Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập2 #trang17–18 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.21★★Trang 17— Diện tích hình phẳng cho bằng hình vẽ

Bài 4.21 (trang 17). Tính diện tích của các hình phẳng được tô màu dưới đây:
a) Hình 4.4: hình phẳng gồm hai phần

A_{1}

A_{2}

giới hạn bởi đồ thị

f (x) = x^{2} - 4

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 5

;
b) Hình 4.5: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y = - x^{2} + 9

, đường thẳng

y = 2 x + 1

và trục tung (hai đồ thị cắt nhau tại điểm

(2; 5)

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ và $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
Viên phân parabol $y = k (x - x_{1}) (x - x_{2})$ với trục hoành có diện tích $\frac{∣ k ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ .
Diện tích hình thang vuông bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a:

x^{2} - 4

đổi dấu tại

x = 2

, nên phần

A_{1}

nằm dưới trục và phần

A_{2}

nằm trên trục — phải tách tại

x = 2

. Ý b: hình nằm giữa hai đồ thị, cận là

x = 0

(trục tung) và hoành độ giao điểm

x = 2

; parabol ở trên.

1Cách 1. Xét dấu, bỏ trị tuyệt đối

Định hướng. Tách ý a tại nghiệm $x = 2$ ; ý b lấy parabol trừ đường thẳng.

S = \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x + \int_{2}^{5} (x^{2} - 4) d x = (4 x - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{2} + (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{2}^{5}

S = \frac{16}{3} + [(\frac{125}{3} - 20) - (\frac{8}{3} - 8)] = \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3}

S = \int_{0}^{2} [(- x^{2} + 9) - (2 x + 1)] d x = \int_{0}^{2} (- x^{2} - 2 x + 8) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + 8 x)_{0}^{2} = - \frac{8}{3} - 4 + 16 = \frac{28}{3}

Vậy a) $\frac{97}{3}$ (với $A_{1} = \frac{16}{3}$ , $A_{2} = 27$ ); b) $\frac{28}{3}$ .

2Cách 2. Trị tuyệt đối từng tích phân; hiệu hai diện tích

Định hướng. Ý a không cần xét dấu, chỉ cần nghiệm $x = 2$ . Ý b: miền dưới parabol trừ hình thang vuông dưới đường thẳng.

S = \int_{0}^{2} (x^{2} - 4) d x + \int_{2}^{5} (x^{2} - 4) d x = - \frac{16}{3} + ∣ 27 ∣ = \frac{97}{3}

\int_{0}^{2} (9 - x^{2}) d x = 18 - \frac{8}{3} = \frac{46}{3}

, hình thang đáy

1

và

5

, cao

2

\frac{( 1 + 5 ) \cdot 2}{2} = 6

S = \frac{46}{3} - 6 = \frac{28}{3}

Vậy a) $\frac{97}{3}$ ; b) $\frac{28}{3}$ .

3Cách 3. Viên phân parabol (ý a) và tích phân theo

y

(ý b)

Định hướng. Ý a: $A_{1}$ là nửa viên phân của parabol $y = x^{2} - 4$ giữa hai nghiệm $\pm 2$ ; $A_{2}$ suy ra từ tích phân có dấu. Ý b: cắt ngang, với $1 \leq y \leq 5$ lát cắt đi từ trục tung tới đường thẳng, với $5 \leq y \leq 9$ tới parabol.

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot 4 ^{3}}{6} = \frac{16}{3}, A_{2} = \int_{0}^{5} (x^{2} - 4) d x + A_{1} = (\frac{125}{3} - 20) + \frac{16}{3} = 27

S = A_{1} + A_{2} = \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3}

S = \int_{1}^{5} \frac{y - 1}{2} d y + \int_{5}^{9} 9 - y d y = 4 + - \frac{2}{3} (9 - y)^{\frac{3}{2}}_{5}^{9} = 4 + \frac{16}{3} = \frac{28}{3}

Vậy a) $\frac{97}{3}$ ; b) $\frac{28}{3}$ .

Nhận xét. Ở ý a, tích phân có dấu $\int_{0}^{5} (x^{2} - 4) d x = A_{2} - A_{1} = \frac{65}{3}$ — đúng bằng hiệu hai phần; muốn ra diện tích thì phải CỘNG hai phần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho ý a (chỉ cần nghiệm) và Cách 1 cho ý b (một tích phân).

