Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.10★Trang 67— Trắc nghiệm — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.10 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.

2

.
B.

6

.
C.

8

.
D.

10

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Các nhóm liên tiếp nhau nên $R$ bằng tổng độ dài các nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Nhóm đầu

[2; 4)

và nhóm cuối

[8; 10)

đều có tần số dương nên

R

là hiệu hai đầu mút ngoài cùng. Các phương án nhiễu:

2

là độ dài một nhóm,

6

là hiệu hai giá trị đại diện

9 - 3

10

là đầu mút phải.

1Cách 1. Theo định nghĩa khoảng biến thiên

Định hướng. Lấy đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu.

m_{1} = 2 > 0

m_{4} = 3 > 0

R = 10 - 2 = 8

Vậy $R = 8$ (năm). Chọn C.

2Cách 2. Cộng độ dài các nhóm

Định hướng. Bốn nhóm nối tiếp, mỗi nhóm dài $2$ năm.

R = 4 \cdot (4 - 2) = 4 \cdot 2 = 8

Vậy $R = 8$ . Chọn C.

Nhận xét. Phương án B ( $6 = 9 - 3$ ) là bẫy dùng giá trị đại diện thay cho đầu mút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — chỉ một phép trừ

10 - 2

, nhưng nhớ kiểm tra nhóm đầu và nhóm cuối đều có tần số dương.

Đáp số. Đáp án C:

R = 10 - 2 = 8

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì trừ hai giá trị đại diện

9 - 3 = 6

; chọn D vì chỉ đọc đầu mút phải

10

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[8; 10)

có tần số

0

thì

R = 8 - 2 = 6

— khoảng biến thiên phụ thuộc việc nhóm ngoài cùng có số liệu hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.11★★Trang 67— Trắc nghiệm — khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.11 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Khoảng tứ phân vị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.

2, 68

.
B.

4, 75

.
C.

6, 00

.
D.

7, 43

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

n = 20

nên vị trí

Q_{1}

Q_{3}

là

5

và

15

. Các phương án nhiễu được cài sẵn:

4, 75

chính là

Q_{1}

7, 43

là

Q_{3}

— ai quên trừ sẽ chọn nhầm.

Q_{3}

ra phân số

\frac{52}{7}

nên giữ phân số rồi mới làm tròn

Δ_{Q}

1Cách 1. Công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. Dò nhóm chứa $Q_{1}$ , $Q_{3}$ bằng tần số tích luỹ rồi thay công thức.

\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5

2 < 5 \leq 2 + 8 = 10 \Rightarrow Q_{1} \in [4; 6)

Q_{1} = 4 + \frac{\frac{20}{4} - 2}{8} \cdot (6 - 4) = 4 + \frac{3}{8} \cdot 2 = 4, 75

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15

2 + 8 = 10 < 15 \leq 2 + 8 + 7 = 17 \Rightarrow Q_{3} \in [6; 8)

Q_{3} = 6 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - ( 2 + 8 )}{7} \cdot (8 - 6) = 6 + \frac{5}{7} \cdot 2 = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{52}{7} - 4, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q} = \frac{75}{28} \approx 2, 68$ . Chọn A.

2Cách 2. Nội suy trên đường gấp khúc tần số tích luỹ

Định hướng. Trong mỗi nhóm, đường tần số tích luỹ là đoạn thẳng; $Q_{r}$ là hoành độ ứng với tung độ $\frac{r n}{4}$ .

Tần số tích luỹ:

2; 10; 17; 20

\frac{Q _{1} - 4}{6 - 4} = \frac{5 - 2}{10 - 2} \Rightarrow Q_{1} = 4 + 2 \cdot \frac{3}{8} = 4, 75

\frac{Q _{3} - 6}{8 - 6} = \frac{15 - 10}{17 - 10} \Rightarrow Q_{3} = 6 + 2 \cdot \frac{5}{7} = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{52}{7} - 4, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q} \approx 2, 68$ . Chọn A.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải của nhóm

Định hướng. $Q_{r}$ bằng đầu mút phải trừ phần ứng với số giá trị của nhóm nằm sau vị trí $\frac{r n}{4}$ .

2 < 5 \leq 10

10 < 15 \leq 17

Q_{1} = 6 - \frac{10 - 5}{8} \cdot 2 = 6 - 1, 25 = 4, 75

Q_{3} = 8 - \frac{17 - 15}{7} \cdot 2 = 8 - \frac{4}{7} = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{52}{7} - 4, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q} \approx 2, 68$ . Chọn A.

Nhận xét. Hai phương án B, D chính là $Q_{1}$ và $Q_{3}$ — đề cố ý cài để bắt lỗi quên bước trừ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho bài trình bày; Cách 3 thử lại

Q_{3} = 8 - \frac{4}{7}

trong một dòng.

Đáp số. Đáp án A:

Q_{1} = 4, 75

Q_{3} = \frac{52}{7} \approx 7, 43

Δ_{Q} = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Sai lầm thường gặp. Dừng ở

Q_{1} = 4, 75

(chọn B) hoặc

Q_{3} \approx 7, 43

(chọn D). Làm tròn

Q_{3} \approx 7, 4

rồi trừ ra

2, 65

— không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Tính trung vị

Q_{2}

của mẫu này:

Q_{2} = 4 + \frac{10 - 2}{8} \cdot 2 = 6

— trùng phương án C, cũng là một bẫy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.12★★Trang 67— Trắc nghiệm — phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.12 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.

1, 99

.
B.

2, 99

.
C.

3, 99

.
D.

4, 99

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án chỉ khác nhau phần nguyên nên chỉ cần tính đúng tới hàng đơn vị, nhưng vẫn nên tính trọn. Số trung bình

6, 1

là số thập phân hữu hạn nên cả ba cách đều gọn.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Giá trị đại diện $3; 5; 7; 9$ , $n = 20$ ; tính số trung bình rồi trung bình của bình phương độ lệch.

x_{1} = 3; x_{2} = 5; x_{3} = 7; x_{4} = 9

n = 2 + 8 + 7 + 3 = 20

\overline{x} = \frac{2 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 7 \cdot 7 + 3 \cdot 9}{20} = \frac{122}{20} = 6, 1

s^{2} = \frac{2 \cdot ( 3 - 6 , 1 ) ^{2} + 8 \cdot ( 5 - 6 , 1 ) ^{2} + 7 \cdot ( 7 - 6 , 1 ) ^{2} + 3 \cdot ( 9 - 6 , 1 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{2 \cdot ( - 3 , 1 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 1 , 1 ) ^{2} + 7 \cdot 0 , 9 ^{2} + 3 \cdot 2 , 9 ^{2}}{20} = \frac{59 , 8}{20} = 2, 99

s = s^{2} = 2, 99 \approx 1, 73

Vậy $s^{2} = 2, 99$ . Chọn B.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Tính trung bình các bình phương rồi trừ bình phương số trung bình.

\overline{x} = \frac{2 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 7 \cdot 7 + 3 \cdot 9}{20} = \frac{122}{20} = 6, 1

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 8 \cdot 5 ^{2} + 7 \cdot 7 ^{2} + 3 \cdot 9 ^{2}}{20} = \frac{804}{20} = 40, 2

s^{2} = 40, 2 - 6, 1^{2} = 2, 99

s = s^{2} = 2, 99 \approx 1, 73

Vậy $s^{2} = 2, 99$ . Chọn B.

