Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 50— Góc giữa hai mặt phẳng trong bài toán thực tiễn

Mở đầu (trang 50). Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là

7

6

5

m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài

4

m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Vectơ $[a, b]$ vuông góc với cả $a$ và $b$ nên là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa giá của hai vectơ không cùng phương đó.
Hình chiếu vuông góc của đa giác diện tích $S$ lên mặt phẳng tạo với nó góc $φ$ có diện tích $S^{'} = S cos φ$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mái nhà là mặt phẳng đi qua ba đỉnh cột

A^{'}, B^{'}, C^{'}

, sàn nhà là mặt phẳng chứa ba chân cột — câu hỏi chính là góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

và

(A B C)

. Đặt hệ trục như H.5.33 (

O

là trung điểm

A C

B

trên

O x

) thì sàn là

(O x y)

và mọi toạ độ đều gọn. Bẫy: độ cao cột là cao độ

z

của đỉnh cột, còn toạ độ chân cột phải tính từ tam giác đều cạnh

4

1Cách 1. Toạ độ hoá, vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng

Định hướng. Tìm toạ độ ba đỉnh cột, lấy $[A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}]$ làm vectơ pháp tuyến của mái rồi so với $k$ của sàn $(O x y)$ .

O B = \frac{4 3}{2} = 23

A (0; - 2; 0), B (23; 0; 0), C (0; 2; 0)

A^{'} (0; - 2; 7), B^{'} (23; 0; 6), C^{'} (0; 2; 5)

A^{'} B^{'} = (23; 2; - 1), A^{'} C^{'} = (0; 4; - 2)

[A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}] = (2 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 4; (- 1) \cdot 0 - 23 \cdot (- 2); 23 \cdot 4 - 2 \cdot 0) = (0; 43; 83)

n = (0; 1; 2), k = (0; 0; 1)

cos φ = \frac{∣0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1∣}{0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2} \cdot 0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{5}

φ \approx 26, 6^{\circ}

Vậy mái nhà nghiêng với mặt sàn một góc $φ \approx 26, 6^{\circ}$ .

2Cách 2. Đường dốc nhất của mái nhà

Định hướng. Tìm trên mái một đường nằm ngang; đường trên mái vuông góc với nó là đường dốc nhất và góc của nó với sàn chính là góc nghiêng của mái.

O^{'} = A^{'} C^{'} \cap O O^{'}

(

O O^{'} ∥ A A^{'}

O O^{'} = \frac{A A ^{'} + C C ^{'}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6 = B B^{'}

B^{'} O^{'} ∥ B O, B O ⊥ A C, B O ⊥ A A^{'} \Rightarrow B O ⊥ (A C C^{'} A^{'}) \Rightarrow B^{'} O^{'} ⊥ A^{'} C^{'}

tan φ = \frac{A A ^{'} - C C ^{'}}{A C} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}

φ \approx 26, 6^{\circ}

Vậy góc nghiêng của mái nhà so với sàn là $φ \approx 26, 6^{\circ}$ .

3Cách 3. Tỉ số diện tích hình chiếu

Định hướng. Tam giác sàn $A B C$ là hình chiếu vuông góc của tam giác mái $A^{'} B^{'} C^{'}$ lên sàn, nên $cos φ = \frac{S _{A B C}}{S _{A^{'} B^{'} C^{'}}}$ .

S_{A B C} = \frac{4 ^{2} 3}{4} = 43

S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} [A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}] = \frac{1}{2} 0^{2} + 48 + 192 = \frac{1}{2} 240 = 215

cos φ = \frac{4 3}{2 15} = \frac{2}{5}

φ \approx 26, 6^{\circ}

Vậy mái nhà nghiêng khoảng $26, 6^{\circ}$ so với mặt sàn.

Nhận xét. Cách 2 không cần toạ độ: chỉ dùng hiệu độ cao hai cột $A, C$ và khoảng cách $A C = 4$ , vì cột giữa $B$ cao đúng bằng trung bình của hai cột kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng công thức của bài học, áp dụng được cho mọi độ cao cột. Khi thấy một cột cao bằng trung bình hai cột kia thì Cách 2 cho đáp số chỉ sau một dòng.

Đáp số.

cos φ = \frac{2}{5}

, mái nhà nghiêng với mặt sàn khoảng

26, 6^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính được

cos φ = \frac{2}{5}

rồi lại dùng nó cho góc giữa đường dốc

A^{'} C^{'}

và sàn, hoặc ngược lại dùng côsin cho góc giữa

A^{'} C^{'}

và sàn:

cos = \frac{∣ A ^{'} C ^{'} \cdot k ∣}{∣ A ^{'} C ^{'} ∣} = \frac{1}{5}

cho

63, 4^{\circ}

— sai, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng phải dùng SIN, đáp số đúng vẫn là

26, 6^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu ba cột cao

a, b, c

(cột

B

ở giữa) thì mái nhà có vectơ pháp tuyến

(\frac{a + c - 2 b}{3}; a - c; 4)

; thử kiểm lại với

a = 7, b = 6, c = 5

để được

(0; 2; 4)

cùng phương với

(0; 1; 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 50— Xây dựng công thức góc giữa hai đường thẳng

HĐ1 (trang 50). Tìm mối quan hệ của góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương. Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

tương ứng có các vectơ chỉ phương

u = (a; b; c)

u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})

(H.5.34).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc

(Δ, Δ^{'})

và

(u, u^{'})

.
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa

cos (Δ, Δ^{'})

và

cos (u, u^{'})

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ ; nếu $u$ là vectơ chỉ phương thì $- u$ cũng là vectơ chỉ phương của cùng đường thẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

, còn góc giữa hai vectơ thuộc

[0^{\circ}; 18 0^{\circ}]

— đây là chỗ khác nhau duy nhất. Vì vậy phải chia theo

(u, u^{'})

nhọn hay tù (H.5.34a và H.5.34b), rồi thấy trị tuyệt đối của côsin gộp được cả hai trường hợp.

1Cách 1. Xét hai trường hợp của góc giữa hai vectơ

Định hướng. Chia theo $(u, u^{'})$ không vượt quá $9 0^{\circ}$ hay lớn hơn $9 0^{\circ}$ .

