Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.15★Trang 31— Góc giữa hai đường thẳng

Bài 5.15 (trang 31). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa hai đường thẳng:

Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{2}

và

Δ^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 t y = - 1 + t z = 3 + t

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Định lí côsin: $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .
$[a, b] = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin (a, b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

u = (1; - 1; 2)

ở mẫu số và

u^{'} = (2; 1; 1)

ở hệ số của

t

. Hai vectơ có cùng độ dài

6

nên côsin chỉ còn là tích vô hướng chia

6

1Cách 1. Công thức góc giữa hai đường thẳng

Định hướng. Áp dụng trực tiếp với $u = (1; - 1; 2)$ , $u^{'} = (2; 1; 1)$ .

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{∣1 \cdot 2 + ( - 1 ) \cdot 1 + 2 \cdot 1∣}{1 + 1 + 4 \cdot 4 + 1 + 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy $(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí côsin

Định hướng. Tam giác dựng trên hai vectơ $u, u^{'}$ có hai cạnh $6$ ; tính cạnh thứ ba $∣ u - u^{'} ∣$ .

∣ u - u^{'} ∣^{2} = ∣ (- 1; - 2; 1) ∣^{2} = 6

cos (u, u^{'}) = \frac{6 + 6 - 6}{2 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{1}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy tam giác dựng trên hai vectơ là tam giác đều, góc giữa hai đường thẳng bằng $6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích có hướng

Định hướng. $sin (Δ, Δ^{'}) = \frac{[ u , u ^{'} ]}{∣ u ∣ \cdot ∣ u ^{'} ∣}$ , góc giữa hai đường thẳng không tù.

[u, u^{'}] = ((- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1; 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2) = (- 3; 3; 3)

sin (Δ, Δ^{'}) = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy $(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy lí do góc 'đẹp': ba vectơ $u, u^{'}, u - u^{'}$ cùng độ dài $6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tích vô hướng bằng

3

, hai độ dài cùng

6

, ra ngay

cos = \frac{1}{2}

Đáp số.

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{1}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là ở Cách 3 kết luận góc có thể là

12 0^{\circ}

vì

sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

; góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

nên chỉ nhận

6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để đường thẳng có vectơ chỉ phương

(2; 1; m)

tạo với

Δ

góc

6 0^{\circ}

: giải

\frac{∣1 + 2 m ∣}{6 \cdot 5 + m ^{2}} = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.16★★Trang 32— Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 5.16 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa đường thẳng

Δ : \frac{x + 3}{- 2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{2}

và mặt phẳng

(P) : x + 2 y - 2 z + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Nếu $Δ^{'} ⊥ (P)$ thì $(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})$ ; góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng luôn thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Nếu đường thẳng $Δ$ cắt $(P)$ tại $I$ và $M \in Δ$ , $M \neq = I$ thì $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

u = (- 2; 1; 2)

n = (1; 2; - 2)

, cả hai có độ dài

3

; dùng công thức SIN. Kiểm chéo bằng giao điểm

I = Δ \cap (P)

và khoảng cách từ

M (- 3; - 1; 1) \in Δ

tới

(P)

1Cách 1. Công thức sin

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

sin (Δ, (P)) = \frac{∣ ( - 2 ) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 2 ) ∣}{4 + 1 + 4 \cdot 1 + 4 + 4} = \frac{4}{9}

(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc phụ với đường pháp tuyến

Định hướng. Tính góc giữa $Δ$ và giá $Δ^{'}$ của $n$ rồi lấy phần phụ.

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{4}{9}

(Δ, Δ^{'}) \approx 63, 6^{\circ}

(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'}) \approx 26, 4^{\circ}

Vậy góc giữa $Δ$ và $(P)$ khoảng $26, 4^{\circ}$ .

3Cách 3. Giao điểm và khoảng cách

Định hướng. Tìm $I = Δ \cap (P)$ và dùng $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ với $M (- 3; - 1; 1)$ .

Δ : x = - 3 - 2 t, y = - 1 + t, z = 1 + 2 t

(- 3 - 2 t) + 2 (- 1 + t) - 2 (1 + 2 t) + 3 = 0 \Leftrightarrow - 4 - 4 t = 0 \Leftrightarrow t = - 1

I (- 1; - 2; - 1), I M = ∣ t ∣ \cdot ∣ u ∣ = 3

d (M, (P)) = \frac{∣ - 3 - 2 - 2 + 3∣}{3} = \frac{4}{3}

sin (Δ, (P)) = \frac{4}{3} : 3 = \frac{4}{9}

(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}$ .

