Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài tập cuối chương I

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang33–37 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.51★★Trang 33— Xét tính đúng sai của mệnh đề về dấu

y^{'}

và tính đơn điệu

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên

(a; b)

. Xét các mệnh đề sau: (I) Nếu

f^{'} (x) \geq 0

với mọi

x \in (a; b)

và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên

(a; b)

thì hàm số đồng biến trên

(a; b)

. (II) Nếu

f^{'} (x) \leq 0

với mọi

x \in (a; b)

và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên

(a; b)

thì hàm số nghịch biến trên

(a; b)

. (III) Nếu

f^{'} (x) \leq 0

với mọi

x \in (a; b)

thì hàm số nghịch biến trên khoảng

(a; b)

. (IV) Nếu

f^{'} (x) \geq 0

với mọi

x \in (a; b)

thì hàm số đồng biến trên khoảng

(a; b)

. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? A. I, II, III và IV đúng. B. I, II và III đúng, còn IV sai. C. I, II và IV đúng, còn III sai. D. I và II đúng, còn III và IV sai.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì $f$ đồng biến trên $(a; b)$ ; nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x$ thì $f$ nghịch biến.
Mở rộng: $f^{'} (x) \geq 0$ trên $(a; b)$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại HỮU HẠN điểm thì $f$ vẫn đồng biến trên $(a; b)$ .
Hàm số đồng biến trên $K$ nghĩa là với mọi $x_{1}, x_{2} \in K$ , $x_{1} < x_{2}$ thì $f (x_{1}) < f (x_{2})$ (tăng nghiêm ngặt).
Hàm hằng có $f^{'} (x) = 0$ nên vừa thoả $f^{'} \geq 0$ vừa thoả $f^{'} \leq 0$ mà không đồng biến cũng không nghịch biến.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn mệnh đề chỉ khác nhau ở một chi tiết duy nhất: có hay không cụm "dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm", đó chính là dấu hiệu cho biết đề đang kiểm tra ta có nhớ đủ giả thiết của định lí hay không. Hai mệnh đề (III) và (IV) là phát biểu MẠNH hơn (I) và (II) vì bỏ bớt giả thiết, nên nếu (I) và (II) đã là dạng chuẩn thì (III) và (IV) rất đáng nghi. Bẫy nằm ở chỗ nhiều học sinh coi "đồng biến" gồm cả trường hợp hàm không đổi, trong khi sách quy định đồng biến là tăng nghiêm ngặt.

1Cách 1. Đối chiếu từng mệnh đề với đúng phát biểu của định lí

Định hướng. Viết lại định lí dạng chuẩn rồi soi từng mệnh đề xem thiếu hay đủ giả thiết.

(I):

f^{'} (x) \geq 0

trên

(a; b)

f^{'} (x) = 0

tại hữu hạn điểm

\Rightarrow

f

đồng biến — ĐÚNG (đúng dạng mở rộng của định lí)

(II):

f^{'} (x) \leq 0

trên

(a; b)

f^{'} (x) = 0

tại hữu hạn điểm

\Rightarrow

f

nghịch biến — ĐÚNG

(III): bỏ giả thiết “hữu hạn điểm” nên cho phép

f^{'} (x) \equiv 0

trên cả

(a; b)

f^{'} (x) \equiv 0

trên

(a; b)

\Rightarrow

f

là hàm hằng, không nghịch biến — (III) SAI

(IV): tương tự,

f^{'} (x) \equiv 0

vẫn thoả

f^{'} (x) \geq 0

mà

f

là hàm hằng — (IV) SAI

Vậy chỉ (I) và (II) đúng, còn (III) và (IV) sai, ta chọn phương án D.

2Cách 2. Bắn hạ (III) và (IV) bằng một phản ví dụ hàm hằng

Định hướng. Chỉ cần MỘT hàm cụ thể thoả giả thiết mà kết luận sai là mệnh đề đó bị loại ngay.

Lấy

f (x) = 7

trên khoảng

(0; 1)

, khi đó

f^{'} (x) = 0

với mọi

x \in (0; 1)

f^{'} (x) = 0 \leq 0

nên

f

thoả giả thiết của (III);

f^{'} (x) = 0 \geq 0

nên

f

cũng thoả giả thiết của (IV)

f (0, 2) = f (0, 8) = 7

nên

0, 2 < 0, 8

mà

f (0, 2) = f (0, 8)

f

không nghịch biến và cũng không đồng biến trên

(0; 1)

\Rightarrow

(III) sai và (IV) sai; còn (I), (II) là định lí nên đúng

Vậy hàm hằng là phản ví dụ chung cho cả (III) và (IV), đáp án là D.

