Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang25–27 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.31★★Trang 25— Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a)

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

; b)

y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 4

Kiến thức cần nhớ

Sơ đồ khảo sát hàm số: tập xác định, tính $y^{'}$ và xét dấu, giới hạn tại vô cực, bảng biến thiên, rồi lấy thêm điểm đặc biệt để vẽ đồ thị.
Với hàm bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , đồ thị luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng; hoành độ điểm uốn là nghiệm của $y^{''} = 0$ .
$y^{'}$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại; đổi dấu từ âm sang dương thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu.
Tam thức $a x^{2} + b x + c$ với $a > 0$ và $Δ < 0$ thì dương với mọi $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm đều là đa thức bậc ba nên tập xác định là

R

và hình dạng đồ thị do số nghiệm của

y^{'}

quyết định — đó là dấu hiệu cần xem trước tiên. Ý a) có

y^{'}

là tam thức có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hai cực trị, còn ý b) có

y^{'}

viết được thành tổng bình phương cộng số dương nên hàm đơn điệu tăng, khỏi cần bảng xét dấu. Bẫy của bài là vẽ xong mà quên điểm uốn: với hàm bậc ba điểm uốn chính là tâm đối xứng, thiếu nó đồ thị sẽ bị vẽ lệch ở đoạn giữa hai cực trị.

1Cách 1. Đi trọn sơ đồ khảo sát, xét dấu

y^{'}

bằng bảng

Định hướng. Cứ đi đúng các bước của sơ đồ khảo sát thì mọi thông tin để vẽ đồ thị đều lần lượt hiện ra.

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

, tập xác định

D = R

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

y (1) = 1 - 6 + 9 = 4

;

y (3) = 27 - 54 + 27 = 0

x \to - \infty lim y = - \infty

;

x \to + \infty lim y = + \infty

y^{''} = 6 x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2

y (2) = 8 - 24 + 18 = 2

y = 0 \Leftrightarrow x (x - 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 3

y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 4

, tập xác định

D = R

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x + 6 = 3 (x + 1)^{2} + 3 > 0

với mọi

x \in R

x \to - \infty lim y = - \infty

;

x \to + \infty lim y = + \infty

y^{''} = 6 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 1

y (- 1) = - 1 + 3 - 6 + 4 = 0

y = (x + 1) (x^{2} + 2 x + 4)

, mà

x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} + 3 > 0

nên

y = 0 \Leftrightarrow x = - 1

;

y (0) = 4

Vậy hàm số ở ý a) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ , đạt cực đại tại $x = 1$ với giá trị $4$ và cực tiểu tại $x = 3$ với giá trị $0$ , đồ thị nhận $(2; 2)$ làm tâm đối xứng; hàm số ở ý b) đồng biến trên $R$ , không có cực trị, đồ thị nhận $(- 1; 0)$ làm tâm đối xứng.

Hình minh hoạ lời giải

Bảng biến thiên và đồ thị hai hàm bậc ba y = x³−6x²+9x (có hai cực trị) và y = x³+3x²+6x+4 (đồng biến trên ℝ)

2Cách 2. Đưa

y^{'}

về dạng tích hoặc tổng bình phương để đọc dấu ngay

Định hướng. Dấu của một tích hai nhân tử bậc nhất, hay của một tổng bình phương cộng số dương, đọc được trực tiếp từ công thức nên nhanh hơn việc kẻ bảng xét dấu.

y^{'} = 3 (x - 1) (x - 3)

x \in (- \infty; 1) \Rightarrow x - 1 < 0

x - 3 < 0 \Rightarrow y^{'} > 0

x \in (1; 3) \Rightarrow x - 1 > 0

x - 3 < 0 \Rightarrow y^{'} < 0

x \in (3; + \infty) \Rightarrow x - 1 > 0

x - 3 > 0 \Rightarrow y^{'} > 0

y (1) = 4

y (3) = 0

y (2) = 2

y (0) = 0

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x + 6 = 3 (x^{2} + 2 x + 1) + 3 = 3 (x + 1)^{2} + 3 \geq 3 > 0

y = (x + 1) (x^{2} + 2 x + 4) = (x + 1) [(x + 1)^{2} + 3]

y (- 1) = 0

y (0) = 4

Vậy ý a) có hai cực trị: $x = 1$ là điểm cực đại với giá trị $4$ , $x = 3$ là điểm cực tiểu với giá trị $0$ ; ý b) có $y^{'} > 0$ trên toàn $R$ nên hàm số đồng biến và không có cực trị.

