Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 65— Tính xác suất có điều kiện bằng cách thu hẹp không gian mẫu

HĐ1 (trang 65). Hình thành khái niệm xác suất có điều kiện. Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm “nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen” là dấu hiệu của xác suất có điều kiện: thông tin này làm thay đổi thành phần hộp bút trước lượt của Tùng. Cách nhanh nhất là cập nhật lại hộp (còn 11 bút, trong đó 7 xanh). Bẫy: tính

\frac{7}{12}

như thể Sơn chưa lấy gì.

1Cách 1. Cập nhật lại hộp bút sau lượt của Sơn

Định hướng. Sơn đã lấy 1 bút đen nên hộp còn 11 bút, gồm 7 xanh và 4 đen; Tùng lấy ngẫu nhiên 1 trong 11 bút đó.

Hộp còn:

12 - 1 = 11

bút; xanh:

7

; đen:

5 - 1 = 4

P = \frac{7}{11}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{7}{11}$ .

2Cách 2. Dùng công thức P(A|B) = P(AB)/P(B)

Định hướng. Gọi $B$ : “Sơn lấy được bút đen”, $A$ : “Tùng lấy được bút xanh”; đếm trên không gian mẫu gồm các cặp (bút của Sơn, bút của Tùng).

n (Ω) = 12 \cdot 11 = 132

n (B) = 5 \cdot 11 = 55, n (A B) = 5 \cdot 7 = 35

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{n ( A B )}{n ( B )} = \frac{35}{55} = \frac{7}{11}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{7}{11}$ .

3Cách 3. Tính ngược từ xác suất của biến cố giao

Định hướng. Tính $P (A B)$ bằng tổ hợp (chọn có thứ tự), rồi chia cho $P (B) = \frac{5}{12}$ .

P (B) = \frac{5}{12}

P (A B) = \frac{A _{5}^{1} \cdot A _{7}^{1}}{A _{12}^{2}} = \frac{5 \cdot 7}{132} = \frac{35}{132}

P (A ∣ B) = \frac{35}{132} : \frac{5}{12} = \frac{35}{132} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7}{11}

Vậy xác suất để Tùng lấy được bút xanh là $\frac{7}{11}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả: “biết $B$ đã xảy ra” đúng nghĩa là thay không gian mẫu $Ω$ bằng $B$ — đó là nội dung của định nghĩa xác suất có điều kiện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần cập nhật số bút còn lại, một dòng là xong; Cách 2 dùng khi đề yêu cầu “bằng công thức”.

Đáp số.

\frac{7}{11}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn trả lời

\frac{7}{12}

vì quên rằng Sơn đã lấy đi một bút (không trả lại), hoặc trả lời

\frac{35}{132}

— đó là xác suất “Sơn lấy đen và Tùng lấy xanh”, không phải xác suất có điều kiện.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hộp có

a

bút xanh,

b

bút đen, biết người thứ nhất lấy được bút đen thì xác suất người thứ hai lấy được bút xanh là

\frac{a}{a + b - 1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 66— Xác suất có điều kiện với điều kiện là biến cố đối

Luyện tập 1 (trang 66). Trở lại Ví dụ 1 (một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng; bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại; sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó;

A

là biến cố “An lấy được viên bi trắng”,

B

là biến cố “Bình lấy được viên bi trắng”). Tính

P (A ∣ \overline{B})

bằng định nghĩa và bằng công thức.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$\overline{B}$ là biến cố đối của $B$ : $n (\overline{B}) = n (Ω) - n (B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

\overline{B}

là “Bình lấy được viên bi đen”, nên điều kiện bây giờ là hộp đã mất một viên đen. Đề đòi hai cách (định nghĩa và công thức) nên phải trình bày cả hai; cách thứ ba dùng công thức nhân kiểm tra chéo. Bẫy: nhầm

\overline{B}

thành “An lấy bi đen”.

1Cách 1. Bằng định nghĩa

Định hướng. Nếu $\overline{B}$ xảy ra thì Bình đã lấy 1 bi đen; hộp còn 29 viên gồm 20 trắng, 9 đen.

Hộp còn:

30 - 1 = 29

viên; trắng:

20

; đen:

10 - 1 = 9

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29}

Vậy $P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29}$ .

2Cách 2. Bằng công thức

Định hướng. Đếm $n (Ω)$ , $n (\overline{B})$ , $n (A \overline{B})$ theo quy tắc nhân rồi lập tỉ số.

n (Ω) = 30 \cdot 29

n (\overline{B}) = 10 \cdot 29 \Rightarrow P (\overline{B}) = \frac{10 \cdot 29}{30 \cdot 29}

n (A \overline{B}) = 10 \cdot 20 \Rightarrow P (A \overline{B}) = \frac{10 \cdot 20}{30 \cdot 29}

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{n ( A B )}{n ( B )} = \frac{10 \cdot 20}{10 \cdot 29} = \frac{20}{29}

Vậy $P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29}$ .

3Cách 3. Tính P(A) toàn bộ rồi trừ phần có B

Định hướng. An lấy bi trắng thì hoặc Bình trắng, hoặc Bình đen: $P (A) = P (A B) + P (A \overline{B})$ ; lấy $P (A \overline{B})$ từ hiệu rồi chia $P (\overline{B})$ .

P (A) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}

(do tính đối xứng giữa hai lượt lấy)

P (A B) = \frac{20 \cdot 19}{30 \cdot 29} = \frac{38}{87}

P (A \overline{B}) = \frac{2}{3} - \frac{38}{87} = \frac{58}{87} - \frac{38}{87} = \frac{20}{87}

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{87} : \frac{1}{3} = \frac{20}{87} \cdot 3 = \frac{20}{29}

Vậy $P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29}$ .

Nhận xét. So với Ví dụ 1, $P (A ∣ B) = \frac{19}{29} < P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29}$ : Bình lấy mất bi trắng thì cơ hội của An giảm, hợp với trực giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (định nghĩa): cập nhật hộp bi là ra ngay; Cách 2 là mẫu trình bày khi đề bắt dùng công thức.

