Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 17. Phương trình mặt cầu

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.21★Trang 34— Mặt cầu đường kính AB; mặt cầu tâm O đi qua một điểm

Bài 5.21 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (2; 1; 1)

B (2; 1; 3)

.
a) Viết phương trình mặt cầu đường kính

A B

.
b) Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm là gốc toạ độ

O (0; 0; 0)

và mặt cầu

(S)

đi qua

A

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu đường kính $A B$ : tâm là trung điểm $A B$ , $R = \frac{A B}{2}$ ; $M$ thuộc mặt cầu $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ .
Mặt cầu tâm $I$ đi qua $A$ có bán kính $R = I A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho đường kính: tâm là trung điểm, bán kính bằng nửa

A B

. Câu b) cho tâm và một điểm thuộc mặt cầu: bán kính chính là

O A

. Để ý

A

B

cùng hoành độ và tung độ nên

A B

song song với

O z

, nhìn là thấy ngay tâm và bán kính.

1Cách 1. Trung điểm và nửa độ dài

Định hướng. Tìm trung điểm $I$ của $A B$ và $A B$ ; câu b) lấy $R = O A$ .

I (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 + 1}{2}; \frac{1 + 3}{2}) = (2; 1; 2)

A B = 0^{2} + 0^{2} + 2^{2} = 2 \Rightarrow R = 1

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

R = O A = 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 6

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

Vậy a) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ ; b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ .

2Cách 2. Góc nhìn đường kính là góc vuông

Định hướng. $M$ thuộc mặt cầu đường kính $A B$ $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ ; câu b) dùng dạng khai triển với $a = b = c = 0$ .

(x - 2) (x - 2) + (y - 1) (y - 1) + (z - 1) (z - 3) = 0

\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} - 4 z + 3 = 0

\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

x^{2} + y^{2} + z^{2} + d = 0

A \in (S) \Leftrightarrow 4 + 1 + 1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 6

Vậy a) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ ; b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ .

3Cách 3. Nhìn hình: AB song song với trục Oz

Định hướng. $A$ , $B$ chỉ khác cao độ nên $A B$ là đoạn thẳng đứng dài $3 - 1 = 2$ ; tâm nằm giữa, cao độ bằng trung bình cộng.

x_{A} = x_{B} = 2, y_{A} = y_{B} = 1 \Rightarrow A B ∥ O z

A B = ∣3 - 1∣ = 2

I (2; 1; 2)

R = 1

O A^{2} = 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 6

Vậy a) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ ; b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ .

Nhận xét. Mặt cầu ở câu a) tiếp xúc với hai mặt phẳng $z = 1$ và $z = 3$ tại $A$ và $B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trung điểm và độ dài là hai phép tính quen thuộc nhất; Cách 3 giúp nhẩm kiểm tra trong vài giây.

Đáp số. a)

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

. b)

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở a) là lấy

R = A B = 2

, được vế phải bằng 4: khi đó

A

không thuộc mặt cầu vì

I A^{2} = 1 \neq = 4

. Ở b) hay viết

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

(quên bình phương bán kính).

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt cầu tâm

O

tiếp xúc với mặt cầu ở câu a):

O I = 4 + 1 + 4 = 3

, nên

R = 3 - 1 = 2

(tiếp xúc trong) hoặc

R = 3 + 1 = 4

(mặt cầu chứa mặt cầu kia và tiếp xúc).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.22★★Trang 34— Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng

Bài 5.22 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

I (2; - 1; 2)

và mặt phẳng

(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0

. Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm là

I

và tiếp xúc với mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
$d (M_{0}, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc $(P)$ $\Leftrightarrow R = d (I, (P))$ ; tiếp điểm là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiếp xúc với mặt phẳng nghĩa là bán kính bằng khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng. Pháp tuyến

(1; 2; 2)

có độ dài 3 là số đẹp, nên công thức khoảng cách cho kết quả nguyên. Có thể kiểm chứng bằng cách tìm tiếp điểm là hình chiếu của

I

trên

(P)

1Cách 1. Công thức khoảng cách

Định hướng. $R = d (I, (P))$ rồi thay vào dạng chuẩn.

