Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 67— Tính độ dài cạnh của hình lăng trụ từ toạ độ đỉnh

Mở đầu (trang 67). Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác

O A B . O^{'} A^{'} B^{'}

như trong Hình 2.47b. Với hệ trục toạ độ

O x y z

thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm

A^{'}

và

B^{'}

có toạ độ lần lượt là

(240; 450; 0)

và

(120; 450; 300)

. Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không?

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ và $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Điểm $M (x; y; 0)$ thuộc $(O x y)$ có khoảng cách tới trục $O x$ là $∣ y ∣$ , tới trục $O y$ là $∣ x ∣$ .
Lăng trụ đứng có các cạnh bên song song và bằng nhau, vuông góc với hai đáy.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho toạ độ hai đỉnh

A^{'}

B^{'}

và cho biết

O

là gốc,

A

nằm trên

O x

O^{'}

nằm trên

O y

— nghĩa là ta đọc ra được toạ độ của mọi đỉnh còn lại. Ba kích thước cần tìm là chiều dài

A A^{'}

, chiều rộng

O^{'} A^{'}

và cạnh bên mặt tiền

A^{'} B^{'}

; hai cạnh đầu song song với trục nên đọc thẳng, còn

A^{'} B^{'}

xiên nên phải dùng công thức độ dài vectơ. Bẫy:

A^{'} B^{'}

không song song với trục nào, không được lấy hiệu một toạ độ.

1Cách 1. Đọc toạ độ các đỉnh rồi tính độ dài vectơ

Định hướng. Hình chiếu của $A^{'}$ lên $O x$ , $O y$ chính là $A$ , $O^{'}$ ; từ đó có đủ toạ độ để tính ba cạnh.

A (240; 0; 0)

O^{'} (0; 450; 0)

A^{'} (240; 450; 0)

B^{'} (120; 450; 300)

A A^{'} = (0; 450; 0)

nên

A A^{'} = 450

O^{'} A^{'} = (240; 0; 0)

nên

O^{'} A^{'} = 240

A^{'} B^{'} = (120 - 240; 450 - 450; 300 - 0) = (- 120; 0; 300)

A^{'} B^{'} = (- 120)^{2} + 0^{2} + 30 0^{2} = 104400 = 6029 \approx 323

Vậy căn nhà dài $450$ cm, rộng $240$ cm, mỗi cạnh bên của mặt tiền dài khoảng $323$ cm.

2Cách 2. Khoảng cách từ điểm tới trục toạ độ

Định hướng. $A^{'}$ nằm trong $(O x y)$ nên khoảng cách tới hai trục đọc ngay từ toạ độ; $O^{'} B^{'}$ tính bằng hiệu toạ độ.

A^{'} (240; 450; 0) \in (O x y)

A^{'} A ⊥ O x

nên

A^{'} A = d (A^{'}, O x) = ∣450∣ = 450

A^{'} O^{'} ⊥ O y

nên

A^{'} O^{'} = d (A^{'}, O y) = ∣240∣ = 240

O^{'} B^{'} = (120 - 0; 450 - 450; 300 - 0) = (120; 0; 300)

O^{'} B^{'} = 12 0^{2} + 0^{2} + 30 0^{2} = 6029 \approx 323

Vậy chiều dài $450$ cm, chiều rộng $240$ cm, hai cạnh bên mặt tiền $O^{'} B^{'} = A^{'} B^{'} \approx 323$ cm.

3Cách 3. Tam giác cân mặt tiền và định lí Pythagore

Định hướng. Hoành độ của $B^{'}$ bằng nửa hoành độ của $A^{'}$ nên mặt tiền $O^{'} A^{'} B^{'}$ là tam giác cân tại $B^{'}$ với chiều cao $300$ .

H (120; 450; 0)

là trung điểm

O^{'} A^{'}

và

B^{'} H ∥ O z

B^{'} H = 300

H A^{'} = 240 - 120 = 120

A^{'} B^{'2} = B^{'} H^{2} + H A^{'2} = 30 0^{2} + 12 0^{2} = 90000 + 14400 = 104400

A^{'} B^{'} = 6029 \approx 323

Vậy ba kích thước là $450$ cm, $240$ cm và cạnh bên mặt tiền khoảng $323$ cm.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy công thức độ dài vectơ trong không gian thực chất là định lí Pythagore áp dụng hai lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn của bài học: có toạ độ hai đầu mút là tính được mọi độ dài, không cần nhìn hình; Cách 3 nhanh khi nhận ra tam giác cân.

Đáp số. Có: căn nhà dài

450

cm, rộng

240

cm, mỗi cạnh bên mặt tiền dài

6029 \approx 323

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

A^{'} B^{'} = 300 - 0 = 300

(chỉ hiệu cao độ) vì nghĩ

A^{'} B^{'}

thẳng đứng. Thực ra

A^{'} B^{'} = (- 120; 0; 300)

có hai thành phần khác

0

nên

A^{'} B^{'} = 6029 \approx 323 \neq = 300

🚀 Mở rộng. Từ cùng dữ kiện còn tính được góc giữa mái và mặt đất:

cos O^{'} A^{'} B^{'} = \frac{2}{29}

, tức khoảng

68, 2^{\circ}

(xem Luyện tập 6).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 67— Biểu diễn vectơ qua

i, j, k

và tìm toạ độ của tổng, tích với số

HĐ1 (trang 67). Hình thành biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian. Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

a = (1; 0; 5)

và

b = (1; 3; 9)

.
a) Biểu diễn hai vectơ

a

và

b

qua các vectơ đơn vị

i

j

k

.
b) Biểu diễn hai vectơ

a + b

và

2 a

qua các vectơ đơn vị

i

j

k

, từ đó xác định toạ độ của hai vectơ đó.

Kiến thức cần nhớ

$a = (x; y; z) ⟺ a = x i + y j + z k$ .
Phép cộng vectơ và phép nhân số với vectơ có tính giao hoán, kết hợp, phân phối.
Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ và $k a = (k x; k y; k z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của vectơ chính là bộ hệ số khi phân tích theo

i

j

k

— nên câu a) chỉ là “viết lại”. Câu b) dùng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép cộng và phép nhân số để gom hệ số theo từng vectơ đơn vị. Bẫy: thành phần bằng

0

vẫn phải giữ đúng vị trí,

a = (1; 0; 5)

là

i + 5 k

, không phải

i + 5 j

1Cách 1. Gom hệ số theo từng vectơ đơn vị

Định hướng. Viết $a$ , $b$ theo $i$ , $j$ , $k$ rồi cộng, nhân như đa thức.

a = 1 \cdot i + 0 \cdot j + 5 k = i + 5 k

;

b = i + 3 j + 9 k

a + b = (i + 5 k) + (i + 3 j + 9 k) = 2 i + 3 j + 14 k

a + b = (2; 3; 14)

2 a = 2 (i + 5 k) = 2 i + 10 k = 2 i + 0 \cdot j + 10 k

2 a = (2; 0; 10)

Vậy $a = i + 5 k$ , $b = i + 3 j + 9 k$ , $a + b = (2; 3; 14)$ , $2 a = (2; 0; 10)$ .

2Cách 2. Tổng quát rồi thay số

Định hướng. Làm một lần cho $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ rồi thay số — chính là cách hình thành công thức trong khung.

a + b = (x i + y j + z k) + (x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k) = (x + x^{'}) i + (y + y^{'}) j + (z + z^{'}) k

k a = (k x) i + (k y) j + (k z) k

a + b = (1 + 1; 0 + 3; 5 + 9) = (2; 3; 14)

2 a = (2 \cdot 1; 2 \cdot 0; 2 \cdot 5) = (2; 0; 10)

Vậy $a + b = (2; 3; 14)$ và $2 a = (2; 0; 10)$ .

3Cách 3. Dựng điểm — quy tắc hình bình hành

Định hướng. Đặt $O A = a$ , $O B = b$ ; tổng $a + b$ là đường chéo của hình bình hành $O A C B$ .

