Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.1★Trang 62— Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm và mẫu gốc

Bài 3.1 (trang 62). Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về chiều cao (tính từ mặt bầu cây) của

20

cây cam giống:

Chiều cao (cm)	$[40; 50)$	$[50; 60)$	$[60; 70)$	$[70; 80)$
Số cây	$3$	$8$	$7$	$2$

a) Tìm khoảng biến thiên

R_{n}

cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Biết rằng trong

20

cây cam giống trên, cây cao nhất là

72

cm và cây thấp nhất là

46

cm. Tìm khoảng biến thiên

R_{g}

cho mẫu số liệu gốc. Để đo độ phân tán của mẫu số liệu về chiều cao

20

cây cam giống ta dùng

R_{n}

hay

R_{g}

sẽ chính xác hơn?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (nhóm đầu, nhóm cuối có tần số dương): $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Khoảng biến thiên mẫu gốc $R_{g} = x_{m a x} - x_{m i n}$ là giá trị chính xác; luôn có $R_{g} < R_{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai nhóm biên

[40; 50)

[70; 80)

đều có tần số dương nên

R_{n}

lấy thẳng hai đầu mút ngoài cùng. Ý b) cho sẵn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mẫu gốc nên

R_{g}

là giá trị chính xác;

R_{n}

chỉ là xấp xỉ (và luôn lớn hơn

R_{g}

1Cách 1. Dùng định nghĩa

Định hướng. Mẫu ghép nhóm: đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu; mẫu gốc: lớn nhất trừ nhỏ nhất.

R_{n} = 80 - 40 = 40

R_{g} = 72 - 46 = 26

Vậy a) $R_{n} = 40$ cm; b) $R_{g} = 26$ cm, dùng $R_{g}$ chính xác hơn vì được tính từ số liệu thật.

2Cách 2. Đếm độ dài nhóm và chặn sai số

Định hướng. Bốn nhóm liền nhau cùng độ dài $10$ nên $R_{n} = 4 \cdot 10$ ; so sánh với $R_{g}$ để thấy $R_{n}$ phóng đại bao nhiêu.

R_{n} = 4 \cdot 10 = 40

46 \in [40; 50)

72 \in [70; 80)

R_{g} = 72 - 46 = 26

R_{n} - R_{g} = 40 - 26 = 14

Vậy $R_{n} = 40$ cm, $R_{g} = 26$ cm; $R_{n}$ lớn hơn giá trị thật tới $14$ cm nên dùng $R_{g}$ chính xác hơn.

Nhận xét. Cây thấp nhất $46$ cm cách đầu mút $40$ tới $6$ cm, cây cao nhất $72$ cm cách đầu mút $80$ tới $8$ cm — ghép nhóm "cộng thêm" cả hai khoảng hụt này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: hai phép trừ; câu "vì sao chính xác hơn" lấy luôn ý của Cách 2 (tính từ số liệu thật, còn

R_{n}

phóng đại).

Đáp số. a)

R_{n} = 40

(cm); b)

R_{g} = 26

(cm); dùng

R_{g}

sẽ chính xác hơn.

Sai lầm thường gặp. Lấy

R_{n} = 70 - 40 = 30

(dùng đầu mút trái của nhóm cuối). Hoặc cho rằng

R_{n}

chính xác hơn "vì tính từ bảng" — ngược lại, ghép nhóm làm mất thông tin nên

R_{n}

chỉ là xấp xỉ.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ biết bảng ghép nhóm,

R_{g}

bị chặn trong khoảng

70 - 50 < R_{g} < 80 - 40

, tức

20 < R_{g} < 40

; giá trị thật

26

nằm đúng trong khoảng này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.2★★Trang 62— Khoảng tứ phân vị; tính chất không phụ thuộc giá trị ở rìa

Bài 3.2 (trang 62). Một trang trại thử nghiệm nuôi một giống cá mới. Sau

6

tháng người ta thu hoạch cho kết quả như sau:

