Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 29 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 41— Đoạn thẳng cắt một hình tròn trong mặt phẳng toạ độ

Mở đầu (trang 41). Trong không gian

O x y z

, mắt một người quan sát đặt ở điểm

M (2; 3; - 4)

và vật cần quan sát đặt tại điểm

N (- 1; 0; 8)

. Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm

O (0; 0; 0)

, bán kính bằng

3

và đặt trong mặt phẳng

O x y

. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm

N

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Điểm $D$ thuộc đoạn $M N$ khi $M D = t M N$ với $0 \leq t \leq 1$ .
Hình tròn tâm $O$ bán kính $r$ trong $(O x y)$ gồm các điểm $(x; y; 0)$ có $x^{2} + y^{2} \leq r^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tia sáng từ

N

tới mắt

M

đi theo đoạn thẳng

M N

; bìa che khuất khi và chỉ khi đoạn

M N

(không phải cả đường thẳng) cắt mặt phẳng

(O x y)

tại một điểm nằm trong hình tròn. Vì

M

có cao độ âm,

N

có cao độ dương nên đoạn

M N

chắc chắn xuyên qua

(O x y)

— việc còn lại là tìm giao điểm và so khoảng cách tới

O

với bán kính

3

1Cách 1. Phương trình tham số của đường thẳng

M N

Định hướng. Viết phương trình $M N$ , cho $z = 0$ tìm giao điểm $D$ với $(O x y)$ , rồi kiểm tra $D$ nằm giữa $M, N$ và nằm trong hình tròn.

M N = (- 3; - 3; 12) = 3 (- 1; - 1; 4)

M N : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = 3 - t z = - 4 + 4 t

z = 0 \Leftrightarrow - 4 + 4 t = 0 \Leftrightarrow t = 1

D (1; 2; 0)

M D = (- 1; - 1; 4) = \frac{1}{3} M N

0 < \frac{1}{3} < 1

O D = 1^{2} + 2^{2} = 5 < 3

Vậy đoạn $M N$ xuyên qua tấm bìa tại $D (1; 2; 0)$ , tấm bìa che khuất tầm nhìn tới $N$ .

2Cách 2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cao độ

Định hướng. Mặt phẳng $(O x y)$ chia đoạn $M N$ theo tỉ số khoảng cách từ $M, N$ tới nó, tức theo tỉ số $∣ z_{M} ∣ : ∣ z_{N} ∣$ .

d (M, (O x y)) = 4, d (N, (O x y)) = 8

\frac{D M}{D N} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow M D = \frac{1}{3} M N

D = (2 + \frac{1}{3} (- 3); 3 + \frac{1}{3} (- 3); - 4 + \frac{1}{3} \cdot 12) = (1; 2; 0)

O D^{2} = 1 + 4 = 5 < 9

Vậy giao điểm $D (1; 2; 0)$ nằm trong tấm bìa, người quan sát không nhìn thấy vật ở $N$ .

3Cách 3. So sánh bằng hình chiếu lên

(O x y)

Định hướng. Mọi điểm của đoạn $M N$ có dạng $(2 - 3 t; 3 - 3 t; - 4 + 12 t)$ , $t \in [0; 1]$ ; điểm đi qua $(O x y)$ ứng với $t = \frac{1}{3}$ , xét khoảng cách tới trục $O z$ tại đó.

z = - 4 + 12 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \in [0; 1]

x^{2} + y^{2} = (2 - 3 t)^{2} + (3 - 3 t)^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5

5 < 3^{2}

Vậy đoạn $M N$ cắt mặt phẳng $(O x y)$ bên trong hình tròn bán kính $3$ — tấm bìa che khuất.

Nhận xét. Bài toán được làm chi tiết lại ở Vận dụng 1 (trang 45). Nếu giao điểm có $x^{2} + y^{2} > 9$ thì dù đường thẳng cắt $(O x y)$ , tia sáng vẫn đi vòng ngoài mép bìa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phương trình tham số cho ngay cả giao điểm lẫn giá trị tham số

t

để kết luận

D

nằm giữa

M

và

N

Đáp số. Có. Đoạn

M N

cắt tấm bìa tại

D (1; 2; 0)

với

O D = 5 < 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ tìm giao điểm của ĐƯỜNG THẲNG

M N

với

(O x y)

rồi kết luận ngay. Nếu

M, N

cùng phía với

(O x y)

(chẳng hạn

N (- 1; 0; - 8)

) thì giao điểm nằm ngoài đoạn

M N

và bìa không che, dù giao điểm ở trong hình tròn.

🚀 Mở rộng. Nếu dời vật tới

N^{'} (- 4; - 3; 4)

thì

D^{'} = M + \frac{1}{2} M N^{'} = (- 1; 0; 0)

O D^{'} = 1 < 3

nên bìa vẫn che; thử tìm điều kiện của bán kính để bìa không còn che vật ở

N

(

r \leq 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 41— Nhận biết đường thẳng xác định bởi một điểm và một phương

HĐ1 (trang 41). Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng. Trong không gian, cho điểm

M

và vectơ

u

khác vectơ-không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?
a) Có duy nhất đường thẳng đi qua

M

và vuông góc với giá của

u

.
b) Có duy nhất đường thẳng đi qua

M

và song song hoặc trùng với giá của

u

Kiến thức cần nhớ

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Các đường thẳng qua $M$ vuông góc với $u$ lấp đầy mặt phẳng qua $M$ nhận $u$ làm vectơ pháp tuyến.
$u \neq = 0$ là vectơ chỉ phương của $Δ$ khi giá của $u$ song song hoặc trùng với $Δ$ ; mọi $k u$ ( $k \neq = 0$ ) cũng là vectơ chỉ phương.

🧠 Phân tích tư duy

Hai khẳng định khác nhau ở chữ “vuông góc” và “song song”. Trong không gian, các đường thẳng qua

M

vuông góc với một phương cho trước nằm trong cả một mặt phẳng, còn qua một điểm chỉ có một đường song song với một đường cho trước (tiên đề Euclid). Bẫy: trong mặt phẳng thì a) đúng, nhưng đây là không gian.

1Cách 1. Lập luận hình học

Định hướng. Xét lần lượt hai khẳng định bằng tiên đề song song và mặt phẳng vuông góc.

(α)

qua

M

(α) ⊥

giá của

u

\Rightarrow

mọi đường thẳng qua

M

nằm trong

(α)

đều vuông góc với giá

u

(α)

chứa vô số đường thẳng qua

M

\Rightarrow

a) sai

M \in /

giá

u

: có đúng một đường qua

M

song song với giá

u

;

M \in

giá

u

: chỉ có chính giá đó

\Rightarrow

b) đúng

Vậy khẳng định b) đúng, khẳng định a) sai.

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Gắn hệ trục có $M \equiv O$ , $u = (0; 0; 1)$ rồi đếm các đường thẳng thoả mãn qua vectơ chỉ phương $v = (p; q; r)$ của chúng.

v ⊥ u \Leftrightarrow r = 0

v = (1; 0; 0)

v = (0; 1; 0)

v = (1; 1; 0)

,… cho vô số đường thẳng khác nhau
b)

v

cùng phương

u \Leftrightarrow p = q = 0

v = (0; 0; r)

, mọi

r \neq = 0

cho cùng một đường thẳng

O z

Vậy chỉ b) đúng: một điểm và một vectơ chỉ phương xác định duy nhất một đường thẳng.

3Cách 3. Phản ví dụ trên hình lập phương

Định hướng. Tìm một hình quen thuộc có nhiều đường thẳng qua cùng một điểm cùng vuông góc với một cạnh.

Hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

M \equiv A

u = A A^{'}

A B ⊥ A A^{'}

A D ⊥ A A^{'}

A C ⊥ A A^{'}

— ba đường khác nhau qua

A

Qua

A

chỉ có đúng đường

A A^{'}

chứa giá

A A^{'}

Vậy a) sai, b) đúng.

Nhận xét. Chính vì b) đúng nên ta định nghĩa vectơ chỉ phương: biết một điểm và một vectơ chỉ phương là xác định được đường thẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất để bác bỏ a) (chỉ cần một phản ví dụ); Cách 1 dùng khi cần trình bày chặt chẽ cả hai ý.

Đáp số. a) Sai; b) Đúng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là suy luận theo hình học phẳng: trong mặt phẳng, qua

M

có đúng một đường vuông góc với một đường cho trước, nhưng trong không gian có vô số đường như vậy (chúng nằm trong một mặt phẳng).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: qua

M

có duy nhất một MẶT PHẲNG vuông góc với giá

u

(nhận

u

làm vectơ pháp tuyến) và duy nhất một ĐƯỜNG THẲNG nhận

u

làm vectơ chỉ phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 42— Nhận biết vectơ chỉ phương trong hình lăng trụ

Luyện tập 1 (trang 42). Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

(H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

$u \neq = 0$ là vectơ chỉ phương của $Δ$ khi giá của $u$ song song hoặc trùng với $Δ$ ; mọi $k u$ ( $k \neq = 0$ ) cũng là vectơ chỉ phương.
Mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành: $A^{'} B^{'} = A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ chỉ phương của

A B

là vectơ khác

0

có giá song song hoặc trùng với

A B

. Trong lăng trụ, các cạnh bên bằng nhau và song song nên

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành, suy ra

A^{'} B^{'} ∥ A B

. Bẫy: đừng quên các vectơ ngược chiều

B A

B^{'} A^{'}

1Cách 1. Dùng hình bình hành mặt bên

Định hướng. Tìm các cạnh song song hoặc trùng với $A B$ rồi lấy cả hai chiều.

A A^{'} ∥ B B^{'}

A A^{'} = B B^{'}

\Rightarrow

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành

A^{'} B^{'} ∥ A B

A B, B A, A^{'} B^{'}, B^{'} A^{'}

Vậy có $4$ vectơ chỉ phương của $A B$ : $A B, B A, A^{'} B^{'}, B^{'} A^{'}$ .

2Cách 2. Loại trừ theo từng cặp đỉnh

Định hướng. Có $6 \cdot 5 = 30$ vectơ nối hai đỉnh; loại các vectơ có giá cắt $A B$ hoặc chéo với $A B$ .

Giá qua đúng một trong hai điểm

A, B

A C, A A^{'}, A B^{'}, A C^{'}, B C, B B^{'}, B A^{'}, B C^{'}

— cắt

A B

, loại
Giá không qua

A, B

C A^{'}, C B^{'}, C C^{'}, A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}, B^{'} C^{'}

C A^{'}, C B^{'}, C C^{'}

không nằm trong mặt phẳng

(A B C)

, cắt

(A B C)

tại

C \in / A B

\Rightarrow

không song song với

A B

A^{'} C^{'}, B^{'} C^{'}

cắt

A^{'} B^{'}

mà

A^{'} B^{'} ∥ A B

\Rightarrow

không song song với

A B

Còn lại

A B

và

A^{'} B^{'}

Vậy các vectơ chỉ phương là $A B, B A, A^{'} B^{'}, B^{'} A^{'}$ .

3Cách 3. Dùng đẳng thức vectơ

Định hướng. Biểu diễn $A^{'} B^{'}$ qua $A B$ bằng quy tắc ba điểm.

A^{'} B^{'} = A^{'} A + A B + B B^{'}

A^{'} A + B B^{'} = - A A^{'} + A A^{'} = 0

A^{'} B^{'} = A B

B^{'} A^{'} = - A B

Vậy $A B, B A, A^{'} B^{'}, B^{'} A^{'}$ đều là vectơ chỉ phương của $A B$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần vẽ hình, chỉ dùng $A A^{'} = B B^{'}$ — đúng cho mọi hình lăng trụ, kể cả lăng trụ xiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh nhất khi nhìn hình; Cách 3 chặt chẽ nhất nếu đề yêu cầu chứng minh.

Đáp số.

A B, B A, A^{'} B^{'}, B^{'} A^{'}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ kể

A B

và

A^{'} B^{'}

mà bỏ sót hai vectơ ngược chiều; vectơ chỉ phương chỉ cần CÙNG PHƯƠNG, không cần cùng hướng.

🚀 Mở rộng. Với hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, đường thẳng

A B

có

8

vectơ chỉ phương nối hai đỉnh (

A B, D C, A^{'} B^{'}, D^{'} C^{'}

và bốn vectơ đối).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 42— Xây dựng phương trình tham số từ chuyển động đều

HĐ2 (trang 42). Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng. Trong không gian

O x y z

, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi

u = (a; b; c) \neq = 0

và xuất phát từ điểm

A (x_{0}; y_{0}; z_{0})

(H.5.26).
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Giả sử tại thời điểm

t

(

t > 0

) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí

M (x; y; z)

. Tính

x, y, z

theo

a, b, c, x_{0}, y_{0}, z_{0}

và

t

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động đều với vận tốc $u$ : $A M = t u$ .
Hai vectơ bằng nhau khi các toạ độ tương ứng bằng nhau.
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc không đổi nghĩa là sau thời gian

t

vật dời đi vectơ

t u

A M = t u

. Đẳng thức vectơ này chuyển sang toạ độ là ra ba phương trình — đó chính là phương trình tham số.

1Cách 1. Đẳng thức vectơ dời chỗ

Định hướng. Viết $A M = t u$ rồi so sánh từng toạ độ.

