Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

SBT (Sách bài tập) Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.21★★Trang 19— Xét tiệm cận đứng khi tử và mẫu có nghiệm chung

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x - 2}

. Đồ thị hàm số

f (x)

có tiệm cận đứng không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $y = f (x)$ khi ít nhất một giới hạn một phía của $f$ tại $x_{0}$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .
Nghiệm của mẫu chỉ là ỨNG VIÊN tiệm cận đứng; nếu nó cũng là nghiệm của tử thì phải rút gọn rồi xét lại.
$x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu triệt tiêu tại

x = 2

nên phản xạ đầu tiên là kết luận ngay

x = 2

là tiệm cận đứng, nhưng thay

x = 2

vào tử cũng được

0

— đó là dấu hiệu của dạng vô định

\frac{0}{0}

. Khi tử và mẫu cùng triệt tiêu thì phải rút gọn trước, vì tiệm cận đứng chỉ sinh ra khi giới hạn một phía thực sự bằng vô cực. Bẫy của đề nằm đúng ở chỗ

x = 2

chỉ làm đồ thị bị khuyết một điểm chứ không làm đồ thị bùng lên vô cực.

1Cách 1. Tính thẳng hai giới hạn một phía tại điểm mẫu triệt tiêu

Định hướng. Định nghĩa tiệm cận đứng chỉ nói về giới hạn của hàm số tại $x = 2$ , nên cứ tính đúng hai giới hạn đó là có câu trả lời.

f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x - 2}

, tập xác định

D = R ∖ {2}

x^{2} + 3 x - 10 = (x - 2) (x + 5)

x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x \to 2^{-} lim (x + 5) = 7

x \to 2^{+} lim f (x) = x \to 2^{+} lim (x + 5) = 7

Vậy hai giới hạn một phía tại $x = 2$ đều hữu hạn và bằng $7$ , nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

2Cách 2. Rút gọn để thấy đồ thị chỉ là một đường thẳng bị khuyết một điểm

Định hướng. Rút gọn xong thì bản chất hình học của đồ thị lộ ra, khỏi cần tính giới hạn nào nữa.

f (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2} = x + 5

với mọi

x \neq = 2

f (2^{-})

và

f (2^{+})

lấy giá trị của

x + 5

tại

x

sát

2

x + 5

nhận giá trị sát

7

khi

x

sát

2

Điểm bị khuyết của đồ thị là

(2; 7)

Vậy đồ thị của $f$ là đường thẳng $y = x + 5$ bỏ đi điểm $(2; 7)$ ; một đường thẳng không chạy ra vô cực khi $x \to 2$ nên không có tiệm cận đứng.

3Cách 3. Dời gốc về

x = 2

rồi chặn độ lớn của hàm số quanh điểm đó

Định hướng. Đổi biến cho điểm nghi vấn về $0$ , khi đó "có tiệm cận đứng hay không" chuyển thành "hàm số có bị chặn quanh $0$ hay không".

Đặt

t = x - 2

với

t \neq = 0

, khi đó

x = t + 2

x^{2} + 3 x - 10 = (t + 2)^{2} + 3 (t + 2) - 10 = t^{2} + 4 t + 4 + 3 t + 6 - 10

x^{2} + 3 x - 10 = t^{2} + 7 t

f = \frac{t ^{2} + 7 t}{t} = t + 7

∣ f ∣ = ∣ t + 7∣ \leq ∣ t ∣ + 7 \leq 8

khi

0 < ∣ t ∣ \leq 1

Vậy hàm số bị chặn bởi $8$ trên cả một lân cận bỏ điểm của $x = 2$ , nên nó không thể tiến ra vô cực; đồ thị không có tiệm cận đứng.

Nhận xét. Cùng một câu hỏi mà ba cách trả lời theo ba ngôn ngữ khác nhau: giới hạn, hình học và tính bị chặn. Cách 3 là cách duy nhất dùng lại được nguyên xi khi hàm số không rút gọn được thành đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng rút gọn

(x - 2) (x + 5)

là thấy ngay đồ thị chỉ là đường thẳng khuyết một điểm, khỏi phải viết hai giới hạn một phía như Cách 1.

Đáp số. Đồ thị hàm số KHÔNG có tiệm cận đứng; nó là đường thẳng

y = x + 5

bỏ đi điểm

(2; 7)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là thấy mẫu

x - 2

triệt tiêu tại

x = 2

rồi kết luận luôn

x = 2

là tiệm cận đứng; phản ví dụ ngay trong bài này là

f (1, 99) = 6, 99

và

f (2, 01) = 7, 01

, hai giá trị sát

7

chứ không hề lớn lên vô cực. Lỗi thứ hai là sau khi rút gọn thì ghi tập xác định là

R

, làm mất điểm khuyết

(2; 7)

và vẽ đồ thị thành một đường thẳng liền.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

f (x) = \frac{( x - a ) ^{m} g ( x )}{( x - a ) ^{n} h ( x )}

trong đó

g (a) \neq = 0

và

h (a) \neq = 0

, đường thẳng

x = a

là tiệm cận đứng khi và chỉ khi

m < n

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.22★Trang 19— Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số nhất biến

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a)

y = \frac{x + 1}{2 x - 3}

; b)

y = \frac{3 x - 1}{x + 2}

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang khi $x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ hoặc $x \to - \infty lim f (x) = y_{0}$ .
Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và $a d - b c \neq = 0$ , đồ thị có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ .
Chia tử cho mẫu: $\frac{a x + b}{c x + d} = \frac{a}{c} + \frac{b c - a d}{c ( c x + d )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hàm đều có tử và mẫu cùng bậc nhất, mẫu chỉ có một nghiệm và nghiệm đó không làm tử triệt tiêu — đúng khuôn hàm nhất biến, chắc chắn có đủ một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Hướng nhanh nhất là tách phần nguyên để hằng số còn lại hiện thành tiệm cận ngang ngay trước mắt. Chỗ dễ hụt là quên kiểm tra tử tại nghiệm của mẫu, vì nếu tử cũng triệt tiêu thì tiệm cận đứng biến mất.

1Cách 1. Dùng đúng định nghĩa: tính giới hạn tại vô cực và tại nghiệm của mẫu

Định hướng. Đây là cách bám sát định nghĩa nhất, dùng được cho mọi hàm số chứ không riêng hàm nhất biến.

y = \frac{x + 1}{2 x - 3}

, tập xác định

D = R ∖ {\frac{3}{2}}

x \to \pm \infty lim \frac{x + 1}{2 x - 3} = x \to \pm \infty lim \frac{1 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = \frac{1}{2}

x \to (\frac{3}{2})^{+} lim \frac{x + 1}{2 x - 3} = + \infty

vì tử dần tới

\frac{5}{2} > 0

, mẫu dần tới

0

và dương

x \to (\frac{3}{2})^{-} lim \frac{x + 1}{2 x - 3} = - \infty

y = \frac{3 x - 1}{x + 2}

, tập xác định

D = R ∖ {- 2}

x \to \pm \infty lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = x \to \pm \infty lim \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 3

x \to (- 2)^{+} lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = - \infty

và

x \to (- 2)^{-} lim \frac{3 x - 1}{x + 2} = + \infty

Vậy a) tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ , tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$ ; b) tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận ngang $y = 3$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên để đọc hai tiệm cận ngay trên biểu thức

Định hướng. Viết hàm thành "hằng số cộng phần bé dần" thì hằng số chính là tiệm cận ngang, còn mẫu của phần bé cho tiệm cận đứng.