Cân nặng (kg)	$[1; 1, 5)$	$[1, 5; 2)$	$[2; 2, 5)$	$[2, 5; 3)$	$[3; 3, 5)$
Số con	$10$	$40$	$80$	$50$	$20$

a) Tìm khoảng tứ phân vị

Δ_{Q}

của mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc có phụ thuộc vào cân nặng của

10

con cá có khối lượng nhỏ nhất không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Mẫu gốc $x_{1} \leq \dots \leq x_{200}$ : $Q_{1} = \frac{x _{50} + x _{51}}{2}$ , $Q_{3} = \frac{x _{150} + x _{151}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 200

\frac{n}{4} = 50

bằng đúng tần số tích luỹ

10 + 40

nên

Q_{1}

trùng đầu mút

2

;

\frac{3 n}{4} = 150

vượt tần số tích luỹ

130

nên

Q_{3}

ở nhóm

[2, 5; 3)

. Ý b) hỏi bản chất:

Q_{1}

Q_{3}

của mẫu gốc chỉ dùng các số liệu ở vị trí thứ

50

51

150

151

— mười số nhỏ nhất ở vị trí

1

đến

10

không tham gia.

1Cách 1. Công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. Cỡ mẫu $n = 10 + 40 + 80 + 50 + 20 = 200$ ; dò nhóm chứa rồi thay công thức. Ý b) viết $Q_{1}$ , $Q_{3}$ mẫu gốc theo vị trí.

\frac{n}{4} = \frac{200}{4} = 50

10 < 50 \leq 10 + 40 = 50 \Rightarrow Q_{1} \in [1, 5; 2)

Q_{1} = 1, 5 + \frac{\frac{200}{4} - 10}{40} \cdot (2 - 1, 5) = 1, 5 + \frac{40}{40} \cdot 0, 5 = 2

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 200}{4} = 150

10 + 40 + 80 = 130 < 150 \leq 10 + 40 + 80 + 50 = 180 \Rightarrow Q_{3} \in [2, 5; 3)

Q_{3} = 2, 5 + \frac{\frac{3 \cdot 200}{4} - ( 10 + 40 + 80 )}{50} \cdot (3 - 2, 5) = 2, 5 + \frac{20}{50} \cdot 0, 5 = 2, 7

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 2, 7 - 2 = 0, 7

x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{200}

Δ_{Q}^{g} = \frac{x _{150} + x _{151}}{2} - \frac{x _{50} + x _{51}}{2}

Vậy a) $Δ_{Q} = 0, 7$ (kg); b) không phụ thuộc, vì $Δ_{Q}$ của mẫu gốc chỉ phụ thuộc $x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}$ , còn $10$ con nhẹ nhất là $x_{1}, \dots, x_{10}$ .

2Cách 2. Nội suy trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Đọc $Q_{1}$ , $Q_{3}$ bằng tỉ lệ đoạn thẳng trên đường tần số tích luỹ. Ý b) thử thay đổi $10$ con nhẹ nhất và xem điều gì còn giữ nguyên.

Tần số tích luỹ:

10; 50; 130; 180; 200

\frac{Q _{1} - 1 , 5}{2 - 1 , 5} = \frac{50 - 10}{50 - 10} \Rightarrow Q_{1} = 1, 5 + 0, 5 \cdot \frac{40}{40} = 2

\frac{Q _{3} - 2 , 5}{3 - 2 , 5} = \frac{150 - 130}{180 - 130} \Rightarrow Q_{3} = 2, 5 + 0, 5 \cdot \frac{20}{50} = 2, 7

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 2, 7 - 2 = 0, 7

b) Thay

x_{1}, \dots, x_{10}

bởi bất kì

x_{i}^{'} \leq x_{11}

x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}

không đổi

\Rightarrow Δ_{Q}^{g}

không đổi

Vậy a) $Δ_{Q} = 0, 7$ kg; b) không phụ thuộc.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải

Định hướng. Đi lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa. Ý b) lập luận bằng tính chất: $Δ_{Q}$ chỉ phụ thuộc $50%$ số liệu ở giữa.

