Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang48–50 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.16★★Trang 48— Kiểm tra khả năng lập hệ trục toạ độ

O x y z

gắn với hình hộp chữ nhật

Bài 2.16 (trang 48). Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Có thể lập hệ toạ độ

O x y z

thoả mãn một trong các điều kiện sau đây hay không? Giải thích vì sao.
a) Gốc

O

trùng với đỉnh

A

, mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

.
b) Mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt phẳng

(A B C D)

và mặt phẳng

(O y z)

trùng với mặt phẳng

(A B C^{'} D^{'})

.
c) Mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt phẳng

(A B C D)

, trục

O z

trùng với đường thẳng

C C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Hệ toạ độ $O x y z$ gồm ba trục $O x$ , $O y$ , $O z$ đôi một vuông góc, cắt nhau tại gốc $O$ ; gốc $O$ thuộc cả ba mặt phẳng $(O x y)$ , $(O y z)$ , $(O z x)$ .
Ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc; trục $O z$ vuông góc với mặt phẳng $(O x y)$ tại $O$ .
Trong hình hộp chữ nhật, mỗi cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy; ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc.
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $d$ bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với $d$ tại một điểm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi “có lập được hay không” nên phải đối chiếu từng điều kiện với các tính chất bắt buộc của hệ

O x y z

: gốc

O

thuộc cả ba mặt phẳng toạ độ, ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc, trục

O z

vuông góc với

(O x y)

tại

O

. Chỉ cần một tính chất bị vi phạm là trả lời “không”; còn trả lời “có” thì phải chỉ ra được hệ trục cụ thể. Bẫy ở ý b): hai mặt phẳng

(A B C D)

và

(A B C^{'} D^{'})

cùng chứa

A B

nên dễ tưởng là vuông góc, thực ra chúng tạo góc

D A D^{'}

nhọn.

1Cách 1. Đối chiếu với tính chất của hệ trục (hình học tổng hợp)

Định hướng. Mỗi điều kiện kéo theo một quan hệ thuộc hoặc vuông góc; so với hình hộp để xem có mâu thuẫn không.

O \in (O x y)

và

O \equiv A

nên

A \in (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

A A^{'} > 0

nên

A \in / (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

— mâu thuẫn

(O x y) ⊥ (O y z)

, trong khi

(A B C D) \cap (A B C^{'} D^{'}) = A B

A D ⊥ A B

A D^{'} ⊥ A B

(vì

A B ⊥ (A D D^{'} A^{'})

) nên góc giữa

(A B C D)

và

(A B C^{'} D^{'})

là

D A D^{'}

tan D A D^{'} = \frac{D D ^{'}}{A D} > 0

và hữu hạn nên

0^{\circ} < D A D^{'} < 9 0^{\circ}

— hai mặt phẳng không vuông góc

C C^{'} ⊥ (A B C D)

tại

C

nên chọn

O \equiv C

C B ⊥ C D

C C^{'} ⊥ C B

C C^{'} ⊥ C D

O x \equiv

tia

C B

O y \equiv

tia

C D

O z \equiv

tia

C C^{'}

Vậy a) không; b) không; c) có, với gốc $O \equiv C$ và các tia $O x$ , $O y$ , $O z$ lần lượt là các tia $C B$ , $C D$ , $C C^{'}$ .

2Cách 2. Phản chứng qua giao tuyến và đường vuông góc

Định hướng. Giả sử lập được hệ trục, suy ra vị trí cụ thể của gốc và các trục rồi chỉ ra điểm vô lí.

a) Giả sử có:

A \equiv O \in (O x y) = (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

nên

A \in (A B C D) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = \emptyset

— vô lí

b) Giả sử có:

O y = (O x y) \cap (O y z) = (A B C D) \cap (A B C^{'} D^{'}) = A B

O z \subset (A B C^{'} D^{'})

O z ⊥ (A B C D)

tại

O \in A B

nên

O z ∥ A A^{'}

O z \subset (A B B^{'} A^{'})

