Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.1★★Trang 24— Phương trình mặt phẳng qua ba điểm

Bài 5.1 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (1; 0; - 3)

B (2; 1; 0)

C (3; 2; 1)

. Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

$n = [A B, A C]$ là vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ .
Qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một mặt phẳng.
$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm cho sẵn toạ độ: dùng cặp vectơ chỉ phương

A B, A C

và tích có hướng. Để ý ở cả ba điểm, hoành độ luôn hơn tung độ đúng

1

— một hệ thức bậc nhất có sẵn, gợi ý lời giải một dòng.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Lấy $n = [A B, A C]$ rồi viết phương trình qua $A$ .

A B = (1; 1; 3), A C = (2; 2; 4)

[A B, A C] = (1 \cdot 4 - 3 \cdot 2; 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4; 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = (- 2; 2; 0) = - 2 (1; - 1; 0)

1 (x - 1) - 1 (y - 0) + 0 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0

Vậy $(A B C) : x - y - 1 = 0$ .

2Cách 2. Thay ba điểm vào phương trình tổng quát

Định hướng. Tìm $a, b, c, d$ để $a x + b y + cz + d = 0$ đi qua $A, B, C$ .

⎩ ⎨ ⎧ a - 3 c + d = 0 2 a + b + d = 0 3 a + 2 b + c + d = 0

a + b + 3 c = 0, a + b + c = 0 \Rightarrow c = 0, b = - a

a = 1 \Rightarrow b = - 1, d = - 1

x - y - 1 = 0

Vậy $(A B C) : x - y - 1 = 0$ .

3Cách 3. Nhận ra hệ thức chung của ba điểm

Định hướng. Ba điểm đều thoả $x - y = 1$ ; phương trình này là phương trình mặt phẳng và $A, B, C$ không thẳng hàng.

A

1 - 0 = 1

;

B

2 - 1 = 1

;

C

3 - 2 = 1

\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq = \frac{3}{4}

nên

A B, A C

không cùng phương

(A B C) : x - y - 1 = 0

Vậy $(A B C) : x - y - 1 = 0$ .

Nhận xét. Mặt phẳng $(A B C)$ khuyết $z$ nên vuông góc với $(O x y)$ — điều mà Cách 1 cũng cho thấy qua toạ độ thứ ba của $n$ bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (quy trình chuẩn); nếu nhìn ra hệ thức chung như Cách 3 thì chỉ cần một dòng kiểm tra.

Đáp số.

(A B C) : x - y - 1 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là thấy

A C = (2; 2; 4)

“gần gấp đôi”

A B = (1; 1; 3)

rồi kết luận ba điểm thẳng hàng. Thật ra

4 \neq = 2 \cdot 3

nên không cùng phương.

🚀 Mở rộng. Điểm

D (5; 4; m)

thuộc

(A B C)

với mọi

m

vì

5 - 4 - 1 = 0

: mặt phẳng

(A B C)

chứa cả đường thẳng đứng qua

(5; 4; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.2★Trang 24— Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Bài 5.2 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (2; 0; 0)

B (0; - 3; 0)

C (0; 0; 1)

. Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng qua $A (a; 0; 0)$ , $B (0; b; 0)$ , $C (0; 0; c)$ ( $ab c \neq = 0$ ): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
$n = [A B, A C]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm nằm trên ba trục toạ độ, khác gốc: dấu hiệu dùng phương trình đoạn chắn. Bẫy: đoạn chắn trên

O y

là

- 3

(âm), giữ nguyên dấu.

1Cách 1. Phương trình đoạn chắn

Định hướng. Thay $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ .

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{1} = 1

3 x - 2 y + 6 z = 6

3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0$ .

2Cách 2. Tích có hướng

Định hướng. Dùng cặp vectơ chỉ phương $A B, A C$ .

