Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang31–33 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.41★★Trang 31— Tối ưu diện tích khi chiều dài hàng rào cho trước

Bác Hưng có một hàng rào thép dài

240

m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Khuôn giải bài tối ưu thực tiễn: đặt ẩn — viết ràng buộc — đưa đại lượng cần tối ưu về hàm MỘT biến — tìm điều kiện của biến — khảo sát đúng trên miền đó.
Hình chữ nhật kích thước $x$ và $y$ có diện tích $S = x y$ ; nếu chỉ rào ba cạnh thì $2 x + y$ mới là chiều dài hàng rào.
Tam thức $f (x) = a x^{2} + b x + c$ với $a < 0$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm: $uv \leq (\frac{u + v}{2})^{2}$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một lượng hàng rào cố định nhưng chỉ rào ba cạnh — dấu hiệu của dạng tối ưu có ràng buộc bậc nhất: tổng ba cạnh không đổi, hỏi tích hai kích thước lớn nhất. Vì ràng buộc là bậc nhất còn đại lượng cần tối ưu là bậc hai nên chỉ cần đặt MỘT ẩn cho cạnh bị lặp lại, cạnh kia suy ra ngay. Bẫy nằm ở chỗ đếm nhầm số cạnh phải rào: viết chu vi

2 x + 2 y = 240

là đã rào luôn cạnh giáp sông và đáp số tụt xuống còn một nửa. Ngoài ra sách in chữ "thể tích" nhưng thửa ruộng là hình phẳng nên phải hiểu là diện tích.

1Cách 1. Đặt ẩn cho cạnh vuông góc với bờ sông rồi khảo sát hàm diện tích

Định hướng. Hai cạnh vuông góc với bờ sông bằng nhau nên chỉ cần một ẩn là viết được cạnh còn lại theo lượng hàng rào. Gọi $x$ (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với bờ sông, điều kiện $0 < x < 120$ .

Cạnh song song với bờ sông:

240 - 2 x

S (x) = x (240 - 2 x) = - 2 x^{2} + 240 x

0 < x < 120

S^{'} (x) = - 4 x + 240

S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 60

S^{'} (x) > 0

trên

(0; 60)

S^{'} (x) < 0

trên

(60; 120)

S (60) = 60 \cdot (240 - 120) = 60 \cdot 120 = 7200

S (0) = 0

S (120) = 0

Vậy diện tích lớn nhất của thửa ruộng bằng $7200$ m², đạt được khi hai cạnh vuông góc với bờ sông dài $60$ m và cạnh song song với bờ sông dài $120$ m.

2Cách 2. Đưa tam thức về dạng bình phương đủ, đọc ngay giá trị lớn nhất

Định hướng. Diện tích là một tam thức bậc hai có hệ số bậc hai âm, chỉ cần tách thành một bình phương trừ đi là giá trị lớn nhất hiện ra mà không cần đạo hàm.

S = - 2 x^{2} + 240 x = - 2 (x^{2} - 120 x)

= - 2 (x^{2} - 2 \cdot 60 x + 6 0^{2}) + 2 \cdot 6 0^{2}

= - 2 (x - 60)^{2} + 7200

- 2 (x - 60)^{2} \leq 0 \Rightarrow S \leq 7200

S = 7200 \Leftrightarrow x = 60 \Rightarrow 240 - 2 x = 120

Vậy $max S = 7200$ (m²) tại $x = 60$ , thửa ruộng có kích thước $60$ m và $120$ m.

3Cách 3. Dùng AM-GM cho tích hai lượng có tổng không đổi

Định hướng. Nhân đôi cạnh $x$ để hai thừa số có tổng đúng bằng $240$ — tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai thừa số bằng nhau.

S = x (240 - 2 x) = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot (240 - 2 x)

\leq \frac{1}{2} (\frac{2 x + 240 - 2 x}{2})^{2} = \frac{1}{2} \cdot 12 0^{2}

= 7200

S = 7200 \Leftrightarrow 2 x = 240 - 2 x \Leftrightarrow x = 60

Vậy $S \leq 7200$ và dấu bằng đạt tại $x = 60$ , nên diện tích lớn nhất là $7200$ m².

