Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang14–16 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.11★★Trang 14— Đọc cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất từ đồ thị

Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số

y = f (x)

có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}, x_{8}

hay không.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cực trị chỉ được xét trong một lân cận HAI PHÍA của điểm đó, nên đầu mút của đoạn không bao giờ là điểm cực trị.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x_{0}$ nếu $f (x) \leq f (x_{0})$ với mọi $x$ thuộc tập xác định; giá trị nhỏ nhất định nghĩa tương tự với dấu $\geq$ .
Điểm mà tiếp tuyến nằm ngang nhưng đồ thị không đổi chiều đi lên hay đi xuống thì không phải điểm cực trị.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho hình vẽ nên mọi kết luận phải đọc từ dáng đi lên và đi xuống của đồ thị chứ không từ công thức. Cực trị là khái niệm ĐỊA PHƯƠNG, chỉ so sánh trong một lân cận hai phía, còn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là khái niệm TOÀN CỤC, phải so với mọi điểm của tập xác định. Bẫy nằm ở hai đầu mút

x_{1}

và

x_{8}

: chúng không có lân cận hai phía nên không được gọi là điểm cực trị, dù

x_{8}

chính là nơi hàm đạt giá trị lớn nhất.

1Cách 1. Theo dõi chiều đi lên, đi xuống của đồ thị rồi dùng định nghĩa cực trị

Định hướng. Chỉ cần theo dõi đồ thị đi lên hay đi xuống khi $x$ tăng dần từ $x_{1}$ đến $x_{8}$ , chỗ đổi chiều chính là điểm cực trị.

Đồ thị đi lên trên

(x_{1}; x_{2})

, đi xuống trên

(x_{2}; x_{4})

Đổi từ đi lên sang đi xuống tại

x_{2}

, nên

x_{2}

là điểm cực đại

Đồ thị đi lên trên

(x_{4}; x_{6})

, đổi chiều tại

x_{4}

Đổi từ đi xuống sang đi lên tại

x_{4}

, nên

x_{4}

là điểm cực tiểu

Tại

x_{3}

và

x_{5}

tiếp tuyến nằm ngang nhưng đồ thị giữ nguyên chiều

x_{3}

và

x_{5}

không phải điểm cực trị

Đổi từ đi lên sang đi xuống tại

x_{6}

, nên

x_{6}

là điểm cực đại

Đổi từ đi xuống sang đi lên tại

x_{7}

, nên

x_{7}

là điểm cực tiểu

x_{1}

và

x_{8}

là hai đầu mút, không có lân cận hai phía

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x_{2}$ và $x_{6}$ , đạt cực tiểu tại $x_{4}$ và $x_{7}$ ; các điểm $x_{1}, x_{3}, x_{5}, x_{8}$ đều không phải điểm cực trị.

2Cách 2. Chuyển đồ thị thành bảng biến thiên rồi đọc bảng

Định hướng. Bảng biến thiên gom cả chiều biến thiên lẫn vị trí cao thấp vào một chỗ, đọc một lần là trả lời được cả hai câu hỏi.

Dấu của

f^{'}

: dương trên

(x_{1}; x_{2})

, âm trên

(x_{2}; x_{4})

Dấu của

f^{'}

: dương trên

(x_{4}; x_{6})

, âm trên

(x_{6}; x_{7})

, dương trên

(x_{7}; x_{8})

f^{'} (x_{3}) = f^{'} (x_{5}) = 0

nhưng

f^{'}

không đổi dấu khi qua

x_{3}

và

x_{5}

Các đỉnh của bảng ứng với

f (x_{2})

và

f (x_{6})

Các đáy của bảng ứng với

f (x_{4})

và

f (x_{7})

So các đỉnh cùng hai đầu mút:

f (x_{2}) < f (x_{6}) < f (x_{8})

So các đáy cùng hai đầu mút:

f (x_{7}) < f (x_{4}) < f (x_{1})

Vậy đọc trên bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm số là $f (x_{8})$ và giá trị nhỏ nhất là $f (x_{7})$ .

