Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 12. Tích phân

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 12— Bài toán thực tiễn: tìm quãng đường khi biết vận tốc

Mở đầu (trang 12). Một ô tô đang chạy với vận tốc

20

m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v (t) = - 40 t + 20

(m/s), trong đó

t

là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Nếu $s (t)$ là quãng đường thì $s^{'} (t) = v (t)$ ; xe dừng hẳn khi $v (t) = 0$ .
$\int (a t + b) d t = \frac{a t ^{2}}{2} + b t + C$ .
Chuyển động biến đổi đều: $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a s$ và $s = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc là hàm của thời gian và hỏi quãng đường, nên đây là bài "đi ngược đạo hàm": quãng đường

s (t)

có

s^{'} (t) = v (t)

. Mốc thời gian cần tìm trước là lúc xe dừng hẳn, tức

v (t) = 0

. Bẫy là lấy

20

m/s nhân với thời gian phanh như chuyển động đều.

1Cách 1. Tìm hàm quãng đường bằng nguyên hàm

Định hướng. Lấy nguyên hàm của vận tốc, chốt hằng số bằng điều kiện $s (0) = 0$ , rồi thay thời điểm dừng.

v (t) = 0 \Leftrightarrow - 40 t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

s (t) = \int (- 40 t + 20) d t = - 20 t^{2} + 20 t + C

s (0) = 0 \Rightarrow C = 0

s (\frac{1}{2}) = - 20 \cdot \frac{1}{4} + 20 \cdot \frac{1}{2}

s (\frac{1}{2}) = - 5 + 10 = 5

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn đi thêm $5 m$ .

2Cách 2. Diện tích tam giác dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Đồ thị $v = - 40 t + 20$ là đoạn thẳng đi từ điểm $(0; 20)$ xuống điểm $(0, 5; 0)$ ; phần nằm dưới nó là một tam giác vuông, diện tích chính là quãng đường.

v (0) = 20

v (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0, 5

s = \frac{1}{2} \cdot 0, 5 \cdot 20

s = 5

Vậy $s = 5 m$ .

3Cách 3. Công thức của chuyển động chậm dần đều

Định hướng. Hệ số của $t$ trong $v (t)$ chính là gia tốc $a = - 40$ m/s², nên dùng hệ thức độc lập với thời gian.

v_{0} = 20, a = - 40, v = 0

v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a s

0 - 2 0^{2} = 2 \cdot (- 40) \cdot s

- 400 = - 80 s

s = 5

Vậy ô tô còn đi thêm $5 m$ .

Nhận xét. Ba cách trùng số vì gia tốc không đổi. Cách 2 và Cách 3 chỉ dùng được cho chuyển động đều hoặc biến đổi đều; Cách 1 (và tích phân ở Vận dụng 1) dùng được cho mọi hàm vận tốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho bài vận tốc bậc nhất: vẽ nhanh đồ thị là thấy tam giác, hai dòng ra số; gặp vận tốc phức tạp thì chuyển sang Cách 1.

Đáp số.

5

Sai lầm thường gặp. Lấy

20 \cdot 0, 5 = 10

m (coi như xe vẫn chạy đều

20

m/s) — sai vì vận tốc giảm dần về

0

; kết quả đúng chỉ bằng một nửa. Một lỗi khác là giải

- 40 t + 20 = 0

t = 2

do chia ngược.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, xe đang chạy vận tốc

v_{0}

và phanh với gia tốc

- k

(

k > 0

) thì đi thêm

\frac{v _{0}^{2}}{2 k}

mét — quãng đường phanh tỉ lệ với bình phương vận tốc, nên chạy nhanh gấp đôi thì cần quãng phanh gấp bốn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 13— Diện tích hình thang và mối liên hệ với nguyên hàm

HĐ1 (trang 13). Diện tích của hình thang. Kí hiệu

T

là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng

y = x + 1

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 1

x = t

(1 \leq t \leq 4)

(H.4.3).
a) Tính diện tích

S

của

T

khi

t = 4

.
b) Tính diện tích

S (t)

của

T

khi

t \in [1; 4]

.
c) Chứng minh rằng

S (t)

là một nguyên hàm của hàm số

f (t) = t + 1

t \in [1; 4]

và diện tích

S = S (4) - S (1)

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình thang: $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ .
$F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ khi $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in K$ .
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Hình

T

là hình thang vuông có hai đáy nằm trên hai đường thẳng đứng

x = 1

x = t

, độ dài hai đáy là tung độ

y (1) = 2

và

y (t) = t + 1

, chiều cao là

t - 1

. Ý c là trọng tâm: đạo hàm của hàm diện tích lại chính là hàm số vẽ đồ thị — mầm của định nghĩa tích phân. Bẫy: nhầm chiều cao là

t

(quên trừ

1

1Cách 1. Công thức diện tích hình thang

Định hướng. Đọc hai đáy là hai tung độ tại $x = 1$ và $x = t$ , chiều cao là $t - 1$ .

S = \frac{( y ( 1 ) + y ( 4 ) ) \cdot ( 4 - 1 )}{2} = \frac{( 2 + 5 ) \cdot 3}{2} = \frac{21}{2}

S (t) = \frac{( 2 + ( t + 1 ) ) ( t - 1 )}{2}

S (t) = \frac{( t + 3 ) ( t - 1 )}{2} = \frac{t ^{2} + 2 t - 3}{2}

S^{'} (t) = \frac{2 t + 2}{2} = t + 1 = f (t)

với mọi

t \in [1; 4]

S (4) - S (1) = \frac{16 + 8 - 3}{2} - \frac{1 + 2 - 3}{2} = \frac{21}{2} - 0 = \frac{21}{2} = S

Vậy $S = \frac{21}{2}$ ; $S (t) = \frac{t ^{2} + 2 t - 3}{2}$ ; $S (t)$ là một nguyên hàm của $f (t) = t + 1$ trên $[1; 4]$ và $S = S (4) - S (1) = \frac{21}{2}$ .

2Cách 2. Cắt thành hình chữ nhật và tam giác vuông

Định hướng. Kẻ đường nằm ngang $y = 2$ : phía dưới là hình chữ nhật cao $2$ , phía trên là tam giác vuông cân (đường thẳng có hệ số góc $1$ ).

S (t) = 2 (t - 1) + \frac{( t - 1 ) ( t - 1 )}{2}

S (t) = \frac{4 t - 4 + t ^{2} - 2 t + 1}{2} = \frac{t ^{2} + 2 t - 3}{2}

S = S (4) = 2 \cdot 3 + \frac{3 \cdot 3}{2} = 6 + \frac{9}{2} = \frac{21}{2}

S^{'} (t) = (2 (t - 1))^{'} + (\frac{( t - 1 ) ^{2}}{2})^{'} = 2 + (t - 1) = t + 1

S (1) = 0 \Rightarrow S (4) - S (1) = \frac{21}{2} = S

Vậy kết quả trùng Cách 1: $S = \frac{21}{2}$ , $S (t) = \frac{t ^{2} + 2 t - 3}{2}$ và $S^{'} (t) = t + 1$ .

3Cách 3. Hiệu hai tam giác vuông chung đỉnh

(- 1; 0)

Định hướng. Kéo dài đường thẳng $y = x + 1$ tới giao điểm $(- 1; 0)$ với trục hoành: $T$ là tam giác lớn (từ $- 1$ đến $t$ ) bỏ đi tam giác nhỏ (từ $- 1$ đến $1$ ).

S (t) = \frac{( t + 1 ) ( t + 1 )}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}

S (t) = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{2} - 2 = \frac{t ^{2} + 2 t - 3}{2}

S = S (4) = \frac{25}{2} - 2 = \frac{21}{2}

S^{'} (t) = \frac{2 ( t + 1 )}{2} = t + 1 = f (t)

S (4) - S (1) = (\frac{25}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 2) = \frac{21}{2} = S

Vậy $S = \frac{21}{2}$ , $S (t) = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{2} - 2$ là một nguyên hàm của $t + 1$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $G (t) = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{2}$ cũng là một nguyên hàm của $t + 1$ , và $G (4) - G (1) = \frac{25}{2} - 2 = \frac{21}{2}$ — hiệu hai giá trị của nguyên hàm không phụ thuộc nguyên hàm được chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh nhất vì dùng thẳng công thức hình thang; Cách 3 hay nhất về tư duy vì lộ ra ngay "diện tích

=

hiệu hai giá trị của một nguyên hàm".

Đáp số. a)

S = \frac{21}{2}

. b)

S (t) = \frac{t ^{2} + 2 t - 3}{2}

. c)

S^{'} (t) = t + 1

và

S (4) - S (1) = \frac{21}{2} = S

Sai lầm thường gặp. Lấy chiều cao bằng

t

thay vì

t - 1

, ra

S (t) = \frac{( t + 3 ) t}{2}

; khi đó

S (1) = 2 \neq = 0

— vô lí vì với

t = 1

hình thang suy biến thành đoạn thẳng. Một lỗi khác là lấy đáy nhỏ bằng

1

(hoành độ) thay cho tung độ

y (1) = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với đường thẳng

y = m x + n

nằm trên trục hoành ở

[a; t]

thì

S (t) = \frac{m}{2} (t^{2} - a^{2}) + n (t - a)

và luôn có

S^{'} (t) = m t + n

— hàm diện tích luôn là một nguyên hàm của hàm vẽ đồ thị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★★Trang 13— Chứng minh hàm diện tích là nguyên hàm; tính diện tích hình thang cong

HĐ2 (trang 13). Diện tích của hình thang cong. Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị

y = x^{2}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 1

x = 2

. Ta muốn tính diện tích

S

của hình thang cong này.
a) Với mỗi

x \in [1; 2]

, gọi

S (x)

là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục

O x

tại điểm có hoành độ bằng

1

và

x

(H.4.5). Cho

h > 0

sao cho

x + h < 2

. So sánh hiệu

S (x + h) - S (x)

với diện tích hai hình chữ nhật

M N P Q

và

M N E F

(H.4.6). Từ đó suy ra

0 \leq \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq 2 x h + h^{2} .

b) Cho

h < 0

sao cho

x + h > 1

. Tương tự phần a, đánh giá hiệu

S (x) - S (x + h)

và từ đó suy ra

2 x h + h^{2} \leq \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq 0.

