Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

SBT (Sách bài tập) Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.11★★Trang 14— Đọc cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất từ đồ thị

Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số

y = f (x)

có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}, x_{8}

hay không.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cực trị chỉ được xét trong một lân cận HAI PHÍA của điểm đó, nên đầu mút của đoạn không bao giờ là điểm cực trị.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x_{0}$ nếu $f (x) \leq f (x_{0})$ với mọi $x$ thuộc tập xác định; giá trị nhỏ nhất định nghĩa tương tự với dấu $\geq$ .
Điểm mà tiếp tuyến nằm ngang nhưng đồ thị không đổi chiều đi lên hay đi xuống thì không phải điểm cực trị.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho hình vẽ nên mọi kết luận phải đọc từ dáng đi lên và đi xuống của đồ thị chứ không từ công thức. Cực trị là khái niệm ĐỊA PHƯƠNG, chỉ so sánh trong một lân cận hai phía, còn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là khái niệm TOÀN CỤC, phải so với mọi điểm của tập xác định. Bẫy nằm ở hai đầu mút

x_{1}

và

x_{8}

: chúng không có lân cận hai phía nên không được gọi là điểm cực trị, dù

x_{8}

chính là nơi hàm đạt giá trị lớn nhất.

1Cách 1. Theo dõi chiều đi lên, đi xuống của đồ thị rồi dùng định nghĩa cực trị

Định hướng. Chỉ cần theo dõi đồ thị đi lên hay đi xuống khi $x$ tăng dần từ $x_{1}$ đến $x_{8}$ , chỗ đổi chiều chính là điểm cực trị.

Đồ thị đi lên trên

(x_{1}; x_{2})

, đi xuống trên

(x_{2}; x_{4})

Đổi từ đi lên sang đi xuống tại

x_{2}

, nên

x_{2}

là điểm cực đại

Đồ thị đi lên trên

(x_{4}; x_{6})

, đổi chiều tại

x_{4}

Đổi từ đi xuống sang đi lên tại

x_{4}

, nên

x_{4}

là điểm cực tiểu

Tại

x_{3}

và

x_{5}

tiếp tuyến nằm ngang nhưng đồ thị giữ nguyên chiều

x_{3}

và

x_{5}

không phải điểm cực trị

Đổi từ đi lên sang đi xuống tại

x_{6}

, nên

x_{6}

là điểm cực đại

Đổi từ đi xuống sang đi lên tại

x_{7}

, nên

x_{7}

là điểm cực tiểu

x_{1}

và

x_{8}

là hai đầu mút, không có lân cận hai phía

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x_{2}$ và $x_{6}$ , đạt cực tiểu tại $x_{4}$ và $x_{7}$ ; các điểm $x_{1}, x_{3}, x_{5}, x_{8}$ đều không phải điểm cực trị.

2Cách 2. Chuyển đồ thị thành bảng biến thiên rồi đọc bảng

Định hướng. Bảng biến thiên gom cả chiều biến thiên lẫn vị trí cao thấp vào một chỗ, đọc một lần là trả lời được cả hai câu hỏi.

Dấu của

f^{'}

: dương trên

(x_{1}; x_{2})

, âm trên

(x_{2}; x_{4})

Dấu của

f^{'}

: dương trên

(x_{4}; x_{6})

, âm trên

(x_{6}; x_{7})

, dương trên

(x_{7}; x_{8})

f^{'} (x_{3}) = f^{'} (x_{5}) = 0

nhưng

f^{'}

không đổi dấu khi qua

x_{3}

và

x_{5}

Các đỉnh của bảng ứng với

f (x_{2})

và

f (x_{6})

Các đáy của bảng ứng với

f (x_{4})

và

f (x_{7})

So các đỉnh cùng hai đầu mút:

f (x_{2}) < f (x_{6}) < f (x_{8})

So các đáy cùng hai đầu mút:

f (x_{7}) < f (x_{4}) < f (x_{1})

Vậy đọc trên bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm số là $f (x_{8})$ và giá trị nhỏ nhất là $f (x_{7})$ .

3Cách 3. Cho một đường thẳng nằm ngang trượt lên xuống để so mọi tung độ

Định hướng. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là bài toán so sánh TOÀN CỤC, nên thay vì xét từng điểm ta kẻ một đường thẳng nằm ngang rồi cho nó trượt.

Hạ đường thẳng

y = k

từ rất cao xuống, điểm đầu tiên nó chạm đồ thị ứng với

x_{8}

f (x) \leq f (x_{8})

với mọi

x

thuộc

[x_{1}; x_{8}]

Nâng đường thẳng

y = k

từ rất thấp lên, điểm đầu tiên nó chạm đồ thị ứng với

x_{7}

f (x) \geq f (x_{7})

với mọi

x

thuộc

[x_{1}; x_{8}]

Đường thẳng ngang qua

x_{2}

x_{4}

x_{6}

còn cắt đồ thị ở chỗ khác

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x_{8}$ và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{7}$ ; các điểm $x_{2}, x_{6}$ chỉ trội trong lân cận nên là cực đại, còn $x_{4}, x_{7}$ là cực tiểu.

Nhận xét. Riêng $x_{7}$ vừa là điểm cực tiểu vừa là nơi hàm đạt giá trị nhỏ nhất, còn $x_{8}$ cho giá trị lớn nhất mà vẫn không phải điểm cực trị — đó đúng là khác biệt giữa địa phương và toàn cục.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ mất một phút vẽ bảng biến thiên nhưng đọc được cả cực trị lẫn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, lại tránh được lỗi nhầm đầu mút thành điểm cực trị.

Đáp số. Cực đại tại

x_{2}

và

x_{6}

; cực tiểu tại

x_{4}

và

x_{7}

; giá trị lớn nhất đạt tại

x_{8}

; giá trị nhỏ nhất đạt tại

x_{7}

; các điểm

x_{1}, x_{3}, x_{5}

không phải điểm cực trị.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là gọi

x_{8}

là điểm cực đại vì thấy nó cao nhất: tại

x_{8}

chỉ có nửa lân cận bên trái nên không so sánh hai phía được, y như

x_{1}

cũng không phải điểm cực tiểu dù

f (x_{1})

lớn hơn

f (x_{7})

. Sai lầm thứ hai là coi

x_{3}

x_{5}

là cực trị chỉ vì tiếp tuyến nằm ngang, trong khi tại đó đồ thị vẫn giữ nguyên chiều đi xuống ở

x_{3}

và đi lên ở

x_{5}

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ hai đầu mút, tức xét hàm trên khoảng mở

(x_{1}; x_{8})

, thì hàm không còn giá trị lớn nhất nữa mà chỉ còn hai cực đại tại

x_{2}

và

x_{6}

— hãy tự trả lời khi đó giá trị nhỏ nhất có còn không.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.12★★Trang 14— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức và hàm phân thức trên khoảng

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = 3 x^{4} - 4 x^{3}

; b)

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

với

x > 1

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên một khoảng MỞ có thể không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, nên phải xét giới hạn ở hai đầu khoảng.
Bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương: $t + \frac{1}{t} \geq 2$ , dấu bằng khi $t = 1$ .
Số $m$ thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình $y = m$ có nghiệm trên tập xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu đều không cho đoạn đóng nên trước hết phải xác định tập xác định rồi mới nói tới chuyện có hay không có giá trị lớn nhất. Câu a là đa thức bậc bốn với hệ số cao nhất dương nên hai nhánh chắc chắn tiến tới cộng vô cực, chỉ còn hi vọng có giá trị nhỏ nhất. Câu b có điều kiện

x > 1

nên mẫu

x - 1

dương, đặt

t = x - 1

là tách được ngay thành tổng hai số có tích không đổi.