\frac{x + 1}{2 x - 3} = \frac{\frac{1}{2} ( 2 x - 3 ) + \frac{5}{2}}{2 x - 3} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2 ( 2 x - 3 )}

\frac{5}{2 ( 2 x - 3 )} \to 0

khi

x \to \pm \infty

\frac{5}{2 ( 2 x - 3 )} \to + \infty

khi

x \to \frac{3}{2}

\frac{3 x - 1}{x + 2} = \frac{3 ( x + 2 ) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2}

\frac{7}{x + 2} \to 0

khi

x \to \pm \infty

và

\frac{7}{x + 2} \to + \infty

khi

x \to - 2

Vậy a) đồ thị có tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$ và tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ ; b) đồ thị có tiệm cận ngang $y = 3$ và tiệm cận đứng $x = - 2$ .

3Cách 3. So sánh bậc tử với bậc mẫu rồi dùng quy tắc chung của hàm nhất biến

Định hướng. Không cần tính gì: chỉ đối chiếu bậc và hệ số là đọc ra cả hai tiệm cận.

a) Bậc tử bằng bậc mẫu bằng

1

nên có tiệm cận ngang bằng tỉ số hai hệ số cao nhất

y = \frac{1}{2}

với

a = 1

và

c = 2

Mẫu

2 x - 3 = 0

cho

x = \frac{3}{2}

, thay vào tử được

\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \neq = 0

b) Bậc tử bằng bậc mẫu, tỉ số hệ số cao nhất là

\frac{3}{1} = 3

Mẫu

x + 2 = 0

cho

x = - 2

, thay vào tử được

3 \cdot (- 2) - 1 = - 7 \neq = 0

Vậy a) hai tiệm cận là $x = \frac{3}{2}$ và $y = \frac{1}{2}$ ; b) hai tiệm cận là $x = - 2$ và $y = 3$ .

Nhận xét. Quy tắc ở Cách 3 chỉ đúng khi tử không triệt tiêu tại nghiệm của mẫu — đúng chỗ mà bài 1.21 đã bẫy. Vì thế dòng thử tử tại nghiệm của mẫu là bắt buộc, không được bỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: hai dòng đối chiếu bậc và thử tử tại nghiệm mẫu là ra cả hai tiệm cận, nhanh hơn hẳn bốn giới hạn một phía của Cách 1.

Đáp số. a) Tiệm cận đứng

x = \frac{3}{2}

, tiệm cận ngang

y = \frac{1}{2}

; b) tiệm cận đứng

x = - 2

, tiệm cận ngang

y = 3

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là lấy tiệm cận ngang bằng tỉ số hai hệ số TỰ DO thay vì hai hệ số cao nhất, ra

y = - \frac{1}{3}

ở câu a thay vì

y = \frac{1}{2}

; thử

x = 1000

được

y \approx 0, 5002

là thấy sai ngay. Lỗi thứ hai là ở câu a giải

2 x - 3 = 0

thành

x = \frac{2}{3}

do lộn vị trí hệ số.

🚀 Mở rộng. Thử lại bài này với

y = \frac{x + 1}{2 x - 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}

: biểu thức mới vẫn cùng hai tiệm cận nhưng đồ thị khuyết thêm một điểm — bậc tăng mà tiệm cận không đổi.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.23★★Trang 19— Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên khi bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau: a)

y = \frac{x ^{2} - x - 5}{x - 2}

; b)

y = \frac{3 x ^{2} + 8 x - 2}{x + 3}

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ với $a \neq = 0$ là tiệm cận xiên khi $x \to \pm \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ .
Hàm phân thức có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị (sau khi đã rút gọn).
Có thể tìm $a$ và $b$ bằng $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ rồi $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bậc tử là

2

, bậc mẫu là

1

, hơn nhau đúng một đơn vị — đó là dấu hiệu chắc chắn có tiệm cận xiên và chắc chắn không có tiệm cận ngang. Phép chia đa thức là đường ngắn nhất vì nó cho luôn phần nguyên bậc nhất làm tiệm cận xiên và phần dư làm tiệm cận đứng. Chỗ hay sai là lấy thương của phép chia nhẩm sai dấu, nên nên nhân lại để kiểm tra trước khi kết luận.

1Cách 1. Chia đa thức để tách phần nguyên bậc nhất và phần dư

Định hướng. Phép chia biến hàm thành "đường thẳng cộng phần bé dần", và cả hai tiệm cận hiện ra cùng lúc.

x^{2} - x - 5 = (x - 2) (x + 1) - 3

y = \frac{( x - 2 ) ( x + 1 ) - 3}{x - 2} = x + 1 - \frac{3}{x - 2}

\frac{3}{x - 2} \to 0

khi

x \to \pm \infty

\frac{3}{x - 2} \to + \infty

khi

x \to 2

, còn

x + 1 \to 3

3 x^{2} + 8 x - 2 = (x + 3) (3 x - 1) + 1

y = \frac{( x + 3 ) ( 3 x - 1 ) + 1}{x + 3} = 3 x - 1 + \frac{1}{x + 3}

\frac{1}{x + 3} \to 0

khi

x \to \pm \infty

và

\frac{1}{x + 3} \to + \infty

khi

x \to - 3

Vậy a) tiệm cận đứng $x = 2$ , tiệm cận xiên $y = x + 1$ ; b) tiệm cận đứng $x = - 3$ , tiệm cận xiên $y = 3 x - 1$ .

2Cách 2. Tìm hệ số góc và hệ số tự do của tiệm cận xiên bằng hai giới hạn

Định hướng. Định nghĩa tiệm cận xiên cho hai công thức tính trực tiếp $a$ rồi $b$ , không cần chia đa thức.

a = x \to \pm \infty lim \frac{y}{x} = x \to \pm \infty lim \frac{x ^{2} - x - 5}{x ^{2} - 2 x} = 1

b = x \to \pm \infty lim (y - x) = x \to \pm \infty lim \frac{x ^{2} - x - 5 - x ( x - 2 )}{x - 2} = x \to \pm \infty lim \frac{x - 5}{x - 2} = 1

Mẫu

x - 2 = 0

cho

x = 2

, thay vào tử được

4 - 2 - 5 = - 3 \neq = 0

a = x \to \pm \infty lim \frac{3 x ^{2} + 8 x - 2}{x ^{2} + 3 x} = 3

b = x \to \pm \infty lim \frac{3 x ^{2} + 8 x - 2 - 3 x ( x + 3 )}{x + 3} = x \to \pm \infty lim \frac{- x - 2}{x + 3} = - 1

Mẫu

x + 3 = 0

cho

x = - 3

, thay vào tử được

27 - 24 - 2 = 1 \neq = 0

Vậy a) tiệm cận xiên là $y = x + 1$ và tiệm cận đứng là $x = 2$ ; b) tiệm cận xiên là $y = 3 x - 1$ và tiệm cận đứng là $x = - 3$ .

