Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang55–58 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.33★Trang 55— Trắc nghiệm — đếm vectơ có giá nằm trong một mặt phẳng

Bài 2.33 (trang 55). Cho tứ diện

A B C D

. Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng

(A B C)

?
A.

3

.
B.

4

.
C.

5

.
D.

6

Kiến thức cần nhớ

Giá của vectơ $X Y$ là đường thẳng $X Y$ ; nó nằm trong mặt phẳng $(P)$ khi $X, Y \in (P)$ .
Hai điểm phân biệt $X, Y$ cho hai vectơ khác nhau $X Y$ và $Y X$ .
Số cách chọn cặp có thứ tự gồm $2$ phần tử từ $n$ phần tử là $n (n - 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giá của vectơ nằm trong

(A B C)

khi và chỉ khi cả hai đầu mút thuộc

(A B C)

, mà trong bốn đỉnh chỉ có

A, B, C

thuộc mặt phẳng này. Bài toán trở thành đếm các cặp CÓ THỨ TỰ từ ba điểm. Bẫy: đếm đoạn thẳng (

3

) thay vì đếm vectơ.

1Cách 1. Liệt kê

Định hướng. Chỉ lấy đầu mút trong ${A; B; C}$ vì $D \in / (A B C)$ .

A B

B A

A C

C A

B C

C B

Có

6

vectơ

Vậy chọn D.

2Cách 2. Quy tắc nhân

Định hướng. Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác điểm đầu, cả hai trong ${A; B; C}$ .

Điểm đầu:

3

cách; điểm cuối:

2

cách
Số vectơ:

3 \cdot 2 = 6

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đếm phần bù

Định hướng. Đếm tất cả vectơ từ bốn đỉnh, bỏ đi những vectơ có đầu mút $D$ .

Tất cả:

4 \cdot 3 = 12

vectơ
Có đầu mút

D

3 + 3 = 6

vectơ
Còn lại:

12 - 6 = 6

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cách 3 tiện khi số điểm ngoài mặt phẳng ít hơn số điểm trong mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2:

3 \cdot 2 = 6

, không cần liệt kê.

Đáp số. Đáp án D:

6

vectơ.

Sai lầm thường gặp. Đếm đoạn thẳng

A B, B C, C A

rồi chọn

3

(phương án A). Mỗi đoạn thẳng ứng với HAI vectơ ngược hướng, nên phải nhân đôi.

🚀 Mở rộng. Với hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, số vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh và có giá nằm trong mặt

(A B C D)

là

4 \cdot 3 = 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.34★Trang 55— Trắc nghiệm lí thuyết — vectơ đối

Bài 2.34 (trang 55). Trong không gian, cho vectơ

a \neq = 0

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vectơ

a

có đúng một vectơ đối.
B. Vectơ

a

có hai vectơ đối là

0

và chính nó.
C. Vectơ

a

có hai vectơ đối là

a

và

- a

.
D. Các vectơ đối của

a

đều bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Vectơ đối của $a$ là vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $a$ ; kí hiệu $- a$ .
Hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
$x$ là vectơ đối của $a$ $⟺$ $a + x = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi thuần định nghĩa: vectơ đối của

a

là vectơ cùng độ dài, ngược hướng với

a

. Điểm tinh tế: có RẤT NHIỀU vectơ (đặt ở những điểm gốc khác nhau) thoả điều đó, nhưng chúng đều bằng nhau. Bẫy: phương án A nghe hợp lí vì ta quen viết \"vectơ đối

- a

\".

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Mọi vectơ đối của $a$ có chung độ dài và chung hướng, nên bằng nhau.

x

y

là hai vectơ đối của

a

∣ x ∣ = ∣ y ∣ = ∣ a ∣

x

y

cùng ngược hướng với

a

\Rightarrow

x

y

cùng hướng

\Rightarrow

x = y

Vậy chọn D.

2Cách 2. Theo đẳng thức

a + x = 0

Định hướng. Vectơ đối là nghiệm của một phương trình vectơ; mọi nghiệm đều bằng $- a$ .

a + x = 0 ⟺ x = - a

a + 0 = a \neq = 0

\Rightarrow

0

không là vectơ đối: loại B

a + a = 2 a \neq = 0

\Rightarrow

a

không là vectơ đối của chính nó: loại C
Mọi vectơ đối đều bằng

- a

nên bằng nhau

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phản ví dụ trên hình hộp cho phương án A

Định hướng. Xét hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và $a = A B$ .

B A

C D

B^{'} A^{'}

C^{'} D^{'}

đều cùng độ dài, ngược hướng với

A B

\Rightarrow

a

có nhiều vectơ đối (loại A)

B A = C D = B^{'} A^{'} = C^{'} D^{'}

Vậy khẳng định đúng là D.

