Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 12. Tích phân

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.11★★Trang 12— Tính tích phân bằng ý nghĩa hình học (diện tích hình phẳng)

Bài 4.11 (trang 12). Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x

;
b)

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

Nếu $f$ liên tục, $f (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $\int_{a}^{b} f (x) d x$ bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi $y = f (x)$ , trục $O x$ , $x = a$ , $x = b$ .
Diện tích hình thang $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ ; diện tích hình tròn bán kính $R$ là $π R^{2}$ .
Công thức Newton – Leibniz: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với $F$ là một nguyên hàm của $f$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm dưới dấu tích phân đều không âm trên đoạn lấy tích phân, nên mỗi tích phân chính là diện tích hình thang cong tương ứng. Đồ thị

y = 2 x + 1

là đường thẳng nên hình cần tính là một hình thang thật; còn

y = 16 - x^{2}

bình phương lên được

x^{2} + y^{2} = 16

y \geq 0

, tức là nửa trên đường tròn tâm

O

bán kính

4

. Bẫy ở ý b là lấy nhầm cả nửa hình tròn, trong khi đoạn

[0; 4]

chỉ cắt ra một phần tư.

1Cách 1. Nhận ra hình thang và một phần tư hình tròn

Định hướng. Vẽ hình thang cong rồi đọc ra hình quen thuộc: ý a là hình thang vuông, ý b là một phần tư hình tròn.

f (0) = 1

f (3) = 7

, chiều cao

h = 3

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = \frac{( 1 + 7 ) \cdot 3}{2} = 12

y = 16 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 16, y \geq 0

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{4} π \cdot 4^{2} = 4 π

Vậy a) $12$ ; b) $4 π$ .

2Cách 2. Cắt hình thành những mảnh đơn giản hơn

Định hướng. Ý a cắt hình thang thành tam giác và hình chữ nhật; ý b dùng tính đối xứng của nửa hình tròn trên $[- 4; 4]$ .

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = \int_{0}^{3} 2 x d x + \int_{0}^{3} 1 d x

= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 9 + 3 = 12

16 - (- x)^{2} = 16 - x^{2}

nên đồ thị đối xứng qua

O y

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot 4 ^{2}}{2} = 4 π

Vậy a) $12$ ; b) $4 π$ .

3Cách 3. Kiểm lại bằng nguyên hàm (ý a) và đổi biến lượng giác (ý b, mở rộng)

Định hướng. Ý a có nguyên hàm sơ cấp nên dùng ngay Newton – Leibniz; ý b đặt $x = 4 sin u$ để khử căn (kĩ thuật ngoài SGK, chỉ dùng để đối chiếu).

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = (x^{2} + x)_{0}^{3} = 9 + 3 - 0 = 12

x = 4 sin u

u \in [0; \frac{π}{2}]

d x = 4 cos u d u

16 - x^{2} = 4 cos u

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 16 cos^{2} u d u = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 8 (1 + cos 2 u) d u

= (8 u + 4 sin 2 u)_{0}^{\frac{π}{2}} = 4 π

Vậy a) $12$ ; b) $4 π$ .

Nhận xét. Ý b không có nguyên hàm trong bảng cơ bản của lớp 12, nên cách hình học là con đường chính; phép đổi biến chỉ xác nhận lại con số $4 π$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề đã yêu cầu dùng ý nghĩa hình học, chỉ cần nhận đúng hình rồi áp một công thức diện tích.

Đáp số. a)

12

; b)

4 π

Sai lầm thường gặp. Ở ý b lấy diện tích cả nửa hình tròn

\frac{π \cdot 4 ^{2}}{2} = 8 π

vì quên cận dưới là

0

chứ không phải

- 4

; hoặc nhầm bán kính là

16

rồi ra

64 π

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int_{0}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{4}

và

\int_{- R}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.12★Trang 12— Tính chất tuyến tính của tích phân

Bài 4.12 (trang 12). Cho

\int_{0}^{5} f (x) d x = 6

và

\int_{0}^{5} g (x) d x = 2

. Hãy tính:
a)

\int_{0}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x

;
b)

\int_{0}^{5} [2 f (x) - 3 g (x)] d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với $F^{'} = f$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho biểu thức của

f

g

mà chỉ cho giá trị hai tích phân trên cùng đoạn

[0; 5]

— dấu hiệu phải dùng tính chất tuyến tính. Hai ý chỉ khác nhau một dấu, nên có thể tính cặp tổng – hiệu để kiểm tra chéo. Bẫy là nhân hệ số vào sai tích phân hoặc quên đổi dấu ở ý b.

1Cách 1. Áp trực tiếp tính chất tuyến tính

Định hướng. Tách tích phân của tổng thành tổng các tích phân, đưa hệ số ra ngoài.

\int_{0}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x = 2 \int_{0}^{5} f (x) d x + 3 \int_{0}^{5} g (x) d x

= 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 18

\int_{0}^{5} [2 f (x) - 3 g (x)] d x = 2 \int_{0}^{5} f (x) d x - 3 \int_{0}^{5} g (x) d x

= 2 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 6

Vậy a) $18$ ; b) $6$ .

2Cách 2. Qua nguyên hàm

F

G

Định hướng. Gọi $F$ , $G$ là nguyên hàm của $f$ , $g$ thì $2 F \pm 3 G$ là nguyên hàm của $2 f \pm 3 g$ ; chỉ cần hai hiệu số đã biết.

