Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.21★★Trang 17— Diện tích hình phẳng cho bằng hình vẽ

Bài 4.21 (trang 17). Tính diện tích của các hình phẳng được tô màu dưới đây:
a) Hình 4.4: hình phẳng gồm hai phần

A_{1}

A_{2}

giới hạn bởi đồ thị

f (x) = x^{2} - 4

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 5

;
b) Hình 4.5: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y = - x^{2} + 9

, đường thẳng

y = 2 x + 1

và trục tung (hai đồ thị cắt nhau tại điểm

(2; 5)

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ và $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
Viên phân parabol $y = k (x - x_{1}) (x - x_{2})$ với trục hoành có diện tích $\frac{∣ k ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ .
Diện tích hình thang vuông bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a:

x^{2} - 4

đổi dấu tại

x = 2

, nên phần

A_{1}

nằm dưới trục và phần

A_{2}

nằm trên trục — phải tách tại

x = 2

. Ý b: hình nằm giữa hai đồ thị, cận là

x = 0

(trục tung) và hoành độ giao điểm

x = 2

; parabol ở trên.

1Cách 1. Xét dấu, bỏ trị tuyệt đối

Định hướng. Tách ý a tại nghiệm $x = 2$ ; ý b lấy parabol trừ đường thẳng.

S = \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x + \int_{2}^{5} (x^{2} - 4) d x = (4 x - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{2} + (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{2}^{5}

S = \frac{16}{3} + [(\frac{125}{3} - 20) - (\frac{8}{3} - 8)] = \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3}

S = \int_{0}^{2} [(- x^{2} + 9) - (2 x + 1)] d x = \int_{0}^{2} (- x^{2} - 2 x + 8) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + 8 x)_{0}^{2} = - \frac{8}{3} - 4 + 16 = \frac{28}{3}

Vậy a) $\frac{97}{3}$ (với $A_{1} = \frac{16}{3}$ , $A_{2} = 27$ ); b) $\frac{28}{3}$ .

2Cách 2. Trị tuyệt đối từng tích phân; hiệu hai diện tích

Định hướng. Ý a không cần xét dấu, chỉ cần nghiệm $x = 2$ . Ý b: miền dưới parabol trừ hình thang vuông dưới đường thẳng.

S = \int_{0}^{2} (x^{2} - 4) d x + \int_{2}^{5} (x^{2} - 4) d x = - \frac{16}{3} + ∣ 27 ∣ = \frac{97}{3}

\int_{0}^{2} (9 - x^{2}) d x = 18 - \frac{8}{3} = \frac{46}{3}

, hình thang đáy

1

và

5

, cao

2

\frac{( 1 + 5 ) \cdot 2}{2} = 6

S = \frac{46}{3} - 6 = \frac{28}{3}

Vậy a) $\frac{97}{3}$ ; b) $\frac{28}{3}$ .

3Cách 3. Viên phân parabol (ý a) và tích phân theo

y

(ý b)

Định hướng. Ý a: $A_{1}$ là nửa viên phân của parabol $y = x^{2} - 4$ giữa hai nghiệm $\pm 2$ ; $A_{2}$ suy ra từ tích phân có dấu. Ý b: cắt ngang, với $1 \leq y \leq 5$ lát cắt đi từ trục tung tới đường thẳng, với $5 \leq y \leq 9$ tới parabol.

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot 4 ^{3}}{6} = \frac{16}{3}, A_{2} = \int_{0}^{5} (x^{2} - 4) d x + A_{1} = (\frac{125}{3} - 20) + \frac{16}{3} = 27

S = A_{1} + A_{2} = \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3}

S = \int_{1}^{5} \frac{y - 1}{2} d y + \int_{5}^{9} 9 - y d y = 4 + - \frac{2}{3} (9 - y)^{\frac{3}{2}}_{5}^{9} = 4 + \frac{16}{3} = \frac{28}{3}

Vậy a) $\frac{97}{3}$ ; b) $\frac{28}{3}$ .

Nhận xét. Ở ý a, tích phân có dấu $\int_{0}^{5} (x^{2} - 4) d x = A_{2} - A_{1} = \frac{65}{3}$ — đúng bằng hiệu hai phần; muốn ra diện tích thì phải CỘNG hai phần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho ý a (chỉ cần nghiệm) và Cách 1 cho ý b (một tích phân).

Đáp số. a)

\frac{97}{3}

; b)

\frac{28}{3}

Sai lầm thường gặp. Ý a: tính

\int_{0}^{5} (x^{2} - 4) d x = \frac{65}{3}

rồi coi là diện tích (phần

A_{1}

bị trừ đi thay vì cộng). Ý b: lấy cận trên

x = 3

(nghiệm của

- x^{2} + 9 = 0

) thay cho hoành độ giao điểm

x = 2

🚀 Mở rộng. Ở ý b nếu thêm trục hoành làm biên (miền giữa parabol, đường thẳng và hai trục) thì diện tích bằng bao nhiêu? Gợi ý: cộng thêm hình thang dưới đường thẳng, được

\frac{46}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.22★★Trang 17— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Bài 4.22 (trang 17). Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)

y = (x - 1)^{3}

y = x - 1

x = 0

x = 1

;
b)

y = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x

y = x^{2} + 3 x

x = - 3

x = 0

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
Nếu $f - g$ không đổi dấu trên $[a; b]$ thì $S = \int_{a}^{b} (f - g) d x$ .
Hàm lẻ: $\int_{- a}^{0} ∣ f ∣ = \int_{0}^{a} ∣ f ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu hai hàm đều phân tích được thành tích: a)

(x - 1)^{3} - (x - 1) = x (x - 1) (x - 2)

; b)

x^{3} + x^{2} - 6 x = x (x + 3) (x - 2)

. Nghiệm của hiệu chỉ rơi vào đầu mút đoạn, nên trên mỗi đoạn hiệu không đổi dấu — không phải tách.