(đường thẳng qua

O \in A B

, song song

A A^{'}

)

(A B B^{'} A^{'})

và

(A B C^{'} D^{'})

cùng chứa hai đường thẳng cắt nhau

A B

O z

nên trùng nhau

C^{'} \in (A B B^{'} A^{'})

— vô lí vì

B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

O z \equiv C C^{'}

O z \cap (O x y) = O

C C^{'} \cap (A B C D) = C

nên

O \equiv C

Chọn

O x

O y

là tia

C B

C D

(vuông góc tại

C

, nằm trong

(A B C D)

)

Vậy a), b) không lập được; c) lập được với $O \equiv C$ , $O x$ , $O y$ , $O z$ là các tia $C B$ , $C D$ , $C C^{'}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá hình hộp rồi dùng tích vô hướng

Định hướng. Gắn tạm hình hộp vào một hệ toạ độ phụ $A x y z$ để biến quan hệ vuông góc thành tích vô hướng bằng $0$ .

A (0; 0; 0)

B (a; 0; 0)

D (0; b; 0)

A^{'} (0; 0; c)

với

a, b, c > 0

C (a; b; 0)

C^{'} (a; b; c)

D^{'} (0; b; c)

a) mọi điểm của

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

có cao độ

c \neq = 0

, còn

A

có cao độ

0

nên

A \in / (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

A D = (0; b; 0)

A D^{'} = (0; b; c)

cùng vuông góc với

A B = (a; 0; 0)

cos D A D^{'} = \frac{A D \cdot A D ^{'}}{A D \cdot A D ^{'}} = \frac{b ^{2}}{b b ^{2} + c ^{2}} = \frac{b}{b ^{2} + c ^{2}} \neq = 0

C B = (0; - b; 0)

C D = (- a; 0; 0)

C C^{'} = (0; 0; c)

C B \cdot C D = C B \cdot C C^{'} = C D \cdot C C^{'} = 0

Vậy a) không; b) không (góc giữa hai mặt phẳng có cosin khác $0$ ); c) có: gốc $C$ , ba tia $C B$ , $C D$ , $C C^{'}$ đôi một vuông góc.

Nhận xét. Cách này cho luôn số đo góc ở ý b): với hình lập phương ( $b = c$ ) thì $cos D A D^{'} = \frac{1}{2}$ , tức góc $4 5^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý chỉ cần một quan hệ thuộc hoặc vuông góc, viết ba dòng là xong. Cách 3 hữu ích khi muốn kiểm chứng bằng số, nhất là ý b).

Đáp số. a) Không (vì

A \in / (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

); b) Không (vì

(A B C D)

và

(A B C^{'} D^{'})

không vuông góc); c) Có:

O \equiv C

, các tia

O x

O y

O z

lần lượt là các tia

C B

C D

C C^{'}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) nhiều bạn thấy hai mặt phẳng cùng chứa cạnh

A B

rồi kết luận “có”, quên rằng hai mặt phẳng toạ độ phải VUÔNG GÓC; góc

D A D^{'}

chỉ bằng

9 0^{\circ}

khi

D D^{'} = 0

, tức hình hộp bị bẹt. Ở ý c) có bạn đặt gốc

O

tuỳ ý trên

C C^{'}

, nhưng

O

phải là giao điểm của

O z

với

(O x y)

, tức là

C

🚀 Mở rộng. Với hình hộp chữ nhật bất kì có đúng

8

đỉnh làm gốc được; tại mỗi đỉnh có

3! = 6

cách gán ba cạnh cho

O x

O y

O z

, trong đó chỉ

3

cách cho hệ trục thuận chiều (quy tắc bàn tay phải).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.17★★Trang 49— Xác định toạ độ điểm nằm trên trục, trên mặt phẳng toạ độ

Bài 2.17 (trang 49). Trong không gian

O x y z

, xác định toạ độ của điểm

A

trong mỗi trường hợp sau:
a)