F (5) - F (0) = 6

G (5) - G (0) = 2

\int_{0}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x = [2 F (5) + 3 G (5)] - [2 F (0) + 3 G (0)]

= 2 [F (5) - F (0)] + 3 [G (5) - G (0)] = 12 + 6 = 18

\int_{0}^{5} [2 f (x) - 3 g (x)] d x = 2 [F (5) - F (0)] - 3 [G (5) - G (0)] = 12 - 6 = 6

Vậy a) $18$ ; b) $6$ .

3Cách 3. Tính tổng và hiệu hai kết quả

Định hướng. Gọi hai tích phân cần tìm là $A$ , $B$ ; cộng và trừ chúng sẽ triệt tiêu từng hàm, cho một hệ rất gọn.

A + B = \int_{0}^{5} 4 f (x) d x = 4 \cdot 6 = 24

A - B = \int_{0}^{5} 6 g (x) d x = 6 \cdot 2 = 12

A = \frac{24 + 12}{2} = 18

B = \frac{24 - 12}{2} = 6

Vậy a) $18$ ; b) $6$ .

Nhận xét. Không cần biết $f$ , $g$ cụ thể: mọi cặp hàm liên tục có hai tích phân $6$ và $2$ trên $[0; 5]$ đều cho cùng đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng cho mỗi ý; Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh khi đề trắc nghiệm hỏi cả tổng lẫn hiệu.

Đáp số. a)

18

; b)

6

Sai lầm thường gặp. Viết

\int_{0}^{5} 2 f (x) \cdot 3 g (x) d x

hoặc nghĩ

\int (f g) = \intf \cdot \intg

— tính tuyến tính chỉ đúng cho tổng và tích với hằng số; ở ý b quên đổi dấu nên ra

18

thay vì

6

🚀 Mở rộng. Nếu thêm

\int_{5}^{8} f (x) d x = - 1

thì

\int_{0}^{8} f (x) d x = 6 + (- 1) = 5

— ghép tính chất cộng đoạn với tính tuyến tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.13★★Trang 12— Tích phân của đa thức và hàm luỹ thừa

Bài 4.13 (trang 12). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{1} (1 - 2 x)^{2} d x

;
b)

\int_{1}^{4} \frac{x - 2}{x} d x

Kiến thức cần nhớ

$\intx^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ $(α \neq = - 1)$ .
$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C$ $(a \neq = 0)$ .
$\frac{x - 2}{x} = x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}}$ với $x > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là bình phương một nhị thức bậc nhất: khai triển thành đa thức, hoặc giữ nguyên dạng

(a x + b)^{n}

. Ý b có

x

dưới mẫu, chia từng hạng tử cho

x

sẽ ra tổng các luỹ thừa

x^{α}

. Bẫy ở ý a là viết nguyên hàm

\frac{( 1 - 2 x ) ^{3}}{3}

mà quên chia cho hệ số

- 2

1Cách 1. Khai triển rồi dùng nguyên hàm luỹ thừa

Định hướng. Đưa cả hai hàm về tổng các luỹ thừa của $x$ rồi áp Newton – Leibniz.

\int_{0}^{1} (1 - 2 x)^{2} d x = \int_{0}^{1} (1 - 4 x + 4 x^{2}) d x

= (x - 2 x^{2} + \frac{4 x ^{3}}{3})_{0}^{1} = 1 - 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}

\int_{1}^{4} \frac{x - 2}{x} d x = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x

= (\frac{2}{3} x x - 4 x)_{1}^{4} = (\frac{16}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 4) = - \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{2}{3}

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Nguyên hàm dạng

(a x + b)^{n}

và dò hệ số

Định hướng. Ý a giữ nguyên khối $(1 - 2 x)$ ; ý b đoán nguyên hàm có dạng $(m x + n) x$ rồi đạo hàm để tìm $m$ , $n$ .

\int_{0}^{1} (1 - 2 x)^{2} d x = \frac{( 1 - 2 x ) ^{3}}{- 2 \cdot 3}_{0}^{1} = \frac{( - 1 ) ^{3} - 1 ^{3}}{- 6} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}

F (x) = (m x + n) x

F^{'} (x) = m x + \frac{m x + n}{2 x} = \frac{3 m x + n}{2 x}

\frac{3 m x + n}{2 x} = \frac{x - 2}{x} \Rightarrow 3 m = 2, n = - 4 \Rightarrow F (x) = (\frac{2 x}{3} - 4) x

\int_{1}^{4} \frac{x - 2}{x} d x = F (4) - F (1) = (\frac{8}{3} - 4) \cdot 2 - (\frac{2}{3} - 4) = - \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{2}{3}

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{2}{3}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến đối xứng (ý a) và đổi biến

u = x

(ý b, mở rộng)

Định hướng. Đồ thị $y = (1 - 2 x)^{2} = 4 (x - \frac{1}{2})^{2}$ đối xứng qua $x = \frac{1}{2}$ , tịnh tiến sang trái $\frac{1}{2}$ đơn vị thì diện tích giữ nguyên; ý b đặt $u = x$ để khử căn.

\int_{0}^{1} 4 (x - \frac{1}{2})^{2} d x = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 4 t^{2} d t = 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} 4 t^{2} d t = \frac{8 t ^{3}}{3}_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{3}

x = u^{2}

d x = 2 u d u

x = 1 \mapsto u = 1

x = 4 \mapsto u = 2

\int_{1}^{4} \frac{x - 2}{x} d x = \int_{1}^{2} \frac{u ^{2} - 2}{u} \cdot 2 u d u = \int_{1}^{2} (2 u^{2} - 4) d u

= (\frac{2 u ^{3}}{3} - 4 u)_{1}^{2} = (\frac{16}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 4) = \frac{2}{3}

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{2}{3}$ .