A B = (- 2; - 3; 0), A C = (- 2; 0; 1)

[A B, A C] = ((- 3) \cdot 1 - 0 \cdot 0; 0 \cdot (- 2) - (- 2) \cdot 1; (- 2) \cdot 0 - (- 3) (- 2)) = (- 3; 2; - 6)

- 3 (x - 2) + 2 y - 6 z = 0 \Leftrightarrow 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0$ .

3Cách 3. Phương trình tổng quát với

D \neq = 0

Định hướng. $(A B C)$ không qua $O$ nên có dạng $a x + b y + cz - 1 = 0$ (chia cho $- D$ ); thay ba điểm.

A

2 a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}

;

B

- 3 b - 1 = 0 \Rightarrow b = - \frac{1}{3}

;

C

c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1

\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y + z - 1 = 0

3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0$ .

Nhận xét. Cả ba cách thực chất đều dẫn tới $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ; Cách 1 dùng thẳng kết quả nên ngắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ba điểm trên ba trục, viết ngay phương trình đoạn chắn.

Đáp số.

(A B C) : \frac{x}{2} - \frac{y}{3} + z = 1

, hay

3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 1

(bỏ dấu âm của

- 3

), khi đó

B (0; - 3; 0)

không thoả.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ

O

tới

(A B C)

\frac{6}{9 + 4 + 36} = \frac{6}{7}

; thể tích tứ diện

O A B C

bằng

\frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.3★★Trang 24— Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; mặt phẳng song song

Bài 5.3 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α) : x - 2 y - 2 z + 9 = 0

và điểm

A (2; - 1; 3)

.
a) Tính khoảng cách từ

A

đến mặt phẳng

(α)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(β)

đi qua

A

và song song với

(α)

Kiến thức cần nhớ

$d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
$(β) ∥ (α)$ thì $(β) : A x + B y + C z + D^{'} = 0$ , $D^{'} \neq = D$ .
Cùng bộ $A, B, C$ : $d ((α), (β)) = \frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a áp dụng công thức khoảng cách. Câu b: song song với

(α)

thì giữ nguyên vectơ pháp tuyến

(1; - 2; - 2)

, chỉ còn tìm hệ số tự do từ điều kiện qua

A

. Hai câu liên hệ nhau: khoảng cách ở câu a chính là khoảng cách giữa

(α)

và

(β)

1Cách 1. Công thức khoảng cách; phương trình qua điểm

Định hướng. Thay toạ độ $A$ vào công thức; viết $(β)$ qua $A$ với $n = (1; - 2; - 2)$ .

d (A, (α)) = \frac{∣2 - 2 \cdot ( - 1 ) - 2 \cdot 3 + 9∣}{1 + 4 + 4} = \frac{∣2 + 2 - 6 + 9∣}{3} = \frac{7}{3}

1 (x - 2) - 2 (y + 1) - 2 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 2 z + 2 = 0

Vậy a) $d (A, (α)) = \frac{7}{3}$ ; b) $(β) : x - 2 y - 2 z + 2 = 0$ .

2Cách 2. Hình chiếu vuông góc; tìm hệ số tự do

Định hướng. Tìm hình chiếu $H = A + t n$ của $A$ trên $(α)$ ; câu b giữ vế trái $x - 2 y - 2 z$ .

H (2 + t; - 1 - 2 t; 3 - 2 t) \in (α)

2 + t + 2 + 4 t - 6 + 4 t + 9 = 0 \Rightarrow t = - \frac{7}{9}

A H = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{7}{9} \cdot 3 = \frac{7}{3}

(β) : x - 2 y - 2 z + d = 0

A \in (β)

2 + 2 - 6 + d = 0 \Rightarrow d = 2

Vậy a) $\frac{7}{3}$ ; b) $(β) : x - 2 y - 2 z + 2 = 0$ .

3Cách 3. Làm câu b trước, rồi tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định hướng. $A \in (β) ∥ (α)$ nên $d (A, (α)) = d ((β), (α))$ .

