Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang54–55 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.25★★Trang 54— Phép toán vectơ, tích vô hướng và côsin góc theo toạ độ

Bài 2.25 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

a = (3; 0; 4)

b = (2; 7; 7)

và

c = (2; 7; 2)

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

a - b + c

và

2 a + 3 b - 4 c

.
b) Tính các tích vô hướng

(- a) \cdot b

và

(3 a) \cdot c

.
c) Tính côsin của các góc

(a, b)

và

(a, c)

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ .
Định lí côsin dạng vectơ: $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu dùng ba công thức cơ bản của bài: cộng, trừ, nhân số theo từng toạ độ; tích vô hướng

x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

; côsin góc bằng tích vô hướng chia tích độ dài. Câu b) nên đưa hệ số ra ngoài để tận dụng luôn

a \cdot b

a \cdot c

cho câu c). Bẫy:

(- a) \cdot b

là một số âm, không phải vectơ.

1Cách 1. Tính trực tiếp theo toạ độ

Định hướng. Tính các vectơ trung gian $- a$ , $3 a$ rồi nhân; độ dài lấy căn tổng bình phương.

a - b + c = (3 - 2 + 2; 0 - 7 + 7; 4 - 7 + 2) = (3; 0; - 1)

2 a + 3 b - 4 c = (6 + 6 - 8; 0 + 21 - 28; 8 + 21 - 8) = (4; - 7; 21)

(- a) \cdot b = (- 3) \cdot 2 + 0 \cdot 7 + (- 4) \cdot 7 = - 34

(3 a) \cdot c = 9 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 12 \cdot 2 = 42

∣ a ∣ = 9 + 0 + 16 = 5

∣ b ∣ = 4 + 49 + 49 = 102

∣ c ∣ = 4 + 49 + 4 = 57

cos (a, b) = \frac{6 + 0 + 28}{5 102} = \frac{34}{5 102} = \frac{102}{15} \approx 0, 673

cos (a, c) = \frac{6 + 0 + 8}{5 57} = \frac{14}{5 57} = \frac{14 57}{285} \approx 0, 371

Vậy $a - b + c = (3; 0; - 1)$ , $2 a + 3 b - 4 c = (4; - 7; 21)$ , $(- a) \cdot b = - 34$ , $(3 a) \cdot c = 42$ , $cos (a, b) = \frac{102}{15}$ , $cos (a, c) = \frac{14 57}{285}$ .

2Cách 2. Đưa hệ số ra ngoài tích vô hướng

Định hướng. Chỉ cần hai tích gốc $a \cdot b$ , $a \cdot c$ — dùng chung cho câu b) và câu c).

a \cdot b = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 34

a \cdot c = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 4 \cdot 2 = 14

(- a) \cdot b = - (a \cdot b) = - 34

(3 a) \cdot c = 3 (a \cdot c) = 42

cos (a, b) = \frac{34}{5 102} = \frac{102}{15}

cos (a, c) = \frac{14}{5 57}

Vậy $(- a) \cdot b = - 34$ , $(3 a) \cdot c = 42$ ; hai côsin như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra câu c) bằng định lí côsin

Định hướng. Tính độ dài của $a - b$ , $a - c$ rồi dùng định lí côsin trong tam giác dựng trên hai vectơ.

a - b = (1; - 7; - 3)

∣ a - b ∣^{2} = 1 + 49 + 9 = 59

cos (a, b) = \frac{∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2} - ∣ a - b ∣ ^{2}}{2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{25 + 102 - 59}{10 102} = \frac{68}{10 102} = \frac{102}{15}

a - c = (1; - 7; 2)

∣ a - c ∣^{2} = 1 + 49 + 4 = 54

cos (a, c) = \frac{25 + 57 - 54}{10 57} = \frac{28}{10 57} = \frac{14}{5 57}

Vậy $cos (a, b) = \frac{102}{15}$ , $cos (a, c) = \frac{14 57}{285}$ .

Nhận xét. Cách 3 không dùng tích vô hướng nên là phép thử độc lập cho câu c).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: tính một lần

a \cdot b = 34

a \cdot c = 14

rồi dùng cho cả câu b) và c) — ít phép tính nhất.

Đáp số. a)

(3; 0; - 1)

và

(4; - 7; 21)

. b)

(- a) \cdot b = - 34

(3 a) \cdot c = 42

. c)

cos (a, b) = \frac{102}{15} \approx 0, 673

cos (a, c) = \frac{14 57}{285} \approx 0, 371

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c) là dùng luôn tích

(- a) \cdot b = - 34

từ câu b) thay cho

a \cdot b

, ra

cos (a, b)

âm — sai dấu. Câu b) đã đổi dấu vì có

- a

; góc

(a, b)

phải dùng

a \cdot b = 34

🚀 Mở rộng. Hai góc đều nhọn vì hai côsin dương; góc

(a, c) \approx 68, 2^{\circ}

lớn hơn góc

(a, b) \approx 47, 7^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.26★★Trang 54— Tìm tham số từ điều kiện toạ độ, tích vô hướng, độ dài

Bài 2.26 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

a = (m; 3; 6)

và

b = (1; 2; 3)

. Xác định giá trị của

m

trong mỗi trường hợp sau:
a)

a - 2 b = (3; - 1; 0)

;
b)

a \cdot b = 10

;
c)

∣ a ∣ = 9

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các toạ độ tương ứng bằng nhau.
$x^{2} = k$ với $k > 0$ : $x^{2} - k = 0 ⟺ (x - k) (x + k) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi điều kiện viết theo toạ độ đều cho một phương trình ẩn

m

: câu a) so sánh hoành độ, câu b) phương trình bậc nhất, câu c) phương trình bậc hai

m^{2} = 36

. Bẫy: câu a) phải kiểm tra cả hai toạ độ còn lại có khớp không; câu c) có HAI giá trị của

m

1Cách 1. Viết điều kiện theo toạ độ rồi giải

Định hướng. Tính vế trái theo $m$ , đồng nhất với vế phải.

a - 2 b = (m - 2; 3 - 4; 6 - 6) = (m - 2; - 1; 0) = (3; - 1; 0)

m - 2 = 3 ⟺ m = 5

a \cdot b = m \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 = m + 24 = 10 ⟺ m = - 14

∣ a ∣ = 9 ⟺ m^{2} + 9 + 36 = 81

⟺ m^{2} - 36 = 0 ⟺ (m - 6) (m + 6) = 0 ⟺ m = 6

hoặc

m = - 6

Vậy a) $m = 5$ ; b) $m = - 14$ ; c) $m = 6$ hoặc $m = - 6$ .

2Cách 2. Tách phần chứa

m

a = m i + u

với

u = (0; 3; 6)

Định hướng. Phần không chứa $m$ là vectơ cố định $u$ vuông góc với $i$ ; mọi điều kiện trở thành phương trình đơn giản với $m$ .

a = (3; - 1; 0) + 2 b = (3 + 2; - 1 + 4; 0 + 6) = (5; 3; 6)

, so với

(m; 3; 6)

m = 5

a \cdot b = m (i \cdot b) + u \cdot b = m \cdot 1 + (0 + 6 + 18) = m + 24 = 10 ⟺ m = - 14

i ⊥ u

nên

∣ a ∣^{2} = m^{2} + ∣ u ∣^{2} = m^{2} + 45 = 81

⟺ m^{2} = 36 ⟺ (m - 6) (m + 6) = 0 ⟺ m = \pm 6

Vậy $m = 5$ ; $m = - 14$ ; $m = \pm 6$ .

Nhận xét. Câu a) theo Cách 2 còn tự kiểm tra được sự tương thích: hai toạ độ sau của $(3; - 1; 0) + 2 b$ đúng bằng $3$ và $6$ , nên bài có nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trực tiếp, mỗi câu một phương trình; câu a) nên dùng Cách 2 vì chuyển vế vectơ cho

a

ngay trong một dòng.

Đáp số. a)

m = 5

. b)

m = - 14

. c)

m = 6

hoặc

m = - 6

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c): quên bình phương hai vế, viết

m^{2} + 45 = 9 \Rightarrow m^{2} + 45 = 9

rồi kết luận vô nghiệm; hoặc chỉ lấy

m = 6

mà bỏ

m = - 6

. Thử lại

m = - 6

∣ a ∣ = 36 + 9 + 36 = 9

— thoả mãn.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

a ⊥ b

m + 24 = 0 ⟺ m = - 24

; để

a

cùng phương

b

: cần

\frac{m}{1} = \frac{3}{2} = \frac{6}{3}

— vô lí vì

\frac{3}{2} \neq = 2

, nên không có

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.27★★Trang 54— Trọng tâm tam giác và điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số

Bài 2.27 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho tứ diện

A B C D

với

A (1; 3; - 3)

B (2; 0; 5)

C (6; 9; - 5)

và

D (- 1; - 4; 3)

.
a) Tìm toạ độ trọng tâm

I

của tam giác

A B C

.
b) Tìm toạ độ của điểm

G

thuộc đoạn thẳng

D I

sao cho

D G = 3 I G

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$G$ thuộc đoạn $D I$ và $D G = k \cdot D I$ ( $0 \leq k \leq 1$ ) $⟺ D G = k D I$ .
Trọng tâm tứ diện $A B C D$ có toạ độ bằng trung bình cộng toạ độ bốn đỉnh và chia đoạn nối một đỉnh với trọng tâm mặt đối diện theo tỉ số $3 : 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.28★★★Trang 54— Chứng minh công thức toạ độ trọng tâm tứ diện

Bài 2.28 (trang 54). Cho tứ diện

A B C D

. Trọng tâm

G

của tứ diện là điểm duy nhất thoả mãn đẳng thức

G A + GB + GC + G D = 0

. Chứng minh rằng toạ độ của điểm

G

được cho bởi công thức:

x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C} + x _{D}}{4}

;

y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C} + y _{D}}{4}

;

z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C} + z _{D}}{4}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $G A = O A - O G$ .
Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$M (x; y; z) ⟺ O M = (x; y; z)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.29★★★Trang 54— Giải tam giác trong không gian bằng toạ độ

Bài 2.29 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho tam giác

A B C

với

A (3; 5; 2)

B (0; 6; 2)

và

C (2; 3; 6)

. Hãy giải tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Định lí côsin: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ với $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ .
$A + B + C = 18 0^{\circ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.30★★Trang 54— Toạ độ các đỉnh hình lập phương, trọng tâm và ba điểm thẳng hàng

Bài 2.30 (trang 54). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài mỗi cạnh bằng

1

. Xét hệ toạ độ

O x y z

gắn với hình lập phương như hình vẽ bên (gốc

O

trùng

C^{'}

, các tia

O x

O y

O z

lần lượt chứa

B^{'}

D^{'}

C

).
a) Tìm toạ độ các đỉnh của hình lập phương.
b) Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác

B^{'} C D^{'}

.
c) Chứng minh rằng ba điểm

O

G

A

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Điểm trên trục: $(a; 0; 0) \in O x$ , $(0; b; 0) \in O y$ , $(0; 0; c) \in O z$ .
Quy tắc hình hộp: $C^{'} A = C^{'} B^{'} + C^{'} D^{'} + C^{'} C$ .
Trọng tâm tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$O$ , $G$ , $A$ thẳng hàng $⟺ O G$ , $O A$ cùng phương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.31★★Trang 55— Toạ độ điểm và khoảng cách trong bài toán thực tế

Bài 2.31 (trang 55). Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của mỗi chiếc cột lần lượt là

3

m và

2

m. Xét hệ toạ độ

O x y z

sao cho mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt sân, trục

O z

hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ toạ độ

O x y z

được lấy theo mét.
a) Biết rằng chân của hai cột đó có toạ độ lần lượt là

(8; 5; 0)

và

(3; 2; 0)

, hãy tìm toạ độ điểm đầu của mỗi cột.
b) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. Hỏi sợi dây cần có độ dài tối thiểu là khoảng bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Điểm cách mặt phẳng $(O x y)$ một khoảng $h$ về phía $O z$ và có hình chiếu $H (a; b; 0)$ thì có toạ độ $(a; b; h)$ .
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Hình thang vuông có hai đáy song song: đoạn nối hai đầu bằng căn của bình phương khoảng cách hai chân cộng bình phương hiệu hai đáy.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.32★★★Trang 55— Tự chọn hệ trục toạ độ và tính khoảng cách

Bài 2.32 (trang 55). Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu

A

của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai là

3

m và cách mặt đất là

1, 2

m. Đầu

B

của sợi dây nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất là

1

m và cách mặt đất là

2

m.
a) Hãy lập một hệ trục toạ độ phù hợp và tìm toạ độ của hai đầu

A

B

trong hệ toạ độ đó.
b) Tính độ dài của sợi dây được căng.

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z)$ thì $∣ x ∣ = d (M, (O y z))$ , $∣ y ∣ = d (M, (O z x))$ , $∣ z ∣ = d (M, (O x y))$ .
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Độ dài đoạn thẳng không phụ thuộc cách chọn hệ trục toạ độ.