Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★★Trang 19— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị và trục hoành

HĐ1 (trang 19). Nhận biết công thức tính diện tích. Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng

y = f (x) = x + 1

, trục hoành và hai đường thẳng

x = - 2

x = 1

(H.4.12).
a) Tính diện tích

S

của hình phẳng này.
b) Tính

\int_{- 2}^{1} ∣ f (x) ∣ d x

và so sánh với

S

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f (x)$ liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ : $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ .
Muốn bỏ dấu $∣ ∣$ phải tìm nghiệm của $f (x)$ trong $[a; b]$ rồi xét dấu trên từng đoạn con.
Nếu $f$ không đổi dấu trên $[a; c]$ thì $\int_{a}^{c} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng

y = x + 1

đổi dấu tại

x = - 1

nằm trong đoạn

[- 2; 1]

, nên hình phẳng gồm hai tam giác vuông: một nằm dưới, một nằm trên trục hoành. Diện tích luôn dương nên phần dưới trục phải lấy độ lớn — đó chính là vai trò của dấu giá trị tuyệt đối trong

∣ f (x) ∣

. Bẫy: tính thẳng

\int_{- 2}^{1} (x + 1) d x = \frac{3}{2}

là để hai phần triệt tiêu nhau.

1Cách 1. Tính diện tích hai tam giác, rồi tách tích phân theo dấu

Định hướng. Đường thẳng cắt trục hoành tại $(- 1; 0)$ , chia hình thành hai tam giác vuông; tích phân thì tách tại $x = - 1$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot ∣ f (- 2) ∣ + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot f (1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}

\int_{- 2}^{1} ∣ x + 1 ∣ d x = \int_{- 2}^{- 1} (- x - 1) d x + \int_{- 1}^{1} (x + 1) d x

= (- \frac{x ^{2}}{2} - x)_{- 2}^{- 1} + (\frac{x ^{2}}{2} + x)_{- 1}^{1}

= [(- \frac{1}{2} + 1) - (- 2 + 2)] + [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1)] = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}

Vậy a) $S = \frac{5}{2}$ ; b) $\int_{- 2}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \frac{5}{2} = S$ .

2Cách 2. Tách tại nghiệm và dùng

\int

trên từng đoạn

Định hướng. Trên mỗi đoạn $[- 2; - 1]$ và $[- 1; 1]$ , hàm $x + 1$ không đổi dấu, nên chỉ cần tính tích phân thường rồi lấy trị tuyệt đối — khỏi xét dấu.

\int_{- 2}^{1} ∣ x + 1 ∣ d x = \int_{- 2}^{- 1} (x + 1) d x + \int_{- 1}^{1} (x + 1) d x

= \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2}_{- 2}^{- 1} + \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2}_{- 1}^{1}

= 0 - \frac{1}{2} + ∣ 2 - 0 ∣ = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}

Vậy $S = \frac{5}{2}$ và $\int_{- 2}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = S$ .

3Cách 3. Dùng nguyên hàm của

∣ u ∣

là

\frac{u ∣ u ∣}{2}

Định hướng. Hàm $G (x) = \frac{( x + 1 ) ∣ x + 1 ∣}{2}$ có đạo hàm bằng $∣ x + 1 ∣$ trên cả $R$ , nên áp Newton – Leibniz một lần, không cần tách đoạn.

G (x) = \frac{( x + 1 ) ∣ x + 1 ∣}{2}, G^{'} (x) = ∣ x + 1 ∣

\int_{- 2}^{1} ∣ x + 1 ∣ d x = G (1) - G (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{( - 1 ) \cdot 1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Vậy $\int_{- 2}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \frac{5}{2} = S$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho thấy diện tích hình phẳng bằng tích phân của $∣ f (x) ∣$ — đây chính là công thức $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ đóng khung trong sách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nghiệm

x = - 1

, không phải xét dấu, mỗi đoạn một phép tính; Cách 1 hợp khi hình là tam giác, hình thang.

Đáp số. a)

S = \frac{5}{2}

; b)

\int_{- 2}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \frac{5}{2}

, bằng

S

Sai lầm thường gặp. Bỏ quên dấu giá trị tuyệt đối:

\int_{- 2}^{1} (x + 1) d x = \frac{3}{2} \neq = \frac{5}{2}

, vì tam giác dưới trục (diện tích

\frac{1}{2}

) bị tính âm. Lỗi thứ hai là lấy chiều cao tam giác nhỏ bằng

- 1

(tung độ) thay vì

1

(độ dài).

🚀 Mở rộng. Với

f (x) = x + 1

trên

[- 2; m]

(m > - 1)

thì

S = \frac{1}{2} + \frac{( m + 1 ) ^{2}}{2}

; thử tìm

m

để

S = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 20— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị và trục hoành

Luyện tập 1 (trang 20). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = x^{2} - 4

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 3

(H.4.15).

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ .
$f$ không đổi dấu trên $[a; c]$ thì $\int_{a}^{c} ∣ f ∣ = \int_{a}^{c} f$ .
$\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

x^{2} - 4

có nghiệm

x = 2

nằm trong

[0; 3]

, nên parabol đi qua trục hoành: trên

[0; 2]

nằm dưới, trên

[2; 3]

nằm trên. Phải tách tại

x = 2

; tích phân thẳng

\int_{0}^{3} (x^{2} - 4) d x = - 3

vừa âm vừa sai.

1Cách 1. Xét dấu rồi bỏ trị tuyệt đối

Định hướng. $x^{2} - 4 \leq 0$ trên $[0; 2]$ và $x^{2} - 4 \geq 0$ trên $[2; 3]$ .

S = \int_{0}^{3} x^{2} - 4 d x = \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x

S = (4 x - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{2} + (\frac{x ^{3}}{3} - 4 x)_{2}^{3}

S = (8 - \frac{8}{3}) + [(9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8)] = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}

Vậy $S = \frac{23}{3}$ .

2Cách 2. Tách tại nghiệm, lấy trị tuyệt đối từng tích phân

Định hướng. Không cần biết dấu cụ thể: trên mỗi đoạn con hàm không đổi dấu nên chỉ việc lấy $∣ ∣$ của tích phân thường.

S = \int_{0}^{2} (x^{2} - 4) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x

S = \frac{8}{3} - 8 + (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = - \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}

Vậy $S = \frac{23}{3}$ .

3Cách 3. Lấy diện tích theo trục

O y

(tích phân theo

y

)

Định hướng. Trên $[0; 3]$ , $x = y + 4$ . Phần dưới trục là miền $0 \leq x \leq y + 4$ , $- 4 \leq y \leq 0$ ; phần trên là miền $y + 4 \leq x \leq 3$ , $0 \leq y \leq 5$ .

S_{1} = \int_{- 4}^{0} y + 4 d y = \frac{2}{3} (y + 4)^{\frac{3}{2}}_{- 4}^{0} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}

S_{2} = \int_{0}^{5} (3 - y + 4) d y = 3 y - \frac{2}{3} (y + 4)^{\frac{3}{2}}_{0}^{5} = (15 - 18) - (0 - \frac{16}{3}) = \frac{7}{3}

S = S_{1} + S_{2} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}

Vậy $S = \frac{23}{3}$ .

Nhận xét. Tích phân theo $y$ cho cùng kết quả nhưng dài hơn; nó sẽ có lợi khi biên của hình cho dưới dạng $x = g (y)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tìm nghiệm

x = 2

rồi tính hai tích phân thường, lấy trị tuyệt đối — không thể nhầm dấu.

Đáp số.