A M = t u

cùng phương

u

\Rightarrow

M

luôn thuộc đường thẳng

Δ

qua

A

có vectơ chỉ phương

u

(x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0}) = (t a; t b; t c)

x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t

Vậy a) vật chuyển động trên đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ; b) $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ , $z = z_{0} + c t$ .

2Cách 2. Quãng đường theo từng trục

Định hướng. Hình chiếu của vật lên mỗi trục chuyển động đều với vận tốc bằng toạ độ tương ứng của $u$ .

Trên

O x

: vận tốc

a

, vị trí đầu

x_{0}

\Rightarrow

x = x_{0} + a t

Trên

O y

y = y_{0} + b t

; trên

O z

z = z_{0} + c t

A M = (a t; b t; c t) = t u

\Rightarrow

M \in

đường qua

A

, phương

u

Vậy $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ , $z = z_{0} + c t$ ; vật đi trên đường thẳng qua $A$ nhận $u$ làm vectơ chỉ phương.

3Cách 3. Kiểm tra trên một ví dụ số rồi khái quát

Định hướng. Lấy $A (1; 2; 3)$ , $u = (2; - 1; 1)$ : sau $1, 2, 3$ giây vật ở đâu, rồi đọc ra quy luật.

t = 1 : (3; 1; 4), t = 2 : (5; 0; 5), t = 3 : (7; - 1; 6)

(1 + 2 t; 2 - t; 3 + t)

(x_{0} + a t; y_{0} + b t; z_{0} + c t)

Vậy $M (x_{0} + a t; y_{0} + b t; z_{0} + c t)$ nằm trên đường thẳng qua $A$ có vectơ chỉ phương $u$ .

Nhận xét. Công thức vẫn đúng khi cho $t \leq 0$ — khi đó ta nhận được cả phần đường thẳng “phía sau” $A$ ; đó là lí do phương trình tham số cho $t \in R$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn và ngắn nhất: một đẳng thức vectơ

A M = t u

cho cả hai ý.

Đáp số. a) Đường thẳng qua

A (x_{0}; y_{0}; z_{0})

, vectơ chỉ phương

u = (a; b; c)

; b)

x = x_{0} + a t

y = y_{0} + b t

z = z_{0} + c t

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

x = a + x_{0} t

(đổi vai trò điểm và vectơ). Kiểm tra nhanh: tại

t = 0

vật phải ở

A

, tức

x = x_{0}

🚀 Mở rộng. Nếu vật xuất phát muộn

t_{0}

giây thì vị trí là

x = x_{0} + a (t - t_{0})

, … — vẫn là cùng một đường thẳng, chỉ đổi tham số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★Trang 43— Đọc điểm, vectơ chỉ phương từ phương trình tham số; viết phương trình tham số

Luyện tập 2 (trang 43). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 3 t z = 1 + t .

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc

Δ

và một vectơ chỉ phương của

Δ

.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ

O (0; 0; 0)

và có vectơ chỉ phương

v = (1; 3; 1)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Mỗi giá trị của tham số $t$ ứng với đúng một điểm thuộc đường thẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

t

cho vectơ chỉ phương, mỗi giá trị của

t

cho một điểm. Ý b) để ý vectơ

v

trùng vectơ chỉ phương của

Δ

— đường cần tìm song song với

Δ

(hoặc trùng nếu

O \in Δ

1Cách 1. Thay giá trị tham số

Định hướng. Cho $t = 0$ , $t = 1$ lấy hai điểm; đọc hệ số của $t$ .

t = 0

A (2; 0; 1)

;

t = 1

B (3; 3; 2)

u = (1; 3; 1)

⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 3 t z = t (t \in R)

Vậy a) $A (2; 0; 1), B (3; 3; 2) \in Δ$ , $u = (1; 3; 1)$ ; b) $x = t, y = 3 t, z = t$ .

2Cách 2. Đưa về dạng chuẩn

x_{0} + a t

Định hướng. Viết $y = 0 + 3 t$ để đọc đủ điểm $(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và $(a; b; c)$ ; chọn tham số khác để được điểm thứ hai.

Δ : x = 2 + 1 \cdot t, y = 0 + 3 t, z = 1 + 1 \cdot t

\Rightarrow

A (2; 0; 1)

u = (1; 3; 1)

t = - 1

C (1; - 3; 0) \in Δ

x = 0 + 1 \cdot s, y = 0 + 3 s, z = 0 + 1 \cdot s

Vậy a) $A (2; 0; 1)$ , $C (1; - 3; 0)$ thuộc $Δ$ , vectơ chỉ phương $(1; 3; 1)$ ; b) $x = s, y = 3 s, z = s$ .

3Cách 3. Lấy điểm thứ hai bằng phép tịnh tiến

Định hướng. Điểm $A$ cộng với một vectơ chỉ phương bất kì cho một điểm khác của $Δ$ .

A (2; 0; 1)

u = (1; 3; 1)

A + 2 u = (4; 6; 3) \in Δ

O + t v = (t; 3 t; t)

Vậy a) $A (2; 0; 1), D (4; 6; 3) \in Δ$ , $u = (1; 3; 1)$ ; b) $x = t, y = 3 t, z = t$ .

Nhận xét. Đường ở ý b) song song với $Δ$ vì cùng vectơ chỉ phương và $O \in / Δ$ (thay $x = 0$ được $t = - 2$ nhưng $y = - 6 \neq = 0$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cho

t = 0, t = 1

là có ngay hai điểm, không tính nhẩm gì thêm.

Đáp số. a) Chẳng hạn

A (2; 0; 1)

B (3; 3; 2)

;

u = (1; 3; 1)

. b)

x = t, y = 3 t, z = t

(

t \in R

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc điểm

(2; 3; 1)

vì thấy các số

2, 3, 1

trong đề — số

3

là hệ số của

t

trong

y = 3 t

, tung độ của điểm ứng với

t = 0

là

0

🚀 Mở rộng. Đường thẳng

x = t, y = 3 t, z = t

ở ý b) cũng có thể viết

\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}

; thử viết phương trình đường qua

O

song song với

Δ

theo cả hai dạng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 43— Xây dựng phương trình chính tắc

HĐ3 (trang 43). Hình thành khái niệm phương trình chính tắc của đường thẳng. Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ

đi qua điểm

A (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và có vectơ chỉ phương

u = (a; b; c)

(

a, b, c

là các số khác

0

).
a) Điểm

M (x; y; z)

thuộc

Δ

khi và chỉ khi hai vectơ

A M = (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})

và

u = (a; b; c)

có mối quan hệ gì?
b) Điểm

M (x; y; z)

thuộc

Δ

khi và chỉ khi các phân số

\frac{x - x _{0}}{a}, \frac{y - y _{0}}{b}, \frac{z - z _{0}}{c}

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

$A M$ cùng phương $u \neq = 0$ $\Leftrightarrow$ tồn tại $t$ để $A M = t u$ $\Leftrightarrow$ $[A M, u] = 0$ .
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

thuộc

Δ

khi

A M

nằm trên đường thẳng qua

A

theo phương

u

, tức cùng phương với

u

. Vì

a, b, c \neq = 0

nên điều kiện cùng phương viết được thành tỉ số bằng nhau — không phải chia cho

0

1Cách 1. Từ phương trình tham số khử

t

Định hướng. $M \in Δ$ khi $A M = t u$ ; rút $t$ từ từng toạ độ.

M \in Δ \Leftrightarrow A M = t u

(

A M

cùng phương

u

)
b)

x - x_{0} = a t, y - y_{0} = b t, z - z_{0} = c t

t = \frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}

Vậy a) $A M$ và $u$ cùng phương; b) ba phân số bằng nhau.

2Cách 2. Tích có hướng bằng

0

Định hướng. Hai vectơ cùng phương khi tích có hướng của chúng bằng $0$ ; khai triển ra từng toạ độ.

[A M, u] = (c (y - y_{0}) - b (z - z_{0}); a (z - z_{0}) - c (x - x_{0}); b (x - x_{0}) - a (y - y_{0})) = 0

b (x - x_{0}) = a (y - y_{0}) \Leftrightarrow \frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b}

c (y - y_{0}) = b (z - z_{0}) \Leftrightarrow \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}

Vậy $M \in Δ$ khi $A M$ cùng phương $u$ , tương đương $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

3Cách 3. Tỉ lệ toạ độ

Định hướng. Hai vectơ (với $u$ có mọi toạ độ khác $0$ ) cùng phương khi các toạ độ tương ứng tỉ lệ.

A M = (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})

u = (a; b; c)

cùng phương

\Leftrightarrow \frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}

Vậy a) cùng phương; b) bằng nhau.

Nhận xét. Điều kiện $a, b, c \neq = 0$ là bắt buộc; nếu một toạ độ bằng $0$ , đường thẳng không có phương trình chính tắc (xem Ví dụ 5).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 tự nhiên nhất vì nối thẳng từ phương trình tham số; Cách 2 cho thấy vì sao cần

a, b, c \neq = 0

Đáp số. a)

A M

cùng phương với

u

; b)

\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c} = 0

— ba phân số bằng nhau (bằng

t

) chứ không phải cùng bằng

0

🚀 Mở rộng. Hệ phương trình chính tắc thực chất gồm hai phương trình bậc nhất độc lập, tức

Δ

là giao tuyến của hai mặt phẳng

b (x - x_{0}) = a (y - y_{0})

và

c (y - y_{0}) = b (z - z_{0})

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★Trang 43— Đọc vectơ chỉ phương và điểm từ phương trình chính tắc

Luyện tập 3 (trang 43). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{5}

. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của

Δ

và hai điểm thuộc

Δ

Kiến thức cần nhớ

Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu số cho vectơ chỉ phương; điểm đọc được bằng cách cho các tử số bằng

0

(chú ý dấu:

x + 1 = x - (- 1)

). Điểm thứ hai: cho ba phân số cùng bằng

1

(hoặc chuyển sang tham số).

1Cách 1. Chuyển sang tham số

Định hướng. Đặt ba phân số bằng $t$ , cho $t = 0$ và $t = 1$ .

\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{5} = t \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 3 t y = 1 + t z = 2 + 5 t

t = 0 : A (- 1; 1; 2)

;

t = 1 : B (2; 2; 7)

u = (3; 1; 5)

Vậy $u = (3; 1; 5)$ ; hai điểm $A (- 1; 1; 2)$ , $B (2; 2; 7)$ .

2Cách 2. Đọc trực tiếp, cộng thêm vectơ chỉ phương

Định hướng. Tử số bằng $0$ cho điểm $A$ ; $A + u$ là điểm thứ hai.

x + 1 = 0, y - 1 = 0, z - 2 = 0

\Rightarrow

A (- 1; 1; 2)

u = (3; 1; 5)

A - u = (- 4; 0; - 3)

Vậy $u = (3; 1; 5)$ ; $A (- 1; 1; 2)$ , $C (- 4; 0; - 3)$ thuộc $Δ$ .

3Cách 3. Cho một ẩn giá trị đẹp rồi tính hai ẩn kia

Định hướng. Chọn $y = 0$ (tức phân số giữa bằng $- 1$ ) rồi suy ra $x, z$ .

y = 0 \Rightarrow \frac{x + 1}{3} = - 1 = \frac{z - 2}{5}

x = - 4, z = - 3

C (- 4; 0; - 3)

; kiểm tra:

\frac{- 3}{3} = \frac{- 1}{1} = \frac{- 5}{5} = - 1

Vậy $C (- 4; 0; - 3) \in Δ$ , cùng với $A (- 1; 1; 2)$ ; vectơ chỉ phương $u = (3; 1; 5)$ .

Nhận xét. Cách 3 hữu ích khi cần tìm giao điểm của $Δ$ với mặt phẳng toạ độ: $y = 0$ cho ngay giao điểm với $(O x z)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: điểm và vectơ đọc thẳng từ phương trình, điểm thứ hai chỉ là một phép cộng.

Đáp số.

u = (3; 1; 5)

; chẳng hạn

A (- 1; 1; 2)

B (2; 2; 7)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc điểm

(1; - 1; - 2)

(sai dấu). Nhớ dạng chuẩn là

x - x_{0}

x + 1 = x - (- 1)

nên

x_{0} = - 1

🚀 Mở rộng. Mọi điểm của

Δ

có dạng

(- 1 + 3 t; 1 + t; 2 + 5 t)

; thử tìm điểm của

Δ

có hoành độ bằng tung độ:

- 1 + 3 t = 1 + t \Leftrightarrow t = 1

, được điểm

(2; 2; 7)

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 4★Trang 44— Viết phương trình đường thẳng qua một điểm, biết vectơ chỉ phương

Luyện tập 4 (trang 44). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Δ

đi qua điểm

A (2; - 1; 0)

và có vectơ chỉ phương

u = (- 1; 2; 3)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đã có đủ một điểm và một vectơ chỉ phương có ba toạ độ khác

0

nên viết được cả hai dạng. Bẫy:

z_{0} = 0

nên

z - 0

viết gọn là

z

; mẫu âm giữ nguyên hoặc đổi dấu cả tử.

1Cách 1. Áp dụng công thức

Định hướng. Thay $x_{0} = 2, y_{0} = - 1, z_{0} = 0$ và $a = - 1, b = 2, c = 3$ .

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = - 1 + 2 t z = 3 t (t \in R)

Δ : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}

Vậy $Δ : x = 2 - t, y = - 1 + 2 t, z = 3 t$ và $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$ .