3Cách 3. Đồng nhất hệ số để viết hàm số theo dạng có sẵn hai tiệm cận

Định hướng. Giả sử trước dạng "bậc nhất cộng một phân số có tử là hằng" rồi để phép đồng nhất hệ số tự tìm ra các số.

a) Giả sử

\frac{x ^{2} - x - 5}{x - 2} = α x + β + \frac{γ}{x - 2}

x^{2} - x - 5 = (α x + β) (x - 2) + γ = α x^{2} + (β - 2 α) x + γ - 2 β

α = 1

β - 2 α = - 1

γ - 2 β = - 5

α = 1

β = 1

γ = - 3

b) Giả sử

\frac{3 x ^{2} + 8 x - 2}{x + 3} = α x + β + \frac{γ}{x + 3}

3 x^{2} + 8 x - 2 = α x^{2} + (3 α + β) x + 3 β + γ

α = 3

β = - 1

γ = 1

Vậy a) $y = x + 1 - \frac{3}{x - 2}$ nên hai tiệm cận là $y = x + 1$ và $x = 2$ ; b) $y = 3 x - 1 + \frac{1}{x + 3}$ nên hai tiệm cận là $y = 3 x - 1$ và $x = - 3$ .

Nhận xét. Số $γ \neq = 0$ ở cả hai câu chính là bằng chứng tử không triệt tiêu tại nghiệm của mẫu, tức tiệm cận đứng thật sự tồn tại; nếu ra $γ = 0$ thì đồ thị chỉ là một đường thẳng khuyết điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép chia đa thức cho ra đồng thời tiệm cận xiên và tiệm cận đứng, trong khi Cách 2 phải tính tới hai giới hạn phân thức cho mỗi câu.

Đáp số. a) Tiệm cận đứng

x = 2

, tiệm cận xiên

y = x + 1

; b) tiệm cận đứng

x = - 3

, tiệm cận xiên

y = 3 x - 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là vẫn đi tìm tiệm cận ngang và lấy tỉ số hai hệ số cao nhất, ghi

y = 1

ở câu a; thử

x = 100

được

y \approx 100, 97

chứ không gần

1

chút nào. Lỗi thứ hai là chia đa thức sai dấu phần dư, viết

y = x + 1 + \frac{3}{x - 2}

; nhân lại được

x^{2} - x + 1 \neq = x^{2} - x - 5

là lộ ngay.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu

k

đơn vị với

k \geq 2

thì phần nguyên có bậc

k \geq 2

, đồ thị không còn tiệm cận xiên mà áp vào một đường cong bậc

k

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.24★Trang 19— Đọc tiệm cận từ bảng biến thiên

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới: hàm số xác định trên

R ∖ {2}

và đồng biến trên mỗi khoảng

(- \infty; 2)

(2; + \infty)

, với

x \to - \infty lim f (x) = 3

x \to 2^{-} lim f (x) = + \infty

x \to 2^{+} lim f (x) = - \infty

và

x \to + \infty lim f (x) = 3

. Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Vạch đôi trong bảng biến thiên đánh dấu điểm hàm số không xác định; hai ô giới hạn hai bên vạch mới quyết định có tiệm cận đứng hay không.
Chỉ cần MỘT giới hạn một phía bằng vô cực là đã đủ để có tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang đọc ở HAI đầu bảng, ứng với $x \to - \infty$ và $x \to + \infty$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng biến thiên không cho công thức của hàm số, nên toàn bộ thông tin dùng được nằm ở bốn ô giới hạn hai đầu và hai bên vạch đôi. Vạch đôi tại

x = 2

báo đây là điểm hàm số không xác định, và hai ô cạnh nó ghi vô cực chính là chứng cứ của tiệm cận đứng. Bẫy thường gặp là nhầm giá trị tại đầu bảng với giá trị hàm số đạt được, trong khi số

3

ở đó chỉ là giới hạn nên nó cho tiệm cận ngang chứ không phải giá trị nhỏ nhất.

1Cách 1. Đọc bốn ô giới hạn của bảng rồi đối chiếu định nghĩa

Định hướng. Bảng biến thiên đã ghi sẵn đúng những giới hạn mà định nghĩa tiệm cận đòi hỏi, chỉ việc lấy ra dùng.

x \to 2^{-} lim f (x) = + \infty

x \to 2^{+} lim f (x) = - \infty

x \to - \infty lim f (x) = 3

x \to + \infty lim f (x) = 3

Vậy đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2Cách 2. Lọc ứng viên rồi loại trừ từng đường thẳng

Định hướng. Chỉ có hữu hạn đường thẳng có thể làm tiệm cận, nên lập danh sách ứng viên rồi kiểm từng cái là chắc chắn không bỏ sót.

Ứng viên tiệm cận đứng chỉ có thể là điểm hàm số không xác định:

x = 2

Trên mỗi khoảng

(- \infty; 2)

và

(2; + \infty)

hàm số liên tục nên không có ứng viên nào khác

Ứng viên tiệm cận ngang chỉ có thể là các giới hạn tại vô cực:

y = 3

Kiểm

x = 2

: có

x \to 2^{-} lim f (x) = + \infty

nên nhận

Kiểm

y = 3

: có

x \to \pm \infty lim f (x) = 3

nên nhận

Vậy danh sách tiệm cận đầy đủ gồm đúng hai đường: $x = 2$ và $y = 3$ .

3Cách 3. Dựng một hàm số cụ thể khớp bảng rồi kiểm lại bằng tính toán

Định hướng. Mô hình hoá bảng bằng một công thức thật cho phép kiểm tra chéo kết luận, rất đáng làm khi lo mình đọc sai bảng.