1Cách 1. Lập bảng biến thiên từ dấu của đạo hàm

Định hướng. Hướng chuẩn mực: tính đạo hàm, tìm nghiệm, lập bảng rồi đọc thêm giới hạn ở hai đầu.

y = 3 x^{4} - 4 x^{3}

, tập xác định

D = R

y^{'} = 12 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (x - 1)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 1

y^{'} < 0

trên

(- \infty; 1)

trừ điểm

x = 0

, còn

y^{'} > 0

trên

(1; + \infty)

y (1) = 3 - 4 = - 1

x \to - \infty lim y = + \infty

và

x \to + \infty lim y = + \infty

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

với

x > 1

y^{'} = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 2

vì đang xét

x > 1

y^{'} < 0

trên

(1; 2)

và

y^{'} > 0

trên

(2; + \infty)

y (2) = \frac{4}{1} = 4

x \to 1^{+} lim y = + \infty

và

x \to + \infty lim y = + \infty

Vậy a) hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$ tại $x = 1$ và không có giá trị lớn nhất; b) hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ và không có giá trị lớn nhất.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ đưa về tổng hai số dương rồi dùng AM-GM

Định hướng. Câu a đưa về đúng dạng bốn số không âm của AM-GM, câu b tách được thành tổng có tích không đổi nên chặn ngay được.

x^{4} + x^{4} + x^{4} + 1 \geq 4 4 x^{12} = 4 ∣ x ∣^{3} \geq 4 x^{3}

3 x^{4} + 1 \geq 4 x^{3}

y = 3 x^{4} - 4 x^{3} \geq - 1

Dấu bằng khi

x^{4} = 1

và

∣ x ∣^{3} = x^{3}

, tức

x = 1

b) Đặt

t = x - 1

với

t > 0

, khi đó

x = t + 1

y = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{t} = \frac{t ^{2} + 2 t + 1}{t} = t + 2 + \frac{1}{t}

t + \frac{1}{t} \geq 2 t \cdot \frac{1}{t} = 2

y \geq 4

, dấu bằng khi

t = 1

, tức

x = 2

Vậy a) giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$ tại $x = 1$ ; b) giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ , cả hai hàm đều không bị chặn trên nên không có giá trị lớn nhất.

3Cách 3. Tìm hẳn tập giá trị bằng điều kiện phương trình có nghiệm

Định hướng. Số $m$ thuộc tập giá trị khi phương trình $y = m$ có nghiệm, nên chỉ cần xét điều kiện có nghiệm là ra ngay hai đầu của tập giá trị.

a) Xét

3 x^{4} - 4 x^{3} = m

, viết lại thành

3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = m + 1

3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = (x - 1)^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1)

3 x^{2} + 2 x + 1 = 3 (x + \frac{1}{3})^{2} + \frac{2}{3} > 0

(x - 1)^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1) \geq 0

nên

m + 1 \geq 0

, tức

m \geq - 1

b) Xét

\frac{x ^{2}}{x - 1} = m

với

x > 1

, đưa về

x^{2} - m x + m = 0

Δ = m^{2} - 4 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 0

hoặc

m \geq 4

Đặt

g (x) = x^{2} - m x + m

thì

g (1) = 1 - m + m = 1 > 0

Với

m \leq 0

: hoành độ đỉnh

\frac{m}{2} \leq 0 < 1

nên hai nghiệm đều nhỏ hơn

1

, loại

Với

m \geq 4

: hoành độ đỉnh

\frac{m}{2} \geq 2 > 1

nên hai nghiệm đều lớn hơn

1

, nhận

Vậy tập giá trị của hàm câu a là $[- 1; + \infty)$ và của hàm câu b là $[4; + \infty)$ , khớp đúng hai đáp số đã tìm ở trên.

Nhận xét. Cách 3 cho hẳn TẬP GIÁ TRỊ chứ không chỉ một con số, nên trả lời được luôn những câu hỏi kiểu tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a vì bảng biến thiên bao quát luôn giới hạn ở vô cực, còn câu b nên dùng Cách 2 vì chỉ hai dòng đã ra đáp số

4

mà không phải đạo hàm một phân thức.

Đáp số. a) Giá trị nhỏ nhất bằng

- 1

tại

x = 1

, không có giá trị lớn nhất; b) giá trị nhỏ nhất bằng

4

tại

x = 2

, không có giá trị lớn nhất.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a nhiều bạn thấy

y^{'} = 12 x^{2} (x - 1)

có hai nghiệm rồi kết luận ngay

x = 0

là điểm cực trị và so sánh

y (0) = 0

với

y (1) = - 1

, trong khi

y^{'}

không đổi dấu khi qua

x = 0

vì

12 x^{2} \geq 0

. Ở câu b, quên điều kiện

x > 1

sẽ nhận thêm nghiệm

x = 0

của

y^{'}

và báo sai rằng hàm có cực đại

y (0) = 0

, một giá trị mà hàm không hề nhận trên miền đang xét.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu a: với mọi số nguyên lẻ

n \geq 3

, hàm

y = n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n}

vẫn có giá trị nhỏ nhất bằng

- 1

tại

x = 1

theo đúng phép tách AM-GM của Cách 2 — hãy kiểm lại với

n = 5

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.13★★Trang 14— Xét sự tồn tại của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên toàn tập số thực

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2

; b)

y = \frac{x}{x ^{2} + 2}

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc lẻ nhận mọi giá trị thực nên trên $R$ nó không có giá trị lớn nhất và cũng không có giá trị nhỏ nhất.
Có cực trị chưa chắc đã có giá trị lớn nhất: đó là hai khái niệm khác nhau.
Với $x > 0$ thì $x + \frac{2}{x} \geq 22$ , dấu bằng khi $x = 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều xét trên

R

chứ không trên đoạn nên định lí về hàm liên tục trên đoạn không dùng được, phải tự kiểm tra tính bị chặn. Câu a là hàm bậc ba nên hai nhánh chạy về hai vô cực trái dấu, dự đoán được ngay là không có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất. Câu b có mẫu luôn dương và bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên hàm dần về

0

ở hai đầu, tức bị chặn và chắc chắn có đủ hai giá trị cần tìm.

1Cách 1. Lập bảng biến thiên rồi xét giới hạn ở hai đầu

Định hướng. Bảng biến thiên cho chiều tăng giảm, còn giới hạn ở vô cực mới quyết định hàm có bị chặn hay không.

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2

, tập xác định

D = R

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x = - 3 x (x - 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

y (0) = 2

và

y (2) = - 8 + 12 + 2 = 6

x \to - \infty lim y = + \infty

và

x \to + \infty lim y = - \infty

y = \frac{x}{x ^{2} + 2}

, tập xác định

D = R

vì

x^{2} + 2 > 0

y^{'} = \frac{( x ^{2} + 2 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = \frac{2 - x ^{2}}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2

y (2) = \frac{2}{4}

và

y (- 2) = - \frac{2}{4}

x \to - \infty lim y = 0

và

x \to + \infty lim y = 0

Vậy a) hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất; b) hàm số có giá trị lớn nhất $\frac{2}{4}$ tại $x = 2$ và giá trị nhỏ nhất $- \frac{2}{4}$ tại $x = - 2$ .

2Cách 2. Dời trục bằng ẩn phụ để lộ dáng lẻ của hàm số

Định hướng. Đưa hàm về tâm đối xứng thì hai nhánh vô cực và tính đối xứng hiện rõ, khỏi cần bảng biến thiên.

a) Đặt

t = x - 1

, khi đó

x = t + 1

y = - (t + 1)^{3} + 3 (t + 1)^{2} + 2 = - t^{3} - 3 t^{2} - 3 t - 1 + 3 t^{2} + 6 t + 3 + 2

y = - t^{3} + 3 t + 4

Chọn

t = - n

với

n

nguyên dương:

y = n^{3} - 3 n + 4

lớn tuỳ ý

Chọn

t = n

y = - n^{3} + 3 n + 4

nhỏ tuỳ ý

b) Hàm

y = \frac{x}{x ^{2} + 2}

thoả

y (- x) = - y (x)

nên là hàm lẻ

Với

x > 0

y = \frac{1}{x + \frac{2}{x}} \leq \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

Với

x \leq 0

y \leq 0 < \frac{2}{4}

Do tính lẻ,

y \geq - \frac{2}{4}

với mọi

x

Vậy a) hàm số nhận giá trị lớn tuỳ ý và nhỏ tuỳ ý nên không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất; b) giá trị lớn nhất bằng $\frac{2}{4}$ tại $x = 2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{2}{4}$ tại $x = - 2$ .

3Cách 3. Chặn tập giá trị bằng điều kiện phương trình có nghiệm

Định hướng. Thay vì khảo sát hàm, ta hỏi ngược: những số $m$ nào được hàm nhận làm giá trị.

a) Xét

- x^{3} + 3 x^{2} + 2 = m

, đây là phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba với hệ số thực luôn có nghiệm thực, với mọi

m

Tập giá trị của hàm câu a là

R

b) Xét

\frac{x}{x ^{2} + 2} = m

, đưa về

m x^{2} - x + 2 m = 0

Với

m = 0

thì

x = 0

, nhận

Với

m \neq = 0

cần

Δ = 1 - 8 m^{2} \geq 0

- \frac{2}{4} \leq m \leq \frac{2}{4}

Tập giá trị của hàm câu b là

[- \frac{2}{4}; \frac{2}{4}]

Vậy câu a có tập giá trị $R$ nên không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; câu b có tập giá trị là một đoạn nên hai đầu đoạn chính là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

Nhận xét. Với câu a, chỉ một câu ngắn về việc phương trình bậc ba luôn có nghiệm đã thay được cả bảng biến thiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu b: chỉ một dòng

Δ = 1 - 8 m^{2} \geq 0

đã ra cùng lúc cả hai đáp số mà không phải đạo hàm phân thức rồi lập bảng.

Đáp số. a) Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất, chỉ có cực đại

y = 6

tại

x = 2

và cực tiểu

y = 2

tại

x = 0

; b) giá trị lớn nhất bằng

\frac{2}{4}

tại

x = 2

, giá trị nhỏ nhất bằng

- \frac{2}{4}

tại

x = - 2

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất ở câu a là thấy

y

đạt cực đại

6

tại

x = 2

rồi viết luôn giá trị lớn nhất bằng

6

, chỉ cần thay

x = - 10

được

y = 1000 + 300 + 2 = 1302

là thấy sai ngay. Ở câu b, một số bạn chỉ giải

2 - x^{2} = 0

trên nửa trục dương nên bỏ mất nghiệm

x = - 2

và kết luận hàm không có giá trị nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu b: hàm

y = \frac{x}{x ^{2} + k}

với

k > 0

có giá trị lớn nhất

\frac{1}{2 k}

tại

x = k

— hãy kiểm lại bằng điều kiện

Δ \geq 0

giống Cách 3.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.14★★★Trang 14— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm chứa căn và hàm lượng giác trên đoạn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a)

f (x) = x 4 - x^{2}

với

- 2 \leq x \leq 2

; b)

f (x) = x - cos x

với

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
AM-GM cho hai số không âm: $uv \leq \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2}$ , dấu bằng khi $u = v$ .
Bất đẳng thức cơ bản $sin u \leq u$ với mọi $u \geq 0$ , dấu bằng chỉ khi $u = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều cho sẵn một đoạn đóng và hàm liên tục trên đó nên chắc chắn có đủ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, việc còn lại chỉ là so sánh. Câu a là tích của một biến với một căn thức mà tổng hai bình phương bên trong bằng hằng số

4

, đó là dấu hiệu của phép đặt

x = 2 sin t

hoặc của AM-GM. Câu b có đạo hàm

1 + sin x

không âm trên toàn trục số, dấu hiệu rất đặc trưng của hàm đồng biến nên chỉ cần tính hai đầu mút.

1Cách 1. Đạo hàm trên đoạn rồi so sánh giá trị tại điểm tới hạn và hai đầu mút

Định hướng. Với hàm liên tục trên đoạn, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chỉ có thể rơi vào nghiệm của đạo hàm hoặc vào hai đầu mút.

f (x) = x 4 - x^{2}

liên tục trên

[- 2; 2]

f^{'} (x) = 4 - x^{2} - \frac{x ^{2}}{4 - x ^{2}} = \frac{4 - 2 x ^{2}}{4 - x ^{2}}

với

- 2 < x < 2

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2

f (- 2) = 0

và

f (2) = 0

f (- 2) = - 2 \cdot 2 = - 2

và

f (2) = 2 \cdot 2 = 2

f (x) = x - cos x

liên tục trên

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

f^{'} (x) = 1 + sin x \geq 0

, dấu bằng chỉ tại

x = - \frac{π}{2}

f

đồng biến trên cả đoạn

f (- \frac{π}{2}) = - \frac{π}{2} - 0 = - \frac{π}{2}

và

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - 0 = \frac{π}{2}

Vậy a) giá trị lớn nhất bằng $2$ tại $x = 2$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ tại $x = - 2$ ; b) giá trị lớn nhất bằng $\frac{π}{2}$ tại $x = \frac{π}{2}$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{π}{2}$ tại $x = - \frac{π}{2}$ .

2Cách 2. Chặn trực tiếp bằng bất đẳng thức rồi chỉ ra điểm đạt dấu bằng

Định hướng. Không cần đạo hàm: một bất đẳng thức chặn đúng cộng với một điểm đạt dấu bằng là đủ kết luận.

∣ f (x) ∣ = ∣ x ∣ 4 - x^{2} \leq \frac{x ^{2} + ( 4 - x ^{2} )}{2} = 2

- 2 \leq f (x) \leq 2

với mọi

x

thuộc

[- 2; 2]

Dấu bằng khi

x^{2} = 4 - x^{2}

, tức

x = \pm 2

f (2) = 2

và

f (- 2) = - 2

b) Đặt

u = x + \frac{π}{2}

thì

u

thuộc

[0; π]

và

cos x = sin u

f (x) + \frac{π}{2} = u - sin u \geq 0

vì

sin u \leq u

với

u \geq 0

Đặt

v = \frac{π}{2} - x

thì

v

thuộc

[0; π]

và

cos x = sin v

\frac{π}{2} - f (x) = v + sin v \geq 0

vì

sin v \geq 0

trên

[0; π]

Vậy a) giá trị lớn nhất bằng $2$ , giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$ ; b) $- \frac{π}{2} \leq f (x) \leq \frac{π}{2}$ với hai dấu bằng lần lượt tại $x = - \frac{π}{2}$ và $x = \frac{π}{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ lượng giác cho câu a, chứng minh đồng biến bằng định nghĩa cho câu b

Định hướng. Phép đặt $x = 2 sin t$ biến câu a thành một hàm sin quen thuộc, còn câu b dùng công thức biến tổng thành tích là ra ngay tính đồng biến.

a) Đặt

x = 2 sin t

với

t

thuộc

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, khi đó

x

chạy khắp

[- 2; 2]

4 - x^{2} = 4 cos^{2} t = 2 cos t

vì

cos t \geq 0

f = 2 sin t \cdot 2 cos t = 2 sin 2 t

2 t

thuộc

[- π; π]

nên

- 2 \leq 2 sin 2 t \leq 2

2 sin 2 t = 2 \Leftrightarrow 2 t = \frac{π}{2} \Leftrightarrow x = 2 sin \frac{π}{4} = 2

b) Lấy

x_{1} < x_{2}

trong đoạn và đặt

d = \frac{x _{2} - x _{1}}{2}

với

0 < d \leq \frac{π}{2}

f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) - (cos x_{2} - cos x_{1})

cos x_{2} - cos x_{1} = - 2 sin \frac{x _{1} + x _{2}}{2} sin \frac{x _{2} - x _{1}}{2}

f (x_{2}) - f (x_{1}) = 2 d + 2 sin \frac{x _{1} + x _{2}}{2} sin d \geq 2 d - 2 sin d \geq 0

Vậy a) tập giá trị của $f$ đúng bằng $[- 2; 2]$ nên giá trị lớn nhất là $2$ và giá trị nhỏ nhất là $- 2$ ; b) $f$ đồng biến thực sự nên giá trị nhỏ nhất và lớn nhất rơi đúng vào hai đầu mút, bằng $- \frac{π}{2}$ và $\frac{π}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 chứng minh được tính đồng biến của $x - cos x$ mà không cần đạo hàm, chỉ nhờ công thức biến tổng thành tích và bất đẳng thức $sin d \leq d$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a vì một dòng AM-GM đã chặn được cả hai phía, và dùng Cách 1 cho câu b vì

f^{'} = 1 + sin x \geq 0

nhìn là thấy ngay hàm đồng biến nên chỉ phải tính hai đầu mút.

Đáp số. a) Giá trị lớn nhất bằng

2

tại

x = 2

, giá trị nhỏ nhất bằng

- 2

tại

x = - 2

; b) giá trị lớn nhất bằng

\frac{π}{2}

tại

x = \frac{π}{2}

, giá trị nhỏ nhất bằng

- \frac{π}{2}

tại

x = - \frac{π}{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, rất nhiều bạn đặt

x = 2 sin t

rồi viết

4 - x^{2} = 2 cos t

mà không nói rõ

t

thuộc

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

; nếu lấy

t = π

thì

2 cos t = - 2

trong khi căn thức luôn không âm. Ở câu b, thấy

f^{'} = 1 + sin x

triệt tiêu tại

x = - \frac{π}{2}

rồi vội gọi đó là điểm cực tiểu, trong khi

f^{'}

không đổi dấu nên đó chỉ là đầu mút.