Nhận xét. Vì $∣ u ∣ = ∣ n ∣ = 3$ , mẫu số của công thức là $9$ — bài được chọn số để tính nhẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tử bằng

4

, mẫu bằng

9

, bấm

sin^{- 1}

một lần.

Đáp số.

sin (Δ, (P)) = \frac{4}{9}

(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là bấm

cos^{- 1} \frac{4}{9} \approx 63, 6^{\circ}

— đó là góc giữa

Δ

và pháp tuyến. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng SIN.

🚀 Mở rộng. Tìm hình chiếu vuông góc của

M

lên

(P)

H = M - \frac{- 4}{9} n = (- \frac{23}{9}; - \frac{1}{9}; \frac{1}{9})

; kiểm lại

sin M I H = \frac{M H}{I M} = \frac{4}{9}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.17★★Trang 32— Góc giữa hai mặt phẳng

Bài 5.17 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa hai mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

và

(Q) : x + y - z = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Giao tuyến của $(P), (Q)$ có vectơ chỉ phương $d = [n, n^{'}]$ ; vectơ $[n, d]$ nằm trong phương của $(P)$ và vuông góc với giao tuyến.
$[n, n^{'}] = ∣ n ∣ \cdot ∣ n^{'} ∣ \cdot sin (n, n^{'})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc hai pháp tuyến

n = (2; - 1; 2)

n^{'} = (1; 1; - 1)

và dùng công thức côsin. Có thể kiểm bằng hai vectơ nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, hoặc bằng tích có hướng của hai pháp tuyến.

1Cách 1. Công thức côsin

Định hướng. Áp dụng trực tiếp với $n = (2; - 1; 2)$ , $n^{'} = (1; 1; - 1)$ .

cos ((P), (Q)) = \frac{∣2 \cdot 1 + ( - 1 ) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1 ) ∣}{4 + 1 + 4 \cdot 1 + 1 + 1} = \frac{1}{3 3} = \frac{3}{9}

((P), (Q)) \approx 78, 9^{\circ}

Vậy $((P), (Q)) \approx 78, 9^{\circ}$ .

2Cách 2. Hai vectơ vuông góc với giao tuyến

Định hướng. Trong mỗi mặt phẳng lấy vectơ vuông góc với giao tuyến; góc (không tù) giữa hai vectơ đó là góc cần tìm.

d = [n, n^{'}] = ((- 1) (- 1) - 2 \cdot 1; 2 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1); 2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1) = (- 1; 4; 3)

a = [n, d] = ((- 1) \cdot 3 - 2 \cdot 4; 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 3; 2 \cdot 4 - (- 1) (- 1)) = (- 11; - 8; 7)

b = [n^{'}, d] = (1 \cdot 3 - (- 1) \cdot 4; (- 1) (- 1) - 1 \cdot 3; 1 \cdot 4 - 1 \cdot (- 1)) = (7; - 2; 5)

cos (a, b) = \frac{∣ - 77 + 16 + 35∣}{234 \cdot 78} = \frac{26}{78 3} = \frac{3}{9}

((P), (Q)) \approx 78, 9^{\circ}

Vậy góc giữa hai mặt phẳng khoảng $78, 9^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích có hướng của hai pháp tuyến

Định hướng. $sin ((P), (Q)) = \frac{[ n , n ^{'} ]}{∣ n ∣ \cdot ∣ n ^{'} ∣}$ .

[n, n^{'}] = ∣ (- 1; 4; 3) ∣ = 26

sin ((P), (Q)) = \frac{26}{3 3}

cos^{2} ((P), (Q)) = 1 - \frac{26}{27} = \frac{1}{27}

((P), (Q)) \approx 78, 9^{\circ}

Vậy $((P), (Q)) \approx 78, 9^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 2 là định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng qua góc phẳng nhị diện; Cách 1 là công thức rút gọn của nó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tích vô hướng chỉ bằng

- 1

, kết quả

cos = \frac{3}{9}

ra ngay.

