Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang19–20 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.21★★Trang 19— Xét tiệm cận đứng khi tử và mẫu có nghiệm chung

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x - 2}

. Đồ thị hàm số

f (x)

có tiệm cận đứng không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $y = f (x)$ khi ít nhất một giới hạn một phía của $f$ tại $x_{0}$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .
Nghiệm của mẫu chỉ là ỨNG VIÊN tiệm cận đứng; nếu nó cũng là nghiệm của tử thì phải rút gọn rồi xét lại.
$x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu triệt tiêu tại

x = 2

nên phản xạ đầu tiên là kết luận ngay

x = 2

là tiệm cận đứng, nhưng thay

x = 2

vào tử cũng được

0

— đó là dấu hiệu của dạng vô định

\frac{0}{0}

. Khi tử và mẫu cùng triệt tiêu thì phải rút gọn trước, vì tiệm cận đứng chỉ sinh ra khi giới hạn một phía thực sự bằng vô cực. Bẫy của đề nằm đúng ở chỗ

x = 2

chỉ làm đồ thị bị khuyết một điểm chứ không làm đồ thị bùng lên vô cực.

1Cách 1. Tính thẳng hai giới hạn một phía tại điểm mẫu triệt tiêu

Định hướng. Định nghĩa tiệm cận đứng chỉ nói về giới hạn của hàm số tại $x = 2$ , nên cứ tính đúng hai giới hạn đó là có câu trả lời.

f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x - 2}

, tập xác định

D = R ∖ {2}

x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)

x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x \to 2^{-} lim (x + 5) = 7

x \to 2^{+} lim f (x) = x \to 2^{+} lim (x + 5) = 7

Vậy hai giới hạn một phía tại $x = 2$ đều hữu hạn và bằng $7$ , nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị y = (x² + 3x − 10)/(x − 2) là đường thẳng y = x + 5 khuyết điểm (2; 7)

2Cách 2. Rút gọn để thấy đồ thị chỉ là một đường thẳng bị khuyết một điểm

Định hướng. Rút gọn xong thì bản chất hình học của đồ thị lộ ra, khỏi cần tính giới hạn nào nữa.

f (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x + 5

với mọi

x \neq = 2

f (2^{-})

và

f (2^{+})

lấy giá trị của

x + 5

tại

x

sát

2

x + 5

nhận giá trị sát

7

khi

x

sát

2

Điểm bị khuyết của đồ thị là

(2; 7)

Vậy đồ thị của $f$ là đường thẳng $y = x + 5$ bỏ đi điểm $(2; 7)$ ; một đường thẳng không chạy ra vô cực khi $x \to 2$ nên không có tiệm cận đứng.

3Cách 3. Dời gốc về

x = 2

rồi chặn độ lớn của hàm số quanh điểm đó

Định hướng. Đổi biến cho điểm nghi vấn về $0$ , khi đó "có tiệm cận đứng hay không" chuyển thành "hàm số có bị chặn quanh $0$ hay không".

Đặt

t = x - 2

với

t \neq = 0

, khi đó

x = t + 2

x^{2} + 3 x - 10 = (t + 2)^{2} + 3 (t + 2) - 10 = t^{2} + 4 t + 4 + 3 t + 6 - 10

x^{2} + 3 x - 10 = t^{2} + 7 t

f = \frac{t ^{2} + 7 t}{t} = t + 7

∣ f ∣ = ∣ t + 7∣ \leq ∣ t ∣ + 7 \leq 8

khi

0 < ∣ t ∣ \leq 1

Vậy hàm số bị chặn bởi $8$ trên cả một lân cận bỏ điểm của $x = 2$ , nên nó không thể tiến ra vô cực; đồ thị không có tiệm cận đứng.

Nhận xét. Cùng một câu hỏi mà ba cách trả lời theo ba ngôn ngữ khác nhau: giới hạn, hình học và tính bị chặn. Cách 3 là cách duy nhất dùng lại được nguyên xi khi hàm số không rút gọn được thành đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng rút gọn

(x - 2) (x + 5)

là thấy ngay đồ thị chỉ là đường thẳng khuyết một điểm, khỏi phải viết hai giới hạn một phía như Cách 1.

