Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 14. Phương trình mặt phẳng

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 37 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 29— Nhận biết quỹ đạo nằm trong một mặt phẳng

Mở đầu (trang 29). Một vật thể chuyển động trong không gian

O x y z

. Tại mỗi thời điểm

t

, vật thể ở vị trí

M (cos t - sin t; cos t + sin t; cos t)

. Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi phương trình $A x + B y + C z + D = 0$ ( $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$ ) là phương trình một mặt phẳng.
Mặt phẳng qua $M_{0}$ nhận $u, v$ làm cặp vectơ chỉ phương có vectơ pháp tuyến $n = [u, v]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của

M

phụ thuộc tham số

t

; muốn biết

M

có nằm trên một mặt phẳng cố định hay không, ta tìm một hệ thức bậc nhất giữa

x, y, z

đúng với mọi

t

. Để ý

x + y = 2 cos t

và

z = cos t

— tham số khử được ngay. Bẫy: chỉ kiểm tra vài thời điểm thì chưa đủ, phải chứng minh đúng với MỌI

t

1Cách 1. Khử tham số

t

Định hướng. Tìm hệ thức giữa $x, y, z$ không chứa $t$ .

x = cos t - sin t, y = cos t + sin t, z = cos t

x + y = 2 cos t = 2 z

x + y - 2 z = 0

Vậy mọi vị trí $M$ đều thuộc mặt phẳng cố định $(α) : x + y - 2 z = 0$ ; vật thể chuyển động trong mặt phẳng đó.

2Cách 2. Mặt phẳng qua ba vị trí rồi kiểm tra với mọi

t

Định hướng. Lấy ba vị trí ở $t = 0$ , $t = \frac{π}{2}$ , $t = π$ , lập mặt phẳng qua chúng, rồi chứng minh mọi $M$ thuộc mặt phẳng đó.

M_{1} (1; 1; 1), M_{2} (- 1; 1; 0), M_{3} (- 1; - 1; - 1)

M_{1} M_{2} = (- 2; 0; - 1), M_{1} M_{3} = (- 2; - 2; - 2)

[M_{1} M_{2}, M_{1} M_{3}] = (0 \cdot (- 2) - (- 1) (- 2); (- 1) (- 2) - (- 2) (- 2); (- 2) (- 2) - 0 \cdot (- 2)) = (- 2; - 2; 4)

(M_{1} M_{2} M_{3}) : (x - 1) + (y - 1) - 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 z = 0

(cos t - sin t) + (cos t + sin t) - 2 cos t = 0 \forall t

Vậy vật thể luôn nằm trong mặt phẳng cố định $x + y - 2 z = 0$ .

3Cách 3. Tách vectơ

O M

theo hai vectơ cố định

Định hướng. Viết $O M = cos t \cdot u + sin t \cdot v$ với $u, v$ không đổi: $M$ luôn nằm trong mặt phẳng qua $O$ có cặp vectơ chỉ phương $u, v$ .

O M = cos t (1; 1; 1) + sin t (- 1; 1; 0)

u = (1; 1; 1), v = (- 1; 1; 0)

n = [u, v] = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1; 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 0; 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (- 1; - 1; 2)

- x - y + 2 z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 z = 0

Vậy vật thể chuyển động trong mặt phẳng cố định $x + y - 2 z = 0$ đi qua gốc $O$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích được VÌ SAO có mặt phẳng: $O M$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ cố định. Đây chính là nội dung Vận dụng 2 (trang 35).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng cộng

x + y

là khử được

t

, ra ngay phương trình mặt phẳng.

Đáp số. Có. Vật thể luôn thuộc mặt phẳng

x + y - 2 z = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ lấy ba thời điểm, lập mặt phẳng qua ba điểm rồi kết luận ngay — ba điểm bất kì luôn nằm trên một mặt phẳng, nên phải kiểm tra thêm điểm

M

tổng quát thuộc mặt phẳng đó với mọi

t

🚀 Mở rộng. Với

M (cos t; sin t; cos t + sin t)

thì

z = x + y

, vật thể vẫn chuyển động trong mặt phẳng

x + y - z = 0

; còn

M (cos t; sin t; t)

(đường xoắn ốc) thì không nằm trong mặt phẳng nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 29— Nhận biết phương của vectơ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang

HĐ1 (trang 29). Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến. Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến

n

, giá của vectơ

n

vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì

n

có phương gì? (H.5.1)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang có phương thẳng đứng.
Vectơ $n \neq = 0$ có giá vuông góc với $(α)$ gọi là vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho giá của

n

vuông góc với mặt bàn nằm ngang — đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang là đường thẳng đứng. Đây là hình ảnh trực quan của vectơ pháp tuyến.

1Cách 1. Lập luận hình học

Định hướng. Giá của $n$ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang nên trùng phương dây dọi.

d

là giá của

n

d ⊥ (P)

(P)

nằm ngang

d

song song hoặc trùng với phương dây dọi

Vậy $n$ có phương thẳng đứng (vuông góc với mặt đất).

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Chọn hệ trục $O x y z$ có $(O x y)$ nằm ngang, $O z$ thẳng đứng.

n = (a; b; c)

n ⊥ i

n ⊥ j

n \cdot i = a = 0, n \cdot j = b = 0

n = (0; 0; c) = c k

Vậy $n$ cùng phương với $k$ , tức là có phương thẳng đứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đủ dùng khi trả lời nhanh; Cách 2 cho thấy ngay vectơ pháp tuyến của

(O x y)

là

k = (0; 0; 1)

, dùng lại được trong các bài sau.

Đáp số.

n

có phương thẳng đứng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là trả lời “

n

hướng lên” — đề hỏi PHƯƠNG, không hỏi hướng; phương thẳng đứng gồm cả hướng lên và hướng xuống.

🚀 Mở rộng. Nếu mặt bàn nghiêng một góc

φ

so với mặt ngang thì giá của

n

lệch khỏi phương thẳng đứng đúng một góc

φ

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 30— Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực

Luyện tập 1 (trang 30). Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (1; - 2; 3)

B (- 3; 0; 1)

. Gọi

(α)

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

A B

. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của

(α)

Kiến thức cần nhớ

$(α)$ là mặt phẳng trung trực của $A B$ thì $(α) ⊥ A B$ tại trung điểm $I$ của $A B$ .
Nếu $n$ là vectơ pháp tuyến của $(α)$ thì $k n$ ( $k \neq = 0$ ) cũng là vectơ pháp tuyến.
$M \in (α) \Leftrightarrow M A = M B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt phẳng trung trực của

A B

vuông góc với

A B

tại trung điểm, nên giá của

A B

vuông góc với

(α)

— dấu hiệu nhận ra vectơ pháp tuyến có sẵn. Có thể rút gọn vectơ vì mọi

k n

(

k \neq = 0

) cũng là vectơ pháp tuyến.

1Cách 1. Lấy thẳng

A B

Định hướng. $A B ⊥ (α)$ nên $A B$ là vectơ pháp tuyến.

A B = (- 3 - 1; 0 - (- 2); 1 - 3) = (- 4; 2; - 2)

n = - \frac{1}{2} A B = (2; - 1; 1)

Vậy $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là $A B = (- 4; 2; - 2)$ , hay gọn hơn $n = (2; - 1; 1)$ .

2Cách 2. Dùng

M A = M B

để ra phương trình

Định hướng. Điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt phẳng trung trực khi và chỉ khi cách đều $A$ và $B$ .

M A^{2} = M B^{2}

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = (x + 3)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2}

- 2 x + 4 y - 6 z + 14 = 6 x - 2 z + 10

- 8 x + 4 y - 4 z + 4 = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + z - 1 = 0

Vậy $(α) : 2 x - y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $n = (2; - 1; 1)$ .

3Cách 3. Qua trung điểm

I

, dùng

I M ⊥ A B

Định hướng. $M \in (α)$ khi và chỉ khi $I M \cdot A B = 0$ với $I$ là trung điểm $A B$ .

I (- 1; - 1; 2), A B = (- 4; 2; - 2)

I M \cdot A B = - 4 (x + 1) + 2 (y + 1) - 2 (z - 2) = 0

- 4 x + 2 y - 2 z + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + z - 1 = 0

Vậy $n = (2; - 1; 1)$ là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 cho luôn phương trình $(α)$ , còn Cách 1 chỉ trả lời đúng điều đề hỏi, nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề chỉ hỏi vectơ pháp tuyến, lấy

A B

là xong trong một dòng.

Đáp số.

n = A B = (- 4; 2; - 2)

, hoặc

n = (2; - 1; 1)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính nhầm

A B = (4; - 2; 2)

rồi tưởng sai — thực ra đó là

B A

, vẫn là vectơ pháp tuyến. Sai thật sự là lấy toạ độ trung điểm

I (- 1; - 1; 2)

làm vectơ pháp tuyến.

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng trung trực của đoạn

A B

luôn có phương trình

A B \cdot (O M - O I) = 0

; thử viết cho

A (0; 0; 0)

B (2; 4; 6)

được

x + 2 y + 3 z - 14 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 30— Tích có hướng của hai vectơ

HĐ2 (trang 30). Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước. Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

u = (a; b; c)

và

v = (a^{'}; b^{'}; c^{'})

.
a) Vectơ

n = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)

có vuông góc với cả hai vectơ

u

và

v

hay không?
b)

n = 0

khi và chỉ khi

u

và

v

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

$n ⊥ u \Leftrightarrow n \cdot u = 0$ .
$[u, v] = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)$ là tích có hướng của $u, v$ .
$[u, v] = 0 \Leftrightarrow u, v$ cùng phương.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng

0

, nên câu a chỉ cần khai triển

n \cdot u

và

n \cdot v

. Câu b: ba toạ độ của

n

bằng

0

nghĩa là các tỉ số

a : b : c

và

a^{'} : b^{'} : c^{'}

bằng nhau — dấu hiệu cùng phương.

1Cách 1. Khai triển tích vô hướng

Định hướng. Tính trực tiếp $n \cdot u$ , $n \cdot v$ ; câu b so sánh từng toạ độ.

n \cdot u = a (b c^{'} - b^{'} c) + b (c a^{'} - c^{'} a) + c (a b^{'} - a^{'} b)

= ab c^{'} - a b^{'} c + b c a^{'} - ab c^{'} + a b^{'} c - a^{'} b c = 0

n \cdot v = a^{'} (b c^{'} - b^{'} c) + b^{'} (c a^{'} - c^{'} a) + c^{'} (a b^{'} - a^{'} b)

= a^{'} b c^{'} - a^{'} b^{'} c + a^{'} b^{'} c - a b^{'} c^{'} + a b^{'} c^{'} - a^{'} b c^{'} = 0

n = 0 \Leftrightarrow b c^{'} = b^{'} c, c a^{'} = c^{'} a, a b^{'} = a^{'} b

\Leftrightarrow (a; b; c)

và

(a^{'}; b^{'}; c^{'})

tỉ lệ

\Leftrightarrow u, v

cùng phương

Vậy a) $n$ vuông góc với cả $u$ và $v$ ; b) $n = 0$ khi và chỉ khi $u, v$ cùng phương.

2Cách 2. Dùng đẳng thức Lagrange cho câu b

Định hướng. Tính $∣ n ∣^{2}$ theo $∣ u ∣$ , $∣ v ∣$ và $u \cdot v$ ; $n = 0$ ứng với góc giữa $u, v$ bằng $0^{\circ}$ hoặc $18 0^{\circ}$ .

n \cdot u = 0, n \cdot v = 0

(khai triển như Cách 1)
b)

∣ n ∣^{2} = (b c^{'} - b^{'} c)^{2} + (c a^{'} - c^{'} a)^{2} + (a b^{'} - a^{'} b)^{2}

= (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (a^{'2} + b^{'2} + c^{'2}) - (a a^{'} + b b^{'} + c c^{'})^{2}

= ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} sin^{2} (u, v)

n = 0 \Leftrightarrow u = 0

hoặc

v = 0

hoặc

sin (u, v) = 0

Vậy $n = 0$ khi và chỉ khi $u, v$ cùng phương (quy ước $0$ cùng phương với mọi vectơ).

Nhận xét. Cách 2 còn cho thêm $∣ [u, v] ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin (u, v)$ — chính là diện tích hình bình hành dựng trên $u, v$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu a chỉ có một con đường là khai triển; câu b nên nhớ kết luận ở Cách 1, còn Cách 2 dùng khi cần độ dài tích có hướng.

Đáp số. a) Có,

n ⊥ u

và

n ⊥ v

. b)

n = 0

khi và chỉ khi

u, v

cùng phương.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết sai thứ tự toạ độ thứ hai thành

a c^{'} - a^{'} c

(ngược dấu). Nhớ quy tắc “che cột”: toạ độ thứ hai là

c a^{'} - c^{'} a

🚀 Mở rộng. Từ Cách 2: diện tích tam giác

A B C

bằng

\frac{1}{2} [A B, A C]

; thử với

A (0; 0; 0)

B (1; 0; 0)

C (0; 1; 0)

được

\frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★Trang 31— Tính tích có hướng

Luyện tập 2 (trang 31). Trong không gian

O x y z

, cho

u = (2; 3; 1)

và

v = (4; 6; 2)

. Tính

[u, v]

Kiến thức cần nhớ

$[u, v] = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)$ .
$[u, v] = 0 \Leftrightarrow u, v$ cùng phương.
$∣ [u, v] ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho toạ độ hai vectơ, tính theo công thức tích có hướng. Nhìn kĩ thấy

v = 2 u

— hai vectơ cùng phương nên kết quả phải là

0

, dùng để kiểm tra.

1Cách 1. Dùng công thức

Định hướng. Thay toạ độ vào công thức tích có hướng.

[u, v] = (3 \cdot 2 - 6 \cdot 1; 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2; 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3)

= (0; 0; 0)

Vậy $[u, v] = 0$ .

2Cách 2. Nhận ra hai vectơ cùng phương

Định hướng. So sánh toạ độ: $v$ gấp đôi $u$ .

v = (4; 6; 2) = 2 (2; 3; 1) = 2 u

u, v

cùng phương

\Rightarrow [u, v] = 0

Vậy $[u, v] = 0$ .

3Cách 3. Tính độ dài qua đẳng thức Lagrange

Định hướng. Độ dài tích có hướng bằng $0$ thì vectơ đó là $0$ .

∣ u ∣^{2} = 4 + 9 + 1 = 14, ∣ v ∣^{2} = 16 + 36 + 4 = 56

u \cdot v = 8 + 18 + 2 = 28

∣ [u, v] ∣^{2} = 14 \cdot 56 - 2 8^{2} = 784 - 784 = 0

Vậy $[u, v] = 0$ .

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất; Cách 3 cho thấy công thức Lagrange cũng phát hiện được hai vectơ cùng phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra

v = 2 u

thì viết ngay kết quả; nếu không nhìn ra thì Cách 1 vẫn rất ngắn.

Đáp số.

[u, v] = (0; 0; 0) = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

[u, v]

bằng cách nhân từng toạ độ

(2 \cdot 4; 3 \cdot 6; 1 \cdot 2) = (8; 18; 2)

— đó không phải tích có hướng.

