Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.25★★Trang 54— Phép toán vectơ, tích vô hướng và côsin góc theo toạ độ

Bài 2.25 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

a = (3; 0; 4)

b = (2; 7; 7)

và

c = (2; 7; 2)

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

a - b + c

và

2 a + 3 b - 4 c

.
b) Tính các tích vô hướng

(- a) \cdot b

và

(3 a) \cdot c

.
c) Tính côsin của các góc

(a, b)

và

(a, c)

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ .
Định lí côsin dạng vectơ: $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu dùng ba công thức cơ bản của bài: cộng, trừ, nhân số theo từng toạ độ; tích vô hướng

x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

; côsin góc bằng tích vô hướng chia tích độ dài. Câu b) nên đưa hệ số ra ngoài để tận dụng luôn

a \cdot b

a \cdot c

cho câu c). Bẫy:

(- a) \cdot b

là một số âm, không phải vectơ.

1Cách 1. Tính trực tiếp theo toạ độ

Định hướng. Tính các vectơ trung gian $- a$ , $3 a$ rồi nhân; độ dài lấy căn tổng bình phương.

a - b + c = (3 - 2 + 2; 0 - 7 + 7; 4 - 7 + 2) = (3; 0; - 1)

2 a + 3 b - 4 c = (6 + 6 - 8; 0 + 21 - 28; 8 + 21 - 8) = (4; - 7; 21)

(- a) \cdot b = (- 3) \cdot 2 + 0 \cdot 7 + (- 4) \cdot 7 = - 34

(3 a) \cdot c = 9 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 12 \cdot 2 = 42

∣ a ∣ = 9 + 0 + 16 = 5

∣ b ∣ = 4 + 49 + 49 = 102

∣ c ∣ = 4 + 49 + 4 = 57

cos (a, b) = \frac{6 + 0 + 28}{5 102} = \frac{34}{5 102} = \frac{102}{15} \approx 0, 673

cos (a, c) = \frac{6 + 0 + 8}{5 57} = \frac{14}{5 57} = \frac{14 57}{285} \approx 0, 371

Vậy $a - b + c = (3; 0; - 1)$ , $2 a + 3 b - 4 c = (4; - 7; 21)$ , $(- a) \cdot b = - 34$ , $(3 a) \cdot c = 42$ , $cos (a, b) = \frac{102}{15}$ , $cos (a, c) = \frac{14 57}{285}$ .

2Cách 2. Đưa hệ số ra ngoài tích vô hướng

Định hướng. Chỉ cần hai tích gốc $a \cdot b$ , $a \cdot c$ — dùng chung cho câu b) và câu c).

a \cdot b = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 34

a \cdot c = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 4 \cdot 2 = 14

(- a) \cdot b = - (a \cdot b) = - 34

(3 a) \cdot c = 3 (a \cdot c) = 42

cos (a, b) = \frac{34}{5 102} = \frac{102}{15}

cos (a, c) = \frac{14}{5 57}

Vậy $(- a) \cdot b = - 34$ , $(3 a) \cdot c = 42$ ; hai côsin như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra câu c) bằng định lí côsin

Định hướng. Tính độ dài của $a - b$ , $a - c$ rồi dùng định lí côsin trong tam giác dựng trên hai vectơ.

a - b = (1; - 7; - 3)

∣ a - b ∣^{2} = 1 + 49 + 9 = 59

cos (a, b) = \frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2} - ∣ a - b ∣ ^{2}}{2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{25 + 102 - 59}{10 102} = \frac{68}{10 102} = \frac{102}{15}

a - c = (1; - 7; 2)

∣ a - c ∣^{2} = 1 + 49 + 4 = 54

cos (a, c) = \frac{25 + 57 - 54}{10 57} = \frac{28}{10 57} = \frac{14}{5 57}

Vậy $cos (a, b) = \frac{102}{15}$ , $cos (a, c) = \frac{14 57}{285}$ .

Nhận xét. Cách 3 không dùng tích vô hướng nên là phép thử độc lập cho câu c).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: tính một lần

a \cdot b = 34

a \cdot c = 14

rồi dùng cho cả câu b) và c) — ít phép tính nhất.