🚀 Mở rộng. Cùng phép đặt

x = a sin t

, hàm

f (x) = x a^{2} - x^{2}

trên

[- a; a]

có giá trị lớn nhất

\frac{a ^{2}}{2}

tại

x = \frac{a 2}{2}

— hãy thử lại với

a = 3

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.15★★★Trang 15— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm cho bởi nhiều công thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = 2 x - 1

khi

0 \leq x \leq 2

và

f (x) = x^{2} - 5 x + 9

khi

2 < x \leq 3

Kiến thức cần nhớ

Với hàm cho bởi nhiều công thức, tập giá trị là HỢP các tập giá trị của từng nhánh trên phần tương ứng.
Hàm bậc nhất $y = a x + b$ với $a > 0$ đồng biến nên trên đoạn nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại hai đầu mút.
Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ với $a > 0$ có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $x = - \frac{b}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm cho bởi hai công thức trên hai phần khác nhau nên phải xử lí riêng từng nhánh rồi mới gộp kết quả, tuyệt đối không đạo hàm chung một lần. Điểm nối

x = 2

là chỗ đáng ngờ nhất vì nhánh trên lấy dấu bằng còn nhánh dưới thì không, phải xác định rõ

x = 2

thuộc về nhánh nào. Nhánh thứ hai là parabol có đỉnh

x = \frac{5}{2}

nằm gọn trong nửa khoảng

(2; 3]

nên đỉnh chắc chắn tham gia vào kết quả.

1Cách 1. Khảo sát riêng từng nhánh bằng đạo hàm rồi gộp kết quả

Định hướng. Mỗi nhánh là một hàm quen thuộc trên một phần riêng, chỉ cần liệt kê đủ các giá trị nghi vấn rồi so sánh.

Trên

[0; 2]

có

f (x) = 2 x - 1

và

f^{'} (x) = 2 > 0

f (0) = - 1

và

f (2) = 3

Trên

(2; 3]

có

f (x) = x^{2} - 5 x + 9

và

f^{'} (x) = 2 x - 5

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

, thuộc

(2; 3]

f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9 = \frac{11}{4}

f (3) = 9 - 15 + 9 = 3

So sánh bốn số

- 1

3

\frac{11}{4}

3

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $- 1$ tại $x = 0$ và giá trị lớn nhất bằng $3$ , đạt tại cả $x = 2$ và $x = 3$ .

2Cách 2. Chặn từng nhánh bằng bất đẳng thức, không cần đạo hàm

Định hướng. Nhánh bậc nhất chặn trực tiếp theo $x$ , nhánh parabol chặn sau khi viết thành dạng chính tắc.

Với

0 \leq x \leq 2

0 \leq 2 x \leq 4

nên

- 1 \leq 2 x - 1 \leq 3

Dấu bằng bên trái tại

x = 0

, dấu bằng bên phải tại

x = 2

Với

2 < x \leq 3

x^{2} - 5 x + 9 = (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{11}{4}

- \frac{1}{2} < x - \frac{5}{2} \leq \frac{1}{2}

nên

0 \leq (x - \frac{5}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

\frac{11}{4} \leq x^{2} - 5 x + 9 \leq 3

Gộp hai nhánh:

- 1 \leq f (x) \leq 3

Vậy $f (x)$ luôn nằm giữa $- 1$ và $3$ ; dấu bằng dưới đạt tại $x = 0$ , dấu bằng trên đạt tại $x = 2$ và $x = 3$ .

3Cách 3. Tìm hẳn tập giá trị của mỗi nhánh rồi lấy hợp

Định hướng. Trả lời câu hỏi mạnh hơn đề bài: hàm nhận đúng những giá trị nào, khi đó giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chỉ là hai đầu của tập đó.

Nhánh một:

x

chạy khắp

[0; 2]

và

2 x - 1

đồng biến nên tập giá trị là

[- 1; 3]

Nhánh hai: đặt

t = x - \frac{5}{2}

thì

t

chạy khắp

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]

f = t^{2} + \frac{11}{4}

với

t^{2}

chạy khắp

[0; \frac{1}{4}]

Tập giá trị nhánh hai là

[\frac{11}{4}; 3]

[- 1; 3] \cup [\frac{11}{4}; 3] = [- 1; 3]

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $[- 1; 3]$ , nên giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$ và giá trị lớn nhất bằng $3$ .

Nhận xét. Tìm hẳn tập giá trị an toàn hơn so sánh vài số rời rạc, vì nó trả lời luôn câu hỏi phương trình $f (x) = m$ có nghiệm với những $m$ nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia hai nhánh rồi liệt kê đúng bốn số

f (0)

f (2)

f (\frac{5}{2})

f (3)

là chắc chắn không sót, còn Cách 3 tuy đẹp nhưng mất thêm thời gian lập luận về tập giá trị.

Đáp số. Giá trị nhỏ nhất bằng

- 1

tại

x = 0

; giá trị lớn nhất bằng

3

, đạt tại

x = 2

và

x = 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là lấy giá trị nhỏ nhất bằng

\frac{11}{4}

vì thấy đó là giá trị tại đỉnh parabol mà quên so với nhánh bậc nhất, trong khi

f (0) = - 1 < \frac{11}{4}

. Sai lầm thứ hai là thay

x = 2

vào nhánh parabol được

4 - 10 + 9 = 3

rồi tưởng hàm có hai giá trị tại

x = 2

, trong khi điều kiện

2 < x

cho thấy

x = 2

chỉ thuộc nhánh bậc nhất.

🚀 Mở rộng. Đổi nhánh parabol thành

x^{2} - 5 x + 9

trên

(2; 4]

thì

f (4) = 5

, giá trị lớn nhất chuyển hẳn sang

5

— hãy tự kiểm khi đó giá trị nhỏ nhất có thay đổi hay không.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.16★★★Trang 15— Bài toán tối ưu lợi nhuận theo chi phí quảng cáo

Lợi nhuận

P

thu được của một công ty khi dùng số tiền

s

chi cho quảng cáo được cho bởi công thức

P = P (s) = - \frac{1}{10} s^{3} + 6 s^{2} + 400

với

s \geq 0

, ở đây các số tiền được tính bằng đơn vị nghìn USD. a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa. b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?

Kiến thức cần nhớ

Bài toán tối ưu thực tế phải nêu rõ miền của biến trước khi khảo sát, ở đây là $s \geq 0$ .
AM-GM cho ba số không âm: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
Nếu hiệu $M - P (s)$ viết được thành tích các thừa số không âm thì $M$ chính là giá trị lớn nhất của $P$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi lợi nhuận tối đa nên đây là bài tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc ba trên nửa khoảng

s \geq 0

chứ không trên một đoạn. Hệ số của

s^{3}

âm nên khi chi quá nhiều tiền, lợi nhuận sẽ giảm và tiến tới âm vô cực, điều đó bảo đảm giá trị lớn nhất tồn tại và nằm đúng ở điểm cực đại. Câu b thực chất hỏi chiều biến thiên nên phải trả lời bằng hai khoảng tăng và giảm, không được trả lời bằng một con số.

1Cách 1. Khảo sát hàm lợi nhuận bằng đạo hàm trên nửa khoảng

Định hướng. Bảng biến thiên trên $s \geq 0$ trả lời được cả câu a về mức chi tối ưu lẫn câu b về chiều thay đổi của lợi nhuận.

P (s) = - \frac{1}{10} s^{3} + 6 s^{2} + 400

với

s \geq 0

P^{'} (s) = - \frac{3}{10} s^{2} + 12 s = \frac{3}{10} s (40 - s)

P^{'} (s) = 0 \Leftrightarrow s = 0

hoặc

s = 40

P^{'} (s) > 0

trên

(0; 40)

và

P^{'} (s) < 0

trên

(40; + \infty)

P (40) = - \frac{64000}{10} + 6 \cdot 1600 + 400 = - 6400 + 9600 + 400 = 3600

P (0) = 400

và

s \to + \infty lim P (s) = - \infty

P

đồng biến trên

[0; 40]

và nghịch biến trên

[40; + \infty)

Vậy công ty nên chi $40$ nghìn USD cho quảng cáo, khi đó lợi nhuận lớn nhất bằng $3600$ nghìn USD; lợi nhuận tăng dần khi số tiền quảng cáo tăng từ $0$ đến $40$ nghìn USD rồi giảm dần khi chi vượt quá $40$ nghìn USD.

2Cách 2. Tách hiệu thành tích để chặn lợi nhuận bằng một hằng số

Định hướng. Nếu đoán được đáp số là $3600$ thì chỉ cần phân tích hiệu $3600 - P (s)$ thành tích các thừa số không âm là chứng minh xong.

3600 - P (s) = \frac{1}{10} s^{3} - 6 s^{2} + 3200 = \frac{1}{10} (s^{3} - 60 s^{2} + 32000)

s^{3} - 60 s^{2} + 32000 = (s - 40) (s^{2} - 20 s - 800)

s^{2} - 20 s - 800 = (s - 40) (s + 20)

3600 - P (s) = \frac{1}{10} (s - 40)^{2} (s + 20)

Với

s \geq 0

thì

(s - 40)^{2} \geq 0

và

s + 20 > 0

3600 - P (s) \geq 0

, tức

P (s) \leq 3600

Dấu bằng chỉ khi

s = 40

Vậy $P (s) \leq 3600$ với mọi $s \geq 0$ và dấu bằng chỉ xảy ra tại $s = 40$ , nên lợi nhuận tối đa là $3600$ nghìn USD khi chi $40$ nghìn USD cho quảng cáo.

3Cách 3. Dùng AM-GM cho ba số có tổng không đổi

Định hướng. Tách $s$ thành hai nửa bằng nhau để ba số $\frac{s}{2}$ , $\frac{s}{2}$ , $60 - s$ có tổng luôn bằng $60$ , khi đó tích của chúng bị chặn ngay.

P (s) - 400 = - \frac{1}{10} s^{3} + 6 s^{2} = \frac{1}{10} s^{2} (60 - s)

Xét

0 \leq s < 60

, khi đó

\frac{s}{2} \geq 0

và

60 - s > 0

\frac{s}{2} \cdot \frac{s}{2} \cdot (60 - s) \leq \frac{\frac{s}{2} + \frac{s}{2} + ( 60 - s )}{3}^{3} = 2 0^{3} = 8000

\frac{s ^{2} ( 60 - s )}{4} \leq 8000

nên

s^{2} (60 - s) \leq 32000

P (s) - 400 \leq \frac{32000}{10} = 3200

, tức

P (s) \leq 3600

Dấu bằng khi

\frac{s}{2} = 60 - s

, tức

s = 40

Với

s \geq 60

thì

P (s) - 400 = \frac{1}{10} s^{2} (60 - s) \leq 0 < 3200

Vậy lợi nhuận không vượt quá $3600$ nghìn USD với mọi mức chi và đạt đúng giá trị đó khi chi $40$ nghìn USD.

Nhận xét. Mẹo tách $s = \frac{s}{2} + \frac{s}{2}$ là để tổng ba số thành hằng số; nếu không tách thì AM-GM chỉ cho một cận còn phụ thuộc $s$ , hoàn toàn vô ích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì một bảng biến thiên trả lời gọn cả câu a lẫn câu b, trong khi Cách 2 và Cách 3 chỉ tiện cho câu a và còn phải đoán trước đáp số.

Đáp số. a) Chi

40

nghìn USD cho quảng cáo, lợi nhuận tối đa bằng

3600

nghìn USD. b) Lợi nhuận tăng khi số tiền quảng cáo tăng từ

0

đến

40

nghìn USD và giảm khi số tiền đó vượt quá

40

nghìn USD.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn giải

P^{'} (s) = 0

được hai nghiệm rồi so sánh

P (0) = 400

với

P (40) = 3600

mà bỏ qua hành vi khi

s

rất lớn: nếu hệ số của

s^{3}

là số dương thì

P

tiến tới cộng vô cực và bài toán sẽ không có lợi nhuận tối đa nào. Lỗi thứ hai là quên đơn vị nghìn USD, trả lời công ty chi

40

USD thay vì

40

nghìn USD, lệch đúng một nghìn lần.

🚀 Mở rộng. Nếu công thức đổi thành

P (s) = - \frac{1}{10} s^{3} + k s^{2} + 400

với

k > 0

thì cùng lối tách AM-GM cho mức chi tối ưu

s = \frac{20 k}{3}

— hãy kiểm lại với

k = 6

xem có đúng ra

40

không.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.17★★★Trang 15— Bài toán tối ưu chi phí vận tải trên đoạn tốc độ cho trước

Một chiếc xe tải chạy với tốc độ

x

(dặm/giờ) tiêu thụ nhiên liệu theo công thức

\frac{1}{200} (\frac{2500}{x} + x)

gallon trên mỗi dặm. Biết giá nhiên liệu là

3, 6

USD/gallon nên chi phí nhiên liệu cho quãng đường

200

dặm là

C = C (x) = 3, 6 (\frac{2500}{x} + x)

(USD), trong đó

x

thuộc đoạn

[10; 75]

. a) Tìm tốc độ để chi phí nhiên liệu cho

200

dặm là nhỏ nhất. b) Nếu thêm tiền lương lái xe là

28

USD mỗi giờ vào chi phí thì tốc độ nào cho tổng chi phí nhỏ nhất?

Kiến thức cần nhớ

Với $x > 0$ , $k > 0$ , $c > 0$ : $\frac{k}{x} + c x \geq 2 k c$ , dấu bằng khi $x = \frac{k}{c}$ .
Khi biến bị ràng buộc trên một đoạn, phải kiểm điểm dấu bằng có thuộc đoạn đó không trước khi kết luận.
Thời gian đi hết $200$ dặm với tốc độ $x$ dặm mỗi giờ là $\frac{200}{x}$ giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Chi phí có dạng tổng của một số chia cho tốc độ và một số nhân với tốc độ, đó là dấu hiệu kinh điển của AM-GM vì tích hai số hạng không đổi. Nhưng tốc độ bị giới hạn trong đoạn

[10; 75]

nên bắt buộc phải kiểm điểm dấu bằng có rơi vào đoạn đó không, nếu không thì đáp số phải chuyển sang đầu mút. Câu b thêm tiền lương tỉ lệ nghịch với tốc độ nên hệ số của số hạng chia cho

x

tăng lên, do đó tốc độ tối ưu chắc chắn phải lớn hơn câu a.

1Cách 1. Khảo sát hàm chi phí bằng đạo hàm trên đoạn tốc độ

Định hướng. Lập công thức chi phí theo $x$ rồi xét dấu đạo hàm trên đúng đoạn $[10; 75]$ , so thêm hai đầu mút cho chắc.

C (x) = 3, 6 (\frac{2500}{x} + x)

với

x

thuộc

[10; 75]

C^{'} (x) = 3, 6 (1 - \frac{2500}{x ^{2}}) = 3, 6 \cdot \frac{x ^{2} - 2500}{x ^{2}}

C^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 50

vì

x > 0

C^{'} (x) < 0

trên

[10; 50)

và

C^{'} (x) > 0

trên

(50; 75]

C (50) = 3, 6 (50 + 50) = 360

C (10) = 3, 6 (250 + 10) = 936

và

C (75) = 3, 6 (\frac{100}{3} + 75) = 390

b) Thời gian chạy

200

dặm là

\frac{200}{x}

giờ nên tiền lương là

28 \cdot \frac{200}{x} = \frac{5600}{x}

USD

T (x) = 3, 6 (\frac{2500}{x} + x) + \frac{5600}{x} = \frac{14600}{x} + 3, 6 x

T^{'} (x) = - \frac{14600}{x ^{2}} + 3, 6 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{14600}{3 , 6} = \frac{36500}{9}

x = \frac{10 365}{3} \approx 63, 68

, thuộc

[10; 75]

T (\frac{10 365}{3}) = 24365 \approx 458, 52

Vậy a) chạy với tốc độ $50$ dặm mỗi giờ thì chi phí nhiên liệu nhỏ nhất, bằng $360$ USD cho $200$ dặm; b) khi tính thêm lương lái xe, tốc độ tiết kiệm nhất là $\frac{10 365}{3} \approx 63, 68$ dặm mỗi giờ với tổng chi phí khoảng $458, 52$ USD.

2Cách 2. Dùng AM-GM cho hai số có tích không đổi

Định hướng. Hai số hạng của chi phí có tích là hằng số nên AM-GM cho ngay cận dưới và cả điểm đạt cận đó.

a) Với

x > 0

\frac{2500}{x} + x \geq 2 \frac{2500}{x} \cdot x = 2 \cdot 50 = 100

C (x) \geq 3, 6 \cdot 100 = 360

Dấu bằng khi

\frac{2500}{x} = x

, tức

x = 50

, thuộc

[10; 75]

T (x) = \frac{14600}{x} + 3, 6 x \geq 2 14600 \cdot 3, 6 = 252560

52560 = 144 \cdot 365

nên

252560 = 24365 \approx 458, 52

Dấu bằng khi

\frac{14600}{x} = 3, 6 x

, tức

x = \frac{10 365}{3} \approx 63, 68

, thuộc

[10; 75]

Vậy a) chi phí nhiên liệu nhỏ nhất bằng $360$ USD tại tốc độ $50$ dặm mỗi giờ; b) tổng chi phí nhỏ nhất bằng $24365 \approx 458, 52$ USD tại tốc độ $\frac{10 365}{3} \approx 63, 68$ dặm mỗi giờ.

3Cách 3. Tìm tập giá trị của chi phí qua điều kiện phương trình có nghiệm

Định hướng. Hỏi ngược lại: chi phí nhận được những giá trị $m$ nào, khi đó số $m$ nhỏ nhất trong tập ấy chính là đáp số.

