Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★★Trang 76— Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm — ý nghĩa xấp xỉ

HĐ1 (trang 76). Thống kê số ngày trong tháng Sáu năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng sau:

Nhiệt độ (°C)	$[28; 30)$	$[30; 32)$	$[32; 34)$	$[34; 36)$	$[36; 38)$	$[38; 40)$
Số ngày trong tháng 6/2021	$0$	$2$	$8$	$5$	$6$	$9$
Số ngày trong tháng 6/2022	$2$	$3$	$4$	$11$	$8$	$2$

Trong tình huống mở đầu, gọi

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{30}

là nhiệt độ cao nhất trong ngày của

30

ngày tháng Sáu năm 2021 (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc hay không?
b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

x_{i}

có thể nhận là gì?
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Với nhóm nửa khoảng $[a; b)$ , mọi giá trị $x$ của nhóm thoả mãn $a \leq x < b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng ghép nhóm chỉ cho biết mỗi giá trị rơi vào khoảng nào chứ không cho giá trị cụ thể, nên mọi câu hỏi về mẫu gốc chỉ trả lời được bằng chặn trên – chặn dưới. Mấu chốt là đọc đúng nhóm đầu và nhóm cuối có tần số dương: năm 2021 nhóm

[28; 30)

có tần số

0

nên số liệu thực sự bắt đầu từ

30

. Bẫy: lấy nhầm

40 - 28 = 12

1Cách 1. Chặn giá trị bằng hai nhóm đầu – cuối có tần số dương

Định hướng. Nhóm có tần số dương đầu tiên là $[30; 32)$ , cuối cùng là $[38; 40)$ ; mọi $x_{i}$ bị kẹp giữa hai đầu mút đó.

m ([28; 30)) = 0, m ([30; 32)) = 2 > 0, m ([38; 40)) = 9 > 0

30 \leq x_{m i n} < 32, 38 \leq x_{m a x} < 40

38 - 32 < x_{m a x} - x_{m i n} < 40 - 30 \Rightarrow 6 < R_{g} < 10

R = a_{k + 1} - a_{1} = 40 - 30 = 10

Vậy a) không tính chính xác được, chỉ biết $6 < R_{g} < 10$ ; b) giá trị nhỏ nhất nằm trong $[30; 32)$ , giá trị lớn nhất nằm trong $[38; 40)$ ; c) $R_{g} \approx 40 - 30 = 10 (^{\circ} C)$ .

2Cách 2. Chỉ ra hai mẫu gốc cùng bảng nhưng khác khoảng biến thiên

Định hướng. Muốn khẳng định "không tính chính xác được", chỉ cần dựng hai mẫu gốc cùng cho ra bảng ghép nhóm trên nhưng có khoảng biến thiên khác nhau.

Mẫu 1:

2

ngày

3 1^{\circ}

8

ngày

3 3^{\circ}

5

ngày

3 5^{\circ}

6

ngày

3 7^{\circ}

9

ngày

3 9^{\circ}

\Rightarrow R_{g} = 39 - 31 = 8

Mẫu 2: từ mẫu 1 thay một ngày

3 1^{\circ}

bằng

3 0^{\circ}

, một ngày

3 9^{\circ}

bằng

39, 9^{\circ}

\Rightarrow R_{g} = 39, 9 - 30 = 9, 9

8 \neq = 9, 9

x_{i} \in [30; 40) \Rightarrow R_{g} \approx 40 - 30 = 10

Vậy khoảng biến thiên của mẫu gốc không xác định được từ bảng; giá trị nhỏ nhất thuộc $[30; 32)$ , lớn nhất thuộc $[38; 40)$ ; giá trị xấp xỉ là $R = 10$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ: thông tin bên trong mỗi nhóm đã bị mất khi ghép nhóm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách nên viết khi làm bài: chỉ ra hai nhóm biên có tần số dương rồi lấy hiệu hai đầu mút, vừa trả lời b) vừa ra luôn c).

Đáp số. a) Không; b)

x_{m i n} \in [30; 32)

x_{m a x} \in [38; 40)

; c)

R \approx 40 - 30 = 10 (^{\circ} C)

Sai lầm thường gặp. Lấy

R = 40 - 28 = 12

vì quên rằng nhóm

[28; 30)

có tần số

0

— không có ngày nào dưới

3 0^{\circ} C

. Hoặc nói "giá trị lớn nhất là

40

": sai vì nhóm là nửa khoảng

[38; 40)

, không chứa

40

🚀 Mở rộng. Với tháng 6/2022 (nhóm

[28; 30)

có

2

ngày) thì khoảng biến thiên xấp xỉ là

40 - 28 = 12

; hãy chứng minh tổng quát

R_{g} < R

ở câu hỏi ngay sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi★★Trang 76— Chứng minh bất đẳng thức giữa

R

ghép nhóm và

R

mẫu gốc

Câu hỏi (trang 76). Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm	$[a_{1}; a_{2})$	$\dots$	$[a_{i}; a_{i + 1})$	$\dots$	$[a_{k}; a_{k + 1})$
Tần số	$m_{1}$	$\dots$	$m_{i}$	$\dots$	$m_{k}$

Bảng 3.1. Mẫu số liệu ghép nhóm

trong đó các tần số

m_{1} > 0

m_{k} > 0

và

n = m_{1} + \dots + m_{k}

là cỡ mẫu. Chỉ ra rằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Mọi giá trị của mẫu gốc thuộc $[a_{1}; a_{k + 1})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cần so sánh

a_{k + 1} - a_{1}

với

x_{m a x} - x_{m i n}

, nên phải chặn

x_{m a x}

từ trên và

x_{m i n}

từ dưới. Hai giả thiết

m_{1} > 0

m_{k} > 0

đảm bảo hai nhóm biên thật sự có dữ liệu; dấu "lớn hơn" (ngặt) đến từ việc nhóm cuối là nửa khoảng, không chứa

a_{k + 1}

1Cách 1. Chặn trực tiếp giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Định hướng. Mọi số liệu nằm trong nửa khoảng $[a_{1}; a_{k + 1})$ , từ đó trừ vế theo vế.

a_{1} \leq x_{m i n} \leq x_{m a x} < a_{k + 1}

x_{m a x} < a_{k + 1}

- x_{m i n} \leq - a_{1}

R_{g} = x_{m a x} - x_{m i n} < a_{k + 1} - a_{1} = R

Vậy $R_{g} < R$ : khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu gốc.