Đáp số.

cos ((P), (Q)) = \frac{3}{9}

, góc giữa hai mặt phẳng khoảng

78, 9^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là giữ dấu âm:

cos = - \frac{3}{9}

rồi được

101, 1^{\circ}

; góc giữa hai mặt phẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

nên phải lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

(Q_{m}) : x + y + m z = 0

vuông góc với

(P)

2 - 1 + 2 m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.18★★Trang 32— Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng toạ độ và trục toạ độ

Bài 5.18 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = 2 + 3 t z = - 3 + t

a) Tính góc giữa đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(O x y)

.
b) Tính góc giữa đường thẳng

Δ

và trục

O y

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .

🧠 Phân tích tư duy

u = (0; 3; 1)

có thành phần

x

bằng

0

nên

Δ

nằm trong mặt phẳng

x = 1

song song với

(O y z)

: mọi góc chỉ còn là bài toán phẳng trong

(O y z)

. Ý a) dùng công thức SIN với

k

, ý b) dùng công thức CÔSIN với

j

1Cách 1. Hai công thức góc

Định hướng. Ý a) dùng $u$ và $k$ (pháp tuyến của $(O x y)$ ); ý b) dùng $u$ và $j$ .

u = (0; 3; 1), ∣ u ∣ = 2

sin (Δ, (O x y)) = \frac{∣0 + 0 + 1∣}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow (Δ, (O x y)) = 3 0^{\circ}

cos (Δ, O y) = \frac{∣0 + 3 + 0∣}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \Rightarrow (Δ, O y) = 3 0^{\circ}

Vậy a) $(Δ, (O x y)) = 3 0^{\circ}$ ; b) $(Δ, O y) = 3 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Hình chiếu và tam giác vuông

Định hướng. Hình chiếu của $u$ lên $(O x y)$ là $(0; 3; 0)$ , cùng phương $O y$ ; tam giác vuông tạo bởi $u$ , hình chiếu và thành phần $(0; 0; 1)$ cho cả hai góc.

u = (0; 3; 0) + (0; 0; 1)

tan θ = \frac{1}{3} \Rightarrow θ = 3 0^{\circ}

(Δ, (O x y)) = θ = 3 0^{\circ}

b) hình chiếu cùng phương với

O y

nên

(Δ, O y) = θ = 3 0^{\circ}

Vậy cả hai góc đều bằng $3 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Góc với trục

O z

rồi lấy góc phụ

Định hướng. $u ⊥ i$ nên $Δ$ song song với $(O y z)$ ; trong mặt phẳng đó, góc với $O y$ và góc với $O z$ phụ nhau, còn góc với $(O x y)$ phụ với góc với $O z$ .

cos (Δ, O z) = \frac{1}{2} \Rightarrow (Δ, O z) = 6 0^{\circ}

(Δ, (O x y)) = 9 0^{\circ} - (Δ, O z) = 3 0^{\circ}

(Δ, O y) = 9 0^{\circ} - (Δ, O z) = 3 0^{\circ}

Vậy $(Δ, (O x y)) = (Δ, O y) = 3 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai góc bằng nhau không phải trùng hợp: khi $Δ$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(O x y)$ và chứa phương $O y$ , góc với $(O x y)$ chính là góc với $O y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

∣ u ∣ = 2

nên cả hai tỉ số

\frac{1}{2}

và

\frac{3}{2}

đều là giá trị đặc biệt, không cần máy tính.

Đáp số. a)

(Δ, (O x y)) = 3 0^{\circ}

. b)

(Δ, O y) = 3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở ý a) là dùng côsin với

k

cos = \frac{1}{2}

6 0^{\circ}

— đó là góc với trục

O z

, không phải với mặt phẳng

(O x y)

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

u = (0; b; c)

thì

(Δ, (O x y)) = (Δ, O y)

và

tan

của góc đó bằng

\frac{c}{b}

; thử với

u = (0; 1; 1)

được

4 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.19★★Trang 32— Phương trình đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng (thực tiễn)

Bài 5.19 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, đường băng của một sân bay thuộc trục

O y

. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm

A (0; 2; 0)

với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc

v = (1; 4; 1)

. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ nhận $v = (a; b; c)$ làm vectơ chỉ phương: $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ ( $ab c \neq = 0$ ).
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc không đổi nên quỹ đạo là đường thẳng qua

A

với vectơ chỉ phương

v

. Đề chỉ cho đường băng là trục

O y

, nên 'góc cất cánh' được hiểu là góc giữa quỹ đạo và đường băng — tức góc giữa hai đường thẳng với

j = (0; 1; 0)

(cách hiểu này khớp cả hai nguồn đối chiếu).