Nhận xét. Ý b có tích phân dương dù hàm âm trên $[1; 2)$ : phần dương trên $(2; 4]$ lớn hơn phần âm, đúng với dấu của đáp số $\frac{2}{3} > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần công thức luỹ thừa, ít chỗ sai nhất; Cách 2 ý a nhanh hơn khi số mũ lớn (chẳng hạn

(1 - 2 x)^{10}

Đáp số. a)

\frac{1}{3}

; b)

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Ý a viết nguyên hàm là

\frac{( 1 - 2 x ) ^{3}}{3}

, quên chia cho

- 2

, ra

\frac{- 1 - 1}{3} = - \frac{2}{3}

— âm vô lí vì hàm dưới dấu tích phân không âm. Ý b tách sai

\frac{x - 2}{x} = x - 2

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm:

\int_{0}^{1} (1 - 2 x)^{n} d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n + 1}}{2 ( n + 1 )}

, bằng

\frac{1}{n + 1}

khi

n

chẵn và bằng

0

khi

n

lẻ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.14★★Trang 13— Tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 4.14 (trang 13). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{2} ∣ 2 x - 1 ∣ d x

;
b)

\int_{- 2}^{3} ∣ x - 1 ∣ d x

Kiến thức cần nhớ

$∣ u ∣ = u$ khi $u \geq 0$ , $∣ u ∣ = - u$ khi $u < 0$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ với $c \in [a; b]$ .
Hàm $∣ x ∣$ có một nguyên hàm là $\frac{x ∣ x ∣}{2}$ trên $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu giá trị tuyệt đối đổi công thức tại nghiệm của biểu thức bên trong:

x = \frac{1}{2}

ở ý a,

x = 1

ở ý b, và cả hai nghiệm đều nằm trong đoạn lấy tích phân. Vì thế phải tách đoạn rồi phá dấu trên từng đoạn con; hàm không âm nên cũng có thể đọc thành diện tích hai tam giác. Bẫy là phá luôn dấu

∣ ∣

trên cả đoạn.

1Cách 1. Tách đoạn tại nghiệm rồi phá dấu

Định hướng. Chia đoạn tại điểm biểu thức trong dấu $∣ ∣$ đổi dấu, trên mỗi đoạn con hàm là đa thức bậc nhất.

\int_{0}^{2} ∣ 2 x - 1 ∣ d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2 x - 1) d x

= (x - x^{2})_{0}^{\frac{1}{2}} + (x^{2} - x)_{\frac{1}{2}}^{2} = \frac{1}{4} + (2 + \frac{1}{4}) = \frac{5}{2}

\int_{- 2}^{3} ∣ x - 1 ∣ d x = \int_{- 2}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{3} (x - 1) d x

= (x - \frac{x ^{2}}{2})_{- 2}^{1} + (\frac{x ^{2}}{2} - x)_{1}^{3} = (\frac{1}{2} + 4) + (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}

Vậy a) $\frac{5}{2}$ ; b) $\frac{13}{2}$ .

2Cách 2. Diện tích hai tam giác

Định hướng. Đồ thị $y = ∣ a x + b ∣$ là hai tia hình chữ V chạm trục hoành tại nghiệm, nên mỗi tích phân là tổng diện tích hai tam giác vuông.

S_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}

S_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4}

\int_{0}^{2} ∣ 2 x - 1 ∣ d x = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}

S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}

S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

\int_{- 2}^{3} ∣ x - 1 ∣ d x = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}

Vậy a) $\frac{5}{2}$ ; b) $\frac{13}{2}$ .

3Cách 3. Một nguyên hàm chung

\frac{u ∣ u ∣}{2}

Định hướng. Với $u = a x + b$ , hàm $F (x) = \frac{( a x + b ) ∣ a x + b ∣}{2 a}$ có đạo hàm $∣ a x + b ∣$ trên cả $R$ , nên khỏi phải tách đoạn.

F (x) = \frac{( 2 x - 1 ) ∣ 2 x - 1 ∣}{4}

\int_{0}^{2} ∣ 2 x - 1 ∣ d x = F (2) - F (0) = \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{( - 1 ) \cdot 1}{4} = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}

G (x) = \frac{( x - 1 ) ∣ x - 1 ∣}{2}

\int_{- 2}^{3} ∣ x - 1 ∣ d x = G (3) - G (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{( - 3 ) \cdot 3}{2} = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}

Vậy a) $\frac{5}{2}$ ; b) $\frac{13}{2}$ .

Nhận xét. $(\frac{u ∣ u ∣}{2})^{'} = ∣ u ∣$ vì với $u \geq 0$ ta có $(\frac{u ^{2}}{2})^{'} = u$ , với $u < 0$ ta có $(- \frac{u ^{2}}{2})^{'} = - u$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: vẽ nhanh chữ V rồi cộng diện tích hai tam giác, gần như không phải tính; Cách 1 là cách trình bày tự luận chuẩn.