A (1; 0; 5)

B (1; 3; 9)

;

O A C B

là hình bình hành nên trung điểm

O C

trùng trung điểm

A B

Trung điểm

A B

I (1; \frac{3}{2}; 7)

, suy ra

C (2 \cdot 1; 2 \cdot \frac{3}{2}; 2 \cdot 7) = (2; 3; 14)

a + b = O C = (2; 3; 14)

2 a = O D

với

A

là trung điểm

O D

D (2; 0; 10)

Vậy $a + b = (2; 3; 14)$ , $2 a = (2; 0; 10)$ .

Nhận xét. Ba cách cùng một kết quả: cộng vectơ là cộng từng toạ độ, nhân số là nhân từng toạ độ — đó là nội dung khung kiến thức ngay sau HĐ1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đúng yêu cầu của đề (biểu diễn qua

i

j

k

); sau khi có công thức thì dùng Cách 2 cho mọi bài sau.

Đáp số. a)

a = i + 5 k

b = i + 3 j + 9 k

. b)

a + b = 2 i + 3 j + 14 k = (2; 3; 14)

2 a = 2 i + 10 k = (2; 0; 10)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là bỏ mất thành phần

0

: viết

a = i + 5 j

rồi ra

a + b = (2; 8; 9)

. Phải nhớ thứ tự

(x; y; z)

ứng với

i

j

k

0

ở giữa nghĩa là không có

j

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

m a + n b = (m x + n x^{'}; m y + n y^{'}; m z + n z^{'})

; chẳng hạn

3 a - 2 b = (1; - 6; - 3)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi (trang 67)★Trang 67— Toạ độ của vectơ đối

Câu hỏi (trang 67). Nếu toạ độ của vectơ

a

là

(x; y; z)

thì toạ độ của vectơ đối của

a

là gì?

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ và $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a + (- a) = 0$ và $- a = (- 1) a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ đối

- a

vừa là

(- 1) \cdot a

, vừa là vectơ cộng với

a

bằng

0

— hai định nghĩa này cho hai đường tính độc lập. Bẫy: đổi dấu cả ba toạ độ, kể cả toạ độ đang âm hoặc bằng

0

1Cách 1. Nhân vectơ với số

- 1

Định hướng. $- a = (- 1) \cdot a$ , áp dụng công thức nhân số với vectơ.

- a = (- 1) \cdot a = ((- 1) x; (- 1) y; (- 1) z)

- a = (- x; - y; - z)

Vậy vectơ đối của $a = (x; y; z)$ là $- a = (- x; - y; - z)$ .

2Cách 2. Tổng với

a

bằng vectơ-không

Định hướng. Gọi $- a = (u; v; w)$ ; điều kiện $a + (- a) = 0$ cho ba phương trình.

a + (- a) = (x + u; y + v; z + w) = (0; 0; 0)

⎩ ⎨ ⎧ x + u = 0 y + v = 0 z + w = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ u = - x v = - y w = - z

Vậy $- a = (- x; - y; - z)$ .

3Cách 3. Biểu diễn qua

i, j, k

Định hướng. Lấy đối cả hai vế của đẳng thức $a = x i + y j + z k$ .

a = x i + y j + z k

- a = - x i - y j - z k = (- x) i + (- y) j + (- z) k

- a = (- x; - y; - z)

Vậy toạ độ của vectơ đối là $(- x; - y; - z)$ .

Nhận xét. Ví dụ $a = (2; - 3; 0)$ thì $- a = (- 2; 3; 0)$ : toạ độ âm đổi thành dương, toạ độ $0$ giữ nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 một dòng, dùng ngay công thức vừa học; Cách 2 cho thấy vì sao công thức đúng.

Đáp số.

- a = (- x; - y; - z)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ đổi dấu toạ độ đầu, viết

- a = (- x; y; z)

. Kiểm tra: với

a = (1; 2; 3)

thì

(1; 2; 3) + (- 1; 2; 3) = (0; 4; 6) \neq = 0

🚀 Mở rộng. Tương tự,

a - b = a + (- b) = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})

— công thức phép trừ suy ra từ công thức vectơ đối.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★Trang 68— Tìm toạ độ của một tổ hợp vectơ

Luyện tập 1 (trang 68). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

u = (1; 8; 6)

v = (- 1; 3; - 2)

và

w = (0; 5; 4)

. Tìm toạ độ của vectơ

u - 2 v + w

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ và $k a = (k x; k y; k z)$ .
$m u + n v + p w = (m x_{1} + n x_{2} + p x_{3}; m y_{1} + n y_{2} + p y_{3}; m z_{1} + n z_{2} + p z_{3})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức chỉ gồm phép cộng, trừ và nhân số nên tính theo từng toạ độ. Có thể tính từng vectơ thành phần rồi cộng dồn, hoặc viết một lần cả ba toạ độ. Bẫy:

- 2 v

với

v

có toạ độ âm, dấu trừ kép rất dễ sai.

1Cách 1. Tính từng vectơ rồi cộng

Định hướng. Tính $2 v$ trước, sau đó trừ và cộng lần lượt.

2 v = (- 2; 6; - 4)

u - 2 v = (1 - (- 2); 8 - 6; 6 - (- 4)) = (3; 2; 10)

u - 2 v + w = (3 + 0; 2 + 5; 10 + 4) = (3; 7; 14)

Vậy $u - 2 v + w = (3; 7; 14)$ .

2Cách 2. Một lần cho cả ba toạ độ

Định hướng. Áp dụng công thức tổ hợp tuyến tính cho từng toạ độ.

u - 2 v + w = (1 - 2 \cdot (- 1) + 0; 8 - 2 \cdot 3 + 5; 6 - 2 \cdot (- 2) + 4)

u - 2 v + w = (1 + 2 + 0; 8 - 6 + 5; 6 + 4 + 4)

u - 2 v + w = (3; 7; 14)

Vậy $u - 2 v + w = (3; 7; 14)$ .

3Cách 3. Qua các vectơ đơn vị

Định hướng. Viết ba vectơ theo $i$ , $j$ , $k$ rồi gom hệ số.

u - 2 v + w = (i + 8 j + 6 k) - 2 (- i + 3 j - 2 k) + (5 j + 4 k)

u - 2 v + w = i + 8 j + 6 k + 2 i - 6 j + 4 k + 5 j + 4 k

u - 2 v + w = 3 i + 7 j + 14 k

Vậy $u - 2 v + w = (3; 7; 14)$ .

Nhận xét. Cách 2 gọn nhất khi đi thi; Cách 3 dài hơn nhưng giúp hiểu vì sao được cộng theo từng toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: viết thẳng ba biểu thức số trong một dòng, chỉ cần cẩn thận dấu của

- 2 \cdot (- 1)

và

- 2 \cdot (- 2)

Đáp số.

u - 2 v + w = (3; 7; 14)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp: tính

- 2 v = (- 2; - 6; - 4)

(quên rằng

- 2 \cdot (- 1) = 2

và

- 2 \cdot (- 2) = 4

), dẫn tới kết quả sai

(- 1; 7; 6)

. Đúng là

- 2 v = (2; - 6; 4)

🚀 Mở rộng. Thử tìm

x

sao cho

u - 2 v + x = 0

: ta được

x = - (3; 2; 10) = (- 3; - 2; - 10)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ2★★Trang 68— Thiết lập công thức toạ độ trung điểm, trọng tâm

HĐ2 (trang 68). Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác. Trong không gian

O x y z

, cho tam giác

A B C

có

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

và

C (x_{C}; y_{C}; z_{C})

.
a) Gọi

M

là trung điểm của đoạn thẳng

A B

. Tìm toạ độ của

M

theo toạ độ của

A

và

B

.
b) Gọi

G

là trọng tâm của tam giác

A B C

. Tìm toạ độ của

G

theo toạ độ của

A

B

và

C

.
(Ta đã biết:

O M = \frac{1}{2} (O A + O B)

;

O G = \frac{1}{3} (O A + O B + O C)

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z) ⟺ O M = (x; y; z)$ .
Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ và $k a = (k x; k y; k z)$ .
$M$ là trung điểm $A B ⟺ A M = M B$ ; $G$ là trọng tâm tam giác $A B C ⟺ G A + GB + GC = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của điểm

M

chính là toạ độ của vectơ

O M

, nên chỉ cần viết

O M

theo

O A

O B

rồi áp dụng công thức cộng và nhân số. Ngoài gợi ý của SGK còn có thể xuất phát từ

A M = M B

hoặc

G A + GB + GC = 0

. Bẫy: toạ độ điểm

A

và toạ độ vectơ

O A

trùng nhau chỉ vì

O

là gốc.