Đáp số. a)

(3; 0; - 1)

và

(4; - 7; 21)

. b)

(- a) \cdot b = - 34

(3 a) \cdot c = 42

. c)

cos (a, b) = \frac{102}{15} \approx 0, 673

cos (a, c) = \frac{14 57}{285} \approx 0, 371

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c) là dùng luôn tích

(- a) \cdot b = - 34

từ câu b) thay cho

a \cdot b

, ra

cos (a, b)

âm — sai dấu. Câu b) đã đổi dấu vì có

- a

; góc

(a, b)

phải dùng

a \cdot b = 34

🚀 Mở rộng. Hai góc đều nhọn vì hai côsin dương; góc

(a, c) \approx 68, 2^{\circ}

lớn hơn góc

(a, b) \approx 47, 7^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.26★★Trang 54— Tìm tham số từ điều kiện toạ độ, tích vô hướng, độ dài

Bài 2.26 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

a = (m; 3; 6)

và

b = (1; 2; 3)

. Xác định giá trị của

m

trong mỗi trường hợp sau:
a)

a - 2 b = (3; - 1; 0)

;
b)

a \cdot b = 10

;
c)

∣ a ∣ = 9

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các toạ độ tương ứng bằng nhau.
$x^{2} = k$ với $k > 0$ : $x^{2} - k = 0 ⟺ (x - k) (x + k) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi điều kiện viết theo toạ độ đều cho một phương trình ẩn

m

: câu a) so sánh hoành độ, câu b) phương trình bậc nhất, câu c) phương trình bậc hai

m^{2} = 36

. Bẫy: câu a) phải kiểm tra cả hai toạ độ còn lại có khớp không; câu c) có HAI giá trị của

m

1Cách 1. Viết điều kiện theo toạ độ rồi giải

Định hướng. Tính vế trái theo $m$ , đồng nhất với vế phải.

a - 2 b = (m - 2; 3 - 4; 6 - 6) = (m - 2; - 1; 0) = (3; - 1; 0)

m - 2 = 3 ⟺ m = 5

a \cdot b = m \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 = m + 24 = 10 ⟺ m = - 14

∣ a ∣ = 9 ⟺ m^{2} + 9 + 36 = 81

⟺ m^{2} - 36 = 0 ⟺ (m - 6) (m + 6) = 0 ⟺ m = 6

hoặc

m = - 6

Vậy a) $m = 5$ ; b) $m = - 14$ ; c) $m = 6$ hoặc $m = - 6$ .

2Cách 2. Tách phần chứa

m

a = m i + u

với

u = (0; 3; 6)

Định hướng. Phần không chứa $m$ là vectơ cố định $u$ vuông góc với $i$ ; mọi điều kiện trở thành phương trình đơn giản với $m$ .

a = (3; - 1; 0) + 2 b = (3 + 2; - 1 + 4; 0 + 6) = (5; 3; 6)

, so với

(m; 3; 6)

m = 5

a \cdot b = m (i \cdot b) + u \cdot b = m \cdot 1 + (0 + 6 + 18) = m + 24 = 10 ⟺ m = - 14

i ⊥ u

nên

∣ a ∣^{2} = m^{2} + ∣ u ∣^{2} = m^{2} + 45 = 81

⟺ m^{2} = 36 ⟺ (m - 6) (m + 6) = 0 ⟺ m = \pm 6

Vậy $m = 5$ ; $m = - 14$ ; $m = \pm 6$ .

Nhận xét. Câu a) theo Cách 2 còn tự kiểm tra được sự tương thích: hai toạ độ sau của $(3; - 1; 0) + 2 b$ đúng bằng $3$ và $6$ , nên bài có nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trực tiếp, mỗi câu một phương trình; câu a) nên dùng Cách 2 vì chuyển vế vectơ cho

a

ngay trong một dòng.

Đáp số. a)

m = 5

. b)

m = - 14

. c)

m = 6

hoặc

m = - 6

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c): quên bình phương hai vế, viết

m^{2} + 45 = 9 \Rightarrow m^{2} + 45 = 9

rồi kết luận vô nghiệm; hoặc chỉ lấy

m = 6

mà bỏ

m = - 6

. Thử lại

m = - 6

∣ a ∣ = 36 + 9 + 36 = 9

— thoả mãn.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

a ⊥ b

m + 24 = 0 ⟺ m = - 24

; để

a

cùng phương

b

: cần

\frac{m}{1} = \frac{3}{2} = \frac{6}{3}

— vô lí vì

\frac{3}{2} \neq = 2

, nên không có

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.27★★Trang 54— Trọng tâm tam giác và điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số

