Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.33★Trang 55— Trắc nghiệm — đếm vectơ có giá nằm trong một mặt phẳng

Bài 2.33 (trang 55). Cho tứ diện

A B C D

. Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng

(A B C)

?
A.

3

.
B.

4

.
C.

5

.
D.

6

Kiến thức cần nhớ

Giá của vectơ $X Y$ là đường thẳng $X Y$ ; nó nằm trong mặt phẳng $(P)$ khi $X, Y \in (P)$ .
Hai điểm phân biệt $X, Y$ cho hai vectơ khác nhau $X Y$ và $Y X$ .
Số cách chọn cặp có thứ tự gồm $2$ phần tử từ $n$ phần tử là $n (n - 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giá của vectơ nằm trong

(A B C)

khi và chỉ khi cả hai đầu mút thuộc

(A B C)

, mà trong bốn đỉnh chỉ có

A, B, C

thuộc mặt phẳng này. Bài toán trở thành đếm các cặp CÓ THỨ TỰ từ ba điểm. Bẫy: đếm đoạn thẳng (

3

) thay vì đếm vectơ.

1Cách 1. Liệt kê

Định hướng. Chỉ lấy đầu mút trong ${A; B; C}$ vì $D \in / (A B C)$ .

A B

B A

A C

C A

B C

C B

Có

6

vectơ

Vậy chọn D.

2Cách 2. Quy tắc nhân

Định hướng. Chọn điểm đầu rồi chọn điểm cuối khác điểm đầu, cả hai trong ${A; B; C}$ .

Điểm đầu:

3

cách; điểm cuối:

2

cách
Số vectơ:

3 \cdot 2 = 6

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đếm phần bù

Định hướng. Đếm tất cả vectơ từ bốn đỉnh, bỏ đi những vectơ có đầu mút $D$ .

Tất cả:

4 \cdot 3 = 12

vectơ
Có đầu mút

D

3 + 3 = 6

vectơ
Còn lại:

12 - 6 = 6

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cách 3 tiện khi số điểm ngoài mặt phẳng ít hơn số điểm trong mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2:

3 \cdot 2 = 6

, không cần liệt kê.

Đáp số. Đáp án D:

6

vectơ.

Sai lầm thường gặp. Đếm đoạn thẳng

A B, B C, C A

rồi chọn

3

(phương án A). Mỗi đoạn thẳng ứng với HAI vectơ ngược hướng, nên phải nhân đôi.

🚀 Mở rộng. Với hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, số vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh và có giá nằm trong mặt

(A B C D)

là

4 \cdot 3 = 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.34★Trang 55— Trắc nghiệm lí thuyết — vectơ đối

Bài 2.34 (trang 55). Trong không gian, cho vectơ

a \neq = 0

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Vectơ

a

có đúng một vectơ đối.
B. Vectơ

a

có hai vectơ đối là

0

và chính nó.
C. Vectơ

a

có hai vectơ đối là

a

và

- a

.
D. Các vectơ đối của

a

đều bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Vectơ đối của $a$ là vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $a$ ; kí hiệu $- a$ .
Hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
$x$ là vectơ đối của $a$ $⟺$ $a + x = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi thuần định nghĩa: vectơ đối của

a

là vectơ cùng độ dài, ngược hướng với

a

. Điểm tinh tế: có RẤT NHIỀU vectơ (đặt ở những điểm gốc khác nhau) thoả điều đó, nhưng chúng đều bằng nhau. Bẫy: phương án A nghe hợp lí vì ta quen viết \"vectơ đối

- a

\".

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Mọi vectơ đối của $a$ có chung độ dài và chung hướng, nên bằng nhau.

x

y

là hai vectơ đối của

a

∣ x ∣ = ∣ y ∣ = ∣ a ∣

x

y

cùng ngược hướng với

a

\Rightarrow

x

y

cùng hướng

\Rightarrow

x = y

Vậy chọn D.

2Cách 2. Theo đẳng thức

a + x = 0

Định hướng. Vectơ đối là nghiệm của một phương trình vectơ; mọi nghiệm đều bằng $- a$ .

a + x = 0 ⟺ x = - a

a + 0 = a \neq = 0

\Rightarrow

0

không là vectơ đối: loại B

a + a = 2 a \neq = 0

\Rightarrow

a

không là vectơ đối của chính nó: loại C
Mọi vectơ đối đều bằng

- a

nên bằng nhau

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phản ví dụ trên hình hộp cho phương án A

Định hướng. Xét hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và $a = A B$ .

B A

C D

B^{'} A^{'}

C^{'} D^{'}

đều cùng độ dài, ngược hướng với

A B

\Rightarrow

a

có nhiều vectơ đối (loại A)

B A = C D = B^{'} A^{'} = C^{'} D^{'}

Vậy khẳng định đúng là D.

Nhận xét. A và D không mâu thuẫn về \"giá trị\": nếu coi các vectơ bằng nhau là một thì $a$ chỉ có một vectơ đối $- a$ ; nhưng xét như những đoạn thẳng có hướng thì có vô số, và D là phát biểu chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng

a + x = 0 ⟺ x = - a

loại được B, C và khẳng định D.

Đáp số. Đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nghĩ \"

a

cũng là vectơ đối của

- a

\" nên

a

là vectơ đối của chính nó. Thử:

a + a = 2 a \neq = 0

khi

a \neq = 0

. Vectơ đối của

a

phải NGƯỢC hướng với

a

🚀 Mở rộng. Vectơ duy nhất bằng vectơ đối của chính nó là

0

, vì

x = - x ⟺ 2 x = 0 ⟺ x = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.35★Trang 56— Trắc nghiệm — cộng vectơ trong hình hộp

Bài 2.35 (trang 56). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

A B + A C = A D

.
B.

A B + A D = A C^{'}

.
C.

A A^{'} + A C = A C^{'}

.
D.

A A^{'} + A B + A D = A C

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $A B C D$ là hình bình hành thì $A B + A D = A C$ .
Quy tắc hình hộp: $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
$A C C^{'} A^{'}$ là hình bình hành vì $A A^{'} = C C^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương án C là tổng hai cạnh của hình bình hành

A C C^{'} A^{'}

chung gốc

A

— đúng khuôn quy tắc hình bình hành. Các phương án còn lại thiếu hoặc thừa một vectơ cạnh so với quy tắc hình hộp

A B + A D + A A^{'} = A C^{'}

. Bẫy: B nhầm

A C

với

A C^{'}

1Cách 1. Kiểm tra từng phương án

Định hướng. Đối chiếu mỗi tổng với quy tắc hình bình hành và quy tắc hình hộp.

A B + A D = A C

nên

A B + A C \neq = A D

(sai)
B:

A B + A D = A C \neq = A C^{'}

(sai)
C:

A A^{'} + A C = A C + C C^{'} = A C^{'}

(đúng)
D:

A A^{'} + A B + A D = A C^{'} \neq = A C

(sai)

Vậy chọn C.