R = \frac{∣2 + 2 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot 2 - 10∣}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 6∣}{3} = 2

(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4

Vậy $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ .

2Cách 2. Tìm tiếp điểm H

Định hướng. Đường thẳng qua $I$ theo phương $n = (1; 2; 2)$ cắt $(P)$ tại tiếp điểm $H$ ; $R = I H$ .

H (2 + t; - 1 + 2 t; 2 + 2 t) \in (P)

\Leftrightarrow 2 + t - 2 + 4 t + 4 + 4 t - 10 = 0 \Leftrightarrow 9 t = 6 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}

H (\frac{8}{3}; \frac{1}{3}; \frac{10}{3})

R = I H = ∣ t ∣ \cdot ∣ n ∣ = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2

Vậy $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ , tiếp xúc $(P)$ tại $H (\frac{8}{3}; \frac{1}{3}; \frac{10}{3})$ .

3Cách 3. Chiếu vectơ lên pháp tuyến

Định hướng. Lấy điểm $A (10; 0; 0) \in (P)$ ; khoảng cách từ $I$ tới $(P)$ là độ dài hình chiếu của $A I$ lên $n$ .

A I = (- 8; - 1; 2)

n = (1; 2; 2)

R = \frac{∣ A I \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣ - 8 - 2 + 4∣}{3} = \frac{6}{3} = 2

Vậy $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ .

Nhận xét. Ba cách cùng cho $R = 2$ ; Cách 2 còn cho thêm tiếp điểm, hay dùng ở các câu hỏi phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tính khoảng cách, mẫu số

9 = 3

rất gọn.

Đáp số.

(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên trị tuyệt đối, được

R = - 2

, hoặc chia cho

1 + 4 + 4 = 9

thay vì

9 = 3

, được

R = \frac{2}{3}

; khi đó

I H = 2 \neq = \frac{2}{3}

nên mặt cầu không chạm tới

(P)

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt phẳng song song với

(P)

và tiếp xúc

(S)

ở phía còn lại:

x + 2 y + 2 z + D = 0

với

∣4 + D ∣ = 6

D \neq = - 10

, được

x + 2 y + 2 z + 2 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.23★Trang 34— Tâm, bán kính; điểm nằm trong mặt cầu

Bài 5.23 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : (x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9

và điểm

A (2; 2; - 1)

.
a) Xác định tâm

I

và bán kính

R

của mặt cầu

(S)

.
b) Chứng minh rằng điểm

A

nằm trong mặt cầu

(S)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Điểm $M$ nằm trong, thuộc, nằm ngoài mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ khi và chỉ khi lần lượt $I M < R$ , $I M = R$ , $I M > R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình ở dạng chuẩn nên đọc ngay tâm, bán kính. “Nằm trong” nghĩa là

I A < R

, tương đương thay

A

vào vế trái được số nhỏ hơn vế phải.

1Cách 1. So sánh IA với R

Định hướng. Đọc $I$ , $R$ rồi tính $I A$ .

(S) : (x - 1)^{2} + (y - 0)^{2} + [z - (- 2)]^{2} = 3^{2} \Rightarrow I (1; 0; - 2)

R = 3

I A = (2 - 1)^{2} + (2 - 0)^{2} + (- 1 + 2)^{2} = 6

6 < 9 = 3

Vậy a) $I (1; 0; - 2)$ , $R = 3$ ; b) $I A < R$ nên $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$ .

2Cách 2. Thay toạ độ A vào vế trái

Định hướng. Vế trái là $I A^{2}$ , vế phải là $R^{2}$ .

(2 - 1)^{2} + 2^{2} + (- 1 + 2)^{2} = 1 + 4 + 1 = 6

6 < 9

Vậy $I A^{2} < R^{2}$ , điểm $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$ .