0^{\circ} \leq (u, u^{'}) \leq 9 0^{\circ} \Rightarrow (Δ, Δ^{'}) = (u, u^{'})

9 0^{\circ} < (u, u^{'}) \leq 18 0^{\circ} \Rightarrow (Δ, Δ^{'}) = 18 0^{\circ} - (u, u^{'})

cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) \geq 0

hoặc

cos (Δ, Δ^{'}) = cos (18 0^{\circ} - (u, u^{'})) = - cos (u, u^{'}) > 0

cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}

Vậy $(Δ, Δ^{'})$ bằng $(u, u^{'})$ hoặc bằng $18 0^{\circ} - (u, u^{'})$ , và luôn có $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'})$ .

2Cách 2. Đổi hướng vectơ chỉ phương

Định hướng. $u^{'}$ và $- u^{'}$ cùng là vectơ chỉ phương của $Δ^{'}$ ; một trong hai góc $(u, u^{'})$ , $(u, - u^{'})$ không tù và đó chính là $(Δ, Δ^{'})$ .

(u, - u^{'}) = 18 0^{\circ} - (u, u^{'})

(Δ, Δ^{'}) = min {(u, u^{'}); (u, - u^{'})}

cos (u, - u^{'}) = - cos (u, u^{'})

cos (Δ, Δ^{'}) = max {cos (u, u^{'}); - cos (u, u^{'})} = cos (u, u^{'})

Vậy góc giữa hai đường thẳng là góc không tù trong hai góc $(u, u^{'})$ và $18 0^{\circ} - (u, u^{'})$ ; do đó $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'})$ .

Nhận xét. Trị tuyệt đối ở tử số $∣ a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} ∣$ chính là dấu vết của việc được phép đổi hướng vectơ chỉ phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên nhớ theo Cách 2: đổi hướng vectơ chỉ phương làm góc tù thành góc nhọn, nên côsin chỉ cần lấy trị tuyệt đối.

Đáp số. a)

(Δ, Δ^{'}) = (u, u^{'})

nếu

(u, u^{'}) \leq 9 0^{\circ}

;

(Δ, Δ^{'}) = 18 0^{\circ} - (u, u^{'})

nếu

(u, u^{'}) > 9 0^{\circ}

. b)

cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là bỏ dấu trị tuyệt đối, viết

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'}}{∣ u ∣ \cdot ∣ u ^{'} ∣}

. Với

u = (1; 0; 0)

u^{'} = (- 1; 1; 0)

ta được

cos = - \frac{2}{2}

, tức góc

13 5^{\circ}

— vô lí vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Từ công thức suy ra ngay:

Δ ⊥ Δ^{'} \Leftrightarrow a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} = 0

; thử áp dụng để tìm

m

sao cho

u = (1; m; 2)

và

u^{'} = (m; 1; - 1)

là chỉ phương của hai đường vuông góc (

m = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 51— Góc giữa trục toạ độ và đường thẳng

Luyện tập 1 (trang 51). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa trục

O z

và đường thẳng

Δ : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 2}

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trục

O z

có vectơ chỉ phương

k = (0; 0; 1)

, đường thẳng

Δ

đọc ngay vectơ chỉ phương từ mẫu số

u = (1; 2; - 2)

— áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng. Vì

k

chỉ có một thành phần khác

0

nên tử số chỉ còn

∣ c ∣

1Cách 1. Công thức góc giữa hai đường thẳng

Định hướng. Dùng $k = (0; 0; 1)$ và $u = (1; 2; - 2)$ .

cos (O z, Δ) = \frac{∣0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 2 ) ∣}{0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} \cdot 1 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{2}{3}

(O z, Δ) \approx 48, 2^{\circ}

Vậy $(O z, Δ) \approx 48, 2^{\circ}$ .

2Cách 2. Côsin chỉ phương

Định hướng. Côsin góc giữa đường thẳng và trục $O z$ bằng trị tuyệt đối thành phần thứ ba của vectơ chỉ phương đơn vị.

∣ u ∣ = 1 + 4 + 4 = 3

\frac{u}{∣ u ∣} = (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; - \frac{2}{3})

cos (O z, Δ) = - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

(O z, Δ) \approx 48, 2^{\circ}

Vậy góc giữa trục $O z$ và $Δ$ khoảng $48, 2^{\circ}$ .

3Cách 3. Tam giác vuông dựng từ hai điểm của

Δ

Định hướng. Lấy $M, N \in Δ$ và hạ $N K$ vuông góc với đường thẳng qua $M$ song song $O z$ ; góc cần tìm là $N M K$ .

M (3; - 1; 1), N (4; 1; - 1)

K (3; - 1; - 1), K N = (1; 2; 0) ⊥ k

M K = ∣1 - (- 1) ∣ = 2, M N = 1^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2} = 3

cos N M K = \frac{M K}{M N} = \frac{2}{3}

(O z, Δ) \approx 48, 2^{\circ}

Vậy $(O z, Δ) \approx 48, 2^{\circ}$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về tỉ số $\frac{∣ c ∣}{∣ u ∣}$ — với trục toạ độ, công thức góc chỉ còn một thành phần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần

∣ u ∣ = 3

là đọc được

cos = \frac{2}{3}

, gần như tính nhẩm.

Đáp số.

cos (O z, Δ) = \frac{2}{3}

(O z, Δ) \approx 48, 2^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là giữ dấu âm:

cos = - \frac{2}{3}

rồi ra góc

131, 8^{\circ}

. Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

nên phải lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

u = (a; b; c)

thì

cos^{2} (O x, Δ) + cos^{2} (O y, Δ) + cos^{2} (O z, Δ) = 1

; kiểm tra với bài này:

\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 51— Xây dựng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ2 (trang 51). Tìm mối quan hệ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến tương ứng. Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(P)

. Xét

u = (a; b; c)

là một vectơ chỉ phương của

Δ

và

n = (A; B; C)

(với giá

Δ^{'}

) là một vectơ pháp tuyến của

(P)

(H.5.35).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc

(Δ, (P))

và

(Δ, Δ^{'})

.
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa

sin (Δ, Δ^{'})

và

cos (u, n)

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Nếu $Δ^{'} ⊥ (P)$ thì $(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})$ ; góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng luôn thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Δ^{'}

là giá của vectơ pháp tuyến nên

Δ^{'} ⊥ (P)

; góc giữa

Δ

và

(P)

đo với hình chiếu nằm TRONG mặt phẳng, còn góc với

Δ^{'}

đo với đường VUÔNG GÓC mặt phẳng — hai góc này bù nhau thành

9 0^{\circ}

. Ý b) trong sách in

sin (Δ, Δ^{'})

; theo mạch bài (và khung công thức ngay sau) thì đại lượng bằng

cos (u, n)

là

sin (Δ, (P)) = cos (Δ, Δ^{'})

, lời giải trình bày cả hai.

