Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 6. Vectơ trong không gian

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang43–46 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★Trang 43— Nhận dạng vectơ, giá của vectơ và vectơ đối trong hình chóp

Bài 2.1 (trang 43). Cho hình chóp tứ giác

S . A B C D

. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập

{S; A; B; C; D}

:
a) Những vectơ nào có điểm đầu là

S

?
b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng

(S A B)

?
c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ

B C

Kiến thức cần nhớ

Vectơ được xác định bởi thứ tự điểm đầu rồi điểm cuối, do đó $A B$ và $B A$ là hai vectơ khác nhau.
Giá của vectơ $A B$ là đường thẳng $A B$ ; giá đó nằm trong một mặt phẳng khi cả hai điểm $A$ , $B$ cùng thuộc mặt phẳng ấy.
Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài; vectơ đối của $B C$ luôn có $C B$ .
Số vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt lấy từ $n$ điểm là $n (n - 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một tập hữu hạn 5 điểm và hỏi "những vectơ nào", đó là dấu hiệu của bài liệt kê có điều kiện chứ không phải bài tính toán. Hướng an toàn nhất là dịch từng yêu cầu thành một điều kiện về cặp điểm đầu – điểm cuối rồi quét hết tập, vì làm theo trí nhớ rất dễ bỏ sót vectơ ngược chiều. Bẫy lớn nhất nằm ở ý c): đề chỉ nói đáy là tứ giác chứ không nói hình bình hành, nên không được phép mượn quan hệ song song của hình bình hành.

1Cách 1. Dịch từng yêu cầu thành điều kiện về cặp điểm rồi liệt kê

Định hướng. Mỗi vectơ ứng với một cặp điểm CÓ THỨ TỰ, nên chỉ cần cố định điểm đầu rồi cho điểm cuối chạy hết các khả năng còn lại.

a) Điểm đầu là

S

, điểm cuối lấy trong

{A; B; C; D}

S A, S B, S C, S D

(S A B) \cap (A B C D) = A B

và

C \in / A B, D \in / A B

{S; A; B; C; D} \cap (S A B) = {S; A; B}

S A, A S, S B, B S, A B, B A

C B = - B C

Vậy a) có $4$ vectơ $S A, S B, S C, S D$ ; b) có $6$ vectơ $S A, A S, S B, B S, A B, B A$ ; c) vectơ đối của $B C$ là $C B$ .

2Cách 2. Đếm trước bằng công thức rồi đối chiếu với danh sách để chống sót

Định hướng. Biết trước số lượng phải có thì lúc liệt kê xong sẽ tự kiểm tra được ngay là thừa hay thiếu.

a) điểm đầu cố định là

S

, điểm cuối có

5 - 1 = 4

cách chọn

số vectơ

= 4

, khớp với danh sách

S A, S B, S C, S D

b) trong

(S A B)

có đúng

3

điểm của tập, số vectơ

= 3 \cdot (3 - 1) = 6

số vectơ

= 6

, khớp với danh sách

S A, A S, S B, B S, A B, B A

c) mỗi vectơ có đúng một vectơ đối trong tập khi và chỉ khi tồn tại cặp điểm

(X; Y)

với

X Y = - B C

C B = - B C

, số vectơ

= 1

Vậy ba ý lần lượt có $4$ , $6$ và $1$ vectơ, đúng bằng các danh sách đã liệt kê.

3Cách 3. Quy về giá của vectơ — lọc theo đường thẳng và mặt phẳng

Định hướng. Giá là một ĐƯỜNG THẲNG, mà đường thẳng nằm trong mặt phẳng khi có hai điểm chung với mặt phẳng đó, nên ý b) chỉ còn là bài đếm đường thẳng.

các đường thẳng nối hai điểm của tập và nằm trong

(S A B)

là

S A, S B, A B

mỗi đường thẳng mang đúng

2

vectơ ngược hướng nhau

số vectơ

= 3 \cdot 2 = 6

S A, A S, S B, B S, A B, B A

c) vectơ đối của

B C

phải có giá song song hoặc trùng

B C

và độ dài bằng

B C

trong tứ giác

A B C D

tuỳ ý không có cạnh nào song song và bằng

B C

, nên chỉ còn giá trùng

B C

C B = - B C

Vậy ý b) có $6$ vectơ và ý c) chỉ có duy nhất $C B$ .

