Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.1★Trang 42— Xác suất có điều kiện từ công thức cộng xác suất

Bài 6.1 (trang 42). Cho

P (A) = \frac{2}{5}

;

P (B) = \frac{1}{3}

;

P (A \cup B) = \frac{1}{2}

. Tính

P (A ∣ B)

và

P (B ∣ A)

Kiến thức cần nhớ

Với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ .
Công thức cộng: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai xác suất có điều kiện đều cần tử số chung

P (A B)

, mà đề chỉ cho

P (A \cup B)

— cầu nối là công thức cộng

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

. Có

P (A B)

rồi thì chia cho

P (B)

hoặc

P (A)

. Bẫy: chia nhầm mẫu (tính

P (A ∣ B)

mà chia cho

P (A)

1Cách 1. Tìm P(AB) bằng công thức cộng

Định hướng. Lấy $P (A B)$ từ công thức cộng rồi chia.

P (A B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{12}{30} + \frac{10}{30} - \frac{15}{30} = \frac{7}{30}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{7}{30} : \frac{1}{3} = \frac{7}{30} \cdot 3 = \frac{7}{10}

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} = \frac{7}{30} : \frac{2}{5} = \frac{7}{30} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7}{12}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{10}$ , $P (B ∣ A) = \frac{7}{12}$ .

2Cách 2. Biểu đồ Ven với 30 phần bằng nhau

Định hướng. Chia $Ω$ thành 30 phần đồng khả năng: $A$ chiếm 12, $B$ chiếm 10, $A \cup B$ chiếm 15 phần; đọc số phần trên biểu đồ Ven.

n (A B) = 12 + 10 - 15 = 7

Chỉ

A

12 - 7 = 5

; chỉ

B

10 - 7 = 3

; ngoài

A \cup B

30 - 15 = 15

P (A ∣ B) = \frac{7}{10}

P (B ∣ A) = \frac{7}{12}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{10}$ , $P (B ∣ A) = \frac{7}{12}$ .

3Cách 3. Đi qua phần “chỉ A” và “chỉ B”

Định hướng. $A \cup B$ là hợp rời của $A$ và $\overline{A} B$ , nên $P (\overline{A} B) = P (A \cup B) - P (A)$ ; rồi dùng $P (A ∣ B) = 1 - P (\overline{A} ∣ B)$ .

P (\overline{A} B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow P (\overline{A} ∣ B) = \frac{1}{10} : \frac{1}{3} = \frac{3}{10}

P (A ∣ B) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

P (A \overline{B}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P (\overline{B} ∣ A) = \frac{1}{6} : \frac{2}{5} = \frac{5}{12}

P (B ∣ A) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{10}$ , $P (B ∣ A) = \frac{7}{12}$ .

Nhận xét. Hai kết quả thoả mãn $P (A) \cdot P (B ∣ A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{30} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{10} = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ — đúng công thức nhân, dùng để thử lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức cộng cho

P (A B)

, hai phép chia là xong.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{7}{10}

;

P (B ∣ A) = \frac{7}{12}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

P (A B) = P (A) \cdot P (B) = \frac{2}{15}

(chỉ đúng khi độc lập — ở đây

\frac{7}{30} \neq = \frac{2}{15}

nên

A

B

không độc lập); hoặc đảo mẫu:

P (A ∣ B) = \frac{7}{30} : \frac{2}{5}

🚀 Mở rộng. Tính thêm

P (\overline{A} ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A \cup B )}{P ( B )} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{3}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.2★★Trang 42— Công thức nhân xác suất, biến cố đối

Bài 6.2 (trang 42). Một túi đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Tùng rồi Tùng lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
$P (E) = 1 - P (\overline{E})$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Ít nhất một viên đỏ” có 3 trường hợp (ĐĐ, ĐX, XĐ) nhưng biến cố đối chỉ có 1 trường hợp: cả hai viên đều xanh. Hai lần lấy liên tiếp không hoàn lại (viên đầu đã đưa cho Tùng) nên dùng công thức nhân với xác suất có điều kiện.

1Cách 1. Biến cố đối và công thức nhân

Định hướng. $X_{1}$ , $X_{2}$ : Sơn, Tùng lấy được bi xanh; $\overline{E} = X_{1} X_{2}$ .