Nhận xét. Cách này lộ rõ bản chất: tổng $2 x$ và $240 - 2 x$ luôn bằng $240$ , nên ruộng rộng nhất khi phần hàng rào dành cho hai cạnh bên đúng bằng phần dành cho cạnh song song với sông — mỗi phần $120$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ ba dòng biến đổi, không phải đạo hàm cũng không phải lập bảng biến thiên nên hầu như không sai dấu. Cách 1 dài hơn nhưng là khuôn chuẩn, phải thuộc để dùng khi hàm không còn là bậc hai.

Đáp số. Diện tích lớn nhất bằng

7200

m², khi hai cạnh vuông góc với bờ sông dài

60

m và cạnh song song với bờ sông dài

120

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là rào đủ bốn cạnh: viết

2 x + 2 y = 240

nên

y = 120 - x

, được

S = x (120 - x) \leq 3600

m² — đúng một nửa đáp số thật, chỉ vì quên rằng cạnh giáp sông không phải rào. Sai lầm thứ hai là bỏ điều kiện

0 < x < 120

rồi nhận thêm

x = 120

(khi đó cạnh còn lại bằng

0

, không còn là thửa ruộng).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hàng rào dài

a

mét rào ba cạnh cho

S_{m a x} = \frac{a ^{2}}{8}

tại

x = \frac{a}{4}

; thử tiếp bài khó hơn khi bác Hưng ngăn thửa ruộng thành hai ô bằng nhau bởi một hàng rào song song với hai cạnh bên — ràng buộc thành

3 x + y = 240

và diện tích lớn nhất chỉ còn

4800

m².

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.42★★★Trang 31— Tốc độ biến thiên lớn nhất của mô hình logistic

Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic

R = R (x) = \frac{5000}{1 + 5 e ^{- x}}

x \geq 0

, trong đó thời gian

x

được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

Kiến thức cần nhớ

Tốc độ biến thiên của $R$ theo $x$ là $R^{'} (x)$ ; tốc độ đó lớn nhất tại điểm mà $R^{''} (x) = 0$ và $R^{''}$ đổi dấu từ dương sang âm.
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Hàm logistic $R = \frac{L}{1 + A e ^{- k x}}$ luôn thoả mãn $R^{'} = \frac{k}{L} R (L - R)$ ; tốc độ lớn nhất khi $R = \frac{L}{2}$ .
AM-GM cho hai số dương: $u + v \geq 2 uv$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chữ "tốc độ bán hàng" chính là đạo hàm

R^{'} (x)

chứ không phải doanh số

R (x)

— dấu hiệu bắt buộc phải tìm cực đại của

R^{'}

, tức là phải làm việc tới đạo hàm cấp hai. Hàm đã cho là logistic nên

R

luôn tăng và bị chặn bởi mức bão hoà

5000

, vì thế điểm phải tìm là điểm uốn của đồ thị. Bẫy lớn nhất là nhầm "tốc độ tối đa" với "doanh số tối đa" rồi đi giải

R^{'} (x) = 0

: phương trình này vô nghiệm vì tử số của

R^{'}

luôn dương, và lời giải sẽ bế tắc ngay từ dòng đầu.

1Cách 1. Lập hàm tốc độ rồi khảo sát dấu của đạo hàm cấp hai

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với $e^{x}$ để hết lũy thừa âm, khi đó hai lần lấy đạo hàm thương đều gọn và dấu của $R^{''}$ đọc được ngay từ nhân tử $5 - e^{x}$ .

R (x) = \frac{5000}{1 + 5 e ^{- x}} = \frac{5000 e ^{x}}{e ^{x} + 5}

R^{'} (x) = \frac{5000 e ^{x} ( e ^{x} + 5 ) - 5000 e ^{x} \cdot e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}} = \frac{25000 e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}}

R^{''} (x) = 25000 \cdot \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 5 ) ^{2} - e ^{x} \cdot 2 ( e ^{x} + 5 ) e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{4}} = \frac{25000 e ^{x} ( 5 - e ^{x} )}{( e ^{x} + 5 ) ^{3}}

R^{''} (x) = 0 \Leftrightarrow e^{x} = 5 \Leftrightarrow x = ln 5

R^{''} (x) > 0

trên

[0; ln 5)

R^{''} (x) < 0

trên

(ln 5; + \infty)

R^{'} (ln 5) = \frac{25000 \cdot 5}{( 5 + 5 ) ^{2}} = \frac{125000}{100} = 1250

Vậy tốc độ bán hàng đạt lớn nhất tại $x = ln 5 \approx 1, 61$ (năm), tức trong năm thứ hai, với tốc độ $1250$ đơn vị doanh số mỗi năm.