2Cách 2. Từ đẳng thức

A M = t u

Định hướng. Viết điều kiện $M (x; y; z) \in Δ$ rồi khử tham số.

(x - 2; y + 1; z) = t (- 1; 2; 3)

x = 2 - t, y = - 1 + 2 t, z = 3 t

t = \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}

Vậy phương trình tham số $x = 2 - t, y = - 1 + 2 t, z = 3 t$ ; chính tắc $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$ .

3Cách 3. Đổi vectơ chỉ phương cho gọn dấu

Định hướng. Dùng $u^{'} = - u = (1; - 2; - 3)$ cũng là vectơ chỉ phương.

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + s y = - 1 - 2 s z = - 3 s

Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{- 3}

s = - t

đưa hệ này về hệ ở Cách 1

Vậy $Δ$ cũng có thể viết $x = 2 + s, y = - 1 - 2 s, z = - 3 s$ và $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{- 3}$ .

Nhận xét. Phương trình đường thẳng không duy nhất: đổi điểm hoặc nhân vectơ chỉ phương với $k \neq = 0$ cho các phương trình khác nhau của cùng một đường thẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số vào công thức, kiểm tra lại bằng

t = 0

cho đúng điểm

A

Đáp số.

Δ : x = 2 - t, y = - 1 + 2 t, z = 3 t

(

t \in R

);

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{3}

(lấy dấu ngược toạ độ điểm); thay

A (2; - 1; 0)

vào thấy tử số không bằng

0

là biết sai.

🚀 Mở rộng. Viết phương trình đường thẳng qua

A (2; - 1; 0)

song song với

Δ^{'}

\frac{x}{- 1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z + 1}{3}

— cùng vectơ chỉ phương nên đáp số trùng với bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 5★Trang 44— Đường thẳng qua một điểm vuông góc với mặt phẳng toạ độ

Luyện tập 5 (trang 44). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua điểm

M (2; - 1; 3)

và vuông góc với mặt phẳng

O y z

Kiến thức cần nhớ

$Δ ⊥ (α)$ $\Rightarrow$ vectơ pháp tuyến của $(α)$ là vectơ chỉ phương của $Δ$ .
$(O y z) : x = 0$ , vectơ pháp tuyến $i = (1; 0; 0)$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương.

(O y z)

có phương trình

x = 0

, vectơ pháp tuyến

i = (1; 0; 0)

. Hai toạ độ của vectơ chỉ phương bằng

0

nên

Δ

không có phương trình chính tắc.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến thành vectơ chỉ phương

Định hướng. Lấy $u = n_{(O y z)} = (1; 0; 0)$ .

u = i = (1; 0; 0)

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = - 1 z = 3 (t \in R)

Vậy $Δ : x = 2 + t, y = - 1, z = 3$ .

2Cách 2. Qua hình chiếu của

M

lên

(O y z)

Định hướng. Hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(O y z)$ là $H (0; - 1; 3)$ ; $Δ$ chính là đường $M H$ .

H (0; - 1; 3)

H M = (2; 0; 0) = 2 (1; 0; 0)

Δ \equiv M H : x = 2 + t, y = - 1, z = 3

Vậy $Δ : x = 2 + t, y = - 1, z = 3$ .

3Cách 3. Song song với trục

O x

Định hướng. Trục $O x$ vuông góc với $(O y z)$ ; qua $M$ có duy nhất đường song song với $O x$ .

O x ⊥ (O y z)

Δ ∥ O x

mọi điểm của

Δ

có

y = y_{M} = - 1

z = z_{M} = 3

x

tuỳ ý

Δ : x = 2 + t, y = - 1, z = 3

Vậy $Δ : x = 2 + t, y = - 1, z = 3$ ( $t \in R$ ).

Nhận xét. Vectơ chỉ phương có hai toạ độ bằng $0$ nên $Δ$ không có phương trình chính tắc (giống Nhận xét sau Ví dụ 5).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ ba vectơ pháp tuyến

i, j, k

của ba mặt phẳng toạ độ là viết được ngay.

Đáp số.

Δ : x = 2 + t, y = - 1, z = 3

(

t \in R

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy vectơ chỉ phương

(0; 1; 1)

vì nghĩ “

(O y z)

chứa

O y, O z

” — vectơ đó song song với

(O y z)

chứ không vuông góc.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đường qua

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

vuông góc với

(O x y)

là

x = x_{0}, y = y_{0}, z = z_{0} + t

; vuông góc với

(O x z)

là

x = x_{0}, y = y_{0} + t, z = z_{0}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ4★★Trang 44— Xây dựng phương trình đường thẳng qua hai điểm

HĐ4 (trang 44). Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm phân biệt

A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})

A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})

.
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng

A_{1} A_{2}

.
b) Viết phương trình đường thẳng

A_{1} A_{2}

Kiến thức cần nhớ

$A_{1} A_{2} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ là vectơ chỉ phương của $A_{1} A_{2}$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai điểm phân biệt cho ngay vectơ

A_{1} A_{2} \neq = 0

có giá chính là đường thẳng cần tìm — quy về bài toán “một điểm và một vectơ chỉ phương”. Phương trình chính tắc chỉ viết được khi cả ba hiệu toạ độ khác

0

1Cách 1. Điểm

A_{1}

và vectơ

A_{1} A_{2}

Định hướng. Lấy $A_{1}$ làm điểm đi qua, $A_{1} A_{2}$ làm vectơ chỉ phương.

u = A_{1} A_{2} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t (t \in R)

x_{1} \neq = x_{2}, y_{1} \neq = y_{2}, z_{1} \neq = z_{2}

\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}

Vậy $A_{1} A_{2}$ có vectơ chỉ phương $A_{1} A_{2}$ và các phương trình như trên.

2Cách 2. Điểm chia đoạn thẳng

Định hướng. $M \in A_{1} A_{2} \Leftrightarrow O M = (1 - t) O A_{1} + t O A_{2}$ (tổ hợp của hai điểm).

A_{1} M = t A_{1} A_{2} \Leftrightarrow O M - O A_{1} = t (O A_{2} - O A_{1})

O M = (1 - t) O A_{1} + t O A_{2}

x = (1 - t) x_{1} + t x_{2} = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t

, tương tự với

y, z

Vậy ra cùng phương trình tham số; $t = 0$ ứng với $A_{1}$ , $t = 1$ ứng với $A_{2}$ , $0 \leq t \leq 1$ ứng với đoạn $A_{1} A_{2}$ .

3Cách 3. Lấy

A_{2}

làm điểm gốc

Định hướng. Đường thẳng cũng đi qua $A_{2}$ với vectơ chỉ phương $A_{2} A_{1}$ .

A_{2} A_{1} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}; z_{1} - z_{2})

x = x_{2} + (x_{1} - x_{2}) s, y = y_{2} + (y_{1} - y_{2}) s, z = z_{2} + (z_{1} - z_{2}) s

s = 1 - t

đưa về hệ ở Cách 1

Vậy hai cách viết cho cùng một đường thẳng $A_{1} A_{2}$ .

Nhận xét. Cách 2 rất có ích ở Vận dụng 1: điểm $D$ nằm GIỮA $M$ và $N$ khi và chỉ khi tham số $t$ của nó thuộc $(0; 1)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là công thức chuẩn; Cách 2 nên nhớ thêm vì nó cho biết điểm nằm trong hay ngoài đoạn thẳng.

Đáp số. a)

A_{1} A_{2} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

; b)

x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t

y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t

z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t

(và dạng chính tắc khi các hiệu khác

0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết phương trình chính tắc khi có một hiệu toạ độ bằng

0

(ra phân số mẫu

0

); khi đó chỉ dùng phương trình tham số (xem Luyện tập 6).

🚀 Mở rộng. Ba điểm

A_{1}, A_{2}, A_{3}

thẳng hàng khi và chỉ khi

[A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}] = 0

, tức

A_{3}

thoả phương trình đường

A_{1} A_{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 6★Trang 44— Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Luyện tập 6 (trang 44). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A (2; 1; 3)

và

B (2; 4; 6)

Kiến thức cần nhớ

$A B$ là vectơ chỉ phương của $A B$ ; mọi $k A B$ ( $k \neq = 0$ ) cũng vậy.
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Hai điểm có cùng hoành độ

2

nên

A B

có toạ độ đầu bằng

0

: đường thẳng nằm trong mặt phẳng

x = 2

và KHÔNG có phương trình chính tắc. Rút gọn vectơ chỉ phương

(0; 3; 3)

thành

(0; 1; 1)

cho gọn.

1Cách 1. Vectơ

A B

rút gọn

Định hướng. $u = \frac{1}{3} A B$ , điểm đi qua $A$ .

A B = (0; 3; 3) = 3 (0; 1; 1)

A B : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 y = 1 + t z = 3 + t (t \in R)

Vậy $A B : x = 2, y = 1 + t, z = 3 + t$ .

2Cách 2. Công thức hai điểm, không rút gọn

Định hướng. Dùng đúng công thức $x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t$ , …

x = 2 + 0 \cdot t, y = 1 + 3 t, z = 3 + 3 t

A B : x = 2, y = 1 + 3 t, z = 3 + 3 t

t = 0 : A

;

t = 1 : B (2; 4; 6)

Vậy $A B : x = 2, y = 1 + 3 t, z = 3 + 3 t$ (cùng đường thẳng với Cách 1, chỉ đổi tham số $3 t \to t$ ).

3Cách 3. Nhận ra giao tuyến của hai mặt phẳng

Định hướng. Mọi điểm của $A B$ có $x = 2$ và $z - y = 2$ (đúng với cả $A$ và $B$ ).

A : 3 - 1 = 2

;

B : 6 - 4 = 2

A B : x = 2, z = y + 2

đặt

y = 1 + t

x = 2, y = 1 + t, z = 3 + t

Vậy $A B$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x = 2$ và $y - z + 2 = 0$ ; phương trình tham số $x = 2, y = 1 + t, z = 3 + t$ .

Nhận xét. Vì $u$ có toạ độ $0$ nên không viết được dạng $\frac{x - 2}{0}$ ; cần phương trình không tham số thì dùng hệ $x = 2, y - z + 2 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn vectơ chỉ phương trước khi viết giúp phương trình gọn và ít sai.

Đáp số.

A B : x = 2, y = 1 + t, z = 3 + t

(

t \in R

); đường thẳng không có phương trình chính tắc.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là cố viết

\frac{x - 2}{0} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 3}{3}

— phép chia cho

0

không có nghĩa trong chương trình.

🚀 Mở rộng. Tìm giao điểm của

A B

với

(O x y)

z = 0 \Rightarrow t = - 3

, điểm

(2; - 2; 0)

; với

(O x z)

y = 0 \Rightarrow t = - 1

, điểm

(2; 0; 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Vận dụng 1★★★Trang 45— Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng toạ độ; điểm nằm giữa hai điểm

Vận dụng 1 (trang 45). (H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng

M N

.
b) Tính toạ độ giao điểm

D

của đường thẳng

M N

với mặt phẳng

O x y

.
c) Hỏi điểm

D

có nằm giữa hai điểm

M

và

N

hay không?
(Tình huống mở đầu: mắt người quan sát ở

M (2; 3; - 4)

, vật ở

N (- 1; 0; 8)

, tấm bìa hình tròn tâm

O (0; 0; 0)

, bán kính

3

, nằm trong mặt phẳng

O x y

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Trên đường $M + t M N$ : $D$ nằm giữa $M$ và $N$ $\Leftrightarrow 0 < t < 1$ $\Leftrightarrow D M, D N$ ngược hướng.
Giao với $(O x y)$ : cho $z = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý là ba bước của một chuỗi: phương trình tham số

\to

giao điểm

\to

kiểm tra vị trí. Viết

M N

theo dạng

M + t M N

thì câu c) đọc ngay từ tham số:

D

nằm giữa

M, N

khi

0 < t < 1

. Cuối cùng so

O D

với bán kính

3

để trả lời câu hỏi mở đầu.

1Cách 1. Tham số theo

M N

Định hướng. Điểm $M$ , vectơ chỉ phương $M N$ (không rút gọn) để tham số đo đúng tỉ lệ trên đoạn $M N$ .

M N = (- 3; - 3; 12)

M N : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - 3 t y = 3 - 3 t z = - 4 + 12 t

z = 0 \Leftrightarrow - 4 + 12 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}

\Rightarrow D (1; 2; 0)

0 < \frac{1}{3} < 1

\Rightarrow

D

nằm giữa

M

và

N

O D = 1^{2} + 2^{2} + 0^{2} = 5 < 3

Vậy a) $x = 2 - 3 t, y = 3 - 3 t, z = - 4 + 12 t$ ; b) $D (1; 2; 0)$ ; c) $D$ nằm giữa $M, N$ và thuộc tấm bìa ( $O D = 5 < 3$ ), nên tấm bìa che khuất vật ở $N$ .

2Cách 2. So sánh dấu cao độ và vectơ

Định hướng. Vectơ chỉ phương rút gọn $(- 1; - 1; 4)$ ; kiểm tra $D$ nằm giữa $M, N$ bằng hai vectơ $D M, D N$ ngược hướng.

