Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 17. Phương trình mặt cầu

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 54— Khoảng cách trên mặt cầu — độ dài cung tròn lớn

Mở đầu (trang 54). Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí

1 0^{\circ} N

1 5^{\circ} E

đến vị trí

8 0^{\circ} N

7 0^{\circ} E

ta sẽ được khoảng cách 8 271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?

Kiến thức cần nhớ

Vị trí có vĩ độ $α^{\circ} N$ , kinh độ $β^{\circ} E$ trên Trái Đất $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ có toạ độ $(cos α^{\circ} cos β^{\circ}; cos α^{\circ} sin β^{\circ}; sin α^{\circ})$ ; 1 đơn vị dài ứng với 6 371 km.
Cung nhỏ $P Q$ trên đường tròn tâm $O$ bán kính 1 có độ dài bằng số đo radian của $P O Q$ , với $cos P O Q = O P \cdot O Q$ .
Độ dài cung tròn bán kính $R$ chắn góc ở tâm $θ$ (radian) là $ℓ = R θ$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi “cơ sở toán học” của một phép đo trên bề mặt Trái Đất: dấu hiệu phải mô hình hoá Trái Đất thành mặt cầu trong không gian

O x y z

. Khi có toạ độ hai vị trí, góc ở tâm

P O Q

tính được bằng tích vô hướng, và đường ngắn nhất trên mặt cầu là cung nhỏ của đường tròn lớn. Bẫy: không lấy độ dài đoạn thẳng

P Q

(xuyên lòng đất) làm khoảng cách trên mặt đất.

1Cách 1. Toạ độ hoá và tích vô hướng

Định hướng. Đặt tâm Trái Đất tại $O$ , bề mặt là mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ; đổi vĩ độ, kinh độ ra toạ độ rồi tính góc ở tâm.

P (cos 1 0^{\circ} cos 1 5^{\circ}; cos 1 0^{\circ} sin 1 5^{\circ}; sin 1 0^{\circ})

Q (cos 8 0^{\circ} cos 7 0^{\circ}; cos 8 0^{\circ} sin 7 0^{\circ}; sin 8 0^{\circ})

cos P O Q = \frac{O P \cdot O Q}{∣ O P ∣ \cdot ∣ O Q ∣} = cos 1 0^{\circ} cos 1 5^{\circ} cos 8 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ} sin 1 5^{\circ} cos 8 0^{\circ} sin 7 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ} sin 8 0^{\circ} \approx 0, 2691

P O Q \approx 74, 389 4^{\circ} \approx 1, 29834

rad

ℓ \approx 1, 29834 \cdot 6371 \approx 8271, 73

(km)

Vậy cơ sở toán học là phương trình mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ của bề mặt Trái Đất, công thức toạ độ theo vĩ độ – kinh độ, tích vô hướng để tìm góc $P O Q$ và công thức độ dài cung; khoảng cách xấp xỉ 8 271,73 km, khớp số đo 8 271,74 km của Google Maps.

2Cách 2. Khai triển thành công thức lượng giác cầu

Định hướng. Gộp tích vô hướng theo vĩ độ $α$ và kinh độ $β$ để có một công thức dùng ngay cho mọi cặp vị trí.

cos P O Q = cos α_{1} cos α_{2} (cos β_{1} cos β_{2} + sin β_{1} sin β_{2}) + sin α_{1} sin α_{2}

c o s P O Q = sin α_{1} sin α_{2} + cos α_{1} cos α_{2} cos (β_{2} - β_{1})

c o s P O Q = sin 1 0^{\circ} sin 8 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ} cos 8 0^{\circ} cos 5 5^{\circ} \approx 0, 2691

P O Q \approx 1, 29834

rad

\Rightarrow ℓ \approx 8271, 73

(km)

Vậy phần mềm chỉ cần công thức $cos P O Q = sin α_{1} sin α_{2} + cos α_{1} cos α_{2} cos (β_{2} - β_{1})$ và $ℓ = 6371 \cdot P O Q$ (radian), cho khoảng 8 271,73 km.

3Cách 3. Qua độ dài dây cung PQ

Định hướng. Dây $P Q$ và cung $P Q$ cùng chắn góc ở tâm; tam giác $O P Q$ cân tại $O$ với $O P = O Q = 1$ .

P Q^{2} = ∣ O Q - O P ∣^{2} = 2 - 2 O P \cdot O Q \approx 2 - 2 \cdot 0, 2691 = 1, 4618

P Q \approx 1, 2091

sin \frac{P O Q}{2} = \frac{P Q}{2} \approx 0, 6045 \Rightarrow \frac{P O Q}{2} \approx 37, 1 9^{\circ} \Rightarrow P O Q \approx 74, 3 9^{\circ}

ℓ \approx \frac{74 , 39}{180} \cdot π \cdot 6371 \approx 8272

(km)

Vậy cũng dùng phương trình mặt cầu và toạ độ các vị trí; khoảng cách xấp xỉ 8 272 km.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy dây $P Q \approx 1, 2091 \cdot 6371 \approx 7703$ km ngắn hơn cung 8 271,73 km — đường hầm xuyên đất luôn ngắn hơn đường đi trên mặt đất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên nhớ Cách 2: một công thức duy nhất theo vĩ độ, kinh độ, bấm máy một lần là ra góc ở tâm; Cách 1 là con đường gốc để tự dựng lại công thức khi quên.

Đáp số. Mô hình Trái Đất là mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

(1 đơn vị = 6 371 km);

cos P O Q = O P \cdot O Q \approx 0, 2691

P O Q \approx 74, 389 4^{\circ}

; khoảng cách

\approx 8271, 73

km.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nhân số đo độ trực tiếp với bán kính:

74, 3894 \cdot 6371 \approx 473935

km — vô lí vì còn lớn hơn chu vi Trái Đất (khoảng 40 030 km). Phải đổi góc sang radian (hoặc nhân

\frac{π}{180}

) trước khi dùng

ℓ = R θ

🚀 Mở rộng. Với hai vị trí cùng nằm trên xích đạo (

α_{1} = α_{2} = 0

) công thức Cách 2 thu về

cos P O Q = cos (β_{2} - β_{1})

: khoảng cách chỉ phụ thuộc hiệu kinh độ, ví dụ lệch

9 0^{\circ}

kinh độ là một phần tư chu vi, khoảng 10 008 km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 54— Xây dựng phương trình mặt cầu

HĐ1 (trang 54). Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính. Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

tâm

I (a; b; c)

bán kính

R

(H.5.41). Khi đó, một điểm

M (x; y; z)

thuộc mặt cầu

(S)

khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện gì?