1Cách 1. Phân tích nhân tử, xét dấu

Định hướng. Viết hiệu thành tích để đọc dấu trên đoạn.

(x - 1)^{3} - (x - 1) = (x - 1) [(x - 1)^{2} - 1] = x (x - 1) (x - 2) \geq 0, \forall x \in [0; 1]

S = \int_{0}^{1} [(x - 1)^{3} - (x - 1)] d x = (\frac{( x - 1 ) ^{4}}{4} - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2})_{0}^{1} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}

(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) - (x^{2} + 3 x) = x^{3} + x^{2} - 6 x = x (x + 3) (x - 2) \geq 0, \forall x \in [- 3; 0]

S = \int_{- 3}^{0} (x^{3} + x^{2} - 6 x) d x = (\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2})_{- 3}^{0} = 0 - (\frac{81}{4} - 9 - 27) = \frac{63}{4}

Vậy a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{63}{4}$ .

2Cách 2. Không xét dấu: lấy trị tuyệt đối của tích phân

Định hướng. Hiệu không có nghiệm bên trong đoạn nên chỉ cần tính tích phân thường rồi lấy trị tuyệt đối; ý a đặt $u = x - 1$ cho gọn.

S = \int_{- 1}^{0} (u^{3} - u) d u = (\frac{u ^{4}}{4} - \frac{u ^{2}}{2})_{- 1}^{0} = 0 - (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}

S = \int_{- 3}^{0} (x^{3} + x^{2} - 6 x) d x = - \frac{81}{4} + 9 + 27 = \frac{63}{4}

Vậy a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{63}{4}$ .

3Cách 3. Tính lẻ (ý a) và ghép diện tích hai phía trục hoành (ý b)

Định hướng. Ý a: $u^{3} - u$ là hàm lẻ, lật sang đoạn $[0; 1]$ . Ý b: trên $[- 3; 0]$ đường bậc ba $x (x + 3) (x - 1) \geq 0$ nằm trên trục, parabol $x (x + 3) \leq 0$ nằm dưới trục, nên $S$ là tổng hai diện tích.

S = \int_{0}^{1} (u - u^{3}) d u = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

S_{1} = \int_{- 3}^{0} (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) d x = 0 - (\frac{81}{4} - 18 - \frac{27}{2}) = \frac{45}{4}

S_{2} = \int_{- 3}^{0} x^{2} + 3 x d x = \frac{1 \cdot 3 ^{3}}{6} = \frac{9}{2}

S = S_{1} + S_{2} = \frac{45}{4} + \frac{18}{4} = \frac{63}{4}

Vậy a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{63}{4}$ .

Nhận xét. Cách 3 ý b cho thấy rõ hình: phần trên trục (dưới đường bậc ba) và phần dưới trục (trên parabol) ghép lại; cả hai đồ thị cùng đi qua $(- 3; 0)$ và $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nghiệm của hiệu chỉ ở đầu mút nên lấy trị tuyệt đối một tích phân là xong.

Đáp số. a)

\frac{1}{4}

; b)

\frac{63}{4}

Sai lầm thường gặp. Ý b trừ nhầm:

(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) - (x^{2} + 3 x) = x^{3} + x^{2}

(quên

- 6 x

) dẫn tới

\frac{45}{4}

. Ý a khai triển

(x - 1)^{3} = x^{3} - 1

là sai hằng đẳng thức.

🚀 Mở rộng. Nếu ý b đổi cận thành

x = - 3

x = 2

thì hiệu đổi dấu tại

x = 0

; diện tích thành

\frac{63}{4} + \frac{16}{3} = \frac{253}{12}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.23★★Trang 17— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Bài 4.23 (trang 17). Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)

y = e^{x}

y = x

x = 0

x = 1

;
b)

y = cos x

y = \frac{1}{2}

x = 0

x = \frac{π}{3}

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$ .
$\int ln y d y = y ln y - y + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

a) Trên

[0; 1]

x \leq 1 \leq e^{x}

nên

e^{x}

luôn nằm trên. b)

cos x

nghịch biến trên

[0; \frac{π}{3}]

và

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

, nên

cos x \geq \frac{1}{2}

, chạm nhau đúng tại

x = \frac{π}{3}

1Cách 1. Xét vị trí rồi tính trực tiếp

Định hướng. Bỏ trị tuyệt đối theo đường nằm trên.

S = \int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x = (e^{x} - \frac{2}{3} x x)_{0}^{1} = (e - \frac{2}{3}) - 1 = e - \frac{5}{3}

S = \int_{0}^{\frac{π}{3}} (cos x - \frac{1}{2}) d x = (sin x - \frac{x}{2})_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{3}{2} - \frac{π}{6}

Vậy a) $e - \frac{5}{3}$ ; b) $\frac{3}{2} - \frac{π}{6}$ .

2Cách 2. Hiệu hai diện tích

Định hướng. Miền dưới đường trên trừ miền dưới đường dưới; ở ý b miền dưới $y = \frac{1}{2}$ là hình chữ nhật.

S = \int_{0}^{1} e^{x} d x - \int_{0}^{1} x d x = (e - 1) - \frac{2}{3} = e - \frac{5}{3}

S = \int_{0}^{\frac{π}{3}} cos x d x - \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} = sin \frac{π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{3}{2} - \frac{π}{6}

Vậy a) $e - \frac{5}{3}$ ; b) $\frac{3}{2} - \frac{π}{6}$ .