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị logistic R(x) = 5000/(1+5e⁻ˣ) với tiệm cận ngang R=5000, điểm uốn tại x=ln5

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = e^{- x}

rồi chặn mẫu số bằng AM-GM

Định hướng. Viết lại $R^{'}$ theo $t = e^{- x}$ thì tử chỉ còn bậc nhất; chia cả tử lẫn mẫu cho $t$ để mẫu thành tổng của hai lượng có tích không đổi, chặn được ngay.

R^{'} (x) = \frac{25000 e ^{- x}}{( 1 + 5 e ^{- x} ) ^{2}}

Đặt

t = e^{- x}

với

0 < t \leq 1

R^{'} = \frac{25000 t}{( 1 + 5 t ) ^{2}} = \frac{25000}{\frac{( 1 + 5 t ) ^{2}}{t}} = \frac{25000}{\frac{1}{t} + 10 + 25 t}

\frac{1}{t} + 25 t \geq 2 \frac{1}{t} \cdot 25 t = 10

R^{'} \leq \frac{25000}{10 + 10} = 1250

R^{'} = 1250 \Leftrightarrow \frac{1}{t} = 25 t \Leftrightarrow t = \frac{1}{5} \Leftrightarrow e^{- x} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow x = ln 5

Vậy $max R^{'} = 1250$ tại $x = ln 5 \approx 1, 61$ năm, tức trong năm thứ hai.

3Cách 3. Dùng hệ thức logistic

R^{'} = \frac{R ( 5000 - R )}{5000}

, quy về tích hai số có tổng không đổi

Định hướng. Rút $5 e^{- x}$ theo chính $R$ thì tốc độ trở thành tích của $R$ và $5000 - R$ — hai lượng có tổng luôn bằng $5000$ , nên tích lớn nhất khi chúng bằng nhau.

R = \frac{5000}{1 + 5 e ^{- x}} \Rightarrow 1 + 5 e^{- x} = \frac{5000}{R} \Rightarrow 5 e^{- x} = \frac{5000 - R}{R}

R^{'} = \frac{5000 \cdot 5 e ^{- x}}{( 1 + 5 e ^{- x} ) ^{2}} = \frac{5000 \cdot \frac{5000 - R}{R}}{( \frac{5000}{R} ) ^{2}} = \frac{R ( 5000 - R )}{5000}

R (5000 - R) \leq (\frac{R + 5000 - R}{2})^{2} = 250 0^{2}

R^{'} \leq \frac{250 0 ^{2}}{5000} = 1250

R^{'} = 1250 \Leftrightarrow R = 2500

\frac{5000}{1 + 5 e ^{- x}} = 2500 \Leftrightarrow 1 + 5 e^{- x} = 2 \Leftrightarrow e^{- x} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow x = ln 5

Vậy tốc độ bán hàng lớn nhất bằng $1250$ đơn vị doanh số mỗi năm, xảy ra tại $x = ln 5 \approx 1, 61$ năm — tức trong năm thứ hai.

Nhận xét. Cách này nói rõ ý nghĩa kinh tế: hàng bán chạy nhất đúng lúc doanh số đạt một nửa mức bão hoà $5000$ . Đó là đặc trưng chung của mọi mô hình logistic, không phụ thuộc các hằng số cụ thể trong công thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần nhớ tốc độ của mô hình logistic lớn nhất khi

R

bằng nửa mức bão hoà, thay số hai dòng là ra

x = ln 5

. Cách 1 tuy chuẩn mực nhưng phải rút gọn

(e^{x} + 5)^{3}

ở đạo hàm cấp hai, chỗ mất điểm nhiều nhất.