🚀 Mở rộng. Với

u = (2; 3; 1)

v = (4; 6; m)

, tích có hướng bằng

(3 m - 6; 4 - 2 m; 0)

, khác

0

khi và chỉ khi

m \neq = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 31— Cặp vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

HĐ3 (trang 31). Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

u, v

không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng

(P)

.
a) Vectơ

[u, v]

có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của

u, v

hay không?
b) Mặt phẳng

(P)

có nhận

[u, v]

làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Kiến thức cần nhớ

$[u, v] ⊥ u$ , $[u, v] ⊥ v$ ; $[u, v] = 0 \Leftrightarrow u, v$ cùng phương.
Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong $(P)$ thì vuông góc với $(P)$ .
Nếu $u, v$ là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ thì $[u, v]$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ không cùng phương thì tích có hướng khác

0

(HĐ2b) và vuông góc với cả hai (HĐ2a). Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng — đó là chìa khoá câu b.

1Cách 1. Dùng HĐ2 và định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định hướng. Dựng trong $(P)$ hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với giá của $u$ , $v$ .

u, v

không cùng phương

\Rightarrow n = [u, v] \neq = 0

n \cdot u = 0, n \cdot v = 0 \Rightarrow

giá của

n

vuông góc với giá của

u

và

v

d_{1}, d_{2} \subset (P)

d_{1} \cap d_{2} = {I}

d_{1} ∥

giá

u

d_{2} ∥

giá

v

giá

n ⊥ d_{1}

, giá

n ⊥ d_{2} \Rightarrow

giá

n ⊥ (P)

Vậy a) Có: $[u, v] \neq = 0$ và giá của nó vuông góc với giá của $u$ , $v$ . b) Có: $(P)$ nhận $[u, v]$ làm một vectơ pháp tuyến.

2Cách 2. Chọn hệ trục để

(P)

là mặt phẳng

(O x y)

Định hướng. Tính chất không phụ thuộc hệ trục, nên chọn hệ trục thuận tiện: $(P) ∥ (O x y)$ hoặc trùng $(O x y)$ .

u = (a; b; 0), v = (a^{'}; b^{'}; 0)

a b^{'} - a^{'} b \neq = 0

(không cùng phương)

[u, v] = (b \cdot 0 - b^{'} \cdot 0; 0 \cdot a^{'} - 0 \cdot a; a b^{'} - a^{'} b) = (0; 0; a b^{'} - a^{'} b)

[u, v] = (a b^{'} - a^{'} b) k \neq = 0

k ⊥ (O x y)

Vậy $[u, v]$ khác $0$ , cùng phương với $k$ nên vuông góc với $(P)$ — là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ “tích có hướng của hai vectơ nằm ngang thì thẳng đứng” — ý tưởng dùng lại ở Bài 5.10.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lập luận chuẩn SGK nên dùng khi trình bày; Cách 2 giúp hình dung nhanh.

Đáp số. a) Có. b) Có,

[u, v]

là một vectơ pháp tuyến của

(P)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện “không cùng phương”: nếu

u, v

cùng phương thì

[u, v] = 0

, không thể là vectơ pháp tuyến.

🚀 Mở rộng. Ba điểm

A, B, C

không thẳng hàng thì

A B, A C

là cặp vectơ chỉ phương của

(A B C)

, nên

[A B, A C]

là vectơ pháp tuyến của

(A B C)

— mở đường cho HĐ7.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 31— Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua ba điểm

Luyện tập 3 (trang 31). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm không thẳng hàng

A (1; - 2; 1)

B (- 2; 1; 0)

C (- 2; 3; 2)

. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

$A B, A C$ là cặp vectơ chỉ phương của $(A B C)$ .
$n = [A B, A C]$ là một vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ .
$n$ là vectơ pháp tuyến khi $n \neq = 0$ , $n \cdot A B = 0$ , $n \cdot A C = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm không thẳng hàng cho ngay cặp vectơ chỉ phương

A B, A C

; vectơ pháp tuyến là tích có hướng của chúng. Rút gọn kết quả cho gọn số.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Tính $A B, A C$ rồi lấy tích có hướng.

A B = (- 3; 3; - 1), A C = (- 3; 5; 1)

[A B, A C] = (3 \cdot 1 - (- 1) \cdot 5; (- 1) (- 3) - (- 3) \cdot 1; (- 3) \cdot 5 - (- 3) \cdot 3)

= (8; 6; - 6) = 2 (4; 3; - 3)

Vậy $(A B C)$ có một vectơ pháp tuyến là $n = (4; 3; - 3)$ .

2Cách 2. Giải hệ tích vô hướng

Định hướng. Tìm $n = (p; q; r)$ vuông góc với cả $A B$ và $A C$ .

{- 3 p + 3 q - r = 0 - 3 p + 5 q + r = 0

- 6 p + 8 q = 0 \Leftrightarrow q = \frac{3}{4} p

p = 4 \Rightarrow q = 3, r = - 3 p + 3 q = - 12 + 9 = - 3

Vậy $n = (4; 3; - 3)$ .

3Cách 3. Lập phương trình mặt phẳng rồi đọc hệ số

Định hướng. Tìm $(A B C) : a x + b y + cz + d = 0$ bằng cách thay toạ độ ba điểm.

⎩ ⎨ ⎧ a - 2 b + c + d = 0 - 2 a + b + d = 0 - 2 a + 3 b + 2 c + d = 0

3 a - 3 b + c = 0, 2 b + 2 c = 0 \Rightarrow c = - b, a = \frac{4}{3} b

b = 3 \Rightarrow a = 4, c = - 3, d = 2 a - b = 5

(A B C) : 4 x + 3 y - 3 z + 5 = 0

Vậy $n = (4; 3; - 3)$ .

Nhận xét. Cách 3 dài nhất nhưng cho luôn phương trình; kiểm tra: $4 \cdot (- 2) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 5 = 0$ nên $C \in (A B C)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tích có hướng là thao tác chuẩn, ba phép nhân chéo là xong.

Đáp số.

n = (4; 3; - 3)

(hoặc

(8; 6; - 6)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy tích có hướng của

O A, O B

(toạ độ điểm) thay vì

A B, A C

— mặt phẳng

(A B C)

không đi qua

O

nên kết quả sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

(A B C)

có phương trình

4 x + 3 y - 3 z + 5 = 0

; thử tìm

D

trên

O z

để

A, B, C, D

đồng phẳng:

D (0; 0; \frac{5}{3})

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng 1★★Trang 31— Ứng dụng tích có hướng: moment lực

Vận dụng 1 (trang 31). Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian

O x y z

, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí

P

một lực

F

để vặn con ốc ở vị trí

O

(H.5.6) thì moment lực

M

được tính bởi công thức

M = [O P, F]

.
a) Cho

O P = (x; y; z)

F = (a; b; c)

. Tính

M

.
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động

F

trong khi thay vị trí đặt lực từ

P

sang

P^{'}

sao cho

O P^{'} = 2 O P

thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Kiến thức cần nhớ

$[u, v] = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)$ với $u = (a; b; c)$ , $v = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ .
$[k u, v] = k [u, v]$ .
$[u, v] = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin (u, v)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là áp dụng thẳng công thức tích có hướng. Câu b hỏi quan hệ khi nhân đôi

O P

— mỗi toạ độ của tích có hướng là biểu thức bậc nhất theo

x, y, z

, nên nhân đôi

O P

thì

M

nhân đôi.

1Cách 1. Dùng công thức toạ độ

Định hướng. Tính $M$ theo công thức, rồi thay $O P^{'} = (2 x; 2 y; 2 z)$ .

M = [O P, F] = (y c - z b; z a - x c; x b - y a)

O P^{'} = (2 x; 2 y; 2 z)

M^{'} = (2 y c - 2 z b; 2 z a - 2 x c; 2 x b - 2 y a) = 2 (y c - z b; z a - x c; x b - y a) = 2 M

Vậy a) $M = (y c - z b; z a - x c; x b - y a)$ ; b) $M^{'} = 2 M$ : moment tăng gấp đôi. Muốn đỡ tốn sức, nên cầm mỏ lết ở vị trí xa con ốc (cán càng dài, lực cần dùng càng nhỏ).

2Cách 2. So sánh độ lớn moment

Định hướng. Độ lớn tích có hướng bằng tích hai độ dài nhân sin góc; góc giữa $O P^{'}$ và $F$ bằng góc giữa $O P$ và $F$ .

M = (y c - z b; z a - x c; x b - y a)

∣ M ∣ = O P \cdot F \cdot sin φ

φ = (O P, F)

∣ M^{'} ∣ = O P^{'} \cdot F \cdot sin φ = 2 O P \cdot F \cdot sin φ = 2∣ M ∣

M^{'}

và

M

cùng vuông góc với

O P, F

, cùng hướng

Vậy moment lực tăng gấp đôi; để vặn ốc với cùng một moment, đặt tay xa ốc gấp đôi thì chỉ cần lực bằng một nửa.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng số cụ thể

Định hướng. Lấy một bộ số thực tế để thấy rõ tác dụng của việc cầm xa đầu mỏ lết.

M = (y c - z b; z a - x c; x b - y a)

O P = (0, 2; 0; 0)

F = (0; 50; 0)

M = (0; 0; 0, 2 \cdot 50) = (0; 0; 10)

O P^{'} = (0, 4; 0; 0)

M^{'} = (0; 0; 0, 4 \cdot 50) = (0; 0; 20) = 2 M

M^{''} = (0; 0; 10)

khi

O P^{'} = (0, 4; 0; 0)

F = (0; 25; 0)

Vậy moment gấp đôi khi điểm đặt lực xa gấp đôi; cùng moment $10$ N·m, cầm ở $0, 4$ m chỉ cần lực $25$ N thay vì $50$ N.

Nhận xét. Đây là nguyên lí đòn bẩy: cán mỏ lết càng dài càng đỡ tốn sức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải chặt chẽ nhất vì dùng đúng công thức đề cho; Cách 2 giải thích bản chất vật lí.

Đáp số. a)

M = (y c - z b; z a - x c; x b - y a)

. b)

M^{'} = 2 M

; muốn đỡ tốn sức nên đặt lực ở vị trí xa con ốc (cầm gần cuối cán mỏ lết).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

[F, O P]

thay cho

[O P, F]

— kết quả đổi dấu, moment có chiều ngược lại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

O P^{'} = k O P

(

k > 0

) thì moment tăng

k

lần; mỏ lết dài

30

cm cầm ở cuối cán tốn sức bằng một phần ba so với cầm cách ốc

10

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · HĐ4★★Trang 32— Thiết lập phương trình mặt phẳng

HĐ4 (trang 32). Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng. Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α)

. Gọi

n = (A; B; C)

là một vectơ pháp tuyến của

(α)

và

M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})

là một điểm thuộc

(α)

.
a) Một điểm

M (x; y; z)

thuộc

(α)

khi và chỉ khi hai vectơ

n

và

M_{0} M

có mối quan hệ gì?
b) Điểm

M (x; y; z)

thuộc

(α)

khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

Kiến thức cần nhớ

$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ (quy ước $0$ vuông góc với mọi vectơ).
Qua một điểm có đúng một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
$M \in (α) \Leftrightarrow A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt phẳng hoàn toàn xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến. Điểm

M

thuộc

(α)

đúng khi

M_{0} M

“nằm trong”

(α)

, tức vuông góc với

n

; viết điều đó bằng tích vô hướng là ra hệ thức.

1Cách 1. Lập luận trực tiếp bằng tích vô hướng

Định hướng. $M \in (α)$ thì $M_{0} M$ có giá nằm trong $(α)$ nên vuông góc với $n$ , và ngược lại.

M \in (α) \Leftrightarrow n ⊥ M_{0} M \Leftrightarrow n \cdot M_{0} M = 0

M_{0} M = (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})

n \cdot M_{0} M = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

Vậy a) $n ⊥ M_{0} M$ ; b) $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

2Cách 2. Chứng minh chiều đảo bằng phản chứng

Định hướng. Chiều thuận rõ ràng; chiều đảo: nếu $n ⊥ M_{0} M$ mà $M \in / (α)$ thì qua $M_{0}$ có hai mặt phẳng cùng vuông góc với giá của $n$ .

M \in (α), M \neq = M_{0} \Rightarrow M_{0} M \subset (α) \Rightarrow n ⊥ M_{0} M

n \cdot M_{0} M = 0, M \in / (α) \Rightarrow (β) = mp (M_{0} M, d)

với

d \subset (α)

d ∋ M_{0}

(β) \neq = (α)

n ⊥ (β)

: vô lí vì qua

M_{0}

chỉ có một mặt phẳng vuông góc với giá

n

\Rightarrow A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

Vậy $M \in (α)$ khi và chỉ khi $n \cdot M_{0} M = 0$ , tức là $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

Nhận xét. Khai triển được $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$ — phương trình tổng quát của mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trình bày chuẩn khi làm bài; Cách 2 chỉ cần khi đề yêu cầu chứng minh chặt chẽ cả hai chiều.

Đáp số. a)

n ⊥ M_{0} M

(tức

n \cdot M_{0} M = 0

). b)

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

A (x + x_{0}) + B (y + y_{0}) + C (z + z_{0}) = 0

— phải là HIỆU toạ độ

x - x_{0}

vì

M_{0} M = (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận trong mặt phẳng

O x y

cho phương trình đường thẳng

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0

đã học ở lớp 10 — phương trình mặt phẳng là bản nâng lên một chiều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 4★Trang 32— Nhận biết phương trình mặt phẳng

Luyện tập 4 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?
a)

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 1 = 0

; b)

\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0

; c)

x y + 5 = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình tổng quát của mặt phẳng: $A x + B y + C z + D = 0$ , $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq = 0$ .
Mặt phẳng chứa $M_{1}, M_{2}$ thì chứa cả trung điểm của $M_{1} M_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình mặt phẳng phải có dạng bậc nhất

A x + B y + C z + D = 0

với

A, B, C

không đồng thời bằng

0

. Soát từng phương trình: có bình phương hoặc tích

x y

là loại ngay. Bẫy: hệ số phân số ở câu b không làm mất tính bậc nhất.

1Cách 1. Đối chiếu với dạng

A x + B y + C z + D = 0

Định hướng. Xem phương trình có đưa được về dạng bậc nhất hay không.

a) có

x^{2}, y^{2}, z^{2}

: không có dạng

A x + B y + C z + D = 0

A = \frac{1}{2}, B = - 1, C = \frac{1}{3}, D = 5

c) có hạng tử

x y

: không có dạng

A x + B y + C z + D = 0

Vậy chỉ phương trình b) là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

2Cách 2. Đưa về hệ số nguyên để thấy vectơ pháp tuyến

Định hướng. Nhân hai vế của b) với $6$ để có hệ số nguyên.

\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0 \Leftrightarrow 3 x - 6 y + 2 z + 30 = 0

n = (3; - 6; 2) \neq = 0

a), c) là phương trình bậc hai, không phải bậc nhất

Vậy b) là phương trình mặt phẳng nhận $n = (3; - 6; 2)$ làm vectơ pháp tuyến; a), c) không phải.

3Cách 3. Phản ví dụ bằng trung điểm

Định hướng. Mặt phẳng chứa hai điểm thì chứa trung điểm của chúng; tìm hai điểm thoả phương trình mà trung điểm không thoả.

M_{1} (1; 0; 0), M_{2} (- 1; 0; 0)

thoả; trung điểm

O (0; 0; 0)

0 - 1 = - 1 \neq = 0

M_{1} (1; - 5; 0), M_{2} (- 1; 5; 0)

thoả; trung điểm

O

0 + 5 = 5 \neq = 0

3 x - 6 y + 2 z + 30 = 0

bậc nhất,

n = (3; - 6; 2) \neq = 0

Vậy a), c) không biểu diễn mặt phẳng; chỉ b) là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét. Cách 3 chứng minh chặt chẽ rằng tập nghiệm của a), c) KHÔNG thể là mặt phẳng, chứ không chỉ “không có dạng”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn bậc của phương trình là trả lời được ngay.