P (X_{1}) = \frac{3}{8}

P (X_{2} ∣ X_{1}) = \frac{2}{7}

P (\overline{E}) = P (X_{1}) \cdot P (X_{2} ∣ X_{1}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{28}

P (E) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{25}{28}$ .

2Cách 2. Cộng ba trường hợp rời nhau

Định hướng. Liệt kê ĐĐ, ĐX, XĐ; mỗi trường hợp tính bằng công thức nhân.

ĐĐ:

\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}

; ĐX:

\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}

; XĐ:

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}

P (E) = \frac{20 + 15 + 15}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28}

Vậy $P (E) = \frac{25}{28}$ .

3Cách 3. Tổ hợp

Định hướng. Kết quả chỉ phụ thuộc hai viên được lấy, không phụ thuộc thứ tự: coi như lấy đồng thời 2 viên từ 8 viên.

P (\overline{E}) = \frac{C _{3}^{2}}{C _{8}^{2}} = \frac{3}{28}

P (E) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}

Vậy $P (E) = \frac{25}{28}$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho $\frac{25}{28} \approx 0, 89$ ; biến cố đối luôn là lối tắt khi gặp cụm “ít nhất một”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biến cố đối chỉ có một trường hợp, hai phép nhân là xong.

Đáp số.

\frac{25}{28}

Sai lầm thường gặp. Coi hai lần lấy độc lập:

1 - (\frac{3}{8})^{2} = \frac{55}{64}

— sai vì viên thứ nhất không trả lại túi; hoặc quên trường hợp XĐ khi cộng trực tiếp, ra

\frac{35}{56}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: túi có

a

bi đỏ,

b

bi xanh (

b \geq 2

), lấy lần lượt 2 viên không hoàn lại thì xác suất có ít nhất một viên đỏ là

1 - \frac{b ( b - 1 )}{( a + b ) ( a + b - 1 )}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.3★★Trang 42— Công thức nhân xác suất với rút thẻ không hoàn lại

Bài 6.3 (trang 42). Một hộp chứa 20 tấm thẻ đánh số

{1; 2; \dots; 20}

. Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ đưa cho Hà rồi Hà rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai thẻ Hà nhận được đều ghi số nguyên tố.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
Các số nguyên tố không vượt quá 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (8 số); số 1 không là số nguyên tố.

🧠 Phân tích tư duy

Hà nhận được hai thẻ: thẻ Nam đưa và thẻ Hà tự rút; cả hai phải là số nguyên tố. Hai lần rút liên tiếp không hoàn lại nên dùng công thức nhân

P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

. Việc đầu tiên là đếm đúng số nguyên tố từ 1 đến 20 (không tính 1).

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $A$ : “thẻ Nam rút ghi số nguyên tố”, $B$ : “thẻ Hà rút ghi số nguyên tố”.

Số nguyên tố:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

— có

8

số

P (A) = \frac{8}{20}

P (B ∣ A) = \frac{7}{19}

P (A B) = \frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} = \frac{56}{380} = \frac{14}{95} \approx 0, 147

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{14}{95}$ .

2Cách 2. Đếm cặp có thứ tự

Định hướng. Mỗi kết quả là một cặp (thẻ của Nam, thẻ của Hà) gồm 2 thẻ khác nhau, đồng khả năng.

n (Ω) = 20 \cdot 19 = 380

n (A B) = 8 \cdot 7 = 56

P (A B) = \frac{56}{380} = \frac{14}{95}

Vậy $P (A B) = \frac{14}{95}$ .

3Cách 3. Tổ hợp

Định hướng. Hà nhận đúng 2 thẻ bất kì trong 20 thẻ; thứ tự không quan trọng nên dùng tổ hợp.

P = \frac{C _{8}^{2}}{C _{20}^{2}} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}

Vậy $P = \frac{14}{95}$ .

Nhận xét. Cách 1 (công thức nhân) và Cách 3 (tổ hợp) cho cùng đáp số vì $\frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} = \frac{8 \cdot 7/2}{20 \cdot 19/2} = \frac{C _{8}^{2}}{C _{20}^{2}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng tinh thần bài học (công thức nhân), hai phân số nhân nhau là xong.

Đáp số.