M N : x = 2 - s, y = 3 - s, z = - 4 + 4 s

z = 0 \Leftrightarrow s = 1

\Rightarrow D (1; 2; 0)

D M = (1; 1; - 4)

D N = (- 2; - 2; 8) = - 2 D M

O D^{2} = 5 < 9

Vậy $D N = - 2 D M$ nên $D$ nằm giữa $M$ và $N$ ( $D N = 2 D M$ ); bìa che khuất vật.

3Cách 3. Khoảng cách:

D M + D N = M N

Định hướng. $D$ nằm giữa $M, N$ khi và chỉ khi $D M + D N = M N$ .

D = M + \frac{∣ z _{M} ∣}{∣ z _{M} ∣ + ∣ z _{N} ∣} M N = M + \frac{4}{12} M N = (1; 2; 0)

D M = 1 + 1 + 16 = 32

D N = 4 + 4 + 64 = 62

M N = 9 + 9 + 144 = 92 = D M + D N

Vậy $D (1; 2; 0)$ nằm giữa $M$ và $N$ , và $O D = 5 < 3$ : tấm bìa che khuất tầm nhìn.

Nhận xét. Hai điểm $M, N$ có cao độ trái dấu ( $- 4$ và $8$ ) là dấu hiệu nhanh nhất để biết đoạn $M N$ cắt $(O x y)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phương trình tham số trả lời cả ba câu, câu c) chỉ cần nhìn

t = \frac{1}{3} \in (0; 1)

Đáp số. a)

x = 2 - 3 t, y = 3 - 3 t, z = - 4 + 12 t

; b)

D (1; 2; 0)

; c) Có —

D

nằm giữa

M, N

; vì

O D = 5 < 3

nên tấm bìa che khuất vật.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng vectơ chỉ phương rút gọn

(- 1; - 1; 4)

rồi vẫn xét điều kiện

0 < t < 1

— với vectơ đã rút gọn, điểm

N

ứng với

t = 3

chứ không phải

t = 1

, nên phải xét

0 < t < 3

🚀 Mở rộng. Nếu bìa có bán kính

2

thì

O D = 5 > 2

— ánh sáng đi qua ngoài mép bìa và người quan sát nhìn thấy vật; bán kính tới hạn là

5

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · HĐ5★★Trang 45— Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng

HĐ5 (trang 45). Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau. Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2}

tương ứng có vectơ chỉ phương

u_{1} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})

u_{2} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})

.
a) Hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của

u_{1}, u_{2}

có mối quan hệ gì?
b) Tìm điều kiện đối với

u_{1}, u_{2}

để

Δ_{1}

và

Δ_{2}

vuông góc với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa $Δ_{1}, Δ_{2}$ bằng góc giữa hai giá của $u_{1}, u_{2}$ .
$u_{1} ⊥ u_{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0$ .
$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc giữa hai đường thẳng (kể cả chéo nhau) bằng góc giữa hai đường song song với chúng — tức góc giữa hai giá vectơ chỉ phương. Vuông góc của hai vectơ viết bằng tích vô hướng bằng

0

1Cách 1. Qua góc giữa hai đường thẳng

Định hướng. Chuyển góc giữa hai đường thẳng về góc giữa hai vectơ chỉ phương.

Δ_{1} ∥

giá

u_{1}

Δ_{2} ∥

giá

u_{2}

(hoặc trùng)

Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow

giá

u_{1} ⊥

giá

u_{2}

\Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0

Vậy a) hai giá vuông góc với nhau; b) $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .

2Cách 2. Công thức côsin

Định hướng. Dùng $cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣}$ ; vuông góc khi côsin bằng $0$ .

cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ a _{1} a _{2} + b _{1} b _{2} + c _{1} c _{2} ∣}{a _{1}^{2} + b _{1}^{2} + c _{1}^{2} \cdot a _{2}^{2} + b _{2}^{2} + c _{2}^{2}}

(Δ_{1}, Δ_{2}) = 9 0^{\circ} \Leftrightarrow cos = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0

Vậy $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .

3Cách 3. Định lí Pythagore cho hai vectơ

Định hướng. Hai giá vuông góc khi và chỉ khi $∣ u_{1} + u_{2} ∣^{2} = ∣ u_{1} ∣^{2} + ∣ u_{2} ∣^{2}$ .

∣ u_{1} + u_{2} ∣^{2} = ∣ u_{1} ∣^{2} + ∣ u_{2} ∣^{2} + 2 u_{1} \cdot u_{2}

∣ u_{1} + u_{2} ∣^{2} = ∣ u_{1} ∣^{2} + ∣ u_{2} ∣^{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0

\Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0

Vậy a) giá của $u_{1}$ vuông góc giá của $u_{2}$ ; b) $u_{1} \cdot u_{2} = 0$ .

Nhận xét. Điều kiện vuông góc chỉ phụ thuộc hai vectơ chỉ phương, không cần hai đường thẳng cắt nhau: hai đường chéo nhau vẫn có thể vuông góc (Ví dụ 8).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trình bày chuẩn: hai dòng là ra điều kiện.

Đáp số. a) Hai giá của

u_{1}, u_{2}

vuông góc với nhau; b)

u_{1} \cdot u_{2} = 0

, tức

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nghĩ hai đường thẳng vuông góc thì phải cắt nhau; trong không gian “vuông góc” bao gồm cả trường hợp chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Đường thẳng vuông góc với cả

Δ_{1}, Δ_{2}

(không cùng phương) nhận

[u_{1}, u_{2}]

làm vectơ chỉ phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Luyện tập 7★Trang 45— Kiểm tra hai đường thẳng vuông góc

Luyện tập 7 (trang 45). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

. Hỏi đường thẳng

Δ

có vuông góc với trục

O z

hay không?

Kiến thức cần nhớ

$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .
Trục $O z$ có vectơ chỉ phương $k = (0; 0; 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trục

O z

có vectơ chỉ phương

k = (0; 0; 1)

, nên chỉ cần xét toạ độ thứ ba của vectơ chỉ phương của

Δ

. Đường thẳng vuông góc với

O z

khi và chỉ khi toạ độ đó bằng

0

. Bẫy: vectơ chỉ phương đọc ở mẫu số

(2; 1; - 1)

, không phải ở tử số.

1Cách 1. Tích vô hướng

Định hướng. Tính $u \cdot k$ .

u = (2; 1; - 1)

k = (0; 0; 1)

u \cdot k = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1 = - 1 \neq = 0

Vậy $Δ$ không vuông góc với trục $O z$ .

2Cách 2. Tính góc giữa

Δ

và

O z

Định hướng. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng.

cos (Δ, O z) = \frac{∣ u \cdot k ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ k ∣} = \frac{1}{4 + 1 + 1 \cdot 1} = \frac{1}{6} \neq = 0

(Δ, O z) \approx 65, 9^{\circ}

Vậy $Δ$ tạo với $O z$ góc khoảng $65, 9^{\circ}$ , không vuông góc.

3Cách 3. Quan sát cao độ trên

Δ

Định hướng. $Δ ⊥ O z$ khi và chỉ khi mọi điểm của $Δ$ có cùng cao độ (đường nằm ngang).

Δ : x = 1 + 2 t, y = t, z = 1 - t

t = 0 : z = 1

;

t = 1 : z = 0

cao độ thay đổi

Vậy $Δ$ không nằm trong mặt phẳng nằm ngang nào nên không vuông góc với $O z$ .

Nhận xét. Đường thẳng vuông góc với $O z$ khi và chỉ khi nó song song hoặc nằm trong một mặt phẳng $z = const$ , tức toạ độ thứ ba của vectơ chỉ phương bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân vô hướng với

k

chỉ là đọc toạ độ thứ ba, không cần tính gì.

Đáp số. Không.

u \cdot k = - 1 \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy vectơ chỉ phương của

Δ

là

(1; 0; 1)

(toạ độ điểm) thay vì mẫu số

(2; 1; - 1)

; khi đó tích với

k

lại bằng

1

, may mắn cùng kết luận nhưng sai phương pháp.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

Δ_{m} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{m}

vuông góc với

O z

— không có

m

vì mẫu số phải khác

0

; khi đó phải viết dạng tham số

z = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Vận dụng 2★★Trang 45— Hai đường thẳng vuông góc trong bài toán thực tế

Vận dụng 2 (trang 45). Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian

O x y z

, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

Δ_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 1 + t z = 0

Δ_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 s y = 2 s z = 1.

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Kiến thức cần nhớ

$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .
Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ cần hai vectơ chỉ phương:

u_{1} = (1; 1; 0)

u_{2} = (- 2; 2; 0)

. Để ý hai đường ở hai độ cao khác nhau (

z = 0

và

z = 1

) — chúng vuông góc nhưng không cắt nhau (đường cầu vượt).

1Cách 1. Tích vô hướng hai vectơ chỉ phương

Định hướng. Đọc vectơ chỉ phương rồi nhân vô hướng.

u_{1} = (1; 1; 0)

u_{2} = (- 2; 2; 0)

u_{1} \cdot u_{2} = 1 \cdot (- 2) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0

Vậy hai con đường vuông góc với nhau.

2Cách 2. Chiếu xuống mặt đất

Định hướng. Cả hai vectơ chỉ phương nằm ngang (toạ độ thứ ba bằng $0$ ), so sánh hai hình chiếu trên $(O x y)$ như trong hình học phẳng.

hình chiếu:

d_{1} : y = x - 1

(hệ số góc

1

d_{2} : y = 1 - x

(hệ số góc

- 1

)

1 \cdot (- 1) = - 1

Vậy hai hình chiếu vuông góc và hai đường cùng nằm ngang nên hai con đường vuông góc với nhau.

3Cách 3. Tính góc bằng côsin, kèm vị trí tương đối

Định hướng. Tính góc và xét luôn hai đường có cắt nhau không.

cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣0∣}{2 \cdot 8} = 0 \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) = 9 0^{\circ}

A_{1} (2; 1; 0)

A_{2} (1; 0; 1)

A_{1} A_{2} = (- 1; - 1; 1)

[u_{1}, u_{2}] = (1 \cdot 0 - 0 \cdot 2; 0 \cdot (- 2) - 1 \cdot 0; 1 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2)) = (0; 0; 4)

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 4 \neq = 0

Vậy hai con đường vuông góc với nhau và chéo nhau (một đường đi trên cao hơn đường kia $1$ đơn vị).

Nhận xét. Đây là mô hình nút giao khác mức: hai tuyến vuông góc nhưng không giao nhau nhờ chênh lệch độ cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép nhân vô hướng là đủ; Cách 3 dùng khi đề hỏi thêm về vị trí tương đối.

Đáp số. Có.

u_{1} \cdot u_{2} = 0

nên hai con đường vuông góc với nhau (và chéo nhau).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là kết luận “không vuông góc vì hai đường không cắt nhau”. Trong không gian, hai đường chéo nhau vẫn vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ chỉ phương bằng

0

🚀 Mở rộng. Nếu con đường thứ hai là

x = 1 - 2 s, y = 2 s, z = 0

thì hai đường cùng độ cao; khi đó chúng cắt nhau tại

(1; 0; 0)

— nút giao cùng mức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · HĐ6★★★Trang 46— Xây dựng tiêu chuẩn vị trí tương đối của hai đường thẳng

HĐ6 (trang 46). Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2}

lần lượt đi qua các điểm

A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})

A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})

và tương ứng có vectơ chỉ phương

u_{1} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})

u_{2} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})

(H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với

u_{1}

và

u_{2}

để

Δ_{1}

và

Δ_{2}

song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử

[u_{1}, u_{2}] \neq = 0

và

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0

thì

Δ_{1}

và

Δ_{2}

có cắt nhau hay không?
c) Giả sử

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0

thì

Δ_{1}

và

Δ_{2}

có chéo nhau hay không?

Kiến thức cần nhớ

$u_{1}, u_{2}$ cùng phương $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] = 0$ .
$[u_{1}, u_{2}]$ vuông góc với cả $u_{1}, u_{2}$ ; ba vectơ $a, b, c$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [a, b] \cdot c = 0$ .
Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mấu chốt là “đồng phẳng”: hai đường cắt nhau hoặc song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, mà ba vectơ

u_{1}, u_{2}, A_{1} A_{2}

đồng phẳng khi tích hỗn tạp

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0

. Còn

[u_{1}, u_{2}] \neq = 0

để loại trường hợp song song/trùng.

1Cách 1. Lập luận qua mặt phẳng chứa

Δ_{1}

Định hướng. Xét mặt phẳng $(P)$ qua $A_{1}$ có vectơ pháp tuyến $n = [u_{1}, u_{2}]$ : $(P)$ chứa $Δ_{1}$ và song song (hoặc chứa) $Δ_{2}$ .

Δ_{1} ∥ Δ_{2}

hoặc

Δ_{1} \equiv Δ_{2}

\Leftrightarrow

u_{1}, u_{2}

cùng phương

\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] = 0

n \neq = 0

A_{1} A_{2} \cdot n = 0

\Rightarrow

A_{2} \in (P)

\Rightarrow

Δ_{2} \subset (P)

Δ_{1}, Δ_{2} \subset (P)

, không cùng phương

\Rightarrow

Δ_{1}

cắt

Δ_{2}

A_{1} A_{2} \cdot n \neq = 0

\Rightarrow

n \neq = 0

và

A_{2} \in / (P)

\Rightarrow

Δ_{2} ∥ (P)

Δ_{2}

không cắt

Δ_{1}

u_{1}, u_{2}

không cùng phương

\Rightarrow

Δ_{1}, Δ_{2}

chéo nhau

Vậy a) $u_{1}, u_{2}$ cùng phương; b) có, $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ ; c) có, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

2Cách 2. Giải hệ tìm giao điểm

Định hướng. Giao điểm (nếu có) ứng với nghiệm $(t; s)$ của $A_{1} + t u_{1} = A_{2} + s u_{2}$ , tức $A_{1} A_{2} = t u_{1} - s u_{2}$ .