Đáp số.

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: lấy

n (A \overline{B}) = 20 \cdot 19

(nhầm sang trường hợp Bình lấy trắng) được

\frac{19}{29}

; hoặc chia cho

n (Ω)

thay vì

n (\overline{B})

\frac{20}{87}

— đó là

P (A \overline{B})

chứ không phải

P (A ∣ \overline{B})

🚀 Mở rộng. Kiểm tra lại đẳng thức

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overline{B}) P (A ∣ \overline{B}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{19}{29} + \frac{1}{3} \cdot \frac{20}{29} = \frac{2}{3}

— đây chính là công thức xác suất toàn phần sẽ học ở Bài 19.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★★Trang 66— Chứng minh đẳng thức xác suất có điều kiện với biến cố độc lập

Luyện tập 2 (trang 66). Chứng tỏ rằng nếu

A

và

B

là hai biến cố độc lập thì

P (\overline{A} ∣ B) = P (\overline{A})

và

P (A ∣ \overline{B}) = P (A)

.
Gợi ý của SGK: sử dụng tính chất đã học ở lớp 11 — nếu cặp biến cố $A$ và $B$ độc lập thì các cặp biến cố $\overline{A}$ và $B$ ; $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$A$ , $B$ độc lập $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ ; khi đó $P (A ∣ B) = P (A)$ , $P (B ∣ A) = P (B)$ .
$P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$ (xác suất có điều kiện vẫn tuân theo quy tắc biến cố đối).
$P (A) = P (A B) + P (A \overline{B})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đích cần đến có dạng

P (X ∣ Y) = P (X)

— đúng dạng Ví dụ 2 với cặp độc lập

(X; Y)

. Hướng ngắn nhất là dùng gợi ý:

(\overline{A}; B)

và

(A; \overline{B})

độc lập rồi áp Ví dụ 2. Để tự lực hơn có thể dùng quy tắc biến cố đối cho xác suất có điều kiện, hoặc khai triển trực tiếp

P (A \overline{B}) = P (A) - P (A B)

. Lưu ý ngầm định

P (B) > 0

và

P (\overline{B}) > 0

để các xác suất có điều kiện có nghĩa.

1Cách 1. Dùng tính chất độc lập của cặp biến cố đối

Định hướng. $(\overline{A}; B)$ và $(A; \overline{B})$ là các cặp độc lập, rồi chia như Ví dụ 2.

P (\overline{A} ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B )}{P ( B )} = P (\overline{A})

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B )}{P ( B )} = P (A)

Vậy $P (\overline{A} ∣ B) = P (\overline{A})$ và $P (A ∣ \overline{B}) = P (A)$ .

2Cách 2. Quy tắc biến cố đối trong xác suất có điều kiện

Định hướng. $\overline{A} B$ và $A B$ rời nhau, hợp lại là $B$ ; chia cho $P (B)$ được $P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$ .

P (\overline{A} ∣ B) = \frac{P ( B ) - P ( A B )}{P ( B )} = 1 - P (A ∣ B) = 1 - P (A) = P (\overline{A})

P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A) = 1 - P (B) = P (\overline{B})

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B )}{P ( B )} = P (A)

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Khai triển trực tiếp, không dùng tính chất lớp 11

Định hướng. Dùng $P (A \overline{B}) = P (A) - P (A B)$ và $P (A B) = P (A) P (B)$ để tự chứng minh mà không cần gợi ý.

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{P ( A ) - P ( A B )}{1 - P ( B )} = \frac{P ( A ) - P ( A ) P ( B )}{1 - P ( B )} = \frac{P ( A ) [ 1 - P ( B ) ]}{1 - P ( B )} = P (A)

P (\overline{A} ∣ B) = \frac{P ( B ) - P ( A B )}{P ( B )} = \frac{P ( B ) - P ( A ) P ( B )}{P ( B )} = 1 - P (A) = P (\overline{A})

Vậy $P (\overline{A} ∣ B) = P (\overline{A})$ , $P (A ∣ \overline{B}) = P (A)$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm một kết quả: ta vừa chứng minh lại rằng $P (A \overline{B}) = P (A) P (\overline{B})$ , tức là tính chất “ $A$ , $\overline{B}$ độc lập” ở lớp 11.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi đề cho phép dùng tính chất lớp 11 (hai dòng); nếu không được dùng thì Cách 3 là lời giải tự lực và gọn nhất.

Đáp số. Đã chứng minh:

P (\overline{A} ∣ B) = P (\overline{A})

và

P (A ∣ \overline{B}) = P (A)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: viết

P (\overline{A} ∣ B) = \overline{P (A ∣ B)}

hoặc

P (A ∣ \overline{B}) = 1 - P (A ∣ B)

— phần bù phải lấy ở biến cố đứng trước dấu

∣

, không phải ở điều kiện; phản ví dụ: hộp 20 trắng, 10 đen ở Ví dụ 1 có

P (A ∣ B) = \frac{19}{29}

nhưng

P (A ∣ \overline{B}) = \frac{20}{29} \neq = 1 - \frac{19}{29}

🚀 Mở rộng. Chứng minh tương tự: nếu

A

B

độc lập,

0 < P (B) < 1

thì

P (\overline{A} ∣ \overline{B}) = P (\overline{A})

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 3★★Trang 68— Xác suất có điều kiện từ bảng dữ liệu thống kê 2 × 2

Luyện tập 3 (trang 68). Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê

2 \times 2

như sau:

Kết quả / Uống thuốc	M	N
Khỏi bệnh	1 600	1 200
Không khỏi bệnh	800	400

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó
a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;
b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Với bảng $2 \times 2$ : xác suất có điều kiện = ô giao chia cho tổng của hàng (hoặc cột) ứng với biến cố điều kiện.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ “biết rằng” chỉ ra biến cố điều kiện: câu a) điều kiện là “khỏi bệnh” — tức là chỉ nhìn hàng Khỏi bệnh; câu b) chỉ nhìn hàng Không khỏi bệnh. Bẫy lớn nhất là đọc ngược điều kiện, chia cho tổng cột M (2 400) thay vì tổng hàng Khỏi bệnh (2 800).