\frac{14}{95} \approx 0, 147

Sai lầm thường gặp. Đếm cả số 1 là số nguyên tố (9 số) ra

\frac{9}{20} \cdot \frac{8}{19} = \frac{18}{95}

; hoặc coi hai lần độc lập, ra

(\frac{8}{20})^{2} = \frac{4}{25}

🚀 Mở rộng. Tính thêm xác suất để đúng một trong hai thẻ ghi số nguyên tố:

2 \cdot \frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} = \frac{48}{95}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.4★★Trang 43— Công thức nhân xác suất, cộng các trường hợp rời nhau

Bài 6.4 (trang 43). Một hộp chứa 17 viên bi đỏ, 13 viên bi xanh. An lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Bình rồi Bình lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi Bình nhận được:
a) Đều là bi đỏ;
b) Là hai viên bi khác màu.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
Hai biến cố xung khắc: $P (E \cup F) = P (E) + P (F)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai viên Bình nhận được là viên An đưa và viên Bình lấy — hai lần lấy liên tiếp không hoàn lại. Câu a) là một nhánh ĐĐ; câu b) “khác màu” gồm hai nhánh ĐX và XĐ, hoặc lấy phần bù của “cùng màu”.

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $D_{1}$ , $D_{2}$ : viên thứ nhất, thứ hai màu đỏ; $X_{1}$ , $X_{2}$ : màu xanh.

P (D_{1} D_{2}) = P (D_{1}) \cdot P (D_{2} ∣ D_{1}) = \frac{17}{30} \cdot \frac{16}{29} = \frac{272}{870} = \frac{136}{435} \approx 0, 313

P (D_{1} X_{2}) = \frac{17}{30} \cdot \frac{13}{29} = \frac{221}{870}

P (X_{1} D_{2}) = \frac{13}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{221}{870}

P = \frac{221}{870} + \frac{221}{870} = \frac{442}{870} = \frac{221}{435} \approx 0, 508

Vậy a) $\frac{136}{435}$ ; b) $\frac{221}{435}$ .

2Cách 2. Biến cố đối cho câu b)

Định hướng. “Khác màu” là đối của “cùng màu” = ĐĐ hoặc XX.

P (X_{1} X_{2}) = \frac{13}{30} \cdot \frac{12}{29} = \frac{156}{870} = \frac{26}{145}

P = 1 - \frac{136}{435} - \frac{26}{145} = \frac{435}{435} - \frac{136}{435} - \frac{78}{435} = \frac{221}{435}

Vậy a) $\frac{136}{435}$ (như Cách 1); b) $\frac{221}{435}$ .

3Cách 3. Tổ hợp

Định hướng. Bình nhận 2 viên bất kì trong 30 viên, thứ tự không quan trọng.

C_{30}^{2} = 435

P = \frac{C _{17}^{2}}{C _{30}^{2}} = \frac{136}{435}

P = \frac{C _{17}^{1} \cdot C _{13}^{1}}{C _{30}^{2}} = \frac{17 \cdot 13}{435} = \frac{221}{435}

Vậy a) $\frac{136}{435}$ ; b) $\frac{221}{435}$ .

Nhận xét. Mẫu số $435 = C_{30}^{2}$ xuất hiện tự nhiên ở Cách 3, giải thích vì sao công thức nhân cho ra các phân số có mẫu $435$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: câu a) dùng Cách 1 (một phép nhân), câu b) dùng Cách 3 (

17 \cdot 13

trên

C_{30}^{2}

) — ngắn và khó sót trường hợp nhất.

Đáp số. a)

\frac{136}{435} \approx 0, 313

; b)

\frac{221}{435} \approx 0, 508

Sai lầm thường gặp. Câu b) chỉ tính một trường hợp ĐX được

\frac{221}{870}

, quên trường hợp XĐ; hoặc coi độc lập, tính

2 \cdot \frac{17}{30} \cdot \frac{13}{30}

🚀 Mở rộng. Xác suất để hai viên cùng màu là

1 - \frac{221}{435} = \frac{214}{435}

, nhỏ hơn

\frac{1}{2}

một chút — dù hộp gần “cân” màu, khác màu vẫn dễ xảy ra hơn cùng màu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.5★★Trang 43— Chứng minh tính độc lập qua xác suất có điều kiện

Bài 6.5 (trang 43). Cho hai biến cố

A

và

B

với

P (A) > 0

P (B) > 0

. Chứng minh rằng nếu

P (A B) = P (A) \cdot P (B)

thì

A

và

B

độc lập.

