Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 12. Tích phân

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập2 #trang12–13 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.11★★Trang 12— Tính tích phân bằng ý nghĩa hình học (diện tích hình phẳng)

Bài 4.11 (trang 12). Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x

;
b)

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

Nếu $f$ liên tục, $f (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $\int_{a}^{b} f (x) d x$ bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi $y = f (x)$ , trục $O x$ , $x = a$ , $x = b$ .
Diện tích hình thang $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ ; diện tích hình tròn bán kính $R$ là $π R^{2}$ .
Công thức Newton – Leibniz: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với $F$ là một nguyên hàm của $f$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm dưới dấu tích phân đều không âm trên đoạn lấy tích phân, nên mỗi tích phân chính là diện tích hình thang cong tương ứng. Đồ thị

y = 2 x + 1

là đường thẳng nên hình cần tính là một hình thang thật; còn

y = 16 - x^{2}

bình phương lên được

x^{2} + y^{2} = 16

y \geq 0

, tức là nửa trên đường tròn tâm

O

bán kính

4

. Bẫy ở ý b là lấy nhầm cả nửa hình tròn, trong khi đoạn

[0; 4]

chỉ cắt ra một phần tư.

1Cách 1. Nhận ra hình thang và một phần tư hình tròn

Định hướng. Vẽ hình thang cong rồi đọc ra hình quen thuộc: ý a là hình thang vuông, ý b là một phần tư hình tròn.

f (0) = 1

f (3) = 7

, chiều cao

h = 3

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = \frac{( 1 + 7 ) \cdot 3}{2} = 12

y = 16 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 16, y \geq 0

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{4} π \cdot 4^{2} = 4 π

Vậy a) $12$ ; b) $4 π$ .

2Cách 2. Cắt hình thành những mảnh đơn giản hơn

Định hướng. Ý a cắt hình thang thành tam giác và hình chữ nhật; ý b dùng tính đối xứng của nửa hình tròn trên $[- 4; 4]$ .

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = \int_{0}^{3} 2 x d x + \int_{0}^{3} 1 d x

= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 9 + 3 = 12

16 - (- x)^{2} = 16 - x^{2}

nên đồ thị đối xứng qua

O y

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} 16 - x^{2} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot 4 ^{2}}{2} = 4 π

Vậy a) $12$ ; b) $4 π$ .

3Cách 3. Kiểm lại bằng nguyên hàm (ý a) và đổi biến lượng giác (ý b, mở rộng)

Định hướng. Ý a có nguyên hàm sơ cấp nên dùng ngay Newton – Leibniz; ý b đặt $x = 4 sin u$ để khử căn (kĩ thuật ngoài SGK, chỉ dùng để đối chiếu).

\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = (x^{2} + x)_{0}^{3} = 9 + 3 - 0 = 12

x = 4 sin u

u \in [0; \frac{π}{2}]

d x = 4 cos u d u

16 - x^{2} = 4 cos u

\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 16 cos^{2} u d u = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 8 (1 + cos 2 u) d u

= (8 u + 4 sin 2 u)_{0}^{\frac{π}{2}} = 4 π

Vậy a) $12$ ; b) $4 π$ .

Nhận xét. Ý b không có nguyên hàm trong bảng cơ bản của lớp 12, nên cách hình học là con đường chính; phép đổi biến chỉ xác nhận lại con số $4 π$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề đã yêu cầu dùng ý nghĩa hình học, chỉ cần nhận đúng hình rồi áp một công thức diện tích.