3Cách 3. Tích phân theo

y

(ý a) và kiểm tra bằng máy tính cầm tay (ý b)

Định hướng. Ý a cắt ngang: với $0 \leq y \leq 1$ lát cắt từ $x = 0$ tới $x = y^{2}$ (đường $y = x$ ); với $1 \leq y \leq e$ lát cắt từ $x = ln y$ (đường $y = e^{x}$ ) tới $x = 1$ .

S = \int_{0}^{1} y^{2} d y + \int_{1}^{e} (1 - ln y) d y = \frac{1}{3} + (e - 1) - (y ln y - y) ∣_{1}^{e}

S = \frac{1}{3} + (e - 1) - [(e - e) - (0 - 1)] = \frac{1}{3} + e - 2 = e - \frac{5}{3}

\int_{0}^{\frac{π}{3}} (cos X - \frac{1}{2}) d X \approx 0, 34243

(chế độ radian), khớp

\frac{3}{2} - \frac{π}{6} \approx 0, 34243

Vậy a) $e - \frac{5}{3} \approx 1, 0516$ ; b) $\frac{3}{2} - \frac{π}{6} \approx 0, 3424$ .

Nhận xét. Ý b cắt ngang sẽ cần hàm ngược của $cos$ (không có trong chương trình), nên chỉ kiểm tra số; ý a cắt ngang lại khả thi nhờ $ln y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2 cho ý b — hình chữ nhật tính nhẩm được).

Đáp số. a)

e - \frac{5}{3}

; b)

\frac{3}{2} - \frac{π}{6}

Sai lầm thường gặp. Ý a thay cận quên

e^{0} = 1

, ra

e - \frac{2}{3}

. Ý b để máy tính ở đơn vị góc là độ (D) thì kết quả số sai hoàn toàn; hoặc viết nguyên hàm của

\frac{1}{2}

là

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Với ý b, tìm

a \in (0; \frac{π}{2})

để miền giữa

y = cos x

y = cos a

x = 0

x = a

có diện tích

sin a - a cos a

; thử lại với

a = \frac{π}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.24★★★Trang 17— Thể tích khối tròn xoay (một đồ thị và hai đồ thị)

Bài 4.24 (trang 17). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh

O x

:
a)

y = 2 x

y = 0

x = 1

x = 4

;
b)

y = 4 x

y = x^{3}

x = 0

x = 2

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Nếu $f (x) \geq g (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ : $V = π \int_{a}^{b} [f^{2} (x) - g^{2} (x)] d x$ .
Khối nón: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là dạng cơ bản

V = π \int f^{2}

. Ý b hình phẳng nằm giữa hai đồ thị (

4 x \geq x^{3}

trên

[0; 2]

vì

x^{2} \leq 4

), cả hai cùng phía trên trục hoành: mặt cắt là hình vành khuyên nên

V = π \int (f^{2} - g^{2})

, KHÔNG phải

π \int (f - g)^{2}

1Cách 1. Công thức thể tích trực tiếp

Định hướng. Ý a bình phương $2 x$ ; ý b dùng hiệu hai bình phương.

V = π \int_{1}^{4} (2 x)^{2} d x = π \int_{1}^{4} 4 x d x = π \cdot 2 x^{2}_{1}^{4} = π (32 - 2) = 30 π

V = π \int_{0}^{2} [(4 x)^{2} - (x^{3})^{2}] d x = π \int_{0}^{2} (16 x^{2} - x^{6}) d x = π (\frac{16 x ^{3}}{3} - \frac{x ^{7}}{7})_{0}^{2}

V = π (\frac{128}{3} - \frac{128}{7}) = π \cdot \frac{896 - 384}{21} = \frac{512 π}{21}

Vậy a) $30 π$ ; b) $\frac{512 π}{21}$ .

2Cách 2. Hiệu hai khối quen thuộc

Định hướng. Ý a: đường $y^{2} = 4 x$ quay quanh $O x$ cho khối paraboloid, thể tích bằng nửa khối trụ ngoại tiếp (tính được từ tích phân). Ý b: khối nón (quay $y = 4 x$ ) bỏ đi khối sinh bởi $y = x^{3}$ .

V = π \int_{0}^{4} 4 x d x - π \int_{0}^{1} 4 x d x = \frac{1}{2} π \cdot 4^{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} π \cdot 2^{2} \cdot 1 = 32 π - 2 π = 30 π

V_{1} = \frac{1}{3} π \cdot 8^{2} \cdot 2 = \frac{128 π}{3}

(khối nón bán kính

8

, cao

2

)

V_{2} = π \int_{0}^{2} x^{6} d x = \frac{128 π}{7}, V = V_{1} - V_{2} = \frac{128 π}{3} - \frac{128 π}{7} = \frac{512 π}{21}

Vậy a) $30 π$ ; b) $\frac{512 π}{21}$ .

3Cách 3. Đổi biến

Định hướng. Ý a đặt $t = x$ ; ý b đặt $x = 2 u$ để đưa về đoạn $[0; 1]$ .

x = t^{2}, d x = 2 t d t

V = π \int_{1}^{2} 4 t^{2} \cdot 2 t d t = 8 π \cdot \frac{t ^{4}}{4}_{1}^{2} = 2 π (16 - 1) = 30 π

x = 2 u, d x = 2 d u

V = π \int_{0}^{1} (64 u^{2} - 64 u^{6}) \cdot 2 d u = 128 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) = \frac{512 π}{21}

Vậy a) $30 π$ ; b) $\frac{512 π}{21}$ .

