Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập2 #trang31–32 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.15★Trang 31— Góc giữa hai đường thẳng

Bài 5.15 (trang 31). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa hai đường thẳng:

Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{2}

và

Δ^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 t y = - 1 + t z = 3 + t

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Định lí côsin: $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .
$[a, b] = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin (a, b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

u = (1; - 1; 2)

ở mẫu số và

u^{'} = (2; 1; 1)

ở hệ số của

t

. Hai vectơ có cùng độ dài

6

nên côsin chỉ còn là tích vô hướng chia

6

1Cách 1. Công thức góc giữa hai đường thẳng

Định hướng. Áp dụng trực tiếp với $u = (1; - 1; 2)$ , $u^{'} = (2; 1; 1)$ .

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{∣1 \cdot 2 + ( - 1 ) \cdot 1 + 2 \cdot 1∣}{1 + 1 + 4 \cdot 4 + 1 + 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy $(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí côsin

Định hướng. Tam giác dựng trên hai vectơ $u, u^{'}$ có hai cạnh $6$ ; tính cạnh thứ ba $∣ u - u^{'} ∣$ .

∣ u - u^{'} ∣^{2} = ∣ (- 1; - 2; 1) ∣^{2} = 6

cos (u, u^{'}) = \frac{6 + 6 - 6}{2 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{1}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy tam giác dựng trên hai vectơ là tam giác đều, góc giữa hai đường thẳng bằng $6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích có hướng

Định hướng. $sin (Δ, Δ^{'}) = \frac{[ u , u ^{'} ]}{∣ u ∣ \cdot ∣ u ^{'} ∣}$ , góc giữa hai đường thẳng không tù.

[u, u^{'}] = ((- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1; 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2) = (- 3; 3; 3)

sin (Δ, Δ^{'}) = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy $(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy lí do góc 'đẹp': ba vectơ $u, u^{'}, u - u^{'}$ cùng độ dài $6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tích vô hướng bằng

3

, hai độ dài cùng

6

, ra ngay

cos = \frac{1}{2}

Đáp số.

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{1}{2}

(Δ, Δ^{'}) = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là ở Cách 3 kết luận góc có thể là

12 0^{\circ}

vì

sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

; góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

nên chỉ nhận

6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để đường thẳng có vectơ chỉ phương

(2; 1; m)

tạo với

Δ

góc

6 0^{\circ}

: giải

\frac{∣1 + 2 m ∣}{6 \cdot 5 + m ^{2}} = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.16★★Trang 32— Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 5.16 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa đường thẳng

Δ : \frac{x + 3}{- 2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{2}

và mặt phẳng

(P) : x + 2 y - 2 z + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Nếu $Δ^{'} ⊥ (P)$ thì $(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})$ ; góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng luôn thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Nếu đường thẳng $Δ$ cắt $(P)$ tại $I$ và $M \in Δ$ , $M \neq = I$ thì $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

u = (- 2; 1; 2)

n = (1; 2; - 2)

, cả hai có độ dài

3

; dùng công thức SIN. Kiểm chéo bằng giao điểm

I = Δ \cap (P)

và khoảng cách từ

M (- 3; - 1; 1) \in Δ

tới

(P)

1Cách 1. Công thức sin

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

sin (Δ, (P)) = \frac{∣ ( - 2 ) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 2 ) ∣}{4 + 1 + 4 \cdot 1 + 4 + 4} = \frac{4}{9}

(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc phụ với đường pháp tuyến

Định hướng. Tính góc giữa $Δ$ và giá $Δ^{'}$ của $n$ rồi lấy phần phụ.

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{4}{9}

(Δ, Δ^{'}) \approx 63, 6^{\circ}

(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'}) \approx 26, 4^{\circ}

Vậy góc giữa $Δ$ và $(P)$ khoảng $26, 4^{\circ}$ .

3Cách 3. Giao điểm và khoảng cách

Định hướng. Tìm $I = Δ \cap (P)$ và dùng $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ với $M (- 3; - 1; 1)$ .

Δ : x = - 3 - 2 t, y = - 1 + t, z = 1 + 2 t

(- 3 - 2 t) + 2 (- 1 + t) - 2 (1 + 2 t) + 3 = 0 \Leftrightarrow - 4 - 4 t = 0 \Leftrightarrow t = - 1

I (- 1; - 2; - 1), I M = ∣ t ∣ \cdot ∣ u ∣ = 3

d (M, (P)) = \frac{∣ - 3 - 2 - 2 + 3∣}{3} = \frac{4}{3}

sin (Δ, (P)) = \frac{4}{3} : 3 = \frac{4}{9}

(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}$ .

Nhận xét. Vì $∣ u ∣ = ∣ n ∣ = 3$ , mẫu số của công thức là $9$ — bài được chọn số để tính nhẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tử bằng

4

, mẫu bằng

9

, bấm

sin^{- 1}

một lần.

Đáp số.

sin (Δ, (P)) = \frac{4}{9}

(Δ, (P)) \approx 26, 4^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là bấm

cos^{- 1} \frac{4}{9} \approx 63, 6^{\circ}

— đó là góc giữa

Δ

và pháp tuyến. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng SIN.

🚀 Mở rộng. Tìm hình chiếu vuông góc của

M

lên

(P)

H = M - \frac{- 4}{9} n = (- \frac{23}{9}; - \frac{1}{9}; \frac{1}{9})

; kiểm lại

sin M I H = \frac{M H}{I M} = \frac{4}{9}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.17★★Trang 32— Góc giữa hai mặt phẳng

Bài 5.17 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa hai mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

và

(Q) : x + y - z = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Giao tuyến của $(P), (Q)$ có vectơ chỉ phương $d = [n, n^{'}]$ ; vectơ $[n, d]$ nằm trong phương của $(P)$ và vuông góc với giao tuyến.
$[n, n^{'}] = ∣ n ∣ \cdot ∣ n^{'} ∣ \cdot sin (n, n^{'})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.18★★Trang 32— Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng toạ độ và trục toạ độ

Bài 5.18 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = 2 + 3 t z = - 3 + t

a) Tính góc giữa đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(O x y)

.
b) Tính góc giữa đường thẳng

Δ

và trục

O y

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.19★★Trang 32— Phương trình đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng (thực tiễn)

Bài 5.19 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, đường băng của một sân bay thuộc trục

O y

. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm

A (0; 2; 0)

với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc

v = (1; 4; 1)

. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ nhận $v = (a; b; c)$ làm vectơ chỉ phương: $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ ( $ab c \neq = 0$ ).
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.20★★★Trang 32— Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng (thực tiễn)

Bài 5.20 (trang 32). Trong không gian

O x y z

, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:

Δ_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}

và

Δ_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{4}

.
a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

$Δ_{1}$ qua $A$ chỉ phương $u_{1}$ , $Δ_{2}$ qua $B$ chỉ phương $u_{2}$ : chéo nhau $\Leftrightarrow [u_{1}, u_{2}] \cdot A B \neq = 0$ .
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d = \frac{[ u _{1} , u _{2} ] \cdot A B}{[ u _{1} , u _{2} ]}$ .