2Cách 2. Phân tích theo ba vectơ cạnh

Định hướng. Đặt $u = A B$ , $v = A D$ , $w = A A^{'}$ ; khi đó $A C = u + v$ , $A C^{'} = u + v + w$ .

u + (u + v) = 2 u + v \neq = v

u + v \neq = u + v + w

w + (u + v) = u + v + w

w + u + v \neq = u + v

Vậy chỉ C đúng.

3Cách 3. Thử toạ độ trên hình hộp chữ nhật

Định hướng. Lấy $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 0)$ , $D (0; 2; 0)$ , $A^{'} (0; 0; 3)$ .

A C = (1; 2; 0)

A C^{'} = (1; 2; 3)

(0; 0; 3) + (1; 2; 0) = (1; 2; 3) = A C^{'}

(1; 0; 0) + (1; 2; 0) = (2; 2; 0) \neq = (0; 2; 0)

; B:

(1; 2; 0) \neq = (1; 2; 3)

; D:

(1; 2; 3) \neq = (1; 2; 0)

Vậy chọn C.

Nhận xét. Phương án C đúng với mọi hình hộp, không cần hình hộp đứng: chỉ dùng ACC′A′ là hình bình hành.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

A C C^{'} A^{'}

là hình bình hành, áp quy tắc hình bình hành tại

A

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì nhầm

A C

với

A C^{'}

: quy tắc hình bình hành trong mặt đáy chỉ cho

A C

; muốn tới

C^{'}

phải cộng thêm

A A^{'}

. Một số lời giải viết \"

A C C^{'} A^{'}

là hình chữ nhật\" — chỉ đúng với hình hộp đứng; với hình hộp bất kì

A C C^{'} A^{'}

là hình bình hành, vẫn đủ để kết luận.

🚀 Mở rộng. Với cùng hình hộp,

A A^{'} + B D

bằng vectơ nào? Vì

A A^{'} = B B^{'}

nên tổng bằng

B B^{'} + B D = B D^{'}

(quy tắc hình bình hành trong

B D D^{'} B^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.36★★Trang 56— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong hình lập phương

Bài 2.36 (trang 56). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có độ dài mỗi cạnh bằng

2

. Tích vô hướng

A B \cdot B^{'} D^{'}

bằng
A.

4

.
B.

22

.
C.

- 22

.
D.

- 4

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos (a, b)$ .
$B^{'} D^{'} = B D$ (hai đường chéo của hai mặt đối diện).
Hai vectơ cạnh chung gốc của hình lập phương vuông góc với nhau.
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

B^{'} D^{'}

không chung gốc với

A B

, nhưng

B^{'} D^{'} = B D

nên có thể dời về gốc

B

hoặc tách

B D = A D - A B

. Góc giữa

A B

và

B D

là góc TÙ (

13 5^{\circ}

) nên đáp số âm. Bẫy: lấy nhầm góc

4 5^{\circ}

1Cách 1. Tách vectơ theo hai cạnh

Định hướng. $B^{'} D^{'} = B D = A D - A B$ , rồi dùng $A B ⊥ A D$ .

A B \cdot B^{'} D^{'} = A B \cdot (A D - A B)

= A B \cdot A D - A B^{2}

= 0 - 2^{2}

= - 4

Vậy chọn D.

2Cách 2. Gắn toạ độ

Định hướng. $A$ là gốc, ba cạnh xuất phát từ $A$ nằm trên ba trục.

A (0; 0; 0)

B (2; 0; 0)

D (0; 2; 0)

B^{'} (2; 0; 2)

D^{'} (0; 2; 2)

A B = (2; 0; 0)

B^{'} D^{'} = (- 2; 2; 0)

A B \cdot B^{'} D^{'} = 2 \cdot (- 2) + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = - 4

Vậy chọn D.

3Cách 3. Dùng định nghĩa với góc

Định hướng. Dời $B^{'} D^{'}$ thành $B D$ ; góc giữa $A B$ và $B D$ là góc ngoài của tam giác vuông cân $A B D$ tại đỉnh $B$ .

(A B, B D) = 18 0^{\circ} - A B D = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

A B \cdot B^{'} D^{'} = 2 \cdot 22 \cdot cos 13 5^{\circ}

= 42 \cdot (- \frac{2}{2})

= - 4

Vậy chọn D.

Nhận xét. Góc giữa hai vectơ phải đặt chung gốc: kéo dài $A B$ qua $B$ rồi mới đo góc với $B D$ , nên được $13 5^{\circ}$ chứ không phải $A B D = 4 5^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: toạ độ ba đỉnh đọc ngay, một phép nhân là ra

- 4

Đáp số. Đáp án D:

- 4

Sai lầm thường gặp. Lấy góc

A B D = 4 5^{\circ}

làm góc giữa hai vectơ, được

2 \cdot 22 \cdot cos 4 5^{\circ} = 4

(phương án A). Hai vectơ

A B

B D

nối đuôi nhau, không chung gốc, nên góc giữa chúng là

13 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cùng hình lập phương,

A B \cdot A^{'} C = A B \cdot (A B + A D - A A^{'}) = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.37★Trang 56— Trắc nghiệm — toạ độ trọng tâm tam giác

Bài 2.37 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (1; 3; 5)

B (0; 6; - 2)

C (5; 3; 6)

. Toạ độ trọng tâm của tam giác

A B C

là
A.

(2; 3; 4)

.
B.

(2; 4; 3)

.
C.

(3; 4; 2)

.
D.

(3; 2; 4)

Kiến thức cần nhớ

$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
$G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ $⟺$ $G A + GB + GC = 0$ .
Nếu $I$ là trung điểm $B C$ thì $A G = \frac{2}{3} A I$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án là bốn hoán vị của các số

2, 3, 4

— đề cố tình thử xem ta có đặt đúng thứ tự hoành, tung, cao độ không. Chỉ cần tính đúng từng toạ độ. Bẫy: cộng nhầm cột.

1Cách 1. Công thức toạ độ trọng tâm

Định hướng. Cộng từng cột toạ độ rồi chia $3$ .

x_{G} = \frac{1 + 0 + 5}{3} = 2

y_{G} = \frac{3 + 6 + 3}{3} = 4

z_{G} = \frac{5 - 2 + 6}{3} = 3

Vậy $G (2; 4; 3)$ , chọn B.

2Cách 2. Qua trung điểm cạnh

B C

Định hướng. $G$ nằm trên trung tuyến $A I$ và $A G = \frac{2}{3} A I$ .