Nhận xét. Cách nhìn theo giá trả lời ý b) chỉ bằng một phép đếm đường thẳng, đồng thời giải thích luôn vì sao ý c) không có thêm đáp án nào khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý b) và ý c): đếm ba đường thẳng rồi nhân đôi nhanh hơn hẳn việc dò từng cặp điểm, còn ý c) thì lập luận theo giá cho thấy ngay là không thể có đáp án thứ hai. Cách 1 dễ nghĩ nhưng rất hay sót các vectơ ngược chiều.

Đáp số. a)

S A, S B, S C, S D

(bốn vectơ). b)

S A, A S, S B, B S, A B, B A

(sáu vectơ). c)

C B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là ở ý b) chỉ kể

S A, S B, A B

mà quên ba vectơ ngược chiều

A S, B S, B A

— trả lời

3

thay vì

6

. Sai lầm thứ hai là ở ý c) trả lời thêm

D A

vì tưởng

A B C D

là hình bình hành; đề chỉ nói tứ giác, chẳng hạn với

A B C D

là hình thang có

A D

không song song

B C

thì

D A

không phải vectơ đối của

B C

. Sai lầm thứ ba là nhầm giá của

A S

không nằm trong

(S A B)

, trong khi giá của nó chính là đường thẳng

S A

🚀 Mở rộng. Nếu đáy

A B C D

là hình bình hành thì

A D = B C

nên câu c) có thêm đáp án

D A

; tổng quát hơn, với hình chóp

n

giác

S . A_{1} A_{2} \dots A_{n}

thì số vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập

n + 1

đỉnh là

(n + 1) n

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 44— Cùng phương, bằng nhau, đối nhau của vectơ trong hình hộp

Bài 2.2 (trang 44). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của hình hộp:
a) Vectơ nào cùng phương với vectơ

A C

?
b) Vectơ nào bằng vectơ

A D^{'}

?
c) Những vectơ nào là vectơ đối của vectơ

A A^{'}

Kiến thức cần nhớ

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; trong hình hộp, $X Y = Z T$ khi $X Y T Z$ là hình bình hành.
Sáu mặt của hình hộp đều là hình bình hành, do đó $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
Mặt chéo $A C C^{'} A^{'}$ của hình hộp cũng là một hình bình hành, nên $A C = A^{'} C^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba yêu cầu đi từ điều kiện lỏng nhất đến chặt nhất: cùng phương chỉ đòi giá song song hoặc trùng, bằng nhau đòi thêm cùng hướng và cùng độ dài, còn đối nhau đòi ngược hướng và cùng độ dài. Vì hình hộp có sáu mặt đều là hình bình hành nên mọi quan hệ song song đều đọc được trực tiếp từ các mặt, không cần tính toán. Bẫy của đề là chữ "hai đỉnh phân biệt của hình hộp": chỉ được lấy tám đỉnh, nên đường chéo

A C

chỉ có bạn đồng phương là

A^{'} C^{'}

chứ không có đường chéo nào khác.

1Cách 1. Đọc trực tiếp từ các mặt hình bình hành của hình hộp

Định hướng. Mọi quan hệ cần tìm đều nằm sẵn trong các hình bình hành của hình hộp, chỉ cần gọi đúng tên mặt chứa chúng.

A A^{'} C^{'} C

là hình bình hành nên

A C ∥ A^{'} C^{'}

C A, A^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}

A B B^{'} A^{'}

và

D C C^{'} D^{'}

là hình bình hành nên

A B = D^{'} C^{'}

A B C^{'} D^{'}

là hình bình hành, suy ra

A D^{'} = B C^{'}

A B B^{'} A^{'}, B C C^{'} B^{'}, C D D^{'} C^{'}

là hình bình hành nên

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}

A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D

Vậy a) $C A, A^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}$ ; b) $B C^{'}$ ; c) $A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D$ .

2Cách 2. Dùng phép tịnh tiến theo vectơ

A B

và

A A^{'}

Định hướng. Hình hộp sinh ra từ ba phép tịnh tiến theo $A B, A D, A A^{'}$ ; vectơ nào là ảnh của $A D^{'}$ qua một phép tịnh tiến thì bằng chính nó.

tịnh tiến theo

A B

biến

A \mapsto B

và

D^{'} \mapsto C^{'}

A D^{'} = B C^{'}

tịnh tiến theo

A D

biến

A \mapsto D

và

D^{'} \mapsto

điểm ngoài hình hộp, nên không sinh thêm vectơ nào

tịnh tiến theo

A B, A D, A B + A D

biến

A A^{'}

lần lượt thành

B B^{'}, D D^{'}, C C^{'}

- A A^{'} = A^{'} A = B^{'} B = C^{'} C = D^{'} D

tịnh tiến theo

A A^{'}

biến

A C

thành

A^{'} C^{'}

Vậy ý b) chỉ có duy nhất $B C^{'}$ , còn ý c) có bốn vectơ $A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá — quét toàn bộ

56

vectơ, chắc chắn không sót

Định hướng. Đặt hình hộp vào hệ toạ độ afin sinh bởi ba cạnh chung đỉnh $A$ ; mỗi đỉnh có một bộ ba toạ độ $0$ hoặc $1$ , việc so sánh vectơ trở thành so sánh bộ ba số.