Đáp số. Tốc độ bán hàng lớn nhất tại

x = ln 5 \approx 1, 61

năm, tức trong năm thứ hai; khi đó tốc độ bằng

1250

đơn vị doanh số mỗi năm và doanh số đạt

R = 2500

(một nửa mức bão hoà

5000

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là giải

R^{'} (x) = 0

: vì

R^{'} (x) = \frac{25000 e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}}

có tử luôn dương nên phương trình vô nghiệm, học sinh vội kết luận "không có năm nào" — trong khi đề hỏi cực đại của

R^{'}

chứ không phải của

R

. Lỗi thứ hai là được

x = ln 5 \approx 1, 61

rồi làm tròn xuống thành "năm thứ nhất"; mốc

1, 61

nằm giữa

1

và

2

nên phải trả lời năm thứ hai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho

R = \frac{L}{1 + A e ^{- k x}}

: tốc độ lớn nhất bằng

\frac{k L}{4}

, đạt tại

x = \frac{ln A}{k}

khi

R = \frac{L}{2}

; thử tiếp câu khó hơn cùng dữ kiện — sau bao lâu doanh số đạt

90%

mức bão hoà (đáp số

x = ln 45 \approx 3, 81

năm).

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.43★★★Trang 31— Tối thiểu diện tích toàn phần của hình hộp khi thể tích cho trước

Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là

2000

cm³. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

Kiến thức cần nhớ

Hình hộp chữ nhật đáy vuông cạnh $x$ , chiều cao $h$ : thể tích $V = x^{2} h$ , diện tích toàn phần $S = 2 x^{2} + 4 x h$ .
AM-GM ba số dương: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
Muốn AM-GM khử hết biến thì phải tách sao cho TÍCH ba hạng tử là hằng số.
Trong mọi hình hộp chữ nhật cùng thể tích $V$ , hình lập phương có diện tích toàn phần nhỏ nhất và bằng $6 3 V^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.44★★★★Trang 31— Tối ưu thời gian di chuyển qua hai chặng có vận tốc khác nhau

Một hòn đảo nhỏ cách điểm

P

trên bờ biển khoảng

3

km, một thị trấn ở điểm

A

cách điểm

P

một khoảng

12

km. Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc

2, 5

km/h và đi bộ với vận tốc

4

km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn

P A

để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Thời gian đi mỗi chặng bằng quãng đường chia cho vận tốc; tổng thời gian là tổng thời gian hai chặng.
Nếu $I P ⊥ P A$ và $P M = x$ thì $I M = 9 + x^{2}$ theo định lí Pythagoras.
$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , do đó $(9 + x^{2})^{'} = \frac{x}{9 + x ^{2}}$ .
Bất đẳng thức Bunhiacopxki: $b u + c v \leq b^{2} + c^{2} u^{2} + v^{2}$ , dấu bằng khi $\frac{u}{b} = \frac{v}{c}$ .
Muốn tìm giá trị nhỏ nhất trên một ĐOẠN thì phải so giá trị tại điểm dừng với giá trị tại hai đầu mút.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.45★★★Trang 32— Chứng minh điều kiện tối ưu của hình trụ có thể tích cho trước

Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích

V

cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Kiến thức cần nhớ

Hình trụ bán kính đáy $r$ , chiều cao $h$ : thể tích $V = π r^{2} h$ , diện tích toàn phần $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ (hai đáy và mặt xung quanh).
Với $V$ cố định, $h = \frac{V}{π r ^{2}}$ nên $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{2 V}{r}$ với $r > 0$ .
AM-GM ba số dương: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
Khi chỉ cần so sánh TỈ LỆ giữa hai kích thước, nên chọn ẩn là chính tỉ số đó để tham số $V$ chỉ còn là thừa số hằng, không ảnh hưởng vị trí cực tiểu.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.46★★★Trang 32— Tính đơn điệu và tốc độ thay đổi của hàm số thực tiễn chứa căn bậc hai

Ở

0^{\circ}

C, sự mất nhiệt

H

(tính bằng Kcal/m

^{2}

h, ở đây Kcal là kilocalories và

1

Kcal

= 1000

calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hoá bằng công thức

H = 33 (10 v - v + 10, 45)

, trong đó

v

là tốc độ gió (tính bằng m/s). a) Xét tính đơn điệu của hàm số

H

và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được. b) Tìm tốc độ thay đổi của

H

khi

v = 2

m/s và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.

