Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang62 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.1★Trang 62— Khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm và mẫu gốc

Bài 3.1 (trang 62). Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về chiều cao (tính từ mặt bầu cây) của

20

cây cam giống:

Chiều cao (cm)	$[40; 50)$	$[50; 60)$	$[60; 70)$	$[70; 80)$
Số cây	$3$	$8$	$7$	$2$

a) Tìm khoảng biến thiên

R_{n}

cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Biết rằng trong

20

cây cam giống trên, cây cao nhất là

72

cm và cây thấp nhất là

46

cm. Tìm khoảng biến thiên

R_{g}

cho mẫu số liệu gốc. Để đo độ phân tán của mẫu số liệu về chiều cao

20

cây cam giống ta dùng

R_{n}

hay

R_{g}

sẽ chính xác hơn?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (nhóm đầu, nhóm cuối có tần số dương): $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Khoảng biến thiên mẫu gốc $R_{g} = x_{m a x} - x_{m i n}$ là giá trị chính xác; luôn có $R_{g} < R_{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai nhóm biên

[40; 50)

[70; 80)

đều có tần số dương nên

R_{n}

lấy thẳng hai đầu mút ngoài cùng. Ý b) cho sẵn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mẫu gốc nên

R_{g}

là giá trị chính xác;

R_{n}

chỉ là xấp xỉ (và luôn lớn hơn

R_{g}

1Cách 1. Dùng định nghĩa

Định hướng. Mẫu ghép nhóm: đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu; mẫu gốc: lớn nhất trừ nhỏ nhất.

R_{n} = 80 - 40 = 40

R_{g} = 72 - 46 = 26

Vậy a) $R_{n} = 40$ cm; b) $R_{g} = 26$ cm, dùng $R_{g}$ chính xác hơn vì được tính từ số liệu thật.

2Cách 2. Đếm độ dài nhóm và chặn sai số

Định hướng. Bốn nhóm liền nhau cùng độ dài $10$ nên $R_{n} = 4 \cdot 10$ ; so sánh với $R_{g}$ để thấy $R_{n}$ phóng đại bao nhiêu.

R_{n} = 4 \cdot 10 = 40

46 \in [40; 50)

72 \in [70; 80)

R_{g} = 72 - 46 = 26

R_{n} - R_{g} = 40 - 26 = 14

Vậy $R_{n} = 40$ cm, $R_{g} = 26$ cm; $R_{n}$ lớn hơn giá trị thật tới $14$ cm nên dùng $R_{g}$ chính xác hơn.

Nhận xét. Cây thấp nhất $46$ cm cách đầu mút $40$ tới $6$ cm, cây cao nhất $72$ cm cách đầu mút $80$ tới $8$ cm — ghép nhóm "cộng thêm" cả hai khoảng hụt này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: hai phép trừ; câu "vì sao chính xác hơn" lấy luôn ý của Cách 2 (tính từ số liệu thật, còn

R_{n}

phóng đại).

Đáp số. a)

R_{n} = 40

(cm); b)

R_{g} = 26

(cm); dùng

R_{g}

sẽ chính xác hơn.

Sai lầm thường gặp. Lấy

R_{n} = 70 - 40 = 30

(dùng đầu mút trái của nhóm cuối). Hoặc cho rằng

R_{n}

chính xác hơn "vì tính từ bảng" — ngược lại, ghép nhóm làm mất thông tin nên

R_{n}

chỉ là xấp xỉ.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ biết bảng ghép nhóm,

R_{g}

bị chặn trong khoảng

70 - 50 < R_{g} < 80 - 40

, tức

20 < R_{g} < 40

; giá trị thật

26

nằm đúng trong khoảng này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.2★★Trang 62— Khoảng tứ phân vị; tính chất không phụ thuộc giá trị ở rìa

Bài 3.2 (trang 62). Một trang trại thử nghiệm nuôi một giống cá mới. Sau

6

tháng người ta thu hoạch cho kết quả như sau:

Cân nặng (kg)	$[1; 1, 5)$	$[1, 5; 2)$	$[2; 2, 5)$	$[2, 5; 3)$	$[3; 3, 5)$
Số con	$10$	$40$	$80$	$50$	$20$

a) Tìm khoảng tứ phân vị

Δ_{Q}

của mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc có phụ thuộc vào cân nặng của

10

con cá có khối lượng nhỏ nhất không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Mẫu gốc $x_{1} \leq \dots \leq x_{200}$ : $Q_{1} = \frac{x _{50} + x _{51}}{2}$ , $Q_{3} = \frac{x _{150} + x _{151}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 200

\frac{n}{4} = 50

bằng đúng tần số tích luỹ

10 + 40

nên

Q_{1}

trùng đầu mút

2

;

\frac{3 n}{4} = 150

vượt tần số tích luỹ

130

nên

Q_{3}

ở nhóm

[2, 5; 3)

. Ý b) hỏi bản chất:

Q_{1}

Q_{3}

của mẫu gốc chỉ dùng các số liệu ở vị trí thứ

50

51

150

151

— mười số nhỏ nhất ở vị trí

1

đến

10

không tham gia.

1Cách 1. Công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. Cỡ mẫu $n = 10 + 40 + 80 + 50 + 20 = 200$ ; dò nhóm chứa rồi thay công thức. Ý b) viết $Q_{1}$ , $Q_{3}$ mẫu gốc theo vị trí.

\frac{n}{4} = \frac{200}{4} = 50

10 < 50 \leq 10 + 40 = 50 \Rightarrow Q_{1} \in [1, 5; 2)

Q_{1} = 1, 5 + \frac{\frac{200}{4} - 10}{40} \cdot (2 - 1, 5) = 1, 5 + \frac{40}{40} \cdot 0, 5 = 2

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 200}{4} = 150

10 + 40 + 80 = 130 < 150 \leq 10 + 40 + 80 + 50 = 180 \Rightarrow Q_{3} \in [2, 5; 3)

Q_{3} = 2, 5 + \frac{\frac{3 \cdot 200}{4} - ( 10 + 40 + 80 )}{50} \cdot (3 - 2, 5) = 2, 5 + \frac{20}{50} \cdot 0, 5 = 2, 7

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 2, 7 - 2 = 0, 7

x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{200}

Δ_{Q}^{g} = \frac{x _{150} + x _{151}}{2} - \frac{x _{50} + x _{51}}{2}

Vậy a) $Δ_{Q} = 0, 7$ (kg); b) không phụ thuộc, vì $Δ_{Q}$ của mẫu gốc chỉ phụ thuộc $x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}$ , còn $10$ con nhẹ nhất là $x_{1}, \dots, x_{10}$ .

2Cách 2. Nội suy trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Đọc $Q_{1}$ , $Q_{3}$ bằng tỉ lệ đoạn thẳng trên đường tần số tích luỹ. Ý b) thử thay đổi $10$ con nhẹ nhất và xem điều gì còn giữ nguyên.

Tần số tích luỹ:

10; 50; 130; 180; 200

\frac{Q _{1} - 1 , 5}{2 - 1 , 5} = \frac{50 - 10}{50 - 10} \Rightarrow Q_{1} = 1, 5 + 0, 5 \cdot \frac{40}{40} = 2

\frac{Q _{3} - 2 , 5}{3 - 2 , 5} = \frac{150 - 130}{180 - 130} \Rightarrow Q_{3} = 2, 5 + 0, 5 \cdot \frac{20}{50} = 2, 7

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 2, 7 - 2 = 0, 7

b) Thay

x_{1}, \dots, x_{10}

bởi bất kì

x_{i}^{'} \leq x_{11}

x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}

không đổi

\Rightarrow Δ_{Q}^{g}

không đổi

Vậy a) $Δ_{Q} = 0, 7$ kg; b) không phụ thuộc.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải

Định hướng. Đi lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa. Ý b) lập luận bằng tính chất: $Δ_{Q}$ chỉ phụ thuộc $50%$ số liệu ở giữa.