A

nằm trên tia

O y

và

O A = 3

;
b)

A

nằm trên tia đối của tia

O z

và

O A = 5

;
c)

A

nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng

(O x y)

, khoảng cách từ

A

đến

O x

và

O y

lần lượt là

5

và

8

Kiến thức cần nhớ

$M \in O x \Leftrightarrow M (x; 0; 0)$ ; $M \in O y \Leftrightarrow M (0; y; 0)$ ; $M \in O z \Leftrightarrow M (0; 0; z)$ ; $M \in (O x y) \Leftrightarrow M (x; y; 0)$ .
Điểm trên tia $O y$ có tung độ $y \geq 0$ ; điểm trên tia đối của tia $O z$ có cao độ $z \leq 0$ .
Toạ độ của điểm $M$ là toạ độ của vectơ $O M$ : $O M = x i + y j + z k \Leftrightarrow M (x; y; z)$ .
Khoảng cách từ $M (x; y; z)$ đến $O x$ , $O y$ lần lượt là $y^{2} + z^{2}$ và $x^{2} + z^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vị trí “trên tia

O y

”, “trên tia đối của

O z

”, “trong mặt phẳng

(O x y)

” cho biết ngay những toạ độ bằng

0

và dấu của toạ độ còn lại; độ dài cho trị tuyệt đối. Ý c) là chỗ dễ sai: khoảng cách từ

A

đến trục

O x

đo theo phương vuông góc với

O x

, nên nó bằng

∣ y ∣

chứ không phải

∣ x ∣

1Cách 1. Viết dạng toạ độ theo vị trí rồi dùng độ dài

Định hướng. Vị trí của $A$ cho biết dạng toạ độ, độ dài cho biết giá trị, dấu chọn theo tia.

A \in

tia

O y

nên

A (0; a; 0)

với

a \geq 0

O A = ∣ a ∣ = 3

nên

a = 3

A \in

tia đối của tia

O z

nên

A (0; 0; c)

với

c \leq 0

O A = ∣ c ∣ = 5

nên

c = - 5

A \in (O x y)

, góc phần tư thứ nhất nên

A (x; y; 0)

với

x > 0

y > 0

hình chiếu của

A

trên

O x

là

H (x; 0; 0)

nên

d (A, O x) = A H = y^{2} + 0^{2} = y = 5

hình chiếu của

A

trên

O y

là

K (0; y; 0)

nên

d (A, O y) = A K = x^{2} + 0^{2} = x = 8

Vậy a) $A (0; 3; 0)$ ; b) $A (0; 0; - 5)$ ; c) $A (8; 5; 0)$ .

2Cách 2. Biểu diễn

O A

qua các vectơ đơn vị

Định hướng. Toạ độ của $A$ chính là toạ độ của $O A$ , nên chỉ cần viết $O A$ theo $i$ , $j$ , $k$ .

O A

cùng hướng với

j

∣ O A ∣ = 3

nên

O A = 3 j = 0 i + 3 j + 0 k

O A

ngược hướng với

k

∣ O A ∣ = 5

nên

O A = - 5 k

O A = O H + H A

với

H

là hình chiếu của

A

trên

O x

O H = 8 i

(vì

O H = A K = d (A, O y) = 8

H A = 5 j

(vì

H A = d (A, O x) = 5

)

O A = 8 i + 5 j + 0 k

Vậy a) $A (0; 3; 0)$ ; b) $A (0; 0; - 5)$ ; c) $A (8; 5; 0)$ .