1Cách 1. Thu hẹp không gian mẫu theo hàng của bảng

Định hướng. Biết bệnh nhân khỏi bệnh thì chỉ còn 2 800 người ở hàng Khỏi bệnh; tương tự 1 200 người ở hàng Không khỏi bệnh.

1600 + 1200 = 2800

;

P = \frac{1 600}{2 800} = \frac{4}{7}

800 + 400 = 1200

;

P = \frac{400}{1 200} = \frac{1}{3}

Vậy a) $\frac{4}{7}$ ; b) $\frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Công thức P(A|B) = P(AB)/P(B)

Định hướng. a) $A$ : “uống thuốc M”, $K$ : “khỏi bệnh”; b) $N$ : “uống thuốc N”, $\overline{K}$ : “không khỏi bệnh”.

P (K) = \frac{2 800}{4 000} = \frac{7}{10}

P (A K) = \frac{1 600}{4 000} = \frac{2}{5}

P (A ∣ K) = \frac{2}{5} : \frac{7}{10} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{4}{7}

P (\overline{K}) = \frac{1 200}{4 000} = \frac{3}{10}

P (N \overline{K}) = \frac{400}{4 000} = \frac{1}{10}

P (N ∣ \overline{K}) = \frac{1}{10} : \frac{3}{10} = \frac{1}{3}

Vậy a) $P (A ∣ K) = \frac{4}{7}$ ; b) $P (N ∣ \overline{K}) = \frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Công thức nhân qua tỉ lệ khỏi bệnh của từng thuốc

Định hướng. Tính tỉ lệ khỏi theo từng thuốc $P (K ∣ A)$ , rồi đảo điều kiện bằng $P (A ∣ K) = \frac{P ( A ) P ( K ∣ A )}{P ( K )}$ .

P (A) = \frac{2 400}{4 000} = \frac{3}{5}

P (K ∣ A) = \frac{1 600}{2 400} = \frac{2}{3}

P (A ∣ K) = \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{7}{10}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{4}{7}

P (N) = \frac{1 600}{4 000} = \frac{2}{5}

P (\overline{K} ∣ N) = \frac{400}{1 600} = \frac{1}{4}

P (N ∣ \overline{K}) = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{3}{10}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1}{3}

Vậy a) $\frac{4}{7}$ ; b) $\frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Các số trung gian cho thêm thông tin: tỉ lệ khỏi bệnh của thuốc M là $\frac{2}{3} \approx 66, 7%$ , của thuốc N là $\frac{1 200}{1 600} = 75%$ — thuốc N hiệu quả hơn dù số người khỏi bệnh khi dùng M nhiều hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn đúng hàng của biến cố điều kiện rồi chia ô giao cho tổng hàng, không cần tính qua 4 000.

Đáp số. a)

\frac{4}{7}

; b)

\frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm chiều điều kiện: câu a) lấy

\frac{1 600}{2 400} = \frac{2}{3}

— đó là

P (K ∣ A)

(xác suất khỏi bệnh khi uống M), không phải xác suất uống M khi đã biết khỏi bệnh; câu b) lấy

\frac{400}{1 600} = \frac{1}{4}

cũng sai theo kiểu đó.

🚀 Mở rộng. Tính thêm

P (N ∣ K) = \frac{1 200}{2 800} = \frac{3}{7}

và nhận thấy

P (A ∣ K) + P (N ∣ K) = 1

— vì với điều kiện

K

, hai biến cố “uống M”, “uống N” vẫn là đối nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ2★Trang 68— Chứng minh công thức nhân xác suất

HĐ2 (trang 68). Hình thành công thức nhân xác suất. Chứng minh rằng, với hai biến cố

A

và

B

P (B) > 0

, ta có:

P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B)

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đẳng thức cần chứng minh chỉ là công thức định nghĩa

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}

viết lại sau khi nhân chéo — điều kiện

P (B) > 0

chính là để phép chia có nghĩa. Có thể kiểm chứng thêm bằng mô hình đồng khả năng để thấy ý nghĩa “tỉ lệ của tỉ lệ”.

1Cách 1. Nhân hai vế của công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Xuất phát từ định nghĩa, nhân cả hai vế của đẳng thức với $P (B) > 0$ để khử mẫu.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}

P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (B) \cdot \frac{P ( A B )}{P ( B )} = P (A B)

Vậy $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ .

2Cách 2. Mô hình đồng khả năng: tỉ lệ của tỉ lệ

Định hướng. Khi $Ω$ gồm các kết quả đồng khả năng, $\frac{n ( A B )}{n ( Ω )}$ tách thành hai tỉ số nối tiếp qua $n (B)$ .

P (A B) = \frac{n ( A B )}{n ( Ω )} = \frac{n ( B )}{n ( Ω )} \cdot \frac{n ( A B )}{n ( B )} = P (B) \cdot P (A ∣ B)

Vậy công thức nhân được kiểm chứng trên mô hình đồng khả năng.

Nhận xét. Nếu $P (B) = 0$ thì $A B \subset B$ nên $P (A B) = 0$ ; khi đó hai vế đều bằng 0 (quy ước), nên công thức nhân đúng với mọi $A$ , $B$ . Đổi vai $A$ , $B$ được $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng nhân hai vế; Cách 2 để hiểu vì sao công thức đúng.