10 < 50 \leq 50

130 < 150 \leq 180

Q_{1} = 2 - \frac{50 - 50}{40} \cdot 0, 5 = 2 - 0 = 2

Q_{3} = 3 - \frac{180 - 150}{50} \cdot 0, 5 = 3 - 0, 3 = 2, 7

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 2, 7 - 2 = 0, 7

10

con nhẹ nhất chiếm

\frac{10}{200} = 5% < 25%

số liệu nhỏ nhất

Vậy a) $Δ_{Q} = 0, 7$ kg; b) không phụ thuộc, vì $10$ con này nằm hẳn trong $25%$ số liệu nhỏ nhất.

Nhận xét. $Q_{1} = 2$ trùng đúng đầu mút nhóm vì $\frac{n}{4} = 50$ bằng đúng tần số tích luỹ $10 + 40$ : $Q_{1}$ tính theo nhóm $[1, 5; 2)$ hay nhóm $[2; 2, 5)$ đều ra $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho ý a); ý b) trình bày theo Cách 1 (viết rõ

Q_{1}

Q_{3}

theo vị trí

x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}

) là chặt chẽ nhất.

Đáp số. a)

Q_{1} = 2

Q_{3} = 2, 7

Δ_{Q} = 0, 7

(kg); b) Không phụ thuộc, vì khoảng tứ phân vị của mẫu gốc chỉ phụ thuộc các giá trị

x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}

Sai lầm thường gặp. Chọn nhóm chứa

Q_{3}

là

[2; 2, 5)

vì nhóm này đông nhất (

80

con) — sai: tần số tích luỹ tới hết nhóm này là

130 < 150

, nên

Q_{3}

ở nhóm

[2, 5; 3)

. Ý b) trả lời "có, vì mọi số liệu đều ảnh hưởng" là nhầm với khoảng biến thiên và số trung bình.

🚀 Mở rộng. Khoảng biến thiên và số trung bình thì có phụ thuộc

10

con nhẹ nhất; thử chỉ ra một thay đổi của

x_{1}

làm

R

thay đổi mà

Δ_{Q}

giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.3★★Trang 62— Hiệu chỉnh nhóm số liệu rời rạc, tính khoảng tứ phân vị

Bài 3.3 (trang 62). Kết quả thi thử của các thí sinh tại một trung tâm tiếng Anh được cho như sau:

Số câu đúng	$26 - 30$	$31 - 35$	$36 - 40$	$41 - 45$	$46 - 50$
Số thí sinh	$5$	$15$	$30$	$20$	$10$

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng. Giải thích thông tin của một nhóm số liệu.
b) Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm số nguyên $a - b$ hiệu chỉnh thành $[a - 0, 5; b + 0, 5)$ để các nhóm liền nhau.
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; càng lớn thì số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Số câu đúng là số nguyên nên các nhóm

26 - 30

31 - 35

… không liền nhau (hở giữa

30

và

31

); muốn dùng công thức phải hiệu chỉnh: lùi đầu trái

0, 5

, tiến đầu phải

0, 5

để được các nửa khoảng liền nhau độ dài

5

. Cỡ mẫu

80

\frac{n}{4} = 20

trùng đúng tần số tích luỹ

5 + 15

nên

Q_{1}

rơi đúng đầu mút

35, 5

1Cách 1. Hiệu chỉnh nhóm rồi dùng công thức SGK

Định hướng. a) Đọc năm nhóm và tần số. b) Hiệu chỉnh thành các nửa khoảng liền nhau rồi thay công thức.

