khám phá nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0. Cho

f (x)

là hàm số liên tục trên

K

k

là một hằng số khác

0

. Giả sử

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

trên

K

.
a) Chứng minh

k F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

k f (x)

trên

K

.
b) Nêu nhận xét về

\int k f (x) d x

và

k \int f (x) d x

Kiến thức cần nhớ

$(k F)^{'} = k F^{'}$ với $k$ là hằng số.
$\int f (x) d x = F (x) + C$ khi $F^{'} = f$ .
Khi $k \neq = 0$ thì $k C$ chạy khắp tập số thực lúc $C$ chạy khắp tập số thực.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn

F^{'} = f

và hỏi về

k F

, dấu hiệu của quy tắc đạo hàm một hằng số nhân với một hàm. Hướng đi ngắn nhất là đạo hàm

k F

rồi dùng ngay định nghĩa nguyên hàm. Ở câu b phải để ý điều kiện

k \neq = 0

, vì nếu

k = 0

thì vế trái là họ hàm hằng còn vế phải chỉ còn một hàm

0

1Cách 1. Đạo hàm tích của hằng số với hàm số

Định hướng. Chỉ cần một dòng đạo hàm là ra ngay điều phải chứng minh.

F^{'} (x) = f (x)

với mọi

x \in K

[k F (x)]^{'} = k F^{'} (x)

[k F (x)]^{'} = k f (x)

với mọi

x \in K

\int k f (x) d x = k F (x) + C

k \int f (x) d x = k [F (x) + C_{1}] = k F (x) + k C_{1}

Vậy $k F (x)$ là một nguyên hàm của $k f (x)$ trên $K$ và $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k \neq = 0$ .

2Cách 2. Quay về định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

Định hướng. Đưa hằng số $k$ ra ngoài giới hạn để thấy đạo hàm cũng được nhân lên $k$ lần.

\frac{k F ( x + h ) - k F ( x )}{h} = k \cdot \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h}

h \to 0 lim \frac{k F ( x + h ) - k F ( x )}{h} = k h \to 0 lim \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h}

[k F (x)]^{'} = k F^{'} (x) = k f (x)

Vậy $k F (x)$ là một nguyên hàm của $k f (x)$ trên $K$ .

3Cách 3. So sánh trực tiếp hai tập hợp nguyên hàm

Định hướng. Viết tường minh hai họ hàm số ở hai vế rồi kiểm tra chúng trùng nhau đúng nhờ giả thiết $k \neq = 0$ .

Vế trái:

{k F (x) + C C \in R}

Vế phải:

{k F (x) + k C_{1} C_{1} \in R}

k \neq = 0

nên với mỗi

C

có

C_{1} = \frac{C}{k}

Hai tập hợp có cùng phần tử

Vậy $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k \neq = 0$ .

Nhận xét. Nếu $k = 0$ thì vế trái là tập mọi hàm hằng còn vế phải chỉ là hàm $0$ , nên điều kiện $k \neq = 0$ trong sách là bắt buộc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày Cách 1 vì vừa chứng minh xong câu a là suy luôn câu b; Cách 3 chỉ cần khi muốn giải thích thật kĩ vai trò của điều kiện

k \neq = 0

Đáp số. a)

[k F (x)]^{'} = k f (x)

nên

k F (x)

là một nguyên hàm của

k f (x)

. b)

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

với

k \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Đưa cả biến

x

ra ngoài dấu nguyên hàm như đưa hằng số, ví dụ viết

\int x \cdot x^{2} d x = x \int x^{2} d x

— sai vì chỉ hằng số mới được đưa ra ngoài.

🚀 Mở rộng. Kết hợp với HĐ4 ta được tính tuyến tính đầy đủ

\int [a f (x) + b g (x)] d x = a \int f (x) d x + b \int g (x) d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 7— Xây dựng công thức nguyên hàm của hàm luỹ thừa số mũ tự nhiên

Luyện tập 3 (trang 7). Cho hàm số

f (x) = x^{n}

(n \in N^{*})

.
a) Chứng minh rằng hàm số

F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

. Từ đó tìm

\int x^{n} d x

.
b) Từ kết quả câu a, tìm

\int k x^{n} d x

(

k

là hằng số thực khác

0

Kiến thức cần nhớ

$(x^{m})^{'} = m x^{m - 1}$ với $m$ nguyên dương.
$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k \neq = 0$ .
$n \in N^{*}$ kéo theo $n + 1 \geq 2$ , luôn khác $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh một công thức tổng quát chứ không phải tính một số cụ thể, nên phải làm việc với chữ

n

chứ đừng thử vài giá trị. Vì

n \in N^{*}

nên

n + 1 \neq = 0

, mẫu số luôn hợp lệ và không cần xét trường hợp riêng. Câu b chỉ là HĐ3 áp dụng cho

f (x) = x^{n}

, không phải làm lại từ đầu.

1Cách 1. Đạo hàm biểu thức tổng quát

\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

Định hướng. Coi $\frac{1}{n + 1}$ là hằng số rồi đạo hàm $x^{n + 1}$ như bình thường.

F (x) = \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}

F^{'} (x) = \frac{1}{n + 1} \cdot (n + 1) x^{n}

F^{'} (x) = x^{n} = f (x)

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

\int k x^{n} d x = k \int x^{n} d x = \frac{k x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Vậy $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ và $\int k x^{n} d x = \frac{k x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .

2Cách 2. Đặt nguyên hàm là

a x^{n + 1}

rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Đạo hàm hạ đúng một bậc nên nguyên hàm phải có bậc $n + 1$ ; chỉ còn dò một hệ số duy nhất.

Đặt

F (x) = a x^{n + 1}

F^{'} (x) = a (n + 1) x^{n}

a (n + 1) x^{n} = x^{n}

với mọi

x

a (n + 1) = 1

a = \frac{1}{n + 1}

Đặt

G (x) = b x^{n + 1}

thì

b (n + 1) = k

nên

b = \frac{k}{n + 1}

Vậy $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ và $\int k x^{n} d x = \frac{k}{n + 1} x^{n + 1} + C$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa đạo hàm và nhị thức Newton

Định hướng. Khai triển $(x + h)^{n + 1}$ rồi chỉ giữ lại số hạng bậc nhất theo $h$ , các số hạng còn lại đều tiến về $0$ .

(x + h)^{n + 1} = x^{n + 1} + (n + 1) x^{n} h + h^{2} A (x, h)

\frac{( x + h ) ^{n + 1} - x ^{n + 1}}{( n + 1 ) h} = x^{n} + \frac{h A ( x , h )}{n + 1}

F^{'} (x) = h \to 0 lim [x^{n} + \frac{h A ( x , h )}{n + 1}]

F^{'} (x) = x^{n}

Vậy $F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ là một nguyên hàm của $x^{n}$ , do đó $\int k x^{n} d x = \frac{k x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(\frac{k x ^{n + 1}}{n + 1} + C)^{'} = k x^{n}$ , đúng bằng hàm dưới dấu nguyên hàm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi chọn Cách 1 vì đúng một dòng đạo hàm là xong cả hai câu; Cách 2 hữu ích khi quên công thức và muốn tự dựng lại.

Đáp số. a)

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

. b)

\int k x^{n} d x = \frac{k x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Sai lầm thường gặp. Viết

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n} + C

vì chia nhầm cho số mũ cũ; thử lại bằng đạo hàm sẽ ra

\frac{n + 1}{n} x^{n}

chứ không phải

x^{n}

🚀 Mở rộng. Công thức này còn đúng cho mọi số mũ thực

α \neq = - 1

, và trường hợp bị loại

α = - 1

được thay bằng

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

ở phần sau của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 7— Chứng minh nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm

HĐ4 (trang 7). Khám phá nguyên hàm của một tổng. Cho

f (x)

và

g (x)

là hai hàm số liên tục trên

K

. Giả sử

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

G (x)

là một nguyên hàm của

g (x)

trên

K

.
a) Chứng minh

F (x) + G (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) + g (x)

trên

K

.
b) Nêu nhận xét về

\int [f (x) + g (x)] d x

và

\int f (x) d x + \int g (x) d x

Kiến thức cần nhớ

$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ .
$F^{'} = f$ và $G^{'} = g$ trên $K$ theo giả thiết.
Tổng của hai hằng số tuỳ ý vẫn là một hằng số tuỳ ý.

🧠 Phân tích tư duy

Giả thiết cho hai đẳng thức đạo hàm rời nhau, kết luận lại nói về tổng, nên công cụ phải dùng là quy tắc đạo hàm của một tổng. Sau khi có

(F + G)^{'} = f + g

thì định nghĩa nguyên hàm cho ngay câu b. Chỗ cần cẩn thận là hai vế của câu b đều là họ hàm số, phải so sánh theo tập hợp chứ không so sánh như hai số.

1Cách 1. Dùng quy tắc đạo hàm của một tổng

Định hướng. Đạo hàm $F + G$ rồi thay ngay hai giả thiết vào.

[F (x) + G (x)]^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)

[F (x) + G (x)]^{'} = f (x) + g (x)

với mọi

x \in K

\int [f (x) + g (x)] d x = F (x) + G (x) + C

\int f (x) d x + \int g (x) d x = F (x) + C_{1} + G (x) + C_{2}

Vậy $F + G$ là một nguyên hàm của $f + g$ và $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn của tổng

Định hướng. Tách tỉ số gia của tổng thành hai tỉ số gia rồi lấy giới hạn từng phần.

\frac{[ F + G ] ( x + h ) - [ F + G ] ( x )}{h} = \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} + \frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h}

h \to 0 lim

hai số hạng lần lượt bằng

F^{'} (x)

và

G^{'} (x)

[F (x) + G (x)]^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)

[F (x) + G (x)]^{'} = f (x) + g (x)

Vậy $F (x) + G (x)$ là một nguyên hàm của $f (x) + g (x)$ trên $K$ .

3Cách 3. So sánh hai họ nguyên hàm theo tập hợp hằng số

Định hướng. Liệt kê phần tử của hai vế trong câu b rồi chỉ ra hai tập hợp đó trùng nhau.

Vế trái:

{F (x) + G (x) + C C \in R}

Vế phải:

{F (x) + G (x) + C_{1} + C_{2} C_{1}, C_{2} \in R}

C_{1} + C_{2}

nhận mọi giá trị thực khi

C_{1}

C_{2}

chạy khắp

R

Hai tập hợp gồm đúng các hàm

F (x) + G (x) + C

Vậy hai vế của câu b là cùng một họ hàm số.

