Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Gọi $x$ (m) là cạnh vuông góc với sông thì cạnh giáp sông tính ngay được từ hàng rào còn dư, diện tích trở thành hàm một biến trên một khoảng.

Vậy diện tích lớn nhất của thửa ruộng là $S=7200$ m${}^2$, đạt được khi cạnh vuông góc với sông dài $60$ m và cạnh giáp sông dài $120$ m.

Đặt $u=2x$ và $v=240-2x$ thì $u+v=240$ không đổi, diện tích đưa được về tích $uv$ nên dùng ngay bất đẳng thức AM–GM.

Vậy $S\le 7200$ m${}^2$ với mọi $x$, giá trị lớn nhất $S=7200$ m${}^2$ đạt tại $x=60$, khớp Cách 1.

Viết $S(x)$ dưới dạng một hằng số trừ đi một bình phương thì thấy ngay giá trị lớn nhất mà không cần đạo hàm.

Vậy $S(x)\le 7200$ m${}^2$ với mọi $x\in (0;120)$, giá trị lớn nhất bằng $7200$ m${}^2$ tại $x=60$ — cả ba cách đều cho cùng kết quả.

Tốc độ bán là $g(x)=R^{\prime }(x)$; tốc độ này đạt tối đa khi đạo hàm của nó — tức $R^{\prime \prime }(x)$ — đổi dấu từ dương sang âm.

Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa $1250$ (đơn vị/năm) tại $x=\ln 5\approx 1,61$, tức vào năm thứ hai.

Đặt $t=e^{-x}>0$ thì $R^{\prime }(x)$ trở thành một phân thức của $t$; nhóm mẫu số thành tổng hai số có tích không đổi để dùng AM–GM.

Vậy $R^{\prime }(x)\le 1250$ với mọi $x\ge 0$, giá trị lớn nhất $1250$ đạt tại $x=\ln 5$, khớp Cách 1.

Không cần đạo hàm hai lần: đường cong logistic luôn đổi bề lõm (điểm uốn) đúng tại vị trí hàm đạt đúng nửa giá trị bão hoà — tính chất đối xứng đã biết của mô hình logistic.

Vậy tại $x_0=\ln 5$ đồ thị đổi bề lõm — đó chính là điểm tốc độ bán $R^{\prime }(x)$ lớn nhất, cùng kết quả với hai cách trên.

Rút $h$ theo $x$ từ ràng buộc thể tích, đưa diện tích toàn phần về hàm một biến rồi khảo sát.

Vậy diện tích vật liệu nhỏ nhất khi $x=h=10\sqrt[3]{2}\approx 12,6$ cm — chiếc hộp khi đó là một hình lập phương.

Tách $\frac{8000}{x}$ thành hai số bằng nhau để có tổng ba số dương với tích không đổi, rồi dùng AM–GM.

Vậy $S(x)\ge 600\sqrt[3]{4}\approx 952,4$ cm${}^2$ với mọi $x>0$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=10\sqrt[3]{2}$, khớp Cách 1.

So sánh trực tiếp $S(x)$ với giá trị tại $x_0=10\sqrt[3]{2}$ bằng cách phân tích hiệu số thành nhân tử có dấu xác định, không cần đạo hàm.

Vậy $S(x)\ge S(x_0)$ với mọi $x>0$, dấu bằng khi $x=x_0=10\sqrt[3]{2}$ — xác nhận đây đúng là giá trị nhỏ nhất.

Gọi $x$ là khoảng cách từ $P$ đến điểm neo, dùng Pythagore lập quãng đường chèo thuyền rồi đưa thời gian về hàm một biến trên đoạn $[0;12]$.

Vậy thuyền nên neo tại điểm cách $P$ khoảng $\frac{5\sqrt{39}}{13}\approx 2,4$ km, khi đó thời gian ngắn nhất là $T=3+\frac{3\sqrt{39}}{20}\approx 3,94$ giờ.

Dùng Cauchy–Schwarz để chặn dưới $\sqrt{x^2+9}$ bởi một biểu thức bậc nhất theo $x$, chọn hệ số sao cho $x$ triệt tiêu trong tổng thời gian.

Vậy $T(x)\ge 3+\frac{3\sqrt{39}}{20}$ với mọi $x\in [0;12]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=\frac{5\sqrt{39}}{13}\approx 2,4$ km, khớp Cách 1.

Mô hình hoá theo nguyên lí thời gian ngắn nhất (giống định luật khúc xạ ánh sáng): tại vị trí tối ưu, góc giữa đường chèo thuyền và phương vuông góc bờ biển liên hệ với tỉ số hai vận tốc.

Vậy điểm neo tối ưu vẫn cách $P$ đoạn $\frac{5\sqrt{39}}{13}\approx 2,4$ km — mô hình hoá bằng góc cho cùng kết quả với hai cách tính trực tiếp ở trên.

Rút $h$ theo $r$ và $V$ từ công thức thể tích, đưa diện tích toàn phần về hàm một biến $r$ rồi khảo sát.

Vậy khi $S(r)$ nhỏ nhất, chiều cao $h_0=2r_0$ gấp đôi bán kính đáy — đúng điều phải chứng tỏ.

Tách $\frac{2V}{r}$ thành hai số bằng nhau để có tổng ba số dương với tích không đổi, rồi dùng AM–GM.