2Cách 2. Phản chứng

Định hướng. Giả sử $R_{g} \geq R$ rồi chỉ ra có số liệu nằm ngoài $[a_{1}; a_{k + 1})$ .

x_{m a x} - x_{m i n} \geq a_{k + 1} - a_{1}

x_{m i n} \geq a_{1} \Rightarrow x_{m a x} \geq a_{k + 1} + (x_{m i n} - a_{1}) \geq a_{k + 1}

x_{m a x} \in / [a_{k}; a_{k + 1})

và

x_{m a x} \in /

nhóm nào — mâu thuẫn

Vậy giả sử sai, tức $R_{g} < R$ .

Nhận xét. Nếu nhóm cuối là đoạn đóng $[a_{k}; a_{k + 1}]$ thì chỉ có $R_{g} \leq R$ ; chữ "lớn hơn" ngặt dựa vào quy ước nhóm nửa khoảng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: ba dòng bất đẳng thức, dùng được ngay trong bài tự luận.

Đáp số.

R_{g} = x_{m a x} - x_{m i n} < a_{k + 1} - a_{1} = R

Sai lầm thường gặp. Viết

x_{m a x} \leq a_{k + 1}

rồi kết luận "

R_{g} \leq R

" là chưa đủ yêu cầu "lớn hơn"; phải dùng

x_{m a x} < a_{k + 1}

vì nhóm cuối không chứa

a_{k + 1}

🚀 Mở rộng. Tương tự, chứng minh

R_{g} > a_{k} - a_{2}

(khi

k \geq 3

): khoảng biến thiên mẫu gốc luôn bị kẹp

a_{k} - a_{2} < R_{g} < a_{k + 1} - a_{1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 77— Tính khoảng biến thiên mẫu ghép nhóm và mẫu gốc

Luyện tập 1 (trang 77). Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	$[25; 30)$	$[30; 35)$	$[35; 40)$	$[40; 45)$
Số học sinh	$8$	$16$	$4$	$2$

a) Tính khoảng biến thiên

R

cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất

27

phút và muộn nhất mất

43

phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Khoảng biến thiên của mẫu gốc: $R_{g} = x_{m a x} - x_{m i n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai nhóm biên

[25; 30)

và

[40; 45)

đều có tần số dương nên

R

lấy thẳng hai đầu mút ngoài cùng. Ý b) cho sẵn giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mẫu gốc — đó chính là định nghĩa khoảng biến thiên, không cần bảng.

1Cách 1. Dùng định nghĩa

Định hướng. Lấy đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu; mẫu gốc thì lấy lớn nhất trừ nhỏ nhất.

R = a_{5} - a_{1} = 45 - 25 = 20

R_{g} = x_{m a x} - x_{m i n} = 43 - 27 = 16

Vậy a) $R = 20$ phút; b) $R_{g} = 16$ phút.

2Cách 2. Đếm số nhóm nhân độ dài nhóm

Định hướng. Bốn nhóm liền nhau, cùng độ dài $5$ , hai nhóm biên có tần số dương nên $R$ bằng tổng độ dài các nhóm.

R = 4 \cdot 5 = 20

27 \in [25; 30)

43 \in [40; 45)

R_{g} = 43 - 27 = 16 < 20 = R

Vậy a) $R = 20$ phút; b) $R_{g} = 16$ phút.

Nhận xét. Ý b) minh hoạ đúng kết luận $R_{g} < R$ : khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm lớn hơn của mẫu gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một phép trừ cho mỗi ý, không thể nhầm.

Đáp số. a)

R = 20

(phút); b)

R_{g} = 16

(phút).

Sai lầm thường gặp. Lấy

R = 40 - 25 = 15

(dùng đầu mút trái của nhóm cuối) hoặc

R = 45 - 30

; phải dùng hai đầu mút ngoài cùng

a_{k + 1} = 45

và

a_{1} = 25

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[40; 45)

có tần số

0

thì

R = 40 - 25 = 15

— nhóm biên rỗng phải bỏ trước khi tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 77— Tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ2 (trang 77). Trong tình huống mở đầu (bảng dưới), gọi

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{30}

là nhiệt độ cao nhất trong ngày của

30

ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).

Nhiệt độ (°C)	$[28; 30)$	$[30; 32)$	$[32; 34)$	$[34; 36)$	$[36; 38)$	$[38; 40)$
Số ngày trong tháng 6/2021	$0$	$2$	$8$	$5$	$6$	$9$
Số ngày trong tháng 6/2022	$2$	$3$	$4$	$11$	$8$	$2$

a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Tìm tứ phân vị thứ nhất

Q_{1}

và tứ phân vị thứ ba

Q_{3}

cho mẫu số liệu ghép nhóm.
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu gốc

y_{1} \leq \dots \leq y_{30}

có

Q_{1} = y_{8}

Q_{3} = y_{23}

, nhưng bảng chỉ cho biết

y_{8}

y_{23}

thuộc nhóm nào nên ý a) trả lời "không". Ý b) là áp dụng công thức: tính

\frac{n}{4}

\frac{3 n}{4}

, dò tần số tích luỹ để tìm nhóm chứa rồi thay số. Bẫy: dùng số liệu năm 2021 thay vì 2022, hoặc chia cho tần số tích luỹ thay vì tần số của nhóm.

1Cách 1. Công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. a) Mẫu gốc: $Q_{1} = y_{8}$ , $Q_{3} = y_{23}$ không biết giá trị cụ thể nên không tính chính xác được. b) c) Dò nhóm chứa rồi thay công thức.

\frac{n}{4} = \frac{30}{4} = 7, 5

2 + 3 = 5 < 7, 5 \leq 2 + 3 + 4 = 9 \Rightarrow Q_{1} \in [32; 34)

Q_{1} = 32 + \frac{\frac{30}{4} - ( 2 + 3 )}{4} \cdot (34 - 32) = 32 + \frac{2 , 5}{4} \cdot 2 = 33, 25

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 30}{4} = 22, 5

2 + 3 + 4 + 11 = 20 < 22, 5 \leq 2 + 3 + 4 + 11 + 8 = 28 \Rightarrow Q_{3} \in [36; 38)

Q_{3} = 36 + \frac{\frac{3 \cdot 30}{4} - ( 2 + 3 + 4 + 11 )}{8} \cdot (38 - 36) = 36 + \frac{2 , 5}{8} \cdot 2 = 36, 625

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 36, 625 - 33, 25 = 3, 375

Vậy a) không; b) $Q_{1} = 33, 25$ , $Q_{3} = 36, 625$ ; c) $Δ_{Q} \approx 3, 375 (^{\circ} C)$ .

2Cách 2. Nội suy trên đường gấp khúc tần số tích luỹ

Định hướng. Nối các điểm (đầu mút phải nhóm; tần số tích luỹ) thành đường gấp khúc; $Q_{r}$ là hoành độ điểm có tung độ $\frac{r n}{4}$ — dùng tỉ lệ đoạn thẳng.