Nhận xét. Hàm hằng là “vũ khí” quen thuộc để phá mọi mệnh đề dùng dấu $\geq$ hoặc $\leq$ mà quên chặn số điểm bằng nhau.

3Cách 3. Loại trừ theo cấu trúc lôgic của bốn phương án

Định hướng. Hai mệnh đề (III), (IV) hoàn toàn đối xứng nhau nên chúng phải cùng đúng hoặc cùng sai, chỉ điều đó đã cắt bớt ba phương án.

(III) và (IV) chỉ khác nhau ở việc thay

f

bởi

- f

: nếu

g = - f

thì

g^{'} = - f^{'}

f^{'} (x) \geq 0 \Leftrightarrow g^{'} (x) \leq 0

và

f

đồng biến

\Leftrightarrow

g

nghịch biến

\Rightarrow

(III) và (IV) cùng đúng hoặc cùng sai

Phương án B cho (III) đúng còn (IV) sai, phương án C cho (IV) đúng còn (III) sai

\Rightarrow

loại cả B và C

Còn A (cả bốn đúng) và D (chỉ (I), (II) đúng); hàm hằng

f (x) = 7

có

f^{'} \geq 0

mà không đồng biến

\Rightarrow

loại A

Vậy chỉ còn phương án D, tức (I) và (II) đúng, (III) và (IV) sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhớ một hàm hằng là hạ ngay hai mệnh đề (III), (IV) trong nửa dòng, không phải đọc lại định lí và không sợ nhớ nhầm chiều bất đẳng thức.

Đáp số. Chọn D. Mệnh đề (I) và (II) đúng; mệnh đề (III) và (IV) sai vì hàm hằng thoả giả thiết mà không đơn điệu nghiêm ngặt.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là chọn A vì nghĩ "

f^{'} \geq 0

thì hàm không giảm, tức là đồng biến". Phản ví dụ cụ thể:

f (x) = 7

trên

(0; 1)

có

f^{'} (x) = 0 \geq 0

nhưng

f (0, 2) = f (0, 8) = 7

, tức

f

không tăng nghiêm ngặt nên không đồng biến. Lỗi thứ hai là chọn B hoặc C, tức cho (III) và (IV) khác nhau về tính đúng sai, trong khi hai mệnh đề đó đối xứng qua phép thay

f

bởi

- f

nên không thể một đúng một sai.

🚀 Mở rộng. Nếu thay “một số hữu hạn điểm” bằng “một tập hợp không chứa khoảng nào” thì (I) vẫn còn đúng, chẳng hạn

f^{'} (x) = 0

tại mọi số nguyên vẫn cho

f

đồng biến, nhưng nếu

f^{'}

triệt tiêu trên cả một khoảng nhỏ thì kết luận sụp đổ ngay.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.52★★Trang 33— Tìm hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó? A.

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x

. B.

y = 2 x + \frac{1}{x + 2}

. C.

y = \frac{2024}{e ^{x}}

. D.

y = 2024 ln x

Kiến thức cần nhớ

$(e^{u})^{'} = u^{'} \cdot e^{u}$ và $e^{t} > 0$ với mọi $t$ .
Hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến trên $R$ khi $0 < a < 1$ ; ở đây $\frac{1}{e ^{x}} = (\frac{1}{e})^{x}$ .
$y = ln x$ có tập xác định $(0; + \infty)$ và đồng biến trên đó vì $y^{'} = \frac{1}{x} > 0$ .
Hàm bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ đơn điệu trên $R$ khi và chỉ khi $y^{'}$ không đổi dấu, tức $b^{2} - 3 a c \leq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Yêu cầu là nghịch biến trên TOÀN BỘ tập xác định, nên chỉ cần tìm được một chỗ

y^{'}

dương là phương án đó bị loại ngay, không cần khảo sát trọn vẹn. Hai phương án A và B đều là hàm có

y^{'}

là tam thức hoặc hiệu hai đại lượng nên rất dễ đổi dấu, đó là dấu hiệu nên thử chúng trước. Phương án C viết lại thành

2024 e^{- x}

, một hàm mũ cơ số nhỏ hơn 1, là dạng nghịch biến trên cả

R

mà không cần tính toán gì.