Đáp số. Chỉ có b)

\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0

là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là loại b) vì “có phân số”. Phân số là hệ số, phương trình vẫn bậc nhất:

A = \frac{1}{2}

B = - 1

C = \frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Phương trình

\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0

(Ví dụ 4) cũng không phải phương trình mặt phẳng dù trông “giống đoạn chắn” — ẩn nằm ở mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 5★Trang 33— Điểm thuộc mặt phẳng, đọc vectơ pháp tuyến

Luyện tập 5 (trang 33). Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α) : x + 2 = 0

.
a) Điểm

A (- 2; 1; 0)

có thuộc

(α)

hay không?
b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của

(α)

Kiến thức cần nhớ

$M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (α) : A x + B y + C z + D = 0 \Leftrightarrow A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0$ .
$(α) : A x + B y + C z + D = 0$ nhận $n = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng $x = a$ song song (hoặc trùng) với $(O y z)$ và vuông góc với trục $O x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình

x + 2 = 0

là trường hợp

B = C = 0

của

A x + B y + C z + D = 0

— đừng nghĩ thiếu

y, z

là “không phải mặt phẳng”. Thay toạ độ điểm vào để kiểm tra thuộc; hệ số của

x, y, z

cho vectơ pháp tuyến.

1Cách 1. Thay toạ độ và đọc hệ số

Định hướng. Viết $(α)$ dưới dạng đầy đủ $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 2 = 0$ .

- 2 + 2 = 0 \Rightarrow A \in (α)

1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 2 = 0 \Rightarrow n = (1; 0; 0)

Vậy a) $A \in (α)$ ; b) $n = (1; 0; 0) = i$ là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

2Cách 2. Nhận dạng vị trí mặt phẳng

Định hướng. $(α)$ gồm mọi điểm có hoành độ $- 2$ : đó là mặt phẳng vuông góc với $O x$ tại $(- 2; 0; 0)$ .

(α) = {M (x; y; z) : x = - 2}

x_{A} = - 2 \Rightarrow A \in (α)

(α) ⊥ O x \Rightarrow i = (1; 0; 0)

là vectơ pháp tuyến

Vậy $A$ thuộc $(α)$ và $i = (1; 0; 0)$ là một vectơ pháp tuyến.

3Cách 3. Tìm cặp vectơ chỉ phương

Định hướng. Lấy ba điểm của $(α)$ , dựng cặp vectơ chỉ phương rồi lấy tích có hướng.

x_{A} + 2 = - 2 + 2 = 0 \Rightarrow A \in (α)

E (- 2; 0; 0), F (- 2; 1; 0), G (- 2; 0; 1) \in (α)

E F = (0; 1; 0), E G = (0; 0; 1)

[E F, E G] = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0; 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (1; 0; 0)

Vậy $n = (1; 0; 0)$ .

Nhận xét. Ba cách cùng cho $i$ , nhưng Cách 1 là nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số và đọc hệ số, không cần suy nghĩ thêm.

Đáp số. a) Có,

A \in (α)

. b)

n = (1; 0; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc vectơ pháp tuyến thành

(1; 2; 0)

hay

(1; 0; 2)

— số

2

là hệ số tự do

D

, không phải hệ số của

y

hay

z

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng

B y + D = 0

(

B \neq = 0

) vuông góc với

O y

, còn

C z + D = 0

(

C \neq = 0

) vuông góc với

O z

; ví dụ

z - 3 = 0

là mặt phẳng nằm ngang cao

3

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ5★Trang 33— Phương trình mặt phẳng qua một điểm, biết vectơ pháp tuyến

HĐ5 (trang 33). Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến. Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và có vectơ pháp tuyến

n = (A; B; C)

. Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của

(α)

Kiến thức cần nhớ

$(α)$ qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ : $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .
Dạng khai triển: $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

HĐ4 đã chỉ ra

M \in (α) \Leftrightarrow n \cdot M_{0} M = 0

; chỉ cần viết tích vô hướng ra toạ độ rồi khai triển. Bẫy: toạ độ của

M_{0} M

là HIỆU

x - x_{0}

, không phải tổng.

1Cách 1. Viết tích vô hướng

n \cdot M_{0} M = 0

Định hướng. Dùng kết quả HĐ4b.

n \cdot M_{0} M = 0

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

A x + B y + C z - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0}) = 0

Vậy $(α) : A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ , hay $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$ .

2Cách 2. Tìm hệ số tự do

D

Định hướng. $(α)$ có vectơ pháp tuyến $n$ nên có dạng $A x + B y + C z + D = 0$ ; $D$ xác định nhờ $M_{0} \in (α)$ .

(α) : A x + B y + C z + D = 0

M_{0} \in (α) \Leftrightarrow A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0 \Leftrightarrow D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})

Vậy $(α) : A x + B y + C z - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0}) = 0$ .

Nhận xét. Cách 2 rất tiện khi bài cho sẵn một mặt phẳng song song — chỉ việc tìm lại $D$ (xem Luyện tập 10c).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho công thức cần thuộc lòng; Cách 2 dùng khi đã biết sẵn bộ hệ số

A, B, C

Đáp số.

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0 \Leftrightarrow A x + B y + C z + D = 0

D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên dấu trừ trong

D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})

, dẫn tới mặt phẳng không đi qua

M_{0}

. Luôn thử lại bằng cách thay toạ độ

M_{0}

🚀 Mở rộng. Áp dụng ngay: mặt phẳng qua

M (2; - 1; 0)

có vectơ pháp tuyến

(3; - 4; 6)

là

3 x - 4 y + 6 z - 10 = 0

(Ví dụ 6).

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Luyện tập 6★Trang 33— Mặt phẳng qua một điểm, vuông góc với trục toạ độ

Luyện tập 6 (trang 33). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

M (1; 2; - 4)

và vuông góc với trục

O z

Kiến thức cần nhớ

$(α) ⊥ O z \Rightarrow k = (0; 0; 1)$ là vectơ pháp tuyến.
$(α)$ qua $M_{0}$ , vectơ pháp tuyến $n$ : $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .
$[i, j] = k$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Vuông góc với trục

O z

” nghĩa là giá của

k

vuông góc với

(α)

— vectơ pháp tuyến có sẵn. Mặt phẳng như vậy song song với

(O x y)

nên mọi điểm có cùng cao độ.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

k

Định hướng. Lấy $n = k = (0; 0; 1)$ .

0 (x - 1) + 0 (y - 2) + 1 (z + 4) = 0

z + 4 = 0

Vậy $(α) : z + 4 = 0$ .

2Cách 2. Mặt phẳng song song với

(O x y)

Định hướng. $(α) ⊥ O z$ nên $(α) ∥ (O x y)$ : mọi điểm của $(α)$ có cao độ bằng cao độ của $M$ .

z_{M} = - 4

(α) : z = - 4 \Leftrightarrow z + 4 = 0

Vậy $(α) : z + 4 = 0$ .

3Cách 3. Cặp vectơ chỉ phương

i, j

Định hướng. $(α) ⊥ O z$ nên $(α)$ chứa các phương $O x$ , $O y$ : nhận $i, j$ làm cặp vectơ chỉ phương.

n = [i, j] = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0; 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0; 0; 1)

0 (x - 1) + 0 (y - 2) + 1 (z + 4) = 0 \Leftrightarrow z + 4 = 0

Vậy $(α) : z + 4 = 0$ .

Nhận xét. Cách 2 cho lời giải một dòng và giúp hình dung: $(α)$ là mặt phẳng nằm ngang, thấp hơn $(O x y)$ bốn đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra mặt phẳng nằm ngang, viết ngay

z = - 4

Đáp số.

(α) : z + 4 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

x + 2 y - 4 z = 0

hay

z - 4 = 0

: nhầm “qua

M

” thành dùng toạ độ

M

làm hệ số, hoặc sai dấu cao độ.

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng qua

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

vuông góc với

O x

là

x = x_{0}

, vuông góc với

O y

là

y = y_{0}

— ví dụ Bài 5.1:

x - 1 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · HĐ6★★Trang 33— Phương trình mặt phẳng qua một điểm, biết cặp vectơ chỉ phương

HĐ6 (trang 33). Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương. Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và biết cặp vectơ chỉ phương

u = (a; b; c)

v = (a^{'}; b^{'}; c^{'})

.
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(α)

Kiến thức cần nhớ

$u, v$ là cặp vectơ chỉ phương của $(α)$ $\Rightarrow n = [u, v]$ là vectơ pháp tuyến.
$(α)$ qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , $n = (A; B; C)$ : $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cặp vectơ chỉ phương đã có thì vectơ pháp tuyến là tích có hướng (HĐ3); sau đó quay về bài toán “qua một điểm, biết vectơ pháp tuyến”. Bẫy:

u, v

nằm TRONG mặt phẳng, không được lấy chúng làm vectơ pháp tuyến.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Tính $[u, v]$ rồi dùng công thức HĐ5.

n = [u, v] = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)

(b c^{'} - b^{'} c) (x - x_{0}) + (c a^{'} - c^{'} a) (y - y_{0}) + (a b^{'} - a^{'} b) (z - z_{0}) = 0

Vậy a) $n = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)$ ; b) $(α) : (b c^{'} - b^{'} c) (x - x_{0}) + (c a^{'} - c^{'} a) (y - y_{0}) + (a b^{'} - a^{'} b) (z - z_{0}) = 0$ .

2Cách 2. Giải hệ điều kiện vuông góc

Định hướng. Vectơ pháp tuyến $n = (p; q; r)$ là một nghiệm khác $0$ của hệ $n \cdot u = 0$ , $n \cdot v = 0$ .

{a p + b q + cr = 0 a^{'} p + b^{'} q + c^{'} r = 0

(p; q; r) = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)

là một nghiệm (HĐ2a), khác

0

vì

u, v

không cùng phương
b)

p (x - x_{0}) + q (y - y_{0}) + r (z - z_{0}) = 0

Vậy $(α)$ có vectơ pháp tuyến $[u, v]$ và phương trình như Cách 1.

Nhận xét. Với số cụ thể, Cách 2 là cách “chữa cháy” khi quên công thức tích có hướng (xem Luyện tập 3, Cách 2).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là quy trình hai bước chuẩn SGK: tìm

n = [u, v]

, rồi viết phương trình qua

M

Đáp số. a)

n = [u, v] = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)

. b)

(b c^{'} - b^{'} c) (x - x_{0}) + (c a^{'} - c^{'} a) (y - y_{0}) + (a b^{'} - a^{'} b) (z - z_{0}) = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

u + v

hoặc

u

làm vectơ pháp tuyến — các vectơ này nằm TRONG mặt phẳng, không vuông góc với nó.

🚀 Mở rộng. Với lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

, mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

qua

A^{'}

nhận

A B, A C

làm cặp vectơ chỉ phương (Ví dụ 7).

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Luyện tập 7★★Trang 34— Mặt phẳng qua một điểm, song song với hai đường thẳng

Luyện tập 7 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (1; - 2; - 1)

B (4; 1; 2)

C (2; 3; 1)

. Viết phương trình mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

A (1; - 2; - 1)

đồng thời song song với trục

O y

và đường thẳng

B C

Kiến thức cần nhớ

$(α) ∥ d$ thì vectơ chỉ phương của $d$ có giá song song với $(α)$ .
Cặp vectơ chỉ phương $u, v$ cho vectơ pháp tuyến $n = [u, v]$ .
Mặt phẳng song song với $O y$ có phương trình khuyết $y$ : $A x + C z + D = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Song song với

O y

và

B C

nghĩa là

j

và

B C

là cặp vectơ chỉ phương. Bẫy: sau khi lập phải kiểm tra

(α)

KHÔNG chứa

O y

và

B C

, nếu không thì chỉ là “chứa”, không phải “song song”.

1Cách 1. Cặp vectơ chỉ phương

B C, j

Định hướng. Lấy $n = [B C, j]$ .

B C = (- 2; 2; - 1), j = (0; 1; 0)

n = (2 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1; (- 1) \cdot 0 - (- 2) \cdot 0; (- 2) \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (1; 0; - 2)

1 (x - 1) + 0 (y + 2) - 2 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 z - 3 = 0

O (0; 0; 0)

- 3 \neq = 0

;

B (4; 1; 2)

4 - 4 - 3 = - 3 \neq = 0

Vậy $(α) : x - 2 z - 3 = 0$ (không chứa $O y$ và $B C$ nên song song với chúng).

2Cách 2. Dạng khuyết

y

Định hướng. $(α) ∥ O y$ nên phương trình có dạng $a x + cz + d = 0$ ; thêm điều kiện $n ⊥ B C$ và $A \in (α)$ .

n = (a; 0; c)

n \cdot B C = - 2 a - c = 0 \Rightarrow c = - 2 a

a = 1 \Rightarrow c = - 2

A \in (α)

1 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1) + d = 0 \Rightarrow d = - 3

(α) : x - 2 z - 3 = 0

Vậy $(α) : x - 2 z - 3 = 0$ .

3Cách 3. Mặt phẳng qua ba điểm dựng thêm

Định hướng. $(α)$ chứa $A$ , $A_{1} = A + j$ và $A_{2} = A + B C$ ; thay ba điểm vào $a x + b y + cz + d = 0$ .

A (1; - 2; - 1), A_{1} (1; - 1; - 1), A_{2} (- 1; 0; - 2)

⎩ ⎨ ⎧ a - 2 b - c + d = 0 a - b - c + d = 0 - a - 2 c + d = 0 \Rightarrow b = 0, a - c + d = 0, - a - 2 c + d = 0

2 a + c = 0 \Rightarrow c = - 2 a

;

a = 1 \Rightarrow c = - 2, d = - 3

(α) : x - 2 z - 3 = 0

Vậy $(α) : x - 2 z - 3 = 0$ .

Nhận xét. Cách 2 tận dụng đặc điểm “song song trục” để giảm một ẩn — ý tưởng dùng lại ở Bài 5.4.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một tích có hướng là ra vectơ pháp tuyến; nhớ kiểm tra

B \in / (α)

Đáp số.

(α) : x - 2 z - 3 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên bước kiểm tra: nếu

B \in (α)

thì

(α)

chứa

B C

chứ không song song. Ở đây

B

cho giá trị

- 3 \neq = 0

nên đúng là song song.

🚀 Mở rộng. Nếu thay “song song với

B C

” bằng “chứa

B

và

C

” thì bài vô nghiệm vì

(α)

phải chứa

A, B, C

và song song

O y

, mà

(A B C)

có vectơ pháp tuyến

[A B, A C] = (- 9; - 3; 12)

không vuông góc với

j

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · HĐ7★★Trang 34— Phương trình mặt phẳng qua ba điểm

HĐ7 (trang 34). Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm không thẳng hàng:

A (1; 2; 3)

B (- 1; 3; 4)

C (2; - 1; 2)

.
a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

(A B C)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

$A B, A C$ không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của $(A B C)$ .
$n = [A B, A C]$ .
Thay toạ độ ba điểm vào phương trình vừa lập để kiểm tra.

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm không thẳng hàng cho cặp vectơ chỉ phương

A B, A C

; tích có hướng cho vectơ pháp tuyến. Đây là quy trình ba bước chuẩn: cặp chỉ phương → pháp tuyến → phương trình.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Làm đúng ba bước: $A B, A C$ → $n$ → phương trình.

A B = (- 2; 1; 1), A C = (1; - 3; - 1)

n = (1 \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 3); 1 \cdot 1 - (- 2) (- 1); (- 2) (- 3) - 1 \cdot 1) = (2; - 1; 5)

2 (x - 1) - (y - 2) + 5 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 5 z - 15 = 0

Vậy a) $A B = (- 2; 1; 1)$ , $A C = (1; - 3; - 1)$ ; b) $(A B C) : 2 x - y + 5 z - 15 = 0$ .

2Cách 2. Thay ba điểm vào phương trình tổng quát

Định hướng. Tìm $a, b, c, d$ sao cho ba điểm thoả $a x + b y + cz + d = 0$ .

A B = (- 2; 1; 1), A C = (1; - 3; - 1)

⎩ ⎨ ⎧ a + 2 b + 3 c + d = 0 - a + 3 b + 4 c + d = 0 2 a - b + 2 c + d = 0

- 2 a + b + c = 0, a - 3 b - c = 0 \Rightarrow - a - 2 b = 0 \Rightarrow a = - 2 b

b = - 1 \Rightarrow a = 2, c = 2 a - b = 5, d = - a - 2 b - 3 c = - 15

(A B C) : 2 x - y + 5 z - 15 = 0

Vậy $(A B C) : 2 x - y + 5 z - 15 = 0$ .

3Cách 3. Giải hệ vuông góc tìm vectơ pháp tuyến

Định hướng. $n = (p; q; r)$ vuông góc với $A B$ và $A C$ .

{- 2 p + q + r = 0 p - 3 q - r = 0 \Rightarrow - p - 2 q = 0

q = - 1 \Rightarrow p = 2, r = 2 p - q = 5

2 (x - 1) - (y - 2) + 5 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 5 z - 15 = 0

B

- 2 - 3 + 20 - 15 = 0

;

C

4 + 1 + 10 - 15 = 0

Vậy $(A B C) : 2 x - y + 5 z - 15 = 0$ .

Nhận xét. Thử lại bằng $B, C$ là bước nên làm ở mọi cách, vì sai một dấu trong tích có hướng là cả phương trình sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 kèm một dòng thử lại

B, C

; Cách 2 chỉ hợp khi các toạ độ có nhiều số

0

Đáp số. a)

A B = (- 2; 1; 1)

A C = (1; - 3; - 1)

. b)

(A B C) : 2 x - y + 5 z - 15 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết toạ độ thứ hai của tích có hướng thành

(- 2) (- 1) - 1 \cdot 1 = 1

(đảo thứ tự) — đúng phải là

c a^{'} - c^{'} a = 1 \cdot 1 - (- 1) (- 2) = - 1

🚀 Mở rộng. Kiểm tra bốn điểm đồng phẳng:

D (0; 0; 3)

thuộc

(A B C)

vì

0 - 0 + 15 - 15 = 0

, nên

A, B, C, D

đồng phẳng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Luyện tập 8★★★Trang 35— Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Luyện tập 8 (trang 35). (H.5.8) Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(α)

không đi qua gốc toạ độ và cắt ba trục

O x, O y, O z

tương ứng tại các điểm

A (a; 0; 0)

B (0; b; 0)

C (0; 0; c)

(

a, b, c \neq = 0

). Chứng minh rằng mặt phẳng

(α)

có phương trình:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.
(Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Kiến thức cần nhớ

Qua ba điểm không thẳng hàng có đúng một mặt phẳng.
$[A B, A C]$ là vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ .
Mặt phẳng không qua $O$ thì hệ số tự do $D \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba giao điểm với ba trục là ba điểm không thẳng hàng xác định

(α)

. Hoặc lập bằng tích có hướng, hoặc kiểm tra phương trình đề cho là mặt phẳng và chứa cả ba điểm. Bẫy: phải lập luận vì sao phương trình đó là phương trình MẶT PHẲNG (hệ số không đồng thời bằng

0

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Dùng cặp vectơ chỉ phương $A B, A C$ rồi chia cho $ab c$ .

A B = (- a; b; 0), A C = (- a; 0; c)

[A B, A C] = (b c - 0; 0 \cdot (- a) - (- a) c; 0 - (- a) b) = (b c; a c; ab)

b c (x - a) + a c y + ab z = 0

b c x + a cy + ab z = ab c

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Vậy $(α) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (đpcm).

2Cách 2. Kiểm tra phương trình cho sẵn

Định hướng. Phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ là phương trình một mặt phẳng; nó chứa $A, B, C$ nên chính là $(α)$ .

\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \neq = 0

nên

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0

là phương trình mặt phẳng

(β)

A

\frac{a}{a} + 0 + 0 = 1

;

B

0 + \frac{b}{b} + 0 = 1

;

C

0 + 0 + \frac{c}{c} = 1

A, B, C \in (β)

A, B, C

không thẳng hàng

\Rightarrow (β) = (A B C) = (α)

Vậy $(α) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (đpcm).

3Cách 3. Phương trình tổng quát với

D \neq = 0

Định hướng. $(α) : A x + B y + C z + D = 0$ , $D \neq = 0$ vì $O \in / (α)$ ; thay ba điểm để tính $A, B, C$ theo $D$ .

A \in (α)

A a + D = 0 \Rightarrow A = - \frac{D}{a}

B \in (α)

B b + D = 0 \Rightarrow B = - \frac{D}{b}

;

C \in (α)

C = - \frac{D}{c}

- \frac{D}{a} x - \frac{D}{b} y - \frac{D}{c} z + D = 0

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Vậy phương trình $(α)$ là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (đpcm).

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vai trò của điều kiện “không đi qua gốc toạ độ”: nhờ $D \neq = 0$ mới chia được cho $- D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 ngắn và chặt chẽ nhất: chỉ cần thay ba điểm và nêu lí do đó là mặt phẳng.

Đáp số.

(α) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở Cách 2 là chỉ thay ba điểm rồi kết luận, quên nói phương trình là bậc nhất với hệ số không đồng thời bằng

0

và

A, B, C

không thẳng hàng.

🚀 Mở rộng. Áp dụng: mặt phẳng qua

A (2; 0; 0)

B (0; - 3; 0)

C (0; 0; 1)

là

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3 x - 2 y + 6 z - 6 = 0

(SBT Bài 5.2).

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Vận dụng 2★★★Trang 35— Mặt phẳng qua ba điểm, ứng dụng vào chuyển động

Vận dụng 2 (trang 35). Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định toạ độ của vị trí

M_{1}, M_{2}, M_{3}

của vật tương ứng với các thời điểm

t = 0

t = \frac{π}{2}

t = π

.
b) Chứng minh rằng

M_{1}, M_{2}, M_{3}

không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng

(M_{1} M_{2} M_{3})

.
c) Vị trí

M (cos t - sin t; cos t + sin t; cos t)

có luôn thuộc mặt phẳng

(M_{1} M_{2} M_{3})

hay không?

Kiến thức cần nhớ

$A, B, C$ không thẳng hàng $\Leftrightarrow [A B, A C] \neq = 0$ .
$cos 0 = 1, sin 0 = 0, cos \frac{π}{2} = 0, sin \frac{π}{2} = 1, cos π = - 1, sin π = 0$ .
$M \in (α)$ với mọi $t$ khi thay toạ độ vào được đồng nhất thức.

🧠 Phân tích tư duy

Thay ba giá trị

t

để có ba điểm; tích có hướng khác

0

chứng minh không thẳng hàng và cho luôn vectơ pháp tuyến. Câu c phải kiểm tra với MỌI

t

bằng một đồng nhất thức lượng giác.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Tính ba điểm, dùng $[M_{1} M_{2}, M_{1} M_{3}]$ .

M_{1} (1 - 0; 1 + 0; 1) = (1; 1; 1)

M_{2} (0 - 1; 0 + 1; 0) = (- 1; 1; 0)

M_{3} (- 1 - 0; - 1 + 0; - 1) = (- 1; - 1; - 1)

M_{1} M_{2} = (- 2; 0; - 1), M_{1} M_{3} = (- 2; - 2; - 2)

[M_{1} M_{2}, M_{1} M_{3}] = (0 \cdot (- 2) - (- 1) (- 2); (- 1) (- 2) - (- 2) (- 2); (- 2) (- 2) - 0 \cdot (- 2)) = (- 2; - 2; 4) \neq = 0

(x - 1) + (y - 1) - 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 z = 0

(cos t - sin t) + (cos t + sin t) - 2 cos t = 0 \forall t

Vậy a) $M_{1} (1; 1; 1)$ , $M_{2} (- 1; 1; 0)$ , $M_{3} (- 1; - 1; - 1)$ ; b) không thẳng hàng, $(M_{1} M_{2} M_{3}) : x + y - 2 z = 0$ ; c) $M$ luôn thuộc mặt phẳng đó.

2Cách 2. Tỉ số toạ độ và phương trình tổng quát

Định hướng. Chứng minh không cùng phương bằng tỉ số, lập mặt phẳng bằng cách thay ba điểm vào $a x + b y + cz + d = 0$ .

\frac{- 2}{- 2} = 1 \neq = \frac{0}{- 2} = 0

nên

M_{1} M_{2}, M_{1} M_{3}

không cùng phương

⎩ ⎨ ⎧ a + b + c + d = 0 - a + b + d = 0 - a - b - c + d = 0 \Rightarrow d = 0, b = a, c = - 2 a

a = 1

x + y - 2 z = 0

x + y - 2 z = 2 cos t - 2 cos t = 0

Vậy $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ không thẳng hàng, $(M_{1} M_{2} M_{3}) : x + y - 2 z = 0$ và $M$ luôn thuộc mặt phẳng này.

3Cách 3. Nhận ra

O

là trung điểm

M_{1} M_{3}

Định hướng. $M_{3} = - M_{1}$ nên mặt phẳng qua $O$ ; dùng cặp chỉ phương $O M_{1}, O M_{2}$ .

O M_{3} = - O M_{1} \Rightarrow O \in (M_{1} M_{2} M_{3})

[O M_{1}, O M_{2}] = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1; 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 0; 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (- 1; - 1; 2) \neq = 0

- x - y + 2 z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 z = 0

O M = cos t O M_{1} + sin t O M_{2}

Vậy $M$ luôn thuộc $(M_{1} M_{2} M_{3}) : x + y - 2 z = 0$ vì $O M$ luôn là tổ hợp của hai vectơ chỉ phương.

Nhận xét. Cách 3 trả lời triệt để câu hỏi Mở đầu: vật thể chuyển động trên một đường elip nằm trong mặt phẳng $x + y - 2 z = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tích có hướng vừa chứng minh không thẳng hàng vừa cho vectơ pháp tuyến — một phép tính dùng cho hai việc.

Đáp số. a)

M_{1} (1; 1; 1)

M_{2} (- 1; 1; 0)

M_{3} (- 1; - 1; - 1)

. b)

(M_{1} M_{2} M_{3}) : x + y - 2 z = 0

. c) Có,

M

luôn thuộc mặt phẳng này.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

M_{2}

thành

(1; 1; 0)

vì nhầm

cos \frac{π}{2} - sin \frac{π}{2} = 0 - 1 = - 1

, hoặc chỉ kiểm tra câu c tại một vài giá trị

t

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ

M

tới

O

là

2 + cos^{2} t

thay đổi theo

t

, nên quỹ đạo không phải đường tròn tâm

O

mà là một elip trong mặt phẳng

x + y - 2 z = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · HĐ8★★Trang 35— Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

HĐ8 (trang 35). Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng:

(α) : A x + B y + C z + D = 0

(β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0

, với hai vectơ pháp tuyến

n = (A; B; C)

n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})

tương ứng.
a) Góc giữa hai mặt phẳng

(α)

(β)

và góc giữa hai giá của

n

n^{'}

có mối quan hệ gì?
b) Hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng

n

n^{'}

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow n ⊥ n^{'} \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với chúng — giá của

n, n^{'}

chính là hai đường thẳng như vậy. Vuông góc thì góc bằng

9 0^{\circ}

, quy về tích vô hướng bằng

0

1Cách 1. Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Định hướng. Giá của $n$ vuông góc với $(α)$ , giá của $n^{'}$ vuông góc với $(β)$ .

((α), (β)) = (d, d^{'})

, với

d

d^{'}

là giá của

n

n^{'}

(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow (d, d^{'}) = 9 0^{\circ} \Leftrightarrow n ⊥ n^{'}

\Leftrightarrow n \cdot n^{'} = 0 \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0

Vậy a) Hai góc đó bằng nhau; b) $(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow n ⊥ n^{'} \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

2Cách 2. Dùng tính chất vectơ pháp tuyến nằm trong mặt phẳng kia

Định hướng. Nếu $(α) ⊥ (β)$ thì đường thẳng vuông góc với $(α)$ song song hoặc nằm trong $(β)$ , và ngược lại.

cos ((α), (β)) = ∣ cos (n, n^{'}) ∣

(α) ⊥ (β) \Rightarrow

giá

n ∥ (β)

hoặc nằm trong

(β) \Rightarrow n ⊥ n^{'}

n ⊥ n^{'} \Rightarrow

giá

n

song song hoặc nằm trong

(β)

, mà giá

n ⊥ (α) \Rightarrow (α) ⊥ (β)

n \cdot n^{'} = A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0

Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai giá của $n, n^{'}$ , và $(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

Nhận xét. Góc giữa hai mặt phẳng thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ , còn góc giữa hai VECTƠ có thể tù — vì vậy phải lấy trị tuyệt đối của cosin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trình bày chuẩn; ghi nhớ kết luận

A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0

để dùng ngay trong bài tập.

Đáp số. a) Góc giữa

(α), (β)

bằng góc giữa hai giá của

n, n^{'}

. b)

(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow n ⊥ n^{'} \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nói “góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến” — sai khi góc giữa hai vectơ tù; phải nói góc giữa hai GIÁ.

🚀 Mở rộng. Áp dụng:

(α) : x - 3 y + 2 z + 1 = 0

và

(β) : 5 x + y - z + 2 = 0

vuông góc vì

5 - 3 - 2 = 0

(Ví dụ 9).

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Luyện tập 9★Trang 36— Xét tính vuông góc của hai mặt phẳng

Luyện tập 9 (trang 36). Trong không gian

O x y z

, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

(α) : 3 x + y - z + 1 = 0

(β) : 9 x + 3 y - 3 z + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .
$(α) \equiv (β) \Leftrightarrow A^{'} = k A, B^{'} = k B, C^{'} = k C, D^{'} = k D$ với $k \neq = 0$ .
$cos ((α), (β)) = \frac{∣ n \cdot n ^{'} ∣}{∣ n ∣ ∣ n ^{'} ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Kiểm tra

A A^{'} + B B^{'} + C C^{'}

có bằng

0

hay không. Nhìn kĩ: mọi hệ số của

(β)

gấp

3

lần của

(α)

— hai mặt phẳng trùng nhau, chắc chắn không vuông góc.

1Cách 1. Tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến

Định hướng. Tính $n \cdot n^{'}$ .

n = (3; 1; - 1), n^{'} = (9; 3; - 3)

n \cdot n^{'} = 3 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + (- 1) (- 3) = 27 + 3 + 3 = 33 \neq = 0

Vậy $(α)$ và $(β)$ không vuông góc với nhau.

2Cách 2. Nhận ra hai mặt phẳng trùng nhau

Định hướng. So sánh bộ hệ số.

(9; 3; - 3; 3) = 3 (3; 1; - 1; 1)

(β) : 3 (3 x + y - z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x + y - z + 1 = 0

(β) \equiv (α)

Vậy hai mặt phẳng trùng nhau nên không vuông góc với nhau.

