Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài tập cuối chương II

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 2.25★★Trang 73— Trắc nghiệm — tính chất trọng tâm tam giác trong không gian

Bài 2.25 (trang 73). Cho tứ diện

A B C D

. Lấy

G

là trọng tâm của tam giác

B C D

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

B G + C G + D G = 0

.
B.

A B + A C + A D = 3 A G

.
C.

B C + B D = 3 B G

.
D.

G A + GB + GC + G D = 0

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $B C D$ $⟺$ $GB + GC + G D = 0$ $⟺$ $M B + M C + M D = 3 M G$ với mọi điểm $M$ .
Nếu $M$ là trung điểm $C D$ thì $B C + B D = 2 B M$ và $B G = \frac{2}{3} B M$ .
Trọng tâm $G$ của tam giác $B C D$ nằm trong mặt phẳng $(B C D)$ , còn $A$ nằm ngoài mặt phẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương án đều là hệ thức trọng tâm, chỉ khác nhau ở điểm gốc: gốc

G

, gốc

A

, gốc

B

và tổng bốn vectơ. Hệ thức

GB + GC + G D = 0

chỉ nói về ba đỉnh

B, C, D

, nên phương án nào kéo thêm

A

vào tổng mà không nhân

3

là đáng ngờ nhất. Bẫy: phương án D rất giống tính chất trọng tâm TỨ DIỆN, nhưng

G

ở đây chỉ là trọng tâm tam giác

B C D

1Cách 1. Kiểm tra lần lượt từng phương án

Định hướng. Đưa mỗi phương án về hệ thức gốc của trọng tâm.

B G + C G + D G = - (GB + GC + G D) = 0

(A đúng)

A B + A C + A D = 3 A G + (GB + GC + G D) = 3 A G

(B đúng)

B C + B D = 2 B M = 2 \cdot \frac{3}{2} B G = 3 B G

(C đúng)

G A + GB + GC + G D = G A + 0 = G A \neq = 0

(D sai)

Vậy khẳng định sai là D.

2Cách 2. Loại trừ thẳng phương án D

Định hướng. Tổng ba vectơ $GB + GC + G D$ đã bằng $0$ , nên tổng bốn vectơ chỉ còn lại $G A$ .

G A + GB + GC + G D = G A

A \in / (B C D)

G \in (B C D)

\Rightarrow

A \neq = G

\Rightarrow

G A \neq = 0

Vậy chọn D.

3Cách 3. Thử bằng toạ độ một tứ diện cụ thể

Định hướng. Một khẳng định sai chỉ cần một phản ví dụ; chọn tứ diện có toạ độ đẹp.

A (0; 0; 3)

B (3; 0; 0)

C (0; 3; 0)

D (0; 0; 0)

\Rightarrow

G (1; 1; 0)

G A + GB + GC + G D = (- 1; - 1; 3) + (2; - 1; 0) + (- 1; 2; 0) + (- 1; - 1; 0)

= (- 1; - 1; 3) \neq = 0

B C + B D = (- 3; 3; 0) + (- 3; 0; 0) = (- 6; 3; 0) = 3 (- 2; 1; 0) = 3 B G

Vậy phương án D sai, các phương án còn lại khớp.

Nhận xét. Phương án D sẽ đúng nếu $G$ là trọng tâm tứ diện $A B C D$ ; ở đây $G$ chỉ là trọng tâm mặt $B C D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng

G A + 0 = G A \neq = 0

là loại xong, không cần xét A, B, C.

Đáp số. Đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm

G

là trọng tâm tứ diện nên cho rằng tổng bốn vectơ từ

G

bằng

0

. Phản ví dụ ở Cách 3: tổng ấy bằng

(- 1; - 1; 3)

. Cũng hay nhầm dấu ở phương án A:

B G + C G + D G

là vectơ đối của

GB + GC + G D

nên vẫn bằng

0

🚀 Mở rộng. Nếu

G^{'}

là trọng tâm tứ diện

A B C D

thì

A G = \frac{4}{3} A G^{'}

— hãy tự kiểm chứng:

G^{'}

chia đoạn

A G

theo tỉ số

3 : 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2.26★★Trang 73— Trắc nghiệm — phân tích vectơ theo ba vectơ cạnh của hình hộp

Bài 2.26 (trang 73). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Lấy

M

là trung điểm của đoạn thẳng

C C^{'}

. Vectơ

A M

bằng
A.

A B + A D + A A^{'}

.
B.

A B + A D + \frac{1}{2} A A^{'}

.
C.

A B + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{2} A A^{'}

.
D.

\frac{1}{2} A B + A D + A A^{'}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình hộp: với hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ta có $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
Quy tắc hình bình hành: $A B + A D = A C$ .
$M$ là trung điểm $P Q$ thì $A M = \frac{1}{2} (A P + A Q)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba vectơ cạnh

A B, A D, A A^{'}

xuất phát từ

A

— đó là bộ ba \"cơ sở\" của hình hộp, mọi vectơ đều phân tích được theo chúng.

M

nằm trên cạnh bên

C C^{'}

nên đi từ

A

tới

C

trong mặt đáy rồi đi lên nửa cạnh bên là nhanh nhất. Bẫy: nhầm

M

là trung điểm của đường chéo nên chia đôi cả ba hệ số.

1Cách 1. Quy tắc ba điểm

Định hướng. Đi $A \to C \to M$ , với $C M = \frac{1}{2} C C^{'} = \frac{1}{2} A A^{'}$ .

A M = A C + C M

= A B + A D + \frac{1}{2} C C^{'}

= A B + A D + \frac{1}{2} A A^{'}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức trung điểm

Định hướng. $M$ là trung điểm $C C^{'}$ nên $A M$ là trung bình cộng của $A C$ và $A C^{'}$ .

A M = \frac{1}{2} (A C + A C^{'})

= \frac{1}{2} (A B + A D + A B + A D + A A^{'})

= A B + A D + \frac{1}{2} A A^{'}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử trên một hình hộp chữ nhật có toạ độ

Định hướng. Đẳng thức đúng cho mọi hình hộp thì cũng đúng cho hình hộp chữ nhật cụ thể; ba kích thước khác nhau giúp phân biệt các phương án.

A (0; 0; 0)

B (1; 0; 0)

D (0; 2; 0)

A^{'} (0; 0; 4)

\Rightarrow

C (1; 2; 0)

C^{'} (1; 2; 4)

M (1; 2; 2)

A M = (1; 2; 2) = (1; 0; 0) + (0; 2; 0) + \frac{1}{2} (0; 0; 4)

Phương án A cho

(1; 2; 4)

, C cho

(1; 1; 2)

, D cho

(\frac{1}{2}; 2; 4)

Vậy chỉ phương án B khớp.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để LOẠI TRỪ trong trắc nghiệm; muốn chứng minh cho mọi hình hộp phải dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai bước

A \to C \to M

, gần như nhẩm được.

Đáp số. Đáp án B.

Sai lầm thường gặp. Hay chọn A vì quên rằng

M

chỉ là TRUNG ĐIỂM của

C C^{'}

A B + A D + A A^{'} = A C^{'}

chứ không phải

A M

. Trên hình hộp chữ nhật ở Cách 3, phương án A cho

(1; 2; 4)

, tức là điểm

C^{'}

chứ không phải

M (1; 2; 2)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

M

thuộc

C C^{'}

với

C M = k C C^{'}

thì

A M = A B + A D + k A A^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 2.27★★Trang 73— Trắc nghiệm — cộng vectơ trong hình hộp

Bài 2.27 (trang 73). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A.

A B + C C^{'} = A B^{'}

.
B.

A B + A D + A A^{'} = A C^{'}

.
C.

A D + B B^{'} = A D^{'}

.
D.

