Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 6. Vectơ trong không gian

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★Trang 43— Nhận dạng vectơ, giá của vectơ và vectơ đối trong hình chóp

Bài 2.1 (trang 43). Cho hình chóp tứ giác

S . A B C D

. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập

{S; A; B; C; D}

:
a) Những vectơ nào có điểm đầu là

S

?
b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng

(S A B)

?
c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ

B C

Kiến thức cần nhớ

Vectơ được xác định bởi thứ tự điểm đầu rồi điểm cuối, do đó $A B$ và $B A$ là hai vectơ khác nhau.
Giá của vectơ $A B$ là đường thẳng $A B$ ; giá đó nằm trong một mặt phẳng khi cả hai điểm $A$ , $B$ cùng thuộc mặt phẳng ấy.
Hai vectơ đối nhau khi chúng ngược hướng và có cùng độ dài; vectơ đối của $B C$ luôn có $C B$ .
Số vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt lấy từ $n$ điểm là $n (n - 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một tập hữu hạn 5 điểm và hỏi "những vectơ nào", đó là dấu hiệu của bài liệt kê có điều kiện chứ không phải bài tính toán. Hướng an toàn nhất là dịch từng yêu cầu thành một điều kiện về cặp điểm đầu – điểm cuối rồi quét hết tập, vì làm theo trí nhớ rất dễ bỏ sót vectơ ngược chiều. Bẫy lớn nhất nằm ở ý c): đề chỉ nói đáy là tứ giác chứ không nói hình bình hành, nên không được phép mượn quan hệ song song của hình bình hành.

1Cách 1. Dịch từng yêu cầu thành điều kiện về cặp điểm rồi liệt kê

Định hướng. Mỗi vectơ ứng với một cặp điểm CÓ THỨ TỰ, nên chỉ cần cố định điểm đầu rồi cho điểm cuối chạy hết các khả năng còn lại.

a) Điểm đầu là

S

, điểm cuối lấy trong

{A; B; C; D}

S A, S B, S C, S D

(S A B) \cap (A B C D) = A B

và

C \in / A B, D \in / A B

{S; A; B; C; D} \cap (S A B) = {S; A; B}

S A, A S, S B, B S, A B, B A

C B = - B C

Vậy a) có $4$ vectơ $S A, S B, S C, S D$ ; b) có $6$ vectơ $S A, A S, S B, B S, A B, B A$ ; c) vectơ đối của $B C$ là $C B$ .

2Cách 2. Đếm trước bằng công thức rồi đối chiếu với danh sách để chống sót

Định hướng. Biết trước số lượng phải có thì lúc liệt kê xong sẽ tự kiểm tra được ngay là thừa hay thiếu.

a) điểm đầu cố định là

S

, điểm cuối có

5 - 1 = 4

cách chọn

số vectơ

= 4

, khớp với danh sách

S A, S B, S C, S D

b) trong

(S A B)

có đúng

3

điểm của tập, số vectơ

= 3 \cdot (3 - 1) = 6

số vectơ

= 6

, khớp với danh sách

S A, A S, S B, B S, A B, B A

c) mỗi vectơ có đúng một vectơ đối trong tập khi và chỉ khi tồn tại cặp điểm

(X; Y)

với

X Y = - B C

C B = - B C

, số vectơ

= 1

Vậy ba ý lần lượt có $4$ , $6$ và $1$ vectơ, đúng bằng các danh sách đã liệt kê.

3Cách 3. Quy về giá của vectơ — lọc theo đường thẳng và mặt phẳng

Định hướng. Giá là một ĐƯỜNG THẲNG, mà đường thẳng nằm trong mặt phẳng khi có hai điểm chung với mặt phẳng đó, nên ý b) chỉ còn là bài đếm đường thẳng.

các đường thẳng nối hai điểm của tập và nằm trong

(S A B)

là

S A, S B, A B

mỗi đường thẳng mang đúng

2

vectơ ngược hướng nhau

số vectơ

= 3 \cdot 2 = 6

S A, A S, S B, B S, A B, B A

c) vectơ đối của

B C

phải có giá song song hoặc trùng

B C

và độ dài bằng

B C

trong tứ giác

A B C D

tuỳ ý không có cạnh nào song song và bằng

B C

, nên chỉ còn giá trùng

B C

C B = - B C

Vậy ý b) có $6$ vectơ và ý c) chỉ có duy nhất $C B$ .

Nhận xét. Cách nhìn theo giá trả lời ý b) chỉ bằng một phép đếm đường thẳng, đồng thời giải thích luôn vì sao ý c) không có thêm đáp án nào khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý b) và ý c): đếm ba đường thẳng rồi nhân đôi nhanh hơn hẳn việc dò từng cặp điểm, còn ý c) thì lập luận theo giá cho thấy ngay là không thể có đáp án thứ hai. Cách 1 dễ nghĩ nhưng rất hay sót các vectơ ngược chiều.

Đáp số. a)

S A, S B, S C, S D

(bốn vectơ). b)

S A, A S, S B, B S, A B, B A

(sáu vectơ). c)

C B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là ở ý b) chỉ kể

S A, S B, A B

mà quên ba vectơ ngược chiều

A S, B S, B A

— trả lời

3

thay vì

6

. Sai lầm thứ hai là ở ý c) trả lời thêm

D A

vì tưởng

A B C D

là hình bình hành; đề chỉ nói tứ giác, chẳng hạn với

A B C D

là hình thang có

A D

không song song

B C

thì

D A

không phải vectơ đối của

B C

. Sai lầm thứ ba là nhầm giá của

A S

không nằm trong

(S A B)

, trong khi giá của nó chính là đường thẳng

S A

🚀 Mở rộng. Nếu đáy

A B C D

là hình bình hành thì

A D = B C

nên câu c) có thêm đáp án

D A

; tổng quát hơn, với hình chóp

n

giác

S . A_{1} A_{2} \dots A_{n}

thì số vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập

n + 1

đỉnh là

(n + 1) n

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 44— Cùng phương, bằng nhau, đối nhau của vectơ trong hình hộp

Bài 2.2 (trang 44). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của hình hộp:
a) Vectơ nào cùng phương với vectơ

A C

?
b) Vectơ nào bằng vectơ

A D^{'}

?
c) Những vectơ nào là vectơ đối của vectơ

A A^{'}

Kiến thức cần nhớ

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; trong hình hộp, $X Y = Z T$ khi $X Y T Z$ là hình bình hành.
Sáu mặt của hình hộp đều là hình bình hành, do đó $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
Mặt chéo $A C C^{'} A^{'}$ của hình hộp cũng là một hình bình hành, nên $A C = A^{'} C^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba yêu cầu đi từ điều kiện lỏng nhất đến chặt nhất: cùng phương chỉ đòi giá song song hoặc trùng, bằng nhau đòi thêm cùng hướng và cùng độ dài, còn đối nhau đòi ngược hướng và cùng độ dài. Vì hình hộp có sáu mặt đều là hình bình hành nên mọi quan hệ song song đều đọc được trực tiếp từ các mặt, không cần tính toán. Bẫy của đề là chữ "hai đỉnh phân biệt của hình hộp": chỉ được lấy tám đỉnh, nên đường chéo

A C

chỉ có bạn đồng phương là

A^{'} C^{'}

chứ không có đường chéo nào khác.

1Cách 1. Đọc trực tiếp từ các mặt hình bình hành của hình hộp

Định hướng. Mọi quan hệ cần tìm đều nằm sẵn trong các hình bình hành của hình hộp, chỉ cần gọi đúng tên mặt chứa chúng.

A A^{'} C^{'} C

là hình bình hành nên

A C ∥ A^{'} C^{'}

C A, A^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}

A B B^{'} A^{'}

và

D C C^{'} D^{'}

là hình bình hành nên

A B = D^{'} C^{'}

A B C^{'} D^{'}

là hình bình hành, suy ra

A D^{'} = B C^{'}

A B B^{'} A^{'}, B C C^{'} B^{'}, C D D^{'} C^{'}

là hình bình hành nên

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}

A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D

Vậy a) $C A, A^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}$ ; b) $B C^{'}$ ; c) $A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D$ .

2Cách 2. Dùng phép tịnh tiến theo vectơ

A B

và

A A^{'}

Định hướng. Hình hộp sinh ra từ ba phép tịnh tiến theo $A B, A D, A A^{'}$ ; vectơ nào là ảnh của $A D^{'}$ qua một phép tịnh tiến thì bằng chính nó.

tịnh tiến theo

A B

biến

A \mapsto B

và

D^{'} \mapsto C^{'}

A D^{'} = B C^{'}

tịnh tiến theo

A D

biến

A \mapsto D

và

D^{'} \mapsto

điểm ngoài hình hộp, nên không sinh thêm vectơ nào

tịnh tiến theo

A B, A D, A B + A D

biến

A A^{'}

lần lượt thành

B B^{'}, D D^{'}, C C^{'}

- A A^{'} = A^{'} A = B^{'} B = C^{'} C = D^{'} D

tịnh tiến theo

A A^{'}

biến

A C

thành

A^{'} C^{'}

Vậy ý b) chỉ có duy nhất $B C^{'}$ , còn ý c) có bốn vectơ $A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá — quét toàn bộ

56

vectơ, chắc chắn không sót

Định hướng. Đặt hình hộp vào hệ toạ độ afin sinh bởi ba cạnh chung đỉnh $A$ ; mỗi đỉnh có một bộ ba toạ độ $0$ hoặc $1$ , việc so sánh vectơ trở thành so sánh bộ ba số.

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0)

A^{'} (0; 0; 1), B^{'} (1; 0; 1), C^{'} (1; 1; 1), D^{'} (0; 1; 1)

A C = (1; 1; 0)

, các vectơ tỉ lệ với nó là

(- 1; - 1; 0)

và

(1; 1; 0)

C A = (- 1; - 1; 0), A^{'} C^{'} = (1; 1; 0), C^{'} A^{'} = (- 1; - 1; 0)

A D^{'} = (0; 1; 1)

và

B C^{'} = (1; 1; 1) - (1; 0; 0) = (0; 1; 1)

A A^{'} = (0; 0; 1)

, các vectơ bằng

(0; 0; - 1)

là

A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên và không còn vectơ nào khác.

Nhận xét. Toạ độ afin chỉ cần ba cạnh chung đỉnh làm cơ sở, không đòi hỏi hình hộp phải là hình hộp chữ nhật, nên dùng được cho mọi hình hộp xiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hình gọi tên các mặt hình bình hành là ra ngay cả ba ý, không phải dựng hệ toạ độ. Cách 3 nên để dành khi cần chắc chắn tuyệt đối là không bỏ sót vectơ nào.