Đáp số. Đồ thị hàm số KHÔNG có tiệm cận đứng; nó là đường thẳng

y = x + 5

bỏ đi điểm

(2; 7)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là thấy mẫu

x - 2

triệt tiêu tại

x = 2

rồi kết luận luôn

x = 2

là tiệm cận đứng; phản ví dụ ngay trong bài này là

f (1, 99) = 6, 99

và

f (2, 01) = 7, 01

, hai giá trị sát

7

chứ không hề lớn lên vô cực. Lỗi thứ hai là sau khi rút gọn thì ghi tập xác định là

R

, làm mất điểm khuyết

(2; 7)

và vẽ đồ thị thành một đường thẳng liền.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

f (x) = \frac{( x - a ) ^{m} g ( x )}{( x - a ) ^{n} h ( x )}

trong đó

g (a) \neq = 0

và

h (a) \neq = 0

, đường thẳng

x = a

là tiệm cận đứng khi và chỉ khi

m < n

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.22★Trang 19— Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số nhất biến

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a)

y = \frac{x + 1}{2 x - 3}

; b)

y = \frac{3 x - 1}{x + 2}

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang khi $x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ hoặc $x \to - \infty lim f (x) = y_{0}$ .
Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và $a d - b c \neq = 0$ , đồ thị có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ .
Chia tử cho mẫu: $\frac{a x + b}{c x + d} = \frac{a}{c} + \frac{b c - a d}{c ( c x + d )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hàm đều có tử và mẫu cùng bậc nhất, mẫu chỉ có một nghiệm và nghiệm đó không làm tử triệt tiêu — đúng khuôn hàm nhất biến, chắc chắn có đủ một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Hướng nhanh nhất là tách phần nguyên để hằng số còn lại hiện thành tiệm cận ngang ngay trước mắt. Chỗ dễ hụt là quên kiểm tra tử tại nghiệm của mẫu, vì nếu tử cũng triệt tiêu thì tiệm cận đứng biến mất.

1Cách 1. Dùng đúng định nghĩa: tính giới hạn tại vô cực và tại nghiệm của mẫu

Định hướng. Đây là cách bám sát định nghĩa nhất, dùng được cho mọi hàm số chứ không riêng hàm nhất biến.

y = \frac{x + 1}{2 x - 3}

, tập xác định

D = R ∖ {\frac{3}{2}}

x \to \pm \infty lim \frac{x + 1}{2 x - 3} = x \to \pm \infty lim \frac{1 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = \frac{1}{2}

x \to (\frac{3}{2})^{+} lim \frac{x + 1}{2 x - 3} = + \infty

vì tử dần tới

\frac{5}{2} > 0

, mẫu dần tới

0

và dương

x \to (\frac{3}{2})^{-} lim \frac{x + 1}{2 x - 3} = - \infty

y = \frac{3 x - 1}{x + 2}

, tập xác định

D = R ∖ {- 2}

x \to \pm \infty lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = x \to \pm \infty lim \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 3

x \to (- 2)^{+} lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = - \infty

và

x \to (- 2)^{-} lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = + \infty

Vậy a) tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ , tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$ ; b) tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận ngang $y = 3$ .

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị y = (x + 1)/(2x − 3) với tiệm cận đứng x = 1,5 và tiệm cận ngang y = 0,5 vẽ nét đứt

2Cách 2. Tách phần nguyên để đọc hai tiệm cận ngay trên biểu thức

Định hướng. Viết hàm thành "hằng số cộng phần bé dần" thì hằng số chính là tiệm cận ngang, còn mẫu của phần bé cho tiệm cận đứng.