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0)

A^{'} (0; 0; 1), B^{'} (1; 0; 1), C^{'} (1; 1; 1), D^{'} (0; 1; 1)

A C = (1; 1; 0)

, các vectơ tỉ lệ với nó là

(- 1; - 1; 0)

và

(1; 1; 0)

C A = (- 1; - 1; 0), A^{'} C^{'} = (1; 1; 0), C^{'} A^{'} = (- 1; - 1; 0)

A D^{'} = (0; 1; 1)

và

B C^{'} = (1; 1; 1) - (1; 0; 0) = (0; 1; 1)

A A^{'} = (0; 0; 1)

, các vectơ bằng

(0; 0; - 1)

là

A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên và không còn vectơ nào khác.

Nhận xét. Toạ độ afin chỉ cần ba cạnh chung đỉnh làm cơ sở, không đòi hỏi hình hộp phải là hình hộp chữ nhật, nên dùng được cho mọi hình hộp xiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hình gọi tên các mặt hình bình hành là ra ngay cả ba ý, không phải dựng hệ toạ độ. Cách 3 nên để dành khi cần chắc chắn tuyệt đối là không bỏ sót vectơ nào.

Đáp số. a)

C A, A^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}

. b)

B C^{'}

. c)

A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) nhiều học sinh kể thêm

B D

hoặc

B^{'} D^{'}

vì thấy chúng cũng là đường chéo mặt đáy, nhưng

B D

và

A C

cắt nhau nên hai vectơ này không cùng phương. Ở ý b) hay trả lời thêm

B C^{'}

và

D^{'} A

cùng lúc, trong khi

D^{'} A = - A D^{'}

là vectơ ĐỐI chứ không bằng. Ở ý c) thường chỉ trả lời

A^{'} A

mà bỏ ba vectơ còn lại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong hình hộp, mỗi vectơ nối hai đỉnh thuộc một cạnh có đúng bốn vectơ bằng nó (kể cả chính nó), còn mỗi vectơ đường chéo mặt chỉ có hai; thử đếm xem trong

8 \cdot 7 = 56

vectơ nối hai đỉnh của hình hộp có bao nhiêu lớp vectơ bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 44— Tính độ dài vectơ trong hình hộp chữ nhật

Bài 2.3 (trang 44). Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = A D = 1

và

A A^{'} = 2

. Tính độ dài của các vectơ sau:
a)

B D

;
b)

C D^{'}

;
c)

A C^{'}

Kiến thức cần nhớ

$X Y = X Y$ — độ dài vectơ bằng khoảng cách giữa hai đầu mút.
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a$ , $b$ , $c$ dài $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
$u^{2} = u \cdot u$ , và nếu $u ⊥ v$ thì $u \cdot v = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★Trang 44— Chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc ba điểm và quy tắc hiệu

Bài 2.4 (trang 44). Trong không gian, cho năm điểm phân biệt

A

B

C

D

E

. Chứng minh rằng:
a)

A B + B C + C D = A E - D E

;
b)

A B + D E = A E - B D

;
c)

B C + D E = B E - C D

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $X Y + Y Z = X Z$ với mọi $X$ , $Y$ , $Z$ .
Quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $O Y - O X = X Y$ .
Hai vectơ chung điểm cuối: $X Z - Y Z = X Y$ .
$X Y = - Y X$ , và với một điểm $O$ tuỳ ý thì $X Y = O Y - O X$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 44— Phân tích một vectơ theo các vectơ cạnh của tứ diện

Bài 2.5 (trang 44). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

E

F

là các điểm lần lượt thuộc các cạnh

A B

C D

sao cho

A E = \frac{1}{3} A B

và

C F = \frac{1}{3} C D

. Chứng minh rằng:
a)

E F = A D - \frac{1}{3} A B - \frac{2}{3} C D

;
b)

E F = B C + \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} C D

;
c)

E F = \frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} B C + \frac{1}{3} A B