1Cách 1. Theo vectơ vị trí (gợi ý SGK)

Định hướng. Toạ độ của $O A$ là toạ độ của $A$ ; cộng rồi nhân số theo từng toạ độ.

O M = \frac{1}{2} (O A + O B) = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}; y_{A} + y_{B}; z_{A} + z_{B})

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

O G = \frac{1}{3} (O A + O B + O C) = \frac{1}{3} (x_{A} + x_{B} + x_{C}; y_{A} + y_{B} + y_{C}; z_{A} + z_{B} + z_{C})

G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})

Vậy $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ và $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .

2Cách 2. Đặt ẩn và dùng đẳng thức vectơ

Định hướng. Gọi $M (x; y; z)$ , $G (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ rồi viết đẳng thức vectơ đặc trưng thành hệ phương trình.

A M = M B ⟺ (x - x_{A}; y - y_{A}; z - z_{A}) = (x_{B} - x; y_{B} - y; z_{B} - z)

⟺ 2 x = x_{A} + x_{B}, 2 y = y_{A} + y_{B}, 2 z = z_{A} + z_{B}

G A + GB + GC = 0 ⟺ (x_{A} + x_{B} + x_{C} - 3 x_{0}; y_{A} + y_{B} + y_{C} - 3 y_{0}; z_{A} + z_{B} + z_{C} - 3 z_{0}) = (0; 0; 0)

⟺ 3 x_{0} = x_{A} + x_{B} + x_{C}, 3 y_{0} = y_{A} + y_{B} + y_{C}, 3 z_{0} = z_{A} + z_{B} + z_{C}

Vậy ta được đúng hai công thức toạ độ trung điểm và trọng tâm như Cách 1.

3Cách 3. Tỉ số trên đoạn thẳng

Định hướng. $M = A + \frac{1}{2} A B$ ; trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $A N$ với $A G = \frac{2}{3} A N$ .

A M = \frac{1}{2} A B

nên

x_{M} = x_{A} + \frac{x _{B} - x _{A}}{2} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}

(tương tự cho

y

z

)
b)

N

là trung điểm

B C

x_{N} = \frac{x _{B} + x _{C}}{2}

x_{G} = x_{A} + \frac{2}{3} (x_{N} - x_{A}) = \frac{1}{3} x_{A} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x _{B} + x _{C}}{2} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}

(tương tự cho

y

z

)

Vậy toạ độ trung điểm là trung bình cộng toạ độ hai đầu mút, toạ độ trọng tâm là trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.

Nhận xét. Cách 3 dùng lại kết quả câu a) để làm câu b), cho thấy công thức trọng tâm là hệ quả của công thức trung điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn nhất vì SGK đã cho sẵn hai đẳng thức vectơ; Cách 2 dùng được cả khi quên các đẳng thức đó.

Đáp số. a)

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

. b)

G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nhầm trung điểm với “nửa hiệu”: viết

x_{M} = \frac{x _{B} - x _{A}}{2}

. Đó là hoành độ của

\frac{1}{2} A B

, không phải của điểm

M

; với

A (2; 0; 0)

B (4; 0; 0)

thì trung điểm là

(3; 0; 0)

chứ không phải

(1; 0; 0)

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: trọng tâm tứ diện

A B C D

có toạ độ bằng trung bình cộng toạ độ bốn đỉnh (SBT Bài 2.28).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★★Trang 69— Tìm đỉnh của tam giác khi biết trọng tâm

Luyện tập 2 (trang 69). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (2; 9; - 1)

B (9; 4; 5)

và

G (3; 0; 4)

. Tìm toạ độ điểm

C

sao cho tam giác

A B C

nhận

G

là trọng tâm.

Kiến thức cần nhớ

Trung điểm $M$ của $A B$ : $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ ; trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$G A + GB + GC = 0$ .
Nếu $M$ là trung điểm $A B$ thì $C G = 2 GM$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài toán ngược của công thức trọng tâm: biết

G

và hai đỉnh, tìm đỉnh thứ ba. Có thể giải hệ từ công thức, dùng đẳng thức

G A + GB + GC = 0

, hoặc dùng trung điểm

M

của

A B

với

M C = 3 M G

. Bẫy: nhân

3

cho toạ độ của

G

trước khi trừ, đừng trừ rồi mới nhân.

1Cách 1. Giải từ công thức toạ độ trọng tâm

Định hướng. Mỗi toạ độ của $C$ là $3$ lần toạ độ của $G$ trừ đi tổng toạ độ của $A$ , $B$ .

x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} = 3 \cdot 3 - 2 - 9 = - 2

y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} = 3 \cdot 0 - 9 - 4 = - 13

z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} = 3 \cdot 4 - (- 1) - 5 = 8

Vậy $C (- 2; - 13; 8)$ .

2Cách 2. Đẳng thức vectơ trọng tâm

Định hướng. $GC = - (G A + GB)$ , rồi $C$ bằng $G$ cộng vectơ đó.

G A = (- 1; 9; - 5)

GB = (6; 4; 1)

GC = - (G A + GB) = - (5; 13; - 4) = (- 5; - 13; 4)

C = (3 - 5; 0 - 13; 4 + 4) = (- 2; - 13; 8)

Vậy $C (- 2; - 13; 8)$ .

3Cách 3. Qua trung điểm của

A B

Định hướng. $G$ chia trung tuyến $C M$ theo tỉ số $C G = 2 GM$ , nên $O C = 3 O G - 2 O M$ .

M (\frac{11}{2}; \frac{13}{2}; 2)

O C = 3 O G - 2 O M = (9; 0; 12) - (11; 13; 4)

O C = (- 2; - 13; 8)

Vậy $C (- 2; - 13; 8)$ .

Nhận xét. Thử lại: $\frac{2 + 9 - 2}{3} = 3$ , $\frac{9 + 4 - 13}{3} = 0$ , $\frac{- 1 + 5 + 8}{3} = 4$ , đúng là $G (3; 0; 4)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh nhất: mỗi toạ độ một phép tính

3 g - a - b

, lại dễ thử lại.

Đáp số.

C (- 2; - 13; 8)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp: tính

x_{C} = 3 - 2 - 9 = - 8

(quên nhân

3

cho toạ độ của

G

). Thử lại sẽ thấy ngay:

\frac{2 + 9 - 8}{3} = 1 \neq = 3

🚀 Mở rộng. Tương tự, biết trọng tâm

G

của tứ diện và ba đỉnh

A

B

C

thì

D = 4 G - A - B - C

(theo từng toạ độ).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ3★★Trang 69— Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng

HĐ3 (trang 69). Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian. Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

a = (x; y; z)

và

b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})

.
a) Giải thích vì sao

i \cdot i = 1

và

i \cdot j = i \cdot k = 0

.
b) Sử dụng biểu diễn

a = x i + y j + z k

để tính các tích vô hướng

a \cdot i

a \cdot j

và

a \cdot k

.
c) Sử dụng biểu diễn

b = x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k

để tính tích vô hướng

a \cdot b

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ \cdot cos (u, v)$ ; $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ ; $u^{2} = ∣ u ∣^{2}$ .
Tích vô hướng có tính giao hoán và phân phối đối với phép cộng; $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba vectơ

i

j

k

là vectơ đơn vị và đôi một vuông góc — đó là toàn bộ dữ kiện cần cho câu a). Câu b), c) chỉ là khai triển tích vô hướng nhờ tính chất phân phối, mọi tích chéo đều bằng

0

. Có thể kiểm chứng lại công thức bằng hằng đẳng thức

2 a \cdot b = ∣ a + b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2}

1Cách 1. Khai triển theo tính chất phân phối

Định hướng. Dùng $∣ i ∣ = ∣ j ∣ = ∣ k ∣ = 1$ và tính đôi một vuông góc, rồi khai triển.