Đáp số. a)

\frac{97}{3}

; b)

\frac{28}{3}

Sai lầm thường gặp. Ý a: tính

\int_{0}^{5} (x^{2} - 4) d x = \frac{65}{3}

rồi coi là diện tích (phần

A_{1}

bị trừ đi thay vì cộng). Ý b: lấy cận trên

x = 3

(nghiệm của

- x^{2} + 9 = 0

) thay cho hoành độ giao điểm

x = 2

🚀 Mở rộng. Ở ý b nếu thêm trục hoành làm biên (miền giữa parabol, đường thẳng và hai trục) thì diện tích bằng bao nhiêu? Gợi ý: cộng thêm hình thang dưới đường thẳng, được

\frac{46}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.22★★Trang 17— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Bài 4.22 (trang 17). Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)

y = (x - 1)^{3}

y = x - 1

x = 0

x = 1

;
b)

y = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x

y = x^{2} + 3 x

x = - 3

x = 0

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
Nếu $f - g$ không đổi dấu trên $[a; b]$ thì $S = \int_{a}^{b} (f - g) d x$ .
Hàm lẻ: $\int_{- a}^{0} ∣ f ∣ = \int_{0}^{a} ∣ f ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu hai hàm đều phân tích được thành tích: a)

(x - 1)^{3} - (x - 1) = x (x - 1) (x - 2)

; b)

x^{3} + x^{2} - 6 x = x (x + 3) (x - 2)

. Nghiệm của hiệu chỉ rơi vào đầu mút đoạn, nên trên mỗi đoạn hiệu không đổi dấu — không phải tách.

1Cách 1. Phân tích nhân tử, xét dấu

Định hướng. Viết hiệu thành tích để đọc dấu trên đoạn.

(x - 1)^{3} - (x - 1) = (x - 1) [(x - 1)^{2} - 1] = x (x - 1) (x - 2) \geq 0, \forall x \in [0; 1]

S = \int_{0}^{1} [(x - 1)^{3} - (x - 1)] d x = (\frac{( x - 1 ) ^{4}}{4} - \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2})_{0}^{1} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}

(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) - (x^{2} + 3 x) = x^{3} + x^{2} - 6 x = x (x + 3) (x - 2) \geq 0, \forall x \in [- 3; 0]

S = \int_{- 3}^{0} (x^{3} + x^{2} - 6 x) d x = (\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - 3 x^{2})_{- 3}^{0} = 0 - (\frac{81}{4} - 9 - 27) = \frac{63}{4}

Vậy a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{63}{4}$ .

Hình minh hoạ lời giải

a) Miền giữa y = (x − 1)³ và y = x − 1 trên [0; 1]; b) miền giữa y = x³ + 2x² − 3x và y = x² + 3x trên [−3; 0]

2Cách 2. Không xét dấu: lấy trị tuyệt đối của tích phân

Định hướng. Hiệu không có nghiệm bên trong đoạn nên chỉ cần tính tích phân thường rồi lấy trị tuyệt đối; ý a đặt $u = x - 1$ cho gọn.

S = \int_{- 1}^{0} (u^{3} - u) d u = (\frac{u ^{4}}{4} - \frac{u ^{2}}{2})_{- 1}^{0} = 0 - (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}

S = \int_{- 3}^{0} (x^{3} + x^{2} - 6 x) d x = - \frac{81}{4} + 9 + 27 = \frac{63}{4}

Vậy a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{63}{4}$ .

3Cách 3. Tính lẻ (ý a) và ghép diện tích hai phía trục hoành (ý b)

Định hướng. Ý a: $u^{3} - u$ là hàm lẻ, lật sang đoạn $[0; 1]$ . Ý b: trên $[- 3; 0]$ đường bậc ba $x (x + 3) (x - 1) \geq 0$ nằm trên trục, parabol $x (x + 3) \leq 0$ nằm dưới trục, nên $S$ là tổng hai diện tích.

S = \int_{0}^{1} (u - u^{3}) d u = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

S_{1} = \int_{- 3}^{0} (x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) d x = 0 - (\frac{81}{4} - 18 - \frac{27}{2}) = \frac{45}{4}

S_{2} = \int_{- 3}^{0} x^{2} + 3 x d x = \frac{1 \cdot 3 ^{3}}{6} = \frac{9}{2}

S = S_{1} + S_{2} = \frac{45}{4} + \frac{18}{4} = \frac{63}{4}

Vậy a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{63}{4}$ .

Nhận xét. Cách 3 ý b cho thấy rõ hình: phần trên trục (dưới đường bậc ba) và phần dưới trục (trên parabol) ghép lại; cả hai đồ thị cùng đi qua $(- 3; 0)$ và $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nghiệm của hiệu chỉ ở đầu mút nên lấy trị tuyệt đối một tích phân là xong.

Đáp số. a)

\frac{1}{4}

; b)

\frac{63}{4}

Sai lầm thường gặp. Ý b trừ nhầm:

(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x) - (x^{2} + 3 x) = x^{3} + x^{2}

(quên

- 6 x

) dẫn tới

\frac{45}{4}

. Ý a khai triển

(x - 1)^{3} = x^{3} - 1

là sai hằng đẳng thức.