10 < 50 \leq 50

130 < 150 \leq 180

Q_{1} = 2 - \frac{50 - 50}{40} \cdot 0, 5 = 2 - 0 = 2

Q_{3} = 3 - \frac{180 - 150}{50} \cdot 0, 5 = 3 - 0, 3 = 2, 7

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 2, 7 - 2 = 0, 7

10

con nhẹ nhất chiếm

\frac{10}{200} = 5% < 25%

số liệu nhỏ nhất

Vậy a) $Δ_{Q} = 0, 7$ kg; b) không phụ thuộc, vì $10$ con này nằm hẳn trong $25%$ số liệu nhỏ nhất.

Nhận xét. $Q_{1} = 2$ trùng đúng đầu mút nhóm vì $\frac{n}{4} = 50$ bằng đúng tần số tích luỹ $10 + 40$ : $Q_{1}$ tính theo nhóm $[1, 5; 2)$ hay nhóm $[2; 2, 5)$ đều ra $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho ý a); ý b) trình bày theo Cách 1 (viết rõ

Q_{1}

Q_{3}

theo vị trí

x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}

) là chặt chẽ nhất.

Đáp số. a)

Q_{1} = 2

Q_{3} = 2, 7

Δ_{Q} = 0, 7

(kg); b) Không phụ thuộc, vì khoảng tứ phân vị của mẫu gốc chỉ phụ thuộc các giá trị

x_{50}, x_{51}, x_{150}, x_{151}

Sai lầm thường gặp. Chọn nhóm chứa

Q_{3}

là

[2; 2, 5)

vì nhóm này đông nhất (

80

con) — sai: tần số tích luỹ tới hết nhóm này là

130 < 150

, nên

Q_{3}

ở nhóm

[2, 5; 3)

. Ý b) trả lời "có, vì mọi số liệu đều ảnh hưởng" là nhầm với khoảng biến thiên và số trung bình.

🚀 Mở rộng. Khoảng biến thiên và số trung bình thì có phụ thuộc

10

con nhẹ nhất; thử chỉ ra một thay đổi của

x_{1}

làm

R

thay đổi mà

Δ_{Q}

giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.3★★Trang 62— Hiệu chỉnh nhóm số liệu rời rạc, tính khoảng tứ phân vị

Bài 3.3 (trang 62). Kết quả thi thử của các thí sinh tại một trung tâm tiếng Anh được cho như sau:

Số câu đúng	$26 - 30$	$31 - 35$	$36 - 40$	$41 - 45$	$46 - 50$
Số thí sinh	$5$	$15$	$30$	$20$	$10$

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng. Giải thích thông tin của một nhóm số liệu.
b) Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm số nguyên $a - b$ hiệu chỉnh thành $[a - 0, 5; b + 0, 5)$ để các nhóm liền nhau.
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; càng lớn thì số liệu càng phân tán.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.4★★★Trang 62— Chọn số đặc trưng đo độ phân tán khi có giá trị bất thường

Bài 3.4 (trang 62). Bảng sau đây cho biết thành tích nhảy cao của các học sinh nam trong hai lớp 12A và 12B:

Thành tích (m)	$[1, 1; 1, 2)$	$[1, 3; 1, 4)$	$[1, 4; 1, 5)$	$[1, 5; 1, 6)$	$[1, 7; 1, 8)$
Lớp 12A	$1$	$5$	$8$	$7$	$0$
Lớp 12B	$0$	$4$	$10$	$3$	$1$

Hỏi nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên? Tại sao?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (nhóm đầu, nhóm cuối có tần số dương): $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc nửa giữa của mẫu số liệu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường; khoảng biến thiên thì bị ảnh hưởng.