Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập2 #trang24–25 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.1★★Trang 24— Phương trình mặt phẳng qua ba điểm

Bài 5.1 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (1; 0; - 3)

B (2; 1; 0)

C (3; 2; 1)

. Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

$n = [A B, A C]$ là vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ .
Qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một mặt phẳng.
$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm cho sẵn toạ độ: dùng cặp vectơ chỉ phương

A B, A C

và tích có hướng. Để ý ở cả ba điểm, hoành độ luôn hơn tung độ đúng

1

— một hệ thức bậc nhất có sẵn, gợi ý lời giải một dòng.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Lấy $n = [A B, A C]$ rồi viết phương trình qua $A$ .

A B = (1; 1; 3), A C = (2; 2; 4)

[A B, A C] = (1 \cdot 4 - 3 \cdot 2; 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4; 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = (- 2; 2; 0) = - 2 (1; - 1; 0)

1 (x - 1) - 1 (y - 0) + 0 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0

Vậy $(A B C) : x - y - 1 = 0$ .

2Cách 2. Thay ba điểm vào phương trình tổng quát

Định hướng. Tìm $a, b, c, d$ để $a x + b y + cz + d = 0$ đi qua $A, B, C$ .

⎩ ⎨ ⎧ a - 3 c + d = 0 2 a + b + d = 0 3 a + 2 b + c + d = 0

a + b + 3 c = 0, a + b + c = 0 \Rightarrow c = 0, b = - a

a = 1 \Rightarrow b = - 1, d = - 1

x - y - 1 = 0

Vậy $(A B C) : x - y - 1 = 0$ .

3Cách 3. Nhận ra hệ thức chung của ba điểm

Định hướng. Ba điểm đều thoả $x - y = 1$ ; phương trình này là phương trình mặt phẳng và $A, B, C$ không thẳng hàng.

A

1 - 0 = 1

;

B

2 - 1 = 1

;

C

3 - 2 = 1

\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq = \frac{3}{4}

nên

A B, A C

không cùng phương

(A B C) : x - y - 1 = 0

Vậy $(A B C) : x - y - 1 = 0$ .

Nhận xét. Mặt phẳng $(A B C)$ khuyết $z$ nên vuông góc với $(O x y)$ — điều mà Cách 1 cũng cho thấy qua toạ độ thứ ba của $n$ bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (quy trình chuẩn); nếu nhìn ra hệ thức chung như Cách 3 thì chỉ cần một dòng kiểm tra.

Đáp số.

(A B C) : x - y - 1 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là thấy

A C = (2; 2; 4)

“gần gấp đôi”

A B = (1; 1; 3)

rồi kết luận ba điểm thẳng hàng. Thật ra

4 \neq = 2 \cdot 3

nên không cùng phương.

🚀 Mở rộng. Điểm

D (5; 4; m)

thuộc

(A B C)

với mọi

m

vì

5 - 4 - 1 = 0

: mặt phẳng

(A B C)

chứa cả đường thẳng đứng qua

(5; 4; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.2★Trang 24— Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Bài 5.2 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (2; 0; 0)

B (0; - 3; 0)

C (0; 0; 1)

. Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng qua $A (a; 0; 0)$ , $B (0; b; 0)$ , $C (0; 0; c)$ ( $ab c \neq = 0$ ): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
$n = [A B, A C]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm nằm trên ba trục toạ độ, khác gốc: dấu hiệu dùng phương trình đoạn chắn. Bẫy: đoạn chắn trên

O y

là

- 3

(âm), giữ nguyên dấu.

1Cách 1. Phương trình đoạn chắn

Định hướng. Thay $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ .

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{1} = 1

3 x - 2 y + 6 z = 6

3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0$ .

2Cách 2. Tích có hướng

Định hướng. Dùng cặp vectơ chỉ phương $A B, A C$ .