3Cách 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng

Định hướng. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.

∣ n ∣ = 9 + 1 + 1 = 11, ∣ n^{'} ∣ = 81 + 9 + 9 = 99

cos ((α), (β)) = \frac{33}{11 \cdot 99} = \frac{33}{33} = 1

((α), (β)) = 0^{\circ} \neq = 9 0^{\circ}

Vậy $(α)$ và $(β)$ không vuông góc (góc giữa chúng bằng $0^{\circ}$ ).

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 cho biết thêm thông tin: hai mặt phẳng không chỉ “không vuông góc” mà còn trùng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tính tích vô hướng là đủ trả lời.

Đáp số. Không vuông góc (thực ra

(α)

và

(β)

trùng nhau).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là thấy hệ số của

(β)

gấp

3

lần rồi kết luận “vuông góc” vì nhớ lẫn điều kiện. Hệ số tỉ lệ là dấu hiệu song song hoặc trùng nhau.

🚀 Mở rộng. Đổi

(β)

thành

x - 2 y + z + 3 = 0

thì

3 - 2 - 1 = 0

, lúc đó

(α) ⊥ (β)

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Vận dụng 3★★★Trang 36— Mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng cho trước

Vận dụng 3 (trang 36). (H.5.10) Trong không gian

O x y z

, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh

O (0; 0; 0)

A (2; 0; 0)

B (2; 3; 0)

C (0; 22; 0)

. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng chứa $d$ (vectơ chỉ phương $u$ ) và vuông góc với $(O x y)$ nhận $[u, k]$ làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng vuông góc với $(O x y)$ có phương trình khuyết $z$ : $A x + B y + D = 0$ .
$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi bức tường chứa một cạnh của sàn và vuông góc với sàn

(O x y)

, nên nhận vectơ cạnh và

k

làm cặp vectơ chỉ phương. Ba bức tường dễ nhận ra ngay (

y = 0

x = 2

x = 0

); chỉ tường

B C

phải tính. Bẫy:

O A

và

B C

không song song vì

C

ở độ cao

22 \neq = 3

1Cách 1. Tích có hướng với

k

Định hướng. Tường chứa cạnh có vectơ $u$ thì có vectơ pháp tuyến $[u, k]$ .

O A = (2; 0; 0)

[O A, k] = (0; - 2; 0) \Rightarrow (P_{1}) : y = 0

A B = (0; 3; 0)

[A B, k] = (3; 0; 0) \Rightarrow (P_{2}) : x - 2 = 0

B C = (- 2; 22 - 3; 0)

[B C, k] = (22 - 3; 2; 0)

(P_{3}) : (22 - 3) (x - 0) + 2 (y - 22) = 0 \Leftrightarrow (3 - 22) x - 2 y + 42 = 0

O C = (0; 22; 0)

[O C, k] = (22; 0; 0) \Rightarrow (P_{4}) : x = 0

n_{1} = (0; 1; 0), n_{2} = (1; 0; 0), n_{3} = (3 - 22; - 2; 0), n_{4} = (1; 0; 0)

n_{1} \cdot n_{2} = 0, n_{1} \cdot n_{4} = 0

n_{1} \cdot n_{3} = - 2 \neq = 0, n_{2} \cdot n_{3} = n_{4} \cdot n_{3} = 3 - 22 \neq = 0, n_{2} = n_{4}

Vậy a) $y = 0$ ; $x - 2 = 0$ ; $(3 - 22) x - 2 y + 42 = 0$ ; $x = 0$ . b) Các cặp vuông góc: tường $O A$ với tường $A B$ , tường $O A$ với tường $O C$ .

2Cách 2. Tường là “đường thẳng trên sàn kéo lên”

Định hướng. Tường vuông góc với sàn nên phương trình không chứa $z$ ; đó chính là phương trình đường thẳng cạnh sàn trong mặt phẳng $O x y$ .

O A

nằm trên

O x

y = 0

;

A B

x = 2

;

O C

nằm trên

O y

x = 0

B C

y - 22 = \frac{3 - 2 2}{2 - 0} (x - 0)

2 y - 42 = (3 - 22) x \Leftrightarrow (3 - 22) x - 2 y + 42 = 0

(x = 2) ∥ (x = 0)

;

(y = 0) ⊥ (x = 2)

(y = 0) ⊥ (x = 0)

n_{3} = (3 - 22; - 2; 0)

n_{3} \cdot (0; 1; 0) = - 2 \neq = 0

n_{3} \cdot (1; 0; 0) = 3 - 22 \neq = 0

Vậy bốn mặt phẳng như Cách 1; hai cặp vuông góc là $(y = 0, x - 2 = 0)$ và $(y = 0, x = 0)$ .

3Cách 3. Phương trình khuyết

z

qua hai điểm

Định hướng. Tường chứa hai đỉnh $M, N$ của sàn và vuông góc với sàn: $a x + b y + d = 0$ đi qua $M, N$ .

a) tường

B C

{2 a + 3 b + d = 0 22 b + d = 0 \Rightarrow d = - 22 b, 2 a = (22 - 3) b

b = - 2 \Rightarrow a = 3 - 22, d = 42

(3 - 22) x - 2 y + 42 = 0

tường

O A

{d = 0 2 a + d = 0 \Rightarrow a = d = 0

y = 0

; tương tự tường

A B

x - 2 = 0

, tường

O C

x = 0

n_{1} \cdot n_{2} = 0

n_{1} \cdot n_{4} = 0

, các tích khác đều khác

0

Vậy các cặp mặt phẳng vuông góc là (tường $O A$ , tường $A B$ ) và (tường $O A$ , tường $O C$ ).

Nhận xét. Góc $O A B = A O C = 9 0^{\circ}$ trên sàn cho đúng hai cặp tường vuông góc; tường $A B$ và tường $O C$ song song với nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn sàn như hình phẳng, ba tường đọc được ngay, chỉ tường

B C

cần viết phương trình đường thẳng.

Đáp số. a) Tường

O A

y = 0

; tường

A B

x - 2 = 0

; tường

B C

(3 - 22) x - 2 y + 42 = 0

; tường

O C

x = 0

. b) Hai cặp vuông góc:

(y = 0)

với

(x - 2 = 0)

và

(y = 0)

với

(x = 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là coi sàn là hình chữ nhật rồi viết tường

B C

là

y = 3

— nhưng

C

có tung độ

22 \approx 2, 83 \neq = 3

, nên tường

B C

nghiêng.

🚀 Mở rộng. Nếu thay

C (0; 3; 0)

thì sàn là hình chữ nhật, tường

B C

là

y = 3

và có bốn cặp tường vuông góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · HĐ9★★Trang 37— Điều kiện hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

HĐ9 (trang 37). Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau. Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(α) : A x + B y + C z + D = 0

(β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0

, với các vectơ pháp tuyến

n = (A; B; C)

n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})

tương ứng. Nếu hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến

n

n^{'}

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau.
$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow n^{'} = k n, D^{'} \neq = k D$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì có chung phương vuông góc: một đường thẳng vuông góc với mặt này thì vuông góc với mặt kia. Vậy giá của

n

và

n^{'}

cùng vuông góc với một mặt phẳng — chúng cùng phương.

1Cách 1. Lập luận hình học

Định hướng. Giá $d$ của $n$ vuông góc với $(α)$ nên vuông góc với $(β)$ .

d ⊥ (α)

(α) ∥ (β)

hoặc

(α) \equiv (β) \Rightarrow d ⊥ (β)

d^{'} ⊥ (β)

(

d^{'}

là giá của

n^{'}

)

\Rightarrow d ∥ d^{'}

hoặc

d \equiv d^{'}

n^{'} = k n

với

k \neq = 0

Vậy $n$ và $n^{'}$ cùng phương: $n^{'} = k n$ ( $k \neq = 0$ ).

2Cách 2. Dùng tích có hướng

Định hướng. Mọi vectơ nằm trong $(α)$ cũng song song với $(β)$ , nên một cặp vectơ chỉ phương của $(α)$ cũng là cặp vectơ chỉ phương của $(β)$ .

u, v

là cặp vectơ chỉ phương của

(α)

và của

(β)

n ⊥ u, n ⊥ v

và

n^{'} ⊥ u, n^{'} ⊥ v

n, n^{'}

cùng phương với

[u, v]

n^{'} = k n

Vậy hai vectơ pháp tuyến cùng phương.

Nhận xét. Điều ngược lại chưa đủ: $n^{'} = k n$ chỉ cho song song HOẶC trùng; phân biệt bằng hệ số tự do ( $D^{'} \neq = k D$ thì song song, $D^{'} = k D$ thì trùng).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lập luận chuẩn; điều cần nhớ khi làm bài là

n^{'} = k n

kèm so sánh

D^{'}

với

k D

Đáp số.

n

và

n^{'}

cùng phương, tức

n^{'} = k n

với

k \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là kết luận song song chỉ vì

n^{'} = k n

mà quên xét

D^{'}

: ví dụ

x + y + z + 1 = 0

và

2 x + 2 y + 2 z + 2 = 0

là TRÙNG nhau.

🚀 Mở rộng. Áp dụng:

(α) : 3 x - y + z + 2 = 0

và

(β) : 32 x - 2 y + 2 z + 1 = 0

có

n_{β} = 2 n_{α}

và

1 \neq = 2 \cdot 2

nên song song (Ví dụ 11).

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · Luyện tập 10★★Trang 37— Vị trí tương đối hai mặt phẳng; mặt phẳng qua một điểm song song mặt phẳng cho trước

Luyện tập 10 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng:

(α) : 5 x + 2 y - 4 z + 6 = 0

và

(β) : 10 x + 4 y - 2 z + 12 = 0

.
a) Hỏi

(α)

và

(β)

có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm

M (1; - 3; 5)

không thuộc mặt phẳng

(α)

nhưng thuộc mặt phẳng

(β)

.
c) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

đi qua

M (1; - 3; 5)

và song song với

(α)

Kiến thức cần nhớ

$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow n^{'} = k n$ và $D^{'} \neq = k D$ .
$(P) ∥ (α)$ thì $(P)$ có dạng $A x + B y + C z + D^{'} = 0$ với $D^{'} \neq = D$ .
$[n, n^{'}] \neq = 0 \Leftrightarrow$ hai mặt phẳng cắt nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn thoáng thấy

10 = 2 \cdot 5

4 = 2 \cdot 2

12 = 2 \cdot 6

dễ tưởng song song — nhưng hệ số của

z

là

- 2 \neq = 2 \cdot (- 4)

. Đây đúng là cái bẫy của câu a. Câu c: mặt phẳng song song với

(α)

dùng lại vectơ pháp tuyến của

(α)

, chỉ cần tìm hệ số tự do.

1Cách 1. So sánh tỉ số hệ số

Định hướng. Xét $n^{'}$ có bằng $k n$ hay không.

\frac{10}{5} = \frac{4}{2} = 2 \neq = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2}

(α)

5 \cdot 1 + 2 \cdot (- 3) - 4 \cdot 5 + 6 = - 15 \neq = 0

;

(β)

10 \cdot 1 + 4 \cdot (- 3) - 2 \cdot 5 + 12 = 0

5 (x - 1) + 2 (y + 3) - 4 (z - 5) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 2 y - 4 z + 21 = 0

Vậy a) $(α)$ và $(β)$ không song song (chúng cắt nhau); b) $M \in / (α)$ , $M \in (β)$ ; c) $(P) : 5 x + 2 y - 4 z + 21 = 0$ .

2Cách 2. Tích có hướng hai vectơ pháp tuyến; tìm hệ số tự do

Định hướng. $[n, n^{'}] \neq = 0$ thì hai vectơ pháp tuyến không cùng phương. Câu c giữ nguyên $5 x + 2 y - 4 z$ và tìm $d$ .

[n, n^{'}] = (2 \cdot (- 2) - (- 4) \cdot 4; (- 4) \cdot 10 - 5 \cdot (- 2); 5 \cdot 4 - 2 \cdot 10) = (12; - 30; 0) \neq = 0

- 15 \neq = 0

;

0 = 0

(P) : 5 x + 2 y - 4 z + d = 0

M \in (P)

5 - 6 - 20 + d = 0 \Rightarrow d = 21

Vậy $(α)$ cắt $(β)$ ; $M \in / (α)$ , $M \in (β)$ ; $(P) : 5 x + 2 y - 4 z + 21 = 0$ .

3Cách 3. Chỉ ra điểm chung

Định hướng. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung; tìm một điểm chung là bác bỏ được.

2 (5 x + 2 y - 4 z + 6) - (10 x + 4 y - 2 z + 12) = - 6 z

z = 0, x = 0 \Rightarrow 2 y + 6 = 0 \Rightarrow y = - 3

E (0; - 3; 0)

E \in (α)

- 6 + 6 = 0

;

E \in (β)

- 12 + 12 = 0

;

n^{'} \neq = k n

M \in / (α)

vì

- 15 \neq = 0

M \in (β)

vì

0 = 0

n_{P} = n = (5; 2; - 4)

5 x + 2 y - 4 z + 21 = 0

Vậy $(α)$ , $(β)$ cắt nhau (có điểm chung $E$ , không trùng); $(P) : 5 x + 2 y - 4 z + 21 = 0$ .

Nhận xét. Câu b chính là một cách nữa cho câu a: $M$ thuộc $(β)$ mà không thuộc $(α)$ , nên hai mặt phẳng không trùng; còn có song song hay không phải xét vectơ pháp tuyến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a (so tỉ số, thấy lệch ở hệ số

z

) và Cách 2 cho câu c (giữ vế trái, tìm

d

Đáp số. a) Không,

(α)

cắt

(β)

. b)

M \in / (α)

M \in (β)

. c)

(P) : 5 x + 2 y - 4 z + 21 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là thấy

10, 4, 12

lần lượt gấp đôi

5, 2, 6

rồi kết luận song song, bỏ qua hệ số của

z

(

- 2

không bằng

2 \cdot (- 4) = - 8

🚀 Mở rộng. Nếu

(β)

là

10 x + 4 y - 8 z + 12 = 0

thì

(β) \equiv (α)

; còn

10 x + 4 y - 8 z + 13 = 0

thì

(β) ∥ (α)

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · Vận dụng 4★★★Trang 37— Mô hình hoá thực tiễn bằng họ mặt phẳng song song

Vận dụng 4 (trang 37). Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian

O x y z

, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.
a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng

27

(nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình

x + y + z - 27 = 0

.
b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Kiến thức cần nhớ

$M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (α) \Leftrightarrow$ toạ độ thoả phương trình $(α)$ .
$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow n^{'} = k n, D^{'} \neq = k D$ .
Khoảng cách từ $O$ tới $x + y + z - S = 0$ bằng $\frac{∣ S ∣}{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Tổng ba toạ độ bằng

27

” chính là phương trình

x + y + z = 27

— bậc nhất nên là mặt phẳng. Mỗi mức tổng điểm

S

cho một mặt phẳng

x + y + z - S = 0

; các mặt phẳng này có chung vectơ pháp tuyến

(1; 1; 1)

nhưng khác hệ số tự do, nên đôi một song song.