1Cách 1. Tam giác vuông tạo bởi hình chiếu

Định hướng. Khi $Δ$ cắt $(P)$ tại $I$ , lấy $M \in Δ$ , hạ $M H ⊥ (P)$ : tam giác $I M H$ vuông tại $H$ , cạnh $M H$ song song với $Δ^{'}$ .

(Δ, (P)) = M I H, (Δ, Δ^{'}) = (I M, M H) = I M H

M I H + I M H = 9 0^{\circ}

Δ ⊥ (P)

(Δ, (P)) = 9 0^{\circ}, (Δ, Δ^{'}) = 0^{\circ}

;

Δ ∥ (P)

hoặc

Δ \subset (P)

(Δ, (P)) = 0^{\circ}, (Δ, Δ^{'}) = 9 0^{\circ}

(Δ, (P)) + (Δ, Δ^{'}) = 9 0^{\circ}

sin (Δ, (P)) = cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, n)

sin (Δ, Δ^{'}) = cos (Δ, (P)) = 1 - cos^{2} (u, n)

Vậy $(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})$ và $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

2Cách 2. Phân tích vectơ chỉ phương theo phương pháp tuyến

Định hướng. Viết $u$ thành tổng của một vectơ cùng phương $n$ và một vectơ vuông góc với $n$ ; độ dài vectơ cùng phương $n$ chia $∣ u ∣$ chính là sin của góc với mặt phẳng.

u = u_{1} + u_{2}, u_{1} = \frac{u \cdot n}{∣ n ∣ ^{2}} n, u_{2} ⊥ n

∣ u_{1} ∣ = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ n ∣}

sin (Δ, (P)) = \frac{∣ u _{1} ∣}{∣ u ∣} = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ n ∣} = cos (u, n) = cos (Δ, Δ^{'})

(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})

Vậy hai góc $(Δ, (P))$ và $(Δ, Δ^{'})$ phụ nhau, và $sin (Δ, (P)) = cos (u, n)$ .

Nhận xét. Đó là lí do công thức góc đường thẳng – mặt phẳng dùng SIN còn công thức góc hai đường thẳng dùng CÔSIN: ta đo với pháp tuyến rồi lấy góc phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên nhớ theo Cách 1: hình tam giác vuông

I M H

cho thấy ngay hai góc phụ nhau, từ đó

sin (Δ, (P)) = cos (Δ, Δ^{'})

Đáp số. a)

(Δ, (P)) + (Δ, Δ^{'}) = 9 0^{\circ}

. b)

sin (Δ, (P)) = cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, n)

(còn

sin (Δ, Δ^{'}) = cos (Δ, (P))

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng nhầm

cos (Δ, (P)) = cos (u, n)

. Với

Δ ⊥ (P)

ta có

u

cùng phương

n

cos (u, n) = 1

; nếu dùng côsin sẽ ra góc

0^{\circ}

, trong khi đúng phải là

9 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Hệ quả:

Δ ∥ (P)

hoặc

Δ \subset (P)

khi và chỉ khi

a A + b B + c C = 0

; thử tìm

m

để

u = (1; m; 1)

song song với mặt phẳng

x + 2 y - 3 z = 0

(

m = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 51— Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Luyện tập 2 (trang 51). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(P)

, với:

Δ : \frac{x + 2}{- 1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 1}{1}

(P) : x - y + z - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Nếu $Δ^{'} ⊥ (P)$ thì $(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})$ ; góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng luôn thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Nếu đường thẳng $Δ$ cắt $(P)$ tại $I$ và $M \in Δ$ , $M \neq = I$ thì $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

u = (- 1; 2; 1)

từ mẫu số và

n = (1; - 1; 1)

từ hệ số của

(P)

, rồi dùng công thức SIN. Có thể kiểm chéo bằng hình học: tìm giao điểm

I

của

Δ

với

(P)

và dùng khoảng cách từ một điểm của

Δ

tới

(P)

1Cách 1. Công thức sin

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

u = (- 1; 2; 1), n = (1; - 1; 1)

sin (Δ, (P)) = \frac{∣ ( - 1 ) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1 ) + 1 \cdot 1∣}{1 + 4 + 1 \cdot 1 + 1 + 1} = \frac{2}{18} = \frac{2}{3}

(Δ, (P)) \approx 28, 1^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 28, 1^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc phụ với đường pháp tuyến

Định hướng. Gọi $Δ^{'}$ là giá của $n$ ( $Δ^{'} ⊥ (P)$ ), tính góc giữa hai đường thẳng $Δ, Δ^{'}$ rồi lấy phần phụ.

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{∣ - 1 - 2 + 1∣}{6 \cdot 3} = \frac{2}{3}

(Δ, Δ^{'}) \approx 61, 9^{\circ}

(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'}) \approx 9 0^{\circ} - 61, 9^{\circ} = 28, 1^{\circ}

Vậy góc giữa $Δ$ và $(P)$ khoảng $28, 1^{\circ}$ .

3Cách 3. Giao điểm và khoảng cách

Định hướng. Tìm giao điểm $I = Δ \cap (P)$ , lấy $M \in Δ$ ; khi đó $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

Δ : x = - 2 - t, y = 4 + 2 t, z = - 1 + t

(- 2 - t) - (4 + 2 t) + (- 1 + t) - 1 = 0 \Leftrightarrow - 8 - 2 t = 0 \Leftrightarrow t = - 4

I (2; - 4; - 5), M (- 2; 4; - 1)

d (M, (P)) = \frac{∣ - 2 - 4 - 1 - 1∣}{3} = \frac{8}{3}

I M = ∣ t ∣ \cdot ∣ u ∣ = 46

sin (Δ, (P)) = \frac{8}{3 \cdot 4 6} = \frac{2}{18} = \frac{2}{3}

(Δ, (P)) \approx 28, 1^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 28, 1^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy ý nghĩa hình học của công thức: sin là tỉ số giữa cạnh góc vuông $M H$ và cạnh huyền $I M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng công thức, chỉ cần nhớ dùng SIN chứ không phải côsin.