Nhận xét. A và D không mâu thuẫn về \"giá trị\": nếu coi các vectơ bằng nhau là một thì $a$ chỉ có một vectơ đối $- a$ ; nhưng xét như những đoạn thẳng có hướng thì có vô số, và D là phát biểu chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng

a + x = 0 ⟺ x = - a

loại được B, C và khẳng định D.

Đáp số. Đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nghĩ \"

a

cũng là vectơ đối của

- a

\" nên

a

là vectơ đối của chính nó. Thử:

a + a = 2 a \neq = 0

khi

a \neq = 0

. Vectơ đối của

a

phải NGƯỢC hướng với

a

🚀 Mở rộng. Vectơ duy nhất bằng vectơ đối của chính nó là

0

, vì

x = - x ⟺ 2 x = 0 ⟺ x = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.35★Trang 56— Trắc nghiệm — cộng vectơ trong hình hộp

Bài 2.35 (trang 56). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

A B + A C = A D

.
B.

A B + A D = A C^{'}

.
C.

A A^{'} + A C = A C^{'}

.
D.

A A^{'} + A B + A D = A C

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $A B C D$ là hình bình hành thì $A B + A D = A C$ .
Quy tắc hình hộp: $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
$A C C^{'} A^{'}$ là hình bình hành vì $A A^{'} = C C^{'}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.36★★Trang 56— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong hình lập phương

Bài 2.36 (trang 56). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài mỗi cạnh bằng

2

. Tích vô hướng

A B \cdot B^{'} D^{'}

bằng
A.

4

.
B.

22

.
C.

- 22

.
D.

- 4

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos (a, b)$ .
$B^{'} D^{'} = B D$ (hai đường chéo của hai mặt đối diện).
Hai vectơ cạnh chung gốc của hình lập phương vuông góc với nhau.
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.37★Trang 56— Trắc nghiệm — toạ độ trọng tâm tam giác

Bài 2.37 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (1; 3; 5)

B (0; 6; - 2)

C (5; 3; 6)

. Toạ độ trọng tâm của tam giác

A B C

là
A.

(2; 3; 4)

.
B.

(2; 4; 3)

.
C.

(3; 4; 2)

.
D.

(3; 2; 4)

Kiến thức cần nhớ

$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ $⟺$ $G A + GB + GC = 0$ .
Nếu $I$ là trung điểm $B C$ thì $A G = \frac{2}{3} A I$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.38★Trang 56— Trắc nghiệm — điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số

Bài 2.38 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

A (3; 0; - 6)

. Gọi

B

là điểm nằm giữa

O

và

A

sao cho

O B = \frac{1}{3} O A

. Toạ độ của điểm

B

là
A.

(1; 0; - 2)

.
B.

(9; 0; - 18)

.
C.

(1; 0; 2)

.
D.

(9; 0; 18)

Kiến thức cần nhớ

$B$ nằm giữa $O$ và $A$ , $O B = k \cdot O A$ $\Rightarrow$ $O B = k O A$ .
Toạ độ điểm $M$ chính là toạ độ vectơ $O M$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.39★Trang 56— Trắc nghiệm — tích vô hướng bằng toạ độ

Bài 2.39 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho

a = (1; 2; 4)

và

b = (2; 1; 5)

. Tích vô hướng

(a + b) \cdot a

bằng
A.

54

.
B.

- 3

.
C.

- 6

.
D.

45

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Tính chất phân phối: $(a + b) \cdot a = a^{2} + a \cdot b$ .
$u \cdot v = \frac{1}{2} (∣ u + v ∣^{2} - ∣ u ∣^{2} - ∣ v ∣^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.40★Trang 56— Trắc nghiệm — vị trí điểm và khoảng cách tới trục toạ độ

Bài 2.40 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

M (2; 1; 0)

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Điểm

M

nằm trên mặt phẳng

(O x y)

.
B. Khoảng cách từ điểm

M

đến trục

O x

bằng

1

.
C. Điểm

M

nằm trên trục

O z

.
D. Khoảng cách từ

M

đến trục

O y

bằng

2

Kiến thức cần nhớ

$M \in (O x y)$ $⟺$ $z_{M} = 0$ ; $M \in O z$ $⟺$ $x_{M} = y_{M} = 0$ .
Khoảng cách từ $M (x; y; z)$ tới trục $O x$ là $y^{2} + z^{2}$ , tới $O y$ là $x^{2} + z^{2}$ , tới $O z$ là $x^{2} + y^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.41★★Trang 57— Trắc nghiệm — tìm tham số từ độ dài đoạn thẳng

Bài 2.41 (trang 57). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (- 1; 9; m)

và

B (2; m; 5)

. Biết rằng

A B = 7

, tập các giá trị của

m

là
A.

{3; - 11}

.
B.

{- 3; 11}

.
C.

{3; 11}

.
D.