S = \frac{23}{3}

Sai lầm thường gặp. Tính

\int_{0}^{3} (x^{2} - 4) d x = - 3

rồi kết luận

S = 3

(lấy trị tuyệt đối cả khối) — sai, vì hai phần diện tích

\frac{16}{3}

và

\frac{7}{3}

đã trừ nhau. Phải tách tại nghiệm

x = 2

trước khi lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: diện tích giới hạn bởi

y = x^{2} - a^{2}

, trục hoành,

x = 0

x = b

(b > a > 0)

là

\frac{4 a ^{3}}{3} + \frac{b ^{3}}{3} - a^{2} b

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★Trang 20— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

HĐ2 (trang 20). Nhận biết công thức tính diện tích. Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số

f (x) = - x^{2} + 4 x

g (x) = x

và hai đường thẳng

x = 1

x = 3

(H.4.16).
a) Giả sử

S_{1}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = - x^{2} + 4 x

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 1

x = 3

;

S_{2}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng

y = x

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 1

x = 3

. Tính

S_{1}

S_{2}

và từ đó suy ra

S

.
b) Tính

\int_{1}^{3} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

và so sánh với

S

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ với $f$ , $g$ liên tục trên $[a; b]$ .
Nếu $f (x) \geq g (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $S = S_{f} - S_{g}$ (hiệu hai diện tích dưới đồ thị).
Diện tích hình thang vuông bằng nửa tổng hai đáy nhân chiều cao — ở đây hai đáy là $g (1) = 1$ , $g (3) = 3$ , chiều cao $2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trên

[1; 3]

parabol nằm trên đường thẳng (

f (x) - g (x) = x (3 - x) \geq 0

) và cả hai đều nằm trên trục hoành, nên hình cần tìm là "hình lớn dưới parabol" trừ "hình thang dưới đường thẳng". Ý b cho thấy hiệu hai diện tích chính là tích phân của

∣ f - g ∣

— gốc của công thức

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

1Cách 1. Hiệu hai diện tích (theo gợi ý của sách)

Định hướng. Hình $S$ là phần của hình $S_{1}$ nằm trên hình $S_{2}$ , nên $S = S_{1} - S_{2}$ .

S_{1} = \int_{1}^{3} (- x^{2} + 4 x) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2})_{1}^{3} = (- 9 + 18) - (- \frac{1}{3} + 2) = \frac{22}{3}

S_{2} = \int_{1}^{3} x d x = \frac{x ^{2}}{2}_{1}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4

S = S_{1} - S_{2} = \frac{22}{3} - 4 = \frac{10}{3}

\int_{1}^{3} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x = \int_{1}^{3} (- x^{2} + 3 x) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{3 x ^{2}}{2})_{1}^{3}

= (- 9 + \frac{27}{2}) - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{10}{3}

Vậy a) $S_{1} = \frac{22}{3}$ , $S_{2} = 4$ , $S = \frac{10}{3}$ ; b) tích phân bằng $\frac{10}{3} = S$ .

2Cách 2.

S_{2}

bằng hình học, ý b bằng tích phân của một nhân tử

Định hướng. $S_{2}$ là hình thang vuông đáy $1$ và $3$ , cao $2$ . Hiệu $f (x) - g (x) = x (3 - x)$ là parabol có hai nghiệm $0$ và $3$ .

S_{2} = \frac{( 1 + 3 ) \cdot 2}{2} = 4, S_{1} = \frac{22}{3} \Rightarrow S = \frac{22}{3} - 4 = \frac{10}{3}

\int_{1}^{3} x (3 - x) d x = \int_{0}^{3} x (3 - x) d x - \int_{0}^{1} x (3 - x) d x

= \frac{3 ^{3}}{6} - (\frac{3 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{1} = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{10}{3}

Vậy $S = \frac{10}{3}$ và $\int_{1}^{3} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x = S$ .

3Cách 3. Tích phân theo biến

y

Định hướng. Cắt ngang ở độ cao $y$ : với $1 \leq y \leq 3$ lát cắt chạy từ đường $x = 1$ tới đường $y = x$ ; với $3 \leq y \leq 4$ lát cắt nằm trọn giữa hai nhánh của parabol $x = 2 \pm 4 - y$ .

1 \leq y \leq 3 : 1 \leq x \leq y

, độ dài lát cắt

y - 1

3 \leq y \leq 4 : 2 - 4 - y \leq x \leq 2 + 4 - y

, độ dài lát cắt

2 4 - y

S = \int_{1}^{3} (y - 1) d y + \int_{3}^{4} 2 4 - y d y = 2 + - \frac{4}{3} (4 - y)^{\frac{3}{2}}_{3}^{4} = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}

Vậy $S = \frac{10}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy cùng một diện tích có thể "cắt dọc" hay "cắt ngang"; với hình này cắt dọc (Cách 1) gọn hơn nhiều, nên công thức $\int_{a}^{b} ∣ f - g ∣ d x$ là lựa chọn mặc định.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng thẳng công thức ở ý b (Cách 1): một tích phân của

- x^{2} + 3 x

là xong, khỏi tính

S_{1}

S_{2}

riêng.

Đáp số. a)

S_{1} = \frac{22}{3}

S_{2} = 4

S = \frac{10}{3}

; b)

\int_{1}^{3} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x = \frac{10}{3} = S

Sai lầm thường gặp. Lấy

S = S_{1} + S_{2} = \frac{34}{3}

vì tưởng hai hình ghép cạnh nhau — thật ra hình

S_{2}

nằm lọt trong

S_{1}

. Lỗi khác: viết

f - g = - x^{2} + 5 x

(cộng nhầm

x

thay vì trừ).

🚀 Mở rộng. Nếu thay đường thẳng

x = 3

bằng

x = 4

thì

f - g

đổi dấu tại

x = 3

và

S = \frac{10}{3} + \frac{11}{6} = \frac{31}{6}

— thử kiểm lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 21— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Luyện tập 2 (trang 21). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số

y = x

y = x - 2

và hai đường thẳng

x = 1

x = 4

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
$\int x d x = \frac{2}{3} x x + C$ .
Đổi biến $x = t^{2}$ : $d x = 2 t d t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cần biết trên

[1; 4]

đường nào nằm trên. Đặt

t = x \in [1; 2]

x - (x - 2) = - t^{2} + t + 2 = (2 - t) (t + 1) \geq 0

, bằng

0

đúng tại

x = 4

. Vậy

x

nằm trên, không có giao điểm bên trong đoạn nên không phải tách.

1Cách 1. Công thức diện tích giữa hai đồ thị

Định hướng. $x - (x - 2) \geq 0$ trên $[1; 4]$ nên bỏ được dấu giá trị tuyệt đối.

S = \int_{1}^{4} x - x + 2 d x = \int_{1}^{4} (x - x + 2) d x

S = (\frac{2}{3} x x - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x)_{1}^{4}

S = (\frac{16}{3} - 8 + 8) - (\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2) = \frac{16}{3} - \frac{13}{6} = \frac{19}{6}

Vậy $S = \frac{19}{6}$ .

2Cách 2. Cộng diện tích phần trên và phần dưới trục hoành

Định hướng. Đường $y = x - 2$ cắt trục hoành tại $x = 2$ : hình gồm phần dưới $x$ (trên trục) cộng tam giác giữa trục và $y = x - 2$ trên $[1; 2]$ , trừ tam giác dưới $y = x - 2$ trên $[2; 4]$ .

S = \int_{1}^{4} x d x + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2

S = \frac{2}{3} x x_{1}^{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14}{3} - \frac{3}{2} = \frac{19}{6}

Vậy $S = \frac{19}{6}$ .

3Cách 3. Đổi biến

x = t^{2}

Định hướng. Khử căn: $x = t^{2}$ , $t \in [1; 2]$ , biểu thức dưới dấu tích phân thành đa thức theo $t$ .

S = \int_{1}^{2} (t - t^{2} + 2) \cdot 2 t d t = \int_{1}^{2} (- 2 t^{3} + 2 t^{2} + 4 t) d t

S = (- \frac{t ^{4}}{2} + \frac{2 t ^{3}}{3} + 2 t^{2})_{1}^{2} = (- 8 + \frac{16}{3} + 8) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 2) = \frac{16}{3} - \frac{13}{6} = \frac{19}{6}

Vậy $S = \frac{19}{6}$ .

Nhận xét. Đổi biến $x = t^{2}$ vừa bỏ căn vừa giúp xét dấu nhanh: $- t^{2} + t + 2 = (2 - t) (t + 1)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xét dấu một lần rồi tính một tích phân, ngắn và chắc chắn nhất.

Đáp số.

S = \frac{19}{6}

Sai lầm thường gặp. Viết nguyên hàm của

x

là

\frac{1}{2 x}

(nhầm với đạo hàm), hoặc lấy

(x - 2) - x

ra số âm

- \frac{19}{6}

rồi để nguyên làm diện tích.