Chọn

f (x) = 3 - \frac{1}{x - 2}

, xác định trên

R ∖ {2}

f^{'} (x) = \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} > 0

nên

f

đồng biến trên mỗi khoảng

x \to 2^{-} lim (3 - \frac{1}{x - 2}) = + \infty

và

x \to 2^{+} lim (3 - \frac{1}{x - 2}) = - \infty

x \to \pm \infty lim (3 - \frac{1}{x - 2}) = 3

Hàm này khớp mọi ô của bảng đã cho

Vậy hàm mẫu có đúng tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = 3$ , khớp với kết luận đọc từ bảng.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số nhưng khác hẳn mức độ an toàn: Cách 3 là cách duy nhất phát hiện được nếu bảng biến thiên ghi những dữ kiện tự mâu thuẫn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn dòng giới hạn trích thẳng từ bảng là đủ trọn điểm, còn Cách 3 dài gấp ba và chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

Đáp số. Tiệm cận đứng là đường thẳng

x = 2

; tiệm cận ngang là đường thẳng

y = 3

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là ghi thêm

y = + \infty

hoặc

x = 3

làm tiệm cận, do lẫn giữa giá trị của

x

và giá trị của

y

; tiệm cận đứng luôn có dạng

x =

số hữu hạn còn tiệm cận ngang luôn có dạng

y =

số hữu hạn. Lỗi thứ hai là thấy hai đầu bảng đều bằng

3

rồi kể thành hai tiệm cận ngang khác nhau, trong khi đó chỉ là một đường thẳng

y = 3

duy nhất.

🚀 Mở rộng. Nếu sửa ô cuối bảng thành

x \to + \infty lim f (x) = 5

thì đồ thị có hai tiệm cận ngang phân biệt

y = 3

và

y = 5

— một đồ thị được phép có tối đa hai tiệm cận ngang.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.25★★★Trang 19— Tiệm cận ngang của hàm hợp lập từ bảng biến thiên

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới:

f

xác định và liên tục trên

R

, đồng biến trên

(- \infty; 1)

và nghịch biến trên

(1; + \infty)

, với

x \to - \infty lim f (x) = - 1

f (1) = 2

và

x \to + \infty lim f (x) = 1

. Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

g (x) = \frac{1}{2 + f ( x )}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x \to + \infty lim u (x) = L$ và $L \neq = 0$ thì $x \to + \infty lim \frac{1}{u ( x )} = \frac{1}{L}$ .
Một đồ thị có nhiều nhất hai tiệm cận ngang, ứng với $x \to - \infty$ và $x \to + \infty$ .
Hàm hợp của một hàm liên tục với một hàm có giới hạn: nếu $u (x) \to L$ và $h$ liên tục tại $L$ thì $h (u (x)) \to h (L)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi nhắm vào

g

nhưng dữ kiện lại cho về

f

, nên việc phải làm là chuyển hai giới hạn ở hai đầu bảng của

f

thành hai giới hạn của

g

. Trước khi chia, phải chắc mẫu

2 + f (x)

không bao giờ bằng

0

, và bảng biến thiên cho đúng thông tin đó qua tập giá trị của

f

. Bẫy nằm ở chỗ giới hạn của

f

là

- 1

nên mẫu tiến tới

1

chứ không tiến tới

- 1

, rất dễ tính nhầm dấu thành

g \to - 1

1Cách 1. Chuyển hai giới hạn của

f

ở hai đầu bảng thành giới hạn của

g

Định hướng. Tiệm cận ngang chỉ liên quan tới hai đầu bảng, nên chỉ cần hai phép chia là xong.

Từ bảng:

- 1 < f (x) \leq 2

với mọi

x

, nên

1 < 2 + f (x) \leq 4

2 + f (x) \neq = 0

nên

g

xác định trên

R

x \to - \infty lim g (x) = \frac{1}{2 + ( - 1 )} = 1

x \to + \infty lim g (x) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}

Vậy đồ thị hàm số $g$ có hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn trung gian và dùng tính liên tục của hàm nghịch đảo

Định hướng. Tách $g$ thành hợp của $f$ với một hàm sơ cấp, rồi chỉ cần kiểm tính liên tục tại hai giá trị giới hạn.

Đặt

u = f (x)

và

h (u) = \frac{1}{2 + u}

, khi đó

g = h \circ f

h

liên tục tại mọi

u \neq = - 2

Khi

x \to - \infty

thì

u \to - 1

, và

h

liên tục tại

- 1

vì

- 1 \neq = - 2

h (- 1) = \frac{1}{2 - 1} = 1

Khi

x \to + \infty

thì

u \to 1

và

h (1) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}

Vậy hai tiệm cận ngang của đồ thị $g$ là $y = 1$ và $y = \frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Lập bảng biến thiên của

g

bằng cách lật ngược bảng của

f

Định hướng. Hàm $h (u) = \frac{1}{2 + u}$ nghịch biến trên $(- 2; + \infty)$ , nên bảng của $g$ chính là bảng của $f$ đảo chiều tăng giảm; đọc hai đầu bảng mới là ra.

h^{'} (u) = - \frac{1}{( 2 + u ) ^{2}} < 0

nên

h

nghịch biến trên

(- 2; + \infty)

f

nhận giá trị trong

(- 1; 2]

, nằm trong

(- 2; + \infty)

f

đồng biến trên

(- \infty; 1)

nên

g

nghịch biến trên

(- \infty; 1)

f

nghịch biến trên

(1; + \infty)

nên

g

đồng biến trên

(1; + \infty)

Hai đầu bảng của

g

g \to h (- 1) = 1

và

g \to h (1) = \frac{1}{3}

, giá trị nhỏ nhất

g (1) = h (2) = \frac{1}{4}

Vậy bảng biến thiên của $g$ giảm từ $1$ xuống $\frac{1}{4}$ rồi tăng lên $\frac{1}{3}$ , nên hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = \frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm một thông tin mà hai cách kia không thấy: $g$ luôn nằm trong $[\frac{1}{4}; 1)$ nên hai tiệm cận ngang đều không bao giờ bị đồ thị cắt qua.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng chia là ra đáp số, chỉ cần nhớ thêm dòng kiểm

2 + f (x) \neq = 0

để lời giải kín kẽ.

Đáp số. Đồ thị hàm số

g

có hai tiệm cận ngang là

y = 1

và

y = \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là thay giới hạn

- 1

của

f

vào sai vị trí và viết

x \to - \infty lim g (x) = - 1

; thay thử

f = - 0, 9

được

g = \frac{1}{1 , 1} \approx 0, 91

, một số dương gần

1

chứ không thể âm. Lỗi thứ hai là bỏ qua việc kiểm

2 + f (x) \neq = 0

— nếu đề đổi thành

\frac{1}{f ( x ) - 1}

thì mẫu triệt tiêu và đồ thị

g

sinh thêm tiệm cận đứng.