Tần số tích luỹ:

2; 5; 9; 20; 28; 30

\frac{Q _{1} - 32}{34 - 32} = \frac{7 , 5 - 5}{9 - 5} \Rightarrow Q_{1} = 32 + 2 \cdot \frac{2 , 5}{4} = 33, 25

\frac{Q _{3} - 36}{38 - 36} = \frac{22 , 5 - 20}{28 - 20} \Rightarrow Q_{3} = 36 + 2 \cdot \frac{2 , 5}{8} = 36, 625

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 36, 625 - 33, 25 = 3, 375

Vậy $Q_{1} = 33, 25$ , $Q_{3} = 36, 625$ , $Δ_{Q} = 3, 375$ .

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải của nhóm

Định hướng. Coi các giá trị trải đều trong nhóm; $Q_{r}$ cách đầu mút phải một đoạn tỉ lệ với số giá trị của nhóm nằm sau vị trí $\frac{r n}{4}$ .

5 < 7, 5 \leq 9

20 < 22, 5 \leq 28

Q_{1} = 34 - \frac{9 - 7 , 5}{4} \cdot 2 = 34 - 0, 75 = 33, 25

Q_{3} = 38 - \frac{28 - 22 , 5}{8} \cdot 2 = 38 - 1, 375 = 36, 625

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 36, 625 - 33, 25 = 3, 375

Vậy $Q_{1} = 33, 25$ , $Q_{3} = 36, 625$ , $Δ_{Q} = 3, 375$ .

Nhận xét. Cách 3 là cách kiểm tra chéo rất nhanh: đi từ hai đầu của cùng một nhóm phải ra cùng một số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đúng khuôn SGK); dùng Cách 3 để thử lại trong vài giây.

Đáp số. a) Không; b)

Q_{1} = 33, 25

Q_{3} = 36, 625

; c)

Δ_{Q} = 3, 375 (^{\circ} C)

Sai lầm thường gặp. Lấy nhóm chứa

Q_{1}

là

[30; 32)

vì thấy "

7, 5

nằm ở đầu bảng": phải so với tần số tích luỹ

2; 5; 9

—

7, 5

vượt

5

nên

Q_{1}

ở nhóm thứ ba

[32; 34)

. Hoặc viết

\frac{7 , 5 - 5}{9}

(chia cho tần số tích luỹ

9

thay vì tần số nhóm

4

🚀 Mở rộng. Tính tương tự cho tháng 6/2021 để so sánh (xem Vận dụng):

Δ_{Q} \approx 4, 96

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 78— Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Luyện tập 2 (trang 78). Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Thời gian $t$ (phút)	Số cuộc gọi
$0 \leq t < 1$	$8$
$1 \leq t < 2$	$17$
$2 \leq t < 3$	$25$
$3 \leq t < 4$	$20$
$4 \leq t < 5$	$10$

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Nhóm viết dạng

a \leq t < b

chính là nửa khoảng

[a; b)

, độ dài nhóm

h = 1

nên công thức gọn hẳn. Cỡ mẫu

n = 80

chia hết cho

4

\frac{n}{4} = 20

\frac{3 n}{4} = 60

; dò tần số tích luỹ

8; 25; 50; 70; 80

thấy ngay nhóm chứa.

Q_{1}

ra phân số

\frac{29}{17}

— nên giữ phân số đến cuối để

Δ_{Q}

chính xác.

1Cách 1. Công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. Cỡ mẫu $n = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80$ ; dò nhóm chứa $Q_{1}$ , $Q_{3}$ rồi thay công thức.

\frac{n}{4} = \frac{80}{4} = 20

8 < 20 \leq 8 + 17 = 25 \Rightarrow Q_{1} \in [1; 2)

Q_{1} = 1 + \frac{\frac{80}{4} - 8}{17} \cdot (2 - 1) = 1 + \frac{12}{17} \cdot 1 = \frac{29}{17} \approx 1, 71

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 80}{4} = 60

8 + 17 + 25 = 50 < 60 \leq 8 + 17 + 25 + 20 = 70 \Rightarrow Q_{3} \in [3; 4)

Q_{3} = 3 + \frac{\frac{3 \cdot 80}{4} - ( 8 + 17 + 25 )}{20} \cdot (4 - 3) = 3 + \frac{10}{20} \cdot 1 = 3, 5

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 3, 5 - \frac{29}{17} = \frac{61}{34} \approx 1, 79

Vậy $Δ_{Q} = \frac{61}{34} \approx 1, 79$ (phút).

2Cách 2. Nội suy trên đường gấp khúc tần số tích luỹ

Định hướng. $Q_{r}$ là hoành độ điểm trên đường tần số tích luỹ có tung độ $\frac{r n}{4}$ ; trong mỗi nhóm đường này là đoạn thẳng nên dùng tỉ lệ.

Tần số tích luỹ:

8; 25; 50; 70; 80

\frac{Q _{1} - 1}{2 - 1} = \frac{20 - 8}{25 - 8} \Rightarrow Q_{1} = 1 + 1 \cdot \frac{12}{17} = \frac{29}{17} \approx 1, 71

\frac{Q _{3} - 3}{4 - 3} = \frac{60 - 50}{70 - 50} \Rightarrow Q_{3} = 3 + 1 \cdot \frac{10}{20} = 3, 5

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 3, 5 - \frac{29}{17} = \frac{61}{34} \approx 1, 79

Vậy $Δ_{Q} = \frac{61}{34} \approx 1, 79$ (phút).

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải của nhóm

Định hướng. Đi lùi từ đầu mút phải: $Q_{r}$ nhỏ hơn đầu mút phải một đoạn ứng với số giá trị còn lại của nhóm sau vị trí $\frac{r n}{4}$ .

8 < 20 \leq 25

50 < 60 \leq 70

Q_{1} = 2 - \frac{25 - 20}{17} \cdot 1 = 2 - \frac{5}{17} = \frac{29}{17} \approx 1, 71

Q_{3} = 4 - \frac{70 - 60}{20} \cdot 1 = 4 - 0, 5 = 3, 5

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 3, 5 - \frac{29}{17} = \frac{61}{34} \approx 1, 79

Vậy $Δ_{Q} = \frac{61}{34} \approx 1, 79$ (phút).

Nhận xét. Với $h = 1$ , cả ba cách chỉ là cộng/trừ một phân số có mẫu là tần số nhóm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho bài trình bày; Cách 3 để thử lại

Q_{1} = 2 - \frac{5}{17}

trong một dòng.

Đáp số.

Q_{1} = \frac{29}{17} \approx 1, 71

;

Q_{3} = 3, 5

;

Δ_{Q} = \frac{61}{34} \approx 1, 79

(phút).