Đáp số. a)

C A, A^{'} C^{'}, C^{'} A^{'}

. b)

B C^{'}

. c)

A^{'} A, B^{'} B, C^{'} C, D^{'} D

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) nhiều học sinh kể thêm

B D

hoặc

B^{'} D^{'}

vì thấy chúng cũng là đường chéo mặt đáy, nhưng

B D

và

A C

cắt nhau nên hai vectơ này không cùng phương. Ở ý b) hay trả lời thêm

B C^{'}

và

D^{'} A

cùng lúc, trong khi

D^{'} A = - A D^{'}

là vectơ ĐỐI chứ không bằng. Ở ý c) thường chỉ trả lời

A^{'} A

mà bỏ ba vectơ còn lại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong hình hộp, mỗi vectơ nối hai đỉnh thuộc một cạnh có đúng bốn vectơ bằng nó (kể cả chính nó), còn mỗi vectơ đường chéo mặt chỉ có hai; thử đếm xem trong

8 \cdot 7 = 56

vectơ nối hai đỉnh của hình hộp có bao nhiêu lớp vectơ bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 44— Tính độ dài vectơ trong hình hộp chữ nhật

Bài 2.3 (trang 44). Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A B = A D = 1

và

A A^{'} = 2

. Tính độ dài của các vectơ sau:
a)

B D

;
b)

C D^{'}

;
c)

A C^{'}

Kiến thức cần nhớ

$X Y = X Y$ — độ dài vectơ bằng khoảng cách giữa hai đầu mút.
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước $a$ , $b$ , $c$ dài $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
$u^{2} = u \cdot u$ , và nếu $u ⊥ v$ thì $u \cdot v = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dài của một vectơ chính là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối, nên ba câu hỏi thực chất là tính ba đoạn thẳng: một đường chéo mặt đáy, một đường chéo mặt bên và một đường chéo của khối hộp. Dấu hiệu nhận dạng là ba cạnh chung đỉnh

A

đôi một vuông góc, nên mọi tam giác cần dùng đều vuông và định lí Pythagore là công cụ tự nhiên nhất. Bẫy của đề là câu b):

C D^{'}

không phải đường chéo của khối mà chỉ là đường chéo của mặt bên

D C C^{'} D^{'}

có hai kích thước

1

và

2

1Cách 1. Định lí Pythagore trong từng tam giác vuông

Định hướng. Mỗi vectơ đều là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là các kích thước đã cho, nên chỉ việc gọi đúng tam giác đó.

a) tam giác

A B D

vuông tại

A

có

A B = A D = 1

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2

B D = B D = 2

b) tam giác

C D D^{'}

vuông tại

D

có

D C = A B = 1

và

D D^{'} = A A^{'} = 2

C D^{'2} = D C^{2} + D D^{'2} = 1^{2} + 2^{2} = 5

C D^{'} = C D^{'} = 5

c) tam giác

A C C^{'}

vuông tại

C

có

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2

và

C C^{'} = 2

A C^{'2} = A C^{2} + C C^{'2} = 2 + 4 = 6

A C^{'} = A C^{'} = 6

Vậy $B D = 2$ , $C D^{'} = 5$ , $A C^{'} = 6$ .

2Cách 2. Bình phương vô hướng sau khi phân tích theo ba cạnh chung đỉnh

Định hướng. Ba vectơ $A B, A D, A A^{'}$ đôi một vuông góc nên khi bình phương một tổng, mọi tích chéo đều triệt tiêu, chỉ còn tổng các bình phương độ dài.

A B \cdot A D = A D \cdot A A^{'} = A A^{'} \cdot A B = 0

B D = A D - A B

B D^{2} = A D^{2} - 2 A D \cdot A B + A B^{2} = 1 - 0 + 1 = 2

C D^{'} = C D + D D^{'} = - A B + A A^{'}

C D^{'}^{2} = A B^{2} - 2 A B \cdot A A^{'} + A A^{'}^{2} = 1 - 0 + 4 = 5

A C^{'} = A B + A D + A A^{'}

A C^{'}^{2} = A B^{2} + A D^{2} + A A^{'}^{2} = 1 + 1 + 4 = 6

Vậy ba độ dài lần lượt là $2$ , $5$ và $6$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá với gốc

A

và ba trục dọc theo ba cạnh

Định hướng. Ba cạnh chung đỉnh $A$ đôi một vuông góc là sẵn một hệ trục vuông góc, đặt toạ độ xong thì mọi độ dài chỉ còn là phép cộng ba bình phương.

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), D (0; 1; 0), C (1; 1; 0), A^{'} (0; 0; 2)

C^{'} (1; 1; 2), D^{'} (0; 1; 2)

B D = (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (- 1; 1; 0)

B D = (- 1)^{2} + 1^{2} + 0^{2} = 2

C D^{'} = (0 - 1; 1 - 1; 2 - 0) = (- 1; 0; 2)

C D^{'} = (- 1)^{2} + 0^{2} + 2^{2} = 5

A C^{'} = (1; 1; 2)

A C^{'} = 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 6

Vậy $B D = 2$ , $C D^{'} = 5$ , $A C^{'} = 6$ .

Nhận xét. Ba kết quả $2 < 5 < 6$ đúng theo thứ tự đường chéo đáy, đường chéo mặt bên rồi đường chéo khối, đây là phép thử nhanh để tự kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ mất hai dòng đặt toạ độ rồi ba lần cộng bình phương, không phải nhớ tam giác nào vuông ở đâu. Cách 1 chuẩn mực về hình học nhưng dễ nhầm câu b) thành đường chéo khối.

Đáp số. a)

B D = 2

. b)

C D^{'} = 5

. c)

A C^{'} = 6

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là câu b): thấy

C

và

D^{'}

không cùng một mặt đáy nên vội dùng công thức đường chéo khối và ra

6

; thực ra

C

và

D^{'}

cùng thuộc mặt bên

D C C^{'} D^{'}

, chỉ có hai kích thước

1

và

2

nên kết quả là

5

. Lỗi thứ hai là quên bỏ dấu căn giữa chừng, viết

B D = 2

vì nhớ nhầm

B D^{2} = 2

. Lỗi thứ ba là dùng sai kích thước

C D = A D = 1

mà thực ra

C D = A B = 1

— ở bài này hai số bằng nhau nên không lộ, nhưng với hình hộp có

A B \neq = A D

thì sai ngay.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho hình hộp chữ nhật có

A B = a

A D = b

A A^{'} = c

B D = a^{2} + b^{2}

C D^{'} = a^{2} + c^{2}

A C^{'} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

; thử tiếp câu khó hơn — với cùng dữ kiện của bài, tính khoảng cách từ

A

đến đường thẳng

B D^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★Trang 44— Chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc ba điểm và quy tắc hiệu

Bài 2.4 (trang 44). Trong không gian, cho năm điểm phân biệt

A

B

C

D

E

. Chứng minh rằng:
a)

A B + B C + C D = A E - D E

;
b)

A B + D E = A E - B D

;
c)

B C + D E = B E - C D

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $X Y + Y Z = X Z$ với mọi $X$ , $Y$ , $Z$ .
Quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $O Y - O X = X Y$ .
Hai vectơ chung điểm cuối: $X Z - Y Z = X Y$ .
$X Y = - Y X$ , và với một điểm $O$ tuỳ ý thì $X Y = O Y - O X$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho một hình cụ thể nào, chỉ cho năm điểm bất kì, đó là dấu hiệu nói rằng đẳng thức phải đúng thuần tuý nhờ các quy tắc cộng trừ vectơ chứ không nhờ tính chất hình học. Hướng ngắn nhất là biến đổi vế phải trước, vì mỗi hiệu hai vectơ chung điểm cuối lập tức gộp lại thành một vectơ duy nhất theo quy tắc ba điểm. Bẫy dễ mắc là dùng quy tắc hiệu sai chiều:

A E - D E

có chung điểm CUỐI là

E

nên bằng

A D

, chứ không phải

D A

1Cách 1. Thu gọn vế phải bằng quy tắc hiệu rồi so với vế trái

Định hướng. Ở cả ba ý, vế phải là hiệu của hai vectơ chung một đầu mút nên gộp được thành một vectơ; vế trái là chuỗi nối tiếp nên cũng gộp được, hai bên gặp nhau ở cùng một vectơ.

A E - D E = A E + E D = A D

A B + B C + C D = A C + C D = A D

A E - B D = A E + D B

A B + D E = (A E + E B) + (D B + B E) = A E + D B

B E - C D = B E + D C

B C + D E = (B E + E C) + (D C + C E) = B E + D C

Vậy ba đẳng thức đều đúng với mọi vị trí của năm điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ (đpcm).

2Cách 2. Chuyển hết về một vế, chứng minh hiệu bằng vectơ - không

Định hướng. Đưa mọi thứ sang vế trái rồi ghép từng cặp vectơ ngược chiều, cái gì triệt tiêu hết thì đẳng thức đúng.

A B + B C + C D - A E + D E

= A D + D E - A E = A E - A E = 0

A B + D E - A E + B D

= (A B + B D + D E) - A E = A E - A E = 0

B C + D E - B E + C D

= (B C + C D + D E) - B E = B E - B E = 0

Vậy hiệu hai vế của cả ba đẳng thức đều bằng $0$ , tức ba đẳng thức đều đúng (đpcm).

3Cách 3. Quy về vectơ vị trí đối với một điểm gốc tuỳ ý

Định hướng. Chọn một điểm $O$ bất kì rồi viết mọi vectơ thành hiệu hai vectơ vị trí; khi ấy hai vế trở thành hai biểu thức đại số và chỉ còn việc thu gọn.

đặt

a = O A, b = O B, c = O C, d = O D, e = O E

a) vế trái

= (b - a) + (c - b) + (d - c) = d - a

a) vế phải

= (e - a) - (e - d) = d - a

b) vế trái

= (b - a) + (e - d)

, vế phải

= (e - a) - (d - b)

hai biểu thức cùng bằng

b + e - a - d

c) vế trái

= (c - b) + (e - d)

, vế phải

= (e - b) - (d - c)

hai biểu thức cùng bằng

c + e - b - d

Vậy hai vế của mỗi đẳng thức trùng nhau với mọi cách chọn năm điểm (đpcm).

Nhận xét. Cách vectơ vị trí biến mọi đẳng thức vectơ thành đẳng thức đại số, không cần nghĩ nên chen điểm nào; đổi lại lời giải dài hơn và phải khai báo thêm điểm $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý chỉ hai dòng, thu gọn vế phải trước rồi thu gọn vế trái, hầu như không có chỗ sai dấu. Cách 3 nên để dành cho những đẳng thức rối mà mắt không nhìn ra nên chen điểm nào.

Đáp số. Cả ba đẳng thức đều đúng: a) hai vế cùng bằng

A D

; b) hai vế cùng bằng

A E + D B

; c) hai vế cùng bằng

B E + D C

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là dùng quy tắc hiệu sai chiều: viết

A E - D E = D A

trong khi hai vectơ này chung điểm CUỐI

E

nên hiệu bằng

A D

; thử với

A (0; 0; 0)

D (1; 0; 0)

E (0; 1; 0)

thì

A E - D E = (0; 1; 0) - (- 1; 1; 0) = (1; 0; 0) = A D

. Lỗi thứ hai là khi chuyển vế quên đổi dấu, biến

- B D

thành

B D

. Lỗi thứ ba là viết kết luận bằng số

0

thay vì vectơ

0

🚀 Mở rộng. Tổng quát bằng quy tắc chen điểm: với mọi dãy điểm

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

ta luôn có

A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots + A_{n - 1} A_{n} = A_{1} A_{n}

; thử chứng minh tiếp

A B + C D + E F = A D + C F + E B

với sáu điểm bất kì.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 44— Phân tích một vectơ theo các vectơ cạnh của tứ diện

Bài 2.5 (trang 44). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

E

F

là các điểm lần lượt thuộc các cạnh

A B

C D

sao cho

A E = \frac{1}{3} A B

và

C F = \frac{1}{3} C D

. Chứng minh rằng:
a)

E F = A D - \frac{1}{3} A B - \frac{2}{3} C D

;
b)

E F = B C + \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} C D

;
c)

E F = \frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} B C + \frac{1}{3} A B

Kiến thức cần nhớ

$A E = \frac{1}{3} A B$ và $E$ thuộc cạnh $A B$ nên $A E = \frac{1}{3} A B$ , kéo theo $E B = \frac{2}{3} A B$ .
$C F = \frac{1}{3} C D$ và $F$ thuộc cạnh $C D$ nên $C F = \frac{1}{3} C D$ , kéo theo $D F = - \frac{2}{3} C D$ .
Quy tắc ba điểm cho phép chen một điểm bất kì vào giữa: $E F = E X + X F$ .
Ba vectơ $A B, A C, A D$ của tứ diện không đồng phẳng nên mọi vectơ trong không gian phân tích được duy nhất theo chúng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba đẳng thức cùng biểu diễn một vectơ

E F

nhưng theo ba bộ vectơ khác nhau, đó là dấu hiệu nói rằng chỉ cần tìm được MỘT biểu diễn chuẩn rồi mọi cái còn lại suy ra bằng biến đổi đại số. Hướng tự nhiên nhất là chen điểm: đi từ

E

về

A

, sang

D

rồi tới

F

cho ý a), đi từ

E

về

B

, sang

C

rồi tới

F

cho ý b). Bẫy nằm ở chỗ

D F

không bằng

\frac{1}{3} C D

mà bằng

- \frac{2}{3} C D

, vì

F

chia

C D

theo tỉ lệ một phần ba tính TỪ

C

1Cách 1. Chen điểm theo hai đường đi khác nhau

Định hướng. Muốn ra vế phải nào thì đi theo đúng đường chứa các cạnh có mặt ở vế phải đó: ý a) đi $E \to A \to D \to F$ , ý b) đi $E \to B \to C \to F$ .