Kiến thức cần nhớ

Với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .
$A$ , $B$ độc lập $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ ; với $P (A), P (B) > 0$ điều này tương đương $P (A ∣ B) = P (A)$ và $P (B ∣ A) = P (B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Theo nghĩa ở lớp 11,

A

B

độc lập khi việc xảy ra (hay không xảy ra) của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Với xác suất có điều kiện, điều đó chính là

P (A ∣ B) = P (A)

và

P (B ∣ A) = P (B)

. Giả thiết

P (A), P (B) > 0

là để hai xác suất có điều kiện có nghĩa.

1Cách 1. Tính trực tiếp hai xác suất có điều kiện

Định hướng. Thay $P (A B) = P (A) P (B)$ vào công thức định nghĩa.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B )}{P ( B )} = P (A)

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B )}{P ( A )} = P (B)

Vậy việc $B$ xảy ra không làm đổi xác suất của $A$ và ngược lại, nên $A$ và $B$ độc lập.

2Cách 2. So sánh với công thức nhân xác suất

Định hướng. Công thức nhân luôn đúng: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ ; đặt cạnh giả thiết rồi giản ước.

P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A B) = P (A) \cdot P (B)

P (B) > 0 \Rightarrow P (A ∣ B) = P (A)

P (A) \cdot P (B ∣ A) = P (A B) = P (A) \cdot P (B)

P (A) > 0 \Rightarrow P (B ∣ A) = P (B)

Vậy $A$ và $B$ độc lập.

3Cách 3. Xét cả trường hợp biến cố không xảy ra

Định hướng. Chứng minh mạnh hơn: dù $B$ xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của $A$ vẫn là $P (A)$ (cần thêm $P (B) < 1$ để $P (A ∣ \overline{B})$ có nghĩa).

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B )}{P ( B )} = P (A)

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A ) - P ( A B )}{1 - P ( B )} = \frac{P ( A ) - P ( A ) P ( B )}{1 - P ( B )} = \frac{P ( A ) [ 1 - P ( B ) ]}{1 - P ( B )} = P (A)

Tương tự:

P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A}) = P (B)

(khi

P (A) < 1

)

Vậy thông tin về $B$ (xảy ra hay không) không ảnh hưởng tới xác suất của $A$ và ngược lại: $A$ , $B$ độc lập.

Nhận xét. Kết hợp với Ví dụ 2 SGK ta có chiều ngược lại, nên với $P (A), P (B) > 0$ : $A$ , $B$ độc lập $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) P (B) \Leftrightarrow P (A ∣ B) = P (A)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng thay giả thiết vào công thức định nghĩa là đủ.

Đáp số. Đã chứng minh:

P (A ∣ B) = P (A)

P (B ∣ A) = P (B)

nên

A

và

B

độc lập.

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

P (A ∣ B) = P (A)

rồi kết luận ngay — thiếu chiều

P (B ∣ A) = P (B)

(dù tương tự vẫn phải viết); hoặc chia cho

P (B)

mà không nêu

P (B) > 0

🚀 Mở rộng. Ba biến cố đôi một thoả

P (X Y) = P (X) P (Y)

vẫn có thể không độc lập toàn bộ: ở Bài 6.6,

A

B

C

đôi một độc lập nhưng

P (A B C) = 0 \neq = P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{216}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.6★★Trang 43— Chứng minh hai biến cố độc lập bằng tích xác suất hoặc xác suất có điều kiện

Bài 6.6 (trang 43). Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A

: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;

B

: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

C

: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.
Chứng minh rằng:
a) Hai biến cố

A

và

B

độc lập;
b) Hai biến cố

B

và

C

độc lập;
c) Hai biến cố

A

và

C

độc lập.