Kiến thức cần nhớ

$A E = \frac{1}{3} A B$ và $E$ thuộc cạnh $A B$ nên $A E = \frac{1}{3} A B$ , kéo theo $E B = \frac{2}{3} A B$ .
$C F = \frac{1}{3} C D$ và $F$ thuộc cạnh $C D$ nên $C F = \frac{1}{3} C D$ , kéo theo $D F = - \frac{2}{3} C D$ .
Quy tắc ba điểm cho phép chen một điểm bất kì vào giữa: $E F = E X + X F$ .
Ba vectơ $A B, A C, A D$ của tứ diện không đồng phẳng nên mọi vectơ trong không gian phân tích được duy nhất theo chúng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★★Trang 44— Vectơ nối hai trọng tâm trong tứ diện

Bài 2.6 (trang 44). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

B D

. Gọi

E

F

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

A B C

A B D

. Chứng minh rằng:
a)

E F = \frac{2}{3} M N

;
b)

E F = \frac{1}{3} C D

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm $G$ của tam giác $X Y Z$ nằm trên trung tuyến $X T$ với $X G = \frac{2}{3} X T$ , trong đó $T$ là trung điểm $Y Z$ .
Với điểm $O$ bất kì và $G$ là trọng tâm tam giác $X Y Z$ : $O G = \frac{1}{3} (O X + O Y + O Z)$ .
Đường trung bình: $M$ , $N$ là trung điểm $B C$ , $B D$ thì $M N = \frac{1}{2} C D$ .
Quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $E F = A F - A E$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★★Trang 44— Vectơ độ dịch chuyển trong bài toán thực tiễn

Bài 2.7 (trang 44). Một toà chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng

10

lên tầng

26

của toà nhà, sau đó di chuyển từ tầng

26

xuống tầng

18

. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng, độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

Kiến thức cần nhớ

Vectơ độ dịch chuyển của một vật có điểm đầu là vị trí ban đầu, điểm cuối là vị trí sau cùng.
Hai vectơ cùng phương khi giá song song hoặc trùng nhau; ở đây cả hai giá đều là đường thẳng đứng của trục thang máy.
$v = k u$ với $k < 0$ diễn tả hai vectơ ngược hướng và $v = ∣ k ∣ \cdot u$ .
Tổng hai vectơ độ dịch chuyển liên tiếp bằng vectơ độ dịch chuyển từ vị trí đầu tới vị trí cuối.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.8★★★Trang 45— Vectơ lực và điều kiện cân bằng của vật rắn

Bài 2.8 (trang 45). Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ

u

) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ

x

y

z

). Hãy giải thích vì sao

x = y = z = - \frac{1}{3} u

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện để một vật rắn đứng yên là tổng các lực tác dụng lên nó bằng $0$ .
Hai vectơ cùng phương, ngược hướng, cùng độ dài thì đối nhau: $p = - q$ .
$x + y + z = 3 x$ khi ba vectơ bằng nhau.
Nếu một phép biến hình bảo toàn toàn bộ hệ vật và hoán vị ba lực cho nhau thì ba lực đó phải bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.9★★★Trang 45— Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng của hình hộp

Bài 2.9 (trang 45). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Đặt

A A^{'} = x

A B = y

và

A C = z

. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ

x

y

z

:
a)

A D

;
b)

A C^{'}

;
c)

B D^{'}

Kiến thức cần nhớ

Ba vectơ $x, y, z$ không đồng phẳng vì $A A^{'}$ không nằm trong mặt phẳng đáy chứa $A B, A C$ .
Quy tắc hình bình hành ở mặt đáy: $A C = A B + A D$ .
Quy tắc hình hộp: $A C^{'} = A B + A D + A A^{'}$ .
Các cạnh bên bằng nhau: $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.10★★★Trang 45— Đẳng thức vectơ giữa hai hình bình hành trong không gian

Bài 2.10 (trang 45). Trong không gian, cho hai hình bình hành

A B C D

và

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Chứng minh rằng:
a)

B B^{'} + D D^{'} = A B^{'} + A D^{'} - A B - A D

;
b)

B B^{'} + D D^{'} = C C^{'}

.
(Lưu ý: vế phải của ý b) trong sách in thiếu số hạng $A A^{'}$ — đẳng thức đúng phải là $B B^{'} + D D^{'} = A A^{'} + C C^{'}$ ; phần lời giải dưới đây chứng minh đẳng thức đúng và chỉ ra phản ví dụ cho đẳng thức in trong sách.)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $X Y = A Y - A X$ với $A$ tuỳ ý.
Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành khi và chỉ khi $A B + A D = A C$ , cũng tương đương với việc hai đường chéo $A C$ , $B D$ có chung trung điểm.
Với $O$ là trung điểm $A C$ và cũng là trung điểm $B D$ : $X A + X C = X B + X D = 2 X O$ với mọi điểm $X$ .
Quy tắc hình bình hành chỉ áp dụng được khi điểm gốc là một đỉnh của chính hình bình hành đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.11★★★Trang 45— Góc giữa hai vectơ và tích vô hướng trong lăng trụ đứng đáy hình thoi