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi

h \neq = 0

, ta có

\frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq 2 x ∣ h ∣ + h^{2} .

Từ đó chứng minh

S^{'} (x) = x^{2}

x \in (1; 2)

.
Người ta chứng minh được

S^{'} (1) = 1

S^{'} (2) = 4

, tức là

S (x)

là một nguyên hàm của

x^{2}

trên

[1; 2]

.
d) Từ kết quả của phần c, ta có

S (x) = \frac{x ^{3}}{3} + C

. Sử dụng điều này với lưu ý

S (1) = 0

và diện tích cần tính

S = S (2)

, hãy tính

S

.
Gọi

F (x)

là một nguyên hàm tuỳ ý của

f (x) = x^{2}

trên

[1; 2]

. Hãy so sánh

S

và

F (2) - F (1)

Kiến thức cần nhớ

$y = x^{2}$ đồng biến trên $[1; 2]$ nên $x^{2} \leq t^{2} \leq (x + h)^{2}$ với $x \leq t \leq x + h$ .
Nguyên lí kẹp: nếu $∣ g (h) ∣ \leq u (h)$ và $h \to 0 lim u (h) = 0$ thì $h \to 0 lim g (h) = 0$ .
$S^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h}$ .
Hai nguyên hàm của cùng một hàm trên một đoạn chỉ sai khác một hằng số.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm

y = x^{2}

đồng biến trên

[1; 2]

nên dải hẹp từ

x

đến

x + h

bị kẹp giữa hình chữ nhật thấp (chiều cao

x^{2}

) và hình chữ nhật cao (chiều cao

(x + h)^{2}

) — đó là chìa khoá của cả a và b. Kẹp xong, cho

h \to 0

thì hai vế cùng về

0

, ra đạo hàm. Bẫy ở ý b: khi

h < 0

chiều rộng dải là

- h

, chia cho

h

âm phải đổi chiều bất đẳng thức.

1Cách 1. Kẹp dải hẹp giữa hai hình chữ nhật rồi dùng nguyên hàm

Định hướng. Dải từ $x$ đến $x + h$ chứa hình chữ nhật $M N P Q$ và nằm trong hình chữ nhật $M N E F$ ; kẹp xong chia cho $h$ và cho $h \to 0$ .

S_{M N P Q} \leq S (x + h) - S (x) \leq S_{M N E F}

h \cdot x^{2} \leq S (x + h) - S (x) \leq h \cdot (x + h)^{2}

x^{2} \leq \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} \leq x^{2} + 2 x h + h^{2}

0 \leq \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq 2 x h + h^{2}

(- h) (x + h)^{2} \leq S (x) - S (x + h) \leq (- h) \cdot x^{2}

(x + h)^{2} \leq \frac{S ( x ) - S ( x + h )}{- h} = \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} \leq x^{2}

2 x h + h^{2} \leq \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq 0

h > 0 : \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq 2 x h + h^{2} = 2 x ∣ h ∣ + h^{2}

h < 0 : \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} - x^{2} \leq - (2 x h + h^{2}) \leq 2 x ∣ h ∣ + h^{2}

h \to 0 lim (2 x ∣ h ∣ + h^{2}) = 0 \Rightarrow h \to 0 lim \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} = x^{2}

S^{'} (x) = x^{2}, x \in (1; 2)

S (x) = \frac{x ^{3}}{3} + C, S (1) = \frac{1}{3} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3}

S = S (2) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + C_{1} \Rightarrow F (2) - F (1) = (\frac{8}{3} + C_{1}) - (\frac{1}{3} + C_{1}) = \frac{7}{3}

Vậy $S^{'} (x) = x^{2}$ , $S = \frac{7}{3}$ và $S = F (2) - F (1)$ với mọi nguyên hàm $F$ của $x^{2}$ .

2Cách 2. Tổng diện tích các hình chữ nhật (tổng Riemann)

Định hướng. Chia $[1; 2]$ thành $n$ đoạn bằng nhau, lấy chiều cao tại đầu mút phải; khi $n \to + \infty$ tổng diện tích các hình chữ nhật tiến tới $S$ .

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n} (1 + \frac{k}{n})^{2} = k = 1 \sum n (\frac{1}{n} + \frac{2 k}{n ^{2}} + \frac{k ^{2}}{n ^{3}})

S_{n} = 1 + \frac{2}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + \frac{1}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

S_{n} = 1 + \frac{n + 1}{n} + \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}}

S = n \to + \infty lim S_{n} = 1 + 1 + \frac{2}{6} = \frac{7}{3}

F (2) - F (1) = \frac{2 ^{3}}{3} - \frac{1 ^{3}}{3} = \frac{7}{3} = S

Vậy $S = \frac{7}{3}$ , trùng với $F (2) - F (1)$ .

3Cách 3. Hiệu hai "tam giác cong" dưới parabol (kết quả Archimedes)

Định hướng. Archimedes đã chỉ ra: phần dưới $y = x^{2}$ trên $[0; a]$ có diện tích bằng $\frac{1}{3}$ hình chữ nhật $a \times a^{2}$ . Hình cần tính là phần trên $[0; 2]$ bỏ đi phần trên $[0; 1]$ .

S_{[0; a]} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot a^{2} = \frac{a ^{3}}{3}

S = S_{[0; 2]} - S_{[0; 1]} = \frac{2 ^{3}}{3} - \frac{1 ^{3}}{3}

S = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

Vậy $S = \frac{7}{3}$ .

Nhận xét. Hàm $\frac{a ^{3}}{3}$ của Archimedes chính là một nguyên hàm của $x^{2}$ , nên cả ba cách đều nói một điều: diện tích bằng hiệu hai giá trị của một nguyên hàm — nội dung của Định lí 1 ngay sau đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải đúng yêu cầu của hoạt động và cho kết luận tổng quát

S^{'} (x) = f (x)

; muốn kiểm tra nhanh con số

\frac{7}{3}

thì dùng dòng cuối của Cách 1:

F (2) - F (1)

Đáp số. a), b), c) như lời giải, suy ra

S^{'} (x) = x^{2}

. d)

S = \frac{7}{3}

và

S = F (2) - F (1)

Sai lầm thường gặp. Ở ý b chia hai vế cho

h < 0

mà giữ nguyên chiều bất đẳng thức, ra

x^{2} \leq \frac{S ( x + h ) - S ( x )}{h} \leq (x + h)^{2}

— sai chiều. Ở ý d quên điều kiện

S (1) = 0

rồi lấy luôn

S = S (2) = \frac{8}{3}

🚀 Mở rộng. Lập luận kẹp này dùng được cho mọi hàm liên tục

f

(không cần đồng biến, thay chiều cao hai hình chữ nhật bằng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

f

trên dải), từ đó được Định lí 1:

S = F (b) - F (a)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ3★★Trang 14— Chứng minh hiệu

F (b) - F (a)

không phụ thuộc nguyên hàm

HĐ3 (trang 14). Nhận biết khái niệm tích phân. Giả sử

f (x)

là hàm số liên tục trên đoạn

[a; b]

F (x)

và

G (x)

là hai nguyên hàm tuỳ ý của

f (x)

trên đoạn

[a; b]

. Chứng minh rằng

F (b) - F (a) = G (b) - G (a)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f$ trên $K$ có dạng $F (x) + C$ .
Hàm có đạo hàm bằng $0$ trên một khoảng thì là hằng số trên khoảng đó.
$f^{'} (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $f$ đồng biến (không giảm); $f^{'} (x) \leq 0$ thì $f$ nghịch biến (không tăng).

🧠 Phân tích tư duy

Đề nói "hai nguyên hàm tuỳ ý" của cùng một hàm — dấu hiệu dùng tính chất: chúng chỉ sai khác một hằng số. Hằng số đó xuất hiện ở cả

G (b)

và

G (a)

nên bị triệt tiêu khi lấy hiệu. Cách chặt chẽ hơn là tự chứng minh "sai khác hằng số" bằng đạo hàm của hiệu

G - F

1Cách 1. Dùng dạng

G (x) = F (x) + C

Định hướng. Hai nguyên hàm của cùng một hàm sai khác một hằng số; hằng số này triệt tiêu khi lấy hiệu.

G (x) = F (x) + C

với mọi

x \in [a; b]

G (b) - G (a) = (F (b) + C) - (F (a) + C)

G (b) - G (a) = F (b) - F (a)

Vậy $F (b) - F (a) = G (b) - G (a)$ .

2Cách 2. Đạo hàm của hiệu

H = G - F

Định hướng. Không dùng sẵn tính chất "sai khác hằng số" mà tự chứng minh: hiệu $H = G - F$ có đạo hàm bằng $0$ nên là hằng số.

H (x) = G (x) - F (x), x \in [a; b]

H^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0

H (x) = k

(hằng số) trên

[a; b]

H (b) = H (a) \Leftrightarrow G (b) - F (b) = G (a) - F (a)

H (b) = H (a) \Leftrightarrow F (b) - F (a) = G (b) - G (a)

Vậy $F (b) - F (a) = G (b) - G (a)$ .

3Cách 3. Dùng tính đơn điệu của

H = G - F

Định hướng. $H^{'} (x) = 0$ vừa không âm vừa không dương, nên $H$ vừa không giảm vừa không tăng trên $[a; b]$ .

H^{'} (x) = 0 \geq 0 \Rightarrow H

không giảm trên

[a; b] \Rightarrow H (a) \leq H (b)

H^{'} (x) = 0 \leq 0 \Rightarrow H

không tăng trên

[a; b] \Rightarrow H (a) \geq H (b)

H (a) = H (b) \Leftrightarrow G (a) - F (a) = G (b) - F (b)

H (a) = H (b) \Leftrightarrow F (b) - F (a) = G (b) - G (a)

Vậy $F (b) - F (a) = G (b) - G (a)$ .

Nhận xét. Nhờ kết quả này, hiệu $F (b) - F (a)$ là một số xác định, không phụ thuộc nguyên hàm được chọn — đó là lí do có thể đặt tên cho nó là tích phân $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi viết Cách 1: một dòng là đủ, vì tính chất "hai nguyên hàm sai khác hằng số" đã có trong Bài 11; Cách 2 dùng khi đề yêu cầu chứng minh từ gốc.

Đáp số.