3Cách 3. Cho một đường thẳng nằm ngang trượt lên xuống để so mọi tung độ

Định hướng. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là bài toán so sánh TOÀN CỤC, nên thay vì xét từng điểm ta kẻ một đường thẳng nằm ngang rồi cho nó trượt.

Hạ đường thẳng

y = k

từ rất cao xuống, điểm đầu tiên nó chạm đồ thị ứng với

x_{8}

f (x) \leq f (x_{8})

với mọi

x

thuộc

[x_{1}; x_{8}]

Nâng đường thẳng

y = k

từ rất thấp lên, điểm đầu tiên nó chạm đồ thị ứng với

x_{7}

f (x) \geq f (x_{7})

với mọi

x

thuộc

[x_{1}; x_{8}]

Đường thẳng ngang qua

x_{2}

x_{4}

x_{6}

còn cắt đồ thị ở chỗ khác

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x_{8}$ và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{7}$ ; các điểm $x_{2}, x_{6}$ chỉ trội trong lân cận nên là cực đại, còn $x_{4}, x_{7}$ là cực tiểu.

Nhận xét. Riêng $x_{7}$ vừa là điểm cực tiểu vừa là nơi hàm đạt giá trị nhỏ nhất, còn $x_{8}$ cho giá trị lớn nhất mà vẫn không phải điểm cực trị — đó đúng là khác biệt giữa địa phương và toàn cục.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ mất một phút vẽ bảng biến thiên nhưng đọc được cả cực trị lẫn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, lại tránh được lỗi nhầm đầu mút thành điểm cực trị.

Đáp số. Cực đại tại

x_{2}

và

x_{6}

; cực tiểu tại

x_{4}

và

x_{7}

; giá trị lớn nhất đạt tại

x_{8}

; giá trị nhỏ nhất đạt tại

x_{7}

; các điểm

x_{1}, x_{3}, x_{5}

không phải điểm cực trị.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là gọi

x_{8}

là điểm cực đại vì thấy nó cao nhất: tại

x_{8}

chỉ có nửa lân cận bên trái nên không so sánh hai phía được, y như

x_{1}

cũng không phải điểm cực tiểu dù

f (x_{1})

lớn hơn

f (x_{7})

. Sai lầm thứ hai là coi

x_{3}

x_{5}

là cực trị chỉ vì tiếp tuyến nằm ngang, trong khi tại đó đồ thị vẫn giữ nguyên chiều đi xuống ở

x_{3}

và đi lên ở

x_{5}

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ hai đầu mút, tức xét hàm trên khoảng mở

(x_{1}; x_{8})

, thì hàm không còn giá trị lớn nhất nữa mà chỉ còn hai cực đại tại

x_{2}

và

x_{6}

— hãy tự trả lời khi đó giá trị nhỏ nhất có còn không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.12★★Trang 14— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm đa thức và hàm phân thức trên khoảng

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = 3 x^{4} - 4 x^{3}

; b)

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

với

x > 1

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên một khoảng MỞ có thể không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, nên phải xét giới hạn ở hai đầu khoảng.
Bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương: $t + \frac{1}{t} \geq 2$ , dấu bằng khi $t = 1$ .
Số $m$ thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình $y = m$ có nghiệm trên tập xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu đều không cho đoạn đóng nên trước hết phải xác định tập xác định rồi mới nói tới chuyện có hay không có giá trị lớn nhất. Câu a là đa thức bậc bốn với hệ số cao nhất dương nên hai nhánh chắc chắn tiến tới cộng vô cực, chỉ còn hi vọng có giá trị nhỏ nhất. Câu b có điều kiện

x > 1

nên mẫu

x - 1

dương, đặt

t = x - 1

là tách được ngay thành tổng hai số có tích không đổi.