1Cách 1. Tính đạo hàm rồi xét dấu lần lượt bốn phương án

Định hướng. Làm đúng thứ tự sách: đạo hàm từng hàm, hàm nào có đạo hàm âm trên cả tập xác định thì nhận.

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x + 9 = - 3 (x - 3) (x + 1)

y^{'} (0) = 9 > 0

nên có chỗ đồng biến

B: tập xác định

R ∖ {- 2}

y^{'} = 2 - \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}

y^{'} (0) = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} > 0

y = 2024 e^{- x}

y^{'} = - 2024 e^{- x} < 0

với mọi

x \in R

D: tập xác định

(0; + \infty)

y^{'} = \frac{2024}{x} > 0

với mọi

x > 0

Vậy chỉ hàm ở phương án C có đạo hàm âm trên cả tập xác định, ta chọn C.

2Cách 2. Nhận dạng ngay bằng dáng điệu của bốn hàm quen

Định hướng. Bốn phương án thuộc bốn họ hàm cơ bản, chỉ cần nhớ dáng điệu là đọc ra đáp án mà không cần đạo hàm.

A là hàm bậc ba có

b^{2} - 3 a c = 9 - 3 \cdot (- 1) \cdot 9 = 36 > 0

nên

y^{'}

đổi dấu hai lần, hàm có hai cực trị

B có dạng

y = 2 x + \frac{1}{x + 2}

, khi

x \to + \infty

thì

y \to + \infty

còn

y (- 1) = - 2 + 1 = - 1 < y (0) = \frac{1}{2}

y = 2024 (\frac{1}{e})^{x}

là hàm mũ cơ số

\frac{1}{e} < 1

y = 2024 ln x

là hàm lôgarit cơ số

e > 1

nên đồng biến trên

(0; + \infty)

Vậy hàm mũ cơ số nhỏ hơn 1 ở phương án C là hàm duy nhất nghịch biến trên cả tập xác định.

3Cách 3. Thử hai giá trị cụ thể để loại ba phương án

Định hướng. Nghịch biến trên tập xác định buộc mọi cặp $x_{1} < x_{2}$ phải cho $y (x_{1}) > y (x_{2})$ , nên một cặp số phản chứng là đủ để loại.

y (0) = 0

và

y (1) = - 1 + 3 + 9 = 11

, có

0 < 1

mà

y (0) < y (1)

\Rightarrow

loại A

y (- 1) = - 2 + \frac{1}{1} = - 1

và

y (0) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

, có

- 1 < 0

mà

y (- 1) < y (0)

\Rightarrow

loại B

y (1) = 0

và

y (e) = 2024

, có

1 < e

mà

y (1) < y (e)

\Rightarrow

loại D

C: với

x_{1} < x_{2}

thì

e^{x_{1}} < e^{x_{2}}

, hai số đều dương nên

\frac{2024}{e ^{x_{1}}} > \frac{2024}{e ^{x_{2}}}

Vậy ba phương án A, B, D bị loại bằng phản ví dụ, còn C được chứng minh nghịch biến theo định nghĩa.

Nhận xét. Với câu trắc nghiệm dạng “hàm nào nghịch biến”, thay số vào loại trừ thường nhanh hơn đạo hàm, miễn là chọn đúng cặp số nằm trong tập xác định.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra

\frac{2024}{e ^{x}}

là hàm mũ cơ số

\frac{1}{e}

thì đáp án hiện ra sau ba giây, trong khi Cách 1 phải đạo hàm cả bốn phương án.

Đáp số. Chọn C. Hàm

y = \frac{2024}{e ^{x}} = 2024 e^{- x}

có

y^{'} = - 2024 e^{- x} < 0

với mọi

x

, nên nghịch biến trên

R

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là chọn B vì thấy có

\frac{1}{x + 2}

giảm rồi kết luận cả hàm giảm, quên mất số hạng

2 x

tăng rất nhanh. Phản ví dụ cụ thể:

y (- 1) = - 1

còn

y (0) = \frac{1}{2}

, tức

- 1 < 0

mà giá trị hàm lại tăng. Lỗi thứ hai là chọn D vì nhớ nhầm rằng

ln x

giảm, trong khi

y^{'} = \frac{2024}{x} > 0

trên

(0; + \infty)

🚀 Mở rộng. Đổi phương án B thành

y = \frac{x}{2} + \frac{1}{x + 2}

rồi hỏi hàm có nghịch biến trên khoảng nào không, lúc đó

y^{'} = \frac{1}{2} - \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}

đổi dấu tại

x = - 2 \pm 2

nên câu trả lời thay đổi hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.53★★Trang 33— Đếm giá trị nguyên của tham số để hàm

\frac{a x + b}{c x + d}

đồng biến

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để hàm số

y = \frac{x + m}{x + 2023}

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 2021. B. 2024. C. 2023. D. 2022.