(β) : x - 2 y - 2 z + 2 = 0

d (A, (α)) = d ((β), (α)) = \frac{∣9 - 2∣}{1 + 4 + 4} = \frac{7}{3}

Vậy $d (A, (α)) = \frac{7}{3}$ và $(β) : x - 2 y - 2 z + 2 = 0$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy mối liên hệ giữa hai câu: mọi điểm của $(β)$ đều cách $(α)$ đúng $\frac{7}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số trực tiếp, hai dòng là xong.

Đáp số. a)

d (A, (α)) = \frac{7}{3}

. b)

(β) : x - 2 y - 2 z + 2 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu a là tính

- 2 \cdot (- 1)

thành

- 2

, ra

\frac{∣2 - 2 - 6 + 9∣}{3} = 1

. Cẩn thận dấu khi thay toạ độ âm.

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng song song với

(α)

và cách

A

một khoảng bằng

1

x - 2 y - 2 z + d = 0

với

∣ d - 2∣ = 3

, tức

d = 5

hoặc

d = - 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.4★★Trang 24— Mặt phẳng chứa hai điểm, vuông góc mặt phẳng / song song trục

Bài 5.4 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (2; - 1; 0)

B (3; 1; 2)

và mặt phẳng

(α) : x + 2 y + 3 z - 1 = 0

.
a) Viết phương trình mặt phẳng

(β)

chứa

A, B

và vuông góc với mặt phẳng

(α)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

A, B

và song song với trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$(β) ⊥ (α)$ thì $n_{α}$ có giá song song hoặc nằm trong $(β)$ .
$(P) ∥ O x$ thì $i = (1; 0; 0)$ là vectơ chỉ phương, phương trình khuyết $x$ .
$n = [u, v]$ với $u, v$ là cặp vectơ chỉ phương.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có một vectơ chỉ phương sẵn là

A B

. Câu a thêm vectơ chỉ phương

n_{α}

(vì

(β) ⊥ (α)

), câu b thêm

i

(vì

(P) ∥ O x

). Bẫy câu b: phải kiểm tra

(P)

không chứa trục

O x

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. a) $n_{β} = [A B, n_{α}]$ ; b) $n_{P} = [A B, i]$ .

A B = (1; 2; 2), n_{α} = (1; 2; 3)

[A B, n_{α}] = (2 \cdot 3 - 2 \cdot 2; 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3; 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = (2; - 1; 0)

2 (x - 2) - (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y - 5 = 0

[A B, i] = (2 \cdot 0 - 2 \cdot 0; 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0; 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = (0; 2; - 2) = 2 (0; 1; - 1)

(y + 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0

;

O

1 \neq = 0

nên

O x \neq \subset (P)

Vậy a) $(β) : 2 x - y - 5 = 0$ ; b) $(P) : y - z + 1 = 0$ .

2Cách 2. Lập hệ điều kiện cho hệ số

Định hướng. Đặt $n = (p; q; r)$ , dùng các điều kiện vuông góc; câu b dùng dạng khuyết $x$ .

n \cdot A B = p + 2 q + 2 r = 0, n \cdot n_{α} = p + 2 q + 3 r = 0 \Rightarrow r = 0, p = - 2 q

q = - 1 \Rightarrow n = (2; - 1; 0)

2 (x - 2) - (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y - 5 = 0

(P) : b y + cz + d = 0

;

A

- b + d = 0

;

B

b + 2 c + d = 0

d = b, c = - b

;

b = 1

y - z + 1 = 0

Vậy a) $(β) : 2 x - y - 5 = 0$ ; b) $(P) : y - z + 1 = 0$ .

3Cách 3. Mặt phẳng qua ba điểm dựng thêm

Định hướng. a) $(β)$ chứa $A, B$ và $A_{1} = A + n_{α}$ ; b) $(P)$ chứa $A, B$ và $A_{2} = A + i$ .