Nhận xét. Nếu lỡ tính $π \int_{0}^{2} (4 x - x^{3})^{2} d x$ thì được $\frac{1024 π}{105}$ — sai, vì phần lõi quanh trục (khối của $y = x^{3}$ ) không bị khoét đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nhớ khẩu quyết "bình phương rồi mới trừ" cho khối có lõi rỗng.

Đáp số. a)

V = 30 π

; b)

V = \frac{512 π}{21}

Sai lầm thường gặp. Ý b dùng

π \int_{0}^{2} (4 x - x^{3})^{2} d x = \frac{1024 π}{105}

— sai vì mặt cắt là hình vành khuyên bán kính ngoài

4 x

, trong

x^{3}

, diện tích

π (16 x^{2} - x^{6})

, không phải

π (4 x - x^{3})^{2}

. Ý a quên bình phương hệ số:

(2 x)^{2} = 4 x

chứ không phải

2 x

🚀 Mở rộng. Quay miền của ý b quanh

O x

nhưng chỉ lấy

0 \leq x \leq 1

V = π (\frac{16}{3} - \frac{1}{7}) = \frac{109 π}{21}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.25★★★Trang 17— Diện tích và thể tích khối tròn xoay của cùng một hình phẳng

Bài 4.25 (trang 17). Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x

y = \frac{x ^{2}}{8}

x = 0

x = 4

.
a) Tính diện tích hình phẳng.
b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} (f - g) d x$ , $V = π \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2}) d x$ khi $f \geq g \geq 0$ .
$\int x d x = \frac{2}{3} x x + C$ .
Khối paraboloid có thể tích bằng nửa khối trụ ngoại tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

x \geq \frac{x ^{2}}{8} \Leftrightarrow x^{\frac{3}{2}} \leq 8 \Leftrightarrow x \leq 4

, nên trên

[0; 4]

đường

y = x

nằm trên, hai đường gặp nhau ở hai đầu mút. Diện tích dùng hiệu

f - g

; thể tích dùng hiệu bình phương

f^{2} - g^{2}

(khối có lõi rỗng).

1Cách 1. Tính trực tiếp theo

x

Định hướng. Đường trên là $x$ , đường dưới là $\frac{x ^{2}}{8}$ trên cả đoạn.

S = \int_{0}^{4} (x - \frac{x ^{2}}{8}) d x = (\frac{2}{3} x x - \frac{x ^{3}}{24})_{0}^{4} = \frac{16}{3} - \frac{64}{24} = \frac{16}{3} - \frac{8}{3} = \frac{8}{3}

V = π \int_{0}^{4} (x - \frac{x ^{4}}{64}) d x = π (\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{5}}{320})_{0}^{4} = π (8 - \frac{1024}{320}) = π (8 - \frac{16}{5}) = \frac{24 π}{5}

Vậy a) $S = \frac{8}{3}$ ; b) $V = \frac{24 π}{5}$ .

2Cách 2. Theo

y

(ý a) và hiệu hai khối (ý b)

Định hướng. Cắt ngang ở độ cao $y \in [0; 2]$ : lát cắt đi từ $x = y^{2}$ (đường $x$ ) tới $x = 8 y$ (đường $\frac{x ^{2}}{8}$ ). Ý b: khối paraboloid của $y = x$ trừ khối của $y = \frac{x ^{2}}{8}$ .

S = \int_{0}^{2} (22 y - y^{2}) d y = 22 \cdot \frac{2}{3} \cdot 22 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} - \frac{8}{3} = \frac{8}{3}

V_{1} = \frac{1}{2} π \cdot 2^{2} \cdot 4 = 8 π, V_{2} = π \int_{0}^{4} \frac{x ^{4}}{64} d x = π \cdot \frac{4 ^{5}}{320} = \frac{16 π}{5}

V = V_{1} - V_{2} = 8 π - \frac{16 π}{5} = \frac{24 π}{5}

Vậy a) $\frac{8}{3}$ ; b) $\frac{24 π}{5}$ .

3Cách 3. Co giãn

x = 4 u

Định hướng. Đặt $x = 4 u$ , $u \in [0; 1]$ : $x = 2 u$ , $\frac{x ^{2}}{8} = 2 u^{2}$ , $d x = 4 d u$ ; mọi tích phân về đoạn $[0; 1]$ .

S = \int_{0}^{1} (2 u - 2 u^{2}) \cdot 4 d u = 8 (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = \frac{8}{3}

V = π \int_{0}^{1} (4 u - 4 u^{4}) \cdot 4 d u = 16 π (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{24 π}{5}

Vậy a) $\frac{8}{3}$ ; b) $\frac{24 π}{5}$ .

Nhận xét. Phép co giãn $x = 4 u$ , $y = 2 v$ biến hình này thành miền giữa $v = u^{2}$ và $v = u$ trên $[0; 1]$ , diện tích nhân $4 \cdot 2 = 8$ , nên $S = 8 \cdot \frac{1}{3}$ — gấp $8$ lần miền trong Bài 4.15d SGK.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 3 giúp tính nhẩm vì mọi cận trở thành

0

và

1

Đáp số. a)

S = \frac{8}{3}

; b)

V = \frac{24 π}{5}

Sai lầm thường gặp. Ý b tính

π \int_{0}^{4} (x - \frac{x ^{2}}{8})^{2} d x

— sai công thức cho khối có lõi rỗng. Hoặc bình phương

\frac{x ^{2}}{8}

thành

\frac{x ^{4}}{8}

(quên bình phương mẫu), dẫn tới

V = 8 π - \frac{128 π}{5} < 0

vô lí.