3Cách 3. Dạng khai triển và dấu của biểu thức

Định hướng. Đưa $(S)$ về $f (x; y; z) = 0$ với $f (M) = I M^{2} - R^{2}$ ; $f (A) < 0$ thì $A$ ở trong.

f (x; y; z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 z + 1 + 4 - 9 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 z - 4

f (2; 2; - 1) = 4 + 4 + 1 - 4 - 4 - 4 = - 3 < 0

Vậy $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Nhận xét. Số $f (A) = - 3$ đúng bằng $I A^{2} - R^{2} = 6 - 9$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: không khai căn, so sánh 6 với 9 là xong.

Đáp số. a)

I (1; 0; - 2)

R = 3

. b)

I A = 6 < 3

nên

A

nằm trong

(S)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc tâm

I (- 1; 0; 2)

; khi đó

I A^{2} = 9 + 4 + 9 = 22 > 9

và kết luận sai thành “

A

nằm ngoài”.

🚀 Mở rộng. Tìm điểm của

(S)

gần

A

nhất: nằm trên tia

I A

và cách

I

một khoảng 3, tức

I + \frac{3}{6} I A

; khoảng cách nhỏ nhất bằng

3 - 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.24★★Trang 34— Nhận dạng phương trình mặt cầu

Bài 5.24 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a)

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 z + 2 = 0

;
b)

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 2 z + 7 = 0

;
c)

3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} + 12 x - 6 y + 6 z + 2 = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .
Chia hai vế của phương trình cho cùng một số khác 0 không làm thay đổi tập nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Ba phương trình đều bậc hai với hệ số

x^{2}

y^{2}

z^{2}

bằng nhau và không có tích chéo; chỉ cần xét dấu

a^{2} + b^{2} + c^{2} - d

. Bẫy ở c): hệ số của

x^{2}

là 3, phải chia cả phương trình cho 3 trước khi đọc

a

b

c

d

1Cách 1. Dùng điều kiện a² + b² + c² − d > 0

Định hướng. Đọc $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (câu c) chia cho 3 trước) và xét dấu.

a = - 1, b = 0, c = 2, d = 2 : 1 + 0 + 4 - 2 = 3 > 0 \Rightarrow I (- 1; 0; 2)

R = 3

a = 1, b = - 1, c = - 1, d = 7 : 1 + 1 + 1 - 7 = - 4 < 0

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z + \frac{2}{3} = 0

a = - 2, b = 1, c = - 1, d = \frac{2}{3}

4 + 1 + 1 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} > 0 \Rightarrow I (- 2; 1; - 1)

R = \frac{16}{3} = \frac{4 3}{3}

Vậy a) và c) là phương trình mặt cầu: a) tâm $I (- 1; 0; 2)$ , $R = 3$ ; c) tâm $I (- 2; 1; - 1)$ , $R = \frac{4 3}{3}$ ; b) không phải phương trình mặt cầu.

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương

Định hướng. Đưa về $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = k$ và xét dấu $k$ .

(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 1 + 4 - 2 = 3

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1 + 1 + 1 - 7 = - 4

(vô nghiệm)
c)

3 [(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2}] = 12 + 3 + 3 - 2 = 16

(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = \frac{16}{3}

Vậy a) mặt cầu tâm $(- 1; 0; 2)$ , bán kính $3$ ; c) mặt cầu tâm $(- 2; 1; - 1)$ , bán kính $\frac{4 3}{3}$ ; b) không phải mặt cầu.

3Cách 3. Đồng nhất hệ số với dạng chuẩn

Định hướng. So từng phương trình với $k [(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} - R^{2}] = 0$ , $k$ là hệ số của $x^{2}$ .

k = 1 : - 2 a = 2, - 2 c = - 4, b = 0, a^{2} + c^{2} - R^{2} = 2 \Rightarrow a = - 1, c = 2, R^{2} = 3

k = 1 : a = 1, b = - 1, c = - 1, R^{2} = 3 - 7 = - 4 < 0

— vô lí
c)

k = 3 : - 6 a = 12, - 6 b = - 6, - 6 c = 6, 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}) = 2