Đáp số. Đã chứng minh

P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: viết

P (A B) = P (A) \cdot P (B)

cho mọi

A

B

— chỉ đúng khi

A

B

độc lập; phản ví dụ HĐ1: P(Sơn lấy đen)·P(Tùng lấy xanh)

= \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{12} \neq = \frac{35}{132}

🚀 Mở rộng. Mở rộng cho ba biến cố:

P (A B C) = P (A) \cdot P (B ∣ A) \cdot P (C ∣ A B)

— đọc lần lượt từng nhánh trên sơ đồ cây.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 4★★Trang 69— Công thức nhân xác suất, sơ đồ hình cây

Luyện tập 4 (trang 69). Trở lại Ví dụ 4 (trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng; bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại; sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại). Tính xác suất để:
a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;
b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .
Sơ đồ hình cây: xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh; các đường đi rời nhau thì cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Hai lượt lấy liên tiếp, không hoàn lại: lượt sau phụ thuộc lượt trước, nên dùng công thức nhân

P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

và sơ đồ hình cây. Câu b) “cùng màu” = ĐĐ hoặc XX — hai nhánh rời nhau, cộng lại. Có thể kiểm chứng bằng tổ hợp vì thứ tự không ảnh hưởng tới “cùng màu”.

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. a) $C$ : “Sơn lấy bút xanh”, $D$ : “Tùng lấy bút đen”; b) cộng hai trường hợp ĐĐ và XX.

P (C D) = P (C) \cdot P (D ∣ C) = \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{35}{132}

b) ĐĐ:

\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = \frac{20}{132}

; XX:

\frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{42}{132}

P = \frac{20}{132} + \frac{42}{132} = \frac{62}{132} = \frac{31}{66}

Vậy a) $\frac{35}{132}$ ; b) $\frac{31}{66}$ .

2Cách 2. Đếm các cặp có thứ tự

Định hướng. Không gian mẫu gồm các cặp (bút của Sơn, bút của Tùng), đồng khả năng.

n (Ω) = 12 \cdot 11 = 132

n = 7 \cdot 5 = 35 \Rightarrow P = \frac{35}{132}

n = 5 \cdot 4 + 7 \cdot 6 = 20 + 42 = 62 \Rightarrow P = \frac{62}{132} = \frac{31}{66}

Vậy a) $\frac{35}{132}$ ; b) $\frac{31}{66}$ .

3Cách 3. Tổ hợp (câu b) và biến cố đối

Định hướng. “Cùng màu” không phụ thuộc thứ tự nên coi như lấy 1 lần 2 bút; kiểm tra lại bằng biến cố đối “khác màu” = ĐX hoặc XĐ.

P = \frac{C _{5}^{2} + C _{7}^{2}}{C _{12}^{2}} = \frac{10 + 21}{66} = \frac{31}{66}

1 - (\frac{5}{12} \cdot \frac{7}{11} + \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11}) = 1 - \frac{70}{132} = \frac{62}{132} = \frac{31}{66}

Vậy a) $\frac{35}{132}$ ; b) $\frac{31}{66}$ .

Nhận xét. Câu a) có cùng đáp số $\frac{35}{132}$ với Ví dụ 4 (Sơn đen, Tùng xanh): $\frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{11}$ — thứ tự lấy không làm đổi xác suất của cặp màu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 kết hợp sơ đồ hình cây: đọc thẳng tích trên nhánh; câu b) nên kiểm tra nhanh bằng tổ hợp ở Cách 3.

Đáp số. a)

\frac{35}{132}

; b)

\frac{31}{66}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: câu b) chỉ tính ĐĐ hoặc chỉ XX; hoặc coi hai lượt độc lập mà tính

(\frac{5}{12})^{2} + (\frac{7}{12})^{2} = \frac{74}{144}

— sai vì bút không được trả lại.

🚀 Mở rộng. Nếu Sơn lấy xong trả bút lại hộp thì hai lượt độc lập, đáp số câu b) thành

\frac{25 + 49}{144} = \frac{37}{72}

— lớn hơn

\frac{31}{66}

; thử giải thích vì sao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng★★★Trang 69— Bài toán Monty Hall — xác suất có điều kiện, công thức nhân

Vận dụng (trang 69–70). Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu (người chơi đứng trước ba cánh cửa đóng kín, sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa; người chơi chọn ngẫu nhiên một cánh cửa nhưng không mở; người quản trò mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa, rồi hỏi người chơi muốn giữ nguyên lựa chọn hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại). Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.
Kí hiệu

E_{1}

;

E_{2}

;

E_{3}

tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và

H

là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi

H

xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện:

P (E_{1} ∣ H)

và

P (E_{2} ∣ H)

.
a) Chứng minh rằng:

P (E_{1}) = P (E_{2}) = P (E_{3}) = \frac{1}{3}

;

P (H ∣ E_{1}) = \frac{1}{2}

và

P (H ∣ E_{2}) = 1

.
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

P (E_{1} ∣ H) = \frac{P ( E _{1} ) \cdot P ( H ∣ E _{1} )}{P ( H )}

;

P (E_{2} ∣ H) = \frac{P ( E _{2} ) \cdot P ( H ∣ E _{2} )}{P ( H )}

.
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

P (E_{2} ∣ H) = 2 P (E_{1} ∣ H)

. Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .
Nếu $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ đôi một xung khắc và hợp lại là $Ω$ thì $P (H) = P (E_{1}) P (H ∣ E_{1}) + P (E_{2}) P (H ∣ E_{2}) + P (E_{3}) P (H ∣ E_{3})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Thông tin “quản trò mở cửa 3” không xảy ra ngẫu nhiên như nhau với mọi vị trí ô tô: nếu ô tô ở cửa 2 thì quản trò buộc phải mở cửa 3, còn nếu ô tô ở cửa 1 thì chỉ mở cửa 3 với xác suất

\frac{1}{2}

. Chính sự chênh lệch

P (H ∣ E_{2}) = 2 P (H ∣ E_{1})

làm

P (E_{2} ∣ H)

gấp đôi

P (E_{1} ∣ H)

. Bẫy trực giác: nghĩ “còn 2 cửa nên mỗi cửa

\frac{1}{2}

”.

1Cách 1. Theo đúng các bước a), b), c) của SGK

Định hướng. Tính các xác suất ban đầu, đổi chiều điều kiện bằng công thức nhân, rồi chia hai đẳng thức ở b) cho nhau.

a) Ô tô đặt ngẫu nhiên sau 1 trong 3 cửa:

P (E_{1}) = P (E_{2}) = P (E_{3}) = \frac{1}{3}

E_{1}

: cửa 2, cửa 3 đều là lừa, quản trò chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 cửa:

P (H ∣ E_{1}) = \frac{1}{2}

E_{2}

: cửa 3 là cửa duy nhất có lừa mà người chơi không chọn:

P (H ∣ E_{2}) = 1

P (E_{1} ∣ H) = \frac{P ( E _{1} H )}{P ( H )} = \frac{P ( E _{1} ) \cdot P ( H ∣ E _{1} )}{P ( H )}

P (E_{2} ∣ H) = \frac{P ( E _{2} H )}{P ( H )} = \frac{P ( E _{2} ) \cdot P ( H ∣ E _{2} )}{P ( H )}

\frac{P ( E _{2} ∣ H )}{P ( E _{1} ∣ H )} = \frac{P ( E _{2} ) \cdot P ( H ∣ E _{2} )}{P ( E _{1} ) \cdot P ( H ∣ E _{1} )} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 2

P (E_{2} ∣ H) = 2 P (E_{1} ∣ H)

Vậy $P (E_{2} ∣ H) = 2 P (E_{1} ∣ H)$ : người chơi nên chuyển sang cửa số 2, khả năng thắng gấp đôi giữ nguyên.

2Cách 2. Tính cụ thể P(H) rồi ra từng xác suất

Định hướng. $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ xung khắc, hợp lại là $Ω$ ; $P (H ∣ E_{3}) = 0$ vì quản trò không mở cửa có ô tô.

P (H) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}

P (E_{1} ∣ H) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}

P (E_{2} ∣ H) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3} = 2 P (E_{1} ∣ H)

Vậy giữ nguyên thắng với xác suất $\frac{1}{3}$ , chuyển cửa thắng với xác suất $\frac{2}{3}$ — nên chuyển.

3Cách 3. Sơ đồ hình cây — đếm các kịch bản

Định hướng. Liệt kê kịch bản (vị trí ô tô, cửa quản trò mở) cùng xác suất trên sơ đồ hình cây; chỉ giữ các lá “mở 3”.

(

E_{1}

; mở 2):

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

; (

E_{1}

; mở 3):

\frac{1}{6}

(

E_{2}

; mở 3):

\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}

; (

E_{3}

; mở 2):

\frac{1}{3}

H

gồm hai lá:

\frac{1}{6}

và

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

P (E_{1} ∣ H) : P (E_{2} ∣ H) = \frac{1}{6} : \frac{2}{6} = 1 : 2

Vậy trong các tình huống quản trò mở cửa 3, ô tô ở cửa 2 nhiều gấp đôi ở cửa 1 — nên đổi sang cửa 2.

Nhận xét. Cách nhìn nhanh: chiến lược “luôn đổi” thua chỉ khi lần chọn đầu đã trúng ô tô (xác suất $\frac{1}{3}$ ), nên thắng với xác suất $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (chia hai đẳng thức ở câu b) cho nhau):

P (H)

triệt tiêu nên không phải tính; Cách 3 giúp giải thích cho người chơi dễ hiểu nhất.

Đáp số. a), b) đã chứng minh; c)

P (E_{1} ∣ H) = \frac{1}{3}

P (E_{2} ∣ H) = \frac{2}{3} = 2 P (E_{1} ∣ H)

— nên chuyển sang cửa chưa mở còn lại.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến: cho rằng sau khi mở cửa 3, hai cửa còn lại “như nhau” nên

P (E_{1} ∣ H) = P (E_{2} ∣ H) = \frac{1}{2}

. Lập luận này bỏ qua việc quản trò biết ô tô ở đâu:

P (H ∣ E_{2}) = 1

khác

P (H ∣ E_{1}) = \frac{1}{2}

. Một lỗi khác là quên

P (H ∣ E_{3}) = 0

khi tính

P (H)

🚀 Mở rộng. Với

n

cửa (1 ô tô), quản trò mở

n - 2

cửa có lừa: giữ nguyên thắng với xác suất

\frac{1}{n}

, chuyển thắng với xác suất

\frac{n - 1}{n}

— ví dụ

n = 10

thì chuyển thắng

90%

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.1★Trang 70— Xác suất có điều kiện — thu hẹp không gian mẫu

Bài 6.1 (trang 70). Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Nếu $A \subset B$ thì $A B = A$ và $P (A ∣ B) = \frac{P ( A )}{P ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Được thông báo rằng thẻ mang số chẵn” là biến cố điều kiện

B

; ta cần

P (A ∣ B)

với

A

: “rút được thẻ số 10”. Vì

A \subset B

nên

A B = A

, tính rất gọn. Bẫy: trả lời

\frac{1}{20}

vì bỏ qua thông tin chẵn.

1Cách 1. Thu hẹp không gian mẫu

Định hướng. Biết thẻ chẵn thì chỉ còn 10 khả năng đồng khả năng: 2, 4, …, 20.

B = {2; 4; 6; \dots; 20}

n (B) = 10

P (A ∣ B) = \frac{1}{10}

Vậy xác suất rút được thẻ số 10 là $\frac{1}{10}$ .

2Cách 2. Công thức P(A|B) = P(AB)/P(B)

Định hướng. $A \subset B$ nên $P (A B) = P (A) = \frac{1}{20}$ .

P (B) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}

P (A B) = P (A) = \frac{1}{20}

P (A ∣ B) = \frac{1}{20} : \frac{1}{2} = \frac{1}{20} \cdot 2 = \frac{1}{10}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{10}$ .

3Cách 3. Công thức nhân theo chiều ngược

Định hướng. $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ , trong đó $P (B ∣ A) = 1$ vì 10 là số chẵn.

P (A B) = \frac{1}{20} \cdot 1 = \frac{1}{20}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{10}$ .