F (b) - F (a) = G (b) - G (a)

vì

G (x) = F (x) + C

Sai lầm thường gặp. Viết

G (x) = F (x) + C_{1}

G (a) = F (a) + C_{2}

với hai hằng số khác nhau ở hai đầu — sai, hằng số là một số duy nhất cho cả đoạn. Một lỗi khác là "chứng minh" bằng một ví dụ cụ thể như

f (x) = x^{2}

; ví dụ không thay được chứng minh tổng quát.

🚀 Mở rộng. Cũng lập luận này cho thấy: nếu

F^{'} (x) = G^{'} (x)

trên

[a; b]

và

F (c) = G (c)

tại một điểm

c

thì

F \equiv G

trên cả đoạn — cơ sở của việc "chốt hằng số

C

" bằng điều kiện ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 1★Trang 15— Tính tích phân bằng bảng nguyên hàm cơ bản

Luyện tập 1 (trang 15). Tính:
a)

\int_{0}^{1} e^{x} d x

;
b)

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x

;
c)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x

;
d)

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{sin ^{2} x}

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x) ∣_{a}^{b}$ .
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ ; $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
$\int sin x d x = - cos x + C$ ; $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn hàm dưới dấu tích phân đều nằm sẵn trong bảng nguyên hàm của Bài 11, nên chỉ việc tìm một nguyên hàm rồi lấy hiệu hai giá trị ở cận trên và cận dưới. Chú ý dấu: nguyên hàm của

sin x

là

- cos x

, của

\frac{1}{sin ^{2} x}

là

- cot x

1Cách 1. Công thức

F (b) - F (a)

với nguyên hàm trong bảng

Định hướng. Tìm một nguyên hàm trong bảng, viết dạng gạch cận rồi thay số.

\int_{0}^{1} e^{x} d x = e^{x} ∣_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ ∣_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = (- cos x) ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = - cos \frac{π}{2} + cos 0 = 0 + 1 = 1

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{sin ^{2} x} = (- cot x) ∣_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = - cot \frac{π}{3} + cot \frac{π}{6}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{sin ^{2} x} = - \frac{3}{3} + 3 = \frac{2 3}{3}

Vậy a) $e - 1$ ; b) $1$ ; c) $1$ ; d) $\frac{2 3}{3}$ .

2Cách 2. Dựng hàm diện tích

S (x)

có

S (a) = 0

(cách của HĐ2)

Định hướng. Tìm nguyên hàm $S$ của hàm dưới dấu tích phân sao cho $S$ bằng $0$ tại cận dưới; khi đó tích phân chính là $S$ tại cận trên.

S (x) = e^{x} + C, S (0) = 1 + C = 0 \Rightarrow C = - 1 \Rightarrow S (1) = e - 1

S (x) = ln x + C, S (1) = C = 0 \Rightarrow S (e) = ln e = 1

S (x) = - cos x + C, S (0) = - 1 + C = 0 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow S (\frac{π}{2}) = 0 + 1 = 1

S (x) = - cot x + C, S (\frac{π}{6}) = - 3 + C = 0 \Rightarrow C = 3

S (\frac{π}{3}) = - \frac{3}{3} + 3 = \frac{2 3}{3}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $e - 1$ ; $1$ ; $1$ ; $\frac{2 3}{3}$ .

3Cách 3. Máy tính cầm tay (kiểm tra)

Định hướng. Dùng phím tích phân $\int_{□}^{□}$ của máy fx-580VN X (chế độ Radian cho c, d) rồi so với giá trị thập phân của đáp số.

\int_{0}^{1} e^{x} d x \approx 1, 71828 \approx e - 1

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = 1

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = 1

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{sin ^{2} x} \approx 1, 1547 \approx \frac{2 3}{3}

Vậy máy xác nhận cả bốn kết quả.

Nhận xét. Máy chỉ để thử lại; lời giải chính phải trình bày bằng nguyên hàm như Cách 1. Với câu d, quên chuyển máy sang Radian sẽ ra số vô nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng gạch cận cho mỗi câu, ít bước nhất; Cách 3 để dò lại dấu ở câu c và d.

Đáp số. a)

e - 1

; b)

1

; c)

1

; d)

\frac{2 3}{3}

Sai lầm thường gặp. Câu c viết nguyên hàm của

sin x

là

cos x

, ra

cos \frac{π}{2} - cos 0 = - 1

— tích phân của hàm không âm mà lại âm là dấu hiệu sai. Câu d viết nguyên hàm là

cot x

(thiếu dấu trừ) ra

- \frac{2 3}{3}

🚀 Mở rộng. Thử tính

\int_{0}^{π} sin x d x

và

\int_{0}^{2 π} sin x d x

: kết quả

2

và

0

— vì sao cái sau bằng

0

dù đồ thị không trùng trục hoành?

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★★Trang 16— Tính tích phân bằng ý nghĩa hình học (diện tích)

Luyện tập 2 (trang 16). Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x

;
b)

\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

Nếu $f (x) \geq 0$ liên tục trên $[a; b]$ thì $\int_{a}^{b} f (x) d x$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi $y = f (x)$ , trục hoành, $x = a$ , $x = b$ .
$y = R^{2} - x^{2}$ là nửa trên của đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ .
Diện tích hình thang $\frac{( a + b ) h}{2}$ ; diện tích hình tròn $π R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu dùng ý nghĩa hình học: hàm dưới dấu tích phân không âm trên đoạn lấy tích phân nên tích phân bằng diện tích hình thang cong. Câu a là hình thang thật (đồ thị là đường thẳng), câu b là nửa hình tròn vì

y = 4 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 4, y \geq 0

. Câu b chưa tính được bằng nguyên hàm sơ cấp trong chương trình, nên hình học là con đường chính.

1Cách 1. Diện tích hình thang và nửa hình tròn

Định hướng. Vẽ đồ thị, nhận ra hình học quen thuộc rồi dùng công thức diện tích.

y (1) = 3, y (3) = 7, h = 3 - 1 = 2

\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = \frac{( 3 + 7 ) \cdot 2}{2} = 10

y = 4 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 4, y \geq 0

(nửa đường tròn tâm

O

R = 2

)

\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x = \frac{1}{2} π \cdot 2^{2} = 2 π

Vậy a) $10$ ; b) $2 π$ .

2Cách 2. Câu a bằng nguyên hàm; câu b bằng đối xứng và một phần tư hình tròn

Định hướng. Câu a kiểm lại bằng định nghĩa tích phân. Câu b: đồ thị đối xứng qua $O y$ , nên chỉ cần phần trên $[0; 2]$ — đó là một phần tư hình tròn.

\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = (x^{2} + x)_{1}^{3} = (9 + 3) - (1 + 1) = 10

\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x = 2 \int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x

\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x = 2 \cdot \frac{1}{4} π \cdot 2^{2} = 2 π

Vậy a) $10$ ; b) $2 π$ .

3Cách 3. Câu a bằng hình chữ nhật cộng tam giác; câu b bằng co giãn từ nửa hình tròn đơn vị

Định hướng. Câu a: kẻ đường ngang $y = 3$ tách hình thang. Câu b: dùng kết quả Ví dụ 4b $\int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x = \frac{π}{2}$ và phép co giãn theo tỉ số $2$ trên cả hai trục (diện tích nhân $2 \cdot 2 = 4$ ).

\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = 2 \cdot 3 + \frac{2 \cdot 4}{2} = 6 + 4 = 10

4 - x^{2} = 2 1 - (\frac{x}{2})^{2}

\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x = 2 \cdot 2 \cdot \int_{- 1}^{1} 1 - u^{2} d u = 4 \cdot \frac{π}{2} = 2 π

Vậy a) $10$ ; b) $2 π$ .

Nhận xét. Cách 3 câu b dùng ý: giãn hình theo phương $O x$ tỉ số $2$ và theo phương $O y$ tỉ số $2$ thì diện tích nhân $4$ — không cần nhớ công thức hình tròn bán kính $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hình ra ngay hình thang và nửa hình tròn, mỗi câu một dòng; câu a có thể thử lại bằng nguyên hàm như Cách 2.

Đáp số. a)

10

; b)

2 π

Sai lầm thường gặp. Câu b lấy diện tích cả hình tròn

4 π

(quên chỉ có nửa trên vì căn bậc hai không âm), hoặc lấy

π R^{2}

với

R = 4

(nhầm

R^{2} = 4

thành

R = 4

) ra

8 π

🚀 Mở rộng. Tổng quát

\int_{- R}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{2}

và

\int_{0}^{R} R^{2} - x^{2} d x = \frac{π R ^{2}}{4}

; thử tính

\int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x

bằng một phần tư hình tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng 1★★Trang 16— Ứng dụng tích phân: quãng đường bằng tích phân của vận tốc

Vận dụng 1 (trang 16). Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu: Một ô tô đang chạy với vận tốc

20

m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v (t) = - 40 t + 20

(m/s), trong đó

t

là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? (Lưu ý

v (t) = s^{'} (t)

Kiến thức cần nhớ

$s^{'} (t) = v (t) \Rightarrow s (T) - s (0) = \int_{0}^{T} v (t) d t$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
Chuyển động biến đổi đều: $s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Gợi ý

v (t) = s^{'} (t)

cho biết

s (t)

là một nguyên hàm của

v (t)

, nên quãng đường trên

[0; T]

là

s (T) - s (0) = \int_{0}^{T} v (t) d t

. Việc đầu tiên là tìm

T

— thời điểm xe dừng,

v (T) = 0

. Vì

v (t) \geq 0

trên

[0; T]

nên quãng đường cũng là diện tích dưới đồ thị vận tốc.

1Cách 1. Tích phân của vận tốc

Định hướng. Tìm thời điểm dừng rồi tích phân vận tốc từ $0$ đến thời điểm đó.

v (T) = 0 \Leftrightarrow - 40 T + 20 = 0 \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}

s = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (- 40 t + 20) d t = (- 20 t^{2} + 20 t)_{0}^{\frac{1}{2}}

s = (- 20 \cdot \frac{1}{4} + 20 \cdot \frac{1}{2}) - 0 = - 5 + 10 = 5

Vậy ô tô còn di chuyển $5 m$ .

2Cách 2. Ý nghĩa hình học: diện tích tam giác

Định hướng. $v (t) \geq 0$ trên $[0; \frac{1}{2}]$ nên tích phân là diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $\frac{1}{2}$ và $v (0) = 20$ .

s = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (- 40 t + 20) d t = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 20

s = 5

Vậy $s = 5 m$ .