A_{1} A_{2} = t u_{1} - s u_{2}

có nghiệm

\Rightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = t \cdot 0 - s \cdot 0 = 0

u_{1}, u_{2}

không cùng phương,

A_{1} A_{2}

đồng phẳng với chúng

\Rightarrow

có đúng một cặp

(t; s)

\Rightarrow

đúng một giao điểm
c)

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0

\Rightarrow

hệ vô nghiệm,

u_{1}, u_{2}

không cùng phương (nếu cùng phương thì tích có hướng bằng

0

)

Vậy b) cắt nhau tại đúng một điểm; c) không có điểm chung và không song song: chéo nhau.

3Cách 3. Ý nghĩa thể tích

Định hướng. $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}]$ là thể tích hình hộp dựng trên $u_{1}, u_{2}, A_{1} A_{2}$ .

thể tích

= 0 \Leftrightarrow

ba vectơ đồng phẳng

\Leftrightarrow Δ_{1}, Δ_{2}

đồng phẳng
b) đồng phẳng và không cùng phương

\Rightarrow

cắt nhau
c) thể tích

\neq = 0 \Rightarrow

không đồng phẳng

\Rightarrow

chéo nhau

Vậy b) cắt nhau; c) chéo nhau.

Nhận xét. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng thể tích chia diện tích đáy: $d = \frac{A _{1} A _{2} \cdot [ u _{1} , u _{2} ]}{[ u _{1} , u _{2} ]}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lập luận gọn và dễ nhớ nhất: mọi thứ quy về mặt phẳng qua

Δ_{1}

nhận

[u_{1}, u_{2}]

làm pháp tuyến.

Đáp số. a)

u_{1}, u_{2}

cùng phương (

[u_{1}, u_{2}] = 0

); b) Có,

Δ_{1}

cắt

Δ_{2}

; c) Có,

Δ_{1}

và

Δ_{2}

chéo nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ kiểm tra

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0

rồi kết luận cắt nhau — khi

u_{1}, u_{2}

cùng phương thì tích này cũng bằng

0

nhưng hai đường song song hoặc trùng.

🚀 Mở rộng. Tổng hợp thành sơ đồ: tính

n = [u_{1}, u_{2}]

; nếu

n = 0

thì xét

A_{1} \in Δ_{2}

(trùng) hay không (song song); nếu

n \neq = 0

thì xét dấu của

A_{1} A_{2} \cdot n

(bằng

0

: cắt; khác

0

: chéo).

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Luyện tập 8★★Trang 46— Chứng minh hai đường thẳng song song

Luyện tập 8 (trang 46). Trong không gian

O x y z

, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

Δ_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{3}

và

Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{3}

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu số giống hệt nhau nên hai vectơ chỉ phương bằng nhau — hai đường song song hoặc trùng. Chỉ cần thêm một điểm của

Δ_{1}

không thuộc

Δ_{2}

1Cách 1. Cùng phương và một điểm không thuộc

Định hướng. So vectơ chỉ phương, rồi thay $A_{1}$ vào $Δ_{2}$ .

u_{1} = u_{2} = (1; - 2; 3)

A_{1} (3; 0; 1) \in Δ_{1}

\frac{3 - 1}{1} = 2, \frac{0 - 2}{- 2} = 1, 2 \neq = 1

A_{1} \in / Δ_{2}

Vậy $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ .

2Cách 2. Tích có hướng

Định hướng. Cùng phương khi $[u_{1}, u_{2}] = 0$ ; không trùng khi $[A_{1} A_{2}, u_{1}] \neq = 0$ .

[u_{1}, u_{2}] = 0

A_{2} (1; 2; 0)

A_{1} A_{2} = (- 2; 2; - 1)

[A_{1} A_{2}, u_{1}] = (2 \cdot 3 - (- 1) (- 2); (- 1) \cdot 1 - (- 2) \cdot 3; (- 2) (- 2) - 2 \cdot 1) = (4; 5; 2) \neq = 0

Vậy $A_{1} A_{2}$ không cùng phương với $u_{1}$ nên hai đường không trùng: $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ .

3Cách 3. Giải hệ phương trình

Định hướng. Đưa về tham số, xét hệ tìm điểm chung.

Δ_{1} : x = 3 + t, y = - 2 t, z = 1 + 3 t

;

Δ_{2} : x = 1 + s, y = 2 - 2 s, z = 3 s

⎩ ⎨ ⎧ 3 + t = 1 + s - 2 t = 2 - 2 s 1 + 3 t = 3 s \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ s - t = 2 s - t = 1 s - t = \frac{1}{3}

hệ vô nghiệm,

u_{1} = u_{2}

Vậy hai đường cùng phương, không có điểm chung: $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ .

Nhận xét. Hệ vô nghiệm thôi thì chưa đủ (có thể chéo nhau); phải kèm điều kiện hai vectơ chỉ phương cùng phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn mẫu số là thấy cùng phương, thay một điểm là xong.

Đáp số.

u_{1} = u_{2} = (1; - 2; 3)

và

A_{1} (3; 0; 1) \in / Δ_{2}

nên

Δ_{1} ∥ Δ_{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là thấy mẫu số giống nhau rồi kết luận song song ngay, quên loại trường hợp trùng nhau (ví dụ

\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 4}{3}

có cùng mẫu nhưng TRÙNG với

Δ_{1}

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt phẳng chứa

Δ_{1}

và

Δ_{2}

n = [u_{1}, A_{1} A_{2}] = - (4; 5; 2)

, được

4 x + 5 y + 2 z - 14 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Luyện tập 9★★★Trang 47— Xét đủ bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng

Luyện tập 9 (trang 47). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng

Δ_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{4}

và

Δ_{2} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4}

. Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

song song với nhau;
b) Đường thẳng

Δ_{1}

và trục

O x

chéo nhau;
c) Đường thẳng

Δ_{2}

trùng với đường thẳng

Δ_{3} : \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 4}{4}

;
d) Đường thẳng

Δ_{2}

cắt trục

O z

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.
Trục $O x$ qua $O$ , vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ ; trục $O z$ qua $O$ , vectơ chỉ phương $k = (0; 0; 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý là đúng bốn trường hợp của tiêu chuẩn vị trí tương đối.

Δ_{1}, Δ_{2}, Δ_{3}

cùng vectơ chỉ phương

(1; 1; 4)

nên ý a), c) chỉ cần thử một điểm; ý b), d) với trục toạ độ (

O

và

i

hoặc

k

) dùng tích hỗn tạp hoặc giải hệ.

1Cách 1. Tiêu chuẩn tích có hướng

Định hướng. Tính $[u_{1}, u_{2}]$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}]$ cho từng cặp.

u_{1} = u_{2} = (1; 1; 4)

;

A_{1} (1; - 2; 3)

\frac{1 + 1}{1} = 2 \neq = \frac{- 2 + 1}{1} = - 1

\Rightarrow A_{1} \in / Δ_{2}

\Rightarrow Δ_{1} ∥ Δ_{2}

[u_{1}, i] = (1 \cdot 0 - 4 \cdot 0; 4 \cdot 1 - 1 \cdot 0; 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0; 4; - 1)

O A_{1} \cdot (0; 4; - 1) = 1 \cdot 0 + (- 2) \cdot 4 + 3 \cdot (- 1) = - 11 \neq = 0

\Rightarrow

chéo nhau
c)

u_{3} = (1; 1; 4) = u_{2}

;

A_{3} (- 2; - 2; - 4)

\frac{- 2 + 1}{1} = \frac{- 2 + 1}{1} = \frac{- 4}{4} = - 1

\Rightarrow A_{3} \in Δ_{2}

\Rightarrow Δ_{2} \equiv Δ_{3}

[u_{2}, k] = (1 \cdot 1 - 4 \cdot 0; 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1; 0) = (1; - 1; 0) \neq = 0

A_{2} (- 1; - 1; 0)

A_{2} O \cdot (1; - 1; 0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) + 0 = 0

\Rightarrow

cắt nhau

Vậy a) $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ ; b) $Δ_{1}$ và $O x$ chéo nhau; c) $Δ_{2} \equiv Δ_{3}$ ; d) $Δ_{2}$ cắt $O z$ .

2Cách 2. Giải hệ tham số

Định hướng. Viết $Δ_{1} : (1 + t; - 2 + t; 3 + 4 t)$ , $Δ_{2} : (- 1 + s; - 1 + s; 4 s)$ và giải hệ tìm điểm chung với từng đường.

1 + t = - 1 + s, - 2 + t = - 1 + s \Rightarrow s - t = 2

và

s - t = - 1

: vô nghiệm;

u_{1} = u_{2}

\Rightarrow

song song
b)

O x : (m; 0; 0)

- 2 + t = 0, 3 + 4 t = 0 \Rightarrow t = 2

và

t = - \frac{3}{4}

: vô nghiệm;

(1; 1; 4)

không cùng phương

(1; 0; 0)

\Rightarrow

chéo nhau
c)

Δ_{3} : (- 2 + r; - 2 + r; - 4 + 4 r)

;

r = s + 1

cho

(- 1 + s; - 1 + s; 4 s)

với mọi

s

\Rightarrow

vô số điểm chung

\Rightarrow

trùng
d)

O z : (0; 0; m)

- 1 + s = 0 \Rightarrow s = 1

y = 0

✓,

m = 4

\Rightarrow

cắt tại

(0; 0; 4)

Vậy bốn kết luận a) song song, b) chéo nhau, c) trùng nhau, d) cắt nhau tại $(0; 0; 4)$ đều đúng.

3Cách 3. Nhìn hình chiếu lên

(O x y)

và hệ thức bậc nhất

Định hướng. Mỗi đường thẳng là giao của hai mặt phẳng; so sánh các mặt phẳng đó.

Δ_{1} : x - y = 3, z = 4 x - 1

;

Δ_{2} : x - y = 0, z = 4 x + 4

;

Δ_{3} : x - y = 0, z = 4 x + 4

Δ_{1}, Δ_{2}

nằm trong hai mặt phẳng song song

x - y = 3

x - y = 0

, cùng phương

\Rightarrow

song song
c)

Δ_{2}, Δ_{3}

cùng là giao của

x - y = 0

và

z = 4 x + 4

\Rightarrow

trùng
d)

x = y = 0 \Rightarrow z = 4

(0; 0; 4) \in Δ_{2} \cap O z

O x

y = z = 0

; trên

Δ_{1}

z = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}, y = - \frac{11}{4} \neq = 0

\Rightarrow

không cắt; không cùng phương

\Rightarrow

chéo

Vậy các khẳng định a), b), c), d) đều được chứng minh.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ : chúng nằm trên hai mặt phẳng song song $x - y = 3$ và $x - y = 0$ đồng thời có cùng phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý b) (tích hỗn tạp một dòng) và thay điểm cho a), c); ý d) giải hệ như Cách 2 còn cho luôn giao điểm

(0; 0; 4)

Đáp số. a) Song song; b) Chéo nhau; c) Trùng nhau; d) Cắt nhau tại

(0; 0; 4)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở ý c): thấy toạ độ điểm khác nhau (

(- 1; - 1; 0)

và

(- 2; - 2; - 4)

) liền kết luận song song. Phải thay điểm của

Δ_{3}

vào

Δ_{2}

— ở đây thoả mãn nên hai đường trùng.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

Δ_{1}

cắt đường thẳng

x = m, y = 0

song song với

O z

: cần

- 2 + t = 0

t = 2

m = 3

— giao điểm

(3; 0; 11)

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Luyện tập 10★★Trang 48— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Luyện tập 10 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Δ_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 + t z = 1 - t

và

Δ_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = s y = 1 + 2 s z = 3 s .

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ chỉ phương

(2; 1; - 1)

và

(1; 2; 3)

không tỉ lệ nên chỉ còn cắt nhau hoặc chéo nhau. Để phân biệt, dùng tích hỗn tạp, hoặc giải hệ hai ẩn

t, s

từ hai phương trình rồi thử phương trình thứ ba.

1Cách 1. Tích hỗn tạp

Định hướng. Tính $[u_{1}, u_{2}]$ rồi nhân với $A_{1} A_{2}$ .

A_{1} (1; 3; 1)

u_{1} = (2; 1; - 1)

;

A_{2} (0; 1; 0)

u_{2} = (1; 2; 3)

[u_{1}, u_{2}] = (1 \cdot 3 - (- 1) \cdot 2; (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 3; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (5; - 7; 3)

A_{1} A_{2} = (- 1; - 2; - 1)

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = - 5 + 14 - 3 = 6 \neq = 0

Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

2Cách 2. Giải hệ

Định hướng. Tìm $(t; s)$ để hai điểm trùng nhau.