🚀 Mở rộng. Nếu ý b đổi cận thành

x = - 3

x = 2

thì hiệu đổi dấu tại

x = 0

; diện tích thành

\frac{63}{4} + \frac{16}{3} = \frac{253}{12}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.23★★Trang 17— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Bài 4.23 (trang 17). Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)

y = e^{x}

y = x

x = 0

x = 1

;
b)

y = cos x

y = \frac{1}{2}

x = 0

x = \frac{π}{3}

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$ .
$\int ln y d y = y ln y - y + C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.24★★★Trang 17— Thể tích khối tròn xoay (một đồ thị và hai đồ thị)

Bài 4.24 (trang 17). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh

O x

:
a)

y = 2 x

y = 0

x = 1

x = 4

;
b)

y = 4 x

y = x^{3}

x = 0

x = 2

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Nếu $f (x) \geq g (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ : $V = π \int_{a}^{b} [f^{2} (x) - g^{2} (x)] d x$ .
Khối nón: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.25★★★Trang 17— Diện tích và thể tích khối tròn xoay của cùng một hình phẳng

Bài 4.25 (trang 17). Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x

y = \frac{x ^{2}}{8}

x = 0

x = 4

.
a) Tính diện tích hình phẳng.
b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} (f - g) d x$ , $V = π \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2}) d x$ khi $f \geq g \geq 0$ .
$\int x d x = \frac{2}{3} x x + C$ .
Khối paraboloid có thể tích bằng nửa khối trụ ngoại tiếp.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.26★★★Trang 18— Thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt

Bài 4.26 (trang 18). Tính thể tích của vật thể

B

, biết đáy của

B

là hình tròn bán kính

2

và các mặt cắt vuông góc với mặt đáy là những hình vuông (H.4.6).

Kiến thức cần nhớ

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .
Dây cung của đường tròn $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ tại hoành độ $x$ dài $2 R^{2} - x^{2}$ .
Thể tích khối cầu bán kính $R$ : $\frac{4}{3} π R^{3}$ ; mặt cắt của khối cầu tại $x$ có diện tích $π (R^{2} - x^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.27★★★Trang 18— Ứng dụng diện tích: thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất

Bài 4.27 (trang 18). Hàm cầu và hàm cung của một sản phẩm được mô hình hoá bởi:
Hàm cầu:

p = - 0, 2 x + 8

và hàm cung:

p = 0, 1 x + 2

, trong đó

x

là số đơn vị sản phẩm,

p

là giá của mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng triệu đồng). Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất đối với sản phẩm này.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cân bằng: $D (x_{0}) = S (x_{0}) = p_{0}$ .
$C S = \int_{0}^{x_{0}} [D (x) - p_{0}] d x$ , $P S = \int_{0}^{x_{0}} [p_{0} - S (x)] d x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.28★★Trang 18— Ứng dụng tích phân: tổng chênh lệch theo thời gian

Bài 4.28 (trang 18). Chi phí nhiên liệu dự kiến

C

(tính bằng triệu đô la mỗi năm) khi sử dụng một loại xe tải của một công ty vận tải từ năm 2020 đến năm 2030 là

C_{1} = 5, 6 + 2, 2 t

0 \leq t \leq 10

, trong đó

t = 0

tương ứng với năm 2020. Nếu công ty sử dụng một loại xe tải khác có động cơ hiệu quả hơn thì chi phí nhiên liệu dự kiến sẽ giảm và tuân theo mô hình

C_{2} = 4, 7 + 2, 04 t

0 \leq t \leq 10

. Công ty có thể tiết kiệm được bao nhiêu khi sử dụng xe tải với động cơ hiệu quả hơn?

Kiến thức cần nhớ

Tổng lượng tích luỹ từ tốc độ: $\int_{a}^{b} r (t) d t$ .
Tiết kiệm $= \int_{0}^{10} (C_{1} - C_{2}) d t$ — diện tích giữa hai đồ thị.
Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.29★★Trang 18— Ứng dụng tích phân: tổng lợi nhuận theo thời gian

Bài 4.29 (trang 18). Doanh thu từ một quy trình sản xuất (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình

R = 100 + 0, 08 t

trong

10

năm. Trong cùng khoảng thời gian đó, chi phí (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình

C = 60 + 0, 2 t^{2}

, trong đó

t

là thời gian (tính bằng năm). Ước tính lợi nhuận trong khoảng thời gian

10

năm.

Kiến thức cần nhớ

Lợi nhuận $= \int_{a}^{b} [R (t) - C (t)] d t$ .
Công thức Simpson $\int_{a}^{b} f = \frac{b - a}{6} [f (a) + 4 f (\frac{a + b}{2}) + f (b)]$ đúng tuyệt đối với đa thức bậc không quá $3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.30★★★Trang 18— Ứng dụng tích phân: diện tích giữa hai mô hình theo thời gian

Bài 4.30 (trang 18). Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát

t

tuần số người nhiễm bệnh là

N_{1} (t) = 0, 1 t^{2} + 0, 5 t + 150

0 \leq t \leq 50

.
Hai mươi lăm tuần sau khi dịch bệnh bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình

N_{2} (t) = - 0, 2 t^{2} + 6 t + 200

25 \leq t \leq 50

.
a) Tìm thời điểm

t

để sau khi tiêm vắc xin thì dịch bệnh kết thúc, tức là số người nhiễm bệnh là

N_{2} (t) = 0

.
b) Ước tính gần đúng số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc hai: công thức nghiệm với $Δ$ , hoặc tách hạng tử đưa về phương trình tích.
Số người được bảo vệ $= \int_{25}^{T} [N_{1} (t) - N_{2} (t)] d t$ , $T$ là thời điểm $N_{2} (T) = 0$ .