Bài 2.27 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho tứ diện

A B C D

với

A (1; 3; - 3)

B (2; 0; 5)

C (6; 9; - 5)

và

D (- 1; - 4; 3)

.
a) Tìm toạ độ trọng tâm

I

của tam giác

A B C

.
b) Tìm toạ độ của điểm

G

thuộc đoạn thẳng

D I

sao cho

D G = 3 I G

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$G$ thuộc đoạn $D I$ và $D G = k \cdot D I$ ( $0 \leq k \leq 1$ ) $⟺ D G = k D I$ .
Trọng tâm tứ diện $A B C D$ có toạ độ bằng trung bình cộng toạ độ bốn đỉnh và chia đoạn nối một đỉnh với trọng tâm mặt đối diện theo tỉ số $3 : 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) dùng thẳng công thức trọng tâm. Câu b):

G

nằm trên đoạn

D I

với

D G = 3 I G

nên

D G = \frac{3}{4} D I

và

D G = \frac{3}{4} D I

(cùng hướng vì

G

thuộc đoạn). Điểm

G

như vậy chính là trọng tâm của tứ diện — cho một cách giải rất ngắn. Bẫy: nhầm thành

D G = 3 I G

hay

D G = \frac{1}{4} D I

1Cách 1.

D G = \frac{3}{4} D I

Định hướng. $D G + G I = D I$ và $D G = 3 I G$ nên $D G = \frac{3}{4} D I$ .

I (\frac{1 + 2 + 6}{3}; \frac{3 + 0 + 9}{3}; \frac{- 3 + 5 - 5}{3}) = (3; 4; - 1)

D I = (4; 8; - 4)

D G = \frac{3}{4} D I = (3; 6; - 3)

G = (- 1 + 3; - 4 + 6; 3 - 3) = (2; 2; 0)

Vậy $I (3; 4; - 1)$ và $G (2; 2; 0)$ .

2Cách 2. Đi từ

I

I G = \frac{1}{4} I D

Định hướng. $I G = \frac{1}{4} I D$ , vectơ $I G$ cùng hướng $I D$ .

I D = (- 4; - 8; 4)

I G = \frac{1}{4} I D = (- 1; - 2; 1)

G = (3 - 1; 4 - 2; - 1 + 1) = (2; 2; 0)

Vậy $G (2; 2; 0)$ .

3Cách 3.

G

là trọng tâm tứ diện

A B C D

Định hướng. Điểm chia đoạn nối đỉnh $D$ với trọng tâm $I$ của mặt đối diện theo tỉ số $D G : G I = 3 : 1$ chính là trọng tâm tứ diện.

O G = \frac{1}{4} O D + \frac{3}{4} O I = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)

G (\frac{1 + 2 + 6 - 1}{4}; \frac{3 + 0 + 9 - 4}{4}; \frac{- 3 + 5 - 5 + 3}{4}) = (2; 2; 0)

Vậy $G (2; 2; 0)$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $D G = 9 + 36 + 9 = 36$ , $I G = 1 + 4 + 1 = 6$ , đúng $D G = 3 I G$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách tự nhiên; Cách 3 ngắn nhất và cho thấy ý nghĩa hình học của điểm

G

(trọng tâm tứ diện, xem Bài 2.28).

Đáp số. a)

I (3; 4; - 1)

. b)

G (2; 2; 0)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

D G = 3 I G

: hai vectơ này NGƯỢC hướng (vì

G

nằm giữa

D

và

I

), đẳng thức đúng là

D G = - 3 I G = 3 G I

. Nếu giải

D G = 3 I G

sẽ ra

G (5; 8; - 3)

nằm ngoài đoạn

D I

🚀 Mở rộng. Tương tự, gọi

I_{A}

là trọng tâm tam giác

B C D

thì điểm

G^{'}

trên đoạn

A I_{A}

với

A G^{'} = 3 G^{'} I_{A}

cũng là

(2; 2; 0)

: bốn đường nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm tứ diện.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.28★★★Trang 54— Chứng minh công thức toạ độ trọng tâm tứ diện

Bài 2.28 (trang 54). Cho tứ diện

A B C D

. Trọng tâm

G

của tứ diện là điểm duy nhất thoả mãn đẳng thức

G A + GB + GC + G D = 0

. Chứng minh rằng toạ độ của điểm

G

được cho bởi công thức:

x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C} + x _{D}}{4}

;

y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C} + y _{D}}{4}

;

z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C} + z _{D}}{4}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $G A = O A - O G$ .
Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$M (x; y; z) ⟺ O M = (x; y; z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của

G

là toạ độ của

O G

, nên cần biểu diễn

O G

theo

O A

O B

O C

O D

— chèn điểm

O

vào từng vectơ của đẳng thức đề cho. Cũng có thể đặt

G (x; y; z)

và viết đẳng thức thành ba phương trình. Bẫy: đẳng thức vectơ phải chuyển thành đẳng thức từng toạ độ, không được “chia vectơ”.

1Cách 1. Chèn gốc

O

Định hướng. Viết mỗi vectơ $G A$ thành hiệu hai vectơ vị trí.

G A + GB + GC + G D = 0

⟺ (O A - O G) + (O B - O G) + (O C - O G) + (O D - O G) = 0

⟺ O G = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)

⟺ (x_{G}; y_{G}; z_{G}) = (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C} + x _{D}}{4}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C} + y _{D}}{4}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C} + z _{D}}{4})

Vậy toạ độ trọng tâm $G$ của tứ diện là trung bình cộng toạ độ của bốn đỉnh (đpcm).

2Cách 2. Đặt toạ độ và đồng nhất

Định hướng. Gọi $G (x; y; z)$ , tính tổng bốn vectơ theo toạ độ rồi cho bằng $(0; 0; 0)$ .

G A + GB + GC + G D = (x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D} - 4 x; y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D} - 4 y; z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D} - 4 z)

G A + GB + GC + G D = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ 4 x = x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D} 4 y = y_{A} + y_{B} + y_{C} + y_{D} 4 z = z_{A} + z_{B} + z_{C} + z_{D}

Vậy $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C} + x _{D}}{4}$ , $y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C} + y _{D}}{4}$ , $z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C} + z _{D}}{4}$ (đpcm).

3Cách 3. Qua trọng tâm

I

của tam giác

A B C

Định hướng. Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $A B C$ ; ba vectơ $G A + GB + GC$ gộp thành $3 G I$ .

G A + GB + GC = 3 G I + (I A + I B + I C) = 3 G I

3 G I + G D = 0 ⟺ 3 (O I - O G) + (O D - O G) = 0

⟺ O G = \frac{3 O I + O D}{4} = \frac{( O A + O B + O C ) + O D}{4}

x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C} + x _{D}}{4}

(tương tự cho

y_{G}

z_{G}

)

Vậy công thức được chứng minh, đồng thời $G$ nằm trên đoạn $D I$ với $D G = 3 G I$ .

Nhận xét. Cách 3 nối bài này với Bài 2.27: điểm $G$ tìm được ở đó chính là trọng tâm tứ diện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn và chặt chẽ nhất, đúng mạch đã dùng cho trung điểm, trọng tâm tam giác ở SGK.

Đáp số.

O G = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)

, suy ra

x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C} + x _{D}}{4}

y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C} + y _{D}}{4}

z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C} + z _{D}}{4}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là “chia hai vế cho vectơ” hoặc viết thẳng

G = \frac{A + B + C + D}{4}

mà không qua vectơ

O G

: phép cộng, chia chỉ có nghĩa với toạ độ của vectơ, không có nghĩa với điểm. Phải đi qua

O G = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)

rồi mới đọc toạ độ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: điểm

G

thoả

\sum_{i = 1}^{n} G A_{i} = 0

(trọng tâm hệ

n

điểm) có mỗi toạ độ bằng trung bình cộng toạ độ của

n

điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.29★★★Trang 54— Giải tam giác trong không gian bằng toạ độ

Bài 2.29 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho tam giác

A B C

với

A (3; 5; 2)

B (0; 6; 2)

và

C (2; 3; 6)

. Hãy giải tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Định lí côsin: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ với $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ .
$A + B + C = 18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Giải tam giác” là tìm đủ ba cạnh và ba góc. Ba cạnh có ngay từ công thức khoảng cách; hai góc tính bằng tích vô hướng (hoặc định lí côsin), góc thứ ba suy từ tổng ba góc bằng

18 0^{\circ}

. Bẫy: mỗi góc phải dùng cặp vectơ cùng gốc tại đỉnh đó; làm tròn quá sớm khiến tổng ba góc lệch.

1Cách 1. Tích vô hướng tại từng đỉnh

Định hướng. Lấy các cặp vectơ cùng gốc: $(A B, A C)$ tại $A$ , $(B A, B C)$ tại $B$ , $(C A, C B)$ tại $C$ .

A B = (- 3; 1; 0)

A C = (- 1; - 2; 4)

B C = (2; - 3; 4)

A B = 10

A C = 21

B C = 29

cos B A C = \frac{3 - 2 + 0}{10 \cdot 21} = \frac{1}{210}

B A C \approx 86, 0 4^{\circ}

cos A B C = \frac{B A \cdot B C}{B A \cdot B C} = \frac{3 \cdot 2 + ( - 1 ) \cdot ( - 3 ) + 0 \cdot 4}{10 \cdot 29} = \frac{9}{290}

A B C \approx 58, 1 0^{\circ}

cos A C B = \frac{C A \cdot C B}{C A \cdot C B} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 2 \cdot 3 + ( - 4 ) \cdot ( - 4 )}{21 \cdot 29} = \frac{20}{609}

A C B \approx 35, 8 6^{\circ}

Vậy $A B = 10$ , $A C = 21$ , $B C = 29$ ; $A \approx 86, 0 4^{\circ}$ , $B \approx 58, 1 0^{\circ}$ , $C \approx 35, 8 6^{\circ}$ .

2Cách 2. Ba cạnh và định lí côsin

Định hướng. Chỉ cần ba bình phương độ dài $10$ , $21$ , $29$ ; mọi góc suy ra từ định lí côsin.

cos A = \frac{10 + 21 - 29}{2 10 \cdot 21} = \frac{2}{2 210} = \frac{1}{210}

cos B = \frac{10 + 29 - 21}{2 10 \cdot 29} = \frac{18}{2 290} = \frac{9}{290}

cos C = \frac{21 + 29 - 10}{2 21 \cdot 29} = \frac{40}{2 609} = \frac{20}{609}

A \approx 86, 0 4^{\circ}

B \approx 58, 1 0^{\circ}

C \approx 35, 8 6^{\circ}

Vậy kết quả trùng Cách 1.

3Cách 3. Hai góc rồi suy góc thứ ba

Định hướng. Tính $A$ , $B$ bằng tích vô hướng, $C$ lấy từ tổng ba góc; dùng góc thứ ba tính trực tiếp để kiểm tra.

A \approx 86, 0 4^{\circ}

B \approx 58, 1 0^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - A - B \approx 18 0^{\circ} - 86, 0 4^{\circ} - 58, 1 0^{\circ} = 35, 8 6^{\circ}

Đối chiếu:

cos 35, 8 6^{\circ} \approx 0, 8104 \approx \frac{20}{609}

Vậy tam giác có $C \approx 35, 8 6^{\circ}$ , khớp với cách tính trực tiếp.

Nhận xét. Góc $A$ gần vuông nhưng không vuông ( $cos A = \frac{1}{210} > 0$ ), vì $B C^{2} = 29 < 31 = A B^{2} + A C^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 gọn nhất: chỉ cần ba số

10

21

29

là ra cả ba côsin, không phải lập thêm vectơ nào.

Đáp số.

A B = 10

A C = 21

B C = 29

;

B A C \approx 86, 0 4^{\circ}

A B C \approx 58, 1 0^{\circ}

A C B \approx 35, 8 6^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy góc ở

B

bằng cặp

A B

B C

: ra

cos = - \frac{9}{290}

và góc

\approx 121, 9^{\circ}

— lúc đó tổng hai góc đã vượt

18 0^{\circ}

. Một lỗi khác là làm tròn góc đến độ rồi trừ (

180 - 86 - 58 = 36

), sai lệch so với giá trị đúng

35, 8 6^{\circ}

🚀 Mở rộng. Diện tích tam giác:

S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} 10 \cdot 21 \cdot 1 - \frac{1}{210} = \frac{209}{2} \approx 7, 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.30★★Trang 54— Toạ độ các đỉnh hình lập phương, trọng tâm và ba điểm thẳng hàng

Bài 2.30 (trang 54). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài mỗi cạnh bằng

1

. Xét hệ toạ độ

O x y z

gắn với hình lập phương như hình vẽ bên (gốc

O

trùng

C^{'}

, các tia

O x

O y

O z

lần lượt chứa

B^{'}

D^{'}

C

).
a) Tìm toạ độ các đỉnh của hình lập phương.
b) Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác

B^{'} C D^{'}

.
c) Chứng minh rằng ba điểm

O

G

A

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Điểm trên trục: $(a; 0; 0) \in O x$ , $(0; b; 0) \in O y$ , $(0; 0; c) \in O z$ .
Quy tắc hình hộp: $C^{'} A = C^{'} B^{'} + C^{'} D^{'} + C^{'} C$ .
Trọng tâm tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$O$ , $G$ , $A$ thẳng hàng $⟺ O G$ , $O A$ cùng phương.

🧠 Phân tích tư duy

Ba đỉnh

B^{'}

D^{'}

C

nằm trên ba trục cách gốc

1

đơn vị nên có toạ độ ngay; các đỉnh còn lại là tổng các vectơ đơn vị (quy tắc hình hộp). Ba điểm

O

G

A

thẳng hàng khi

O G

O A

cùng phương. Bẫy: đọc nhầm trục — theo hình,

O x

đi qua

B^{'}

(không phải

D^{'}

1Cách 1. Đọc toạ độ bằng quy tắc hình hộp

Định hướng. Mỗi đỉnh là tổng của các vectơ đơn vị dọc theo những cạnh đi từ $C^{'}$ tới nó.

C^{'} (0; 0; 0)

B^{'} (1; 0; 0)

D^{'} (0; 1; 0)

C (0; 0; 1)

C^{'} A^{'} = i + j

A^{'} (1; 1; 0)

;

C^{'} B = i + k

B (1; 0; 1)

C^{'} D = j + k

D (0; 1; 1)

;

C^{'} A = i + j + k

A (1; 1; 1)

G (\frac{1 + 0 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 1}{3}; \frac{0 + 1 + 0}{3}) = (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})

O G = (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})

O A = (1; 1; 1)

O A = 3 O G

Vậy $O A = 3 O G$ nên $O$ , $G$ , $A$ thẳng hàng; toạ độ các đỉnh và $G (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ như trên.

2Cách 2. Vectơ bằng nhau của các cạnh song song

Định hướng. Các cạnh bên bằng nhau và cùng hướng: $C^{'} C = B^{'} B = D^{'} D = A^{'} A = (0; 0; 1)$ .

C^{'} B^{'} = D^{'} A^{'}

nên

A^{'} = (0 + 1; 1 + 0; 0) = (1; 1; 0)

B = B^{'} + (0; 0; 1) = (1; 0; 1)

D = D^{'} + (0; 0; 1) = (0; 1; 1)

A = A^{'} + (0; 0; 1) = (1; 1; 1)

G = \frac{1}{3} (B^{'} + C + D^{'}) = \frac{1}{3} (1; 1; 1)

O B^{'} + O C + O D^{'} = O A

(quy tắc hình hộp) và

= 3 O G

Vậy $O A = 3 O G$ , ba điểm $O$ , $G$ , $A$ thẳng hàng.

3Cách 3. Tỉ số toạ độ và khoảng cách

Định hướng. Chứng minh thẳng hàng bằng đẳng thức độ dài $O G + G A = O A$ .

O G = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{3}

G A = (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})

G A = \frac{2 3}{3}

O A = 1 + 1 + 1 = 3

O G + G A = \frac{3}{3} + \frac{2 3}{3} = 3 = O A

Vậy $G$ nằm trên đoạn $O A$ , tức $O$ , $G$ , $A$ thẳng hàng (và $O G = \frac{1}{3} O A$ ).

Nhận xét. Hơn nữa $O A \cdot G B^{'} = (1; 1; 1) \cdot (\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}) = 0$ : đường chéo $C^{'} A$ vuông góc với mặt phẳng $(B^{'} C D^{'})$ tại chính trọng tâm $G$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: đọc toạ độ bằng quy tắc hình hộp rồi chỉ ra

O A = 3 O G

— một dòng cho câu c).

Đáp số. a)

C^{'} (0; 0; 0)

B^{'} (1; 0; 0)

D^{'} (0; 1; 0)

A^{'} (1; 1; 0)

C (0; 0; 1)

B (1; 0; 1)

D (0; 1; 1)

A (1; 1; 1)

. b)

G (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})

. c)

O A = 3 O G

nên

O

G

A

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tưởng gốc

O

ở đỉnh

A

quen thuộc rồi ghi

A (0; 0; 0)

, hoặc đổi chỗ

B^{'}

với

D^{'}

. Ở hình này gốc là

C^{'}

; kiểm tra:

A

đối diện

C^{'}

qua tâm hình lập phương nên phải là

(1; 1; 1)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với hình lập phương cạnh

a

gắn hệ trục như trên, trọng tâm tam giác

B^{'} C D^{'}

là

(\frac{a}{3}; \frac{a}{3}; \frac{a}{3})

và luôn chia đường chéo

C^{'} A

theo tỉ số

1 : 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.31★★Trang 55— Toạ độ điểm và khoảng cách trong bài toán thực tế

Bài 2.31 (trang 55). Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của mỗi chiếc cột lần lượt là

3

m và

2

m. Xét hệ toạ độ

O x y z

sao cho mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt sân, trục

O z

hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ toạ độ

O x y z

được lấy theo mét.
a) Biết rằng chân của hai cột đó có toạ độ lần lượt là

(8; 5; 0)

và

(3; 2; 0)

, hãy tìm toạ độ điểm đầu của mỗi cột.
b) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. Hỏi sợi dây cần có độ dài tối thiểu là khoảng bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Điểm cách mặt phẳng $(O x y)$ một khoảng $h$ về phía $O z$ và có hình chiếu $H (a; b; 0)$ thì có toạ độ $(a; b; h)$ .
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Hình thang vuông có hai đáy song song: đoạn nối hai đầu bằng căn của bình phương khoảng cách hai chân cộng bình phương hiệu hai đáy.

🧠 Phân tích tư duy

Cột vuông góc mặt sân nên song song

O z

: đầu cột có cùng hoành độ, tung độ với chân cột, cao độ bằng chiều cao cột. Dây căng thẳng nối hai đầu cột thì độ dài tối thiểu chính là khoảng cách giữa hai đầu cột. Bẫy: không lấy khoảng cách giữa hai chân cột.

1Cách 1. Công thức khoảng cách

Định hướng. Đọc toạ độ đầu cột rồi áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

M (8; 5; 3)

N (3; 2; 2)

M N = (3 - 8)^{2} + (2 - 5)^{2} + (2 - 3)^{2} = 25 + 9 + 1 = 35 \approx 5, 92

Vậy đầu hai cột là $(8; 5; 3)$ và $(3; 2; 2)$ ; sợi dây dài tối thiểu khoảng $5, 92$ m.

2Cách 2. Hình thang vuông

H K N M

Định hướng. Hai cột song song, cùng vuông góc với $H K$ (chân cột): $H K N M$ là hình thang vuông tại $H$ , $K$ .

H K^{2} = (8 - 3)^{2} + (5 - 2)^{2} = 34

Hiệu hai chiều cao:

3 - 2 = 1

M N^{2} = H K^{2} + 1^{2} = 34 + 1 = 35

M N = 35 \approx 5, 92

Vậy độ dài tối thiểu của dây khoảng $5, 92$ m.

3Cách 3. Vectơ

M N

qua phép cộng vectơ

Định hướng. $M N = M H + H K + K N$ gồm hai vectơ thẳng đứng và một vectơ nằm ngang.

M H = (0; 0; - 3)

H K = (- 5; - 3; 0)

K N = (0; 0; 2)

M N = (- 5; - 3; - 1)

M N = 25 + 9 + 1 = 35 \approx 5, 92

Vậy sợi dây cần dài tối thiểu khoảng $5, 92$ m.

Nhận xét. Trên thực tế cần thêm một đoạn để buộc vào đầu cột, nên dây phải dài hơn $35$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn nhất: đọc toạ độ đầu cột xong là tính được ngay trong một dòng.

Đáp số. a) Đầu hai cột:

(8; 5; 3)

và

(3; 2; 2)

. b) Dây dài tối thiểu

35 \approx 5, 92

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là tính khoảng cách giữa hai chân cột

34 \approx 5, 83

m, hoặc gán nhầm chiều cao (

3

m cho cột ở

(3; 2; 0)

) ra

25 + 9 + 1

— vẫn ra

35

do hiệu chiều cao chỉ đổi dấu, nhưng toạ độ đầu cột ở câu a) thì sai.

🚀 Mở rộng. Nếu muốn dây nằm ngang (song song mặt sân) thì phải hạ đầu cột cao xuống

2

m, khi đó dây dài đúng

34 \approx 5, 83

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.32★★★Trang 55— Tự chọn hệ trục toạ độ và tính khoảng cách

Bài 2.32 (trang 55). Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu

A

của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai là

3

m và cách mặt đất là

1, 2

m. Đầu

B

của sợi dây nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất là

1

m và cách mặt đất là

2

m.
a) Hãy lập một hệ trục toạ độ phù hợp và tìm toạ độ của hai đầu

A

B

trong hệ toạ độ đó.
b) Tính độ dài của sợi dây được căng.

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z)$ thì $∣ x ∣ = d (M, (O y z))$ , $∣ y ∣ = d (M, (O z x))$ , $∣ z ∣ = d (M, (O x y))$ .
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Độ dài đoạn thẳng không phụ thuộc cách chọn hệ trục toạ độ.

🧠 Phân tích tư duy

Ba mặt phẳng đôi một vuông góc — hai bức tường và mặt đất — gợi ý ngay ba mặt phẳng toạ độ, gốc

O

đặt ở chân giao tuyến của hai tường. Khi đó khoảng cách tới mỗi mặt phẳng chính là trị tuyệt đối một toạ độ. Bẫy:

A

nằm trên tường thứ nhất nên toạ độ ứng với khoảng cách tới tường thứ nhất bằng

0

1Cách 1. Gốc ở chân giao tuyến,

O x

dọc chân tường thứ nhất

Định hướng. Chọn $(O x y)$ là mặt đất, $(O z x)$ là tường thứ nhất, $(O y z)$ là tường thứ hai, đơn vị mét.

A \in (O z x)

y_{A} = 0

x_{A} = d (A, (O y z)) = 3

z_{A} = 1, 2

;

A (3; 0; 1, 2)

B \in (O y z)

x_{B} = 0

y_{B} = d (B, (O z x)) = 1

z_{B} = 2

;

B (0; 1; 2)

A B = (0 - 3)^{2} + (1 - 0)^{2} + (2 - 1, 2)^{2} = 9 + 1 + 0, 64 = 10, 64 \approx 3, 26

Vậy $A (3; 0; 1, 2)$ , $B (0; 1; 2)$ và sợi dây dài khoảng $3, 26$ m.

2Cách 2. Đổi vai trò hai trục

O x

O y

Định hướng. Chọn $(O y z)$ là tường thứ nhất, $(O z x)$ là tường thứ hai — một hệ trục khác vẫn “phù hợp”.

A (0; 3; 1, 2)

B (1; 0; 2)

A B = (1 - 0)^{2} + (0 - 3)^{2} + (2 - 1, 2)^{2} = 10, 64 \approx 3, 26

Vậy toạ độ thay đổi theo hệ trục nhưng độ dài dây vẫn là $10, 64 \approx 3, 26$ m.

3Cách 3. Hình chiếu xuống mặt đất

Định hướng. Hạ $A$ , $B$ xuống mặt đất tại $A_{1}$ , $B_{1}$ ; $A_{1} B_{1}$ là cạnh huyền của tam giác vuông ở góc tường.

A_{1} B_{1}^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10

Hiệu độ cao:

2 - 1, 2 = 0, 8

A B^{2} = A_{1} B_{1}^{2} + 0, 8^{2} = 10 + 0, 64 = 10, 64

A B \approx 3, 26

Vậy sợi dây dài khoảng $3, 26$ m.

Nhận xét. Cách 3 không cần hệ trục, nhưng Cách 1 cho lời giải có hệ thống và dùng được cho bài phức tạp hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: gắn hệ trục vào góc tường là tự nhiên nhất, đọc toạ độ trực tiếp từ các khoảng cách đề cho.

Đáp số. a) Chọn gốc

O

tại chân giao tuyến hai tường,

(O x y)

là mặt đất,

(O z x)

là tường thứ nhất,

(O y z)

là tường thứ hai:

A (3; 0; 1, 2)

B (0; 1; 2)

. b)

A B = 10, 64 \approx 3, 26

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là ghi

A (0; 3; 1, 2)

trong khi đã chọn tường thứ nhất là

(O z x)

: điểm

A

trên tường

(O z x)

phải có tung độ

0

. Đáp số độ dài không đổi nhưng toạ độ sai với hệ trục đã chọn.

🚀 Mở rộng. Nếu người thợ muốn dây dài đúng

3, 5

m, giữ nguyên

A

và độ cao của

B

là

2

m, thì

B

phải cách tường thứ nhất một khoảng

d

với

9 + d^{2} + 0, 64 = 12, 25

, tức

d = 2, 61 \approx 1, 62

Mở bài này trong app ↗