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Giá trị đại diện cách đều $2$ : đổi $u = \frac{x - 7}{2} \in {- 2; - 1; 0; 1}$ .

u = \frac{x - 7}{2}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 8 \cdot ( - 1 ) + 7 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{20} = - 0, 45

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 7 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{20} - (- 0, 45)^{2} = 0, 95 - 0, 2025 = 0, 7475

\overline{x} = 7 + 2 \cdot (- 0, 45) = 6, 1

s^{2} = 2^{2} \cdot s_{u}^{2} = 4 \cdot 0, 7475 = 2, 99

s = s^{2} = 2, 99 \approx 1, 73

Vậy $s^{2} = 2, 99$ . Chọn B.

Nhận xét. Với $s_{u}^{2} = \frac{299}{400}$ nhân $4$ ra ngay $2, 99$ ; độ lệch chuẩn $s \approx 1, 73$ năm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: tổng

\sum m_{i} u_{i}^{2} = 19

và

\overline{u} = - 0, 45

nhẩm được, không bình phương số hai chữ số.

Đáp số. Đáp án B:

\overline{x} = 6, 1

s^{2} = 2, 99

(

s \approx 1, 73

Sai lầm thường gặp. Dùng đầu mút trái

2; 4; 6; 8

làm giá trị đại diện: phương sai vẫn

2, 99

(dịch đều) nhưng số trung bình sai thành

5, 1

. Lấy căn rồi chọn phương án gần

1, 73

— đề hỏi phương sai, không hỏi độ lệch chuẩn.

🚀 Mở rộng. Nếu mọi thiết bị có tuổi thọ tăng gấp đôi thì phương sai là

4 \cdot 2, 99 = 11, 96

và độ lệch chuẩn là

2 \cdot 1, 73 \approx 3, 46

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.13★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của phép tịnh tiến nhóm tới khoảng biến thiên

Bài 3.13 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

thì khoảng biến thiên sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tịnh tiến các nhóm): $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ không đổi; $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ cùng tăng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các nhóm mới là các nhóm cũ dịch sang phải đúng

1

đơn vị, tần số giữ nguyên. Khoảng biến thiên là một hiệu nên không đổi khi cả hai đầu mút cùng tăng

1

1Cách 1. Tính lại trực tiếp

Định hướng. Tính $R$ trước và sau khi thay.

R_{c} = 10 - 2 = 8

R_{m} = 11 - 3 = 8

Vậy $R$ không thay đổi. Chọn C.

2Cách 2. Tính chất tịnh tiến

Định hướng. Mọi đầu mút cùng tăng $1$ .

R_{m} = (a_{5} + 1) - (a_{1} + 1) = a_{5} - a_{1} = R_{c}

Vậy khoảng biến thiên không đổi. Chọn C.

3Cách 3. Cộng độ dài nhóm

Định hướng. Độ dài mỗi nhóm vẫn là $2$ và vẫn có $4$ nhóm liên tiếp.

R_{c} = R_{m} = 4 \cdot 2 = 8

Vậy chọn C.

Nhận xét. Tịnh tiến chỉ làm "dời chỗ" cả mẫu số liệu, không làm nó co lại hay giãn ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — nhận ra phép tịnh tiến là trả lời được cả ba bài 3.13, 3.14, 3.15.

Đáp số. Đáp án C: không thay đổi (

R = 8

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy các con số trong bảng "tăng lên" — số đo độ phân tán không phụ thuộc vị trí của mẫu, chỉ phụ thuộc độ trải.

🚀 Mở rộng. Nếu thay các nhóm bằng

[4; 8)

[8; 12)

[12; 16)

[16; 20)

(nhân đôi) thì

R

thành

16

— phép co giãn làm

R

thay đổi theo tỉ lệ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.14★★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của phép tịnh tiến nhóm tới khoảng tứ phân vị

Bài 3.14 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

thì khoảng tứ phân vị sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tịnh tiến các nhóm): $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ không đổi; $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ cùng tăng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tần số không đổi nên nhóm chứa

Q_{1}

Q_{3}

vẫn là nhóm thứ hai, thứ ba; chỉ đầu mút trái

a_{p}

tăng

1

. Vì vậy

Q_{1}

Q_{3}

cùng tăng

1

và hiệu của chúng giữ nguyên.

1Cách 1. Tính lại Q₁, Q₃ với các nhóm mới

Định hướng. Tính $Δ_{Q}$ cho bảng mới rồi so với $Δ_{Q} = \frac{75}{28}$ của bảng cũ.

\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5

2 < 5 \leq 2 + 8 = 10 \Rightarrow Q_{1} \in [5; 7)

Q_{1} = 5 + \frac{\frac{20}{4} - 2}{8} \cdot (7 - 5) = 5 + \frac{3}{8} \cdot 2 = 5, 75

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15

2 + 8 = 10 < 15 \leq 2 + 8 + 7 = 17 \Rightarrow Q_{3} \in [7; 9)

Q_{3} = 7 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - ( 2 + 8 )}{7} \cdot (9 - 7) = 7 + \frac{5}{7} \cdot 2 = \frac{59}{7} \approx 8, 43

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{59}{7} - 5, 75 = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Vậy $Δ_{Q}$ mới $= \frac{75}{28}$ bằng $Δ_{Q}$ cũ. Chọn C.

2Cách 2. Soi công thức tứ phân vị

Định hướng. Trong công thức $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - C _{p - 1}}{m _{p}} \cdot h$ , chỉ $a_{p}$ đổi thành $a_{p} + 1$ .

Q_{1}^{m} = Q_{1}^{c} + 1 = 4, 75 + 1 = 5, 75

Q_{3}^{m} = Q_{3}^{c} + 1 = \frac{52}{7} + 1 = \frac{59}{7}

Δ_{Q}^{m} = (Q_{3}^{c} + 1) - (Q_{1}^{c} + 1) = Q_{3}^{c} - Q_{1}^{c} = Δ_{Q}^{c}

Vậy không thay đổi. Chọn C.

3Cách 3. Ý nghĩa: dịch cả mẫu số liệu

Định hướng. Thay nhóm như trên tương ứng với việc cộng thêm $1$ năm vào tuổi thọ của mọi thiết bị.

mọi số liệu

+ 1

\Rightarrow

50%

số liệu ở giữa cũng dịch

1

\Rightarrow

độ dài khoảng chứa chúng không đổi

Vậy khoảng tứ phân vị không đổi. Chọn C.

Nhận xét. Mọi số đo độ phân tán ( $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ ) đều bất biến qua phép tịnh tiến; chỉ các số đo xu thế trung tâm ( $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ ) mới dịch theo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — không cần tính lại, chỉ cần thấy

Q_{1}

Q_{3}

cùng tăng

1

Đáp số. Đáp án C: không thay đổi (

Δ_{Q} = \frac{75}{28} \approx 2, 68

Sai lầm thường gặp. Tính lại

Q_{1} = 5, 75

Q_{3} \approx 8, 43

rồi kết luận "tăng" vì cả hai tứ phân vị đều tăng — đề hỏi khoảng tứ phân vị (hiệu), không hỏi từng tứ phân vị.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ dịch nhóm cuối

[8; 10)

thành

[8; 12)

thì

Δ_{Q}

có đổi không? (Không, vì

Q_{3}

nằm ở nhóm

[6; 8)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.15★★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của phép tịnh tiến nhóm tới độ lệch chuẩn

Bài 3.15 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

thì độ lệch chuẩn sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tịnh tiến các nhóm): $R$ , $Δ_{Q}$ , $s^{2}$ , $s$ không đổi; $\overline{x}$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ cùng tăng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị đại diện mới là

4; 6; 8; 10

, mỗi số lớn hơn giá trị cũ đúng

1

. Số trung bình cũng tăng

1

nên mọi độ lệch

x_{i} - \overline{x}

giữ nguyên, kéo theo phương sai và độ lệch chuẩn không đổi. Bẫy: thấy các con số trong bảng lớn hơn rồi vội chọn Tăng.