Nhận xét. Thay $g$ bởi $- g$ và dùng HĐ3 với $k = - 1$ ta được ngay công thức cho hiệu: $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi viết Cách 1 vì chỉ hai dòng; Cách 3 dành cho lúc cần giải thích tại sao viết một chữ

C

chung là đủ thay vì

C_{1} + C_{2}

Đáp số. a)

[F (x) + G (x)]^{'} = f (x) + g (x)

. b)

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

Sai lầm thường gặp. Tưởng tính chất này còn đúng cho tích, viết

\int f (x) g (x) d x = \int f d x \cdot \int g d x

; thử với

f = g = x

thì vế trái là

\frac{x ^{3}}{3}

còn vế phải là

\frac{x ^{4}}{4}

, hai kết quả khác hẳn nhau.

🚀 Mở rộng. Quy nạp theo số hạng tử cho kết quả rộng hơn: nguyên hàm của

f_{1} + f_{2} + \dots + f_{m}

bằng tổng các nguyên hàm, nhờ đó mọi đa thức đều lấy được nguyên hàm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★Trang 7— Tìm nguyên hàm của đa thức bằng tính chất tổng và hằng số

Luyện tập 4 (trang 7). Tìm:
a)

\int (3 x^{2} + 1) d x

;
b)

\int (2 x - 1)^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
$\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$ .
$[(2 x - 1)^{3}]^{'} = 3 (2 x - 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x - 1)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là một tổng đã tách sẵn nên chỉ việc dùng tính chất tổng; ý b còn nguyên dấu bình phương nên phải khai triển hoặc coi

2 x - 1

là một khối. Chọn khai triển thì an toàn, chọn giữ nguyên khối thì ngắn hơn nhưng phải nhớ chia cho hệ số

2

của

x

. Bẫy của ý b là viết ngay

\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{3}

mà quên thừa số

\frac{1}{2}

do đạo hàm hàm hợp sinh ra.

1Cách 1. Khai triển rồi lấy nguyên hàm từng hạng tử

Định hướng. Đưa mọi thứ về tổng các luỹ thừa của $x$ rồi tra bảng nguyên hàm.

\int (3 x^{2} + 1) d x = 3 \int x^{2} d x + \int d x

= 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C = x^{3} + x + C

(2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1

\int (2 x - 1)^{2} d x = 4 \int x^{2} d x - 4 \int x d x + \int d x

= 4 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + x + C

= \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x + C

Vậy a) $x^{3} + x + C$ ; b) $\frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x + C$ .

2Cách 2. Đặt đa thức có hệ số chưa biết rồi đồng nhất

Định hướng. Nguyên hàm của đa thức bậc hai là đa thức bậc ba, cứ đặt rồi so hệ số hai vế.

a) Đặt

F (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x

F^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 3 x^{2} + 1

3 a = 3

2 b = 0

c = 1

nên

a = 1

b = 0

c = 1

F (x) = x^{3} + x

b) Đặt

G (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x

G^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 4 x^{2} - 4 x + 1

3 a = 4

2 b = - 4

c = 1

nên

a = \frac{4}{3}

b = - 2

c = 1

Vậy a) $\int (3 x^{2} + 1) d x = x^{3} + x + C$ ; b) $\int (2 x - 1)^{2} d x = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x + C$ .

3Cách 3. Đưa biểu thức vào dấu vi phân của hàm hợp

Định hướng. Viết hàm dưới dấu nguyên hàm thành đạo hàm của một hàm quen thuộc, khỏi phải khai triển.

3 x^{2} + 1 = (x^{3} + x)^{'}

\int (x^{3} + x)^{'} d x = x^{3} + x + C

[(2 x - 1)^{3}]^{'} = 6 (2 x - 1)^{2}

(2 x - 1)^{2} = \frac{1}{6} [(2 x - 1)^{3}]^{'}

\int (2 x - 1)^{2} d x = \frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{6} + C

Vậy a) $x^{3} + x + C$ ; b) $\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{6} + C$ .

Nhận xét. Hai kết quả của ý b chỉ lệch nhau hằng số $\frac{1}{6}$ vì $\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x - \frac{1}{6}$ , mà hằng số đó đã nằm trong $C$ nên cả hai đều đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý b vì chỉ hai dòng và không phải khai triển bình phương, còn ý a thì Cách 1 đã nhanh nhất; nhớ thử lại bằng đạo hàm trước khi chốt đáp số.

Đáp số. a)

x^{3} + x + C

; b)

\frac{4}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x + C

, cũng viết được là

\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{6} + C

Sai lầm thường gặp. Ý b viết thẳng

\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{3} + C

vì quên nhân thêm

\frac{1}{2}

do đạo hàm của

2 x - 1

bằng

2

; đạo hàm thử lại sẽ ra

2 (2 x - 1)^{2}

chứ không phải

(2 x - 1)^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C

với

a \neq = 0

; đây là công cụ rút ngắn rất nhiều bài trong mục BÀI TẬP.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng★★★Trang 8— Bài toán kinh tế: doanh thu là nguyên hàm của tốc độ biến động doanh thu

Vận dụng (trang 8). Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền

R (x)

(triệu đồng) thu được khi

x

đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi

x

đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số

M_{R} (x) = R^{'} (x)

. Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi

M_{R} (x) = 300 - 0, 1 x

, ở đó

x

là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán

1000

con chíp.
Hướng dẫn: Vì

R^{'} (x) = M_{R} (x)

nên doanh thu

R (x)

là một nguyên hàm của

M_{R} (x)

Kiến thức cần nhớ

$R (x)$ là một nguyên hàm của $M_{R} (x)$ vì $R^{'} (x) = M_{R} (x)$ .
$\int (a - b x) d x = a x - \frac{b}{2} x^{2} + C$ .
Điều kiện ban đầu $R (0) = 0$ dùng để tìm hằng số $C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đạo hàm của doanh thu và hỏi chính doanh thu, nên phải đi ngược lại bằng nguyên hàm. Dữ kiện ẩn để chốt hằng số là chưa bán con chíp nào thì chưa có doanh thu, tức

R (0) = 0

. Bẫy là lấy

M_{R} (1000) = 200

rồi nhân với

1000

, trong khi tốc độ biến động giảm dần theo số chíp đã bán.

1Cách 1. Lấy nguyên hàm của tốc độ biến động rồi dùng

R (0) = 0

Định hướng. Tìm họ nguyên hàm của $M_{R} (x)$ , rồi chọn hằng số theo mốc chưa bán chíp nào thì doanh thu bằng $0$ .

R (x) = \int (300 - 0, 1 x) d x

R (x) = 300 \int d x - 0, 1 \int x d x

R (x) = 300 x - 0, 05 x^{2} + C

R (0) = 0 \Rightarrow C = 0

R (x) = 300 x - 0, 05 x^{2}

R (1000) = 300 \cdot 1000 - 0, 05 \cdot 100 0^{2}

R (1000) = 300000 - 50000 = 250000

Vậy doanh thu khi bán $1000$ con chíp là $250000$ triệu đồng.

2Cách 2. Đặt doanh thu là tam thức bậc hai rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Đạo hàm của doanh thu là bậc nhất nên doanh thu là tam thức bậc hai, chỉ cần dò ba hệ số.

Đặt

R (x) = a x^{2} + b x + c

R^{'} (x) = 2 a x + b = - 0, 1 x + 300

2 a = - 0, 1

và

b = 300

a = - 0, 05

b = 300

R (0) = c = 0

R (x) = - 0, 05 x^{2} + 300 x

R (1000) = - 0, 05 \cdot 1 0^{6} + 3 \cdot 1 0^{5} = 250000

Vậy $R (1000) = 250000$ triệu đồng.

3Cách 3. Tính bằng diện tích hình thang dưới đồ thị tốc độ biến động

Định hướng. Tốc độ biến động là hàm bậc nhất nên doanh thu tích luỹ chính là diện tích hình thang giữa đồ thị và trục hoành.

M_{R} (0) = 300 - 0, 1 \cdot 0 = 300

M_{R} (1000) = 300 - 0, 1 \cdot 1000 = 200

R (1000) = \frac{M _{R} ( 0 ) + M _{R} ( 1000 )}{2} \cdot 1000

R (1000) = \frac{300 + 200}{2} \cdot 1000

R (1000) = 250 \cdot 1000 = 250000

Vậy doanh thu là $250000$ triệu đồng, tức $250$ tỉ đồng.

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(300 x - 0, 05 x^{2})^{'} = 300 - 0, 1 x$ , đúng bằng $M_{R} (x)$ đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên trình bày Cách 1 vì nó đúng cho mọi hàm

M_{R}

, kể cả khi đồ thị không còn là đường thẳng; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh kết quả.

Đáp số.

R (1000) = 250000

triệu đồng (tức

250

tỉ đồng).

Sai lầm thường gặp. Nhân thẳng

M_{R} (1000) \cdot 1000 = 200000

hoặc

M_{R} (0) \cdot 1000 = 300000

vì coi tốc độ biến động là không đổi; một lỗi khác là quên

C

rồi không kiểm tra điều kiện

R (0) = 0

🚀 Mở rộng. Vẫn bài này nhưng hỏi bán bao nhiêu chíp thì doanh thu lớn nhất: giải

M_{R} (x) = 0

được

x = 3000

và

R (3000) = 450000

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Câu hỏi (trang 8)★★Trang 8— Tính đạo hàm hàm số luỹ thừa với số mũ thực

Câu hỏi (trang 8). Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số luỹ thừa

y = x^{α}

(x > 0)

, hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với

x > 0

y = \frac{1}{x ^{4}}

;

y = x^{2}

;

y = \frac{1}{3 x}

Kiến thức cần nhớ

$\frac{1}{x ^{m}} = x^{- m}$ và $m x = x^{\frac{1}{m}}$ với $x > 0$ .
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ với mọi $α \in R$ , $x > 0$ .
$(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba hàm đều viết lại được thành

x^{α}

với

α

lần lượt là

- 4

2

và

- \frac{1}{3}

, dấu hiệu để dùng công thức luỹ thừa tổng quát. Vì

x > 0

nên mọi số mũ thực đều hợp lệ, không phải xét trường hợp. Bẫy là đổi căn bậc ba ở mẫu thành số mũ

- 3

thay vì

- \frac{1}{3}

1Cách 1. Đưa về dạng

x^{α}

rồi dùng công thức luỹ thừa

Định hướng. Chuyển hết căn và phân thức thành số mũ, sau đó áp dụng một công thức duy nhất.

y = \frac{1}{x ^{4}} = x^{- 4}

y^{'} = - 4 x^{- 5} = - \frac{4}{x ^{5}}

y = x^{2}

y^{'} = 2 x^{2 - 1}

y = \frac{1}{3 x} = x^{- \frac{1}{3}}

y^{'} = - \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}} = - \frac{1}{3 x 3 x}

Vậy ba đạo hàm lần lượt là $- \frac{4}{x ^{5}}$ , $2 x^{2 - 1}$ và $- \frac{1}{3 x 3 x}$ .