🚀 Mở rộng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = x

và

y = x - 2

và trục hoành (không có đường

x = 1

) là

\frac{10}{3}

— thử tự vẽ và tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng 1★★★Trang 22— Ứng dụng diện tích: thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

Vận dụng 1 (trang 22). Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá

p

của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá

p

của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau

(x_{0}; p_{0})

của đồ thị hàm cầu

p = D (x)

và đồ thị hàm cung

p = S (x)

được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang

p = p_{0}

và đường thẳng đứng

x = 0

là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang

p = p_{0}

và đường thẳng đứng

x = 0

được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hoá bởi:
Hàm cầu:

p = - 0, 36 x + 9

và hàm cung:

p = 0, 14 x + 2

, trong đó

x

là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cân bằng: $D (x_{0}) = S (x_{0}) = p_{0}$ .
Thặng dư tiêu dùng $= \int_{0}^{x_{0}} [D (x) - p_{0}] d x$ ; thặng dư sản xuất $= \int_{0}^{x_{0}} [p_{0} - S (x)] d x$ .
Diện tích tam giác vuông $= \frac{1}{2} \cdot$ tích hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Việc đầu tiên là tìm điểm cân bằng (giải

D (x) = S (x)

), vì nó cho cận trên

x_{0}

và đường ngang

p = p_{0}

. Sau đó mỗi thặng dư là diện tích giữa một đường thẳng và đường

p = p_{0}

trên

[0; x_{0}]

. Vì cả hai hàm đều bậc nhất nên mỗi hình là một tam giác — có thể tính bằng hình học để kiểm tra.

1Cách 1. Tích phân theo định nghĩa thặng dư

Định hướng. Tìm $(x_{0}; p_{0})$ rồi tính hai tích phân của hiệu so với $p_{0}$ .

- 0, 36 x + 9 = 0, 14 x + 2 \Leftrightarrow 0, 5 x = 7 \Leftrightarrow x_{0} = 14

p_{0} = - 0, 36 \cdot 14 + 9 = 3, 96

C S = \int_{0}^{14} (- 0, 36 x + 9 - 3, 96) d x = (5, 04 x - 0, 18 x^{2})_{0}^{14} = 70, 56 - 35, 28 = 35, 28

P S = \int_{0}^{14} (3, 96 - 0, 14 x - 2) d x = (1, 96 x - 0, 07 x^{2})_{0}^{14} = 27, 44 - 13, 72 = 13, 72

Vậy thặng dư tiêu dùng $35, 28$ , thặng dư sản xuất $13, 72$ .

2Cách 2. Diện tích tam giác

Định hướng. Mỗi hình là tam giác vuông với một cạnh nằm trên trục $O p$ , một cạnh trên đường $p = p_{0}$ dài $x_{0}$ .

C S = \frac{1}{2} \cdot x_{0} \cdot (D (0) - p_{0}) = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot (9 - 3, 96) = 7 \cdot 5, 04 = 35, 28

P S = \frac{1}{2} \cdot x_{0} \cdot (p_{0} - S (0)) = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot (3, 96 - 2) = 7 \cdot 1, 96 = 13, 72

Vậy $C S = 35, 28$ , $P S = 13, 72$ .

3Cách 3. Tổng hai thặng dư là diện tích giữa hai đường

Định hướng. Tổng $C S + P S$ bằng diện tích giữa đường cầu và đường cung trên $[0; x_{0}]$ ; tỉ số $C S : P S$ bằng tỉ số độ dốc $0, 36 : 0, 14$ (hai tam giác chung cạnh $x_{0}$ ).

C S + P S = \int_{0}^{14} [(- 0, 36 x + 9) - (0, 14 x + 2)] d x = \int_{0}^{14} (7 - 0, 5 x) d x = 98 - 49 = 49

C S : P S = 0, 36 : 0, 14 = 18 : 7 \Rightarrow C S = 49 \cdot \frac{18}{25} = 35, 28, P S = 49 \cdot \frac{7}{25} = 13, 72

Vậy $C S = 35, 28$ , $P S = 13, 72$ .

Nhận xét. Cách 3 tiện để kiểm tra: tổng hai thặng dư chính là "tổng lợi ích" của thị trường tại điểm cân bằng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đúng định nghĩa, áp được cả khi đường cầu, đường cung là đường cong); với hàm bậc nhất thì Cách 2 kiểm tra trong vài giây.

Đáp số. Điểm cân bằng

(14; 3, 96)

; thặng dư tiêu dùng

35, 28

; thặng dư sản xuất

13, 72

Sai lầm thường gặp. Lấy cận trên là

x = 25

(nghiệm của

D (x) = 0

) thay vì

x_{0} = 14

, hoặc tính thặng dư tiêu dùng là

\int_{0}^{14} D (x) d x

mà quên trừ

p_{0}

(ra

90, 72

🚀 Mở rộng. Nếu nhà nước đánh thuế làm đường cung dịch lên thành

p = 0, 14 x + 3

, điểm cân bằng thành

(12; 4, 68)

; thử tính lại hai thặng dư và so sánh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★Trang 22— Thể tích vật thể qua diện tích mặt cắt

HĐ3 (trang 22). Nhận biết công thức tính thể tích vật thể. Xét hình trụ có bán kính đáy

R

, có trục là trục hoành

O x

, nằm giữa hai mặt phẳng

x = a

và

x = b

(a < b)

(H.4.20).
a) Tính thể tích

V

của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt

S (x)

khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục

O x

tại điểm có hoành độ là

x

(a \leq x \leq b)

. Từ đó tính

\int_{a}^{b} S (x) d x

và so sánh với

V

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối trụ: $V = π R^{2} h$ với $h$ là chiều cao.
Thể tích vật thể: $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ , $S (x)$ là diện tích mặt cắt vuông góc với $O x$ tại $x$ .
Nếu $V (x)$ là thể tích phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $a$ và $x$ thì $V^{'} (x) = S (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt phẳng vuông góc với trục hình trụ cắt hình trụ theo một hình tròn bằng đáy, nên

S (x)

là hằng số. Đây là ví dụ đơn giản nhất để thấy "cộng dồn diện tích các lát cắt" ra đúng thể tích: tích phân của hằng số trên đoạn dài

b - a

chính là "diện tích đáy nhân chiều cao".

1Cách 1. Công thức khối trụ và tích phân hằng số

Định hướng. Chiều cao hình trụ là $b - a$ ; mặt cắt tại mọi $x$ là hình tròn bán kính $R$ .

V = π R^{2} (b - a)

S (x) = π R^{2}, a \leq x \leq b

\int_{a}^{b} S (x) d x = \int_{a}^{b} π R^{2} d x = π R^{2} x_{a}^{b} = π R^{2} (b - a)

Vậy $V = π R^{2} (b - a)$ và $\int_{a}^{b} S (x) d x = V$ .

2Cách 2. Xem hình trụ là khối tròn xoay

Định hướng. Hình trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật giới hạn bởi $y = R$ , trục hoành, $x = a$ , $x = b$ quanh $O x$ ; mỗi lát cắt là hình tròn bán kính $f (x) = R$ .

f (x) = R \Rightarrow S (x) = π f^{2} (x) = π R^{2}

\int_{a}^{b} S (x) d x = π \int_{a}^{b} R^{2} d x = π R^{2} (b - a) = V

Vậy $\int_{a}^{b} S (x) d x = V = π R^{2} (b - a)$ .

3Cách 3. Hàm thể tích

V (x)

và định lí Newton – Leibniz

Định hướng. Gọi $V (x)$ là thể tích phần hình trụ nằm giữa hai mặt phẳng $a$ và $x$ ; đó cũng là một hình trụ nên tính được, rồi so đạo hàm của nó với $S (x)$ .

V (x) = π R^{2} (x - a), a \leq x \leq b

V^{'} (x) = π R^{2} = S (x)

\int_{a}^{b} S (x) d x = V (b) - V (a) = π R^{2} (b - a) - 0 = V

Vậy $\int_{a}^{b} S (x) d x = V$ .

Nhận xét. Cách 3 là lí do sâu xa của công thức $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ : hàm thể tích $V (x)$ là một nguyên hàm của hàm diện tích mặt cắt $S (x)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là đủ cho hoạt động này; Cách 3 nên đọc kĩ vì nó giải thích vì sao công thức thể tích bằng tích phân đúng cho mọi vật thể.

Đáp số. a)

V = π R^{2} (b - a)

; b)

S (x) = π R^{2}

\int_{a}^{b} S (x) d x = π R^{2} (b - a) = V

Sai lầm thường gặp. Viết

S (x) = 2 π R

(chu vi, không phải diện tích) hoặc

S (x) = π x^{2}

(lấy hoành độ làm bán kính). Mặt cắt vuông góc với trục của hình trụ luôn là hình tròn bằng đáy, không phụ thuộc

x

🚀 Mở rộng. Hình lăng trụ bất kì có đáy diện tích

S

cũng có mặt cắt không đổi, nên

V = \int_{0}^{h} S d x = S h

— đó là Ví dụ 5 của sách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng 2★★★Trang 23— Chứng minh công thức thể tích bằng tích phân

Vận dụng 2 (trang 23). Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là

S_{0}

S_{1}

và chiều cao bằng

h

(H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng

S

và chiều cao bằng

h

Kiến thức cần nhớ

Hai đa giác đồng dạng tỉ số $k$ thì tỉ số diện tích bằng $k^{2}$ .
$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .
$b^{3} - a^{3} = (b - a) (b^{2} + ab + a^{2})$ .
Thể tích khối chóp cụt: $V = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khối chóp cụt là phần của một khối chóp bị cắt bởi mặt phẳng song song đáy. Đặt đỉnh chóp ở gốc

O

, trục

O x

vuông góc với hai đáy: mặt cắt tại

x

đồng dạng với đáy theo tỉ số

\frac{x}{b}

nên diện tích tỉ lệ với

x^{2}

. Khó khăn duy nhất là biến đổi kết quả về dạng chỉ chứa

S_{0}

S_{1}

h

— dùng

S_{0} S_{1} = S_{1} \frac{a}{b}

1Cách 1. Đặt đỉnh chóp tại gốc toạ độ

Định hướng. Gọi $a$ , $b$ $(0 < a < b)$ là hoành độ của đáy nhỏ và đáy lớn, $h = b - a$ . Mặt cắt tại $x$ đồng dạng với đáy lớn theo tỉ số $\frac{x}{b}$ .

S (x) = S_{1} \cdot \frac{x ^{2}}{b ^{2}}, S_{0} = S (a) = S_{1} \cdot \frac{a ^{2}}{b ^{2}} \Rightarrow S_{0} S_{1} = S_{1} \cdot \frac{a}{b}

V = \int_{a}^{b} \frac{S _{1}}{b ^{2}} x^{2} d x = \frac{S _{1}}{b ^{2}} \cdot \frac{x ^{3}}{3}_{a}^{b} = \frac{S _{1}}{3 b ^{2}} (b^{3} - a^{3})

V = \frac{S _{1}}{3 b ^{2}} (b - a) (b^{2} + ab + a^{2}) = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{1} \cdot \frac{a}{b} + S_{1} \cdot \frac{a ^{2}}{b ^{2}})

V = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{0} S_{1} + S_{0})

Khối chóp: cho đáy nhỏ co về đỉnh,

S_{0} = 0

S_{1} = S

V = \frac{h}{3} (S + 0 + 0) = \frac{1}{3} S h

Vậy khối chóp cụt có $V = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1})$ , khối chóp có $V = \frac{1}{3} S h$ .

2Cách 2. Đặt gốc tại tâm đáy nhỏ, dùng căn diện tích tuyến tính

Định hướng. Đặt $O$ tại tâm đáy nhỏ, trục $O x$ hướng về đáy lớn, $0 \leq x \leq h$ . Cạnh của mặt cắt biến thiên bậc nhất theo $x$ , nên $S (x)$ là hàm bậc nhất đi từ $S_{0}$ tới $S_{1}$ .

S (x) = S_{0} + (S_{1} - S_{0}) \frac{x}{h} = S_{0} + k x, k = \frac{S _{1} - S _{0}}{h}

V = \int_{0}^{h} (S_{0} + k x)^{2} d x = \int_{0}^{h} (S_{0} + 2 k S_{0} x + k^{2} x^{2}) d x

V = S_{0} h + k S_{0} h^{2} + \frac{k ^{2} h ^{3}}{3} = S_{0} h + (S_{1} - S_{0}) S_{0} h + \frac{( S _{1} - S _{0} ) ^{2} h}{3}

V = \frac{h}{3} (3 S_{0} + 3 S_{0} S_{1} - 3 S_{0} + S_{1} - 2 S_{0} S_{1} + S_{0}) = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1})

S_{0} = 0

S_{1} = S

V = \frac{1}{3} S h

Vậy $V = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1})$ ; khối chóp $V = \frac{1}{3} S h$ .

3Cách 3. Hiệu hai khối chóp (dùng Ví dụ 6)

Định hướng. Khối chóp cụt $=$ khối chóp lớn (đáy $S_{1}$ , cao $b$ ) trừ khối chóp nhỏ (đáy $S_{0}$ , cao $a$ ); mỗi khối chóp tính bằng tích phân như Ví dụ 6: $V = \frac{1}{3} \cdot$ đáy $\cdot$ cao.

V = \frac{1}{3} S_{1} b - \frac{1}{3} S_{0} a, \frac{a}{b} = \frac{S _{0}}{S _{1}}

a = \frac{h S _{0}}{S _{1} - S _{0}}, b = a + h = \frac{h S _{1}}{S _{1} - S _{0}}

V = \frac{h}{3} \cdot \frac{S _{1} S _{1} - S _{0} S _{0}}{S _{1} - S _{0}} = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{0} S_{1} + S_{0})

Vậy $V = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1})$ .

Nhận xét. Dòng cuối dùng hằng đẳng thức $u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + uv + v^{2})$ với $u = S_{1}$ , $v = S_{0}$ (khi $S_{0} \neq = S_{1}$ ). Công thức đúng cho mọi khối chóp cụt, không chỉ chóp cụt đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn và tự nhiên nhất (đúng hình vẽ của sách); Cách 2 đáng nhớ vì chỉ dùng hai dữ kiện

S_{0}

S_{1}

, không cần đặt thêm

a

b

Đáp số.

V = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1})

; khối chóp:

V = \frac{1}{3} S h

Sai lầm thường gặp. Cho

S (x)

biến thiên bậc nhất:

S (x) = S_{0} + \frac{S _{1} - S _{0}}{h} x

, dẫn tới

V = \frac{( S _{0} + S _{1} ) h}{2}

— sai, vì diện tích tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG kích thước; chỉ căn của diện tích mới biến thiên bậc nhất. Kiểm tra nhanh:

S_{0} = 0

phải cho

\frac{1}{3} S h

chứ không phải

\frac{1}{2} S h

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm cho khối nón cụt bán kính hai đáy

r

R

: thay

S_{0} = π r^{2}

S_{1} = π R^{2}

được

V = \frac{π h}{3} (r^{2} + r R + R^{2})

(khớp Vận dụng 3).

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 24— Thể tích khối tròn xoay

HĐ4 (trang 24). Nhận biết công thức tính thể tích của khối tròn xoay. Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

f (x) = \frac{1}{2} x

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 4

. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành

O x

ta được khối nón có đỉnh là gốc

O

, trục là

O x

và đáy là hình tròn bán kính bằng

2

(H.4.25).
a) Tính thể tích

V

của khối nón.
b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

x

(0 \leq x \leq 4)

thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là

f (x)

, do đó diện tích mặt cắt là

S (x) = π f^{2} (x)

.
Tính

π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x

và so sánh với

V

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f (x) \geq 0$ , trục hoành, $x = a$ , $x = b$ quanh $O x$ : $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Quay một điểm $M (x; y)$ quanh $O x$ được đường tròn tâm $(x; 0)$ bán kính $∣ y ∣$ , nằm trong mặt phẳng vuông góc với $O x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khối nón có chiều cao

4

(từ

O

tới đáy) và bán kính đáy

f (4) = 2

. Ở ý b, mỗi điểm

M

của khối quay từ một điểm của tam giác, nên khoảng cách từ

M

tới trục không vượt quá

f (x)

— mặt cắt là hình tròn tâm trên trục, bán kính

f (x)

. Tích phân

π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x

vì thế chính là tổng diện tích các lát cắt.

1Cách 1. Công thức khối nón và tích phân trực tiếp

Định hướng. Nón có $h = 4$ , $r = 2$ ; mặt cắt tại $x$ là hình tròn bán kính $f (x)$ vì mỗi đoạn thẳng đứng từ $(x; 0)$ tới $(x; f (x))$ quay thành một hình tròn.

V = \frac{1}{3} π \cdot 2^{2} \cdot 4 = \frac{16 π}{3}

b) Mặt phẳng

x = x_{0}

cắt tam giác theo đoạn từ

(x_{0}; 0)

tới

(x_{0}; f (x_{0}))

; quay quanh

O x

đoạn này quét thành hình tròn tâm

(x_{0}; 0)

bán kính

f (x_{0})

, nên

S (x) = π f^{2} (x)

π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x = π \int_{0}^{4} \frac{x ^{2}}{4} d x = π \cdot \frac{x ^{3}}{12}_{0}^{4} = π \cdot \frac{64}{12} = \frac{16 π}{3}

Vậy $V = \frac{16 π}{3}$ và $π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x = V$ .