Đáp số. a)

\frac{5}{2}

; b)

\frac{13}{2}

Sai lầm thường gặp. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên cả đoạn:

\int_{0}^{2} (2 x - 1) d x = 2

và

\int_{- 2}^{3} (x - 1) d x = - \frac{5}{2}

— kết quả âm là dấu hiệu sai ngay, vì hàm

∣ \cdot ∣

không âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

a \leq c \leq b

thì

\int_{a}^{b} ∣ x - c ∣ d x = \frac{( c - a ) ^{2} + ( b - c ) ^{2}}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.15★★Trang 13— Tích phân của hàm số lượng giác

Bài 4.15 (trang 13). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 cos x + 2 sin x) d x

;
b)

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int cos x d x = sin x + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ .
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C$ , $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .
$tan x + cot x = \frac{1}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý đều là tổ hợp các hàm có sẵn trong bảng nguyên hàm lượng giác:

cos x

sin x

\frac{1}{cos ^{2} x}

\frac{1}{sin ^{2} x}

. Điểm cần cẩn thận là dấu: nguyên hàm của

sin x

là

- cos x

, của

- \frac{1}{sin ^{2} x}

là

+ cot x

. Ý b còn có thể gộp

tan x + cot x = \frac{2}{sin 2 x}

cho gọn.

1Cách 1. Nguyên hàm từng hạng tử rồi thay cận

Định hướng. Viết một nguyên hàm của cả biểu thức, thay cận một lần.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 cos x + 2 sin x) d x = (3 sin x - 2 cos x)_{0}^{\frac{π}{2}} = (3 - 0) - (0 - 2) = 5

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = (tan x + cot x)_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}

= (1 + 1) - (\frac{3}{3} + 3) = 2 - \frac{4 3}{3}

Vậy a) $5$ ; b) $2 - \frac{4 3}{3}$ .

2Cách 2. Tách tuyến tính (ý a) và gộp nguyên hàm thành

\frac{2}{sin 2 x}

(ý b)

Định hướng. Ý a tách thành hai tích phân cơ bản rồi cộng; ý b gộp $tan x + cot x$ thành một phân thức để chỉ thay cận vào một hàm.

3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = 3 sin x_{0}^{\frac{π}{2}} = 3

2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = - 2 cos x_{0}^{\frac{π}{2}} = 2

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 cos x + 2 sin x) d x = 3 + 2 = 5

tan x + cot x = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = \frac{2}{sin 2 x}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = \frac{2}{1} - \frac{2}{\frac{3}{2}} = 2 - \frac{4 3}{3}

Vậy a) $5$ ; b) $2 - \frac{4 3}{3}$ .

3Cách 3. Tính đối xứng

x \mapsto \frac{π}{2} - x

(ý a) và biến đổi hàm dưới dấu tích phân (ý b)

Định hướng. Trên $[0; \frac{π}{2}]$ đồ thị $sin x$ là ảnh đối xứng của $cos x$ qua đường $x = \frac{π}{4}$ , nên hai tích phân bằng nhau; ý b viết lại hàm dưới dấu tích phân theo $2 x$ .

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = sin x_{0}^{\frac{π}{2}} = 1

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 cos x + 2 sin x) d x = (3 + 2) \cdot 1 = 5

\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x} = \frac{sin ^{2} x - cos ^{2} x}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x}

(\frac{2}{sin 2 x})^{'} = \frac{- 2 \cdot 2 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x} = \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x} d x = \frac{2}{sin 2 x}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = 2 - \frac{4 3}{3}

Vậy a) $5$ ; b) $2 - \frac{4 3}{3}$ .

Nhận xét. Ý b ra số âm ( $\approx - 0, 31$ ) là hợp lí: trên $(\frac{π}{6}; \frac{π}{4})$ có $sin x < cos x$ nên $\frac{1}{sin ^{2} x} > \frac{1}{cos ^{2} x}$ , hàm dưới dấu tích phân âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng bảng nguyên hàm, thay cận bằng giá trị lượng giác đặc biệt; Cách 3 ý a là mẹo nhẩm rất nhanh cho trắc nghiệm.

Đáp số. a)

5

; b)

2 - \frac{4 3}{3}

Sai lầm thường gặp. Ý a viết nguyên hàm của

sin x

là

cos x

nên ra

3 - 2 = 1

; ý b viết nguyên hàm của

- \frac{1}{sin ^{2} x}

là

- cot x

, ra

tan x - cot x

và được

0 - (\frac{3}{3} - 3) = \frac{2 3}{3}

, sai dấu cả phần sau.

🚀 Mở rộng. Tổng quát ý a:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (a cos x + b sin x) d x = a + b

với mọi hằng số

a

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.16★★Trang 13— Tích phân của hàm số mũ

Bài 4.16 (trang 13). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{1} (3^{x} - 2 e^{x}) d x

;
b)

\int_{0}^{1} \frac{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}{2 e ^{x}} d x

Kiến thức cần nhớ

$\inta^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $\inte^{x} d x = e^{x} + C$ .
$\inte^{- x} d x = - e^{- x} + C$ .
$(e^{x} - 1)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là hiệu hai hàm mũ có sẵn công thức, chỉ cần nhớ chia cho

ln 3

. Ý b là một phân thức mũ: khai triển tử rồi chia cho

2 e^{x}

sẽ tách thành

\frac{e ^{x}}{2} - 1 + \frac{e ^{- x}}{2}

. Bẫy là quên hạng tử hằng

- 1

hoặc lấy nguyên hàm

e^{- x}

thành

e^{- x}

thay vì

- e^{- x}

1Cách 1. Khai triển rồi áp bảng nguyên hàm mũ

Định hướng. Đưa mỗi hàm về tổng các hàm mũ cơ bản rồi dùng Newton – Leibniz.