A B + C C^{'} = A C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình hộp: với hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ta có $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
Các cạnh bên hình hộp: $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ .
Quy tắc ba điểm: $A B + B X = A X$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn cạnh bên

A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}

của hình hộp song song, cùng chiều và bằng nhau nên

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}

— đây là chìa khoá để \"dời\" vectơ về đúng chỗ. Hai phương án A và D có cùng vế trái nên chắc chắn một trong hai sai. Bẫy: nhìn chữ

C

trong

C C^{'}

rồi vội ghép thành

A C^{'}

1Cách 1. Dời vectơ cạnh bên rồi dùng quy tắc ba điểm

Định hướng. Thay $C C^{'}$ , $B B^{'}$ bằng cạnh bên xuất phát đúng điểm cuối của vectơ đứng trước.

A B + C C^{'} = A B + B B^{'} = A B^{'}

(A đúng)

A B + A D + A A^{'} = A C^{'}

(B đúng, quy tắc hình hộp)

A D + B B^{'} = A D + D D^{'} = A D^{'}

(C đúng)

A B + C C^{'} = A B^{'} \neq = A C^{'}

(D sai)

Vậy khẳng định sai là D.

2Cách 2. Phân tích theo bộ ba vectơ cạnh

Định hướng. Đặt $u = A B$ , $v = A D$ , $w = A A^{'}$ rồi so hai vế của phương án D.

A B + C C^{'} = u + w

A C^{'} = u + v + w

(u + v + w) - (u + w) = v = A D \neq = 0

Vậy phương án D sai.

3Cách 3. Thử toạ độ trên hình hộp chữ nhật

Định hướng. Lấy hình hộp chữ nhật $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 0)$ , $D (0; 2; 0)$ , $A^{'} (0; 0; 3)$ .

A B + C C^{'} = (1; 0; 0) + (0; 0; 3) = (1; 0; 3)

A B^{'} = (1; 0; 3)

A C^{'} = (1; 2; 3)

(1; 0; 3) \neq = (1; 2; 3)

Vậy phương án D sai, chọn D.

Nhận xét. Hai phương án có cùng vế trái mà khác vế phải thì không thể cùng đúng — dấu hiệu nhanh để khoanh vùng A hoặc D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

C C^{'} = B B^{'}

cho ngay

A B + C C^{'} = A B^{'}

, đọc tới D là thấy sai.

Đáp số. Đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm

A B + C C^{'}

bằng

A C^{'}

vì thấy chữ

C^{'}

. Muốn cộng theo quy tắc ba điểm, vectơ thứ hai phải bắt đầu tại điểm cuối

B

của vectơ thứ nhất: phải dời

C C^{'}

thành

B B^{'}

, ra

A B^{'}

🚀 Mở rộng. Vectơ

x

nào thoả

A B + x = A C^{'}

? Ta có

x = A C^{'} - A B = B C^{'}

, và

B C^{'} = A D^{'}

— một đường chéo của mặt bên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 2.28★★★Trang 73— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong tứ diện đều

Bài 2.28 (trang 73). Cho tứ diện đều

A B C D

có độ dài cạnh bằng

a

, gọi

M

là trung điểm của đoạn thẳng

C D

. Tích vô hướng

A B \cdot A M

bằng
A.

\frac{a ^{2}}{4}

.
B.

\frac{a ^{2}}{2}

.
C.

\frac{a ^{2}}{3}

.
D.

a^{2}

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos (a, b)$ .
$M$ là trung điểm $C D$ $\Rightarrow$ $A M = \frac{1}{2} (A C + A D)$ .
Trung tuyến của tam giác đều cạnh $a$ dài $\frac{a 3}{2}$ .
$u \cdot v = \frac{1}{2} (∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - ∣ v - u ∣^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tứ diện đều có mọi góc giữa hai cạnh chung đỉnh bằng

6 0^{\circ}

, nên tích vô hướng của hai vectơ cạnh chung gốc luôn là

a^{2} cos 6 0^{\circ} = \frac{a ^{2}}{2}

. Vì vậy nên tách

A M

thành tổng hai vectơ cạnh

A C, A D

thay vì đi tìm góc giữa

A B

và

A M

. Bẫy: tưởng

A B ⊥ A M

hoặc lấy

∣ A M ∣ = a

1Cách 1. Tách theo hai vectơ cạnh

Định hướng. Thay $A M$ bằng trung bình cộng của $A C$ và $A D$ .

A B \cdot A M = \frac{1}{2} (A B \cdot A C + A B \cdot A D)

= \frac{1}{2} (a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ} + a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ})

= \frac{1}{2} (\frac{a ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2})

= \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức ba cạnh của tam giác

A B M

Định hướng. Trong tam giác $A B M$ biết đủ ba cạnh $A B = a$ , $A M = B M = \frac{a 3}{2}$ nên tính được tích vô hướng mà không cần góc.

A B \cdot A M = \frac{1}{2} (A B^{2} + A M^{2} - B M^{2})

= \frac{1}{2} (a^{2} + \frac{3 a ^{2}}{4} - \frac{3 a ^{2}}{4})

= \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Gắn hệ toạ độ

Định hướng. Đặt đáy $B C D$ nằm trong $(O x y)$ , $A$ nằm trên đường thẳng đứng qua trọng tâm đáy.

B (0; - \frac{a}{2}; 0)

D (0; \frac{a}{2}; 0)

C (\frac{a 3}{2}; 0; 0)

A (\frac{a 3}{6}; 0; \frac{a 6}{3})

M (\frac{a 3}{4}; \frac{a}{4}; 0)

A B = (- \frac{a 3}{6}; - \frac{a}{2}; - \frac{a 6}{3})

A M = (\frac{a 3}{12}; \frac{a}{4}; - \frac{a 6}{3})

A B \cdot A M = - \frac{3 a ^{2}}{72} - \frac{a ^{2}}{8} + \frac{6 a ^{2}}{9}

= \frac{- 3 a ^{2} - 9 a ^{2} + 48 a ^{2}}{72} = \frac{36 a ^{2}}{72} = \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 dài nhưng máy móc, dùng được cho cả khi tứ diện không đều; Cách 1 chỉ đẹp khi các góc đỉnh đều bằng $6 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tách

A M

rồi dùng

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

là ra.

Đáp số. Đáp án B:

\frac{a ^{2}}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm 1: nghĩ

A M ⊥ A B

nên chọn tích bằng

0

(không có trong phương án, dễ hoang mang). Sai lầm 2: lấy

A B \cdot A M = A B \cdot A M = a \cdot \frac{a 3}{2}

mà quên nhân côsin góc giữa chúng.

🚀 Mở rộng. Cùng tứ diện đều, tính

A M \cdot C D

: tách như Cách 1 được

\frac{1}{2} (A C + A D) \cdot (A D - A C) = \frac{1}{2} (a^{2} - a^{2}) = 0

, tức

A M ⊥ C D

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 2.29★Trang 73— Trắc nghiệm — biểu thức toạ độ của phép cộng, trừ, nhân vectơ với số

Bài 2.29 (trang 73). Trong không gian

O x y z

, cho

a = (1; - 2; 2)

b = (- 2; 0; 3)

. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A.

a + b = (- 1; - 2; 5)

.
B.

a - b = (3; - 2; - 1)

.
C.

3 a = (3; - 2; 2)

.
D.

2 a + b = (0; - 4; 7)

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án là bốn phép toán toạ độ đơn giản, chỉ cần làm từng thành phần. Phương án C đáng ngờ ngay từ đầu: nhân với

3

thì cả ba toạ độ đều phải chia hết cho

3

, mà

- 2

và

2

thì không. Bẫy: chỉ nhân

3

vào hoành độ.

1Cách 1. Tính lần lượt bốn phương án

Định hướng. Làm phép toán theo từng toạ độ rồi so với đề.

a + b = (1 - 2; - 2 + 0; 2 + 3) = (- 1; - 2; 5)

(A đúng)

a - b = (1 + 2; - 2 - 0; 2 - 3) = (3; - 2; - 1)

(B đúng)

3 a = (3 \cdot 1; 3 \cdot (- 2); 3 \cdot 2) = (3; - 6; 6) \neq = (3; - 2; 2)

(C sai)

2 a + b = (2 - 2; - 4 + 0; 4 + 3) = (0; - 4; 7)

(D đúng)

Vậy khẳng định sai là C.

2Cách 2. Dấu hiệu chia hết

Định hướng. Mọi toạ độ của $3 a$ đều là bội của $3$ .