26 - 30

5

;

31 - 35

15

;

36 - 40

30

;

41 - 45

20

;

46 - 50

10

Nhóm

26 - 30

có tần số

5

: có

5

thí sinh làm đúng

26

27

28

29

hoặc

30

câu
b) Hiệu chỉnh:

Số câu đúng	$[25, 5; 30, 5)$	$[30, 5; 35, 5)$	$[35, 5; 40, 5)$	$[40, 5; 45, 5)$	$[45, 5; 50, 5)$
Số thí sinh	$5$	$15$	$30$	$20$	$10$

n = 5 + 15 + 30 + 20 + 10 = 80

\frac{n}{4} = \frac{80}{4} = 20

5 < 20 \leq 5 + 15 = 20 \Rightarrow Q_{1} \in [30, 5; 35, 5)

Q_{1} = 30, 5 + \frac{\frac{80}{4} - 5}{15} \cdot (35, 5 - 30, 5) = 30, 5 + \frac{15}{15} \cdot 5 = 35, 5

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 80}{4} = 60

5 + 15 + 30 = 50 < 60 \leq 5 + 15 + 30 + 20 = 70 \Rightarrow Q_{3} \in [40, 5; 45, 5)

Q_{3} = 40, 5 + \frac{\frac{3 \cdot 80}{4} - ( 5 + 15 + 30 )}{20} \cdot (45, 5 - 40, 5) = 40, 5 + \frac{10}{20} \cdot 5 = 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 43 - 35, 5 = 7, 5

Vậy a) năm nhóm với tần số $5; 15; 30; 20; 10$ ; b) $Q_{1} = 35, 5$ , $Q_{3} = 43$ , $Δ_{Q} = 7, 5$ (câu).

2Cách 2. Nội suy trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Sau khi hiệu chỉnh, $Q_{r}$ là hoành độ điểm trên đường tần số tích luỹ có tung độ $\frac{r n}{4}$ .

Tần số tích luỹ:

5; 20; 50; 70; 80

\frac{Q _{1} - 30 , 5}{35 , 5 - 30 , 5} = \frac{20 - 5}{20 - 5} \Rightarrow Q_{1} = 30, 5 + 5 \cdot \frac{15}{15} = 35, 5

\frac{Q _{3} - 40 , 5}{45 , 5 - 40 , 5} = \frac{60 - 50}{70 - 50} \Rightarrow Q_{3} = 40, 5 + 5 \cdot \frac{10}{20} = 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 43 - 35, 5 = 7, 5

Vậy $Δ_{Q} = 43 - 35, 5 = 7, 5$ (câu).

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải

Định hướng. Đi lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa; $Q_{1}$ rơi đúng đầu mút vì $\frac{n}{4}$ bằng tần số tích luỹ.

5 < 20 \leq 20

50 < 60 \leq 70

Q_{1} = 35, 5 - \frac{20 - 20}{15} \cdot 5 = 35, 5 - 0 = 35, 5

Q_{3} = 45, 5 - \frac{70 - 60}{20} \cdot 5 = 45, 5 - 2, 5 = 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 43 - 35, 5 = 7, 5

Vậy $Δ_{Q} = 7, 5$ (câu).

Nhận xét. Nếu hiệu chỉnh kiểu khác, chẳng hạn dùng các nhóm $[26; 31), [31; 36), \dots$ thì $Q_{1} = 36$ , $Q_{3} = 43, 5$ : cả hai cùng dịch $0, 5$ nên $Δ_{Q} = 7, 5$ không đổi — khoảng tứ phân vị không phụ thuộc cách tịnh tiến nhóm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: hiệu chỉnh nhóm là bước bắt buộc phải trình bày; sau đó dùng công thức. Cách 3 thử lại

Q_{3} = 45, 5 - 2, 5 = 43

trong một dòng.