C (x) = m

đưa về

3, 6 x^{2} - m x + 9000 = 0

với

x

thuộc

[10; 75]

Δ = m^{2} - 4 \cdot 3, 6 \cdot 9000 = m^{2} - 129600 \geq 0

Vì

m > 0

nên

m \geq 129600 = 360

Khi

m = 360

x = \frac{360}{2 \cdot 3 , 6} = 50

, thuộc

[10; 75]

, nhận

T (x) = m

đưa về

3, 6 x^{2} - m x + 14600 = 0

Δ = m^{2} - 4 \cdot 3, 6 \cdot 14600 = m^{2} - 210240 \geq 0

m \geq 210240 = 24365 \approx 458, 52

Khi

m = 24365

x = \frac{m}{7 , 2} = \frac{10 365}{3} \approx 63, 68

, thuộc

[10; 75]

, nhận

Vậy tập giá trị của chi phí bắt đầu từ $360$ USD ở câu a và từ $24365 \approx 458, 52$ USD ở câu b, đúng bằng hai kết quả đã tìm.

Nhận xét. Cả ba cách đều phải kiểm điểm dấu bằng nằm trong $[10; 75]$ ; nếu đoạn tốc độ chỉ là $[10; 40]$ thì đáp số câu a chuyển sang đầu mút $x = 40$ với $C (40) = 369$ USD.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì AM-GM ra đáp số chỉ trong hai dòng và không phải đạo hàm một phân thức, chỉ cần đừng quên kiểm điểm dấu bằng có thuộc đoạn

[10; 75]

Đáp số. a) Tốc độ

50

dặm mỗi giờ cho chi phí nhiên liệu nhỏ nhất là

360

USD cho

200

dặm. b) Tốc độ

\frac{10 365}{3} \approx 63, 68

dặm mỗi giờ cho tổng chi phí nhỏ nhất, khoảng

24365 \approx 458, 52

USD.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất ở câu b là cộng thẳng

28

USD vào chi phí thay vì nhân với thời gian

\frac{200}{x}

giờ, khi đó

T (x) = 3, 6 (\frac{2500}{x} + x) + 28

vẫn cho tốc độ tối ưu là

50

và câu b trở nên vô nghĩa. Lỗi thứ hai là dùng AM-GM xong quên kiểm

x = 50

có thuộc

[10; 75]

không, thói quen ấy sẽ trả giá ngay ở những đề mà điểm dấu bằng rơi ra ngoài đoạn.

🚀 Mở rộng. Nếu tiền lương lái xe là

w

USD mỗi giờ thì tốc độ tối ưu là

\frac{9000 + 200 w}{3 , 6}

, tăng dần theo

w

— hãy tìm mức lương

w

để tốc độ tối ưu chạm đúng giới hạn

75

dặm mỗi giờ.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.18★★★★Trang 15— Tìm vị trí để cường độ nhiệt tổng cộng nhỏ nhất

Hai nguồn nhiệt được đặt cách nhau

s

mét: nguồn thứ nhất có cường độ

a

đặt tại

A

, nguồn thứ hai có cường độ

b

đặt tại

B

(với

a > 0

b > 0

). Cường độ nhiệt tại điểm

P

nằm trên đoạn thẳng

A B

được cho bởi công thức

I = \frac{a}{x ^{2}} + \frac{b}{( s - x ) ^{2}}

, trong đó

x

(mét) là khoảng cách giữa

P

và

A

, với

0 < x < s

. Hãy xác định vị trí của điểm

P

giữa

A

và

B

để cường độ nhiệt tại đó đạt giá trị nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Bất đẳng thức Holder cho ba dãy số dương: $(u_{1} + u_{2}) (v_{1} + v_{2}) (w_{1} + w_{2}) \geq (3 u_{1} v_{1} w_{1} + 3 u_{2} v_{2} w_{2})^{3}$ .
AM-GM cho ba số dương: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
Điểm dừng của hàm khả vi trên một khoảng mở là ứng cử viên duy nhất cho cực trị trong khoảng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức chỉ có một biến

x

nhưng chứa hai tham số dương

a

b

và hằng số

s

, nên đáp số phải viết theo ba chữ đó chứ không ra một con số cụ thể. Hai số hạng nghịch đảo bình phương mà tổng hai mẫu

x

và

s - x

luôn bằng

s

là dấu hiệu rất đặc trưng của bất đẳng thức Holder ba dãy. Bẫy là đáp số chứa CĂN BẬC BA chứ không phải căn bậc hai như phản xạ quen thuộc, vì số mũ ở mẫu là

2

nên bậc trong điều kiện dấu bằng bị đẩy lên

3

1Cách 1. Đạo hàm theo khoảng cách rồi giải phương trình điểm dừng

Định hướng. Hàm khả vi trên khoảng mở $(0; s)$ và tiến tới cộng vô cực ở hai đầu, nên điểm dừng duy nhất chính là nơi đạt giá trị nhỏ nhất.

I (x) = \frac{a}{x ^{2}} + \frac{b}{( s - x ) ^{2}}

với

0 < x < s

I^{'} (x) = - \frac{2 a}{x ^{3}} + \frac{2 b}{( s - x ) ^{3}}

I^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{x ^{3}} = \frac{b}{( s - x ) ^{3}}

(\frac{x}{s - x})^{3} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow \frac{x}{s - x} = \frac{3 a}{3 b}

x = \frac{s 3 a}{3 a + 3 b}

và

s - x = \frac{s 3 b}{3 a + 3 b}

I^{'} (x) < 0

bên trái điểm đó và

I^{'} (x) > 0

bên phải điểm đó

I_{m i n} = \frac{a ( 3 a + 3 b ) ^{2}}{s ^{2} 3 a ^{2}} + \frac{b ( 3 a + 3 b ) ^{2}}{s ^{2} 3 b ^{2}} = \frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}

Vậy phải đặt $P$ cách $A$ một khoảng $x = \frac{s 3 a}{3 a + 3 b}$ mét, khi đó cường độ nhiệt nhỏ nhất bằng $\frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}$ .

2Cách 2. Dùng bất đẳng thức Holder cho ba dãy để chặn ngay cường độ nhiệt

Định hướng. Nhân thêm hai lần tổng $x + (s - x) = s$ để đúng dạng ba dãy, khi đó vế phải chỉ còn $a$ và $b$ mà không còn $x$ .

Đặt

u = x > 0

và

v = s - x > 0

, khi đó

u + v = s

(\frac{a}{u ^{2}} + \frac{b}{v ^{2}}) (u + v) (u + v) \geq (3 \frac{a}{u ^{2}} \cdot u \cdot u + 3 \frac{b}{v ^{2}} \cdot v \cdot v)^{3}

(\frac{a}{u ^{2}} + \frac{b}{v ^{2}}) s^{2} \geq (3 a + 3 b)^{3}

I \geq \frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}

Dấu bằng khi

\frac{a}{u ^{3}} = \frac{b}{v ^{3}}

, tức

\frac{u}{v} = \frac{3 a}{3 b}

u = \frac{s 3 a}{3 a + 3 b}

Vậy cường độ nhiệt nhỏ nhất bằng $\frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}$ , đạt khi $P$ cách $A$ đúng $\frac{s 3 a}{3 a + 3 b}$ mét.

3Cách 3. Thêm bớt hai lượng phụ tỉ lệ với khoảng cách để dùng AM-GM ba số

Định hướng. Cộng thêm hai lượng tỉ lệ với $x$ và $s - x$ thì phần thêm vào là hằng số $2 λ s$ , còn mỗi cụm trở thành đúng ba số cho AM-GM.

Chọn

λ = (\frac{3 a + 3 b}{s})^{3} > 0

\frac{a}{x ^{2}} + λ x + λ x \geq 3 3 a λ^{2}

\frac{b}{( s - x ) ^{2}} + λ (s - x) + λ (s - x) \geq 3 3 b λ^{2}

I + 2 λ s \geq 3 3 λ^{2} (3 a + 3 b)

3 λ^{2} = \frac{( 3 a + 3 b ) ^{2}}{s ^{2}}

và

2 λ s = \frac{2 ( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}

I \geq \frac{3 ( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}} - \frac{2 ( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}} = \frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}

Dấu bằng khi

\frac{a}{x ^{2}} = λ x

, tức

x = 3 \frac{a}{λ} = \frac{s 3 a}{3 a + 3 b}

Vậy cả ba cách cho cùng một kết quả: $P$ nằm cách $A$ đoạn $\frac{s 3 a}{3 a + 3 b}$ mét và cường độ nhiệt nhỏ nhất là $\frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}$ .