1Cách 1. Lập bảng biến thiên từ dấu của đạo hàm

Định hướng. Hướng chuẩn mực: tính đạo hàm, tìm nghiệm, lập bảng rồi đọc thêm giới hạn ở hai đầu.

y = 3 x^{4} - 4 x^{3}

, tập xác định

D = R

y^{'} = 12 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (x - 1)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 1

y^{'} < 0

trên

(- \infty; 1)

trừ điểm

x = 0

, còn

y^{'} > 0

trên

(1; + \infty)

y (1) = 3 - 4 = - 1

x \to - \infty lim y = + \infty

và

x \to + \infty lim y = + \infty

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

với

x > 1

y^{'} = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 2

vì đang xét

x > 1

y^{'} < 0

trên

(1; 2)

và

y^{'} > 0

trên

(2; + \infty)

y (2) = \frac{4}{1} = 4

x \to 1^{+} lim y = + \infty

và

x \to + \infty lim y = + \infty

Vậy a) hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$ tại $x = 1$ và không có giá trị lớn nhất; b) hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ và không có giá trị lớn nhất.

Hình minh hoạ lời giải

Hai bảng biến thiên: hàm y = 3x^4 - 4x^3 trên R và hàm y = x^2/(x-1) trên khoảng x lớn hơn 1 (vạch đôi tại x = 1)

2Cách 2. Đặt ẩn phụ đưa về tổng hai số dương rồi dùng AM-GM

Định hướng. Câu a đưa về đúng dạng bốn số không âm của AM-GM, câu b tách được thành tổng có tích không đổi nên chặn ngay được.

x^{4} + x^{4} + x^{4} + 1 \geq 4 4 x^{12} = 4 ∣ x ∣^{3} \geq 4 x^{3}

3 x^{4} + 1 \geq 4 x^{3}

y = 3 x^{4} - 4 x^{3} \geq - 1

Dấu bằng khi

x^{4} = 1

và

∣ x ∣^{3} = x^{3}

, tức

x = 1

b) Đặt

t = x - 1

với

t > 0

, khi đó

x = t + 1

y = \frac{( t + 1 ) ^{2}}{t} = \frac{t ^{2} + 2 t + 1}{t} = t + 2 + \frac{1}{t}

t + \frac{1}{t} \geq 2 t \cdot \frac{1}{t} = 2

y \geq 4

, dấu bằng khi

t = 1

, tức

x = 2

Vậy a) giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$ tại $x = 1$ ; b) giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ , cả hai hàm đều không bị chặn trên nên không có giá trị lớn nhất.

3Cách 3. Tìm hẳn tập giá trị bằng điều kiện phương trình có nghiệm

Định hướng. Số $m$ thuộc tập giá trị khi phương trình $y = m$ có nghiệm, nên chỉ cần xét điều kiện có nghiệm là ra ngay hai đầu của tập giá trị.

a) Xét

3 x^{4} - 4 x^{3} = m

, viết lại thành

3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = m + 1

3 x^{4} - 4 x^{3} + 1 = (x - 1)^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1)

3 x^{2} + 2 x + 1 = 3 (x + \frac{1}{3})^{2} + \frac{2}{3} > 0

(x - 1)^{2} (3 x^{2} + 2 x + 1) \geq 0

nên

m + 1 \geq 0

, tức

m \geq - 1

b) Xét

\frac{x ^{2}}{x - 1} = m

với

x > 1

, đưa về

x^{2} - m x + m = 0

Δ = m^{2} - 4 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 0

hoặc

m \geq 4

Đặt

g (x) = x^{2} - m x + m

thì

g (1) = 1 - m + m = 1 > 0

Với

m \leq 0

: hoành độ đỉnh

\frac{m}{2} \leq 0 < 1

nên hai nghiệm đều nhỏ hơn

1

, loại

Với

m \geq 4

: hoành độ đỉnh

\frac{m}{2} \geq 2 > 1

nên hai nghiệm đều lớn hơn

1

, nhận

Vậy tập giá trị của hàm câu a là $[- 1; + \infty)$ và của hàm câu b là $[4; + \infty)$ , khớp đúng hai đáp số đã tìm ở trên.