2Cách 2. Mặt cắt bằng tam giác đồng dạng

Định hướng. Cắt qua trục: mặt cắt dọc của nón là tam giác cân đỉnh $O$ , đáy dài $4$ ( $2$ mỗi bên), cao $4$ . Mặt phẳng vuông góc trục tại $x$ cắt nón theo hình tròn có bán kính $r (x)$ tính bằng Thalès.

\frac{r ( x )}{2} = \frac{x}{4} \Rightarrow r (x) = \frac{x}{2} = f (x) \Rightarrow S (x) = π \frac{x ^{2}}{4}

\int_{0}^{4} S (x) d x = \frac{π}{4} \cdot \frac{4 ^{3}}{3} = \frac{16 π}{3} = \frac{1}{3} π \cdot 2^{2} \cdot 4 = V

Vậy $π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x = \frac{16 π}{3} = V$ .

3Cách 3. Lấy khối trụ trừ phần "vành khuyên"

Định hướng. Khối nón nằm trong khối trụ bán kính $2$ , cao $4$ . Phần còn lại là khối sinh ra khi quay miền giữa $y = \frac{x}{2}$ và $y = 2$ ; mặt cắt của nó là hình vành khuyên.

V_{1} = π \cdot 2^{2} \cdot 4 = 16 π

(khối trụ)

V_{2} = π \int_{0}^{4} (2^{2} - \frac{x ^{2}}{4}) d x = π (16 - \frac{16}{3}) = \frac{32 π}{3}

V = V_{1} - V_{2} = 16 π - \frac{32 π}{3} = \frac{16 π}{3}

Vậy $V = \frac{16 π}{3}$ , trùng với $π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy khối nón chiếm đúng $\frac{1}{3}$ khối trụ cùng đáy, cùng chiều cao — một cách "nhìn" ra hệ số $\frac{1}{3}$ trong công thức thể tích khối nón.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một dòng công thức nón, một dòng tích phân; đi thi chỉ cần viết

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

rồi tính.

Đáp số. a)

V = \frac{16 π}{3}

; b)

π \int_{0}^{4} f^{2} (x) d x = \frac{16 π}{3} = V

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương:

π \int_{0}^{4} \frac{x}{2} d x = 4 π

— đó là

π

nhân diện tích tam giác, không phải thể tích. Hoặc quên hệ số

\frac{1}{3}

ở ý a, ra

16 π

(thể tích khối trụ).

🚀 Mở rộng. Tổng quát, quay miền dưới

y = \frac{r}{h} x

trên

[0; h]

quanh

O x

được

V = π \int_{0}^{h} \frac{r ^{2}}{h ^{2}} x^{2} d x = \frac{1}{3} π r^{2} h

— chứng minh công thức thể tích khối nón.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Vận dụng 3★★★Trang 25— Thể tích khối tròn xoay — chứng minh công thức khối nón cụt, khối nón

Vận dụng 3 (trang 25). a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông

O A B C

trong mặt phẳng

O x y

với

O A = h

A B = R

và

O C = r

, quanh trục

O x

(H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng

R

và chiều cao

h

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $(0; r)$ và $(h; R)$ : $y = r + \frac{R - r}{h} x$ .
$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
$\int (p x + q)^{2} d x = \frac{( p x + q ) ^{3}}{3 p} + C$ $(p \neq = 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Quay hình thang vuông quanh cạnh

O A

được khối nón cụt. Biên trên của hình là đoạn

C B

nối

C (0; r)

và

B (h; R)

, nên chỉ cần viết phương trình đường thẳng

C B

rồi áp

V = π \int_{0}^{h} y^{2} d x

. Ý b: khối nón là trường hợp

r = 0

(điểm

C

trùng

O

1Cách 1. Đổi biến

u = r + \frac{R - r}{h} x

Định hướng. Với $R \neq = r$ , đặt $u$ bằng tung độ trên $C B$ : $u$ chạy từ $r$ tới $R$ . Trường hợp $R = r$ là khối trụ, xét riêng.

f (x) = r + \frac{R - r}{h} x, u = f (x) \Rightarrow d u = \frac{R - r}{h} d x

V = π \int_{0}^{h} (r + \frac{R - r}{h} x)^{2} d x = π \cdot \frac{h}{R - r} \int_{r}^{R} u^{2} d u

V = \frac{π h}{R - r} \cdot \frac{R ^{3} - r ^{3}}{3} = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

R = r

V = π r^{2} h = \frac{π h}{3} (r^{2} + r^{2} + r^{2})

— công thức vẫn đúng

r = 0

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + 0 + 0) = \frac{1}{3} π R^{2} h

Vậy a) $V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ ; b) khối nón có $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

2Cách 2. Khai triển bình phương rồi tích phân từng hạng tử

Định hướng. Đặt $k = \frac{R - r}{h}$ , khai triển $(r + k x)^{2}$ thành đa thức bậc hai theo $x$ .

V = π \int_{0}^{h} (r^{2} + 2 r k x + k^{2} x^{2}) d x = π (r^{2} h + r k h^{2} + \frac{k ^{2} h ^{3}}{3})

V = π h (r^{2} + r (R - r) + \frac{( R - r ) ^{2}}{3}) = \frac{π h}{3} (3 r^{2} + 3 R r - 3 r^{2} + R^{2} - 2 R r + r^{2})

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

r = 0 \Rightarrow V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Vậy a) $V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ ; b) $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

3Cách 3. Áp công thức chóp cụt tổng quát của Vận dụng 2

Định hướng. Lập luận ở Vận dụng 2 chỉ dùng tính đồng dạng của mặt cắt nên đúng cho khối nón cụt: hai đáy là hình tròn diện tích $S_{0} = π r^{2}$ , $S_{1} = π R^{2}$ .

V = \frac{h}{3} (S_{0} + S_{0} S_{1} + S_{1}) = \frac{h}{3} (π r^{2} + π r^{2} \cdot π R^{2} + π R^{2})

V = \frac{π h}{3} (r^{2} + r R + R^{2})

S_{0} = 0

S_{1} = π R^{2}

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một công thức; kiểm tra nhanh bằng hai trường hợp đặc biệt: $r = R$ phải ra khối trụ $π R^{2} h$ , $r = 0$ phải ra khối nón $\frac{1}{3} π R^{2} h$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: không phải đổi cận, không phải chia trường hợp

R = r

, chỉ là tích phân một đa thức bậc hai.

Đáp số. a)

V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})

; b)

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Sai lầm thường gặp. Viết phương trình

C B

là

y = \frac{R}{h} x

(quên tung độ gốc

r

), hoặc lấy

π \int_{0}^{h} (R^{2} - r^{2}) d x

như thể khối có mặt cắt vành khuyên — hình thang quay quanh cạnh

O A

nên mặt cắt là hình tròn đặc.

🚀 Mở rộng. Quay cùng hình thang quanh trục

O y

(cạnh

O C

) thì được khối gì? Thể tích lúc đó không tính được bằng công thức

π \int f^{2} (x) d x

theo

x

mà phải đổi vai trò

x

y

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.14★★Trang 25— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng

4.14 (trang 25). Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29 (hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = 5 x - x^{2}

và đường thẳng

y = x

; hai đường cắt nhau tại

O

và điểm

(4; 4)

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ , với $a$ , $b$ là hoành độ giao điểm khi đề không cho đường thẳng đứng.
Nếu $f (x) - g (x) = - k (x - x_{1}) (x - x_{2})$ thì $\int_{x_{1}}^{x_{2}} ∣ f - g ∣ d x = \frac{∣ k ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ .
Diện tích tam giác vuông cân cạnh $4$ bằng $8$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình không cho sẵn đường thẳng đứng nên cận tích phân là hoành độ giao điểm: giải

5 x - x^{2} = x

được

x = 0

x = 4

(khớp điểm

(4; 4)

trên hình). Trên

[0; 4]

parabol nằm trên đường thẳng. Vì

f - g

là tam thức bậc hai nên còn dùng được công thức "diện tích viên phân parabol".

1Cách 1. Công thức diện tích giữa hai đồ thị

Định hướng. Tìm giao điểm để có cận, rồi lấy hiệu "trên trừ dưới".

5 x - x^{2} = x \Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 4

S = \int_{0}^{4} 4 x - x^{2} d x = \int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x = (2 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{4} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}

Vậy $S = \frac{32}{3}$ .

2Cách 2. Diện tích dưới parabol trừ diện tích tam giác

Định hướng. Hình tô màu $=$ hình dưới parabol trên $[0; 4]$ trừ tam giác vuông $O$ , $(4; 0)$ , $(4; 4)$ nằm dưới đường $y = x$ .