Nhận xét. Thông tin “số chẵn” làm xác suất tăng gấp đôi, từ $\frac{1}{20}$ lên $\frac{1}{10}$ — đúng bằng $\frac{1}{P ( B )}$ lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: còn 10 thẻ chẵn đồng khả năng, đáp số đọc ngay.

Đáp số.

\frac{1}{10}

Sai lầm thường gặp. Trả lời

\frac{1}{20}

(bỏ qua thông tin) hoặc

\frac{1}{2}

(nhầm sang

P (B)

). Một lỗi khác: đếm số chẵn từ 1 đến 20 được 9 (quên số 20).

🚀 Mở rộng. Nếu người đó được thông báo thẻ mang số chia hết cho 5 thì xác suất rút được thẻ số 10 là

\frac{1}{4}

(các số 5, 10, 15, 20).

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.2★★Trang 70— Đổi chiều điều kiện bằng công thức nhân

Bài 6.2 (trang 70). Cho

P (A) = 0, 2

;

P (B) = 0, 51

;

P (B ∣ A) = 0, 8

. Tính

P (A ∣ B)

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .
Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

P (B ∣ A)

nhưng hỏi

P (A ∣ B)

— phải “đổi chiều” điều kiện. Cầu nối là

P (A B)

: tính từ

P (A)

P (B ∣ A)

rồi chia cho

P (B)

. Bẫy: nghĩ

P (A ∣ B) = P (B ∣ A)

1Cách 1. Qua P(AB)

Định hướng. Công thức nhân cho $P (A B)$ , rồi chia cho $P (B)$ .

P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{0 , 16}{0 , 51} = \frac{16}{51} \approx 0, 3137

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{16}{51} \approx 0, 314$ .

2Cách 2. Công thức gộp (dạng Bayes)

Định hướng. Gộp hai bước thành một đẳng thức $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ như câu b) phần Vận dụng.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )} = \frac{0 , 2 \cdot 0 , 8}{0 , 51} = \frac{16}{51}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{16}{51}$ .

3Cách 3. Mô hình tần số với 10 000 phần tử

Định hướng. Hình dung 10 000 lần thử: đếm số lần $A$ , số lần $A B$ , số lần $B$ rồi lấy tỉ số.

Số lần

A

0, 2 \cdot 10000 = 2000

Số lần

A B

0, 8 \cdot 2000 = 1600

Số lần

B

0, 51 \cdot 10000 = 5100

P (A ∣ B) = \frac{1 600}{5 100} = \frac{16}{51}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{16}{51} \approx 0, 3137$ .

Nhận xét. Ở đây $P (A ∣ B) \approx 0, 31$ rất khác $P (B ∣ A) = 0, 8$ : hai xác suất có điều kiện “ngược chiều” nói chung không bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng công thức, thay số là ra; Cách 3 giúp kiểm tra nhanh bằng số đếm.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{16}{51} \approx 0, 3137

Sai lầm thường gặp. Nhầm

P (A ∣ B) = P (B ∣ A) = 0, 8

; hoặc chia cho

P (A)

thay vì

P (B)

được

\frac{0 , 16}{0 , 2} = 0, 8

(lại quay về

P (B ∣ A)

🚀 Mở rộng. Tính thêm

P (\overline{A} ∣ B) = 1 - \frac{16}{51} = \frac{35}{51}

và

P (\overline{A} B) = 0, 51 - 0, 16 = 0, 35

để kiểm tra:

\frac{0 , 35}{0 , 51} = \frac{35}{51}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.3★★Trang 70— Xác suất có điều kiện trên không gian mẫu gieo hai xúc xắc

Bài 6.3 (trang 70). Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Gieo hai xúc xắc: $n (Ω) = 36$ ; số kết quả có ít nhất một mặt 5 chấm là $36 - 5 \cdot 5 = 11$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu dùng cùng hai biến cố

A

: “tổng bằng 7”,

B

: “có ít nhất một mặt 5 chấm” nhưng đảo vai điều kiện: a) là

P (A ∣ B)

, b) là

P (B ∣ A)

. Tử số giống nhau (

n (A B) = 2

), chỉ khác mẫu số. Bẫy: đếm

n (B) = 12

vì tính trùng cặp

(5; 5)

1Cách 1. Liệt kê và thu hẹp không gian mẫu

Định hướng. Liệt kê tập $B$ (có mặt 5) và tập $A$ (tổng 7), tìm phần chung.

B = {(5; 1), (5; 2), \dots, (5; 6), (1; 5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (6; 5)}

n (B) = 6 + 5 = 11

A = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}

n (A) = 6

A B = {(2; 5), (5; 2)}

n (A B) = 2

P (A ∣ B) = \frac{2}{11}

;

P (B ∣ A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Vậy a) $\frac{2}{11}$ ; b) $\frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Công thức với biến cố đối

Định hướng. $\overline{B}$ : “không con nào ra 5”, $n (\overline{B}) = 5 \cdot 5$ ; dùng $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ .

P (B) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

P (A) = \frac{6}{36}

P (A B) = \frac{2}{36}

P (A ∣ B) = \frac{2}{36} : \frac{11}{36} = \frac{2}{11}

P (B ∣ A) = \frac{2}{36} : \frac{6}{36} = \frac{1}{3}

Vậy a) $\frac{2}{11}$ ; b) $\frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Lập luận trực tiếp (câu b) và công thức nhân (câu a)

Định hướng. b) Tổng 7 thì mỗi mặt $x$ ở con thứ nhất ghép đúng một mặt $7 - x$ ; a) đổi chiều bằng $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

b) tổng bằng 7: con thứ nhất ra

1, 2, \dots, 6

đồng khả năng; có mặt 5

\Leftrightarrow

con thứ nhất ra 5 hoặc 2

P (B ∣ A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )} = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{11}{36}} = \frac{1}{18} \cdot \frac{36}{11} = \frac{2}{11}

Vậy a) $\frac{2}{11}$ ; b) $\frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Hai đáp số khác nhau ( $\frac{2}{11} \neq = \frac{1}{3}$ ) minh hoạ rõ: $P (A ∣ B)$ và $P (B ∣ A)$ nói chung khác nhau, chúng liên hệ qua $P (A) P (B ∣ A) = P (B) P (A ∣ B)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê 11 kết quả của B và 6 kết quả của A rất nhanh, nhìn phần chung là xong cả hai câu.