Nhận xét. Cách 3 cho hẳn TẬP GIÁ TRỊ chứ không chỉ một con số, nên trả lời được luôn những câu hỏi kiểu tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a vì bảng biến thiên bao quát luôn giới hạn ở vô cực, còn câu b nên dùng Cách 2 vì chỉ hai dòng đã ra đáp số

4

mà không phải đạo hàm một phân thức.

Đáp số. a) Giá trị nhỏ nhất bằng

- 1

tại

x = 1

, không có giá trị lớn nhất; b) giá trị nhỏ nhất bằng

4

tại

x = 2

, không có giá trị lớn nhất.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a nhiều bạn thấy

y^{'} = 12 x^{2} (x - 1)

có hai nghiệm rồi kết luận ngay

x = 0

là điểm cực trị và so sánh

y (0) = 0

với

y (1) = - 1

, trong khi

y^{'}

không đổi dấu khi qua

x = 0

vì

12 x^{2} \geq 0

. Ở câu b, quên điều kiện

x > 1

sẽ nhận thêm nghiệm

x = 0

của

y^{'}

và báo sai rằng hàm có cực đại

y (0) = 0

, một giá trị mà hàm không hề nhận trên miền đang xét.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu a: với mọi số nguyên lẻ

n \geq 3

, hàm

y = n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n}

vẫn có giá trị nhỏ nhất bằng

- 1

tại

x = 1

theo đúng phép tách AM-GM của Cách 2 — hãy kiểm lại với

n = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.13★★Trang 14— Xét sự tồn tại của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên toàn tập số thực

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a)

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2

; b)

y = \frac{x}{x ^{2} + 2}

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc lẻ nhận mọi giá trị thực nên trên $R$ nó không có giá trị lớn nhất và cũng không có giá trị nhỏ nhất.
Có cực trị chưa chắc đã có giá trị lớn nhất: đó là hai khái niệm khác nhau.
Với $x > 0$ thì $x + \frac{2}{x} \geq 22$ , dấu bằng khi $x = 2$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.14★★★Trang 14— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm chứa căn và hàm lượng giác trên đoạn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a)

f (x) = x 4 - x^{2}

với

- 2 \leq x \leq 2

; b)

f (x) = x - cos x

với

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
AM-GM cho hai số không âm: $uv \leq \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2}$ , dấu bằng khi $u = v$ .
Bất đẳng thức cơ bản $sin u \leq u$ với mọi $u \geq 0$ , dấu bằng chỉ khi $u = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.15★★★Trang 15— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm cho bởi nhiều công thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = 2 x - 1

khi

0 \leq x \leq 2

và

f (x) = x^{2} - 5 x + 9

khi

2 < x \leq 3

Kiến thức cần nhớ

Với hàm cho bởi nhiều công thức, tập giá trị là HỢP các tập giá trị của từng nhánh trên phần tương ứng.
Hàm bậc nhất $y = a x + b$ với $a > 0$ đồng biến nên trên đoạn nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại hai đầu mút.
Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ với $a > 0$ có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $x = - \frac{b}{2 a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.16★★★Trang 15— Bài toán tối ưu lợi nhuận theo chi phí quảng cáo

Lợi nhuận

P

thu được của một công ty khi dùng số tiền

s

chi cho quảng cáo được cho bởi công thức

P = P (s) = - \frac{1}{10} s^{3} + 6 s^{2} + 400

với

s \geq 0

, ở đây các số tiền được tính bằng đơn vị nghìn USD. a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa. b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?

Kiến thức cần nhớ

Bài toán tối ưu thực tế phải nêu rõ miền của biến trước khi khảo sát, ở đây là $s \geq 0$ .
AM-GM cho ba số không âm: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
Nếu hiệu $M - P (s)$ viết được thành tích các thừa số không âm thì $M$ chính là giá trị lớn nhất của $P$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.17★★★Trang 15— Bài toán tối ưu chi phí vận tải trên đoạn tốc độ cho trước

Một chiếc xe tải chạy với tốc độ

x

(dặm/giờ) tiêu thụ nhiên liệu theo công thức

\frac{1}{200} (\frac{2500}{x} + x)

gallon trên mỗi dặm. Biết giá nhiên liệu là

3, 6

USD/gallon nên chi phí nhiên liệu cho quãng đường

200

dặm là

C = C (x) = 3, 6 (\frac{2500}{x} + x)

(USD), trong đó

x

thuộc đoạn

[10; 75]

. a) Tìm tốc độ để chi phí nhiên liệu cho

200

dặm là nhỏ nhất. b) Nếu thêm tiền lương lái xe là

28

USD mỗi giờ vào chi phí thì tốc độ nào cho tổng chi phí nhỏ nhất?