Kiến thức cần nhớ

Đạo hàm của căn bậc hai: $(v)^{'} = \frac{1}{2 v}$ với $v > 0$ .
Hàm số đồng biến trên khoảng mà đạo hàm dương, nghịch biến trên khoảng mà đạo hàm âm.
Tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $H$ theo $v$ tại $v_{0}$ chính là $H^{'} (v_{0})$ .
Hằng đẳng thức $- t^{2} + 10 t = - (t - 5)^{2} + 25$ dùng để tìm giá trị lớn nhất mà không cần đạo hàm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.47★★Trang 32— Doanh thu biên và lượng doanh thu tăng thêm của hàm doanh thu bậc ba

Doanh thu

R

(USD) từ việc cho thuê

x

căn hộ có thể được mô hình hoá bằng hàm số

R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})

. a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tìm doanh thu biên khi

x = 14

và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được. c) Tìm doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ

14

lên

15

rồi so sánh với kết quả câu b).

Kiến thức cần nhớ

Doanh thu biên tại mức $x$ là đạo hàm $R^{'} (x)$ của hàm doanh thu.
$R^{'} (x_{0})$ xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi $x$ tăng từ $x_{0}$ lên $x_{0} + 1$ .
Đạo hàm của tích: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ với $n$ nguyên dương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.48★★★Trang 32— Cực tiểu hoá chi phí trung bình của hàm chi phí bậc hai

Một công ty ước tính rằng chi phí

C

(USD) để sản xuất

x

đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hoá bằng công thức

C = 800 + 0, 04 x + 0, 0002 x^{2}

. Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình

\overline{C} (x) = \frac{C ( x )}{x}

cho mỗi đơn vị hàng hoá là nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Chi phí trung bình mỗi đơn vị là $\overline{C} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ với $x > 0$ .
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: $u + v \geq 2 uv$ , dấu bằng khi $u = v$ .
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
Chi phí biên là $C^{'} (x)$ , tức đạo hàm của hàm chi phí.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.49★★★★Trang 32— Chứng minh chi phí biên bằng chi phí trung bình tại điểm tối ưu và vận dụng

a) Nếu

C (x)

(USD) là chi phí sản xuất

x

đơn vị hàng hoá thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là

\overline{C} (x) = \frac{C ( x )}{x}

. Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình. b) Nếu

C (x) = 16000 + 200 x + 4 x^{3/2}

, hãy tìm: (i) chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất

100

đơn vị hàng hoá; (ii) mức sản xuất mà khi đó chi phí trung bình sẽ giảm thiểu; (iii) chi phí trung bình nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Chi phí biên là $C^{'} (x)$ , chi phí trung bình là $\overline{C} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .
Đạo hàm thương: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Nếu hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x_{0}$ nằm trong khoảng xác định và có đạo hàm tại đó thì $f^{'} (x_{0}) = 0$ .
Cô-si cho ba số dương: $u + v + w \geq 3 3 uv w$ , dấu bằng khi $u = v = w$ .
$(x^{3/2})^{'} = \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{3}{2} x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.50★★★★Trang 33— Tối đa hoá lợi nhuận, quan hệ giữa doanh thu biên và chi phí biên

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận

P (x)

là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên. b) Cho

C (x) = 16000 + 500 x - 1, 6 x^{2} + 0, 004 x^{3}

là hàm chi phí và

p (x) = 1700 - 7 x

là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hoá lợi nhuận.

Kiến thức cần nhớ

Hàm cầu $p (x)$ là giá bán mỗi đơn vị, doanh thu là $R (x) = x \cdot p (x)$ , lợi nhuận là $P (x) = R (x) - C (x)$ .
Doanh thu biên là $R^{'} (x)$ , chi phí biên là $C^{'} (x)$ .
Điều kiện cần của cực trị: nếu $P$ đạt cực đại tại $x_{0}$ nằm trong khoảng xác định và có đạo hàm tại đó thì $P^{'} (x_{0}) = 0$ .
Với đa thức bậc ba, nếu $P^{'} (x_{0}) = 0$ thì $P (x) - P (x_{0})$ chia hết cho $(x - x_{0})^{2}$ .