3 a = (3 x; 3 y; 3 z)

có ba toạ độ chia hết cho

3

(3; - 2; 2)

có

- 2

không chia hết cho

3

Vậy phương án C sai.

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng một hệ thức liên hệ

Định hướng. Nếu A và B đúng thì $2 a = (a + b) + (a - b)$ ; so với C.

2 a = (- 1; - 2; 5) + (3; - 2; - 1) = (2; - 4; 4)

3 a = \frac{3}{2} \cdot (2; - 4; 4) = (3; - 6; 6)

2 a + b = (2; - 4; 4) + (- 2; 0; 3) = (0; - 4; 7)

Vậy A, B, D nhất quán với nhau, còn C sai; chọn C.

Nhận xét. Cách 3 dùng chính các phương án để kiểm tra nhau — hữu ích khi nghi mình tính nhầm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn

- 2

không chia hết cho

3

là khoanh C trong vài giây.

Đáp số. Đáp án C (đúng phải là

3 a = (3; - 6; 6)

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: nhân số chỉ vào toạ độ đầu tiên, ra

3 a = (3; - 2; 2)

— chính là phương án nhiễu C. Nhân vectơ với số phải nhân vào CẢ BA toạ độ.

🚀 Mở rộng. Tìm số

k

và

l

để

k a + l b = (4; - 4; 1)

: từ toạ độ thứ hai được

k = 2

, từ toạ độ thứ nhất được

l = - 1

, thử lại toạ độ thứ ba

4 - 3 = 1

— đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 2.30★★Trang 73— Trắc nghiệm — tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành

Bài 2.30 (trang 73). Trong không gian

O x y z

, cho hình bình hành

A B C D

có

A (- 1; 0; 3)

B (2; 1; - 1)

và

C (3; 2; 2)

. Toạ độ của điểm

D

là
A.

(2; - 1; 0)

.
B.

(0; - 1; - 6)

.
C.

(0; 1; 6)

.
D.

(- 2; 1; 0)

Kiến thức cần nhớ

$A B C D$ là hình bình hành $⟺$ $A B = D C$ $⟺$ $A D = B C$ .
Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ , $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình bình hành

A B C D

cho ta một cặp vectơ bằng nhau (

A B = D C

) hoặc hai đường chéo có chung trung điểm — cả hai đều biến thành phương trình toạ độ. Phải giữ đúng thứ tự đỉnh

A, B, C, D

. Bẫy: viết

A B = C D

thì ra một điểm khác hẳn.

1Cách 1. Hai vectơ bằng nhau

A B = D C

Định hướng. Gọi $D (x; y; z)$ , so từng toạ độ của $A B$ và $D C$ .

A B = (3; 1; - 4)

D C = (3 - x; 2 - y; 2 - z)

A B = D C ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ 3 - x = 3 2 - y = 1 2 - z = - 4 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = 1 z = 6

Vậy $D (0; 1; 6)$ , chọn C.

2Cách 2. Trung điểm hai đường chéo trùng nhau

Định hướng. Trung điểm $A C$ cũng là trung điểm $B D$ , suy ra $D = A + C - B$ theo từng toạ độ.

x_{D} = x_{A} + x_{C} - x_{B} = - 1 + 3 - 2 = 0

y_{D} = y_{A} + y_{C} - y_{B} = 0 + 2 - 1 = 1

z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B} = 3 + 2 - (- 1) = 6

Vậy $D (0; 1; 6)$ , chọn C.

3Cách 3. Tịnh tiến điểm

A

theo

B C

Định hướng. $A D = B C$ nên $D$ là ảnh của $A$ qua phép tịnh tiến vectơ $B C$ .

B C = (3 - 2; 2 - 1; 2 + 1) = (1; 1; 3)

D = (- 1 + 1; 0 + 1; 3 + 3) = (0; 1; 6)

Vậy chọn C.

Nhận xét. Ba cách là ba cách viết của cùng một đẳng thức $O D = O A + O C - O B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức

D = A + C - B

tính nhẩm từng toạ độ, không phải lập hệ.

Đáp số. Đáp án C:

D (0; 1; 6)

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

A B = C D

sẽ ra

D = C + A B = (6; 3; - 2)

— đó là đỉnh của hình bình hành

A B D C

, sai thứ tự đỉnh. Cũng hay nhầm công thức thành

D = A + B - C = (- 2; - 1; 0)

🚀 Mở rộng. Với ba điểm

A, B, C

không thẳng hàng có đúng ba điểm

D

để bốn điểm là đỉnh một hình bình hành:

A + C - B

A + B - C

B + C - A

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 2.31★★Trang 73— Trắc nghiệm — tìm đỉnh khi biết trọng tâm

Bài 2.31 (trang 73). Trong không gian

O x y z

, cho

A (1; 0; - 1)

B (0; - 1; 2)

và

G (2; 1; 0)

. Biết tam giác

A B C

có trọng tâm là điểm

G

. Toạ độ của điểm

C

là
A.

(5; 4; - 1)

.
B.

(- 5; - 4; 1)

.
C.

(1; 2; - 1)

.
D.

(- 1; - 2; 1)

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ $⟺$ $x_{G} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}$ , $y_{G} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}$ , $z_{G} = \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ .
$G A + GB + GC = 0$ .
Nếu $I$ là trung điểm $A B$ thì $C G = 2 G I$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết trọng tâm và hai đỉnh thì công thức trọng tâm trở thành phương trình bậc nhất với toạ độ đỉnh còn lại. Bẫy: lấy nhầm

C = \frac{A + B}{2}

hoặc

C = G - A - B

(quên nhân

3

1Cách 1. Công thức toạ độ trọng tâm

Định hướng. Suy ra $C = 3 G - A - B$ theo từng toạ độ.

x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} = 6 - 1 - 0 = 5

y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} = 3 - 0 + 1 = 4

z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} = 0 + 1 - 2 = - 1

Vậy $C (5; 4; - 1)$ , chọn A.

2Cách 2. Hệ thức vectơ trọng tâm

Định hướng. Từ $GC = - (G A + GB)$ tìm $GC$ rồi cộng vào $G$ .

G A = (- 1; - 1; - 1)

GB = (- 2; - 2; 2)

GC = - [(- 1; - 1; - 1) + (- 2; - 2; 2)] = (3; 3; - 1)

C = (2 + 3; 1 + 3; 0 - 1) = (5; 4; - 1)

Vậy chọn A.

3Cách 3. Qua trung điểm cạnh

A B

Định hướng. Trọng tâm chia trung tuyến $C I$ theo tỉ số $C G = 2 G I$ .

I (\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

I G = (\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; - \frac{1}{2})

GC = 2 I G = (3; 3; - 1)

C = (2 + 3; 1 + 3; 0 - 1) = (5; 4; - 1)

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy ý nghĩa hình học: C nằm trên tia IG, cách G gấp đôi khoảng IG.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

C = 3 G - A - B

, nhẩm ba phép tính là xong.

Đáp số. Đáp án A:

C (5; 4; - 1)

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

3

: tính

C = G - A - B = (1; 2; - 1)

— trùng phương án nhiễu C. Hoặc đổi dấu cả vectơ, ra

(- 5; - 4; 1)

là phương án B.

🚀 Mở rộng. Tương tự cho tứ diện: nếu

G

là trọng tâm tứ diện

A B C D

thì

D = 4 G - A - B - C

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 2.32★Trang 73— Trắc nghiệm — tích vô hướng bằng toạ độ

Bài 2.32 (trang 73). Trong không gian

O x y z

, cho

a = (2; 1; - 3)

b = (- 2; - 1; 2)

. Tích vô hướng

a \cdot b

bằng
A.

- 2

.
B.

- 11

.
C.

11

.
D.