I (\frac{5}{2}; \frac{9}{2}; 2)

A I = (\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; - 3)

A G = \frac{2}{3} A I = (1; 1; - 2)

G = (1 + 1; 3 + 1; 5 - 2) = (2; 4; 3)

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử phương án bằng hệ thức vectơ

Định hướng. Thay $G (2; 4; 3)$ vào $G A + GB + GC$ .

G A + GB + GC = (- 1; - 1; 2) + (- 2; 2; - 5) + (3; - 1; 3)

= (0; 0; 0)

Vậy phương án B đúng.

Nhận xét. Cách 3 là cách thử lại hữu ích khi các phương án chỉ là hoán vị của nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba phép cộng, ba phép chia.

Đáp số. Đáp án B:

G (2; 4; 3)

Sai lầm thường gặp. Viết đúng các giá trị

2, 4, 3

nhưng đảo thứ tự tung độ và cao độ thành

(2; 3; 4)

(phương án A). Luôn tính và ghi theo đúng thứ tự

(x; y; z)

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

D

để

A B C D

là hình bình hành:

D = A + C - B = (6; 0; 13)

; khi đó trọng tâm tam giác

A C D

là

(4; 2; 8)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.38★Trang 56— Trắc nghiệm — điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số

Bài 2.38 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

A (3; 0; - 6)

. Gọi

B

là điểm nằm giữa

O

và

A

sao cho

O B = \frac{1}{3} O A

. Toạ độ của điểm

B

là
A.

(1; 0; - 2)

.
B.

(9; 0; - 18)

.
C.

(1; 0; 2)

.
D.

(9; 0; 18)

Kiến thức cần nhớ

$B$ nằm giữa $O$ và $A$ , $O B = k \cdot O A$ $\Rightarrow$ $O B = k O A$ .
Toạ độ điểm $M$ chính là toạ độ vectơ $O M$ .

🧠 Phân tích tư duy

B

nằm giữa

O

và

A

\" cho biết

O B

cùng hướng với

O A

; kết hợp độ dài bằng

\frac{1}{3}

ta có đẳng thức vectơ

O B = \frac{1}{3} O A

. Bẫy: nhân

3

thay vì chia

3

, hoặc làm mất dấu âm.

1Cách 1. Đẳng thức vectơ

Định hướng. $O B = \frac{1}{3} O A$ .

O B = \frac{1}{3} (3; 0; - 6) = (1; 0; - 2)

Vậy $B (1; 0; - 2)$ , chọn A.

2Cách 2. Tham số hoá đoạn

O A

Định hướng. Điểm trên đoạn $O A$ có dạng $B (3 t; 0; - 6 t)$ với $0 < t < 1$ ; tìm $t$ từ độ dài.

O A = 9 + 36 = 35

O B = 9 t^{2} + 36 t^{2} = 35 t

35 t = \frac{1}{3} \cdot 35 ⟺ t = \frac{1}{3}

B (1; 0; - 2)

Vậy chọn A.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. $B$ nằm giữa $O$ và $A$ nên mỗi toạ độ của $B$ cùng dấu và có trị tuyệt đối nhỏ hơn toạ độ tương ứng của $A$ .

z_{A} = - 6 < 0

\Rightarrow

z_{B} < 0

: loại C, D

∣ x_{B} ∣ < ∣ x_{A} ∣ = 3

: loại B

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 dùng được vì O là gốc toạ độ; với đoạn không xuất phát từ gốc thì phải dùng Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia toạ độ của

A

cho

3

Đáp số. Đáp án A:

B (1; 0; - 2)

Sai lầm thường gặp. Nhân

3

thay vì chia, ra

(9; 0; - 18)

— đó là điểm

A^{'}

với

O A^{'} = 3 O A

, nằm ngoài đoạn

O A

. Hoặc bỏ mất dấu âm của cao độ, ra

(1; 0; 2)

🚀 Mở rộng. Nếu

B

nằm trên tia đối của tia

O A

với

O B = \frac{1}{3} O A

thì

O B = - \frac{1}{3} O A

, tức

B (- 1; 0; 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.39★Trang 56— Trắc nghiệm — tích vô hướng bằng toạ độ

Bài 2.39 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho

a = (1; 2; 4)

và

b = (2; 1; 5)

. Tích vô hướng

(a + b) \cdot a

bằng
A.

54

.
B.

- 3

.
C.

- 6

.
D.

45

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Tính chất phân phối: $(a + b) \cdot a = a^{2} + a \cdot b$ .
$u \cdot v = \frac{1}{2} (∣ u + v ∣^{2} - ∣ u ∣^{2} - ∣ v ∣^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có hai đường: tính

a + b

trước, hoặc khai triển thành

∣ a ∣^{2} + a \cdot b

. Mọi toạ độ đều dương nên kết quả dương — loại ngay B, C. Bẫy: tính nhầm thành

(a + b) \cdot b

hoặc

∣ a + b ∣^{2}

1Cách 1. Tính tổng rồi nhân

Định hướng. Tìm $a + b$ rồi dùng công thức toạ độ.

a + b = (3; 3; 9)

(a + b) \cdot a = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 9 \cdot 4

= 3 + 6 + 36

= 45

Vậy chọn D.

2Cách 2. Khai triển phân phối

Định hướng. $(a + b) \cdot a = ∣ a ∣^{2} + a \cdot b$ .

∣ a ∣^{2} = 1 + 4 + 16 = 21

a \cdot b = 2 + 2 + 20 = 24

(a + b) \cdot a = 21 + 24 = 45

Vậy chọn D.

3Cách 3. Công thức phân cực

Định hướng. Coi $u = a + b$ , $v = a$ ; dùng $u \cdot v = \frac{1}{2} (∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - ∣ u - v ∣^{2})$ với $u - v = b$ .

∣ a + b ∣^{2} = 9 + 9 + 81 = 99

∣ a ∣^{2} = 21

∣ b ∣^{2} = 4 + 1 + 25 = 30

(a + b) \cdot a = \frac{1}{2} (99 + 21 - 30)

= 45

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy tích vô hướng tính được hoàn toàn từ độ dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba phép nhân, không phải nhớ thêm công thức nào.

Đáp số. Đáp án D:

45

Sai lầm thường gặp. Tính

(a + b) \cdot (a + b) = 99

hoặc

(a + b) \cdot b = 6 + 3 + 45 = 54

(phương án A) vì đọc lướt. Cần xem kĩ vectơ đứng sau dấu nhân là

a

🚀 Mở rộng. Tính

(a - b) \cdot (a + b) = ∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 21 - 30 = - 9

: tổng và hiệu của hai vectơ có độ dài khác nhau thì không vuông góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.40★Trang 56— Trắc nghiệm — vị trí điểm và khoảng cách tới trục toạ độ

Bài 2.40 (trang 56). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

M (2; 1; 0)

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Điểm

M

nằm trên mặt phẳng

(O x y)

.
B. Khoảng cách từ điểm

M

đến trục

O x

bằng

1

.
C. Điểm

M

nằm trên trục

O z

.
D. Khoảng cách từ

M

đến trục

O y

bằng

2

Kiến thức cần nhớ

$M \in (O x y)$ $⟺$ $z_{M} = 0$ ; $M \in O z$ $⟺$ $x_{M} = y_{M} = 0$ .
Khoảng cách từ $M (x; y; z)$ tới trục $O x$ là $y^{2} + z^{2}$ , tới $O y$ là $x^{2} + z^{2}$ , tới $O z$ là $x^{2} + y^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

M (2; 1; 0)

có cao độ bằng

0

nên nằm trong

(O x y)

; điểm trên trục

O z

thì phải có hoành độ và tung độ đều bằng

0

. Hai phương án về khoảng cách chỉ cần nhớ công thức khoảng cách tới trục. Bẫy: nhầm \"khoảng cách tới

O x

\" là

∣ x ∣

1Cách 1. Kiểm tra từng phương án bằng công thức

Định hướng. Đối chiếu toạ độ của $M$ với điều kiện thuộc mặt, thuộc trục và công thức khoảng cách.

z_{M} = 0

\Rightarrow

M \in (O x y)

(đúng)
B:

d (M, O x) = 1^{2} + 0^{2} = 1

(đúng)
C:

x_{M} = 2 \neq = 0

\Rightarrow

M \in / O z

(sai)
D:

d (M, O y) = 2^{2} + 0^{2} = 2

(đúng)

Vậy khẳng định sai là C.

2Cách 2. Dùng hình chiếu vuông góc lên trục

Định hướng. Hình chiếu của $M$ lên $O x$ là $H (2; 0; 0)$ , lên $O y$ là $K (0; 1; 0)$ , lên $O z$ là $L (0; 0; 0)$ .

M H = ∣ H M ∣ = ∣ (0; 1; 0) ∣ = 1

M K = ∣ K M ∣ = ∣ (2; 0; 0) ∣ = 2

M L = ∣ (2; 1; 0) ∣ = 5 \neq = 0

\Rightarrow

M \in / O z

Vậy phương án C sai.

3Cách 3. Loại trừ nhanh

Định hướng. Một điểm nằm trên trục $O z$ thì hai toạ độ đầu bằng $0$ .

M (2; 1; 0)

có hai toạ độ đầu khác

0

\Rightarrow

M \in / O z

Vậy chọn C.

Nhận xét. Thực ra M nằm trong (Oxy) nên không thể nằm trên Oz trừ khi trùng gốc O.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhìn hoành độ

2 \neq = 0

là loại xong.

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Nhầm khoảng cách từ

M

tới

O x

là

∣ x_{M} ∣ = 2

nên cho rằng B sai. Thực ra

∣ x_{M} ∣

là khoảng cách tới mặt phẳng

(O y z)

; khoảng cách tới TRỤC

O x

là

y^{2} + z^{2}

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ

M (2; 1; 0)

tới trục

O z

bằng

2^{2} + 1^{2} = 5

— chính là

O M

vì

M

nằm trong mặt phẳng

(O x y)

vuông góc với

O z

tại

O

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.41★★Trang 57— Trắc nghiệm — tìm tham số từ độ dài đoạn thẳng

Bài 2.41 (trang 57). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (- 1; 9; m)

và

B (2; m; 5)

. Biết rằng

A B = 7

, tập các giá trị của

m

là
A.

{3; - 11}

.
B.

{- 3; 11}

.
C.

{3; 11}

.
D.

{- 3; - 11}

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ , $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Phương trình $a m^{2} + bm + c = 0$ : $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ , $m = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ ; hoặc tách thành tích.
Định lí Vi-ét: $m_{1} + m_{2} = - \frac{b}{a}$ , $m_{1} m_{2} = \frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dài

A B

chứa

m

ở hai toạ độ, nên

A B^{2} = 49

là một phương trình bậc hai ẩn

m

. Bình phương trước khi giải để tránh căn. Bẫy: khai triển

(m - 9)^{2}

sai dấu.

1Cách 1. Lập phương trình, giải bằng công thức nghiệm

Định hướng. $A B^{2} = 49$ rồi giải phương trình bậc hai theo $Δ^{'}$ .

A B = (3; m - 9; 5 - m)

A B^{2} = 9 + (m - 9)^{2} + (5 - m)^{2} = 2 m^{2} - 28 m + 115

2 m^{2} - 28 m + 115 = 49

m^{2} - 14 m + 33 = 0

Δ^{'} = 49 - 33 = 16

Δ^{'} = 4

m = 7 + 4 = 11

hoặc

m = 7 - 4 = 3

Vậy $m \in {3; 11}$ , chọn C.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Tìm hai số có tổng $- 14$ , tích $33$ : đó là $- 3$ và $- 11$ .

m^{2} - 14 m + 33 = 0

m^{2} - 3 m - 11 m + 33 = 0

m (m - 3) - 11 (m - 3) = 0

(m - 3) (m - 11) = 0

m - 3 = 0

hoặc

m - 11 = 0

m = 3

hoặc

m = 11

Vậy chọn C.

3Cách 3. Thử đáp án kết hợp Vi-ét

Định hướng. Hai nghiệm của $m^{2} - 14 m + 33 = 0$ có tổng $14$ , tích $33$ ; chỉ một phương án thoả.

3 + (- 11) = - 8 \neq = 14

; B:

- 3 + 11 = 8 \neq = 14

; D:

- 14 \neq = 14

3 + 11 = 14

3 \cdot 11 = 33

Thử lại

m = 3

A B^{2} = 9 + 36 + 4 = 49

;

m = 11

A B^{2} = 9 + 4 + 36 = 49

Vậy chọn C.

Nhận xét. Vi-ét giúp khoanh đáp án chỉ bằng phép cộng, không phải giải phương trình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách được ngay

(m - 3) (m - 11) = 0

, ra nghiệm nguyên sạch.

Đáp số. Đáp án C:

m \in {3; 11}

Sai lầm thường gặp. Khai triển

(m - 9)^{2} = m^{2} - 81

(quên hạng tử

- 18 m

) hoặc viết

A B = (3; 9 - m; m - 5)

rồi vẫn bình phương đúng — dấu bên trong không ảnh hưởng, nhưng quên hạng tử giữa thì sai hẳn phương trình.

🚀 Mở rộng. Với giá trị nào của

m

thì

A B

nhỏ nhất?