Đáp số. a)

\frac{2}{11}

; b)

\frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Đếm

n (B) = 6 + 6 = 12

vì tính cặp

(5; 5)

hai lần, dẫn tới câu a) ra

\frac{2}{12} = \frac{1}{6}

— sai. Lỗi khác: coi

(2; 5)

và

(5; 2)

là một kết quả nên

n (A B) = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biết có ít nhất một mặt

k

chấm (

1 \leq k \leq 6

) thì xác suất tổng bằng 7 luôn là

\frac{2}{11}

— vì mặt

k

luôn ghép được đúng với mặt

7 - k \neq = k

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 6.4★★Trang 70— Xác suất có điều kiện trên không gian mẫu gieo hai xúc xắc

Bài 6.4 (trang 70). Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

Kiến thức cần nhớ

Cho hai biến cố $A$ , $B$ với $P (B) > 0$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; khi các kết quả đồng khả năng thì $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Gieo hai xúc xắc: $n (Ω) = 36$ ; tổng $\geq 10$ có 6 kết quả: $(4; 6), (5; 5), (6; 4), (5; 6), (6; 5), (6; 6)$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Không nhỏ hơn 10” nghĩa là tổng

\geq 10

(10, 11 hoặc 12). Điều kiện

B

: “ít nhất một mặt 5” có 11 kết quả; chỉ cần đếm trong 11 kết quả đó những kết quả có tổng

\geq 10

. Bẫy: hiểu “không nhỏ hơn 10” là “lớn hơn 10”.

1Cách 1. Thu hẹp không gian mẫu về B

Định hướng. Trong 11 kết quả có mặt 5, mặt còn lại phải từ 5 trở lên để tổng không nhỏ hơn 10.

n (B) = 11

A B = {(5; 5), (5; 6), (6; 5)}

n (A B) = 3

P (A ∣ B) = \frac{3}{11}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{3}{11}$ .

2Cách 2. Công thức P(A|B) = P(AB)/P(B)

Định hướng. $A$ : “tổng $\geq 10$ ”; tính $P (B)$ qua biến cố đối.

P (B) = 1 - \frac{5 \cdot 5}{36} = \frac{11}{36}

P (A B) = \frac{3}{36}

P (A ∣ B) = \frac{3}{36} : \frac{11}{36} = \frac{3}{11}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{3}{11}$ .

3Cách 3. Đi từ biến cố A rồi đổi chiều

Định hướng. Liệt kê 6 kết quả của $A$ , tìm $P (B ∣ A)$ , sau đó $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

A = {(4; 6), (6; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6)}

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

P (B ∣ A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

P (A ∣ B) = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{11}{36}} = \frac{1}{12} \cdot \frac{36}{11} = \frac{3}{11}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{3}{11}$ .

Nhận xét. Không có điều kiện thì $P (A) = \frac{1}{6} \approx 0, 17$ ; biết có mặt 5 thì tăng lên $\frac{3}{11} \approx 0, 27$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần duyệt 11 kết quả của B, thấy ngay 3 kết quả thoả mãn.

Đáp số.

\frac{3}{11}

Sai lầm thường gặp. Hiểu “không nhỏ hơn 10” thành “lớn hơn 10” nên bỏ sót

(5; 5)

, ra

\frac{2}{11}

; hoặc đếm

n (B) = 12

\frac{3}{12} = \frac{1}{4}

🚀 Mở rộng. Biết có ít nhất một mặt 6 chấm thì xác suất tổng không nhỏ hơn 10 là

\frac{5}{11}

(các kết quả

(6; 4), (4; 6), (6; 5), (5; 6), (6; 6)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 6.5★★Trang 70— Công thức nhân xác suất với dữ kiện xác suất có điều kiện

Bài 6.5 (trang 70). Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:
a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .
$P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các câu “Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì …” cho sẵn xác suất có điều kiện

P (T_{2} ∣ T_{1}) = 0, 9

P (T_{2} ∣ \overline{T_{1}}) = 0, 4

. Mỗi câu hỏi là xác suất của một nhánh trên sơ đồ hình cây ⇒ dùng công thức nhân. Bẫy: nhân

0, 7 \cdot 0, 4

hay dùng

1 - 0, 9

ở sai nhánh.

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $T_{1}$ , $T_{2}$ : thí nghiệm thứ nhất, thứ hai thành công; áp $P (X Y) = P (X) \cdot P (Y ∣ X)$ .

P (T_{1} T_{2}) = P (T_{1}) \cdot P (T_{2} ∣ T_{1}) = 0, 7 \cdot 0, 9 = 0, 63

P (\overline{T_{1}} \overline{T_{2}}) = P (\overline{T_{1}}) \cdot P (\overline{T_{2}} ∣ \overline{T_{1}}) = 0, 3 \cdot (1 - 0, 4) = 0, 3 \cdot 0, 6 = 0, 18

P (T_{1} \overline{T_{2}}) = P (T_{1}) \cdot P (\overline{T_{2}} ∣ T_{1}) = 0, 7 \cdot (1 - 0, 9) = 0, 7 \cdot 0, 1 = 0, 07

Vậy a) $0, 63$ ; b) $0, 18$ ; c) $0, 07$ .

2Cách 2. Sơ đồ hình cây

Định hướng. Vẽ cây hai tầng (hình trên), đọc tích dọc theo từng đường đi.