2Cách 2. Dùng quy tắc đạo hàm của một thương

Định hướng. Hai hàm đầu bài viết dưới dạng phân thức nên dùng thẳng công thức đạo hàm nghịch đảo để đối chiếu.

y = \frac{1}{x ^{4}}

với

u = x^{4}

u^{'} = 4 x^{3}

y^{'} = - \frac{4 x ^{3}}{x ^{8}} = - \frac{4}{x ^{5}}

y = \frac{1}{3 x}

với

u = x^{\frac{1}{3}}

u^{'} = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}

y^{'} = - \frac{\frac{1}{3} x ^{- \frac{2}{3}}}{x ^{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}

y = x^{2} = e^{2 l n x}

y^{'} = e^{2 l n x} \cdot \frac{2}{x} = 2 x^{2 - 1}

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Lấy logarit hai vế rồi đạo hàm

Định hướng. Với $x > 0$ thì $y > 0$ , lấy logarit hai vế biến luỹ thừa thành tích nên đạo hàm rất gọn.

y = x^{α}

với

α \in {- 4; 2; - \frac{1}{3}}

ln y = α ln x

\frac{y ^{'}}{y} = \frac{α}{x}

y^{'} = \frac{α}{x} \cdot x^{α} = α x^{α - 1}

Thay

α = - 4

y^{'} = - 4 x^{- 5}

Thay

α = 2

y^{'} = 2 x^{2 - 1}

Thay

α = - \frac{1}{3}

y^{'} = - \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}

Vậy công thức $(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ đúng cho cả ba hàm số đã cho.

Nhận xét. Cách 3 giải thích được vì sao công thức luỹ thừa vẫn đúng khi số mũ là số vô tỉ như $2$ , điều mà quy tắc luỹ thừa số mũ nguyên không lo nổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi hết về

x^{α}

rồi áp một công thức, tránh được việc nhớ nhiều quy tắc thương và hàm hợp.

Đáp số.

(\frac{1}{x ^{4}})^{'} = - \frac{4}{x ^{5}}

;

(x^{2})^{'} = 2 x^{2 - 1}

;

(\frac{1}{3 x})^{'} = - \frac{1}{3 x 3 x}

Sai lầm thường gặp. Đổi

\frac{1}{3 x}

thành

x^{- 3}

rồi được

- 3 x^{- 4}

; kiểm lại tại

x = 1

thì đạo hàm đúng phải là

- \frac{1}{3}

chứ không phải

- 3

🚀 Mở rộng. Chính công thức

(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}

này, đọc ngược lại, sẽ cho bảng nguyên hàm

\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C

ở HĐ5 ngay bên dưới.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ5★★★Trang 8— Xây dựng bảng nguyên hàm của hàm luỹ thừa và hàm nghịch đảo

HĐ5 (trang 8). Khám phá nguyên hàm của hàm số luỹ thừa.
a) Với

α \neq = - 1

, tính đạo hàm của hàm số

y = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1}

(x > 0)

.
b) Cho hàm số

y = ln ∣ x ∣

(x \neq = 0)

. Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp:

x > 0

và

x < 0

Kiến thức cần nhớ

$(x^{β})^{'} = β x^{β - 1}$ với $x > 0$ .
$∣ x ∣ = x$ khi $x > 0$ và $∣ x ∣ = - x$ khi $x < 0$ .
$[ln u (x)]^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$ khi $u (x) > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện

α \neq = - 1

được nêu ngay từ đầu cho thấy mẫu

α + 1

mới là chỗ quyết định, và trường hợp bị loại

α = - 1

chính là nội dung câu b. Ở câu b phải phá dấu giá trị tuyệt đối theo hai trường hợp rồi mới đạo hàm được. Bẫy là khi

x < 0

viết

∣ x ∣ = - x

nhưng quên đạo hàm hàm hợp nên mất dấu trừ.

1Cách 1. Đạo hàm trực tiếp và xét hai trường hợp của dấu giá trị tuyệt đối

Định hướng. Coi $\frac{1}{α + 1}$ là hằng số ở câu a; ở câu b bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của $x$ .

y = \frac{1}{α + 1} \cdot x^{α + 1}

y^{'} = \frac{1}{α + 1} \cdot (α + 1) x^{α}

y^{'} = x^{α}

b) Với

x > 0

y = ln x

nên

y^{'} = \frac{1}{x}

Với

x < 0

y = ln (- x)

nên

y^{'} = \frac{( - x ) ^{'}}{- x} = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}

Vậy $(\frac{x ^{α + 1}}{α + 1})^{'} = x^{α}$ và $(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$ với mọi $x \neq = 0$ .

2Cách 2. Gộp hai trường hợp bằng đồng nhất thức

ln ∣ x ∣ = \frac{1}{2} ln x^{2}

Định hướng. Viết $∣ x ∣ = x^{2}$ để biểu thức không còn dấu giá trị tuyệt đối, khỏi phải chia trường hợp.

ln ∣ x ∣ = ln x^{2} = \frac{1}{2} ln x^{2}

với

x \neq = 0

(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( x ^{2} ) ^{'}}{x ^{2}}

(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2}}

(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}

Câu a:

y = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1}

nên

y^{'} = \frac{( α + 1 ) x ^{α}}{α + 1} = x^{α}

Vậy một công thức duy nhất $(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$ dùng được cho cả $x > 0$ lẫn $x < 0$ .

3Cách 3. Lấy logarit rồi đạo hàm để kiểm chứng câu a

Định hướng. Với $x > 0$ hàm ở câu a có dấu không đổi, lấy logarit của trị tuyệt đối rồi đạo hàm sẽ ra ngay số mũ.

y = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1}

và

x > 0

ln ∣ y ∣ = (α + 1) ln x - ln ∣ α + 1∣

\frac{y ^{'}}{y} = \frac{α + 1}{x}

y^{'} = \frac{α + 1}{x} \cdot \frac{x ^{α + 1}}{α + 1}

y^{'} = x^{α}

Vậy $\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ $(α \neq = - 1)$ và $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

Nhận xét. Số mũ $α = - 1$ bị loại vì khi đó mẫu $α + 1$ bằng $0$ ; đúng chỗ trống ấy được lấp bằng $ln ∣ x ∣$ của câu b.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đó là lối trình bày sách yêu cầu; Cách 2 nên nhớ để viết gọn khi cần đạo hàm

ln ∣ u ∣

mà không muốn chia trường hợp.

Đáp số. a)

y^{'} = x^{α}

, do đó

\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C

(α \neq = - 1)

. b)

(ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}

trong cả hai trường hợp, do đó

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

Sai lầm thường gặp. Với

x < 0

viết

[ln (- x)]^{'} = - \frac{1}{x}

vì quên nhân đạo hàm của

- x

; hoặc bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà viết

\int \frac{1}{x} d x = ln x + C

, sai trên khoảng âm.

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận,

[ln ∣ a x + b ∣]^{'} = \frac{a}{a x + b}

, nên

\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C

với

a \neq = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Luyện tập 5★★Trang 9— Tìm nguyên hàm sau khi đưa căn và phân thức về luỹ thừa

Luyện tập 5 (trang 9). Tìm:
a)

\int \frac{1}{x ^{4}} d x

;
b)

\int x x d x

(x > 0)

;
c)

\int (\frac{3}{x} - 5 3 x) d x

(x > 0)

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
$x x = x^{\frac{3}{2}}$ và $3 x = x^{\frac{1}{3}}$ với $x > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba ý đều có căn hoặc phân thức, dấu hiệu bắt buộc phải viết lại thành

x^{α}

trước khi tra bảng. Riêng ý c có hạng tử

\frac{3}{x}

ứng với

α = - 1

nên phải dùng

ln

chứ không dùng công thức luỹ thừa. Bẫy là áp công thức luỹ thừa cho

\frac{3}{x}

rồi ra mẫu

0

1Cách 1. Viết về luỹ thừa rồi tra bảng nguyên hàm

Định hướng. Đổi mọi căn và phân thức thành $x^{α}$ , tách tổng rồi áp công thức luỹ thừa.

\int \frac{1}{x ^{4}} d x = \int x^{- 4} d x = \frac{x ^{- 3}}{- 3} + C = - \frac{1}{3 x ^{3}} + C

\int x x d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{x ^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{2} x + C

\int (\frac{3}{x} - 5 3 x) d x = 3 \int \frac{1}{x} d x - 5 \int x^{\frac{1}{3}} d x

= 3 ln x - 5 \cdot \frac{x ^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C

= 3 ln x - \frac{15}{4} x 3 x + C

Vậy a) $- \frac{1}{3 x ^{3}} + C$ ; b) $\frac{2}{5} x^{2} x + C$ ; c) $3 ln x - \frac{15}{4} x 3 x + C$ .

2Cách 2. Dò hệ số của nguyên hàm dạng luỹ thừa

Định hướng. Đoán nguyên hàm có cùng dạng luỹ thừa với số mũ lớn hơn một đơn vị rồi so hệ số.

a) Đặt

F (x) = a x^{- 3}

thì

F^{'} (x) = - 3 a x^{- 4} = x^{- 4}

nên

a = - \frac{1}{3}

b) Đặt

G (x) = b x^{\frac{5}{2}}

thì

G^{'} (x) = \frac{5}{2} b x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}}

nên

b = \frac{2}{5}

c) Đặt

H (x) = 3 ln x + c x^{\frac{4}{3}}

thì

H^{'} (x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{3} c x^{\frac{1}{3}}

\frac{4}{3} c = - 5

nên

c = - \frac{15}{4}

Vậy ba kết quả lần lượt là $- \frac{1}{3 x ^{3}} + C$ , $\frac{2}{5} x^{2} x + C$ và $3 ln x - \frac{15}{4} x 3 x + C$ .