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 t = s 3 + t = 1 + 2 s 1 - t = 3 s

s = 1 + 2 t \Rightarrow 3 + t = 3 + 4 t \Rightarrow t = 0, s = 1

1 - 0 = 1 \neq = 3 \cdot 1 = 3

Vậy hệ vô nghiệm, $u_{1}, u_{2}$ không cùng phương ( $\frac{2}{1} \neq = \frac{1}{2}$ ): $Δ_{1}, Δ_{2}$ chéo nhau.

3Cách 3. Mặt phẳng chứa

Δ_{1}

song song với

Δ_{2}

Định hướng. Lập $(P)$ qua $A_{1}$ , vectơ pháp tuyến $[u_{1}, u_{2}]$ ; $Δ_{2}$ chéo $Δ_{1}$ khi $A_{2} \in / (P)$ .

(P) : 5 (x - 1) - 7 (y - 3) + 3 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5 x - 7 y + 3 z + 13 = 0

A_{2} (0; 1; 0)

0 - 7 + 0 + 13 = 6 \neq = 0

d (Δ_{1}, Δ_{2}) = d (A_{2}, (P)) = \frac{6}{25 + 49 + 9} = \frac{6}{83}

Vậy $A_{2} \in / (P)$ nên $Δ_{1}, Δ_{2}$ chéo nhau, cách nhau $\frac{6}{83}$ .

Nhận xét. Giá trị $6$ ở Cách 3 chính là tích hỗn tạp ở Cách 1 — hai cách là một, nhưng Cách 3 cho thêm khoảng cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 khi làm tay (chỉ có phép cộng trừ nhỏ); Cách 1 khi đã quen tính tích có hướng.

Đáp số.

Δ_{1}

và

Δ_{2}

chéo nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là giải hệ bằng hai phương trình đầu được

t = 0, s = 1

rồi kết luận “cắt nhau” mà quên thử phương trình thứ ba (

1 \neq = 3

🚀 Mở rộng. Đổi

Δ_{2}

thành

x = s, y = 1 + 2 s, z = m s

: hai đường cắt nhau khi

1 - 0 = m \cdot 1

, tức

m = 1

, giao điểm

(1; 3; 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Vận dụng 3★★★Trang 48— Hai chuyển động thẳng đều: va chạm hay không

Vận dụng 3 (trang 48). (H.5.30) Trong không gian

O x y z

, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ

A (1; 2; 0)

và

B (3; 5; 0)

với vận tốc không đổi tương ứng là

v_{1} = (2; 1; 3)

v_{2} = (1; 2; 1)

. Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Vật xuất phát từ $A$ với vận tốc $v$ : vị trí sau thời gian $t$ là $A + t v$ ( $t \geq 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Va chạm nghĩa là hai vật CÙNG LÚC ở cùng một điểm, nên hai vật phải dùng chung tham số thời gian

t \geq 0

. Chặt hơn nữa: nếu hai quỹ đạo (hai đường thẳng) không có điểm chung thì chắc chắn không va chạm. Bẫy: giải hệ với hai tham số khác nhau

t, s

chỉ trả lời câu hỏi “quỹ đạo có cắt nhau không”.

1Cách 1. Cùng thời điểm

t

Định hướng. Vị trí hai vật sau $t$ đơn vị thời gian là $M_{1} (t), M_{2} (t)$ ; tìm $t \geq 0$ để $M_{1} = M_{2}$ .

M_{1} = (1 + 2 t; 2 + t; 3 t)

M_{2} = (3 + t; 5 + 2 t; t)

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 t = 3 + t 2 + t = 5 + 2 t 3 t = t \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ t = 2 t = - 3 t = 0

Vậy không có thời điểm nào hai vật ở cùng một chỗ: hai vật không va chạm.

2Cách 2. Hai quỹ đạo chéo nhau

Định hướng. Hai vật đi trên hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ ; xét vị trí tương đối của hai đường.

[v_{1}, v_{2}] = (1 \cdot 1 - 3 \cdot 2; 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (- 5; 1; 3)

A B = (2; 3; 0)

A B \cdot [v_{1}, v_{2}] = - 10 + 3 + 0 = - 7 \neq = 0

Vậy hai quỹ đạo chéo nhau, không có điểm chung, nên hai vật không bao giờ va chạm.

3Cách 3. Giải hệ hai tham số

Định hướng. Tìm điểm chung của hai quỹ đạo với hai tham số độc lập $t, s$ .

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 t = 3 + s 2 + t = 5 + 2 s 3 t = s

s = 3 t \Rightarrow 1 + 2 t = 3 + 3 t \Rightarrow t = - 2, s = - 6

2 + (- 2) = 0 \neq = 5 + 2 (- 6) = - 7

Vậy hệ vô nghiệm, quỹ đạo không cắt nhau: hai vật không va chạm.

Nhận xét. Cách 1 trả lời đúng câu hỏi “cùng lúc”; Cách 2, 3 trả lời mạnh hơn: kể cả hai vật xuất phát ở hai thời điểm khác nhau cũng không thể va chạm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng bản chất va chạm (cùng thời điểm) và chỉ cần hai phương trình đầu là thấy mâu thuẫn.

Đáp số. Không. Hai vật không va chạm (quỹ đạo của chúng là hai đường thẳng chéo nhau).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là thấy hệ theo

t, s

có nghiệm thì kết luận va chạm. Hai quỹ đạo cắt nhau chưa chắc va chạm — hai vật phải đến giao điểm CÙNG LÚC, tức

t = s \geq 0

🚀 Mở rộng. Nếu vật thứ hai có vận tốc

v_{2} = (0; - 1; 2)

thì

M_{2} = (3; 5 - t; 2 t)

và

1 + 2 t = 3

2 + t = 5 - t

3 t = 2 t

cho

t = 1

t = \frac{3}{2}

t = 0

— vẫn không va chạm; hãy tìm

v_{2}

để hai vật gặp nhau lúc

t = 2

(đáp số

v_{2} = (1; - \frac{1}{2}; 3)

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 5.11★Trang 48— Đường thẳng qua một điểm, song song với đường thẳng cho trước

Bài 5.11 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Δ

đi qua

A (1; 1; 2)

và song song với đường thẳng

d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 5}{3}

Kiến thức cần nhớ

$Δ ∥ d$ $\Rightarrow$ vectơ chỉ phương của $d$ là vectơ chỉ phương của $Δ$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Song song với

d

nên

Δ

dùng luôn vectơ chỉ phương của

d

là

(2; 1; 3)

— bài quy về “một điểm và một vectơ chỉ phương”. Nên kiểm tra

A \in / d

để chắc chắn

Δ

song song chứ không trùng

d

1Cách 1. Dùng vectơ chỉ phương của

d

Định hướng. $u = u_{d} = (2; 1; 3)$ , điểm $A (1; 1; 2)$ .

A \in / d

vì

\frac{1 - 3}{2} = - 1 \neq = \frac{1 - 1}{1} = 0

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 1 + t z = 2 + 3 t (t \in R)

Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}

Vậy $Δ : x = 1 + 2 t, y = 1 + t, z = 2 + 3 t$ và $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$ .

2Cách 2. Tịnh tiến đường thẳng

d

Định hướng. $Δ$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo $B A$ với $B (3; 1; - 5) \in d$ : thay $x - 3, y - 1, z + 5$ bằng $x - 1, y - 1, z - 2$ .

B A = (- 2; 0; 7)

M^{'} (x; y; z) \in Δ \Leftrightarrow M^{'} - B A = (x + 2; y; z - 7) \in d

\frac{x + 2 - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 7 + 5}{3} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}

Vậy $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$ , tham số $x = 1 + 2 t, y = 1 + t, z = 2 + 3 t$ .

3Cách 3. Vectơ chỉ phương đổi dấu

Định hướng. Mọi vectơ cùng phương với $u_{d}$ đều dùng được; chọn $- u_{d} = (- 2; - 1; - 3)$ để kiểm tra lại tính không duy nhất.

Δ : x = 1 - 2 s, y = 1 - s, z = 2 - 3 s

\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 3} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}

Vậy cùng một đường thẳng $Δ$ như hai cách trên.

Nhận xét. Phương trình chính tắc không đổi khi nhân cả ba mẫu với cùng số khác $0$ — cách kiểm tra nhanh hai đáp án “trông khác nhau” có cùng là một đường hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lấy thẳng mẫu số của

d

, thay điểm

A

là xong.

Đáp số.

Δ : x = 1 + 2 t, y = 1 + t, z = 2 + 3 t

(

t \in R

);

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy vectơ chỉ phương

(3; 1; - 5)

(các số ở tử của

d

) — đó là toạ độ một điểm của

d

, không phải vectơ chỉ phương.

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt phẳng chứa

Δ

và

d

n = [u_{d}, B A] = (7; - 20; 2)

, mặt phẳng

7 x - 20 y + 2 z + 9 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 5.12★Trang 48— Đường thẳng qua một điểm, vuông góc với mặt phẳng

Bài 5.12 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Δ

đi qua

A (2; - 1; 4)

và vuông góc với mặt phẳng

(P) : x + 3 y - z - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$Δ ⊥ (P)$ $\Rightarrow u_{Δ} = n_{P}$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường vuông góc với

(P)

nhận vectơ pháp tuyến

n = (1; 3; - 1)

làm vectơ chỉ phương. Ba toạ độ đều khác

0

nên viết được cả dạng chính tắc.

1Cách 1. Pháp tuyến thành chỉ phương

Định hướng. $u = n = (1; 3; - 1)$ .

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = - 1 + 3 t z = 4 - t (t \in R)

Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}

Vậy $Δ : x = 2 + t, y = - 1 + 3 t, z = 4 - t$ ; $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}$ .

2Cách 2. Qua hình chiếu

H

của

A

trên

(P)

Định hướng. Tìm hình chiếu $H$ ; $Δ \equiv A H$ .

H = (2 + t; - 1 + 3 t; 4 - t) \in (P)

(2 + t) + 3 (- 1 + 3 t) - (4 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow 11 t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{6}{11}

H (\frac{28}{11}; \frac{7}{11}; \frac{38}{11})

A H = \frac{6}{11} (1; 3; - 1)

Δ \equiv A H : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}

Vậy $Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}$ (tham số $x = 2 + t, y = - 1 + 3 t, z = 4 - t$ ).

3Cách 3. Giao của hai mặt phẳng vuông góc với

(P)

Định hướng. $Δ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $(P)$ : một mặt chứa phương $O z$ , một mặt chứa phương $O x$ .

mặt qua

A

, chứa

n

và

k

: pháp tuyến

[n, k] = (3; - 1; 0)

3 x - y - 7 = 0

mặt qua

A

, chứa

n

và

i

: pháp tuyến

[n, i] = (0; - 1; - 3)

y + 3 z - 11 = 0

y = 3 x - 7, z = \frac{11 - y}{3} = 6 - x

; đặt

x = 2 + t

y = - 1 + 3 t

z = 4 - t

Vậy $Δ : x = 2 + t, y = - 1 + 3 t, z = 4 - t$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thêm khoảng cách $d (A, (P)) = A H = \frac{6}{11}$ — trùng với công thức khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc hệ số của

(P)

là có vectơ chỉ phương.

Đáp số.

Δ : x = 2 + t, y = - 1 + 3 t, z = 4 - t

(

t \in R

);

\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy vectơ chỉ phương

(1; 3; 1)

do bỏ dấu, hoặc lấy cả hệ số tự do

- 1

vào vectơ — chỉ lấy ba hệ số của

x, y, z

và giữ đúng dấu:

(1; 3; - 1)

🚀 Mở rộng. Điểm đối xứng của

A

qua

(P)

là

A^{'} = 2 H - A = (\frac{34}{11}; \frac{25}{11}; \frac{32}{11})

— bài toán kế tiếp dùng chính đường thẳng

Δ

này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 5.13★Trang 48— Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Bài 5.13 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Δ

đi qua hai điểm

A (2; 3; - 1)

và

B (1; - 2; 4)

Kiến thức cần nhớ

$A B$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $A B$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Khi $a, b, c$ đều khác $0$ : phương trình chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai điểm cho ngay vectơ chỉ phương

A B = (- 1; - 5; 5)

, ba toạ độ đều khác

0

nên có dạng chính tắc. Có thể lấy điểm

A

hoặc

B

làm điểm gốc.

1Cách 1. Điểm

A

, vectơ

A B

Định hướng. Tính $A B$ rồi áp dụng công thức.

A B = (1 - 2; - 2 - 3; 4 + 1) = (- 1; - 5; 5)

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = 3 - 5 t z = - 1 + 5 t (t \in R)

Δ : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 1}{5}

Vậy $Δ : x = 2 - t, y = 3 - 5 t, z = - 1 + 5 t$ ; $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 1}{5}$ .

2Cách 2. Điểm

B

, vectơ

B A

Định hướng. Dùng $B A = (1; 5; - 5)$ cho ít dấu trừ ở mẫu.

Δ : x = 1 + s, y = - 2 + 5 s, z = 4 - 5 s

Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 4}{- 5}

s = 1

(2; 3; - 1) = A

Vậy $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 4}{- 5}$ (cùng đường thẳng với Cách 1).