1Cách 1. Phương trình chính tắc và công thức côsin

Định hướng. Viết đường thẳng qua $A$ chỉ phương $v$ , rồi tính góc với trục $O y$ .

d : \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{1}

cos (d, O y) = \frac{∣1 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0∣}{1 + 16 + 1 \cdot 1} = \frac{4}{18} = \frac{2 2}{3}

(d, O y) \approx 19, 5^{\circ}

Vậy máy bay chuyển động trên $d : \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{1}$ , góc cất cánh khoảng $19, 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Tam giác vuông sau một đơn vị thời gian

Định hướng. Sau một đơn vị thời gian máy bay tới $M = A + v$ ; hạ $M K ⊥ O y$ , tam giác $A K M$ vuông tại $K$ .

d : x = t, y = 2 + 4 t, z = t (t \in R)

M (1; 6; 1), K (0; 6; 0)

A K = 4, A M = 1 + 16 + 1 = 32

cos M A K = \frac{A K}{A M} = \frac{4}{3 2} = \frac{2 2}{3}

M A K \approx 19, 5^{\circ}

Vậy quỹ đạo là $x = t, y = 2 + 4 t, z = t$ và góc cất cánh khoảng $19, 5^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích có hướng cho sin

Định hướng. $sin (d, O y) = \frac{[ v , j ]}{∣ v ∣ \cdot ∣ j ∣}$ .

[v, j] = (4 \cdot 0 - 1 \cdot 1; 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0; 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0) = (- 1; 0; 1)

sin (d, O y) = \frac{2}{18} = \frac{1}{3}

(d, O y) \approx 19, 5^{\circ}

Vậy góc giữa quỹ đạo và đường băng khoảng $19, 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Nếu coi mặt đất là mặt phẳng $(O x y)$ thì góc nâng thật của máy bay so với mặt đất là $sin^{- 1} \frac{1}{18} \approx 13, 6^{\circ}$ — nhỏ hơn, vì một phần lệch $19, 5^{\circ}$ là do máy bay rẽ ngang theo phương $O x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết ngay phương trình chính tắc, tử số côsin chỉ là thành phần

4

của

v

Đáp số.

d : \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{1}

;

cos (d, O y) = \frac{2 2}{3}

, góc cất cánh (góc với đường băng) khoảng

19, 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết đường thẳng qua gốc

O

thay vì qua

A

\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}

— đường này không đi qua điểm cất cánh

A (0; 2; 0)

. Cũng hay nhầm dùng sin với

j

(coi

O y

như mặt phẳng), ra

70, 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Góc nâng so với mặt đất

(O x y)

sin = \frac{∣ v \cdot k ∣}{∣ v ∣} = \frac{1}{3 2}

, khoảng

13, 6^{\circ}

; muốn góc nâng đạt

1 5^{\circ}

với

v = (1; 4; c)

thì cần

\frac{c}{17 + c ^{2}} = sin 1 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.20★★★Trang 32— Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng (thực tiễn)

Bài 5.20 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:

Δ_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}

và

Δ_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{4}

.
a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

$Δ_{1}$ qua $A$ chỉ phương $u_{1}$ , $Δ_{2}$ qua $B$ chỉ phương $u_{2}$ : chéo nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \cdot A B \neq = 0$ .
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d = \frac{[ u _{1} , u _{2} ] \cdot A B}{[ u _{1} , u _{2} ]}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nút giao khác mức nghĩa là hai con đường không cắt nhau (một đường đi trên, một đường đi dưới) — trong toán học là hai đường thẳng CHÉO NHAU. Kiểm tra bằng tích hỗn tạp

[u_{1}, u_{2}] \cdot A B \neq = 0

, hoặc giải hệ giao điểm vô nghiệm. Góc giữa hai con đường là góc giữa hai đường thẳng, không phụ thuộc chúng chéo hay cắt.

1Cách 1. Tích hỗn tạp và công thức côsin

Định hướng. $A (2; - 1; 0) \in Δ_{1}$ , $u_{1} = (1; 2; 1)$ ; $B (- 1; 2; - 1) \in Δ_{2}$ , $u_{2} = (3; 1; 4)$ .