A B^{2} = 2 (m - 7)^{2} + 17

nhỏ nhất khi

m = 7

, lúc đó

A B = 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.42★★Trang 57— Chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc ba điểm

Bài 2.42 (trang 57). Cho hình tứ diện

A B C D

. Chứng minh rằng:

A B = \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} C D + D B

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm: $X Y + Y Z = X Z$ .
Với điểm gốc $O$ bất kì: $X Y = O Y - O X$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải có cặp

\frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} C D

nối đuôi nhau, gộp lại thành

\frac{1}{2} A D

; khi đó vế phải chỉ còn

A D + D B

. Hướng biến đổi vế phức tạp (vế phải) về vế đơn giản là tự nhiên nhất.

1Cách 1. Biến đổi vế phải

Định hướng. Gộp $\frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} C D$ theo quy tắc ba điểm.

\frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} C D + D B = \frac{1}{2} (A C + C D) + \frac{1}{2} A D + D B

= \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} A D + D B

= A D + D B

= A B

Vậy đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Đi từ vế trái

Định hướng. Chèn điểm $D$ rồi tách $A D$ làm hai nửa, một nửa đi qua $C$ .

A B = A D + D B

= \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} A D + D B

= \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} (A C + C D) + D B

= \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} C D + D B

Vậy đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Đưa về vectơ vị trí

Định hướng. Chọn gốc $A$ , đặt $b = A B$ , $c = A C$ , $d = A D$ ; mọi vectơ đều là hiệu của hai vectơ vị trí.

Vế phải

= \frac{1}{2} c + \frac{1}{2} d + \frac{1}{2} (d - c) + (b - d)

= (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) c + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1) d + b

= b = A B

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Cách 3 máy móc nhưng chắc chắn: kiểm tra mọi đẳng thức vectơ chỉ bằng cách so hệ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra cặp nối đuôi

A C, C D

là xong trong ba dòng.

Đáp số. Đã chứng minh

A B = \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} C D + D B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: gộp

\frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} C D = A D

(quên hệ số

\frac{1}{2}

), khi đó vế phải thành

\frac{3}{2} A D + D B \neq = A B

. Hệ số chung phải giữ nguyên khi dùng quy tắc ba điểm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với mọi số

k

A B = k A C + (1 - k) A D + k C D + D B

; bài này là trường hợp

k = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.43★★Trang 57— Độ dài tổng, hiệu hai vectơ khi biết độ dài và góc

Bài 2.43 (trang 57). Trong không gian, cho hai vectơ

a

và

b

tạo với nhau một góc bằng

6 0^{\circ}

. Biết

∣ a ∣ = 2

và

∣ b ∣ = 3

, tính

∣ a + b ∣

và

∣ a - b ∣

Kiến thức cần nhớ

$∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ .
$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .
Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ dài của tổng không cộng trực tiếp được; phải bình phương để xuất hiện tích vô hướng

a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos 6 0^{\circ} = 3

. Hình học:

a + b

và

a - b

là hai đường chéo của hình bình hành dựng trên

a

b

. Bẫy: cho

∣ a + b ∣ = 5

1Cách 1. Bình phương vô hướng

Định hướng. Tính $a \cdot b$ trước rồi khai triển.

a \cdot b = 2 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ} = 3

∣ a + b ∣^{2} = 4 + 2 \cdot 3 + 9 = 19

\Rightarrow

∣ a + b ∣ = 19

∣ a - b ∣^{2} = 4 - 2 \cdot 3 + 9 = 7

\Rightarrow

∣ a - b ∣ = 7

Vậy $∣ a + b ∣ = 19$ , $∣ a - b ∣ = 7$ .

2Cách 2. Định lí côsin trong hình bình hành

Định hướng. Đặt $O A = a$ , $O B = b$ , dựng hình bình hành $O A C B$ ; $A O B = 6 0^{\circ}$ nên $O A C = 12 0^{\circ}$ .

∣ a - b ∣^{2} = A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B cos 6 0^{\circ} = 4 + 9 - 6 = 7

∣ a + b ∣^{2} = O C^{2} = O A^{2} + A C^{2} - 2 \cdot O A \cdot A C cos 12 0^{\circ} = 4 + 9 + 6 = 19

Vậy $∣ a + b ∣ = 19$ , $∣ a - b ∣ = 7$ .

3Cách 3. Gắn toạ độ trong mặt phẳng chứa hai vectơ

Định hướng. Chọn hệ $O x y z$ sao cho $a$ nằm trên $O x$ và $b$ nằm trong $(O x y)$ .

a = (2; 0; 0)

b = (3 cos 6 0^{\circ}; 3 sin 6 0^{\circ}; 0) = (\frac{3}{2}; \frac{3 3}{2}; 0)

a + b = (\frac{7}{2}; \frac{3 3}{2}; 0)

\Rightarrow

∣ a + b ∣^{2} = \frac{49}{4} + \frac{27}{4} = 19

a - b = (\frac{1}{2}; - \frac{3 3}{2}; 0)

\Rightarrow

∣ a - b ∣^{2} = \frac{1}{4} + \frac{27}{4} = 7

Vậy $∣ a + b ∣ = 19$ , $∣ a - b ∣ = 7$ .

Nhận xét. Kiểm tra bằng đẳng thức hình bình hành: $19 + 7 = 26 = 2 (2^{2} + 3^{2})$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính một lần

a \cdot b = 3

rồi dùng cho cả hai độ dài.

Đáp số.

∣ a + b ∣ = 19

∣ a - b ∣ = 7

Sai lầm thường gặp. Viết

∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 5

và

∣ a - b ∣ = 3 - 2 = 1

— chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng. Ở đây góc

6 0^{\circ}

nên

19 \approx 4, 36 < 5

🚀 Mở rộng. Với góc

(a, b) = α

bất kì:

∣ a + b ∣^{2} = 13 + 12 cos α

; độ dài tổng lớn nhất bằng

5

khi

α = 0^{\circ}

và nhỏ nhất bằng

1

khi

α = 18 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.44★Trang 57— Toạ độ của tổ hợp tuyến tính các vectơ

Bài 2.44 (trang 57). Trong không gian

O x y z

, cho ba vectơ

a = (- 4; 6; 7)

b = (1; 0; - 3)

và

c = (8; 7; 2)

. Tính toạ độ của các vectơ sau:
a)

m = 2 a - 3 b + c

;
b)

n = a + 3 b + 2 c

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài tính toạ độ thuần tuý: nhân số rồi cộng theo từng thành phần. Có thể dùng kết quả câu a để kiểm tra câu b vì

m + n = 3 a + 3 c

. Bẫy: sai dấu ở

- 3 b

khi toạ độ của

b

đã âm.