A_{1} (3; 1; 3)

A A_{1} = (1; 2; 3)

A B = (1; 2; 2)

a x + b y + cz + d = 0

qua

A, B, A_{1}

c = 0

(hiệu

A_{1}

và

B

a + 2 b = 0

2 a - b + d = 0

b = - 1, a = 2, d = - 5

2 x - y - 5 = 0

A_{2} (3; - 1; 0)

a = 0

(hiệu

A_{2}

và

A

2 b + 2 c = 0

- b + d = 0

\Rightarrow y - z + 1 = 0

Vậy $(β) : 2 x - y - 5 = 0$ và $(P) : y - z + 1 = 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $n_{β} \cdot n_{α} = 2 - 2 + 0 = 0$ nên $(β) ⊥ (α)$ ; $B$ : $2 \cdot 3 - 1 - 5 = 0$ và $1 - 2 + 1 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a và Cách 2 cho câu b (dạng khuyết

x

chỉ còn hai điều kiện).

Đáp số. a)

(β) : 2 x - y - 5 = 0

. b)

(P) : y - z + 1 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

n_{α}

làm vectơ pháp tuyến của

(β)

— đó là điều kiện SONG SONG. Với “vuông góc”,

n_{α}

là vectơ CHỈ PHƯƠNG của

(β)

🚀 Mở rộng. Không tồn tại mặt phẳng chứa

A, B

và song song với

(α)

, vì

A B \cdot n_{α} = 1 + 4 + 6 = 11 \neq = 0

, tức đường thẳng

A B

cắt

(α)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.5★★★★Trang 24— Mặt phẳng chứa một trục; tứ diện vuông có trực tâm cho trước

Bài 5.5 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

H (3; 2; 4)

.
a) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa điểm

H

và trục

O y

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(Q)

đi qua điểm

H

và cắt các trục toạ độ

O x, O y, O z

lần lượt tại các điểm

A, B, C

(với

A, B, C

đều không trùng với gốc toạ độ

O

) sao cho

H

là trực tâm tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng chứa $O y$ có dạng $a x + cz = 0$ .
Tứ diện vuông $O A B C$ : $H$ là trực tâm $△ A B C \Leftrightarrow O H ⊥ (A B C)$ .
Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: mặt phẳng chứa

O y

đi qua

O

và nhận

j

làm vectơ chỉ phương, cùng với

O H

là đủ cặp. Câu b:

O A, O B, O C

đôi một vuông góc (tứ diện vuông) — trong tứ diện vuông, trực tâm của mặt đối diện đỉnh

O

chính là hình chiếu của

O

, nên

O H ⊥ (A B C)

và

O H

là vectơ pháp tuyến.

1Cách 1. Tích có hướng; chứng minh

O H ⊥ (A B C)

Định hướng. a) $n_{P} = [O H, j]$ . b) chứng minh $O H$ vuông góc với hai cạnh $A B, B C$ .

[O H, j] = (2 \cdot 0 - 4 \cdot 1; 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0; 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (- 4; 0; 3)

- 4 x + 3 z = 0 \Leftrightarrow 4 x - 3 z = 0

O C ⊥ (O A B) \Rightarrow O C ⊥ A B

;

C H ⊥ A B \Rightarrow A B ⊥ (O C H) \Rightarrow A B ⊥ O H

O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C

;

A H ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (O A H) \Rightarrow B C ⊥ O H

O H ⊥ (A B C)

n_{Q} = O H = (3; 2; 4)

3 (x - 3) + 2 (y - 2) + 4 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 2 y + 4 z - 29 = 0

Vậy a) $(P) : 4 x - 3 z = 0$ ; b) $(Q) : 3 x + 2 y + 4 z - 29 = 0$ .

2Cách 2. Dạng khuyết; đoạn chắn và điều kiện trực tâm

Định hướng. a) $(P) \supset O y$ nên $(P) : a x + cz = 0$ . b) đặt $A (a; 0; 0)$ , $B (0; b; 0)$ , $C (0; 0; c)$ , viết ba điều kiện: $A H ⊥ B C$ , $B H ⊥ A C$ , $H \in (Q)$ .

H \in (P)

3 a + 4 c = 0

;

a = 4 \Rightarrow c = - 3

4 x - 3 z = 0

A H \cdot B C = (3 - a; 2; 4) \cdot (0; - b; c) = - 2 b + 4 c = 0 \Rightarrow b = 2 c

B H \cdot A C = (3; 2 - b; 4) \cdot (- a; 0; c) = - 3 a + 4 c = 0 \Rightarrow a = \frac{4 c}{3}

\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{9}{4 c} + \frac{1}{c} + \frac{4}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{29}{4 c} = 1 \Leftrightarrow c = \frac{29}{4}

a = \frac{29}{3}, b = \frac{29}{2}

\frac{3 x}{29} + \frac{2 y}{29} + \frac{4 z}{29} = 1 \Leftrightarrow 3 x + 2 y + 4 z - 29 = 0

Vậy a) $(P) : 4 x - 3 z = 0$ ; b) $(Q) : 3 x + 2 y + 4 z - 29 = 0$ , cắt các trục tại $A (\frac{29}{3}; 0; 0)$ , $B (0; \frac{29}{2}; 0)$ , $C (0; 0; \frac{29}{4})$ .

Nhận xét. Câu a còn một cách nhìn nữa: $(P)$ chứa $O y$ nên cắt $(O x z)$ theo đường thẳng qua $O$ và $H^{'} (3; 0; 4)$ — chính là đường $4 x - 3 z = 0$ trong $(O x z)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu b nên dùng Cách 1: nhận ra

O H

là vectơ pháp tuyến thì chỉ một dòng; Cách 2 là con đường “tính thẳng” khi không nhớ tính chất tứ diện vuông.

Đáp số. a)

(P) : 4 x - 3 z = 0

. b)

(Q) : 3 x + 2 y + 4 z - 29 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu b là lấy

O H

làm vectơ pháp tuyến mà không chứng minh

O H ⊥ (A B C)

; hoặc khai triển sai thành

3 x - 2 y + 4 z - 29 = 0

(thử lại

H

9 - 4 + 16 - 29 \neq = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

H (x_{0}; y_{0}; z_{0})

(

x_{0} y_{0} z_{0} \neq = 0

), mặt phẳng cần tìm là

x_{0} x + y_{0} y + z_{0} z - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2}) = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.6★★Trang 25— Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài 5.6 (trang 25). Trong không gian

O x y z

, một máy phát sóng đặt tại vị trí

A (1; 2; 1)

và có bán kính phủ sóng là

2

. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng

(O x y)

có bán kính bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$d (M, (O x y)) = ∣ z_{M} ∣$ .
Mặt phẳng cách tâm cầu một khoảng $h < R$ cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính $r = R^{2} - h^{2}$ .
$M A^{2} = (x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2} + (z - z_{A})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vùng phủ sóng là khối cầu tâm

A

bán kính

2

; mặt phẳng

(O x y)

cắt khối cầu theo một hình tròn. Bán kính hình tròn tính bằng Pythagore từ bán kính cầu và khoảng cách từ

A

tới

(O x y)

— khoảng cách đó chính là

∣ z_{A} ∣

1Cách 1. Khoảng cách và Pythagore

Định hướng. Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $(O x y)$ , $M$ là điểm trên biên vùng phủ sóng.

h = A I = d (A, (O x y)) = ∣ z_{A} ∣ = 1

r = I M = A M^{2} - A I^{2} = 2^{2} - 1^{2} = 3

Vậy vùng phủ sóng trên $(O x y)$ là hình tròn bán kính $3 \approx 1, 73$ .

2Cách 2. Công thức khoảng cách với phương trình

(O x y) : z = 0

Định hướng. Viết $(O x y) : 0 x + 0 y + 1 z + 0 = 0$ và dùng công thức khoảng cách.

h = \frac{∣0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0∣}{0 + 0 + 1} = 1 < 2

r = R^{2} - h^{2} = 4 - 1 = 3

Vậy $r = 3$ .

3Cách 3. Viết bất phương trình của vùng phủ sóng

Định hướng. Điểm $M (x; y; 0)$ được phủ sóng khi $M A \leq 2$ .