Đáp số. a)

12

; b)

4 π

Sai lầm thường gặp. Ở ý b lấy diện tích cả nửa hình tròn

\frac{π \cdot 4 ^{2}}{2} = 8 π

vì quên cận dưới là

0

chứ không phải

- 4

; hoặc nhầm bán kính là

16

rồi ra

64 π

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int_{0}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{4}

và

\int_{- R}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.12★Trang 12— Tính chất tuyến tính của tích phân

Bài 4.12 (trang 12). Cho

\int_{0}^{5} f (x) d x = 6

và

\int_{0}^{5} g (x) d x = 2

. Hãy tính:
a)

\int_{0}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x

;
b)

\int_{0}^{5} [2 f (x) - 3 g (x)] d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với $F^{'} = f$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho biểu thức của

f

g

mà chỉ cho giá trị hai tích phân trên cùng đoạn

[0; 5]

— dấu hiệu phải dùng tính chất tuyến tính. Hai ý chỉ khác nhau một dấu, nên có thể tính cặp tổng – hiệu để kiểm tra chéo. Bẫy là nhân hệ số vào sai tích phân hoặc quên đổi dấu ở ý b.

1Cách 1. Áp trực tiếp tính chất tuyến tính

Định hướng. Tách tích phân của tổng thành tổng các tích phân, đưa hệ số ra ngoài.

\int_{0}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x = 2 \int_{0}^{5} f (x) d x + 3 \int_{0}^{5} g (x) d x

= 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 18

\int_{0}^{5} [2 f (x) - 3 g (x)] d x = 2 \int_{0}^{5} f (x) d x - 3 \int_{0}^{5} g (x) d x

= 2 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 6

Vậy a) $18$ ; b) $6$ .

2Cách 2. Qua nguyên hàm

F

G

Định hướng. Gọi $F$ , $G$ là nguyên hàm của $f$ , $g$ thì $2 F \pm 3 G$ là nguyên hàm của $2 f \pm 3 g$ ; chỉ cần hai hiệu số đã biết.

F (5) - F (0) = 6

G (5) - G (0) = 2

\int_{0}^{5} [2 f (x) + 3 g (x)] d x = [2 F (5) + 3 G (5)] - [2 F (0) + 3 G (0)]

= 2 [F (5) - F (0)] + 3 [G (5) - G (0)] = 12 + 6 = 18

\int_{0}^{5} [2 f (x) - 3 g (x)] d x = 2 [F (5) - F (0)] - 3 [G (5) - G (0)] = 12 - 6 = 6

Vậy a) $18$ ; b) $6$ .

3Cách 3. Tính tổng và hiệu hai kết quả

Định hướng. Gọi hai tích phân cần tìm là $A$ , $B$ ; cộng và trừ chúng sẽ triệt tiêu từng hàm, cho một hệ rất gọn.

A + B = \int_{0}^{5} 4 f (x) d x = 4 \cdot 6 = 24

A - B = \int_{0}^{5} 6 g (x) d x = 6 \cdot 2 = 12

A = \frac{24 + 12}{2} = 18

B = \frac{24 - 12}{2} = 6

Vậy a) $18$ ; b) $6$ .

Nhận xét. Không cần biết $f$ , $g$ cụ thể: mọi cặp hàm liên tục có hai tích phân $6$ và $2$ trên $[0; 5]$ đều cho cùng đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng cho mỗi ý; Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh khi đề trắc nghiệm hỏi cả tổng lẫn hiệu.

Đáp số. a)

18

; b)

6

Sai lầm thường gặp. Viết

\int_{0}^{5} 2 f (x) \cdot 3 g (x) d x

hoặc nghĩ

\int (f g) = \intf \cdot \intg

— tính tuyến tính chỉ đúng cho tổng và tích với hằng số; ở ý b quên đổi dấu nên ra

18

thay vì

6

🚀 Mở rộng. Nếu thêm

\int_{5}^{8} f (x) d x = - 1

thì

\int_{0}^{8} f (x) d x = 6 + (- 1) = 5

— ghép tính chất cộng đoạn với tính tuyến tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.13★★Trang 12— Tích phân của đa thức và hàm luỹ thừa

Bài 4.13 (trang 12). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{1} (1 - 2 x)^{2} d x

;
b)

\int_{1}^{4} \frac{x - 2}{x} d x

Kiến thức cần nhớ

$\intx^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ $(α \neq = - 1)$ .
$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C$ $(a \neq = 0)$ .
$\frac{x - 2}{x} = x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}}$ với $x > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.14★★Trang 13— Tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 4.14 (trang 13). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{2} ∣ 2 x - 1 ∣ d x