Đáp số.

sin (Δ, (P)) = \frac{2}{3}

(Δ, (P)) \approx 28, 1^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính xong

\frac{2}{3}

rồi bấm

cos^{- 1}

, được

61, 9^{\circ}

— đó là góc giữa

Δ

và PHÁP TUYẾN, không phải góc với mặt phẳng.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để đường thẳng

\frac{x}{- 1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{m}

tạo với

(P)

góc

3 0^{\circ}

: giải

\frac{∣ m - 3∣}{5 + m ^{2} \cdot 3} = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 52— Xây dựng công thức góc giữa hai mặt phẳng

HĐ3 (trang 52). Tìm mối quan hệ của góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(P), (Q)

tương ứng có các vectơ pháp tuyến là

n = (A; B; C)

n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})

. Lấy các đường thẳng

Δ, Δ^{'}

tương ứng có vectơ chỉ phương

n, n^{'}

(H.5.36).
a) Góc giữa hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

và góc giữa hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Δ ⊥ (P)

và

Δ^{'} ⊥ (Q)

nên góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường vuông góc với chúng. Khi đó ý b) chỉ còn là áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng (HĐ1) cho hai vectơ pháp tuyến.

1Cách 1. Mặt phẳng vuông góc với giao tuyến

Định hướng. Khi $(P), (Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$ , cắt bởi mặt phẳng $(R) ⊥ c$ : trong $(R)$ ta có hai giao tuyến $p, q$ và hai đường vuông góc với chúng (song song $Δ, Δ^{'}$ ).

(R) ⊥ c

(P) \cap (R) = p, (Q) \cap (R) = q, ((P), (Q)) = (p, q)

Δ ⊥ (P), Δ^{'} ⊥ (Q) \Rightarrow Δ ⊥ c, Δ^{'} ⊥ c

nên

Δ, Δ^{'}

song song với

(R)

(hoặc nằm trong

(R)

Δ ⊥ p, Δ^{'} ⊥ q

Trong

(R)

: hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì bằng nhau hoặc bù nhau

\Rightarrow (Δ, Δ^{'}) = (p, q)

(P) ∥ (Q)

hoặc

(P) \equiv (Q)

Δ ∥ Δ^{'}

hoặc trùng, hai góc cùng bằng

0^{\circ}

((P), (Q)) = (Δ, Δ^{'})

cos ((P), (Q)) = cos (Δ, Δ^{'}) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}

Vậy $((P), (Q)) = (Δ, Δ^{'})$ và $cos ((P), (Q)) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .

2Cách 2. Tứ giác có hai góc vuông trong H.5.36

Định hướng. Đặt $Δ, Δ^{'}$ cắt nhau tại một điểm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến như H.5.36; tứ giác tạo bởi hai vết mặt phẳng và hai đường $Δ, Δ^{'}$ có hai góc vuông.

Tứ giác

O H K L

O H K = O L K = 9 0^{\circ}

(

O \in c

H \in Δ

L \in Δ^{'}

K = Δ \cap Δ^{'}

)

H O L + H K L = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

(Δ, Δ^{'}) = (p, q) = ((P), (Q))

(hai góc bù nhau có cùng góc không tù)
b)

cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'})

Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng $Δ, Δ^{'}$ và $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'})$ .

Nhận xét. Từ đó $(P) ⊥ (Q) \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên nhớ theo Cách 2: tứ giác có hai góc vuông cho ngay hai góc bù nhau, từ đó góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai pháp tuyến.

Đáp số. a)

((P), (Q)) = (Δ, Δ^{'})

. b)

cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

((P), (Q)) = (n, n^{'})

. Với

n = (0; 0; 1)

n^{'} = (0; 1; - 1)

thì

(n, n^{'}) = 13 5^{\circ}

, còn góc giữa hai mặt phẳng là

4 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Góc giữa

(P) : x + y = 0

và

(Q) : y + z = 0

bằng

6 0^{\circ}

; thử tìm mặt phẳng qua

O z

tạo với

(O x z)

góc

3 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 52— Góc giữa hai mặt phẳng

Luyện tập 3 (trang 52). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa hai mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 2 = 0

và

(O x z) : y = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .
Nếu $M \in (P)$ , $K$ là hình chiếu của $M$ trên giao tuyến $c = (P) \cap (Q)$ thì $sin ((P), (Q)) = \frac{d ( M , ( Q ))}{M K}$ .

🧠 Phân tích tư duy

(O x z)

có vectơ pháp tuyến

j = (0; 1; 0)

nên tử số chỉ còn

∣ B ∣ = 2

. Có thể kiểm bằng hình học: lấy trong mỗi mặt phẳng một vectơ vuông góc với giao tuyến, hoặc dùng tỉ số khoảng cách.

1Cách 1. Công thức côsin

Định hướng. Dùng $n = (1; - 2; 1)$ và $j = (0; 1; 0)$ .

cos ((P), (O x z)) = \frac{∣1 \cdot 0 + ( - 2 ) \cdot 1 + 1 \cdot 0∣}{1 + 2 + 1 \cdot 1} = \frac{2}{2}

((P), (O x z)) = 4 5^{\circ}

Vậy $((P), (O x z)) = 4 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Hai vectơ vuông góc với giao tuyến

Định hướng. Giao tuyến $c$ có chỉ phương $d$ ; trong mỗi mặt phẳng lấy vectơ vuông góc với $d$ , góc giữa hai vectơ đó (lấy không tù) là góc cần tìm.

c : y = 0, x + z - 2 = 0, d = (1; 0; - 1)

Trong

(O x z)

a = (1; 0; 1) ⊥ d

Trong

(P)

b = [n, d] = ((- 2) (- 1) - 1 \cdot 0; 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1); 1 \cdot 0 - (- 2) \cdot 1) = (2; 2; 2)

cos (a, b) = \frac{2 + 0 + 2}{2 \cdot 2 + 4 + 2} = \frac{2 2}{2 \cdot 2 2} = \frac{2}{2}

((P), (O x z)) = 4 5^{\circ}

Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $4 5^{\circ}$ .

3Cách 3. Tỉ số khoảng cách

Định hướng. Lấy $M \in (P)$ , hạ $M K$ vuông góc với giao tuyến ( $M K \subset (P)$ ); $sin φ = \frac{d ( M , ( O x z ))}{M K}$ .