Kiến thức cần nhớ

Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , $c \neq = 0$ : $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ , nên $y^{'}$ cùng dấu với $a d - b c$ trên mọi khoảng xác định.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $a d - b c > 0$ ; nếu $a d - b c = 0$ thì hàm là hằng số.
Số các số nguyên dương nhỏ hơn $n$ (với $n$ nguyên dương) là $n - 1$ .
Phải nói đồng biến trên TỪNG khoảng xác định, không gộp hai khoảng rời nhau thành một tập.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.54★★Trang 34— Đếm số điểm cực trị khi biết

f^{'} (x)

đã phân tích thành nhân tử

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = x (x - 1)^{2} (x + 2)^{4}

với mọi

x \in R

. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Kiến thức cần nhớ

$x_{0}$ là điểm cực trị của $f$ khi và chỉ khi $f^{'}$ ĐỔI DẤU khi $x$ đi qua $x_{0}$ ; chỉ $f^{'} (x_{0}) = 0$ là chưa đủ.
Qua một nghiệm bội LẺ thì $f^{'}$ đổi dấu; qua một nghiệm bội CHẴN thì $f^{'}$ giữ nguyên dấu.
$(x - 1)^{2} \geq 0$ và $(x + 2)^{4} \geq 0$ với mọi $x$ , dấu bằng chỉ tại $x = 1$ và $x = - 2$ .
Nếu $f^{'} (x) = u (x) \cdot g (x)$ với $g (x) \geq 0$ và $g$ chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm thì $f^{'}$ cùng dấu với $u$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.55★★★Trang 34— Tìm tham số để hàm phân thức đạt cực đại tại một điểm cho trước

Cho hàm số

y = \frac{x ^{2} + m x + 1}{x + m}

. Hàm số đạt cực đại tại

x = 2

khi A.

m = - 1

. B.

m = - 3

. C.

m \in {- 3; - 1}

. D.

m \in \emptyset

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện cần để $f$ đạt cực trị tại $x_{0}$ (khi $f$ có đạo hàm tại đó) là $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; phải thử lại dấu để biết cực đại hay cực tiểu.
$f$ đạt cực đại tại $x_{0}$ khi $f^{'}$ đổi dấu từ DƯƠNG sang ÂM khi $x$ vượt qua $x_{0}$ .
Phép chia đa thức cho $y = \frac{x ^{2} + m x + 1}{x + m} = x + \frac{1}{x + m}$ , hợp lệ khi $x \neq = - m$ .
Hàm $t \mapsto t + \frac{1}{t}$ đạt cực đại $- 2$ tại $t = - 1$ và cực tiểu $2$ tại $t = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.56★★★Trang 34— Đếm mệnh đề đúng về cực trị, tiệm cận và giá trị lớn nhất của hàm

e^{- x^{2} /2}

Cho hàm số

y = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}

có đồ thị

(C)

. Xét các mệnh đề sau: (I) Điểm cực đại của đồ thị

(C)

là

(0; 1)

. (II) Trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị

(C)

. (III) Giá trị lớn nhất của hàm số là 1. (IV) Điểm cực đại của đồ thị

(C)

là

x = 0

. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Kiến thức cần nhớ

$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , và $e^{t} > 0$ với mọi $t$ .
Điểm cực đại của HÀM SỐ là giá trị $x_{0}$ của biến; điểm cực đại của ĐỒ THỊ là điểm $M (x_{0}; f (x_{0}))$ có hai toạ độ.
Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang của đồ thị nếu $x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ hoặc $x \to - \infty lim f (x) = y_{0}$ .
Hàm $t \mapsto e^{t}$ đồng biến trên $R$ , nên $e^{u_{1}} \leq e^{u_{2}} \Leftrightarrow u_{1} \leq u_{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.57★★Trang 34— Đếm mệnh đề đúng về hàm

y = \frac{1}{x}

Cho hàm số

y = \frac{1}{x}

có đồ thị

(C)