\int_{0}^{1} (3^{x} - 2 e^{x}) d x = (\frac{3 ^{x}}{ln 3} - 2 e^{x})_{0}^{1} = (\frac{3}{ln 3} - 2 e) - (\frac{1}{ln 3} - 2) = \frac{2}{ln 3} - 2 e + 2

\frac{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}{2 e ^{x}} = \frac{e ^{2 x} - 2 e ^{x} + 1}{2 e ^{x}} = \frac{e ^{x}}{2} - 1 + \frac{e ^{- x}}{2}

\int_{0}^{1} \frac{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}{2 e ^{x}} d x = (\frac{e ^{x}}{2} - x - \frac{e ^{- x}}{2})_{0}^{1} = (\frac{e}{2} - 1 - \frac{1}{2 e}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1

Vậy a) $\frac{2}{ln 3} - 2 e + 2$ ; b) $\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1 = \frac{e ^{2} - 2 e - 1}{2 e}$ .

2Cách 2. Tách tuyến tính, tính riêng từng tích phân cơ bản

Định hướng. Tính trước các tích phân mẫu $\int_{0}^{1} 3^{x} d x$ , $\int_{0}^{1} e^{x} d x$ , $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ rồi ghép theo hệ số.

\int_{0}^{1} 3^{x} d x = \frac{3 - 1}{ln 3} = \frac{2}{ln 3}

\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1

\int_{0}^{1} e^{- x} d x = 1 - \frac{1}{e}

\int_{0}^{1} (3^{x} - 2 e^{x}) d x = \frac{2}{ln 3} - 2 (e - 1) = \frac{2}{ln 3} - 2 e + 2

\int_{0}^{1} (\frac{e ^{x}}{2} - 1 + \frac{e ^{- x}}{2}) d x = \frac{e - 1}{2} - 1 + \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e}) = \frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1

Vậy a) $\frac{2}{ln 3} - 2 e + 2$ ; b) $\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1$ .

3Cách 3. Quy cơ số về

e

(ý a) và đổi biến

u = e^{x}

(ý b, mở rộng)

Định hướng. Viết $3^{x} = e^{x l n 3}$ để chỉ dùng một công thức $\inte^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k} + C$ ; ý b đặt $u = e^{x}$ để biến hàm mũ thành phân thức.

\int_{0}^{1} e^{x l n 3} d x = \frac{e ^{x l n 3}}{ln 3}_{0}^{1} = \frac{3 - 1}{ln 3} = \frac{2}{ln 3}

\int_{0}^{1} (3^{x} - 2 e^{x}) d x = \frac{2}{ln 3} - 2 e^{x}_{0}^{1} = \frac{2}{ln 3} - 2 e + 2

u = e^{x}

d u = e^{x} d x

x = 0 \mapsto u = 1

x = 1 \mapsto u = e

\int_{0}^{1} \frac{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}{2 e ^{x}} d x = \int_{1}^{e} \frac{( u - 1 ) ^{2}}{2 u ^{2}} d u = \int_{1}^{e} (\frac{1}{2} - \frac{1}{u} + \frac{1}{2 u ^{2}}) d u

= (\frac{u}{2} - ln u - \frac{1}{2 u})_{1}^{e} = (\frac{e}{2} - 1 - \frac{1}{2 e}) - (\frac{1}{2} - 0 - \frac{1}{2}) = \frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1

Vậy a) $\frac{2}{ln 3} - 2 e + 2$ ; b) $\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra dấu: ý a $\approx 1, 82 - 5, 44 + 2 = - 1, 62 < 0$ vì $2 e^{x} > 3^{x}$ trên $[0; 1]$ ; ý b $\approx 0, 18 > 0$ vì hàm dưới dấu tích phân không âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển một dòng rồi thay cận; Cách 2 hợp khi đề trắc nghiệm có nhiều tích phân dùng chung các tích phân mẫu.

Đáp số. a)

\frac{2}{ln 3} - 2 e + 2

; b)

\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1 = \frac{e ^{2} - 2 e - 1}{2 e}

Sai lầm thường gặp. Ý a viết

\int 3^{x} d x = 3^{x} ln 3

(nhầm với đạo hàm); ý b lấy nguyên hàm của

\frac{e ^{- x}}{2}

là

\frac{e ^{- x}}{2}

, ra

\frac{e}{2} + \frac{1}{2 e} - 2

— sai dấu hạng tử

\frac{1}{2 e}

🚀 Mở rộng. Tổng quát ý b:

\int_{0}^{a} \frac{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}{2 e ^{x}} d x = \frac{e ^{a} - e ^{- a}}{2} - a

, luôn dương với

a > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.17★★★Trang 13— Ứng dụng tích phân: tính biến thiên từ tốc độ thay đổi (lợi nhuận biên)

Bài 4.17 (trang 13). Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hoá bởi

P^{'} (x) = - 0, 0005 x + 12, 2

.
a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ

100

lên

101

đơn vị.
b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ

100

lên

110

đơn vị.

Kiến thức cần nhớ

$P (b) - P (a) = \int_{a}^{b} P^{'} (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} (m x + n) d x = (b - a) (m \cdot \frac{a + b}{2} + n)$ .
$b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đạo hàm

P^{'} (x)

(lợi nhuận biên) và hỏi độ thay đổi

P (b) - P (a)

— đúng nội dung công thức Newton – Leibniz

P (b) - P (a) = \int_{a}^{b} P^{'} (x) d x

. Vì

P^{'}

là hàm bậc nhất, tích phân còn bằng diện tích hình thang, hay bằng độ dài đoạn nhân với giá trị

P^{'}

tại trung điểm. Bẫy là trả lời

P^{'} (100)

hay

P^{'} (101)

cho ý a — đó chỉ là xấp xỉ.

1Cách 1. Tích phân lợi nhuận biên theo Newton – Leibniz

Định hướng. Một nguyên hàm của $P^{'}$ là $F (x) = - 0, 00025 x^{2} + 12, 2 x$ , độ thay đổi lợi nhuận là $F (b) - F (a)$ .