🚀 Mở rộng. Thử lại bài này với

g (x) = \frac{1}{f ( x ) - 1}

: vì

f

nhận giá trị

1

tại đúng một điểm nên

g

có thêm một tiệm cận đứng, và tiệm cận ngang

y = 0

thay cho hai đường cũ.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.26★★★Trang 20— Tích khoảng cách từ điểm trên đồ thị tới hai tiệm cận

Cho hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

có đồ thị

(C)

. Tính tích khoảng cách từ một điểm tuỳ ý thuộc

(C)

đến hai đường tiệm cận của nó.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường thẳng $x = a$ là $∣ x_{0} - a ∣$ , đến đường thẳng $y = b$ là $∣ y_{0} - b ∣$ .
Đồ thị $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận.
Tách phần nguyên: $\frac{x + 1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nói "một điểm tuỳ ý" mà vẫn đòi tính ra một số, nên kết quả phải là hằng số và việc cần làm là chứng minh điều đó chứ không phải thử một điểm. Hai tiệm cận ở đây vuông góc và song song với hai trục, nên khoảng cách tới chúng chỉ là

∣ x_{0} - 1∣

và

∣ y_{0} - 1∣

, không cần công thức khoảng cách tổng quát. Dấu hiệu quyết định là tích hai lượng đó gợi ngay tới việc nhân chéo phương trình của

(C)

1Cách 1. Gọi toạ độ điểm rồi tính thẳng hai khoảng cách

Định hướng. Cách tự nhiên nhất: đặt tên toạ độ điểm, viết hai khoảng cách theo toạ độ đó rồi nhân lại.

y = \frac{x + 1}{x - 1}

, tập xác định

D = R ∖ {1}

x \to \pm \infty lim y = 1

và

x \to 1^{+} lim y = + \infty

Hai tiệm cận là

x = 1

và

y = 1

Lấy

M (x_{0}; y_{0}) \in (C)

với

y_{0} = \frac{x _{0} + 1}{x _{0} - 1}

và

x_{0} \neq = 1

d_{1} = ∣ x_{0} - 1∣

d_{2} = ∣ y_{0} - 1∣ = \frac{x _{0} + 1}{x _{0} - 1} - 1 = \frac{x _{0} + 1 - ( x _{0} - 1 )}{x _{0} - 1} = \frac{2}{∣ x _{0} - 1∣}

d_{1} \cdot d_{2} = ∣ x_{0} - 1∣ \cdot \frac{2}{∣ x _{0} - 1∣} = 2

Vậy tích khoảng cách từ một điểm tuỳ ý thuộc $(C)$ đến hai tiệm cận luôn bằng $2$ , không phụ thuộc vị trí điểm.

2Cách 2. Tách phần nguyên rồi tham số hoá điểm theo khoảng cách

Định hướng. Viết lại hàm số quanh tâm đối xứng thì toạ độ điểm chỉ còn một tham số và hai khoảng cách là hai lượng nghịch đảo của nhau.

y = \frac{( x - 1 ) + 2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}

Hai tiệm cận là

x = 1

và

y = 1

, tâm đối xứng

I (1; 1)

Đặt

t = x_{0} - 1

với

t \neq = 0

, điểm tuỳ ý của

(C)

là

M (1 + t; 1 + \frac{2}{t})

d_{1} = ∣ t ∣

và

d_{2} = \frac{2}{t} = \frac{2}{∣ t ∣}

d_{1} \cdot d_{2} = ∣ t ∣ \cdot \frac{2}{∣ t ∣} = 2

Vậy tích hai khoảng cách bằng $2$ với mọi $t \neq = 0$ , tức với mọi điểm của $(C)$ .

3Cách 3. Nhân chéo để đưa phương trình đồ thị về dạng tích

Định hướng. Chính phương trình của $(C)$ đã chứa sẵn đẳng thức cần chứng minh; chỉ cần nhân chéo và nhóm lại là thấy.

M (x_{0}; y_{0}) \in (C)

nên

y_{0} (x_{0} - 1) = x_{0} + 1

x_{0} y_{0} - y_{0} = x_{0} + 1

x_{0} y_{0} - y_{0} - x_{0} + 1 = 2

(x_{0} - 1) (y_{0} - 1) = 2

d_{1} \cdot d_{2} = ∣ x_{0} - 1∣ \cdot ∣ y_{0} - 1∣ = ∣ (x_{0} - 1) (y_{0} - 1) ∣ = 2

Vậy tích khoảng cách từ mọi điểm của $(C)$ đến hai tiệm cận là hằng số $2$ .

Nhận xét. Đẳng thức $(x_{0} - 1) (y_{0} - 1) = 2$ cho biết trong hệ trục mới gốc tại $I (1; 1)$ thì $(C)$ chính là hypebol $X Y = 2$ — đó là lý do sâu xa khiến tích khoảng cách phải là hằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: ba dòng nhân chéo và nhóm hạng tử là ra hằng số, không phải chia phân thức nên gần như không thể sai dấu như Cách 1.

Đáp số. Tích khoảng cách luôn bằng

2

, không phụ thuộc vào điểm được chọn trên

(C)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ thử một điểm cụ thể, chẳng hạn

M (3; 2)

cho

2 \cdot 1 = 2

, rồi kết luận luôn cho mọi điểm — thử một điểm không phải là chứng minh, phải có dòng

(x_{0} - 1) (y_{0} - 1) = 2

tổng quát. Lỗi thứ hai là bỏ dấu giá trị tuyệt đối và ghi tích bằng

- 2

khi chọn điểm có

x_{0} < 1

, trong khi khoảng cách không thể âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

y = \frac{a x + b}{c x + d}

và

a d - b c \neq = 0

, tích khoảng cách từ điểm trên đồ thị tới hai tiệm cận luôn bằng hằng số

\frac{b c - a d}{c ^{2}}

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.27★★Trang 20— Tìm giao điểm hai tiệm cận rồi tính hệ số góc

Gọi

I

là giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 3}{x - 2}

. Chọn điểm

K (3; 5)

, tính hệ số góc của đường thẳng đi qua

I

và

K

Kiến thức cần nhớ

Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm nhất biến là tâm đối xứng của đồ thị đó.
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ với $x_{1} \neq = x_{2}$ là $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , tâm đối xứng là $I (- \frac{d}{c}; \frac{a}{c})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài này gồm hai việc rời nhau: xác định toạ độ

I

rồi áp công thức hệ số góc qua hai điểm, nên toàn bộ độ khó dồn vào bước đầu. Hàm số lại là hàm nhất biến, tức

I

đúng bằng tâm đối xứng của đồ thị, nên tách phần nguyên là thấy toạ độ

I

ngay. Chỗ dễ sai là lấy hoành độ của

I

bằng

- 2

do quên đổi dấu khi giải

x - 2 = 0

1Cách 1. Tìm hai tiệm cận bằng giới hạn rồi lấy giao điểm

Định hướng. Đi đúng theo định nghĩa: có hai phương trình tiệm cận thì giao điểm của chúng là hiển nhiên.

y = \frac{2 x + 3}{x - 2}

, tập xác định

D = R ∖ {2}

x \to 2^{+} lim \frac{2 x + 3}{x - 2} = + \infty

nên

x = 2

là tiệm cận đứng

x \to \pm \infty lim \frac{2 x + 3}{x - 2} = x \to \pm \infty lim \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 2

nên

y = 2

là tiệm cận ngang

I (2; 2)

k = \frac{5 - 2}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3

Vậy hệ số góc của đường thẳng $I K$ bằng $3$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên để đọc ngay tâm đối xứng

Định hướng. Viết hàm số thành "hằng số cộng phần bé dần" thì hai số hiện ra chính là hai toạ độ của $I$ .