3Cách 3. Đổi biến

x = t^{k}

để khử hẳn dấu căn

Định hướng. Đặt $x$ bằng một luỹ thừa của biến mới sao cho căn biến mất, khi đó chỉ còn nguyên hàm của đa thức.

b) Đặt

x = t^{2}

với

t > 0

thì

d x = 2 t d t

và

x x = t^{3}

\int x x d x = \int t^{3} \cdot 2 t d t = 2 \cdot \frac{t ^{5}}{5} + C

= \frac{2}{5} (x)^{5} + C = \frac{2}{5} x^{2} x + C

c) Đặt

x = t^{3}

với

t > 0

thì

d x = 3 t^{2} d t

và

3 x = t

\int 5 3 x d x = \int 5 t \cdot 3 t^{2} d t = \frac{15 t ^{4}}{4} + C = \frac{15}{4} x 3 x + C

Vậy b) $\frac{2}{5} x^{2} x + C$ và phần chứa căn của ý c cho $\frac{15}{4} x 3 x$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(\frac{2}{5} x^{2} x)^{'} = x x$ và $(3 ln x - \frac{15}{4} x 3 x)^{'} = \frac{3}{x} - 5 3 x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi chọn Cách 1 vì đổi về luỹ thừa rồi tra bảng là con đường ngắn nhất; Cách 3 để dành cho các bài căn thức phức tạp hơn ở chương sau.

Đáp số. a)

- \frac{1}{3 x ^{3}} + C

; b)

\frac{2}{5} x^{2} x + C

; c)

3 ln x - \frac{15}{4} x 3 x + C

Sai lầm thường gặp. Áp công thức luỹ thừa cho

\frac{3}{x}

thành

\frac{3 x ^{0}}{0}

(vô nghĩa) thay vì dùng

ln

; hoặc ở ý a viết

\frac{x ^{- 3}}{3}

mà quên dấu trừ của mẫu

α + 1 = - 3

🚀 Mở rộng. Vì đề cho

x > 0

nên viết

ln x

là đủ; nếu bỏ điều kiện ấy thì ý c phải viết

3 ln ∣ x ∣

và ý b không còn nghĩa vì

x

đòi

x \geq 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · HĐ6★★Trang 9— Xây dựng bảng nguyên hàm của bốn hàm lượng giác cơ bản

HĐ6 (trang 9). Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác.
a) Tính đạo hàm của các hàm số

sin x

cos x

tan x

cot x

và nêu kết quả tương ứng vào bảng.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số

cos x

sin x

\frac{1}{cos ^{2} x}

\frac{1}{sin ^{2} x}

Kiến thức cần nhớ

$(sin x)^{'} = cos x$ và $(cos x)^{'} = - sin x$ .
$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ và $(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}$ .
$cos x = sin (\frac{π}{2} - x)$ và $cot x = tan (\frac{π}{2} - x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng ở câu a là bốn đạo hàm quen thuộc, còn câu b chỉ là đọc ngược lại chính bảng đó. Điểm phải cực kì cẩn thận là hai dấu trừ: đạo hàm của

cos x

mang dấu trừ nên nguyên hàm của

sin x

cũng mang dấu trừ, tương tự với

cot x

. Bẫy là chép xuôi bảng đạo hàm mà quên đảo dấu khi viết nguyên hàm.

1Cách 1. Tra bảng đạo hàm rồi đọc ngược thành bảng nguyên hàm

Định hướng. Viết bốn đạo hàm đã học, sau đó mỗi đẳng thức đọc ngược cho một công thức nguyên hàm.

(sin x)^{'} = cos x

(cos x)^{'} = - sin x

(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}

\int cos x d x = sin x + C

\int sin x d x = - cos x + C

\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C

\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C

Vậy bảng nguyên hàm lượng giác gồm bốn công thức trên.

2Cách 2. Dựng lại hai đạo hàm khó bằng quy tắc thương

Định hướng. Nếu quên đạo hàm của $tan x$ và $cot x$ thì viết chúng thành thương rồi đạo hàm.

tan x = \frac{sin x}{cos x}

(tan x)^{'} = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot ( - sin x )}{cos ^{2} x}

(tan x)^{'} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}

cot x = \frac{cos x}{sin x}

(cot x)^{'} = \frac{- sin x \cdot sin x - cos x \cdot cos x}{sin ^{2} x}

(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}

Vậy $\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C$ và $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .

3Cách 3. Dùng công thức góc phụ để suy nửa bảng còn lại

Định hướng. Hai hàm $cos$ và $cot$ là ảnh của $sin$ và $tan$ qua góc phụ, nên chỉ cần nhớ nửa bảng rồi suy ra nửa kia.

cos x = sin (\frac{π}{2} - x)

(cos x)^{'} = cos (\frac{π}{2} - x) \cdot (- 1) = - sin x

cot x = tan (\frac{π}{2} - x)

(cot x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} ( \frac{π}{2} - x )} \cdot (- 1) = - \frac{1}{sin ^{2} x}

Vậy hai dấu trừ trong bảng nguyên hàm đều sinh ra từ đạo hàm của góc phụ $\frac{π}{2} - x$ .

Nhận xét. Mẹo nhớ: đi từ $sin$ sang $cos$ theo chiều nguyên hàm thì được dấu cộng, đi ngược lại thì mang dấu trừ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bốn công thức này bắt buộc phải thuộc; Cách 2 là phao cứu sinh khi quên đạo hàm của

tan x

hoặc

cot x

Đáp số. a)

(sin x)^{'} = cos x

;

(cos x)^{'} = - sin x

;

(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

;

(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}

. b)

\int cos x d x = sin x + C

;

\int sin x d x = - cos x + C

;

\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C

;

\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C

Sai lầm thường gặp. Viết

\int sin x d x = cos x + C

vì chép xuôi bảng đạo hàm; đạo hàm thử lại cho

- sin x

, ngược dấu với hàm dưới dấu nguyên hàm.

🚀 Mở rộng. Thêm hệ số bên trong thì phải chia cho hệ số ấy:

\int cos (a x + b) d x = \frac{1}{a} sin (a x + b) + C

với

a \neq = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Luyện tập 6★★Trang 9— Tìm nguyên hàm của tổ hợp các hàm lượng giác cơ bản

Luyện tập 6 (trang 9). Tìm:
a)

\int (3 cos x - 4 sin x) d x

;
b)

\int (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int cos x d x = sin x + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ .
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C$ , $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .
$a cos x + b sin x$ viết được thành $a^{2} + b^{2} cos (x - φ)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều là hiệu của hai hàm đã có sẵn trong bảng, nên chỉ cần tách rồi tra bảng. Điều phải canh là hai dấu trừ gặp nhau: nguyên hàm của

- 4 sin x

cho

+ 4 cos x

, còn nguyên hàm của

- \frac{1}{sin ^{2} x}

cho

+ cot x

. Bẫy của đề là giữ nguyên dấu trừ ở kết quả vì quên rằng bản thân hai công thức kia đã mang dấu trừ.

1Cách 1. Tách hiệu rồi tra bảng nguyên hàm lượng giác

Định hướng. Đưa hằng số ra ngoài, tách theo từng hạng tử rồi dùng đúng bốn công thức của HĐ6.

\int (3 cos x - 4 sin x) d x = 3 \int cos x d x - 4 \int sin x d x

= 3 sin x - 4 (- cos x) + C

= 3 sin x + 4 cos x + C

\int (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = \int \frac{1}{cos ^{2} x} d x - \int \frac{1}{sin ^{2} x} d x

= tan x - (- cot x) + C

= tan x + cot x + C

Vậy a) $3 sin x + 4 cos x + C$ ; b) $tan x + cot x + C$ .

2Cách 2. Đoán nguyên hàm dạng tổ hợp rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Nguyên hàm phải nằm trong cùng họ hàm lượng giác, cứ đặt hệ số chưa biết rồi đạo hàm để so.

a) Đặt

F (x) = a sin x + b cos x

F^{'} (x) = a cos x - b sin x = 3 cos x - 4 sin x

a = 3

và

b = 4

b) Đặt

G (x) = m tan x + n cot x

G^{'} (x) = \frac{m}{cos ^{2} x} - \frac{n}{sin ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}

m = 1

và

n = 1

Vậy a) $3 sin x + 4 cos x + C$ ; b) $tan x + cot x + C$ .

3Cách 3. Rút gọn về một hàm lượng giác duy nhất trước khi lấy nguyên hàm

Định hướng. Gộp hai hạng tử thành một hàm duy nhất, khi đó chỉ phải lấy nguyên hàm một lần.

3 cos x - 4 sin x = 5 (\frac{3}{5} cos x - \frac{4}{5} sin x) = 5 cos (x + φ)

với

cos φ = \frac{3}{5}

sin φ = \frac{4}{5}

\int 5 cos (x + φ) d x = 5 sin (x + φ) + C

= 5 (sin x \cdot \frac{3}{5} + cos x \cdot \frac{4}{5}) + C = 3 sin x + 4 cos x + C

\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x} = \frac{sin ^{2} x - cos ^{2} x}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x}

(\frac{2}{sin 2 x})^{'} = \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x}

\int (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = \frac{2}{sin 2 x} + C

Vậy a) $3 sin x + 4 cos x + C$ ; b) $\frac{2}{sin 2 x} + C$ , và $\frac{2}{sin 2 x} = \frac{1}{sin x cos x} = tan x + cot x$ .

Nhận xét. Hai dạng viết của ý b hoàn toàn trùng nhau, chứng tỏ kết quả đúng; thử lại bằng đạo hàm luôn là bước kiểm tra rẻ nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tách rồi tra bảng chỉ mất hai dòng và ít nguy cơ sai dấu; Cách 3 dùng khi cần một dạng kết quả gọn để so với đáp án trắc nghiệm.

Đáp số. a)

3 sin x + 4 cos x + C

; b)

tan x + cot x + C

(cũng bằng

\frac{2}{sin 2 x} + C

Sai lầm thường gặp. Viết

3 sin x - 4 cos x + C

ở ý a vì quên rằng

\int sin x d x

đã mang sẵn dấu trừ; đạo hàm thử lại sẽ ra

3 cos x + 4 sin x

, sai dấu hạng tử thứ hai.

🚀 Mở rộng. Đổi ý b thành

\int (\frac{1}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x}) d x

thì kết quả là

tan x - cot x + C

, cho thấy chỉ một dấu thay đổi là kết quả đổi hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · HĐ7★★Trang 10— Xây dựng bảng nguyên hàm của hàm số mũ

HĐ7 (trang 10). Khám phá nguyên hàm của hàm số mũ.
a) Tính đạo hàm của các hàm số

F (x) = e^{x}

và

F (x) = \frac{a ^{x}}{ln a}

(0 < a \neq = 1)

và nêu kết quả tương ứng vào bảng.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số

f (x) = e^{x}

và

f (x) = a^{x}

(0 < a \neq = 1)

Kiến thức cần nhớ

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ .
$(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ với $0 < a \neq = 1$ .
$a^{x} = e^{x l n a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện

0 < a \neq = 1

có mặt để

ln a

tồn tại và khác

0

, đó là mấu chốt khiến mẫu số hợp lệ. Chỉ cần đạo hàm hai hàm đã cho rồi đọc ngược thành công thức nguyên hàm. Bẫy là quên

ln a

ở mẫu và viết

\int a^{x} d x = a^{x} + C

như trường hợp riêng

a = e

1Cách 1. Đạo hàm theo công thức hàm số mũ đã học

Định hướng. Coi $\frac{1}{ln a}$ là hằng số rồi đạo hàm $a^{x}$ như bình thường.