i \cdot i = ∣ i ∣^{2} = 1

;

i ⊥ j

i ⊥ k

nên

i \cdot j = i \cdot k = 0

a \cdot i = x i \cdot i + y j \cdot i + z k \cdot i = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = x

a \cdot j = x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = y

;

a \cdot k = x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1 = z

a \cdot b = a \cdot (x^{'} i + y^{'} j + z^{'} k) = x^{'} (a \cdot i) + y^{'} (a \cdot j) + z^{'} (a \cdot k)

a \cdot b = x^{'} x + y^{'} y + z^{'} z = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

Vậy $a \cdot i = x$ , $a \cdot j = y$ , $a \cdot k = z$ và $a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

2Cách 2. Hình chiếu lên các trục

Định hướng. $a \cdot i = ∣ a ∣ cos (a, i)$ là độ dài đại số hình chiếu của $a$ lên $O x$ , tức hoành độ $x$ .

i \cdot i = 1 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ} = 1

;

i \cdot j = 1 \cdot 1 \cdot cos 9 0^{\circ} = 0

, tương tự

i \cdot k = 0

O M = a

, hình chiếu của

M

lên

O x

là

M_{1} (x; 0; 0)

a \cdot i = O M \cdot i = O M_{1} \cdot i = x i \cdot i = x

; tương tự

a \cdot j = y

a \cdot k = z

a \cdot b = x^{'} (a \cdot i) + y^{'} (a \cdot j) + z^{'} (a \cdot k) = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

Vậy $a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

3Cách 3. Kiểm chứng câu c) bằng độ dài

Định hướng. Dùng $∣ u ∣^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ (đường chéo hình hộp, Bài 7) và hằng đẳng thức $2 a \cdot b = ∣ a + b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2}$ .

2 a \cdot b = (x + x^{'})^{2} + (y + y^{'})^{2} + (z + z^{'})^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x^{'2} + y^{'2} + z^{'2})

2 a \cdot b = 2 x x^{'} + 2 y y^{'} + 2 z z^{'}

a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

Vậy công thức $a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ được xác nhận lại mà không cần khai triển theo $i$ , $j$ , $k$ .

Nhận xét. Cách 1 chính là con đường SGK dẫn tới khung kiến thức; Cách 3 cho thấy công thức tích vô hướng và công thức độ dài “sinh ra nhau”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải chuẩn, ngắn gọn và đúng tinh thần câu hỏi (đề yêu cầu dùng biểu diễn theo

i

j

k

Đáp số. a)

∣ i ∣ = 1

nên

i \cdot i = 1

;

i ⊥ j

i ⊥ k

nên

i \cdot j = i \cdot k = 0

. b)

a \cdot i = x

a \cdot j = y

a \cdot k = z

. c)

a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là nhân “chéo” như tích có hướng hoặc như định thức, ví dụ viết

a \cdot b = x y^{'} + y z^{'} + z x^{'}

. Kiểm tra với

a = b = i = (1; 0; 0)

: công thức sai cho

0

, trong khi

i \cdot i = 1

🚀 Mở rộng. Hệ quả trực tiếp:

a ⊥ b ⟺ x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0

và

∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

— hai công thức dùng nhiều nhất của cả chương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★Trang 69— Tính bình phương vô hướng của một vectơ tổng

Luyện tập 3 (trang 69). Trong Ví dụ 3, tính

(a + b)^{2}

.
(Ví dụ 3: Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

a = (1; 4; 2)

và

b = (- 4; 1; 0)

Kiến thức cần nhớ

$u^{2} = u \cdot u = ∣ u ∣^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

(a + b)^{2}

là bình phương vô hướng, bằng

∣ a + b ∣^{2}

— không phải bình phương từng toạ độ rồi ghép thành vectơ. Có thể tìm toạ độ

a + b

trước, hoặc khai triển hằng đẳng thức; đặc biệt Ví dụ 3 đã cho

a ⊥ b

nên

a \cdot b = 0

1Cách 1. Tìm toạ độ của

a + b

Định hướng. Cộng hai vectơ rồi lấy tổng bình phương các toạ độ.

a + b = (1 - 4; 4 + 1; 2 + 0) = (- 3; 5; 2)

(a + b)^{2} = (- 3)^{2} + 5^{2} + 2^{2} = 9 + 25 + 4 = 38

Vậy $(a + b)^{2} = 38$ .

2Cách 2. Khai triển hằng đẳng thức

Định hướng. Tính riêng $a^{2}$ , $b^{2}$ , $a \cdot b$ rồi ghép.

a^{2} = 1 + 16 + 4 = 21

b^{2} = 16 + 1 + 0 = 17

a \cdot b = - 4 + 4 + 0 = 0

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2} = 21 + 2 \cdot 0 + 17 = 38

Vậy $(a + b)^{2} = 38$ .

3Cách 3. Định lí Pythagore cho hai vectơ vuông góc

Định hướng. Ví dụ 3 đã chứng minh $a ⊥ b$ , nên $a + b$ là cạnh huyền của tam giác vuông dựng trên $a$ , $b$ .

a ⊥ b

nên

∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}

(a + b)^{2} = (21)^{2} + (17)^{2} = 21 + 17 = 38

Vậy $(a + b)^{2} = 38$ .

Nhận xét. Cách 3 tận dụng kết quả có sẵn của Ví dụ 3, không phải tính lại toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 an toàn nhất (hai dòng, không cần nhớ hằng đẳng thức); Cách 3 nhanh nhất nếu để ý

a ⊥ b

Đáp số.

(a + b)^{2} = 38

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là viết

(a + b)^{2} = (9; 25; 4)

, tức bình phương từng toạ độ và giữ nguyên dạng vectơ. Bình phương vô hướng là một SỐ:

9 + 25 + 4 = 38

🚀 Mở rộng. Tương tự

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a \cdot b + b^{2} = 38

; hai đường chéo của hình chữ nhật dựng trên

a

b

bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★Trang 70— Tính chu vi và góc của tam giác trong không gian

Luyện tập 4 (trang 70). Trong không gian

O x y z

, cho

A (0; 2; 1)

B (3; - 2; 1)

và

C (- 2; 5; 7)

.
a) Tính chu vi của tam giác

A B C

.
b) Tính

B A C

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ và $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Định lí côsin: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos B A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chu vi cần ba cạnh — dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm. Góc

B A C

là góc giữa hai vectơ

A B

và

A C

(cùng gốc

A

), tính qua tích vô hướng; cũng có thể dùng định lí côsin khi đã có ba cạnh. Bẫy: phải lấy hai vectơ cùng xuất phát từ

A

, dùng

B A

với

A C

sẽ ra góc bù.

1Cách 1. Toạ độ vectơ và tích vô hướng

Định hướng. Tìm $A B$ , $A C$ , $B C$ ; độ dài cho chu vi, tích vô hướng cho góc.

A B = (3; - 4; 0)

A B = 9 + 16 + 0 = 5

A C = (- 2; 3; 6)

A C = 4 + 9 + 36 = 7

B C = (- 5; 7; 6)

B C = 25 + 49 + 36 = 110

P_{A B C} = 5 + 7 + 110 = 12 + 110 \approx 22, 49

cos B A C = \frac{A B \cdot A C}{A B \cdot A C} = \frac{3 \cdot ( - 2 ) + ( - 4 ) \cdot 3 + 0 \cdot 6}{5 \cdot 7} = \frac{- 18}{35}

B A C \approx 120, 9 5^{\circ}

Vậy chu vi tam giác $A B C$ là $12 + 110 \approx 22, 49$ và $B A C \approx 12 1^{\circ}$ .

2Cách 2. Công thức khoảng cách và định lí côsin

Định hướng. Tính ba cạnh bằng công thức khoảng cách, rồi suy góc từ định lí côsin — không cần tích vô hướng.

A B = 3^{2} + (- 4)^{2} + 0^{2} = 5

A C = (- 2)^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7

B C = (- 5)^{2} + 7^{2} + 6^{2} = 110

P_{A B C} = 12 + 110

cos B A C = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{25 + 49 - 110}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{- 36}{70} = - \frac{18}{35}

B A C \approx 120, 9 5^{\circ}

Vậy chu vi là $12 + 110$ , $B A C \approx 12 1^{\circ}$ .

3Cách 3. Nhận dạng góc tù trước, rồi tính

Định hướng. So sánh $B C^{2}$ với $A B^{2} + A C^{2}$ để biết góc $A$ tù, sau đó tính tích vô hướng từ đẳng thức $B C = A C - A B$ .