\frac{2 x + 3}{x - 2} = \frac{2 ( x - 2 ) + 7}{x - 2} = 2 + \frac{7}{x - 2}

Phần bé dần

\frac{7}{x - 2}

có mẫu triệt tiêu tại

x = 2

và dần về

0

khi

x \to \pm \infty

Hai tiệm cận là

x = 2

và

y = 2

, giao điểm

I (2; 2)

k = \frac{5 - 2}{3 - 2} = 3

Vậy đường thẳng đi qua $I (2; 2)$ và $K (3; 5)$ có hệ số góc bằng $3$ .

3Cách 3. Dùng công thức tâm đối xứng rồi viết phương trình đường thẳng qua

I

Định hướng. Áp công thức chung của hàm nhất biến cho toạ độ $I$ , rồi để chính phương trình đường thẳng qua $I$ tự trả ra hệ số góc.

y = \frac{a x + b}{c x + d}

với

a = 2

b = 3

c = 1

d = - 2

a d - b c = 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot 1 = - 7 \neq = 0

I (- \frac{d}{c}; \frac{a}{c}) = I (2; 2)

Đường thẳng qua

I

có hệ số góc

k

y = k (x - 2) + 2

Thay

K (3; 5)

5 = k (3 - 2) + 2

k = 3

Vậy hệ số góc cần tìm là $k = 3$ ; đường thẳng $I K$ có phương trình $y = 3 x - 4$ .

Nhận xét. Điều kiện $a d - b c \neq = 0$ ở Cách 3 không phải hình thức: nếu $a d - b c = 0$ thì hàm số suy biến thành hằng, đồ thị không còn tiệm cận đứng và điểm $I$ không tồn tại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng tách

2 + \frac{7}{x - 2}

cho luôn cả hai toạ độ của

I

, nhanh hơn việc viết ba giới hạn như Cách 1.

Đáp số.

I (2; 2)

và hệ số góc của đường thẳng

I K

bằng

3

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến là lấy

I (- 2; 2)

vì giải

x - 2 = 0

mà ghi

x = - 2

, dẫn tới

k = \frac{5 - 2}{3 + 2} = \frac{3}{5}

. Lỗi thứ hai là lấy tiệm cận ngang bằng

\frac{3}{- 2}

do dùng hai hệ số tự do thay vì hai hệ số của

x

, ra

I (2; - \frac{3}{2})

🚀 Mở rộng. Thử lại bài này khi thay

K (3; 5)

bởi

K (2; 5)

: khi đó

I K

song song với trục tung nên hệ số góc không tồn tại — đó là trường hợp duy nhất công thức

\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

không dùng được.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.28★★★Trang 20— Tiệm cận của hàm số có căn thức ở tử

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}

có đồ thị như hình dưới. Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} = ∣ x ∣$ , bằng $x$ khi $x \geq 0$ và bằng $- x$ khi $x < 0$ .
Một đồ thị có thể có tới hai tiệm cận ngang khác nhau ở hai đầu vô cực.
$x^{2} + 3 = ∣ x ∣ 1 + \frac{3}{x ^{2}}$ với $x \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tử có

x^{2} + 3

nên khi đưa

x

ra khỏi căn phải viết

x^{2} = ∣ x ∣

, và chính dấu giá trị tuyệt đối này khiến hai đầu vô cực cho hai kết quả trái dấu. Đó là dấu hiệu của hàm có HAI tiệm cận ngang, khác hẳn hàm phân thức thông thường chỉ có một. Bẫy lớn nhất là rút gọn

x^{2} + 3 \approx x

cho cả hai đầu, làm mất hẳn tiệm cận

y = - 1

1Cách 1. Đưa

x

ra khỏi căn rồi chia tử và mẫu cho

x

, xét riêng hai dấu

Định hướng. Chia cho $x$ là thao tác chuẩn để lộ giới hạn ở vô cực; điều duy nhất cần cẩn thận là dấu khi $x$ âm.

Tập xác định

D = R ∖ {1}

vì

x^{2} + 3 > 0

với mọi

x

x^{2} + 3 = ∣ x ∣ 1 + \frac{3}{x ^{2}}

Với

x > 0

f (x) = \frac{x 1 + \frac{3}{x ^{2}}}{x ( 1 - \frac{1}{x} )} = \frac{1 + \frac{3}{x ^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}

x \to + \infty lim f (x) = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1

Với

x < 0

f (x) = \frac{- x 1 + \frac{3}{x ^{2}}}{x ( 1 - \frac{1}{x} )} = \frac{- 1 + \frac{3}{x ^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}

x \to - \infty lim f (x) = - 1

x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty

và

x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty

vì tử dần tới

2 > 0

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng $x = 1$ và hai tiệm cận ngang $y = 1$ , $y = - 1$ .

2Cách 2. Bình phương để về hàm phân thức rồi lấy lại dấu của hàm số

Định hướng. Bình phương làm căn biến mất và bài toán rút về một phân thức quen thuộc; dấu của $f$ sẽ quyết định chọn căn dương hay căn âm.

f^{2} (x) = \frac{x ^{2} + 3}{( x - 1 ) ^{2}}

x \to \pm \infty lim f^{2} (x) = x \to \pm \infty lim \frac{1 + \frac{3}{x ^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}}} = 1

x^{2} + 3 > 0

nên

f (x)

cùng dấu với

x - 1

Khi

x \to + \infty

thì

f > 0

, kết hợp

f^{2} \to 1

được

f \to 1

Khi

x \to - \infty

thì

f < 0

, kết hợp

f^{2} \to 1

được

f \to - 1

x \to 1 lim f^{2} (x) = + \infty

nên

∣ f ∣ \to + \infty

tại

x = 1

Vậy hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = - 1$ , tiệm cận đứng là $x = 1$ .

3Cách 3. Đổi biến

t = \frac{1}{x}

để đưa giới hạn ở vô cực về giới hạn tại

0

Định hướng. Giới hạn tại $0$ dễ kiểm soát hơn giới hạn ở vô cực, và phép đổi biến làm dấu của $x$ hiện thành dấu của $t$ một cách rõ ràng.

Đặt

t = \frac{1}{x}

, khi

x \to + \infty

thì

t \to 0^{+}

, khi

x \to - \infty

thì

t \to 0^{-}

x^{2} + 3 = \frac{1}{t ^{2}} + 3 = \frac{1 + 3 t ^{2}}{∣ t ∣}

và

x - 1 = \frac{1 - t}{t}

f = \frac{1 + 3 t ^{2}}{∣ t ∣} \cdot \frac{t}{1 - t} = \frac{t}{∣ t ∣} \cdot \frac{1 + 3 t ^{2}}{1 - t}

Với

t \to 0^{+}

\frac{t}{∣ t ∣} = 1

nên

f \to \frac{1}{1} = 1

Với

t \to 0^{-}

\frac{t}{∣ t ∣} = - 1

nên

f \to - 1

Vậy hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = - 1$ ; thêm tiệm cận đứng $x = 1$ do tử dần tới $2$ trong khi mẫu dần tới $0$ .