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Khoảng cách hai điểm: $I M = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt cầu được định nghĩa bằng khoảng cách: mọi điểm cách tâm đúng

R

. Vì vậy chỉ cần viết điều kiện

I M = R

bằng toạ độ, rồi bình phương để bỏ căn — hai vế đều không âm nên phép bình phương giữ nguyên tương đương.

1Cách 1. Dùng công thức khoảng cách

Định hướng. Viết $I M = R$ bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

M \in (S) \Leftrightarrow I M = R

M \in (S) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R

M \in (S) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

(hai vế không âm)

Vậy $M (x; y; z) \in (S) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

2Cách 2. Dùng độ dài vectơ

Định hướng. $I M = R$ nghĩa là vectơ $I M$ có độ dài $R$ ; bình phương vô hướng của vectơ bằng bình phương độ dài.

I M = (x - a; y - b; z - c)

M \in (S) \Leftrightarrow I M^{2} = R^{2}

M \in (S) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Vậy điều kiện cần tìm là $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ — đó chính là phương trình của mặt cầu $(S)$ .

Nhận xét. Thay dấu $=$ bằng $<$ hoặc $>$ ta được ngay điều kiện để $M$ nằm trong hoặc nằm ngoài mặt cầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên dùng Cách 2 khi làm bài có vectơ (ví dụ mặt cầu đường kính

A B

), còn Cách 1 là cách nhớ tự nhiên nhất: “khoảng cách tới tâm bằng bán kính”.

Đáp số.

M (x; y; z) \in (S) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết vế phải bằng

R

thay vì

R^{2}

: với tâm

O

, bán kính 2 mà viết

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2

thì điểm

M (2; 0; 0)

(cách

O

đúng 2) lại không thoả mãn — mặt cầu vừa viết có bán kính

2

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận trong mặt phẳng

O x y

cho phương trình đường tròn

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

; thử viết tập hợp điểm cách đều hai điểm

A

B

cho trước — đó là một mặt phẳng, không phải mặt cầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 55— Đọc tâm, bán kính; vị trí của điểm đối với mặt cầu

Luyện tập 1 (trang 55). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

có phương trình

(x + 2)^{2} + y^{2} + (z + \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4}

.
a) Xác định tâm và bán kính của

(S)

.
b) Hỏi điểm

M (2; 0; 1)

nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu

(S)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Điểm $M$ nằm trong, thuộc, nằm ngoài mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ khi và chỉ khi lần lượt $I M < R$ , $I M = R$ , $I M > R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình đã ở dạng chuẩn

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

, chỉ cần đổi

x + 2

thành

x - (- 2)

để đọc tâm. Vị trí của

M

quyết định bởi so sánh

I M

với

R

, hoặc gọn hơn là thay toạ độ

M

vào vế trái rồi so với vế phải. Bẫy: đọc nhầm tâm thành

(2; 0; \frac{1}{2})

vì quên đổi dấu.

1Cách 1. Đọc tâm, bán kính rồi so sánh IM với R

Định hướng. Viết lại cho đúng dạng chuẩn để đọc $I$ , $R$ ; sau đó tính $I M$ .

(S) : [x - (- 2)]^{2} + (y - 0)^{2} + [z - (- \frac{1}{2})]^{2} = (\frac{3}{2})^{2}

I (- 2; 0; - \frac{1}{2})

R = \frac{3}{2}

I M = (2 + 2)^{2} + (0 - 0)^{2} + (1 + \frac{1}{2})^{2} = 16 + \frac{9}{4} = \frac{73}{2}

\frac{73}{2} > \frac{9}{2} = \frac{3}{2} = R

Vậy a) $(S)$ có tâm $I (- 2; 0; - \frac{1}{2})$ , bán kính $R = \frac{3}{2}$ ; b) $I M > R$ nên $M$ nằm ngoài $(S)$ .

2Cách 2. Thay toạ độ M vào vế trái

Định hướng. Vế trái của phương trình chính là $I M^{2}$ , vế phải là $R^{2}$ ; chỉ cần so sánh hai số.

(2 + 2)^{2} + 0^{2} + (1 + \frac{1}{2})^{2} = 16 + \frac{9}{4} = \frac{73}{4}

\frac{73}{4} > \frac{9}{4}

Vậy $I M^{2} > R^{2}$ , điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ (tâm, bán kính đọc như Cách 1).

3Cách 3. Khai triển về dạng tổng quát và dùng dấu của biểu thức

Định hướng. Đưa về $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ : biểu thức $f (M) = I M^{2} - R^{2}$ dương thì $M$ ở ngoài.

f (x; y; z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + z + 4 + \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + z + 2

a = - 2, b = 0, c = - \frac{1}{2}, d = 2 \Rightarrow R^{2} = 4 + 0 + \frac{1}{4} - 2 = \frac{9}{4}

f (2; 0; 1) = 4 + 0 + 1 + 8 + 1 + 2 = 16 > 0

Vậy tâm $I (- 2; 0; - \frac{1}{2})$ , $R = \frac{3}{2}$ và $M$ nằm ngoài $(S)$ .

