Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang67–69 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.10★Trang 67— Trắc nghiệm — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.10 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.

2

.
B.

6

.
C.

8

.
D.

10

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Các nhóm liên tiếp nhau nên $R$ bằng tổng độ dài các nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Nhóm đầu

[2; 4)

và nhóm cuối

[8; 10)

đều có tần số dương nên

R

là hiệu hai đầu mút ngoài cùng. Các phương án nhiễu:

2

là độ dài một nhóm,

6

là hiệu hai giá trị đại diện

9 - 3

10

là đầu mút phải.

1Cách 1. Theo định nghĩa khoảng biến thiên

Định hướng. Lấy đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu.

m_{1} = 2 > 0

m_{4} = 3 > 0

R = 10 - 2 = 8

Vậy $R = 8$ (năm). Chọn C.

2Cách 2. Cộng độ dài các nhóm

Định hướng. Bốn nhóm nối tiếp, mỗi nhóm dài $2$ năm.

R = 4 \cdot (4 - 2) = 4 \cdot 2 = 8

Vậy $R = 8$ . Chọn C.

Nhận xét. Phương án B ( $6 = 9 - 3$ ) là bẫy dùng giá trị đại diện thay cho đầu mút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — chỉ một phép trừ

10 - 2

, nhưng nhớ kiểm tra nhóm đầu và nhóm cuối đều có tần số dương.

Đáp số. Đáp án C:

R = 10 - 2 = 8

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì trừ hai giá trị đại diện

9 - 3 = 6

; chọn D vì chỉ đọc đầu mút phải

10

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[8; 10)

có tần số

0

thì

R = 8 - 2 = 6

— khoảng biến thiên phụ thuộc việc nhóm ngoài cùng có số liệu hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.11★★Trang 67— Trắc nghiệm — khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.11 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Khoảng tứ phân vị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.

2, 68

.
B.

4, 75

.
C.

6, 00

.
D.

7, 43

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

n = 20

nên vị trí

Q_{1}

Q_{3}

là

5

và

15

. Các phương án nhiễu được cài sẵn:

4, 75

chính là

Q_{1}

7, 43

là

Q_{3}

— ai quên trừ sẽ chọn nhầm.

Q_{3}

ra phân số

\frac{52}{7}

nên giữ phân số rồi mới làm tròn

Δ_{Q}

1Cách 1. Công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. Dò nhóm chứa $Q_{1}$ , $Q_{3}$ bằng tần số tích luỹ rồi thay công thức.

\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5

2 < 5 \leq 2 + 8 = 10 \Rightarrow Q_{1} \in [4; 6)

Q_{1} = 4 + \frac{\frac{20}{4} - 2}{8} \cdot (6 - 4) = 4 + \frac{3}{8} \cdot 2 = 4, 75

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15

2 + 8 = 10 < 15 \leq 2 + 8 + 7 = 17 \Rightarrow Q_{3} \in [6; 8)

Q_{3} = 6 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - ( 2 + 8 )}{7} \cdot (8 - 6) = 6 + \frac{5}{7} \cdot 2 = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{52}{7} - 4, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q} = \frac{75}{28} \approx 2, 68$ . Chọn A.

2Cách 2. Nội suy trên đường gấp khúc tần số tích luỹ

Định hướng. Trong mỗi nhóm, đường tần số tích luỹ là đoạn thẳng; $Q_{r}$ là hoành độ ứng với tung độ $\frac{r n}{4}$ .

Tần số tích luỹ:

2; 10; 17; 20

\frac{Q _{1} - 4}{6 - 4} = \frac{5 - 2}{10 - 2} \Rightarrow Q_{1} = 4 + 2 \cdot \frac{3}{8} = 4, 75

\frac{Q _{3} - 6}{8 - 6} = \frac{15 - 10}{17 - 10} \Rightarrow Q_{3} = 6 + 2 \cdot \frac{5}{7} = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{52}{7} - 4, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q} \approx 2, 68$ . Chọn A.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải của nhóm

Định hướng. $Q_{r}$ bằng đầu mút phải trừ phần ứng với số giá trị của nhóm nằm sau vị trí $\frac{r n}{4}$ .

2 < 5 \leq 10

10 < 15 \leq 17

Q_{1} = 6 - \frac{10 - 5}{8} \cdot 2 = 6 - 1, 25 = 4, 75

Q_{3} = 8 - \frac{17 - 15}{7} \cdot 2 = 8 - \frac{4}{7} = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{52}{7} - 4, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q} \approx 2, 68$ . Chọn A.

Nhận xét. Hai phương án B, D chính là $Q_{1}$ và $Q_{3}$ — đề cố ý cài để bắt lỗi quên bước trừ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho bài trình bày; Cách 3 thử lại

Q_{3} = 8 - \frac{4}{7}

trong một dòng.

Đáp số. Đáp án A:

Q_{1} = 4, 75

Q_{3} = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Sai lầm thường gặp. Dừng ở

Q_{1} = 4, 75

(chọn B) hoặc

Q_{3} \approx 7, 43

(chọn D). Làm tròn

Q_{3} \approx 7, 4

rồi trừ ra

2, 65

— không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Tính trung vị

Q_{2}

của mẫu này:

Q_{2} = 4 + \frac{10 - 2}{8} \cdot 2 = 6

— trùng phương án C, cũng là một bẫy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.12★★Trang 67— Trắc nghiệm — phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.12 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.