S_{1} = \int_{0}^{4} (5 x - x^{2}) d x = (\frac{5 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{4} = 40 - \frac{64}{3} = \frac{56}{3}

S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

S = S_{1} - S_{2} = \frac{56}{3} - 8 = \frac{32}{3}

Vậy $S = \frac{32}{3}$ .

3Cách 3. Công thức viên phân parabol

Định hướng. $f (x) - g (x) = 4 x - x^{2} = - (x - 0) (x - 4)$ có hệ số $k = 1$ , hai nghiệm $0$ và $4$ .

S = \frac{∣ k ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6} = \frac{1 \cdot ( 4 - 0 ) ^{3}}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}

Vậy $S = \frac{32}{3}$ .

Nhận xét. Công thức $\frac{∣ k ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ suy ra từ $\int_{x_{1}}^{x_{2}} (x - x_{1}) (x_{2} - x) d x = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ ; nó dùng cho mọi miền giữa parabol và đường thẳng (hoặc hai parabol) cắt nhau tại hai điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trắc nghiệm dùng Cách 3 (một dòng); tự luận trình bày Cách 1 và dùng Cách 3 để thử lại.

Đáp số.

S = \frac{32}{3}

Sai lầm thường gặp. Tính

\int_{0}^{4} (5 x - x^{2}) d x = \frac{56}{3}

rồi dừng — đó là cả miền dưới parabol, chưa trừ tam giác dưới đường

y = x

. Hoặc lấy cận

0

và

5

(nghiệm của

5 x - x^{2} = 0

) thay cho hoành độ giao điểm

4

🚀 Mở rộng. Tổng quát: miền giữa

y = m x - x^{2}

và

y = x

(m > 1)

có diện tích

\frac{( m - 1 ) ^{3}}{6}

; thử tìm

m

để diện tích bằng

\frac{9}{2}

(đáp số

m = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.15★★Trang 25— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

4.15 (trang 25). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a)

y = e^{x}

y = x^{2} - 1

x = - 1

x = 1

;
b)

y = sin x

y = x

x = \frac{π}{2}

x = π

;
c)

y = 9 - x^{2}

y = 2 x^{2}

x = - 3

x = 3

;
d)

y = x

y = x^{2}

x = 0

x = 1

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int x d x = \frac{2}{3} x x + C$ .
Hàm chẵn trên đoạn đối xứng: $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ .
Viên phân parabol: $\int_{x_{1}}^{x_{2}} k (x - x_{1}) (x_{2} - x) d x = \frac{k ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều cho đủ hai đường thẳng đứng, việc chính là xác định đường nào nằm trên để bỏ dấu giá trị tuyệt đối: a)

e^{x} > 0 \geq x^{2} - 1

trên

[- 1; 1]

; b)

x \geq 1 \geq sin x

trên

[\frac{π}{2}; π]

; c)

9 - x^{2} - 2 x^{2} = 3 (3 - x^{2}) \geq 0

; d)

x \geq x^{2}

vì

0 \leq x \leq 1

. Không ý nào có giao điểm bên trong đoạn nên không phải tách.

1Cách 1. Xét vị trí hai đồ thị rồi tính trực tiếp

Định hướng. Trên mỗi đoạn một hàm luôn lớn hơn, nên $S = \int_{a}^{b} (f - g) d x$ với $f$ là hàm có đồ thị ở trên.

S = \int_{- 1}^{1} (e^{x} - x^{2} + 1) d x = (e^{x} - \frac{x ^{3}}{3} + x)_{- 1}^{1} = (e + \frac{2}{3}) - (e^{- 1} - \frac{2}{3}) = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}

S = \int_{\frac{π}{2}}^{π} (x - sin x) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + cos x)_{\frac{π}{2}}^{π} = (\frac{π ^{2}}{2} - 1) - \frac{π ^{2}}{8} = \frac{3 π ^{2}}{8} - 1

S = \int_{- 3}^{3} (9 - 3 x^{2}) d x = (9 x - x^{3})_{- 3}^{3} = (93 - 33) - (- 93 + 33) = 123

S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = (\frac{2}{3} x x - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Vậy a) $e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}$ ; b) $\frac{3 π ^{2}}{8} - 1$ ; c) $123$ ; d) $\frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Hiệu hai diện tích hình thang cong

Định hướng. Tách tích phân của hiệu thành hiệu hai tích phân, mỗi cái là một diện tích (có dấu) quen thuộc; ý c, ý a dùng tính chẵn để chỉ tính nửa đoạn.

S = \int_{- 1}^{1} e^{x} d x + \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = (e - \frac{1}{e}) + 2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x = e - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{2}{3} = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}

S = \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} sin x d x = \frac{π ^{2} - \frac{π ^{2}}{4}}{2} - 1 = \frac{3 π ^{2}}{8} - 1

S = 2 \int_{0}^{3} (9 - 3 x^{2}) d x = 2 (93 - 33) = 123

S = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Vậy a) $e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}$ ; b) $\frac{3 π ^{2}}{8} - 1$ ; c) $123$ ; d) $\frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Đối xứng, đổi biến và viên phân parabol

Định hướng. Mỗi ý có một "mẹo hình học": d) miền đối xứng qua đường $y = x$ ; c) hiệu hai parabol là tam thức có hai nghiệm $\pm 3$ ; b) đổi $t = π - x$ để đưa về đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ ; a) phần $1 - x^{2}$ là viên phân parabol.

\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{1 \cdot 2 ^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow S = (e - e^{- 1}) + \frac{4}{3}

t = π - x

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (π - t - sin t) d t = \frac{π ^{2}}{2} - \frac{π ^{2}}{8} - 1 = \frac{3 π ^{2}}{8} - 1

9 - 3 x^{2} = 3 (x + 3) (3 - x) \Rightarrow S = \frac{3 ( 2 3 ) ^{3}}{6} = \frac{3 \cdot 24 3}{6} = 123

y = x

và

y = x^{2}

đối xứng nhau qua

y = x

S = 2 \int_{0}^{1} (x - x) d x = 2 (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3}

Vậy a) $e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}$ ; b) $\frac{3 π ^{2}}{8} - 1$ ; c) $123$ ; d) $\frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Ý d còn cho thấy: hai đường $y = x^{n}$ và $y = n x$ trên $[0; 1]$ luôn giới hạn miền có diện tích $2 (\frac{n}{n + 1} - \frac{1}{2}) = \frac{n - 1}{n + 1}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho cả bốn ý; riêng ý c nên dùng tính chẵn (Cách 2) hoặc công thức viên phân (Cách 3) để khỏi tính với cận âm.

Đáp số. a)

e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}

; b)

\frac{3 π ^{2}}{8} - 1

; c)

123

; d)

\frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Ý b: viết nguyên hàm của

sin x

là

cos x

(sai dấu), dẫn tới

\frac{3 π ^{2}}{8} + 1

. Ý a: tưởng hai đồ thị cắt nhau trong

[- 1; 1]

rồi tách đoạn — thật ra

e^{x} > 0 \geq x^{2} - 1

ở mọi điểm của đoạn. Ý c: quên nhân

3

khi viết

9 - 3 x^{2}

thành tích.

🚀 Mở rộng. Thử ý b với đoạn

[0; π]

S = \frac{π ^{2}}{2} - 2

; và ý d với

y = 3 x

y = x^{3}

trên

[0; 1]

S = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.16★★★Trang 25— Ứng dụng diện tích: đường cong Lorenz

4.16 (trang 25). Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh hoạ sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi

x

là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và

y

là phần trăm tổng thu nhập, mô hình

y = x

sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz

y = f (x)

, biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với

0 \leq x \leq 100

, biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hoá bởi hàm số

y = (0, 00061 x^{2} + 0, 0218 x + 1, 723)^{2}

0 \leq x \leq 100

,
trong đó

x

được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).
Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$ khi $f \geq g$ .
$(A + B + C)^{2} = A^{2} + B^{2} + C^{2} + 2 A B + 2 B C + 2 C A$ .
Đổi biến $x = 100 t$ : $d x = 100 d t$ , cận $0 \to 0$ , $100 \to 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Diện tích giữa hai mô hình" là diện tích giữa

y = x

và

y = f (x)

trên

[0; 100]

; đường cong Lorenz nằm dưới đường bình đẳng nên lấy

\int_{0}^{100} [x - f (x)] d x

. Khó khăn chỉ là khai triển bình phương một tam thức có hệ số thập phân — đổi biến

x = 100 t

giúp các hệ số gọn hơn nhiều.

1Cách 1. Khai triển rồi tích phân từng hạng tử

Định hướng. Khai triển $f (x)$ thành đa thức bậc bốn rồi áp nguyên hàm luỹ thừa.

f (x) = 3, 721 \cdot 1 0^{- 7} x^{4} + 2, 6596 \cdot 1 0^{- 5} x^{3} + 0, 0025773 x^{2} + 0, 0751228 x + 2, 968729

\int_{0}^{100} f (x) d x = 3, 721 \cdot 1 0^{- 7} \cdot \frac{1 0 ^{10}}{5} + 2, 6596 \cdot 1 0^{- 5} \cdot \frac{1 0 ^{8}}{4} + 0, 0025773 \cdot \frac{1 0 ^{6}}{3} + 0, 0751228 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2} + 2, 968729 \cdot 100

\int_{0}^{100} f (x) d x = 744, 2 + 664, 9 + 859, 1 + 375, 614 + 296, 8729 = 2940, 6869

S = \int_{0}^{100} [x - f (x)] d x = 5000 - 2940, 6869 = 2059, 3131

Vậy sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 là $S \approx 2059, 31$ .

2Cách 2. Đổi biến

x = 100 t

cho hệ số gọn

Định hướng. Với $x = 100 t$ , tam thức thành $q (t) = 6, 1 t^{2} + 2, 18 t + 1, 723$ , các hệ số cùng cỡ nên khai triển ít nhầm hơn.

S = \int_{0}^{100} [x - f (x)] d x = 100 \int_{0}^{1} [100 t - q^{2} (t)] d t

q^{2} (t) = 37, 21 t^{4} + 26, 596 t^{3} + 25, 773 t^{2} + 7, 51228 t + 2, 968729

\int_{0}^{1} q^{2} (t) d t = \frac{37 , 21}{5} + \frac{26 , 596}{4} + \frac{25 , 773}{3} + \frac{7 , 51228}{2} + 2, 968729 = 29, 406869

S = 100 \cdot (50 - 29, 406869) = 2059, 3131

Vậy $S \approx 2059, 31$ .

3Cách 3. Hệ số Gini và kiểm tra bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Diện tích cả tam giác dưới đường $y = x$ là $5000$ ; tỉ số $\frac{S}{5000}$ là hệ số Gini. Bấm máy tích phân số để kiểm tra kết quả.

\int_{0}^{100} (X - (0, 00061 X^{2} + 0, 0218 X + 1, 723)^{2}) d X \approx 2059, 3131

(máy tính cầm tay)

G = \frac{S}{5000} \approx \frac{2059 , 31}{5000} \approx 0, 41

Vậy $S \approx 2059, 31$ , ứng với hệ số Gini khoảng $0, 41$ .

Nhận xét. Hệ số Gini $0, 41$ khớp số liệu thống kê của Hoa Kỳ những năm 2000; $G = 0$ là bình đẳng tuyệt đối, $G$ càng gần $1$ càng bất bình đẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Tự luận nên dùng Cách 2 (đổi biến làm hệ số gọn, ít nhầm dấu phẩy); đi thi trắc nghiệm bấm máy như Cách 3.

Đáp số.

S = \int_{0}^{100} [x - f (x)] d x \approx 2059, 31

Sai lầm thường gặp. Sách in hằng số là "

1723

" — nếu đọc thành một nghìn bảy trăm hai mươi ba thì

f (0) \approx 2, 97 \cdot 1 0^{6}

vô lí (phần trăm thu nhập không thể vượt

100

); đúng phải là

1, 723

như mô hình gốc của Larson, khi đó

f (100) \approx 100

. Lỗi khác: tính

\int_{0}^{100} f (x) d x

rồi dừng, quên lấy

5000

trừ đi. (Mô hình cho

f (0) \approx 2, 97

nên trên

[0; 3, 24]

đường cong hơi vượt

y = x

; nếu lấy trị tuyệt đối trên đoạn này thì được

\approx 2068, 90

— theo đúng định nghĩa của nhà kinh tế vẫn dùng

\int_{0}^{100} (x - f) d x

🚀 Mở rộng. Nếu một nước có đường cong Lorenz

y = \frac{x ^{2}}{100}

thì

S = 5000 - \frac{1 0 ^{6}}{300} = \frac{5000}{3} \approx 1666, 67

(hệ số Gini

\frac{1}{3}

) — bình đẳng hơn Hoa Kỳ năm 2005.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.17★★Trang 26— Thể tích khối tròn xoay

4.17 (trang 26). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục

O x

y = 2 x - x^{2}

y = 0

x = 0

x = 2

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
$(2 x - x^{2})^{2} = 4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}$ .
$\int_{0}^{1} u^{m} (1 - u)^{n} d u = \frac{m ! n !}{( m + n + 1 )!}$ (với $m$ , $n$ tự nhiên).

🧠 Phân tích tư duy

Hình phẳng nằm trên trục hoành (vì

2 x - x^{2} = x (2 - x) \geq 0

trên

[0; 2]

) nên áp thẳng

V = π \int_{0}^{2} f^{2} (x) d x

. Parabol đối xứng qua

x = 1

— tịnh tiến

t = x - 1

biến

f

thành

1 - t^{2}

, hàm chẵn, tính gọn hơn.

1Cách 1. Khai triển bình phương

Định hướng. Bình phương ra đa thức bậc bốn rồi tích phân.

V = π \int_{0}^{2} (2 x - x^{2})^{2} d x = π \int_{0}^{2} (4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}) d x

V = π (\frac{4 x ^{3}}{3} - x^{4} + \frac{x ^{5}}{5})_{0}^{2} = π (\frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}) = π \cdot \frac{160 - 240 + 96}{15} = \frac{16 π}{15}

Vậy $V = \frac{16 π}{15}$ .

2Cách 2. Tịnh tiến về đối xứng:

t = x - 1

Định hướng. $2 x - x^{2} = 1 - (x - 1)^{2} = 1 - t^{2}$ , $t \in [- 1; 1]$ ; hàm chẵn nên gấp đôi nửa đoạn $[0; 1]$ .

V = π \int_{- 1}^{1} (1 - t^{2})^{2} d t = 2 π \int_{0}^{1} (1 - 2 t^{2} + t^{4}) d t

V = 2 π (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) = 2 π \cdot \frac{8}{15} = \frac{16 π}{15}

Vậy $V = \frac{16 π}{15}$ .

3Cách 3. Co giãn

x = 2 u

về tích phân chuẩn trên

[0; 1]

Định hướng. $2 x - x^{2} = x (2 - x)$ ; đặt $x = 2 u$ thì $x (2 - x) = 4 u (1 - u)$ , $d x = 2 d u$ .

V = π \int_{0}^{2} x^{2} (2 - x)^{2} d x = π \int_{0}^{1} 16 u^{2} (1 - u)^{2} \cdot 2 d u = 32 π \int_{0}^{1} (u^{2} - 2 u^{3} + u^{4}) d u

V = 32 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}) = 32 π \cdot \frac{1}{30} = \frac{16 π}{15}

Vậy $V = \frac{16 π}{15}$ .

Nhận xét. Kết quả $\int_{0}^{1} u^{2} (1 - u)^{2} d u = \frac{2 ! 2 !}{5 !} = \frac{1}{30}$ giúp tính nhanh mọi bài quay parabol $y = x (c - x)$ quanh $O x$ : $V = \frac{π c ^{5}}{30}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi tịnh tiến, hàm chẵn và các hệ số là

1

- 2

1

nên hầu như không thể tính sai.

Đáp số.

V = \frac{16 π}{15}

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương:

π \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = \frac{4 π}{3}

. Hoặc khai triển sai

(2 x - x^{2})^{2} = 4 x^{2} - x^{4}

(quên hạng tử

- 4 x^{3}

), ra

\frac{64 π}{15}

🚀 Mở rộng. Quay miền dưới

y = x (c - x)

0 \leq x \leq c

quanh

O x

được

V = \frac{π c ^{5}}{30}

; với

c = 2

ra đúng

\frac{16 π}{15}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.18★★★Trang 26— Thể tích khối tròn xoay — chỏm cầu

4.18 (trang 26). Khối chỏm cầu có bán kính

R

và chiều cao

h

(0 < h \leq R)

sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình

y = R^{2} - x^{2}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = R - h

x = R

xung quanh trục

O x

(H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
$(R - h)^{3} = R^{3} - 3 R^{2} h + 3 R h^{2} - h^{3}$ .
Thể tích khối nón cụt: $V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ (Vận dụng 3).