Nhận xét. Giá trị $f (M) = I M^{2} - R^{2} = \frac{73}{4} - \frac{9}{4} = 16$ khớp đúng với Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép thay số, không phải khai căn, so sánh ngay

\frac{73}{4}

với

\frac{9}{4}

Đáp số. a)

I (- 2; 0; - \frac{1}{2})

R = \frac{3}{2}

. b)

M

nằm ngoài

(S)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

R = \frac{9}{4}

(quên khai căn) hoặc đọc tâm

(2; 0; \frac{1}{2})

. Nếu lấy nhầm tâm

(2; 0; \frac{1}{2})

thì

I M^{2} = \frac{1}{4} < \frac{9}{4}

và kết luận sai thành “

M

nằm trong”.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để điểm

N (m; 0; 1)

thuộc

(S)

: giải

(m + 2)^{2} + \frac{9}{4} = \frac{9}{4}

, được đúng một giá trị

m = - 2

— khi đó

N

là điểm cao nhất của mặt cầu theo trục

O z

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 55— Viết phương trình mặt cầu biết tâm – bán kính, biết đường kính

Luyện tập 2 (trang 55). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình mặt cầu

(S)

trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính

R = 1

.
b) Đường kính

A B

, với

A (1; - 1; 2)

B (2; - 3; - 1)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu đường kính $A B$ : tâm là trung điểm $J$ của $A B$ , $R = \frac{A B}{2}$ ; $M$ thuộc mặt cầu $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) đã có đủ tâm và bán kính, thay thẳng vào dạng chuẩn. Câu b) cho đường kính: tâm là trung điểm

A B

, bán kính bằng nửa

A B

; hoặc dùng tính chất “góc nhìn đường kính là góc vuông” để viết phương trình không cần tìm tâm. Bẫy: lấy

R = A B

thay vì

\frac{A B}{2}

1Cách 1. Tâm là trung điểm, bán kính bằng nửa AB

Định hướng. Tìm trung điểm $J$ và độ dài $A B$ rồi thay vào dạng chuẩn.

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

J (\frac{1 + 2}{2}; \frac{- 1 - 3}{2}; \frac{2 - 1}{2}) = (\frac{3}{2}; - 2; \frac{1}{2})

A B = (2 - 1)^{2} + (- 3 + 1)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 14 \Rightarrow R = \frac{14}{2}

R^{2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}

(S) : (x - \frac{3}{2})^{2} + (y + 2)^{2} + (z - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}

Vậy a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ; b) $(x - \frac{3}{2})^{2} + (y + 2)^{2} + (z - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}$ .

2Cách 2. Góc nhìn đường kính là góc vuông

Định hướng. Điểm $M$ thuộc mặt cầu đường kính $A B$ khi và chỉ khi $M A ⊥ M B$ (kể cả $M$ trùng $A$ hoặc $B$ ).

M A \cdot M B = 0

\Leftrightarrow (x - 1) (x - 2) + (y + 1) (y + 3) + (z - 2) (z + 1) = 0

\Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 + y^{2} + 4 y + 3 + z^{2} - z - 2 = 0

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x + 4 y - z + 3 = 0

\Leftrightarrow (x - \frac{3}{2})^{2} + (y + 2)^{2} + (z - \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4} + 4 + \frac{1}{4} - 3 = \frac{7}{2}

Vậy b) $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x + 4 y - z + 3 = 0$ , tức $(x - \frac{3}{2})^{2} + (y + 2)^{2} + (z - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}$ .

3Cách 3. Tâm là trung điểm, bán kính bằng JA

Định hướng. Không cần tính $A B$ : bán kính chính là khoảng cách từ tâm $J$ tới một đầu mút.

J (\frac{3}{2}; - 2; \frac{1}{2})

R^{2} = J A^{2} = (1 - \frac{3}{2})^{2} + (- 1 + 2)^{2} + (2 - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} = \frac{7}{2}

(S) : (x - \frac{3}{2})^{2} + (y + 2)^{2} + (z - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}

Vậy cùng kết quả như hai cách trên.

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: $J B^{2} = \frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} = \frac{7}{2} = J A^{2}$ , đúng như $J$ là trung điểm $A B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 khi đề chỉ hỏi phương trình (ra thẳng dạng khai triển, không phải tính căn); dùng Cách 1 khi đề hỏi thêm tâm, bán kính.

Đáp số. a)

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

. b)

(x - \frac{3}{2})^{2} + (y + 2)^{2} + (z - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

R = A B = 14

, được vế phải bằng 14: khi đó điểm

A

không thuộc mặt cầu vì

J A^{2} = \frac{7}{2} \neq = 14

. Cũng hay sai khi viết

R^{2} = \frac{14}{2}

(quên bình phương).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mặt cầu đường kính

A B

có phương trình

(x - x_{A}) (x - x_{B}) + (y - y_{A}) (y - y_{B}) + (z - z_{A}) (z - z_{B}) = 0

— thử dùng để viết ngay mặt cầu đường kính

A B

với

A (0; 0; 0)

B (2; 4; 6)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 3★★Trang 56— Nhận dạng phương trình mặt cầu dạng khai triển

Luyện tập 3 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho

(S)

là tập hợp các điểm

M (x; y; z)

có toạ độ thoả mãn phương trình:

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

. Chứng minh rằng

(S)

là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .
Hằng đẳng thức $x^{2} - 2 a x = (x - a)^{2} - a^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

x^{2}

y^{2}

z^{2}

bằng nhau (cùng bằng 1) và không có tích chéo

x y

y z

z x

— dấu hiệu có thể thêm bớt để đưa về tổng ba bình phương. Chứng minh là mặt cầu tức là chỉ ra được dạng

I M^{2} = R^{2}

với

R^{2} > 0

1Cách 1. Thêm bớt thành tổng bình phương

Định hướng. Gom theo từng biến, thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức.

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) + z^{2} = 12 + 4 + 9

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 25 = 5^{2}

I M^{2} = 5^{2}

với

I (2; - 3; 0)

Vậy $(S)$ là mặt cầu tâm $I (2; - 3; 0)$ , bán kính $R = 5$ .

2Cách 2. Dùng công thức a, b, c, d

Định hướng. So với $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ để đọc $a$ , $b$ , $c$ , $d$ rồi kiểm tra $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

- 2 a = - 4, - 2 b = 6, - 2 c = 0, d = - 12

a = 2, b = - 3, c = 0

a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 4 + 9 + 0 + 12 = 25 > 0

R = 25 = 5

Vậy $(S)$ là mặt cầu tâm $I (2; - 3; 0)$ , $R = 5$ .

3Cách 3. Đồng nhất hệ số với dạng chuẩn

Định hướng. Giả sử $(S)$ là mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R$ ; khai triển dạng chuẩn rồi đồng nhất hệ số, thấy hệ có nghiệm với $R^{2} > 0$ .

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} - R^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}

⎩ ⎨ ⎧ - 2 a = - 4 - 2 b = 6 - 2 c = 0 a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} = - 12 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = 2 b = - 3 c = 0 R^{2} = 25

Vậy phương trình đã cho trùng với $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 25$ , nên $(S)$ là mặt cầu tâm $I (2; - 3; 0)$ , $R = 5$ .

Nhận xét. Vì $d = - 12 < 0$ nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ chắc chắn dương: mọi phương trình dạng này có $d < 0$ đều là mặt cầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đọc ngay

a

b

c

d

và một phép tính kiểm tra dấu; Cách 1 dùng khi đề yêu cầu “chứng minh” trình bày tự luận.

Đáp số.

(S)

là mặt cầu tâm

I (2; - 3; 0)

, bán kính

R = 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đọc tâm theo dấu của hệ số:

I (- 4; 6; 0)

hoặc

I (- 2; 3; 0)

. Phải chia hệ số của

x

y

z

cho

- 2

: hệ số

- 4

của

x

cho

a = 2

, hệ số

6

của

y

cho

b = - 3

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y + m = 0

là phương trình mặt cầu: cần

4 + 9 - m > 0

, tức

m < 13

; mặt cầu có bán kính 5 khi

m = - 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 4★★Trang 56— Xác định tâm, bán kính từ phương trình khai triển

Luyện tập 4 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

có phương trình:

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 5 y + 6 z + \frac{25}{4} = 0

. Xác định tâm, tính bán kính của

(S)

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình có dạng

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0

với hệ số lẻ (

- 5 y

) và hằng số phân số — dùng công thức

a

b

c

d

sẽ gọn hơn thêm bớt. Bẫy:

b = \frac{5}{2}

(không phải

- \frac{5}{2}

) vì

- 2 b = - 5

1Cách 1. Dùng công thức a, b, c, d

Định hướng. Đọc hệ số, chia cho $- 2$ để có toạ độ tâm.

- 2 a = 4, - 2 b = - 5, - 2 c = 6, d = \frac{25}{4}

a = - 2, b = \frac{5}{2}, c = - 3

R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 4 + \frac{25}{4} + 9 - \frac{25}{4} = 13

R = 13

Vậy $(S)$ có tâm $I (- 2; \frac{5}{2}; - 3)$ , bán kính $R = 13$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương

Định hướng. Gom theo từng biến và hoàn thành bình phương.

(x^{2} + 4 x + 4) + (y^{2} - 5 y + \frac{25}{4}) + (z^{2} + 6 z + 9) = 4 + \frac{25}{4} + 9 - \frac{25}{4}

(x + 2)^{2} + (y - \frac{5}{2})^{2} + (z + 3)^{2} = 13

Vậy tâm $I (- 2; \frac{5}{2}; - 3)$ , $R = 13$ .

3Cách 3. Đồng nhất hệ số với dạng chuẩn

Định hướng. Khai triển $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ rồi so hệ số.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} = 0

⎩ ⎨ ⎧ - 2 a = 4 - 2 b = - 5 - 2 c = 6 a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} = \frac{25}{4} \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = - 2 b = \frac{5}{2} c = - 3 R^{2} = 13

Vậy tâm $I (- 2; \frac{5}{2}; - 3)$ , $R = 13$ .

Nhận xét. Số $\frac{25}{4} = b^{2}$ triệt tiêu đúng phần bình phương của $y$ , nên $R^{2} = a^{2} + c^{2} = 4 + 9$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc hệ số, không phải thêm bớt phân số; chỉ cần nhớ chia cho

- 2

Đáp số. Tâm

I (- 2; \frac{5}{2}; - 3)

, bán kính

R = 13

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là cộng

d

thay vì trừ:

4 + \frac{25}{4} + 9 + \frac{25}{4} = \frac{77}{2}

, ra

R = \frac{77}{2}

— thử lại điểm

(- 2 + 13; \frac{5}{2}; - 3)

(thuộc mặt cầu đúng) sẽ thấy nó không thoả mặt cầu sai.

🚀 Mở rộng. Cho phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 5 y + 6 z + m = 0

; tìm

m

để mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

(O x y)

: cần

R = ∣ c ∣ = 3

, tức

4 + \frac{25}{4} + 9 - m = 9

, được

m = \frac{41}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 5★★★Trang 58— Khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí

Luyện tập 5 (trang 58). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí

A

là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí

B

4 5^{\circ} N

3 0^{\circ} E

Kiến thức cần nhớ

Vị trí có vĩ độ $α^{\circ} N$ , kinh độ $β^{\circ} E$ trên Trái Đất $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ có toạ độ $(cos α^{\circ} cos β^{\circ}; cos α^{\circ} sin β^{\circ}; sin α^{\circ})$ ; 1 đơn vị dài ứng với 6 371 km.
Cung nhỏ $P Q$ trên đường tròn tâm $O$ bán kính 1 có độ dài bằng số đo radian của $P O Q$ , với $cos P O Q = O P \cdot O Q$ .
Quy ước của SGK: kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư.

🧠 Phân tích tư duy

Giao của kinh tuyến gốc và xích đạo có vĩ độ

0^{\circ}

, kinh độ

0^{\circ}

, nên

A (1; 0; 0)

nằm ngay trên tia

O x

. Làm như Ví dụ 5: toạ độ hoá, tìm góc

A O B

qua tích vô hướng, rồi tính độ dài cung. Nhờ

A (1; 0; 0)

tích vô hướng chỉ còn một số hạng.

1Cách 1. Toạ độ hoá và tích vô hướng

Định hướng. Đổi hai vị trí ra toạ độ trên mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

A (1; 0; 0)

B (cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ}; cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}; sin 4 5^{\circ}) = (\frac{6}{4}; \frac{2}{4}; \frac{2}{2})

cos A O B = \frac{O A \cdot O B}{∣ O A ∣ \cdot ∣ O B ∣} = \frac{6}{4} \approx 0, 6124

A O B \approx 52, 238 8^{\circ}

A B ⌢ \approx \frac{52 , 2388}{360} \cdot 6, 2832 \approx 0, 9117

0, 9117 \cdot 6371 \approx 5808, 4407

(km)

Vậy khoảng cách trên mặt đất từ $A$ đến $B$ xấp xỉ 5 808,4407 km (làm tròn theo quy ước SGK).

2Cách 2. Công thức lượng giác cầu

Định hướng. Dùng $cos A O B = sin α_{1} sin α_{2} + cos α_{1} cos α_{2} cos (β_{2} - β_{1})$ với $α_{1} = β_{1} = 0$ .

cos A O B = sin 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} + cos 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{4}

A O B \approx 0, 91174

rad

ℓ \approx 0, 91174 \cdot 6371 \approx 5808, 7

(km)

Vậy khoảng cách xấp xỉ 5 808,7 km (tính liền, không làm tròn giữa chừng).

3Cách 3. Qua độ dài dây cung AB

Định hướng. Tính dây $A B$ bằng toạ độ rồi suy ra nửa góc ở tâm trong tam giác cân $O A B$ .

A B^{2} = (1 - \frac{6}{4})^{2} + (\frac{2}{4})^{2} + (\frac{2}{2})^{2} = 2 - \frac{6}{2} \approx 0, 7753

A B \approx 0, 8805

sin \frac{A O B}{2} = \frac{A B}{2} \approx 0, 4403 \Rightarrow A O B \approx 52, 2 4^{\circ}

ℓ \approx \frac{52 , 24 π}{180} \cdot 6371 \approx 5809

(km)

Vậy khoảng cách xấp xỉ 5 809 km.

Nhận xét. Ba cách cùng cho khoảng 5 808 km; phần lệch sau dấu phẩy chỉ do làm tròn ở các bước trung gian.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: vì

A

ở giao kinh tuyến gốc và xích đạo nên

cos A O B = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ}

ra ngay, chỉ một dòng.

Đáp số.

cos A O B = \frac{6}{4}

A O B \approx 52, 238 8^{\circ}

; khoảng cách

\approx 5808, 4407

km (làm tròn theo SGK), tính liền không làm tròn

\approx 5808, 68

km.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy toạ độ

A (0; 0; 0)

vì “vĩ độ 0, kinh độ 0” — đó là tâm Trái Đất, không nằm trên mặt đất. Đúng phải là

A (cos 0^{\circ} cos 0^{\circ}; cos 0^{\circ} sin 0^{\circ}; sin 0^{\circ}) = (1; 0; 0)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: khoảng cách từ

A

tới vị trí

α^{\circ} N

β^{\circ} E

bất kì là

6371 \cdot arccos (cos α^{\circ} cos β^{\circ})

km; thử với vị trí

0^{\circ} N

9 0^{\circ} E

sẽ được một phần tư chu vi xích đạo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Trải nghiệm★★Trang 58— Hoạt động thực hành – đối chiếu đo đạc với tính toán

Trải nghiệm (trang 58). Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí

0^{\circ} N

0^{\circ} E

đến vị trí

4 5^{\circ} N

3 0^{\circ} E

và so sánh với kết quả tính được ở Luyện tập 5.

Kiến thức cần nhớ

Cung nhỏ $P Q$ trên đường tròn tâm $O$ bán kính 1 có độ dài bằng số đo radian của $P O Q$ , với $cos P O Q = O P \cdot O Q$ .
Sai số tương đối giữa số đo $d_{1}$ và số tính $d_{2}$ là $\frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{d _{2}} \cdot 100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là hoạt động đo trên phần mềm nên không có một đáp số cố định để chép; việc cần làm là biết cách đặt hai điểm theo toạ độ và biết dự đoán kết quả. Dữ kiện ở Mở đầu (Google Maps cho 8 271,74 km, công thức mặt cầu cho 8 271,73 km) cho thấy Google Maps đo theo mô hình mặt cầu, nên có thể dự báo trước con số sẽ đọc được.

1Cách 1. Thao tác đo trên Google Maps

Định hướng. Đặt đúng hai điểm theo toạ độ rồi dùng chức năng đo khoảng cách.

Gõ “0, 0” vào ô tìm kiếm

\Rightarrow

điểm

A

(vịnh Guinea, giao của kinh tuyến gốc và xích đạo)
Nhấp chuột phải tại

A

\Rightarrow

“Đo khoảng cách”
Gõ “45, 30”

\Rightarrow

điểm

B

(Biển Đen, ngoài khơi châu thổ sông Đa-nuýp)

\Rightarrow

nhấp vào

B

Đọc tổng khoảng cách

d_{1}

ở khung kết quả

Vậy số đo $d_{1}$ đọc được sẽ xấp xỉ 5 808 km.

2Cách 2. Dự báo trước bằng tính toán và so sánh

Định hướng. Lấy tỉ lệ ở Mở đầu để suy ra bán kính mà Google Maps dùng, rồi dự báo số đo cho cặp điểm mới.

\frac{8 271 , 74}{1 , 29834} \approx 6371, 0

(km) — bán kính Google Maps dùng khớp với 6 371 km

d_{1} \approx 0, 91174 \cdot 6371 \approx 5808, 7

(km)

d_{2} \approx 5808, 4407

(km) — kết quả Luyện tập 5

\frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{d _{2}} \approx \frac{0 , 25}{5 808} \approx 0, 004%

Vậy số đo trên Google Maps và kết quả Luyện tập 5 gần như trùng nhau (lệch cỡ 0,25 km, do làm tròn giữa chừng khi tính tay).

Nhận xét. Nếu số đo của em lệch vài km thì nguyên nhân thường là đặt điểm bằng cách bấm chuột chưa đúng toạ độ; nên gõ toạ độ vào ô tìm kiếm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên làm Cách 2 trước khi đo: có số dự báo trong tay thì phát hiện ngay nếu đặt điểm sai.

Đáp số. Google Maps cho xấp xỉ 5 808,7 km; kết quả Luyện tập 5 là 5 808,4407 km — hai kết quả gần như trùng nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đo đường đi (chỉ đường ô tô, đường bay) thay cho “Đo khoảng cách”, được con số lớn hơn hẳn và kết luận nhầm là công thức sai.

🚀 Mở rộng. Chọn thêm hai thành phố em biết (ví dụ Hà Nội

2 1^{\circ} N

105, 8 5^{\circ} E

và một thủ đô khác), tính trước bằng công thức rồi đo lại để tự kiểm tra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.25★Trang 59— Đọc tâm, bán kính từ dạng chuẩn

Bài 5.25 (trang 59). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

có phương trình

(x - \frac{1}{2})^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 9

. Xác định tâm và bán kính của

(S)

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình đã ở dạng chuẩn, chỉ cần viết mỗi ngoặc thành dạng “biến trừ số” để đọc tâm, và khai căn vế phải để có bán kính. Bẫy:

y + 1

cho

b = - 1

, còn

z^{2}

cho

c = 0

1Cách 1. Đọc trực tiếp từ dạng chuẩn

Định hướng. Viết lại cho đủ dạng $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

(x - \frac{1}{2})^{2} + [y - (- 1)]^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}

Vậy $(S)$ có tâm $I (\frac{1}{2}; - 1; 0)$ , bán kính $R = 3$ .

2Cách 2. Khai triển rồi dùng công thức a, b, c, d

Định hướng. Đưa về dạng tổng quát và kiểm tra lại bằng công thức.

x^{2} - x + \frac{1}{4} + y^{2} + 2 y + 1 + z^{2} - 9 = 0

x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + 2 y - \frac{31}{4} = 0

a = \frac{1}{2}, b = - 1, c = 0, d = - \frac{31}{4}

R^{2} = \frac{1}{4} + 1 + 0 + \frac{31}{4} = 9

Vậy tâm $I (\frac{1}{2}; - 1; 0)$ , $R = 3$ .

3Cách 3. Tìm hai đầu mút của một đường kính

Định hướng. Cắt $(S)$ bởi đường thẳng qua tâm song song với $O x$ ( $y = - 1$ , $z = 0$ ): hai giao điểm là hai đầu một đường kính.

y = - 1, z = 0 : (x - \frac{1}{2})^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}

hoặc

x = - \frac{5}{2}

E (\frac{7}{2}; - 1; 0)

F (- \frac{5}{2}; - 1; 0)

I = \frac{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}}{2}; - 1; 0 = (\frac{1}{2}; - 1; 0)

R = \frac{E F}{2} = \frac{6}{2} = 3

Vậy tâm $I (\frac{1}{2}; - 1; 0)$ , bán kính $R = 3$ .

Nhận xét. Cách này cho thấy ý nghĩa hình học: tâm là trung điểm mọi đường kính, bán kính là nửa đường kính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc ngay trong một dòng.

Đáp số. Tâm

I (\frac{1}{2}; - 1; 0)

, bán kính

R = 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là trả lời

R = 9

(quên khai căn) hoặc tâm

(- \frac{1}{2}; 1; 0)

(lấy theo dấu trong ngoặc). Thử lại: điểm

(\frac{1}{2}; - 1; 9)

cách

I

đúng 9 nhưng không thoả phương trình vì

81 \neq = 9

🚀 Mở rộng. Mặt cầu này cắt mặt phẳng

(O x y)

theo đường tròn nào? Thay

z = 0

được đường tròn tâm

(\frac{1}{2}; - 1; 0)

, bán kính 3 — chính là đường tròn lớn vì tâm cầu nằm trên

(O x y)

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.26★Trang 59— Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Bài 5.26 (trang 59). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình của mặt cầu

(S)

có tâm

I (- 2; 0; 5)

và bán kính

R = 2

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ tâm và bán kính — thay thẳng vào dạng chuẩn. Bẫy về dấu: toạ độ

- 2

của tâm cho ngoặc

(x + 2)

1Cách 1. Thay vào dạng chuẩn

Định hướng. Dùng $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ với $a = - 2$ , $b = 0$ , $c = 5$ , $R = 2$ .

(x + 2)^{2} + (y - 0)^{2} + (z - 5)^{2} = 2^{2}

(x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4

Vậy $(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4$ .

2Cách 2. Từ định nghĩa IM = R

Định hướng. Điểm $M (x; y; z)$ thuộc $(S)$ khi và chỉ khi $I M = 2$ .

I M = 2 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 2

I M = 2 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4

Vậy $(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4$ .

3Cách 3. Viết dạng khai triển

Định hướng. Dạng tổng quát có $a = - 2$ , $b = 0$ , $c = 5$ và $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2}$ .

d = 4 + 0 + 25 - 4 = 25

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 10 z + 25 = 0

Vậy $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 10 z + 25 = 0$ , tương đương $(x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4$ .

Nhận xét. Kiểm tra: điểm $(0; 0; 5)$ cách $I$ đúng 2 và thoả $0 + 0 + 25 + 0 - 50 + 25 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng, ít sai dấu nhất.

Đáp số.

(S) : (x + 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4

(hay

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 10 z + 25 = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

(x - 2)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 4

(sai dấu) hoặc vế phải bằng 2. Với phương trình sai dấu, tâm

I (- 2; 0; 5)

không cách các điểm của mặt cầu một khoảng bằng 2: điểm

(2; 0; 7)

thoả phương trình sai nhưng cách

I

tới

20

🚀 Mở rộng. Mặt cầu này có tiếp xúc với mặt phẳng

(O y z)

không? Khoảng cách từ

I

tới

(O y z)

là

∣ - 2∣ = 2 = R

nên có — thử tìm tiếp điểm

(0; 0; 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.27★★Trang 59— Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng

Bài 5.27 (trang 59). Trong không gian

O x y z

, viết phương trình của mặt cầu

(S)

có tâm

I (0; 3; - 1)

và có bán kính bằng khoảng cách từ

I

đến mặt phẳng

(P) : 3 x + 2 y - z = 0

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Khoảng cách từ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là $\frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc $(P)$ $\Leftrightarrow R = d (I, (P))$ ; tiếp điểm là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bán kính bằng khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng nghĩa là mặt cầu tiếp xúc với

(P)

. Chỉ cần tính

d (I, (P))

bằng công thức, hoặc tìm hình chiếu

H

của

I

trên

(P)

(chính là tiếp điểm) rồi lấy

R = I H

. Bẫy: quên trị tuyệt đối hoặc chia sai cho

3^{2} + 2^{2} + 1^{2}

1Cách 1. Công thức khoảng cách

Định hướng. Tính $d (I, (P))$ rồi thay vào dạng chuẩn.

R = d (I, (P)) = \frac{∣3 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - ( - 1 ) ∣}{3 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{7}{14}

R^{2} = \frac{49}{14} = \frac{7}{2}

(S) : x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 1)^{2} = \frac{7}{2}

Vậy $(S) : x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 1)^{2} = \frac{7}{2}$ .

2Cách 2. Tìm tiếp điểm H là hình chiếu của I

Định hướng. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $(P)$ có vectơ chỉ phương $n = (3; 2; - 1)$ ; giao của nó với $(P)$ là $H$ .

H (3 t; 3 + 2 t; - 1 - t) \in (P)

\Leftrightarrow 9 t + 6 + 4 t + 1 + t = 0 \Leftrightarrow 14 t = - 7 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}

H (- \frac{3}{2}; 2; - \frac{1}{2})

R^{2} = I H^{2} = (- \frac{3}{2})^{2} + (2 - 3)^{2} + (- \frac{1}{2} + 1)^{2} = \frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4} = \frac{7}{2}

Vậy $(S) : x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 1)^{2} = \frac{7}{2}$ , tiếp xúc $(P)$ tại $H (- \frac{3}{2}; 2; - \frac{1}{2})$ .

3Cách 3. Chiếu vectơ lên pháp tuyến

Định hướng. $O (0; 0; 0) \in (P)$ ; khoảng cách từ $I$ tới $(P)$ là độ dài hình chiếu của $O I$ lên $n$ .

O I = (0; 3; - 1)

n = (3; 2; - 1)

R = \frac{∣ O I \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣0 + 6 + 1∣}{14} = \frac{7}{14}

R^{2} = \frac{7}{2}

Vậy $(S) : x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 1)^{2} = \frac{7}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao công thức khoảng cách có dạng $\frac{∣ \dots ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ : đó là độ dài hình chiếu lên pháp tuyến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức, ra ngay

R^{2} = \frac{7}{2}

; dùng Cách 2 khi đề hỏi thêm tiếp điểm.

Đáp số.

(S) : x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 1)^{2} = \frac{7}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính

∣0 + 6 - 1∣ = 5

(quên đổi dấu khi thay

z = - 1

vào

- z

), được

R^{2} = \frac{25}{14}

; khi đó

I H^{2} = \frac{7}{2} \neq = \frac{25}{14}

nên mặt cầu không tiếp xúc

(P)

🚀 Mở rộng. Cùng tâm

I

, tìm bán kính để mặt cầu cắt

(P)

theo đường tròn bán kính 1:

R^{2} = d^{2} + 1 = \frac{7}{2} + 1 = \frac{9}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.28★Trang 59— Xác định tâm, bán kính từ phương trình khai triển

Bài 5.28 (trang 59). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 8 z - 18 = 0

. Xác định tâm, tính bán kính của

(S)

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng khai triển với hệ số

x^{2}

y^{2}

z^{2}

bằng 1: đọc

a

b

c

bằng cách chia hệ số bậc nhất cho

- 2

. Hằng số

d = - 18 < 0

nên chắc chắn là mặt cầu.

1Cách 1. Dùng công thức a, b, c, d

Định hướng. Đọc hệ số rồi tính $R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

a = - 1, b = 1, c = - 4, d = - 18

R^{2} = 1 + 1 + 16 + 18 = 36

R = 6

Vậy $(S)$ có tâm $I (- 1; 1; - 4)$ , bán kính $R = 6$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương

Định hướng. Hoàn thành bình phương theo từng biến.

(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) + (z^{2} + 8 z + 16) = 18 + 1 + 1 + 16

(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 4)^{2} = 36 = 6^{2}

Vậy tâm $I (- 1; 1; - 4)$ , $R = 6$ .

3Cách 3. Đồng nhất hệ số với dạng chuẩn

Định hướng. So hệ số của phương trình đã cho với khai triển của $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

⎩ ⎨ ⎧ - 2 a = 2 - 2 b = - 2 - 2 c = 8 a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} = - 18 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = - 1 b = 1 c = - 4 R^{2} = 36

Vậy tâm $I (- 1; 1; - 4)$ , $R = 6$ .

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: điểm $(5; 1; - 4)$ cách $I$ đúng 6 và thoả $25 + 1 + 16 + 10 - 2 - 32 - 18 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc hệ số, ba phép cộng là xong.

Đáp số. Tâm

I (- 1; 1; - 4)

, bán kính

R = 6

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

R^{2} = 1 + 1 + 16 - 18 = 0

(quên

d = - 18

mang dấu âm) rồi kết luận “không phải mặt cầu”; đúng là

R^{2} = 1 + 1 + 16 - (- 18) = 36

🚀 Mở rộng. Tìm điểm của

(S)

gần gốc toạ độ nhất: vì

O I = 18 < 6

nên

O

nằm trong mặt cầu, điểm gần nhất nằm trên tia

I O

và cách

O

một khoảng

6 - 32

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.29★★Trang 59— Nhận dạng phương trình mặt cầu

Bài 5.29 (trang 59). Trong không gian

O x y z

, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
a)

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 5 z + 30 = 0

;
b)

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z = 0

;
c)

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 2 x + 6 y - 9 z - 10 = 0

;
d)

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .
Nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d \leq 0$ thì tập điểm thoả phương trình là rỗng hoặc chỉ một điểm, không phải mặt cầu.

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình mặt cầu phải là bậc hai, hệ số

x^{2}

y^{2}

z^{2}

bằng nhau, không có tích chéo, và

a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

. Câu c) sai ngay từ bậc (lập phương); a), d) phải kiểm tra dấu của

a^{2} + b^{2} + c^{2} - d

1Cách 1. Dùng điều kiện a² + b² + c² − d > 0

Định hướng. Đọc $a$ , $b$ , $c$ , $d$ cho từng phương trình bậc hai rồi xét dấu.

a = 1, b = 0, c = \frac{5}{2}, d = 30 : 1 + 0 + \frac{25}{4} - 30 = - \frac{91}{4} < 0

a = 2, b = - 1, c = 1, d = 0 : 4 + 1 + 1 - 0 = 6 > 0

c) phương trình bậc ba, không có dạng

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0

a = b = c = 0, d = 5 : 0 - 5 = - 5 < 0

Vậy chỉ b) là phương trình mặt cầu, tâm $I (2; - 1; 1)$ , bán kính $R = 6$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương

Định hướng. Đưa về dạng $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = k$ và nhìn dấu của $k$ .

(x - 1)^{2} + y^{2} + (z - \frac{5}{2})^{2} = 1 + \frac{25}{4} - 30 = - \frac{91}{4}

(vô nghiệm)
b)

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4 + 1 + 1 = 6

x^{2} + y^{2} + z^{2} = - 5

(vô nghiệm)

Vậy a), d) không có điểm nào thoả mãn, c) không phải bậc hai; chỉ b) là mặt cầu tâm $I (2; - 1; 1)$ , $R = 6$ .

3Cách 3. Lập luận hình học: mặt cầu là tập bị chặn và khác rỗng

Định hướng. Một mặt cầu vừa khác rỗng vừa nằm gọn trong một khối lập phương đủ lớn; chỉ ra tập nghiệm vi phạm một trong hai điều đó.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 5 z + 30 = (x - 1)^{2} + y^{2} + (z - \frac{5}{2})^{2} + \frac{91}{4} > 0

\Rightarrow

tập rỗng
d)

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 \geq 5 > 0

\Rightarrow

tập rỗng
c) chọn

y = - x

x^{3} + (- x)^{3} = 0

, phương trình còn

z^{3} - 8 x - 9 z - 10 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{z ^{3} - 9 z - 10}{8}

mỗi

z

cho một điểm

(\frac{z ^{3} - 9 z - 10}{8}; - \frac{z ^{3} - 9 z - 10}{8}; z)

z

lớn tuỳ ý

\Rightarrow

tập không bị chặn
b)

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 6 \Leftrightarrow I M = 6

với

I (2; - 1; 1)

Vậy chỉ b) là phương trình mặt cầu, tâm $I (2; - 1; 1)$ , bán kính $R = 6$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích “vì sao” c) không phải mặt cầu: tập nghiệm của nó chạy ra xa vô hạn, điều không thể xảy ra với một mặt cầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: loại c) bằng mắt (bậc ba), ba câu còn lại mỗi câu một phép tính dấu.

Đáp số. Chỉ b) là phương trình mặt cầu: tâm

I (2; - 1; 1)

, bán kính

R = 6

. Các phương trình a), c), d) không phải phương trình mặt cầu.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở d) là coi

x^{2} + y^{2} + z^{2} = - 5

là mặt cầu tâm

O

bán kính

5

(bỏ dấu âm). Không có điểm nào thoả mãn, chẳng hạn

O

cho

0 = - 5

vô lí. Ở a) hay đọc nhầm

c = 5

(quên chia 2), được

1 + 25 - 30 = - 4

— tình cờ vẫn âm nhưng lập luận sai.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 5 z + m = 0

là phương trình mặt cầu: cần

1 + \frac{25}{4} - m > 0

, tức

m < \frac{29}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.30★★Trang 59— Vị trí của điểm đối với mặt cầu – bài toán thực tiễn

Bài 5.30 (trang 59). Trong không gian

O x y z

, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí

A (2; 0; 0)

. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí

M (2; 1; 1)

có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Điểm $M$ nằm trong, thuộc, nằm ngoài mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ khi và chỉ khi lần lượt $I M < R$ , $I M = R$ , $I M > R$ .
Khối cầu tâm $A (a; b; c)$ bán kính $R$ gồm các điểm thoả $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} \leq R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vùng phủ sóng là khối cầu tâm

A

, bán kính 1: điểm

M

thuộc vùng phủ sóng khi

A M \leq 1

. Bài toán quy về so sánh

A M

với bán kính, hay thay toạ độ

M

vào biểu thức của mặt cầu.

1Cách 1. So sánh AM với bán kính

Định hướng. Tính khoảng cách từ thiết bị tới vị trí $M$ .

A M = (2 - 2)^{2} + (1 - 0)^{2} + (1 - 0)^{2} = 2

2 > 1

Vậy $A M > R$ nên $M$ nằm ngoài mặt cầu, tức vị trí $M$ không thuộc vùng phủ sóng.

2Cách 2. Thay vào bất phương trình của khối cầu

Định hướng. Vùng phủ sóng là tập các điểm thoả $(x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ .

(2 - 2)^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 2

2 > 1

Vậy toạ độ $M$ không thoả mãn $(x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ , nên $M$ không thuộc vùng phủ sóng.

3Cách 3. Đánh giá qua hai toạ độ y, z

Định hướng. Mọi điểm trong vùng phủ sóng có $y^{2} + z^{2} \leq 1 - (x - 2)^{2} \leq 1$ ; chỉ cần nhìn $y$ , $z$ của $M$ .

(x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \Rightarrow y^{2} + z^{2} \leq 1

M : y^{2} + z^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 > 1

Vậy $M$ không thể nằm trong vùng phủ sóng.

Nhận xét. Hình học: vùng phủ sóng nằm gọn trong hình trụ trục $O x$ bán kính 1, còn $M$ cách trục $O x$ một khoảng $2$ , nên nằm ngoài hình trụ đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép thay số, không phải khai căn.

Đáp số.

A M = 2 > 1

nên vị trí

M

không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là so sánh

A M^{2} = 2

với

R = 1

rồi lại so

A M = 2

với

R^{2} = 1

lẫn lộn; ở bài này kết luận tình cờ vẫn đúng, nhưng với

R = 4

và

A M = 3

thì so

A M^{2} = 9

với

R = 4

sẽ kết luận sai là “nằm ngoài”.

🚀 Mở rộng. Thiết bị cần tăng bán kính phủ sóng tối thiểu bao nhiêu để phủ tới

M

? Cần

R \geq A M = 2 \approx 1, 414

Mở bài này trong app ↗