Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 21 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★Trang 60— Nhận ra hệ trục toạ độ là công cụ mô tả vị trí trong không gian

Mở đầu (trang 60). Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?

Kiến thức cần nhớ

Hệ trục toạ độ $O x y z$ gồm ba trục $O x$ , $O y$ , $O z$ đôi một vuông góc tại gốc $O$ , với các vectơ đơn vị $i$ , $j$ , $k$ .
Mỗi điểm $M$ trong không gian ứng với duy nhất một bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $O M = x i + y j + z k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng ba khoảng cách tới ba mặt phẳng đôi một vuông góc (sàn và hai bức tường) — đó chính là ba mặt phẳng toạ độ của một hệ

O x y z

có gốc ở góc phòng. Ở lớp 10, một điểm trên mặt phẳng cần hai số; trong không gian phải thêm một số nữa cho độ cao, nên câu trả lời là một bộ ba số. Bẫy nhỏ: ba khoảng cách phải được đo tới ba mặt phẳng đôi một vuông góc thì mới thành toạ độ.

1Cách 1. Gắn hệ toạ độ vào góc phòng

Định hướng. Góc phòng là chỗ ba mặt phẳng đôi một vuông góc gặp nhau — lấy đó làm gốc toạ độ.

Gốc

O

: góc phòng;

(O x y)

: sàn nhà;

(O y z)

(O z x)

: hai bức tường
Khoảng cách tới

(O y z)

là

1

nên

x = 1

Khoảng cách tới

(O z x)

là

1, 5

nên

y = 1, 5

Khoảng cách tới

(O x y)

là

2

nên

z = 2

L (1; 1, 5; 2)

Vậy hệ trục toạ độ $O x y z$ trong không gian cho phép ghi vị trí bóng đèn gọn trong một bộ ba số $(1; 1, 5; 2)$ .

2Cách 2. Quy về hình hộp chữ nhật

Định hướng. Bóng đèn cùng góc phòng là hai đỉnh đối diện của một hình hộp chữ nhật có ba kích thước $1$ ; $1, 5$ ; $2$ .

Hình hộp chữ nhật có ba cạnh xuất phát từ

O

dài

1

;

1, 5

;

2

nằm trên

O x

O y

O z

O L = 1 \cdot i + 1, 5 \cdot j + 2 \cdot k

(quy tắc hình hộp)

L (1; 1, 5; 2)

Vậy vị trí bóng đèn được mô tả bằng vectơ $O L$ trong hệ toạ độ $O x y z$ , tức bộ ba số $(1; 1, 5; 2)$ .

3Cách 3. So sánh với toạ độ trên mặt phẳng

Định hướng. Nhìn từ trên xuống, bóng đèn chiếu xuống sàn thành một điểm của mặt phẳng — thêm độ cao là đủ.

Hình chiếu của bóng đèn xuống sàn:

L_{1} (1; 1, 5)

trong hệ

O x y

trên sàn (hai số như lớp 10)
Độ cao của bóng đèn so với sàn:

2

Ghép lại:

L (1; 1, 5; 2)

Vậy kiến thức cần dùng là hệ trục toạ độ trong không gian — mở rộng hệ $O x y$ của lớp 10 bằng trục $O z$ chỉ độ cao.

Nhận xét. Nếu đổi vai trò hai bức tường thì được $(1, 5; 1; 2)$ ; toạ độ phụ thuộc cách chọn hệ trục, nhưng một khi đã chọn thì vị trí được mô tả duy nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là câu trả lời đúng tinh thần bài học và ngắn nhất: gọi tên ba mặt phẳng toạ độ rồi đọc thẳng ba khoảng cách thành ba toạ độ.

Đáp số. Hệ trục toạ độ

O x y z

trong không gian; chọn gốc ở góc phòng thì bóng đèn có toạ độ

(1; 1, 5; 2)

(đơn vị mét).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nghĩ chỉ cần hai số như trên mặt phẳng, ví dụ ghi

(1; 1, 5)

. Phản ví dụ: một bóng đèn treo cao

2

m và một vết bẩn trên sàn ở ngay dưới nó có cùng hai số

(1; 1, 5)

nhưng là hai vị trí khác hẳn nhau.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ góc phòng tới bóng đèn là độ dài đường chéo hình hộp:

1^{2} + 1, 5^{2} + 2^{2} = 7, 25 \approx 2, 69

m — công thức này sẽ gặp lại ở Bài 8.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 60— Nhận biết mặt phẳng toạ độ và quan hệ vuông góc giữa chúng

HĐ1 (trang 60). Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian. Trong không gian, xét ba trục

O x

O y

O z

có chung gốc

O

và đôi một vuông góc với nhau. Gọi

i

j

k

là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).
a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.
b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Hai trục cắt nhau xác định một mặt phẳng: $(O x y)$ , $(O y z)$ , $(O z x)$ .
Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó.
Mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi mặt phẳng toạ độ được tạo bởi hai trong ba trục, nên có đúng

3

mặt phẳng: chọn

2

trong

3

trục. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, cách quen thuộc nhất là tìm trong mặt này một đường thẳng vuông góc với mặt kia — ở đây trục thứ ba làm đúng vai trò đó. Bẫy: không được lấy lí do “nhìn hình thấy vuông” mà phải dựa vào giả thiết ba trục đôi một vuông góc.

1Cách 1. Dùng điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Định hướng. Trục còn lại luôn vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai trục kia.

a) Ba mặt phẳng toạ độ:

(O x y)

(O y z)

(O z x)

O z ⊥ O x

O z ⊥ O y

và

O x

O y

cắt nhau tại

O

nên

O z ⊥ (O x y)

O z \subset (O y z)

nên

(O y z) ⊥ (O x y)

;

O z \subset (O z x)

nên

(O z x) ⊥ (O x y)

O x ⊥ O y

O x ⊥ O z

nên

O x ⊥ (O y z)

;

O x \subset (O z x)

nên

(O z x) ⊥ (O y z)

Vậy a) $(O x y)$ , $(O y z)$ , $(O z x)$ ; b) ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc.

2Cách 2. Tính góc nhị diện

Định hướng. Hai mặt phẳng vuông góc khi góc phẳng của góc nhị diện tạo bởi chúng bằng $9 0^{\circ}$ .

(O x y) \cap (O y z) = O y

O x \subset (O x y)

O x ⊥ O y

;

O z \subset (O y z)

O z ⊥ O y

Góc phẳng nhị diện

[x, O y, z]

là

x O z = 9 0^{\circ}

Tương tự

y O z = 9 0^{\circ}

(giao tuyến

O x

x O y = 9 0^{\circ}

(giao tuyến

O z

)

Vậy các góc nhị diện đều vuông nên ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc.

3Cách 3. Liên hệ với hình lập phương

Định hướng. Dựng trên ba trục một hình lập phương có một đỉnh tại $O$ — ba mặt phẳng toạ độ chứa ba mặt kề đỉnh $O$ .

Lấy

A

B

C

trên

O x

O y

O z

với

O A = O B = O C = 1

O A

O B

O C

đôi một vuông góc và bằng nhau nên dựng được hình lập phương cạnh

1

có ba cạnh

O A

O B

O C

Ba mặt kề đỉnh

O

của hình lập phương nằm trong

(O x y)

(O y z)

(O z x)

Ba mặt kề một đỉnh của hình lập phương đôi một vuông góc

Vậy ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc, giống ba mặt kề một góc của hình lập phương.

Nhận xét. Hình ảnh “góc hình lập phương” rất tiện để tưởng tượng: sàn nhà và hai bức tường ở góc phòng chính là ba mặt phẳng toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nên dùng khi trình bày: chỉ ra một trục vuông góc với mặt phẳng chứa hai trục kia là xong, đúng chuẩn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

Đáp số. a)

(O x y)

(O y z)

(O z x)

. b) Có, ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc với nhau.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là gọi thêm “mặt phẳng

(O y x)

” như một mặt phẳng mới. Thật ra

(O y x)

và

(O x y)

là cùng một mặt phẳng, nên chỉ có đúng

3

mặt phẳng toạ độ.

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng toạ độ

(O x y)

gồm đúng các điểm có

z = 0

; hãy thử viết điều kiện tương tự cho

(O y z)

và

(O z x)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi 1 (trang 61)★Trang 61— Nhận diện hệ toạ độ Oxyz trong hình ảnh thực tế

Câu hỏi 1 (trang 61). Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ

O x y z

trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó.

Kiến thức cần nhớ

Hệ toạ độ $O x y z$ có ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc, cắt nhau từng đôi theo ba trục.
Tường nhà xây thẳng đứng vuông góc với sàn; hai bức tường ở góc phòng vuông góc với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Góc phòng là nơi sàn nhà và hai bức tường gặp nhau — ba mặt phẳng đôi một vuông góc, đúng như ba mặt phẳng toạ độ. Ba giao tuyến của chúng (hai mép chân tường và cạnh góc tường thẳng đứng) chính là ba trục. Bẫy: trục là giao tuyến của hai mặt phẳng, không phải là một mặt phẳng.

1Cách 1. Mô tả qua các mặt phẳng

Định hướng. Chỉ ra ba mặt phẳng đôi một vuông góc gặp nhau tại góc phòng.

Gốc toạ độ

O

: điểm góc phòng, nơi sàn gặp hai bức tường

(O x y)

: mặt sàn nhà

(O y z)

và

(O z x)

: hai bức tường

Vậy có; gốc $O$ là góc phòng, các mặt phẳng toạ độ là sàn nhà và hai bức tường.

2Cách 2. Mô tả qua các trục

Định hướng. Ba đường thẳng là ba giao tuyến tại góc phòng — mỗi đôi tạo ra một mặt phẳng toạ độ.

O x

O y

: hai mép chân tường nằm trên sàn

O z

: cạnh góc tường thẳng đứng

(O x y)

chứa

O x

O y

: sàn;

(O y z)

(O z x)

: hai bức tường

Vậy góc phòng gợi lên hệ $O x y z$ với gốc $O$ ở góc phòng; sàn là $(O x y)$ , hai tường là $(O y z)$ , $(O z x)$ .

3Cách 3. Kiểm tra đủ điều kiện của một hệ trục

Định hướng. Một hệ toạ độ cần ba trục chung gốc đôi một vuông góc — đối chiếu từng điều kiện với góc phòng.

Ba mép tường gặp nhau tại một điểm: chung gốc

O

Cạnh góc tường thẳng đứng vuông góc với sàn nên vuông góc với hai mép chân tường
Hai bức tường vuông góc nên hai mép chân tường vuông góc với nhau
Ba đường đôi một vuông góc tại

O

: đủ điều kiện một hệ trục toạ độ

Vậy góc căn phòng là hình ảnh của hệ toạ độ $O x y z$ : gốc là góc phòng, mặt phẳng toạ độ là sàn và hai bức tường.

Nhận xét. Bóng đèn ở tình huống mở đầu vì thế có toạ độ bằng đúng ba khoảng cách của nó tới sàn và hai bức tường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 trả lời đúng trọng tâm câu hỏi (gốc và mặt phẳng toạ độ) chỉ trong ba dòng; Cách 3 dùng khi cần lập luận chặt vì sao đó là một hệ trục.

Đáp số. Có. Gốc toạ độ

O

là góc phòng; mặt phẳng

(O x y)

là sàn nhà, hai mặt phẳng

(O y z)

(O z x)

là hai bức tường.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là gọi trần nhà là một mặt phẳng toạ độ trong khi gốc lại đặt ở góc dưới sàn. Trần nhà không đi qua góc dưới đó nên không thể là mặt phẳng toạ độ của hệ có gốc ở chân tường.

🚀 Mở rộng. Nếu đặt gốc ở góc trên của phòng (chỗ trần gặp hai bức tường) thì các mặt phẳng toạ độ đổi thành trần và hai bức tường — xem Bài 2.14.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 61— Kiểm tra điều kiện lập hệ trục toạ độ từ các cạnh của hình hộp

Luyện tập 1 (trang 61). Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Có thể lập một hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với đỉnh

C

và các vectơ

i

j

k

lần lượt cùng hướng với các vectơ

C B

C D

C C^{'}

không? Giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

Ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp chữ nhật đôi một vuông góc.
Vectơ đơn vị cùng hướng với $a \neq = 0$ là $\frac{1}{∣ a ∣} a$ .
Hai vectơ khác $0$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không đòi

i

j

k

bằng các vectơ cạnh mà chỉ đòi cùng hướng — nên độ dài các cạnh không quan trọng, chỉ cần ba cạnh

C B

C D

C C^{'}

đôi một vuông góc. Khác với Ví dụ 1 (hình lập phương cạnh

1

), ở đây phải “chuẩn hoá” mỗi vectơ cạnh bằng cách chia cho độ dài của nó.

1Cách 1. Chuẩn hoá ba vectơ cạnh

Định hướng. Ba cạnh tại $C$ đôi một vuông góc; chia mỗi vectơ cạnh cho độ dài của nó để được vectơ đơn vị.

C B

C D

C C^{'}

là ba cạnh xuất phát từ

C

của hình hộp chữ nhật nên đôi một vuông góc

i = \frac{1}{C B} C B

j = \frac{1}{C D} C D

k = \frac{1}{C C ^{'}} C C^{'}

∣ i ∣ = ∣ j ∣ = ∣ k ∣ = 1

;

i

j

k

cùng hướng với

C B

C D

C C^{'}

Ba tia

C B

C D

C C^{'}

chung gốc

C

, đôi một vuông góc: lấy làm

O x

O y

O z

với

O \equiv C

Vậy có thể lập được hệ toạ độ $O x y z$ như yêu cầu.

2Cách 2. Kiểm tra vuông góc bằng tích vô hướng

Định hướng. Điều kiện then chốt là ba vectơ đôi một vuông góc — kiểm bằng tích vô hướng.

A B C D

là hình chữ nhật nên

C B \cdot C D = 0

C C^{'} ⊥ (A B C D)

nên

C C^{'} \cdot C B = 0

và

C C^{'} \cdot C D = 0

i \cdot j = \frac{C B \cdot C D}{C B \cdot C D} = 0

; tương tự

j \cdot k = k \cdot i = 0

i

j

k

là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc, chung điểm đầu

C

Vậy lập được hệ toạ độ $O x y z$ gốc $C$ với $i$ , $j$ , $k$ lần lượt cùng hướng $C B$ , $C D$ , $C C^{'}$ .

3Cách 3. Dựng hệ rồi đọc toạ độ các đỉnh để kiểm chứng

Định hướng. Đặt $C B = a$ , $C D = b$ , $C C^{'} = c$ ; nếu hệ trục dựng được thì mọi đỉnh phải có toạ độ hợp lí.

C B = a i

C D = b j

C C^{'} = c k

B (a; 0; 0)

D (0; b; 0)

C^{'} (0; 0; c)

C A = C B + C D = a i + b j

nên

A (a; b; 0)

C A^{'} = C B + C D + C C^{'} = a i + b j + c k

nên

A^{'} (a; b; c)

Vậy hệ toạ độ gốc $C$ dựng được và mọi đỉnh của hình hộp đều có toạ độ xác định.

Nhận xét. Khác Ví dụ 1 ở chỗ các cạnh không nhất thiết dài $1$ , nên $i$ , $j$ , $k$ chỉ cùng hướng chứ không bằng $C B$ , $C D$ , $C C^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách nên viết khi làm bài: một dòng nêu ba cạnh đôi một vuông góc, một dòng chuẩn hoá thành vectơ đơn vị là đủ ý.

Đáp số. Có. Vì

C B

C D

C C^{'}

đôi một vuông góc nên lấy

i = \frac{C B}{C B}

j = \frac{C D}{C D}

k = \frac{C C ^{'}}{C C ^{'}}

và gốc

O \equiv C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là trả lời “không được vì các cạnh của hình hộp không dài bằng

1

”. Đề chỉ đòi cùng hướng: với

C B = 3

thì

i = \frac{1}{3} C B

vẫn cùng hướng

C B

và dài đúng

1

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tại mỗi đỉnh của hình hộp chữ nhật có thể dựng một hệ toạ độ lấy ba cạnh tại đỉnh đó làm ba trục; có bao nhiêu cách chọn như thế nếu kể cả thứ tự ba trục?

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ2★★Trang 61— Phân tích vectơ OM theo ba vectơ đơn vị

HĐ2 (trang 61). Hình thành khái niệm toạ độ của điểm trong không gian. Trong không gian

O x y z

, cho một điểm

M

không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật

O A D B . C F M E

có ba đỉnh

A

B

C

lần lượt thuộc các tia

O x

O y

O z

(H.2.37).
a) Hai vectơ

O M

và

O A + O B + O C

có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết

O M = x i + y j + z k

với

x

y

z

là các số thực.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình hộp: $O A + O B + O C = O M$ với $O M$ là đường chéo của hình hộp có ba cạnh $O A$ , $O B$ , $O C$ .
Nếu $a$ cùng phương với $b \neq = 0$ thì có duy nhất số $m$ sao cho $a = m b$ .

🧠 Phân tích tư duy

O M

là đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba cạnh

O A

O B

O C

tại

O

— dấu hiệu dùng quy tắc hình hộp. Sau đó mỗi vectơ

O A

O B

O C

nằm trên một trục nên cùng phương với vectơ đơn vị của trục đó. Bẫy:

x

y

z

là số thực có dấu, không phải độ dài; ở hình vẽ

M

nằm ở phần dương của các trục nên chúng đều dương.

1Cách 1. Quy tắc hình hộp rồi cùng phương

Định hướng. Đường chéo $O M$ của hình hộp bằng tổng ba vectơ cạnh tại $O$ .

O A + O B + O C = O M

(quy tắc hình hộp)
b)

A \in O x

nên

O A

cùng phương

i

O A = x i

B \in O y

nên

O B = y j

;

C \in O z

nên

O C = z k

O M = x i + y j + z k

Vậy a) hai vectơ bằng nhau; b) $O M = x i + y j + z k$ với $x = O A$ , $y = O B$ , $z = O C$ (ở hình vẽ).

2Cách 2. Cộng từng bước bằng quy tắc ba điểm

Định hướng. Đi từ $O$ tới $M$ theo ba cạnh liên tiếp của hình hộp, rồi thay mỗi cạnh bằng vectơ bằng nó xuất phát từ $O$ .

O M = O A + A D + D M

O A D B

là hình chữ nhật nên

A D = O B

O D M C

là hình chữ nhật nên

D M = O C

O M = O A + O B + O C = x i + y j + z k

Vậy $O M = O A + O B + O C$ và viết được $O M = x i + y j + z k$ .

3Cách 3. Qua hình chiếu xuống mặt phẳng (Oxy)

Định hướng. Chiếu $M$ xuống mặt phẳng $(O x y)$ được $D$ ; phần nằm ngang là bài toán toạ độ phẳng của lớp 10, phần thẳng đứng nằm trên phương $O z$ .

O M = O D + D M

O D = O A + O B = x i + y j

(quy tắc hình bình hành trong

(O x y)

)

D M ∥ O C

nên

D M = O C = z k

O M = x i + y j + z k

Vậy cả hai câu đều đúng: $O M = O A + O B + O C = x i + y j + z k$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy toạ độ không gian chỉ là toạ độ phẳng $(x; y)$ của hình chiếu cộng thêm cao độ $z$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn và ngắn nhất: quy tắc hình hộp cho ngay câu a, tính cùng phương cho ngay câu b.

Đáp số. a) Có,

O M = O A + O B + O C

. b) Vì

O A = x i

O B = y j

O C = z k

nên

O M = x i + y j + z k

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

O M = O A + O B + O C

rồi kết luận

O M = O A + O B + O C

cho độ dài. Phản ví dụ: hình lập phương cạnh

1

có

O M = 3 \approx 1, 73

trong khi

O A + O B + O C = 3

🚀 Mở rộng. Nếu

M

nằm trong mặt phẳng

(O x y)

thì hình hộp suy biến thành hình chữ nhật

O A D B

và

z = 0

; nếu

M

nằm trên

O x

thì chỉ còn

O M = x i

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu hỏi 2 (trang 61)★Trang 61— Tìm toạ độ của gốc toạ độ

Câu hỏi 2 (trang 61). Hãy tìm toạ độ của gốc

O

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z)$ khi và chỉ khi $O M = x i + y j + z k$ ; bộ ba số đó là duy nhất.
Điểm thuộc $(O x y)$ có $z = 0$ , thuộc $(O y z)$ có $x = 0$ , thuộc $(O z x)$ có $y = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của một điểm

M

được định nghĩa qua

O M

, nên với chính điểm

O

ta phải xét

O O = 0

. Hướng khác là nhìn vị trí:

O

thuộc cả ba mặt phẳng toạ độ.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Viết $O O$ dưới dạng $x i + y j + z k$ .

O O = 0 = 0 \cdot i + 0 \cdot j + 0 \cdot k

Bộ ba số là duy nhất nên

O (0; 0; 0)

Vậy $O (0; 0; 0)$ .

2Cách 2. Theo hình chiếu trên ba trục

Định hướng. Hình chiếu của $M (x; y; z)$ lên $O x$ , $O y$ , $O z$ là $(x; 0; 0)$ , $(0; y; 0)$ , $(0; 0; z)$ .

Hình chiếu của

O

lên cả ba trục đều là chính

O

x = 0

y = 0

z = 0

Vậy gốc toạ độ có toạ độ $(0; 0; 0)$ .

3Cách 3. Theo các mặt phẳng toạ độ

Định hướng. $O$ là giao điểm của cả ba mặt phẳng toạ độ.

O \in (O x y)

nên

z = 0

O \in (O y z)

nên

x = 0

O \in (O z x)

nên

y = 0

Vậy $O (0; 0; 0)$ .

Nhận xét. Gốc $O$ là điểm duy nhất có cả ba toạ độ bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là đủ và chặt nhất: một dòng

O O = 0 = 0 i + 0 j + 0 k

Đáp số.

O (0; 0; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nghĩ gốc

O

“không có toạ độ” vì định nghĩa dùng

O M

với

M

khác

O

. Định nghĩa áp dụng cho mọi điểm

M

, kể cả

M \equiv O

với

O O = 0

🚀 Mở rộng. Tương tự, điểm

A

trên tia

O x

với

O A = a

có toạ độ

(a; 0; 0)

— thử tìm toạ độ của điểm trên tia đối của tia

O z

cách

O

một khoảng

3

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 62— Đọc toạ độ của điểm từ hình vẽ

Luyện tập 2 (trang 62). Tìm toạ độ của điểm

N

trong Hình 2.39.
(Trên lưới ô vuông cạnh $1$ đơn vị của Hình 2.39: hình chiếu của $N$ xuống $(O x y)$ cách $O y$ $2$ ô theo phương $O x$ và cách $O x$ $5$ ô theo phương $O y$ ; $N$ cao hơn mặt phẳng $(O x y)$ $4$ ô.)

Kiến thức cần nhớ

$O M = x i + y j + z k$ thì $M (x; y; z)$ .
Hình chiếu của $M (x; y; z)$ lên $(O x y)$ , $(O y z)$ , $(O z x)$ lần lượt là $(x; y; 0)$ , $(0; y; z)$ , $(x; 0; z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình 2.39 cho

N

cùng ba đoạn thẳng màu xanh nối

N

với hình chiếu của nó lên

(O x y)

(O y z)

và

(O z x)

— đó là “khung” của một hình hộp chữ nhật có đường chéo

O N

. Chỉ cần đếm ô theo từng phương. Bẫy: đếm ô theo trục

O x

trên hình phải đếm theo phương xiên của trục, không đếm theo chiều ngang của trang giấy.

1Cách 1. Dựng hình hộp chữ nhật có đường chéo ON

Định hướng. Đưa $N$ về đỉnh đối diện $O$ của hình hộp chữ nhật có ba cạnh nằm trên ba trục.

Lấy

P (2; 0; 0) \in O x

Q (0; 5; 0) \in O y

R (0; 0; 4) \in O z

O N = O P + O Q + O R

(quy tắc hình hộp)

O N = 2 i + 5 j + 4 k

N (2; 5; 4)

Vậy $N (2; 5; 4)$ .

2Cách 2. Chiếu xuống mặt phẳng (Oxy) rồi lấy độ cao

Định hướng. Đoạn xanh thẳng đứng dưới $N$ cho hình chiếu $N_{1}$ trên $(O x y)$ — toạ độ phẳng của $N_{1}$ đọc như lớp 10.

N_{1}

là hình chiếu của

N

lên

(O x y)

N_{1} (2; 5; 0)

N_{1} N = 4 k

O N = O N_{1} + N_{1} N = 2 i + 5 j + 4 k

Vậy toạ độ điểm $N$ là $(2; 5; 4)$ .

3Cách 3. Ghép hai hình chiếu lên hai mặt phẳng đứng

Định hướng. Hai đoạn xanh còn lại chạy tới hai bức “tường” $(O z x)$ và $(O y z)$ ; mỗi hình chiếu cho hai toạ độ.

Hình chiếu lên

(O z x)

(2; 0; 4)

nên

x = 2

z = 4

Hình chiếu lên

(O y z)

(0; 5; 4)

nên

y = 5

z = 4

N (2; 5; 4)

Vậy $N (2; 5; 4)$ .

Nhận xét. Hai hình chiếu cho cùng cao độ $z = 4$ — đó là phép kiểm tra chéo ngay trên hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 gọn nhất khi đọc hình: đếm ba cạnh của hình hộp trên ba trục rồi ghi ngay

O N = 2 i + 5 j + 4 k

Đáp số.

N (2; 5; 4)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là đếm nhầm thứ tự thành

N (5; 2; 4)

vì trục

O y

nằm ngang, nổi bật hơn trục

O x

vẽ xiên. Nhớ: hoành độ luôn đọc theo trục

O x

(trục hướng về phía người nhìn), tung độ theo

O y

🚀 Mở rộng. Thử lại với điểm

P

nằm trên đoạn xanh chạy về mặt phẳng

(O y z)

, cách

N

đúng

1

ô:

P (1; 5; 4)

; cả đoạn xanh đó gồm các điểm có dạng

(t; 5; 4)

với

0 \leq t \leq 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 62— Tìm toạ độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật đặt trong hệ Oxyz

Luyện tập 3 (trang 62). Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm

B

D

và

C^{'}

.
(Ví dụ 3: Trong không gian $O x y z$ , cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đỉnh $A^{'}$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $D^{'}$ , $B^{'}$ , $A$ lần lượt thuộc các tia $O x$ , $O y$ , $O z$ ; đỉnh $C$ có toạ độ $(2; 3; 5)$ . Khi đó $D^{'} (2; 0; 0)$ , $B^{'} (0; 3; 0)$ , $A (0; 0; 5)$ .)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành và quy tắc hình hộp.
Hình chiếu của $M (x; y; z)$ lên $(O x y)$ , $(O y z)$ , $(O z x)$ lần lượt là $(x; y; 0)$ , $(0; y; z)$ , $(x; 0; z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba cạnh tại

A^{'} \equiv O

nằm trên ba trục với độ dài

2

3

5

, nên mỗi đỉnh là tổng của một số trong ba vectơ

2 i

3 j

5 k

. Nhìn nhanh hơn:

B

D

C^{'}

lần lượt là hình chiếu của

C

lên ba mặt phẳng toạ độ. Bẫy: nhầm tên đỉnh vì đáy trên là

A B C D

còn đáy dưới là

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành

Định hướng. Mỗi đỉnh cần tìm là đỉnh thứ tư của một mặt hình chữ nhật có hai cạnh nằm trên hai trục.

O B = O B^{'} + O A = 3 j + 5 k

(mặt

A B B^{'} A^{'}

) nên

B (0; 3; 5)

O D = O D^{'} + O A = 2 i + 5 k

(mặt

A D D^{'} A^{'}

) nên

D (2; 0; 5)

O C^{'} = O D^{'} + O B^{'} = 2 i + 3 j

(mặt

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

) nên

C^{'} (2; 3; 0)

Vậy $B (0; 3; 5)$ , $D (2; 0; 5)$ , $C^{'} (2; 3; 0)$ .

2Cách 2. Hình chiếu của C lên các mặt phẳng toạ độ

Định hướng. $C$ là đỉnh đối diện gốc; ba đỉnh $C^{'}$ , $B$ , $D$ kề $C$ chính là ba hình chiếu của $C$ .

C C^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = (O x y)

nên

C^{'}

là hình chiếu của

C (2; 3; 5)

lên

(O x y)

C^{'} (2; 3; 0)

C B ⊥ (A B B^{'} A^{'}) = (O y z)

nên

B

là hình chiếu của

C

lên

(O y z)

B (0; 3; 5)

C D ⊥ (A D D^{'} A^{'}) = (O z x)

nên

D

là hình chiếu của

C

lên

(O z x)

D (2; 0; 5)

Vậy $B (0; 3; 5)$ , $D (2; 0; 5)$ , $C^{'} (2; 3; 0)$ .

3Cách 3. Vectơ bằng nhau

Định hướng. Các cạnh song song cùng chiều của hình hộp cho các vectơ bằng nhau, dùng công thức toạ độ vectơ theo hai đầu mút.

C B = D^{'} A^{'} = (0 - 2; 0 - 0; 0 - 0) = (- 2; 0; 0)

nên

B (2 - 2; 3; 5) = (0; 3; 5)

C D = B^{'} A^{'} = (0; - 3; 0)

nên

D (2; 3 - 3; 5) = (2; 0; 5)

C C^{'} = A A^{'} = (0; 0; - 5)

nên

C^{'} (2; 3; 5 - 5) = (2; 3; 0)

Vậy $B (0; 3; 5)$ , $D (2; 0; 5)$ , $C^{'} (2; 3; 0)$ .

Nhận xét. Cách 3 dùng công thức $M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ học ở HĐ4 ngay sau đây; nó áp dụng được cả cho hình hộp không vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất: chỉ việc “xoá” một toạ độ của

C (2; 3; 5)

là ra ngay ba đỉnh kề

C

Đáp số.

B (0; 3; 5)

D (2; 0; 5)

C^{'} (2; 3; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tưởng

B

nằm trên

(O x y)

và ghi

B (0; 3; 0)

— đó là toạ độ của

B^{'}

. Đỉnh

B

thuộc đáy trên

A B C D

nên có cao độ bằng cao độ của

A

là

5

🚀 Mở rộng. Hình hộp chữ nhật có một đỉnh tại

O

, ba cạnh trên ba trục, đỉnh đối diện

(a; b; c)

thì tám đỉnh là mọi bộ

(x; y; z)

với

x \in {0; a}

y \in {0; b}

z \in {0; c}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Vận dụng 1★★Trang 62— Chọn hệ toạ độ và xác định toạ độ điểm trong bài toán thực tế

Vận dụng 1 (trang 62). Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ độ của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó.
(Tình huống mở đầu: bóng đèn treo cách sàn nhà $2$ m, cách hai bức tường lần lượt là $1$ m và $1, 5$ m.)

Kiến thức cần nhớ

Gốc $O$ ở góc phòng, $(O x y)$ là sàn, $(O y z)$ và $(O z x)$ là hai bức tường.
Điểm $M (x; y; z)$ cách $(O y z)$ , $(O z x)$ , $(O x y)$ lần lượt $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ , $∣ z ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sàn và hai bức tường đôi một vuông góc, gặp nhau tại góc phòng — chọn đó làm gốc, ba giao tuyến làm ba trục (đơn vị mét). Khoảng cách tới mỗi mặt phẳng toạ độ chính là trị tuyệt đối của toạ độ tương ứng, và bóng đèn ở phía trong phòng nên các toạ độ đều dương. Bẫy: phải nói rõ trục nào vuông góc với bức tường nào, vì đổi vai trò hai tường thì toạ độ đổi theo.

1Cách 1. Hình hộp chữ nhật với đường chéo OL

Định hướng. Bóng đèn $L$ là đỉnh đối diện $O$ của hình hộp chữ nhật có ba kích thước là ba khoảng cách đã cho.

Chọn

O

ở góc phòng;

O x

O y

là hai mép chân tường,

O z

là cạnh góc tường thẳng đứng; đơn vị mét
Bức tường cách đèn

1

m là

(O y z)

, bức tường cách đèn

1, 5

m là

(O z x)

O L = 1 \cdot i + 1, 5 \cdot j + 2 \cdot k

L (1; 1, 5; 2)

Vậy với hệ toạ độ đã chọn, bóng đèn có toạ độ $(1; 1, 5; 2)$ .

2Cách 2. Khoảng cách tới ba mặt phẳng toạ độ

Định hướng. Đọc thẳng ba khoảng cách thành ba toạ độ, dấu dương vì đèn ở phía trong phòng.

d (L, (O y z)) = ∣ x ∣ = 1

x > 0

nên

x = 1

d (L, (O z x)) = ∣ y ∣ = 1, 5

y > 0

nên

y = 1, 5

d (L, (O x y)) = ∣ z ∣ = 2

z > 0

nên

z = 2

Vậy $L (1; 1, 5; 2)$ .

3Cách 3. Hình chiếu xuống sàn

Định hướng. Chiếu bóng đèn xuống sàn được $L_{1}$ — bài toán phẳng hai toạ độ; rồi cộng độ cao $2$ m.

L_{1}

là hình chiếu của

L

lên sàn

(O x y)

L_{1} (1; 1, 5; 0)

L_{1} L = 2 k

O L = O L_{1} + L_{1} L = i + 1, 5 j + 2 k

Vậy $L (1; 1, 5; 2)$ .

Nhận xét. Nếu chọn bức tường cách đèn $1, 5$ m làm $(O y z)$ thì được $L (1, 5; 1; 2)$ — cũng đúng, miễn là nói rõ hệ toạ độ đã chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 ngắn nhất khi đi thi: nêu hệ toạ độ rồi đọc ngay ba khoảng cách thành ba toạ độ.

Đáp số. Chọn gốc

O

ở góc phòng,

(O x y)

là sàn,

(O y z)

là bức tường cách đèn

1

(O z x)

là bức tường cách đèn

1, 5

m (đơn vị mét): bóng đèn có toạ độ

(1; 1, 5; 2)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là ghi toạ độ mà không mô tả hệ toạ độ, hoặc đặt

O z

hướng xuống rồi vẫn ghi

z = 2

. Phản ví dụ: nếu

O z

hướng xuống sàn thì bóng đèn phía trên có cao độ

- 2

, không phải

2

🚀 Mở rộng. Nếu chọn gốc ở góc trên của phòng (trần cao

3

m) với

O z

vẫn hướng lên thì bóng đèn có toạ độ

(1; 1, 5; - 1)

— toạ độ đổi nhưng vị trí thì không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ3★★Trang 62— Phân tích vectơ bất kì theo ba vectơ đơn vị

HĐ3 (trang 62). Hình thành khái niệm toạ độ của vectơ trong không gian. Trong không gian

O x y z

, cho vectơ

a

tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm

M

sao cho

O M = a

và giải thích vì sao có bộ ba số

(x; y; z)

sao cho

a = x i + y j + z k

Kiến thức cần nhớ

Với mỗi điểm $O$ và vectơ $a$ có duy nhất điểm $M$ sao cho $O M = a$ .
$M (x; y; z)$ khi và chỉ khi $O M = x i + y j + z k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ

a

“trôi tự do” trong không gian, còn toạ độ thì đã được định nghĩa cho điểm. Mấu chốt là đặt

a

về gốc

O

: điểm cuối

M

có toạ độ, và toạ độ đó chuyển sang cho

a

. Bẫy:

M

phải được lấy sao cho

O M = a

— với mỗi vectơ có đúng một điểm như vậy.

1Cách 1. Dùng toạ độ của điểm M

Định hướng. Đưa vectơ về điểm, dùng toạ độ của điểm đã biết.

Lấy

M

với

O M = a

và gọi

(x; y; z)

là toạ độ của

M

O M = x i + y j + z k

a = x i + y j + z k

Vậy luôn có bộ ba số $(x; y; z)$ — chính là toạ độ của $M$ — sao cho $a = x i + y j + z k$ .

2Cách 2. Dựng hình hộp chữ nhật có đường chéo OM

Định hướng. Lặp lại cách làm của HĐ2 cho điểm $M$ .

Gọi

A

B

C

là hình chiếu của

M

lên

O x

O y

O z

O M = O A + O B + O C

(quy tắc hình hộp)

O A = x i

O B = y j

O C = z k

(cùng phương)

a = O M = x i + y j + z k

Vậy tồn tại bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $a = x i + y j + z k$ .

3Cách 3. Tách thành phần nằm ngang và thẳng đứng

Định hướng. Chiếu $M$ xuống $(O x y)$ được $M_{1}$ : phần nằm ngang phân tích theo $i$ , $j$ như lớp 10, phần thẳng đứng cùng phương $k$ .

a = O M = O M_{1} + M_{1} M

O M_{1} = x i + y j

(toạ độ trong mặt phẳng

(O x y)

)

M_{1} M ⊥ (O x y)

nên

M_{1} M = z k

a = x i + y j + z k

Vậy có bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $a = x i + y j + z k$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho thấy toạ độ của $a$ trùng với toạ độ của điểm $M$ mà $O M = a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là ngắn gọn và đúng bản chất nhất: vectơ nhận toạ độ từ điểm cuối khi đặt điểm đầu ở gốc.

Đáp số. Lấy

M

với

O M = a

; nếu

M (x; y; z)

thì

a = O M = x i + y j + z k

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy toạ độ điểm cuối của vectơ khi điểm đầu không ở gốc. Phản ví dụ:

A B

với

A (1; 0; 0)

B (1; 2; 0)

có toạ độ

(0; 2; 0)

, không phải

(1; 2; 0)

🚀 Mở rộng. Hai vectơ bằng nhau thì có cùng toạ độ và ngược lại — nhờ đó ta so sánh vectơ chỉ bằng cách so sánh ba cặp số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 4★Trang 63— Đọc toạ độ vectơ từ biểu diễn theo i, j, k

Luyện tập 4 (trang 63). Trong không gian

O x y z

, hãy xác định toạ độ của vectơ

i + 2 j + 5 k

Kiến thức cần nhớ

$a = x i + y j + z k$ khi và chỉ khi $a = (x; y; z)$ .
$i = (1; 0; 0)$ , $j = (0; 1; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ đã được viết sẵn dưới dạng

x i + y j + z k

, chỉ việc đọc ba hệ số. Bẫy: hệ số của

i

là

1

(không viết ra), đừng bỏ sót thành

0

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Đọc hệ số của $i$ , $j$ , $k$ .

i + 2 j + 5 k = 1 \cdot i + 2 \cdot j + 5 \cdot k

Toạ độ:

(1; 2; 5)

Vậy $i + 2 j + 5 k = (1; 2; 5)$ .

2Cách 2. Cộng các vectơ đơn vị đã có toạ độ

Định hướng. Dùng toạ độ của $i$ , $j$ , $k$ ở Ví dụ 4 rồi cộng theo từng thành phần.

i + 2 j + 5 k = (1; 0; 0) + 2 (0; 1; 0) + 5 (0; 0; 1)

= (1; 0; 0) + (0; 2; 0) + (0; 0; 5)

= (1; 2; 5)

Vậy toạ độ của vectơ là $(1; 2; 5)$ .

3Cách 3. Qua điểm M

Định hướng. Đặt vectơ vào gốc $O$ rồi đọc toạ độ điểm cuối.

Lấy

M

với

O M = i + 2 j + 5 k

M (1; 2; 5)

Toạ độ vectơ bằng toạ độ

M

(1; 2; 5)

Vậy $i + 2 j + 5 k = (1; 2; 5)$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng phép cộng vectơ theo toạ độ sẽ được học kĩ ở Bài 8.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là đủ: một dòng đọc hệ số, không cần tính toán.

Đáp số.

i + 2 j + 5 k = (1; 2; 5)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là ghi

(0; 2; 5)

vì không thấy hệ số viết trước

i

. Hệ số ẩn bằng

1

; ví dụ

j - k = (0; 1; - 1)

🚀 Mở rộng. Thử với

3 k - i

: phải sắp lại theo thứ tự

i

j

k

thành

- i + 0 j + 3 k = (- 1; 0; 3)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ4★★Trang 63— Toạ độ vectơ theo toạ độ hai đầu mút

HĐ4 (trang 63). Thiết lập toạ độ của vectơ theo toạ độ hai đầu mút. Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

M (x; y; z)

và

N (x^{'}; y^{'}; z^{'})

.
a) Hãy biểu diễn hai vectơ

O M

và

O N

qua các vectơ

i

j

và

k

.
b) Xác định toạ độ của vectơ

M N

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z)$ khi và chỉ khi $O M = x i + y j + z k$ .
Quy tắc hiệu: $M N = O N - O M$ .
$M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của điểm cho ngay

O M

O N

; còn

M N

không xuất phát từ gốc nên phải đưa về hiệu

O N - O M

. Bẫy: “cuối trừ đầu”, lấy toạ độ

N

trừ toạ độ

M

, không làm ngược lại.

1Cách 1. Quy tắc hiệu

Định hướng. Viết $M N$ thành hiệu hai vectơ xuất phát từ gốc.

O M = x i + y j + z k

;

O N = x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k

M N = O N - O M

= (x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k) - (x i + y j + z k)

= (x^{'} - x) i + (y^{'} - y) j + (z^{'} - z) k

Vậy $M N = (x^{'} - x; y^{'} - y; z^{'} - z)$ .

2Cách 2. Quy tắc ba điểm

Định hướng. Đi từ $M$ về gốc rồi từ gốc tới $N$ .

M N = M O + O N = - O M + O N

= - x i - y j - z k + x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k

= (x^{'} - x) i + (y^{'} - y) j + (z^{'} - z) k

Vậy $M N = (x^{'} - x; y^{'} - y; z^{'} - z)$ .

3Cách 3. Đặt ẩn rồi dùng tính duy nhất của toạ độ

Định hướng. Gọi $M N = (a; b; c)$ rồi đồng nhất hệ số trong đẳng thức $O N = O M + M N$ .

M N = a i + b j + c k

O N = O M + M N = (x + a) i + (y + b) j + (z + c) k

Toạ độ của

N

là duy nhất nên

x + a = x^{'}

y + b = y^{'}

z + c = z^{'}

a = x^{'} - x

b = y^{'} - y

c = z^{'} - z

Vậy $M N = (x^{'} - x; y^{'} - y; z^{'} - z)$ .

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: khi $M \equiv O$ công thức cho $O N = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ , đúng với định nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là chuẩn nhất khi trình bày: quy tắc hiệu một dòng rồi gom hệ số.

Đáp số. a)

O M = x i + y j + z k

O N = x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k

. b)

M N = (x^{'} - x; y^{'} - y; z^{'} - z)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy đầu trừ cuối:

M N = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})

. Phản ví dụ:

M (0; 0; 0)

N (1; 0; 0)

thì

M N = i = (1; 0; 0)

, không phải

(- 1; 0; 0)

🚀 Mở rộng. Từ công thức này suy ra ngay:

A B C D

là hình bình hành khi và chỉ khi

A B = D C

, tức

x_{B} - x_{A} = x_{C} - x_{D}

y_{B} - y_{A} = y_{C} - y_{D}

z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Luyện tập 5★★★Trang 64— Tìm đỉnh của hình hộp bằng vectơ bằng nhau

Luyện tập 5 (trang 64). Trong Ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm

D

và

D^{'}

sao cho

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình hộp.
(Ví dụ 5: hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 2; 5)$ , $C (7; - 3; 9)$ và $A^{'} (5; 0; 1)$ ; đã tìm được $B^{'} (7; 2; 4)$ , $C^{'} (11; - 3; 8)$ .)

Kiến thức cần nhớ

$A B C D$ là hình bình hành khi và chỉ khi $A D = B C$ .
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi toạ độ tương ứng bằng nhau.
$M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình hộp có mọi mặt là hình bình hành:

A B C D

là hình bình hành cho

D

, còn

D D^{'}

bằng vectơ cạnh bên

A A^{'}

cho

D^{'}

. Bẫy lớn nhất là thứ tự đỉnh:

A B C D

là hình bình hành nghĩa là

A D = B C

, không phải

A B = C D

1Cách 1. Vectơ bằng nhau

Định hướng. Dùng $A D = B C$ cho $D$ , rồi $D D^{'} = A A^{'}$ cho $D^{'}$ .

D (x; y; z)

A D = (x - 1; y; z - 2)

B C = (7 - 3; - 3 - 2; 9 - 5) = (4; - 5; 4)

A D = B C

nên

x = 5

y = - 5

z = 6

, tức

D (5; - 5; 6)

D^{'} (x^{'}; y^{'}; z^{'})

D D^{'} = (x^{'} - 5; y^{'} + 5; z^{'} - 6)

A A^{'} = (5 - 1; 0 - 0; 1 - 2) = (4; 0; - 1)

D D^{'} = A A^{'}

nên

x^{'} = 9

y^{'} = - 5

z^{'} = 5

, tức

D^{'} (9; - 5; 5)

Vậy $D (5; - 5; 6)$ và $D^{'} (9; - 5; 5)$ .

2Cách 2. Trung điểm hai đường chéo

Định hướng. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Trung điểm

A C

I (\frac{1 + 7}{2}; \frac{0 - 3}{2}; \frac{2 + 9}{2}) = (4; - \frac{3}{2}; \frac{11}{2})

I

là trung điểm

B D

nên

D (2 \cdot 4 - 3; 2 \cdot (- \frac{3}{2}) - 2; 2 \cdot \frac{11}{2} - 5) = (5; - 5; 6)

Trung điểm

A^{'} C^{'}

J (\frac{5 + 11}{2}; \frac{0 - 3}{2}; \frac{1 + 8}{2}) = (8; - \frac{3}{2}; \frac{9}{2})

J

là trung điểm

B^{'} D^{'}

nên

D^{'} (2 \cdot 8 - 7; 2 \cdot (- \frac{3}{2}) - 2; 2 \cdot \frac{9}{2} - 4) = (9; - 5; 5)

Vậy $D (5; - 5; 6)$ , $D^{'} (9; - 5; 5)$ .

3Cách 3. Quy tắc hình hộp cho D'

Định hướng. Tìm thẳng $D^{'}$ từ đỉnh $B$ : $B D^{'} = B A + B C + B B^{'}$ (đường chéo hình hộp), rồi lùi về $D$ .

B A = (- 2; - 2; - 3)

B C = (4; - 5; 4)

B B^{'} = (4; 0; - 1)

B D^{'} = (- 2 + 4 + 4; - 2 - 5 + 0; - 3 + 4 - 1) = (6; - 7; 0)

D^{'} (3 + 6; 2 - 7; 5 + 0) = (9; - 5; 5)

D^{'} D = A^{'} A = (- 4; 0; 1)

nên

D (9 - 4; - 5; 5 + 1) = (5; - 5; 6)

Vậy $D (5; - 5; 6)$ , $D^{'} (9; - 5; 5)$ .

Nhận xét. Kiểm tra chéo: $C^{'} D^{'} = (- 2; - 2; - 3) = B A$ , đúng như mặt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ phải là hình bình hành.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 an toàn nhất khi đi thi: chỉ dùng công thức toạ độ vectơ và so sánh ba cặp số, khó nhầm dấu.

Đáp số.

D (5; - 5; 6)

D^{'} (9; - 5; 5)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng

A B = C D

, được

D (9; - 1; 12)

. Khi đó thứ tự

A, B, C, D

không còn là một hình bình hành mà là hai đoạn

A B

C D

song song cùng chiều bắt chéo nhau thành hình “thắt nơ”.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

A B C D

là hình bình hành thì

x_{D} = x_{A} + x_{C} - x_{B}

(tương tự cho

y

z

); với hình hộp, mọi đỉnh đều tính được từ bốn đỉnh không đồng phẳng

A

B

C

A^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Vận dụng 2★★Trang 64— Toạ độ vectơ dịch chuyển trong bài toán thực tế

Vận dụng 2 (trang 64). Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục

O x

hướng về phía tây, trục

O y

hướng về phía nam và trục

O z

hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian

O x y z

được lấy theo kilômét.

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $=$ tốc độ $\times$ thời gian.
Vectơ cùng hướng $j$ , độ dài $d$ là $d j = (0; d; 0)$ .
$M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dịch chuyển là một vectơ: độ dài bằng quãng đường, hướng là hướng bay. Hướng nam trùng hướng dương của

O y

và máy bay giữ nguyên độ cao, nên vectơ chỉ có thành phần theo

j

. Bẫy: đổi

890

km/h trong nửa giờ thành

445

km, và không có thành phần

z

vì độ cao không đổi.

1Cách 1. Độ dài và hướng

Định hướng. Tính quãng đường rồi gắn hướng nam $=$ hướng $j$ .

Quãng đường:

890 \cdot 0, 5 = 445

(km)
Vectơ dịch chuyển cùng hướng

j

, độ dài

445

d = 445 j

d = (0; 445; 0)

Vậy vectơ dịch chuyển có toạ độ $(0; 445; 0)$ .

2Cách 2. Toạ độ điểm đầu và điểm cuối

Định hướng. Gọi vị trí đầu là $M (a; b; c)$ ; bay về nam $445$ km ở cùng độ cao thì chỉ tung độ tăng.

M (a; b; c)

N (a; b + 445; c)

M N = (a - a; b + 445 - b; c - c)

M N = (0; 445; 0)

Vậy toạ độ của vectơ dịch chuyển là $(0; 445; 0)$ .

3Cách 3. Vectơ vận tốc nhân thời gian

Định hướng. Vận tốc là vectơ không đổi; độ dịch chuyển bằng thời gian nhân vectơ vận tốc.

v = 890 j = (0; 890; 0)

(km/h)

d = 0, 5 \cdot v = 0, 5 \cdot 890 j = 445 j

d = (0; 445; 0)

Vậy $d = (0; 445; 0)$ .

Nhận xét. Cách 3 là cách của vật lí: độ dịch chuyển $d = t \cdot v$ khi vận tốc không đổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn nhất: một phép nhân

890 \cdot 0, 5 = 445

rồi viết ngay

445 j

Đáp số.

(0; 445; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là ghi

(445; 0; 0)

vì quen coi trục

O x

là hướng chuyển động. Trong đề

O x

hướng tây,

O y

mới hướng nam; bay về nam là theo

j

🚀 Mở rộng. Nếu máy bay đổi sang hướng bắc thì độ dịch chuyển là

(0; - 445; 0)

; nếu vừa bay về nam

445

km vừa hạ độ cao

2

km thì là

(0; 445; - 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 2.13★★★Trang 64— Điều kiện để lập hệ trục toạ độ từ ba vectơ đôi một vuông góc

Bài 2.13 (trang 64). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

a

b

c

đều khác

0

và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Có thể lập một hệ toạ độ

O x y z

có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vectơ

a

b

c

.
b) Có thể lập một hệ toạ độ

O x y z

có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vectơ

a

b

c

.
c) Có thể lập một hệ toạ độ

O x y z

có các vectơ

i

j

k

lần lượt bằng các vectơ

a

b

c

.
d) Có thể lập một hệ toạ độ

O x y z

có các vectơ

i

j

k

lần lượt cùng phương các vectơ

a

b

c

Kiến thức cần nhớ

Hệ toạ độ $O x y z$ : ba trục chung gốc $O$ , đôi một vuông góc; $∣ i ∣ = ∣ j ∣ = ∣ k ∣ = 1$ .
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Góc giữa hai đường thẳng không đổi khi tịnh tiến một trong hai đường.

🧠 Phân tích tư duy

Một hệ trục toạ độ cần đủ ba điều: ba trục cắt nhau tại một điểm, đôi một vuông góc, và ba vectơ đơn vị dài đúng

1

. Giả thiết chỉ cho “đôi một vuông góc” — trong không gian hai đường vuông góc có thể chéo nhau, và vectơ khác

0

chưa chắc dài

1

. Bẫy: nghĩ “vuông góc” thì phải cắt nhau như trong mặt phẳng.

1Cách 1. Dựng hệ trục qua một điểm tuỳ ý

Định hướng. Tịnh tiến ba giá về cùng một điểm thì giữ được tính vuông góc; phần còn lại là độ dài và vị trí.

a) Lấy

O

bất kì, kẻ qua

O

ba đường thẳng lần lượt song song giá của

a

b

c

; chúng đôi một vuông góc và chung gốc

O

: ĐÚNG
d) Trên ba đường đó lấy

i = \frac{a}{∣ a ∣}

j = \frac{b}{∣ b ∣}

k = \frac{c}{∣ c ∣}

, cùng phương

a

b

c

: ĐÚNG
b) Ba giá có thể đôi một chéo nhau, không có điểm chung để làm gốc

O

: SAI
c)

∣ a ∣

có thể khác

1

nên

a

không thể là vectơ đơn vị

i

: SAI

Vậy các mệnh đề đúng là a) và d).

2Cách 2. Đối chiếu từng điều kiện của hệ trục

Định hướng. Liệt kê ba điều kiện (chung gốc, vuông góc, độ dài $1$ ) và xem mỗi mệnh đề cần điều kiện nào mà giả thiết chưa cho.

Giả thiết cho: ba phương đôi một vuông góc; không cho: giá đồng quy, độ dài bằng

1

a) chỉ cần phương: đủ điều kiện — ĐÚNG
b) cần ba giá đồng quy: giả thiết không có — SAI
c) cần

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1

: giả thiết không có — SAI
d) chỉ cần phương: đủ điều kiện — ĐÚNG

Vậy a) và d) đúng; b) và c) sai.

3Cách 3. Phản ví dụ trên hình lập phương

Định hướng. Dùng hình lập phương cạnh $2$ để chỉ ra cụ thể ba giá đôi một vuông góc mà không đồng quy, độ dài khác $1$ .

Hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cạnh

2

a = A B

b = B^{'} C^{'}

c = D D^{'}

A B ⊥ B^{'} C^{'}

(vì

B^{'} C^{'} ∥ B C

A B ⊥ D D^{'}

B^{'} C^{'} ⊥ D D^{'}

A B

và

D D^{'}

chéo nhau: ba giá không đồng quy nên b) SAI

∣ a ∣ = 2 \neq = 1

nên c) SAI
Tịnh tiến về

A

A B

A D

A A^{'}

đôi một vuông góc, cho hệ trục ở a) và d)

Vậy chỉ có a) và d) là đúng.

Nhận xét. Mệnh đề b) đúng khi ba giá đồng quy, mệnh đề c) đúng khi thêm $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1$ — đó chính là điều kiện còn thiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nên dùng khi đi thi: chỉ ra điều kiện còn thiếu cho từng mệnh đề, rồi đưa phản ví dụ hình lập phương của Cách 3 nếu cần chứng minh sai.

Đáp số. Mệnh đề đúng: a) và d). Mệnh đề sai: b) và c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chọn b) vì nghĩ hai đường vuông góc luôn cắt nhau. Phản ví dụ: trong hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A B ⊥ D D^{'}

nhưng hai đường này chéo nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm giả thiết ba giá cùng đi qua một điểm và

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1

thì cả bốn mệnh đề đều đúng — thử kiểm tra lại từng mệnh đề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 2.14★★Trang 64— Mô tả hệ toạ độ gắn với căn phòng

Bài 2.14 (trang 64). Hãy mô tả hệ toạ độ

O x y z

trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc

O

trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng

(O x y)

và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng

(O x z)

.
(Hình 2.44: căn phòng có bức tường chính treo khung tranh, bức tường bên phải có cửa sổ; điểm $O$ ở góc trên bên phải, nơi trần gặp hai bức tường.)

Kiến thức cần nhớ

Hai mặt phẳng toạ độ cắt nhau theo trục chung: $(O x y) \cap (O x z) = O x$ , $(O x y) \cap (O y z) = O y$ , $(O x z) \cap (O y z) = O z$ .
Ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc tại $O$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hai mặt phẳng toạ độ:

(O x y)

là bức tường treo tranh,

(O x z)

là trần. Giao tuyến của chúng là trục chung

O x

; mặt phẳng toạ độ thứ ba

(O y z)

phải đi qua

O

và vuông góc với cả hai — đó là bức tường có cửa sổ. Bẫy: nhầm trần là

(O x y)

theo thói quen “mặt nằm ngang là

(O x y)

”.

1Cách 1. Đi từ hai mặt phẳng đã cho

Định hướng. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho, rồi mặt phẳng thứ ba.

(O x y)

: bức tường treo khung tranh;

(O x z)

: trần nhà

O x = (O x y) \cap (O x z)

: mép trên của bức tường treo tranh (giao với trần)

(O y z)

: bức tường có cửa sổ (qua

O

, vuông góc với tường tranh và trần)

O y = (O x y) \cap (O y z)

: cạnh góc tường thẳng đứng giữa tường tranh và tường cửa sổ

O z = (O x z) \cap (O y z)

: mép trên của tường cửa sổ (giao với trần)

Vậy gốc $O$ ở góc trên; $O x$ chạy dọc mép trần của tường treo tranh, $O y$ chạy dọc cạnh góc tường thẳng đứng, $O z$ chạy dọc mép trần của tường có cửa sổ.

2Cách 2. Đi từ ba trục là ba cạnh của góc phòng

Định hướng. Tại góc trên có đúng ba cạnh của căn phòng gặp nhau — ba cạnh đó là ba trục, chỉ cần gán tên cho khớp hai mặt phẳng đã cho.

Ba cạnh tại

O

: mép trần–tường tranh (nằm ngang), mép trần–tường cửa sổ (nằm ngang), cạnh góc tường (thẳng đứng)
Tường tranh chứa

O x

và

O y

; trần chứa

O x

và

O z

nên

O x

là cạnh chung của tường tranh và trần

O y

: cạnh thẳng đứng;

O z

: mép trần–tường cửa sổ
Chọn chiều dương hướng vào các cạnh của căn phòng:

O x

sang trái,

O y

xuống dưới,

O z

ra phía người nhìn

Vậy hệ $O x y z$ có ba trục là ba cạnh của căn phòng tại góc trên, với $(O x y)$ là tường tranh, $(O x z)$ là trần, $(O y z)$ là tường cửa sổ.

3Cách 3. Mô tả bằng phương trình các mặt

Định hướng. Mô tả mỗi mặt của căn phòng bằng điều kiện toạ độ — cách này kiểm tra ngay mô tả có khớp đề không.

Mọi điểm của tường treo tranh có

z = 0

: tường đó là

(O x y)

Mọi điểm của trần có

y = 0

: trần là

(O x z)

Mọi điểm của tường cửa sổ có

x = 0

: tường đó là

(O y z)

Với chiều dương hướng vào trong phòng: mọi điểm trong phòng có

x \geq 0

y \geq 0

z \geq 0

Vậy hệ toạ độ có gốc tại góc trên, ba mặt phẳng toạ độ là tường treo tranh, trần và tường có cửa sổ, các trục là ba cạnh của phòng tại góc đó.

Nhận xét. Chiều dương các trục là do ta chọn; chọn hướng vào trong phòng thì mọi điểm trong phòng có toạ độ không âm, thuận tiện nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 bám sát dữ kiện đề nhất: từ hai mặt phẳng đã cho suy ra trục chung

O x

, rồi lần lượt suy ra

(O y z)

O y

O z

Đáp số. Gốc

O

là góc trên của phòng;

(O x y)

là tường treo tranh,

(O x z)

là trần,

(O y z)

là tường có cửa sổ;

O x

là mép trần của tường treo tranh,

O y

là cạnh góc tường thẳng đứng,

O z

là mép trần của tường có cửa sổ.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là cho trục

O z

thẳng đứng theo thói quen. Ở đây trần là

(O x z)

nên

O z

nằm trong trần, tức là nằm ngang; trục thẳng đứng lại là

O y

🚀 Mở rộng. Với hệ toạ độ này, chiếc đèn trần treo cách tường tranh

2

m, cách tường cửa sổ

1, 5

m, thấp hơn trần

0, 5

m sẽ có toạ độ

(1, 5; 0, 5; 2)

nếu chiều dương của các trục hướng vào trong phòng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 2.15★Trang 65— Tính toạ độ vectơ theo toạ độ hai đầu mút

Bài 2.15 (trang 65). Trong không gian

O x y z

, xác định toạ độ của vectơ

A B

trong mỗi trường hợp sau:
a)

A (0; 0; 0)

và

B (4; 2; - 5)

;
b)

A (1; - 3; 7)

và

B (1; - 3; 7)

;
c)

A (5; 4; 9)

và

B (- 5; 7; 2)

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
$O B$ có toạ độ bằng toạ độ điểm $B$ ; $AA = 0 = (0; 0; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ toạ độ hai đầu mút — áp dụng thẳng công thức “cuối trừ đầu”. Nhìn trước từng câu: câu a có

A

trùng gốc, câu b có

A

trùng

B

, nên đoán trước được đáp số. Bẫy: trừ số âm ở câu c.

1Cách 1. Công thức cuối trừ đầu

Định hướng. Lấy toạ độ $B$ trừ toạ độ $A$ theo từng thành phần.

A B = (4 - 0; 2 - 0; - 5 - 0) = (4; 2; - 5)

A B = (1 - 1; - 3 - (- 3); 7 - 7) = (0; 0; 0)

A B = (- 5 - 5; 7 - 4; 2 - 9) = (- 10; 3; - 7)

Vậy a) $(4; 2; - 5)$ ; b) $(0; 0; 0)$ ; c) $(- 10; 3; - 7)$ .

2Cách 2. Quy tắc hiệu với vectơ từ gốc

Định hướng. Viết $A B = O B - O A$ theo $i$ , $j$ , $k$ .

A \equiv O

nên

A B = O B = 4 i + 2 j - 5 k

A \equiv B

nên

A B = 0

A B = (- 5 i + 7 j + 2 k) - (5 i + 4 j + 9 k) = - 10 i + 3 j - 7 k

Vậy a) $(4; 2; - 5)$ ; b) $(0; 0; 0)$ ; c) $(- 10; 3; - 7)$ .

3Cách 3. Thử lại bằng phép tịnh tiến

Định hướng. Cộng toạ độ của $A$ với đáp số phải ra đúng toạ độ của $B$ .

(0 + 4; 0 + 2; 0 - 5) = (4; 2; - 5)

, trùng

B

(1 + 0; - 3 + 0; 7 + 0) = (1; - 3; 7)

, trùng

B

(5 - 10; 4 + 3; 9 - 7) = (- 5; 7; 2)

, trùng

B

Vậy các kết quả $(4; 2; - 5)$ , $(0; 0; 0)$ , $(- 10; 3; - 7)$ đều đúng.

Nhận xét. Phép thử “ $A + A B = B$ ” mất vài giây mà bắt được mọi lỗi trừ nhầm dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh và chuẩn nhất, rồi dùng Cách 3 nhẩm thử lại để chắc chắn không sai dấu.

Đáp số. a)

A B = (4; 2; - 5)

; b)

A B = (0; 0; 0)

; c)

A B = (- 10; 3; - 7)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c là lấy đầu trừ cuối được

(10; - 3; 7)

— đó là toạ độ của

B A

, vectơ đối của

A B

🚀 Mở rộng. Ở câu c, độ dài

A B = (- 10)^{2} + 3^{2} + (- 7)^{2} = 158

— công thức độ dài này sẽ học ở Bài 8.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 2.16★Trang 65— Toạ độ điểm nằm trên trục toạ độ

Bài 2.16 (trang 65). Trong không gian

O x y z

, xác định toạ độ của điểm

A

trong mỗi trường hợp sau:
a)

A

trùng với gốc toạ độ;
b)

A

nằm trên tia

O x

và

O A = 2

;
c)

A

nằm trên tia đối của tia

O y

và

O A = 3

Kiến thức cần nhớ

$A \in O x$ thì $A (a; 0; 0)$ ; $A \in O y$ thì $A (0; b; 0)$ .
Trên tia $O x$ : $a = O A$ ; trên tia đối của tia $O y$ : $b = - O A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm trên một trục thì hai toạ độ còn lại bằng

0

; toạ độ còn lại có độ lớn bằng khoảng cách tới

O

, dấu theo tia dương hay tia đối. Bẫy ở câu c: tia đối của

O y

cho tung độ âm.

1Cách 1. Viết vectơ OA theo vectơ đơn vị

Định hướng. $O A$ cùng phương vectơ đơn vị của trục chứa $A$ .

O A = 0

nên

A (0; 0; 0)

O A

cùng hướng

i

O A = 2

O A = 2 i

nên

A (2; 0; 0)

O A

ngược hướng

j

O A = 3

O A = - 3 j

nên

A (0; - 3; 0)

Vậy a) $A (0; 0; 0)$ ; b) $A (2; 0; 0)$ ; c) $A (0; - 3; 0)$ .

2Cách 2. Theo dạng toạ độ của điểm trên trục

Định hướng. Viết dạng tổng quát của điểm trên trục rồi xác định toạ độ còn lại bằng độ dài và dấu.

A \in O x

nên

A (a; 0; 0)

;

∣ a ∣ = 2

A

thuộc tia

O x

nên

a > 0

a = 2

A \in O y

nên

A (0; b; 0)

;

∣ b ∣ = 3

A

thuộc tia đối nên

b < 0

b = - 3

A \equiv O

nên

A (0; 0; 0)

Vậy $A (0; 0; 0)$ , $A (2; 0; 0)$ , $A (0; - 3; 0)$ lần lượt cho a), b), c).

3Cách 3. Theo hình chiếu và mặt phẳng toạ độ

Định hướng. Điểm trên $O x$ thuộc cả $(O x y)$ và $(O z x)$ ; điểm trên $O y$ thuộc cả $(O x y)$ và $(O y z)$ .

A \in (O x y)

nên

z = 0

;

A \in (O z x)

nên

y = 0

; hình chiếu lên

O x

là chính

A

cách

O

bằng

2

về phía dương:

x = 2

A \in (O x y)

nên

z = 0

;

A \in (O y z)

nên

x = 0

;

A

cách

O

bằng

3

về phía âm của

O y

y = - 3

O

thuộc cả ba mặt phẳng toạ độ:

x = y = z = 0

Vậy a) $(0; 0; 0)$ ; b) $(2; 0; 0)$ ; c) $(0; - 3; 0)$ .

Nhận xét. Điểm nằm trên trục nào thì chỉ toạ độ ứng với trục đó có thể khác $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 gọn nhất: viết

O A = 2 i

và

O A = - 3 j

là thấy ngay toạ độ cùng dấu của nó.

Đáp số. a)

A (0; 0; 0)

; b)

A (2; 0; 0)

; c)

A (0; - 3; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c là ghi

A (0; 3; 0)

vì chỉ nhớ

O A = 3

. Điểm

(0; 3; 0)

nằm trên tia

O y

, đối xứng với điểm cần tìm qua

O

🚀 Mở rộng. Điểm nằm trên tia đối của tia

O z

, cách

O

một khoảng

m

(

m > 0

) có toạ độ

(0; 0; - m)

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 2.17★★Trang 65— Tìm toạ độ các đỉnh hình hộp chữ nhật trong hệ Oxyz

Bài 2.17 (trang 65). Trong không gian

O x y z

, cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đỉnh

A

trùng với gốc

O

và các đỉnh

D

B

A^{'}

có toạ độ lần lượt là

(2; 0; 0)

(0; 4; 0)

(0; 0; 3)

(H.2.45). Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $A C = A B + A D$ .
Quy tắc hình hộp: $A C^{'} = A B + A D + A A^{'}$ .
$M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba cạnh tại

A \equiv O

nằm trên ba trục:

A D = 2 i

A B = 4 j

A A^{'} = 3 k

. Bốn đỉnh còn lại là tổng của hai hoặc ba trong số các vectơ này. Bẫy: thứ tự trục —

D

nằm trên

O x

còn

B

nằm trên

O y

, ngược với thói quen

B

đi trước.

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành và hình hộp

Định hướng. Biểu diễn vectơ từ $A \equiv O$ tới mỗi đỉnh theo ba vectơ cạnh.

A D = 2 i

A B = 4 j

A A^{'} = 3 k

O C = A B + A D = 2 i + 4 j

nên

C (2; 4; 0)

O B^{'} = A B + A A^{'} = 4 j + 3 k

nên

B^{'} (0; 4; 3)

O D^{'} = A D + A A^{'} = 2 i + 3 k

nên

D^{'} (2; 0; 3)

O C^{'} = A B + A D + A A^{'} = 2 i + 4 j + 3 k

nên

C^{'} (2; 4; 3)

Vậy $C (2; 4; 0)$ , $B^{'} (0; 4; 3)$ , $C^{'} (2; 4; 3)$ , $D^{'} (2; 0; 3)$ .

2Cách 2. Hình chiếu của đỉnh đối diện C'

Định hướng. Tìm $C^{'}$ trước (đỉnh đối diện gốc), ba đỉnh kề $C^{'}$ là ba hình chiếu của nó lên ba mặt phẳng toạ độ.

Hình chiếu của

C^{'}

lên

O x

O y

O z

là

D

B

A^{'}

nên

C^{'} (2; 4; 3)

C

là hình chiếu của

C^{'}

lên

(O x y)

C (2; 4; 0)

B^{'}

là hình chiếu của

C^{'}

lên

(O y z)

B^{'} (0; 4; 3)

D^{'}

là hình chiếu của

C^{'}

lên

(O z x)

D^{'} (2; 0; 3)

Vậy $C (2; 4; 0)$ , $B^{'} (0; 4; 3)$ , $C^{'} (2; 4; 3)$ , $D^{'} (2; 0; 3)$ .

3Cách 3. Tịnh tiến theo cạnh bên

Định hướng. Đáy trên là đáy dưới tịnh tiến theo $A A^{'} = (0; 0; 3)$ .

D C = A B = (0; 4; 0)

nên

C (2; 0 + 4; 0) = (2; 4; 0)

B B^{'} = C C^{'} = D D^{'} = A A^{'} = (0; 0; 3)

B^{'} (0; 4; 0 + 3) = (0; 4; 3)

C^{'} (2; 4; 0 + 3) = (2; 4; 3)

D^{'} (2; 0; 0 + 3) = (2; 0; 3)

Vậy $C (2; 4; 0)$ , $B^{'} (0; 4; 3)$ , $C^{'} (2; 4; 3)$ , $D^{'} (2; 0; 3)$ .

Nhận xét. Cách 3 làm được cho cả hình hộp xiên (không chữ nhật), còn Cách 2 chỉ dùng cho hình hộp chữ nhật có cạnh nằm trên các trục.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất cho hình hộp chữ nhật đặt đúng trên ba trục: ghép

C^{'} (2; 4; 3)

rồi “xoá” từng toạ độ.

Đáp số.

C (2; 4; 0)

B^{'} (0; 4; 3)

C^{'} (2; 4; 3)

D^{'} (2; 0; 3)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tưởng

B

nằm trên

O x

theo thứ tự chữ cái, rồi ghi

C (4; 2; 0)

. Đề cho

D (2; 0; 0)

trên

O x

và

B (0; 4; 0)

trên

O y

nên

C = (2; 4; 0)

🚀 Mở rộng. Tâm của hình hộp là trung điểm

A C^{'}

I (1; 2; 1, 5)

; hãy kiểm tra

I

cũng là trung điểm của

B D^{'}

C A^{'}

D B^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 2.18★★★Trang 65— Tìm toạ độ các đỉnh của hình hộp bất kì

Bài 2.18 (trang 65). Trong không gian

O x y z

, cho hình hộp

O A B C . O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}

có

A (1; 1; - 1)

B (0; 3; 0)

C^{'} (2; - 3; 6)

.
a) Xác định toạ độ của điểm

C

.
b) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Kiến thức cần nhớ

Hình hộp có sáu mặt là hình bình hành, bốn cạnh bên song song cùng chiều và bằng nhau.
$O A B C$ là hình bình hành khi và chỉ khi $O C = A B$ .
Quy tắc hình hộp: $O B^{'} = O A + O C + O O^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

O

là gốc toạ độ nên

O (0; 0; 0)

— dữ kiện ẩn quan trọng nhất. Đáy

O A B C

là hình bình hành cho

C

; biết

C

và

C^{'}

thì có vectơ cạnh bên

C C^{'}

, từ đó tịnh tiến ra

O^{'}

A^{'}

B^{'}

. Bẫy: thứ tự đỉnh

O A B C

cho

O C = A B

, không phải

O A = B C

đổi chỗ lung tung.

1Cách 1. Vectơ bằng nhau

Định hướng. Tìm $C$ từ $O C = A B$ , rồi tịnh tiến ba đỉnh đáy theo $C C^{'}$ .

O C = A B = (0 - 1; 3 - 1; 0 + 1) = (- 1; 2; 1)

nên

C (- 1; 2; 1)

C C^{'} = (2 + 1; - 3 - 2; 6 - 1) = (3; - 5; 5)

O O^{'} = C C^{'}

nên

O^{'} (3; - 5; 5)

A A^{'} = C C^{'}

nên

A^{'} (1 + 3; 1 - 5; - 1 + 5) = (4; - 4; 4)

B B^{'} = C C^{'}

nên

B^{'} (0 + 3; 3 - 5; 0 + 5) = (3; - 2; 5)

Vậy a) $C (- 1; 2; 1)$ ; b) $O^{'} (3; - 5; 5)$ , $A^{'} (4; - 4; 4)$ , $B^{'} (3; - 2; 5)$ .

2Cách 2. Tâm đối xứng của hình hộp

Định hướng. Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường; $I$ là trung điểm $A C^{'}$ nên tính được ngay.

a) Trung điểm

O B

trùng trung điểm

A C

C = (0 + 0 - 1; 0 + 3 - 1; 0 + 0 + 1) = (- 1; 2; 1)

I

là trung điểm

A C^{'}

I (\frac{3}{2}; - 1; \frac{5}{2})

O^{'}

đối xứng

B

qua

I

O^{'} (3 - 0; - 2 - 3; 5 - 0) = (3; - 5; 5)

A^{'}

đối xứng

C

qua

I

A^{'} (3 + 1; - 2 - 2; 5 - 1) = (4; - 4; 4)

B^{'}

đối xứng

O

qua

I

B^{'} (3; - 2; 5)

Vậy $C (- 1; 2; 1)$ , $O^{'} (3; - 5; 5)$ , $A^{'} (4; - 4; 4)$ , $B^{'} (3; - 2; 5)$ .

3Cách 3. Quy tắc hình hộp

Định hướng. Biểu diễn mọi đỉnh qua ba vectơ cạnh tại gốc: $O A$ , $O C$ , $O O^{'}$ .

O B = O A + O C

nên

O C = (0 - 1; 3 - 1; 0 + 1) = (- 1; 2; 1)

O C^{'} = O C + O O^{'}

nên

O O^{'} = (2 + 1; - 3 - 2; 6 - 1) = (3; - 5; 5)

O A^{'} = O A + O O^{'} = (4; - 4; 4)

O B^{'} = O A + O C + O O^{'} = (1 - 1 + 3; 1 + 2 - 5; - 1 + 1 + 5) = (3; - 2; 5)

Vậy $C (- 1; 2; 1)$ , $O^{'} (3; - 5; 5)$ , $A^{'} (4; - 4; 4)$ , $B^{'} (3; - 2; 5)$ .

Nhận xét. Kiểm tra chéo: trung điểm $O B^{'}$ là $(\frac{3}{2}; - 1; \frac{5}{2})$ , trùng trung điểm $A C^{'}$ — đúng tính chất tâm hình hộp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 gọn nhất vì

O

là gốc toạ độ: toạ độ mỗi đỉnh chính là tổng các vectơ cạnh tại

O

, không phải đặt ẩn.

Đáp số. a)

C (- 1; 2; 1)

. b)

O (0; 0; 0)

O^{'} (3; - 5; 5)

A^{'} (4; - 4; 4)

B^{'} (3; - 2; 5)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là quên

O

là gốc toạ độ rồi coi đề thiếu dữ kiện. Một sai lầm khác là dùng

O A = C B

sai chiều thành

O A = B C

, được

C (1; 4; - 1)

— khi đó

O A B C

bắt chéo, không phải hình bình hành.

🚀 Mở rộng. Biết toạ độ bốn đỉnh không đồng phẳng kề một đỉnh (ở đây

O

A

C

O^{'}

) là xác định được cả hình hộp; hãy tìm lại các đỉnh nếu đề cho

A

B

và

B^{'}

thay cho

C^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 2.19★★Trang 65— Giải thích điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) có cao độ bằng 0

Bài 2.19 (trang 65). Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì toạ độ của nó luôn có dạng

(x; y; 0)

với

x

y

là hai số thực nào đó.

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z)$ khi và chỉ khi $O M = x i + y j + z k$ ; bộ ba số là duy nhất.
Hình chiếu vuông góc của $M (x; y; z)$ lên $O z$ là $(0; 0; z)$ .
Điểm thuộc mặt phẳng $(O x y)$ có cao độ bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường băng nằm trên mặt đất, mà mặt đất được chọn là mặt phẳng

(O x y)

— nên câu hỏi chính là: vì sao điểm thuộc

(O x y)

có cao độ

0

. Bẫy: không được lấy lí do “đường băng thấp” — cao độ bằng

0

là do đường băng nằm đúng trong mặt phẳng toạ độ

(O x y)

1Cách 1. Phân tích vectơ trong mặt phẳng (Oxy)

Định hướng. Vectơ $O M$ nằm trong $(O x y)$ nên chỉ phân tích theo $i$ , $j$ .

Máy bay ở điểm

M

trên đường băng thì

M \in (O x y)

(mặt đất)

O M

nằm trong

(O x y)

nên

O M = x i + y j = x i + y j + 0 \cdot k

M (x; y; 0)

Vậy toạ độ của máy bay trên đường băng luôn có dạng $(x; y; 0)$ .

2Cách 2. Hình chiếu lên trục Oz

Định hướng. Cao độ $z$ là toạ độ của hình chiếu vuông góc của $M$ lên $O z$ .

O z ⊥ (O x y)

và

M \in (O x y)

nên hình chiếu vuông góc của

M

lên

O z

là

O

Hình chiếu đó là

(0; 0; z)

nên

z = 0

M (x; y; 0)

Vậy trên đường băng máy bay luôn có toạ độ $(x; y; 0)$ .

3Cách 3. Cao độ là độ cao so với mặt đất

Định hướng. Trục $O z$ thẳng đứng, đơn vị kilômét, nên $∣ z ∣$ là độ cao của máy bay so với mặt đất.

∣ z ∣

bằng khoảng cách từ

M

tới

(O x y)

, tức độ cao so với mặt đất
Máy bay chạy trên đường băng có độ cao bằng

0

z = 0

nên

M (x; y; 0)

Vậy toạ độ máy bay trên đường băng có dạng $(x; y; 0)$ với $x$ , $y$ thay đổi theo vị trí.

Nhận xét. Ngược lại, khi máy bay đã cất cánh thì $z > 0$ ; chỉ riêng cao độ cho biết máy bay đang ở trên mặt đất hay trên không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 chặt chẽ nhất theo đúng định nghĩa toạ độ; Cách 3 là lời giải thích trực quan dễ nhớ.

Đáp số. Vì đường băng nằm trên mặt đất, tức trong mặt phẳng

(O x y)

, mà mọi điểm của

(O x y)

có cao độ bằng

0

nên toạ độ máy bay luôn có dạng

(x; y; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là trả lời “vì máy bay chưa bay nên

x = 0

”. Toạ độ bằng

0

là cao độ

z

(ứng với trục

O z

thẳng đứng), còn

x

y

vẫn thay đổi khi máy bay chạy dọc đường băng.

🚀 Mở rộng. Tương tự, nếu một vật di chuyển trên mặt tường chứa trục

O y

và

O z

thì toạ độ của nó luôn có dạng

(0; y; z)

Mở bài này trong app ↗