\frac{x + 1}{2 x - 3} = \frac{\frac{1}{2} ( 2 x - 3 ) + \frac{5}{2}}{2 x - 3} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2 ( 2 x - 3 )}

\frac{5}{2 ( 2 x - 3 )} \to 0

khi

x \to \pm \infty

\frac{5}{2 ( 2 x - 3 )} \to + \infty

khi

x \to \frac{3}{2}

\frac{3 x - 1}{x + 2} = \frac{3 ( x + 2 ) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2}

\frac{7}{x + 2} \to 0

khi

x \to \pm \infty

và

\frac{7}{x + 2} \to + \infty

khi

x \to - 2

Vậy a) đồ thị có tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$ và tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ ; b) đồ thị có tiệm cận ngang $y = 3$ và tiệm cận đứng $x = - 2$ .

3Cách 3. So sánh bậc tử với bậc mẫu rồi dùng quy tắc chung của hàm nhất biến

Định hướng. Không cần tính gì: chỉ đối chiếu bậc và hệ số là đọc ra cả hai tiệm cận.

a) Bậc tử bằng bậc mẫu bằng

1

nên có tiệm cận ngang bằng tỉ số hai hệ số cao nhất

y = \frac{1}{2}

với

a = 1

và

c = 2

Mẫu

2 x - 3 = 0

cho

x = \frac{3}{2}

, thay vào tử được

\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \neq = 0

b) Bậc tử bằng bậc mẫu, tỉ số hệ số cao nhất là

\frac{3}{1} = 3

Mẫu

x + 2 = 0

cho

x = - 2

, thay vào tử được

3 \cdot (- 2) - 1 = - 7 \neq = 0

Vậy a) hai tiệm cận là $x = \frac{3}{2}$ và $y = \frac{1}{2}$ ; b) hai tiệm cận là $x = - 2$ và $y = 3$ .

Nhận xét. Quy tắc ở Cách 3 chỉ đúng khi tử không triệt tiêu tại nghiệm của mẫu — đúng chỗ mà bài 1.21 đã bẫy. Vì thế dòng thử tử tại nghiệm của mẫu là bắt buộc, không được bỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: hai dòng đối chiếu bậc và thử tử tại nghiệm mẫu là ra cả hai tiệm cận, nhanh hơn hẳn bốn giới hạn một phía của Cách 1.

Đáp số. a) Tiệm cận đứng

x = \frac{3}{2}

, tiệm cận ngang

y = \frac{1}{2}

; b) tiệm cận đứng

x = - 2

, tiệm cận ngang

y = 3

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là lấy tiệm cận ngang bằng tỉ số hai hệ số TỰ DO thay vì hai hệ số cao nhất, ra

y = - \frac{1}{3}

ở câu a thay vì

y = \frac{1}{2}

; thử

x = 1000

được

y \approx 0, 5002

là thấy sai ngay. Lỗi thứ hai là ở câu a giải

2 x - 3 = 0

thành

x = \frac{2}{3}

do lộn vị trí hệ số.

🚀 Mở rộng. Thử lại bài này với

y = \frac{x + 1}{2 x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}

: biểu thức mới vẫn cùng hai tiệm cận nhưng đồ thị khuyết thêm một điểm — bậc tăng mà tiệm cận không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.23★★Trang 19— Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau: a)

y = \frac{x ^{2} - x - 5}{x - 2}

; b)

y = \frac{3 x ^{2} + 8 x - 2}{x + 3}

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ với $a \neq = 0$ là tiệm cận xiên khi $x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ .
Hàm phân thức có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị (sau khi đã rút gọn).
Có thể tìm $a$ và $b$ bằng $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ rồi $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.24★Trang 19— Đọc tiệm cận từ bảng biến thiên

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới: hàm số xác định trên

R ∖ {2}

và đồng biến trên mỗi khoảng

(- \infty; 2)

(2; + \infty)

, với

x \to - \infty lim f (x) = 3

x \to 2^{-} lim f (x) = + \infty

x \to 2^{+} lim f (x) = - \infty

và

x \to + \infty lim f (x) = 3

. Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Vạch đôi trong bảng biến thiên đánh dấu điểm hàm số không xác định; hai ô giới hạn hai bên vạch mới quyết định có tiệm cận đứng hay không.
Chỉ cần MỘT giới hạn một phía bằng vô cực là đã đủ để có tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang đọc ở HAI đầu bảng, ứng với $x \to - \infty$ và $x \to + \infty$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.25★★★Trang 19— Tiệm cận ngang của hàm hợp lập từ bảng biến thiên

