Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 17. Phương trình mặt cầu

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập2 #trang34–35 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.21★Trang 34— Mặt cầu đường kính AB; mặt cầu tâm O đi qua một điểm

Bài 5.21 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (2; 1; 1)

B (2; 1; 3)

.
a) Viết phương trình mặt cầu đường kính

A B

.
b) Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm là gốc toạ độ

O (0; 0; 0)

và mặt cầu

(S)

đi qua

A

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu đường kính $A B$ : tâm là trung điểm $A B$ , $R = \frac{A B}{2}$ ; $M$ thuộc mặt cầu $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ .
Mặt cầu tâm $I$ đi qua $A$ có bán kính $R = I A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho đường kính: tâm là trung điểm, bán kính bằng nửa

A B

. Câu b) cho tâm và một điểm thuộc mặt cầu: bán kính chính là

O A

. Để ý

A

B

cùng hoành độ và tung độ nên

A B

song song với

O z

, nhìn là thấy ngay tâm và bán kính.

1Cách 1. Trung điểm và nửa độ dài

Định hướng. Tìm trung điểm $I$ của $A B$ và $A B$ ; câu b) lấy $R = O A$ .

I (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 + 1}{2}; \frac{1 + 3}{2}) = (2; 1; 2)

A B = 0^{2} + 0^{2} + 2^{2} = 2 \Rightarrow R = 1

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

R = O A = 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 6

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

Vậy a) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ ; b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ .

2Cách 2. Góc nhìn đường kính là góc vuông

Định hướng. $M$ thuộc mặt cầu đường kính $A B$ $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ ; câu b) dùng dạng khai triển với $a = b = c = 0$ .

(x - 2) (x - 2) + (y - 1) (y - 1) + (z - 1) (z - 3) = 0

\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} - 4 z + 3 = 0

\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

x^{2} + y^{2} + z^{2} + d = 0

A \in (S) \Leftrightarrow 4 + 1 + 1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 6

Vậy a) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ ; b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ .

3Cách 3. Nhìn hình: AB song song với trục Oz

Định hướng. $A$ , $B$ chỉ khác cao độ nên $A B$ là đoạn thẳng đứng dài $3 - 1 = 2$ ; tâm nằm giữa, cao độ bằng trung bình cộng.

x_{A} = x_{B} = 2, y_{A} = y_{B} = 1 \Rightarrow A B ∥ O z

A B = ∣3 - 1∣ = 2

I (2; 1; 2)

R = 1

O A^{2} = 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 6

Vậy a) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1$ ; b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ .

Nhận xét. Mặt cầu ở câu a) tiếp xúc với hai mặt phẳng $z = 1$ và $z = 3$ tại $A$ và $B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trung điểm và độ dài là hai phép tính quen thuộc nhất; Cách 3 giúp nhẩm kiểm tra trong vài giây.

Đáp số. a)

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

. b)

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở a) là lấy

R = A B = 2

, được vế phải bằng 4: khi đó

A

không thuộc mặt cầu vì

I A^{2} = 1 \neq = 4

. Ở b) hay viết

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

(quên bình phương bán kính).

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt cầu tâm

O

tiếp xúc với mặt cầu ở câu a):

O I = 4 + 1 + 4 = 3

, nên

R = 3 - 1 = 2

(tiếp xúc trong) hoặc

R = 3 + 1 = 4

(mặt cầu chứa mặt cầu kia và tiếp xúc).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.22★★Trang 34— Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng

Bài 5.22 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

I (2; - 1; 2)

và mặt phẳng

(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0

. Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm là

I

và tiếp xúc với mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
$d (M_{0}, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc $(P)$ $\Leftrightarrow R = d (I, (P))$ ; tiếp điểm là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiếp xúc với mặt phẳng nghĩa là bán kính bằng khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng. Pháp tuyến

(1; 2; 2)

có độ dài 3 là số đẹp, nên công thức khoảng cách cho kết quả nguyên. Có thể kiểm chứng bằng cách tìm tiếp điểm là hình chiếu của

I

trên

(P)

1Cách 1. Công thức khoảng cách

Định hướng. $R = d (I, (P))$ rồi thay vào dạng chuẩn.

R = \frac{∣2 + 2 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot 2 - 10∣}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 6∣}{3} = 2

(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4

Vậy $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ .

2Cách 2. Tìm tiếp điểm H

Định hướng. Đường thẳng qua $I$ theo phương $n = (1; 2; 2)$ cắt $(P)$ tại tiếp điểm $H$ ; $R = I H$ .

H (2 + t; - 1 + 2 t; 2 + 2 t) \in (P)

\Leftrightarrow 2 + t - 2 + 4 t + 4 + 4 t - 10 = 0 \Leftrightarrow 9 t = 6 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}

H (\frac{8}{3}; \frac{1}{3}; \frac{10}{3})

R = I H = ∣ t ∣ \cdot ∣ n ∣ = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2

Vậy $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ , tiếp xúc $(P)$ tại $H (\frac{8}{3}; \frac{1}{3}; \frac{10}{3})$ .

3Cách 3. Chiếu vectơ lên pháp tuyến

Định hướng. Lấy điểm $A (10; 0; 0) \in (P)$ ; khoảng cách từ $I$ tới $(P)$ là độ dài hình chiếu của $A I$ lên $n$ .

A I = (- 8; - 1; 2)

n = (1; 2; 2)

R = \frac{∣ A I \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣ - 8 - 2 + 4∣}{3} = \frac{6}{3} = 2

Vậy $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ .

Nhận xét. Ba cách cùng cho $R = 2$ ; Cách 2 còn cho thêm tiếp điểm, hay dùng ở các câu hỏi phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tính khoảng cách, mẫu số

9 = 3

rất gọn.

Đáp số.

(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên trị tuyệt đối, được

R = - 2

, hoặc chia cho

1 + 4 + 4 = 9

thay vì

9 = 3

, được

R = \frac{2}{3}

; khi đó

I H = 2 \neq = \frac{2}{3}

nên mặt cầu không chạm tới

(P)

🚀 Mở rộng. Viết phương trình mặt phẳng song song với

(P)

và tiếp xúc

(S)

ở phía còn lại:

x + 2 y + 2 z + D = 0

với

∣4 + D ∣ = 6

D \neq = - 10

, được

x + 2 y + 2 z + 2 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.23★Trang 34— Tâm, bán kính; điểm nằm trong mặt cầu

Bài 5.23 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : (x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9

và điểm

A (2; 2; - 1)

.
a) Xác định tâm

I

và bán kính

R

của mặt cầu

(S)

.
b) Chứng minh rằng điểm

A

nằm trong mặt cầu

(S)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Điểm $M$ nằm trong, thuộc, nằm ngoài mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ khi và chỉ khi lần lượt $I M < R$ , $I M = R$ , $I M > R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.24★★Trang 34— Nhận dạng phương trình mặt cầu

Bài 5.24 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a)

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 z + 2 = 0

;
b)

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y + 2 z + 7 = 0

;
c)

3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} + 12 x - 6 y + 6 z + 2 = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .
Chia hai vế của phương trình cho cùng một số khác 0 không làm thay đổi tập nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.25★★Trang 34— Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng, đi qua hai điểm

Bài 5.25 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (1; 2; 1)

và

B (- 1; - 2; 3)

. Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm

I

thuộc trục

O x

và

(S)

đi qua hai điểm

A

và

B

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu đi qua $A$ , $B$ thì tâm $I$ cách đều $A$ , $B$ : $I A = I B$ , tức $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$ .
Mặt phẳng trung trực của $A B$ chứa trung điểm $A B$ và nhận $A B$ làm vectơ pháp tuyến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.26★★★Trang 34— Giao của đường thẳng và mặt cầu – độ dài dây cung

Bài 5.26 (trang 34). Trong không gian

O x y z

, giả sử bề mặt Trái Đất

(S)

có phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

. Từ vị trí

A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

, người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng

v = (2; 2; - 3)

. Tính độ dài đường hầm cần đào.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A$ có vectơ chỉ phương $v$ : $M = A + t v$ ; độ dài $A M = ∣ t ∣ \cdot ∣ v ∣$ .
Dây cung của mặt cầu bán kính $R$ cách tâm một khoảng $h$ có độ dài $2 R^{2} - h^{2}$ ; $h = \frac{∣ [ O A , v ] ∣}{∣ v ∣}$ .
Dây cung xuất phát từ $A$ theo hướng $v$ có độ dài $2 R cos φ$ , với $cos φ = \frac{∣ O A \cdot v ∣}{∣ O A ∣ \cdot ∣ v ∣}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.27★Trang 35— Lập phương trình mặt cầu từ tình huống thực tế

Bài 5.27 (trang 35). Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Tâm quả bóng đặt cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục toạ độ

O x y z

có gốc toạ độ

O

là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia

O z

chứa tâm của quả cầu, các trục

O x

O y

thuộc mặt đất. Viết phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng.

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Điểm thuộc tia $O z$ có dạng $(0; 0; c)$ với $c \geq 0$ ; khoảng cách từ nó tới mặt phẳng $(O x y)$ bằng $c$ .