\Rightarrow a = - 2, b = 1, c = - 1, R^{2} = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}

Vậy a) và c) là mặt cầu (tâm, bán kính như trên), b) không phải.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ vì sao ở c) phải chia cho 3: hệ số bậc nhất bằng $- 6 a$ chứ không phải $- 2 a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, nhớ chia cho hệ số của

x^{2}

trước khi đọc

a

b

c

d

Đáp số. a) Mặt cầu tâm

I (- 1; 0; 2)

R = 3

. b) Không phải phương trình mặt cầu. c) Mặt cầu tâm

I (- 2; 1; - 1)

R = \frac{4 3}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở c) là đọc thẳng

a = - 6

b = 3

c = - 3

d = 2

(không chia 3), được tâm

(- 6; 3; - 3)

và

R = 52

. Kiểm tra: tại tâm thật vế trái phải nhỏ nhất, nhưng vế trái bằng

56

tại

(- 6; 3; - 3)

và chỉ bằng

- 16

tại

(- 2; 1; - 1)

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 2 z + m = 0

là phương trình mặt cầu: cần

3 - m > 0

, tức

m < 3

; câu b) có

m = 7

nên không thoả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.25★★Trang 34— Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng, đi qua hai điểm

Bài 5.25 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (1; 2; 1)

và

B (- 1; - 2; 3)

. Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm

I

thuộc trục

O x

và

(S)

đi qua hai điểm

A

và

B

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu đi qua $A$ , $B$ thì tâm $I$ cách đều $A$ , $B$ : $I A = I B$ , tức $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$ .
Mặt phẳng trung trực của $A B$ chứa trung điểm $A B$ và nhận $A B$ làm vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Tâm thuộc

O x

nên chỉ có một ẩn

I (a; 0; 0)

; mặt cầu đi qua

A

B

cho điều kiện

I A = I B

— một phương trình một ẩn. Cũng có thể nhìn hình: tâm nằm trên mặt phẳng trung trực của

A B

, giao với

O x

1Cách 1. Giải phương trình IA² = IB²

Định hướng. Đặt $I (a; 0; 0)$ và dùng $I A^{2} = I B^{2}$ .

I A^{2} = I B^{2}

\Leftrightarrow (1 - a)^{2} + 2^{2} + 1^{2} = (- 1 - a)^{2} + (- 2)^{2} + 3^{2}

\Leftrightarrow a^{2} - 2 a + 6 = a^{2} + 2 a + 14

\Leftrightarrow - 4 a = 8 \Leftrightarrow a = - 2

I (- 2; 0; 0)

R^{2} = I A^{2} = 9 + 4 + 1 = 14

Vậy $(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$ .

2Cách 2. Mặt phẳng trung trực của AB cắt trục Ox

Định hướng. Tâm thuộc mặt phẳng trung trực của $A B$ ; giao của mặt phẳng này với $O x$ là tâm.

Trung điểm

A B

M (0; 0; 2)

A B = (- 2; - 4; 2) = - 2 (1; 2; - 1)

Mặt phẳng trung trực:

1 (x - 0) + 2 (y - 0) - 1 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - z + 2 = 0

I \in O x : y = z = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow I (- 2; 0; 0)

R^{2} = I B^{2} = (- 1 + 2)^{2} + (- 2)^{2} + 3^{2} = 14

Vậy $(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$ .

3Cách 3. Dạng khai triển với hai ẩn a, d

Định hướng. Tâm $(a; 0; 0)$ nên $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x + d = 0$ ; thay $A$ , $B$ được hệ hai ẩn.

A \in (S) : 1 + 4 + 1 - 2 a + d = 0 \Leftrightarrow - 2 a + d = - 6

B \in (S) : 1 + 4 + 9 + 2 a + d = 0 \Leftrightarrow 2 a + d = - 14

\Rightarrow d = - 10, a = - 2

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 10 = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 14

Vậy $(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $a^{2} - d = 4 + 10 = 14 > 0$ , đúng là mặt cầu bán kính $14$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một ẩn, khai triển hai vế thì

a^{2}

tự triệt tiêu.