2

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vectơ đã cho toạ độ nên dùng thẳng công thức

x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

. Để ý cả ba tích thành phần đều âm nên kết quả chắc chắn âm. Bẫy: cộng nhầm dấu ở tích

(- 3) \cdot 2

1Cách 1. Công thức toạ độ

Định hướng. Nhân từng cặp toạ độ rồi cộng lại.

a \cdot b = 2 \cdot (- 2) + 1 \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 2

= - 4 - 1 - 6

= - 11

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tách vectơ để thấy cấu trúc

Định hướng. Để ý $b = - (2; 1; - 2)$ gần giống $a$ , nên đưa về một tích dễ nhẩm.

a \cdot b = - (2; 1; - 3) \cdot (2; 1; - 2)

= - (4 + 1 + 6)

= - 11

Vậy chọn B.

3Cách 3. Loại trừ theo dấu và tính chẵn lẻ

Định hướng. Không cần tính hết cũng khoanh được.

Ba tích

2 \cdot (- 2)

1 \cdot (- 1)

(- 3) \cdot 2

đều âm

\Rightarrow

a \cdot b < 0

: loại C, D

- 4

chẵn,

- 1

lẻ,

- 6

chẵn

\Rightarrow

tổng lẻ: loại A

Vậy còn lại B.

Nhận xét. Cách 3 là mẹo loại trừ, luôn nên thử lại bằng Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba phép nhân, một phép cộng.

Đáp số. Đáp án B:

- 11

Sai lầm thường gặp. Tính

(- 3) \cdot 2 = 6

(quên dấu) sẽ ra

- 4 - 1 + 6 = 1

— không có trong phương án, hoặc tính

(- 3) \cdot (- 2)

vì chép nhầm toạ độ ra

1

. Cần viết đủ từng tích có ngoặc.

🚀 Mở rộng. Tính thêm góc giữa

a

và

b

cos (a, b) = \frac{- 11}{14 \cdot 3} \approx - 0, 98

, góc gần

16 9^{\circ}

— hai vectơ gần như ngược hướng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 2.33★★Trang 73— Trắc nghiệm — góc giữa hai vectơ bằng toạ độ

Bài 2.33 (trang 73). Trong không gian

O x y z

, cho

a = (2; 1; - 2)

b = (0; - 1; 1)

. Góc giữa hai vectơ

a

b

bằng
A.

6 0^{\circ}

.
B.

13 5^{\circ}

.
C.

12 0^{\circ}

.
D.

4 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ cos (a, b)$ .
$a \cdot b < 0$ $⟺$ góc giữa hai vectơ là góc tù.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi góc giữa hai vectơ khi đã biết toạ độ — công cụ là côsin bằng tích vô hướng chia tích độ dài. Dấu của tích vô hướng cho biết ngay góc tù hay nhọn, loại được một nửa phương án. Bẫy: nhầm góc giữa hai VECTƠ (từ

0^{\circ}

đến

18 0^{\circ}

) với góc giữa hai ĐƯỜNG THẲNG (không quá

9 0^{\circ}

1Cách 1. Công thức côsin

Định hướng. Tính tích vô hướng và hai độ dài.

a \cdot b = 2 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 1 = - 3

∣ a ∣ = 4 + 1 + 4 = 3

∣ b ∣ = 0 + 1 + 1 = 2

cos (a, b) = \frac{- 3}{3 2} = - \frac{2}{2}

(a, b) = 13 5^{\circ}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Loại trừ theo dấu rồi so hai phương án tù

Định hướng. $a \cdot b < 0$ nên góc tù, chỉ còn $12 0^{\circ}$ và $13 5^{\circ}$ .

a \cdot b = - 3 < 0

: loại A, D

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

\frac{- 3}{3 2} = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Định lí côsin cho tam giác dựng từ hai vectơ

Định hướng. Đặt $O A = a$ , $O B = b$ ; ba cạnh tam giác $O A B$ đều tính được bằng độ dài vectơ.

a - b = (2; 2; - 3)

\Rightarrow

A B^{2} = 4 + 4 + 9 = 17

17 = 9 + 2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 cos (a, b)

cos (a, b) = \frac{11 - 17}{6 2} = - \frac{1}{2}

(a, b) = 13 5^{\circ}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy công thức côsin bằng tích vô hướng thực chất là định lí côsin viết theo toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dấu âm loại ngay hai phương án, rồi chỉ cần nhận ra

- \frac{1}{2}

Đáp số. Đáp án B:

13 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lấy trị tuyệt đối của côsin, ra

\frac{2}{2}

rồi chọn

4 5^{\circ}

(phương án D). Công thức đó dành cho góc giữa hai ĐƯỜNG THẲNG; góc giữa hai VECTƠ phải giữ dấu.

🚀 Mở rộng. Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương

a

b

ở bài này bằng

18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

— hãy phân biệt khi gặp ở Chương V.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 2.34★★Trang 74— Trắc nghiệm — côsin góc giữa hai vectơ

Bài 2.34 (trang 74). Trong không gian

O x y z

, cho

a = (- 2; 2; 2)

b = (1; - 1; - 2)

. Côsin của góc giữa hai vectơ

a

b

bằng
A.

\frac{- 2 2}{3}

.
B.

\frac{2 2}{3}

.
C.

\frac{2}{3}

.
D.

\frac{- 2}{3}

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$cos (k c, b) = cos (c, b)$ khi $k > 0$ và $= - cos (c, b)$ khi $k < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho toạ độ, hỏi côsin — dùng thẳng công thức. Tích vô hướng âm nên chỉ còn A hoặc D; phân biệt hai phương án này bằng giá trị tuyệt đối. Bẫy: rút gọn căn sai,

\frac{8}{72}

thành

\frac{2}{3}

1Cách 1. Công thức côsin

Định hướng. Tích vô hướng chia tích hai độ dài.

a \cdot b = - 2 - 2 - 4 = - 8

∣ a ∣ = 4 + 4 + 4 = 23

∣ b ∣ = 1 + 1 + 4 = 6

cos (a, b) = \frac{- 8}{2 3 \cdot 6} = \frac{- 8}{2 18} = \frac{- 8}{6 2} = \frac{- 4}{3 2} = \frac{- 2 2}{3}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Rút thừa số chung của

a

Định hướng. $a = - 2 (1; - 1; - 1)$ , nên côsin chỉ đổi dấu so với $c = (1; - 1; - 1)$ .

c \cdot b = 1 + 1 + 2 = 4

∣ c ∣ = 3

∣ b ∣ = 6

cos (c, b) = \frac{4}{18} = \frac{4}{3 2} = \frac{2 2}{3}

cos (a, b) = - cos (c, b) = \frac{- 2 2}{3}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Định lí côsin

Định hướng. Dựng tam giác $O A B$ với $O A = a$ , $O B = b$ .

a - b = (- 3; 3; 4)

\Rightarrow

∣ a - b ∣^{2} = 9 + 9 + 16 = 34

34 = 12 + 6 - 2 \cdot 23 \cdot 6 cos (a, b)

cos (a, b) = \frac{18 - 34}{4 18} = \frac{- 16}{12 2} = \frac{- 2 2}{3}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 2 là mẹo hay dùng: rút thừa số chung để các số nhỏ lại, chỉ cần nhớ đổi dấu khi hệ số âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: số nhỏ, khó nhầm, và dấu âm hiện ra rõ ràng.

Đáp số. Đáp án A:

cos (a, b) = \frac{- 2 2}{3}

Sai lầm thường gặp. Hay quên dấu âm của tích vô hướng rồi chọn B. Hoặc rút gọn

\frac{8}{72}

thành

\frac{8}{6 2}

rồi lại nhầm thành

\frac{2}{3}

; đúng là

\frac{8}{6 2} = \frac{4}{3 2} = \frac{2 2}{3}

🚀 Mở rộng. Từ đáp số, góc giữa

a

và

b

xấp xỉ

160, 5^{\circ}

; thử tìm một vectơ

b^{'}

cùng độ dài với

b

sao cho

a ⊥ b^{'}

, chẳng hạn

b^{'} = (1; - 1; 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 2.35★★Trang 74— Chứng minh đẳng thức vectơ trong hình chóp

Bài 2.35 (trang 74). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

S A + S C = S B + S D

Kiến thức cần nhớ

$O$ là trung điểm $A C$ $⟺$ $S A + S C = 2 S O$ với mọi điểm $S$ .
Quy tắc hiệu: $S A - S B = B A$ .
$A B C D$ là hình bình hành $⟺$ $A B = D C$ $⟺$ $A B + A D = A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế là tổng hai vectơ đi từ

S

tới hai đầu mút của hai đường chéo

A C

và

B D

. Tổng hai vectơ chung gốc tới hai đầu một đoạn thẳng gợi ngay tới trung điểm của đoạn đó, mà hai đường chéo hình chữ nhật có chung trung điểm

O

. Để ý tính chất cần dùng chỉ là \"hình bình hành\" — giả thiết chữ nhật là dư.