Bài 2.11 (trang 45). Cho hình lăng trụ đứng

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Biết rằng

A A^{'} = 2

và tứ giác

A B C D

là hình thoi có

A B = 1

và

A B C = 6 0^{\circ}

, hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a)

A B

và

A^{'} D^{'}

;
b)

A A^{'}

và

B D

;
c)

A B

và

A^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = u \cdot v \cdot cos (u, v)$ .
Góc giữa hai vectơ được đo sau khi đưa chúng về CHUNG GỐC, nhận giá trị từ $0^{\circ}$ đến $18 0^{\circ}$ .
Trong lăng trụ đứng, các mặt bên là hình chữ nhật nên $A A^{'} ⊥$ mọi vectơ nằm trong mặt đáy, và $A^{'} D^{'} = A D$ , $A^{'} C^{'} = A C$ .
Hình thoi cạnh $1$ có $A B C = 6 0^{\circ}$ thì tam giác $A B C$ đều, do đó $A C = 1$ và $B A D = 12 0^{\circ}$ , còn $B D = 3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.12★★Trang 46— Khai triển tích vô hướng của tổ hợp hai vectơ

Bài 2.12 (trang 46). Trong không gian, cho hai vectơ

a

và

b

thoả mãn

a = 1

b = 2

và

(a, b) = 4 5^{\circ}

. Tính các tích vô hướng sau:
a)

(a + b)^{2}

;
b)

(a + b) \cdot (a - b)

;
c)

(2 a - b) \cdot (a + 3 b)

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = u \cdot v \cdot cos (u, v)$ và $u^{2} = u^{2}$ .
Tích vô hướng có tính giao hoán và phân phối với phép cộng, nên khai triển được như nhân đa thức.
$(u + v)^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2}$ và $(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}$ .
$cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.13★★★Trang 46— Trọng tâm tứ diện và đẳng thức tổng bốn vectơ

Bài 2.13 (trang 46). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

P

Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

B C

C D

D A

. Gọi

G

là giao điểm của

M P

và

N Q

. Chứng minh rằng

G A + GB + GC + G D = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình: $M$ , $N$ là trung điểm $A B$ , $B C$ thì $M N = \frac{1}{2} A C$ .
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành; hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
$I$ là trung điểm $X Y$ khi và chỉ khi $I X + I Y = 0$ ; với điểm $O$ tuỳ ý thì $O X + O Y = 2 O I$ .
Điểm $G$ thoả $G A + GB + GC + G D = 0$ gọi là trọng tâm tứ diện $A B C D$ và là điểm duy nhất có tính chất đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.14★★★Trang 46— Tích vô hướng giữa các vectơ của hình lập phương

Bài 2.14 (trang 46). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài các cạnh bằng

a

. Tính các tích vô hướng sau theo

a

:
a)

A C \cdot B^{'} D^{'}

;
b)

B D \cdot B^{'} C^{'}

;
c)

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Trong hình lập phương, $A B = D C = A^{'} B^{'} = D^{'} C^{'}$ và tương tự cho các cạnh còn lại.
Ba vectơ $A B, A D, A A^{'}$ đôi một vuông góc và cùng có độ dài $a$ , nên mọi tích chéo giữa chúng bằng $0$ , còn bình phương mỗi vectơ bằng $a^{2}$ .
Hai đường chéo của một hình vuông vuông góc với nhau.
Trong hình vuông cạnh $a$ , góc giữa một cạnh và đường chéo bằng $4 5^{\circ}$ , độ dài đường chéo bằng $a 2$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.15★★★★Trang 46— Chứng minh vuông góc bằng tích vô hướng trong hình chóp đều

Bài 2.15 (trang 46). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A = S B = S C

và

A S B = B S C = C S A

. Chứng minh rằng

S A \cdot B C = S B \cdot A C = S C \cdot A B = 0

Kiến thức cần nhớ

$B C = S C - S B$ (quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc $S$ ).
$u \cdot v = u \cdot v \cdot cos (u, v)$ ; hai vectơ khác $0$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng $0$ .
Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh cho các cạnh tương ứng bằng nhau.
$u \cdot v = \frac{u ^{2} + v ^{2} - u - v ^{2}}{2}$ .