Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Định hướng. Mỗi điều kiện kéo theo một quan hệ thuộc hoặc vuông góc; so với hình hộp để xem có mâu thuẫn không.

Vậy a) không; b) không; c) có, với gốc $O\equiv C$ và các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là các tia $CB$, $CD$, $C{C}^{\prime }$.

Định hướng. Giả sử lập được hệ trục, suy ra vị trí cụ thể của gốc và các trục rồi chỉ ra điểm vô lí.

Vậy a), b) không lập được; c) lập được với $O\equiv C$, $Ox$, $Oy$, $Oz$ là các tia $CB$, $CD$, $C{C}^{\prime }$.

Định hướng. Gắn tạm hình hộp vào một hệ toạ độ phụ $Axyz$ để biến quan hệ vuông góc thành tích vô hướng bằng $0$.

Vậy a) không; b) không (góc giữa hai mặt phẳng có cosin khác $0$); c) có: gốc $C$, ba tia $CB$, $CD$, $C{C}^{\prime }$ đôi một vuông góc.

Nhận xét. Cách này cho luôn số đo góc ở ý b): với hình lập phương ($b=c$) thì $\cos \widehat{DA{D}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, tức góc $45^{\circ }$.

Định hướng. Vị trí của $A$ cho biết dạng toạ độ, độ dài cho biết giá trị, dấu chọn theo tia.

Vậy a) $A(0;3;0)$; b) $A(0;0;-5)$; c) $A(8;5;0)$.

Định hướng. Toạ độ của $A$ chính là toạ độ của $\overrightarrow{OA}$, nên chỉ cần viết $\overrightarrow{OA}$ theo $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$.

Vậy a) $A(0;3;0)$; b) $A(0;0;-5)$; c) $A(8;5;0)$.

Định hướng. Trong mặt phẳng $(Oxy)$, hai hình chiếu $H$, $K$ của $A$ lên hai trục cùng $O$, $A$ tạo thành hình chữ nhật; đọc toạ độ từ các cạnh.

Vậy a) $A(0;3;0)$; b) $A(0;0;-5)$; c) $A(8;5;0)$.

Nhận xét. Khoảng cách tới trục $Ox$ luôn là cạnh $HA$ song song với $Oy$, nên nó quyết định TUNG độ; hình chữ nhật $OHAK$ giúp không đảo nhầm hai số.

Định hướng. Viết đủ ba hạng tử $x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ rồi đọc hệ số.

Vậy a) $\overrightarrow{AB}=(0;0;0)$; b) $\overrightarrow{AB}=(0;0;-2)$; c) $\overrightarrow{AB}=(3;-5;1)$.

Định hướng. Dùng toạ độ của ba vectơ đơn vị và phép nhân số, phép cộng vectơ theo từng thành phần.

Vậy a) $(0;0;0)$; b) $(0;0;-2)$; c) $(3;-5;1)$.

Định hướng. Toạ độ vectơ bằng toạ độ điểm $M$ với $\overrightarrow{OM}$ bằng vectơ đó; tìm $M$ bằng cách đi dọc các trục.

Vậy $\overrightarrow{AB}$ lần lượt bằng $(0;0;0)$, $(0;0;-2)$, $(3;-5;1)$.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy toạ độ của $\overrightarrow{AB}$ không phụ thuộc vị trí của $A$: dời vectơ về gốc $O$ thì ngọn của nó chỉ đường đi dọc ba trục.

Định hướng. Tính $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{OC}$ rồi so với $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{k}$.

Vậy a) $\overrightarrow{AB}=(-2;0;0)$ và $AB\parallel Ox$; b) $\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{k}$, $C$ thuộc tia $Oz$.

Định hướng. Viết $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ và mỗi vectơ vị trí qua $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$.

Vậy a) $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{i}=(-2;0;0)$, $AB\parallel Ox$; b) $\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{k}$, $C\in$ tia $Oz$.

Định hướng. $A$ và $B$ có cùng tung độ và cùng cao độ, nên cả đường thẳng $AB$ chỉ “chạy” theo phương hoành độ.

Vậy $AB\parallel Ox$ và $C$ thuộc tia $Oz$.

Nhận xét. Tổng quát: hai điểm chỉ khác nhau ở một toạ độ thì đường thẳng nối chúng song song (hoặc trùng) với trục ứng với toạ độ đó.

Định hướng. Gọi toạ độ $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ rồi lập hệ từ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$.

Vậy a) $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=(3;0;0)$; b) $O^{\prime }(3;0;0)$, $A^{\prime }(4;1;7)$, $B^{\prime }(5;4;7)$.

Định hướng. Toạ độ của $A^{\prime }$ là toạ độ của $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$; tách $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Vậy $O^{\prime }(3;0;0)$, $A^{\prime }(4;1;7)$, $B^{\prime }(5;4;7)$.

Định hướng. Cạnh bên $A{A}^{\prime }\parallel O{O}^{\prime }\subset Ox$, nên đi từ $A$ sang $A^{\prime }$ chỉ làm thay đổi hoành độ.

Vậy $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=(3;0;0)$, $O^{\prime }(3;0;0)$, $A^{\prime }(4;1;7)$, $B^{\prime }(5;4;7)$.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4-1;1-1;7-7)=(3;0;0)$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(5-2;4-4;7-7)=(3;0;0)$, cùng bằng $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$, nên ba mặt bên đều là hình bình hành.

Định hướng. Mỗi đỉnh nằm trên một trục hoặc tia đối của nó, nên toạ độ chỉ còn một thành phần khác $0$.

Vậy $S(0;0;5)$, $A(0;-2\sqrt{2};0)$, $B(2\sqrt{2};0;0)$, $C(0;2\sqrt{2};0)$, $D(-2\sqrt{2};0;0)$.

Định hướng. Vectơ từ tâm $O$ tới mỗi đỉnh cùng hướng hoặc ngược hướng với một vectơ đơn vị, độ dài đã biết.

Vậy $S(0;0;5)$, $A(0;-2\sqrt{2};0)$, $B(2\sqrt{2};0;0)$, $C(0;2\sqrt{2};0)$, $D(-2\sqrt{2};0;0)$.

Định hướng. Chưa tính đường chéo, đặt $B(b;0;0)$, $C(0;c;0)$ rồi cho $OB=OC$ và $BC=4$.

Vậy $S(0;0;5)$, $A(0;-2\sqrt{2};0)$, $B(2\sqrt{2};0;0)$, $C(0;2\sqrt{2};0)$, $D(-2\sqrt{2};0;0)$.

Nhận xét. Kiểm tra: $A{B}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=16$ nên $AB=4$, đúng cạnh đáy.

Định hướng. Mỗi đỉnh chưa biết là điểm cuối của một vectơ bằng vectơ cạnh đã biết.

Vậy $C(3;-1;0)$, $B^{\prime }(0;-1;-2)$, $C^{\prime }(3;-1;-2)$, $D^{\prime }(3;0;-2)$.

Định hướng. Vì $A\equiv O$, toạ độ của một đỉnh là toạ độ vectơ từ $A$ tới đỉnh đó, viết thành tổng các vectơ cạnh.

Vậy $C(3;-1;0)$, $B^{\prime }(0;-1;-2)$, $C^{\prime }(3;-1;-2)$, $D^{\prime }(3;0;-2)$.

Định hướng. $AD$, $AB$, $A{A}^{\prime }$ nằm trên $Ox$, $Oy$, $Oz$, nên hình chiếu của mỗi đỉnh lên ba trục là $A$ hoặc một trong ba đỉnh $D$, $B$, $A^{\prime }$.