🚀 Mở rộng. Quay cùng hình quanh trục

O y

: vai trò đổi chỗ,

V = π \int_{0}^{2} (8 y - y^{4}) d y = π (16 - \frac{32}{5}) = \frac{48 π}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.26★★★Trang 18— Thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt

Bài 4.26 (trang 18). Tính thể tích của vật thể

B

, biết đáy của

B

là hình tròn bán kính

2

và các mặt cắt vuông góc với mặt đáy là những hình vuông (H.4.6).

Kiến thức cần nhớ

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .
Dây cung của đường tròn $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ tại hoành độ $x$ dài $2 R^{2} - x^{2}$ .
Thể tích khối cầu bán kính $R$ : $\frac{4}{3} π R^{3}$ ; mặt cắt của khối cầu tại $x$ có diện tích $π (R^{2} - x^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đặt đáy là hình tròn

x^{2} + y^{2} \leq 4

và cắt bằng các mặt phẳng vuông góc với trục

O x

(và vuông góc với mặt đáy). Mỗi mặt cắt là hình vuông có một cạnh là dây cung của đáy tại hoành độ

x

, dài

2 4 - x^{2}

. Có

S (x)

rồi chỉ việc áp

V = \int_{- 2}^{2} S (x) d x

1Cách 1. Lập

S (x)

và tích phân

Định hướng. Cạnh hình vuông là dây cung tại $x$ .

S (x) = (2 4 - x^{2})^{2} = 4 (4 - x^{2}), - 2 \leq x \leq 2

V = \int_{- 2}^{2} 4 (4 - x^{2}) d x = 4 (4 x - \frac{x ^{3}}{3})_{- 2}^{2} = 4 [(8 - \frac{8}{3}) - (- 8 + \frac{8}{3})] = 4 \cdot \frac{32}{3} = \frac{128}{3}

Vậy $V = \frac{128}{3}$ .

2Cách 2. Tính chẵn và viên phân parabol

Định hướng. $S (x)$ là hàm chẵn; $\int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x$ là diện tích viên phân parabol $y = 4 - x^{2}$ với hai nghiệm $\pm 2$ .

V = 4 \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = 4 \cdot \frac{1 \cdot 4 ^{3}}{6} = 4 \cdot \frac{32}{3} = \frac{128}{3}

V = 8 \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x = 8 (8 - \frac{8}{3}) = \frac{128}{3}

Vậy $V = \frac{128}{3}$ .

3Cách 3. So sánh với khối cầu bán kính 2 (nguyên lí Cavalieri)

Định hướng. Khối cầu bán kính $2$ có mặt cắt tại $x$ là hình tròn diện tích $π (4 - x^{2})$ ; mặt cắt của $B$ luôn gấp $\frac{4}{π}$ lần, nên thể tích cũng gấp $\frac{4}{π}$ lần.

S (x) = 4 (4 - x^{2}) = \frac{4}{π} \cdot π (4 - x^{2})

V = \frac{4}{π} \cdot \frac{4}{3} π \cdot 2^{3} = \frac{4}{π} \cdot \frac{32 π}{3} = \frac{128}{3}

Vậy $V = \frac{128}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần tính tích phân nào: hai vật thể có mặt cắt tỉ lệ theo cùng một hằng số thì thể tích tỉ lệ theo đúng hằng số đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2 để tính nhẩm); Cách 3 là mẹo đẹp để kiểm tra.

Đáp số.

V = \frac{128}{3}

(đơn vị thể tích).

Sai lầm thường gặp. Lấy cạnh hình vuông là

4 - x^{2}

(nửa dây cung), ra

\frac{32}{3}

— chỉ bằng

\frac{1}{4}

đáp số. Hoặc lấy cận từ

0

tới

2

quên nửa còn lại, ra

\frac{64}{3}

🚀 Mở rộng. Nếu mặt cắt là tam giác đều cạnh bằng dây cung thì

S (x) = 3 (4 - x^{2})

và

V = \frac{32 3}{3}

; nếu là nửa hình tròn đường kính bằng dây cung thì

V = \frac{16 π}{3}

(nửa khối cầu).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.27★★★Trang 18— Ứng dụng diện tích: thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất

Bài 4.27 (trang 18). Hàm cầu và hàm cung của một sản phẩm được mô hình hoá bởi:
Hàm cầu:

p = - 0, 2 x + 8

và hàm cung:

p = 0, 1 x + 2

, trong đó

x

là số đơn vị sản phẩm,

p

là giá của mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng triệu đồng). Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất đối với sản phẩm này.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cân bằng: $D (x_{0}) = S (x_{0}) = p_{0}$ .
$C S = \int_{0}^{x_{0}} [D (x) - p_{0}] d x$ , $P S = \int_{0}^{x_{0}} [p_{0} - S (x)] d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài cùng dạng Vận dụng 1 của SGK: tìm điểm cân bằng

(x_{0}; p_{0})

trước, vì nó cho cận trên và đường giá ngang. Hai hàm bậc nhất nên mỗi thặng dư là một tam giác vuông — có sẵn cách kiểm tra bằng hình học.

1Cách 1. Tích phân theo định nghĩa

Định hướng. Giải $D (x) = S (x)$ rồi tính hai tích phân.