Nhận xét. Sau phép đổi biến, toàn bộ sự khác nhau giữa hai tiệm cận ngang gói lại trong đúng một nhân tử $\frac{t}{∣ t ∣}$ — nhìn một dòng là hiểu vì sao hàm có căn bậc hai lại sinh hai tiệm cận ngang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nó phơi rõ chỗ

x^{2} = ∣ x ∣

nên giám khảo thấy ngay ta không bỏ sót nhánh âm, trong khi Cách 2 còn phải lập luận thêm về dấu mới kết luận được.

Đáp số. Tiệm cận đứng

x = 1

; hai tiệm cận ngang

y = 1

(khi

x \to + \infty

) và

y = - 1

(khi

x \to - \infty

Sai lầm thường gặp. Sai lầm chết người là viết

x^{2} + 3 \approx x

ở cả hai đầu rồi kết luận chỉ có một tiệm cận ngang

y = 1

; thay

x = - 1000

được

f \approx \frac{1000}{- 1001} \approx - 0, 999

, rõ ràng gần

- 1

chứ không gần

1

. Lỗi thứ hai là tưởng

x^{2} + 3 = 0

có nghiệm nên thêm tiệm cận đứng lạ, trong khi

x^{2} + 3 \geq 3 > 0

với mọi

x

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hàm

y = \frac{x ^{2} + p}{x - q}

với

p > 0

luôn có tiệm cận đứng

x = q

và hai tiệm cận ngang

y = 1

y = - 1

, không phụ thuộc giá trị của

p

và

q

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.29★★★★Trang 20— Lập hàm tổng khoảng cách rồi tìm tiệm cận của hàm mới

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}

có đồ thị

(C)

. Gọi tổng khoảng cách từ một điểm

(x; y) \in (C)

, với

x > 3

, tới hai đường tiệm cận của

(C)

là

g (x)

. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = g (x)

Kiến thức cần nhớ

Hai tiệm cận của $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ là $x = 3$ và $y = 1$ .
Với $x > 3$ thì $∣ x - 3∣ = x - 3$ , nên các dấu giá trị tuyệt đối được bỏ trực tiếp.
Hàm $u + \frac{5}{u}$ với $u > 0$ đạt giá trị nhỏ nhất $25$ tại $u = 5$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài gồm hai tầng: tầng một lập công thức của

g

, tầng hai mới đi tìm tiệm cận của

g

, nên nếu lập

g

sai thì cả phần sau vô nghĩa. Điều kiện

x > 3

là quà của đề: nó cho biết dấu của

x - 3

và của

y - 1

nên mọi dấu giá trị tuyệt đối được bỏ ngay. Sau khi có

g (x) = (x - 3) + \frac{5}{x - 3}

thì dạng "bậc nhất cộng phần bé dần" tự báo có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên.

1Cách 1. Lập công thức của

g

rồi tính các giới hạn theo định nghĩa

Định hướng. Có công thức tường minh của $g$ thì ba giới hạn của định nghĩa tiệm cận tính được trực tiếp.

f (x) = \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) + 5}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}

Hai tiệm cận của

(C)

là

x = 3

và

y = 1

Với

x > 3

: khoảng cách tới

x = 3

là

x - 3

, khoảng cách tới

y = 1

là

y - 1 = \frac{5}{x - 3}

g (x) = (x - 3) + \frac{5}{x - 3}

với

x > 3

x \to 3^{+} lim g (x) = + \infty

x \to + \infty lim [g (x) - (x - 3)] = x \to + \infty lim \frac{5}{x - 3} = 0

Vậy đồ thị hàm số $y = g (x)$ có tiệm cận đứng $x = 3$ và tiệm cận xiên $y = x - 3$ .

2Cách 2. Đổi biến về khoảng cách

u = x - 3

để lộ dạng chuẩn

Định hướng. Đặt ẩn bằng chính khoảng cách tới tiệm cận đứng thì $g$ trở thành hàm quen $u + \frac{5}{u}$ , tiệm cận của nó nhìn là thấy.

Đặt

u = x - 3

, điều kiện

x > 3

thành

u > 0

g = u + \frac{5}{u}

u \to 0^{+} lim (u + \frac{5}{u}) = + \infty

nên đường

u = 0

là tiệm cận đứng

u \to + \infty lim (u + \frac{5}{u} - u) = 0

nên đường

g = u

là tiệm cận xiên

Trả biến:

u = 0

thành

x = 3

, còn

g = u

thành

y = x - 3

Vậy trong hệ toạ độ ban đầu, hai tiệm cận của đồ thị $y = g (x)$ là $x = 3$ và $y = x - 3$ .

3Cách 3. Quy

g

về một phân thức rồi so sánh bậc tử với bậc mẫu

Định hướng. Gộp $g$ thành một phân thức duy nhất thì quy tắc so sánh bậc của Bài 3 áp dụng được nguyên xi, khỏi tính giới hạn nào.

g (x) = (x - 3) + \frac{5}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ^{2} + 5}{x - 3}

g (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 14}{x - 3}

với

x > 3

Bậc tử là

2

, bậc mẫu là

1

, hơn nhau một đơn vị nên có tiệm cận xiên

Phần nguyên của phép chia là

x - 3

nên tiệm cận xiên là

y = x - 3

Mẫu

x - 3 = 0

cho

x = 3

, thay vào tử được

9 - 18 + 14 = 5 \neq = 0

nên

x = 3

là tiệm cận đứng

Vậy đồ thị $y = g (x)$ có tiệm cận đứng $x = 3$ và tiệm cận xiên $y = x - 3$ .

Nhận xét. Vì $g = u + \frac{5}{u} \geq 25$ với $u > 0$ , đồ thị $y = g (x)$ luôn nằm phía trên đường $y = 25$ và chỉ áp vào hai tiệm cận ở hai đầu; điểm thấp nhất là $N (3 + 5; 25)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi biến

u = x - 3

biến bài lạ thành hàm

u + \frac{5}{u}

ai cũng biết, hai tiệm cận đọc ra không cần tính toán như Cách 1.

Đáp số.

g (x) = (x - 3) + \frac{5}{x - 3}

với

x > 3

; đồ thị

y = g (x)

có tiệm cận đứng

x = 3

và tiệm cận xiên

y = x - 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lấy khoảng cách tới tiệm cận ngang bằng

y

thay vì

y - 1

, được

g (x) = x - 3 + \frac{x + 2}{x - 3}

và ra tiệm cận xiên

y = x - 2

. Lỗi thứ hai là bỏ qua điều kiện

x > 3

rồi kết luận đồ thị

y = g (x)

còn nhánh bên trái

x = 3

, trong khi hàm

g

theo đề chỉ xác định với

x > 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

f (x) = \frac{x + b}{x - a}

và

x > a

: tổng khoảng cách là

g (x) = (x - a) + \frac{a + b}{x - a}

, vẫn có tiệm cận đứng

x = a

và tiệm cận xiên

y = x - a

, còn giá trị nhỏ nhất là

2 a + b

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.30★★★Trang 20— Bài toán thực tế về nồng độ, tiệm cận ngang là ngưỡng không đạt tới

Một bình chứa

200

ml dung dịch muối với nồng độ

5

mg/ml. a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào

x

ml dung dịch muối với nồng độ

10

mg/ml. b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ

9

mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến

10

mg/ml không?