Đáp số. a) Nhóm

26 - 30; 31 - 35; 36 - 40; 41 - 45; 46 - 50

với tần số

5; 15; 30; 20; 10

(ví dụ:

5

thí sinh làm đúng từ

26

đến

30

câu). b)

Q_{1} = 35, 5

Q_{3} = 43

Δ_{Q} = 7, 5

Sai lầm thường gặp. Dùng thẳng các nhóm

[26; 30), [31; 35), \dots

với độ dài

4

: các nhóm không liền nhau nên công thức sai, ra

Q_{1} = 31 + \frac{15}{15} \cdot 4 = 35

Q_{3} = 41 + \frac{10}{20} \cdot 4 = 43

Δ_{Q} = 8

— sai. Hoặc viết nhóm chứa

Q_{3}

là

[40, 5; 50, 5)

(gộp nhầm hai nhóm).

🚀 Mở rộng. Tính thêm trung vị:

\frac{n}{2} = 40

M_{e} = 35, 5 + \frac{40 - 20}{30} \cdot 5 \approx 38, 83

; nhận xét

M_{e}

gần

Q_{3}

hay gần

Q_{1}

hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.4★★★Trang 62— Chọn số đặc trưng đo độ phân tán khi có giá trị bất thường

Bài 3.4 (trang 62). Bảng sau đây cho biết thành tích nhảy cao của các học sinh nam trong hai lớp 12A và 12B:

Thành tích (m)	$[1, 1; 1, 2)$	$[1, 3; 1, 4)$	$[1, 4; 1, 5)$	$[1, 5; 1, 6)$	$[1, 7; 1, 8)$
Lớp 12A	$1$	$5$	$8$	$7$	$0$
Lớp 12B	$0$	$4$	$10$	$3$	$1$

Hỏi nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên? Tại sao?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (nhóm đầu, nhóm cuối có tần số dương): $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc nửa giữa của mẫu số liệu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường; khoảng biến thiên thì bị ảnh hưởng.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng không có các nhóm

[1, 2; 1, 3)

và

[1, 6; 1, 7)

, tức hai nhóm này có tần số

0

: lớp 12A có

1

bạn ở

[1, 1; 1, 2)

tách rời phần còn lại, lớp 12B có

1

bạn ở

[1, 7; 1, 8)

tách rời — đó là các giá trị bất thường. Khoảng biến thiên bị chúng chi phối, khoảng tứ phân vị thì không. Tính thử cả hai số sẽ thấy

R

còn không phân biệt được hai lớp.

1Cách 1. Lập luận bằng giá trị bất thường

Định hướng. Tìm giá trị tách rời khỏi phần lớn số liệu ở mỗi lớp, rồi dùng tính chất của hai số đặc trưng.

12A:

m ([1, 1; 1, 2)) = 1

m ([1, 2; 1, 3)) = 0

, phần còn lại

20

bạn trong

[1, 3; 1, 6)

12B:

17

bạn trong

[1, 3; 1, 6)

m ([1, 6; 1, 7)) = 0

m ([1, 7; 1, 8)) = 1

Vậy nên dùng khoảng tứ phân vị: mỗi lớp có một giá trị bất thường (12A ở nhóm $[1, 1; 1, 2)$ , 12B ở nhóm $[1, 7; 1, 8)$ ) làm khoảng biến thiên sai lệch, còn khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng.

2Cách 2. Tính khoảng biến thiên để thấy nó "mù"

Định hướng. Tính $R$ của hai lớp: nếu $R$ bằng nhau dù hình dạng số liệu khác hẳn thì $R$ không dùng được.

12A (

n = 21

R_{A} = 1, 6 - 1, 1 = 0, 5

12B (

n = 18

R_{B} = 1, 8 - 1, 3 = 0, 5

R_{A} = R_{B}

Vậy $R$ của hai lớp bằng nhau hoàn toàn do hai giá trị bất thường quyết định, không phản ánh phần lớn học sinh; nên dùng khoảng tứ phân vị.