3Cách 3. Công thức quãng đường của chuyển động biến đổi đều

Định hướng. Đọc $v_{0} = 20$ m/s, $a = - 40$ m/s² từ $v (t) = v_{0} + a t$ , thời gian phanh $T = 0, 5$ s.

s = v_{0} T + \frac{1}{2} a T^{2}

s = 20 \cdot 0, 5 + \frac{1}{2} \cdot (- 40) \cdot 0, 5^{2}

s = 10 - 5 = 5

Vậy $s = 5 m$ .

Nhận xét. Công thức $s = v_{0} T + \frac{1}{2} a T^{2}$ của Vật lí chính là kết quả của $\int_{0}^{T} (v_{0} + a t) d t$ — tích phân cho ta "chứng minh" công thức đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Bài đặt trong chương tích phân nên trình bày Cách 1; Cách 2 cho con số trong vài giây, dùng để kiểm tra.

Đáp số.

5

Sai lầm thường gặp. Lấy cận trên là

20

(nhầm vận tốc ban đầu với thời gian) rồi tính

\int_{0}^{20} (- 40 t + 20) d t = - 7600

— quãng đường âm là dấu hiệu sai. Hoặc quên tìm thời điểm dừng mà lấy cận

1

giây, ra

0

🚀 Mở rộng. Nếu xe phanh với vận tốc

v (t) = 20 - 40 t + 10 t^{2}

thì không còn là chậm dần đều; vẫn tìm thời điểm dừng rồi tích phân như Cách 1 — Cách 3 không dùng được nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★Trang 16— Tính tích phân đơn giản và phát hiện tính chất tuyến tính, cộng cận

HĐ4 (trang 16). Nhận biết tính chất của tích phân. Tính và so sánh:
a)

\int_{0}^{1} 2 x d x

và

2 \int_{0}^{1} x d x

;
b)

\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x

và

\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x

;
c)

\int_{0}^{3} x d x

và

\int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{3} x d x

Kiến thức cần nhớ

$\int x d x = \frac{x ^{2}}{2} + C$ ; $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$ .
$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ ; $\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý đặt cạnh nhau hai biểu thức mà vế phải là vế trái "tách ra": tách hằng số, tách tổng, tách đoạn lấy tích phân. Chỉ cần tính từng tích phân rồi so sánh; ba kết quả bằng nhau chính là ba tính chất của tích phân. Hàm dưới dấu tích phân không âm nên còn kiểm được bằng diện tích.

1Cách 1. Tính từng tích phân bằng nguyên hàm rồi so sánh

Định hướng. Tính riêng hai vế của mỗi ý bằng công thức $F (b) - F (a)$ .

\int_{0}^{1} 2 x d x = x^{2}_{0}^{1} = 1

2 \int_{0}^{1} x d x = 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2}_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

\int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x = (\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2})_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

\int_{0}^{3} x d x = \frac{x ^{2}}{2}_{0}^{3} = \frac{9}{2}

\int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{3} x d x = \frac{1}{2} + (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}

Vậy ở cả ba ý hai vế bằng nhau: a) $1 = 1$ ; b) $\frac{5}{6} = \frac{5}{6}$ ; c) $\frac{9}{2} = \frac{9}{2}$ .

2Cách 2. Ý nghĩa hình học (diện tích)

Định hướng. Các hàm $2 x$ , $x$ không âm trên đoạn lấy tích phân nên mỗi tích phân là diện tích một tam giác hoặc hình thang dưới đường thẳng.

\int_{0}^{1} 2 x d x = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

\int_{0}^{3} x d x = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2}

\int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{3} x d x = \frac{1}{2} + \frac{( 1 + 3 ) \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}

(tam giác),

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

(một phần ba hình vuông đơn vị, HĐ2)

\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x = \frac{5}{6}

Vậy hai vế mỗi ý bằng nhau, đúng như Cách 1.

3Cách 3. Chứng minh tổng quát bằng nguyên hàm rồi áp dụng

Định hướng. Gọi $F$ , $G$ là nguyên hàm của $f$ , $g$ : khi đó $k F$ và $F + G$ lần lượt là nguyên hàm của $k f$ và $f + g$ — ba đẳng thức đúng với mọi hàm, không riêng số liệu của đề.

\int_{a}^{b} k f (x) d x = k F (b) - k F (a) = k (F (b) - F (a)) = k \int_{a}^{b} f (x) d x

\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = (F (b) + G (b)) - (F (a) + G (a)) = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = (F (c) - F (a)) + (F (b) - F (c)) = F (b) - F (a)

\Rightarrow

k = 2

f (x) = x

; b)

f (x) = x^{2}

g (x) = x

; c)

a = 0

c = 1

b = 3

Vậy ba cặp trong đề luôn bằng nhau, và giá trị là $1$ ; $\frac{5}{6}$ ; $\frac{9}{2}$ .

Nhận xét. Ba đẳng thức ở Cách 3 chính là tính chất 1), 2), 4) trong khung tính chất của tích phân ngay sau hoạt động.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đúng yêu cầu "tính và so sánh", làm nhanh; Cách 3 hay nhất vì giải thích được vì sao luôn bằng nhau với mọi hàm.

Đáp số. a) Cả hai bằng

1

. b) Cả hai bằng

\frac{5}{6}

. c) Cả hai bằng

\frac{9}{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c tính

\int_{1}^{3} x d x = \frac{3 ^{2}}{2} = \frac{9}{2}

(quên trừ giá trị tại cận dưới

1

), dẫn tới tổng

5 \neq = \frac{9}{2}

và kết luận sai là "không bằng nhau".

🚀 Mở rộng. Tính chất nhân hằng số không mở rộng được cho tích: thử so sánh

\int_{0}^{1} x \cdot x d x = \frac{1}{3}

với

\int_{0}^{1} x d x \cdot \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{4}

— tích phân của tích không bằng tích các tích phân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 3★★Trang 17— Tính tích phân bằng tính chất tuyến tính và bảng nguyên hàm

Luyện tập 3 (trang 17). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{0}^{2 π} (2 x + cos x) d x

;
b)

\int_{1}^{2} (3^{x} - \frac{3}{x}) d x

;
c)

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
$\int cos x d x = sin x + C$ ; $\int \frac{d x}{cos ^{2} x} = tan x + C$ ; $\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = - cot x + C$ .
$\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi hàm dưới dấu tích phân là tổng hoặc hiệu của hai hàm có sẵn trong bảng nguyên hàm, nên tách thành hai tích phân rồi tính. Câu c có hai cận

\frac{π}{6}

\frac{π}{3}

đối xứng qua

\frac{π}{4}

— dấu hiệu kết quả có thể triệt tiêu. Bẫy: nguyên hàm của

3^{x}

là

\frac{3 ^{x}}{ln 3}

, không phải

\frac{3 ^{x + 1}}{x + 1}

1Cách 1. Tách tích phân theo tính chất rồi dùng bảng nguyên hàm

Định hướng. Tách tổng, hiệu thành các tích phân cơ bản, gạch cận từng phần.

\int_{0}^{2 π} (2 x + cos x) d x = \int_{0}^{2 π} 2 x d x + \int_{0}^{2 π} cos x d x

\int_{0}^{2 π} (2 x + cos x) d x = x^{2}_{0}^{2 π} + sin x ∣_{0}^{2 π} = 4 π^{2} + (0 - 0) = 4 π^{2}

\int_{1}^{2} (3^{x} - \frac{3}{x}) d x = \frac{3 ^{x}}{ln 3}_{1}^{2} - 3 ln ∣ x ∣ ∣_{1}^{2}

\int_{1}^{2} (3^{x} - \frac{3}{x}) d x = \frac{9 - 3}{ln 3} - 3 (ln 2 - ln 1) = \frac{6}{ln 3} - 3 ln 2

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = (tan x + cot x) ∣_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = (3 + \frac{3}{3}) - (\frac{3}{3} + 3) = 0

Vậy a) $4 π^{2}$ ; b) $\frac{6}{ln 3} - 3 ln 2$ ; c) $0$ .

2Cách 2. Ý nghĩa hình học và chu kì cho câu a; gộp thành một nguyên hàm cho câu c

Định hướng. Câu a: $\int_{0}^{2 π} 2 x d x$ là diện tích tam giác, còn $cos x$ qua trọn một chu kì có phần dương và phần âm bù nhau. Câu c: viết gọn thành một phân thức rồi nhận ra đạo hàm của $\frac{2}{sin 2 x}$ . Câu b tính như Cách 1 vì $3^{x}$ và $\frac{3}{x}$ không có hình quen thuộc.

\int_{0}^{2 π} 2 x d x = \frac{2 π \cdot 4 π}{2} = 4 π^{2}

\int_{0}^{2 π} cos x d x = 0

(diện tích phía trên và phía dưới trục hoành bằng nhau trong một chu kì)

\int_{0}^{2 π} (2 x + cos x) d x = 4 π^{2} + 0 = 4 π^{2}

\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x} = \frac{sin ^{2} x - cos ^{2} x}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x}

(\frac{2}{sin 2 x})^{'} = \frac{- 2 \cdot 2 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x} = \frac{- 4 cos 2 x}{sin ^{2} 2 x}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = \frac{2}{sin 2 x}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = \frac{2}{sin \frac{2 π}{3}} - \frac{2}{sin \frac{π}{3}} = 0

Vậy a) $4 π^{2}$ ; b) $\frac{6}{ln 3} - 3 ln 2$ ; c) $0$ .

3Cách 3. Đối xứng qua

x = \frac{π}{4}

cho câu c; máy tính kiểm tra câu b

Định hướng. Đặt $g (x) = \frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}$ . Thay $x$ bởi $\frac{π}{2} - x$ thì $cos$ và $sin$ đổi chỗ cho nhau, nên $g$ đổi dấu. Đoạn $[\frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ đối xứng qua $\frac{π}{4}$ , nên trên đoạn này đồ thị của $g$ đối xứng qua điểm $(\frac{π}{4}; 0)$ .

g (\frac{π}{2} - x) = \frac{1}{sin ^{2} x} - \frac{1}{cos ^{2} x} = - g (x)

g (x) \leq 0

trên

[\frac{π}{6}; \frac{π}{4}]

g (x) \geq 0

trên

[\frac{π}{4}; \frac{π}{3}]

, hai phần đối xứng qua điểm

(\frac{π}{4}; 0)

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} g (x) d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} g (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} g (x) d x = - A + A = 0

\frac{6}{ln 3} - 3 ln 2 \approx 5, 4614 - 2, 0794 = 3, 3820

; máy tính:

\int_{1}^{2} (3^{x} - \frac{3}{x}) d x \approx 3, 3820

Vậy c) $0$ ; b) khớp với $\frac{6}{ln 3} - 3 ln 2$ .