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

Q_{1} \approx 1, 7

quá sớm rồi trừ ra

Δ_{Q} = 1, 8

; nên giữ

\frac{29}{17}

tới cuối. Hoặc chọn nhóm chứa

Q_{3}

là

[2; 3)

vì thấy tần số

25

lớn nhất — sai, phải dò tần số tích luỹ:

50 < 60 \leq 70

🚀 Mở rộng. Tìm thêm trung vị

Q_{2} = 2 + \frac{40 - 25}{25} \cdot 1 = 2, 6

và nhận xét

Q_{2}

gần

Q_{3}

hơn hay gần

Q_{1}

hơn (độ lệch của phân bố).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng★★★Trang 78— So sánh độ phân tán hai mẫu ghép nhóm bằng

R

và

Δ_{Q}

Vận dụng (trang 78). Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Tình huống mở đầu: Thống kê số ngày trong tháng Sáu năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng sau:

Nhiệt độ (°C)	$[28; 30)$	$[30; 32)$	$[32; 34)$	$[34; 36)$	$[36; 38)$	$[38; 40)$
Số ngày trong tháng 6/2021	$0$	$2$	$8$	$5$	$6$	$9$
Số ngày trong tháng 6/2022	$2$	$3$	$4$	$11$	$8$	$2$

Hỏi tháng Sáu năm nào ở Hà Nội nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc nửa giữa của mẫu số liệu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường; khoảng biến thiên thì bị ảnh hưởng.

🧠 Phân tích tư duy

Phải tính cả hai số đặc trưng cho cả hai năm rồi so sánh. Năm 2021 nhóm

[28; 30)

rỗng nên

R_{2021} = 40 - 30

, còn năm 2022 có

2

ngày ở nhóm này nên

R_{2022} = 40 - 28

. Hai số đặc trưng cho kết luận ngược nhau — đó chính là điểm hay của bài:

R

chỉ nhìn hai đầu (dễ bị vài ngày cá biệt kéo giãn),

Δ_{Q}

nhìn

50%

số ngày ở giữa.

1Cách 1. Công thức SGK cho từng năm

Định hướng. Tính $R$ và $Δ_{Q}$ lần lượt cho năm 2021 rồi năm 2022, sau đó so sánh.

2021 (

n = 30

R_{1} = 40 - 30 = 10

\frac{n}{4} = \frac{30}{4} = 7, 5

2 < 7, 5 \leq 2 + 8 = 10 \Rightarrow Q_{1} \in [32; 34)

Q_{1} = 32 + \frac{\frac{30}{4} - 2}{8} \cdot (34 - 32) = 32 + \frac{5 , 5}{8} \cdot 2 = 33, 375

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 30}{4} = 22, 5

2 + 8 + 5 + 6 = 21 < 22, 5 \leq 2 + 8 + 5 + 6 + 9 = 30 \Rightarrow Q_{3} \in [38; 40)

Q_{3} = 38 + \frac{\frac{3 \cdot 30}{4} - ( 2 + 8 + 5 + 6 )}{9} \cdot (40 - 38) = 38 + \frac{1 , 5}{9} \cdot 2 = \frac{115}{3} \approx 38, 33

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{115}{3} - 33, 375 = \frac{119}{24} \approx 4, 96

2022 (

n = 30

R_{2} = 40 - 28 = 12

\frac{n}{4} = \frac{30}{4} = 7, 5

2 + 3 = 5 < 7, 5 \leq 2 + 3 + 4 = 9 \Rightarrow Q_{1} \in [32; 34)

Q_{1} = 32 + \frac{\frac{30}{4} - ( 2 + 3 )}{4} \cdot (34 - 32) = 32 + \frac{2 , 5}{4} \cdot 2 = 33, 25

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 30}{4} = 22, 5

2 + 3 + 4 + 11 = 20 < 22, 5 \leq 2 + 3 + 4 + 11 + 8 = 28 \Rightarrow Q_{3} \in [36; 38)

Q_{3} = 36 + \frac{\frac{3 \cdot 30}{4} - ( 2 + 3 + 4 + 11 )}{8} \cdot (38 - 36) = 36 + \frac{2 , 5}{8} \cdot 2 = 36, 625

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 36, 625 - 33, 25 = 3, 375

R_{1} = 10 < 12 = R_{2}

Δ_{Q}^{(2021)} \approx 4, 96 > 3, 375 = Δ_{Q}^{(2022)}

Vậy theo khoảng biến thiên thì tháng 6/2022 phân tán hơn; theo khoảng tứ phân vị thì tháng 6/2021 phân tán hơn. Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi vài ngày cá biệt ở hai đầu nên đáng tin hơn: tháng Sáu năm 2021 nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn.

2Cách 2. Nội suy trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Lập dãy tần số tích luỹ của từng năm, đọc $Q_{1}$ , $Q_{3}$ bằng tỉ lệ đoạn thẳng trong nhóm chứa.

2021:

R_{1} = 10

Tần số tích luỹ:

2; 10; 15; 21; 30

\frac{Q _{1} - 32}{34 - 32} = \frac{7 , 5 - 2}{10 - 2} \Rightarrow Q_{1} = 32 + 2 \cdot \frac{5 , 5}{8} = 33, 375

\frac{Q _{3} - 38}{40 - 38} = \frac{22 , 5 - 21}{30 - 21} \Rightarrow Q_{3} = 38 + 2 \cdot \frac{1 , 5}{9} = \frac{115}{3} \approx 38, 33

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{115}{3} - 33, 375 = \frac{119}{24} \approx 4, 96

2022:

R_{2} = 12

Tần số tích luỹ:

2; 5; 9; 20; 28; 30

\frac{Q _{1} - 32}{34 - 32} = \frac{7 , 5 - 5}{9 - 5} \Rightarrow Q_{1} = 32 + 2 \cdot \frac{2 , 5}{4} = 33, 25

\frac{Q _{3} - 36}{38 - 36} = \frac{22 , 5 - 20}{28 - 20} \Rightarrow Q_{3} = 36 + 2 \cdot \frac{2 , 5}{8} = 36, 625

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 36, 625 - 33, 25 = 3, 375

Vậy $R_{1} < R_{2}$ nhưng $Δ_{Q}^{(2021)} = \frac{119}{24} > \frac{27}{8} = Δ_{Q}^{(2022)}$ ; theo khoảng tứ phân vị, tháng 6/2021 biến đổi nhiều hơn.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải + đọc hình dạng bảng

Định hướng. Tính $Δ_{Q}$ bằng cách đi lùi từ đầu mút phải; đồng thời nhìn bảng: năm 2022 dồn $19$ ngày vào $[34; 38)$ , năm 2021 trải đều hơn.

2021:

2 < 7, 5 \leq 10

21 < 22, 5 \leq 30

Q_{1} = 34 - \frac{10 - 7 , 5}{8} \cdot 2 = 34 - 0, 625 = 33, 375

Q_{3} = 40 - \frac{30 - 22 , 5}{9} \cdot 2 = 40 - \frac{5}{3} = \frac{115}{3} \approx 38, 33

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{115}{3} - 33, 375 = \frac{119}{24} \approx 4, 96

2022:

5 < 7, 5 \leq 9

20 < 22, 5 \leq 28

Q_{1} = 34 - \frac{9 - 7 , 5}{4} \cdot 2 = 34 - 0, 75 = 33, 25

Q_{3} = 38 - \frac{28 - 22 , 5}{8} \cdot 2 = 38 - 1, 375 = 36, 625

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 36, 625 - 33, 25 = 3, 375

2022:

\frac{11 + 8}{30} \approx 63%

số ngày trong

[34; 38)

; 2021:

\frac{5 + 6}{30} \approx 37%

Vậy khoảng tứ phân vị năm 2021 lớn hơn, khớp với việc số liệu năm 2021 trải rộng còn năm 2022 dồn vào giữa; tháng 6/2021 biến đổi nhiều hơn.

Nhận xét. $R_{2022}$ lớn hơn chỉ vì $2$ ngày ở nhóm $[28; 30)$ — đúng loại "vài giá trị ở rìa" mà khoảng biến thiên nhạy cảm còn khoảng tứ phân vị thì không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là bài trình bày chuẩn; câu kết luận nên nêu cả hai số đặc trưng và giải thích vì sao tin

Δ_{Q}

— đó là điểm ăn trọn điểm.

Đáp số. 2021:

R = 10

Δ_{Q} = \frac{119}{24} \approx 4, 96

; 2022:

R = 12

Δ_{Q} = 3, 375

. Theo khoảng tứ phân vị, tháng Sáu năm 2021 nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn (khoảng biến thiên cho kết luận ngược lại do bị ảnh hưởng bởi 2 ngày ở nhóm

[28; 30)

Sai lầm thường gặp. Tính

R_{2021} = 40 - 28 = 12

(quên nhóm

[28; 30)

năm 2021 rỗng) rồi kết luận "hai năm như nhau". Hoặc chỉ tính

R

và kết luận ngay năm 2022 biến đổi nhiều hơn mà không xét

Δ_{Q}

🚀 Mở rộng. Tính thêm trung vị: năm 2021

M_{e} = 34 + \frac{15 - 10}{5} \cdot 2 = 36

, năm 2022

M_{e} = 34 + \frac{15 - 9}{11} \cdot 2 \approx 35, 09

— tháng 6/2021 không chỉ biến đổi nhiều hơn mà nhìn chung còn nóng hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.1★★★Trang 78— Ghép nhóm số liệu; so sánh

R

Δ_{Q}

của mẫu gốc và mẫu ghép nhóm

Bài 3.1 (trang 78). Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 cho kết quả như sau:

101797978757368676763

636160595755555047 42.

(Theo premierleague.com)
a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là

[40; 50)

.
b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Mẫu gốc $n$ chẵn: $Q_{1}$ là trung vị của $\frac{n}{2}$ số liệu nhỏ nhất, $Q_{3}$ là trung vị của $\frac{n}{2}$ số liệu lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Có đủ

20

số liệu gốc nên tính được chính xác

R_{g}

Δ_{Q}^{g}

(theo cách lớp 10:

Q_{1}

Q_{3}

là trung vị của nửa dưới, nửa trên); mẫu ghép nhóm chỉ cho giá trị xấp xỉ. Ghép nhóm độ dài

10

từ

40

phải kéo tới nhóm chứa

101

là

[100; 110)

, kể cả hai nhóm rỗng

[80; 90)

[90; 100)

. Giá trị

101

là giá trị bất thường: nó làm

R

phình to nhưng hầu như không ảnh hưởng

Δ_{Q}

1Cách 1. Đếm từng nhóm, công thức SGK

Định hướng. a) Đếm số liệu rơi vào mỗi nhóm độ dài $10$ . b) Mẫu gốc tính trực tiếp; mẫu ghép nhóm dùng công thức.

[40; 50)

42; 47

—

2

;

[50; 60)

50; 55; 55; 57; 59

—

5

;

[60; 70)

60; 61; 63; 63; 67; 67; 68

—

7

[70; 80)

73; 75; 78; 79; 79

—

5

;

[80; 90)

[90; 100)

—

0

;

[100; 110)

101

—

1

2 + 5 + 7 + 5 + 0 + 0 + 1 = 20

Sắp xếp:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 6363; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101

R_{g} = 101 - 42 = 59

Q_{1}^{g} = \frac{55 + 57}{2} = 56

Q_{3}^{g} = \frac{73 + 75}{2} = 74

Δ_{Q}^{g} = 74 - 56 = 18

R = 110 - 40 = 70

\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5

2 < 5 \leq 2 + 5 = 7 \Rightarrow Q_{1} \in [50; 60)

Q_{1} = 50 + \frac{\frac{20}{4} - 2}{5} \cdot (60 - 50) = 50 + \frac{3}{5} \cdot 10 = 56

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15

2 + 5 + 7 = 14 < 15 \leq 2 + 5 + 7 + 5 = 19 \Rightarrow Q_{3} \in [70; 80)

Q_{3} = 70 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - ( 2 + 5 + 7 )}{5} \cdot (80 - 70) = 70 + \frac{1}{5} \cdot 10 = 72

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 72 - 56 = 16

Vậy a) bảng ghép nhóm như dưới; b) mẫu gốc: $R_{g} = 59$ , $Δ_{Q}^{g} = 18$ — giá trị chính xác; mẫu ghép nhóm: $R = 70$ , $Δ_{Q} = 16$ — giá trị xấp xỉ.

Số thẻ vàng	$[40; 50)$	$[50; 60)$	$[60; 70)$	$[70; 80)$	$[80; 90)$	$[90; 100)$	$[100; 110)$
Số câu lạc bộ	$2$	$5$	$7$	$5$	$0$	$0$	$1$

2Cách 2. Nội suy trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Dùng dãy đã sắp xếp để lập ngay tần số tích luỹ theo các mốc $50, 60, \dots, 110$ , rồi nội suy $Q_{1}$ , $Q_{3}$ .