M (2; 2; 2) \in (P)

2 - 2 + 2 - 2 = 0

d (M, (O x z)) = ∣ y_{M} ∣ = 2

K (s; 0; 2 - s) \in c, K M \cdot d = (2 - s) - s = 0 \Leftrightarrow s = 1

K (1; 0; 1), M K = 1^{2} + (2)^{2} + 1^{2} = 2

sin φ = \frac{2}{2}

φ = 4 5^{\circ}

Vậy $((P), (O x z)) = 4 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 là định nghĩa góc nhị diện viết bằng toạ độ: $M K$ và hình chiếu của nó lên $(O x z)$ tạo thành góc phẳng của nhị diện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: pháp tuyến của mặt phẳng toạ độ là

j

nên tử số chỉ là

2

, ra ngay

4 5^{\circ}

Đáp số.

cos ((P), (O x z)) = \frac{2}{2}

, góc giữa hai mặt phẳng bằng

4 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy vectơ pháp tuyến của

(O x z)

là

(1; 0; 1)

(nhầm với 'có

x

và

z

'); mặt phẳng

(O x z)

có phương trình

y = 0

nên pháp tuyến là

j = (0; 1; 0)

🚀 Mở rộng. Góc giữa

(P)

và

(O x y)

(O y z)

cùng bằng

6 0^{\circ}

(vì

cos = \frac{1}{2}

); tổng bình phương ba côsin

\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1

— thử giải thích vì sao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng★★★Trang 53— Góc giữa hai mặt phẳng trong bài toán thực tiễn

Vận dụng (trang 53). Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu: một mái nhà được đặt trên ba cây cột trụ vuông góc với mặt sàn, cao lần lượt

7

6

5

m; ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều cạnh

4

m (H.5.33). Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sau khi đã có đủ ba công thức góc, ta giải lại tình huống mở đầu bằng CHÍNH các công thức đó: góc giữa hai mặt phẳng (mái và sàn), góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (đường dốc

A^{'} C^{'}

và sàn), góc phụ với trục

O z

. Toạ độ theo H.5.33:

A (0; - 2; 0)

B (23; 0; 0)

C (0; 2; 0)

, đỉnh cột

A^{'} (0; - 2; 7)

B^{'} (23; 0; 6)

C^{'} (0; 2; 5)

1Cách 1. Phương trình mặt phẳng mái và công thức góc giữa hai mặt phẳng

Định hướng. Viết phương trình $(A^{'} B^{'} C^{'})$ , so với sàn $(O x y) : z = 0$ .

[A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}] = [(23; 2; - 1), (0; 4; - 2)] = (0; 43; 83)

(A^{'} B^{'} C^{'}) : 0 (x - 0) + 1 (y - 2) + 2 (z - 5) = 0 \Leftrightarrow y + 2 z - 12 = 0

cos ((A^{'} B^{'} C^{'}), (O x y)) = \frac{∣0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1∣}{0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2} \cdot 1} = \frac{2}{5}

((A^{'} B^{'} C^{'}), (O x y)) \approx 26, 6^{\circ}

Vậy mái nhà nghiêng với mặt sàn khoảng $26, 6^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc giữa đường dốc

A^{'} C^{'}

và mặt sàn

Định hướng. $A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} O^{'}$ với $O^{'} (0; 0; 6)$ là giao của mái với trục $O z$ ; $B^{'} O^{'}$ nằm ngang nên $A^{'} C^{'}$ là đường dốc nhất, góc của nó với sàn là góc nghiêng của mái.

O^{'} (0; 0; 6) \in (A^{'} B^{'} C^{'})

0 + 12 - 12 = 0

O^{'} B^{'} = (23; 0; 0), A^{'} C^{'} = (0; 4; - 2), O^{'} B^{'} \cdot A^{'} C^{'} = 0

sin (A^{'} C^{'}, (O x y)) = \frac{∣0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + ( - 2 ) \cdot 1∣}{0 + 16 + 4 \cdot 1} = \frac{1}{5}

(A^{'} C^{'}, (O x y)) \approx 26, 6^{\circ}

Vậy góc nghiêng của mái bằng góc giữa $A^{'} C^{'}$ và sàn, khoảng $26, 6^{\circ}$ .

3Cách 3. Góc giữa trục

O z

và mái rồi lấy góc phụ

Định hướng. $O z$ vuông góc với sàn, nên góc giữa mái và sàn phụ với góc giữa trục $O z$ và mặt phẳng mái.

sin (O z, (A^{'} B^{'} C^{'})) = \frac{∣0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2∣}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}

(O z, (A^{'} B^{'} C^{'})) \approx 63, 4^{\circ}

((A^{'} B^{'} C^{'}), (O x y)) = 9 0^{\circ} - (O z, (A^{'} B^{'} C^{'})) \approx 9 0^{\circ} - 63, 4^{\circ} = 26, 6^{\circ}

Vậy mái nhà nghiêng khoảng $26, 6^{\circ}$ so với mặt sàn.

Nhận xét. Ba cách dùng đúng ba công thức của bài: hai mặt phẳng, đường thẳng – mặt phẳng, và quan hệ góc phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: có phương trình mái

y + 2 z - 12 = 0

là đọc được ngay

cos φ = \frac{2}{5}

Đáp số.

cos φ = \frac{2}{5}

, mái nhà nghiêng với mặt sàn khoảng

26, 6^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy góc giữa cạnh

A^{'} B^{'}

và sàn làm góc nghiêng của mái:

sin (A^{'} B^{'}, (O x y)) = \frac{1}{17}

, được khoảng

1 4^{\circ}

— sai, vì

A^{'} B^{'}

không phải đường dốc nhất (không vuông góc với đường nằm ngang

B^{'} O^{'}

của mái).

🚀 Mở rộng. Muốn mái nghiêng đúng

3 0^{\circ}

khi giữ cột

B

cao

6

m và hai cột

A, C

đối xứng quanh

6

m, thì hiệu độ cao hai cột

A, C

phải là

4 tan 3 0^{\circ} = \frac{4 3}{3} \approx 2, 31

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.20★Trang 53— Góc giữa hai đường thẳng

Bài 5.20 (trang 53). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa hai đường thẳng:

Δ_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 1 - t z = 2 + 3 t

và

Δ_{2} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , $u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ : $cos (Δ, Δ^{'}) = cos (u, u^{'}) = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$ .
Định lí côsin: $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .
$[a, b] = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot sin (a, b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Δ_{1}

cho dạng tham số, đọc

u_{1} = (2; - 1; 3)

ở hệ số của

t

;

Δ_{2}

cho dạng chính tắc, đọc

u_{2} = (- 1; 1; 2)

ở mẫu số. Sách in nhầm tử số thứ hai của

Δ_{2}

là

x + 1

(đúng phải là

y + 1

) — lỗi này không ảnh hưởng vectơ chỉ phương nên đáp số không đổi.

1Cách 1. Công thức góc giữa hai đường thẳng

Định hướng. Áp dụng trực tiếp với $u_{1} = (2; - 1; 3)$ , $u_{2} = (- 1; 1; 2)$ .

cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣2 \cdot ( - 1 ) + ( - 1 ) \cdot 1 + 3 \cdot 2∣}{4 + 1 + 9 \cdot 1 + 1 + 4} = \frac{3}{84} = \frac{21}{14}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{\circ}

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí côsin trong tam giác dựng từ hai vectơ

Định hướng. Đặt $O U = u_{1}$ , $O V = u_{2}$ , tính ba cạnh tam giác $O U V$ rồi dùng định lí côsin.