Vậy $S(r)\ge 3\sqrt[3]{2\pi V^2}$ với mọi $r>0$, dấu bằng — tức vật liệu nhỏ nhất — đạt đúng khi $h=2r$, khớp Cách 1.

So sánh trực tiếp $S(r)$ với giá trị tại $r_0$ bằng cách phân tích hiệu số thành nhân tử có dấu xác định.

Vậy $S(r)\ge S(r_0)$ với mọi $r>0$, dấu bằng khi $r=r_0$, tức khi $h=2r$ — xác nhận lại điều phải chứng tỏ.

Tính đạo hàm $H^{\prime }(v)$, xét dấu để suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến.

Vậy $H(v)$ đồng biến trên $(0;25)$ và nghịch biến trên $(25;+\infty )$: khi gió còn nhẹ ($v<25$), gió càng mạnh cơ thể càng mất nhiệt nhanh hơn, nhưng khi gió đã rất mạnh ($v>25$) thì theo mô hình này tốc độ mất nhiệt lại giảm dần.

Ý b) dùng ngay công thức đạo hàm vừa lập, thay $v=2$.

Vậy tốc độ thay đổi của $H$ tại $v=2$ m/s xấp xỉ $83,67$ Kcal/m${}^2$h ứng với mỗi m/s gió tăng thêm — vì $v=2$ nằm trong khoảng đồng biến $(0;25)$, chỉ cần gió tăng nhẹ, sự mất nhiệt của cơ thể đã tăng khá nhanh.

Đặt $t=\sqrt{v}$ ($t>0$) để đưa $H$ về một tam thức bậc hai theo $t$, dùng ngay tính chất đỉnh của parabol thay vì đạo hàm.

Vậy $H(v)$ đồng biến trên $(0;25)$, nghịch biến trên $(25;+\infty )$ — khớp Cách 1, mà không cần đạo hàm trực tiếp hàm chứa căn.

Ý b) tính đạo hàm bằng quy tắc hàm hợp qua biến trung gian $t$.

Vậy tốc độ thay đổi tại $v=2$ vẫn xấp xỉ $83,67$ Kcal/m${}^2$h, khớp Cách 1.

So sánh trực tiếp $H(v_2)-H(v_1)$ với $v_1<v_2$ cùng một khoảng, đưa về nhân tử có dấu xác định theo định nghĩa.

Vậy $H$ đồng biến trên $(0;25)$ và nghịch biến trên $(25;+\infty )$ theo đúng định nghĩa, không cần công thức đạo hàm.

Ý b) là tốc độ thay đổi tức thời, chính là giá trị đạo hàm đã tính ở Cách 1.

Vậy tốc độ thay đổi của $H$ tại $v=2$ m/s xấp xỉ $83,67$ Kcal/m${}^2$h.

Khai triển $R(x)$ thành đa thức rồi đạo hàm từng hạng tử — cách trực tiếp nhất.

Vậy hàm doanh thu biên là $R^{\prime }(x)=1800+128x-6x^2$ và $R^{\prime }(14)=2416$ USD: khi đang cho thuê $14$ căn hộ, cho thuê thêm căn hộ thứ $15$ sẽ làm doanh thu tăng thêm xấp xỉ $2416$ USD.

Giữ nguyên dạng tích $R(x)=2x\cdot (900+32x-x^2)$ và áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm của một tích, không cần khai triển trước.

Vậy vẫn được $R^{\prime }(x)=1800+128x-6x^2$ và $R^{\prime }(14)=2416$ USD, khớp Cách 1.

Trả lời đúng câu c) bằng cách tính trực tiếp số gia thực $\Delta R=R(15)-R(14)$, rồi so sánh với giá trị xấp xỉ ở hai cách trên.

Vậy khi số căn hộ cho thuê tăng thực từ $14$ lên $15$, doanh thu tăng thêm đúng $2394$ USD — thấp hơn giá trị doanh thu biên xấp xỉ $2416$ USD, vì $R(x)$ là hàm lõm quanh $x=14$ nên đạo hàm chỉ là xấp xỉ tuyến tính, không phải giá trị chính xác.

Lập hàm chi phí trung bình rồi khảo sát cực trị bằng đạo hàm.

Vậy chi phí trung bình nhỏ nhất là $0,84$ USD/đơn vị, đạt được khi sản xuất $2000$ đơn vị sản phẩm.

Áp dụng AM–GM cho hai số dương $\frac{800}{x}$ và $0,0002x$ có tích không đổi.

Vậy $\overline{C}(x)\ge 0,84$ với mọi $x>0$, giá trị nhỏ nhất $0,84$ USD đạt tại $x=2000$, khớp Cách 1.

Phân tích hiệu $\overline{C}(x)-0,84$ thành một bình phương chia cho $x$ để thấy ngay dấu không âm, không cần đạo hàm hay AM–GM.

Vậy $\overline{C}(x)\ge 0,84$ với mọi $x>0$, dấu bằng khi $x=2000$ — xác nhận lại kết quả nhỏ nhất.

Tính ${\overline{C}}^{\prime }(x)$ bằng công thức đạo hàm của thương rồi cho bằng $0$ tại điểm cực trị $x_0$.

Vậy $C^{\prime }(x_0)=\overline{C}(x_0)$: khi chi phí trung bình đạt nhỏ nhất, chi phí biên đúng bằng chi phí trung bình tại đó.

Ý b) áp dụng công thức đạo hàm với số mũ không nguyên cho hàm cụ thể.