(e^{x})^{'} = e^{x}

(\frac{a ^{x}}{ln a})^{'} = \frac{1}{ln a} (a^{x})^{'}

= \frac{1}{ln a} \cdot a^{x} ln a = a^{x}

\int e^{x} d x = e^{x} + C

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Vậy $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ và $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ với $0 < a \neq = 1$ .

2Cách 2. Viết

a^{x}

thành

e^{x l n a}

rồi dùng đạo hàm hàm hợp

Định hướng. Đưa mọi cơ số về $e$ thì chỉ còn một công thức đạo hàm duy nhất phải nhớ.

a^{x} = e^{x l n a}

(e^{x l n a})^{'} = e^{x l n a} \cdot (x ln a)^{'}

= e^{x l n a} ln a = a^{x} ln a

(\frac{a ^{x}}{ln a})^{'} = a^{x}

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Vậy cùng một kết quả, và khi $a = e$ thì $ln e = 1$ nên công thức trở về $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

3Cách 3. Đặt nguyên hàm dạng

λ a^{x}

rồi dò hệ số

Định hướng. Đạo hàm của hàm mũ vẫn là hàm mũ cùng cơ số, nên nguyên hàm chỉ sai khác một hệ số.

Đặt

F (x) = λ a^{x}

F^{'} (x) = λ a^{x} ln a

λ a^{x} ln a = a^{x}

với mọi

x

λ ln a = 1

λ = \frac{1}{ln a}

(hợp lệ vì

0 < a \neq = 1

nên

ln a \neq = 0

)

Vậy $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ vì sao phải loại $a = 1$ : khi đó $ln a = 0$ , hệ số $λ$ không tồn tại, mà thật ra $1^{x} = 1$ có nguyên hàm là $x + C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hai công thức này nằm sẵn trong bảng; Cách 2 đáng nhớ vì nó biến mọi cơ số về

e

, rất tiện khi gặp

a^{u (x)}

Đáp số. a)

(e^{x})^{'} = e^{x}

và

(\frac{a ^{x}}{ln a})^{'} = a^{x}

. b)

\int e^{x} d x = e^{x} + C

;

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

(0 < a \neq = 1)

Sai lầm thường gặp. Viết

\int a^{x} d x = a^{x} + C

vì áp máy móc trường hợp

a = e

; thử lại bằng đạo hàm được

a^{x} ln a

, thừa hẳn một thừa số

ln a

🚀 Mở rộng. Với

a = \frac{1}{e}

thì

ln a = - 1

, nên

\int e^{- x} d x = - e^{- x} + C

— đúng kết quả sẽ dùng ở Luyện tập 7 ý b.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Luyện tập 7★★Trang 10— Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và tổ hợp của chúng

Luyện tập 7 (trang 10). Tìm:
a)

\int 4^{x} d x

;
b)

\int \frac{1}{e ^{x}} d x

;
c)

\int (2 \cdot 3^{x} - \frac{1}{3} \cdot 7^{x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ với $0 < a \neq = 1$ .
$\frac{1}{e ^{x}} = e^{- x} = (\frac{1}{e})^{x}$ và $ln \frac{1}{e} = - 1$ .
Hằng số nhân được đưa ra ngoài dấu nguyên hàm.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a và ý c dùng thẳng công thức

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

sau khi đưa hệ số ra ngoài. Ý b phải nhận ra

\frac{1}{e ^{x}}

chính là hàm mũ cơ số

\frac{1}{e}

, nếu không sẽ lúng túng vì thấy nó nằm ở mẫu. Bẫy là coi

\frac{1}{e ^{x}}

như một phân thức rồi định dùng công thức

ln

1Cách 1. Áp thẳng công thức nguyên hàm hàm mũ

Định hướng. Nhận ra cơ số của từng hàm mũ rồi chia cho logarit tự nhiên của cơ số đó.

\int 4^{x} d x = \frac{4 ^{x}}{ln 4} + C

\frac{1}{e ^{x}} = (\frac{1}{e})^{x}

\int (\frac{1}{e})^{x} d x = \frac{( \frac{1}{e} ) ^{x}}{ln \frac{1}{e}} + C = \frac{e ^{- x}}{- 1} + C = - \frac{1}{e ^{x}} + C

\int (2 \cdot 3^{x} - \frac{1}{3} \cdot 7^{x}) d x = 2 \int 3^{x} d x - \frac{1}{3} \int 7^{x} d x

= \frac{2 \cdot 3 ^{x}}{ln 3} - \frac{7 ^{x}}{3 ln 7} + C

Vậy a) $\frac{4 ^{x}}{ln 4} + C$ ; b) $- \frac{1}{e ^{x}} + C$ ; c) $\frac{2 \cdot 3 ^{x}}{ln 3} - \frac{7 ^{x}}{3 ln 7} + C$ .

2Cách 2. Quy mọi cơ số về

e

rồi lấy nguyên hàm

Định hướng. Viết $a^{x} = e^{x l n a}$ thì chỉ còn một công thức duy nhất $\int e^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k} + C$ .

4^{x} = e^{x l n 4}

\int e^{x l n 4} d x = \frac{e ^{x l n 4}}{ln 4} + C = \frac{4 ^{x}}{ln 4} + C

\frac{1}{e ^{x}} = e^{- x}

\int e^{- x} d x = \frac{e ^{- x}}{- 1} + C = - e^{- x} + C

3^{x} = e^{x l n 3}

và

7^{x} = e^{x l n 7}

\int (2 e^{x l n 3} - \frac{1}{3} e^{x l n 7}) d x = \frac{2 e ^{x l n 3}}{ln 3} - \frac{e ^{x l n 7}}{3 ln 7} + C

Vậy kết quả trùng với Cách 1.

3Cách 3. Đặt nguyên hàm dạng

λ a^{x}

rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Nguyên hàm của hàm mũ vẫn là hàm mũ cùng cơ số, chỉ cần dò hệ số đứng trước.

a) Đặt

F (x) = λ \cdot 4^{x}

thì

F^{'} (x) = λ 4^{x} ln 4 = 4^{x}

nên

λ = \frac{1}{ln 4}

b) Đặt

G (x) = μ e^{- x}

thì

G^{'} (x) = - μ e^{- x} = e^{- x}

nên

μ = - 1

c) Đặt

H (x) = p \cdot 3^{x} + q \cdot 7^{x}

H^{'} (x) = p 3^{x} ln 3 + q 7^{x} ln 7 = 2 \cdot 3^{x} - \frac{1}{3} \cdot 7^{x}

p ln 3 = 2

và

q ln 7 = - \frac{1}{3}

p = \frac{2}{ln 3}

q = - \frac{1}{3 ln 7}

Vậy a) $\frac{4 ^{x}}{ln 4} + C$ ; b) $- e^{- x} + C$ ; c) $\frac{2 \cdot 3 ^{x}}{ln 3} - \frac{7 ^{x}}{3 ln 7} + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(- e^{- x})^{'} = e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ , đúng hàm dưới dấu nguyên hàm ở ý b.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ việc đọc cơ số rồi chia cho

ln

của nó; Cách 2 hữu ích khi gặp hàm mũ có số mũ dạng

k x

vì công thức

\frac{e ^{k x}}{k}

áp được ngay.

Đáp số. a)

\frac{4 ^{x}}{ln 4} + C

; b)

- \frac{1}{e ^{x}} + C

; c)

\frac{2 \cdot 3 ^{x}}{ln 3} - \frac{7 ^{x}}{3 ln 7} + C

Sai lầm thường gặp. Ý b viết

\int \frac{1}{e ^{x}} d x = ln ∣ e^{x} ∣ + C = x + C

vì nhầm với công thức

\int \frac{1}{x} d x

; thử lại thấy

(x + C)^{'} = 1

chứ không phải

e^{- x}

🚀 Mở rộng. Ghép thêm hệ số bên trong số mũ ta có

\int a^{k x} d x = \frac{a ^{k x}}{k ln a} + C

với

k \neq = 0

, dùng rất nhiều trong các bài lãi kép và phân rã phóng xạ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 4.1★★Trang 11— Kiểm tra quan hệ nguyên hàm giữa hai hàm số cho trước

Bài 4.1 (trang 11). Trong mỗi trường hợp sau, hàm số

F (x)

có là một nguyên hàm của hàm số

f (x)

trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a)

F (x) = x ln x

và

f (x) = 1 + ln x

trên khoảng

(0; + \infty)

;
b)

F (x) = e^{s i n x}

và

f (x) = e^{c o s x}

trên

R

Kiến thức cần nhớ

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ và $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ .
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ với $x > 0$ .
Hàm mũ luôn nhận giá trị dương.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là tích của hai hàm nên phải dùng quy tắc đạo hàm tích, còn ý b là hàm hợp nên phải nhân thêm đạo hàm của số mũ. Chính thừa số

cos x

sinh ra ở ý b là chỗ làm hỏng đẳng thức, vì

f (x)

không có thừa số nào như vậy. Bẫy của đề là hai biểu thức ở ý b nhìn rất cân xứng nên dễ tin là đúng.

1Cách 1. Lấy đạo hàm rồi so sánh với

f (x)

Định hướng. Đạo hàm từng hàm $F$ theo đúng quy tắc tích và quy tắc hàm hợp, rồi đối chiếu.

F (x) = x ln x

F^{'} (x) = (x)^{'} ln x + x (ln x)^{'}

F^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + ln x

F^{'} (x) = f (x)

với mọi

x > 0

F (x) = e^{s i n x}

F^{'} (x) = (sin x)^{'} e^{s i n x} = cos x \cdot e^{s i n x}

F^{'} (x) \neq = e^{c o s x} = f (x)

Vậy a) có; b) không.

2Cách 2. Bác bỏ ý b bằng một giá trị cụ thể

Định hướng. Muốn phủ định một đẳng thức đúng với mọi $x$ thì chỉ cần một điểm làm nó sai, chọn $x = 0$ cho số đẹp.

F^{'} (x) = cos x \cdot e^{s i n x}

F^{'} (0) = cos 0 \cdot e^{s i n 0} = 1 \cdot e^{0} = 1

f (0) = e^{c o s 0} = e^{1} = e

1 \neq = e

Với ý a, tại

x = 1

F^{'} (1) = 1 + ln 1 = 1

và

f (1) = 1 + ln 1 = 1

Vậy ý b bị bác bỏ ngay tại $x = 0$ , còn ý a vẫn đứng vững và đã được chứng minh trên cả khoảng ở Cách 1.