[u_{1}, u_{2}] = (2 \cdot 4 - 1 \cdot 1; 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4; 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = (7; - 1; - 5)

A B = (- 3; 3; - 1)

[u_{1}, u_{2}] \cdot A B = - 21 - 3 + 5 = - 19 \neq = 0

cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4∣}{1 + 4 + 1 \cdot 9 + 1 + 16} = \frac{9}{156}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 43, 9^{\circ}

Vậy a) $Δ_{1}, Δ_{2}$ chéo nhau nên đây là nút giao thông khác mức; b) hai con đường tạo với nhau góc khoảng $43, 9^{\circ}$ .

2Cách 2. Giải hệ tìm giao điểm, định lí côsin

Định hướng. Viết hai đường dạng tham số, giải hệ tìm điểm chung; tính góc bằng định lí côsin trong tam giác dựng trên $u_{1}, u_{2}$ .

⎩ ⎨ ⎧ 2 + s = - 1 + 3 r - 1 + 2 s = 2 + r s = - 1 + 4 r

Phương trình 1 và 3:

2 + (- 1 + 4 r) = - 1 + 3 r \Leftrightarrow r = - 2, s = - 9

Phương trình 2:

- 1 + 2 \cdot (- 9) = - 19 \neq = 2 + (- 2) = 0

(vô nghiệm)

u_{1} = (1; 2; 1)

u_{2} = (3; 1; 4)

không cùng phương
b)

∣ u_{1} - u_{2} ∣^{2} = ∣ (- 2; 1; - 3) ∣^{2} = 14

cos (u_{1}, u_{2}) = \frac{6 + 26 - 14}{2 6 \cdot 26} = \frac{9}{156}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 43, 9^{\circ}

Vậy hai đường không song song, không cắt nhau (chéo nhau) — nút giao khác mức; góc giữa hai con đường khoảng $43, 9^{\circ}$ .

3Cách 3. Mặt phẳng chứa

Δ_{1}

song song

Δ_{2}

, tích có hướng cho sin

Định hướng. Lập mặt phẳng $(Q)$ chứa $Δ_{1}$ và song song $Δ_{2}$ ; nếu $B \in / (Q)$ thì hai đường chéo nhau. Góc tính qua $[u_{1}, u_{2}]$ .

(Q) : 7 (x - 2) - (y + 1) - 5 z = 0 \Leftrightarrow 7 x - y - 5 z - 15 = 0

B (- 1; 2; - 1)

- 7 - 2 + 5 - 15 = - 19 \neq = 0 \Rightarrow B \in / (Q)

d (Δ_{1}, Δ_{2}) = d (B, (Q)) = \frac{19}{75} = \frac{19 3}{15} \approx 2, 19

sin (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{[ u _{1} , u _{2} ]}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣} = \frac{75}{156}

cos^{2} (Δ_{1}, Δ_{2}) = 1 - \frac{75}{156} = \frac{81}{156}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 43, 9^{\circ}

Vậy nút giao là khác mức (hai đường cách nhau khoảng $2, 19$ đơn vị) và góc giữa hai con đường khoảng $43, 9^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm khoảng cách giữa hai con đường — ý nghĩa thực tế là độ chênh cần có giữa hai tầng của nút giao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một tích có hướng dùng cho ý a), một công thức côsin cho ý b), không phải giải hệ.

Đáp số. a) Có:

[u_{1}, u_{2}] \cdot A B = - 19 \neq = 0

nên

Δ_{1}, Δ_{2}

chéo nhau, nút giao thông khác mức. b)

cos = \frac{9}{156} = \frac{3 39}{26}

, góc khoảng

43, 9^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ kiểm tra

u_{1}, u_{2}

không cùng phương rồi kết luận 'hai đường cắt nhau'; không cùng phương chỉ loại trường hợp song song, còn phải kiểm tra thêm cắt hay chéo. Một số tài liệu chép tích có hướng thành

(7; - 1; 5)

— sai dấu thành phần thứ ba, đúng là

(7; - 1; - 5)

🚀 Mở rộng. Nếu dời

Δ_{1}

thành đường qua

A^{'} (2; - 1; a)

cùng chỉ phương, tìm

a

để hai đường cắt nhau (nút giao cùng mức):

[u_{1}, u_{2}] \cdot A^{'} B = - 19 + 5 a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{19}{5}

Mở bài này trong app ↗