Kiến thức cần nhớ

Nồng độ bằng khối lượng chất tan chia cho thể tích dung dịch.
Khối lượng muối ban đầu là $200 \cdot 5 = 1000$ mg.
Nếu $x \to + \infty lim c (x) = L$ và $c (x) < L$ với mọi $x$ thì giá trị $L$ không bao giờ đạt được, đường $y = L$ là tiệm cận ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Nồng độ là thương của khối lượng muối và thể tích dung dịch, nên cả tử và mẫu đều tăng theo

x

và hàm thu được là một hàm nhất biến. Câu hỏi "có đạt tới

10

mg/ml không" chính là câu hỏi về tiệm cận ngang: đó là ngưỡng đồ thị áp vào mà không bao giờ chạm. Bẫy của đề là quên cộng

200

ml ban đầu vào mẫu, hoặc quên cộng

1000

mg muối đã có sẵn vào tử.

1Cách 1. Lập công thức nồng độ theo định nghĩa rồi giải phương trình

Định hướng. Viết đúng tử là tổng khối lượng muối và mẫu là tổng thể tích, mọi câu hỏi sau đó chỉ là giải phương trình và tính giới hạn.

Khối lượng muối ban đầu:

200 \cdot 5 = 1000

Khối lượng muối thêm vào:

10 x

mg, thể tích thêm vào:

x

c (x) = \frac{1000 + 10 x}{200 + x}

mg/ml với

x \geq 0

\frac{1000 + 10 x}{200 + x} = 9

1000 + 10 x = 9 (200 + x) = 1800 + 9 x

x = 800

\frac{1000 + 10 x}{200 + x} = 10

cho

1000 + 10 x = 2000 + 10 x

, vô nghiệm

x \to + \infty lim c (x) = x \to + \infty lim \frac{10 + \frac{1000}{x}}{1 + \frac{200}{x}} = 10

Vậy a) $c (x) = \frac{1000 + 10 x}{200 + x}$ mg/ml; b) phải thêm $800$ ml, và nồng độ không bao giờ đạt $10$ mg/ml vì $c = 10$ là tiệm cận ngang của đồ thị.

2Cách 2. Tách phần nguyên để thấy ngay ngưỡng

10

mg/ml

Định hướng. Tách thành "hằng số trừ một lượng dương" thì việc nồng độ luôn nhỏ hơn $10$ và tăng dần hiện ra không cần đạo hàm hay giới hạn.

c (x) = \frac{10 ( 200 + x ) - 1000}{200 + x} = 10 - \frac{1000}{200 + x}

Với

x \geq 0

thì

\frac{1000}{200 + x} > 0

nên

c (x) < 10

x

tăng thì

\frac{1000}{200 + x}

giảm nên

c

tăng, và

c (0) = 10 - 5 = 5

10 - \frac{1000}{200 + x} = 9

cho

\frac{1000}{200 + x} = 1

200 + x = 1000

nên

x = 800

\frac{1000}{200 + x} \to 0

khi

x \to + \infty

nên

c \to 10

mà luôn

c < 10

Vậy a) nồng độ là $c (x) = 10 - \frac{1000}{200 + x}$ mg/ml; b) thêm $800$ ml thì được $9$ mg/ml, còn $10$ mg/ml là ngưỡng chỉ tiến tới chứ không đạt được.

3Cách 3. Dùng quy tắc trộn: nồng độ là trung bình có trọng số của hai dung dịch

Định hướng. Nồng độ sau khi trộn luôn nằm giữa hai nồng độ ban đầu, và phần vượt trên bên này phải bù đúng phần hụt bên kia — nghĩ theo cân bằng thì khỏi lập phương trình phân thức.

Trộn

200

ml nồng độ

5

với

x

ml nồng độ

10

c (x) = \frac{5 \cdot 200 + 10 \cdot x}{200 + x} = \frac{1000 + 10 x}{200 + x}

b) Cân bằng quanh mức

9

(9 - 5) \cdot 200 = (10 - 9) \cdot x

800 = x

Muốn

c = 10

thì cần

(10 - 5) \cdot 200 = 0 \cdot x

, tức

1000 = 0

Vậy a) công thức nồng độ là $\frac{1000 + 10 x}{200 + x}$ mg/ml; b) thêm $800$ ml cho nồng độ $9$ mg/ml, còn nồng độ $10$ mg/ml là không thể vì đẳng thức cân bằng trở thành vô lí.

Nhận xét. Quy tắc trộn giải thích ý nghĩa của tiệm cận ngang bằng ngôn ngữ hoá học: dù thêm bao nhiêu dung dịch $10$ mg/ml, phần muối loãng $5$ mg/ml ban đầu vẫn còn trong bình, nên nồng độ chỉ áp sát $10$ mà không đạt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dạng

10 - \frac{1000}{200 + x}

trả lời gọn cả ba câu hỏi cùng lúc — công thức, giá trị

x = 800

và lý do không đạt

10

mg/ml.

Đáp số. a)

c (x) = \frac{1000 + 10 x}{200 + x} = 10 - \frac{1000}{200 + x}

mg/ml với

x \geq 0

; b) phải thêm

800

ml; nồng độ không thể đạt

10

mg/ml vì

c (x) < 10

với mọi

x \geq 0

và

c = 10

chỉ là tiệm cận ngang.

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là viết nồng độ thành

\frac{1000 + 10 x}{x}

vì quên

200

ml có sẵn trong mẫu; công thức sai này cho

c (0)

không xác định, trong khi thực tế

c (0) = 5

mg/ml. Lỗi thứ hai là thấy

c (x)

tăng mãi rồi kết luận sẽ có lúc đạt

10

mg/ml; thay cả

x = 1 0^{6}

vẫn chỉ được

c \approx 9, 999

chứ không bao giờ bằng

10

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trộn

V

ml nồng độ

m

với

x

ml nồng độ

M > m

cho

c (x) = M - \frac{V ( M - m )}{V + x}

, luôn có tiệm cận ngang

c = M

và không bao giờ đạt tới

M

với

x

hữu hạn.

Nguồn: SBT Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-12-kn/bai-3-duong-tiem-can-cua-do-thi-ham-so.jsp · https://loigiaihay.com/bai-3-duong-tiem-can-cua-do-thi-ham-so-sbt-toan-12-ket-noi-tri-thuc-e37768.html