3Cách 3. Dựng hình chữ nhật hình chiếu trong mặt phẳng

(O x y)

(ý c)

Định hướng. Trong mặt phẳng $(O x y)$ , hai hình chiếu $H$ , $K$ của $A$ lên hai trục cùng $O$ , $A$ tạo thành hình chữ nhật; đọc toạ độ từ các cạnh.

a), b)

A

nằm trên trục nên hai toạ độ kia bằng

0

A (0; 3; 0)

A (0; 0; - 5)

O H A K

là hình chữ nhật (

O = H = K = 9 0^{\circ}

)

O H = K A = d (A, O y) = 8

O K = H A = d (A, O x) = 5

H

thuộc tia

O x

K

thuộc tia

O y

nên hoành độ

x_{A} = O H = 8

, tung độ

y_{A} = O K = 5

, cao độ

z_{A} = 0

Vậy a) $A (0; 3; 0)$ ; b) $A (0; 0; - 5)$ ; c) $A (8; 5; 0)$ .

Nhận xét. Khoảng cách tới trục $O x$ luôn là cạnh $H A$ song song với $O y$ , nên nó quyết định TUNG độ; hình chữ nhật $O H A K$ giúp không đảo nhầm hai số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho a), b) và Cách 3 cho c): vẽ nhanh hình chữ nhật

O H A K

là thấy ngay

x = 8

y = 5

, không thể đảo nhầm.

Đáp số. a)

A (0; 3; 0)

; b)

A (0; 0; - 5)

; c)

A (8; 5; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất ở ý c) là viết

A (5; 8; 0)

theo thứ tự số đề cho. Kiểm tra lại: với

A (5; 8; 0)

thì khoảng cách đến

O x

là

8^{2} + 0^{2} = 8

chứ không phải

5

. Ở ý b) hay quên dấu, viết

A (0; 0; 5)

— điểm đó nằm trên tia

O z

chứ không phải tia đối.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: điểm

M (x; y; z)

cách ba trục

O x

O y

O z

lần lượt

d_{1}

d_{2}

d_{3}

thì

y^{2} + z^{2} = d_{1}^{2}

x^{2} + z^{2} = d_{2}^{2}

x^{2} + y^{2} = d_{3}^{2}

; thử tìm

M

thuộc góc phần tám thứ nhất có

d_{1} = d_{2} = d_{3} = 2

(đáp số

M (1; 1; 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.18★Trang 49— Toạ độ của vectơ biểu diễn qua

i

j

k

Bài 2.18 (trang 49). Trong không gian

O x y z

, xác định toạ độ của vectơ

A B

trong mỗi trường hợp sau:
a)

A B = 0

;
b)

A B = - 2 k

;
c)

A B = 3 i - 5 j + k

Kiến thức cần nhớ

$a = x i + y j + z k \Leftrightarrow a = (x; y; z)$ .
$i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ , $0 = (0; 0; 0)$ .
Toạ độ của vectơ $a$ cũng là toạ độ của điểm $M$ sao cho $O M = a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.19★★Trang 49— Toạ độ vectơ theo hai đầu mút, nhận biết quan hệ song song với trục và điểm thuộc tia

Bài 2.19 (trang 49). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (4; 5; - 1)

B (2; 5; - 1)

C (0; 0; 3)

.
a) Tìm toạ độ của vectơ

A B

, từ đó suy ra đường thẳng

A B

song song với trục

O x

.
b) Biểu thị vectơ

O C

qua các vectơ đơn vị

i

j

k

, từ đó suy ra điểm

C

thuộc tia

O z

Kiến thức cần nhớ

Với $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ , $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ : $M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .
Đường thẳng $A B$ song song với $O x$ khi $A B = t i$ ( $t \neq = 0$ ) và $A \in / O x$ .
$M$ thuộc tia $O z$ khi $O M = t k$ với $t \geq 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.20★★Trang 49— Tìm toạ độ đỉnh hình lăng trụ nhờ các vectơ cạnh bên bằng nhau

Bài 2.20 (trang 49). Trong không gian

O x y z

, cho hình lăng trụ tam giác

O A B . O^{'} A^{'} B^{'}

có

A (1; 1; 7)