Nhận xét. Khi $a = b$ thì $x = \frac{s}{2}$ : hai nguồn mạnh như nhau thì chỗ mát nhất nằm đúng giữa, một kết quả rất dễ kiểm bằng trực giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề hỏi VỊ TRÍ nên chỉ cần giải

I^{'} (x) = 0

là có ngay đáp số, còn Cách 2 tuy ngắn hơn nhưng phải nhớ chính xác dạng ba dãy của Holder mới dám dùng.

Đáp số. Điểm

P

cách

A

một khoảng

x = \frac{s 3 a}{3 a + 3 b}

mét; cường độ nhiệt nhỏ nhất bằng

\frac{( 3 a + 3 b ) ^{3}}{s ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là quen tay dùng AM-GM hai số rồi chặn tiếp

x (s - x) \leq \frac{s ^{2}}{4}

để được

I \geq \frac{8 ab}{s ^{2}}

: hai dấu bằng đòi

x = s - x

và

\frac{a}{x ^{2}} = \frac{b}{( s - x ) ^{2}}

nên chỉ cùng xảy ra khi

a = b

, với

a \neq = b

cận đó không bao giờ đạt được. Sai lầm thứ hai là nhầm căn bậc ba thành căn bậc hai, viết

x = \frac{s a}{a + b}

; thử với

a = 1

b = 8

s = 3

sẽ được

I \approx 3, 26

trong khi giá trị đúng chỉ là

3

🚀 Mở rộng. Nếu cường độ nhiệt đổi thành

I = \frac{a}{x ^{n}} + \frac{b}{( s - x ) ^{n}}

với

n

nguyên dương thì cùng lối làm cho

x = \frac{s n + 1 a}{n + 1 a + n + 1 b}

— hãy kiểm lại kết quả quen thuộc khi

n = 1

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.19★★★★Trang 16— Tìm góc phóng để quãng đường lên mặt phẳng nghiêng lớn nhất

Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên

θ

với

4 5^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}

so với phương ngang, vận tốc ban đầu là

v_{0}

(feet/giây), tính từ chân một mặt phẳng nghiêng tạo với phương ngang góc

4 5^{\circ}

. Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường

R

(tính bằng feet,

1

feet

= 0, 3048

mét) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số

R (θ) = \frac{v _{0}^{2} 2}{16} cos θ (sin θ - cos θ)

. Góc phóng

θ

nào làm cho quãng đường

R

lớn nhất và giá trị lớn nhất của

R

bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ và $cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ .
Gộp về một cung: $sin α - cos α = 2 sin (α - 4 5^{\circ})$ , giá trị lớn nhất bằng $2$ .
$tan 67, 5^{\circ} = 1 + 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biến số ở đây là góc chứ không phải độ dài, và

R

chứa tích

cos θ sin θ

cùng

cos^{2} θ

nên phải hạ bậc đưa về cung

2 θ

trước đã. Sau khi hạ bậc, biểu thức thành

sin 2 θ - cos 2 θ

là dạng chuẩn gộp về một cung duy nhất, khi đó giá trị lớn nhất lộ ra ngay mà không cần đạo hàm. Bẫy là hệ số

\frac{v _{0}^{2} 2}{16}

luôn dương nên chiều bất đẳng thức không đổi, còn nghiệm của phương trình lượng giác thì phải lọc lại theo miền

[4 5^{\circ}; 9 0^{\circ}]

1Cách 1. Đạo hàm theo góc rồi giải phương trình lượng giác

Định hướng. Đạo hàm của $sin θ cos θ - cos^{2} θ$ gọn lại thành $cos 2 θ + sin 2 θ$ , nên phương trình điểm dừng rất dễ giải.

R (θ) = \frac{v _{0}^{2} 2}{16} (sin θ cos θ - cos^{2} θ)

với

4 5^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}

(sin θ cos θ)^{'} = cos 2 θ

và

(- cos^{2} θ)^{'} = sin 2 θ

R^{'} (θ) = 0 \Leftrightarrow sin 2 θ + cos 2 θ = 0 \Leftrightarrow tan 2 θ = - 1

9 0^{\circ} \leq 2 θ \leq 18 0^{\circ}

nên

2 θ = 13 5^{\circ}

, tức

θ = 67, 5^{\circ}

R^{'} > 0

trên

(4 5^{\circ}; 67, 5^{\circ})

và

R^{'} < 0

trên

(67, 5^{\circ}; 9 0^{\circ})

R (4 5^{\circ}) = 0

và

R (9 0^{\circ}) = 0

R (67, 5^{\circ}) = \frac{v _{0}^{2} 2}{16} \cdot \frac{2 - 1}{2} = \frac{v _{0}^{2} ( 2 - 2 )}{32}

Vậy quãng đường $R$ lớn nhất khi góc phóng bằng $67, 5^{\circ}$ và giá trị lớn nhất đó là $\frac{v _{0}^{2} ( 2 - 2 )}{32}$ feet.

2Cách 2. Hạ bậc rồi gộp về một cung duy nhất để đánh giá trực tiếp

Định hướng. Đưa cả biểu thức về một hàm sin của cung $2 θ - 4 5^{\circ}$ thì cận trên hiện ra ngay, khỏi cần đạo hàm và xét dấu.

sin θ cos θ - cos^{2} θ = \frac{1}{2} sin 2 θ - \frac{1 + cos 2 θ}{2}

= \frac{1}{2} (sin 2 θ - cos 2 θ) - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} sin (2 θ - 4 5^{\circ}) - \frac{1}{2}

R (θ) = \frac{v _{0}^{2} 2}{16} [\frac{2}{2} sin (2 θ - 4 5^{\circ}) - \frac{1}{2}]

4 5^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}

nên

4 5^{\circ} \leq 2 θ - 4 5^{\circ} \leq 13 5^{\circ}

sin (2 θ - 4 5^{\circ}) \leq 1

, dấu bằng khi

2 θ - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

R (θ) \leq \frac{v _{0}^{2} 2}{16} (\frac{2}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{v _{0}^{2} ( 2 - 2 )}{32}

Vậy $R$ đạt giá trị lớn nhất $\frac{v _{0}^{2} ( 2 - 2 )}{32}$ feet tại $θ = 67, 5^{\circ}$ , đúng như Cách 1.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = tan θ

rồi tìm miền giá trị

Định hướng. Phép đặt $t = tan θ$ biến biểu thức lượng giác thành một phân thức theo $t$ , khi đó điều kiện có nghiệm cho luôn cận trên.

Với

4 5^{\circ} \leq θ < 9 0^{\circ}

, đặt

t = tan θ \geq 1

cos θ (sin θ - cos θ) = cos^{2} θ (tan θ - 1) = \frac{t - 1}{1 + t ^{2}}

Đặt

\frac{t - 1}{1 + t ^{2}} = m

, đưa về

m t^{2} - t + m + 1 = 0

Với

m \neq = 0

cần

Δ = 1 - 4 m (m + 1) \geq 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} + 4 m - 1 \leq 0

m \leq \frac{2 - 1}{2}

Dấu bằng khi

t = \frac{1}{2 m} = \frac{1}{2 - 1} = 1 + 2 = tan 67, 5^{\circ}

Riêng

θ = 9 0^{\circ}

cho

R = 0

, nhỏ hơn giá trị vừa tìm

Vậy giá trị lớn nhất của $cos θ (sin θ - cos θ)$ bằng $\frac{2 - 1}{2}$ nên $R$ lớn nhất bằng $\frac{v _{0}^{2} 2}{16} \cdot \frac{2 - 1}{2} = \frac{v _{0}^{2} ( 2 - 2 )}{32}$ feet tại $θ = 67, 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Ba cách đều chỉ về $θ = 67, 5^{\circ}$ , đúng bằng trung bình cộng của góc mặt phẳng nghiêng $4 5^{\circ}$ và góc $9 0^{\circ}$ — một quy luật rất đẹp của bài toán ném xiên lên dốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hạ bậc rồi gộp một cung cho ra cùng lúc cả góc tối ưu lẫn giá trị lớn nhất chỉ trong ba dòng, không phải đạo hàm cũng không phải xét dấu.

Đáp số. Góc phóng

θ = 67, 5^{\circ}

cho quãng đường lớn nhất; giá trị lớn nhất là

R = \frac{v _{0}^{2} ( 2 - 2 )}{32} \approx 0, 0183 v_{0}^{2}

feet.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn giải

tan 2 θ = - 1

rồi lấy luôn

2 θ = - 4 5^{\circ}

nên được

θ = - 22, 5^{\circ}

, một góc không thuộc

[4 5^{\circ}; 9 0^{\circ}]

; phải chọn nghiệm của

2 θ

trong

[9 0^{\circ}; 18 0^{\circ}]

. Lỗi thứ hai là dùng

sin (2 θ - 4 5^{\circ}) \leq 1

mà quên kiểm

2 θ - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

có nằm trong

[4 5^{\circ}; 13 5^{\circ}]

không, thói quen đó sẽ sai ngay khi miền của

θ

bị thu hẹp.

🚀 Mở rộng. Nếu mặt phẳng nghiêng tạo với phương ngang góc

α

thì góc phóng tối ưu là

θ = \frac{α + 9 0 ^{\circ}}{2}

— hãy kiểm lại với

α = 4 5^{\circ}

rồi dự đoán kết quả quen thuộc khi

α = 0^{\circ}

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 16

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.20★★★Trang 16— Vận tốc, gia tốc và giá trị lớn nhất trong dao động của xe gắn lò xo

Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo, được kéo ra khỏi vị trí cân bằng

10

cm rồi thả ra tại thời điểm

t = 0

giây để chuyển động trong

4

giây. Vị trí

s

(cm) của xe tại thời điểm

t

giây là

s = 10 cos π t

với

0 \leq t \leq 4

. a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn bằng bao nhiêu? b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc là đạo hàm cấp một của vị trí theo thời gian, gia tốc là đạo hàm cấp hai.
Tốc độ là ĐỘ LỚN của vận tốc, tức $∣ v (t) ∣$ ; giá trị lớn nhất của $∣ sin u ∣$ và $∣ cos u ∣$ đều bằng $1$ .
Trong dao động dạng $s = A cos ω t$ , gia tốc luôn tỉ lệ với vị trí theo hệ thức $a = - ω^{2} s$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vị trí cho bởi hàm cosin nên vận tốc và gia tốc lấy bằng đạo hàm cấp một và cấp hai theo thời gian, hai hàm đó lại là sin và cosin nên đều bị chặn bởi biên độ của chúng. Đề hỏi TỐC ĐỘ chứ không hỏi vận tốc, nghĩa là phải lấy giá trị tuyệt đối của vận tốc rồi mới tìm giá trị lớn nhất. Điều đáng chú ý là hai câu hỏi bổ trợ nhau: nơi tốc độ lớn nhất thì gia tốc bằng

0

và ngược lại, đó chính là đặc trưng của dao động điều hoà.

1Cách 1. Lấy đạo hàm cấp một, cấp hai rồi khảo sát trên đoạn thời gian

Định hướng. Viết hẳn công thức vận tốc và gia tốc theo $t$ , rồi tìm các thời điểm mà hàm sin hoặc hàm cosin đạt độ lớn bằng $1$ .

s (t) = 10 cos π t

với

0 \leq t \leq 4

v (t) = s^{'} (t) = - 10 π sin π t

a (t) = s^{''} (t) = - 10 π^{2} cos π t

∣ v (t) ∣ = 10 π ∣ sin π t ∣ \leq 10 π \approx 31, 42

∣ sin π t ∣ = 1 \Leftrightarrow t \in {\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}}

Tại các thời điểm đó

cos π t = 0

nên

s = 0

và

a = 0

∣ a (t) ∣ = 10 π^{2} ∣ cos π t ∣ \leq 10 π^{2} \approx 98, 70

∣ cos π t ∣ = 1 \Leftrightarrow t \in {0; 1; 2; 3; 4}

Tại các thời điểm đó

s = \pm 10

và

sin π t = 0

nên

v = 0

Vậy a) tốc độ lớn nhất là $10 π \approx 31, 42$ cm/s, đạt tại $t = \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}$ giây, lúc đó xe ở vị trí cân bằng $s = 0$ và độ lớn gia tốc bằng $0$ ; b) độ lớn gia tốc lớn nhất là $10 π^{2} \approx 98, 70$ cm/s $^{2}$ , xảy ra khi xe ở hai vị trí biên $s = \pm 10$ cm, khi đó vận tốc của xe bằng $0$ .

2Cách 2. Chặn trực tiếp bằng biên độ của hàm sin và hàm cosin

Định hướng. Không cần khảo sát: hai hàm sin và cosin đều nằm giữa $- 1$ và $1$ , chỉ cần dùng hệ thức $sin^{2} + cos^{2} = 1$ để nối hai kết luận với nhau.

- 1 \leq sin π t \leq 1

nên

- 10 π \leq v (t) \leq 10 π

∣ v (t) ∣ \leq 10 π

, dấu bằng khi

sin π t = \pm 1

- 1 \leq cos π t \leq 1

nên

∣ a (t) ∣ \leq 10 π^{2}

, dấu bằng khi

cos π t = \pm 1

sin^{2} π t + cos^{2} π t = 1

sin π t = \pm 1

kéo theo

cos π t = 0

, tức

s = 0

và

a = 0

cos π t = \pm 1

kéo theo

sin π t = 0

, tức

s = \pm 10

và

v = 0

Vậy tốc độ lớn nhất $10 π$ cm/s xảy ra đúng lúc xe qua vị trí cân bằng với gia tốc bằng $0$ , còn độ lớn gia tốc lớn nhất $10 π^{2}$ cm/s $^{2}$ xảy ra đúng lúc xe ở biên với vận tốc bằng $0$ .

3Cách 3. Khử thời gian để nối trực tiếp vận tốc với vị trí

Định hướng. Loại bỏ hẳn biến $t$ để nối $v$ với $s$ , khi đó câu hỏi về vị trí trả lời được ngay mà không cần biết thời điểm.

\frac{s}{10} = cos π t

và

\frac{v}{10 π} = - sin π t

(\frac{s}{10})^{2} + (\frac{v}{10 π})^{2} = 1

v^{2} = π^{2} (100 - s^{2})

0 \leq s^{2} \leq 100

nên

v^{2} \leq 100 π^{2}

, tức

∣ v ∣ \leq 10 π

Dấu bằng khi

s = 0

a = - 10 π^{2} cos π t = - π^{2} s

nên

∣ a ∣ = π^{2} ∣ s ∣ \leq 10 π^{2}

Dấu bằng khi

∣ s ∣ = 10

, khi đó

v^{2} = π^{2} (100 - 100) = 0

Vậy hai hệ thức $v^{2} = π^{2} (100 - s^{2})$ và $a = - π^{2} s$ cho ngay tốc độ lớn nhất $10 π$ cm/s tại vị trí cân bằng và độ lớn gia tốc lớn nhất $10 π^{2}$ cm/s $^{2}$ tại hai vị trí biên.

Nhận xét. Hai hệ thức khử thời gian này đúng cho mọi dao động dạng $s = A cos ω t$ , nên chúng thay được cả bảng biến thiên lẫn việc giải phương trình lượng giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì hai hệ thức

v^{2} = π^{2} (100 - s^{2})

và

a = - π^{2} s

trả lời thẳng câu hỏi xe đang ở đâu mà không phải giải một phương trình lượng giác nào.

Đáp số. a) Tốc độ lớn nhất bằng

10 π \approx 31, 42

cm/s tại các thời điểm

t = \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}

giây; lúc đó xe ở vị trí cân bằng

s = 0

và độ lớn gia tốc bằng

0

. b) Độ lớn gia tốc lớn nhất bằng

10 π^{2} \approx 98, 70

cm/s

^{2}

khi xe ở hai vị trí biên

s = 10

cm và

s = - 10

cm, ứng với

t = 0; 1; 2; 3; 4

giây, khi đó vận tốc của xe bằng

0

Sai lầm thường gặp. Lỗi thường gặp nhất là trả lời tốc độ lớn nhất bằng

10

cm/s vì lấy nhầm biên độ của

s

làm biên độ của

v

, trong khi phép đạo hàm sinh thêm thừa số

π

nên tốc độ lớn nhất là

10 π \approx 31, 42

cm/s. Lỗi thứ hai là nói xe có tốc độ lớn nhất ở vị trí biên vì nghĩ đi xa nhất thì nhanh nhất, trong khi ở biên xe vừa đổi chiều nên vận tốc bằng

0

và chính tại vị trí cân bằng xe mới nhanh nhất.

🚀 Mở rộng. Với dao động tổng quát

s = A cos ω t

thì tốc độ lớn nhất là

A ω

và độ lớn gia tốc lớn nhất là

A ω^{2}

— hãy kiểm lại hai công thức đó với

A = 10

và

ω = π

của bài này.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 16

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-12-kn/bai-2-gia-tri-lon-nhat-va-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so.jsp · https://loigiaihay.com/giai-bai-112-trang-14-sach-bai-tap-toan-12-ket-noi-tri-thuc-a172546.html