{- 3; - 11}

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ , $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Phương trình $a m^{2} + bm + c = 0$ : $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ , $m = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ ; hoặc tách thành tích.
Định lí Vi-ét: $m_{1} + m_{2} = - \frac{b}{a}$ , $m_{1} m_{2} = \frac{c}{a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.42★★Trang 57— Chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc ba điểm

Bài 2.42 (trang 57). Cho hình tứ diện

A B C D

. Chứng minh rằng:

A B = \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} C D + D B

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $X Y + Y Z = X Z$ .
Với điểm gốc $O$ bất kì: $X Y = O Y - O X$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.43★★Trang 57— Độ dài tổng, hiệu hai vectơ khi biết độ dài và góc

Bài 2.43 (trang 57). Trong không gian, cho hai vectơ

a

và

b

tạo với nhau một góc bằng

6 0^{\circ}

. Biết

∣ a ∣ = 2

và

∣ b ∣ = 3

, tính

∣ a + b ∣

và

∣ a - b ∣

Kiến thức cần nhớ

$∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ .
$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .
Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.44★Trang 57— Toạ độ của tổ hợp tuyến tính các vectơ

Bài 2.44 (trang 57). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

a = (- 4; 6; 7)

b = (1; 0; - 3)

và

c = (8; 7; 2)

. Tính toạ độ của các vectơ sau:
a)

m = 2 a - 3 b + c

;
b)

n = a + 3 b + 2 c

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.45★★Trang 57— Gắn toạ độ cho tứ diện vuông; trọng tâm; chứng minh vuông góc

Bài 2.45 (trang 57). Cho hình tứ diện

A B C D

có ba cạnh

A B

A C

A D

đôi một vuông góc và

A B = 3

A C = 4

A D = 6

. Xét hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với đỉnh

A

và các tia

O x

O y

O z

lần lượt trùng với các tia

A B

A C

A D

. Gọi

E

F

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

A B D

và

A C D

.
a) Tìm toạ độ của các đỉnh

B

C

D

.
b) Tìm toạ độ của các điểm

E

F

.
c) Chứng minh rằng

A D

vuông góc với

E F

Kiến thức cần nhớ

Điểm trên tia $O x$ cách $O$ một khoảng $a$ có toạ độ $(a; 0; 0)$ .
Toạ độ trọng tâm tam giác bằng trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.
$A D ⊥ E F$ $⟺$ $A D \cdot E F = 0$ .
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng song song với mặt phẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.46★★★Trang 57— Góc giữa hai vectơ chứa tham số; điều kiện góc nhọn

Bài 2.46 (trang 57). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (3; - 1; m)

và

B (m; 4; m)

.
a) Tính côsin của góc

A O B

theo

m

.
b) Xác định tất cả các giá trị của

m

để

A O B

là góc nhọn.

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$A O B$ nhọn $⟺$ $cos A O B > 0$ (với $0^{\circ} < A O B < 9 0^{\circ}$ ).
Tam thức $a m^{2} + bm + c$ có hai nghiệm $m_{1} < m_{2}$ , $a > 0$ : dương khi $m < m_{1}$ hoặc $m > m_{2}$ .
Định lí côsin: $A O B$ nhọn $⟺$ $A B^{2} < O A^{2} + O B^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.47★Trang 57— Phép tịnh tiến theo vectơ đơn vị trên trục

O z

Bài 2.47 (trang 57). Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục toạ độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh được đặt dọc theo các trục toạ độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là

O (0; 0; 0)

A (2; 0; 0)

B (0; 3; 0)

. Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là

5

đơn vị, xác định toạ độ của các đỉnh

O^{'}

A^{'}

B^{'}

thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.

Kiến thức cần nhớ

Tịnh tiến điểm $M$ theo vectơ $u$ được $M^{'}$ với $M M^{'} = u$ , tức $M^{'} = M + u$ theo từng toạ độ.
$k = (0; 0; 1)$ là vectơ đơn vị của trục $O z$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $(x; y; z)$ lên $(O x y)$ là $(x; y; 0)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 2.48★★Trang 58— Gắn hệ toạ độ vào góc phòng; khoảng cách hai điểm

Bài 2.48 (trang 58). Một chiếc gậy có chiều dài

2, 5

m được đặt trong góc phòng như hình vẽ (gốc

O

là góc phòng trên sàn, trục

O z

là mép giao của hai bức tường). Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là

1

m và

0, 8

m. Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.
a) Hãy lập một hệ toạ độ

O x y z

phù hợp và tìm toạ độ của đầu gậy nằm trên sàn nhà.
b) Tính khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ $M (x; y; z)$ tới các mặt phẳng $(O y z)$ , $(O x z)$ , $(O x y)$ lần lượt là $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ , $∣ z ∣$ .
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ , $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Đường chéo hình hộp chữ nhật kích thước $a, b, c$ dài $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .