Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập2 #trang28–29 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.8★Trang 28— Đường thẳng qua hai điểm; đường thẳng qua một điểm song song với đường cho trước

Bài 5.8 (trang 28). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (0; 0; 2)

B (1; 2; 1)

C (2; 3; 4)

.
a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

A B

.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng

d

đi qua điểm

C

và song song với

A B

Kiến thức cần nhớ

$A B$ là vectơ chỉ phương của $A B$ ; $d ∥ A B$ thì $d$ cũng nhận $A B$ làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai ý dùng chung vectơ chỉ phương

A B = (1; 2; - 1)

: ý a) qua

A

, ý b) qua

C

. Nên kiểm tra

C \in / A B

để

d

thật sự song song (không trùng) với

A B

1Cách 1. Vectơ

A B

cho cả hai đường

Định hướng. Tính $A B$ , viết $A B$ qua $A$ và $d$ qua $C$ .

A B = (1; 2; - 1)

A B : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 2 t z = 2 - t (t \in R)

;

\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

C \in / A B

\frac{2}{1} \neq = \frac{3}{2}

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 3 + 2 t z = 4 - t (t \in R)

Vậy a) $A B : x = t, y = 2 t, z = 2 - t$ , $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ ; b) $d : x = 2 + t, y = 3 + 2 t, z = 4 - t$ .

2Cách 2. Lấy điểm

B

làm gốc và vectơ

B A

Định hướng. Dùng $B (1; 2; 1)$ và $B A = (- 1; - 2; 1)$ .

A B : x = 1 - s, y = 2 - 2 s, z = 1 + s

;

\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 1}{1}

s = 1

A (0; 0; 2)

✓
b)

d : x = 2 - s, y = 3 - 2 s, z = 4 + s

Vậy các phương trình trên biểu diễn cùng hai đường thẳng như ở Cách 1 (đổi $s = 1 - t$ ở ý a), $s = - t$ ở ý b)).

3Cách 3. Tịnh tiến đường thẳng

A B

theo

A C

Định hướng. $d$ là ảnh của $A B$ qua phép tịnh tiến biến $A$ thành $C$ : cộng $A C = (2; 3; 2)$ vào mọi điểm của $A B$ .

A B : (t; 2 t; 2 - t)

\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

(t; 2 t; 2 - t) + (2; 3; 2) = (2 + t; 3 + 2 t; 4 - t)

d : x = 2 + t, y = 3 + 2 t, z = 4 - t

Vậy $d : x = 2 + t, y = 3 + 2 t, z = 4 - t$ .

Nhận xét. Phép tịnh tiến giữ nguyên phương nên ảnh của đường thẳng là đường song song hoặc trùng với nó — trùng khi vectơ tịnh tiến cùng phương với đường thẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

A B

một lần, viết hai đường thẳng liên tiếp.

Đáp số. a)

A B : x = t, y = 2 t, z = 2 - t

;

\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

. b)

d : x = 2 + t, y = 3 + 2 t, z = 4 - t

(

t \in R

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

d

với vectơ chỉ phương

O C = (2; 3; 4)

hoặc

A C

—

d

song song với

A B

nên phải dùng

A B

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt phẳng chứa

A B

và

d

n = [A B, A C] = (7; - 4; - 1)

, được

7 x - 4 y - z + 2 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.9★★Trang 29— Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Bài 5.9 (trang 29). Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(P) : 2 x - 3 y - z + 2 = 0

và điểm

A (1; - 1; - 2)

.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng

d

đi qua

A

và vuông góc với mặt phẳng

(P)

.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng

d

và mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

$d ⊥ (P)$ $\Rightarrow u_{d} = n_{P}$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Giao điểm của $d$ với $(P)$ : thay $x, y, z$ theo $t$ vào phương trình $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

d ⊥ (P)

nên

d

nhận

n = (2; - 3; - 1)

làm vectơ chỉ phương. Giao điểm của

d

với

(P)

chính là hình chiếu vuông góc

H

của

A

lên

(P)

: thay phương trình tham số vào

(P)

tìm

t

1Cách 1. Thay phương trình tham số vào

(P)

Định hướng. Viết $d$ rồi giải phương trình bậc nhất theo $t$ .

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 1 - 3 t z = - 2 - t (t \in R)

2 (1 + 2 t) - 3 (- 1 - 3 t) - (- 2 - t) + 2 = 0

2 + 4 t + 3 + 9 t + 2 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow 14 t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{9}{14}

x = 1 - \frac{9}{7} = - \frac{2}{7}, y = - 1 + \frac{27}{14} = \frac{13}{14}, z = - 2 + \frac{9}{14} = - \frac{19}{14}

Vậy a) $d : x = 1 + 2 t, y = - 1 - 3 t, z = - 2 - t$ ; b) giao điểm $H (- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})$ .