1Cách 1. Tính lại độ lệch chuẩn với các nhóm mới

Định hướng. Tính $\overline{x}$ , $s^{2}$ cho bảng mới rồi so với $s^{2} = 2, 99$ của bảng cũ.

x_{1} = 4; x_{2} = 6; x_{3} = 8; x_{4} = 10

\overline{x} = \frac{2 \cdot 4 + 8 \cdot 6 + 7 \cdot 8 + 3 \cdot 10}{20} = \frac{142}{20} = 7, 1

s^{2} = \frac{2 \cdot ( 4 - 7 , 1 ) ^{2} + 8 \cdot ( 6 - 7 , 1 ) ^{2} + 7 \cdot ( 8 - 7 , 1 ) ^{2} + 3 \cdot ( 10 - 7 , 1 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{2 \cdot ( - 3 , 1 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 1 , 1 ) ^{2} + 7 \cdot 0 , 9 ^{2} + 3 \cdot 2 , 9 ^{2}}{20} = \frac{59 , 8}{20} = 2, 99

s = s^{2} = 2, 99 \approx 1, 73

Vậy $s$ mới $\approx 1, 73$ bằng $s$ cũ. Chọn C.

2Cách 2. Độ lệch so với số trung bình không đổi

Định hướng. Mỗi giá trị đại diện và số trung bình cùng tăng $1$ .

x_{i}^{m} = x_{i}^{c} + 1

\overline{x}^{m} = 6, 1 + 1 = 7, 1

x_{i}^{m} - \overline{x}^{m} = x_{i}^{c} - \overline{x}^{c}

\Rightarrow s_{m}^{2} = s_{c}^{2} = 2, 99

Vậy độ lệch chuẩn không đổi. Chọn C.

3Cách 3. Đổi biến về cùng một bảng u

Định hướng. Đổi biến cho mỗi bảng với tâm là giá trị đại diện nhóm thứ ba.

bảng cũ:

u = \frac{x - 7}{2}

; bảng mới:

u = \frac{x - 8}{2}

cả hai:

u \in {- 2; - 1; 0; 1}

, tần số

2; 8; 7; 3

\Rightarrow s_{u}^{2}

như nhau

\Rightarrow s = 2 s_{u}

như nhau

Vậy chọn C.

Nhận xét. Hai bảng cho cùng một bảng $u$ — đây là lí do sâu xa của tính chất tịnh tiến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — một dòng lập luận, không phải tính lại.

Đáp số. Đáp án C: không thay đổi (

s \approx 1, 73

Sai lầm thường gặp. Tính lại số trung bình (

7, 1

) rồi dùng công thức rút gọn nhưng quên bình phương các giá trị mới, ra phương sai khác và kết luận "tăng".

🚀 Mở rộng. Nếu nhân mọi đầu mút với

2

thì độ lệch chuẩn nhân

2

(thành

\approx 3, 46

), còn phương sai nhân

4

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.16★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của tần số tới khoảng biến thiên

Bài 3.16 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các tần số tương ứng bằng

1

9

9

1

thì khoảng biến thiên sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các nhóm giữ nguyên, chỉ tần số đổi; nhóm đầu và nhóm cuối vẫn có tần số

1 > 0

. Khoảng biến thiên không chứa tần số trong công thức.

1Cách 1. Tính lại trực tiếp

Định hướng. Kiểm tra hai nhóm ngoài cùng vẫn có số liệu rồi tính $R$ .

m_{1} = 1 > 0

m_{4} = 1 > 0

R_{m} = 10 - 2 = 8 = R_{c}

Vậy không thay đổi. Chọn C.

2Cách 2. Soi công thức

Định hướng. $R = a_{k + 1} - a_{1}$ chỉ phụ thuộc đầu mút các nhóm, không phụ thuộc tần số (miễn hai nhóm ngoài cùng khác rỗng).

tần số đổi, nhóm giữ nguyên

\Rightarrow

a_{1} = 2

a_{5} = 10

giữ nguyên

Vậy chọn C.

Nhận xét. Bài 3.17 cùng phép thay này nhưng độ lệch chuẩn lại giảm — so sánh hai bài để thấy $R$ "thô" hơn $s$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — nhận xét "

R

không có tần số" là đủ.

Đáp số. Đáp án C: không thay đổi (

R = 8

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì thấy số liệu dồn vào giữa (tần số

9

9

) nên nghĩ "độ phân tán giảm" — đúng với

s

, nhưng

R

chỉ nhìn hai đầu mút.

🚀 Mở rộng. Nếu thay các tần số bằng

0

10

10

0

thì

R

giảm còn

8 - 4 = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.17★★Trang 67— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của tần số tới độ lệch chuẩn

Bài 3.17 (trang 67). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của

20

thiết bị điện tử như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Tần số	$2$	$8$	$7$	$3$

Nếu thay các tần số tương ứng bằng

1

9

9

1

thì độ lệch chuẩn sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không thay đổi.

Kiến thức cần nhớ

Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Tần số mới

1; 9; 9; 1

dồn

18

trên

20

thiết bị vào hai nhóm giữa (trước đó là

15

), nên số liệu tập trung hơn và độ lệch chuẩn phải giảm. Để chắc chắn, tính lại

s

và so với

s \approx 1, 73

1Cách 1. Tính lại theo định nghĩa

Định hướng. Giá trị đại diện vẫn $3; 5; 7; 9$ ; tính $\overline{x}$ và $s^{2}$ với tần số mới.

\overline{x} = \frac{1 \cdot 3 + 9 \cdot 5 + 9 \cdot 7 + 1 \cdot 9}{20} = \frac{120}{20} = 6

s^{2} = \frac{1 \cdot ( 3 - 6 ) ^{2} + 9 \cdot ( 5 - 6 ) ^{2} + 9 \cdot ( 7 - 6 ) ^{2} + 1 \cdot ( 9 - 6 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{1 \cdot ( - 3 ) ^{2} + 9 \cdot ( - 1 ) ^{2} + 9 \cdot 1 ^{2} + 1 \cdot 3 ^{2}}{20} = \frac{36}{20} = 1, 8

s = s^{2} = 1, 8 \approx 1, 34

1, 34 < 1, 73

Vậy độ lệch chuẩn giảm. Chọn B.

2Cách 2. Đổi biến, so sánh hai bảng u

Định hướng. Dùng chung $u = \frac{x - 7}{2} \in {- 2; - 1; 0; 1}$ cho bảng cũ và bảng mới.

cũ:

\overline{u} = \frac{- 4 - 8 + 0 + 3}{20} = - 0, 45

s_{u}^{2} = \frac{8 + 8 + 0 + 3}{20} - 0, 4 5^{2} = 0, 95 - 0, 2025 = 0, 7475

mới:

\overline{u} = \frac{- 2 - 9 + 0 + 1}{20} = - 0, 5

s_{u}^{2} = \frac{4 + 9 + 0 + 1}{20} - 0, 5^{2} = 0, 7 - 0, 25 = 0, 45

s = 2 s_{u}

2 0, 7475 \approx 1, 73 \to 2 0, 45 \approx 1, 34

Vậy độ lệch chuẩn giảm. Chọn B.

3Cách 3. Nhìn mức độ tập trung của số liệu

Định hướng. So sánh tỉ lệ số liệu ở hai nhóm giữa và ở hai nhóm ngoài cùng.

hai nhóm giữa:

8 + 7 = 15 \to 9 + 9 = 18

hai nhóm ngoài:

2 + 3 = 5 \to 1 + 1 = 2

số liệu dồn về giữa, ít số liệu ở xa

\overline{x}

Vậy độ phân tán giảm, độ lệch chuẩn giảm. Chọn B.

Nhận xét. Cùng phép thay tần số, khoảng biến thiên (bài 3.16) không đổi nhưng độ lệch chuẩn giảm: $s$ phản ánh mọi số liệu, còn $R$ chỉ nhìn hai đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: hai bảng

u

đặt cạnh nhau, so

0, 7475

với

0, 45

là xong; Cách 3 để đoán nhanh trước khi tính.

Đáp số. Đáp án B: giảm (từ

s \approx 1, 73

xuống

s = 1, 8 \approx 1, 34

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì nghĩ cỡ mẫu vẫn là

20

và các nhóm giữ nguyên nên "không đổi"; hoặc chọn C theo kết quả của bài 3.16 —

R

không đổi không có nghĩa

s

không đổi.

🚀 Mở rộng. Thay tần số bằng

5; 5; 5; 5

thì độ lệch chuẩn tăng hay giảm so với

1, 73

? (Tăng:

s = 5 \approx 2, 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.18★★Trang 67— Đọc biểu đồ tần số tương đối, lập bảng tần số và tính khoảng tứ phân vị

Bài 3.18 (trang 67). Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau cho biết phân bố về khối lượng của

200

bao xi măng trước khi xuất xưởng (các cột lần lượt ứng với các nhóm

[48, 5; 49)

[49; 49, 5)

[49, 5; 50)

[50; 50, 5)

[50, 5; 51)

và có tần số tương đối

5%

10%

35%

40%

10%

).
a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu về khối lượng của

200

bao xi măng trên.
b) Tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Tần số của nhóm $=$ cỡ mẫu $\times$ tần số tương đối.
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu đồ cho tần số tương đối (phần trăm), muốn dùng công thức tứ phân vị phải đổi ra tần số: nhân với

n = 200

. Vị trí

\frac{n}{4} = 50

\frac{3 n}{4} = 150

là số nguyên nên dò nhóm dễ. Có thể làm thẳng trên phần trăm (tần số tích luỹ tương đối

25%

và

75%

) — ra cùng kết quả.

1Cách 1. Đổi ra tần số rồi dùng công thức SGK

Định hướng. Nhân từng tần số tương đối với $200$ để được bảng tần số, sau đó tính $Q_{1}$ , $Q_{3}$ theo công thức.

n = 200

200 \cdot 5% = 10

;

200 \cdot 10% = 20

;

200 \cdot 35% = 70

;

200 \cdot 40% = 80

;

200 \cdot 10% = 20

\frac{n}{4} = \frac{200}{4} = 50

10 + 20 = 30 < 50 \leq 10 + 20 + 70 = 100 \Rightarrow Q_{1} \in [49, 5; 50)

Q_{1} = 49, 5 + \frac{\frac{200}{4} - ( 10 + 20 )}{70} \cdot (50 - 49, 5) = 49, 5 + \frac{20}{70} \cdot 0, 5 = \frac{695}{14} \approx 49, 64

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 200}{4} = 150

10 + 20 + 70 = 100 < 150 \leq 10 + 20 + 70 + 80 = 180 \Rightarrow Q_{3} \in [50; 50, 5)

Q_{3} = 50 + \frac{\frac{3 \cdot 200}{4} - ( 10 + 20 + 70 )}{80} \cdot (50, 5 - 50) = 50 + \frac{50}{80} \cdot 0, 5 = 50, 3125

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 50, 3125 - \frac{695}{14} = \frac{75}{112} \approx 0, 67

Vậy a) tần số các nhóm lần lượt là $10; 20; 70; 80; 20$ . b) $Δ_{Q} = \frac{75}{112} \approx 0, 67$ (kg).

2Cách 2. Nội suy trên đường gấp khúc tần số tích luỹ

Định hướng. Từ bảng tần số, lập tần số tích luỹ và nội suy tuyến tính trong nhóm chứa $Q_{1}$ , $Q_{3}$ .

n = 200

200 \cdot 5% = 10

;

200 \cdot 10% = 20

;

200 \cdot 35% = 70

;

200 \cdot 40% = 80

;

200 \cdot 10% = 20

Tần số tích luỹ:

10; 30; 100; 180; 200

\frac{Q _{1} - 49 , 5}{50 - 49 , 5} = \frac{50 - 30}{100 - 30} \Rightarrow Q_{1} = 49, 5 + 0, 5 \cdot \frac{20}{70} = \frac{695}{14} \approx 49, 64

\frac{Q _{3} - 50}{50 , 5 - 50} = \frac{150 - 100}{180 - 100} \Rightarrow Q_{3} = 50 + 0, 5 \cdot \frac{50}{80} = 50, 3125

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 50, 3125 - \frac{695}{14} = \frac{75}{112} \approx 0, 67

Vậy a) tần số các nhóm lần lượt là $10; 20; 70; 80; 20$ . b) $Δ_{Q} = \frac{75}{112} \approx 0, 67$ (kg).

3Cách 3. Làm thẳng trên tần số tương đối, thử lại bằng đếm ngược

Định hướng. Tứ phân vị không phụ thuộc cỡ mẫu khi dùng phần trăm: $Q_{1}$ ứng với mức tích luỹ $25%$ , $Q_{3}$ ứng với $75%$ .

Tần số tương đối tích luỹ:

5%; 15%; 50%; 90%; 100%

15% < 25% \leq 50%

Q_{1} = 49, 5 + \frac{25 - 15}{35} \cdot 0, 5 = 49, 5 + \frac{1}{7} = \frac{695}{14} \approx 49, 64

50% < 75% \leq 90%

Q_{3} = 50 + \frac{75 - 50}{40} \cdot 0, 5 = 50, 3125

Q_{1} = 50 - \frac{100 - 50}{70} \cdot 0, 5 = 50 - \frac{5}{14} = \frac{695}{14} \approx 49, 64

Q_{3} = 50, 5 - \frac{180 - 150}{80} \cdot 0, 5 = 50, 5 - 0, 1875 = 50, 3125

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 50, 3125 - \frac{695}{14} = \frac{75}{112} \approx 0, 67

Vậy a) tần số các nhóm lần lượt là $10; 20; 70; 80; 20$ . b) $Δ_{Q} = \frac{75}{112} \approx 0, 67$ (kg).

Nhận xét. Cách 3 cho thấy câu b) giải được ngay trên biểu đồ, không cần biết cỡ mẫu $200$ ; cỡ mẫu chỉ cần cho câu a).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: làm thẳng trên phần trăm, các số

\frac{10}{35}

\frac{25}{40}

gọn hơn và dùng được cho mọi cỡ mẫu.

Đáp số. a) Tần số các nhóm

[48, 5; 49)

[49; 49, 5)

[49, 5; 50)

[50; 50, 5)

[50, 5; 51)

lần lượt là

10; 20; 70; 80; 20

. b)

Q_{1} = \frac{695}{14} \approx 49, 64

kg;

Q_{3} = 50, 3125

kg;

Δ_{Q} = \frac{75}{112} \approx 0, 67

kg.

Sai lầm thường gặp. Dùng thẳng các số

5; 10; 35; 40; 10

làm tần số nhưng vẫn lấy

\frac{n}{4} = \frac{200}{4}

— trộn hai thang đo khác nhau. Đọc nhầm độ dài nhóm là

1

thay vì

0, 5

kg.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi cỡ mẫu thành

1000

bao với cùng biểu đồ thì bảng tần số thay đổi nhưng

Δ_{Q}

vẫn là

\frac{75}{112}

kg — tứ phân vị chỉ phụ thuộc tần số tương đối.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 3.19★★★Trang 68— Số trung bình và khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm có nhóm mở, tần số không nguyên

Bài 3.19 (trang 68). Bảng thống kê sau cho biết dân số thế giới theo độ tuổi (đơn vị tính là triệu người) trong hai năm 2000 và 2020:

Độ tuổi	Dưới $5$ tuổi	$[5; 15)$	$[15; 25)$	$[25; 65)$	Từ $65$ tuổi trở lên
Số người năm 2000	$619, 57$	$1240$	$1090$	$2780$	$423, 26$
Số người năm 2020	$679, 15$	$1330$	$1220$	$3870$	$739, 48$

(Theo www.ourworldindata.org)
a) Chọn

75

là giá trị đại diện cho nhóm

65

tuổi trở lên. Hãy ước lượng tuổi trung bình của dân số thế giới trong hai năm 2000 và 2020.
b) Tìm khoảng tứ phân vị cho tuổi của dân số thế giới trong hai năm 2000 và 2020. Nêu nhận xét về sự thay đổi cấu trúc dân số theo độ tuổi.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Tứ phân vị cũng tính được từ tần số tương đối tích luỹ: $Q_{1}$ ứng với mức $25%$ , $Q_{3}$ ứng với mức $75%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai điểm lạ: nhóm đầu "dưới

5

tuổi" hiểu là

[0; 5)

(giá trị đại diện

2, 5

), nhóm cuối là nhóm mở nên đề cho sẵn giá trị đại diện

75

; tần số tính bằng triệu người nên không nguyên. Tứ phân vị chỉ cần đến nhóm

[5; 15)

và

[25; 65)

nên không cần biết đầu mút phải của nhóm mở. Các nhóm có độ dài khác nhau (

10

10

40

) — phải dùng đúng độ dài của nhóm chứa tứ phân vị.

1Cách 1. Công thức số trung bình và tứ phân vị SGK

Định hướng. Giá trị đại diện $2, 5; 10; 20; 45; 75$ ; tính $\overline{x}$ , rồi dò tần số tích luỹ tìm nhóm chứa $Q_{1}$ , $Q_{3}$ .

Năm 2000

n = 619, 57 + 1240 + 1090 + 2780 + 423, 26 = 6152, 83

\overline{x} = \frac{2 , 5 \cdot 619 , 57 + 10 \cdot 1240 + 20 \cdot 1090 + 45 \cdot 2780 + 75 \cdot 423 , 26}{6152 , 83} = \frac{192593 , 425}{6152 , 83} \approx 31, 30

\frac{n}{4} = 1538, 2075

619, 57 < 1538, 2075 \leq 1859, 57 \Rightarrow Q_{1} \in [5; 15)

Q_{1} = 5 + \frac{1538 , 2075 - 619 , 57}{1240} \cdot 10 = 5 + \frac{918 , 6375}{1240} \cdot 10 \approx 12, 41

\frac{3 n}{4} = 4614, 6225

2949, 57 < 4614, 6225 \leq 5729, 57 \Rightarrow Q_{3} \in [25; 65)

Q_{3} = 25 + \frac{4614 , 6225 - 2949 , 57}{2780} \cdot 40 = 25 + \frac{1665 , 0525}{2780} \cdot 40 \approx 48, 96

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 36, 55

Năm 2020

n = 679, 15 + 1330 + 1220 + 3870 + 739, 48 = 7838, 63

\overline{x} = \frac{2 , 5 \cdot 679 , 15 + 10 \cdot 1330 + 20 \cdot 1220 + 45 \cdot 3870 + 75 \cdot 739 , 48}{7838 , 63} = \frac{269008 , 875}{7838 , 63} \approx 34, 32

\frac{n}{4} = 1959, 6575

679, 15 < 1959, 6575 \leq 2009, 15 \Rightarrow Q_{1} \in [5; 15)

Q_{1} = 5 + \frac{1959 , 6575 - 679 , 15}{1330} \cdot 10 = 5 + \frac{1280 , 5075}{1330} \cdot 10 \approx 14, 63

\frac{3 n}{4} = 5878, 9725

3229, 15 < 5878, 9725 \leq 7099, 15 \Rightarrow Q_{3} \in [25; 65)

Q_{3} = 25 + \frac{5878 , 9725 - 3229 , 15}{3870} \cdot 40 = 25 + \frac{2649 , 8225}{3870} \cdot 40 \approx 52, 39

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 37, 76

Vậy a) tuổi trung bình khoảng $31, 30$ (năm 2000) và $34, 32$ (năm 2020). b) $Δ_{Q} \approx 36, 55$ (năm 2000) và $Δ_{Q} \approx 37, 76$ (năm 2020): tuổi trung bình và cả $Q_{1}$ , $Q_{3}$ đều tăng — dân số thế giới đang già đi; khoảng tứ phân vị tăng cho thấy tuổi của một nửa dân số ở giữa trải rộng hơn.

2Cách 2. Làm trên tỉ lệ phần trăm dân số

Định hướng. Chia mỗi tần số cho tổng dân số để được tỉ lệ; số trung bình là tổng các tích giá trị đại diện với tỉ lệ, còn $Q_{1}$ , $Q_{3}$ ứng với mức tích luỹ $25%$ và $75%$ (các tỉ lệ đã làm tròn, kết quả cuối lấy theo số đúng).

Năm 2000
tỉ lệ các nhóm:

10, 07%; 20, 15%; 17, 72%; 45, 18%; 6, 88%

\overline{x} \approx 2, 5 \cdot 0, 1007 + 10 \cdot 0, 2015 + 20 \cdot 0, 1772 + 45 \cdot 0, 4518 + 75 \cdot 0, 0688 \approx 31, 30

tỉ lệ tích luỹ:

10, 07%; 30, 22%; 47, 94%; 93, 12%; 100, 00%

Q_{1} \approx 5 + \frac{25 - 10 , 07}{20 , 15} \cdot 10 \approx 12, 41

Q_{3} \approx 25 + \frac{75 - 47 , 94}{45 , 18} \cdot 40 \approx 48, 96

Δ_{Q} \approx 36, 55

Năm 2020
tỉ lệ các nhóm:

8, 66%; 16, 97%; 15, 56%; 49, 37%; 9, 43%

\overline{x} \approx 2, 5 \cdot 0, 0866 + 10 \cdot 0, 1697 + 20 \cdot 0, 1556 + 45 \cdot 0, 4937 + 75 \cdot 0, 0943 \approx 34, 32

tỉ lệ tích luỹ:

8, 66%; 25, 63%; 41, 20%; 90, 57%; 100, 00%

Q_{1} \approx 5 + \frac{25 - 8 , 66}{16 , 97} \cdot 10 \approx 14, 63

Q_{3} \approx 25 + \frac{75 - 41 , 20}{49 , 37} \cdot 40 \approx 52, 39

Δ_{Q} \approx 37, 76

3Cách 3. Dời gốc về 45 · đếm ngược từ đầu mút phải

Định hướng. Trừ $45$ vào mọi giá trị đại diện để số nhỏ hơn; tứ phân vị tính lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa nó.

Năm 2000

u = x - 45

- 42, 5; - 35; - 25; 0; 30

\overline{u} = \frac{( - 42 , 5 ) \cdot 619 , 57 + ( - 35 ) \cdot 1240 + ( - 25 ) \cdot 1090 + 0 \cdot 2780 + 30 \cdot 423 , 26}{6152 , 83} = \frac{- 84283 , 925}{6152 , 83} \approx - 13, 70

\overline{x} = 45 + \overline{u} \approx 31, 30

Q_{1} = 15 - \frac{1859 , 57 - 1538 , 2075}{1240} \cdot 10 = 15 - \frac{321 , 3625}{1240} \cdot 10 \approx 12, 41

Q_{3} = 65 - \frac{5729 , 57 - 4614 , 6225}{2780} \cdot 40 = 65 - \frac{1114 , 9475}{2780} \cdot 40 \approx 48, 96

Δ_{Q} \approx 36, 55

Năm 2020

u = x - 45

- 42, 5; - 35; - 25; 0; 30

\overline{u} = \frac{( - 42 , 5 ) \cdot 679 , 15 + ( - 35 ) \cdot 1330 + ( - 25 ) \cdot 1220 + 0 \cdot 3870 + 30 \cdot 739 , 48}{7838 , 63} = \frac{- 83729 , 475}{7838 , 63} \approx - 10, 68

\overline{x} = 45 + \overline{u} \approx 34, 32

Q_{1} = 15 - \frac{2009 , 15 - 1959 , 6575}{1330} \cdot 10 = 15 - \frac{49 , 4925}{1330} \cdot 10 \approx 14, 63

Q_{3} = 65 - \frac{7099 , 15 - 5878 , 9725}{3870} \cdot 40 = 65 - \frac{1220 , 1775}{3870} \cdot 40 \approx 52, 39

Δ_{Q} \approx 37, 76

Nhận xét. Từ 2000 đến 2020: $Q_{1}$ tăng khoảng $2, 2$ tuổi, $Q_{3}$ tăng khoảng $3, 4$ tuổi và tỉ lệ người từ $65$ tuổi trở lên tăng từ khoảng $6, 9%$ lên $9, 4%$ — cấu trúc dân số dịch dần sang nhóm tuổi lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho bài làm chuẩn; Cách 3 giúp tính số trung bình nhanh hơn vì các tích

u \cdot m

nhỏ hơn và có thể thử lại

Q_{1}

Q_{3}

bằng đếm ngược.

Đáp số. a)

\overline{x}_{2000} \approx 31, 30

tuổi;

\overline{x}_{2020} \approx 34, 32

tuổi. b) Năm 2000:

Q_{1} \approx 12, 41

Q_{3} \approx 48, 96

Δ_{Q} \approx 36, 55

; năm 2020:

Q_{1} \approx 14, 63

Q_{3} \approx 52, 39

Δ_{Q} \approx 37, 76

. Nhận xét: dân số thế giới già đi (tuổi trung bình và các tứ phân vị đều tăng) và tuổi phân tán hơn.

Sai lầm thường gặp. Lấy giá trị đại diện nhóm "dưới

5

tuổi" là

5

hoặc

2

, hay dùng độ dài nhóm

10

cho nhóm

[25; 65)

(đúng là

40

) khi tính

Q_{3}

— ra

Q_{3} \approx 31

, sai hẳn. Cộng nhầm cỡ mẫu vì viết

1240

thành

1, 240

🚀 Mở rộng. Nếu chọn giá trị đại diện của nhóm

65

tuổi trở lên là

80

thay vì

75

thì tuổi trung bình tăng bao nhiêu? (Năm 2000: tăng

5 \cdot \frac{423 , 26}{6152 , 83} \approx 0, 34

tuổi.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 3.20★★Trang 68— Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và ý nghĩa

Bài 3.20 (trang 68). Thống kê cân nặng của một số trẻ sơ sinh tại một bệnh viện cho kết quả như sau:

Cân nặng (kg)	$[2, 5; 2, 8)$	$[2, 8; 3, 1)$	$[3, 1; 3, 4)$	$[3, 4; 3, 7)$	$[3, 7; 4)$
Số trẻ	$20$	$30$	$40$	$35$	$25$

Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm trên. Các giá trị này cho biết điều gì?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ ; $R$ và $Δ_{Q}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 150

không chia hết cho

4

nên vị trí

Q_{1}

Q_{3}

là

37, 5

và

112, 5

— vẫn dò tần số tích luỹ như thường. Phần "cho biết điều gì" phải nói được:

R

là độ trải toàn bộ cân nặng,

Δ_{Q}

là độ trải của một nửa số trẻ ở giữa.

1Cách 1. Định nghĩa R · công thức tứ phân vị SGK

Định hướng. $n = 20 + 30 + 40 + 35 + 25 = 150$ ; tính $R$ rồi $Q_{1}$ , $Q_{3}$ .

R = 4, 0 - 2, 5 = 1, 5

\frac{n}{4} = \frac{150}{4} = 37, 5

20 < 37, 5 \leq 20 + 30 = 50 \Rightarrow Q_{1} \in [2, 8; 3, 1)

Q_{1} = 2, 8 + \frac{\frac{150}{4} - 20}{30} \cdot (3, 1 - 2, 8) = 2, 8 + \frac{17 , 5}{30} \cdot 0, 3 = 2, 975

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 150}{4} = 112, 5

20 + 30 + 40 = 90 < 112, 5 \leq 20 + 30 + 40 + 35 = 125 \Rightarrow Q_{3} \in [3, 4; 3, 7)

Q_{3} = 3, 4 + \frac{\frac{3 \cdot 150}{4} - ( 20 + 30 + 40 )}{35} \cdot (3, 7 - 3, 4) = 3, 4 + \frac{22 , 5}{35} \cdot 0, 3 = \frac{503}{140} \approx 3, 59

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{503}{140} - 2, 975 = \frac{173}{280} \approx 0, 62

Vậy $R = 1, 5$ kg; $Δ_{Q} = \frac{173}{280} \approx 0, 62$ kg.

2Cách 2. Cộng độ dài nhóm · nội suy tần số tích luỹ

Định hướng. $R$ bằng tổng độ dài $5$ nhóm $0, 3$ kg; $Q_{r}$ đọc trên đường gấp khúc tần số tích luỹ.

R = 5 \cdot 0, 3 = 1, 5

Tần số tích luỹ:

20; 50; 90; 125; 150

\frac{Q _{1} - 2 , 8}{3 , 1 - 2 , 8} = \frac{37 , 5 - 20}{50 - 20} \Rightarrow Q_{1} = 2, 8 + 0, 3 \cdot \frac{17 , 5}{30} = 2, 975

\frac{Q _{3} - 3 , 4}{3 , 7 - 3 , 4} = \frac{112 , 5 - 90}{125 - 90} \Rightarrow Q_{3} = 3, 4 + 0, 3 \cdot \frac{22 , 5}{35} = \frac{503}{140} \approx 3, 59

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{503}{140} - 2, 975 = \frac{173}{280} \approx 0, 62

Vậy $R = 1, 5$ kg; $Δ_{Q} = \frac{173}{280} \approx 0, 62$ kg.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải

Định hướng. Tính lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa tứ phân vị để thử lại.

R = 4, 0 - 2, 5 = 1, 5

20 < 37, 5 \leq 50

90 < 112, 5 \leq 125

Q_{1} = 3, 1 - \frac{50 - 37 , 5}{30} \cdot 0, 3 = 3, 1 - 0, 125 = 2, 975

Q_{3} = 3, 7 - \frac{125 - 112 , 5}{35} \cdot 0, 3 = 3, 7 - \frac{3}{28} = \frac{503}{140} \approx 3, 59

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{503}{140} - 2, 975 = \frac{173}{280} \approx 0, 62

Vậy $R = 1, 5$ kg; $Δ_{Q} = \frac{173}{280} \approx 0, 62$ kg.

Nhận xét. Khoảng biến thiên $1, 5$ kg gấp khoảng $2, 4$ lần $Δ_{Q}$ : phần lớn độ trải đến từ các bé nhẹ nhất và nặng nhất ở hai nhóm ngoài cùng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho bài trình bày; Cách 3 thử lại

Q_{1} = 3, 1 - 0, 125

nhẩm được ngay.

Đáp số.

R = 1, 5

kg;

Q_{1} = 2, 975

Q_{3} = \frac{503}{140} \approx 3, 59

Δ_{Q} = \frac{173}{280} \approx 0, 62

kg. Cân nặng của các trẻ sơ sinh trải trong khoảng

1, 5

kg, còn một nửa số trẻ ở giữa có cân nặng chênh nhau không quá khoảng

0, 62

kg — cân nặng khá tập trung.

Sai lầm thường gặp. Chọn nhóm chứa

Q_{1}

là

[3, 1; 3, 4)

vì thấy tần số

40

lớn nhất; phải dò tích luỹ:

20 < 37, 5 \leq 50

nên là

[2, 8; 3, 1)

. Làm tròn

\frac{n}{4}

thành

37

hoặc

38

— vị trí trong công thức ghép nhóm được phép là số không nguyên.

🚀 Mở rộng. Tính độ lệch chuẩn của mẫu này (

s \approx 0, 38

kg) và so sánh với

Δ_{Q}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 3.21★★★Trang 69— So sánh độ chính xác: một mẫu không ghép nhóm và một mẫu ghép nhóm

Bài 3.21 (trang 69). Để đánh giá độ chính xác của hai hệ thống đóng gói tự động các túi cà phê của hai phân xưởng, người ta đã tiến hành thu thập mẫu số liệu về khối lượng của một số gói cà phê (đơn vị tính là gam) của mỗi phân xưởng cho kết quả như sau:
Phân xưởng A:

203

207

205

197

208

192

206

202

200

196

195

194

203

197

193

199

198

195

206

204

.
Phân xưởng B:

Cân nặng (g)	$[190; 194)$	$[194; 198)$	$[198; 202)$	$[202; 206)$	$[206; 210)$
Số gói	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

Tính số trung bình, độ lệch chuẩn của khối lượng một gói cà phê do các phân xưởng A, B sản xuất. Dựa trên kết quả tính được, hãy nêu nhận xét về độ chính xác của hai hệ thống đóng gói.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu số liệu gốc $x_{1}, \dots, x_{n}$ : $\overline{x} = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$ , $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ .
Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu A là số liệu gốc (không ghép nhóm) nên tính trực tiếp từ

20

giá trị; mẫu B là mẫu ghép nhóm nên dùng giá trị đại diện. "Chính xác hơn" nghĩa là khối lượng các gói ít dao động quanh

200

g hơn, tức độ lệch chuẩn nhỏ hơn. Mọi số liệu đều quanh

200

nên trừ

200

trước khi tính là lối gọn nhất.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Phân xưởng A: tính độ lệch từng gói so với số trung bình; phân xưởng B: dùng giá trị đại diện $192; 196; 200; 204; 208$ .

Phân xưởng A

\overline{x}_{A} = \frac{4000}{20} = 200

độ lệch

x_{i} - 200

+ 3; + 7; + 5; - 3; + 8; - 8; + 6; + 2; 0; - 4; - 5; - 6; + 3; - 3; - 7; - 1; - 2; - 5; + 6; + 4

s_{A}^{2} = \frac{9 + 49 + 25 + 9 + 64 + 64 + 36 + 4 + 0 + 16 + 25 + 36 + 9 + 9 + 49 + 1 + 4 + 25 + 36 + 16}{20} = \frac{486}{20} = 24, 3

s_{A} = 24, 3 \approx 4, 93

Phân xưởng B

x_{1} = 192; x_{2} = 196; x_{3} = 200; x_{4} = 204; x_{5} = 208

\overline{x}_{B} = \frac{2 \cdot 192 + 5 \cdot 196 + 6 \cdot 200 + 5 \cdot 204 + 2 \cdot 208}{20} = \frac{4000}{20} = 200

s_{B}^{2} = \frac{2 \cdot ( 192 - 200 ) ^{2} + 5 \cdot ( 196 - 200 ) ^{2} + 6 \cdot ( 200 - 200 ) ^{2} + 5 \cdot ( 204 - 200 ) ^{2} + 2 \cdot ( 208 - 200 ) ^{2}}{20}

s_{B}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 8 ) ^{2} + 5 \cdot ( - 4 ) ^{2} + 6 \cdot 0 ^{2} + 5 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2}}{20} = \frac{416}{20} = 20, 8

s_{B} = s_{B}^{2} = 20, 8 \approx 4, 56

Vậy $\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 200$ g; $s_{A} = 24, 3 \approx 4, 93$ g, $s_{B} = 20, 8 \approx 4, 56$ g. Hai hệ thống cùng cho khối lượng trung bình $200$ g, nhưng $s_{B} < s_{A}$ nên hệ thống đóng gói của phân xưởng B chính xác (ổn định) hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Tính trung bình của các bình phương rồi trừ bình phương số trung bình ( $\overline{x} = 200$ nên $\overline{x}^{2} = 40000$ ).

Phân xưởng A

\frac{1}{20} (20 3^{2} + 20 7^{2} + \dots + 20 4^{2}) = \frac{800486}{20} = 40024, 3

s_{A}^{2} = 40024, 3 - 20 0^{2} = 24, 3

s_{A} \approx 4, 93

Phân xưởng B

\overline{x}_{B} = \frac{2 \cdot 192 + 5 \cdot 196 + 6 \cdot 200 + 5 \cdot 204 + 2 \cdot 208}{20} = \frac{4000}{20} = 200

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 19 2 ^{2} + 5 \cdot 19 6 ^{2} + 6 \cdot 20 0 ^{2} + 5 \cdot 20 4 ^{2} + 2 \cdot 20 8 ^{2}}{20} = \frac{800416}{20} = 40020, 8

s_{B}^{2} = 40020, 8 - 20 0^{2} = 20, 8

s_{B} = s_{B}^{2} = 20, 8 \approx 4, 56

3Cách 3. Đổi biến: A lấy u = x − 200, B lấy u = (x − 200) : 4

Định hướng. Trừ $200$ đưa số liệu A về các số nguyên nhỏ; với B, các giá trị đại diện cách đều $4$ nên chia thêm cho $4$ .

Phân xưởng A

u = x - 200

\sum u_{i} = 0 \Rightarrow \overline{x}_{A} = 200

\sum u_{i}^{2} = 486 \Rightarrow s_{A}^{2} = \frac{486}{20} - 0^{2} = 24, 3

s_{A} \approx 4, 93

Phân xưởng B

u = \frac{x - 200}{4}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{20} = 0

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{20} - 0^{2} = 1, 3 - 0 = 1, 3

\overline{x}_{B} = 200 + 4 \cdot 0 = 200

s_{B}^{2} = 4^{2} \cdot s_{u}^{2} = 16 \cdot 1, 3 = 20, 8

s_{B} = s_{B}^{2} = 20, 8 \approx 4, 56

Nhận xét. Độ lệch chuẩn của B tính từ mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ, còn của A là giá trị đúng; chênh lệch $4, 93$ so với $4, 56$ vẫn đủ rõ để kết luận, nhưng nếu hai số rất sát nhau thì nên thận trọng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3:

\sum u_{i} = 0

thấy ngay số trung bình là

200

, và bảng

u

của B đối xứng

- 2; - 1; 0; 1; 2

nên

\overline{u} = 0

— gần như không phải tính.

Đáp số.

\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 200

s_{A} = 24, 3 \approx 4, 93

s_{B} = 20, 8 \approx 4, 56

g. Hệ thống đóng gói của phân xưởng B chính xác hơn.

Sai lầm thường gặp. Ghép nhóm lại mẫu A rồi mới tính — không cần và làm mất độ chính xác. Kết luận "hai hệ thống như nhau vì cùng trung bình

200

g" — cùng trung bình chưa đủ, phải so độ lệch chuẩn.

🚀 Mở rộng. Ghép mẫu A theo đúng các nhóm của B (tần số

2; 6; 3; 5; 4

) rồi tính lại:

\overline{x}_{A} = 200, 6

s_{A} = 27, 64 \approx 5, 26 > s_{B}

— so hai mẫu ghép nhóm "cùng luật" thì kết luận vẫn giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 3.22★★Trang 69— So sánh mức độ ổn định của hai mẫu ghép nhóm bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.22 (trang 69). Một người đầu tư cùng một số tiền vào hai lĩnh vực A và B. Nhà đầu tư này ghi lại số tiền thu được hằng tháng trong hai năm theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

Số tiền (triệu đồng)	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$
Số tháng theo lĩnh vực A	$2$	$5$	$10$	$5$	$2$
Số tháng theo lĩnh vực B	$1$	$8$	$7$	$6$	$2$

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về mức độ ổn định của số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào hai lĩnh vực trên.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Số liệu có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì ổn định hơn (khi số trung bình xấp xỉ nhau).

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi mẫu có

24

tháng (hai năm). Mức độ ổn định đo bằng độ lệch chuẩn; hai bảng có cùng các nhóm nên đổi biến một lần cho cả hai. Kết quả bất ngờ: hai độ lệch chuẩn bằng nhau đúng, nên kết luận là "như nhau" chứ không phải lĩnh vực nào hơn.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Mỗi lĩnh vực có $24$ tháng; tính $\overline{x}$ và phương sai theo định nghĩa.

Lĩnh vực A

x_{1} = 7, 5; x_{2} = 12, 5; x_{3} = 17, 5; x_{4} = 22, 5; x_{5} = 27, 5

n = 2 + 5 + 10 + 5 + 2 = 24

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot 7 , 5 + 5 \cdot 12 , 5 + 10 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 2 \cdot 27 , 5}{24} = \frac{420}{24} = 17, 5

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( 7 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 5 \cdot ( 12 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 10 \cdot ( 17 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 5 \cdot ( 22 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 2 \cdot ( 27 , 5 - 17 , 5 ) ^{2}}{24}

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 10 ) ^{2} + 5 \cdot ( - 5 ) ^{2} + 10 \cdot 0 ^{2} + 5 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2}}{24} = \frac{650}{24} = \frac{325}{12}

s_{A} = s_{A}^{2} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

Lĩnh vực B

x_{1} = 7, 5; x_{2} = 12, 5; x_{3} = 17, 5; x_{4} = 22, 5; x_{5} = 27, 5

n = 1 + 8 + 7 + 6 + 2 = 24

\overline{x}_{B} = \frac{1 \cdot 7 , 5 + 8 \cdot 12 , 5 + 7 \cdot 17 , 5 + 6 \cdot 22 , 5 + 2 \cdot 27 , 5}{24} = \frac{420}{24} = 17, 5

s_{B}^{2} = \frac{1 \cdot ( 7 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 8 \cdot ( 12 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 7 \cdot ( 17 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 6 \cdot ( 22 , 5 - 17 , 5 ) ^{2} + 2 \cdot ( 27 , 5 - 17 , 5 ) ^{2}}{24}

s_{B}^{2} = \frac{1 \cdot ( - 10 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 5 ) ^{2} + 7 \cdot 0 ^{2} + 6 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2}}{24} = \frac{650}{24} = \frac{325}{12}

s_{B} = s_{B}^{2} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

Vậy $\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 17, 5$ triệu đồng và $s_{A} = s_{B} = \frac{325}{12} \approx 5, 20$ triệu đồng: số tiền thu được hằng tháng ở hai lĩnh vực có mức độ ổn định như nhau (cũng như nhau về mức trung bình).

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Công thức rút gọn cho từng lĩnh vực.

Lĩnh vực A

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot 7 , 5 + 5 \cdot 12 , 5 + 10 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 2 \cdot 27 , 5}{24} = \frac{420}{24} = 17, 5

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 5 \cdot 12 , 5 ^{2} + 10 \cdot 17 , 5 ^{2} + 5 \cdot 22 , 5 ^{2} + 2 \cdot 27 , 5 ^{2}}{24} = \frac{8000}{24} = \frac{1000}{3}

s_{A}^{2} = \frac{1000}{3} - 17, 5^{2} = \frac{325}{12}

s_{A} = s_{A}^{2} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

Lĩnh vực B

\overline{x}_{B} = \frac{1 \cdot 7 , 5 + 8 \cdot 12 , 5 + 7 \cdot 17 , 5 + 6 \cdot 22 , 5 + 2 \cdot 27 , 5}{24} = \frac{420}{24} = 17, 5

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot 7 , 5 ^{2} + 8 \cdot 12 , 5 ^{2} + 7 \cdot 17 , 5 ^{2} + 6 \cdot 22 , 5 ^{2} + 2 \cdot 27 , 5 ^{2}}{24} = \frac{8000}{24} = \frac{1000}{3}

s_{B}^{2} = \frac{1000}{3} - 17, 5^{2} = \frac{325}{12}

s_{B} = s_{B}^{2} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Đổi $u = \frac{x - 17 , 5}{5} \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ dùng chung cho hai lĩnh vực.

Lĩnh vực A

u = \frac{x - 17 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 10 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{24} = 0

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{24} - 0^{2} = \frac{13}{12} - 0 = \frac{13}{12}

\overline{x}_{A} = 17, 5 + 5 \cdot 0 = 17, 5

s_{A}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot \frac{13}{12} = \frac{325}{12}

s_{A} = s_{A}^{2} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

Lĩnh vực B

u = \frac{x - 17 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 8 \cdot ( - 1 ) + 7 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{24} = 0

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 7 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{24} - 0^{2} = \frac{13}{12} - 0 = \frac{13}{12}

\overline{x}_{B} = 17, 5 + 5 \cdot 0 = 17, 5

s_{B}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot \frac{13}{12} = \frac{325}{12}

s_{B} = s_{B}^{2} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

Nhận xét. Hai bảng $u$ khác nhau hẳn (A đối xứng, B lệch) nhưng cho cùng $\overline{u} = 0$ và cùng $s_{u}^{2} = \frac{13}{12}$ — độ lệch chuẩn bằng nhau không có nghĩa hai phân bố giống nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: với A,

\overline{u} = 0

nhờ đối xứng; với B,

\sum m_{i} u_{i} = - 2 - 8 + 0 + 6 + 4 = 0

— cả hai chỉ còn tính

\frac{26}{24}

Đáp số.

\overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 17, 5

triệu đồng;

s_{A} = s_{B} = \frac{325}{12} \approx 5, 20

triệu đồng. Mức độ ổn định của số tiền thu được ở hai lĩnh vực là như nhau.

Sai lầm thường gặp. Nhìn bảng thấy A "đối xứng, dồn vào giữa" rồi kết luận ngay A ổn định hơn — phải tính:

s_{A} = s_{B}

. Viết nhầm giá trị đại diện nhóm

[10; 15)

là

22, 5

thay vì

12, 5

làm sai cả số trung bình.

🚀 Mở rộng. Tính khoảng tứ phân vị của hai mẫu (

Δ_{Q, A} = 7

Δ_{Q, B} = \frac{205}{24} \approx 8, 54

triệu đồng): theo số đo này thì A ổn định hơn — mỗi số đo độ phân tán nhìn dữ liệu theo một cách.

Mở bài này trong app ↗