3Cách 3. Xét dấu để thấy ý b không thể xảy ra

Định hướng. Nếu $F$ là nguyên hàm của $f$ thì dấu của $F^{'}$ phải giống dấu của $f$ ; ở ý b hai dấu này khác hẳn nhau.

f (x) = e^{c o s x} > 0

với mọi

x \in R

F^{'} (x) = cos x \cdot e^{s i n x}

e^{s i n x} > 0

nên dấu của

F^{'} (x)

là dấu của

cos x

cos π = - 1 < 0

nên

F^{'} (π) < 0

trong khi

f (π) > 0

Ý a:

\int (1 + ln x) d x

có

(x ln x)^{'} = 1 + ln x

nên họ nguyên hàm là

x ln x + C

Vậy $F (x) = x ln x$ là một nguyên hàm của $1 + ln x$ trên $(0; + \infty)$ , còn $e^{s i n x}$ không thể là nguyên hàm của $e^{c o s x}$ trên $R$ .

Nhận xét. Lập luận theo dấu mạnh hơn một phản ví dụ vì nó chỉ ra hẳn cơ chế vì sao không thể đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a và Cách 2 cho ý b: chứng minh thì phải đạo hàm trên cả khoảng, còn bác bỏ chỉ cần một điểm là đủ và nhanh hơn nhiều.

Đáp số. a) Có, vì

(x ln x)^{'} = 1 + ln x

với mọi

x > 0

. b) Không, vì

(e^{s i n x})^{'} = cos x \cdot e^{s i n x} \neq = e^{c o s x}

Sai lầm thường gặp. Đạo hàm

e^{s i n x}

thành

e^{c o s x}

vì tưởng đạo hàm chỉ tác động vào số mũ; thực ra phải giữ nguyên

e^{s i n x}

rồi nhân thêm

(sin x)^{'} = cos x

🚀 Mở rộng. Đổi ý b thành

F (x) = e^{s i n x}

và

f (x) = cos x \cdot e^{s i n x}

thì khẳng định lại đúng, đó chính là mẫu của phép đổi biến sẽ học ở bài sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 4.2★★Trang 11— Tìm nguyên hàm của đa thức và biểu thức đưa được về luỹ thừa

Bài 4.2 (trang 11). Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1

;
b)

f (x) = x^{3} - x

;
c)

f (x) = (2 x + 1)^{2}

;
d)

f (x) = (2 x - \frac{1}{x})^{2}

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ với $α \neq = - 1$ .
$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .
$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C$ với $a \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều quy về nguyên hàm của luỹ thừa, nhưng ý c và ý d còn dấu bình phương nên phải khai triển hoặc dùng công thức hàm hợp. Ý d là bẫy lớn nhất: khai triển ra mới lộ hạng tử hằng

- 4

và hạng tử

\frac{1}{x ^{2}}

, kèm điều kiện

x \neq = 0

. Nếu bình phương từng hạng tử mà bỏ số hạng nhân đôi thì kết quả sai ngay từ dòng đầu.

1Cách 1. Khai triển rồi lấy nguyên hàm từng hạng tử

Định hướng. Biến mọi biểu thức thành tổng các luỹ thừa của $x$ rồi tra bảng.

\int (3 x^{2} + 2 x - 1) d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - x + C = x^{3} + x^{2} - x + C

\int (x^{3} - x) d x = \frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2} + C

(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1

\int (2 x + 1)^{2} d x = 4 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + x + C = \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + C

(2 x - \frac{1}{x})^{2} = 4 x^{2} - 4 + \frac{1}{x ^{2}}

với

x \neq = 0

\int (4 x^{2} - 4 + x^{- 2}) d x = \frac{4}{3} x^{3} - 4 x + \frac{x ^{- 1}}{- 1} + C = \frac{4}{3} x^{3} - 4 x - \frac{1}{x} + C

Vậy a) $x^{3} + x^{2} - x + C$ ; b) $\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2} + C$ ; c) $\frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + C$ ; d) $\frac{4}{3} x^{3} - 4 x - \frac{1}{x} + C$ .

2Cách 2. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất hai vế

Định hướng. Biết trước dạng của nguyên hàm thì chỉ còn việc so hệ số, khỏi phải nhớ công thức.

a) Đặt

F (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x

thì

3 a = 3

2 b = 2

c = - 1

nên

a = 1

b = 1

c = - 1

b) Đặt

F (x) = a x^{4} + b x^{2}

thì

4 a = 1

2 b = - 1

nên

a = \frac{1}{4}

b = - \frac{1}{2}

c) Đặt

F (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x

thì

3 a = 4

2 b = 4

c = 1

nên

a = \frac{4}{3}

b = 2

c = 1

d) Đặt

F (x) = a x^{3} + b x + \frac{c}{x}

thì

F^{'} (x) = 3 a x^{2} + b - \frac{c}{x ^{2}}

3 a = 4

b = - 4

- c = 1

nên

a = \frac{4}{3}

b = - 4

c = - 1

Vậy bốn nguyên hàm lần lượt là $x^{3} + x^{2} - x + C$ , $\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2} + C$ , $\frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + C$ và $\frac{4}{3} x^{3} - 4 x - \frac{1}{x} + C$ .

3Cách 3. Nhận ra ngay đạo hàm của một hàm quen (đưa vào vi phân)

Định hướng. Viết hàm dưới dấu nguyên hàm thành đạo hàm của một biểu thức, khi đó nguyên hàm hiện ra không cần tính.

3 x^{2} + 2 x - 1 = (x^{3} + x^{2} - x)^{'}

nên nguyên hàm là

x^{3} + x^{2} - x + C

x^{3} - x = (\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2})^{'}

nên nguyên hàm là

\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2} + C

[(2 x + 1)^{3}]^{'} = 6 (2 x + 1)^{2}

\int (2 x + 1)^{2} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{6} + C

4 x^{2} - 4 + \frac{1}{x ^{2}} = (\frac{4}{3} x^{3} - 4 x - \frac{1}{x})^{'}

nên nguyên hàm là

\frac{4}{3} x^{3} - 4 x - \frac{1}{x} + C

Vậy ý c còn viết gọn được thành $\frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{6} + C$ , các ý còn lại trùng với Cách 1.

Nhận xét. $\frac{( 2 x + 1 ) ^{3}}{6} = \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + \frac{1}{6}$ nên hai dạng viết của ý c chỉ lệch nhau hằng số $\frac{1}{6}$ , đã nằm trong $C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a, b, d và Cách 3 cho ý c vì công thức

(a x + b)^{n}

bỏ hẳn được bước khai triển; luôn kết thúc bằng một phép đạo hàm thử lại.

Đáp số. a)

x^{3} + x^{2} - x + C

; b)

\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2} + C

; c)

\frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x + C

; d)

\frac{4}{3} x^{3} - 4 x - \frac{1}{x} + C

(x \neq = 0)

Sai lầm thường gặp. Ý d khai triển thiếu số hạng giữa, viết

(2 x - \frac{1}{x})^{2} = 4 x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

nên mất hẳn hạng tử

- 4 x

trong kết quả; ngoài ra hay quên điều kiện

x \neq = 0

🚀 Mở rộng. Vẫn ý d nhưng đổi thành

(2 x - \frac{1}{x})^{3}

: khai triển cho

8 x^{3} - 12 x + \frac{6}{x} - \frac{1}{x ^{3}}

, nguyên hàm là

2 x^{4} - 6 x^{2} + 6 ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2 x ^{2}} + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 4.3★★★Trang 11— Nguyên hàm của căn thức, phân thức hữu tỉ và hàm mũ

Bài 4.3 (trang 11). Tìm:
a)

\int (3 x + \frac{1}{3 x}) d x

;
b)

\int x (7 x^{2} - 3) d x

(x > 0)

;
c)

\int \frac{( 2 x + 1 ) ^{2}}{x ^{2}} d x

;
d)

\int (2^{x} + \frac{3}{x ^{2}}) d x

Kiến thức cần nhớ

$x = x^{\frac{1}{2}}$ , $\frac{1}{3 x} = x^{- \frac{1}{3}}$ với $x > 0$ .
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ và $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ .
Nguyên hàm của một thương KHÔNG bằng thương các nguyên hàm.

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đầu đều phải biến đổi về tổng các luỹ thừa trước khi tra bảng: ý a đổi căn thành số mũ phân số, ý b nhân phá ngoặc, ý c chia từng hạng tử cho

x^{2}

. Ý c sau khi chia sẽ xuất hiện

\frac{4}{x}

ứng với

α = - 1

nên bắt buộc dùng

ln ∣ x ∣

. Bẫy lớn nhất là ở ý c định lấy nguyên hàm của tử rồi chia cho nguyên hàm của mẫu.

1Cách 1. Đưa hết về luỹ thừa rồi tra bảng

Định hướng. Khử căn và khử phân thức bằng số mũ, chia từng hạng tử cho mẫu, sau đó áp công thức luỹ thừa.

\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{3}} d x = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = 2 x x + \frac{3}{2} 3 x^{2} + C

x (7 x^{2} - 3) = 7 x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}

\int 7 x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} d x = 7 \cdot \frac{x ^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} - 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 x^{3} x - 2 x x + C

\frac{( 2 x + 1 ) ^{2}}{x ^{2}} = \frac{4 x ^{2} + 4 x + 1}{x ^{2}} = 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}}

\int (4 + \frac{4}{x} + x^{- 2}) d x = 4 x + 4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + C

\int (2^{x} + 3 x^{- 2}) d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + 3 \cdot \frac{x ^{- 1}}{- 1} + C = \frac{2 ^{x}}{ln 2} - \frac{3}{x} + C

Vậy a) $2 x x + \frac{3}{2} 3 x^{2} + C$ ; b) $2 x^{3} x - 2 x x + C$ ; c) $4 x + 4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + C$ ; d) $\frac{2 ^{x}}{ln 2} - \frac{3}{x} + C$ .

2Cách 2. Đổi biến

x = t^{k}

để khử căn ở hai ý đầu

Định hướng. Đặt $x$ bằng luỹ thừa bậc $6$ của biến mới thì cả căn bậc hai lẫn căn bậc ba đều biến mất cùng lúc.

a) Đặt

x = t^{6}

với

t > 0

thì

d x = 6 t^{5} d t

x = t^{3}

3 x = t^{2}

\int (3 t^{3} + t^{- 2}) 6 t^{5} d t = \int (18 t^{8} + 6 t^{3}) d t

= 2 t^{9} + \frac{3}{2} t^{4} + C = 2 x x + \frac{3}{2} 3 x^{2} + C

b) Đặt

x = t^{2}

với

t > 0

thì

d x = 2 t d t

x = t

\int t (7 t^{4} - 3) 2 t d t = \int (14 t^{6} - 6 t^{2}) d t

= 2 t^{7} - 2 t^{3} + C = 2 x^{3} x - 2 x x + C

Vậy hai ý đầu cho đúng kết quả của Cách 1, chứng tỏ phép đổi biến hợp lệ.