- 0, 2 x + 8 = 0, 1 x + 2 \Leftrightarrow 0, 3 x = 6 \Leftrightarrow x_{0} = 20, p_{0} = - 0, 2 \cdot 20 + 8 = 4

C S = \int_{0}^{20} (- 0, 2 x + 8 - 4) d x = (4 x - 0, 1 x^{2})_{0}^{20} = 80 - 40 = 40

P S = \int_{0}^{20} (4 - 0, 1 x - 2) d x = (2 x - 0, 05 x^{2})_{0}^{20} = 40 - 20 = 20

Vậy thặng dư tiêu dùng $40$ triệu đồng, thặng dư sản xuất $20$ triệu đồng.

2Cách 2. Diện tích tam giác

Định hướng. Hai tam giác vuông chung cạnh nằm trên đường $p = 4$ , dài $20$ .

C S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot (8 - 4) = 40, P S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot (4 - 2) = 20

Vậy $C S = 40$ , $P S = 20$ (triệu đồng).

3Cách 3. Tổng hai thặng dư rồi chia theo độ dốc

Định hướng. $C S + P S$ là diện tích giữa hai đường trên $[0; 20]$ ; hai tam giác chung đáy nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao $4 : 2$ , tức tỉ số độ dốc $0, 2 : 0, 1$ .

C S + P S = \int_{0}^{20} (6 - 0, 3 x) d x = 120 - 60 = 60

C S = 60 \cdot \frac{2}{3} = 40, P S = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20

Vậy $C S = 40$ , $P S = 20$ (triệu đồng).

Nhận xét. Tổng $60$ triệu đồng là tổng lợi ích của thị trường tại điểm cân bằng; phía tiêu dùng hưởng phần lớn hơn vì đường cầu dốc hơn đường cung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đúng định nghĩa, dùng được cả khi hàm cầu, hàm cung không bậc nhất); Cách 2 để kiểm tra nhanh.

Đáp số. Điểm cân bằng

(20; 4)

; thặng dư tiêu dùng

40

triệu đồng; thặng dư sản xuất

20

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Lấy cận trên là

x = 40

(nghiệm của

D (x) = 0

) thay cho

x_{0} = 20

, hoặc quên trừ

p_{0}

\int_{0}^{20} (- 0, 2 x + 8) d x = 120

không phải thặng dư.

🚀 Mở rộng. Nếu nhu cầu tăng làm đường cầu thành

p = - 0, 2 x + 9, 5

thì điểm cân bằng thành

(25; 4, 5)

, thặng dư tiêu dùng

62, 5

và thặng dư sản xuất

31, 25

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.28★★Trang 18— Ứng dụng tích phân: tổng chênh lệch theo thời gian

Bài 4.28 (trang 18). Chi phí nhiên liệu dự kiến

C

(tính bằng triệu đô la mỗi năm) khi sử dụng một loại xe tải của một công ty vận tải từ năm 2020 đến năm 2030 là

C_{1} = 5, 6 + 2, 2 t

0 \leq t \leq 10

, trong đó

t = 0

tương ứng với năm 2020. Nếu công ty sử dụng một loại xe tải khác có động cơ hiệu quả hơn thì chi phí nhiên liệu dự kiến sẽ giảm và tuân theo mô hình

C_{2} = 4, 7 + 2, 04 t

0 \leq t \leq 10

. Công ty có thể tiết kiệm được bao nhiêu khi sử dụng xe tải với động cơ hiệu quả hơn?

Kiến thức cần nhớ

Tổng lượng tích luỹ từ tốc độ: $\int_{a}^{b} r (t) d t$ .
Tiết kiệm $= \int_{0}^{10} (C_{1} - C_{2}) d t$ — diện tích giữa hai đồ thị.
Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

C_{1}

C_{2}

là chi phí MỖI NĂM (tốc độ chi tiêu), nên tổng chi phí trong

10

năm là tích phân theo

t

; khoản tiết kiệm là diện tích giữa hai đường. Vì

C_{1} - C_{2} = 0, 9 + 0, 16 t > 0

nên không phải xét dấu.

1Cách 1. Tích phân của hiệu

Định hướng. Lấy hiệu hai tốc độ chi phí rồi tích phân trên $[0; 10]$ .

T = \int_{0}^{10} [(5, 6 + 2, 2 t) - (4, 7 + 2, 04 t)] d t = \int_{0}^{10} (0, 9 + 0, 16 t) d t

T = (0, 9 t + 0, 08 t^{2})_{0}^{10} = 9 + 8 = 17

Vậy công ty tiết kiệm được $17$ triệu đô la trong giai đoạn 2020 – 2030.

2Cách 2. Hiệu hai tổng chi phí

Định hướng. Tính riêng tổng chi phí của từng loại xe rồi trừ.

\int_{0}^{10} C_{1} d t = (5, 6 t + 1, 1 t^{2})_{0}^{10} = 56 + 110 = 166

\int_{0}^{10} C_{2} d t = (4, 7 t + 1, 02 t^{2})_{0}^{10} = 47 + 102 = 149

T = 166 - 149 = 17

Vậy tiết kiệm $17$ triệu đô la.

3Cách 3. Diện tích hình thang

Định hướng. $C_{1} - C_{2} = 0, 9 + 0, 16 t$ là hàm bậc nhất: miền dưới nó trên $[0; 10]$ là hình thang vuông có hai đáy $0, 9$ và $2, 5$ .

(C_{1} - C_{2}) (0) = 0, 9, (C_{1} - C_{2}) (10) = 0, 9 + 1, 6 = 2, 5

T = \frac{( 0 , 9 + 2 , 5 ) \cdot 10}{2} = 17

Vậy tiết kiệm $17$ triệu đô la.