3Cách 3. Tổ hợp hai điểm

Định hướng. $M \in A B \Leftrightarrow O M = (1 - t) O A + t O B$ .

x = 2 (1 - t) + 1 \cdot t = 2 - t

y = 3 (1 - t) - 2 t = 3 - 5 t

z = - (1 - t) + 4 t = - 1 + 5 t

Vậy $Δ : x = 2 - t, y = 3 - 5 t, z = - 1 + 5 t$ , chính tắc $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 1}{5}$ .

Nhận xét. Với cách viết này, $0 \leq t \leq 1$ cho đúng đoạn $A B$ ; $t = \frac{1}{2}$ cho trung điểm $(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2 nếu muốn mẫu số dương hơn); luôn thử lại bằng cách thay điểm còn lại vào phương trình.

Đáp số.

Δ : x = 2 - t, y = 3 - 5 t, z = - 1 + 5 t

(

t \in R

);

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 1}{5}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

A B

thành

(1; - 2; 4) - (2; 3; - 1) = (- 1; - 5; 3)

do trừ sai dấu ở toạ độ thứ ba:

4 - (- 1) = 5

chứ không phải

3

🚀 Mở rộng. Tìm giao điểm của

Δ

với

(O x y)

z = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{5}

, điểm

(\frac{9}{5}; 2; 0)

— điểm này nằm giữa

A, B

vì

0 < \frac{1}{5} < 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 5.14★★Trang 48— Hai đường thẳng cắt nhau và mặt phẳng chứa chúng

Bài 5.14 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

Δ_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 - t z = 2 + 3 t

và

Δ_{2} : \frac{x - 8}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{2}

.
a) Chứng minh rằng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

Δ_{1}

và

Δ_{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.
Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau có vectơ pháp tuyến $n = [u_{1}, u_{2}]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cắt nhau: vectơ chỉ phương không cùng phương và tích hỗn tạp bằng

0

(hoặc hệ có nghiệm duy nhất). Mặt phẳng chứa hai đường cắt nhau nhận

[u_{1}, u_{2}]

làm pháp tuyến — vectơ này đã tính sẵn ở ý a).

1Cách 1. Tích có hướng và tích hỗn tạp

Định hướng. Tính $n = [u_{1}, u_{2}]$ rồi xét $A_{1} A_{2} \cdot n$ ; dùng lại $n$ cho ý b).

A_{1} (1; 3; 2)

u_{1} = (2; - 1; 3)

;

A_{2} (8; - 2; 2)

u_{2} = (- 1; 1; 2)

n = [u_{1}, u_{2}] = ((- 1) \cdot 2 - 3 \cdot 1; 3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2; 2 \cdot 1 - (- 1) (- 1)) = (- 5; - 7; 1) \neq = 0

A_{1} A_{2} = (7; - 5; 0)

A_{1} A_{2} \cdot n = - 35 + 35 + 0 = 0

(P) : - 5 (x - 1) - 7 (y - 3) + (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 7 y - z - 24 = 0

Vậy a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ ; b) $(P) : 5 x + 7 y - z - 24 = 0$ .

2Cách 2. Giải hệ tìm giao điểm

Định hướng. Tìm $(t; s)$ để hai điểm trùng nhau; có giao điểm $I$ thì mặt phẳng qua $I$ .

Δ_{2} : x = 8 - s, y = - 2 + s, z = 2 + 2 s

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 t = 8 - s 3 - t = - 2 + s 2 + 3 t = 2 + 2 s

s = 5 - t \Rightarrow 1 + 2 t = 3 + t \Rightarrow t = 2, s = 3

;

2 + 6 = 2 + 6

✓

I (5; 1; 8)

(P) : 5 (x - 5) + 7 (y - 1) - (z - 8) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 7 y - z - 24 = 0

Vậy hai đường cắt nhau tại $I (5; 1; 8)$ và $(P) : 5 x + 7 y - z - 24 = 0$ .

3Cách 3. Mặt phẳng qua ba điểm

Định hướng. Lấy ba điểm không thẳng hàng trên hai đường ( $A_{1}, A_{2}$ và một điểm nữa của $Δ_{1}$ ), lập mặt phẳng rồi kiểm tra.

A_{1} (1; 3; 2)

B_{1} (3; 2; 5) \in Δ_{1}

(

t = 1

A_{2} (8; - 2; 2)

a x + b y + cz + d = 0

qua ba điểm:

⎩ ⎨ ⎧ a + 3 b + 2 c + d = 0 3 a + 2 b + 5 c + d = 0 8 a - 2 b + 2 c + d = 0

2 a - b + 3 c = 0, 7 a - 5 b = 0

;

a = 5 \Rightarrow b = 7, c = - 1, d = - 24

(P) : 5 x + 7 y - z - 24 = 0

; kiểm tra

u_{2} \cdot (5; 7; - 1) = - 5 + 7 - 2 = 0

Vậy $(P) : 5 x + 7 y - z - 24 = 0$ chứa cả $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

Nhận xét. Kiểm tra cuối cùng ( $u_{2} ⊥ n$ ) là bắt buộc: ba điểm luôn nằm trên một mặt phẳng, nhưng $Δ_{2}$ chỉ nằm trong đó khi vectơ chỉ phương của nó vuông góc với $n$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: vectơ

[u_{1}, u_{2}]

tính một lần dùng cho cả hai ý.

Đáp số. a)

Δ_{1}

cắt

Δ_{2}

(tại

I (5; 1; 8)

); b)

(P) : 5 x + 7 y - z - 24 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc điểm của

Δ_{2}

thành

(- 8; 2; - 2)

(sai dấu) hoặc vectơ chỉ phương

(1; 1; 2)

(quên mẫu

- 1

) — khi đó tích hỗn tạp khác

0

và kết luận sai thành “chéo nhau”.

🚀 Mở rộng. Tìm đường phân giác của góc tạo bởi

Δ_{1}, Δ_{2}

tại

I

: vectơ chỉ phương

\frac{u _{1}}{∣ u _{1} ∣} \pm \frac{u _{2}}{∣ u _{2} ∣}

với

∣ u_{1} ∣ = 14

∣ u_{2} ∣ = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 5.15★★Trang 48— Hai đường thẳng song song và mặt phẳng chứa chúng

Bài 5.15 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

Δ_{1} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}

và

Δ_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z}{2}

.
a) Chứng minh rằng

Δ_{1}

và

Δ_{2}

song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

Δ_{1}

và

Δ_{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song ( $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , cùng vectơ chỉ phương $u$ ) có pháp tuyến $[u, A_{1} A_{2}]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sách in phân số thứ hai của

Δ_{2}

là

\frac{x + 1}{1}

— lỗi in, đúng phải là

\frac{y + 1}{1}

(nếu không thì “phương trình” không xác định đường thẳng). Với

Δ_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}

, hai mẫu số trùng nhau nên hai đường cùng phương; mặt phẳng chứa hai đường song song dùng pháp tuyến

[u, A_{1} A_{2}]

chứ không dùng

[u_{1}, u_{2}]

(bằng

0

1Cách 1. Cùng phương, một điểm không thuộc; pháp tuyến

[u, A_{1} A_{2}]

Định hướng. Kiểm tra song song, rồi lập mặt phẳng từ $u$ và $A_{1} A_{2}$ .

u_{1} = u_{2} = u = (3; 1; 2)

;

A_{1} (1; 3; 2)

A_{2} (1; - 1; 0)

A_{1} \in Δ_{2}

\frac{1 - 1}{3} = 0 \neq = \frac{3 + 1}{1} = 4

\Rightarrow A_{1} \in / Δ_{2}

\Rightarrow Δ_{1} ∥ Δ_{2}

A_{1} A_{2} = (0; - 4; - 2)

[u, A_{1} A_{2}] = (1 \cdot (- 2) - 2 \cdot (- 4); 2 \cdot 0 - 3 \cdot (- 2); 3 \cdot (- 4) - 1 \cdot 0) = (6; 6; - 12) = 6 (1; 1; - 2)

(P) : (x - 1) + (y - 3) - 2 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 z = 0

Vậy a) $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ ; b) $(P) : x + y - 2 z = 0$ .

2Cách 2. Giải hệ; mặt phẳng qua ba điểm

Định hướng. Hệ tìm điểm chung vô nghiệm và vectơ chỉ phương bằng nhau cho song song; lấy ba điểm $A_{1}, B_{1} \in Δ_{1}$ , $A_{2} \in Δ_{2}$ lập mặt phẳng.

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 3 t = 1 + 3 s 3 + t = - 1 + s 2 + 2 t = 2 s \Rightarrow {s = t s = t + 4

: vô nghiệm

B_{1} (4; 4; 4) \in Δ_{1}

(

t = 1

)

x + y - 2 z

: tại

A_{1}

1 + 3 - 4 = 0

; tại

B_{1}

4 + 4 - 8 = 0

; tại

A_{2}

1 - 1 - 0 = 0

Vậy $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ và mặt phẳng qua $A_{1}, B_{1}, A_{2}$ là $(P) : x + y - 2 z = 0$ .

3Cách 3. Nhận ra hệ thức chung

Định hướng. Mọi điểm của hai đường đều thoả một phương trình bậc nhất — tìm nó bằng cách khử tham số.

Δ_{1} : x = 1 + 3 t, y = 3 + t, z = 2 + 2 t

\Rightarrow

x + y = 4 + 4 t = 2 z

Δ_{2} : x = 1 + 3 s, y = - 1 + s, z = 2 s

\Rightarrow

x + y = 4 s = 2 z

cả hai đường nằm trong

x + y - 2 z = 0

Vậy $(P) : x + y - 2 z = 0$ (mặt phẳng này đi qua gốc toạ độ).

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao hai đường song song: trong mặt phẳng $x + y - 2 z = 0$ , chúng là hai đường cùng phương đi qua hai điểm khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nếu nhìn ra được hệ thức chung như Cách 3 thì kiểm tra rất nhanh.

Đáp số. a)

Δ_{1} ∥ Δ_{2}

(với

Δ_{2}

đã sửa lỗi in:

\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}

); b)

(P) : x + y - 2 z = 0

Sai lầm thường gặp. Lỗi in của sách:

Δ_{2}

in là

\frac{x - 1}{3} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z}{2}

, đúng là

\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}

. Sai lầm thường gặp ở ý b) là dùng

n = [u_{1}, u_{2}]

như bài hai đường cắt nhau — với hai đường song song vectơ này bằng

0

, không làm pháp tuyến được.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách giữa hai đường song song:

d = \frac{[ u , A _{1} A _{2} ]}{∣ u ∣} = \frac{6 6}{14} = \frac{6 21}{7}

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · 5.16★★Trang 48— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 5.16 (trang 48). Trong không gian

O x y z

, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Δ_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 1 z = 3 + 2 t

và

Δ_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 s y = 2 + s z = 1 + 3 s .

Kiến thức cần nhớ

Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.

🧠 Phân tích tư duy

u_{1} = (1; 0; 2)

u_{2} = (2; 1; 3)

không tỉ lệ (toạ độ thứ hai

0

và

1

) nên chỉ còn cắt hoặc chéo. Phương trình

y = 1

của

Δ_{1}

rất gọn: thay vào

Δ_{2}

tìm ngay

s

1Cách 1. Giải hệ

Định hướng. Dùng phương trình $y$ để tìm $s$ trước.

⎩ ⎨ ⎧ - 1 + t = - 1 + 2 s 1 = 2 + s 3 + 2 t = 1 + 3 s

s = - 1 \Rightarrow t = 2 s = - 2

3 + 2 (- 2) = - 1 \neq = 1 + 3 (- 1) = - 2

Vậy hệ vô nghiệm, $u_{1}, u_{2}$ không cùng phương: $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

2Cách 2. Tích hỗn tạp

Định hướng. Tính $[u_{1}, u_{2}]$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}]$ .

A_{1} (- 1; 1; 3)

A_{2} (- 1; 2; 1)

A_{1} A_{2} = (0; 1; - 2)

[u_{1}, u_{2}] = (0 \cdot 3 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3; 1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = (- 2; 1; 1)

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0 + 1 - 2 = - 1 \neq = 0

Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

3Cách 3. Mặt phẳng chứa

Δ_{1}

song song với

Δ_{2}

Định hướng. $(Q)$ qua $A_{1}$ , pháp tuyến $(- 2; 1; 1)$ chứa $Δ_{1}$ và song song $Δ_{2}$ ; kiểm tra $A_{2}$ .

(Q) : - 2 (x + 1) + (y - 1) + (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y - z + 6 = 0

A_{2} (- 1; 2; 1)

- 2 - 2 - 1 + 6 = 1 \neq = 0

d (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{1}{4 + 1 + 1} = \frac{1}{6}

Vậy $A_{2} \in / (Q)$ nên hai đường chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là $\frac{1}{6}$ .

Nhận xét. Ba cách cùng một bản chất đại số nhưng Cách 1 nhanh nhất ở bài này nhờ phương trình $y = 1$ của $Δ_{1}$ không chứa tham số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phương trình

y

cho ngay

s = - 1

, chỉ còn một phép thử.

Đáp số.