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn hàm và hai cận, chỉ cần áp

V = π \int f^{2}

; vì

f^{2} = R^{2} - x^{2}

là đa thức nên căn biến mất. Chỗ dễ sai là khai triển

(R - h)^{3}

; đổi biến

t = R - x

(khoảng cách tới đỉnh chỏm) làm cận thành

0

và

h

, tránh hẳn lập phương.

1Cách 1. Tích phân trực tiếp

Định hướng. $f^{2} (x) = R^{2} - x^{2}$ ; tính nguyên hàm rồi khai triển $(R - h)^{3}$ .

V = π \int_{R - h}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x = π (R^{2} x - \frac{x ^{3}}{3})_{R - h}^{R}

V = π [R^{2} h - \frac{R ^{3} - ( R - h ) ^{3}}{3}] = π [R^{2} h - \frac{3 R ^{2} h - 3 R h ^{2} + h ^{3}}{3}]

V = π (R h^{2} - \frac{h ^{3}}{3}) = π h^{2} (R - \frac{h}{3})

Vậy $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .

2Cách 2. Đổi biến

t = R - x

Định hướng. $t$ là khoảng cách từ mặt cắt tới đỉnh chỏm, $t \in [0; h]$ ; $R^{2} - x^{2} = (R - x) (R + x) = t (2 R - t)$ .

V = π \int_{0}^{h} (2 R t - t^{2}) d t = π (R t^{2} - \frac{t ^{3}}{3})_{0}^{h} = π (R h^{2} - \frac{h ^{3}}{3})

Vậy $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .

3Cách 3. Khối trụ trừ khối nón cụt

Định hướng. $π \int_{R - h}^{R} R^{2} d x$ là khối trụ bán kính $R$ , cao $h$ ; còn $π \int_{R - h}^{R} x^{2} d x$ là khối nón cụt sinh bởi đường $y = x$ , bán kính hai đáy $R - h$ và $R$ , cao $h$ .

V = π R^{2} h - \frac{π h}{3} [R^{2} + R (R - h) + (R - h)^{2}]

V = π R^{2} h - \frac{π h}{3} (3 R^{2} - 3 R h + h^{2}) = π h (R h - \frac{h ^{2}}{3}) = π h^{2} (R - \frac{h}{3})

Vậy $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $h = R$ cho $V = \frac{2}{3} π R^{3}$ , đúng nửa khối cầu; công thức cũng đúng cho $R < h \leq 2 R$ và $h = 2 R$ ra $\frac{4}{3} π R^{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi biến làm cận thành

0

và

h

, không phải khai triển

(R - h)^{3}

nên gần như không thể sai.

Đáp số.

V = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) = \frac{π h ^{2} ( 3 R - h )}{3}

Sai lầm thường gặp. Khai triển nhầm

(R - h)^{3} = R^{3} - h^{3}

dẫn tới

V = π (R^{2} h - \frac{h ^{3}}{3})

; thử

h = R

\frac{2 π R ^{3}}{3}

tình cờ đúng nên càng khó phát hiện — hãy thử thêm

h = 2 R

(phải ra

\frac{4}{3} π R^{3}

). Lỗi khác: quên bình phương căn, lấy

π \int R^{2} - x^{2} d x

🚀 Mở rộng. Một chiếc bát hình chỏm cầu bán kính

R = 10

cm, sâu

h = 4

cm chứa được

π \cdot 16 \cdot (10 - \frac{4}{3}) = \frac{416 π}{3} \approx 435, 6

cm³ nước.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.19★★★Trang 26— Thể tích khối tròn xoay có tham số, tìm giá trị lớn nhất

4.19 (trang 26). Cho tam giác vuông

O A B

có cạnh

O A = a

nằm trên trục

O x

và

A O B = α

(0 < α \leq \frac{π}{4})

. Gọi

B

là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác

O A B

xung quanh trục

O x

(H.4.31).
a) Tính thể tích

V

của

B

theo

a

và

α

.
b) Tìm

α

sao cho thể tích

V

lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Đường thẳng qua $O$ tạo với $O x$ góc $α$ : $y = x tan α$ .
$tan$ đồng biến trên $(0; \frac{π}{2})$ ; $(tan^{2} α)^{'} = \frac{2 tan α}{cos ^{2} α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cạnh

O B

nằm trên đường thẳng qua gốc có hệ số góc

tan α

, nên

B

là khối nón sinh bởi miền dưới

y = x tan α

trên

[0; a]

. Ý b là bài toán tối ưu một biến:

V

tỉ lệ với

tan^{2} α

, mà

tan

đồng biến trên

(0; \frac{π}{4}]

nên cực đại nằm ở đầu mút.

1Cách 1. Tích phân và tính đồng biến của

tan

Định hướng. Viết phương trình $O B$ rồi áp công thức thể tích khối tròn xoay.

O B : y = x tan α, 0 \leq x \leq a

V = π \int_{0}^{a} x^{2} tan^{2} α d x = π tan^{2} α \cdot \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{a} = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}

0 < α \leq \frac{π}{4} \Rightarrow 0 < tan α \leq tan \frac{π}{4} = 1 \Rightarrow V \leq \frac{π a ^{3}}{3}

V = \frac{π a ^{3}}{3} \Leftrightarrow tan α = 1 \Leftrightarrow α = \frac{π}{4}

Vậy a) $V = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}$ ; b) $V$ lớn nhất bằng $\frac{π a ^{3}}{3}$ khi $α = \frac{π}{4}$ .

2Cách 2. Công thức khối nón và đạo hàm

Định hướng. $B$ là khối nón có chiều cao $O A = a$ , bán kính đáy $A B = a tan α$ . Ý b khảo sát $V (α)$ bằng đạo hàm.

A B = O A \cdot tan α = a tan α \Rightarrow V = \frac{1}{3} π \cdot A B^{2} \cdot O A = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}

V^{'} (α) = \frac{π a ^{3}}{3} \cdot \frac{2 tan α}{cos ^{2} α} > 0, \forall α \in (0; \frac{π}{4}]

V

đồng biến trên

(0; \frac{π}{4}] \Rightarrow max V = V (\frac{π}{4}) = \frac{π a ^{3}}{3}

Vậy a) $V = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}$ ; b) $α = \frac{π}{4}$ .

3Cách 3. Diện tích mặt cắt theo Thalès; so sánh bằng hình học

Định hướng. Mặt cắt tại $x$ là hình tròn bán kính $r (x)$ với $\frac{r ( x )}{A B} = \frac{x}{a}$ . Ý b: với $α \leq \frac{π}{4}$ thì $A B \leq O A$ , nên $B$ không vượt quá điểm $B_{0} (a; a)$ .

S (x) = π (\frac{x}{a} \cdot a tan α)^{2} = π x^{2} tan^{2} α \Rightarrow V = \int_{0}^{a} π x^{2} tan^{2} α d x = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}

A B = a tan α \leq a = A B_{0} \Rightarrow V \leq \frac{1}{3} π a^{2} \cdot a = \frac{π a ^{3}}{3}

, dấu bằng khi

B \equiv B_{0}

, tức

α = \frac{π}{4}

Vậy a) $V = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}$ ; b) $V_{m a x} = \frac{π a ^{3}}{3}$ tại $α = \frac{π}{4}$ .

Nhận xét. Nếu bỏ ràng buộc $α \leq \frac{π}{4}$ (chỉ giữ $0 < α < \frac{π}{2}$ ) thì $V$ không có giá trị lớn nhất vì $tan^{2} α \to + \infty$ khi $α \to \frac{π}{2}$ — đó là lí do đề chặn $α$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra khối nón thì ý a chỉ một dòng; ý b nêu

tan

đồng biến là đủ (Cách 1), đạo hàm chỉ để chặt chẽ hơn.

Đáp số. a)

V = \frac{π a ^{3} tan ^{2} α}{3}

; b)

V

lớn nhất bằng

\frac{π a ^{3}}{3}

khi

α = \frac{π}{4}

Sai lầm thường gặp. Lấy bán kính đáy là

a sin α

(nhầm

O A

là cạnh huyền) hoặc chiều cao là

O B

. Ở ý b, đi tìm nghiệm

V^{'} (α) = 0

— phương trình vô nghiệm trên

(0; \frac{π}{4}]

, giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút.

🚀 Mở rộng. Nếu giữ cố định cạnh huyền

O B = ℓ

thay cho

O A = a

thì

V = \frac{π ℓ ^{3}}{3} sin^{2} α cos α

, lớn nhất khi

tan α = 2

— bài toán tối ưu hay hơn nhiều.

Mở bài này trong app ↗