A B = (- 2; - 3; 0), A C = (- 2; 0; 1)

[A B, A C] = ((- 3) \cdot 1 - 0 \cdot 0; 0 \cdot (- 2) - (- 2) \cdot 1; (- 2) \cdot 0 - (- 3) (- 2)) = (- 3; 2; - 6)

- 3 (x - 2) + 2 y - 6 z = 0 \Leftrightarrow 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0$ .

3Cách 3. Phương trình tổng quát với

D \neq = 0

Định hướng. $(A B C)$ không qua $O$ nên có dạng $a x + b y + cz - 1 = 0$ (chia cho $- D$ ); thay ba điểm.

A

2 a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}

;

B

- 3 b - 1 = 0 \Rightarrow b = - \frac{1}{3}

;

C

c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1

\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y + z - 1 = 0

3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0$ .

Nhận xét. Cả ba cách thực chất đều dẫn tới $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ; Cách 1 dùng thẳng kết quả nên ngắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ba điểm trên ba trục, viết ngay phương trình đoạn chắn.

Đáp số.

(A B C) : \frac{x}{2} - \frac{y}{3} + z = 1

, hay

3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 1

(bỏ dấu âm của

- 3

), khi đó

B (0; - 3; 0)

không thoả.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ

O

tới

(A B C)

\frac{6}{9 + 4 + 36} = \frac{6}{7}

; thể tích tứ diện

O A B C

bằng

\frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.3★★Trang 24— Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; mặt phẳng song song

Bài 5.3 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α) : x - 2 y - 2 z + 9 = 0

và điểm

A (2; - 1; 3)

.
a) Tính khoảng cách từ

A

đến mặt phẳng

(α)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(β)

đi qua

A

và song song với

(α)

Kiến thức cần nhớ

$d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
$(β) ∥ (α)$ thì $(β) : A x + B y + C z + D^{'} = 0$ , $D^{'} \neq = D$ .
Cùng bộ $A, B, C$ : $d ((α), (β)) = \frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.4★★Trang 24— Mặt phẳng chứa hai điểm, vuông góc mặt phẳng / song song trục

Bài 5.4 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (2; - 1; 0)

B (3; 1; 2)

và mặt phẳng

(α) : x + 2 y + 3 z - 1 = 0

.
a) Viết phương trình mặt phẳng

(β)

chứa

A, B

và vuông góc với mặt phẳng

(α)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

A, B

và song song với trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$(β) ⊥ (α)$ thì $n_{α}$ có giá song song hoặc nằm trong $(β)$ .
$(P) ∥ O x$ thì $i = (1; 0; 0)$ là vectơ chỉ phương, phương trình khuyết $x$ .
$n = [u, v]$ với $u, v$ là cặp vectơ chỉ phương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.5★★★★Trang 24— Mặt phẳng chứa một trục; tứ diện vuông có trực tâm cho trước

Bài 5.5 (trang 24). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

H (3; 2; 4)

.
a) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa điểm

H

và trục

O y

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(Q)

đi qua điểm

H

và cắt các trục toạ độ

O x, O y, O z

lần lượt tại các điểm

A, B, C

(với

A, B, C

đều không trùng với gốc toạ độ

O

) sao cho

H

là trực tâm tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng chứa $O y$ có dạng $a x + cz = 0$ .
Tứ diện vuông $O A B C$ : $H$ là trực tâm $△ A B C \Leftrightarrow O H ⊥ (A B C)$ .
Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.6★★Trang 25— Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài 5.6 (trang 25). Trong không gian

O x y z

, một máy phát sóng đặt tại vị trí

A (1; 2; 1)

và có bán kính phủ sóng là

2

. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng

(O x y)

có bán kính bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$d (M, (O x y)) = ∣ z_{M} ∣$ .
Mặt phẳng cách tâm cầu một khoảng $h < R$ cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính $r = R^{2} - h^{2}$ .
$M A^{2} = (x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2} + (z - z_{A})^{2}$ .