. Xét các mệnh đề sau: (I) Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó. (II) Trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (III) Trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (IV) Hàm số không có cực trị. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Kiến thức cần nhớ

Tập xác định của $y = \frac{1}{x}$ là $(0; + \infty)$ vì cần $x > 0$ .
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ ; ở đây $y = x^{- \frac{1}{2}}$ nên $y^{'} = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} = - \frac{1}{2 x x}$ .
$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng nếu một trong các giới hạn một phía của $f$ tại $x_{0}$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .
Hàm đơn điệu nghiêm ngặt trên một khoảng thì không có cực trị trên khoảng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.58★★★Trang 34— Xác định tiệm cận khi tử và mẫu có nghiệm chung

Cho hàm số

y = \frac{2 x ^{2} - 4 x + 2}{x ^{2} - 6 x + 5}

. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng

x = 1

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. D. Đường thẳng

x = 5

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Kiến thức cần nhớ

$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $y = f (x)$ khi và chỉ khi ít nhất một giới hạn một phía của $f$ tại $x_{0}$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .
Nếu tử và mẫu có nghiệm chung $x_{0}$ thì phải rút gọn trước; khi đó $x_{0}$ có thể chỉ là điểm mà hàm không xác định chứ không phải tiệm cận đứng.
Với hai đa thức CÙNG BẬC, tiệm cận ngang là $y$ bằng tỉ số hai hệ số của hạng tử bậc cao nhất.
$2 x^{2} - 4 x + 2 = 2 (x - 1)^{2}$ và $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.59★★Trang 34— Giá trị lớn nhất của hàm có chứa

ln x

trên một đoạn

Giá trị lớn nhất của hàm số

y = x^{2} - 8 ln x

trên đoạn

[1; e]

là A. 1. B. 10. C.

4 - 8 ln 2

. D.

e^{2} - 8

Kiến thức cần nhớ

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ với $x > 0$ ; hàm $y = x^{2} - 8 ln x$ có tập xác định $(0; + \infty)$ .
Hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; chúng nằm trong tập các giá trị tại $a$ , tại $b$ và tại các điểm dừng thuộc $(a; b)$ .
$e \approx 2, 718$ nên $1 < 2 < e$ , tức $x = 2$ thuộc khoảng $(1; e)$ .
$ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $ln 2 \approx 0, 693$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.60★★★Trang 35— Đọc bảng biến thiên để phát hiện khẳng định sai

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

R

và có bảng biến thiên như hình dưới: khi

x \to - \infty

thì

y \to - 2

; hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1)

và đạt cực đại

y = 5

tại

x = - 1

; hàm số nghịch biến trên

(- 1; 1)

và đạt cực tiểu

y = 0

tại

x = 1

; hàm số đồng biến trên

(1; + \infty)

và khi

x \to + \infty

thì

y \to 1

. Khẳng định nào dưới đây là SAI? A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

- 2

. B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

5

. C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

(1; 0)

Kiến thức cần nhớ

Số $m$ là giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $D$ nếu $f (x) \geq m$ với mọi $x \in D$ VÀ tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0}) = m$ .
Giá trị ghi ở đầu mũi tên ứng với $x \to \pm \infty$ trong bảng biến thiên là giới hạn, hàm số không nhận giá trị đó.
Nếu $x \to - \infty lim f (x) = y_{1}$ và $x \to + \infty lim f (x) = y_{2}$ với $y_{1} \neq = y_{2}$ thì đồ thị có hai tiệm cận ngang $y = y_{1}$ và $y = y_{2}$ .
Điểm cực tiểu của đồ thị là điểm có hai toạ độ $(x_{0}; f (x_{0}))$ với $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.61★★★★Trang 35— Suy dấu các hệ số

a

b

c

d

từ đồ thị hàm

\frac{a x + b}{c x + d}

Cho hàm số

y = \frac{a x + b}{c x + d}

có đồ thị như hình bên: đồ thị gồm hai nhánh hypebol, có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung (hoành độ dương), tiệm cận ngang nằm phía trên trục hoành (tung độ dương), hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, đồ thị cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ dương và cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A.

b c < a d < 0

. B.

a d < 0 < b c

. C.

0 < a d < b c

. D.

a d < b c < 0

Kiến thức cần nhớ

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ (với $c \neq = 0$ , $a d - b c \neq = 0$ ).
$y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ , nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $a d - b c < 0$ .
Đồ thị cắt trục tung tại $(0; \frac{b}{d})$ và cắt trục hoành tại $(- \frac{b}{a}; 0)$ .
Nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác $0$ không làm thay đổi hàm số, nên có thể chuẩn hoá $c > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.62★★★Trang 35— Trung điểm đoạn nối hai giao điểm của đường thẳng và hypebol

Biết đường thẳng

y = 2 x - 3

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 3}{x + 3}

tại hai điểm

A

và

B

. Toạ độ trung điểm

I

của đoạn

A B

là A.

I (- \frac{1}{4}; - \frac{11}{4})

. B.

I (- \frac{1}{4}; - \frac{13}{4})

. C.

I (- \frac{1}{8}; - \frac{13}{4})

. D.

I (- \frac{1}{4}; - \frac{7}{2})

Kiến thức cần nhớ

Hoành độ giao điểm của $y = f (x)$ và $y = g (x)$ là nghiệm của phương trình $f (x) = g (x)$ .
Định lí Viète: nếu $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ thì $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ .
Trung điểm $I$ của $A B$ có $x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ và $y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ .
Nếu $A$ , $B$ cùng nằm trên đường thẳng $y = k x + m$ thì trung điểm $I$ của $A B$ cũng nằm trên đường thẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.63★★★★Trang 36— Khảo sát hàm bậc ba chứa tham số: cực trị, đồng biến trên

R

và trên một khoảng

Cho hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (2 m - 3) x + \frac{2}{3}

. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi

m = 2

. b) Tìm

m

để hàm số có hai điểm cực trị

x_{1}

x_{2}

thoả mãn

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5

. c) Tìm

m

để hàm số đồng biến trên

R

. d) Tìm

m

để hàm số đồng biến trên khoảng

(1; + \infty)

Kiến thức cần nhớ

$y = \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (2 m - 3) x + \frac{2}{3} \Rightarrow y^{'} = x^{2} + 2 (m - 1) x + 2 m - 3$ .
Hàm bậc ba có hệ số $a > 0$ đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $y^{'} \geq 0$ với mọi $x$ , tức $Δ^{'} \leq 0$ .
Hàm bậc ba có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Nếu $y^{'} = (x - α) (x - β)$ với $α \leq β$ thì $y^{'} \geq 0$ trên $(t; + \infty)$ khi và chỉ khi $β \leq t$ .
Định lí Viète: $x_{1} + x_{2} = - 2 (m - 1)$ và $x_{1} x_{2} = 2 m - 3$ ; khi đó $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.64★★★★Trang 36— Khảo sát hàm bậc ba, tiếp tuyến tại tâm đối xứng và biện luận số nghiệm

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

có đồ thị

(C)

. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(C)

của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến

(Δ)

của

(C)

tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng

(Δ)

là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của

(C)

. c) Tìm các giá trị của tham số

m

để phương trình

x^{3} - 3 x^{2} - m = 0

có ba nghiệm phân biệt.

Kiến thức cần nhớ

Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, có hoành độ là nghiệm của $y^{''} = 0$ .
Tiếp tuyến của $y = f (x)$ tại điểm $M (x_{0}; f (x_{0}))$ có phương trình $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_{0}$ bằng $f^{'} (x_{0})$ ; muốn hệ số góc nhỏ nhất thì tìm giá trị nhỏ nhất của $f^{'}$ .
Số nghiệm của $f (x) = k$ bằng số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ với đường thẳng $y = k$ .
Hàm bậc ba có hai cực trị thì phương trình $f (x) = k$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $f (x_{C T}) < k < f (x_{C D})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.65★★★Trang 36— Tìm tham số theo tiệm cận ngang, khảo sát hàm phân thức và vẽ đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cho hàm số

y = f (x) = \frac{( m + 1 ) x - 2 m + 1}{x - 1}

. a) Tìm

m

để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm

(1; 2)

. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(H)

của hàm số

y = f (x)

với giá trị

m

tìm được ở ý a). c) Từ đồ thị

(H)