Số giá trị

< 50

2

;

< 60

7

;

< 70

14

;

< 80

19

;

< 110

20

Sắp xếp:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 6363; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101

R_{g} = 101 - 42 = 59

Q_{1}^{g} = \frac{55 + 57}{2} = 56

Q_{3}^{g} = \frac{73 + 75}{2} = 74

Δ_{Q}^{g} = 74 - 56 = 18

R = 110 - 40 = 70

\frac{Q _{1} - 50}{60 - 50} = \frac{5 - 2}{7 - 2} \Rightarrow Q_{1} = 50 + 10 \cdot \frac{3}{5} = 56

\frac{Q _{3} - 70}{80 - 70} = \frac{15 - 14}{19 - 14} \Rightarrow Q_{3} = 70 + 10 \cdot \frac{1}{5} = 72

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 72 - 56 = 16

Vậy mẫu gốc: $R_{g} = 59$ , $Δ_{Q}^{g} = 18$ (chính xác); mẫu ghép nhóm: $R = 70$ , $Δ_{Q} = 16$ (xấp xỉ).

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải

Định hướng. Tính $Q_{1}$ , $Q_{3}$ ghép nhóm bằng cách đi lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa; so với giá trị gốc để thấy sai số.

Sắp xếp:

42; 47; 50; 55; 55; 57; 59; 60; 61; 6363; 67; 67; 68; 73; 75; 78; 79; 79; 101

R_{g} = 101 - 42 = 59

Q_{1}^{g} = \frac{55 + 57}{2} = 56

Q_{3}^{g} = \frac{73 + 75}{2} = 74

Δ_{Q}^{g} = 74 - 56 = 18

2 < 5 \leq 7

14 < 15 \leq 19

Q_{1} = 60 - \frac{7 - 5}{5} \cdot 10 = 60 - 4 = 56

Q_{3} = 80 - \frac{19 - 15}{5} \cdot 10 = 80 - 8 = 72

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 72 - 56 = 16

∣ R - R_{g} ∣ = 70 - 59 = 11

∣ Δ_{Q} - Δ_{Q}^{g} ∣ = 18 - 16 = 2

Vậy giá trị chính xác: $R_{g} = 59$ , $Δ_{Q}^{g} = 18$ ; giá trị xấp xỉ: $R = 70$ , $Δ_{Q} = 16$ .

Nhận xét. Sai số của $R$ ( $11$ ) lớn hơn hẳn sai số của $Δ_{Q}$ ( $2$ ): vì một giá trị $101$ nằm tách biệt khiến nhóm cuối kéo dài tới $110$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho bài tự luận; nhận xét ở Cách 3 là ý "ăn điểm" khi được hỏi giá trị nào chính xác, giá trị nào xấp xỉ.

Đáp số. a) Nhóm

[40; 50), [50; 60), \dots, [100; 110)

với tần số

2; 5; 7; 5; 0; 0; 1

. b) Mẫu gốc:

R_{g} = 59

Δ_{Q}^{g} = 18

(chính xác); mẫu ghép nhóm:

R = 70

Δ_{Q} = 16

(xấp xỉ).

Sai lầm thường gặp. Dừng ghép nhóm ở

[80; 90)

rồi "nhét"

101

vào nhóm cuối — sai vì các nhóm phải cùng độ dài. Hoặc lấy

Q_{1}^{g}

là số thứ

5

(

55

) theo công thức

\frac{n}{4}

— với mẫu gốc lớp 10 phải lấy trung vị nửa dưới

\frac{55 + 57}{2} = 56

🚀 Mở rộng. Bỏ giá trị bất thường

101

(còn

19

câu lạc bộ, nhóm cuối là

[70; 80)

R

giảm từ

70

xuống

40

còn

Δ_{Q}

chỉ đổi từ

16

thành

15

(

Q_{1} = 55, 5

Q_{3} = 70, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.2★★★Trang 79— Số trung bình và khoảng tứ phân vị — so sánh hai mẫu ghép nhóm

Bài 3.2 (trang 79). Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của người lao động ở hai nhà máy như sau:

Thu nhập	$[5; 8)$	$[8; 11)$	$[11; 14)$	$[14; 17)$	$[17; 20)$
Số người của nhà máy A	$20$	$35$	$45$	$35$	$20$
Số người của nhà máy B	$17$	$23$	$30$	$23$	$17$

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình mẫu ghép nhóm: $\overline{x} = \frac{m _{1} c _{1} + \dots + m _{k} c _{k}}{n}$ , $c_{i}$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm $i$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Hai dãy tần số đều đối xứng (

20, 35, 45, 35, 20

và

17, 23, 30, 23, 17

) quanh nhóm giữa

[11; 14)

, nên số trung bình của cả hai bằng giá trị đại diện

12, 5

— nhận ra điều này là khỏi tính dài. Trung bình bằng nhau nên chỉ khoảng tứ phân vị mới phân biệt được; nhà máy B có tỉ lệ người ở hai nhóm biên cao hơn nên dự đoán B biến động nhiều hơn. Bẫy:

n_{A} = 155

n_{B} = 110

khác nhau,

\frac{n}{4}

không nguyên.

1Cách 1. Công thức trung bình và công thức tứ phân vị

Định hướng. Giá trị đại diện các nhóm là $6, 5; 9, 5; 12, 5; 15, 5; 18, 5$ . Tính trung bình, rồi $Q_{1}$ , $Q_{3}$ của từng nhà máy.

\overline{x}_{A} = \frac{20 \cdot 6 , 5 + 35 \cdot 9 , 5 + 45 \cdot 12 , 5 + 35 \cdot 15 , 5 + 20 \cdot 18 , 5}{155} = \frac{1937 , 5}{155} = 12, 5

\overline{x}_{B} = \frac{17 \cdot 6 , 5 + 23 \cdot 9 , 5 + 30 \cdot 12 , 5 + 23 \cdot 15 , 5 + 17 \cdot 18 , 5}{110} = \frac{1375}{110} = 12, 5

A (

n = 155

\frac{n}{4} = \frac{155}{4} = 38, 75

20 < 38, 75 \leq 20 + 35 = 55 \Rightarrow Q_{1} \in [8; 11)

Q_{1} = 8 + \frac{\frac{155}{4} - 20}{35} \cdot (11 - 8) = 8 + \frac{18 , 75}{35} \cdot 3 = \frac{269}{28} \approx 9, 61

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 155}{4} = 116, 25

20 + 35 + 45 = 100 < 116, 25 \leq 20 + 35 + 45 + 35 = 135 \Rightarrow Q_{3} \in [14; 17)

Q_{3} = 14 + \frac{\frac{3 \cdot 155}{4} - ( 20 + 35 + 45 )}{35} \cdot (17 - 14) = 14 + \frac{16 , 25}{35} \cdot 3 = \frac{431}{28} \approx 15, 39

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{431}{28} - \frac{269}{28} = \frac{81}{14} \approx 5, 79

B (

n = 110

\frac{n}{4} = \frac{110}{4} = 27, 5

17 < 27, 5 \leq 17 + 23 = 40 \Rightarrow Q_{1} \in [8; 11)

Q_{1} = 8 + \frac{\frac{110}{4} - 17}{23} \cdot (11 - 8) = 8 + \frac{10 , 5}{23} \cdot 3 = \frac{431}{46} \approx 9, 37

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 110}{4} = 82, 5

17 + 23 + 30 = 70 < 82, 5 \leq 17 + 23 + 30 + 23 = 93 \Rightarrow Q_{3} \in [14; 17)

Q_{3} = 14 + \frac{\frac{3 \cdot 110}{4} - ( 17 + 23 + 30 )}{23} \cdot (17 - 14) = 14 + \frac{12 , 5}{23} \cdot 3 = \frac{719}{46} \approx 15, 63

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{719}{46} - \frac{431}{46} = \frac{144}{23} \approx 6, 26

Δ_{Q}^{A} \approx 5, 79 < 6, 26 \approx Δ_{Q}^{B}

Vậy thu nhập trung bình ở hai nhà máy đều là $12, 5$ triệu đồng; $Δ_{Q}^{B} > Δ_{Q}^{A}$ nên thu nhập ở nhà máy B biến động nhiều hơn.

2Cách 2. Đổi biến tính trung bình, nội suy tần số tích luỹ

Định hướng. Đặt $u = \frac{c - 12 , 5}{3}$ để giá trị đại diện thành $- 2; - 1; 0; 1; 2$ ; tứ phân vị đọc trên đường tần số tích luỹ.

\overline{u} = \frac{20 ( - 2 ) + 35 ( - 1 ) + 45 \cdot 0 + 35 \cdot 1 + 20 \cdot 2}{155} = 0 \Rightarrow \overline{x}_{A} = 12, 5 + 3 \cdot 0 = 12, 5

\overline{u} = \frac{17 ( - 2 ) + 23 ( - 1 ) + 30 \cdot 0 + 23 \cdot 1 + 17 \cdot 2}{110} = 0 \Rightarrow \overline{x}_{B} = 12, 5

A:
Tần số tích luỹ:

20; 55; 100; 135; 155

\frac{Q _{1} - 8}{11 - 8} = \frac{38 , 75 - 20}{55 - 20} \Rightarrow Q_{1} = 8 + 3 \cdot \frac{18 , 75}{35} = \frac{269}{28} \approx 9, 61

\frac{Q _{3} - 14}{17 - 14} = \frac{116 , 25 - 100}{135 - 100} \Rightarrow Q_{3} = 14 + 3 \cdot \frac{16 , 25}{35} = \frac{431}{28} \approx 15, 39

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{431}{28} - \frac{269}{28} = \frac{81}{14} \approx 5, 79

B:
Tần số tích luỹ:

17; 40; 70; 93; 110

\frac{Q _{1} - 8}{11 - 8} = \frac{27 , 5 - 17}{40 - 17} \Rightarrow Q_{1} = 8 + 3 \cdot \frac{10 , 5}{23} = \frac{431}{46} \approx 9, 37

\frac{Q _{3} - 14}{17 - 14} = \frac{82 , 5 - 70}{93 - 70} \Rightarrow Q_{3} = 14 + 3 \cdot \frac{12 , 5}{23} = \frac{719}{46} \approx 15, 63

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{719}{46} - \frac{431}{46} = \frac{144}{23} \approx 6, 26

Vậy $\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 12, 5$ ; $Δ_{Q}^{A} = \frac{81}{14} \approx 5, 79 < \frac{144}{23} \approx 6, 26 = Δ_{Q}^{B}$ : nhà máy B biến động nhiều hơn.

3Cách 3. Khai thác tính đối xứng

Định hướng. Tần số đối xứng qua nhóm giữa nên phân bố đối xứng qua $12, 5$ : trung bình bằng $12, 5$ và $Q_{1}$ , $Q_{3}$ đối xứng nhau qua $12, 5$ , tức $Δ_{Q} = 2 (12, 5 - Q_{1})$ .

\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = \frac{5 + 20}{2} = 12, 5

Q_{1} = 8 + \frac{38 , 75 - 20}{35} \cdot 3 \approx 9, 607

Δ_{Q}^{A} = 2 (12, 5 - Q_{1}) \approx 5, 79

Q_{1} = 8 + \frac{27 , 5 - 17}{23} \cdot 3 \approx 9, 370

Δ_{Q}^{B} = 2 (12, 5 - Q_{1}) \approx 6, 26

Vậy trung bình hai nhà máy bằng nhau ( $12, 5$ triệu đồng), còn $Δ_{Q}^{B} > Δ_{Q}^{A}$ nên nhà máy B biến động nhiều hơn.

Nhận xét. Kiểm tra: $Q_{3}^{A} \approx 15, 39 = 25 - 9, 61$ đúng bằng điểm đối xứng của $Q_{1}^{A}$ qua $12, 5$ . Cách này chỉ cần tính một tứ phân vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất khi đi thi: nhận ra tần số đối xứng thì trung bình là

12, 5

ngay và chỉ cần tính

Q_{1}

; Cách 1 là bài trình bày đầy đủ.

Đáp số.

\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 12, 5

(triệu đồng);

Δ_{Q}^{A} = \frac{81}{14} \approx 5, 79

Δ_{Q}^{B} = \frac{144}{23} \approx 6, 26

; thu nhập ở nhà máy B biến động nhiều hơn.

Sai lầm thường gặp. Thấy nhà máy A đông người hơn (

155

so với

110

) rồi kết luận A biến động nhiều hơn — số người không đo độ phân tán. Hoặc dùng

\frac{n}{4}

làm tròn thành

39

28

khiến

Q_{1}

lệch.

🚀 Mở rộng. Tính thêm khoảng biến thiên:

R_{A} = R_{B} = 15

— không phân biệt được hai nhà máy, cho thấy vì sao đề yêu cầu dùng khoảng tứ phân vị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.3★★★Trang 79— Chọn số đặc trưng phù hợp khi có giá trị bất thường

Bài 3.3 (trang 79). Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh lớp 12A và 12B.

Chiều cao (cm)	$[145; 150)$	$[150; 155)$	$[155; 160)$	$[160; 165)$	$[165; 170)$	$[170; 175)$
Số học sinh của lớp 12A	$1$	$0$	$15$	$12$	$10$	$5$
Số học sinh của lớp 12B	$0$	$0$	$17$	$10$	$9$	$6$

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A, 12B.
b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc nửa giữa của mẫu số liệu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường; khoảng biến thiên thì bị ảnh hưởng.

🧠 Phân tích tư duy

Lớp 12A có đúng

1

bạn ở nhóm

[145; 150)

, tách rời khỏi phần còn lại bởi nhóm rỗng

[150; 155)

— dấu hiệu của giá trị bất thường. Lớp 12B có hai nhóm đầu rỗng nên số liệu bắt đầu từ

155

. Vì thế

R

của 12A bị "kéo giãn" bởi một bạn;

Δ_{Q}

mới phản ánh đúng độ phân tán của đa số.