A E = \frac{1}{3} A B, E B = \frac{2}{3} A B, C F = \frac{1}{3} C D, D F = D C + C F = - \frac{2}{3} C D

E F = E A + A D + D F

E F = - \frac{1}{3} A B + A D - \frac{2}{3} C D = A D - \frac{1}{3} A B - \frac{2}{3} C D

E F = E B + B C + C F

E F = \frac{2}{3} A B + B C + \frac{1}{3} C D = B C + \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} C D

c) lấy

\frac{1}{3}

đẳng thức a) cộng

\frac{2}{3}

đẳng thức b)

E F = \frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} B C + (- \frac{1}{9} + \frac{4}{9}) A B + (- \frac{2}{9} + \frac{2}{9}) C D

E F = \frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} B C + \frac{1}{3} A B

Vậy cả ba đẳng thức đều đúng (đpcm).

2Cách 2. Quy tất cả về cơ sở

A B, A C, A D

rồi đối chiếu hệ số

Định hướng. Ba vectơ cạnh chung đỉnh $A$ không đồng phẳng nên là một cơ sở; viết cả hai vế theo cơ sở đó thì việc so sánh chỉ còn là so ba con số.

đặt

u = A B, v = A C, w = A D

A E = \frac{1}{3} u, A F = A C + \frac{1}{3} C D = v + \frac{1}{3} (w - v) = \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} w

E F = A F - A E = - \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} w

A D - \frac{1}{3} A B - \frac{2}{3} C D = w - \frac{1}{3} u - \frac{2}{3} (w - v) = - \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} w

B C + \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} C D = (v - u) + \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} (w - v) = - \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} w

\frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} B C + \frac{1}{3} A B = \frac{1}{3} w + \frac{2}{3} (v - u) + \frac{1}{3} u = - \frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} w

Vậy ba vế phải đều có cùng bộ hệ số $(- \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ như $E F$ , nên ba đẳng thức đều đúng (đpcm).

3Cách 3. Dùng công thức điểm chia đoạn thẳng trên cả hai đầu

Định hướng. $E$ chia $A B$ và $F$ chia $C D$ theo cùng một tỉ lệ, nên viết thẳng $X E$ và $X F$ qua một điểm gốc $X$ rồi trừ nhau là ra ngay $E F$ dạng tổ hợp cân đối.

với điểm

X

tuỳ ý:

X E = \frac{2}{3} X A + \frac{1}{3} X B

và

X F = \frac{2}{3} X C + \frac{1}{3} X D

E F = X F - X E = \frac{2}{3} (X C - X A) + \frac{1}{3} (X D - X B)

E F = \frac{2}{3} A C + \frac{1}{3} B D

\frac{2}{3} A C + \frac{1}{3} B D = \frac{2}{3} (A B + B C) + \frac{1}{3} (B C + C D)

E F = \frac{2}{3} A B + B C + \frac{1}{3} C D

, đúng bằng vế phải của ý b)

\frac{2}{3} A C + \frac{1}{3} B D = \frac{2}{3} (A D + D C) + \frac{1}{3} (B A + A D)

E F = A D - \frac{2}{3} C D - \frac{1}{3} A B

, đúng bằng vế phải của ý a)

Vậy $E F = \frac{2}{3} A C + \frac{1}{3} B D$ , và từ dạng gọn này suy ra được cả ba đẳng thức của đề (đpcm).

Nhận xét. Dạng gọn $E F = \frac{2}{3} A C + \frac{1}{3} B D$ chính là bản chất của bài: $E F$ luôn là trung bình có trọng số của hai cạnh đối $A C$ và $B D$ , với đúng bộ trọng số mà $E$ , $F$ chia cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý chỉ một dòng chen điểm rồi thay hai tỉ lệ đã tính sẵn, còn ý c) lấy tổ hợp

\frac{1}{3}

của a) với

\frac{2}{3}

của b) là xong, không phải làm lại từ đầu. Cách 3 đẹp nhất về mặt ý tưởng nhưng phải nhớ công thức điểm chia.

Đáp số. Cả ba đẳng thức đều đúng; dạng gọn nhất của vectơ này là

E F = \frac{2}{3} A C + \frac{1}{3} B D

, tương đương với hệ số

(- \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})

theo cơ sở

A B, A C, A D

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là viết

D F = \frac{1}{3} C D

vì thấy chữ "một phần ba" trong đề; thực ra

C F = \frac{1}{3} C D

nên

D F = D C + C F = - C D + \frac{1}{3} C D = - \frac{2}{3} C D

— sai chỗ này thì ý a) ra ngay

+ \frac{1}{3} C D

thay vì

- \frac{2}{3} C D

. Sai lầm thứ hai là chứng minh ý c) bằng cách chen điểm ngẫu nhiên rồi loay hoay không ra, trong khi nó chỉ là tổ hợp của hai ý trên. Sai lầm thứ ba là coi

A B, B C, C D

như một cơ sở rồi đối chiếu hệ số của chúng — bộ ba này cũng là cơ sở nhưng phải kiểm tra không đồng phẳng trước khi dùng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

A E = k A B

và

C F = k C D

thì

E F = (1 - k) A C + k B D

; với

k = \frac{1}{2}

ta được

E F = \frac{1}{2} (A C + B D)

, chính là đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★★Trang 44— Vectơ nối hai trọng tâm trong tứ diện

Bài 2.6 (trang 44). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

B D

. Gọi

E

F

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

A B C

A B D

. Chứng minh rằng:
a)

E F = \frac{2}{3} M N

;
b)

E F = \frac{1}{3} C D

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm $G$ của tam giác $X Y Z$ nằm trên trung tuyến $X T$ với $X G = \frac{2}{3} X T$ , trong đó $T$ là trung điểm $Y Z$ .
Với điểm $O$ bất kì và $G$ là trọng tâm tam giác $X Y Z$ : $O G = \frac{1}{3} (O X + O Y + O Z)$ .
Đường trung bình: $M$ , $N$ là trung điểm $B C$ , $B D$ thì $M N = \frac{1}{2} C D$ .
Quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $E F = A F - A E$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai trọng tâm

E

F

thuộc hai tam giác có CHUNG cạnh

A B

, còn hai trung điểm

M

N

lại là chân hai trung tuyến kẻ từ

A

của chính hai tam giác ấy — đó là dấu hiệu cho thấy

E

F

nằm trên

A M

A N

với cùng tỉ lệ hai phần ba, nên

E F

và

M N

tự động cùng phương. Hướng ngắn nhất là dùng tính chất trọng tâm chia trung tuyến rồi trừ hai vectơ chung gốc

A

. Bẫy của đề là thứ tự:

E F

phải ứng với

M N

chứ không phải

N M

, nên phải giữ đúng thứ tự tam giác

A B C

trước,

A B D

sau.

1Cách 1. Dùng hai trung tuyến kẻ từ

A

của hai tam giác

Định hướng. $A M$ là trung tuyến tam giác $A B C$ , $A N$ là trung tuyến tam giác $A B D$ ; hai trọng tâm cùng chia hai trung tuyến ấy theo tỉ lệ hai phần ba nên hiệu của chúng co lại đúng hệ số đó.

A E = \frac{2}{3} A M, A F = \frac{2}{3} A N

E F = A F - A E = \frac{2}{3} A N - \frac{2}{3} A M

E F = \frac{2}{3} (A N - A M) = \frac{2}{3} M N

M N

là đường trung bình của tam giác

B C D

nên

M N = \frac{1}{2} C D

E F = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} C D = \frac{1}{3} C D

Vậy $E F = \frac{2}{3} M N = \frac{1}{3} C D$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng công thức trọng tâm theo tổng ba vectơ vị trí

Định hướng. Viết hai trọng tâm bằng cùng một công thức với cùng một gốc thì khi trừ nhau, hai đỉnh chung $A$ và $B$ tự triệt tiêu, chỉ còn $C$ và $D$ .

chọn điểm

O

tuỳ ý:

O E = \frac{1}{3} (O A + O B + O C)

O F = \frac{1}{3} (O A + O B + O D)

E F = O F - O E = \frac{1}{3} (O D - O C) = \frac{1}{3} C D

O M = \frac{1}{2} (O B + O C), O N = \frac{1}{2} (O B + O D)

M N = \frac{1}{2} (O D - O C) = \frac{1}{2} C D

E F = \frac{1}{3} C D = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} C D = \frac{2}{3} M N

Vậy cả hai đẳng thức đều đúng (đpcm).

3Cách 3. Dùng hai trung tuyến kẻ từ

C

và từ

D

qua trung điểm

P

của

A B

Định hướng. Hai tam giác $A B C$ và $A B D$ có chung cạnh $A B$ , nên hai trung tuyến $C P$ , $D P$ xuất phát từ $C$ , $D$ đều đi qua CÙNG một điểm $P$ — nhìn từ $P$ thì hai trọng tâm thẳng hàng rất gọn với $C$ và $D$ .

gọi

P

là trung điểm

A B

;

E

thuộc

C P

và

F

thuộc

D P

P E = \frac{1}{3} P C, P F = \frac{1}{3} P D

E F = P F - P E = \frac{1}{3} (P D - P C) = \frac{1}{3} C D

M

N

là trung điểm

B C

B D

nên

M N = \frac{1}{2} C D

, suy ra

C D = 2 M N

E F = \frac{1}{3} \cdot 2 M N = \frac{2}{3} M N

Vậy $E F = \frac{1}{3} C D = \frac{2}{3} M N$ (đpcm).

Nhận xét. Cách này ra thẳng ý b) trước rồi mới suy ra ý a), ngược với hai cách trên; nó còn cho thấy $E F ∥ C D$ và $E F = \frac{1}{3} C D$ , tức $E F$ chỉ là ảnh thu nhỏ của $C D$ qua phép vị tự tâm $P$ tỉ số $\frac{1}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức trọng tâm với gốc tuỳ ý cho lời giải ba dòng và tự động đúng thứ tự

E F

ứng với

C D

, không phải vẽ thêm trung tuyến nào. Cách 1 trực quan hơn nhưng phải nhớ chính xác chiều của tỉ lệ hai phần ba.

Đáp số. Cả hai đẳng thức đều đúng:

E F = \frac{2}{3} M N = \frac{1}{3} C D

; do đó

E F ∥ C D

và

E F = \frac{C D}{3}

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là nhớ ngược tỉ lệ trọng tâm, viết

A E = \frac{1}{3} A M

thay vì

\frac{2}{3} A M

, kết quả ra

E F = \frac{1}{3} M N

— sai hệ số ngay ở ý a). Lỗi thứ hai là kết luận

E F = \frac{1}{3} D C

do lẫn thứ tự hai tam giác; kiểm nhanh bằng toạ độ

C (0; 0; 0)

D (3; 0; 0)

A (0; 3; 0)

B (0; 0; 3)

thì

E

có hoành độ

0

F

có hoành độ

1

nên

E F

hướng từ phía

C

sang phía

D

. Lỗi thứ ba là dùng "đường trung bình" cho

M N

mà quên kiểm tra

M

N

cùng thuộc tam giác

B C D

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu

E

F

lần lượt là trọng tâm hai tam giác

A B C

và

A B D

thì

E F = \frac{1}{3} C D

với mọi vị trí bốn điểm, kể cả khi bốn điểm đồng phẳng; thử tiếp bài cùng dạng khó hơn — gọi

G_{1}

G_{2}

là trọng tâm hai tứ diện

A B C D

và

A B C E

, hãy chứng minh

G_{1} G_{2} = \frac{1}{4} D E

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★★Trang 44— Vectơ độ dịch chuyển trong bài toán thực tiễn

Bài 2.7 (trang 44). Một toà chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng

10

lên tầng

26

của toà nhà, sau đó di chuyển từ tầng

26

xuống tầng

18

. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng, độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

Kiến thức cần nhớ

Vectơ độ dịch chuyển của một vật có điểm đầu là vị trí ban đầu, điểm cuối là vị trí sau cùng.
Hai vectơ cùng phương khi giá song song hoặc trùng nhau; ở đây cả hai giá đều là đường thẳng đứng của trục thang máy.
$v = k u$ với $k < 0$ diễn tả hai vectơ ngược hướng và $v = ∣ k ∣ \cdot u$ .
Tổng hai vectơ độ dịch chuyển liên tiếp bằng vectơ độ dịch chuyển từ vị trí đầu tới vị trí cuối.

🧠 Phân tích tư duy

Thang máy chỉ chạy theo phương thẳng đứng nên hai vectơ độ dịch chuyển chắc chắn cùng phương, việc còn lại chỉ là so hướng và so độ dài. Dấu hiệu để so độ dài là câu "chiều cao của các tầng như nhau": mỗi tầng ứng với một đơn vị độ dài như nhau, nên chỉ cần đếm số tầng. Bẫy của đề là đếm nhầm thành

26 - 10 = 16

và

26 - 18 = 8

rồi vội kết luận tỉ số hai lần mà quên rằng hai chiều di chuyển ngược nhau, khiến hệ số phải mang dấu âm.

1Cách 1. Đếm số tầng rồi so phương, hướng, độ dài

Định hướng. Lấy chiều cao một tầng làm đơn vị thì độ dài mỗi vectơ chính là số tầng đã đi qua, còn hướng đọc được từ chữ "lên" và "xuống".

gọi

h

là chiều cao mỗi tầng,

u

là vectơ lần đi thứ nhất,

v

là vectơ lần đi thứ hai

hai vectơ cùng phương vì cùng có giá là trục thẳng đứng của thang máy

u

hướng lên,

v

hướng xuống nên hai vectơ ngược hướng

u = (26 - 10) h = 16 h

v = (26 - 18) h = 8 h

u = 2 v

và hai vectơ ngược hướng

u = - 2 v

Vậy hai vectơ cùng phương, ngược hướng, vectơ thứ nhất dài gấp đôi vectơ thứ hai, và $u = - 2 v$ , tức $v = - \frac{1}{2} u$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá trên một trục thẳng đứng

Định hướng. Chỉ có một chiều chuyển động nên dựng một trục số thẳng đứng là đủ; mọi so sánh phương, hướng, độ dài lúc đó chỉ còn là so sánh hai số.

chọn trục

O z

thẳng đứng hướng lên, gốc ở sàn tầng

1

, đơn vị là chiều cao một tầng

tầng

n

ứng với toạ độ

z_{n} = n - 1

u = (0; 0; z_{26} - z_{10}) = (0; 0; 16)

v = (0; 0; z_{18} - z_{26}) = (0; 0; - 8)

(0; 0; 16) = - 2 \cdot (0; 0; - 8)

u = - 2 v

Vậy $u$ và $v$ cùng phương thẳng đứng, ngược hướng, $u = 2 v$ và $u + 2 v = 0$ .

3Cách 3. Dùng vectơ tổng của cả hành trình làm đơn vị so sánh

Định hướng. Cả hành trình đưa thang máy từ tầng $10$ lên tầng $18$ ; lấy chính vectơ tổng đó làm "thước" thì hai vectơ thành phần đều là bội nguyên của nó, khỏi phải dùng chiều cao tầng.

đặt

w = u + v

là vectơ dịch chuyển từ tầng

10

tới tầng

18

w

hướng lên và ứng với

18 - 10 = 8

tầng

u

hướng lên và ứng với

16

tầng nên

u = 2 w

v = w - u = w - 2 w = - w

u = 2 w = 2 \cdot (- v) = - 2 v

Vậy $u = - 2 v$ , hai vectơ cùng phương, ngược hướng, độ dài hơn kém nhau hai lần.

Nhận xét. Cách này cho thấy vectơ lần đi thứ hai đúng bằng vectơ đối của vectơ tổng cả hành trình — một cách diễn đạt khác của việc thang máy đã "đi quá" đúng $8$ tầng rồi lùi lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm hai lần số tầng, nêu ba quan hệ phương — hướng — độ dài rồi viết ngay đẳng thức, gọn và bám sát đúng câu hỏi của đề. Cách 2 an toàn về dấu nhưng phải dựng trục, hơi thừa với bài chỉ có một chiều chuyển động.

Đáp số. Hai vectơ cùng phương (thẳng đứng), ngược hướng, độ dài lần thứ nhất bằng

16

tầng, lần thứ hai bằng

8

tầng nên gấp đôi nhau. Đẳng thức liên hệ:

u = - 2 v

, hay tương đương

v = - \frac{1}{2} u

, hay

u + 2 v = 0

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là viết

u = 2 v

, tức quên dấu âm; hệ số dương nghĩa là hai vectơ CÙNG hướng, trong khi thang máy lần hai đi xuống. Lỗi thứ hai là tính độ dài lần hai bằng

26 - 10 - 8 = 8

tầng một cách tình cờ đúng nhưng lập luận sai, hoặc lấy

18

tầng vì nhầm tầng đích với số tầng đã đi. Lỗi thứ ba là chỉ trả lời "cùng phương, ngược hướng" mà bỏ quên yêu cầu so sánh độ dài và viết đẳng thức.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: thang máy đi từ tầng

p

lên tầng

q

rồi từ tầng

q

xuống tầng

r

(với

p < r < q

) thì

u = - \frac{q - p}{q - r} v

; thử câu khó hơn — muốn hai vectơ có độ dài bằng nhau thì tầng

r

phải thoả điều kiện gì theo

p

và

q

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.8★★★Trang 45— Vectơ lực và điều kiện cân bằng của vật rắn

Bài 2.8 (trang 45). Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ

u

) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ

x

y

z

). Hãy giải thích vì sao

x = y = z = - \frac{1}{3} u

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện để một vật rắn đứng yên là tổng các lực tác dụng lên nó bằng $0$ .
Hai vectơ cùng phương, ngược hướng, cùng độ dài thì đối nhau: $p = - q$ .
$x + y + z = 3 x$ khi ba vectơ bằng nhau.
Nếu một phép biến hình bảo toàn toàn bộ hệ vật và hoán vị ba lực cho nhau thì ba lực đó phải bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba dữ kiện có vai trò khác hẳn nhau: "bàn cân đối" và "phân tán đều" cho biết ba phản lực bằng nhau, "chân bàn vuông góc mặt sàn" cho biết ba phản lực cùng phương thẳng đứng, còn "bàn đứng yên" ngầm cho điều kiện cân bằng. Hướng ngắn nhất là viết điều kiện cân bằng trước rồi mới dùng tính đối xứng, vì làm ngược lại sẽ phải chứng minh riêng độ lớn của từng phản lực. Bẫy nằm ở dấu: phản lực hướng LÊN còn trọng lực hướng XUỐNG nên hệ số bắt buộc mang dấu âm.

1Cách 1. Điều kiện cân bằng kết hợp với tính cân đối của chiếc bàn

Định hướng. Bàn đứng yên nên tổng bốn lực bằng vectơ - không; tính cân đối cho phép gộp ba phản lực thành ba lần một vectơ duy nhất.

bàn đứng yên nên

u + x + y + z = 0

bàn cân đối và trọng lực phân tán đều nên

x = y = z

u + 3 x = 0

3 x = - u

x = - \frac{1}{3} u

Vậy $x = y = z = - \frac{1}{3} u$ .

2Cách 2. Chia trọng lực thành ba phần bằng nhau truyền xuống ba chân

Định hướng. Đọc đúng chữ "phân tán đều": mỗi chân bàn nhận một phần ba trọng lực, còn phản lực của sàn thì bằng và ngược hướng với phần lực ép xuống chân đó.

phần trọng lực truyền xuống mỗi chân bàn là

\frac{1}{3} u

sàn tác dụng lên mỗi chân một phản lực bằng và ngược hướng với lực ép của chân đó

x = - \frac{1}{3} u, y = - \frac{1}{3} u, z = - \frac{1}{3} u

kiểm lại tổng:

u + x + y + z = u - 3 \cdot \frac{1}{3} u = 0

Vậy ba phản lực bằng nhau và mỗi phản lực là vectơ đối của một phần ba trọng lực, tức $x = y = z = - \frac{1}{3} u$ .

3Cách 3. Lập luận bằng phép quay

12 0^{\circ}

quanh trục thẳng đứng

Định hướng. Bàn cân đối nghĩa là ba chân đặt ở ba đỉnh một tam giác đều quanh trục thẳng đứng đi qua tâm bàn; phép quay $12 0^{\circ}$ quanh trục ấy biến chiếc bàn thành chính nó, nên phải biến hệ lực thành chính nó.

gọi

Q

là phép quay

12 0^{\circ}

quanh trục thẳng đứng qua tâm bàn

Q

giữ nguyên chiếc bàn và mặt sàn, đồng thời hoán vị ba chân bàn theo vòng tròn

Q

biến

x \mapsto y \mapsto z \mapsto x

và giữ nguyên

u

vì

u

nằm trên trục quay

ba phản lực đều thẳng đứng nên phép quay không đổi hướng chúng, do đó

x = y = z

u + 3 x = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3} u

Vậy $x = y = z = - \frac{1}{3} u$ .

Nhận xét. Lập luận đối xứng cho thấy kết quả không phụ thuộc hình dạng mặt bàn, chỉ cần bàn có trục đối xứng bậc ba đi qua điểm đặt trọng lực.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết một dòng điều kiện cân bằng, một dòng dùng tính cân đối, ba dòng biến đổi là xong, lại bám đúng ngôn ngữ vectơ của chương. Cách 3 hay về ý tưởng nhưng dài và phải mô tả phép quay cho rõ.

Đáp số. Ba phản lực bằng nhau và mỗi phản lực là vectơ đối của một phần ba trọng lực:

x = y = z = - \frac{1}{3} u

; nói riêng, độ lớn mỗi phản lực bằng

\frac{1}{3} u

và hướng thẳng đứng lên trên.

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là viết

x = \frac{1}{3} u

, quên dấu âm; hệ số dương sẽ khiến ba phản lực cùng hướng xuống với trọng lực và chiếc bàn phải lún xuống sàn. Lỗi thứ hai là dùng điều kiện cân bằng dưới dạng

x + y + z = u

(thiếu dấu trừ), đây là lỗi chép công thức chứ không phải lỗi tính. Lỗi thứ ba là khẳng định

x = y = z

mà không viện tới dữ kiện "bàn cân đối, phân tán đều" — với chiếc bàn ba chân đặt lệch thì ba phản lực khác nhau hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho bàn

n

chân đặt cân đối: mỗi phản lực bằng

- \frac{1}{n} u

; thử tiếp câu khó hơn — nếu đặt thêm một vật nặng

p

đúng trên một chân bàn thì ba phản lực thay đổi thế nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.9★★★Trang 45— Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng của hình hộp

Bài 2.9 (trang 45). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Đặt

A A^{'} = x

A B = y

và

A C = z

. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ

x

y

z

:
a)

A D

;
b)

A C^{'}

;
c)

B D^{'}

Kiến thức cần nhớ

Ba vectơ $x, y, z$ không đồng phẳng vì $A A^{'}$ không nằm trong mặt phẳng đáy chứa $A B, A C$ .
Quy tắc hình bình hành ở mặt đáy: $A C = A B + A D$ .
Quy tắc hình hộp: $A C^{'} = A B + A D + A A^{'}$ .
Các cạnh bên bằng nhau: $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm đặc biệt của đề là cơ sở được chọn KHÔNG phải ba cạnh chung đỉnh mà là hai cạnh

A A^{'}

A B

cùng một đường chéo đáy

A C

— dấu hiệu nói rằng bước đầu tiên phải là đổi

A D

về cơ sở ấy. Hướng an toàn nhất là dùng quy tắc hình bình hành ở đáy để rút

A D = z - y

, sau đó mọi vectơ khác chỉ còn là phép cộng. Bẫy dễ mắc là vẫn quen tay viết

A C^{'} = x + y + z

theo quy tắc hình hộp, trong khi

z

ở đây đã gộp sẵn cả

A B

lẫn

A D

1Cách 1. Đổi

A D

về cơ sở rồi chen điểm cho hai vectơ còn lại

Định hướng. Rút $A D$ từ quy tắc hình bình hành trước; sau đó mọi vectơ đều đi được bằng một đường gãy khúc dọc theo các cạnh đã biết.

A C = A B + A D

A D = A C - A B = z - y

A C^{'} = A C + C C^{'} = A C + A A^{'}

A C^{'} = z + x = x + z

B D^{'} = B A + A D + D D^{'}

B D^{'} = - y + (z - y) + x

B D^{'} = x - 2 y + z

Vậy $A D = z - y$ , $A C^{'} = x + z$ , $B D^{'} = x - 2 y + z$ .

2Cách 2. Đi vòng qua cơ sở quen thuộc

A B, A D, A A^{'}

rồi đổi cơ sở

Định hướng. Viết mọi vectơ theo ba cạnh chung đỉnh $A$ (công thức nào cũng thuộc lòng), xong mới thay $A D = z - y$ vào một lần cuối.

đặt

b = A B, d = A D, a = A A^{'}

, khi đó

y = b, x = a, z = b + d

d = z - y

A D = d = z - y

A C^{'} = b + d + a = z + x

B D^{'} = A D^{'} - A B = (d + a) - b

B D^{'} = (z - y) + x - y = x - 2 y + z

Vậy ba vectơ lần lượt bằng $z - y$ , $x + z$ và $x - 2 y + z$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá theo cơ sở

(x; y; z)

Định hướng. Coi bộ ba $(x; y; z)$ như một hệ toạ độ afin; ghi toạ độ từng đỉnh một lần rồi mọi câu hỏi chỉ còn là phép trừ ba số.

A A^{'} = (1; 0; 0), A B = (0; 1; 0), A C = (0; 0; 1)

A D = A C - A B = (0; 0; 1) - (0; 1; 0) = (0; - 1; 1)

A (0; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1), D (0; - 1; 1), A^{'} (1; 0; 0)

C^{'} = C + A A^{'} = (1; 0; 1), D^{'} = D + A A^{'} = (1; - 1; 1)

A D = (0; - 1; 1) = - y + z

A C^{'} = (1; 0; 1) = x + z

B D^{'} = (1; - 1; 1) - (0; 1; 0) = (1; - 2; 1) = x - 2 y + z

Vậy $A D = z - y$ , $A C^{'} = x + z$ , $B D^{'} = x - 2 y + z$ .

Nhận xét. Vì ba vectơ cơ sở không đồng phẳng nên cách phân tích là DUY NHẤT; ba kết quả trên không thể viết khác đi được, đó cũng là lí do ba cách giải phải cho cùng một bộ hệ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một lần rút

A D = z - y

rồi chen điểm, mỗi ý gói gọn trong hai dòng. Cách 3 chắc chắn không sai dấu nhưng phải viết ra toạ độ của bảy điểm, dài hơn cần thiết.

Đáp số. a)

A D = z - y

. b)

A C^{'} = x + z

. c)

B D^{'} = x - 2 y + z

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là áp máy móc quy tắc hình hộp thành

A C^{'} = x + y + z

; quy tắc đó đúng với cơ sở ba CẠNH chung đỉnh, còn ở đây

z = A C

đã chứa sẵn

A B

nên cộng thêm

y

là tính thừa một lần. Lỗi thứ hai là viết

A D = y - z

do trừ ngược. Lỗi thứ ba là ở ý c) quên rằng

D D^{'} = A A^{'}

mà đi tìm

D D^{'}

riêng, dẫn tới bế tắc.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với cùng cơ sở của đề, mọi vectơ nối hai đỉnh hình hộp đều viết được dạng

m x + n y + p z

trong đó

p \in {- 1; 0; 1}

và

m \in {- 1; 0; 1}

; thử tiếp — hãy biểu diễn

B^{'} D

và kiểm tra nó đúng bằng

- B D^{'}

hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.10★★★Trang 45— Đẳng thức vectơ giữa hai hình bình hành trong không gian

Bài 2.10 (trang 45). Trong không gian, cho hai hình bình hành

A B C D

và

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Chứng minh rằng:
a)

B B^{'} + D D^{'} = A B^{'} + A D^{'} - A B - A D

;
b)

B B^{'} + D D^{'} = C C^{'}

.
(Lưu ý: vế phải của ý b) trong sách in thiếu số hạng $A A^{'}$ — đẳng thức đúng phải là $B B^{'} + D D^{'} = A A^{'} + C C^{'}$ ; phần lời giải dưới đây chứng minh đẳng thức đúng và chỉ ra phản ví dụ cho đẳng thức in trong sách.)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: $X Y = A Y - A X$ với $A$ tuỳ ý.
Tứ giác $A B C D$ là hình bình hành khi và chỉ khi $A B + A D = A C$ , cũng tương đương với việc hai đường chéo $A C$ , $B D$ có chung trung điểm.
Với $O$ là trung điểm $A C$ và cũng là trung điểm $B D$ : $X A + X C = X B + X D = 2 X O$ với mọi điểm $X$ .
Quy tắc hình bình hành chỉ áp dụng được khi điểm gốc là một đỉnh của chính hình bình hành đó.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) chỉ là quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc

A

nên đúng với mọi bốn cặp điểm, không dùng tới giả thiết hình bình hành — đó là dấu hiệu cho thấy giả thiết hình bình hành dành riêng cho ý b). Với ý b), điều duy nhất mà tính chất hình bình hành cho ta là

A B + A D = A C

, còn từ

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

ta chỉ được

A^{'} B^{'} + A^{'} D^{'} = A^{'} C^{'}

— hai đẳng thức này gộp lại vẫn thừa ra một

A A^{'}

. Bẫy chết người là viết

A B^{'} + A D^{'} = A C^{'}

: quy tắc hình bình hành chỉ dùng được khi điểm gốc là một ĐỈNH của hình bình hành, mà

A

không phải đỉnh của

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

1Cách 1. Chen điểm

A

cho ý a), rồi dùng hai quy tắc hình bình hành cho ý b)

Định hướng. Đưa hết về các vectơ gốc $A$ thì ý a) hiện ra ngay; với ý b) chỉ được dùng quy tắc hình bình hành tại đỉnh $A$ của $A B C D$ và tại đỉnh $A^{'}$ của $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

B B^{'} = A B^{'} - A B

và

D D^{'} = A D^{'} - A D

B B^{'} + D D^{'} = A B^{'} + A D^{'} - A B - A D

A B C D

là hình bình hành nên

A B + A D = A C

A B^{'} + A D^{'} = (A A^{'} + A^{'} B^{'}) + (A A^{'} + A^{'} D^{'}) = 2 A A^{'} + A^{'} C^{'}

A^{'} C^{'} = A C^{'} - A A^{'}

A B^{'} + A D^{'} = A A^{'} + A C^{'}

B B^{'} + D D^{'} = A A^{'} + A C^{'} - A C = A A^{'} + C C^{'}

Vậy $B B^{'} + D D^{'} = A A^{'} + C C^{'}$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng tâm hai hình bình hành — cách ngắn nhất

Định hướng. Trong hình bình hành, tổng hai vectơ tới hai đỉnh đối luôn bằng hai lần vectơ tới tâm; ghép hai tâm lại thì cả hai vế đều rút gọn về cùng một vectơ.

gọi

O

là tâm hình bình hành

A B C D

và

O^{'}

là tâm hình bình hành

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

B B^{'} + D D^{'} = (O B^{'} - O B) + (O D^{'} - O D)

O B^{'} + O D^{'} = 2 O O^{'}

và

O B + O D = 0

B B^{'} + D D^{'} = 2 O O^{'}

A A^{'} + C C^{'} = (O A^{'} + O C^{'}) - (O A + O C) = 2 O O^{'} - 0

B B^{'} + D D^{'} = 2 O O^{'} = A A^{'} + C C^{'}

Vậy cả hai tổng đều bằng $2 O O^{'}$ , trong đó $O$ , $O^{'}$ là tâm của hai hình bình hành (đpcm).

3Cách 3. Vectơ vị trí và phản ví dụ cho đẳng thức in trong sách

Định hướng. Chuyển sang vectơ vị trí thì điều kiện hình bình hành thành một đẳng thức cộng rất gọn, đồng thời nhìn ra ngay phần bị thiếu ở vế phải của sách.

chọn gốc

O

tuỳ ý, đặt

a = O A, b = O B, c = O C, d = O D

và tương tự với các điểm phẩy

A B C D

là hình bình hành

\Leftrightarrow a + c = b + d

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình bình hành

\Leftrightarrow a^{'} + c^{'} = b^{'} + d^{'}

B B^{'} + D D^{'} = (b^{'} + d^{'}) - (b + d) = (a^{'} + c^{'}) - (a + c)

B B^{'} + D D^{'} = (a^{'} - a) + (c^{'} - c) = A A^{'} + C C^{'}

phản ví dụ cho đẳng thức in trong sách: lấy

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là ảnh của

A B C D

qua phép tịnh tiến theo vectơ

w \neq = 0

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'} = w

B B^{'} + D D^{'} = 2 w \neq = w = C C^{'}

Vậy đẳng thức đúng là $B B^{'} + D D^{'} = A A^{'} + C C^{'}$ ; đẳng thức in trong sách chỉ đúng trong trường hợp suy biến $A \equiv A^{'}$ .

Nhận xét. Ba cách đều dẫn tới cùng một kết luận: tổng hai vectơ nối một cặp đỉnh đối luôn bằng tổng hai vectơ nối cặp đỉnh đối còn lại, và bằng $2 O O^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: gọi tâm hai hình bình hành rồi rút gọn, cả bài chỉ còn bốn dòng và thấy ngay bản chất — hai tổng đều bằng

2 O O^{'}

. Cách 1 bám sát ý a) nên hợp khi đề bắt phải dùng kết quả câu trên.

Đáp số. a) Đúng với mọi vị trí các điểm: hai vế cùng bằng

(A B^{'} - A B) + (A D^{'} - A D)

. b) Đẳng thức đúng là

B B^{'} + D D^{'} = A A^{'} + C C^{'} = 2 O O^{'}

với

O

O^{'}

là tâm hai hình bình hành; đẳng thức

B B^{'} + D D^{'} = C C^{'}

như sách in là SAI, chỉ đúng khi

A A^{'} = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm chết người là viết

A B^{'} + A D^{'} = A C^{'}

để ép ra kết quả

C C^{'}

như sách; quy tắc hình bình hành đòi điểm gốc phải là ĐỈNH của hình bình hành, mà

A

không thuộc

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Kiểm ngay bằng phép tịnh tiến: nếu

A^{'} = A + w

và cả bốn đỉnh phẩy đều tịnh tiến như vậy thì

A B^{'} + A D^{'} = A B + A D + 2 w = A C + 2 w

, trong khi

A C^{'} = A C + w

— lệch đúng một

w

. Sai lầm thứ hai là dùng ý a) rồi cộng trừ tuỳ tiện mà không kiểm tra lại bằng một trường hợp cụ thể.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho hình bình hành: với hai hình bình hành

A B C D

và

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

bất kì trong không gian,

A A^{'} + C C^{'} = B B^{'} + D D^{'} = 2 O O^{'}

; thử phát biểu và chứng minh kết quả tương tự cho hai hình bình hành có tâm trùng nhau, khi đó tổng trên bằng

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.11★★★Trang 45— Góc giữa hai vectơ và tích vô hướng trong lăng trụ đứng đáy hình thoi

Bài 2.11 (trang 45). Cho hình lăng trụ đứng

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Biết rằng

A A^{'} = 2

và tứ giác

A B C D

là hình thoi có

A B = 1

và

A B C = 6 0^{\circ}

, hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a)

A B

và

A^{'} D^{'}

;
b)

A A^{'}

và

B D

;
c)

A B

và

A^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = u \cdot v \cdot cos (u, v)$ .
Góc giữa hai vectơ được đo sau khi đưa chúng về CHUNG GỐC, nhận giá trị từ $0^{\circ}$ đến $18 0^{\circ}$ .
Trong lăng trụ đứng, các mặt bên là hình chữ nhật nên $A A^{'} ⊥$ mọi vectơ nằm trong mặt đáy, và $A^{'} D^{'} = A D$ , $A^{'} C^{'} = A C$ .
Hình thoi cạnh $1$ có $A B C = 6 0^{\circ}$ thì tam giác $A B C$ đều, do đó $A C = 1$ và $B A D = 12 0^{\circ}$ , còn $B D = 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba cặp vectơ đều có một vectơ nằm ở mặt đáy dưới và một vectơ nằm ở mặt đáy trên, mà lăng trụ đứng cho

A^{'} D^{'} = A D

và

A^{'} C^{'} = A C

— dấu hiệu nói rằng bước đầu tiên luôn là DỜI vectơ về chung gốc

A

, sau đó bài chỉ còn là bài hình thoi phẳng. Giả thiết

A B C = 6 0^{\circ}

với hình thoi cạnh

1

kéo theo tam giác

A B C

đều, nên

A C = 1

và

B A D = 12 0^{\circ}

— hai số đo này quyết định toàn bộ đáp số. Bẫy lớn nhất là lẫn giữa góc của hình thoi tại

B

và góc giữa hai VECTƠ chung gốc

A

: chúng bù nhau chứ không bằng nhau.

1Cách 1. Dời về chung gốc

A

rồi đọc góc trên hình thoi

Định hướng. Thay mọi vectơ ở đáy trên bằng vectơ bằng nó ở đáy dưới, khi đó ba cặp đều chung gốc $A$ và góc đọc thẳng từ hình thoi $A B C D$ .

A B C D

là hình thoi cạnh

1

A B C = 6 0^{\circ}

nên tam giác

A B C

đều và

A C = 1

B A D = 12 0^{\circ}

B A C = 6 0^{\circ}

A^{'} D^{'} = A D

, suy ra

(A B, A^{'} D^{'}) = (A B, A D) = B A D = 12 0^{\circ}

A B \cdot A^{'} D^{'} = 1 \cdot 1 \cdot cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

b) lăng trụ đứng nên

A A^{'} ⊥ (A B C D)

, mà

B D \subset (A B C D)

(A A^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

và

A A^{'} \cdot B D = 2 \cdot 3 \cdot cos 9 0^{\circ} = 0

A^{'} C^{'} = A C

, suy ra

(A B, A^{'} C^{'}) = B A C = 6 0^{\circ}

A B \cdot A^{'} C^{'} = 1 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

Vậy a) góc $12 0^{\circ}$ , tích vô hướng $- \frac{1}{2}$ ; b) góc $9 0^{\circ}$ , tích vô hướng $0$ ; c) góc $6 0^{\circ}$ , tích vô hướng $\frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Phân tích theo

A B, A D

rồi khai triển tích vô hướng

Định hướng. Chỉ cần biết ba số $A B, A D$ và $A B \cdot A D$ ; mọi tích vô hướng khác đều khai triển được từ ba số đó, rồi suy ngược ra góc.

A B = A D = 1

và

A B \cdot A D = 1 \cdot 1 \cdot cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

A B \cdot A^{'} D^{'} = A B \cdot A D = - \frac{1}{2}

cos (A B, A^{'} D^{'}) = \frac{- \frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = - \frac{1}{2}

, suy ra góc bằng

12 0^{\circ}

B D = A D - A B

và

A A^{'} \cdot A B = A A^{'} \cdot A D = 0

A A^{'} \cdot B D = A A^{'} \cdot A D - A A^{'} \cdot A B = 0

, suy ra góc bằng

9 0^{\circ}

A^{'} C^{'} = A C = A B + A D

A B \cdot A^{'} C^{'} = A B^{2} + A B \cdot A D = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

A^{'} C^{'}^{2} = 1 + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 = 1

, nên

A^{'} C^{'} = 1

cos (A B, A^{'} C^{'}) = \frac{\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = \frac{1}{2}

, suy ra góc bằng

6 0^{\circ}

Vậy ba cặp có góc lần lượt $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ và tích vô hướng lần lượt $- \frac{1}{2}$ , $0$ , $\frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá với gốc tại tâm hình thoi

Định hướng. Hai đường chéo hình thoi vuông góc nên đặt chúng làm hai trục là có ngay hệ trục vuông góc, đường cao lăng trụ làm trục thứ ba.

hình thoi cạnh

1

A B C = 6 0^{\circ}

nên

A C = 1

và

B D = 3

gốc

O

là tâm hình thoi, trục hoành dọc

B D

, trục tung dọc

A C

, trục cao dọc

A A^{'}

A (0; - \frac{1}{2}; 0), B (- \frac{3}{2}; 0; 0), C (0; \frac{1}{2}; 0), D (\frac{3}{2}; 0; 0)

A^{'} (0; - \frac{1}{2}; 2), C^{'} (0; \frac{1}{2}; 2), D^{'} (\frac{3}{2}; 0; 2)

A B = (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 0)

A^{'} D^{'} = (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 0)

A B \cdot A^{'} D^{'} = - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

, hai vectơ đều có độ dài

1

nên góc bằng

12 0^{\circ}

A A^{'} = (0; 0; 2)

B D = (3; 0; 0)

, tích vô hướng

= 0

nên góc bằng

9 0^{\circ}

A^{'} C^{'} = (0; 1; 0)

A B \cdot A^{'} C^{'} = \frac{1}{2}

, hai độ dài đều bằng

1

nên góc bằng

6 0^{\circ}

Vậy kết quả trùng khớp: góc $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ và tích vô hướng $- \frac{1}{2}$ , $0$ , $\frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Có một phép thử nhanh: vì $A C = A B + A D$ nên hiệu hai đáp số của ý c) và ý a) phải đúng bằng $A B^{2} = 1$ ; ở đây $\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2}) = 1$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra

A^{'} D^{'} = A D

và

A^{'} C^{'} = A C

rồi đọc góc ngay trên hình thoi, mỗi ý gọn hai dòng. Cách 3 chắc chắn nhưng phải tính hai đường chéo và viết bảy bộ toạ độ.

Đáp số. a)

(A B, A^{'} D^{'}) = 12 0^{\circ}

và

A B \cdot A^{'} D^{'} = - \frac{1}{2}

. b)

(A A^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

và

A A^{'} \cdot B D = 0

. c)

(A B, A^{'} C^{'}) = 6 0^{\circ}

và

A B \cdot A^{'} C^{'} = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là lấy luôn

(A B, A D) = 6 0^{\circ}

vì đề cho

A B C = 6 0^{\circ}

; thực ra góc của hình thoi tại

A

là

B A D = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

, sai chỗ này thì ý a) ra

\frac{1}{2}

thay vì

- \frac{1}{2}

. Lỗi thứ hai là ở ý c) dùng

A^{'} C^{'} = 3

vì nhầm

A C

với đường chéo dài; hình thoi này có

A C = 1

(đường chéo ngắn) và

B D = 3

. Lỗi thứ ba là tính góc giữa hai ĐƯỜNG THẲNG rồi ghi làm góc giữa hai vectơ, nên ra

6 0^{\circ}

ở ý a) thay vì

12 0^{\circ}

— góc giữa hai đường thẳng luôn không vượt quá

9 0^{\circ}

, còn góc giữa hai vectơ có thể tù.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho lăng trụ đứng đáy hình thoi cạnh

a

với

A B C = α

A B \cdot A^{'} D^{'} = - a^{2} cos α

và

A B \cdot A^{'} C^{'} = a^{2} (1 - cos α)

; thử tiếp câu khó hơn cùng dữ kiện — tính góc giữa hai đường thẳng

A B^{'}

và

B C^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.12★★Trang 46— Khai triển tích vô hướng của tổ hợp hai vectơ

Bài 2.12 (trang 46). Trong không gian, cho hai vectơ

a

và

b

thoả mãn

a = 1

b = 2

và

(a, b) = 4 5^{\circ}

. Tính các tích vô hướng sau:
a)

(a + b)^{2}

;
b)

(a + b) \cdot (a - b)

;
c)

(2 a - b) \cdot (a + 3 b)

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = u \cdot v \cdot cos (u, v)$ và $u^{2} = u^{2}$ .
Tích vô hướng có tính giao hoán và phân phối với phép cộng, nên khai triển được như nhân đa thức.
$(u + v)^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2}$ và $(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}$ .
$cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba biểu thức đều là tích của hai tổ hợp bậc nhất theo

a

và

b

, nên mọi thứ chỉ phụ thuộc ba số

a^{2} = 1

b^{2} = 4

và

a \cdot b

— dấu hiệu nói rằng việc đầu tiên phải làm là tính

a \cdot b

một lần rồi dùng lại cho cả ba ý. Tích vô hướng có đầy đủ tính phân phối và giao hoán nên khai triển y hệt như nhân hai đa thức. Bẫy nằm ở ý b): nhìn thấy dạng hiệu hai bình phương là ra ngay

a^{2} - b^{2}

, hoàn toàn không cần tới góc

4 5^{\circ}

1Cách 1. Tính

a \cdot b

một lần rồi khai triển ba biểu thức

Định hướng. Ba câu hỏi chỉ khác nhau ở hệ số, nên tính sẵn ba đại lượng nền rồi lắp vào từng biểu thức.

a^{2} = a^{2} = 1, b^{2} = b^{2} = 4

a \cdot b = 1 \cdot 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2} = 1 + 22 + 4

(a + b)^{2} = 5 + 22

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2} = 1 - 4 = - 3

(2 a - b) \cdot (a + 3 b) = 2 a^{2} + 6 a \cdot b - b \cdot a - 3 b^{2}

= 2 a^{2} + 5 a \cdot b - 3 b^{2} = 2 + 52 - 12

(2 a - b) \cdot (a + 3 b) = - 10 + 52

Vậy a) $5 + 22$ ; b) $- 3$ ; c) $- 10 + 52$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá trong mặt phẳng chứa hai vectơ

Định hướng. Hai vectơ luôn đồng phẳng nên chỉ cần một hệ trục hai chiều; đặt $a$ dọc trục hoành cho gọn.

a = (1; 0)

b = (2 cos 4 5^{\circ}; 2 sin 4 5^{\circ}) = (2; 2)

a + b = (1 + 2; 2), a - b = (1 - 2; - 2)

(a + b)^{2} = (1 + 2)^{2} + (2)^{2} = 3 + 22 + 2 = 5 + 22

(1 + 2) (1 - 2) + 2 \cdot (- 2) = - 1 - 2 = - 3

2 a - b = (2 - 2; - 2), a + 3 b = (1 + 32; 32)

(2 - 2) (1 + 32) + (- 2) \cdot 32 = (2 + 62 - 2 - 6) - 6

= (- 4 + 52) - 6 = - 10 + 52

Vậy ba kết quả lần lượt là $5 + 22$ , $- 3$ và $- 10 + 52$ .

3Cách 3. Dùng định lí côsin trên hình bình hành dựng từ hai vectơ

Định hướng. Dựng hình bình hành có hai cạnh là $a$ , $b$ thì hai đường chéo chính là $a + b$ và $a - b$ ; độ dài hai đường chéo tính bằng định lí côsin.

trong tam giác dựng bởi

a

và

b

đặt nối tiếp, góc kề bằng

18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

a + b^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot cos 13 5^{\circ} = 5 + 22

(a + b)^{2} = a + b^{2} = 5 + 22

a - b^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = 5 - 22

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2} = 1 - 4 = - 3

a \cdot b = \frac{a + b ^{2} - a - b ^{2}}{4} = \frac{( 5 + 2 2 ) - ( 5 - 2 2 )}{4} = 2

2 a^{2} + 5 a \cdot b - 3 b^{2} = 2 + 52 - 12 = - 10 + 52

Vậy a) $5 + 22$ ; b) $- 3$ ; c) $- 10 + 52$ .

Nhận xét. Công thức $a \cdot b = \frac{a + b ^{2} - a - b ^{2}}{4}$ cho thấy tích vô hướng đo đúng độ chênh lệch giữa hai đường chéo của hình bình hành — hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi hai vectơ vuông góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính sẵn

a \cdot b = 2

rồi khai triển như nhân đa thức, cả ba ý gọn trong sáu dòng và ý b) chỉ mất một dòng nhờ hằng đẳng thức. Cách 2 an toàn nhưng phải nhân nhiều căn, dễ sai số học.

Đáp số.

a \cdot b = 2

; a)

(a + b)^{2} = 5 + 22

; b)

(a + b) \cdot (a - b) = - 3

; c)

(2 a - b) \cdot (a + 3 b) = - 10 + 52

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là viết

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} = 5

, tức quên số hạng chéo

2 a \cdot b

— chỉ đúng khi hai vectơ vuông góc. Lỗi thứ hai là ở ý c) rút gọn

6 a \cdot b - b \cdot a

thành

6 a \cdot b

vì tưởng

b \cdot a

là đại lượng khác; tích vô hướng giao hoán nên hai số hạng gộp lại còn

5 a \cdot b

. Lỗi thứ ba là dùng

cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}

, cho

a \cdot b = 1

rồi mọi đáp số đều lệch.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

a = m

b = n

(a, b) = φ

thì

(p a + q b) \cdot (r a + s b) = p r m^{2} + q s n^{2} + (p s + q r) mn cos φ

; thử tiếp câu khó hơn — tìm số thực

k

để

a + k b

vuông góc với

a - b

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.13★★★Trang 46— Trọng tâm tứ diện và đẳng thức tổng bốn vectơ

Bài 2.13 (trang 46). Cho tứ diện

A B C D

. Gọi

M

N

P

Q

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

B C

C D

D A

. Gọi

G

là giao điểm của

M P

và

N Q

. Chứng minh rằng

G A + GB + GC + G D = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình: $M$ , $N$ là trung điểm $A B$ , $B C$ thì $M N = \frac{1}{2} A C$ .
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành; hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
$I$ là trung điểm $X Y$ khi và chỉ khi $I X + I Y = 0$ ; với điểm $O$ tuỳ ý thì $O X + O Y = 2 O I$ .
Điểm $G$ thoả $G A + GB + GC + G D = 0$ gọi là trọng tâm tứ diện $A B C D$ và là điểm duy nhất có tính chất đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không nói

G

là trọng tâm mà định nghĩa

G

qua giao điểm hai đoạn nối trung điểm, nên bước bắt buộc đầu tiên là chứng minh hai đoạn ấy thực sự cắt nhau — tức chứng minh

M N P Q

là hình bình hành. Dấu hiệu để làm điều đó là

M N

và

QP

đều là đường trung bình ứng với cùng cạnh

A C

của hai tam giác khác nhau. Khi đã biết

G

là trung điểm chung của

M P

và

N Q

thì mọi đường đều dẫn tới cùng một kết quả, vì trung điểm luôn cho ta các cặp vectơ đối nhau.

1Cách 1. Chứng minh

M N P Q

là hình bình hành rồi ghép bốn vectơ thành hai cặp

Định hướng. Khi $G$ là trung điểm của $M P$ , mỗi cặp vectơ tới hai đầu một cạnh gộp lại thành hai lần vectơ tới trung điểm cạnh đó; hai kết quả ấy đối nhau nên triệt tiêu.

M N

là đường trung bình tam giác

A B C

nên

M N = \frac{1}{2} A C

QP

là đường trung bình tam giác

A C D

nên

QP = \frac{1}{2} A C

M N = QP

nên

M N P Q

là hình bình hành, hai đường chéo

M P

và

N Q

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

G

là trung điểm

M P

, đồng thời là trung điểm

N Q

, do đó

GM + GP = 0

G A + GB = 2 GM

vì

M

là trung điểm

A B

GC + G D = 2 GP

vì

P

là trung điểm

C D

G A + GB + GC + G D = 2 (GM + GP) = 0

Vậy $G A + GB + GC + G D = 0$ (đpcm).

2Cách 2. Ghép theo cặp cạnh đối

A C

và

B D

Định hướng. Thay vì dùng $M$ , $P$ , hãy dùng trung điểm hai cạnh ĐỐI $A C$ và $B D$ ; chứng minh $G$ cũng là trung điểm đoạn nối chúng thì lời giải vẫn chạy y hệt, lại lộ thêm một tính chất mới của tứ diện.

gọi

I

J

lần lượt là trung điểm

A C

và

B D

M I = \frac{1}{2} B C

vì

M I

là đường trung bình tam giác

A B C

J P = \frac{1}{2} B C

vì

J P

là đường trung bình tam giác

B C D

M I = J P

nên

M I P J

là hình bình hành, hai đường chéo

M P

và

I J

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

G

là trung điểm

M P

nên

G

cũng là trung điểm

I J

, do đó

G I + G J = 0

G A + GC = 2 G I

và

GB + G D = 2 G J

G A + GB + GC + G D = 2 (G I + G J) = 0

Vậy $G$ đồng thời là trung điểm của cả ba đoạn $M P$ , $N Q$ , $I J$ và tổng bốn vectơ bằng $0$ (đpcm).

3Cách 3. Vectơ vị trí — tính thẳng toạ độ của

G

Định hướng. Viết $G$ qua bốn đỉnh với một gốc tuỳ ý thì đẳng thức cần chứng minh trở thành một phép cộng bốn số hạng, không cần bất kì tính chất hình học nào.

chọn gốc

O

tuỳ ý;

M

P

là trung điểm

A B

C D

nên

O M = \frac{O A + O B}{2}, O P = \frac{O C + O D}{2}

N

Q

là trung điểm

B C

D A

nên

O N = \frac{O B + O C}{2}, O Q = \frac{O D + O A}{2}

trung điểm

M P

ứng với

\frac{O M + O P}{2} = \frac{O A + O B + O C + O D}{4}

trung điểm

N Q

ứng với

\frac{O N + O Q}{2} = \frac{O A + O B + O C + O D}{4}

hai trung điểm trùng nhau nên

M P

và

N Q

cắt nhau tại đó, tức

O G = \frac{O A + O B + O C + O D}{4}

G A + GB + GC + G D = (O A + O B + O C + O D) - 4 O G = 0

Vậy $G$ chính là trọng tâm tứ diện $A B C D$ và tổng bốn vectơ bằng $0$ (đpcm).

Nhận xét. Cách này chứng minh luôn sự TỒN TẠI của giao điểm $G$ chứ không thừa nhận như đề, đồng thời cho công thức $O G = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)$ dùng được cho mọi bài về trọng tâm tứ diện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một câu về đường trung bình để có hình bình hành

M N P Q

, rồi ghép hai cặp là xong trong bốn dòng. Cách 3 mạnh hơn vì chứng minh luôn

G

tồn tại, nên hợp với đề yêu cầu chặt chẽ.

Đáp số. Đẳng thức được chứng minh:

G A + GB + GC + G D = 0

, trong đó

G

là trọng tâm tứ diện, thoả

O G = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)

với mọi điểm

O

, và

G

là trung điểm chung của ba đoạn

M P

N Q

I J

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là thừa nhận ngay "

G

là trọng tâm tứ diện" rồi dùng luôn tính chất cần chứng minh — đây là lập luận vòng quanh, phải xuất phát từ định nghĩa

G

là giao của

M P

và

N Q

. Lỗi thứ hai là khẳng định

M P

cắt

N Q

mà không chứng minh

M

N

P

Q

đồng phẳng; bốn trung điểm này đồng phẳng đúng là nhờ

M N = QP

, không phải hiển nhiên trong không gian. Lỗi thứ ba là viết

G A + GB = GM

thay vì

2 GM

, làm mất hệ số

2

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

n

điểm

A_{1}, \dots, A_{n}

, điểm

G

thoả

G A_{1} + \dots + G A_{n} = 0

luôn tồn tại duy nhất và

O G = \frac{1}{n} (O A_{1} + \dots + O A_{n})

; thử tiếp câu khó hơn — chứng minh trọng tâm tứ diện cũng nằm trên đoạn nối mỗi đỉnh với trọng tâm mặt đối diện và chia đoạn đó theo tỉ số

3 : 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.14★★★Trang 46— Tích vô hướng giữa các vectơ của hình lập phương

Bài 2.14 (trang 46). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài các cạnh bằng

a

. Tính các tích vô hướng sau theo

a

:
a)

A C \cdot B^{'} D^{'}

;
b)

B D \cdot B^{'} C^{'}

;
c)

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Trong hình lập phương, $A B = D C = A^{'} B^{'} = D^{'} C^{'}$ và tương tự cho các cạnh còn lại.
Ba vectơ $A B, A D, A A^{'}$ đôi một vuông góc và cùng có độ dài $a$ , nên mọi tích chéo giữa chúng bằng $0$ , còn bình phương mỗi vectơ bằng $a^{2}$ .
Hai đường chéo của một hình vuông vuông góc với nhau.
Trong hình vuông cạnh $a$ , góc giữa một cạnh và đường chéo bằng $4 5^{\circ}$ , độ dài đường chéo bằng $a 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba cặp đều gồm một vectơ ở tầng dưới và một vectơ ở tầng trên, mà hình lập phương cho

B^{'} D^{'} = B D

B^{'} C^{'} = B C

A^{'} B^{'} = A B

— dấu hiệu nói rằng chỉ cần dời vectơ xuống mặt đáy là bài trở thành bài hình vuông quen thuộc. Ba cạnh chung đỉnh

A

đôi một vuông góc và cùng độ dài

a

nên bộ ba ấy là một cơ sở trực chuẩn nhân

a

, khai triển rất gọn. Bẫy ở ý a) là tưởng hai đường chéo

A C

và

B^{'} D^{'}

chéo nhau thì không tính được góc, thực ra chúng vuông góc nên tích bằng

0

1Cách 1. Dời vectơ về mặt đáy rồi dùng hình học hình vuông

Định hướng. Thay mọi vectơ tầng trên bằng vectơ bằng nó ở tầng dưới, khi đó cả ba tích đều diễn ra trong hình vuông $A B C D$ hoặc trong tam giác vuông quen thuộc.

B^{'} D^{'} = B D

, mà

A B C D

là hình vuông nên

A C ⊥ B D

A C \cdot B^{'} D^{'} = A C \cdot B D = a 2 \cdot a 2 \cdot cos 9 0^{\circ} = 0

B^{'} C^{'} = B C

, góc giữa đường chéo

B D

và cạnh

B C

của hình vuông bằng

4 5^{\circ}

B D \cdot B^{'} C^{'} = a 2 \cdot a \cdot cos 4 5^{\circ} = a 2 \cdot a \cdot \frac{2}{2} = a^{2}

A^{'} B^{'} = A B

; hình chiếu vuông góc của

C^{'}

lên đường thẳng

A B

là

B

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'} = A B \cdot A B = a^{2}

Vậy a) $0$ ; b) $a^{2}$ ; c) $a^{2}$ .

2Cách 2. Phân tích theo cơ sở ba cạnh chung đỉnh

A

Định hướng. Ba cạnh chung đỉnh $A$ đôi một vuông góc nên khi khai triển tích vô hướng, mọi số hạng chéo biến mất, chỉ còn các bình phương.

đặt

p = A B, q = A D, r = A A^{'}

p^{2} = q^{2} = r^{2} = a^{2}

và

p \cdot q = q \cdot r = r \cdot p = 0

A C = p + q

và

B^{'} D^{'} = B D = q - p

A C \cdot B^{'} D^{'} = (q + p) \cdot (q - p) = q^{2} - p^{2} = a^{2} - a^{2} = 0

B D = q - p

và

B^{'} C^{'} = B C = q

B D \cdot B^{'} C^{'} = (q - p) \cdot q = q^{2} - p \cdot q = a^{2} - 0 = a^{2}

A^{'} B^{'} = p

và

A C^{'} = p + q + r

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'} = p^{2} + p \cdot q + p \cdot r = a^{2}

Vậy ba tích vô hướng lần lượt bằng $0$ , $a^{2}$ và $a^{2}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá với gốc

A

Định hướng. Hình lập phương là hình sẵn có hệ trục vuông góc; ghi toạ độ tám đỉnh rồi mọi tích vô hướng chỉ còn là ba phép nhân và hai phép cộng.

A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (a; a; 0), D (0; a; 0)

A^{'} (0; 0; a), B^{'} (a; 0; a), C^{'} (a; a; a), D^{'} (0; a; a)

A C = (a; a; 0)

và

B^{'} D^{'} = (0; a; a) - (a; 0; a) = (- a; a; 0)

A C \cdot B^{'} D^{'} = a \cdot (- a) + a \cdot a + 0 \cdot 0 = 0

B D = (- a; a; 0)

và

B^{'} C^{'} = (a; a; a) - (a; 0; a) = (0; a; 0)

B D \cdot B^{'} C^{'} = (- a) \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^{2}

A^{'} B^{'} = (a; 0; 0)

và

A C^{'} = (a; a; a)

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'} = a \cdot a + 0 \cdot a + 0 \cdot a = a^{2}

Vậy $A C \cdot B^{'} D^{'} = 0$ , $B D \cdot B^{'} C^{'} = a^{2}$ , $A^{'} B^{'} \cdot A C^{'} = a^{2}$ .

Nhận xét. Kết quả ý a) bằng $0$ nói rằng hai đường thẳng $A C$ và $B^{'} D^{'}$ vuông góc với nhau, dù chúng chéo nhau; đó là ví dụ điển hình cho việc tích vô hướng đo được góc giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần dựng thêm hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt ba cạnh chung đỉnh làm cơ sở thì mọi tích chéo triệt tiêu, mỗi ý chỉ hai dòng và không phải nhớ toạ độ của tám đỉnh. Cách 3 cũng nhanh nhưng phải viết nhiều bộ ba số, dễ nhầm đỉnh.

Đáp số. a)

A C \cdot B^{'} D^{'} = 0

. b)

B D \cdot B^{'} C^{'} = a^{2}

. c)

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'} = a^{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là ở ý b) lấy góc bằng

13 5^{\circ}

và ra

- a^{2}

; góc giữa

B D

và

B C

đúng là

4 5^{\circ}

vì cả hai cùng xuất phát từ

B

, còn

13 5^{\circ}

là góc giữa

D B

và

B C

. Lỗi thứ hai là ở ý c) tính

A^{'} B^{'} \cdot A C^{'} = a \cdot a 3 \cdot cos φ

rồi loay hoay tìm

φ

; chỉ cần khai triển

A C^{'}

theo cơ sở là ra ngay

a^{2}

, và từ đó suy ngược

cos φ = \frac{1}{3}

. Lỗi thứ ba là kết luận ý a) bằng

0

nên

A C

cắt

B^{'} D^{'}

tại một điểm — tích vô hướng bằng

0

chỉ cho biết vuông góc, hai đường này vẫn chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho hình hộp chữ nhật kích thước

a

b

c

A C \cdot B^{'} D^{'} = b^{2} - a^{2}

, nên hai đường chéo ấy vuông góc khi và chỉ khi đáy là hình vuông; thử tiếp câu khó hơn — với hình lập phương cạnh

a

, tính góc giữa hai đường thẳng

A C^{'}

và

B D^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.15★★★★Trang 46— Chứng minh vuông góc bằng tích vô hướng trong hình chóp đều

Bài 2.15 (trang 46). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A = S B = S C

và

A S B = B S C = C S A

. Chứng minh rằng

S A \cdot B C = S B \cdot A C = S C \cdot A B = 0

Kiến thức cần nhớ

$B C = S C - S B$ (quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc $S$ ).
$u \cdot v = u \cdot v \cdot cos (u, v)$ ; hai vectơ khác $0$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng $0$ .
Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh cho các cạnh tương ứng bằng nhau.
$u \cdot v = \frac{u ^{2} + v ^{2} - u - v ^{2}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giả thiết cho ba cạnh bên bằng nhau VÀ ba góc ở đỉnh bằng nhau, tức là mọi tích vô hướng giữa hai vectơ cạnh bên đều bằng một hằng số chung — đó chính là dấu hiệu để tách

B C = S C - S B

rồi cho hai số hạng triệt tiêu nhau. Hướng này ngắn hơn hẳn hướng hình học vì không phải dựng chân đường cao hay chứng minh chóp đều. Bẫy của bài là vội kết luận "chóp đều nên đường cao đi qua tâm đáy" mà bỏ qua bước chứng minh tam giác

A B C

đều.

1Cách 1. Tách cạnh đáy thành hiệu hai cạnh bên rồi khai triển

Định hướng. Mọi vectơ trong bài đều viết được qua ba vectơ cạnh bên chung gốc $S$ ; khi đó hai số hạng thu được có cùng độ dài và cùng góc nên tự triệt tiêu.

đặt

S A = S B = S C = m

và

A S B = B S C = C S A = α

S A \cdot S B = S B \cdot S C = S C \cdot S A = m^{2} cos α

S A \cdot B C = S A \cdot (S C - S B) = S A \cdot S C - S A \cdot S B

S A \cdot B C = m^{2} cos α - m^{2} cos α = 0

S B \cdot A C = S B \cdot (S C - S A) = m^{2} cos α - m^{2} cos α = 0

S C \cdot A B = S C \cdot (S B - S A) = m^{2} cos α - m^{2} cos α = 0

Vậy $S A \cdot B C = S B \cdot A C = S C \cdot A B = 0$ , tức $S A ⊥ B C$ , $S B ⊥ A C$ , $S C ⊥ A B$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng công thức tích vô hướng theo ba độ dài

Định hướng. Viết tích vô hướng qua độ dài ba cạnh của tam giác thì giả thiết "ba cạnh bên bằng nhau, ba góc đỉnh bằng nhau" chuyển thành "tam giác đáy đều", và mọi thứ triệt tiêu theo từng cặp.

tam giác

S A B

và tam giác

S A C

có

S A

chung,

S B = S C

A S B = A S C

nên bằng nhau

A B = A C

; lập luận tương tự với hai tam giác

S B A

S B C

cho

B A = B C

A B = B C = C A

, tam giác

A B C

đều

S A \cdot S C = \frac{S A ^{2} + S C ^{2} - A C ^{2}}{2}, S A \cdot S B = \frac{S A ^{2} + S B ^{2} - A B ^{2}}{2}

S A \cdot B C = S A \cdot S C - S A \cdot S B = \frac{( S C ^{2} - S B ^{2} ) + ( A B ^{2} - A C ^{2} )}{2}

S B = S C

và

A B = A C

nên

S A \cdot B C = 0

hai tích còn lại tính hệt như vậy và cũng bằng

0

Vậy cả ba tích vô hướng đều bằng $0$ (đpcm).

3Cách 3. Dùng đường cao của hình chóp đều

Định hướng. Sau khi có tam giác đáy đều, chân đường cao hạ từ $S$ chính là tâm đáy; khi đó $B C$ vuông góc với cả hai đường cắt nhau trong một mặt phẳng nên vuông góc với chính mặt phẳng ấy.

tam giác

A B C

đều (chứng minh như Cách 2), gọi

O

là tâm của nó

S A = S B = S C

nên

O

cách đều

A

B

C

và

S O ⊥ (A B C)

gọi

I

là trung điểm

B C

, tam giác

A B C

đều nên

B C ⊥ A I

, mà

O

thuộc

A I

B C ⊥ A O

và

B C ⊥ S O

, hai đường

A O

S O

cắt nhau tại

O

và cùng thuộc mặt phẳng

(S A O)

B C ⊥ (S A O)

, mà

S A \subset (S A O)

nên

B C ⊥ S A

S A \cdot B C = S A \cdot B C \cdot cos 9 0^{\circ} = 0

vai trò ba đỉnh

A

B

C

như nhau nên

S B \cdot A C = S C \cdot A B = 0

Vậy ba cặp cạnh đối của tứ diện $S A B C$ đôi một vuông góc và ba tích vô hướng đều bằng $0$ (đpcm).

Nhận xét. Kết quả cho thấy $S A B C$ là một tứ diện trực tâm: ba cặp cạnh đối đôi một vuông góc; điều này đúng với mọi hình chóp thoả giả thiết của đề, bất kể góc $α$ bằng bao nhiêu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một dòng nhận xét ba tích vô hướng giữa các cạnh bên bằng nhau, rồi mỗi ý một dòng khai triển là xong, hoàn toàn không phải vẽ thêm đường phụ. Cách 3 đẹp về hình học nhưng phải chứng minh tam giác đáy đều rồi mới dựng được đường cao.

Đáp số. Cả ba tích vô hướng đều bằng

0

S A \cdot B C = S B \cdot A C = S C \cdot A B = 0

; nói cách khác

S A ⊥ B C

S B ⊥ A C

S C ⊥ A B

, tức

S A B C

là tứ diện có ba cặp cạnh đối đôi một vuông góc.

Sai lầm thường gặp. Lỗi thứ nhất là dùng ngay "hình chóp đều" mà chưa chứng minh tam giác

A B C

đều; giả thiết chỉ cho

S A = S B = S C

và ba góc ở đỉnh bằng nhau, phải qua ba tam giác bằng nhau mới suy ra

A B = B C = C A

. Lỗi thứ hai là tách sai chiều, viết

B C = S B - S C

rồi kết quả vẫn ra

0

nên không phát hiện được, nhưng ở những bài tương tự không đối xứng thì sai này làm lệch dấu toàn bộ. Lỗi thứ ba là kết luận

B C ⊥ (S A O)

khi mới chỉ có

B C ⊥ A O

, quên điều kiện phải vuông góc với hai đường CẮT NHAU của mặt phẳng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: chỉ cần

S B = S C

và

A S B = A S C

là đã có

S A ⊥ B C

, không cần tới cả sáu điều kiện của đề; thử tiếp câu khó hơn — chứng minh điều ngược lại, nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp thứ ba cũng vuông góc.

Mở bài này trong app ↗