;
b)

\int_{- 2}^{3} ∣ x - 1 ∣ d x

Kiến thức cần nhớ

$∣ u ∣ = u$ khi $u \geq 0$ , $∣ u ∣ = - u$ khi $u < 0$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ với $c \in [a; b]$ .
Hàm $∣ x ∣$ có một nguyên hàm là $\frac{x ∣ x ∣}{2}$ trên $R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.15★★Trang 13— Tích phân của hàm số lượng giác

Bài 4.15 (trang 13). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 cos x + 2 sin x) d x

;
b)

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int cos x d x = sin x + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ .
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C$ , $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .
$tan x + cot x = \frac{1}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.16★★Trang 13— Tích phân của hàm số mũ

Bài 4.16 (trang 13). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{1} (3^{x} - 2 e^{x}) d x

;
b)

\int_{0}^{1} \frac{( e ^{x} - 1 ) ^{2}}{2 e ^{x}} d x

Kiến thức cần nhớ

$\inta^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $\inte^{x} d x = e^{x} + C$ .
$\inte^{- x} d x = - e^{- x} + C$ .
$(e^{x} - 1)^{2} = e^{2 x} - 2 e^{x} + 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.17★★★Trang 13— Ứng dụng tích phân: tính biến thiên từ tốc độ thay đổi (lợi nhuận biên)

Bài 4.17 (trang 13). Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hoá bởi

P^{'} (x) = - 0, 0005 x + 12, 2

.
a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ

100

lên

101

đơn vị.
b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ

100

lên

110

đơn vị.

Kiến thức cần nhớ

$P (b) - P (a) = \int_{a}^{b} P^{'} (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} (m x + n) d x = (b - a) (m \cdot \frac{a + b}{2} + n)$ .
$b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.18★★★Trang 13— Giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn

Bài 4.18 (trang 13). Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi

c (t) = 0, 005 t^{2} + 0, 02 t + 12, 5

với

0 \leq t \leq 24

, tính theo tháng.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị trung bình của $f$ trên $[a; b]$ : $\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$\int_{0}^{T} t^{2} d t = \frac{T ^{3}}{3}$ , $\int_{0}^{T} t d t = \frac{T ^{2}}{2}$ .
Với đa thức bậc không quá $3$ : $\int_{a}^{b} f d x = \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.19★★★Trang 13— Hàm cho bởi tích phân có cận trên biến thiên

Bài 4.19 (trang 13). Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong

x

năm có thể được mô hình hoá bởi công thức

C = 5000 25 + 3 \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{4}} d t

.
Tính tổng chi phí sau:
a)

1

năm;
b)

5

năm;
c)

10

năm.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{0}^{x} t^{α} d t = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1}$ $(α > - 1)$ .
$x^{\frac{5}{4}} = x 4 x$ .
Nếu $G (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ thì $G^{'} (x) = f (x)$ và $G (0) = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.20★★Trang 13— Ứng dụng tích phân: quãng đường từ vận tốc

Bài 4.20 (trang 13). Vận tốc

v

của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức

v (t) = 9, 8 t

, trong đó vận tốc

v

tính bằng m/s và thời gian

t

tính bằng giây.
a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong

T

giây đầu tiên dưới dạng tích phân.
b) Tìm quãng đường vật đi được trong

5

giây đầu tiên.

Kiến thức cần nhớ

$s (T) = \int_{0}^{T} v (t) d t$ khi $v (t) \geq 0$ trên $[0; T]$ .
Chuyển động biến đổi đều: vận tốc trung bình bằng $\frac{v _{0} + v}{2}$ .
$\int_{0}^{T} t d t = \frac{T ^{2}}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 11. Nguyên hàm Bài tiếp theo ›Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

📚 Cùng chương: Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Nguyên hàm – Tích phân — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 12. Tích phân

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Đề THPT 2027 – Ứng dụng đạo hàm

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Khảo sát hàm số 12

Nguyên hàm – Tích phân

Toán 12 Toàn diện — cả năm