3Cách 3. Dời trục về điểm uốn, đưa hàm về dạng lẻ rồi lấy đối xứng tâm

Định hướng. Mỗi hàm bậc ba đều đối xứng tâm quanh điểm uốn, nên dời gốc toạ độ về đó sẽ được một hàm lẻ rất gọn: chỉ cần vẽ nửa bên phải rồi lấy đối xứng.

a) điểm uốn

I (2; 2)

, đặt

x = X + 2

y = Y + 2

Y + 2 = (X + 2)^{3} - 6 (X + 2)^{2} + 9 (X + 2)

Y + 2 = X^{3} + 6 X^{2} + 12 X + 8 - 6 X^{2} - 24 X - 24 + 9 X + 18

Y = X^{3} - 3 X

Y^{'} = 3 X^{2} - 3 = 3 (X - 1) (X + 1)

Y^{'} = 0 \Leftrightarrow X = \pm 1

Y (- 1) = 2

Y (1) = - 2

b) điểm uốn

I (- 1; 0)

, đặt

x = X - 1

y = Y

Y = (X - 1)^{3} + 3 (X - 1)^{2} + 6 (X - 1) + 4

Y = X^{3} - 3 X^{2} + 3 X - 1 + 3 X^{2} - 6 X + 3 + 6 X - 6 + 4

Y = X^{3} + 3 X

Y^{'} = 3 X^{2} + 3 > 0

Vậy trong hệ trục mới hai hàm là $Y = X^{3} - 3 X$ và $Y = X^{3} + 3 X$ , đều là hàm lẻ nên đồ thị đối xứng tâm gốc; trở về hệ cũ ta được đúng hai tâm đối xứng $(2; 2)$ và $(- 1; 0)$ , khớp kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Dạng $Y = X^{3} + pX$ cho thấy ngay bản chất: $p < 0$ thì có hai cực trị, $p \geq 0$ thì đơn điệu tăng — ý a) có $p = - 3$ , ý b) có $p = 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một dòng biến đổi

y^{'}

thành tích hoặc thành tổng bình phương là đọc được dấu, tiết kiệm hẳn việc kẻ bảng xét dấu; Cách 3 tuy đẹp nhưng mất thời gian khai triển.

Đáp số. a) Đồng biến trên

(- \infty; 1)

và

(3; + \infty)

, nghịch biến trên

(1; 3)

; cực đại

(1; 4)

, cực tiểu

(3; 0)

; tâm đối xứng

(2; 2)

; đồ thị cắt

O x

tại

x = 0

và

x = 3

. b) Đồng biến trên

R

, không có cực trị; tâm đối xứng

(- 1; 0)

; đồ thị cắt

O x

tại

x = - 1

và cắt

O y

tại

(0; 4)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là ở ý b): thấy

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x + 6

là tam thức bậc hai rồi theo quán tính kết luận hàm bậc ba này có hai cực trị. Phản ví dụ ngay trong bài:

y^{'} = 3 (x + 1)^{2} + 3 \geq 3

nên

y^{'}

không bao giờ bằng

0

, hàm số đồng biến trên

R

và không có cực trị nào. Sai lầm thứ hai là ở ý a) tính

y (3)

thiếu hạng tử

9 x

, ra

27 - 54 = - 27

rồi vẽ cực tiểu nằm sâu dưới trục hoành, trong khi

y (3) = 0

nên điểm

(3; 0)

nằm ĐÚNG trên trục hoành và là điểm tiếp xúc kép vì

y = x (x - 3)^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m

: đồ thị luôn có hai cực trị tại

x = 1

và

x = 3

với hai giá trị

4 + m

và

m

, nên đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

m (4 + m) < 0

, tức

- 4 < m < 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.32★★Trang 25— Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a)

y = \frac{3 x + 5}{x + 2}

; b)