3Cách 3. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất

Định hướng. Dự đoán dạng nguyên hàm theo đúng các luỹ thừa có mặt rồi so hệ số sau khi đạo hàm.

a) Đặt

F (x) = a x^{\frac{3}{2}} + b x^{\frac{2}{3}}

thì

\frac{3}{2} a = 3

\frac{2}{3} b = 1

nên

a = 2

b = \frac{3}{2}

b) Đặt

F (x) = a x^{\frac{7}{2}} + b x^{\frac{3}{2}}

thì

\frac{7}{2} a = 7

\frac{3}{2} b = - 3

nên

a = 2

b = - 2

c) Đặt

F (x) = a x + b ln ∣ x ∣ + \frac{c}{x}

thì

F^{'} (x) = a + \frac{b}{x} - \frac{c}{x ^{2}}

a = 4

b = 4

- c = 1

nên

c = - 1

d) Đặt

F (x) = λ \cdot 2^{x} + \frac{m}{x}

thì

F^{'} (x) = λ 2^{x} ln 2 - \frac{m}{x ^{2}}

λ ln 2 = 1

- m = 3

nên

λ = \frac{1}{ln 2}

m = - 3

Vậy bốn kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(4 x + 4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x})^{'} = 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{( 2 x + 1 ) ^{2}}{x ^{2}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bốn ý đều chỉ cần biến đổi đại số rồi tra bảng; Cách 2 nên nhớ vì phép đổi biến khử căn còn dùng lại rất nhiều ở bài Tích phân.

Đáp số. a)

2 x x + \frac{3}{2} 3 x^{2} + C

; b)

2 x^{3} x - 2 x x + C

; c)

4 x + 4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + C

; d)

\frac{2 ^{x}}{ln 2} - \frac{3}{x} + C

Sai lầm thường gặp. Ý c lấy nguyên hàm của tử rồi chia cho nguyên hàm của mẫu; ý d viết

\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x + 1}}{x + 1}

vì dùng nhầm công thức luỹ thừa cho hàm mũ.

🚀 Mở rộng. Đổi ý c thành

\int \frac{( 2 x + 1 ) ^{2}}{x ^{3}} d x

thì sau khi chia được

\frac{4}{x} + \frac{4}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{3}}

, nguyên hàm là

4 ln ∣ x ∣ - \frac{4}{x} - \frac{1}{2 x ^{2}} + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 4.4★★★Trang 11— Nguyên hàm lượng giác sau khi hạ bậc và dùng hằng đẳng thức

Bài 4.4 (trang 11). Tìm:
a)

\int (2 cos x - \frac{3}{sin ^{2} x}) d x

;
b)

\int 4 sin^{2} \frac{x}{2} d x

;
c)

\int (sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2})^{2} d x

;
d)

\int (x + tan^{2} x) d x

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}$ và $2 sin α cos α = sin 2 α$ .
$tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1$ .
$\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ và $\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ ý a nằm sẵn trong bảng, ba ý còn lại đều phải biến đổi lượng giác trước: ý b hạ bậc, ý c khai triển rồi dùng công thức nhân đôi, ý d thay

tan^{2} x

bằng

\frac{1}{cos ^{2} x} - 1

. Dấu hiệu nhận dạng là mọi biểu thức đều có bậc hai, mà bảng nguyên hàm chỉ có bậc một, nên bắt buộc phải hạ bậc. Bẫy là lấy nguyên hàm trực tiếp của

sin^{2} \frac{x}{2}

hay

tan^{2} x

vì hai hàm này không có mặt trong bảng.

1Cách 1. Hạ bậc bằng công thức nhân đôi rồi tra bảng

Định hướng. Đưa mọi biểu thức bậc hai về bậc một nhờ công thức hạ bậc và hằng đẳng thức, sau đó dùng bảng nguyên hàm lượng giác.

\int (2 cos x - \frac{3}{sin ^{2} x}) d x = 2 sin x - 3 (- cot x) + C = 2 sin x + 3 cot x + C

4 sin^{2} \frac{x}{2} = 4 \cdot \frac{1 - cos x}{2} = 2 - 2 cos x

\int (2 - 2 cos x) d x = 2 x - 2 sin x + C

(sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2})^{2} = 1 - 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 1 - sin x

\int (1 - sin x) d x = x + cos x + C

x + tan^{2} x = x + \frac{1}{cos ^{2} x} - 1

\int (x + \frac{1}{cos ^{2} x} - 1) d x = \frac{x ^{2}}{2} + tan x - x + C

Vậy a) $2 sin x + 3 cot x + C$ ; b) $2 x - 2 sin x + C$ ; c) $x + cos x + C$ ; d) $\frac{x ^{2}}{2} + tan x - x + C$ .

2Cách 2. Dùng đường biến đổi lượng giác khác cho ý b và ý c

Định hướng. Ý b có thể đi qua $cos^{2}$ thay vì $sin^{2}$ , còn ý c gộp thành một hàm sin duy nhất bằng công thức cộng.

4 sin^{2} \frac{x}{2} = 4 (1 - cos^{2} \frac{x}{2}) = 4 - 4 \cdot \frac{1 + cos x}{2} = 2 - 2 cos x

\int (2 - 2 cos x) d x = 2 x - 2 sin x + C

sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2} = 2 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})

(sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2})^{2} = 2 sin^{2} (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1 - cos (x - \frac{π}{2})

1 - cos (x - \frac{π}{2}) = 1 - sin x

\int (1 - sin x) d x = x + cos x + C

Vậy b) $2 x - 2 sin x + C$ ; c) $x + cos x + C$ , trùng với Cách 1.

3Cách 3. Đặt hệ số chưa biết rồi đồng nhất sau khi đạo hàm

Định hướng. Dự đoán nguyên hàm nằm trong họ các hàm $x$ , $sin x$ , $cos x$ , $tan x$ , $cot x$ rồi dò hệ số.

a) Đặt

F = a sin x + b cot x

thì

F^{'} = a cos x - \frac{b}{sin ^{2} x} = 2 cos x - \frac{3}{sin ^{2} x}

nên

a = 2

b = 3

b) Đặt

F = a x + b sin x

thì

F^{'} = a + b cos x = 2 - 2 cos x

nên

a = 2

b = - 2

c) Đặt

F = a x + b cos x

thì

F^{'} = a - b sin x = 1 - sin x

nên

a = 1

b = 1

d) Đặt

F = a x^{2} + b tan x + c x

thì

F^{'} = 2 a x + \frac{b}{cos ^{2} x} + c = x + \frac{1}{cos ^{2} x} - 1

2 a = 1

b = 1

c = - 1

nên

a = \frac{1}{2}

Vậy bốn nguyên hàm lần lượt là $2 sin x + 3 cot x + C$ , $2 x - 2 sin x + C$ , $x + cos x + C$ , $\frac{x ^{2}}{2} + tan x - x + C$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(\frac{x ^{2}}{2} + tan x - x)^{'} = x + \frac{1}{cos ^{2} x} - 1 = x + tan^{2} x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hạ bậc là thao tác chuẩn cho mọi biểu thức lượng giác bậc hai; nhớ rằng kết quả ý d còn hạng tử

- x

sinh ra từ

tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1

Đáp số. a)

2 sin x + 3 cot x + C

; b)

2 x - 2 sin x + C

; c)

x + cos x + C

; d)

\frac{x ^{2}}{2} + tan x - x + C

Sai lầm thường gặp. Ý d viết

\int tan^{2} x d x = tan x + C

vì quên trừ đi

1

; đạo hàm thử lại cho

\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x

, thừa hẳn một đơn vị. Ý c khai triển quên số hạng

- 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}

nên mất luôn

- sin x

🚀 Mở rộng. Cùng lối hạ bậc,

\int cos^{2} \frac{x}{2} d x = \frac{x}{2} + \frac{sin x}{2} + C

và

\int cot^{2} x d x = - cot x - x + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 4.5★★★Trang 11— Tìm hàm số khi biết đạo hàm và một giá trị, rồi tính giá trị tại điểm khác

Bài 4.5 (trang 11). Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên khoảng

(0; + \infty)

. Biết rằng

f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x ^{2}}

với mọi

x \in (0; + \infty)

và

f (1) = 1

. Tính giá trị

f (4)

Kiến thức cần nhớ

$\int x d x = \frac{x ^{2}}{2} + C$ và $\int x^{- 2} d x = - \frac{1}{x} + C$ .
Điều kiện $f (1) = 1$ dùng để xác định hằng số $C$ .
Hai nguyên hàm của cùng một hàm chỉ sai khác một hằng số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đạo hàm và một giá trị, đúng mô hình tìm hằng số

C

của họ nguyên hàm. Vì

x > 0

nên

\frac{1}{x ^{2}}

luôn xác định, không phải xét thêm trường hợp. Bẫy là quên hằng số

C

rồi tính luôn

f (4)

từ

x^{2} - \frac{1}{x}

, kết quả bị hụt đúng một đơn vị.

1Cách 1. Tìm hẳn công thức của

f (x)

rồi thay

x = 4

Định hướng. Lấy nguyên hàm của $f^{'} (x)$ , dùng $f (1) = 1$ để chốt hằng số, rồi thay số.

f (x) = \int (2 x + x^{- 2}) d x

f (x) = 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{- 1}}{- 1} + C

f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} + C

f (1) = 1 - 1 + C = 1

C = 1

f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} + 1

f (4) = 16 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{67}{4}

Vậy $f (4) = \frac{67}{4} = 16, 75$ .

2Cách 2. Dùng hiệu

f (4) - f (1)

qua một nguyên hàm bất kì

Định hướng. Chọn sẵn một nguyên hàm $F$ cụ thể; vì $f - F$ là hằng số nên hiệu $f (4) - f (1)$ bằng đúng hiệu $F (4) - F (1)$ , khỏi phải tìm $C$ .

Chọn

F (x) = x^{2} - \frac{1}{x}

thì

F^{'} (x) = f^{'} (x)

f (x) - F (x) = C

với mọi

x > 0

f (4) - f (1) = F (4) - F (1)

F (4) = 16 - \frac{1}{4} = \frac{63}{4}

F (1) = 1 - 1 = 0

f (4) = f (1) + \frac{63}{4} - 0 = 1 + \frac{63}{4}

f (4) = \frac{67}{4}

Vậy $f (4) = \frac{67}{4}$ .