P (101) - P (100) = \int_{100}^{101} (- 0, 0005 x + 12, 2) d x = (- 0, 00025 x^{2} + 12, 2 x)_{100}^{101}

= - 0, 00025 (10 1^{2} - 10 0^{2}) + 12, 2 \cdot 1 = - 0, 00025 \cdot 201 + 12, 2 = 12, 14975

P (110) - P (100) = (- 0, 00025 x^{2} + 12, 2 x)_{100}^{110}

= - 0, 00025 (11 0^{2} - 10 0^{2}) + 12, 2 \cdot 10 = - 0, 00025 \cdot 2100 + 122 = 121, 475

Vậy lợi nhuận tăng a) $12, 14975$ ; b) $121, 475$ (đơn vị tiền của mô hình).

2Cách 2. Diện tích hình thang dưới đường thẳng lợi nhuận biên

Định hướng. $P^{'} (x) > 0$ trên $[100; 110]$ và đồ thị là đường thẳng, nên tích phân là diện tích hình thang với hai đáy $P^{'} (a)$ , $P^{'} (b)$ .

P^{'} (100) = 12, 15

P^{'} (101) = 12, 1495

P^{'} (110) = 12, 145

P (101) - P (100) = \frac{P ^{'} ( 100 ) + P ^{'} ( 101 )}{2} \cdot 1 = \frac{12 , 15 + 12 , 1495}{2} = 12, 14975

P (110) - P (100) = \frac{P ^{'} ( 100 ) + P ^{'} ( 110 )}{2} \cdot 10 = \frac{12 , 15 + 12 , 145}{2} \cdot 10 = 121, 475

Vậy lợi nhuận tăng a) $12, 14975$ ; b) $121, 475$ .

3Cách 3. Giá trị tại trung điểm của hàm bậc nhất

Định hướng. Với hàm bậc nhất, giá trị trung bình trên $[a; b]$ bằng giá trị tại trung điểm $\frac{a + b}{2}$ , nên tích phân bằng độ dài đoạn nhân giá trị đó.

P (101) - P (100) = 1 \cdot P^{'} (100, 5) = - 0, 0005 \cdot 100, 5 + 12, 2 = 12, 14975

P (110) - P (100) = 10 \cdot P^{'} (105) = 10 (- 0, 0525 + 12, 2) = 121, 475

Vậy lợi nhuận tăng a) $12, 14975$ ; b) $121, 475$ .

Nhận xét. Lấy $P^{'} (100) = 12, 15$ làm đáp số ý a chỉ là xấp xỉ (sai $0, 00025$ ); tích phân mới cho độ thay đổi chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: một phép nhân cho mỗi ý vì

P^{'}

bậc nhất; Cách 1 là trình bày tự luận chuẩn, dùng được cả khi lợi nhuận biên không tuyến tính.

Đáp số. a) Tăng

12, 14975

; b) tăng

121, 475

(đơn vị tiền của mô hình).

Sai lầm thường gặp. Trả lời ý a bằng

P^{'} (101) = 12, 1495

hoặc

P^{'} (100) = 12, 15

— đó là tốc độ tại một điểm, không phải độ thay đổi; hoặc viết nguyên hàm

- 0, 0005 x^{2} + 12, 2 x

quên chia

2

nên ra

12, 0995

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tăng doanh số từ

a

lên

a + h

thì lợi nhuận thay đổi

h (12, 2 - 0, 0005 (a + \frac{h}{2}))

; lợi nhuận biên giảm dần nên mỗi đơn vị bán thêm lãi ít hơn đơn vị trước.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.18★★★Trang 13— Giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn

Bài 4.18 (trang 13). Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi

c (t) = 0, 005 t^{2} + 0, 02 t + 12, 5

với

0 \leq t \leq 24

, tính theo tháng.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị trung bình của $f$ trên $[a; b]$ : $\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$\int_{0}^{T} t^{2} d t = \frac{T ^{3}}{3}$ , $\int_{0}^{T} t d t = \frac{T ^{2}}{2}$ .
Với đa thức bậc không quá $3$ : $\int_{a}^{b} f d x = \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Trung bình trong hai năm" của một đại lượng thay đổi liên tục theo thời gian là giá trị trung bình của hàm trên đoạn

[0; 24]

\frac{1}{24} \int_{0}^{24} c (t) d t

. Hai năm phải đổi thành

24

tháng vì

t

tính theo tháng. Bẫy là lấy trung bình cộng

\frac{c ( 0 ) + c ( 24 )}{2}

— chỉ đúng với hàm bậc nhất.

1Cách 1. Tính tích phân rồi chia độ dài đoạn

Định hướng. Tính tổng chi phí tích luỹ $\int_{0}^{24} c (t) d t$ , chia cho $24$ tháng.

\int_{0}^{24} (0, 005 t^{2} + 0, 02 t + 12, 5) d t = (\frac{0 , 005 t ^{3}}{3} + 0, 01 t^{2} + 12, 5 t)_{0}^{24}

= \frac{0 , 005 \cdot 13824}{3} + 0, 01 \cdot 576 + 12, 5 \cdot 24 = 23, 04 + 5, 76 + 300 = 328, 8

\overline{c} = \frac{1}{24} \cdot 328, 8 = 13, 7

Vậy chi phí trung bình mỗi đơn vị sản phẩm trong hai năm là $13, 7$ (đơn vị tiền của mô hình).