O U^{2} = 14, O V^{2} = 6, U V^{2} = ∣ u_{1} - u_{2} ∣^{2} = ∣ (3; - 2; 1) ∣^{2} = 14

cos U O V = \frac{14 + 6 - 14}{2 14 \cdot 6} = \frac{6}{2 84} = \frac{3}{84}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{\circ}

Vậy góc giữa hai đường thẳng khoảng $70, 9^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích có hướng cho sin

Định hướng. $sin (u_{1}, u_{2}) = \frac{[ u _{1} , u _{2} ]}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣}$ ; góc giữa hai đường thẳng không tù nên xác định được từ sin.

[u_{1}, u_{2}] = ((- 1) \cdot 2 - 3 \cdot 1; 3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2; 2 \cdot 1 - (- 1) (- 1)) = (- 5; - 7; 1)

sin (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{25 + 49 + 1}{14 \cdot 6} = \frac{75}{84}

cos^{2} (Δ_{1}, Δ_{2}) = 1 - \frac{75}{84} = \frac{9}{84}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{\circ}

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{\circ}$ .

Nhận xét. Tích có hướng còn cho ngay $[u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ , tức hai đường không song song — một thông tin mà công thức côsin không cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tích vô hướng và hai độ dài; Cách 3 chỉ nên dùng khi đã có sẵn tích có hướng.

Đáp số.

cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{21}{14}

(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc vectơ chỉ phương của

Δ_{2}

từ TỬ số, được

(2; - 1; 2)

. Vectơ chỉ phương nằm ở MẪU số:

(- 1; 1; 2)

. Ngoài ra, thấy tử số in nhầm

x + 1

mà vội kết luận đề sai rồi bỏ bài — thật ra lỗi in chỉ ở toạ độ điểm, không ở vectơ chỉ phương.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

Δ_{1}

vuông góc với đường thẳng có vectơ chỉ phương

(m; 1; 1)

2 m - 1 + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.21★Trang 53— Góc giữa trục toạ độ và mặt phẳng

Bài 5.21 (trang 53). Trong không gian

O x y z

, tính góc giữa trục

O z

và mặt phẳng

(P) : x + 2 y - z - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Các trục $O x, O y, O z$ có vectơ chỉ phương $i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ ; các mặt phẳng $(O y z), (O x z), (O x y)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $i, j, k$ .
Nếu đường thẳng $Δ$ cắt $(P)$ tại $I$ và $M \in Δ$ , $M \neq = I$ thì $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trục

O z

là đường thẳng có chỉ phương

k = (0; 0; 1)

, mặt phẳng có pháp tuyến

n = (1; 2; - 1)

— dùng công thức SIN. Trục

O z

cắt

(P)

tại điểm có

x = y = 0

, nên cũng làm được bằng giao điểm và khoảng cách.

1Cách 1. Công thức sin

Định hướng. Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

sin (O z, (P)) = \frac{∣0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1 ) ∣}{1 \cdot 1 + 4 + 1} = \frac{1}{6}

(O z, (P)) \approx 24, 1^{\circ}

Vậy $(O z, (P)) \approx 24, 1^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc phụ với đường pháp tuyến

Định hướng. Tính góc giữa $O z$ và giá $Δ^{'}$ của $n$ rồi lấy góc phụ.

cos (O z, Δ^{'}) = \frac{∣ - 1∣}{6} = \frac{1}{6}

(O z, Δ^{'}) \approx 65, 9^{\circ}

(O z, (P)) = 9 0^{\circ} - (O z, Δ^{'}) \approx 24, 1^{\circ}

Vậy góc giữa trục $O z$ và $(P)$ khoảng $24, 1^{\circ}$ .

3Cách 3. Giao điểm và khoảng cách

Định hướng. $O z$ cắt $(P)$ tại $I$ ; lấy $O \in O z$ , $sin (O z, (P)) = \frac{d ( O , ( P ))}{I O}$ .

x = y = 0

- z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = - 1

I (0; 0; - 1)

I O = 1, d (O, (P)) = \frac{∣ - 1∣}{6} = \frac{1}{6}

sin (O z, (P)) = \frac{1}{6}

(O z, (P)) \approx 24, 1^{\circ}

Vậy $(O z, (P)) \approx 24, 1^{\circ}$ .

Nhận xét. Với trục $O z$ , tử số chỉ là $∣ C ∣$ : $sin (O z, (P)) = \frac{∣ C ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tử số chỉ là

∣ C ∣ = 1

, mẫu là

6

— tính nhẩm được.

Đáp số.

sin (O z, (P)) = \frac{1}{6}

(O z, (P)) \approx 24, 1^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng côsin:

cos = \frac{1}{6}

cho

65, 9^{\circ}

— đó là góc giữa

O z

và pháp tuyến, không phải góc với mặt phẳng.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

O z

tạo với

(P_{m}) : x + m y - z - 1 = 0

góc

3 0^{\circ}

\frac{1}{2 + m ^{2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.22★★Trang 53— Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 5.22 (trang 53). Tính góc giữa đường thẳng

Δ : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}

và mặt phẳng

(P) : x + y + z + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa đường thẳng (vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ ) và mặt phẳng (vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ ): $sin (Δ, (P)) = cos (u, n) = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Nếu $Δ^{'} ⊥ (P)$ thì $(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'})$ ; góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng luôn thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Nếu đường thẳng $Δ$ cắt $(P)$ tại $I$ và $M \in Δ$ , $M \neq = I$ thì $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

u = (- 1; 2; 3)

n = (1; 1; 1)

, dùng công thức sin. Kiểm chéo bằng giao điểm

I = Δ \cap (P)

và khoảng cách từ điểm

M (- 1; 3; - 2) \in Δ

tới

(P)

1Cách 1. Công thức sin

Định hướng. Áp dụng trực tiếp với $u = (- 1; 2; 3)$ , $n = (1; 1; 1)$ .

sin (Δ, (P)) = \frac{∣ - 1 + 2 + 3∣}{1 + 4 + 9 \cdot 1 + 1 + 1} = \frac{4}{42}

(Δ, (P)) \approx 38, 1^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 38, 1^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc phụ với đường pháp tuyến

Định hướng. Tính góc giữa $Δ$ và giá $Δ^{'}$ của $n$ rồi lấy phần phụ.