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , $c \neq = 0$ và $a d - b c \neq = 0$ : tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ , tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ .
$y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ nên $y^{'}$ cùng dấu với $a d - b c$ trên mọi khoảng xác định; hàm số không có cực trị.
Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Phải nói đồng biến hoặc nghịch biến trên TỪNG khoảng xác định, không được gộp hai khoảng rời nhau thành một tập.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hàm đều có dạng bậc nhất trên bậc nhất với

a d - b c \neq = 0

, dấu hiệu của đồ thị hình hypebol hai nhánh, có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Vì tử và mẫu cùng bậc nên

y^{'}

giữ một dấu không đổi trên từng khoảng xác định, do đó hàm số không có cực trị và không cần đi tìm nghiệm của

y^{'}

. Bẫy thường gặp là viết gộp thành đồng biến trên

R ∖ {- 2}

, trong khi phải nói đồng biến trên TỪNG khoảng vì điểm

x = - 2

cắt tập xác định thành hai phần rời nhau.

1Cách 1. Đi trọn sơ đồ khảo sát với đạo hàm của một thương

Định hướng. Dùng đúng công thức đạo hàm của thương rồi lần lượt tính bốn giới hạn là có trọn bảng biến thiên cùng hai tiệm cận.

y = \frac{3 x + 5}{x + 2}

, tập xác định

D = R ∖ {- 2}

y^{'} = \frac{3 ( x + 2 ) - ( 3 x + 5 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x + 6 - 3 x - 5}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} > 0

x \to (- 2)^{-} lim y = + \infty

;

x \to (- 2)^{+} lim y = - \infty

x \to \pm \infty lim y = x \to \pm \infty lim \frac{3 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 3

y = 0 \Leftrightarrow 3 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{3}

;

y (0) = \frac{5}{2}

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

, tập xác định

D = R ∖ {1}

y^{'} = \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2 x - 1 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x - 2 - 2 x + 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 1}{( x - 1 ) ^{2}} < 0

x \to 1^{-} lim y = - \infty

;

x \to 1^{+} lim y = + \infty

x \to \pm \infty lim y = 2

y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

;

y (0) = 1

Vậy ý a) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ , tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận ngang $y = 3$ , tâm đối xứng $I (- 2; 3)$ ; ý b) nghịch biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ , tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ , tâm đối xứng $I (1; 2)$ .

Hình minh hoạ lời giải

Bảng biến thiên (vạch đôi tại điểm không xác định) và đồ thị y=(3x+5)/(x+2) đồng biến, y=(2x−1)/(x−1) nghịch biến, tiệm cận nét đứt

2Cách 2. Tách phần nguyên để thấy tiệm cận và chiều biến thiên mà không cần đạo hàm

Định hướng. Viết hàm thành một hằng số cộng một phân số có tử không đổi thì cả hai tiệm cận lẫn chiều biến thiên đều lộ ra ngay từ chính công thức.

y = \frac{3 x + 5}{x + 2} = \frac{3 ( x + 2 ) - 1}{x + 2} = 3 - \frac{1}{x + 2}

x_{1} < x_{2}

cùng thuộc một khoảng

\Rightarrow \frac{1}{x _{1} + 2} > \frac{1}{x _{2} + 2} \Rightarrow 3 - \frac{1}{x _{1} + 2} < 3 - \frac{1}{x _{2} + 2}

x \to (- 2)^{-} \Rightarrow \frac{1}{x + 2} \to - \infty \Rightarrow y \to + \infty

x \to (- 2)^{+} \Rightarrow \frac{1}{x + 2} \to + \infty \Rightarrow y \to - \infty

x \to \pm \infty \Rightarrow \frac{1}{x + 2} \to 0 \Rightarrow y \to 3

y = \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{2 ( x - 1 ) + 1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}

x_{1} < x_{2}

cùng thuộc một khoảng

\Rightarrow \frac{1}{x _{1} - 1} > \frac{1}{x _{2} - 1} \Rightarrow y (x_{1}) > y (x_{2})

x \to 1^{-} \Rightarrow \frac{1}{x - 1} \to - \infty \Rightarrow y \to - \infty

;

x \to 1^{+} \Rightarrow y \to + \infty

x \to \pm \infty \Rightarrow \frac{1}{x - 1} \to 0 \Rightarrow y \to 2

Vậy đồ thị ý a) là đồ thị $y = - \frac{1}{x}$ dời sang trái $2$ đơn vị rồi lên trên $3$ đơn vị nên hàm đồng biến trên từng khoảng; đồ thị ý b) là đồ thị $y = \frac{1}{x}$ dời sang phải $1$ đơn vị rồi lên trên $2$ đơn vị nên hàm nghịch biến trên từng khoảng.

3Cách 3. Dời trục về tâm đối xứng, đưa về hypebol quen thuộc

Y = \frac{k}{X}

Định hướng. Sau khi tách phần nguyên, chỉ cần đổi hệ trục về giao hai tiệm cận là hàm trở thành $Y = \frac{k}{X}$ — vẽ được ngay mà không phải tính thêm gì.

y = 3 - \frac{1}{x + 2}

, đặt

X = x + 2

Y = y - 3

Y = - \frac{1}{X}

với

k = - 1 < 0

Y (- X) = \frac{1}{X} = - Y (X)

nên

Y

là hàm lẻ, hai nhánh nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư của hệ trục mới

y = 2 + \frac{1}{x - 1}

, đặt

X = x - 1

Y = y - 2

Y = \frac{1}{X}

với

k = 1 > 0

Y (- X) = - \frac{1}{X} = - Y (X)

nên

Y

là hàm lẻ, hai nhánh nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba của hệ trục mới

Vậy hai đồ thị đều là hypebol $Y = \frac{k}{X}$ trong hệ trục mới gốc $I$ ; dấu của $k$ quyết định chiều biến thiên, $k < 0$ cho hàm đồng biến (ý a) và $k > 0$ cho hàm nghịch biến (ý b), đồng thời gốc $I$ là tâm đối xứng.

Nhận xét. Vì $k = \frac{b c - a d}{c ^{2}}$ , chỉ cần tính $a d - b c$ là biết ngay hàm đồng biến hay nghịch biến: ý a) có $a d - b c = 6 - 5 = 1 > 0$ nên đồng biến, ý b) có $a d - b c = - 2 + 1 = - 1 < 0$ nên nghịch biến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng tách phần nguyên là ra cả hai tiệm cận lẫn chiều biến thiên, không phải nhớ công thức đạo hàm của thương và không sợ sai dấu ở tử.

Đáp số. a) Đồng biến trên mỗi khoảng

(- \infty; - 2)

và

(- 2; + \infty)

; tiệm cận đứng

x = - 2

, tiệm cận ngang

y = 3

; tâm đối xứng

I (- 2; 3)

; đồ thị đi qua

(- \frac{5}{3}; 0)

và

(0; \frac{5}{2})

. b) Nghịch biến trên mỗi khoảng

(- \infty; 1)

và

(1; + \infty)

; tiệm cận đứng

x = 1

, tiệm cận ngang

y = 2

; tâm đối xứng

I (1; 2)

; đồ thị đi qua

(\frac{1}{2}; 0)

và

(0; 1)

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến là gộp hai khoảng lại rồi kết luận ý a) đồng biến trên cả tập xác định