1, 99

.
B.

2, 99

.
C.

3, 99

.
D.

4, 99

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.13★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của phép tịnh tiến nhóm tới khoảng biến thiên

Bài 3.13 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

thì khoảng biến thiên sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tịnh tiến các nhóm): $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ không đổi; $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ cùng tăng $c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.14★★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của phép tịnh tiến nhóm tới khoảng tứ phân vị

Bài 3.14 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

thì khoảng tứ phân vị sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tịnh tiến các nhóm): $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ không đổi; $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ cùng tăng $c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.15★★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của phép tịnh tiến nhóm tới độ lệch chuẩn

Bài 3.15 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

thì độ lệch chuẩn sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tịnh tiến các nhóm): $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ không đổi; $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ cùng tăng $c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.16★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của tần số tới khoảng biến thiên

Bài 3.16 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các tần số tương ứng bằng

1

9

9

1

thì khoảng biến thiên sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.17★★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của tần số tới độ lệch chuẩn

Bài 3.17 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các tần số tương ứng bằng

1

9

9

1

thì độ lệch chuẩn sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.18★★Trang 67— Đọc biểu đồ tần số tương đối, lập bảng tần số và tính khoảng tứ phân vị

Bài 3.18 (trang 67). Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau cho biết phân bố về khối lượng của

200

bao xi măng trước khi xuất xưởng.
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu về khối lượng của

200

bao xi măng trên.
b) Tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Tần số của nhóm $=$ cỡ mẫu $\times$ tần số tương đối.
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.19★★★Trang 68— Số trung bình và khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm có nhóm mở, tần số không nguyên

Bài 3.19 (trang 68). Bảng thống kê sau cho biết dân số thế giới theo độ tuổi (đơn vị tính là triệu người) trong hai năm 2000 và 2020:

Độ tuổi	Dưới $5$ tuổi	$[5; 15)$	$[15; 25)$	$[25; 65)$	Từ $65$ tuổi trở lên
Số người năm 2000	$619, 57$	$1240$	$1090$	$2780$	$423, 26$
Số người năm 2020	$679, 15$	$1330$	$1220$	$3870$	$739, 48$

(Theo www.ourworldindata.org)
a) Chọn

75

là giá trị đại diện cho nhóm

65

tuổi trở lên. Hãy ước lượng tuổi trung bình của dân số thế giới trong hai năm 2000 và 2020.
b) Tìm khoảng tứ phân vị cho tuổi của dân số thế giới trong hai năm 2000 và 2020. Nêu nhận xét về sự thay đổi cấu trúc dân số theo độ tuổi.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Tứ phân vị cũng tính được từ tần số tương đối tích luỹ: $Q_{1}$ ứng với mức $25%$ , $Q_{3}$ ứng với mức $75%$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 3.20★★Trang 68— Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và ý nghĩa

Bài 3.20 (trang 68). Thống kê cân nặng của một số trẻ sơ sinh tại một bệnh viện cho kết quả như sau:

Cân nặng (kg)	$[2, 5; 2, 8)$	$[2, 8; 3, 1)$	$[3, 1; 3, 4)$	$[3, 4; 3, 7)$	$[3, 7; 4)$
Số trẻ	$20$	$30$	$40$	$35$	$25$

Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm trên. Các giá trị này cho biết điều gì?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 3.21★★★Trang 69— So sánh độ chính xác: một mẫu không ghép nhóm và một mẫu ghép nhóm

Bài 3.21 (trang 69). Để đánh giá độ chính xác của hai hệ thống đóng gói tự động các túi cà phê của hai phân xưởng, người ta đã tiến hành thu thập mẫu số liệu về khối lượng của một số gói cà phê (đơn vị tính là gam) của mỗi phân xưởng cho kết quả như sau:
Phân xưởng A:

203

207

205

197

208

192

206

202

200

196

195

194

203

197

193

199

198

195

206

204

.
Phân xưởng B:

Cân nặng (g)	$[190; 194)$	$[194; 198)$	$[198; 202)$	$[202; 206)$	$[206; 210)$
Số gói	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

Tính số trung bình, độ lệch chuẩn của khối lượng một gói cà phê do các phân xưởng A, B sản xuất. Dựa trên kết quả tính được, hãy nêu nhận xét về độ chính xác của hai hệ thống đóng gói.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu số liệu gốc $x_{1}, \dots, x_{n}$ : $\overline{x} = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$ , $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ .
Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 3.22★★Trang 69— So sánh mức độ ổn định của hai mẫu ghép nhóm bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.22 (trang 69). Một người đầu tư cùng một số tiền vào hai lĩnh vực A và B. Nhà đầu tư này ghi lại số tiền thu được hằng tháng trong hai năm theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

Số tiền (triệu đồng)	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$
Số tháng theo lĩnh vực A	$2$	$5$	$10$	$5$	$2$
Số tháng theo lĩnh vực B	$1$	$8$	$7$	$6$	$2$

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về mức độ ổn định của số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào hai lĩnh vực trên.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Số liệu có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì ổn định hơn (khi số trung bình xấp xỉ nhau).