1Cách 1. Công thức SGK

Định hướng. Bỏ các nhóm biên có tần số $0$ , tính $R$ ; dò nhóm chứa rồi thay công thức $Q_{1}$ , $Q_{3}$ .

12A (

n = 43

R_{A} = 175 - 145 = 30

\frac{n}{4} = \frac{43}{4} = 10, 75

1 + 0 = 1 < 10, 75 \leq 1 + 0 + 15 = 16 \Rightarrow Q_{1} \in [155; 160)

Q_{1} = 155 + \frac{\frac{43}{4} - ( 1 + 0 )}{15} \cdot (160 - 155) = 155 + \frac{9 , 75}{15} \cdot 5 = 158, 25

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 43}{4} = 32, 25

1 + 0 + 15 + 12 = 28 < 32, 25 \leq 1 + 0 + 15 + 12 + 10 = 38 \Rightarrow Q_{3} \in [165; 170)

Q_{3} = 165 + \frac{\frac{3 \cdot 43}{4} - ( 1 + 0 + 15 + 12 )}{10} \cdot (170 - 165) = 165 + \frac{4 , 25}{10} \cdot 5 = 167, 125

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 167, 125 - 158, 25 = 8, 875

12B (

n = 42

R_{B} = 175 - 155 = 20

\frac{n}{4} = \frac{42}{4} = 10, 5

0 < 10, 5 \leq 17 \Rightarrow Q_{1} \in [155; 160)

Q_{1} = 155 + \frac{\frac{42}{4} - 0}{17} \cdot (160 - 155) = 155 + \frac{10 , 5}{17} \cdot 5 = \frac{5375}{34} \approx 158, 09

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 42}{4} = 31, 5

17 + 10 = 27 < 31, 5 \leq 17 + 10 + 9 = 36 \Rightarrow Q_{3} \in [165; 170)

Q_{3} = 165 + \frac{\frac{3 \cdot 42}{4} - ( 17 + 10 )}{9} \cdot (170 - 165) = 165 + \frac{4 , 5}{9} \cdot 5 = 167, 5

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 167, 5 - \frac{5375}{34} = \frac{160}{17} \approx 9, 41

Vậy a) 12A: $R = 30$ , $Δ_{Q} = 8, 875$ ; 12B: $R = 20$ , $Δ_{Q} \approx 9, 41$ . b) Nên dùng khoảng tứ phân vị: lớp 12A có một giá trị bất thường ở nhóm $[145; 150)$ làm $R_{A}$ lớn giả tạo; theo $Δ_{Q}$ thì chiều cao lớp 12B phân tán hơn một chút.

2Cách 2. Nội suy trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Đọc $Q_{1}$ , $Q_{3}$ của mỗi lớp bằng tỉ lệ đoạn thẳng trên đường tần số tích luỹ.

12A:

R_{A} = 30

Tần số tích luỹ:

1; 1; 16; 28; 38; 43

\frac{Q _{1} - 155}{160 - 155} = \frac{10 , 75 - 1}{16 - 1} \Rightarrow Q_{1} = 155 + 5 \cdot \frac{9 , 75}{15} = 158, 25

\frac{Q _{3} - 165}{170 - 165} = \frac{32 , 25 - 28}{38 - 28} \Rightarrow Q_{3} = 165 + 5 \cdot \frac{4 , 25}{10} = 167, 125

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 167, 125 - 158, 25 = 8, 875

12B:

R_{B} = 20

Tần số tích luỹ:

17; 27; 36; 42

\frac{Q _{1} - 155}{160 - 155} = \frac{10 , 5 - 0}{17 - 0} \Rightarrow Q_{1} = 155 + 5 \cdot \frac{10 , 5}{17} = \frac{5375}{34} \approx 158, 09

\frac{Q _{3} - 165}{170 - 165} = \frac{31 , 5 - 27}{36 - 27} \Rightarrow Q_{3} = 165 + 5 \cdot \frac{4 , 5}{9} = 167, 5

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 167, 5 - \frac{5375}{34} = \frac{160}{17} \approx 9, 41

Vậy $R_{A} > R_{B}$ nhưng $Δ_{Q}^{A} \approx 8, 88 < 9, 41 \approx Δ_{Q}^{B}$ — hai số đặc trưng cho kết luận ngược nhau; dùng $Δ_{Q}$ vì không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

3Cách 3. Thử bỏ giá trị bất thường

Định hướng. Nếu $R$ đáng tin thì bỏ một bạn ở nhóm $[145; 150)$ của 12A đi, $R_{A}$ không được đổi nhiều. Tính lại để kiểm chứng.

12A bỏ

1

bạn: nhóm đầu thành

[155; 160)

R_{A}^{'} = 175 - 155 = 20

(giảm

10

)
12A bỏ

1

bạn (

n = 42

Q_{1} = 155 + \frac{10 , 5}{15} \cdot 5 = 158, 5

Q_{3} = 165 + \frac{31 , 5 - 27}{10} \cdot 5 = 167, 25

Δ_{Q}^{'} = 8, 75

Δ_{Q}^{A} = 8, 875

so với

Δ_{Q}^{'} = 8, 75

: chỉ lệch

0, 125

Vậy một giá trị làm $R$ thay đổi $10$ cm còn $Δ_{Q}$ gần như không đổi, nên để so sánh độ phân tán hai lớp phải dùng khoảng tứ phân vị.

Nhận xét. Đây chính là nội dung "Nhận xét" của SGK: khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 để tính ý a); ý b) viết kèm lập luận của Cách 3 (bỏ một bạn thì

R

đổi

10

cm,

Δ_{Q}

gần như không đổi) sẽ rất thuyết phục.

Đáp số. a) 12A:

R = 30

cm,

Δ_{Q} = \frac{71}{8} = 8, 875

cm; 12B:

R = 20

cm,

Δ_{Q} = \frac{160}{17} \approx 9, 41

cm. b) Nên dùng khoảng tứ phân vị vì lớp 12A có giá trị bất thường ở nhóm

[145; 150)

Sai lầm thường gặp. Tính

R_{B} = 175 - 145 = 30

(không bỏ hai nhóm đầu rỗng của 12B). Hoặc kết luận "12A phân tán hơn vì

R_{A} > R_{B}

" — sai lầm do để một giá trị bất thường chi phối.

🚀 Mở rộng. Dùng quy tắc giá trị bất thường của lớp 10 (

x < Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}

): với 12A,

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q} = 158, 25 - 13, 3125 \approx 144, 94

— thử kiểm tra xem bạn ở nhóm

[145; 150)

có thể là giá trị bất thường không.

Mở bài này trong app ↗