2Cách 2. Trung bình từng hạng tử

Định hướng. Phép lấy trung bình tuyến tính, nên chỉ cần nhớ trung bình của $t^{2}$ và $t$ trên $[0; T]$ là $\frac{T ^{2}}{3}$ và $\frac{T}{2}$ .

\overline{t^{2}} = \frac{1}{24} \cdot \frac{2 4 ^{3}}{3} = \frac{2 4 ^{2}}{3} = 192

\overline{t} = \frac{24}{2} = 12

\overline{c} = 0, 005 \cdot 192 + 0, 02 \cdot 12 + 12, 5 = 0, 96 + 0, 24 + 12, 5 = 13, 7

Vậy chi phí trung bình là $13, 7$ .

3Cách 3. Công thức Simpson (đúng tuyệt đối với đa thức bậc hai)

Định hướng. $c (t)$ là đa thức bậc hai nên công thức Simpson cho giá trị chính xác, chỉ cần ba giá trị $c (0)$ , $c (12)$ , $c (24)$ .

c (0) = 12, 5

c (12) = 0, 72 + 0, 24 + 12, 5 = 13, 46

c (24) = 2, 88 + 0, 48 + 12, 5 = 15, 86

\overline{c} = \frac{c ( 0 ) + 4 c ( 12 ) + c ( 24 )}{6} = \frac{12 , 5 + 53 , 84 + 15 , 86}{6} = \frac{82 , 2}{6} = 13, 7

Vậy chi phí trung bình là $13, 7$ .

Nhận xét. Trung bình cộng hai đầu $\frac{12 , 5 + 15 , 86}{2} = 14, 18$ lệch khỏi $13, 7$ vì $c (t)$ cong lên, chi phí tăng nhanh dần về cuối kì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhẩm

\frac{T ^{2}}{3}

và

\frac{T}{2}

là xong, không phải tính số lớn như

2 4^{3}

; Cách 1 là trình bày tự luận chuẩn.

Đáp số. Chi phí trung bình là

13, 7

(đơn vị tiền của mô hình) mỗi đơn vị sản phẩm.

Sai lầm thường gặp. Lấy

\frac{c ( 0 ) + c ( 24 )}{2} = 14, 18

, hoặc chia tích phân cho

2

(năm) thay vì

24

(tháng) nên ra

164, 4

— sai đơn vị thời gian.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trung bình của

a t^{2} + b t + d

trên

[0; T]

là

\frac{a T ^{2}}{3} + \frac{b T}{2} + d

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.19★★★Trang 13— Hàm cho bởi tích phân có cận trên biến thiên

Bài 4.19 (trang 13). Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong

x

năm có thể được mô hình hoá bởi công thức

C = 5000 25 + 3 \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{4}} d t

.
Tính tổng chi phí sau:
a)

1

năm;
b)

5

năm;
c)

10

năm.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{0}^{x} t^{α} d t = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1}$ $(α > - 1)$ .
$x^{\frac{5}{4}} = x 4 x$ .
Nếu $G (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ thì $G^{'} (x) = f (x)$ và $G (0) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chi phí

C

là hàm của cận trên

x

, nên tính một lần

\int_{0}^{x} t^{\frac{1}{4}} d t

theo

x

rồi thay

x = 1; 5; 10

. Nguyên hàm của

t^{\frac{1}{4}}

là

\frac{4}{5} t^{\frac{5}{4}}

, suy ra

C (x) = 125000 + 12000 x^{\frac{5}{4}}

. Bẫy là quên nhân

5000

vào số hạng

25

, hoặc nhầm

x^{\frac{5}{4}}

thành

x^{\frac{4}{5}}

1Cách 1. Lập công thức

C (x)

rồi thay số

Định hướng. Tính tích phân theo cận trên $x$ để có công thức gọn của $C (x)$ .

\int_{0}^{x} t^{\frac{1}{4}} d t = \frac{4}{5} t^{\frac{5}{4}}_{0}^{x} = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}

C (x) = 5000 25 + \frac{12}{5} x^{\frac{5}{4}} = 125000 + 12000 x^{\frac{5}{4}}

C (1) = 125000 + 12000 = 137000

C (5) = 125000 + 12000 \cdot 545 = 125000 + 6000045 \approx 214720, 93

C (10) = 125000 + 12000 \cdot 10410 = 125000 + 120000410 \approx 338393, 53

Vậy a) $137000$ ; b) $125000 + 6000045 \approx 214720, 93$ ; c) $125000 + 120000410 \approx 338393, 53$ .

2Cách 2. Tính riêng từng tích phân xác định

Định hướng. Với mỗi mốc thời gian, tính trực tiếp tích phân có cận số rồi thay vào công thức chi phí.

\int_{0}^{1} t^{\frac{1}{4}} d t = \frac{4}{5}

C = 5000 (25 + 3 \cdot \frac{4}{5}) = 5000 \cdot 27, 4 = 137000

\int_{0}^{5} t^{\frac{1}{4}} d t = \frac{4}{5} \cdot 5^{\frac{5}{4}} = 445

C = 5000 (25 + 1245) \approx 214720, 93

\int_{0}^{10} t^{\frac{1}{4}} d t = \frac{4}{5} \cdot 1 0^{\frac{5}{4}} = 8410

C = 5000 (25 + 24410) \approx 338393, 53

Vậy a) $137000$ ; b) $5000 (25 + 1245) \approx 214720, 93$ ; c) $5000 (25 + 24410) \approx 338393, 53$ .

3Cách 3. Dựng

C (x)

từ đạo hàm và giá trị ban đầu

Định hướng. Không cần tính tích phân trước: $C^{'} (x) = 15000 x^{\frac{1}{4}}$ và $C (0) = 125000$ xác định hoàn toàn $C$ .