B C^{2} = 110 > 74 = A B^{2} + A C^{2}

nên

B A C

là góc tù

B C^{2} = (A C - A B)^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A B \cdot A C

A B \cdot A C = \frac{25 + 49 - 110}{2} = - 18

cos B A C = \frac{- 18}{35}

B A C \approx 120, 9 5^{\circ}

Vậy chu vi $12 + 110 \approx 22, 49$ và $B A C \approx 120, 9 5^{\circ}$ (góc tù, khớp với nhận định ban đầu).

Nhận xét. Bước so sánh $B C^{2}$ với $A B^{2} + A C^{2}$ giúp kiểm tra dấu của $cos$ , rất có ích để phát hiện sai sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn: có sẵn toạ độ hai vectơ cùng gốc thì tích vô hướng cho

cos

ngay, không phải tính cạnh

B C

Đáp số. a) Chu vi

= 12 + 110 \approx 22, 49

. b)

cos B A C = - \frac{18}{35}

B A C \approx 120, 9 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng

B A

và

A C

: ra

cos = \frac{18}{35}

và góc

\approx 5 9^{\circ}

— đó là góc bù của

B A C

. Góc tại đỉnh

A

phải lấy hai vectơ cùng gốc

A

🚀 Mở rộng. Tính tiếp

A B C

và

A C B

bằng cùng cách rồi kiểm tra tổng ba góc bằng

18 0^{\circ}

— đó chính là bài toán “giải tam giác” (SBT Bài 2.29).

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 5★★Trang 71— Chuyển động thẳng đều: tìm vị trí bằng phép toán vectơ

Luyện tập 5 (trang 71). Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định toạ độ của chiếc máy bay sau

10

phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm

B

).
(Ví dụ 5: Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm

A (800; 500; 7)

đến điểm

B (940; 550; 8)

trong

10

phút.)

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động thẳng đều: vị trí sau thời gian $t$ là $M$ với $A M = \frac{t}{t _{0}} A B$ ( $t_{0}$ là thời gian đi từ $A$ tới $B$ ).
$B D = A B ⟺ B$ là trung điểm $A D$ .
Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ và $k a = (k x; k y; k z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc và hướng không đổi nên độ dời trong những khoảng thời gian bằng nhau là cùng một vectơ.

10

phút tiếp theo bằng đúng thời gian bay từ

A

đến

B

, nên độ dời từ

B

đến vị trí mới

D

bằng

A B

. Bẫy: đừng lấy vị trí mới là

B + \frac{1}{2} A B

như Ví dụ 5 (đó là

5

phút).

1Cách 1. Độ dời bằng nhau:

B D = A B

Định hướng. Cùng hướng, cùng vận tốc, cùng thời gian $10$ phút nên hai độ dời bằng nhau.

A B = (940 - 800; 550 - 500; 8 - 7) = (140; 50; 1)

D (x; y; z)

B D = (x - 940; y - 550; z - 8) = (140; 50; 1)

x = 1080

y = 600

z = 9

Vậy sau $10$ phút tiếp theo máy bay ở vị trí có toạ độ $(1080; 600; 9)$ .

2Cách 2.

B

là trung điểm của

A D

Định hướng. $A B = B D$ nghĩa là $B$ là trung điểm $A D$ , nên $D = 2 B - A$ .

x_{D} = 2 \cdot 940 - 800 = 1080

y_{D} = 2 \cdot 550 - 500 = 600

z_{D} = 2 \cdot 8 - 7 = 9

Vậy toạ độ máy bay là $(1080; 600; 9)$ .

3Cách 3. Phương trình vị trí theo thời gian

Định hướng. Vị trí sau $t$ phút kể từ $A$ là $A + \frac{t}{10} A B$ ; thời điểm cần tìm là $t = 20$ .

A M = \frac{t}{10} (140; 50; 1)

t = 20

M = (800 + 2 \cdot 140; 500 + 2 \cdot 50; 7 + 2 \cdot 1) = (1080; 600; 9)

Vậy máy bay ở điểm $(1080; 600; 9)$ .

Nhận xét. Cùng công thức, $t = 15$ cho $(1010; 575; 8, 5)$ — đúng đáp số của Ví dụ 5.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất: mỗi toạ độ một phép tính

2 b - a

; Cách 3 tổng quát, dùng được cho mọi thời điểm.

Đáp số. Toạ độ máy bay sau

10

phút tiếp theo là

(1080; 600; 9)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là dùng lại

B C = \frac{1}{2} A B

của Ví dụ 5 và ra

(1010; 575; 8, 5)

— đó là vị trí sau

5

phút, không phải

10

phút.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: sau

n

khoảng

10

phút kể từ

A

, máy bay ở điểm

(800 + 140 n; 500 + 50 n; 7 + n)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 6★★★Trang 71— Tính góc bằng tích vô hướng trong bài toán thực tế

Luyện tập 6 (trang 71). Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc

α

. (Góc

α

chính là góc giữa mặt bên của căn nhà gỗ và mặt đất.)

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ và $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Trong tam giác vuông: $tan α = \frac{a}{b}$ , $sin α = \frac{a}{c}$ , $cos α = \frac{b}{c}$ với $a$ là cạnh đối, $b$ là cạnh kề, $c$ là cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Góc

α

trong Hình 2.47b là

O^{'} A^{'} B^{'}

, góc tại

A^{'}

giữa hai tia

A^{'} O^{'}

và

A^{'} B^{'}

; vì cạnh

A^{'} A

vuông góc với cả

A^{'} O^{'}

lẫn

A^{'} B^{'}

nên đây đúng là góc giữa mặt bên và mặt đất. Đã có toạ độ

O^{'}

A^{'}

B^{'}

nên dùng ngay tích vô hướng; hoặc hạ đường cao

B^{'} H

và dùng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

1Cách 1. Tích vô hướng của

A^{'} O^{'}

và

A^{'} B^{'}

Định hướng. $α$ là góc giữa hai vectơ cùng gốc $A^{'}$ .

A^{'} O^{'} = (- 240; 0; 0)

A^{'} B^{'} = (- 120; 0; 300)

cos α = \frac{( - 240 ) \cdot ( - 120 ) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 300}{240 \cdot 60 29} = \frac{28 800}{14 400 29} = \frac{2}{29}

α \approx 68, 2^{\circ}

Vậy $α \approx 68, 2^{\circ}$ .

2Cách 2. Tam giác vuông

B^{'} H A^{'}

— dùng

tan

Định hướng. Hạ $B^{'} H ⊥ O^{'} A^{'}$ với $H (120; 450; 0)$ ; khi đó $tan α$ bằng chiều cao chia nửa đáy.

H B^{'} = (0; 0; 300)

nên

B^{'} H = 300

;

H A^{'} = (120; 0; 0)

nên

H A^{'} = 120

tan α = \frac{B ^{'} H}{H A ^{'}} = \frac{300}{120} = \frac{5}{2}

α \approx 68, 2^{\circ}

Vậy $α \approx 68, 2^{\circ}$ .

3Cách 3. Tam giác vuông

B^{'} H A^{'}

— dùng

sin

Định hướng. Đã biết cạnh huyền $A^{'} B^{'} = 6029$ từ Ví dụ 6; lấy chiều cao chia cạnh huyền.

sin α = \frac{B ^{'} H}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{300}{60 29} = \frac{5}{29}

α \approx 68, 2^{\circ}

Vậy góc giữa mặt bên căn nhà gỗ và mặt đất là $α \approx 68, 2^{\circ}$ .

Nhận xét. Ba giá trị $cos α = \frac{2}{29}$ , $tan α = \frac{5}{2}$ , $sin α = \frac{5}{29}$ khớp nhau vì $(\frac{2}{29})^{2} + (\frac{5}{29})^{2} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 gọn nhất: chỉ cần hai số

300

và

120

đọc từ toạ độ, không có căn thức.

Đáp số.

α \approx 68, 2^{\circ}

(với

cos α = \frac{2}{29}

tan α = \frac{5}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy góc giữa

A^{'} B^{'}

và

O^{'} A^{'}

(khác gốc), ra

cos = - \frac{2}{29}

và góc

\approx 111, 8^{\circ}

— góc tù không thể là góc giữa mái nhà và mặt đất.