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (0 - 1)^{2} \leq 4

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \leq 3

Vậy vùng phủ sóng là hình tròn tâm $I (1; 2; 0)$ , bán kính $3$ .

Nhận xét. Cách 3 cho luôn tâm vùng phủ sóng và dễ mở rộng cho mặt phẳng bất kì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khoảng cách tới

(O x y)

đọc ngay từ cao độ, rồi một phép Pythagore.

Đáp số. Bán kính vùng phủ sóng trên

(O x y)

là

3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là trả lời bán kính bằng

2

(lẫn bán kính khối cầu với bán kính hình tròn thiết diện), hoặc dùng

∣ x_{A} ∣

thay cho

∣ z_{A} ∣

làm khoảng cách tới

(O x y)

🚀 Mở rộng. Nếu máy phát ở độ cao

z_{A} = 2

thì

h = R

, vùng phủ sóng trên mặt đất chỉ còn đúng một điểm; ở độ cao lớn hơn

2

thì mặt đất không được phủ sóng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.7★★Trang 25— Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong thực tiễn

Bài 5.7 (trang 25). Trong không gian

O x y z

, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng

(α) : x + 2 y + 2 z - 1 = 0

và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng

(β) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0

. Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng

1

hay không?

Kiến thức cần nhớ

$(α) ∥ (β)$ khi cùng vectơ pháp tuyến, khác hệ số tự do.
$d ((α), (β)) = d (M, (β))$ với $M \in (α)$ .
Cùng bộ $A, B, C$ : $d = \frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sàn và trần có cùng bộ hệ số

(1; 2; 2)

nên song song; chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó. So sánh với

1

1Cách 1. Lấy một điểm trên sàn

Định hướng. Chọn $M (1; 0; 0) \in (α)$ rồi tính khoảng cách tới $(β)$ .

n_{α} = n_{β} = (1; 2; 2)

- 1 \neq = - 3 \Rightarrow (α) ∥ (β)

M (1; 0; 0)

1 - 1 = 0 \Rightarrow M \in (α)

h = d (M, (β)) = \frac{∣1 - 3∣}{1 + 4 + 4} = \frac{2}{3}

\frac{2}{3} < 1

Vậy căn phòng chỉ cao $\frac{2}{3}$ , không đủ để kê chiếc tủ cao $1$ .

2Cách 2. Công thức nhanh

Định hướng. Hai phương trình cùng vế trái $x + 2 y + 2 z$ .

h = \frac{∣ - 1 - ( - 3 ) ∣}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{2}{3} < 1

Vậy không đủ chiều cao để kê tủ.

3Cách 3. Hình chiếu vuông góc từ sàn lên trần

Định hướng. Từ $M (1; 0; 0) \in (α)$ đi theo $n = (1; 2; 2)$ tới $(β)$ .

N (1 + t; 2 t; 2 t) \in (β)

1 + t + 4 t + 4 t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{9}

M N = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3} < 1

Vậy chiều cao căn phòng là $\frac{2}{3}$ , chiếc tủ cao $1$ không kê vừa.

Nhận xét. Cả ba cách đều đo khoảng cách theo phương vuông góc với sàn — đó mới đúng là “chiều cao”, không phải hiệu cao độ $z$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai phương trình cùng vế trái nên chỉ cần một dòng

\frac{∣ D - D ^{'} ∣}{3}

Đáp số. Không đủ: chiều cao căn phòng là

\frac{2}{3} < 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

∣3 - 1∣ = 2

rồi quên chia cho

1 + 4 + 4 = 3

, kết luận “cao

2

, đủ kê tủ”.

🚀 Mở rộng. Muốn kê vừa tủ cao

1

thì trần phải là

x + 2 y + 2 z + d = 0

với

∣ d + 1∣ \geq 3

, chẳng hạn

x + 2 y + 2 z - 4 = 0

Mở bài này trong app ↗