C^{'} (x) = 5000 \cdot 3 x^{\frac{1}{4}} = 15000 x^{\frac{1}{4}}

C (0) = 5000 \cdot 25 = 125000

C (x) = k x^{\frac{5}{4}} + 125000

C^{'} (x) = \frac{5 k}{4} x^{\frac{1}{4}} = 15000 x^{\frac{1}{4}} \Rightarrow k = 12000

C (1) = 137000

C (5) = 125000 + 6000045 \approx 214720, 93

C (10) = 125000 + 120000410 \approx 338393, 53

Vậy a) $137000$ ; b) $\approx 214720, 93$ ; c) $\approx 338393, 53$ .

Nhận xét. $125000$ là chi phí mua ban đầu ( $x = 0$ ); phần $12000 x^{\frac{5}{4}}$ là chi phí bảo trì tích luỹ, tăng nhanh hơn tuyến tính vì thiết bị càng cũ càng tốn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính tích phân một lần theo

x

rồi thay ba giá trị, không phải lặp lại phép tính.

Đáp số. a)

137000

; b)

125000 + 6000045 \approx 214720, 93

; c)

125000 + 120000410 \approx 338393, 53

Sai lầm thường gặp. Nhân

5000

chỉ vào tích phân mà quên số

25

, ra

C (1) = 25 + 12000

; hoặc viết nguyên hàm

\frac{5}{4} t^{\frac{5}{4}}

(nghịch đảo nhầm hệ số) nên

C (1) = 125000 + 18750 = 143750

🚀 Mở rộng. Chi phí trung bình mỗi năm

\frac{C ( x )}{x} = \frac{125000}{x} + 12000 4 x

nhỏ nhất khi đạo hàm bằng

0

— một bài tối ưu nối tiếp tự nhiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.20★★Trang 13— Ứng dụng tích phân: quãng đường từ vận tốc

Bài 4.20 (trang 13). Vận tốc

v

của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức

v (t) = 9, 8 t

, trong đó vận tốc

v

tính bằng m/s và thời gian

t

tính bằng giây.
a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong

T

giây đầu tiên dưới dạng tích phân.
b) Tìm quãng đường vật đi được trong

5

giây đầu tiên.

Kiến thức cần nhớ

$s (T) = \int_{0}^{T} v (t) d t$ khi $v (t) \geq 0$ trên $[0; T]$ .
Chuyển động biến đổi đều: vận tốc trung bình bằng $\frac{v _{0} + v}{2}$ .
$\int_{0}^{T} t d t = \frac{T ^{2}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc, và vật chuyển động một chiều (

v \geq 0

), nên quãng đường trong

[0; T]

là

\int_{0}^{T} v (t) d t

. Đồ thị

v = 9, 8 t

là đường thẳng qua gốc, nên tích phân còn là diện tích tam giác. Bẫy là lấy

v (5) \cdot 5 = 245

như chuyển động đều.

1Cách 1. Tích phân vận tốc theo Newton – Leibniz

Định hướng. Viết quãng đường thành tích phân vận tốc rồi tính theo $T$ .

s (T) = \int_{0}^{T} 9, 8 t d t

= 4, 9 t^{2}_{0}^{T} = 4, 9 T^{2}

s (5) = \int_{0}^{5} 9, 8 t d t = 4, 9 \cdot 25 = 122, 5

Vậy a) $s (T) = \int_{0}^{T} 9, 8 t d t = 4, 9 T^{2}$ (m); b) $122, 5$ m.

2Cách 2. Diện tích tam giác dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Đồ thị $v = 9, 8 t$ trên $[0; T]$ cùng trục $O t$ tạo tam giác vuông cạnh $T$ và $9, 8 T$ .

s (T) = \int_{0}^{T} 9, 8 t d t = \frac{1}{2} \cdot T \cdot 9, 8 T = 4, 9 T^{2}

s (5) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 49 = 122, 5

Vậy a) $s (T) = \int_{0}^{T} 9, 8 t d t$ ; b) $122, 5$ m.

3Cách 3. Vận tốc trung bình của chuyển động nhanh dần đều

Định hướng. Vận tốc tăng đều theo thời gian nên vận tốc trung bình bằng trung bình cộng vận tốc đầu và cuối.

v (0) = 0

v (5) = 49

v_{t b} = \frac{0 + 49}{2} = 24, 5

s (5) = 24, 5 \cdot 5 = 122, 5

Vậy quãng đường trong $5$ giây đầu là $122, 5$ m.

Nhận xét. $s (T) = 4, 9 T^{2} = \frac{1}{2} g T^{2}$ với $g = 9, 8$ m/s² — đúng công thức rơi tự do của Vật lí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì ý a bắt buộc viết tích phân; ý b nhẩm bằng Cách 2 (diện tích tam giác) để kiểm tra.

Đáp số. a)

s (T) = \int_{0}^{T} 9, 8 t d t = 4, 9 T^{2}

(m); b)

122, 5

Sai lầm thường gặp. Tính

s (5) = v (5) \cdot 5 = 245

m như chuyển động đều; hoặc viết tích phân

\int_{0}^{T} 9, 8 t d x

lẫn biến

x

với

t

🚀 Mở rộng. Quãng đường rơi trong giây thứ

n

là

s (n) - s (n - 1) = 4, 9 (2 n - 1)

, tỉ lệ với các số lẻ

1 : 3 : 5 : \dots

(quy luật Galilei).

Mở bài này trong app ↗