🚀 Mở rộng. Nếu giữ chiều rộng

240

cm mà muốn mái dốc đúng

6 0^{\circ}

thì chiều cao phải là

120 tan 6 0^{\circ} = 1203 \approx 208

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 7★★Trang 72— So sánh khoảng cách từ gốc toạ độ tới hai điểm

Luyện tập 7 (trang 72). Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.
(Ví dụ 7: Chọn hệ

O x y z

gốc

O

tại điểm xuất phát,

O x

hướng nam,

O y

hướng đông,

O z

hướng lên trời, đơn vị kilômét; hai khinh khí cầu có toạ độ lần lượt là

(2; 1; 0, 5)

và

(- 1; - 1, 5; 0, 8)

Kiến thức cần nhớ

$O M = x_{M}^{2} + y_{M}^{2} + z_{M}^{2}$ .
Với $a, b \geq 0$ : $a > b ⟺ a > b$ .
Nếu $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(O x y)$ thì $O M^{2} = O H^{2} + H M^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Xa điểm xuất phát hơn” nghĩa là so sánh

O K_{1}

và

O K_{2}

với

O

là gốc toạ độ, nên chỉ cần công thức

O M = x^{2} + y^{2} + z^{2}

. Muốn so sánh hai căn bậc hai thì so sánh hai biểu thức dưới căn là đủ. Bẫy: khí cầu thứ hai bay cao hơn (

0, 8

km) nhưng chưa chắc xa hơn.

1Cách 1. Tính hai khoảng cách

Định hướng. Áp dụng công thức khoảng cách từ gốc toạ độ tới một điểm.

O K_{1} = 2^{2} + 1^{2} + 0, 5^{2} = 5, 25 \approx 2, 29

O K_{2} = (- 1)^{2} + (- 1, 5)^{2} + 0, 8^{2} = 3, 89 \approx 1, 97

O K_{1} > O K_{2}

Vậy khinh khí cầu thứ nhất ở xa điểm xuất phát hơn (khoảng $2, 29$ km so với $1, 97$ km).

2Cách 2. So sánh bình phương, không khai căn

Định hướng. Khoảng cách dương nên so sánh bình phương là đủ, tránh làm tròn.

O K_{1}^{2} = 4 + 1 + 0, 25 = 5, 25

O K_{2}^{2} = 1 + 2, 25 + 0, 64 = 3, 89

5, 25 > 3, 89

nên

O K_{1} > O K_{2}

Vậy khinh khí cầu thứ nhất xa điểm xuất phát hơn.

3Cách 3. Tách khoảng cách ngang và độ cao

Định hướng. Gọi $H_{1}$ , $H_{2}$ là hình chiếu của hai khí cầu xuống mặt đất; tam giác $O H_{1} K_{1}$ , $O H_{2} K_{2}$ vuông tại $H_{1}$ , $H_{2}$ .

O H_{1}^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5

H_{1} K_{1} = 0, 5

;

O K_{1}^{2} = 5 + 0, 25 = 5, 25

O H_{2}^{2} = 1^{2} + 1, 5^{2} = 3, 25

H_{2} K_{2} = 0, 8

;

O K_{2}^{2} = 3, 25 + 0, 64 = 3, 89

O K_{1}^{2} > O K_{2}^{2}

Vậy khinh khí cầu thứ nhất xa điểm xuất phát hơn.

Nhận xét. Khí cầu thứ hai cao hơn $0, 3$ km nhưng khoảng cách theo phương ngang ngắn hơn nhiều ( $3, 25 \approx 1, 80$ so với $5 \approx 2, 24$ ), nên tổng thể vẫn gần hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh và chính xác nhất: không khai căn, không làm tròn.

Đáp số. Khinh khí cầu thứ nhất ở xa điểm xuất phát hơn vì

O K_{1} = 5, 25 \approx 2, 29

> O K_{2} = 3, 89 \approx 1, 97

km.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là chỉ so độ cao (

0, 8 > 0, 5

) rồi kết luận khí cầu thứ hai xa hơn, hoặc cộng toạ độ (

2 + 1 + 0, 5

so với

1 + 1, 5 + 0, 8

). Khoảng cách phải tính bằng tổng BÌNH PHƯƠNG các toạ độ.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách giữa hai khí cầu là

15, 34 \approx 3, 92

km (Ví dụ 7b), lớn hơn cả

O K_{1}

và

O K_{2}

vì chúng bay về hai phía gần như ngược nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 2.20★Trang 72— Phép toán vectơ và tích vô hướng theo toạ độ

Bài 2.20 (trang 72). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

a = (3; 1; 2)

b = (- 3; 0; 4)

và

c = (6; - 1; 0)

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

a + b + c

và

2 a - 3 b - 5 c

.
b) Tính các tích vô hướng

a \cdot (- b)

và

(2 a) \cdot c

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ và $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$(k a) \cdot b = a \cdot (k b) = k (a \cdot b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là tổ hợp tuyến tính — tính theo từng toạ độ. Câu b) có thể tìm

- b

2 a

rồi nhân, hoặc dùng tính chất

a \cdot (- b) = - (a \cdot b)

(2 a) \cdot c = 2 (a \cdot c)

để chỉ phải tính hai tích cơ bản. Bẫy: nhiều dấu trừ chồng nhau trong

- 3 b

- 5 c

1Cách 1. Tính từng vectơ thành phần

Định hướng. Tính $2 a$ , $3 b$ , $5 c$ , $- b$ trước rồi cộng, nhân.

a + b + c = (3 - 3 + 6; 1 + 0 - 1; 2 + 4 + 0) = (6; 0; 6)

2 a = (6; 2; 4)

3 b = (- 9; 0; 12)

5 c = (30; - 5; 0)

2 a - 3 b - 5 c = (6 + 9 - 30; 2 - 0 + 5; 4 - 12 - 0) = (- 15; 7; - 8)

- b = (3; 0; - 4)

a \cdot (- b) = 3 \cdot 3 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (- 4) = 1

(2 a) \cdot c = 6 \cdot 6 + 2 \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 = 34

Vậy $a + b + c = (6; 0; 6)$ , $2 a - 3 b - 5 c = (- 15; 7; - 8)$ , $a \cdot (- b) = 1$ , $(2 a) \cdot c = 34$ .

2Cách 2. Tính chất của tích vô hướng

Định hướng. Đưa hệ số ra ngoài tích vô hướng: chỉ cần $a \cdot b$ và $a \cdot c$ .

2 a - 3 b - 5 c = (2 \cdot 3 - 3 \cdot (- 3) - 5 \cdot 6; 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1); 2 \cdot 2 - 3 \cdot 4 - 5 \cdot 0) = (- 15; 7; - 8)

a \cdot b = 3 \cdot (- 3) + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = - 1

nên

a \cdot (- b) = - (a \cdot b) = 1

a \cdot c = 3 \cdot 6 + 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 = 17

nên

(2 a) \cdot c = 2 \cdot 17 = 34

Vậy $a \cdot (- b) = 1$ và $(2 a) \cdot c = 34$ ; toạ độ các vectơ như Cách 1.

3Cách 3. Qua các vectơ đơn vị

Định hướng. Viết theo $i$ , $j$ , $k$ rồi gom hệ số; tích vô hướng khai triển với $i^{2} = j^{2} = k^{2} = 1$ , tích chéo bằng $0$ .

a + b + c = (3 i + j + 2 k) + (- 3 i + 4 k) + (6 i - j) = 6 i + 6 k

2 a - 3 b - 5 c = (6 i + 2 j + 4 k) - (- 9 i + 12 k) - (30 i - 5 j) = - 15 i + 7 j - 8 k

a \cdot (- b) = (3 i + j + 2 k) \cdot (3 i - 4 k) = 9 - 8 = 1

(2 a) \cdot c = (6 i + 2 j + 4 k) \cdot (6 i - j) = 36 - 2 = 34

Vậy $(6; 0; 6)$ , $(- 15; 7; - 8)$ , $1$ và $34$ .

Nhận xét. Cách 2 rút gọn được việc tính toán khi hệ số đứng ngoài tích vô hướng, đặc biệt hữu ích với hệ số lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: tính một lần hai tích

a \cdot b

a \cdot c

rồi nhân hệ số — ít phép tính, ít sai dấu.