Δ_{1}

và

Δ_{2}

chéo nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc vectơ chỉ phương của

Δ_{1}

là

(1; 1; 2)

vì thấy dòng

y = 1

— dòng này không chứa

t

nên toạ độ thứ hai của

u_{1}

bằng

0

🚀 Mở rộng. Thay

Δ_{1}

bởi

x = - 1 + t, y = 1, z = m + 2 t

: hai đường cắt nhau khi

m - 4 = - 2

, tức

m = 2

, giao điểm

(- 3; 1; - 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · 5.17★★Trang 49— Vuông góc và chéo nhau trong bài toán nút giao

Bài 5.17 (trang 49). Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian

O x y z

, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{3}

và

Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}

.
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Kiến thức cần nhớ

$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .
Với $Δ_{1}$ qua $A_{1}$ , vectơ chỉ phương $u_{1}$ ; $Δ_{2}$ qua $A_{2}$ , vectơ chỉ phương $u_{2}$ : song song $\Leftrightarrow$ $u_{1}, u_{2}$ cùng phương và $A_{1} \in / Δ_{2}$ ; trùng $\Leftrightarrow$ cùng phương và $A_{1} \in Δ_{2}$ ; cắt nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ ; chéo nhau $\Leftrightarrow A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .
Xét hệ $x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s$ , $y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s$ , $z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s$ : nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ cắt nhau; vô số nghiệm $\Leftrightarrow$ trùng nhau; vô nghiệm thì song song (nếu $u_{1}, u_{2}$ cùng phương) hoặc chéo nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ cần tích vô hướng hai vectơ chỉ phương. Câu b): nút giao khác mức nghĩa là hai con đường không có điểm chung (một đường vượt trên đường kia) — trong mô hình là hai đường thẳng chéo nhau.

1Cách 1. Tích vô hướng và tích hỗn tạp

Định hướng. $u_{1} \cdot u_{2}$ cho câu a); $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}]$ cho câu b).

A_{1} (1; 0; - 1)

u_{1} = (2; - 1; 3)

;

A_{2} (3; - 1; 0)

u_{2} = (- 1; 1; 1)

u_{1} \cdot u_{2} = - 2 - 1 + 3 = 0

[u_{1}, u_{2}] = ((- 1) \cdot 1 - 3 \cdot 1; 3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1; 2 \cdot 1 - (- 1) (- 1)) = (- 4; - 5; 1)

A_{1} A_{2} = (2; - 1; 1)

A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = - 8 + 5 + 1 = - 2 \neq = 0

Vậy a) hai con đường vuông góc; b) hai đường chéo nhau nên đây là nút giao thông khác mức.

2Cách 2. Giải hệ tìm điểm chung

Định hướng. Hai con đường giao cùng mức khi có điểm chung.

Δ_{1} : (1 + 2 t; - t; - 1 + 3 t)

Δ_{2} : (3 - s; - 1 + s; s)

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 t = 3 - s - t = - 1 + s - 1 + 3 t = s

s = 1 - t \Rightarrow 1 + 2 t = 2 + t \Rightarrow t = 1, s = 0

;

- 1 + 3 = 2 \neq = 0

Vậy a) $u_{1} \cdot u_{2} = 0$ nên vuông góc; b) hệ vô nghiệm, không có điểm chung: nút giao khác mức.

3Cách 3. Khoảng cách giữa hai đường

Định hướng. Khác mức khi khoảng cách giữa hai đường dương.

d (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{A _{1} A _{2} \cdot [ u _{1} , u _{2} ]}{[ u _{1} , u _{2} ]} = \frac{2}{16 + 25 + 1} = \frac{2}{42} > 0

cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣} = 0

Vậy hai con đường vuông góc và cách nhau $\frac{2}{42}$ đơn vị: nút giao khác mức.

Nhận xét. Hai con đường vuông góc và chéo nhau — đúng hình ảnh cầu vượt trong Hình 5.31.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đã tính

u_{1}, u_{2}

thì tích vô hướng và tích hỗn tạp chỉ là hai dòng.

Đáp số. a) Có, hai con đường vuông góc (

u_{1} \cdot u_{2} = 0

). b) Có, hai đường thẳng chéo nhau nên là nút giao thông khác mức.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nghĩ “vuông góc thì phải cắt nhau” nên trả lời b) là “không”. Hai đường thẳng trong không gian có thể vừa vuông góc vừa chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu thiết kế lại

Δ_{2}

qua

A_{2}^{'} (3; - 1; 2)

(giữ nguyên phương) thì hệ có nghiệm

t = 1, s = 0

, hai đường cắt nhau tại

(3; - 1; 2)

— nút giao cùng mức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · 5.18★★★Trang 49— Điểm thuộc quỹ đạo chuyển động thẳng đều trong khoảng thời gian cho trước

Bài 5.18 (trang 49). Trong không gian

O x y z

, một viên đạn được bắn ra từ điểm

A (1; 3; 4)

và trong

3

giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là

v = (2; 1; 6)

. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm

M (7; \frac{7}{2}; 21)

.
b) Mục tiêu đặt tại điểm

N (- 3; 1; - 8)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).
Chuyển động thẳng đều: vị trí sau $t$ giây là $A + t v$ , $t$ chỉ nhận giá trị trong khoảng thời gian chuyển động.

🧠 Phân tích tư duy

t

giây (

0 \leq t \leq 3

) đầu đạn ở

A + t v

. Trúng mục tiêu khi có MỘT giá trị

t \in [0; 3]

làm cả ba toạ độ khớp. Hai bẫy: ba phương trình cho ba giá trị

t

khác nhau (mục tiêu không nằm trên đường bay), hoặc cùng một

t

nhưng

t < 0

(mục tiêu nằm phía sau nòng súng).

1Cách 1. Phương trình tham số với

t \in [0; 3]

Định hướng. Đường bay: $x = 1 + 2 t, y = 3 + t, z = 4 + 6 t$ , $0 \leq t \leq 3$ ; giải từng toạ độ.

1 + 2 t = 7 \Rightarrow t = 3

;

3 + t = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{1}{2}

;

4 + 6 t = 21 \Rightarrow t = \frac{17}{6}

ba giá trị khác nhau

\Rightarrow M

không thuộc đường bay
b)

1 + 2 t = - 3, 3 + t = 1, 4 + 6 t = - 8 \Rightarrow t = - 2

(cả ba)

- 2 \in / [0; 3]

Vậy a) không trúng $M$ ; b) không trúng $N$ ( $N$ nằm trên đường thẳng chứa đường bay nhưng ở phía ngược lại, ứng với $t = - 2$ ).

2Cách 2. Vectơ cùng hướng

Định hướng. Trúng mục tiêu $T$ khi $A T = t v$ với $0 \leq t \leq 3$ .

A M = (6; \frac{1}{2}; 17)

;

\frac{6}{2} = 3 \neq = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}

: không cùng phương

v

A N = (- 4; - 2; - 12) = - 2 v

- 2 < 0

A N

ngược hướng

v

Vậy viên đạn không trúng mục tiêu nào trong hai tình huống.

3Cách 3. So sánh quãng đường

Định hướng. Trong $3$ giây đạn đi được $3∣ v ∣$ ; kiểm tra thêm hướng và độ dài.

∣ v ∣ = 4 + 1 + 36 = 41

, quãng bay tối đa

341

[A M, v] = (\frac{1}{2} \cdot 6 - 17 \cdot 1; 17 \cdot 2 - 6 \cdot 6; 6 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 2) = (- 14; - 2; 5) \neq = 0

A N \cdot v = - 8 - 2 - 72 = - 82 < 0

Vậy a) $M$ không nằm trên đường bay; b) $N$ ở phía sau điểm bắn — đạn không trúng cả hai mục tiêu.

Nhận xét. Với mục tiêu $M$ , hoành độ khớp đúng lúc $t = 3$ nhưng tung độ và cao độ không khớp — nếu chỉ thử hoành độ sẽ kết luận nhầm là trúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép so tỉ số (câu a) và một phép nhận ra

A N = - 2 v

(câu b) là đủ.

Đáp số. a) Không trúng (

M

không nằm trên đường bay). b) Không trúng (

N

ứng với

t = - 2 < 0

, nằm ngược hướng bắn).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu b) là thấy ba phương trình cho cùng

t = - 2

liền kết luận “trúng”. Thời gian bay phải thuộc

[0; 3]

;

t = - 2

nghĩa là

N

ở phía sau điểm bắn.

🚀 Mở rộng. Mục tiêu

P (7; 6; 22)

ứng với

t = 3

ở cả ba toạ độ, nằm ở cuối quãng bay nên bị trúng; mọi mục tiêu

A + t v

với

3 < t

thì đạn không tới được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · 5.19★★★Trang 49— Lập hệ toạ độ cho bài toán thực tế rồi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Bài 5.19 (trang 49). Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao

6

m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí

O

trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột

3

m về hướng

S 6 0^{\circ} E

(hướng tạo với hướng nam góc

6 0^{\circ}

và tạo với hướng đông góc

3 0^{\circ}

) (H.5.32). Chọn hệ trục

O x y z

có gốc toạ độ là

O

, tia

O x

chỉ hướng nam, tia

O y

chỉ hướng đông, tia

O z

chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Kiến thức cần nhớ

Điểm trên $(O x y)$ cách $O$ một khoảng $r$ , tạo với $O x$ góc $φ$ (về phía $O y$ ): $(r cos φ; r sin φ; 0)$ .
Đường thẳng qua hai điểm $A, A^{'}$ có vectơ chỉ phương $A A^{'}$ .
Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ có phương trình tham số $x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ ( $t \in R$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Tia nắng đi qua đỉnh cột

A

và bóng

A^{'}

của đỉnh cột, nên chỉ cần toạ độ hai điểm này.

A = (0; 0; 6)

ngay;

A^{'}

nằm trên mặt đất cách

O

3

m theo hướng lệch

6 0^{\circ}

khỏi hướng nam (

O x

) về phía đông (

O y

), nên

A^{'} = (3 cos 6 0^{\circ}; 3 sin 6 0^{\circ}; 0)

. Bẫy: nhầm vai trò hai góc

6 0^{\circ}

3 0^{\circ}

1Cách 1. Toạ độ bằng lượng giác, đường thẳng qua hai điểm

Định hướng. Tìm $A, A^{'}$ , vectơ chỉ phương $A A^{'}$ rồi rút gọn.

A (0; 0; 6)

A^{'} (3 cos 6 0^{\circ}; 3 sin 6 0^{\circ}; 0) = (\frac{3}{2}; \frac{3 3}{2}; 0)

A A^{'} = (\frac{3}{2}; \frac{3 3}{2}; - 6) = \frac{3}{2} (1; 3; - 4)

A A^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 3 t z = 6 - 4 t (t \in R)

A A^{'} : \frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 6}{- 4}

Vậy tia nắng nằm trên đường thẳng $x = t, y = 3 t, z = 6 - 4 t$ , hay $\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 6}{- 4}$ .

2Cách 2. Dùng góc với hướng đông

Định hướng. $A^{'}$ tạo với hướng đông ( $O y$ ) góc $3 0^{\circ}$ : tung độ $3 cos 3 0^{\circ}$ , hoành độ $3 sin 3 0^{\circ}$ .

x_{A^{'}} = 3 sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

y_{A^{'}} = 3 cos 3 0^{\circ} = \frac{3 3}{2}

A^{'} (\frac{3}{2}; \frac{3 3}{2}; 0)

A^{'} A = (- \frac{3}{2}; - \frac{3 3}{2}; 6)

đường thẳng qua

A^{'}

x = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} s, y = \frac{3 3}{2} - \frac{3 3}{2} s, z = 6 s

Vậy $s = 1$ cho $A$ , $s = 0$ cho $A^{'}$ ; đây vẫn là đường thẳng $\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 6}{- 4}$ .

3Cách 3. Tam giác đồng dạng theo độ cao

Định hướng. Mọi điểm trên tia nắng ở độ cao $z$ có hình chiếu cách $O$ một khoảng tỉ lệ với $6 - z$ (tỉ số $3 : 6$ ), cùng hướng với $O A^{'}$ .

hình chiếu cách

O

\frac{3}{6} (6 - z) = \frac{6 - z}{2}

x = \frac{6 - z}{2} cos 6 0^{\circ} = \frac{6 - z}{4}

y = \frac{6 - z}{2} sin 6 0^{\circ} = \frac{3 ( 6 - z )}{4}

x = \frac{y}{3} = \frac{6 - z}{4}

Vậy $\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 6}{- 4}$ .

Nhận xét. Tia nắng tạo với mặt đất góc $α$ có $tan α = \frac{6}{3} = 2$ , $α \approx 63, 4^{\circ}$ — độ cao của Mặt Trời lúc đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi hướng

S 6 0^{\circ} E

ra toạ độ bằng

cos, sin

rồi áp dụng đường thẳng qua hai điểm.

Đáp số.

x = t, y = 3 t, z = 6 - 4 t

(

t \in R

), hay

\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 6}{- 4}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đổi chỗ

sin, cos

, được

A^{'} (\frac{3 3}{2}; \frac{3}{2}; 0)

— đó là hướng

S 3 0^{\circ} E

. Hướng

S 6 0^{\circ} E

lệch khỏi hướng nam

6 0^{\circ}

nên gần hướng đông hơn: tung độ (đông) lớn hơn hoành độ (nam).

🚀 Mở rộng. Cùng thời điểm, bóng đỉnh của một cột cao

h

đặt tại

(a; b; 0)

là

(a + \frac{h}{4}; b + \frac{3 h}{4}; 0)

— các tia nắng song song nên dùng chung vectơ chỉ phương

(1; 3; - 4)

Mở bài này trong app ↗