Kiến thức cần nhớ

Với $x > 0$ , $k > 0$ , $c > 0$ : $\frac{k}{x} + c x \geq 2 k c$ , dấu bằng khi $x = \frac{k}{c}$ .
Khi biến bị ràng buộc trên một đoạn, phải kiểm điểm dấu bằng có thuộc đoạn đó không trước khi kết luận.
Thời gian đi hết $200$ dặm với tốc độ $x$ dặm mỗi giờ là $\frac{200}{x}$ giờ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.18★★★★Trang 15— Tìm vị trí để cường độ nhiệt tổng cộng nhỏ nhất

Hai nguồn nhiệt được đặt cách nhau

s

mét: nguồn thứ nhất có cường độ

a

đặt tại

A

, nguồn thứ hai có cường độ

b

đặt tại

B

(với

a > 0

b > 0

). Cường độ nhiệt tại điểm

P

nằm trên đoạn thẳng

A B

được cho bởi công thức

I = \frac{a}{x ^{2}} + \frac{b}{( s - x ) ^{2}}

, trong đó

x

(mét) là khoảng cách giữa

P

và

A

, với

0 < x < s

. Hãy xác định vị trí của điểm

P

giữa

A

và

B

để cường độ nhiệt tại đó đạt giá trị nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Bất đẳng thức Holder cho ba dãy số dương: $(u_{1} + u_{2}) (v_{1} + v_{2}) (w_{1} + w_{2}) \geq (3 u_{1} v_{1} w_{1} + 3 u_{2} v_{2} w_{2})^{3}$ .
AM-GM cho ba số dương: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
Điểm dừng của hàm khả vi trên một khoảng mở là ứng cử viên duy nhất cho cực trị trong khoảng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.19★★★★Trang 16— Tìm góc phóng để quãng đường lên mặt phẳng nghiêng lớn nhất

Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên

θ

với

4 5^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}

so với phương ngang, vận tốc ban đầu là

v_{0}

(feet/giây), tính từ chân một mặt phẳng nghiêng tạo với phương ngang góc

4 5^{\circ}

. Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường

R

(tính bằng feet,

1

feet

= 0, 3048

mét) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số

R (θ) = \frac{v _{0}^{2} 2}{16} cos θ (sin θ - cos θ)

. Góc phóng

θ

nào làm cho quãng đường

R

lớn nhất và giá trị lớn nhất của

R

bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ và $cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ .
Gộp về một cung: $sin α - cos α = 2 sin (α - 4 5^{\circ})$ , giá trị lớn nhất bằng $2$ .
$tan 67, 5^{\circ} = 1 + 2$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.20★★★Trang 16— Vận tốc, gia tốc và giá trị lớn nhất trong dao động của xe gắn lò xo

Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo, được kéo ra khỏi vị trí cân bằng

10

cm rồi thả ra tại thời điểm

t = 0

giây để chuyển động trong

4

giây. Vị trí

s

(cm) của xe tại thời điểm

t

giây là

s = 10 cos π t

với

0 \leq t \leq 4

. a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn bằng bao nhiêu? b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc là đạo hàm cấp một của vị trí theo thời gian, gia tốc là đạo hàm cấp hai.
Tốc độ là ĐỘ LỚN của vận tốc, tức $∣ v (t) ∣$ ; giá trị lớn nhất của $∣ sin u ∣$ và $∣ cos u ∣$ đều bằng $1$ .
Trong dao động dạng $s = A cos ω t$ , gia tốc luôn tỉ lệ với vị trí theo hệ thức $a = - ω^{2} s$ .