Kiến thức cần nhớ

$A$ , $B$ độc lập $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ ; với $P (A), P (B) > 0$ điều này tương đương $P (A ∣ B) = P (A)$ và $P (B ∣ A) = P (B)$ .
Gieo xúc xắc hai lần: $n (Ω) = 36$ , các kết quả đồng khả năng.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hiển nhiên về trực giác (hai lần gieo không ảnh hưởng nhau), nhưng câu b), c) thì không:

C

phụ thuộc cả hai lần gieo. Cần công cụ định lượng: kiểm tra

P (X Y) = P (X) P (Y)

, hoặc

P (X ∣ Y) = P (X)

. Bảng 36 ô giúp đếm nhanh:

A

là một hàng,

B

là một cột,

C

là đường chéo phụ.

1Cách 1. Kiểm tra P(XY) = P(X)·P(Y)

Định hướng. Đếm trên bảng 36 kết quả (hình trên): mỗi biến cố có 6 ô, mỗi giao có đúng 1 ô.

n (A) = n (B) = n (C) = 6 \Rightarrow P (A) = P (B) = P (C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

A B = {(1; 2)}

P (A B) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P (A) \cdot P (B)

B C = {(5; 2)}

P (B C) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P (B) \cdot P (C)

A C = {(1; 6)}

P (A C) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P (A) \cdot P (C)

Vậy các cặp $A$ và $B$ ; $B$ và $C$ ; $A$ và $C$ đều độc lập.

2Cách 2. Xác suất có điều kiện P(X|Y) = P(X)

Định hướng. Theo Bài 6.5, chỉ cần chứng tỏ $P (X ∣ Y) = P (X)$ và $P (Y ∣ X) = P (Y)$ cho từng cặp.

P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )} = \frac{1}{6} = P (A)

P (B ∣ A) = \frac{n ( A B )}{n ( A )} = \frac{1}{6} = P (B)

P (B ∣ C) = \frac{n ( B C )}{n ( C )} = \frac{1}{6} = P (B)

P (C ∣ B) = \frac{n ( B C )}{n ( B )} = \frac{1}{6} = P (C)

P (A ∣ C) = \frac{n ( A C )}{n ( C )} = \frac{1}{6} = P (A)

P (C ∣ A) = \frac{n ( A C )}{n ( A )} = \frac{1}{6} = P (C)

Vậy ba cặp biến cố đều độc lập.

3Cách 3. Lập luận trên không gian mẫu thu hẹp

Định hướng. Biết $C$ xảy ra thì mỗi giá trị của lần 1 đi kèm đúng một giá trị của lần 2 (bằng 7 trừ đi), nên từng lần gieo vẫn “đều” trên ${1; \dots; 6}$ .

a) Hai lần gieo tách biệt: biết lần 2 ra 2, lần 1 vẫn có 6 khả năng như nhau

\Rightarrow P (A ∣ B) = \frac{1}{6} = P (A)

b) Biết

C

: lần 2 nhận mỗi giá trị

1, \dots, 6

đúng một lần

\Rightarrow P (B ∣ C) = \frac{1}{6} = P (B)

c) Biết

C

: lần 1 nhận mỗi giá trị

1, \dots, 6

đúng một lần

\Rightarrow P (A ∣ C) = \frac{1}{6} = P (A)

Vậy $A$ và $B$ ; $B$ và $C$ ; $A$ và $C$ độc lập (kết hợp Bài 6.5 hoặc Cách 1 cho chiều còn lại).

Nhận xét. Ba biến cố đôi một độc lập nhưng không độc lập cả ba: $A$ và $B$ cùng xảy ra thì tổng là $3 \neq = 7$ , nên $P (A B C) = 0 \neq = \frac{1}{216}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm một lần trên bảng 36 ô, ba câu cùng một khuôn

\frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

Đáp số. a), b), c):

P (A B) = P (B C) = P (A C) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

nên từng cặp biến cố độc lập.

Sai lầm thường gặp. Kết luận “

C

phụ thuộc cả hai lần gieo nên không độc lập với

A

” — trực giác sai, phải kiểm tra bằng số. Lỗi đếm: viết

P (A C) = \frac{1}{6}

(nhầm số ô giao là 6) thay vì

\frac{1}{36}

🚀 Mở rộng. Nếu thay

C

bởi

D

: “tổng số chấm bằng 8” thì

A

và

D

không độc lập:

P (A D) = 0 \neq = P (A) \cdot P (D) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{36}

Mở bài này trong app ↗