2Cách 2. Dùng khoảng cách có dấu

Định hướng. $H = A - \frac{f ( A )}{∣ n ∣ ^{2}} n$ với $f (x; y; z) = 2 x - 3 y - z + 2$ .

f (A) = 2 + 3 + 2 + 2 = 9

∣ n ∣^{2} = 4 + 9 + 1 = 14

H = (1; - 1; - 2) - \frac{9}{14} (2; - 3; - 1)

H = (1 - \frac{18}{14}; - 1 + \frac{27}{14}; - 2 + \frac{9}{14}) = (- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})

Vậy $d \cap (P) = H (- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})$ .

3Cách 3. Điều kiện

A H

cùng phương

n

và

H \in (P)

Định hướng. Đặt $H (x; y; z)$ , giải hệ gồm phương trình mặt phẳng và điều kiện cùng phương.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z + 2}{- 1} = k

2 x - 3 y - z + 2 = 0

2 (1 + 2 k) - 3 (- 1 - 3 k) - (- 2 - k) + 2 = 0 \Leftrightarrow 14 k = - 9

H (- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})

; kiểm tra:

- \frac{4}{7} - \frac{39}{14} + \frac{19}{14} + 2 = \frac{- 8 - 39 + 19 + 28}{14} = 0

Vậy giao điểm là $(- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})$ .

Nhận xét. Hệ số $\frac{f ( A )}{∣ n ∣ ^{2}}$ ở Cách 2 cho luôn khoảng cách $d (A, (P)) = \frac{∣ f ( A ) ∣}{∣ n ∣} = \frac{9}{14}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay tham số vào mặt phẳng là quy trình chuẩn, ít phải nhớ công thức.

Đáp số. a)

d : x = 1 + 2 t, y = - 1 - 3 t, z = - 2 - t

(

t \in R

). b)

(- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp khi thay:

- 3 (- 1 - 3 t)

và

- (- 2 - t)

dễ sai dấu. Luôn thay ngược toạ độ

H

vào

(P)

để kiểm tra phải ra

0

🚀 Mở rộng. Điểm đối xứng của

A

qua

(P)

là

A^{'} = 2 H - A = (- \frac{11}{7}; \frac{20}{7}; - \frac{5}{7})

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.10★★★Trang 29— Đường thẳng nằm trong mặt phẳng, cắt và vuông góc với đường thẳng cho trước

Bài 5.10 (trang 29). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 3 t y = - 1 - t z = - 3 + 2 t

và mặt phẳng

(P) : x - y - z = 0

.
a) Tìm toạ độ giao điểm

I

của đường thẳng

d

và mặt phẳng

(P)

.
b) Viết phương trình đường thẳng

d^{'}

nằm trên mặt phẳng

(P)

sao cho

d^{'}

cắt và vuông góc với

d

Kiến thức cần nhớ

Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng: thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng.
Đường thẳng nằm trong $(P)$ và vuông góc với $d$ có vectơ chỉ phương $[u_{d}, n_{P}]$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.11★★Trang 29— Hai đường thẳng song song và mặt phẳng chứa chúng

Bài 5.11 (trang 29). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 2 + t z = 4 - 3 t

và

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 s y = 2 - s z = 5 + 3 s .

a) Chứng minh rằng

d ∥ d^{'}

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

d

và

d^{'}

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Mặt phẳng chứa hai đường song song ( $d$ qua $A$ , $d^{'}$ qua $A^{'}$ , cùng vectơ chỉ phương $u$ ) có pháp tuyến $[u, A A^{'}]$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.12★★Trang 29— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 5.12 (trang 29). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 2 + t z = - 3 + 2 t

và

d^{'} : \frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}

.
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

d

và

d^{'}

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.13★★Trang 29— Khoảng cách từ đường thẳng song song tới mặt phẳng toạ độ

Bài 5.13 (trang 29). Trong không gian

O x y z

, một xe tải có chiều cao bằng

1

, di chuyển trên mặt phẳng

(O x y)

và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - 1 + 2 t z = 2

. Hỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương $(a; b; 0)$ song song với $(O x y)$ (hoặc nằm trong); khoảng cách tới $(O x y)$ bằng $∣ z ∣$ của một điểm bất kì trên nó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.14★★★Trang 29— Đoạn thẳng đi qua một hình tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 5.14 (trang 29). Trong không gian

O x y z

, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí

A (1; 2; 3)

, nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung cửa sổ có dạng hình tròn tâm

O (0; 0; 0)

, bán kính

2

và thuộc mặt phẳng

(O y z)

. Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí

M (- 2; 1; 1)

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Hình tròn tâm $O$ bán kính $r$ trong $(O y z)$ gồm các điểm $(0; y; z)$ với $y^{2} + z^{2} \leq r^{2}$ .
Điểm của đường $A + t A M$ nằm trên đoạn $A M$ khi $0 \leq t \leq 1$ .