Nhận xét. Cách 3 cũng cho thấy tiết kiệm trung bình mỗi năm là $\frac{0 , 9 + 2 , 5}{2} = 1, 7$ triệu đô la.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một tích phân của hàm bậc nhất; Cách 3 để tính nhẩm kiểm tra.

Đáp số. Tiết kiệm được

17

triệu đô la.

Sai lầm thường gặp. Chỉ so sánh chi phí ở năm cuối:

C_{1} (10) - C_{2} (10) = 2, 5

triệu đô la — đó là mức tiết kiệm của MỘT năm, không phải cả giai đoạn. Hoặc lấy

t

từ

2020

đến

2030

làm cận.

🚀 Mở rộng. Nếu xe hiệu quả hơn đắt hơn

12

triệu đô la thì sau bao nhiêu năm thu hồi vốn? Giải

0, 08 T^{2} + 0, 9 T - 12 = 0

được

T \approx 7, 85

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.29★★Trang 18— Ứng dụng tích phân: tổng lợi nhuận theo thời gian

Bài 4.29 (trang 18). Doanh thu từ một quy trình sản xuất (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình

R = 100 + 0, 08 t

trong

10

năm. Trong cùng khoảng thời gian đó, chi phí (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình

C = 60 + 0, 2 t^{2}

, trong đó

t

là thời gian (tính bằng năm). Ước tính lợi nhuận trong khoảng thời gian

10

năm.

Kiến thức cần nhớ

Lợi nhuận $= \int_{a}^{b} [R (t) - C (t)] d t$ .
Công thức Simpson $\int_{a}^{b} f = \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]$ đúng tuyệt đối với đa thức bậc không quá $3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Doanh thu và chi phí đều tính theo năm (tốc độ), nên lợi nhuận

10

năm là

\int_{0}^{10} (R - C) d t

— diện tích giữa hai đường. Cần kiểm tra

R > C

trên cả đoạn:

R - C = 40 + 0, 08 t - 0, 2 t^{2} \geq 20, 8 > 0

với

t \in [0; 10]

1Cách 1. Tích phân của hiệu

Định hướng. Lợi nhuận mỗi năm là $R - C$ ; tích phân trên $[0; 10]$ .

L = \int_{0}^{10} [(100 + 0, 08 t) - (60 + 0, 2 t^{2})] d t = \int_{0}^{10} (40 + 0, 08 t - 0, 2 t^{2}) d t

L = (40 t + 0, 04 t^{2} - \frac{0 , 2 t ^{3}}{3})_{0}^{10} = 400 + 4 - \frac{200}{3} = \frac{1012}{3} \approx 337, 33

Vậy lợi nhuận ước tính $\frac{1012}{3} \approx 337, 33$ triệu đô la.

2Cách 2. Tổng doanh thu trừ tổng chi phí

Định hướng. Tính riêng hai tích phân.

\int_{0}^{10} R d t = (100 t + 0, 04 t^{2})_{0}^{10} = 1000 + 4 = 1004

\int_{0}^{10} C d t = (60 t + \frac{0 , 2 t ^{3}}{3})_{0}^{10} = 600 + \frac{200}{3} = \frac{2000}{3}

L = 1004 - \frac{2000}{3} = \frac{1012}{3} \approx 337, 33

Vậy lợi nhuận khoảng $337, 33$ triệu đô la.

3Cách 3. Công thức Simpson (chính xác cho đa thức bậc hai)

Định hướng. $P (t) = 40 + 0, 08 t - 0, 2 t^{2}$ là đa thức bậc hai nên công thức Simpson cho đúng tích phân, chỉ cần ba giá trị $P (0)$ , $P (5)$ , $P (10)$ .

P (0) = 40, P (5) = 40 + 0, 4 - 5 = 35, 4, P (10) = 40 + 0, 8 - 20 = 20, 8

L = \frac{10}{6} [40 + 4 \cdot 35, 4 + 20, 8] = \frac{10}{6} \cdot 202, 4 = \frac{1012}{3} \approx 337, 33

Vậy lợi nhuận $\frac{1012}{3} \approx 337, 33$ triệu đô la.

Nhận xét. Simpson là mẹo kiểm tra nhanh, nằm ngoài chương trình; bài tự luận vẫn trình bày Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một tích phân đa thức; Cách 3 để thử lại trong vài giây.

Đáp số. Lợi nhuận khoảng

\frac{1012}{3} \approx 337, 33

triệu đô la.

Sai lầm thường gặp. Tính lợi nhuận bằng

R (10) - C (10) = 20, 8

(lợi nhuận của riêng năm thứ mười) hoặc

10 \cdot [R (0) - C (0)] = 400

(coi lợi nhuận không đổi). Lỗi tính toán hay gặp: nguyên hàm của

0, 2 t^{2}

viết thành

0, 4 t

🚀 Mở rộng. Quy trình còn có lãi đến năm thứ mấy? Giải

40 + 0, 08 t - 0, 2 t^{2} = 0

được

t \approx 14, 3

; tổng lợi nhuận lớn nhất khi dừng đúng lúc đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.30★★★Trang 18— Ứng dụng tích phân: diện tích giữa hai mô hình theo thời gian

Bài 4.30 (trang 18). Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát

t

tuần số người nhiễm bệnh là

N_{1} (t) = 0, 1 t^{2} + 0, 5 t + 150

0 \leq t \leq 50

.
Hai mươi lăm tuần sau khi dịch bệnh bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình

N_{2} (t) = - 0, 2 t^{2} + 6 t + 200

25 \leq t \leq 50

.
a) Tìm thời điểm

t

để sau khi tiêm vắc xin thì dịch bệnh kết thúc, tức là số người nhiễm bệnh là

N_{2} (t) = 0

.
b) Ước tính gần đúng số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc hai: công thức nghiệm với $Δ$ , hoặc tách hạng tử đưa về phương trình tích.
Số người được bảo vệ $= \int_{25}^{T} [N_{1} (t) - N_{2} (t)] d t$ , $T$ là thời điểm $N_{2} (T) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là phương trình bậc hai

N_{2} (t) = 0

, chọn nghiệm thuộc

[25; 50]

. Ý b: theo mô hình (của R. Larson),

N_{1}

N_{2}

là số ca nhiễm mỗi tuần khi không có và khi có vắc xin, nên số người được bảo vệ là diện tích giữa hai đường từ

t = 25

tới lúc dịch kết thúc. Lưu ý

N_{1} (25) = N_{2} (25) = 225

: hai mô hình nối liền tại thời điểm tiêm.

1Cách 1. Công thức nghiệm và tích phân trực tiếp

Định hướng. Ý a dùng $Δ$ ; ý b tích phân hiệu $N_{1} - N_{2}$ .

- 0, 2 t^{2} + 6 t + 200 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 30 t - 1000 = 0

Δ^{'} = 1 5^{2} + 1000 = 1225, Δ^{'} = 35 \Rightarrow t = 15 + 35 = 50

(nhận) hoặc

t = 15 - 35 = - 20

(loại)

N_{1} (t) - N_{2} (t) = 0, 3 t^{2} - 5, 5 t - 50

\int_{25}^{50} (0, 3 t^{2} - 5, 5 t - 50) d t = (0, 1 t^{3} - 2, 75 t^{2} - 50 t)_{25}^{50}

= 0, 1 \cdot 109375 - 2, 75 \cdot 1875 - 50 \cdot 25 = 10937, 5 - 5156, 25 - 1250 = 4531, 25

Vậy a) $t = 50$ tuần; b) vắc xin ngăn ngừa khoảng $4531$ người.

2Cách 2. Tách nhân tử; hiệu hai tích phân

Định hướng. Ý a: tìm hai số có tích $- 1000$ , tổng $- 30$ là $- 50$ và $20$ . Ý b tính riêng tổng số ca của từng mô hình.

t^{2} - 30 t - 1000 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 50 t + 20 t - 1000 = 0 \Leftrightarrow t (t - 50) + 20 (t - 50) = 0 \Leftrightarrow (t - 50) (t + 20) = 0

t - 50 = 0 \Leftrightarrow t = 50

(nhận);

t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = - 20

(loại)

\int_{25}^{50} N_{1} (t) d t = \frac{0 , 1}{3} \cdot 109375 + 0, 25 \cdot 1875 + 150 \cdot 25 = \frac{94375}{12}

\int_{25}^{50} N_{2} (t) d t = - \frac{0 , 2}{3} \cdot 109375 + 3 \cdot 1875 + 200 \cdot 25 = \frac{10000}{3}

\frac{94375}{12} - \frac{40000}{12} = \frac{54375}{12} = 4531, 25

Vậy a) $t = 50$ ; b) khoảng $4531$ người.

3Cách 3. Dời gốc thời gian về lúc tiêm vắc xin

Định hướng. Đặt $s = t - 25$ , $s \in [0; 25]$ . Vì $N_{1} (25) = N_{2} (25)$ nên hiệu $N_{1} - N_{2}$ không còn hằng số tự do, tích phân gọn hơn.

N_{2} = - 0, 2 (s + 25)^{2} + 6 (s + 25) + 200 = - 0, 2 s^{2} - 4 s + 225 = 0 \Leftrightarrow s^{2} + 20 s - 1125 = 0 \Leftrightarrow (s - 25) (s + 45) = 0 \Rightarrow s = 25, t = 50

N_{1} - N_{2} = 0, 3 (s + 25)^{2} - 5, 5 (s + 25) - 50 = 0, 3 s^{2} + 9, 5 s

\int_{0}^{25} (0, 3 s^{2} + 9, 5 s) d s = 0, 1 \cdot 2 5^{3} + 4, 75 \cdot 2 5^{2} = 1562, 5 + 2968, 75 = 4531, 25

Vậy a) $t = 50$ ; b) khoảng $4531$ người.

Nhận xét. Kết quả $N_{1} - N_{2} = 0, 3 s^{2} + 9, 5 s \geq 0$ còn chứng tỏ từ lúc tiêm, số ca với vắc xin luôn thấp hơn không có vắc xin, và khoảng cách ngày càng lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: ý a tách nhân tử (Cách 2) cho nhanh; ý b dùng Cách 3 — dời gốc về

t = 25

làm mất hằng số và các lập phương nhỏ hơn hẳn.

Đáp số. a)

t = 50

tuần; b) khoảng

4531

người (chính xác theo mô hình

4531, 25

Sai lầm thường gặp. Tích phân từ

0

tới

50

thay vì từ

25

(trước tuần

25

chưa có vắc xin,

N_{2}

chưa xác định). Hoặc lấy

N_{1} (50) - N_{2} (50) = 425

(chênh lệch tại một thời điểm) làm đáp số.

🚀 Mở rộng. Nếu vắc xin có sớm hơn, ở tuần

20

, với mô hình mới

N_{2} (t) = - 0, 2 t^{2} + 6 t + 160

(vẫn nối liền

N_{1} (20) = N_{2} (20) = 200

), hãy tìm lúc dịch kết thúc và số người được bảo vệ.

Mở bài này trong app ↗