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{4}{42}

(Δ, Δ^{'}) \approx 51, 9^{\circ}

(Δ, (P)) = 9 0^{\circ} - (Δ, Δ^{'}) \approx 38, 1^{\circ}

Vậy góc giữa $Δ$ và $(P)$ khoảng $38, 1^{\circ}$ .

3Cách 3. Giao điểm và khoảng cách

Định hướng. Tìm $I = Δ \cap (P)$ , lấy $M \in Δ$ ứng với $t = 0$ ; $sin (Δ, (P)) = \frac{d ( M , ( P ))}{I M}$ .

Δ : x = - 1 - t, y = 3 + 2 t, z = - 2 + 3 t

(- 1 - t) + (3 + 2 t) + (- 2 + 3 t) + 3 = 0 \Leftrightarrow 3 + 4 t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{4}

I (- \frac{1}{4}; \frac{3}{2}; - \frac{17}{4}), M (- 1; 3; - 2)

d (M, (P)) = \frac{∣ - 1 + 3 - 2 + 3∣}{3} = 3, I M = \frac{3}{4} 14

sin (Δ, (P)) = \frac{3}{\frac{3}{4} 14} = \frac{4 3}{3 14} = \frac{4}{42}

(Δ, (P)) \approx 38, 1^{\circ}

Vậy $(Δ, (P)) \approx 38, 1^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai cách tính cho cùng một tỉ số $\frac{4}{42}$ — xác nhận công thức sin chính là tỉ số cạnh đối trên cạnh huyền.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tính, không phải tìm giao điểm.

Đáp số.

sin (Δ, (P)) = \frac{4}{42}

(Δ, (P)) \approx 38, 1^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc vectơ chỉ phương

(1; 2; 3)

(quên dấu trừ ở mẫu

- 1

), được

sin = \frac{6}{42}

và góc

67, 8^{\circ}

— sai.

🚀 Mở rộng. Viết phương trình hình chiếu của

Δ

lên

(P)

: đi qua

I

và có chỉ phương

[n, [u, n]]

; góc giữa

Δ

và hình chiếu đó đúng bằng

38, 1^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.23★★★Trang 53— Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp đều (thực tiễn)

Bài 5.23 (trang 53). Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp

S . A B C D

, có đáy là hình vuông với cạnh dài

230

m, các cạnh bên bằng nhau và dài

219

m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S B C)

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
Trong hình chóp đều, chân đường cao trùng tâm đáy; $S O^{2} = S A^{2} - O A^{2}$ .
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm (nếu góc đó tù thì lấy góc bù).

🧠 Phân tích tư duy

Hình chóp có đáy vuông, cạnh bên bằng nhau nên là chóp đều: chân đường cao là tâm

O

của đáy. Đặt

O

làm gốc, trục theo hai đường song song cạnh đáy thì mọi đỉnh có toạ độ gọn; chỉ cần tính chiều cao

S O = 21 9^{2} - 2 \cdot 11 5^{2}

. Bẫy: hai mặt bên kề nhau tạo nhị diện TÙ, còn góc giữa hai mặt phẳng phải lấy góc không tù.

1Cách 1. Toạ độ hoá, hai vectơ pháp tuyến

Định hướng. Gốc $O$ là tâm đáy, $A (115; - 115; 0)$ , $B (115; 115; 0)$ , $C (- 115; 115; 0)$ , $S (0; 0; h)$ .

h = S O = 21 9^{2} - (1152)^{2} = 21511 = 7439

A B = (0; 230; 0), A S = (- 115; 115; h)

[A B, A S] = (230 h - 0; 0 - 0; 0 + 230 \cdot 115) = 230 (h; 0; 115)

B C = (- 230; 0; 0), B S = (- 115; - 115; h)

[B C, B S] = (0; 230 h; 230 \cdot 115) = 230 (0; h; 115)

cos ((S A B), (S B C)) = \frac{∣0 + 0 + 11 5 ^{2} ∣}{h ^{2} + 11 5 ^{2}} = \frac{13 225}{21 511 + 13 225} = \frac{13 225}{34 736} \approx 0, 381

((S A B), (S B C)) \approx 67, 6^{\circ}

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S B C)$ khoảng $67, 6^{\circ}$ .

2Cách 2. Dựng góc phẳng của nhị diện cạnh

S B

Định hướng. Kẻ $A H ⊥ S B$ ; do hai tam giác $S A B$ , $S C B$ bằng nhau nên $C H ⊥ S B$ , góc giữa $A H$ và $C H$ là góc cần tìm.

S M = 21 9^{2} - 11 5^{2} = 34736

(

M

là trung điểm

A B

)

S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot 230 \cdot 34736 = 11534736

A H = C H = \frac{2 S _{S A B}}{S B} = \frac{230 34 736}{219}, A C = 2302

cos A H C = \frac{A H ^{2} + C H ^{2} - A C ^{2}}{2 A H \cdot C H} = 1 - \frac{A C ^{2}}{2 A H ^{2}} = 1 - \frac{21 9 ^{2}}{34 736} = - \frac{13 225}{34 736}

A H C \approx 112, 4^{\circ}

((S A B), (S B C)) = 18 0^{\circ} - A H C \approx 67, 6^{\circ}

Vậy góc giữa $(S A B)$ và $(S B C)$ khoảng $67, 6^{\circ}$ (nhị diện $[A, S B, C]$ khoảng $112, 4^{\circ}$ ).

3Cách 3. Qua góc giữa mặt bên và mặt đáy

Định hướng. Gọi $α$ là góc giữa mỗi mặt bên và đáy. Pháp tuyến đơn vị của $(S A B)$ , $(S B C)$ là $sin α i + cos α k$ và $sin α j + cos α k$ , nên $cos φ = cos^{2} α$ .

cos α = \frac{O M}{S M} = \frac{115}{34 736}

cos φ = (sin α i + cos α k) \cdot (sin α j + cos α k) = cos^{2} α

cos φ = \frac{11 5 ^{2}}{34 736} = \frac{13 225}{34 736}

φ \approx 67, 6^{\circ}

Vậy $((S A B), (S B C)) \approx 67, 6^{\circ}$ .

Nhận xét. Công thức $cos φ = cos^{2} α$ đúng cho hai mặt bên kề nhau của MỌI hình chóp tứ giác đều; với kim tự tháp, $α \approx 51, 9^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt gốc ở tâm đáy thì hai tích có hướng chỉ khác nhau thứ tự thành phần, ra ngay

cos φ = \frac{11 5 ^{2}}{h ^{2} + 11 5 ^{2}}

Đáp số.

cos ((S A B), (S B C)) = \frac{13 225}{34 736}

, góc giữa hai mặt phẳng khoảng

67, 6^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là kết luận góc bằng

A H C \approx 112, 4^{\circ}

ở Cách 2. Đó là số đo góc nhị diện

[A, S B, C]

; góc giữa hai mặt phẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

nên phải lấy

18 0^{\circ} - 112, 4^{\circ} = 67, 6^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tính thêm góc giữa hai mặt bên đối diện

(S A B)

và

(S C D)

: pháp tuyến

(h; 0; 115)

và

(- h; 0; 115)

cho

cos = \frac{11 5 ^{2} - h ^{2}}{h ^{2} + 11 5 ^{2}} = \frac{8 286}{34 736}

, góc khoảng

76, 2^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.24★★★Trang 53— Toạ độ hoá bài toán thực tiễn: điểm thứ tư của hình bình hành và góc giữa hai mặt phẳng

Bài 5.24 (trang 53). (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh

1

m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành

A B C D

và khoảng cách từ các điểm

A, B, C

đến đáy bể tương ứng là

40

cm,

44

cm,

48

cm.
a) Khoảng cách từ điểm

D

đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $n = (A; B; C)$ , $n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ : $cos ((P), (Q)) = cos (n, n^{'}) = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$ .
$A B C D$ là hình bình hành $\Leftrightarrow A B = D C \Leftrightarrow$ trung điểm $A C$ trùng trung điểm $B D$ .
Mặt phẳng $z = α x + β y + γ$ có pháp tuyến $(α; β; - 1)$ nên tạo với $(O x y)$ góc $φ$ có $tan φ = α^{2} + β^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Gắn hệ trục vào CHÍNH cái bể (đáy bể là

(O x y)

, đơn vị mét): bốn đỉnh mặt nước nằm trên bốn cạnh bên nên có toạ độ

(0; 0; \cdot)

(0; 1; \cdot)

(1; 1; \cdot)

(1; 0; \cdot)

với cao độ là khoảng cách tới đáy bể. Mặt nước luôn nằm ngang, nên góc nghiêng của đáy bể so với mặt ngang chính là góc giữa đáy bể và mặt nước.

1Cách 1. Toạ độ hoá, vectơ bằng nhau và tích có hướng

Định hướng. Đáy bể là $(O x y)$ : $A (0; 0; 0, 4)$ , $B (0; 1; 0, 44)$ , $C (1; 1; 0, 48)$ , $D (1; 0; z)$ .

A B = (0; 1; 0, 04), D C = (0; 1; 0, 48 - z)

A B = D C \Leftrightarrow 0, 48 - z = 0, 04 \Leftrightarrow z = 0, 44

A D = (1; 0; 0, 04)

n = [A B, A D] = (1 \cdot 0, 04 - 0, 04 \cdot 0; 0, 04 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 04; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0, 04; 0, 04; - 1)

cos ((A B C D), (O x y)) = \frac{∣ - 1∣}{0 , 0016 + 0 , 0016 + 1} = \frac{1}{1 , 0032}

φ \approx 3, 2^{\circ}

Vậy a) $D$ cách đáy bể $44$ cm; b) đáy bể nghiêng so với mặt nằm ngang khoảng $3, 2^{\circ}$ .

2Cách 2. Trung điểm hai đường chéo và diện tích hình chiếu

Định hướng. Cao độ trung điểm hai đường chéo bằng nhau; hình chiếu của mặt nước lên đáy bể là cả hình vuông đáy, nên $cos φ = \frac{S _{day}}{S _{A B C D}}$ .

\frac{z _{A} + z _{C}}{2} = \frac{z _{B} + z _{D}}{2} \Leftrightarrow 40 + 48 = 44 + z_{D} \Leftrightarrow z_{D} = 44

(cm)
b)

S_{A B C D} = [A B, A D] = 0, 0 4^{2} + 0, 0 4^{2} + 1 = 1, 0032

S^{'} = 1 \cdot 1 = 1

cos φ = \frac{S ^{'}}{S _{A B C D}} = \frac{1}{1 , 0032}

φ \approx 3, 2^{\circ}

Vậy $D$ cách đáy $44$ cm và góc nghiêng khoảng $3, 2^{\circ}$ (đáy bể là hình chiếu vuông góc của mặt nước).

3Cách 3. Phương trình mặt nước dạng

z = α x + β y + γ

Định hướng. Tìm $α, β, γ$ từ $A, B, C$ , suy ra cao độ của $D$ và $tan φ = α^{2} + β^{2}$ .

A

γ = 0, 4

;

B

β + 0, 4 = 0, 44 \Leftrightarrow β = 0, 04

C

α + 0, 04 + 0, 4 = 0, 48 \Leftrightarrow α = 0, 04

z_{D} = 0, 04 \cdot 1 + 0, 04 \cdot 0 + 0, 4 = 0, 44

tan φ = 0, 0 4^{2} + 0, 0 4^{2} = 0, 042 \approx 0, 0566

φ \approx 3, 2^{\circ}

Vậy a) $44$ cm; b) khoảng $3, 2^{\circ}$ .

Nhận xét. Mỗi mét theo cạnh đáy, mặt nước dâng thêm $4$ cm theo cả hai phương; độ dốc tổng hợp là $42$ cm trên mỗi mét, nên góc nghiêng nhỏ, cỡ $3^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho ý a) (một dòng:

40 + 48 = 44 + z_{D}

) và Cách 3 cho ý b) (

tan φ = 0, 042

), không cần tích có hướng.

Đáp số. a)

44

cm. b)

cos φ = \frac{1}{1 , 0032}

, đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang khoảng

3, 2^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở ý a) là lấy

D

đối diện

B

theo kiểu 'trung bình ba số' (

\frac{40 + 44 + 48}{3} = 44

) — đúng số một cách tình cờ nhưng sai lập luận; với

A, B, C

cao

40, 44, 50

cm thì cách đó cho

44, 7

còn đáp số đúng là

46

cm. Ở ý b), nhiều bạn tính góc giữa mặt nước với mặt nằm ngang rồi được

0^{\circ}

— mặt nước nằm ngang, góc cần tìm là góc giữa ĐÁY BỂ và mặt nước.

🚀 Mở rộng. Nếu nghiêng thêm để

A, B, C

cách đáy

30, 40, 50

cm thì

D

cách đáy

40

cm và

tan φ = 0, 1^{2} + 0, 1^{2} = 0, 12

, góc nghiêng khoảng

8, 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