1Cách 1. Tính theo từng toạ độ

Định hướng. Viết mỗi toạ độ thành một biểu thức số rồi tính.

m = (2 \cdot (- 4) - 3 \cdot 1 + 8; 2 \cdot 6 - 3 \cdot 0 + 7; 2 \cdot 7 - 3 \cdot (- 3) + 2)

= (- 8 - 3 + 8; 12 + 7; 14 + 9 + 2) = (- 3; 19; 25)

n = (- 4 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 8; 6 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 7; 7 + 3 \cdot (- 3) + 2 \cdot 2)

= (- 4 + 3 + 16; 6 + 14; 7 - 9 + 4) = (15; 20; 2)

Vậy $m = (- 3; 19; 25)$ , $n = (15; 20; 2)$ .

2Cách 2. Tính từng vectơ thành phần rồi cộng; kiểm tra chéo

Định hướng. Tính $2 a$ , $3 b$ , $2 c$ riêng; sau đó thử lại bằng hệ thức $m + n = 3 (a + c)$ .

2 a = (- 8; 12; 14)

3 b = (3; 0; - 9)

2 c = (16; 14; 4)

m = (- 8; 12; 14) - (3; 0; - 9) + (8; 7; 2) = (- 3; 19; 25)

n = (- 4; 6; 7) + (3; 0; - 9) + (16; 14; 4) = (15; 20; 2)

m + n = (12; 39; 27) = 3 (4; 13; 9) = 3 (a + c)

Vậy $m = (- 3; 19; 25)$ , $n = (15; 20; 2)$ .

Nhận xét. Phép thử cuối không tốn thêm nhiều công nhưng bắt được hầu hết lỗi dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính sẵn

2 a

3 b

2 c

dùng lại cho cả hai câu, rồi thử lại bằng

m + n = 3 (a + c)

Đáp số. a)

m = (- 3; 19; 25)

. b)

n = (15; 20; 2)

Sai lầm thường gặp. Ở cao độ của

m

2 \cdot 7 - 3 \cdot (- 3) + 2

hay bị tính thành

14 - 9 + 2 = 7

(mất dấu trừ của

- 3

). Đúng là

14 + 9 + 2 = 25

🚀 Mở rộng. Tìm

x, y

để

c = x a + y b

: từ tung độ

6 x = 7

được

x = \frac{7}{6}

, rồi hoành độ cho

y = 8 + \frac{14}{3} = \frac{38}{3}

, thử cao độ

\frac{49}{6} - 38 \neq = 2

— vô nghiệm, nên ba vectơ không đồng phẳng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 2.45★★Trang 57— Gắn toạ độ cho tứ diện vuông; trọng tâm; chứng minh vuông góc

Bài 2.45 (trang 57). Cho hình tứ diện

A B C D

có ba cạnh

A B

A C

A D

đôi một vuông góc và

A B = 3

A C = 4

A D = 6

. Xét hệ toạ độ

O x y z

có gốc

O

trùng với đỉnh

A

và các tia

O x

O y

O z

lần lượt trùng với các tia

A B

A C

A D

. Gọi

E

F

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

A B D

và

A C D

.
a) Tìm toạ độ của các đỉnh

B

C

D

.
b) Tìm toạ độ của các điểm

E

F

.
c) Chứng minh rằng

A D

vuông góc với

E F

Kiến thức cần nhớ

Điểm trên tia $O x$ cách $O$ một khoảng $a$ có toạ độ $(a; 0; 0)$ .
Toạ độ trọng tâm tam giác bằng trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.
$A D ⊥ E F$ $⟺$ $A D \cdot E F = 0$ .
Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng song song với mặt phẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Ba cạnh đôi một vuông góc tại

A

nằm trên ba trục nên toạ độ các đỉnh đọc ngay từ độ dài cạnh. Câu c có thể làm bằng tích vô hướng, nhưng để ý

E

F

cùng cao độ

2

— tức

E F

nằm ngang, vuông góc với trục đứng

O z

chứa

A D

. Bẫy: nhầm

E

là trọng tâm tam giác

A B C

1Cách 1. Toạ độ và tích vô hướng

Định hướng. Đọc toạ độ đỉnh, tính trọng tâm, rồi kiểm tra tích vô hướng bằng $0$ .

B (3; 0; 0)

C (0; 4; 0)

D (0; 0; 6)

E (\frac{0 + 3 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 6}{3}) = (1; 0; 2)

F (\frac{0 + 0 + 0}{3}; \frac{0 + 4 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 6}{3}) = (0; \frac{4}{3}; 2)

A D = (0; 0; 6)

E F = (- 1; \frac{4}{3}; 0)

A D \cdot E F = 0 \cdot (- 1) + 0 \cdot \frac{4}{3} + 6 \cdot 0 = 0

Vậy $B (3; 0; 0)$ , $C (0; 4; 0)$ , $D (0; 0; 6)$ ; $E (1; 0; 2)$ , $F (0; \frac{4}{3}; 2)$ ; $A D ⊥ E F$ .

2Cách 2. Chứng minh

E F ∥ B C

bằng vectơ, không cần toạ độ

Định hướng. Hai tam giác $A B D$ , $A C D$ có chung cạnh $A D$ , nên hiệu hai trọng tâm chỉ còn phần $B$ , $C$ .

A E = \frac{1}{3} (A B + A D)

A F = \frac{1}{3} (A C + A D)

E F = A F - A E = \frac{1}{3} (A C - A B) = \frac{1}{3} B C

A D \cdot E F = \frac{1}{3} (A D \cdot A C - A D \cdot A B) = \frac{1}{3} (0 - 0) = 0

Vậy $A D ⊥ E F$ (và còn có $E F ∥ B C$ , $E F = \frac{1}{3} B C = \frac{5}{3}$ ).

3Cách 3. Nhìn cao độ

Định hướng. $E$ và $F$ có cùng cao độ nên $E F$ song song với mặt phẳng $(O x y)$ , còn $A D$ nằm trên trục $O z$ vuông góc với $(O x y)$ .

z_{E} = z_{F} = 2

\Rightarrow

E F

có cao độ

0

\Rightarrow

E F ∥ (O x y)

A D \subset O z

O z ⊥ (O x y)

\Rightarrow

A D ⊥ E F

Vậy $A D$ vuông góc với $E F$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy lí do sâu xa: E, F cùng cách mặt đáy (ABC) một khoảng bằng một phần ba AD.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho a, b và Cách 3 cho c: thấy

z_{E} = z_{F}

là kết luận được ngay.

Đáp số. a)

B (3; 0; 0)

C (0; 4; 0)

D (0; 0; 6)

. b)

E (1; 0; 2)

F (0; \frac{4}{3}; 2)

. c)

A D \cdot E F = 0

nên

A D ⊥ E F

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: đặt nhầm

C

trên

O x

và

B

trên

O y

(đảo thứ tự), dẫn tới

E (0; 1; 2)

— không khớp đề. Đề nói rõ tia

O x

trùng tia

A B

. Cũng hay tính trọng tâm bằng cách cộng hai đỉnh chia

2

(đó là trung điểm).

🚀 Mở rộng. Tính độ dài

E F

E F = 1 + \frac{16}{9} = \frac{5}{3}

, đúng bằng

\frac{1}{3} B C = \frac{1}{3} \cdot 5

như Cách 2 dự đoán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 2.46★★★Trang 57— Góc giữa hai vectơ chứa tham số; điều kiện góc nhọn

Bài 2.46 (trang 57). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (3; - 1; m)

và

B (m; 4; m)

.
a) Tính côsin của góc

A O B

theo

m

.
b) Xác định tất cả các giá trị của

m

để

A O B

là góc nhọn.

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$A O B$ nhọn $⟺$ $cos A O B > 0$ (với $0^{\circ} < A O B < 9 0^{\circ}$ ).
Tam thức $a m^{2} + bm + c$ có hai nghiệm $m_{1} < m_{2}$ , $a > 0$ : dương khi $m < m_{1}$ hoặc $m > m_{2}$ .
Định lí côsin: $A O B$ nhọn $⟺$ $A B^{2} < O A^{2} + O B^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

A O B

là góc giữa hai vectơ

O A

và

O B

— toạ độ của chúng chính là toạ độ của

A

B

. Góc nhọn khi côsin dương; mẫu luôn dương nên chỉ xét dấu tử, một tam thức bậc hai. Cần kiểm tra thêm: góc không được bằng

0^{\circ}

(hai vectơ cùng hướng).

1Cách 1. Công thức côsin, giải bất phương trình bằng

Δ

Định hướng. Tính côsin theo toạ độ; xét dấu tử số.

O A \cdot O B = 3 m - 4 + m^{2} = m^{2} + 3 m - 4

O A = m^{2} + 10

O B = 2 m^{2} + 16

cos A O B = \frac{m ^{2} + 3 m - 4}{m ^{2} + 10 \cdot 2 m ^{2} + 16}

cos A O B > 0 ⟺ m^{2} + 3 m - 4 > 0

Δ = 9 + 16 = 25

m_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4

m_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1

m^{2} + 3 m - 4 > 0 ⟺ m < - 4

hoặc

m > 1

Vậy a) $cos A O B = \frac{m ^{2} + 3 m - 4}{m ^{2} + 10 \cdot 2 m ^{2} + 16}$ ; b) $m < - 4$ hoặc $m > 1$ .

2Cách 2. Định lí côsin trong tam giác

A O B

Định hướng. Góc $O$ nhọn khi và chỉ khi cạnh đối diện $A B$ thoả $A B^{2} < O A^{2} + O B^{2}$ .

A B = (m - 3; 5; 0)

A B^{2} = (m - 3)^{2} + 25 = m^{2} - 6 m + 34

cos A O B = \frac{O A ^{2} + O B ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot O A \cdot O B} = \frac{3 m ^{2} + 26 - m ^{2} + 6 m - 34}{2 m ^{2} + 10 \cdot 2 m ^{2} + 16} = \frac{m ^{2} + 3 m - 4}{m ^{2} + 10 \cdot 2 m ^{2} + 16}

m^{2} - 6 m + 34 < 3 m^{2} + 26

2 m^{2} + 6 m - 8 > 0 ⟺ m^{2} + 3 m - 4 > 0

Vậy cùng kết quả $m < - 4$ hoặc $m > 1$ .

3Cách 3. Tách nhân tử và loại trường hợp góc bằng

0^{\circ}

Định hướng. Tìm hai số có tổng $3$ , tích $- 4$ : đó là $4$ và $- 1$ . Rồi kiểm tra $O A$ , $O B$ có thể cùng hướng không.

m^{2} + 3 m - 4 = m^{2} + 4 m - m - 4 = m (m + 4) - (m + 4) = (m + 4) (m - 1)

(m + 4) (m - 1) > 0 ⟺ m < - 4

hoặc

m > 1

O A = (3; - 1; m)

O B = (m; 4; m)

: tung độ

- 1

và

4

trái dấu

\Rightarrow

O A

O B

không thể cùng hướng

\Rightarrow

A O B \neq = 0^{\circ}

Vậy $A O B$ nhọn $⟺$ $m \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$ .

Nhận xét. Bước kiểm tra góc 0° là cần thiết về lí thuyết: nếu hai vectơ có thể cùng hướng thì côsin bằng $1 > 0$ nhưng góc AOB suy biến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a và Cách 3 cho câu b: tách

(m + 4) (m - 1)

rồi xét dấu, kèm một dòng loại góc

0^{\circ}

Đáp số. a)

cos A O B = \frac{m ^{2} + 3 m - 4}{m ^{2} + 10 \cdot 2 m ^{2} + 16}

. b)

m < - 4

hoặc

m > 1

Sai lầm thường gặp. Tính

O B = m^{2} + 16 + m^{2}

rồi viết thành

m^{2} + 16

(sót một

m^{2}

). Ở câu b hay quên kiểm tra trường hợp hai vectơ cùng hướng — tuy ở bài này không xảy ra, lời giải chặt chẽ vẫn phải nêu.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

A O B = 9 0^{\circ}

m^{2} + 3 m - 4 = 0 ⟺ m = 1

hoặc

m = - 4

; để

A O B

tù:

- 4 < m < 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 2.47★Trang 57— Phép tịnh tiến theo vectơ đơn vị trên trục

O z

Bài 2.47 (trang 57). Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục toạ độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh được đặt dọc theo các trục toạ độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là

O (0; 0; 0)

A (2; 0; 0)

B (0; 3; 0)

. Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là

5

đơn vị, xác định toạ độ của các đỉnh

O^{'}

A^{'}

B^{'}

thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.

Kiến thức cần nhớ

Tịnh tiến điểm $M$ theo vectơ $u$ được $M^{'}$ với $M M^{'} = u$ , tức $M^{'} = M + u$ theo từng toạ độ.
$k = (0; 0; 1)$ là vectơ đơn vị của trục $O z$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $(x; y; z)$ lên $(O x y)$ là $(x; y; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Theo hình vẽ, hình hộp thứ hai là hình hộp thứ nhất được nâng thẳng lên

5

đơn vị: mỗi đỉnh dời theo cùng một vectơ

5 k = (0; 0; 5)

. Vì vậy chỉ cao độ tăng thêm

5

, hoành độ và tung độ giữ nguyên. Bẫy: cộng

5

vào cả ba toạ độ.

1Cách 1. Tịnh tiến theo vectơ

5 k

Định hướng. $O O^{'} = A A^{'} = B B^{'} = 5 k = (0; 0; 5)$ .

O^{'} = (0 + 0; 0 + 0; 0 + 5) = (0; 0; 5)

A^{'} = (2 + 0; 0 + 0; 0 + 5) = (2; 0; 5)

B^{'} = (0 + 0; 3 + 0; 0 + 5) = (0; 3; 5)

Vậy $O^{'} (0; 0; 5)$ , $A^{'} (2; 0; 5)$ , $B^{'} (0; 3; 5)$ .