Đáp số. a)

a + b + c = (6; 0; 6)

;

2 a - 3 b - 5 c = (- 15; 7; - 8)

. b)

a \cdot (- b) = 1

;

(2 a) \cdot c = 34

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp: tính

- 3 b

thành

(- 9; 0; 12)

(quên đổi dấu), ra thành phần thứ nhất

6 - 9 - 30 = - 33

thay vì

6 + 9 - 30 = - 15

. Với

b = (- 3; 0; 4)

thì

- 3 b = (9; 0; - 12)

🚀 Mở rộng. Tìm số

m

để

a + m c

vuông góc với

b

a \cdot b + m b \cdot c = - 1 - 18 m = 0

, tức

m = - \frac{1}{18}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 2.21★★Trang 72— Chứng minh ba điểm không thẳng hàng, tìm đỉnh hình bình hành

Bài 2.21 (trang 72). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

M (- 4; 3; 3)

N (4; - 4; 2)

và

P (3; 6; - 1)

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

M N

M P

, từ đó chứng minh rằng ba điểm

M

N

P

không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của vectơ

N M + N P

, từ đó suy ra toạ độ của điểm

Q

sao cho tứ giác

M N P Q

là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành

M N P Q

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ và $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
$a = (x; y; z)$ cùng phương $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'}) \neq = 0 ⟺$ tồn tại $k$ để $x = k x^{'}$ , $y = k y^{'}$ , $z = k z^{'}$ .
$M N P Q$ là hình bình hành $⟺ M Q = N P ⟺ N Q = N M + N P$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi

M N

M P

cùng phương, tức toạ độ tỉ lệ — nên chỉ cần chỉ ra hai tỉ số khác nhau. Với hình bình hành

M N P Q

(đỉnh theo thứ tự), từ đỉnh

N

có

N M + N P = N Q

(quy tắc hình bình hành). Bẫy: thứ tự đỉnh

M N P Q

quyết định

Q

; nhầm thứ tự sẽ ra hình bình hành khác.

1Cách 1. Theo gợi ý của đề — quy tắc hình bình hành

Định hướng. Chứng minh hai vectơ không cùng phương; điểm $Q$ là ngọn của $N M + N P$ đặt tại $N$ .

M N = (8; - 7; - 1)

M P = (7; 3; - 4)

\frac{7}{8} \neq = \frac{3}{- 7}

nên

M N

M P

không cùng phương;

M

N

P

không thẳng hàng
b)

N M + N P = (- 8; 7; 1) + (- 1; 10; - 3) = (- 9; 17; - 2)

N Q = N M + N P

nên

Q = (4 - 9; - 4 + 17; 2 - 2) = (- 5; 13; 0)

M N = 64 + 49 + 1 = 114

N P = 1 + 100 + 9 = 110

P_{M N P Q} = 2 (M N + N P) = 2114 + 2110 \approx 42, 33

Vậy $M$ , $N$ , $P$ không thẳng hàng; $N M + N P = (- 9; 17; - 2)$ , $Q (- 5; 13; 0)$ ; chu vi $2114 + 2110 \approx 42, 33$ .

2Cách 2. Bất đẳng thức tam giác và

M Q = N P

Định hướng. Ba điểm thẳng hàng thì một khoảng cách bằng tổng hai khoảng cách còn lại; hình bình hành có cặp cạnh đối là hai vectơ bằng nhau.

M N = 114 \approx 10, 68

N P = 110 \approx 10, 49

M P = 74 \approx 8, 60

Không khoảng cách nào bằng tổng hai khoảng cách kia nên

M

N

P

không thẳng hàng
b)

M Q = N P = (- 1; 10; - 3)

nên

Q = (- 4 - 1; 3 + 10; 3 - 3) = (- 5; 13; 0)

P_{M N P Q} = 2 (114 + 110) \approx 42, 33

Vậy $Q (- 5; 13; 0)$ và chu vi $2114 + 2110$ .

3Cách 3. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Định hướng. Trung điểm $I$ của $M P$ cũng là trung điểm của $N Q$ , nên $Q = 2 I - N$ .

a) Giả sử

M P = k M N

7 = 8 k

và

3 = - 7 k

cho

k = \frac{7}{8}

và

k = - \frac{3}{7}

, mâu thuẫn
b)

I (- \frac{1}{2}; \frac{9}{2}; 1)

là trung điểm

M P

Q = (2 \cdot (- \frac{1}{2}) - 4; 2 \cdot \frac{9}{2} + 4; 2 \cdot 1 - 2) = (- 5; 13; 0)

P_{M N P Q} = 2 (M N + N P) = 2114 + 2110

Vậy $Q (- 5; 13; 0)$ , chu vi $\approx 42, 33$ .

Nhận xét. Thử lại: $M Q = (- 1; 10; - 3) = N P$ , đúng là hình bình hành $M N P Q$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đi đúng mạch gợi ý của đề; riêng câu b) Cách 3 (trung điểm đường chéo) là cách nhanh và ít nhầm thứ tự đỉnh nhất.

Đáp số. a)

M N = (8; - 7; - 1)

M P = (7; 3; - 4)

không cùng phương. b)

N M + N P = (- 9; 17; - 2)

Q (- 5; 13; 0)

. c) Chu vi

= 2114 + 2110 \approx 42, 33

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy

Q

sao cho

M Q = P N

(sai chiều), ra

Q (- 3; - 7; 6)

— khi đó

M P N Q

mới là hình bình hành, không phải

M N P Q

. Luôn thử lại bằng

M Q = N P

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ yêu cầu “bốn điểm

M

N

P

Q

là bốn đỉnh của một hình bình hành” (không cố định thứ tự) thì có ba đáp án cho

Q

M + P - N

M + N - P

và

N + P - M

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 2.22★★Trang 72— Trọng tâm, chứng minh góc vuông và tính góc của tam giác

Bài 2.22 (trang 72). Trong không gian

O x y z

, cho tam giác

A B C

có

A (1; 0; 1)

B (0; - 3; 1)

và

C (4; - 1; 4)

.
a) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác

A B C

.
b) Chứng minh rằng

B A C = 9 0^{\circ}

.
c) Tính

A B C

Kiến thức cần nhớ

Trung điểm $M$ của $A B$ : $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ ; trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$B A C = 9 0^{\circ} ⟺ A B \cdot A C = 0$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) dùng thẳng công thức trọng tâm. Câu b): góc

A

vuông khi và chỉ khi

A B \cdot A C = 0

— hoặc kiểm tra định lí Pythagore đảo. Câu c) tam giác đã vuông tại

A

nên dùng tỉ số lượng giác của góc nhọn là nhanh nhất; cách tổng quát vẫn là tích vô hướng

B A \cdot B C

1Cách 1. Tích vô hướng

Định hướng. Góc tại một đỉnh là góc giữa hai vectơ xuất phát từ đỉnh đó.

G (\frac{1 + 0 + 4}{3}; \frac{0 - 3 - 1}{3}; \frac{1 + 1 + 4}{3}) = (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}; 2)

A B = (- 1; - 3; 0)

A C = (3; - 1; 3)

A B \cdot A C = - 3 + 3 + 0 = 0

nên

B A C = 9 0^{\circ}

B A = (1; 3; 0)

B C = (4; 2; 3)

cos A B C = \frac{4 + 6 + 0}{10 \cdot 29} = \frac{10}{290}

A B C \approx 54, 0 4^{\circ}

Vậy $G (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}; 2)$ , $B A C = 9 0^{\circ}$ , $A B C \approx 5 4^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí Pythagore đảo và

cos

của góc nhọn

Định hướng. Tính ba cạnh; nếu $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ thì tam giác vuông tại $A$ , rồi $cos B = \frac{A B}{B C}$ .

A B^{2} = 1 + 9 + 0 = 10

A C^{2} = 9 + 1 + 9 = 19

B C^{2} = 16 + 4 + 9 = 29

A B^{2} + A C^{2} = 29 = B C^{2}

nên tam giác

A B C

vuông tại

A

cos A B C = \frac{A B}{B C} = \frac{10}{29}

A B C \approx 54, 0 4^{\circ}

Vậy $B A C = 9 0^{\circ}$ và $A B C \approx 54, 0 4^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng

tan

trong tam giác vuông

Định hướng. Đã có góc $A$ vuông; $tan B$ bằng cạnh đối $A C$ chia cạnh kề $A B$ .

tan A B C = \frac{A C}{A B} = \frac{19}{10} = 1, 9

A B C \approx 54, 0 4^{\circ}

A C B = 9 0^{\circ} - A B C \approx 35, 9 6^{\circ}

Vậy $A B C \approx 54, 0 4^{\circ}$ .

Nhận xét. Kiểm tra chéo: $\frac{10}{290} = \frac{10}{29}$ — Cách 1 và Cách 2 cho cùng một giá trị $cos$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu b) dùng Cách 1 (một dòng tích vô hướng); câu c) dùng Cách 2 vì tam giác đã vuông, chỉ cần tỉ số hai cạnh.

Đáp số. a)

G (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}; 2)

. b)

A B \cdot A C = 0

nên

B A C = 9 0^{\circ}

. c)

cos A B C = \frac{10}{29}

A B C \approx 54, 0 4^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở câu c) là dùng

A B

và

B C

(khác gốc):

cos = \frac{- 10}{290}

, ra góc

\approx 12 6^{\circ}

— vô lí vì tam giác đã có góc vuông tại

A

nên hai góc còn lại phải nhọn.

🚀 Mở rộng. Diện tích tam giác vuông này là

\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{190}{2} \approx 6, 89

; đường cao từ

A

là

\frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{190}{29} \approx 2, 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 2.23★Trang 72— Toạ độ điểm trong hình hộp chữ nhật gắn hệ trục

Bài 2.23 (trang 72). Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là

8

m, chiều rộng là

6

m và chiều cao là

3

m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với một góc phòng và mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn.

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y; z)$ thì $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ , $∣ z ∣$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ tới $(O y z)$ , $(O z x)$ , $(O x y)$ .
Tâm hình chữ nhật là trung điểm của mỗi đường chéo.
Trung điểm $M$ của $A B$ : $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ ; trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ : $G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Theo Hình 2.51, cạnh

8

m nằm dọc trục

O y

, cạnh

6

m dọc trục

O x

, chiều cao

3

m dọc

O z

. “Chính giữa trần” là tâm của hình chữ nhật trần, tức giao điểm hai đường chéo của trần — cách hai bức tường chứa gốc lần lượt nửa chiều rộng và nửa chiều dài, và cao đúng bằng chiều cao phòng. Bẫy: đèn treo ở trần nên cao độ là

3

, không phải

\frac{3}{2}

1Cách 1. Khoảng cách tới ba mặt phẳng toạ độ

Định hướng. Đèn cách tường $(O y z)$ nửa chiều rộng, cách tường $(O z x)$ nửa chiều dài, cách sàn đúng chiều cao.

x_{L} = \frac{6}{2} = 3

y_{L} = \frac{8}{2} = 4

z_{L} = 3

Vậy điểm treo đèn là $L (3; 4; 3)$ .

2Cách 2. Trung điểm đường chéo của trần

Định hướng. Trần là hình chữ nhật có hai đỉnh đối diện $(0; 0; 3)$ và $(6; 8; 3)$ ; đèn ở trung điểm đường chéo đó.

L (\frac{0 + 6}{2}; \frac{0 + 8}{2}; \frac{3 + 3}{2})

L (3; 4; 3)

Vậy toạ độ điểm treo đèn là $(3; 4; 3)$ .

3Cách 3. Phân tích vectơ theo

i, j, k

Định hướng. Đi từ góc phòng: nửa chiều rộng theo $i$ , nửa chiều dài theo $j$ , rồi lên hết chiều cao theo $k$ .

O L = \frac{6}{2} i + \frac{8}{2} j + 3 k = 3 i + 4 j + 3 k

L (3; 4; 3)

Vậy $L (3; 4; 3)$ .

Nhận xét. Khoảng cách từ góc phòng tới đèn là $O L = 9 + 16 + 9 = 34 \approx 5, 83$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 chặt chẽ nhất (dùng đúng định nghĩa “chính giữa” là tâm hình chữ nhật); Cách 1 nhanh nhất khi đi thi.

Đáp số. Điểm treo đèn có toạ độ

(3; 4; 3)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp: đổi chỗ chiều dài và chiều rộng, ghi

(4; 3; 3)

. Theo Hình 2.51, cạnh

6

m nằm dọc

O x

còn cạnh

8

m nằm dọc

O y

, nên hoành độ là

3

và tung độ là

4

. Sai lầm khác là lấy cao độ

1, 5

(tâm của cả căn phòng, không phải của trần).

🚀 Mở rộng. Nếu đèn thả dây dài

0, 5

m xuống từ tâm trần thì toạ độ bóng đèn là

(3; 4; 2, 5)

; tâm của cả căn phòng là

(3; 4; 1, 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 2.24★★Trang 72— So sánh khoảng cách với bán kính theo dõi

Bài 2.24 (trang 72). Trong không gian, xét hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng

(O x y)

trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục

O x

hướng về phía tây, trục

O y

hướng về phía nam và trục

O z

hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian

O x y z

lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là

30

km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có toạ độ là

(25; 15; - 10)

đối với hệ toạ độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Kiến thức cần nhớ

$O M = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
Phạm vi theo dõi $R$ của ra đa đặt tại $O$ gồm các điểm $M$ có $O M \leq R$ .
Với $a, b \geq 0$ : $a \leq b ⟺ a^{2} \leq b^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ra đa tại

O

theo dõi được mọi điểm cách

O

không quá

30

km, nên chỉ cần so sánh

O T

với

30

. Bẫy: khoảng cách theo phương ngang

2 5^{2} + 1 5^{2} \approx 29, 15

km nhỏ hơn

30

, nhưng tàu còn ở độ sâu

10

km — phải tính khoảng cách không gian.

1Cách 1. Tính khoảng cách rồi so sánh

Định hướng. Tàu ở $T (25; 15; - 10)$ ; tính $O T$ và so với $30$ .

O T = 2 5^{2} + 1 5^{2} + (- 10)^{2} = 625 + 225 + 100 = 950 \approx 30, 82

O T > 30

Vậy ra đa KHÔNG phát hiện được tàu thám hiểm vì tàu cách giàn khoan khoảng $30, 82$ km, vượt phạm vi $30$ km.

2Cách 2. So sánh bình phương

Định hướng. Tránh khai căn: so sánh $O T^{2}$ với $3 0^{2}$ .

O T^{2} = 625 + 225 + 100 = 950

3 0^{2} = 900

950 > 900

nên

O T > 30

Vậy tàu nằm ngoài phạm vi theo dõi, ra đa không phát hiện được.

3Cách 3. Tách khoảng cách ngang và độ sâu

Định hướng. Gọi $H (25; 15; 0)$ là hình chiếu của tàu lên mặt biển; tam giác $O H T$ vuông tại $H$ .

O H^{2} = 2 5^{2} + 1 5^{2} = 850

H T = 10

O T^{2} = O H^{2} + H T^{2} = 850 + 100 = 950 > 900 = 3 0^{2}

Vậy ra đa không phát hiện được tàu.

Nhận xét. Riêng khoảng cách ngang $O H = 850 \approx 29, 15 < 30$ ; chính độ sâu $10$ km đã đẩy tàu ra ngoài vùng theo dõi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 là cách gọn và chính xác nhất: so sánh

950

với

900

, không cần làm tròn.

Đáp số. Không. Vì khoảng cách từ giàn khoan tới tàu là

950 \approx 30, 82

> 30

km.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là bỏ quên cao độ âm và chỉ tính

2 5^{2} + 1 5^{2} \approx 29, 15 < 30

, kết luận “phát hiện được”. Tàu ở dưới mặt biển

10

km nên khoảng cách thật là

950

🚀 Mở rộng. Tàu phải nổi lên tới độ sâu bao nhiêu thì ra đa phát hiện được? Cần

850 + z^{2} \leq 900

, tức

∣ z ∣ \leq 50 \approx 7, 07

km.

Mở bài này trong app ↗