1Cách 1. Dùng trung điểm chung của hai đường chéo

Định hướng. Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ ; $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo.

S A + S C = 2 S O

S B + S D = 2 S O

\Rightarrow

S A + S C = S B + S D

Vậy đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Chuyển vế, dùng quy tắc hiệu

Định hướng. Chứng minh hiệu hai vế bằng $0$ .

(S A + S C) - (S B + S D) = (S A - S B) + (S C - S D)

= B A + D C

= B A + A B

= 0

Vậy $S A + S C = S B + S D$ .

3Cách 3. Chèn điểm

A

vào mọi vectơ

Định hướng. Biểu diễn $S B, S C, S D$ qua $S A$ và các vectơ trong mặt đáy.

S A + S C = S A + S A + A C = 2 S A + A C

S B + S D = S A + A B + S A + A D = 2 S A + A B + A D

A B + A D = A C

\Rightarrow

hai vế cùng bằng

2 S A + A C

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Cả ba cách chỉ dùng tính chất hình bình hành của đáy, nên kết quả vẫn đúng khi đáy là hình bình hành bất kì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi tâm

O

rồi viết hai dòng là xong, lại cho thấy rõ ý nghĩa hình học.

Đáp số. Đã chứng minh:

S A + S C = S B + S D = 2 S O

với

O

là tâm đáy.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: \"vì

S A = S C

và

S B = S D

\" rồi suy ra đẳng thức vectơ. Đề không cho hình chóp đều, và kể cả độ dài bằng nhau cũng không suy ra vectơ bằng nhau. Một sai lầm khác là viết

B A + D C = 0

mà không nêu lí do

D C = A B

🚀 Mở rộng. Điều ngược lại cũng đúng: nếu với một điểm

S

nào đó có

S A + S C = S B + S D

thì

B A = C D

, tức

A B C D

là hình bình hành (khi bốn điểm không thẳng hàng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 2.36★★★Trang 74— Phân tích vectơ theo hai vectơ cho trước

Bài 2.36 (trang 74). Cho tứ diện

A B C D

, lấy hai điểm

M

N

thoả mãn

M B + 2 M A = 0

và

N C = 2 D N

. Hãy biểu diễn

M N

theo

A D

và

B C

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc ba điểm (chèn điểm): $M N = M X + X Y + Y N$ .
$M B + 2 M A = 0$ $⟺$ $A M = \frac{1}{3} A B$ .
$N C = 2 D N$ $⟺$ $D N = \frac{1}{3} D C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hệ thức cho biết vị trí của

M

trên

A B

(

A M = \frac{1}{3} A B

) và của

N

trên

C D

(

D N = \frac{1}{3} D C

). Muốn

M N

chỉ còn

A D

và

B C

thì phải đi hai đường:

M \to A \to D \to N

và

M \to B \to C \to N

, rồi chọn hệ số để các vectơ thừa triệt tiêu. Bẫy: đọc nhầm

N C = 2 D N

thành

N

gần

C

1Cách 1. Chèn điểm theo hai đường rồi cộng có hệ số

Định hướng. Đi hai đường $M \to A \to D \to N$ và $M \to B \to C \to N$ , nhân đường thứ nhất với $2$ để khớp với hai hệ thức đề cho.

2 M N = 2 M A + 2 A D + 2 D N

M N = M B + B C + C N

3 M N = (2 M A + M B) + 2 A D + B C + (2 D N - N C)

3 M N = 0 + 2 A D + B C + 0

M N = \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C

Vậy $M N = \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C$ .

2Cách 2. Chọn

A

làm gốc, dùng vectơ vị trí

Định hướng. Đặt $b = A B$ , $c = A C$ , $d = A D$ ; mọi điểm đều biểu diễn được qua ba vectơ này.

A M = \frac{1}{3} b

A N = A D + \frac{1}{3} D C = d + \frac{1}{3} (c - d) = \frac{1}{3} c + \frac{2}{3} d

M N = A N - A M = \frac{2}{3} d + \frac{1}{3} (c - b)

= \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C

Vậy $M N = \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C$ .

3Cách 3. Một đường chèn điểm rồi khử vectơ thừa

Định hướng. Đi $M \to A \to D \to N$ , sau đó phân tích $D C$ qua $A D$ , $A B$ , $B C$ để $A B$ tự triệt tiêu.

M N = M A + A D + D N = - \frac{1}{3} A B + A D + \frac{1}{3} D C

= - \frac{1}{3} A B + A D + \frac{1}{3} (D A + A B + B C)

= - \frac{1}{3} A B + A D - \frac{1}{3} A D + \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} B C

= \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C

Vậy $M N = \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C$ .

Nhận xét. Các hệ số 2/3 và 1/3 có tổng bằng 1: MN là "trung bình có trọng số" của AD và BC, đúng với vị trí M, N chia các cạnh theo cùng tỉ số 1 : 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân

2

đúng chỗ là hai hệ thức đề cho tự biến thành

0

, không phải tính vị trí từng điểm.

Đáp số.

M N = \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} B C

Sai lầm thường gặp. Đọc

N C = 2 D N

thành \"

N

gần

C

\" rồi lấy

D N = \frac{2}{3} D C

, sẽ ra

M N = \frac{1}{3} A D + \frac{2}{3} B C

— sai. Đúng là

N C = 2 D N

nên

N

gần

D

. Tương tự

M B = 2 M A

nên

M

gần

A

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

A M = k A B

và

D N = k D C

thì

M N = (1 - k) A D + k B C

; với

k = \frac{1}{2}

ta được công thức đường trung bình

M N = \frac{1}{2} (A D + B C)

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 2.37★★★Trang 74— Biểu diễn vectơ theo ba vectơ cạnh; chứng minh ba điểm thẳng hàng

Bài 2.37 (trang 74). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, gọi

G

là trọng tâm của tam giác

B D A^{'}

.
a) Biểu diễn

A G

theo

A B

A D

và

A A^{'}

.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm

A

G

và

C^{'}

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $X Y Z$ $⟺$ $A G = \frac{1}{3} (A X + A Y + A Z)$ với mọi điểm $A$ .
Quy tắc hình hộp: với hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ta có $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
$A, G, C^{'}$ thẳng hàng $⟺$ có số $k$ để $A G = k A C^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba đỉnh

B, D, A^{'}

của tam giác chính là ba điểm cuối của ba vectơ cạnh xuất phát từ

A

, nên

A G

là trung bình cộng của

A B, A D, A A^{'}

. Tổng ba vectơ cạnh lại là

A C^{'}

(quy tắc hình hộp), nên câu b gần như có sẵn. Bẫy: quên rằng thẳng hàng cần hai vectơ CÙNG GỐC cùng phương.

1Cách 1. Công thức trọng tâm với điểm gốc

A

Định hướng. Dùng hệ thức trọng tâm với gốc là chính đỉnh $A$ của hình hộp.

A G = \frac{1}{3} (A B + A D + A A^{'})

A B + A D + A A^{'} = A C^{'}

\Rightarrow

A G = \frac{1}{3} A C^{'}

Vậy a) $A G = \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} A D + \frac{1}{3} A A^{'}$ ; b) $A G$ và $A C^{'}$ cùng phương, chung điểm $A$ nên $A, G, C^{'}$ thẳng hàng.

2Cách 2. Qua trung điểm

I

của

B D

Định hướng. $G$ nằm trên trung tuyến $A^{'} I$ với $I G = \frac{1}{3} I A^{'}$ .

A I = \frac{1}{2} (A B + A D)

A G = A I + \frac{1}{3} (A A^{'} - A I) = \frac{2}{3} A I + \frac{1}{3} A A^{'}

= \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} A D + \frac{1}{3} A A^{'}

= \frac{1}{3} A C^{'}

Vậy $A G = \frac{1}{3} A C^{'}$ , suy ra $A, G, C^{'}$ thẳng hàng và $A G = \frac{1}{3} A C^{'}$ .

3Cách 3. Hình học phẳng trong mặt chéo

A C C^{'} A^{'}

Định hướng. $I$ là trung điểm $B D$ nên cũng là trung điểm $A C$ ; xét hình bình hành $A C C^{'} A^{'}$ và giao điểm $K$ của $A^{'} I$ với $A C^{'}$ .

A I ∥ A^{'} C^{'}

A I = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} A^{'} C^{'}

△ K A I ∽ △ K C^{'} A^{'}

\Rightarrow

\frac{K I}{K A ^{'}} = \frac{A I}{C ^{'} A ^{'}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow

A^{'} K = \frac{2}{3} A^{'} I

, mà

A^{'} I

là trung tuyến của tam giác

B D A^{'}

\Rightarrow

K \equiv G

G \in A C^{'}

và

\frac{K A}{K C ^{'}} = \frac{1}{2}

Vậy $G$ nằm trên đường chéo $A C^{'}$ với $A G = \frac{1}{3} A C^{'}$ , khớp với $A G = \frac{1}{3} (A B + A D + A A^{'})$ .

Nhận xét. Cách 3 chứng minh thẳng hàng trước rồi mới suy ra biểu diễn — ngược chiều với đề nhưng cho thấy vì sao đường chéo AC′ đi qua trọng tâm tam giác BDA′.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức trọng tâm, một quy tắc hình hộp, cả hai câu xong trong ba dòng.

Đáp số. a)

A G = \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} A D + \frac{1}{3} A A^{'}

. b)

A G = \frac{1}{3} A C^{'}

nên

A, G, C^{'}

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: kết luận thẳng hàng chỉ từ \"

A G

và

A C^{'}

cùng phương\" mà không nói chúng chung điểm

A

— hai vectơ cùng phương có thể nằm trên hai đường thẳng song song. Một lỗi khác là viết

A G = A B + A D + A A^{'}

(quên chia

3

🚀 Mở rộng. Tương tự, trọng tâm

G^{'}

của tam giác

C B^{'} D^{'}

cũng nằm trên

A C^{'}

với

A G^{'} = \frac{2}{3} A C^{'}

: đường chéo

A C^{'}

bị hai mặt phẳng

(B D A^{'})

và

(C B^{'} D^{'})

chia thành ba đoạn bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 2.38★★Trang 74— Toạ độ trọng tâm; điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng

Bài 2.38 (trang 74). Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (2; - 1; 3)

B (1; 1; - 1)

và

C (- 1; 0; 2)

.
a) Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác

A B C

.
b) Tìm toạ độ điểm

M

thuộc trục

O z

sao cho đường thẳng

B M

vuông góc với đường thẳng

A C

Kiến thức cần nhớ

$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$ .
Điểm thuộc trục $O z$ có dạng $M (0; 0; z)$ .
Hai đường thẳng vuông góc $⟺$ tích vô hướng hai vectơ chỉ phương bằng $0$ $⟺$ $∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} = ∣ u - v ∣^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là công thức trọng tâm trực tiếp. Câu b: điểm trên trục

O z

chỉ còn một ẩn

M (0; 0; z)

, và \"

B M ⊥ A C

\" chuyển thành một phương trình bậc nhất

B M \cdot A C = 0

. Bẫy: viết nhầm điểm trên

O z

là

(z; 0; 0)

1Cách 1. Công thức trọng tâm và tích vô hướng

Định hướng. Tính thẳng $G$ ; đặt $M (0; 0; z)$ rồi cho tích vô hướng bằng $0$ .

G (\frac{2 + 1 - 1}{3}; \frac{- 1 + 1 + 0}{3}; \frac{3 - 1 + 2}{3}) = (\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})

B M = (- 1; - 1; z + 1)

A C = (- 3; 1; - 1)

B M \cdot A C = 3 - 1 - (z + 1) = 1 - z

1 - z = 0 ⟺ z = 1

Vậy a) $G (\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})$ ; b) $M (0; 0; 1)$ .

2Cách 2. Trọng tâm qua trung điểm; vuông góc qua định lí Pythagore

Định hướng. a) $G$ nằm trên trung tuyến $A I$ với $A G = \frac{2}{3} A I$ . b) Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi bình phương độ dài của hiệu bằng tổng bình phương độ dài.

I (0; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

A I = (- 2; \frac{3}{2}; - \frac{5}{2})

A G = (- \frac{4}{3}; 1; - \frac{5}{3})

G = (2 - \frac{4}{3}; - 1 + 1; 3 - \frac{5}{3}) = (\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})

B M - A C = (2; - 2; z + 2)

[1 + 1 + (z + 1)^{2}] + 11 = 4 + 4 + (z + 2)^{2}

z^{2} + 2 z + 14 = z^{2} + 4 z + 12

2 z = 2 ⟺ z = 1

Vậy a) $G (\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})$ ; b) $M (0; 0; 1)$ .

3Cách 3. Hệ thức vectơ trọng tâm; thử lại điều kiện bằng toạ độ

Định hướng. a) Từ $G A + GB + GC = 0$ lập hệ cho $G (x; y; z)$ . b) Tách $B M = B O + O M$ .

(2 - x) + (1 - x) + (- 1 - x) = 0 ⟺ x = \frac{2}{3}

;

(- 1 - y) + (1 - y) + (0 - y) = 0 ⟺ y = 0

;

(3 - z) + (- 1 - z) + (2 - z) = 0 ⟺ z = \frac{4}{3}

B M \cdot A C = B O \cdot A C + O M \cdot A C

= (- 1; - 1; 1) \cdot (- 3; 1; - 1) + (0; 0; z) \cdot (- 3; 1; - 1)

= (3 - 1 - 1) + (- z) = 1 - z

1 - z = 0 ⟺ z = 1

Vậy $G (\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})$ , $M (0; 0; 1)$ .

Nhận xét. Tập hợp các điểm $M$ để $B M ⊥ A C$ là một mặt phẳng qua $B$ vuông góc với $A C$ ; điểm cần tìm là giao của mặt phẳng ấy với trục $O z$ (sẽ học ở Chương V).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức trọng tâm và một phương trình bậc nhất

1 - z = 0

Đáp số. a)

G (\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})

. b)

M (0; 0; 1)

Sai lầm thường gặp. Viết điểm trên trục

O z

là

M (z; 0; 0)

hoặc

M (0; z; 0)

— sai: trên

O z

thì hoành độ và tung độ bằng

0

. Cũng hay nhầm dấu khi tính

B M = (0 - 1; 0 - 1; z - (- 1)) = (- 1; - 1; z + 1)

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

N

trên trục

O x

để

B N ⊥ A C

N (x; 0; 0)

B N \cdot A C = - 3 (x - 1) - 1 - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{3}

, tức

N (\frac{1}{3}; 0; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 2.39★★Trang 74— Tìm toạ độ các đỉnh hình hộp

Bài 2.39 (trang 74). Trong không gian

O x y z

, cho hình hộp

O A B C . O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}

và các điểm

A (2; 3; 1)

C (- 1; 2; 3)

và

O^{'} (1; - 2; 2)

. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $O A B C$ là hình bình hành $\Rightarrow$ $O B = O A + O C$ .
Quy tắc hình hộp: $O B^{'} = O A + O C + O O^{'}$ .
Toạ độ điểm $M$ là toạ độ của vectơ $O M$ .

🧠 Phân tích tư duy

O

là gốc toạ độ nên toạ độ của

A, C, O^{'}

chính là toạ độ của ba vectơ cạnh

O A, O C, O O^{'}

. Mọi đỉnh còn lại là tổng của hai hoặc ba vectơ trong bộ này. Bẫy: nhầm thứ tự đỉnh, cho

B

là tổng

O A + O O^{'}

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành và tịnh tiến theo cạnh bên

Định hướng. Tìm $B$ trong đáy, rồi cộng $O O^{'}$ để lên đáy trên.

O B = O A + O C = (2 - 1; 3 + 2; 1 + 3) = (1; 5; 4)

O A^{'} = O A + A A^{'} = O A + O O^{'} = (3; 1; 3)

O C^{'} = O C + O O^{'} = (0; 0; 5)

O B^{'} = O B + O O^{'} = (2; 3; 6)

Vậy $B (1; 5; 4)$ , $A^{'} (3; 1; 3)$ , $C^{'} (0; 0; 5)$ , $B^{'} (2; 3; 6)$ .

2Cách 2. Quy tắc hình hộp và trung điểm đường chéo

Định hướng. $B^{'}$ cho bởi quy tắc hình hộp; các đỉnh khác lấy từ tâm $I$ của hình hộp (trung điểm chung của bốn đường chéo).

O B^{'} = O A + O C + O O^{'} = (2; 3; 6)

\Rightarrow

I (1; \frac{3}{2}; 3)

C^{'} = 2 I - A = (2 - 2; 3 - 3; 6 - 1) = (0; 0; 5)

A^{'} = 2 I - C = (2 + 1; 3 - 2; 6 - 3) = (3; 1; 3)

B = 2 I - O^{'} = (2 - 1; 3 + 2; 6 - 2) = (1; 5; 4)

Vậy $B (1; 5; 4)$ , $A^{'} (3; 1; 3)$ , $B^{'} (2; 3; 6)$ , $C^{'} (0; 0; 5)$ .

3Cách 3. Hai vectơ bằng nhau trên từng mặt

Định hướng. Mỗi mặt là hình bình hành nên có cặp vectơ bằng nhau; gọi toạ độ đỉnh rồi so từng thành phần.

C B = O A

B = C + (2; 3; 1) = (1; 5; 4)

O^{'} A^{'} = O A

A^{'} = O^{'} + (2; 3; 1) = (3; 1; 3)

O^{'} C^{'} = O C

C^{'} = O^{'} + (- 1; 2; 3) = (0; 0; 5)

C^{'} B^{'} = O A

B^{'} = C^{'} + (2; 3; 1) = (2; 3; 6)

Vậy $B (1; 5; 4)$ , $A^{'} (3; 1; 3)$ , $C^{'} (0; 0; 5)$ , $B^{'} (2; 3; 6)$ .

Nhận xét. Thử lại: trung điểm của $O B^{'}$ và của $A C^{'}$ đều là $(1; \frac{3}{2}; 3)$ — khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mọi đỉnh là tổng các toạ độ của

A

C

O^{'}

, cộng nhẩm được ngay.

Đáp số.

B (1; 5; 4)

A^{'} (3; 1; 3)

B^{'} (2; 3; 6)

C^{'} (0; 0; 5)

Sai lầm thường gặp. Nhầm thứ tự đỉnh: trong hình bình hành

O A B C

đỉnh

B

đối diện

O

, nên

O B = O A + O C

, không phải

O A - O C = (3; 1; - 2)

. Cũng hay quên rằng

O

là gốc toạ độ

(0; 0; 0)

🚀 Mở rộng. Với hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

bất kì (đỉnh

A

không ở gốc), công thức tương ứng là

C^{'} = B + D + A^{'} - 2 A

— hãy tự kiểm chứng bằng quy tắc hình hộp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 2.40★Trang 74— Phép toán vectơ, độ dài và côsin góc bằng toạ độ

Bài 2.40 (trang 74). Trong không gian

O x y z

, cho hai vectơ

a = (- 2; 1; 2)

b = (1; 1; - 1)

.
a) Xác định toạ độ của vectơ

u = a - 2 b

.
b) Tính độ dài vectơ

u

.
c) Tính

cos (a, b)

Kiến thức cần nhớ

Với $a = (x; y; z)$ , $b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $a \pm b = (x \pm x^{'}; y \pm y^{'}; z \pm z^{'})$ , $k a = (k x; k y; k z)$ .
$a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ; $cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
$∣ a - 2 b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - 4 a \cdot b + 4∣ b ∣^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu là ba công thức toạ độ nối tiếp nhau: câu a cho toạ độ, câu b dùng toạ độ câu a, câu c độc lập. Có thể tính câu b mà không cần câu a nhờ khai triển bình phương vô hướng. Bẫy: quên nhân

2

vào toạ độ thứ ba của

b

1Cách 1. Tính trực tiếp bằng toạ độ

Định hướng. Làm lần lượt ba câu bằng công thức.

u = (- 2 - 2; 1 - 2; 2 + 2) = (- 4; - 1; 4)

∣ u ∣ = (- 4)^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2} = 33

a \cdot b = - 2 + 1 - 2 = - 3

∣ a ∣ = 3

∣ b ∣ = 3

cos (a, b) = \frac{- 3}{3 3} = - \frac{3}{3}

Vậy $u = (- 4; - 1; 4)$ , $∣ u ∣ = 33$ , $cos (a, b) = - \frac{3}{3}$ .

2Cách 2. Khai triển bình phương vô hướng

Định hướng. Tính $∣ u ∣$ từ $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ , $a \cdot b$ — ba số cũng dùng lại cho câu c.

∣ a ∣^{2} = 9

∣ b ∣^{2} = 3

a \cdot b = - 3

∣ u ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - 4 a \cdot b + 4∣ b ∣^{2} = 9 + 12 + 12 = 33

∣ u ∣ = 33

cos (a, b) = \frac{- 3}{9 \cdot 3} = - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3}

Vậy $∣ u ∣ = 33$ , $cos (a, b) = - \frac{3}{3}$ (toạ độ $u$ như Cách 1).

3Cách 3. Định lí côsin cho câu c

Định hướng. Dựng $O A = a$ , $O B = b$ ; cạnh thứ ba là $∣ a - b ∣$ .

a - b = (- 3; 0; 3)

\Rightarrow

∣ a - b ∣^{2} = 18

18 = 9 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot 3 cos (a, b)

cos (a, b) = \frac{12 - 18}{6 3} = - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3}

Vậy $cos (a, b) = - \frac{3}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra chéo được Cách 1 mà không phải tính lại toạ độ — rất tiện để dò lỗi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a, c và Cách 2 để thử lại câu b:

9 + 12 + 12 = 33

Đáp số. a)

u = (- 4; - 1; 4)

. b)

∣ u ∣ = 33

. c)

cos (a, b) = - \frac{3}{3}

Sai lầm thường gặp. Tính

2 b = (2; 2; - 1)

(quên nhân toạ độ cuối) sẽ ra

u = (- 4; - 1; 3)

và

∣ u ∣ = 26

— sai. Ở câu c hay bỏ dấu âm của

a \cdot b

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

a + m b

vuông góc với

b

(a + m b) \cdot b = - 3 + 3 m = 0 ⟺ m = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 2.41★★★Trang 74— Toạ độ vectơ, độ dài; tìm điểm theo hệ thức vectơ; ba điểm thẳng hàng

Bài 2.41 (trang 74). Trong không gian

O x y z

, cho các điểm

A (4; 2; - 1)

B (1; - 1; 2)

và

C (0; - 2; 3)

.
a) Tìm toạ độ của vectơ

A B

và tính độ dài đoạn thẳng

A B

.
b) Tìm toạ độ điểm

M

sao cho

A B + C M = 0

.
c) Tìm toạ độ điểm

N

thuộc mặt phẳng

(O x y)

sao cho

A

B

N

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ , $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
$A B + C M = 0$ $⟺$ $C M = B A$ .
$A, B, N$ thẳng hàng $⟺$ $A N = k A B$ với $k \in R$ .
Điểm thuộc $(O x y)$ có cao độ bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b là công thức trực tiếp. Câu c: \"

N

thuộc

(O x y)

\" cho

z_{N} = 0

, còn \"thẳng hàng\" cho

A N = k A B

— đủ bốn phương trình cho bốn ẩn

x, y, k

(và

z = 0

). Để ý: điểm

M

ở câu b tình cờ có cao độ

0

, rất đáng kiểm tra xem có phải chính là

N

không.

1Cách 1. Công thức toạ độ và điều kiện cùng phương

Định hướng. Đặt $M (x; y; z)$ , $N (x; y; 0)$ rồi so từng toạ độ.

A B = (- 3; - 3; 3)

A B = 9 + 9 + 9 = 33

C M = - A B = (3; 3; - 3)

\Rightarrow

M = (0 + 3; - 2 + 3; 3 - 3) = (3; 1; 0)

A N = (x - 4; y - 2; 1) = k (- 3; - 3; 3)

3 k = 1 ⟺ k = \frac{1}{3}

\Rightarrow

x - 4 = - 1

y - 2 = - 1

x = 3

y = 1

Vậy a) $A B = (- 3; - 3; 3)$ , $A B = 33$ ; b) $M (3; 1; 0)$ ; c) $N (3; 1; 0)$ .

2Cách 2. Hình bình hành cho câu b, tỉ số toạ độ cho câu c

Định hướng. b) $C M = B A$ cho ngay $M = C + A - B$ theo từng toạ độ. c) Ba toạ độ của $A N$ và $A B$ tỉ lệ.

M = (4 + 0 - 1; 2 - 2 + 1; - 1 + 3 - 2) = (3; 1; 0)

\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{0 - ( - 1 )}{3} = \frac{1}{3}

x = 4 - 1 = 3

y = 2 - 1 = 1

Vậy $M (3; 1; 0)$ , $N (3; 1; 0)$ .

3Cách 3. Dùng lại kết quả câu b cho câu c

Định hướng. $M (3; 1; 0)$ đã thuộc $(O x y)$ ; chỉ cần kiểm tra $A, B, M$ thẳng hàng. Đường thẳng $A B$ không nằm trong $(O x y)$ nên cắt $(O x y)$ tại không quá một điểm.

A M = (3 - 4; 1 - 2; 0 + 1) = (- 1; - 1; 1)

A B = (- 3; - 3; 3) = 3 A M

\Rightarrow

A, B, M

thẳng hàng,

M \in (O x y)

z_{A} = - 1 \neq = z_{B} = 2

\Rightarrow

A B

cắt

(O x y)

tại đúng một điểm

Vậy $N \equiv M$ , tức $N (3; 1; 0)$ .

Nhận xét. Không phải tình cờ: $C M = B A$ và ở đây ta còn có $A M = \frac{1}{3} A B$ , nên $C$ cũng nằm trên đường thẳng $A B$ — ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Kiểm tra: $A C = (- 4; - 4; 4) = \frac{4}{3} A B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a, b và Cách 2 cho câu c: viết một dãy tỉ số là ra ngay

N

Đáp số. a)

A B = (- 3; - 3; 3)

A B = 33

. b)

M (3; 1; 0)

. c)

N (3; 1; 0)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b hay giải

C M = A B

(quên dấu trừ), ra

M (- 3; - 5; 6)

. Ở câu c hay đặt

N (x; 0; y)

vì nhầm mặt phẳng

(O x y)

với

(O x z)

; trên

(O x y)

thì cao độ bằng

0

🚀 Mở rộng. Tìm giao điểm của đường thẳng

A B

với mặt phẳng

(O y z)

: cho

x = 0

được

k = \frac{4}{3}

, điểm

(0; - 2; 3)

— chính là

C

, khớp với nhận xét

A, B, C

thẳng hàng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 2.42★★Trang 74— Gắn hệ toạ độ vào bài toán thực tế; khoảng cách hai điểm

Bài 2.42 (trang 74). Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là

0, 5

m, cách hai tường lần lượt là

1, 2

m và

1, 6

m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là

0, 4

m, cách hai tường đều là

1, 5

m.
a) Lập một hệ trục toạ độ

O x y z

phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ $M (x; y; z)$ tới các mặt phẳng $(O y z)$ , $(O x z)$ , $(O x y)$ lần lượt là $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ , $∣ z ∣$ .
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
Khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc cách chọn hệ trục toạ độ.

🧠 Phân tích tư duy

Trần nhà và hai bức tường đôi một vuông góc — giống hệt ba mặt phẳng toạ độ, nên đặt gốc

O

ở góc trần là tự nhiên nhất. Khi đó khoảng cách tới mỗi mặt phẳng chính là trị tuyệt đối một toạ độ. Bẫy: đặt

O z

hướng lên thì cao độ của đèn là số âm; muốn toạ độ dương thì cho

O z

hướng xuống.

1Cách 1. Gốc ở góc trần,

O z

hướng xuống sàn

Định hướng. Chọn $O$ là góc trần; $O x$ , $O y$ là giao tuyến của trần với hai bức tường, $O z$ là giao tuyến của hai bức tường, hướng xuống sàn (đơn vị: mét). Tường thứ nhất là $(O y z)$ , tường thứ hai là $(O x z)$ , trần là $(O x y)$ .

a) Lúc đầu:

A (1, 2; 1, 6; 0, 5)

; sau khi di chuyển:

B (1, 5; 1, 5; 0, 4)

A B = (0, 3; - 0, 1; - 0, 1)

A B = 0, 3^{2} + (- 0, 1)^{2} + (- 0, 1)^{2} = 0, 09 + 0, 01 + 0, 01 = 0, 11 \approx 0, 33

Vậy a) $A (1, 2; 1, 6; 0, 5)$ , $B (1, 5; 1, 5; 0, 4)$ ; b) bóng đèn đã dời khoảng $0, 3$ m.

2Cách 2. Tách chuyển động ngang và chuyển động dọc

Định hướng. Chiếu $A$ , $B$ lên trần được $A_{1}$ , $B_{1}$ ; độ dời ngang là $A_{1} B_{1}$ , độ dời dọc là chênh lệch khoảng cách tới trần, hai phương vuông góc với nhau.

A_{1} B_{1}^{2} = (1, 5 - 1, 2)^{2} + (1, 5 - 1, 6)^{2} = 0, 09 + 0, 01 = 0, 1

Chênh lệch độ cao:

0, 5 - 0, 4 = 0, 1

A B^{2} = A_{1} B_{1}^{2} + 0, 1^{2} = 0, 1 + 0, 01 = 0, 11

A B = 0, 11 \approx 0, 33

Vậy vị trí mới cách vị trí cũ khoảng $0, 3$ m.

3Cách 3. Hệ trục khác:

O z

hướng lên

Định hướng. Vẫn đặt $O$ ở góc trần, $O x$ , $O y$ như Cách 1 nhưng $O z$ hướng lên; đèn ở dưới trần nên có cao độ âm.

A (1, 2; 1, 6; - 0, 5)

B (1, 5; 1, 5; - 0, 4)

A B = (0, 3; - 0, 1; 0, 1)

A B = 0, 09 + 0, 01 + 0, 01 = 0, 11 \approx 0, 33

Vậy kết quả vẫn là khoảng $0, 3$ m.

Nhận xét. Toạ độ phụ thuộc hệ trục ta chọn, nhưng khoảng cách thì không — đây là lí do đề cho phép "lập một hệ trục phù hợp".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hệ trục đặt ở góc trần làm mọi toạ độ dương, đọc thẳng từ đề.

Đáp số. a) Với

O

là góc trần,

O z

hướng xuống: lúc đầu

A (1, 2; 1, 6; 0, 5)

, lúc sau

B (1, 5; 1, 5; 0, 4)

. b)

A B = 0, 11 \approx 0, 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm 1: chỉ tính độ dời ngang

0, 1 \approx 0, 32

m mà quên đèn còn được nâng lên

0, 1

m. Sai lầm 2: làm tròn

0, 11 \approx 0, 33

thành

0, 4

— đúng phải là

0, 3

m vì chữ số thập phân thứ hai là

3 < 5

🚀 Mở rộng. Nếu đèn chỉ được dời theo phương ngang (giữ

0, 5

m cách trần) tới vị trí cách hai tường đều là

1, 5

m thì độ dời là

0, 1 \approx 0, 32

Mở bài này trong app ↗