2Cách 2. Hình chiếu và độ cao

Định hướng. $O^{'}$ , $A^{'}$ , $B^{'}$ nằm thẳng đứng phía trên $O$ , $A$ , $B$ , nên hình chiếu của chúng lên $(O x y)$ chính là $O$ , $A$ , $B$ ; độ cao là $5$ .

Hình chiếu của

A^{'}

lên

(O x y)

là

A (2; 0; 0)

z_{A^{'}} = 5

\Rightarrow

A^{'} (2; 0; 5)

Tương tự

O^{'} (0; 0; 5)

B^{'} (0; 3; 5)

Vậy $O^{'} (0; 0; 5)$ , $A^{'} (2; 0; 5)$ , $B^{'} (0; 3; 5)$ .

3Cách 3. Tìm

O^{'}

trên trục rồi dựng các cạnh bằng nhau

Định hướng. $O^{'}$ thuộc tia $O z$ với $O O^{'} = 5$ ; mặt dưới hộp thứ hai là ảnh tịnh tiến của mặt dưới hộp thứ nhất nên $O^{'} A^{'} = O A$ , $O^{'} B^{'} = O B$ .

O^{'} (0; 0; 5)

A^{'} = O^{'} + O A = (0 + 2; 0 + 0; 5 + 0) = (2; 0; 5)

B^{'} = O^{'} + O B = (0 + 0; 0 + 3; 5 + 0) = (0; 3; 5)

Vậy $O^{'} (0; 0; 5)$ , $A^{'} (2; 0; 5)$ , $B^{'} (0; 3; 5)$ .

Nhận xét. Ba cách đều dựa trên cách hiểu (theo hình vẽ) rằng hộp thứ hai là hộp thứ nhất nâng thẳng lên, mặt dưới cao hơn 5 đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng

5

vào cao độ của ba điểm.

Đáp số.

O^{'} (0; 0; 5)

A^{'} (2; 0; 5)

B^{'} (0; 3; 5)

Sai lầm thường gặp. Cộng

5

vào mọi toạ độ, ra

A^{'} (7; 5; 5)

— sai vì dời theo phương thẳng đứng chỉ làm thay đổi cao độ. Cũng có bạn trừ

5

vì nhìn nhầm trục

O z

hướng xuống.

🚀 Mở rộng. Nếu hình hộp thứ nhất cao

h

và hộp thứ hai đặt sát ngay trên hộp thứ nhất thì

O^{'} (0; 0; h)

; ở bài này khe hở giữa hai hộp bằng

5 - h

đơn vị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 2.48★★Trang 58— Gắn hệ toạ độ vào góc phòng; khoảng cách hai điểm

Bài 2.48 (trang 58). Một chiếc gậy có chiều dài

2, 5

m được đặt trong góc phòng như hình vẽ (gốc

O

là góc phòng trên sàn, trục

O z

là mép giao của hai bức tường). Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là

1

m và

0, 8

m. Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.
a) Hãy lập một hệ toạ độ

O x y z

phù hợp và tìm toạ độ của đầu gậy nằm trên sàn nhà.
b) Tính khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ $M (x; y; z)$ tới các mặt phẳng $(O y z)$ , $(O x z)$ , $(O x y)$ lần lượt là $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ , $∣ z ∣$ .
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ , $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Đường chéo hình hộp chữ nhật kích thước $a, b, c$ dài $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sàn và hai bức tường đôi một vuông góc, giao nhau tại góc phòng — đặt gốc ở đó, ba trục là ba mép giao. Đầu trên sàn có cao độ

0

, đầu trên mép tường nằm trên

O z

nên chỉ còn một ẩn là độ cao

h

. Bẫy: nghĩ đầu gậy trên tường cách góc phòng

2, 5

m theo phương ngang.

1Cách 1. Toạ độ và công thức khoảng cách

Định hướng. Chọn $O$ ở góc phòng trên sàn; $O x$ , $O y$ là mép giao của sàn với hai bức tường, $O z$ là mép giao của hai bức tường, hướng lên (đơn vị mét). Đầu trên sàn $P$ cách tường $(O y z)$ là $1$ m, cách tường $(O x z)$ là $0, 8$ m; đầu trên mép tường là $Q (0; 0; h)$ , $h > 0$ .

P (1; 0, 8; 0)

P Q^{2} = (0 - 1)^{2} + (0 - 0, 8)^{2} + (h - 0)^{2} = h^{2} + 1, 64

h^{2} + 1, 64 = 2, 5^{2} = 6, 25

h^{2} = 4, 61

h = 4, 61 = \frac{461}{10} \approx 2, 15

Vậy a) $P (1; 0, 8; 0)$ ; b) đầu gậy trên mép tường cách sàn khoảng $2, 15$ m.

2Cách 2. Định lí Pythagore hai lần

Định hướng. Tam giác $O P Q$ vuông tại $O$ vì $O Q$ (mép tường) vuông góc với sàn chứa $O P$ .

O P^{2} = 1^{2} + 0, 8^{2} = 1, 64

O Q^{2} = P Q^{2} - O P^{2} = 6, 25 - 1, 64 = 4, 61

O Q = 4, 61 \approx 2, 15

Vậy khoảng cách cần tìm khoảng $2, 15$ m.

3Cách 3. Đường chéo hình hộp chữ nhật

Định hướng. Gậy $P Q$ là đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước $1$ , $0, 8$ và $h$ (một đỉnh ở $O$ ).

P Q^{2} = 1^{2} + 0, 8^{2} + h^{2}

6, 25 = 1, 64 + h^{2}

h = 4, 61 \approx 2, 15

Vậy $h \approx 2, 15$ m.

Nhận xét. Ba cách là ba góc nhìn của cùng một định lí Pythagore trong không gian; Cách 1 là cách thể hiện yêu cầu "lập hệ toạ độ" của đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu lập hệ toạ độ; dùng Cách 2 để nhẩm kiểm tra.

Đáp số. a) Với gốc

O

ở góc phòng trên sàn: đầu gậy trên sàn

P (1; 0, 8; 0)

. b)

h = 4, 61 \approx 2, 15

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: lấy

h = 2, 5^{2} - 1^{2}

hoặc

2, 5^{2} - 0, 8^{2}

, tức chỉ trừ một khoảng cách tới tường. Chân gậy cách góc phòng

1, 64

m chứ không phải

1

m hay

0, 8

🚀 Mở rộng. Nếu kéo chân gậy ra xa để

P (1, 5; 1, 2; 0)

thì đầu trên còn cao

6, 25 - 2, 25 - 1, 44 = 2, 56 = 1, 6

Mở bài này trong app ↗