Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 3.9★Trang 85— Trắc nghiệm — khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.9 (trang 85). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời câu hỏi trong các bài tập từ 3.9 đến 3.13.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của

20

con hổ và thu được kết quả như sau:

Tuổi thọ	$[14; 15)$	$[15; 16)$	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$
Số con hổ	$1$	$3$	$8$	$6$	$2$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.

3

.
B.

4

.
C.

5

.
D.

6

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Các nhóm liên tiếp nhau nên $R$ cũng bằng tổng độ dài của tất cả các nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm chỉ cần hai con số: đầu mút trái của nhóm đầu tiên và đầu mút phải của nhóm cuối cùng (cả hai nhóm đều có tần số dương). Bẫy thứ nhất: trừ hai giá trị đại diện

18, 5 - 14, 5 = 4

(phương án B). Bẫy thứ hai: trừ hai đầu mút trái

18 - 14 = 4

1Cách 1. Theo định nghĩa khoảng biến thiên

Định hướng. Nhóm đầu $[14; 15)$ có tần số $1 > 0$ , nhóm cuối $[18; 19)$ có tần số $2 > 0$ ; lấy đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu.

a_{1} = 14

a_{6} = 19

R = a_{6} - a_{1} = 19 - 14 = 5

Vậy khoảng biến thiên là $5$ (năm). Chọn C.

2Cách 2. Cộng độ dài các nhóm liên tiếp

Định hướng. Năm nhóm nối tiếp nhau phủ kín đoạn từ $14$ đến $19$ , mỗi nhóm dài $1$ năm.

R = 5 \cdot (15 - 14) = 5 \cdot 1 = 5

Vậy $R = 5$ . Chọn C.

Nhận xét. Với mẫu số liệu gốc, con hổ sống ngắn nhất thuộc $[14; 15)$ , sống lâu nhất thuộc $[18; 19)$ nên khoảng biến thiên thật nằm giữa $3$ và $5$ ; con số $5$ của mẫu ghép nhóm là một cận trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một phép trừ, nhưng phải chắc nhóm đầu và nhóm cuối có tần số dương.

Đáp số. Đáp án C:

R = 19 - 14 = 5

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì lấy hiệu hai giá trị đại diện

18, 5 - 14, 5 = 4

, hoặc hiệu hai đầu mút trái

18 - 14 = 4

— khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm dùng đầu mút TRÁI của nhóm đầu và đầu mút PHẢI của nhóm cuối.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm

[14; 15)

có tần số

0

thì khoảng biến thiên còn bao nhiêu? (Đáp số:

19 - 15 = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.10★Trang 85— Trắc nghiệm — xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất

Bài 3.10 (trang 85). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời câu hỏi trong các bài tập từ 3.9 đến 3.13.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của

20

con hổ và thu được kết quả như sau:

Tuổi thọ	$[14; 15)$	$[15; 16)$	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$
Số con hổ	$1$	$3$	$8$	$6$	$2$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
A.

[14; 15)

.
B.

[15; 16)

.
C.

[16; 17)

.
D.

[17; 18)

Kiến thức cần nhớ

Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Với mẫu gốc đã sắp xếp $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{20}$ , tứ phân vị thứ nhất là $\frac{x _{5} + x _{6}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 20

nên vị trí của

Q_{1}

là

\frac{n}{4} = 5

; nhóm chứa

Q_{1}

là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ không nhỏ hơn

5

. Bẫy: chọn nhóm thứ hai vì "một phần tư của năm nhóm", hoặc chọn nhóm có tần số lớn nhất mà không dò tích luỹ.

1Cách 1. Dò tần số tích luỹ

Định hướng. Tính $\frac{n}{4}$ rồi tìm nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ đạt tới giá trị đó.

n = 1 + 3 + 8 + 6 + 2 = 20

\frac{n}{4} = 5

Tần số tích luỹ:

1; 4; 12; 18; 20

4 < 5 \leq 12 \Rightarrow Q_{1} \in [16; 17)

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[16; 17)$ . Chọn C.

2Cách 2. Tính hẳn giá trị Q₁

Định hướng. Thay vào công thức tứ phân vị rồi xem $Q_{1}$ rơi vào nhóm nào.

Q_{1} = 16 + \frac{\frac{20}{4} - ( 1 + 3 )}{8} \cdot (17 - 16) = 16 + \frac{1}{8} \cdot 1 = 16, 125

16 \leq 16, 125 < 17

Vậy $Q_{1} = 16, 125 \in [16; 17)$ . Chọn C.

3Cách 3. Lập luận trên mẫu số liệu gốc

Định hướng. Sắp xếp tuổi thọ của $20$ con hổ tăng dần; $Q_{1}$ là trung bình cộng của số liệu thứ $5$ và thứ $6$ .

x_{1} \in [14; 15)

x_{2}, x_{3}, x_{4} \in [15; 16)

x_{5}, \dots, x_{12} \in [16; 17)

Q_{1} = \frac{x _{5} + x _{6}}{2}

với

x_{5}, x_{6} \in [16; 17)

Vậy $Q_{1}$ thuộc nhóm $[16; 17)$ . Chọn C.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao công thức ghép nhóm "tin được": tứ phân vị thật của mẫu gốc cũng nằm trong nhóm $[16; 17)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: chỉ cần cộng dồn tần số, không phải tính

Q_{1}

— nhanh nhất cho câu trắc nghiệm.

Đáp số. Đáp án C:

[16; 17)

Sai lầm thường gặp. Chọn B

[15; 16)

vì so

5

với tần số

3

của nhóm thứ hai thay vì so với tần số tích luỹ

1 + 3 = 4 < 5

. Chọn nhóm

[16; 17)

"vì tần số lớn nhất" thì đúng may mắn nhưng sai lập luận.

🚀 Mở rộng. Tìm nhóm chứa trung vị

Q_{2}

(vị trí

\frac{2 n}{4} = 10

): vẫn là

[16; 17)

vì

4 < 10 \leq 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.11★Trang 85— Trắc nghiệm — xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Bài 3.11 (trang 85). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời câu hỏi trong các bài tập từ 3.9 đến 3.13.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của

20

con hổ và thu được kết quả như sau:

Tuổi thọ	$[14; 15)$	$[15; 16)$	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$
Số con hổ	$1$	$3$	$8$	$6$	$2$

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là
A.

[15; 16)

.
B.

[16; 17)

.
C.

[17; 18)

.
D.

[18; 19)

Kiến thức cần nhớ

Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Với mẫu gốc đã sắp xếp $x_{1} \leq \dots \leq x_{20}$ , tứ phân vị thứ ba là $\frac{x _{15} + x _{16}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vị trí của

Q_{3}

là

\frac{3 n}{4} = 15

; dò tần số tích luỹ tìm nhóm đầu tiên đạt

15

. Bẫy: chọn nhóm cuối

[18; 19)

vì nghĩ "tứ phân vị thứ ba nằm ở cuối bảng".

1Cách 1. Dò tần số tích luỹ

Định hướng. Tính $\frac{3 n}{4}$ rồi dò tần số tích luỹ.

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15

Tần số tích luỹ:

1; 4; 12; 18; 20

12 < 15 \leq 18 \Rightarrow Q_{3} \in [17; 18)

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[17; 18)$ . Chọn C.

2Cách 2. Tính hẳn giá trị Q₃

Định hướng. Thay vào công thức rồi đối chiếu với các nhóm.

Q_{3} = 17 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - ( 1 + 3 + 8 )}{6} \cdot (18 - 17) = 17 + \frac{3}{6} \cdot 1 = 17, 5

17 \leq 17, 5 < 18

Vậy $Q_{3} = 17, 5 \in [17; 18)$ . Chọn C.

3Cách 3. Lập luận trên mẫu số liệu gốc

Định hướng. $Q_{3}$ của mẫu gốc là trung bình cộng của số liệu thứ $15$ và thứ $16$ .

x_{13}, \dots, x_{18} \in [17; 18)

Q_{3} = \frac{x _{15} + x _{16}}{2}

với

x_{15}, x_{16} \in [17; 18)

Vậy $Q_{3}$ thuộc nhóm $[17; 18)$ . Chọn C.

Nhận xét. Đếm ngược từ cuối cũng được: nhóm cuối chỉ có $2$ con, nhỏ hơn $\frac{n}{4} = 5$ , nên $Q_{3}$ phải lùi về nhóm liền trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — cộng dồn đến khi vượt

15

là xong; Cách 3 để thử lại bằng nhẩm.

Đáp số. Đáp án C:

[17; 18)

Sai lầm thường gặp. Chọn D

[18; 19)

vì nghĩ

Q_{3}

luôn ở nhóm cuối; hoặc chọn B vì dừng ở tần số tích luỹ

12

mà quên điều kiện "

\geq 15

🚀 Mở rộng. Với cùng bảng, tính

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 17, 5 - 16, 125 = 1, 375

(năm).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.12★★Trang 85— Trắc nghiệm — tính chất của các số đo độ phân tán

Bài 3.12 (trang 85). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời câu hỏi trong các bài tập từ 3.9 đến 3.13.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của

20

con hổ và thu được kết quả như sau:

Tuổi thọ	$[14; 15)$	$[15; 16)$	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$
Số con hổ	$1$	$3$	$8$	$6$	$2$

Số đặc trưng nào không sử dụng thông tin của nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối cùng?
A. Khoảng biến thiên.
B. Khoảng tứ phân vị.
C. Phương sai.
D. Độ lệch chuẩn.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc nửa giữa của mẫu số liệu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường; khoảng biến thiên thì bị ảnh hưởng.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi kiểm tra hiểu công thức: số đặc trưng nào "nhìn" vào nhóm hai đầu.

R

lấy trực tiếp đầu mút của hai nhóm này; phương sai, độ lệch chuẩn cộng đủ mọi giá trị đại diện; còn

Q_{1}

Q_{3}

nằm ở hai nhóm giữa. Chú ý chữ không in đậm trong đề.

1Cách 1. Soát công thức của từng số đặc trưng

Định hướng. Xem mỗi công thức có chứa đầu mút hay giá trị đại diện của nhóm $[14; 15)$ , $[18; 19)$ không.

R = 19 - 14

: dùng cả hai nhóm (A loại)

s^{2} = \frac{1 \cdot ( 14 , 5 - x ) ^{2} + \dots + 2 \cdot ( 18 , 5 - x ) ^{2}}{20}

s = s^{2}

: dùng cả hai nhóm (C, D loại)

Q_{1} \in [16; 17)

Q_{3} \in [17; 18)

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

: không dùng giá trị của hai nhóm đầu, cuối

Vậy chọn B — khoảng tứ phân vị.

2Cách 2. Thử thay đổi nhóm cuối

Định hướng. Giả sử $2$ con hổ ở nhóm cuối thực ra sống $[23; 24)$ năm (tần số giữ nguyên); số đặc trưng nào không đổi thì không dùng thông tin nhóm cuối.

R

19 - 14 = 5 \to 24 - 14 = 10

(đổi)

\overline{x}

\frac{335}{20} = 16, 75 \to \frac{345}{20} = 17, 25

nên

s^{2}

s

đổi

Q_{1} = 16, 125

Q_{3} = 17, 5

giữ nguyên

\Rightarrow Δ_{Q} = 1, 375

(không đổi)

Vậy chỉ khoảng tứ phân vị không đổi. Chọn B.

3Cách 3. Dựa vào ý nghĩa của khoảng tứ phân vị

Định hướng. $Δ_{Q}$ là độ dài khoảng chứa $50%$ số liệu chính giữa, đã bỏ $25%$ số liệu nhỏ nhất và $25%$ số liệu lớn nhất.

25% \cdot 20 = 5

nhóm đầu có

1 \leq 5

con, nhóm cuối có

2 \leq 5

con

\Rightarrow

cả hai nhóm nằm trọn trong phần bị bỏ

Vậy khoảng tứ phân vị không dùng thông tin của nhóm đầu và nhóm cuối. Chọn B.

Nhận xét. Nói chính xác: công thức $Q_{1}$ vẫn cần số con ở nhóm đầu (trong tổng $m_{1} + \dots + m_{p - 1}$ ), nhưng không cần biết các con đó sống bao lâu — vì vậy $Δ_{Q}$ không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường ở hai đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 — nhớ một câu "

Δ_{Q}

bỏ

25%

mỗi đầu" là chọn được ngay; Cách 2 là phép thử thuyết phục khi còn phân vân.

Đáp số. Đáp án B: khoảng tứ phân vị.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nghĩ khoảng biến thiên "chỉ là hiệu hai số" — nhưng chính hai số đó là đầu mút của nhóm đầu và nhóm cuối. Chọn D vì nghĩ độ lệch chuẩn khác phương sai — cả hai cùng dùng mọi giá trị đại diện.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm đầu có

6

con hổ (lớn hơn

\frac{n}{4}

) thì

Q_{1}

rơi vào chính nhóm đầu — khi đó khoảng tứ phân vị có còn "không dùng" nhóm đầu nữa không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.13★★Trang 85— Trắc nghiệm — ảnh hưởng của tần số tới các số đo độ phân tán

Bài 3.13 (trang 85). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời câu hỏi trong các bài tập từ 3.9 đến 3.13.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của

20

con hổ và thu được kết quả như sau:

Tuổi thọ	$[14; 15)$	$[15; 16)$	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$
Số con hổ	$1$	$3$	$8$	$6$	$2$

Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

4

thì số đặc trưng nào sau đây không thay đổi?
A. Khoảng biến thiên.
B. Khoảng tứ phân vị.
C. Phương sai.
D. Độ lệch chuẩn.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ tần số thay đổi, còn các nhóm giữ nguyên. Số đặc trưng nào chỉ phụ thuộc đầu mút các nhóm thì không đổi — đó là khoảng biến thiên (nhóm đầu, nhóm cuối vẫn có tần số dương). Ba số còn lại đều có tần số trong công thức nên nói chung sẽ thay đổi; có thể tính hẳn để chắc chắn.

1Cách 1. Tính các số đặc trưng trước và sau khi thay

Định hướng. Tính lại cả bốn số với tần số $4; 4; 4; 4; 4$ (vẫn $n = 20$ ) rồi so sánh.

R

19 - 14 = 5 \to 19 - 14 = 5

Δ_{Q}

17, 5 - 16, 125 = 1, 375 \to 17, 75 - 15, 25 = 2, 5

với tần số mới:

Q_{1} = 15 + \frac{5 - 4}{4} \cdot 1 = 15, 25

Q_{3} = 17 + \frac{15 - 12}{4} \cdot 1 = 17, 75

s^{2}

\frac{79}{80} = 0, 9875 \to \frac{4 \cdot ( 2 ^{2} + 1 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2} )}{20} = 2

s

\approx 0, 99 \to 2 \approx 1, 41

Vậy chỉ khoảng biến thiên không đổi. Chọn A.

2Cách 2. Nhận ra số đặc trưng không phụ thuộc tần số

Định hướng. Khoảng biến thiên chỉ dùng hai đầu mút $a_{1}$ , $a_{k + 1}$ , không có tần số trong công thức.

R = a_{6} - a_{1} = 19 - 14

(điều kiện:

m_{1} = 4 > 0

m_{5} = 4 > 0

)

\Rightarrow R

không đổi

Vậy chọn A (đề chỉ có một phương án đúng).

3Cách 3. Nhìn hình dạng phân bố

Định hướng. Tần số cũ $1; 3; 8; 6; 2$ dồn vào giữa, tần số mới $4; 4; 4; 4; 4$ trải đều — số liệu phân tán hơn.

phân bố trải đều hơn

\Rightarrow

Δ_{Q}

s^{2}

s

tăng (B, C, D loại)
hai nhóm ngoài cùng vẫn là

[14; 15)

và

[18; 19)

\Rightarrow

R

giữ nguyên

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 1 xác nhận trực giác của Cách 3: $Δ_{Q}$ tăng từ $1, 375$ lên $2, 5$ , phương sai tăng từ $0, 9875$ lên $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — nhận ra

R

không chứa tần số là chọn được ngay trong vài giây.

Đáp số. Đáp án A: khoảng biến thiên (vẫn bằng

5

Sai lầm thường gặp. Nghĩ "thay tần số bằng nhau thì mọi thứ giữ nguyên vì cỡ mẫu vẫn là

20

" — sai:

Δ_{Q}

đổi từ

1, 375

thành

2, 5

, phương sai đổi từ

0, 9875

thành

2

🚀 Mở rộng. Nếu thay mọi tần số bằng

0

trừ nhóm

[16; 17)

thì khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm còn bao nhiêu? (Đáp số:

1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.14★★Trang 86— Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm

Bài 3.14 (trang 86). Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau:

Thời gian (giờ)	$[5; 5, 5)$	$[5, 5; 6)$	$[6; 6, 5)$	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$
Số chiếc điện thoại (tần số)	$2$	$8$	$15$	$10$	$5$

Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Nhóm chứa $Q_{r}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\geq \frac{r n}{4}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài tổng hợp ba số đo độ phân tán trên cùng một bảng,

n = 40

chia hết cho

4

nên vị trí

Q_{1}

Q_{3}

là số nguyên

10

và

30

. Để ý

\frac{n}{4} = 10

trùng đúng tần số tích luỹ của nhóm thứ hai nên

Q_{1}

là đầu mút phải

6

— dễ lúng túng chọn nhóm. Các giá trị đại diện cách đều

0, 5

nên phương sai tính nhanh bằng đổi biến.

1Cách 1. Định nghĩa R · công thức tứ phân vị · phương sai theo định nghĩa

Định hướng. $n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40$ . Lấy $R$ theo đầu mút, tứ phân vị theo công thức SGK, phương sai là trung bình của bình phương độ lệch.

R = 7, 5 - 5 = 2, 5

\frac{n}{4} = \frac{40}{4} = 10

2 < 10 \leq 2 + 8 = 10 \Rightarrow Q_{1} \in [5, 5; 6)

Q_{1} = 5, 5 + \frac{\frac{40}{4} - 2}{8} \cdot (6 - 5, 5) = 5, 5 + \frac{8}{8} \cdot 0, 5 = 6

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 40}{4} = 30

2 + 8 + 15 = 25 < 30 \leq 2 + 8 + 15 + 10 = 35 \Rightarrow Q_{3} \in [6, 5; 7)

Q_{3} = 6, 5 + \frac{\frac{3 \cdot 40}{4} - ( 2 + 8 + 15 )}{10} \cdot (7 - 6, 5) = 6, 5 + \frac{5}{10} \cdot 0, 5 = 6, 75

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 6, 75 - 6 = 0, 75

x_{1} = 5, 25; x_{2} = 5, 75; x_{3} = 6, 25; x_{4} = 6, 75; x_{5} = 7, 25

\overline{x} = \frac{2 \cdot 5 , 25 + 8 \cdot 5 , 75 + 15 \cdot 6 , 25 + 10 \cdot 6 , 75 + 5 \cdot 7 , 25}{40} = \frac{254}{40} = 6, 35

s^{2} = \frac{2 \cdot ( 5 , 25 - 6 , 35 ) ^{2} + 8 \cdot ( 5 , 75 - 6 , 35 ) ^{2} + 15 \cdot ( 6 , 25 - 6 , 35 ) ^{2} + 10 \cdot ( 6 , 75 - 6 , 35 ) ^{2} + 5 \cdot ( 7 , 25 - 6 , 35 ) ^{2}}{40}

s^{2} = \frac{2 \cdot ( - 1 , 1 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 0 , 6 ) ^{2} + 15 \cdot ( - 0 , 1 ) ^{2} + 10 \cdot 0 , 4 ^{2} + 5 \cdot 0 , 9 ^{2}}{40} = \frac{11 , 1}{40} = 0, 2775

s = s^{2} = 0, 2775 \approx 0, 53

Vậy $R = 2, 5$ giờ; $Δ_{Q} = 0, 75$ giờ; $s \approx 0, 53$ giờ.

2Cách 2. Cộng độ dài nhóm · nội suy tần số tích luỹ · công thức rút gọn

Định hướng. $R$ bằng tổng độ dài $5$ nhóm; $Q_{r}$ đọc trên đường gấp khúc tần số tích luỹ bằng tỉ lệ; phương sai bằng trung bình các bình phương trừ bình phương số trung bình.

R = 5 \cdot 0, 5 = 2, 5

Tần số tích luỹ:

2; 10; 25; 35; 40

\frac{Q _{1} - 5 , 5}{6 - 5 , 5} = \frac{10 - 2}{10 - 2} \Rightarrow Q_{1} = 5, 5 + 0, 5 \cdot \frac{8}{8} = 6

\frac{Q _{3} - 6 , 5}{7 - 6 , 5} = \frac{30 - 25}{35 - 25} \Rightarrow Q_{3} = 6, 5 + 0, 5 \cdot \frac{5}{10} = 6, 75