Đáp số.

(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + z^{2} = 14

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy tâm là trung điểm

M (0; 0; 2)

của

A B

— nhưng

M

không thuộc

O x

. Cũng hay nhầm “đường trung trực” của

A B

trong không gian là một đường thẳng; thực ra tập các điểm cách đều

A

B

là cả một mặt phẳng.

🚀 Mở rộng. Thay trục

O x

bằng mặt phẳng

(O x y)

: tâm

I (a; b; 0)

và điều kiện

I A = I B

chỉ cho một phương trình

a + 2 b = - 2

— có vô số mặt cầu, cần thêm một điểm nữa mới xác định.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.26★★★Trang 34— Giao của đường thẳng và mặt cầu – độ dài dây cung

Bài 5.26 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, giả sử bề mặt Trái Đất

(S)

có phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

. Từ vị trí

A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

, người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng

v = (2; 2; - 3)

. Tính độ dài đường hầm cần đào.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A$ có vectơ chỉ phương $v$ : $M = A + t v$ ; độ dài $A M = ∣ t ∣ \cdot ∣ v ∣$ .
Dây cung của mặt cầu bán kính $R$ cách tâm một khoảng $h$ có độ dài $2 R^{2} - h^{2}$ ; $h = \frac{∣ [ O A , v ] ∣}{∣ v ∣}$ .
Dây cung xuất phát từ $A$ theo hướng $v$ có độ dài $2 R cos φ$ , với $cos φ = \frac{∣ O A \cdot v ∣}{∣ O A ∣ \cdot ∣ v ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường hầm là dây cung

A B

của mặt cầu, nằm trên đường thẳng qua

A

theo phương

v

;

B

là giao điểm thứ hai. Kiểm tra trước

A

thuộc

(S)

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1

. Có ba hướng: giải giao điểm, dùng khoảng cách từ tâm tới dây, hoặc dùng góc giữa

O A

và

v

1Cách 1. Tìm giao điểm thứ hai B

Định hướng. Tham số hoá đường hầm, thay vào phương trình mặt cầu.

M (\frac{1}{2} + 2 t; \frac{1}{2} + 2 t; \frac{2}{2} - 3 t)

(\frac{1}{2} + 2 t)^{2} + (\frac{1}{2} + 2 t)^{2} + (\frac{2}{2} - 3 t)^{2} = 1

\Leftrightarrow 17 t^{2} + (4 - 32) t = 0

\Leftrightarrow t = 0

(điểm

A

) hoặc

t = \frac{3 2 - 4}{17}

(điểm

B

)

A B = ∣ t ∣ \cdot ∣ v ∣ = \frac{3 2 - 4}{17} \cdot 17 = \frac{3 2 - 4}{17} \approx 0, 0588

Vậy đường hầm dài $\frac{3 2 - 4}{17} \approx 0, 0588$ đơn vị.

2Cách 2. Khoảng cách từ tâm O tới đường hầm

Định hướng. Tính $h = d (O, A B)$ bằng tích có hướng rồi dùng $A B = 2 1 - h^{2}$ .

[O A, v] = (- \frac{3}{2} - 2; 2 + \frac{3}{2}; 0)

h^{2} = \frac{2 ( \frac{3}{2} + 2 ) ^{2}}{17} = \frac{\frac{17}{2} + 6 2}{17} = \frac{1}{2} + \frac{6 2}{17}

1 - h^{2} = \frac{17 - 12 2}{34} = \frac{( 3 - 2 2 ) ^{2}}{34}

A B = 2 1 - h^{2} = \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{34} = \frac{3 2 - 4}{17}

Vậy $A B = \frac{3 2 - 4}{17} \approx 0, 0588$ đơn vị.

3Cách 3. Góc giữa bán kính OA và đường hầm

Định hướng. Tam giác $O A B$ cân tại $O$ ; nếu $φ$ là góc giữa $A O$ và $A B$ thì $A B = 2 \cdot O A \cdot cos φ$ .

O A \cdot v = 1 + 1 - \frac{3}{2} = 2 - \frac{3 2}{2}

cos φ = \frac{2 - \frac{3 2}{2}}{1 \cdot 17} = \frac{3 2 - 4}{2 17}

A B = 2 \cdot 1 \cdot \frac{3 2 - 4}{2 17} = \frac{3 2 - 4}{17}

Vậy $A B = \frac{3 2 - 4}{17} \approx 0, 0588$ đơn vị.

Nhận xét. $O A \cdot v < 0$ nên $v$ hướng vào trong lòng đất — đường hầm thật sự đi xuyên đất. Nếu lấy 1 đơn vị ứng với 6 371 km như SGK thì đường hầm dài khoảng 375 km.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần một tích vô hướng, không phải giải phương trình bậc hai.

Đáp số. Độ dài đường hầm

A B = \frac{3 2 - 4}{17} \approx 0, 0588

(đơn vị độ dài; khoảng 375 km nếu 1 đơn vị ứng với 6 371 km).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

A B = ∣ t ∣

(quên nhân

∣ v ∣ = 17

), được

\frac{3 2 - 4}{17} \approx 0, 0143

— nhỏ hơn đáp số đúng

17

lần vì

v

không phải vectơ đơn vị.

🚀 Mở rộng. Với hướng đào

v

thế nào thì đường hầm dài nhất? Khi

v

cùng phương

A O

, đường hầm đi qua tâm và dài bằng đường kính 2 đơn vị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.27★Trang 35— Lập phương trình mặt cầu từ tình huống thực tế

Bài 5.27 (trang 35). Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Tâm quả bóng đặt cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục toạ độ

O x y z

có gốc toạ độ

O

là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia

O z

chứa tâm của quả cầu, các trục

O x

O y

thuộc mặt đất. Viết phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng.

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Điểm thuộc tia $O z$ có dạng $(0; 0; c)$ với $c \geq 0$ ; khoảng cách từ nó tới mặt phẳng $(O x y)$ bằng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mấu chốt là đọc đúng toạ độ tâm: tâm nằm trên tia

O z

và cách mặt đất

(O x y)

10 m nên

I (0; 0; 10)

. Bán kính là 2 (đơn vị mét).

1Cách 1. Xác định tâm và bán kính rồi thay vào dạng chuẩn

Định hướng. Tâm trên tia $O z$ , cao 10 m.

I (0; 0; 10)

R = 2

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} + (z - 10)^{2} = 2^{2}

x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 4

Vậy phương trình mặt cầu bề mặt quả bóng là $x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 4$ .

2Cách 2. Từ định nghĩa mặt cầu

Định hướng. Điểm $M (x; y; z)$ trên bề mặt quả bóng khi và chỉ khi $I M = 2$ .

I M = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 2

I M = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 4

Vậy $x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 4$ .

3Cách 3. Viết dạng khai triển

Định hướng. $a = b = 0$ , $c = 10$ , $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$ .

d = 0 + 0 + 100 - 4 = 96

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 20 z + 96 = 0

Vậy $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 20 z + 96 = 0$ , tức $x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 4$ .

Nhận xét. Điểm thấp nhất của quả bóng là $(0; 0; 8)$ , cách mặt đất 8 m; điểm cao nhất $(0; 0; 12)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc tâm

(0; 0; 10)

là viết được ngay.

Đáp số.

x^{2} + y^{2} + (z - 10)^{2} = 4

(đơn vị trên các trục là mét).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là cộng bán kính vào độ cao, lấy tâm

(0; 0; 12)

hoặc

(0; 0; 8)

; đề nói TÂM cách mặt đất 10 m nên tâm là

(0; 0; 10)

🚀 Mở rộng. Hạ quả bóng xuống đến khi chạm đất: tâm khi đó là

(0; 0; 2)

và mặt cầu

x^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 4

tiếp xúc

(O x y)

tại

O

Mở bài này trong app ↗