Nhận xét. Hai cận đối xứng qua $\frac{π}{4}$ và hàm "đổi vai" $sin$ , $cos$ là tín hiệu tích phân bằng $0$ — nhìn ra thì khỏi tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách tích phân và gạch cận là con đường chắc chắn cho cả ba câu; với câu c nên liếc qua đối xứng ở Cách 3 để đoán trước kết quả

0

Đáp số. a)

4 π^{2}

; b)

\frac{6}{ln 3} - 3 ln 2

; c)

0

Sai lầm thường gặp. Câu b viết nguyên hàm của

3^{x}

là

\frac{3 ^{x + 1}}{x + 1}

(áp nhầm công thức luỹ thừa

x^{α}

), hoặc là

3^{x} ln 3

(nhầm với đạo hàm). Câu c viết nguyên hàm của

\frac{1}{sin ^{2} x}

là

cot x

nên ra

tan x - cot x

, dẫn tới

\frac{4 3}{3}

thay vì

0

🚀 Mở rộng. Cùng ý đối xứng:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin ^{n} x - cos ^{n} x}{sin ^{n} x + cos ^{n} x} d x = 0

với mọi

n

, dù không tìm được nguyên hàm sơ cấp gọn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 4★★Trang 17— Tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Luyện tập 4 (trang 17). Tính

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x

Kiến thức cần nhớ

$∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ , $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .
$∣ f (x) ∣ \geq 0$ nên $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ là diện tích dưới đồ thị $y = ∣ f (x) ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không có nguyên hàm trực tiếp cho

∣2 x - 3∣

, nên phải phá dấu giá trị tuyệt đối:

2 x - 3

đổi dấu tại

x = \frac{3}{2}

, nằm trong đoạn

[0; 3]

. Tách tích phân tại

\frac{3}{2}

bằng tính chất cộng cận. Đồ thị là hình chữ V nên còn tính được bằng diện tích hai tam giác.

1Cách 1. Phá dấu giá trị tuyệt đối, tách cận tại

x = \frac{3}{2}

Định hướng. Xét dấu $2 x - 3$ trên $[0; 3]$ , tách thành hai tích phân không còn dấu giá trị tuyệt đối.

∣2 x - 3∣ = 3 - 2 x

trên

[0; \frac{3}{2}]

∣2 x - 3∣ = 2 x - 3

trên

[\frac{3}{2}; 3]

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (3 - 2 x) d x + \int_{\frac{3}{2}}^{3} (2 x - 3) d x

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = (3 x - x^{2})_{0}^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 3 x)_{\frac{3}{2}}^{3}

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = (\frac{9}{2} - \frac{9}{4}) - 0 + (9 - 9) - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2})

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}

Vậy $\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = \frac{9}{2}$ .

2Cách 2. Diện tích hai tam giác dưới đồ thị hình chữ V

Định hướng. Đồ thị $y = ∣2 x - 3∣$ trên $[0; 3]$ gồm hai đoạn thẳng gặp nhau tại $(\frac{3}{2}; 0)$ ; phần dưới đồ thị là hai tam giác vuông.

y (0) = 3, y (\frac{3}{2}) = 0, y (3) = 3

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}

Vậy $\frac{9}{2}$ .

3Cách 3. Đối xứng qua đường thẳng

x = \frac{3}{2}

Định hướng. $∣2 (3 - x) - 3∣ = ∣3 - 2 x ∣ = ∣2 x - 3∣$ nên đồ thị đối xứng qua $x = \frac{3}{2}$ , là trung điểm của $[0; 3]$ ; hai nửa có diện tích bằng nhau.

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = 2 \int_{\frac{3}{2}}^{3} (2 x - 3) d x

\int_{0}^{3} ∣2 x - 3∣ d x = 2 (x^{2} - 3 x)_{\frac{3}{2}}^{3} = 2 [0 - (- \frac{9}{4})] = \frac{9}{2}

Vậy $\frac{9}{2}$ .

Nhận xét. Tích phân của $∣ f (x) ∣$ luôn không âm; nếu ra số âm hoặc ra $0$ (khi quên dấu giá trị tuyệt đối: $\int_{0}^{3} (2 x - 3) d x = 0$ ) là đã sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì áp được cho mọi hàm trong dấu giá trị tuyệt đối; khi hàm bên trong bậc nhất, Cách 2 ra kết quả nhanh nhất để kiểm tra.

Đáp số.

\frac{9}{2}

Sai lầm thường gặp. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi tính

\int_{0}^{3} (2 x - 3) d x = (x^{2} - 3 x)_{0}^{3} = 0

— sai vì hàm âm trên

[0; \frac{3}{2})

làm hai phần diện tích triệt tiêu nhau. Hoặc viết

\int_{0}^{3} (2 x - 3) d x

, cũng ra

0

🚀 Mở rộng. Tổng quát

\int_{0}^{2 m} ∣ x - m ∣ d x = m^{2}

; thử tiếp

\int_{- 2}^{2} ∣ x^{2} - 1∣ d x

, khi hàm bên trong đổi dấu hai lần (tại

x = \pm 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Vận dụng 2★★Trang 17— Giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn

Vận dụng 2 (trang 17). Giá trị trung bình của hàm số liên tục

f (x)

trên đoạn

[a; b]

được định nghĩa là

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

.
Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm

t

giờ trong khoảng thời gian từ

6

giờ sáng đến

12

giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số

T (t) = 20 + 1, 5 (t - 6)

6 \leq t \leq 12

.
Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ

6

giờ sáng đến

12

giờ trưa.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị trung bình của $f$ trên $[a; b]$ : $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$\int (t - 6) d t = \frac{( t - 6 ) ^{2}}{2} + C$ .
Hàm bậc nhất có giá trị trung bình trên $[a; b]$ bằng $\frac{f ( a ) + f ( b )}{2} = f (\frac{a + b}{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức giá trị trung bình, chỉ cần áp với

a = 6

b = 12

f = T

. Vì

T (t)

là hàm bậc nhất nên đồ thị là đoạn thẳng, trung bình còn tính được bằng diện tích hình thang chia cho độ dài đoạn — hoặc chỉ cần lấy trung bình cộng hai đầu.

1Cách 1. Tính tích phân theo định nghĩa giá trị trung bình

Định hướng. Thay vào công thức với $b - a = 6$ , tìm nguyên hàm theo biến $t - 6$ cho gọn.

\overline{T} = \frac{1}{12 - 6} \int_{6}^{12} [20 + 1, 5 (t - 6)] d t

\overline{T} = \frac{1}{6} [20 t + \frac{1 , 5 ( t - 6 ) ^{2}}{2}]_{6}^{12}

\overline{T} = \frac{1}{6} [(240 + \frac{1 , 5 \cdot 36}{2}) - (120 + 0)]

\overline{T} = \frac{1}{6} (267 - 120) = \frac{147}{6} = 24, 5

Vậy nhiệt độ trung bình từ $6$ giờ đến $12$ giờ là $24, 5^{\circ} C$ .

2Cách 2. Diện tích hình thang dưới đồ thị

Định hướng. $T (t) > 0$ và đồ thị là đoạn thẳng, nên tích phân là diện tích hình thang có hai đáy $T (6)$ , $T (12)$ và chiều cao $6$ .

T (6) = 20, T (12) = 20 + 1, 5 \cdot 6 = 29

\int_{6}^{12} T (t) d t = \frac{( 20 + 29 ) \cdot 6}{2} = 147

\overline{T} = \frac{147}{6} = 24, 5

Vậy $\overline{T} = 24, 5^{\circ} C$ .

3Cách 3. Trung bình của hàm bậc nhất bằng giá trị tại trung điểm

Định hướng. Với hàm bậc nhất, phần trên và phần dưới giá trị giữa đối xứng nhau qua trung điểm $t = 9$ nên bù trừ nhau: trung bình bằng giá trị tại trung điểm.

\overline{T} = T (\frac{6 + 12}{2}) = T (9)

\overline{T} = 20 + 1, 5 \cdot (9 - 6) = 20 + 4, 5 = 24, 5

Vậy $24, 5^{\circ} C$ .

Nhận xét. Ý nghĩa hình học: hình chữ nhật cao $24, 5$ trên đoạn $[6; 12]$ có cùng diện tích $147$ với hình thang dưới đồ thị — "san phẳng" đồ thị ta được giá trị trung bình. Cách 3 chỉ đúng cho hàm bậc nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày Cách 1 vì đề hỏi theo định nghĩa tích phân; Cách 3 cho đáp số trong một dòng, dùng để kiểm tra.

Đáp số.

24, 5^{\circ} C

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

\frac{1}{b - a}

và trả lời

147^{\circ}

C; hoặc chia cho

12

(lấy

b

thay cho

b - a

) ra

12, 25^{\circ}

C — thấp hơn cả nhiệt độ lúc

6

giờ, vô lí.

🚀 Mở rộng. Nếu nhiệt độ được mô hình hoá bởi hàm bậc hai, chẳng hạn

T (t) = 20 + 3 (t - 6) - 0, 25 (t - 6)^{2}

, thì trung bình không còn bằng giá trị tại trung điểm — bắt buộc phải tích phân như Cách 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.8★★Trang 18— Tính tích phân bằng ý nghĩa hình học (diện tích)

4.8 (trang 18). Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x

;
b)

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$f (x) \geq 0$ liên tục trên $[a; b]$ thì $\int_{a}^{b} f (x) d x$ là diện tích hình thang cong tương ứng.
$y = R^{2} - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = R^{2}, y \geq 0$ .
Diện tích hình thang $\frac{( a + b ) h}{2}$ ; diện tích nửa hình tròn $\frac{π R ^{2}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm dưới dấu tích phân đều không âm trên đoạn lấy tích phân, nên tích phân bằng diện tích hình phẳng dưới đồ thị. Câu a đồ thị là đường thẳng nên hình là hình thang vuông; câu b

y = 9 - x^{2}

là nửa trên đường tròn tâm

O

bán kính

3

, hình là nửa hình tròn.

1Cách 1. Diện tích hình thang và nửa hình tròn

Định hướng. Nhận dạng hình dưới đồ thị rồi áp công thức diện tích.

y (1) = 3, y (2) = 5, h = 2 - 1 = 1

\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x = \frac{( 3 + 5 ) \cdot 1}{2} = 4

y = 9 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 9, y \geq 0

(nửa đường tròn tâm

O

R = 3

)

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x = \frac{1}{2} π \cdot 3^{2} = \frac{9 π}{2}

Vậy a) $4$ ; b) $\frac{9 π}{2}$ .

2Cách 2. Câu a bằng nguyên hàm; câu b bằng đối xứng qua

O y

Định hướng. Câu a kiểm bằng định nghĩa tích phân. Câu b: hàm chẵn, đoạn đối xứng, nên bằng hai lần một phần tư hình tròn.

\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x = (x^{2} + x)_{1}^{2} = (4 + 2) - (1 + 1) = 4

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x = 2 \int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x = 2 \cdot \frac{1}{4} π \cdot 3^{2} = \frac{9 π}{2}

Vậy a) $4$ ; b) $\frac{9 π}{2}$ .

3Cách 3. Hình chữ nhật cộng tam giác; co giãn từ nửa hình tròn đơn vị

Định hướng. Câu a: đường ngang $y = 3$ chia hình thang thành hình chữ nhật $1 \times 3$ và tam giác vuông cạnh $1$ và $2$ . Câu b: $9 - x^{2} = 3 1 - (\frac{x}{3})^{2}$ , giãn nửa hình tròn đơn vị theo tỉ số $3$ trên cả hai trục (diện tích nhân $9$ ), dùng Ví dụ 4b.

\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x = 1 \cdot 3 + \frac{1 \cdot 2}{2} = 3 + 1 = 4

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x = 3 \cdot 3 \cdot \int_{- 1}^{1} 1 - u^{2} d u

\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x = 9 \cdot \frac{π}{2} = \frac{9 π}{2}

Vậy a) $4$ ; b) $\frac{9 π}{2}$ .

Nhận xét. Câu b không có nguyên hàm sơ cấp gọn trong chương trình lớp 12, nên ý nghĩa hình học là con đường chính; câu a thì cả hình học lẫn nguyên hàm đều nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra hình thang và nửa hình tròn, mỗi câu một dòng; câu a nên thử lại bằng nguyên hàm (Cách 2) trong vài giây.

Đáp số. a)

4

; b)

\frac{9 π}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu b lấy cả hình tròn

9 π

, hoặc nhầm bán kính

R = 9

\frac{81 π}{2}

. Câu a lấy nhầm hai đáy là hoành độ

1

và

2

thay cho tung độ

3

và

5

, ra

\frac{3}{2}

🚀 Mở rộng. Thử

\int_{0}^{3} 9 - x^{2} d x = \frac{9 π}{4}

(một phần tư hình tròn) và

\int_{- 3}^{3} (2 + 9 - x^{2}) d x = 12 + \frac{9 π}{2}

(hình chữ nhật ghép nửa hình tròn).

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.9★Trang 18— Tính tích phân nhờ tính chất tuyến tính

4.9 (trang 18). Cho

\int_{0}^{3} f (x) d x = 5

và

\int_{0}^{3} g (x) d x = 2

. Tính:
a)

\int_{0}^{3} [f (x) + g (x)] d x

;
b)

\int_{0}^{3} [f (x) - g (x)] d x

;
c)

\int_{0}^{3} 3 f (x) d x

;
d)

\int_{0}^{3} [2 f (x) - 3 g (x)] d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với $F$ là một nguyên hàm của $f$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho biểu thức của

f

g

mà chỉ cho hai con số, nên không thể tìm nguyên hàm; con đường duy nhất là tính chất tuyến tính của tích phân để tách về

\int_{0}^{3} f

và

\int_{0}^{3} g

. Mọi tích phân cùng cận

0

và

3

nên áp thẳng được.

1Cách 1. Tính chất tuyến tính của tích phân

Định hướng. Tách tổng, hiệu, đưa hằng số ra ngoài rồi thay hai giá trị đã cho.

\int_{0}^{3} [f (x) + g (x)] d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} g (x) d x = 5 + 2 = 7

\int_{0}^{3} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{3} g (x) d x = 5 - 2 = 3

\int_{0}^{3} 3 f (x) d x = 3 \int_{0}^{3} f (x) d x = 3 \cdot 5 = 15

\int_{0}^{3} [2 f (x) - 3 g (x)] d x = 2 \int_{0}^{3} f (x) d x - 3 \int_{0}^{3} g (x) d x = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 4

Vậy a) $7$ ; b) $3$ ; c) $15$ ; d) $4$ .

2Cách 2. Qua nguyên hàm

F

G

Định hướng. Gọi $F$ , $G$ là nguyên hàm của $f$ , $g$ trên $[0; 3]$ ; dữ kiện cho biết $F (3) - F (0) = 5$ và $G (3) - G (0) = 2$ . Nguyên hàm của $α f + β g$ là $α F + β G$ .

F (3) - F (0) = 5, G (3) - G (0) = 2

\int_{0}^{3} [α f (x) + β g (x)] d x = [α F (3) + β G (3)] - [α F (0) + β G (0)]

\int_{0}^{3} [α f (x) + β g (x)] d x = α [F (3) - F (0)] + β [G (3) - G (0)] = 5 α + 2 β

α = 1, β = 1

5 + 2 = 7

; b)

α = 1, β = - 1

5 - 2 = 3

α = 3, β = 0

15

; d)

α = 2, β = - 3

10 - 6 = 4

Vậy a) $7$ ; b) $3$ ; c) $15$ ; d) $4$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng một cặp hàm cụ thể thoả đề

Định hướng. Kết quả chỉ phụ thuộc hai con số $5$ và $2$ , nên chọn thử hai hàm hằng thoả đề: $f (x) = \frac{5}{3}$ , $g (x) = \frac{2}{3}$ trên $[0; 3]$ .

\int_{0}^{3} \frac{5}{3} d x = \frac{5}{3} \cdot 3 = 5, \int_{0}^{3} \frac{2}{3} d x = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2

\int_{0}^{3} (\frac{5}{3} + \frac{2}{3}) d x = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7

\int_{0}^{3} (\frac{5}{3} - \frac{2}{3}) d x = 1 \cdot 3 = 3

\int_{0}^{3} 3 \cdot \frac{5}{3} d x = 5 \cdot 3 = 15

\int_{0}^{3} (\frac{10}{3} - 2) d x = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4

Vậy bốn kết quả khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 chỉ là phép thử (đúng vì Cách 1 đã chứng minh kết quả không phụ thuộc hàm cụ thể); không dùng thay lời giải. Nó rất hữu ích để dò nhanh đáp án trắc nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu đúng một dòng tách tích phân rồi thay số.

Đáp số. a)

7

; b)

3

; c)

15

; d)

4

Sai lầm thường gặp. Câu d quên nhân hệ số:

5 - 2 = 3

; hoặc nhân nhầm

2 \cdot 5 - 3 \cdot 5

. Một sai lầm khác nghiêm trọng hơn là "suy ra"

\int_{0}^{3} f (x) g (x) d x = 5 \cdot 2 = 10

— tích phân không có tính chất nhân với tích hai hàm.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1

thì dùng tính chất cộng cận tính được

\int_{1}^{3} f (x) d x = 5 - 1 = 4

; và

\int_{3}^{0} f (x) d x = - 5

theo quy ước đổi cận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.10★★Trang 18— Tính tích phân: khai triển, tách tổng, hàm hợp bậc nhất, giá trị tuyệt đối

4.10 (trang 18). Tính:
a)

\int_{0}^{3} (3 x - 1)^{2} d x

;
b)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + sin x) d x

;
c)

\int_{0}^{1} (e^{2 x} + 3 x^{2}) d x

;
d)

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x

Kiến thức cần nhớ

$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C$ vì $[(a x + b)^{n + 1}]^{'} = a (n + 1) (a x + b)^{n}$ .
$\int e^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k} + C$ $(k \neq = 0)$ ; $\int sin x d x = - cos x + C$ .
$∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ , $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ ; $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu là bốn kĩ thuật: câu a khai triển bình phương (hoặc nhận ra nguyên hàm của

(a x + b)^{2}

), câu b và c tách tổng rồi dùng bảng, riêng

e^{2 x}

có nguyên hàm

\frac{e ^{2 x}}{2}

; câu d phá dấu giá trị tuyệt đối tại

x = - \frac{1}{2}

nằm trong

[- 1; 2]

. Bẫy lớn nhất là câu d quên đổi dấu trên

[- 1; - \frac{1}{2}]

1Cách 1. Khai triển, tách tổng và phá dấu giá trị tuyệt đối

Định hướng. Đưa mỗi hàm về tổng các hàm có sẵn trong bảng nguyên hàm; câu d xét dấu $2 x + 1$ rồi tách cận.

\int_{0}^{3} (3 x - 1)^{2} d x = \int_{0}^{3} (9 x^{2} - 6 x + 1) d x = (3 x^{3} - 3 x^{2} + x)_{0}^{3}

\int_{0}^{3} (3 x - 1)^{2} d x = (81 - 27 + 3) - 0 = 57

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + sin x) d x = (x - cos x) ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = (\frac{π}{2} - 0) - (0 - 1) = \frac{π}{2} + 1

\int_{0}^{1} (e^{2 x} + 3 x^{2}) d x = (\frac{e ^{2 x}}{2} + x^{3})_{0}^{1} = (\frac{e ^{2}}{2} + 1) - \frac{1}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2}

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x = \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x - 1) d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{2} (2 x + 1) d x

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x = (- x^{2} - x)_{- 1}^{- \frac{1}{2}} + (x^{2} + x)_{- \frac{1}{2}}^{2}

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x = (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) - 0 + 6 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{13}{2}

Vậy a) $57$ ; b) $\frac{π}{2} + 1$ ; c) $\frac{e ^{2} + 1}{2}$ ; d) $\frac{13}{2}$ .

2Cách 2. Nguyên hàm của hàm hợp bậc nhất cho câu a; ý nghĩa hình học cho câu b, d

Định hướng. Câu a không khai triển mà dùng thẳng nguyên hàm của $(3 x - 1)^{2}$ . Câu b: $1 + sin x \geq 0$ , tích phân của $1$ là diện tích hình chữ nhật. Câu d: đồ thị $y = ∣2 x + 1∣$ là hình chữ V, dưới nó là hai tam giác vuông.

\int_{0}^{3} (3 x - 1)^{2} d x = \frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{9}_{0}^{3} = \frac{8 ^{3} - ( - 1 ) ^{3}}{9} = \frac{513}{9} = 57

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + sin x) d x = \frac{π}{2} \cdot 1 + (- cos x) ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} + 1

y (- 1) = 1, y (- \frac{1}{2}) = 0, y (2) = 5

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 5 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{13}{2}

(\frac{e ^{2 x}}{2})^{'} = e^{2 x}

nên

\int_{0}^{1} e^{2 x} d x = \frac{e ^{2} - 1}{2}

\int_{0}^{1} 3 x^{2} d x = 1

, tổng

\frac{e ^{2} + 1}{2}

Vậy a) $57$ ; b) $\frac{π}{2} + 1$ ; c) $\frac{e ^{2} + 1}{2}$ ; d) $\frac{13}{2}$ .

3Cách 3. Viết

e^{2 x} = (e^{2})^{x}

cho câu c; bù phần âm cho câu d; máy tính kiểm tra câu a, b

Định hướng. Câu c: coi $e^{2 x}$ là hàm mũ cơ số $a = e^{2}$ để dùng $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a}$ . Câu d: tích phân của $2 x + 1$ (chưa lấy trị tuyệt đối) đã tính phần trên $[- 1; - \frac{1}{2}]$ với dấu âm, nên cộng thêm hai lần phần đó là bù đúng.

\int_{0}^{1} (e^{2})^{x} d x = \frac{( e ^{2} ) ^{x}}{ln e ^{2}}_{0}^{1} = \frac{e ^{2} - 1}{2}

\int_{0}^{1} (e^{2 x} + 3 x^{2}) d x = \frac{e ^{2} - 1}{2} + x^{3}_{0}^{1} = \frac{e ^{2} - 1}{2} + 1 = \frac{e ^{2} + 1}{2}

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x = \int_{- 1}^{2} (2 x + 1) d x + 2 \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x - 1) d x

\int_{- 1}^{2} ∣2 x + 1∣ d x = (x^{2} + x)_{- 1}^{2} + 2 (- x^{2} - x)_{- 1}^{- \frac{1}{2}} = 6 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{13}{2}

a), b) máy tính:

\int_{0}^{3} (3 x - 1)^{2} d x = 57

;

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + sin x) d x \approx 2, 5708 \approx \frac{π}{2} + 1

Vậy a) $57$ ; b) $\frac{π}{2} + 1$ ; c) $\frac{e ^{2} + 1}{2}$ ; d) $\frac{13}{2}$ .

Nhận xét. Câu d ở Cách 3: trên $[- 1; - \frac{1}{2}]$ hàm $2 x + 1$ âm, nên tích phân của $2 x + 1$ đã "trừ oan" phần đó một lần; cộng lại hai lần phần diện tích $\frac{1}{4}$ là bù đúng. Cách này rất nhanh khi đoạn âm ngắn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: câu a dùng nguyên hàm của hàm hợp (Cách 2) để khỏi khai triển; câu b, c, d dùng Cách 1 vì đường đi rõ ràng, ít nhầm dấu.

Đáp số. a)

57

; b)

\frac{π}{2} + 1

; c)

\frac{e ^{2} + 1}{2}

; d)

\frac{13}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu a viết nguyên hàm của

(3 x - 1)^{2}

là

\frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{3}

(quên chia cho hệ số

3

của

x

) ra

171

. Câu c viết nguyên hàm của

e^{2 x}

là

e^{2 x}

e^{2}

. Câu d bỏ dấu giá trị tuyệt đối, tính

\int_{- 1}^{2} (2 x + 1) d x = 6

🚀 Mở rộng. Tổng quát

\int_{α}^{β} (a x + b)^{n} d x = \frac{( a β + b ) ^{n + 1} - ( a α + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )}

; thử với

\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{5} d x = \frac{3 ^{6} - 1}{12} = \frac{182}{3}

khi khai triển là rất dài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.11★★★Trang 18— Độ dịch chuyển và quãng đường: tích phân của vận tốc và của trị tuyệt đối vận tốc

4.11 (trang 18). Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm

t

(giây) là

v (t) = t^{2} - t - 6

(m/s).
a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian

1 \leq t \leq 4

, tức là tính

\int_{1}^{4} v (t) d t

.
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính

\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t

Kiến thức cần nhớ

Độ dịch chuyển trên $[a; b]$ : $s (b) - s (a) = \int_{a}^{b} v (t) d t$ .
Quãng đường đi được trên $[a; b]$ : $\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ .
$t^{2} - t - 6 = (t - 3) (t + 2) < 0$ khi $- 2 < t < 3$ , $> 0$ khi $t > 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc

v (t) = (t - 3) (t + 2)

đổi dấu tại

t = 3

nằm trong

[1; 4]

: vật đi ngược chiều trên

(1; 3)

rồi quay lại đi xuôi trên

(3; 4]

. Độ dịch chuyển cho phép hai đoạn bù trừ nhau (tích phân của

v

), còn quãng đường thì cộng dồn độ dài (tích phân của

∣ v ∣

) — phải tách tại

t = 3

1Cách 1. Tính trực tiếp, tách cận tại

t = 3

cho câu b

Định hướng. Tìm một nguyên hàm $F (t)$ của $v (t)$ , dùng chung cho cả hai câu; câu b xét dấu $v$ để bỏ trị tuyệt đối.

F (t) = \frac{t ^{3}}{3} - \frac{t ^{2}}{2} - 6 t

F (1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 = - \frac{37}{6}, F (3) = 9 - \frac{9}{2} - 18 = - \frac{27}{2}, F (4) = \frac{64}{3} - 8 - 24 = - \frac{32}{3}

\int_{1}^{4} v (t) d t = F (4) - F (1) = - \frac{32}{3} + \frac{37}{6} = - \frac{27}{6} = - \frac{9}{2}

v (t) \leq 0

trên

[1; 3]

v (t) \geq 0

trên

[3; 4]

\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t = - \int_{1}^{3} v (t) d t + \int_{3}^{4} v (t) d t

\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t = - [F (3) - F (1)] + [F (4) - F (3)]

\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t = - (- \frac{27}{2} + \frac{37}{6}) + (- \frac{32}{3} + \frac{27}{2}) = \frac{22}{3} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6}

Vậy a) độ dịch chuyển $- \frac{9}{2} m$ (vật lùi $4, 5$ m so với vị trí lúc $t = 1$ ); b) quãng đường $\frac{61}{6} m$ .

2Cách 2. Câu b qua công thức

∣ v ∣ = v - 2 v^{-}

(dùng lại kết quả câu a)

Định hướng. Trên $[1; 4]$ có $∣ v ∣ = v$ ở chỗ $v \geq 0$ và $∣ v ∣ = v - 2 v$ ở chỗ $v < 0$ . Vậy quãng đường bằng độ dịch chuyển trừ đi hai lần phần tích phân âm trên $[1; 3]$ .

\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t = \int_{1}^{4} v (t) d t - 2 \int_{1}^{3} v (t) d t

\int_{1}^{3} v (t) d t = F (3) - F (1) = - \frac{27}{2} + \frac{37}{6} = - \frac{22}{3}

\int_{1}^{4} ∣ v (t) ∣ d t = - \frac{9}{2} - 2 \cdot (- \frac{22}{3}) = - \frac{27}{6} + \frac{88}{6} = \frac{61}{6}

Vậy b) $\frac{61}{6}$ m, khớp Cách 1.

3Cách 3. Theo dõi vị trí: tính quãng đường từ các điểm quay đầu

Định hướng. Đặt $s (t) = F (t) - F (1)$ là vị trí so với lúc $t = 1$ . Vật đổi chiều duy nhất tại $t = 3$ , nên quãng đường là tổng độ dài hai chặng $∣ s (3) - s (1) ∣ + ∣ s (4) - s (3) ∣$ .

s (1) = 0

s (3) = F (3) - F (1) = - \frac{22}{3}

s (4) = F (4) - F (1) = - \frac{9}{2}

s (4) - s (1) = - \frac{9}{2}

∣ s (3) - s (1) ∣ + ∣ s (4) - s (3) ∣ = \frac{22}{3} + - \frac{9}{2} + \frac{22}{3} = \frac{22}{3} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6}

Vậy a) $- \frac{9}{2}$ m; b) $\frac{61}{6}$ m.

Nhận xét. Vật lùi $\frac{22}{3} \approx 7, 33$ m rồi tiến $\frac{17}{6} \approx 2, 83$ m: cuối cùng lệch $- 4, 5$ m so với lúc đầu nhưng đã đi tổng cộng $\approx 10, 17$ m. Hình vẽ cho thấy hai con số chính là diện tích hai mảnh giữa đồ thị $v$ và trục hoành.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, tính sẵn

F (1)

F (3)

F (4)

một lần rồi dùng cho cả hai câu; Cách 2 gọn nhất khi đã có đáp số câu a.

Đáp số. a)

- \frac{9}{2}

m; b)

\frac{61}{6}

Sai lầm thường gặp. Câu b lấy trị tuyệt đối của đáp số câu a, trả lời

\frac{9}{2}

m — sai vì hai chặng ngược chiều đã bị bù trừ. Hoặc tách cận tại

t = - 2

(nghiệm còn lại của

v

), không nằm trong

[1; 4]

nên không cần.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, quãng đường luôn lớn hơn hoặc bằng độ lớn độ dịch chuyển:

\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t \geq \int_{a}^{b} v (t) d t

, dấu bằng khi vận tốc không đổi dấu trên

[a; b]

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 4.12★★Trang 18— Ứng dụng tích phân trong kinh tế: biến thiên của hàm khi biết đạo hàm

4.12 (trang 18). Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức

P^{'} (x) = - 0, 0005 x + 12, 2

. Ở đây

P (x)

là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được

x

đơn vị sản phẩm.
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ

100

lên

101

đơn vị sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ

100

lên

110

đơn vị sản phẩm.