R ∖ {- 2}

. Phản ví dụ cụ thể: lấy

x_{1} = - 3

và

x_{2} = 0

thì

y (- 3) = \frac{- 4}{- 1} = 4

còn

y (0) = \frac{5}{2}

, ta có

x_{1} < x_{2}

mà

y (x_{1}) > y (x_{2})

— vậy hàm số KHÔNG đồng biến trên cả tập xác định, chỉ đồng biến trên từng khoảng. Lỗi thứ hai là tính

y^{'}

của ý b) ra

\frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

vì quên đổi dấu khi khai triển

- (2 x - 1)

, dẫn tới kết luận ngược hoàn toàn về chiều biến thiên.

🚀 Mở rộng. Với

y = \frac{a x + b}{c x + d}

tổng quát, tách phần nguyên cho

y = \frac{a}{c} + \frac{b c - a d}{c ^{2}} \cdot \frac{1}{x + \frac{d}{c}}

, nên chỉ cần dấu của

a d - b c

là đủ kết luận chiều biến thiên mà không cần đạo hàm lần nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.33★★★Trang 25— Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{p x + q}

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a)

y = \frac{x ^{2} - 4 x + 8}{x - 2}

; b)

y = \frac{2 x ^{2} + 3 x - 5}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x \to x_{0}^{\pm} lim y = \pm \infty$ thì $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Nếu viết được $y = a x + b + \frac{k}{x - x _{0}}$ với $k \neq = 0$ thì $y = a x + b$ là tiệm cận xiên và $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng.
Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: $u + v \geq 2 uv$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.34★★Trang 25— Đọc chiều biến thiên và cực trị từ đồ thị của

f^{'} (x)

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x)

xác định trên

R

và

f^{'} (x)

có đồ thị như hình vẽ dưới đây: đồ thị

f^{'}

cắt trục hoành tại

x = - 1

và

x = 2

, nằm phía trên trục hoành khi

x < - 1

hoặc

x > 2

, nằm phía dưới trục hoành khi

- 1 < x < 2

. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số

y = f (x)

Kiến thức cần nhớ

Trên khoảng mà $f^{'} (x) > 0$ thì $f$ đồng biến; trên khoảng mà $f^{'} (x) < 0$ thì $f$ nghịch biến.
$f^{'}$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại của $f$ ; đổi dấu từ âm sang dương thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu.
$f^{'} (x_{0}) = 0$ mà $f^{'}$ không đổi dấu qua $x_{0}$ thì $x_{0}$ không phải điểm cực trị.
Với đồ thị của $f^{'}$ , ta đọc DẤU theo vị trí trên hay dưới trục hoành, không đọc theo chiều lên xuống của đường cong.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.35★★★Trang 25— Suy bảng biến thiên của vận tốc từ đồ thị gia tốc

Gia tốc

a (t)

của một vật chuyển động,

t

tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ

5

là một hàm liên tục có đồ thị như hình vẽ dưới đây: đồ thị cắt trục hoành tại

t = 3

, nằm phía trên trục hoành khi

1 < t < 3

và nằm phía dưới trục hoành khi

3 < t < 5

. a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc

y = v (t)

với

t \in [1; 5]

. b) Xác định thời điểm vật chuyển động với vận tốc lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc và gia tốc của một chuyển động liên hệ bởi $a (t) = v^{'} (t)$ .
$v^{'} (t) > 0$ trên một khoảng thì $v$ tăng trên khoảng đó; $v^{'} (t) < 0$ thì $v$ giảm.
$v^{'}$ đổi dấu từ dương sang âm tại $t_{0}$ thì $v$ đạt cực đại tại $t_{0}$ , và đó cũng là giá trị lớn nhất nếu trên đoạn đang xét chỉ có một lần đổi dấu.
Đọc dấu của $a (t)$ theo vị trí đồ thị so với trục hoành, không theo chiều đi lên hay đi xuống của nó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.36★★★Trang 26— Tối ưu diện tích tờ giấy in, hàm phân thức

Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích

300

^{2}

, lề trái và lề phải là

2

cm, lề trên và lề dưới là

3

cm. Gọi

x

(cm) là chiều rộng của tờ giấy. a) Tính diện tích của tờ giấy theo

x

. b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là

S (x)

. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

y = S (x)

. c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện có nghĩa: chiều rộng vùng in phải dương, tức $x - 4 > 0$ .
Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng đạt tại điểm mà $y^{'}$ đổi dấu từ âm sang dương.
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: $u + v \geq 2 uv$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.37★★★Trang 26— Chi phí trung bình nhỏ nhất, hàm có tiệm cận xiên

Giả sử chi phí để sản xuất

x

sản phẩm của một nhà máy được cho bởi

C (x) = 0, 2 x^{2} + 10 x + 5

(triệu đồng). Chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là

f (x) = \frac{C ( x )}{x}

. a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

y = f (x)

. b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Kiến thức cần nhớ

Chi phí trung bình $f (x) = \frac{C ( x )}{x}$ , chỉ xét với $x > 0$ .
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
Nếu $y = a x + b + \frac{k}{x}$ với $k \neq = 0$ thì $y = a x + b$ là tiệm cận xiên và trục $O y$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: $u + v \geq 2 uv$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.38★★★★Trang 26— Tối ưu diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng và hai trục

Cho điểm

A (3; 2)

trên mặt phẳng toạ độ. Một đường thẳng đi qua

A

cắt trục hoành tại

B

, cắt trục tung tại

C

tạo thành tam giác

O B C

nằm trong góc phần tư thứ nhất, với

O

là gốc toạ độ. a) Biết hoành độ điểm

B

là

x = t

với

t > 3

. Tính diện tích tam giác

O B C

theo

t

, kí hiệu diện tích này là

S (t)

. b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

y = S (t)

. c) Tìm vị trí điểm

B

để diện tích tam giác

O B C

nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác vuông tại $O$ có diện tích $S = \frac{1}{2} \cdot O B \cdot O C$ .
Phương trình đoạn chắn của đường thẳng cắt hai trục tại $(m; 0)$ và $(0; n)$ là $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ .
Nếu viết được $S = u + \frac{k}{u} + c$ với $u > 0$ , $k > 0$ thì Cô-si cho ngay giá trị nhỏ nhất bằng $2 k + c$ .
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: $u + v \geq 2 uv$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.39★★Trang 26— Khảo sát mô hình tăng trưởng phân thức, tìm sức chứa

Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có

80000

con. Sau

t

năm số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi

N (t) = \frac{20 ( 4 + 3 t )}{1 + 0 , 05 t}

(nghìn con). a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

y = N (t)

. b) Số lượng tối đa có thể chứa của quần thể cá là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , $c \neq = 0$ : tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ .
$y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ giữ một dấu không đổi, nên hàm số không có cực trị.
Hàm đồng biến và bị chặn trên bởi tiệm cận ngang thì tiệm cận ngang chính là giá trị mà hàm tiến tới nhưng không đạt được.
Đơn vị của $N (t)$ là nghìn con, phải đổi lại khi trả lời theo số con.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.40★★★Trang 27— Tối ưu thể tích khối hộp có ràng buộc tổng kích cỡ

Một khối bưu kiện hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài và chu vi thiết diện ngang (là hình vuông) bằng

240

cm. Gọi

x

(cm) là độ dài cạnh của thiết diện ngang. a) Tính thể tích của khối bưu kiện theo

x

. b) Kí hiệu

V (x)

là thể tích của khối bưu kiện. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

y = V (x)

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình vuông cạnh $x$ bằng $4 x$ .
Thể tích khối hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân chiều cao; ở đây đáy là hình vuông cạnh $x$ nên $V = x^{2} ℓ$ với $ℓ$ là chiều dài.
Điều kiện hình học buộc mọi kích thước phải dương, cho $0 < x < 60$ .
Bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .