Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang42–43 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.1★Trang 42— Xác suất có điều kiện từ công thức cộng xác suất

Bài 6.1 (trang 42). Cho

P (A) = \frac{2}{5}

;

P (B) = \frac{1}{3}

;

P (A \cup B) = \frac{1}{2}

. Tính

P (A ∣ B)

và

P (B ∣ A)

Kiến thức cần nhớ

Với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ .
Công thức cộng: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai xác suất có điều kiện đều cần tử số chung

P (A B)

, mà đề chỉ cho

P (A \cup B)

— cầu nối là công thức cộng

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

. Có

P (A B)

rồi thì chia cho

P (B)

hoặc

P (A)

. Bẫy: chia nhầm mẫu (tính

P (A ∣ B)

mà chia cho

P (A)

1Cách 1. Tìm P(AB) bằng công thức cộng

Định hướng. Lấy $P (A B)$ từ công thức cộng rồi chia.

P (A B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{12}{30} + \frac{10}{30} - \frac{15}{30} = \frac{7}{30}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{7}{30} : \frac{1}{3} = \frac{7}{30} \cdot 3 = \frac{7}{10}

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} = \frac{7}{30} : \frac{2}{5} = \frac{7}{30} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7}{12}

Hình minh hoạ lời giải

Biểu đồ Ven hai biến cố A, B trong Ω, ghi xác suất của từng vùng

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{10}$ , $P (B ∣ A) = \frac{7}{12}$ .

2Cách 2. Biểu đồ Ven với 30 phần bằng nhau

Định hướng. Chia $Ω$ thành 30 phần đồng khả năng: $A$ chiếm 12, $B$ chiếm 10, $A \cup B$ chiếm 15 phần; đọc số phần trên biểu đồ Ven.

n (A B) = 12 + 10 - 15 = 7

Chỉ

A

12 - 7 = 5

; chỉ

B

10 - 7 = 3

; ngoài

A \cup B

30 - 15 = 15

P (A ∣ B) = \frac{7}{10}

P (B ∣ A) = \frac{7}{12}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{10}$ , $P (B ∣ A) = \frac{7}{12}$ .

3Cách 3. Đi qua phần “chỉ A” và “chỉ B”

Định hướng. $A \cup B$ là hợp rời của $A$ và $\overline{A} B$ , nên $P (\overline{A} B) = P (A \cup B) - P (A)$ ; rồi dùng $P (A ∣ B) = 1 - P (\overline{A} ∣ B)$ .

P (\overline{A} B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow P (\overline{A} ∣ B) = \frac{1}{10} : \frac{1}{3} = \frac{3}{10}

P (A ∣ B) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

P (A \overline{B}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P (\overline{B} ∣ A) = \frac{1}{6} : \frac{2}{5} = \frac{5}{12}

P (B ∣ A) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{10}$ , $P (B ∣ A) = \frac{7}{12}$ .

Nhận xét. Hai kết quả thoả mãn $P (A) \cdot P (B ∣ A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{30} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{10} = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ — đúng công thức nhân, dùng để thử lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức cộng cho

P (A B)

, hai phép chia là xong.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{7}{10}

;

P (B ∣ A) = \frac{7}{12}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

P (A B) = P (A) \cdot P (B) = \frac{2}{15}

(chỉ đúng khi độc lập — ở đây

\frac{7}{30} \neq = \frac{2}{15}

nên

A

B

không độc lập); hoặc đảo mẫu:

P (A ∣ B) = \frac{7}{30} : \frac{2}{5}

🚀 Mở rộng. Tính thêm

P (\overline{A} ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A \cup B )}{P ( B )} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{3}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.2★★Trang 42— Công thức nhân xác suất, biến cố đối

Bài 6.2 (trang 42). Một túi đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Tùng rồi Tùng lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
$P (E) = 1 - P (\overline{E})$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Ít nhất một viên đỏ” có 3 trường hợp (ĐĐ, ĐX, XĐ) nhưng biến cố đối chỉ có 1 trường hợp: cả hai viên đều xanh. Hai lần lấy liên tiếp không hoàn lại (viên đầu đã đưa cho Tùng) nên dùng công thức nhân với xác suất có điều kiện.

1Cách 1. Biến cố đối và công thức nhân

Định hướng. $X_{1}$ , $X_{2}$ : Sơn, Tùng lấy được bi xanh; $\overline{E} = X_{1} X_{2}$ .

P (X_{1}) = \frac{3}{8}

P (X_{2} ∣ X_{1}) = \frac{2}{7}

P (\overline{E}) = P (X_{1}) \cdot P (X_{2} ∣ X_{1}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{28}

P (E) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{25}{28}$ .

2Cách 2. Cộng ba trường hợp rời nhau

Định hướng. Liệt kê ĐĐ, ĐX, XĐ; mỗi trường hợp tính bằng công thức nhân.

ĐĐ:

\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}

; ĐX:

\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}

; XĐ:

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}

P (E) = \frac{20 + 15 + 15}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28}

Vậy $P (E) = \frac{25}{28}$ .

3Cách 3. Tổ hợp

Định hướng. Kết quả chỉ phụ thuộc hai viên được lấy, không phụ thuộc thứ tự: coi như lấy đồng thời 2 viên từ 8 viên.

P (\overline{E}) = \frac{C _{3}^{2}}{C _{8}^{2}} = \frac{3}{28}

P (E) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}

Vậy $P (E) = \frac{25}{28}$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho $\frac{25}{28} \approx 0, 89$ ; biến cố đối luôn là lối tắt khi gặp cụm “ít nhất một”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biến cố đối chỉ có một trường hợp, hai phép nhân là xong.

Đáp số.

\frac{25}{28}

Sai lầm thường gặp. Coi hai lần lấy độc lập:

1 - (\frac{3}{8})^{2} = \frac{55}{64}

— sai vì viên thứ nhất không trả lại túi; hoặc quên trường hợp XĐ khi cộng trực tiếp, ra

\frac{35}{56}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: túi có

a

bi đỏ,

b

bi xanh (

b \geq 2

), lấy lần lượt 2 viên không hoàn lại thì xác suất có ít nhất một viên đỏ là

1 - \frac{b ( b - 1 )}{( a + b ) ( a + b - 1 )}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.3★★Trang 42— Công thức nhân xác suất với rút thẻ không hoàn lại

Bài 6.3 (trang 42). Một hộp chứa 20 tấm thẻ đánh số

{1; 2; \dots; 20}

. Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ đưa cho Hà rồi Hà rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai thẻ Hà nhận được đều ghi số nguyên tố.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
Các số nguyên tố không vượt quá 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (8 số); số 1 không là số nguyên tố.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.4★★Trang 43— Công thức nhân xác suất, cộng các trường hợp rời nhau

Bài 6.4 (trang 43). Một hộp chứa 17 viên bi đỏ, 13 viên bi xanh. An lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Bình rồi Bình lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi Bình nhận được:
a) Đều là bi đỏ;
b) Là hai viên bi khác màu.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
Hai biến cố xung khắc: $P (E \cup F) = P (E) + P (F)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.5★★Trang 43— Chứng minh tính độc lập qua xác suất có điều kiện

Bài 6.5 (trang 43). Cho hai biến cố

A

và

B

với

P (A) > 0

P (B) > 0

. Chứng minh rằng nếu

P (A B) = P (A) \cdot P (B)

thì

A

và

B

độc lập.

Kiến thức cần nhớ

Với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
$A$ , $B$ độc lập $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ ; với $P (A), P (B) > 0$ điều này tương đương $P (A ∣ B) = P (A)$ và $P (B ∣ A) = P (B)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.6★★Trang 43— Chứng minh hai biến cố độc lập bằng tích xác suất hoặc xác suất có điều kiện

Bài 6.6 (trang 43). Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A

: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;

B

: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

C

: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.
Chứng minh rằng:
a) Hai biến cố

A

và

B

độc lập;
b) Hai biến cố

B

và

C

độc lập;
c) Hai biến cố

A

và

C

độc lập.

Kiến thức cần nhớ

$A$ , $B$ độc lập $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ ; với $P (A), P (B) > 0$ điều này tương đương $P (A ∣ B) = P (A)$ và $P (B ∣ A) = P (B)$ .
Gieo xúc xắc hai lần: $n (Ω) = 36$ , các kết quả đồng khả năng.