ở ý b), hãy vẽ đồ thị của hàm số

y = ∣ f (x) ∣

Kiến thức cần nhớ

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ ( $c \neq = 0$ , $a d - b c \neq = 0$ ) có tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ , là một đường thẳng nằm ngang.
Điều kiện để hàm không suy biến (đồ thị không phải đường thẳng khuyết điểm) là $a d - b c \neq = 0$ .
Đồ thị $y = ∣ f (x) ∣$ nhận được từ đồ thị $y = f (x)$ bằng cách giữ nguyên phần có $f (x) \geq 0$ và lấy đối xứng qua trục hoành phần có $f (x) < 0$ .
Đồ thị $y = ∣ f (x) ∣$ luôn nằm trên hoặc trên trục hoành, và tiếp xúc trục hoành tại các nghiệm của $f (x) = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.66★★★★Trang 36— Hàm phân thức có tiệm cận xiên: chứng minh luôn có cực trị, khảo sát và tính chất tiếp tuyến

Cho hàm số

y = \frac{m x ^{2} + ( 2 m - 1 ) x - 1}{x + 2}

với

m

là tham số. a) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi

m > 0

. b) Khảo sát và vẽ đồ thị

(H)

của hàm số khi

m = 1

. c) Giả sử

Δ

là tiếp tuyến của đồ thị

(H)

tại điểm

M \in (H)

bất kì. Chứng minh rằng nếu

Δ

cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên lần lượt tại

A

và

B

thì

M

là trung điểm của

A B

Kiến thức cần nhớ

Phép chia cho $\frac{m x ^{2} + ( 2 m - 1 ) x - 1}{x + 2} = m x - 1 + \frac{1}{x + 2}$ với $x \neq = - 2$ .
Nếu $y = a x + b + \frac{k}{x - x _{0}}$ với $k \neq = 0$ thì đồ thị có tiệm cận đứng $x = x_{0}$ và tiệm cận xiên $y = a x + b$ .
Giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là tâm đối xứng của đồ thị.
Tiếp tuyến tại $M (x_{0}; y_{0})$ có phương trình $y = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + y_{0}$ .
$M$ là trung điểm $A B$ khi và chỉ khi $x_{A} + x_{B} = 2 x_{M}$ và $y_{A} + y_{B} = 2 y_{M}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.67★★★★Trang 36— Bài toán tối ưu thực tiễn: thể tích phễu hình nón lớn nhất

Cắt bỏ hình quạt tròn

O A B

từ một mảnh các tông hình tròn bán kính

R

rồi dán hai bán kính

O A

và

O B

của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi

x

là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu

(0 < x < 2 π)

. a) Hãy biểu diễn bán kính đáy

r

và đường cao

h

của hình nón theo

R

và

x

. b) Tính thể tích của hình nón theo

R

và

x

. c) Tìm

x

để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Kiến thức cần nhớ

Độ dài cung của hình quạt có bán kính $R$ và góc ở tâm $x$ (radian) bằng $ℓ = R x$ .
Khi cuộn hình quạt thành hình nón: độ dài cung trở thành chu vi đáy, tức $R x = 2 π r$ ; đường sinh của nón bằng $R$ .
Thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và đường cao $h$ là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .
Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm: $ab c \leq (\frac{a + b + c}{3})^{3}$ , dấu bằng khi $a = b = c$ .
Hàm $t \mapsto t$ đồng biến trên $[0; + \infty)$ , nên $V$ lớn nhất khi và chỉ khi $V^{2}$ lớn nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.68★★★Trang 37— Bài toán tối ưu thực tiễn: thể tích lăng trụ đứng lớn nhất

Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

(xem hình bên). Hai mặt bên

A B B^{'} A^{'}

và

A C C^{'} A^{'}

là hai tấm kính hình chữ nhật dài

20

m, rộng

5

m. Gọi

x

(m) là độ dài của cạnh

B C

. a) Tính thể tích

V

của hình lăng trụ theo

x

. b) Tìm

x

sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V = S_{day} \cdot A A^{'}$ .
Tam giác cân tại $A$ với $A B = A C = a$ , $B C = x$ có đường cao $A M = a^{2} - \frac{x ^{2}}{4}$ ( $M$ là trung điểm $B C$ ).
Diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A$ , nên $S \leq \frac{1}{2} A B \cdot A C$ , dấu bằng khi $A = 9 0^{\circ}$ .
Bất đẳng thức tam giác cho $0 < B C < A B + A C = 10$ .
AM-GM cho hai số không âm: $pq \leq (\frac{p + q}{2})^{2}$ , dấu bằng khi $p = q$ .