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới:

f

xác định và liên tục trên

R

, đồng biến trên

(- \infty; 1)

và nghịch biến trên

(1; + \infty)

, với

x \to - \infty lim f (x) = - 1

f (1) = 2

và

x \to + \infty lim f (x) = 1

. Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

g (x) = \frac{1}{2 + f ( x )}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x \to + \infty lim u (x) = L$ và $L \neq = 0$ thì $x \to + \infty lim \frac{1}{u ( x )} = \frac{1}{L}$ .
Một đồ thị có nhiều nhất hai tiệm cận ngang, ứng với $x \to - \infty$ và $x \to + \infty$ .
Hàm hợp của một hàm liên tục với một hàm có giới hạn: nếu $u (x) \to L$ và $h$ liên tục tại $L$ thì $h (u (x)) \to h (L)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.26★★★Trang 20— Tích khoảng cách từ điểm trên đồ thị tới hai tiệm cận

Cho hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

có đồ thị

(C)

. Tính tích khoảng cách từ một điểm tuỳ ý thuộc

(C)

đến hai đường tiệm cận của nó.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường thẳng $x = a$ là $∣ x_{0} - a ∣$ , đến đường thẳng $y = b$ là $∣ y_{0} - b ∣$ .
Đồ thị $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận.
Tách phần nguyên: $\frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.27★★Trang 20— Tìm giao điểm hai tiệm cận rồi tính hệ số góc

Gọi

I

là giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 3}{x - 2}

. Chọn điểm

K (3; 5)

, tính hệ số góc của đường thẳng đi qua

I

và

K

Kiến thức cần nhớ

Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm nhất biến là tâm đối xứng của đồ thị đó.
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ với $x_{1} \neq = x_{2}$ là $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , tâm đối xứng là $I (- \frac{d}{c}; \frac{a}{c})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.28★★★Trang 20— Tiệm cận của hàm số có căn thức ở tử

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}

có đồ thị như hình dưới. Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} = ∣ x ∣$ , bằng $x$ khi $x \geq 0$ và bằng $- x$ khi $x < 0$ .
Một đồ thị có thể có tới hai tiệm cận ngang khác nhau ở hai đầu vô cực.
$x^{2} + 3 = ∣ x ∣ 1 + \frac{3}{x ^{2}}$ với $x \neq = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.29★★★★Trang 20— Lập hàm tổng khoảng cách rồi tìm tiệm cận của hàm mới

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}

có đồ thị

(C)

. Gọi tổng khoảng cách từ một điểm

(x; y) \in (C)

, với

x > 3

, tới hai đường tiệm cận của

(C)

là

g (x)

. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = g (x)

Kiến thức cần nhớ

Hai tiệm cận của $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ là $x = 3$ và $y = 1$ .
Với $x > 3$ thì $∣ x - 3∣ = x - 3$ , nên các dấu giá trị tuyệt đối được bỏ trực tiếp.
Hàm $u + \frac{5}{u}$ với $u > 0$ đạt giá trị nhỏ nhất $25$ tại $u = 5$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.30★★★Trang 20— Bài toán thực tế về nồng độ, tiệm cận ngang là ngưỡng không đạt tới

Một bình chứa

200

ml dung dịch muối với nồng độ

5

mg/ml. a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào

x

ml dung dịch muối với nồng độ

10

mg/ml. b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ

9

mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến

10

mg/ml không?

Kiến thức cần nhớ

Nồng độ bằng khối lượng chất tan chia cho thể tích dung dịch.
Khối lượng muối ban đầu là $200 \cdot 5 = 1000$ mg.
Nếu $x \to + \infty lim c (x) = L$ và $c (x) < L$ với mọi $x$ thì giá trị $L$ không bao giờ đạt được, đường $y = L$ là tiệm cận ngang.