Kiến thức cần nhớ

$P (b) - P (a) = \int_{a}^{b} P^{'} (x) d x$ .
Giá trị trung bình của hàm bậc nhất trên $[a; b]$ bằng giá trị tại trung điểm $\frac{a + b}{2}$ .
Diện tích hình thang $\frac{( a + b ) h}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đạo hàm

P^{'} (x)

và hỏi sự thay đổi của

P

giữa hai mức doanh số, tức

P (b) - P (a)

— đúng bằng tích phân của

P^{'}

từ

a

đến

b

. Không cần biết

P (x)

cụ thể (hằng số

C

tự triệt tiêu). Hàm

P^{'}

bậc nhất nên còn tính được bằng diện tích hình thang.

1Cách 1. Tích phân của lợi nhuận biên

Định hướng. Sự thay đổi của lợi nhuận là tích phân của $P^{'}$ trên đoạn doanh số tương ứng.

P (101) - P (100) = \int_{100}^{101} (- 0, 0005 x + 12, 2) d x

P (101) - P (100) = (- 0, 00025 x^{2} + 12, 2 x)_{100}^{101}

P (101) - P (100) = - 0, 00025 (10 1^{2} - 10 0^{2}) + 12, 2 \cdot 1 = - 0, 05025 + 12, 2 = 12, 14975

P (110) - P (100) = (- 0, 00025 x^{2} + 12, 2 x)_{100}^{110}

P (110) - P (100) = - 0, 00025 (11 0^{2} - 10 0^{2}) + 12, 2 \cdot 10 = - 0, 525 + 122 = 121, 475

Vậy a) lợi nhuận tăng $12, 14975$ triệu đồng; b) lợi nhuận tăng $121, 475$ triệu đồng.

2Cách 2. Diện tích hình thang dưới đồ thị lợi nhuận biên

Định hướng. $P^{'} (x) > 0$ trên $[100; 110]$ và là hàm bậc nhất, nên tích phân là diện tích hình thang có hai đáy $P^{'} (a)$ , $P^{'} (b)$ .

P^{'} (100) = - 0, 05 + 12, 2 = 12, 15, P^{'} (101) = 12, 1495, P^{'} (110) = 12, 145

P (101) - P (100) = \frac{12 , 15 + 12 , 1495}{2} \cdot 1 = 12, 14975

P (110) - P (100) = \frac{12 , 15 + 12 , 145}{2} \cdot 10 = 121, 475

Vậy a) $12, 14975$ triệu đồng; b) $121, 475$ triệu đồng.

3Cách 3. Lợi nhuận biên tại trung điểm nhân với độ dài đoạn

Định hướng. Với hàm bậc nhất, giá trị trung bình trên đoạn bằng giá trị tại trung điểm, nên tích phân bằng $P^{'} (\frac{a + b}{2}) \cdot (b - a)$ .

P (101) - P (100) = P^{'} (100, 5) \cdot 1 = - 0, 0005 \cdot 100, 5 + 12, 2 = 12, 14975

P (110) - P (100) = P^{'} (105) \cdot 10 = (- 0, 0525 + 12, 2) \cdot 10 = 121, 475

Vậy a) $12, 14975$ triệu đồng; b) $121, 475$ triệu đồng.

Nhận xét. Nhiều khi người ta xấp xỉ $P (101) - P (100) \approx P^{'} (100) = 12, 15$ ; sai số chỉ $0, 00025$ triệu đồng vì lợi nhuận biên giảm rất chậm. Đó là ý nghĩa của "lợi nhuận biên": lợi nhuận thu thêm khi bán thêm một sản phẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày Cách 1 (đúng tinh thần tích phân); Cách 3 cho kết quả nhanh nhất và tránh phải bình phương số lớn.

Đáp số. a) Tăng

12, 14975

triệu đồng. b) Tăng

121, 475

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Lấy

P^{'} (101) - P^{'} (100) = - 0, 0005

và kết luận lợi nhuận giảm — nhầm "sự thay đổi của

P

" thành sự thay đổi của

P^{'}

. Hoặc tính nguyên hàm

- 0, 0005 x^{2} + 12, 2 x

(quên chia đôi hệ số), ra

12, 0995

ở câu a.

🚀 Mở rộng. Lợi nhuận biên bằng

0

tại

x = 24400

sản phẩm; từ mức đó trở đi bán thêm lại làm giảm lợi nhuận — thử tính

P (25000) - P (24000) = P^{'} (24500) \cdot 1000 = - 50

triệu đồng: bán thêm

1000

sản phẩm lại làm lợi nhuận giảm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 4.13★★★Trang 18— Giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn (tham số)

4.13 (trang 18). Giả sử vận tốc

v

của dòng máu ở khoảng cách

r

từ tâm của động mạch bán kính

R

không đổi, có thể được mô hình hoá bởi công thức

v = k (R^{2} - r^{2})

, trong đó

k

là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với

r

) của động mạch trong khoảng

0 \leq r \leq R

. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị trung bình của $f$ trên $[a; b]$ : $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$\int (R^{2} - r^{2}) d r = R^{2} r - \frac{r ^{3}}{3} + C$ ( $R$ là hằng số).
Diện tích phần dưới parabol $y = x^{2}$ trên $[0; a]$ bằng $\frac{1}{3}$ hình chữ nhật $a \times a^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Vận tốc trung bình đối với

r

" là giá trị trung bình của hàm

v (r)

trên đoạn

[0; R]

, tức

\frac{1}{R} \int_{0}^{R} v (r) d r

— biến lấy tích phân là

r

, còn

k

và

R

là hằng số. Vận tốc lớn nhất đạt tại tâm

r = 0

vì

R^{2} - r^{2}

lớn nhất khi

r = 0

1Cách 1. Tích phân theo biến

r

Định hướng. Áp định nghĩa giá trị trung bình với $a = 0$ , $b = R$ , coi $k$ , $R$ là hằng số.

\overline{v} = \frac{1}{R - 0} \int_{0}^{R} k (R^{2} - r^{2}) d r

\overline{v} = \frac{k}{R} (R^{2} r - \frac{r ^{3}}{3})_{0}^{R}

\overline{v} = \frac{k}{R} (R^{3} - \frac{R ^{3}}{3}) = \frac{k}{R} \cdot \frac{2 R ^{3}}{3} = \frac{2}{3} k R^{2}

v_{m a x} = v (0) = k R^{2}

\frac{v}{v _{m a x}} = \frac{\frac{2}{3} k R ^{2}}{k R ^{2}} = \frac{2}{3}

Vậy vận tốc trung bình là $\overline{v} = \frac{2}{3} k R^{2}$ , bằng $\frac{2}{3}$ vận tốc lớn nhất $k R^{2}$ (đạt tại tâm động mạch).

2Cách 2. Tách tích phân theo tính chất tuyến tính

Định hướng. Tách thành hiệu hai tích phân: của hằng số $R^{2}$ (hình chữ nhật) và của $r^{2}$ .

\int_{0}^{R} k (R^{2} - r^{2}) d r = k \int_{0}^{R} R^{2} d r - k \int_{0}^{R} r^{2} d r

\int_{0}^{R} k (R^{2} - r^{2}) d r = k R^{2} \cdot R - k \cdot \frac{R ^{3}}{3} = \frac{2 k R ^{3}}{3}

\overline{v} = \frac{1}{R} \cdot \frac{2 k R ^{3}}{3} = \frac{2}{3} k R^{2}

\overline{v} = \frac{2}{3} v_{m a x}

Vậy $\overline{v} = \frac{2}{3} k R^{2} = \frac{2}{3} v_{m a x}$ .

3Cách 3. Hình học của parabol (tỉ lệ

\frac{1}{3}

của Archimedes)

Định hướng. Đồ thị $v (r)$ trên $[0; R]$ là cung parabol từ $(0; k R^{2})$ xuống $(R; 0)$ . Phần dưới cung parabol bằng hình chữ nhật $R \times k R^{2}$ trừ phần "tam giác cong" phía trên, mà phần này là phần dưới $y = k r^{2}$ , chiếm $\frac{1}{3}$ hình chữ nhật.

\int_{0}^{R} k r^{2} d r = \frac{1}{3} \cdot R \cdot k R^{2}

\int_{0}^{R} k (R^{2} - r^{2}) d r = R \cdot k R^{2} - \frac{1}{3} R \cdot k R^{2} = \frac{2}{3} R \cdot k R^{2}

\overline{v} = \frac{1}{R} \cdot \frac{2}{3} R \cdot k R^{2} = \frac{2}{3} k R^{2}

Vậy $\overline{v} = \frac{2}{3} k R^{2}$ , tức bằng $\frac{2}{3}$ vận tốc lớn nhất.

Nhận xét. Kết quả $\frac{2}{3}$ không phụ thuộc $k$ và $R$ : với mọi động mạch theo mô hình này, máu chảy trung bình (theo bán kính) bằng hai phần ba tốc độ ở tâm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một chuỗi tích phân ra ngay

\frac{2}{3} k R^{2}

; Cách 3 giải thích trực quan vì sao lại là

\frac{2}{3}

Đáp số.

\overline{v} = \frac{2}{3} k R^{2}

; vận tốc lớn nhất

v_{m a x} = k R^{2}

(tại

r = 0

), nên

\overline{v} = \frac{2}{3} v_{m a x}

Sai lầm thường gặp. Lấy nguyên hàm theo nhầm biến, coi

R

là biến:

\int R^{2} d r = \frac{R ^{3}}{3}

— sai,

R

là hằng số nên

\int R^{2} d r = R^{2} r

. Hoặc lấy trung bình cộng hai đầu

\frac{v ( 0 ) + v ( R )}{2} = \frac{k R ^{2}}{2}

— chỉ đúng với hàm bậc nhất, ở đây

v

là hàm bậc hai.

🚀 Mở rộng. Nếu tính trung bình "theo diện tích tiết diện" (mỗi vòng tròn bán kính

r

có trọng số

2 π r

) thì

\overline{v} = \frac{1}{π R ^{2}} \int_{0}^{R} k (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{k R ^{2}}{2}

— chỉ bằng nửa vận tốc lớn nhất (định luật Poiseuille).

Mở bài này trong app ↗