B (2; 4; 7)

và điểm

O^{'}

thuộc tia

O x

sao cho

O O^{'} = 3

.
a) Tìm toạ độ của vectơ

O O^{'}

.
b) Tìm toạ độ của các điểm

O^{'}

A^{'}

và

B^{'}

Kiến thức cần nhớ

$M$ thuộc tia $O x$ , $O M = m$ thì $O M = m i$ , $M (m; 0; 0)$ .
Trong hình lăng trụ $O A B . O^{'} A^{'} B^{'}$ : $O O^{'} = A A^{'} = B B^{'}$ (các mặt bên là hình bình hành).
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các toạ độ tương ứng bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.21★★Trang 49— Gắn hệ toạ độ vào hình chóp tứ giác đều và tìm toạ độ các đỉnh

Bài 2.21 (trang 49). Cho hình chóp tứ giác đều

S . A B C D

có chiều cao bằng

5

và độ dài cạnh đáy bằng

4

. Hãy xác định toạ độ các điểm

S

A

B

C

D

đối với hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với tâm của hình vuông

A B C D

, tia

O x

chứa

B

, tia

O y

chứa

C

và tia

O z

chứa

S

Kiến thức cần nhớ

Hình vuông cạnh $a$ có đường chéo $a 2$ ; hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
$M$ thuộc tia $O x$ (tia đối của tia $O x$ ), $O M = m$ thì $M (m; 0; 0)$ ( $M (- m; 0; 0)$ ); tương tự với $O y$ , $O z$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.22★★Trang 49— Tìm toạ độ các đỉnh hình hộp chữ nhật khi biết một đỉnh và ba đỉnh kề

Bài 2.22 (trang 49). Trong không gian

O x y z

, cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đỉnh

A

trùng với gốc

O

và các đỉnh

D

B

A^{'}

có toạ độ lần lượt là

(3; 0; 0)

(0; - 1; 0)

(0; 0; - 2)

. Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Trong hình hộp: $A B = D C = A^{'} B^{'} = D^{'} C^{'}$ ; $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
Quy tắc hình hộp: $A C^{'} = A B + A D + A A^{'}$ .
Khi $A \equiv O$ , toạ độ đỉnh $M$ là toạ độ của $A M$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.23★Trang 50— Mô hình hoá tình huống thực tế bằng hệ trục toạ độ

O x y z

Bài 2.23 (trang 50). Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.
a) Có thể thiết lập một hệ trục toạ độ

O x y z

với gốc

O

là chân cột cờ, hai trục

O x

O y

lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia

O z

trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.
b) Giả sử cột cờ có chiều cao

1, 5

m. Hãy xác định toạ độ của điểm đầu cột cờ đối với hệ toạ độ ở câu a (đơn vị đo trong không gian lấy theo mét).

Kiến thức cần nhớ

Hệ trục $O x y z$ : ba trục đôi một vuông góc, cắt nhau tại gốc $O$ .
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
$M$ thuộc tia $O z$ , $O M = m$ thì $M (0; 0; m)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.24★Trang 50— Ý nghĩa của cao độ trong mô hình thực tế

Bài 2.24 (trang 50). Trong không gian xét hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt biển với trục

O x

hướng về phía tây, trục

O y

hướng về phía nam và trục

O z

hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.
a) Hãy giải thích vì sao toạ độ của tàu ngầm luôn có dạng

(x; y; z)

với

z \leq 0

.
b) Khi nào thì toạ độ của chiếc tàu ngầm là

(x; y; 0)

Kiến thức cần nhớ

Cao độ $z$ của $M (x; y; z)$ : $z > 0$ khi $M$ ở phía $k$ của mặt phẳng $(O x y)$ , $z < 0$ khi ở phía ngược lại, $z = 0$ khi $M \in (O x y)$ .
Với $O M = x i + y j + z k$ thì $z = O M \cdot k$ (vì $i$ , $j$ , $k$ đôi một vuông góc, $∣ k ∣ = 1$ ).
Nếu $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(O x y)$ thì $H (x; y; 0)$ và $M H = ∣ z ∣$ .