T_{1} \to T_{2}

0, 7 \cdot 0, 9 = 0, 63

T_{1} \to K_{2}

0, 7 \cdot 0, 1 = 0, 07

K_{1} \to T_{2}

0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 12

K_{1} \to K_{2}

0, 3 \cdot 0, 6 = 0, 18

Kiểm tra:

0, 63 + 0, 07 + 0, 12 + 0, 18 = 1

Vậy a) $0, 63$ ; b) $0, 18$ ; c) $0, 07$ .

3Cách 3. Mô hình tần số với 100 bạn làm thí nghiệm

Định hướng. Hình dung 100 người cùng làm hai thí nghiệm, chia nhóm theo tỉ lệ đã cho.

Thành công lần 1:

70

người; thất bại lần 1:

30

người
a) trong 70 người:

0, 9 \cdot 70 = 63

người thành công lần 2

\Rightarrow \frac{63}{100} = 0, 63

b) trong 30 người:

0, 6 \cdot 30 = 18

người thất bại lần 2

\Rightarrow \frac{18}{100} = 0, 18

c) trong 70 người:

70 - 63 = 7

người thất bại lần 2

\Rightarrow \frac{7}{100} = 0, 07

Vậy a) $0, 63$ ; b) $0, 18$ ; c) $0, 07$ .

Nhận xét. Câu c) có thể lấy nhanh bằng hiệu: $P (T_{1} \overline{T_{2}}) = P (T_{1}) - P (T_{1} T_{2}) = 0, 7 - 0, 63 = 0, 07$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (sơ đồ hình cây): một hình cho cả ba câu, lại tự kiểm tra được bằng tổng bốn lá bằng 1.

Đáp số. a)

0, 63

; b)

0, 18

; c)

0, 07

Sai lầm thường gặp. Câu b) tính

0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 12

(lấy xác suất thành công lần 2 thay vì thất bại); câu c) tính

0, 7 \cdot 0, 6

vì dùng nhầm

1 - 0, 4

của nhánh

\overline{T_{1}}

; hoặc coi hai thí nghiệm độc lập.

🚀 Mở rộng. Xác suất thí nghiệm thứ hai thành công là

0, 63 + 0, 12 = 0, 75

; biết thí nghiệm thứ hai thành công, xác suất thí nghiệm thứ nhất đã thành công là

\frac{0 , 63}{0 , 75} = 0, 84

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 6.6★★★Trang 70— Lập phương trình từ công thức nhân xác suất

Bài 6.6 (trang 70). Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là

\frac{1}{3}

. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ với mọi biến cố $A$ , $B$ .
Phương trình bậc hai $a n^{2} + bn + c = 0$ : $Δ = b^{2} - 4 a c$ , $n = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ; hoặc tách $bn$ thành hai hạng tử có tích hệ số bằng $a c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ẩn là tổng số kẹo

n

; công thức nhân cho

P = \frac{6}{n} \cdot \frac{5}{n - 1}

, đặt bằng

\frac{1}{3}

ta được phương trình bậc hai. Điều kiện

n

nguyên,

n \geq 7

(có ít nhất 1 kẹo vàng vì đề nói “còn lại là kẹo màu vàng”). Bẫy: giữ luôn nghiệm âm.

1Cách 1. Công thức nhân và công thức nghiệm

Định hướng. Gọi $n$ là số kẹo ban đầu ( $n \in N$ , $n \geq 7$ ); $A$ : lần 1 cam, $B$ : lần 2 cam.

P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = \frac{6}{n} \cdot \frac{5}{n - 1} = \frac{30}{n ( n - 1 )}

\frac{30}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow n (n - 1) = 90 \Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0

Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90) = 361

Δ = 19

n = \frac{1 + 19}{2} = 10

(thoả mãn) hoặc

n = \frac{1 - 19}{2} = - 9

(loại)

Vậy ban đầu trong túi có $10$ cái kẹo.

2Cách 2. Tổ hợp và tách nhân tử

Định hướng. “Lấy lần lượt 2 kẹo không trả lại, cả hai cam” có cùng xác suất với “lấy cùng lúc 2 kẹo, cả hai cam”.

\frac{C _{6}^{2}}{C _{n}^{2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{15}{\frac{n ( n - 1 )}{2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow n (n - 1) = 90

n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow n^{2} - 10 n + 9 n - 90 = 0

\Leftrightarrow n (n - 10) + 9 (n - 10) = 0 \Leftrightarrow (n - 10) (n + 9) = 0

n - 10 = 0 \Leftrightarrow n = 10

(thoả mãn) hoặc

n + 9 = 0 \Leftrightarrow n = - 9

(loại)

Vậy túi có $10$ cái kẹo.

3Cách 3. Tích hai số tự nhiên liên tiếp

Định hướng. $n (n - 1) = 90$ là tích hai số tự nhiên liên tiếp; phân tích $90$ ra đúng một cặp như vậy.

n (n - 1) = 90 = 10 \cdot 9

f (n) = n (n - 1)

đồng biến trên

[1; + \infty)

nên

n = 10

là nghiệm duy nhất
Thử lại:

\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}

Vậy ban đầu có $10$ cái kẹo (6 cam, 4 vàng).

Nhận xét. Cách 3 ngắn nhất nhưng cần lí do duy nhất nghiệm; Cách 1, Cách 2 là lời giải chuẩn với phương trình bậc hai — tách $- n = - 10 n + 9 n$ vì $(- 10) \cdot 9 = - 90$ và $- 10 + 9 = - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2 nếu quen tổ hợp) để có phương trình rõ ràng; Cách 3 dùng để nhẩm nhanh và thử lại đáp số.

Đáp số. Ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.

Sai lầm thường gặp. Coi hai lần lấy độc lập:

(\frac{6}{n})^{2} = \frac{1}{3}

n = 63

không nguyên — sai vì kẹo không trả lại; hoặc giữ cả nghiệm

n = - 9

🚀 Mở rộng. Nếu xác suất lấy được hai kẹo cam là

\frac{1}{7}

thì

n (n - 1) = 210 = 15 \cdot 14

, túi có 15 cái kẹo.

Mở bài này trong app ↗