3Cách 3. Đặt dạng của

f

rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Đạo hàm gồm một hạng tử bậc nhất và một hạng tử $\frac{1}{x ^{2}}$ , nên $f$ phải có dạng $a x^{2} + \frac{b}{x} + c$ .

Đặt

f (x) = a x^{2} + \frac{b}{x} + c

f^{'} (x) = 2 a x - \frac{b}{x ^{2}}

2 a x - \frac{b}{x ^{2}} = 2 x + \frac{1}{x ^{2}}

2 a = 2

và

- b = 1

a = 1

b = - 1

f (1) = 1 - 1 + c = 1

nên

c = 1

f (4) = 16 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{67}{4}

Vậy $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} + 1$ và $f (4) = \frac{67}{4}$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(x^{2} - \frac{1}{x} + 1)^{'} = 2 x + \frac{1}{x ^{2}}$ , đúng đạo hàm đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tìm được hẳn công thức

f (x)

thì trả lời được mọi câu hỏi phụ; Cách 2 nhanh hơn khi đề chỉ hỏi một giá trị và không cần biết

f

Đáp số.

f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} + 1

và

f (4) = \frac{67}{4} = 16, 75

Sai lầm thường gặp. Quên hằng số

C

nên lấy

f (4) = 16 - \frac{1}{4} = \frac{63}{4}

, thiếu đúng

1

; hoặc lấy nguyên hàm của

x^{- 2}

thành

\frac{1}{x}

mà quên dấu trừ.

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên

f^{'}

nhưng đổi điều kiện thành

f (2) = 0

thì

C = - \frac{7}{2}

và

f (4) = \frac{63}{4} - \frac{7}{2} = \frac{49}{4}

, cho thấy hằng số

C

đổi thì mọi giá trị đều đổi theo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 4.6★★★Trang 11— Tìm hàm số khi biết hệ số góc tiếp tuyến và một điểm của đồ thị

Bài 4.6 (trang 11). Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị là

(C)

. Xét điểm

M (x; f (x))

thay đổi trên

(C)

. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị

(C)

tại

M

là

k_{M} = (x - 1)^{2}

và điểm

M

trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức

f (x)

Kiến thức cần nhớ

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $y = f (x)$ tại điểm hoành độ $x$ bằng $f^{'} (x)$ .
Điểm nằm trên trục tung có hoành độ bằng $0$ .
$[(x - 1)^{3}]^{'} = 3 (x - 1)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số góc tiếp tuyến tại

M

chính là

f^{'} (x)

, nên đề thực chất cho

f^{'} (x) = (x - 1)^{2}

và yêu cầu tìm

f

. Câu gợi ý điểm

M

trùng gốc toạ độ khi nằm trên trục tung dịch ra là

f (0) = 0

, đây chính là dữ kiện chốt hằng số. Bẫy là đọc lướt câu cuối rồi bỏ mất điều kiện, khi ấy bài không có đáp số duy nhất.

1Cách 1. Khai triển rồi lấy nguyên hàm từng hạng tử

Định hướng. Dịch dữ kiện thành $f^{'} (x) = (x - 1)^{2}$ và $f (0) = 0$ , sau đó khai triển bình phương rồi lấy nguyên hàm.

f^{'} (x) = k_{M} = (x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

f (x) = \int (x^{2} - 2 x + 1) d x

f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x + C

M

nằm trên trục tung khi

x = 0

, khi đó

M

trùng gốc toạ độ nên

f (0) = 0

f (0) = C = 0

f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x

Vậy $f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x$ .

2Cách 2. Giữ nguyên khối

(x - 1)

và dùng công thức luỹ thừa của nhị thức

Định hướng. Không khai triển, dùng thẳng $\int (x - 1)^{2} d x = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + C$ cho ngắn.

f (x) = \int (x - 1)^{2} d x = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + C

f (0) = 0

\frac{( 0 - 1 ) ^{3}}{3} + C = 0

- \frac{1}{3} + C = 0

C = \frac{1}{3}

f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3} + \frac{1}{3} = \frac{( x - 1 ) ^{3} + 1}{3}

Vậy $f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{3} + 1}{3}$ , khai triển ra đúng bằng $\frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x$ .

3Cách 3. Đặt đa thức bậc ba rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Đạo hàm là tam thức bậc hai nên $f$ là đa thức bậc ba, cứ đặt bốn hệ số rồi so.

Đặt

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c = x^{2} - 2 x + 1

3 a = 1

2 b = - 2

c = 1

a = \frac{1}{3}

b = - 1

c = 1

f (0) = d = 0

f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x

Vậy $f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x$ .

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(\frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x)^{'} = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ , đúng hệ số góc đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì giữ nguyên khối

(x - 1)

cho lời giải ngắn nhất và ít nguy cơ sai khi khai triển; sau đó khai triển ra dạng chuẩn để so đáp án.

Đáp số.

f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + x

(cũng viết được là

\frac{( x - 1 ) ^{3} + 1}{3}

Sai lầm thường gặp. Bỏ qua câu

M

trùng gốc toạ độ nên để nguyên hằng số

C

và trả lời một họ hàm số; hoặc hiểu nhầm

k_{M} = (x - 1)^{2}

là giá trị

f (x)

chứ không phải

f^{'} (x)

🚀 Mở rộng. Vì

f^{'} (x) = (x - 1)^{2} \geq 0

nên hàm số này đồng biến trên

R

và

x = 1

chỉ là điểm mà tiếp tuyến nằm ngang chứ không phải cực trị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 4.7★★★★Trang 11— Bài toán chuyển động: tìm độ cao và độ cao lớn nhất từ vận tốc

Bài 4.7 (trang 11). Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm

t

giây (coi

t = 0

là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi

v (t) = 160 - 9, 8 t

(m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau

t = 5

giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

$h^{'} (t) = v (t)$ và $h (0) = 0$ vì bắn từ mặt đất.
$\int (a - b t) d t = a t - \frac{b}{2} t^{2} + C$ .
Hàm bậc hai $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 160 t$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = \frac{160}{9 , 8}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc theo thời gian nên độ cao là nguyên hàm của vận tốc, với mốc bắn từ mặt đất là

h (0) = 0

. Câu b hỏi độ cao lớn nhất, mà độ cao đạt cực đại đúng lúc vận tốc bằng

0

tức viên đạn dừng lại trước khi rơi xuống. Bẫy là dùng luôn

t = 5

cho câu b hoặc quên đổi dấu khi lấy nguyên hàm của

- 9, 8 t

1Cách 1. Lấy nguyên hàm vận tốc rồi xét dấu đạo hàm

Định hướng. Tìm $h (t)$ từ $v (t)$ , thay $t = 5$ cho câu a; câu b tìm nghiệm của $h^{'} (t) = 0$ rồi tính giá trị lớn nhất.

h (t) = \int (160 - 9, 8 t) d t

h (t) = 160 t - 9, 8 \cdot \frac{t ^{2}}{2} + C

h (t) = 160 t - 4, 9 t^{2} + C

h (0) = 0 \Rightarrow C = 0

h (t) = 160 t - 4, 9 t^{2}

h (5) = 160 \cdot 5 - 4, 9 \cdot 25 = 800 - 122, 5 = 677, 5

h^{'} (t) = v (t) = 160 - 9, 8 t = 0

t = \frac{160}{9 , 8} = \frac{800}{49}

h (\frac{800}{49}) = 160 \cdot \frac{800}{49} - 4, 9 \cdot \frac{80 0 ^{2}}{4 9 ^{2}} \approx 1306, 1

Vậy a) $h (5) = 677, 5$ m; b) độ cao lớn nhất khoảng $1306, 1 m$ .

2Cách 2. Đưa

h (t)

về dạng chính tắc của parabol

Định hướng. Hoàn chỉnh bình phương để đọc ngay đỉnh parabol, khỏi phải giải phương trình đạo hàm.

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 160 t

h (t) = - 4, 9 (t^{2} - \frac{160}{4 , 9} t)

h (t) = - 4, 9 (t - \frac{80}{4 , 9})^{2} + \frac{16 0 ^{2}}{4 \cdot 4 , 9}

h (t) \leq \frac{25 600}{19 , 6}

với mọi

t

\frac{25 600}{19 , 6} \approx 1306, 1

Dấu bằng xảy ra khi

t = \frac{80}{4 , 9} = \frac{800}{49} \approx 16, 3

Vậy độ cao lớn nhất khoảng $1306, 1$ m, đạt được sau khoảng $16, 3$ giây.

3Cách 3. Đọc quãng đường bằng diện tích dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Đồ thị vận tốc là đoạn thẳng, nên độ cao sau $5$ giây là diện tích hình thang, còn độ cao lớn nhất là diện tích tam giác tính đến lúc vận tốc bằng $0$ .

v (0) = 160

và

v (5) = 160 - 49 = 111

h (5) = \frac{160 + 111}{2} \cdot 5 = \frac{271}{2} \cdot 5 = 677, 5

v (t) = 0

khi

t = \frac{160}{9 , 8}

h_{m a x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{9 , 8} \cdot 160

h_{m a x} = \frac{12 800}{9 , 8} \approx 1306, 1

Vậy a) $677, 5$ m; b) khoảng $1306, 1$ m.

Nhận xét. Thử lại bằng đạo hàm: $(160 t - 4, 9 t^{2})^{'} = 160 - 9, 8 t = v (t)$ , đúng hàm vận tốc đề cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó trả lời được cả hai câu bằng một mạch duy nhất và áp được cho mọi hàm vận tốc; Cách 3 dùng để kiểm tra lại số cho chắc.

Đáp số. a)

h (5) = 677, 5

m; b)

h_{m a x} = \frac{12 800}{9 , 8} \approx 1306, 1

m, đạt được khi

t = \frac{800}{49} \approx 16, 3

giây.

Sai lầm thường gặp. Lấy nguyên hàm của

- 9, 8 t

thành

- 9, 8 t^{2}

vì quên chia

2

; hoặc trả lời câu b bằng

h (5)

do nghĩ rằng viên đạn cao nhất ngay tại mốc thời gian đề cho ở câu a.

🚀 Mở rộng. Vẫn bài này nhưng hỏi lúc nào viên đạn chạm đất: giải

160 t - 4, 9 t^{2} = 0

được

t = \frac{1 600}{49} \approx 32, 7

giây, đúng gấp đôi thời điểm đạt độ cao lớn nhất.

Mở bài này trong app ↗