3Cách 3. Tính khoảng tứ phân vị để so sánh thực sự

Định hướng. Coi hai nhóm vắng mặt có tần số $0$ , tính $Q_{1}$ , $Q_{3}$ của từng lớp.

12A:

\frac{n}{4} = \frac{21}{4} = 5, 25

1 + 0 = 1 < 5, 25 \leq 1 + 0 + 5 = 6 \Rightarrow Q_{1} \in [1, 3; 1, 4)

Q_{1} = 1, 3 + \frac{\frac{21}{4} - ( 1 + 0 )}{5} \cdot (1, 4 - 1, 3) = 1, 3 + \frac{4 , 25}{5} \cdot 0, 1 = 1, 385

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 21}{4} = 15, 75

1 + 0 + 5 + 8 = 14 < 15, 75 \leq 1 + 0 + 5 + 8 + 7 = 21 \Rightarrow Q_{3} \in [1, 5; 1, 6)

Q_{3} = 1, 5 + \frac{\frac{3 \cdot 21}{4} - ( 1 + 0 + 5 + 8 )}{7} \cdot (1, 6 - 1, 5) = 1, 5 + \frac{1 , 75}{7} \cdot 0, 1 = 1, 525

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 1, 525 - 1, 385 = 0, 14

12B:

\frac{n}{4} = \frac{18}{4} = 4, 5

4 < 4, 5 \leq 4 + 10 = 14 \Rightarrow Q_{1} \in [1, 4; 1, 5)

Q_{1} = 1, 4 + \frac{\frac{18}{4} - 4}{10} \cdot (1, 5 - 1, 4) = 1, 4 + \frac{0 , 5}{10} \cdot 0, 1 = 1, 405

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 18}{4} = 13, 5

4 < 13, 5 \leq 4 + 10 = 14 \Rightarrow Q_{3} \in [1, 4; 1, 5)

Q_{3} = 1, 4 + \frac{\frac{3 \cdot 18}{4} - 4}{10} \cdot (1, 5 - 1, 4) = 1, 4 + \frac{9 , 5}{10} \cdot 0, 1 = 1, 495

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 1, 495 - 1, 405 = 0, 09

Δ_{Q}^{A} = 0, 14 > 0, 09 = Δ_{Q}^{B}

Vậy khoảng tứ phân vị phân biệt được hai lớp ( $Δ_{Q}^{A} = 0, 14$ m, $Δ_{Q}^{B} = 0, 09$ m): thành tích lớp 12A phân tán hơn. Vì vậy nên dùng khoảng tứ phân vị.

Nhận xét. Hai lớp có cùng $R = 0, 5$ nhưng $Δ_{Q}$ khác nhau rõ rệt — minh chứng bằng số cho lập luận ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu trả lời chính là Cách 1 (nêu giá trị bất thường); thêm một dòng của Cách 2 (

R_{A} = R_{B} = 0, 5

) sẽ khiến lập luận rất thuyết phục.

Đáp số. Nên dùng khoảng tứ phân vị, vì lớp 12A có giá trị bất thường ở nhóm

[1, 1; 1, 2)

và lớp 12B có giá trị bất thường ở nhóm

[1, 7; 1, 8)

. (Tính thêm:

R_{A} = R_{B} = 0, 5

;

Δ_{Q}^{A} = 0, 14

Δ_{Q}^{B} = 0, 09

Sai lầm thường gặp. Tính

R_{A} = 1, 8 - 1, 1 = 0, 7

(không bỏ nhóm cuối có tần số

0

của 12A). Hoặc chọn khoảng biến thiên "vì dễ tính" — bỏ qua ảnh hưởng của giá trị bất thường.

🚀 Mở rộng. Bỏ bạn ở nhóm

[1, 1; 1, 2)

của 12A:

R_{A}

giảm từ

0, 5

xuống

0, 3

, còn

Δ_{Q}^{A}

chỉ thay đổi rất ít — hãy tính để kiểm chứng.

Mở bài này trong app ↗