1Cách 1. Thay toạ độ và so sánh hệ số

Định hướng. Gọi $M (x; y; z)$ là điểm biểu diễn một thí sinh: $x, y, z$ là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh.

x + y + z = 27 \Leftrightarrow x + y + z - 27 = 0 \Rightarrow M \in (P_{27}) : x + y + z - 27 = 0

b) tổng điểm

S

M \in (P_{S}) : x + y + z - S = 0

S_{1} \neq = S_{2}

n_{S_{1}} = n_{S_{2}} = (1; 1; 1)

- S_{1} \neq = - S_{2} \Rightarrow (P_{S_{1}}) ∥ (P_{S_{2}})

Vậy a) các điểm có tổng $27$ nằm trên $x + y + z - 27 = 0$ ; b) họ mặt phẳng $(P_{S}) : x + y + z - S = 0$ (mỗi giá trị tổng điểm $S$ một mặt phẳng) đôi một song song, hai thí sinh cùng tổng điểm $S$ cùng thuộc $(P_{S})$ .

2Cách 2. Vectơ nối hai điểm cùng tổng

Định hướng. Hai thí sinh $M_{1}, M_{2}$ cùng tổng $S$ thì $M_{1} M_{2} ⊥ (1; 1; 1)$ , nên $M_{2}$ thuộc mặt phẳng qua $M_{1}$ vuông góc với $(1; 1; 1)$ .

M_{0} (9; 9; 9)

n = (1; 1; 1)

(x - 9) + (y - 9) + (z - 9) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 27 = 0

x + y + z = 27 \Rightarrow M_{0} M \cdot n = (x + y + z) - 27 = 0 \Rightarrow M \in (P_{27})

M_{1} M_{2} \cdot n = S - S = 0 \Rightarrow M_{2} \in (P_{S})

qua

M_{1}

có vectơ pháp tuyến

n

các

(P_{S})

cùng vectơ pháp tuyến

n

, qua các điểm

(S /3; S /3; S /3)

khác nhau

Vậy các mặt phẳng $(P_{S})$ đôi một song song và mỗi mặt phẳng chứa đúng các thí sinh cùng tổng điểm $S$ .

3Cách 3. Khoảng cách tới gốc toạ độ

Định hướng. Các mặt phẳng $(P_{S})$ cùng vuông góc với đường thẳng $O I$ , $I (1; 1; 1)$ , và cách $O$ những khoảng khác nhau nên không trùng nhau.

(P_{27}) : x + y + z - 27 = 0

chứa mọi

M

có

x + y + z = 27

(P_{S}) ⊥ O I

với mọi

S

d (O, (P_{S})) = \frac{S}{3}

(

S \geq 0

S_{1} \neq = S_{2} \Rightarrow d_{1} \neq = d_{2}

hai mặt phẳng cùng vuông góc với

O I

, không trùng

\Rightarrow

song song

Vậy tồn tại họ mặt phẳng đôi một song song $(P_{S}) : x + y + z - S = 0$ thoả mãn yêu cầu.

Nhận xét. Hình 5.12 minh hoạ các “lát cắt” $S = 20, 24, 27$ : càng xa gốc $O$ thì tổng điểm càng cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn và đúng trọng tâm: đặt mặt phẳng

(P_{S})

rồi so sánh vectơ pháp tuyến, hệ số tự do.

Đáp số. a) Điểm có tổng

27

thoả

x + y + z - 27 = 0

. b) Họ mặt phẳng

(P_{S}) : x + y + z - S = 0

(mỗi tổng điểm

S

ứng với một mặt phẳng) đôi một song song.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ nêu một ví dụ cụ thể (hai thí sinh

27

điểm) mà không chỉ ra HỌ mặt phẳng và không chứng minh chúng song song đôi một.

🚀 Mở rộng. Nếu tính điểm xét tuyển có môn Toán nhân hệ số

2

thì họ mặt phẳng trở thành

2 x + y + z - S = 0

, vẫn đôi một song song với vectơ pháp tuyến

(2; 1; 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · HĐ10★★★Trang 38— Thiết lập công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

HĐ10 (trang 38). Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trong không gian

O x y z

, cho điểm

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và mặt phẳng

(P) : A x + B y + C z + D = 0

có vectơ pháp tuyến

n = (A; B; C)

. Gọi

N

là hình chiếu vuông góc của

M

trên

(P)

(H.5.13).
a) Giải thích vì sao tồn tại số

k

để

M N = k n

. Tính toạ độ của

N

theo

k

, toạ độ của

M

và các hệ số

A, B, C, D

.
b) Thay toạ độ của

N

vào phương trình mặt phẳng

(P)

để từ đó tính

k

theo toạ độ của

M

và các hệ số

A, B, C, D

.
c) Từ

∣ M N ∣ = ∣ k ∣ ∣ n ∣

, hãy tính độ dài của đoạn thẳng

M N

theo toạ độ của

M

và các hệ số

A, B, C, D

. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm

M

đến mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau.
$d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Hình chiếu vô hướng: $d (M, (P)) = \frac{∣ M _{1} M \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ với $M_{1} \in (P)$ bất kì.

🧠 Phân tích tư duy

M N

và giá của

n

cùng vuông góc với

(P)

nên cùng phương — đó là lí do có

k

. Khi có toạ độ

N

theo

k

, điều kiện

N \in (P)

là một phương trình bậc nhất ẩn

k

1Cách 1. Theo gợi ý: tham số

k

Định hướng. Làm lần lượt ba ý a, b, c.

M N ⊥ (P)

, giá

n ⊥ (P) \Rightarrow M N = k n

(nếu

M \in (P)

thì

k = 0

)

N (x_{0} + k A; y_{0} + k B; z_{0} + k C)

A (x_{0} + k A) + B (y_{0} + k B) + C (z_{0} + k C) + D = 0

k (A^{2} + B^{2} + C^{2}) = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D)

k = - \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

M N = ∣ k ∣ A^{2} + B^{2} + C^{2} = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} \cdot A^{2} + B^{2} + C^{2} = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Vậy $d (M, (P)) = M N = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

2Cách 2. Chiếu vectơ lên phương pháp tuyến

Định hướng. Lấy $M_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}) \in (P)$ ; khoảng cách bằng độ dài hình chiếu của $M_{1} M$ lên phương của $n$ .

a), b) như Cách 1:

M N = k n

k = - \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

M N = ∣ M_{1} M ∣ \cdot ∣ cos (M_{1} M, n) ∣ = \frac{∣ M _{1} M \cdot n ∣}{∣ n ∣}

M_{1} M \cdot n = A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} - (A x_{1} + B y_{1} + C z_{1}) = A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D

M N = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Vậy $d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

Nhận xét. Cách 2 giải thích ý nghĩa của tử số: $A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D$ là tích vô hướng $M_{1} M \cdot n$ ; dấu của nó cho biết $M$ nằm ở phía nào của $(P)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 bám đúng gợi ý của đề; Cách 2 ngắn và cho thêm ý nghĩa hình học của tử số.

Đáp số. a)

N (x_{0} + k A; y_{0} + k B; z_{0} + k C)

. b)

k = - \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

. c)

d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên dấu giá trị tuyệt đối ở tử, ra khoảng cách âm; hoặc quên căn ở mẫu, viết

A^{2} + B^{2} + C^{2}

🚀 Mở rộng. Áp dụng:

d (M (1; 2; - 1), (P) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0) = \frac{∣1 + 4 + 2 + 5∣}{3} = 4

(Ví dụ 12).

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · Luyện tập 11★★Trang 39— Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Luyện tập 11 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(P) : x + 3 y + z + 2 = 0

và

(Q) : x + 3 y + z + 5 = 0

.
a) Chứng minh rằng

(P)

và

(Q)

song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc

(P)

, tính khoảng cách từ điểm đó đến

(Q)

. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Kiến thức cần nhớ

$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow n^{'} = k n, D^{'} \neq = k D$ .
$d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
$(P) : A x + B y + C z + D = 0 ∥ (Q) : A x + B y + C z + D^{'} = 0$ thì $d ((P), (Q)) = \frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai phương trình chỉ khác hệ số tự do — dấu hiệu song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt này tới mặt kia, nên chọn điểm có nhiều toạ độ

0

cho dễ tính.

1Cách 1. Lấy điểm

M (- 2; 0; 0) \in (P)

Định hướng. Cho $y = z = 0$ ở phương trình $(P)$ để có một điểm.

n_{P} = n_{Q} = (1; 3; 1)

2 \neq = 5 \Rightarrow (P) ∥ (Q)

M (- 2; 0; 0) \in (P)

d (M, (Q)) = \frac{∣ - 2 + 0 + 0 + 5∣}{1 + 9 + 1} = \frac{3}{11} = \frac{3 11}{11}

Vậy $(P) ∥ (Q)$ và $d ((P), (Q)) = \frac{3 11}{11}$ .

2Cách 2. Lấy điểm khác,

M^{'} (0; 0; - 2) \in (P)

Định hướng. Khoảng cách không phụ thuộc điểm được chọn; kiểm chứng bằng một điểm khác.

\frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} \neq = \frac{5}{2}

M^{'} (0; 0; - 2)

0 + 0 - 2 + 2 = 0 \Rightarrow M^{'} \in (P)

d (M^{'}, (Q)) = \frac{∣0 + 0 - 2 + 5∣}{11} = \frac{3}{11}

Vậy $d ((P), (Q)) = \frac{3}{11} = \frac{3 11}{11}$ .

3Cách 3. Hình chiếu của điểm lên

(Q)

Định hướng. Từ $M (- 2; 0; 0) \in (P)$ kẻ đường vuông góc tới $(Q)$ : $N = M + t n$ .

a) cùng vectơ pháp tuyến, khác hệ số tự do
b)

N (- 2 + t; 3 t; t) \in (Q)

- 2 + t + 9 t + t + 5 = 0 \Rightarrow t = - \frac{3}{11}

M N = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{3}{11} 11 = \frac{3 11}{11}

Vậy khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{3 11}{11}$ .

Nhận xét. Ba cách đều ra $\frac{∣5 - 2∣}{11}$ — đây là công thức nhanh $\frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ khi hai phương trình có CÙNG bộ $A, B, C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn điểm có hai toạ độ bằng

0

, thay vào công thức là xong.

Đáp số. a)

(P) ∥ (Q)

. b)

d ((P), (Q)) = \frac{3}{11} = \frac{3 11}{11}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

\frac{∣5 - 2∣}{1 + 3 + 1}

(quên bình phương hệ số

3

), hoặc tính

\frac{∣5 + 2∣}{11}

do lấy tổng hệ số tự do.

🚀 Mở rộng. Với

(Q^{'}) : 2 x + 6 y + 2 z + 5 = 0

vẫn song song với

(P)

, nhưng phải đưa về cùng bộ hệ số:

x + 3 y + z + 2, 5 = 0

, khoảng cách là

\frac{0 , 5}{11}

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · Vận dụng 5★★★Trang 39— Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Vận dụng 5 (trang 39). (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là

11 5^{\circ}

. Trong không gian

O x y z

, camera được đặt tại điểm

C (1; 2; 4)

và chiếu thẳng về phía mặt phẳng

(P) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0

. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng

(P)

của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Kiến thức cần nhớ

$d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Tam giác vuông $C H R$ vuông tại $H$ : $H R = C H \cdot tan H C R$ , $C R = \frac{C H}{cos H C R}$ .
Hình chiếu của $C$ lên $(P)$ : $H = C + k n$ với $k = - \frac{A x _{C} + B y _{C} + C z _{C} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Chiếu thẳng” nghĩa là trục của nón quan sát vuông góc với

(P)

: chiều cao nón bằng

d (C, (P))

. Góc quan sát

11 5^{\circ}

là góc ở đỉnh, nên nửa góc

57, 5^{\circ}

nằm trong tam giác vuông tạo bởi đường cao, bán kính và đường sinh. Bẫy: dùng nhầm

11 5^{\circ}

thay cho nửa góc.

1Cách 1. Khoảng cách và tan nửa góc

Định hướng. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên $(P)$ , $R$ là một điểm trên biên vùng quan sát.

C H = d (C, (P)) = \frac{∣1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3∣}{1 + 4 + 4} = \frac{16}{3}

H C R = \frac{11 5 ^{\circ}}{2} = 57, 5^{\circ}

r = H R = C H \cdot tan 57, 5^{\circ} = \frac{16}{3} tan 57, 5^{\circ} \approx 8, 37

Vậy vùng quan sát là hình tròn bán kính khoảng $8, 4$ .

2Cách 2. Tính đường sinh rồi dùng Pythagore

Định hướng. Tính $C R$ theo $cos 57, 5^{\circ}$ , rồi $r = C R^{2} - C H^{2}$ .

C H = \frac{16}{3}

C R = \frac{C H}{cos 57 , 5 ^{\circ}} \approx \frac{5 , 333}{0 , 5373} \approx 9, 926

r = C R^{2} - C H^{2} \approx 98, 53 - 28, 44 \approx 70, 09 \approx 8, 37

Vậy $r \approx 8, 4$ .

3Cách 3. Tìm toạ độ tâm

H

của vùng quan sát

Định hướng. $H = C + k n$ với $n = (1; 2; 2)$ ; $C H = ∣ k ∣ ∣ n ∣$ .

k = - \frac{1 + 4 + 8 + 3}{1 + 4 + 4} = - \frac{16}{9}

H (1 - \frac{16}{9}; 2 - \frac{32}{9}; 4 - \frac{32}{9}) = (- \frac{7}{9}; - \frac{14}{9}; \frac{4}{9})

C H = \frac{16}{9} \cdot 3 = \frac{16}{3}

r = \frac{16}{3} tan 57, 5^{\circ} \approx 8, 37

Vậy vùng quan sát là hình tròn tâm $H (- \frac{7}{9}; - \frac{14}{9}; \frac{4}{9})$ , bán kính khoảng $8, 4$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm tâm của vùng quan sát — hữu ích nếu cần kiểm tra một điểm trên $(P)$ có bị camera nhìn thấy hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức khoảng cách và một phép nhân với

tan 57, 5^{\circ}

Đáp số. Bán kính vùng quan sát

r = \frac{16}{3} tan 57, 5^{\circ} \approx 8, 4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng

tan 11 5^{\circ}

(ra số âm) hoặc

tan 57, 5^{\circ}

nhân với

\frac{16}{9}

(nhầm

k

với khoảng cách). Chiều cao phải là

∣ k ∣ ∣ n ∣ = \frac{16}{3}

🚀 Mở rộng. Muốn vùng quan sát có bán kính đúng

10

thì camera phải cách

(P)

một khoảng

\frac{10}{tan 57 , 5 ^{\circ}} \approx 6, 37

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · Bài 5.1★Trang 39— Mặt phẳng qua một điểm, vuông góc với trục toạ độ

Bài 5.1 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M (1; 2; - 1)

và vuông góc với trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$(α) ⊥ O x \Rightarrow i = (1; 0; 0)$ là vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng qua $M$ vuông góc với $O x$ : $x = x_{M}$ .
$[j, k] = i$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vuông góc với

O x

thì vectơ pháp tuyến là

i = (1; 0; 0)

; mặt phẳng song song với

(O y z)

nên mọi điểm có cùng hoành độ với

M

. Bẫy: chỉ hoành độ của

M

xuất hiện trong đáp số, tung độ và cao độ không dùng tới.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

i

Định hướng. Viết phương trình qua $M$ với $n = (1; 0; 0)$ .

1 (x - 1) + 0 (y - 2) + 0 (z + 1) = 0

x - 1 = 0

Vậy mặt phẳng cần tìm là $x - 1 = 0$ .

2Cách 2. Mặt phẳng song song với

(O y z)

Định hướng. Mọi điểm của mặt phẳng có hoành độ bằng $x_{M} = 1$ .

x = x_{M} = 1

x - 1 = 0

Vậy $x - 1 = 0$ .

3Cách 3. Cặp vectơ chỉ phương

j, k

Định hướng. Mặt phẳng vuông góc với $O x$ chứa các phương $O y$ , $O z$ .

n = [j, k] = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0; 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = (1; 0; 0)

(x - 1) = 0

Vậy $x - 1 = 0$ .

Nhận xét. Mặt phẳng này song song với $(O y z)$ , cách $(O y z)$ một đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết ngay

x = 1

Đáp số.

x - 1 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

x + 2 y - z = 0

(dùng toạ độ

M

làm hệ số) hoặc

y + 2 z = 0

(nhầm trục).

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng qua

M (1; 2; - 1)

và vuông góc với cả hai mặt phẳng

(O x y)

(O x z)

cũng chính là

x - 1 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · Bài 5.2★★Trang 39— Toạ độ đỉnh hình hộp; mặt phẳng qua ba điểm

Bài 5.2 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, với

A (1; - 1; 3)

B (0; 2; 4)

D (2; - 1; 1)

A^{'} (0; 1; 2)

.
a) Tính toạ độ các điểm

C, B^{'}, D^{'}

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(C B^{'} D^{'})

Kiến thức cần nhớ

$A B C D$ là hình bình hành $\Leftrightarrow A B = D C$ , tức $C = B + D - A$ .
$A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
Trong hình hộp, $(A^{'} B D) ∥ (C B^{'} D^{'})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình hộp có các mặt là hình bình hành:

D C = A B

B B^{'} = D D^{'} = A A^{'}

. Câu b là mặt phẳng qua ba điểm; tinh ý hơn,

(C B^{'} D^{'}) ∥ (A^{'} B D)

— hai mặt phẳng “chéo” quen thuộc của hình hộp.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Tìm các đỉnh bằng đẳng thức vectơ, rồi lập mặt phẳng qua $C, B^{'}, D^{'}$ .

A A^{'} = (- 1; 2; - 1)

C = B + D - A = (0 + 2 - 1; 2 - 1 + 1; 4 + 1 - 3) = (1; 2; 2)

B^{'} = B + A A^{'} = (- 1; 4; 3)

D^{'} = D + A A^{'} = (1; 1; 0)

C B^{'} = (- 2; 2; 1), C D^{'} = (0; - 1; - 2)

[C B^{'}, C D^{'}] = (2 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 1); 1 \cdot 0 - (- 2) (- 2); (- 2) (- 1) - 2 \cdot 0) = (- 3; - 4; 2)

- 3 (x - 1) - 4 (y - 2) + 2 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0

Vậy a) $C (1; 2; 2)$ , $B^{'} (- 1; 4; 3)$ , $D^{'} (1; 1; 0)$ ; b) $(C B^{'} D^{'}) : 3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0$ .

2Cách 2. Dùng

(C B^{'} D^{'}) ∥ (A^{'} B D)

Định hướng. Lập $(A^{'} B D)$ trước (có toạ độ cho sẵn), rồi tìm mặt phẳng song song qua $C$ .

C (1; 2; 2)

B^{'} (- 1; 4; 3)

D^{'} (1; 1; 0)

A^{'} B = (0; 1; 2), A^{'} D = (2; - 2; - 1)

[A^{'} B, A^{'} D] = (1 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 2); 2 \cdot 2 - 0 \cdot (- 1); 0 \cdot (- 2) - 1 \cdot 2) = (3; 4; - 2)

(C B^{'} D^{'}) : 3 x + 4 y - 2 z + d = 0

C \in (C B^{'} D^{'})

3 + 8 - 4 + d = 0 \Rightarrow d = - 7

Vậy $(C B^{'} D^{'}) : 3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0$ .

3Cách 3. Thay ba điểm vào phương trình tổng quát

Định hướng. Tìm $a, b, c, e$ để $a x + b y + cz + e = 0$ đi qua $C, B^{'}, D^{'}$ .

⎩ ⎨ ⎧ a + 2 b + 2 c + e = 0 - a + 4 b + 3 c + e = 0 a + b + e = 0

b + 2 c = 0, - 2 a + 3 b + 3 c = 0 \Rightarrow b = - 2 c, a = - \frac{3}{2} c

c = - 2 \Rightarrow a = 3, b = 4, e = - a - b = - 7

3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0

Vậy $(C B^{'} D^{'}) : 3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $B^{'}$ : $- 3 + 16 - 6 - 7 = 0$ , $D^{'}$ : $3 + 4 - 0 - 7 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 2 đáng nhớ vì cho thêm một kết quả hình học:

(A^{'} B D) : 3 x + 4 y - 2 z = 0

đi qua gốc

O

và song song với

(C B^{'} D^{'})

Đáp số. a)

C (1; 2; 2)

B^{'} (- 1; 4; 3)

D^{'} (1; 1; 0)

. b)

(C B^{'} D^{'}) : 3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

C = A + B + D

hay

C = B + D

(quên trừ

A

) — với hình bình hành

A B C D

, đỉnh

C

đối diện

A

nên

O C = O B + O D - O A

🚀 Mở rộng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

(A^{'} B D)

và

(C B^{'} D^{'})

bằng

\frac{7}{29}

; đường chéo

A C^{'}

bị hai mặt phẳng này chia thành ba đoạn bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · Bài 5.3★★Trang 39— Mặt phẳng qua một điểm, vuông góc với hai mặt phẳng

Bài 5.3 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình mặt phẳng

(P)

đi qua điểm

M (1; - 1; 5)

và vuông góc với hai mặt phẳng

(Q) : 3 x + 2 y - z = 0

(R) : x + y - z = 0

Kiến thức cần nhớ

$(P) ⊥ (Q)$ thì $n_{Q}$ có giá song song hoặc nằm trong $(P)$ .
$(P) ⊥ (Q)$ và $(P) ⊥ (R)$ thì $(P)$ vuông góc với giao tuyến của $(Q)$ , $(R)$ .
$n_{P} = [n_{Q}, n_{R}]$ .

🧠 Phân tích tư duy

(P)

vuông góc với

(Q)

và

(R)

nên vectơ pháp tuyến của

(Q)

(R)

song song hoặc nằm trong

(P)

: chúng là cặp vectơ chỉ phương của

(P)

. Hai vectơ

(3; 2; - 1)

và

(1; 1; - 1)

không cùng phương nên tích có hướng khác

0

1Cách 1. Tích có hướng hai vectơ pháp tuyến

Định hướng. $n_{P} = [n_{Q}, n_{R}]$ .

n_{Q} = (3; 2; - 1), n_{R} = (1; 1; - 1)

[n_{Q}, n_{R}] = (2 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 1; (- 1) \cdot 1 - 3 \cdot (- 1); 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (- 1; 2; 1)

- (x - 1) + 2 (y + 1) + (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - z + 2 = 0

Vậy $(P) : x - 2 y - z + 2 = 0$ .

2Cách 2. Giải hệ điều kiện vuông góc

Định hướng. $n_{P} = (p; q; r)$ vuông góc với $n_{Q}$ và $n_{R}$ .

{3 p + 2 q - r = 0 p + q - r = 0 \Rightarrow 2 p + q = 0

p = 1 \Rightarrow q = - 2, r = p + q = - 1

(x - 1) - 2 (y + 1) - (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - z + 2 = 0

Vậy $(P) : x - 2 y - z + 2 = 0$ .

3Cách 3. Vuông góc với giao tuyến của

(Q)

và

(R)

Định hướng. $(Q)$ , $(R)$ cùng qua $O$ ; tìm thêm một điểm chung $E$ thì $O E$ là giao tuyến, và $(P) ⊥ O E$ .

{3 x + 2 y - z = 0 x + y - z = 0 \Rightarrow 2 x + y = 0

x = 1 \Rightarrow y = - 2, z = x + y = - 1

E (1; - 2; - 1)

n_{P} = O E = (1; - 2; - 1)

(x - 1) - 2 (y + 1) - (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - z + 2 = 0

Vậy $(P) : x - 2 y - z + 2 = 0$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy ý nghĩa hình học: mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau thì vuông góc với giao tuyến của chúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một tích có hướng là có vectơ pháp tuyến.

Đáp số.

(P) : x - 2 y - z + 2 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

n_{Q} + n_{R}

hoặc

n_{Q}

làm vectơ pháp tuyến của

(P)

— các vectơ này nằm trong

(P)

chứ không vuông góc với

(P)

🚀 Mở rộng. Nếu

(Q)

và

(R)

song song thì bài có vô số nghiệm, vì

[n_{Q}, n_{R}] = 0

— luôn kiểm tra hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · Bài 5.4★★Trang 39— Mặt phẳng qua một điểm, song song với một trục, vuông góc với mặt phẳng

Bài 5.4 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình mặt phẳng đi qua

M (2; 3; - 1)

, song song với trục

O x

và vuông góc với mặt phẳng

(Q) : x + 2 y - 3 z + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$(α) ∥ O x \Rightarrow i$ là một vectơ chỉ phương; phương trình khuyết $x$ .
$(α) ⊥ (Q) \Rightarrow n_{Q}$ là một vectơ chỉ phương của $(α)$ .
$n = [i, n_{Q}]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Song song với

O x

cho vectơ chỉ phương

i

; vuông góc với

(Q)

cho vectơ chỉ phương

n_{Q}

. Hai vectơ này không cùng phương nên tích có hướng cho vectơ pháp tuyến. Bẫy: phải kiểm tra mặt phẳng không chứa trục

O x

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. $n = [i, n_{Q}]$ .

i = (1; 0; 0), n_{Q} = (1; 2; - 3)

[i, n_{Q}] = (0 \cdot (- 3) - 0 \cdot 2; 0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 3); 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) = (0; 3; 2)

3 (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3 y + 2 z - 7 = 0

O (0; 0; 0)

- 7 \neq = 0 \Rightarrow O x \neq \subset (α)

Vậy mặt phẳng cần tìm là $3 y + 2 z - 7 = 0$ .

2Cách 2. Dạng khuyết

x

Định hướng. $(α) ∥ O x$ nên có dạng $b y + cz + d = 0$ ; thêm điều kiện vuông góc với $(Q)$ và đi qua $M$ .

n = (0; b; c)

n \cdot n_{Q} = 2 b - 3 c = 0

c = 2 \Rightarrow b = 3

M \in (α)

3 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) + d = 0 \Rightarrow d = - 7

3 y + 2 z - 7 = 0

Vậy $(α) : 3 y + 2 z - 7 = 0$ .

Nhận xét. Cách 2 tránh được tích có hướng, và dạng khuyết $x$ cho thấy ngay mặt phẳng song song với $O x$ (khi $d \neq = 0$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bỏ ẩn

x

ngay từ đầu, chỉ còn một điều kiện vuông góc là tìm được hệ số.

Đáp số.

3 y + 2 z - 7 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên kiểm tra

O x \neq \subset (α)

: nếu

d = 0

thì mặt phẳng chứa

O x

chứ không song song.

🚀 Mở rộng. Nếu thay

M

bằng

M^{'} (5; 0; 0)

thì mặt phẳng tìm được là

3 y + 2 z = 0

chứa luôn

O x

— bài “song song với

O x

” khi đó vô nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 32 · Bài 5.5★Trang 39— Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài 5.5 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng

(P) : 2 x + 2 y - z + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$d (O, (P)) = \frac{∣ D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Tứ diện vuông $O A B C$ có đường cao $O H$ : $\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Áp dụng thẳng công thức khoảng cách với

M \equiv O

: tử số chỉ còn

∣ D ∣

. Có thể kiểm tra bằng cách tìm hình chiếu của

O

hoặc dùng tứ diện vuông tạo bởi

(P)

và ba mặt phẳng toạ độ.

1Cách 1. Công thức khoảng cách

Định hướng. Thay $O (0; 0; 0)$ .

d (O, (P)) = \frac{∣2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0 + 1∣}{2 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{3}

Vậy $d (O, (P)) = \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Tìm hình chiếu

H

của

O

Định hướng. $O H = t n$ với $n = (2; 2; - 1)$ , $H \in (P)$ .

H (2 t; 2 t; - t)

4 t + 4 t + t + 1 = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{9}

O H = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}

Vậy $d (O, (P)) = \frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Tứ diện vuông tạo bởi

(P)

và ba mặt phẳng toạ độ

Định hướng. $(P)$ cắt ba trục tại $A, B, C$ ; $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc nên dùng hệ thức đường cao tứ diện vuông.

A (- \frac{1}{2}; 0; 0), B (0; - \frac{1}{2}; 0), C (0; 0; 1)

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}} = 4 + 4 + 1 = 9

O H = \frac{1}{3}

Vậy $d (O, (P)) = \frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 nối kết hình học không gian lớp 11 với phương pháp toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay O vào công thức khoảng cách, tử số chỉ còn

∣ D ∣ = 1

nên một dòng là xong.

Đáp số.

d (O, (P)) = \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính mẫu

2^{2} + 2^{2} - 1^{2} = 7

(trừ bình phương hệ số âm). Bình phương của

- 1

là

+ 1

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ

O

tới

2 x + 2 y - z + m = 0

bằng

2

khi

∣ m ∣ = 6

, tức

m = \pm 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 33 · Bài 5.6★Trang 39— Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Bài 5.6 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(P) : x + y + z + 2 = 0

(Q) : x + y + z + 6 = 0

. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Kiến thức cần nhớ

$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow n^{'} = k n, D^{'} \neq = k D$ .
$d ((P), (Q)) = d (M, (Q))$ với $M \in (P)$ bất kì.
Cùng bộ $A, B, C$ : $d = \frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cùng bộ hệ số

(1; 1; 1)

, khác hệ số tự do: song song. Khoảng cách lấy từ một điểm của

(P)

tới

(Q)

1Cách 1. Lấy điểm

M (- 2; 0; 0) \in (P)

Định hướng. Chọn điểm có hai toạ độ bằng $0$ .

n_{P} = n_{Q} = (1; 1; 1)

2 \neq = 6 \Rightarrow (P) ∥ (Q)

d (M, (Q)) = \frac{∣ - 2 + 0 + 0 + 6∣}{1 + 1 + 1} = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}

Vậy $(P) ∥ (Q)$ , $d ((P), (Q)) = \frac{4 3}{3}$ .

2Cách 2. Công thức nhanh cho cùng bộ hệ số

Định hướng. Hai phương trình có chung $A, B, C$ nên khoảng cách bằng $\frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq = \frac{6}{2}

d = \frac{∣6 - 2∣}{3} = \frac{4}{3}

Vậy $d ((P), (Q)) = \frac{4 3}{3}$ .

3Cách 3. Đường vuông góc chung

Định hướng. Đường thẳng qua $M (- 2; 0; 0)$ theo phương $n$ cắt $(Q)$ tại $N$ ; $M N$ là khoảng cách.

N (- 2 + t; t; t) \in (Q)

- 2 + 3 t + 6 = 0 \Rightarrow t = - \frac{4}{3}

M N = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{4}{3} 3 = \frac{4 3}{3}

Vậy $d ((P), (Q)) = \frac{4 3}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 là công thức nhanh, nhưng chỉ đúng khi đã đưa hai phương trình về CÙNG bộ $A, B, C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 khi hai phương trình cùng bộ hệ số; nếu không, dùng Cách 1.

Đáp số.

(P) ∥ (Q)

và

d ((P), (Q)) = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

\frac{∣6 + 2∣}{3}

hoặc

\frac{∣6 - 2∣}{3}

(quên căn ở mẫu).

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng song song cách đều

(P)

và

(Q)

là

x + y + z + 4 = 0

(hệ số tự do là trung bình cộng

\frac{2 + 6}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 34 · Bài 5.7★★★Trang 39— Hai mặt phẳng vuông góc; điểm cách đều hai mặt phẳng

Bài 5.7 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(P) : x + 3 y - z = 0

(Q) : x - y - 2 z + 1 = 0

.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm

M

thuộc trục

O x

và cách đều hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Kiến thức cần nhớ

$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .
$∣ X ∣ = ∣ Y ∣ \Leftrightarrow X^{2} = Y^{2} \Leftrightarrow X = Y$ hoặc $X = - Y$ .
Phương trình bậc hai $a m^{2} + bm + c = 0$ : $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ , $m = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a kiểm tra

A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0

. Câu b:

M

thuộc

O x

nên

M (m; 0; 0)

, “cách đều” cho phương trình chứa trị tuyệt đối

\frac{∣ m ∣}{11} = \frac{∣ m + 1∣}{6}

. Bẫy: mẫu số khác nhau nên KHÔNG được bỏ mẫu rồi so

∣ m ∣ = ∣ m + 1∣

1Cách 1. Bình phương hai vế

Định hướng. Đặt $M (m; 0; 0)$ , bình phương để khử trị tuyệt đối, giải phương trình bậc hai bằng $Δ^{'}$ và bằng hằng đẳng thức.

n_{P} \cdot n_{Q} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) + (- 1) (- 2) = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow (P) ⊥ (Q)

d (M, (P)) = d (M, (Q)) \Leftrightarrow \frac{∣ m ∣}{11} = \frac{∣ m + 1∣}{6}

\Leftrightarrow 6 m^{2} = 11 (m + 1)^{2} \Leftrightarrow 5 m^{2} + 22 m + 11 = 0

Δ^{'} = 1 1^{2} - 5 \cdot 11 = 66

m = \frac{- 11 \pm 66}{5}

5 m^{2} + 22 m + 11 = 0 \Leftrightarrow 25 m^{2} + 110 m + 55 = 0 \Leftrightarrow (5 m + 11)^{2} - 66 = 0

\Leftrightarrow (5 m + 11 - 66) (5 m + 11 + 66) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{- 11 + 66}{5}

hoặc

m = \frac{- 11 - 66}{5}

Vậy a) $(P) ⊥ (Q)$ ; b) $M (\frac{- 11 + 66}{5}; 0; 0)$ hoặc $M (\frac{- 11 - 66}{5}; 0; 0)$ .

2Cách 2. Phá trị tuyệt đối bằng hai trường hợp

Định hướng. $6 ∣ m ∣ = 11 ∣ m + 1∣ \Leftrightarrow 6 m = 11 (m + 1)$ hoặc $6 m = - 11 (m + 1)$ .

1 - 3 + 2 = 0

b) TH1:

(6 - 11) m = 11 \Leftrightarrow m = \frac{11}{6 - 11} = \frac{11 ( 6 + 11 )}{6 - 11} = \frac{- 11 - 66}{5}

TH2:

(6 + 11) m = - 11 \Leftrightarrow m = \frac{- 11}{6 + 11} = \frac{- 11 ( 11 - 6 )}{11 - 6} = \frac{- 11 + 66}{5}

Vậy có hai điểm $M_{1} (\frac{- 11 + 66}{5}; 0; 0)$ , $M_{2} (\frac{- 11 - 66}{5}; 0; 0)$ .

3Cách 3. Hai mặt phẳng phân giác cắt trục

O x

Định hướng. Tập điểm cách đều $(P), (Q)$ là hai mặt phẳng phân giác $\frac{x + 3 y - z}{11} = \pm \frac{x - y - 2 z + 1}{6}$ ; giao với $O x$ ( $y = z = 0$ ).

n_{P} \cdot n_{Q} = 0

y = z = 0

\frac{x}{11} = \frac{x + 1}{6}

hoặc

\frac{x}{11} = - \frac{x + 1}{6}

x = \frac{- 11 - 66}{5} \approx - 3, 82

hoặc

x = \frac{- 11 + 66}{5} \approx - 0, 58

Vậy $M (\frac{- 11 \pm 66}{5}; 0; 0)$ .

Nhận xét. Vì $(P) ⊥ (Q)$ nên hai mặt phẳng phân giác tạo với $(P)$ , $(Q)$ các góc $4 5^{\circ}$ — bài câu a “dọn đường” cho hình ảnh này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bình phương hai vế là an toàn nhất, không phải xét dấu.

Đáp số. a)

(P) ⊥ (Q)

vì

1 - 3 + 2 = 0

. b)

M (\frac{- 11 + 66}{5}; 0; 0)

hoặc

M (\frac{- 11 - 66}{5}; 0; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là bỏ mẫu số rồi giải

∣ m ∣ = ∣ m + 1∣

m = - \frac{1}{2}

— sai vì hai mẫu

11

và

6

khác nhau. Thử lại:

\frac{1/2}{11} \neq = \frac{1/2}{6}

🚀 Mở rộng. Tìm điểm trên

O y

cách đều

(P), (Q)

\frac{∣3 m ∣}{11} = \frac{∣1 - m ∣}{6}

, tức

43 m^{2} + 22 m - 11 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 35 · Bài 5.8★★★★Trang 39— Bài toán thực tiễn: hai mặt phẳng vuông góc trong hình chóp đều

Bài 5.8 (trang 39). Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Kiến thức cần nhớ

Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow n \cdot n^{'} = 0$ .
Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau thì vuông góc với giao tuyến của chúng.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn mái là bốn mặt bên của hình chóp tứ giác đều. Gắn hệ toạ độ có gốc tại tâm đáy, hai đường chéo đáy là

O x, O y

, đường cao là

O z

— các mặt bên có phương trình đoạn chắn rất gọn. Kiểm tra tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến của hai mặt kề nhau.

1Cách 1. Toạ độ hoá hình chóp

Định hướng. Hình chóp đều $S . A B C D$ , tâm đáy $O$ : $A (a; 0; 0)$ , $B (0; a; 0)$ , $C (- a; 0; 0)$ , $D (0; - a; 0)$ , $S (0; 0; h)$ với $a, h > 0$ .

(S A B) : \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{h} = 1 \Rightarrow n_{1} = (h; h; a)

(S B C) : \frac{x}{- a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{h} = 1 \Rightarrow n_{2} = (- h; h; a)

n_{1} \cdot n_{2} = - h^{2} + h^{2} + a^{2} = a^{2} > 0

Vậy hai mái kề nhau không bao giờ vuông góc; ý tưởng của bác An không thực hiện được.

2Cách 2. Tính góc nhị diện tại cạnh bên

Định hướng. Kẻ $A H ⊥ S B$ ; do đối xứng $C H ⊥ S B$ , nên $A H C$ là góc nhị diện giữa hai mái $(S A B)$ , $(S B C)$ .

A H = C H < A B

(

S B A

nhọn nên

H \neq = B

)

A C^{2} = 2 A B^{2} > 2 A H^{2} = A H^{2} + C H^{2}

cos A H C = \frac{A H ^{2} + C H ^{2} - A C ^{2}}{2 A H \cdot C H} < 0 \Rightarrow A H C > 9 0^{\circ}

Vậy góc nhị diện giữa hai mái kề nhau luôn tù, không thể bằng $9 0^{\circ}$ — ý tưởng không thực hiện được.

3Cách 3. Phản chứng qua giao tuyến

Định hướng. Giả sử $(S A B) ⊥ (S B C)$ ; do tính đối xứng của hình chóp đều thì cũng có $(S A B) ⊥ (S D A)$ .

(S B C) \cap (S D A) = d

qua

S

d ∥ B C ∥ A D

(S A B) ⊥ (S B C), (S A B) ⊥ (S D A) \Rightarrow (S A B) ⊥ d \Rightarrow B C ⊥ (S A B)

B C ⊥ S B \Rightarrow S B C = 9 0^{\circ}

S B = S C \Rightarrow S B C = S C B < 9 0^{\circ}

: vô lí

Vậy không thể làm bốn mái là bốn mặt bên hình chóp đều mà hai mái kề nhau vuông góc.

Nhận xét. Khi $h$ rất lớn, $cos$ góc giữa hai mái là $\frac{a ^{2}}{a ^{2} + 2 h ^{2}}$ tiến về $0$ nhưng không bao giờ bằng $0$ : mái càng dốc càng “gần vuông” mà không đạt được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 gọn và chặt chẽ nhất: một tích vô hướng bằng

a^{2} > 0

là xong.

Đáp số. Không thực hiện được: tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến của hai mái kề nhau luôn bằng

a^{2} > 0

(với hệ trục đã chọn).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nghĩ “chỉ cần mái đủ dốc là được” — góc giữa hai mái tiến dần tới

9 0^{\circ}

khi mái dốc lên nhưng không bao giờ bằng

9 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Với hình chóp tam giác đều, ba mặt bên có thể đôi một vuông góc (góc tam diện vuông ở đỉnh, như tứ diện

O A B C

với

O A = O B = O C

) — thử kiểm tra bằng toạ độ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 36 · Bài 5.9★Trang 39— Xét hai mặt phẳng song song

Bài 5.9 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng

O x y

, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng

z - 1 = 0

, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng

x + y + 50 z - 100 = 0

. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Kiến thức cần nhớ

$(O x y) : z = 0$ , vectơ pháp tuyến $k = (0; 0; 1)$ .
$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow n^{'} = k n, D^{'} \neq = k D$ .
$[n, n^{'}] \neq = 0 \Rightarrow$ hai mặt phẳng cắt nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Viết ba vectơ pháp tuyến: sàn và trần đều là

(0; 0; 1)

, mái là

(1; 1; 50)

. Chỉ cặp có vectơ pháp tuyến cùng phương mới có thể song song; kiểm tra thêm hệ số tự do. Bẫy: hệ số

50

rất lớn khiến mái “gần nằm ngang” nhưng vẫn không song song với sàn.

1Cách 1. So sánh vectơ pháp tuyến

Định hướng. Xét từng cặp.

n_{1} = (0; 0; 1)

(sàn

z = 0

n_{2} = (0; 0; 1)

(trần

z - 1 = 0

n_{3} = (1; 1; 50)

(mái)

n_{1} = n_{2}

0 \neq = - 1 \Rightarrow

sàn

∥

trần

(1; 1; 50) = k (0; 0; 1)

vô nghiệm vì

1 \neq = k \cdot 0 \Rightarrow

mái cắt sàn, mái cắt trần

Vậy chỉ có mặt phẳng sàn nhà và mặt phẳng trần tầng 1 song song với nhau.

2Cách 2. Tích có hướng

Định hướng. $[n, n^{'}] = 0$ khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương.

[n_{1}, n_{2}] = 0

, sàn và trần khác nhau (

O

thuộc sàn, không thuộc trần)

[n_{1}, n_{3}] = (0 \cdot 50 - 1 \cdot 1; 1 \cdot 1 - 0 \cdot 50; 0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (- 1; 1; 0) \neq = 0

[n_{2}, n_{3}] = (- 1; 1; 0) \neq = 0

Vậy sàn nhà song song với trần tầng 1; mái tầng 2 cắt cả hai.

3Cách 3. Tìm giao tuyến

Định hướng. Nếu hai mặt phẳng có điểm chung mà không trùng nhau thì chúng cắt nhau.

sàn

\cap

mái:

z = 0, x + y = 100

: chứa

E (100; 0; 0)

trần

\cap

mái:

z = 1, x + y = 50

: chứa

F (50; 0; 1)

sàn

\cap

trần:

z = 0

và

z = 1

vô nghiệm

Vậy chỉ sàn nhà và trần tầng 1 không có điểm chung, tức là song song.

Nhận xét. Mái cắt trần tầng 1 theo đường $x + y = 50$ và cắt mặt phẳng sàn theo đường $x + y = 100$ ; mái nghiêng rất ít so với mặt ngang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn vectơ pháp tuyến là thấy ngay cặp song song.

Đáp số. Mặt phẳng chứa sàn nhà (

z = 0

) và mặt phẳng chứa trần tầng 1 (

z - 1 = 0

) song song với nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là cho rằng mái song song với sàn vì hệ số

50

của

z

“trội hẳn”. Song song đòi hỏi vectơ pháp tuyến TỈ LỆ,

(1; 1; 50)

không tỉ lệ với

(0; 0; 1)

🚀 Mở rộng. Góc giữa mái và sàn có

cos φ = \frac{50}{2502} \approx 0, 9996

, tức

φ \approx 1, 6^{\circ}

— mái gần như phẳng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 37 · Bài 5.10★★★Trang 40— Ứng dụng tích có hướng trong thực tiễn

Bài 5.10 (trang 40). Xét một cối xay lúa trong không gian

O x y z

, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí

P

) một lực

F

thì moment lực

M

được tính bởi công thức

M = [O P, F]

(H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ

A B

và

P Q

luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực

F

có giá song song với

A B

. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực

M

có phương thẳng đứng?

Kiến thức cần nhớ

$[u, v] ⊥ u$ , $[u, v] ⊥ v$ .
Nếu $u, v$ là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ thì $[u, v]$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nằm ngang có phương thẳng đứng.

🧠 Phân tích tư duy

Tích có hướng vuông góc với cả hai vectơ thành phần. Cả

O P

(nằm trên thanh

P Q

) và

F

(song song

A B

) đều nằm ngang và không cùng phương, nên chúng “sinh” ra mặt phẳng nằm ngang; vectơ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang có phương thẳng đứng.

1Cách 1. Lập luận bằng tính chất tích có hướng

Định hướng. $O P$ và $F$ là cặp vectơ chỉ phương của một mặt phẳng nằm ngang.

O, P \in P Q

P Q

nằm ngang

\Rightarrow O P

nằm ngang

F ∥ A B

A B

nằm ngang

\Rightarrow F

nằm ngang

O P, F

không cùng phương

\Rightarrow M = [O P, F]

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nằm ngang

(α)

chứa chúng
giá

M ⊥ (α)

Vậy giá của $M$ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang nên có phương thẳng đứng.

2Cách 2. Chọn hệ toạ độ có

(O x y)

nằm ngang

Định hướng. Mọi vectơ nằm ngang có cao độ bằng $0$ ; tính trực tiếp tích có hướng.

O P = (p_{1}; p_{2}; 0), F = (f_{1}; f_{2}; 0)

M = (p_{2} \cdot 0 - 0 \cdot f_{2}; 0 \cdot f_{1} - p_{1} \cdot 0; p_{1} f_{2} - p_{2} f_{1}) = (0; 0; p_{1} f_{2} - p_{2} f_{1})

M = (p_{1} f_{2} - p_{2} f_{1}) k

Vậy $M$ cùng phương với $k$ , tức giá của $M$ có phương thẳng đứng.

Nhận xét. Moment lực thẳng đứng nghĩa là cối quay quanh trục thẳng đứng — đúng như chuyển động thực của cối xay lúa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 thuyết phục nhất vì tính ra hẳn

M = (0; 0; \dots)

; Cách 1 là lập luận ngắn gọn khi trình bày.

Đáp số. Vì

O P

và

F

đều nằm ngang (không cùng phương),

M = [O P, F]

vuông góc với cả hai nên vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, tức có phương thẳng đứng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là cho rằng

M

cùng phương với

F

hoặc với

O P

— tích có hướng luôn VUÔNG GÓC với hai vectơ thành phần.

🚀 Mở rộng. Nếu người xay kéo tay xiên xuống dưới (

F

có thành phần thẳng đứng) thì

M

lệch khỏi phương thẳng đứng, một phần công bị phí vào việc ép cối xuống.

Mở bài này trong app ↗