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 6, 75 - 6 = 0, 75

\overline{x} = \frac{2 \cdot 5 , 25 + 8 \cdot 5 , 75 + 15 \cdot 6 , 25 + 10 \cdot 6 , 75 + 5 \cdot 7 , 25}{40} = \frac{254}{40} = 6, 35

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 5 , 2 5 ^{2} + 8 \cdot 5 , 7 5 ^{2} + 15 \cdot 6 , 2 5 ^{2} + 10 \cdot 6 , 7 5 ^{2} + 5 \cdot 7 , 2 5 ^{2}}{40} = \frac{1624}{40} = 40, 6

s^{2} = 40, 6 - 6, 3 5^{2} = 0, 2775

s = s^{2} = 0, 2775 \approx 0, 53

Vậy $R = 2, 5$ giờ; $Δ_{Q} = 0, 75$ giờ; $s \approx 0, 53$ giờ.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải · đổi biến u = (x − 6,25) : 0,5

Định hướng. Tứ phân vị tính lùi từ đầu mút phải của nhóm chứa nó; phương sai tính trên số nguyên nhỏ $u \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ rồi nhân $0, 5^{2}$ .

R = 7, 5 - 5 = 2, 5

2 < 10 \leq 10

25 < 30 \leq 35

Q_{1} = 6 - \frac{10 - 10}{8} \cdot 0, 5 = 6 - 0 = 6

Q_{3} = 7 - \frac{35 - 30}{10} \cdot 0, 5 = 7 - 0, 25 = 6, 75

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 6, 75 - 6 = 0, 75

u = \frac{x - 6 , 25}{0 , 5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 8 \cdot ( - 1 ) + 15 \cdot 0 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 2}{40} = 0, 2

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 15 \cdot 0 + 10 \cdot 1 + 5 \cdot 4}{40} - 0, 2^{2} = 1, 15 - 0, 04 = 1, 11

\overline{x} = 6, 25 + 0, 5 \cdot 0, 2 = 6, 35

s^{2} = 0, 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 25 \cdot 1, 11 = 0, 2775

s = s^{2} = 0, 2775 \approx 0, 53

Vậy $R = 2, 5$ giờ; $Δ_{Q} = 0, 75$ giờ; $s \approx 0, 53$ giờ.

Nhận xét. Cả ba số cùng đơn vị giờ: $R = 2, 5$ là độ trải toàn bộ, $Δ_{Q} = 0, 75$ là độ trải của $50%$ số máy ở giữa, $s \approx 0, 53$ là mức dao động điển hình quanh $\overline{x} = 6, 35$ giờ. Luôn có $Δ_{Q} \leq R$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3:

Q_{1} = 6 - 0

thấy ngay, còn phương sai chỉ cần

\overline{u} = 0, 2

s_{u}^{2} = 1, 11

— không phải bình phương các số như

6, 35

Đáp số.

R = 2, 5

giờ;

Q_{1} = 6

Q_{3} = 6, 75

Δ_{Q} = 0, 75

giờ;

\overline{x} = 6, 35

s^{2} = 0, 2775

s \approx 0, 53

giờ.

Sai lầm thường gặp. Thấy

\frac{n}{4} = 10

bằng tần số tích luỹ

10

rồi chọn nhóm chứa

Q_{1}

là

[6; 6, 5)

— sai: điều kiện là

C_{p - 1} < \frac{n}{4} \leq C_{p}

nên nhóm là

[5, 5; 6)

(dù trong trường hợp này hai cách chọn đều cho

Q_{1} = 6

). Quên lấy căn, ghi độ lệch chuẩn là

0, 2775

🚀 Mở rộng. Nếu thêm

10

chiếc điện thoại có thời gian ở nhóm

[7; 7, 5)

thì

R

Δ_{Q}

s

thay đổi thế nào? Số nào nhạy nhất?

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.15★★★Trang 86— So sánh số trung bình và độ rủi ro của hai mẫu ghép nhóm

Bài 3.15 (trang 86). Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A, B cho kết quả như sau:

Tiền lãi	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực A	$2$	$5$	$8$	$6$	$4$
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực B	$8$	$4$	$2$	$5$	$6$

a) Về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực nào đem lại tiền lãi cao hơn?
b) Tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này và giải thích ý nghĩa của các số thu được.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Trong đầu tư, độ lệch chuẩn của tiền lãi càng lớn thì mức độ rủi ro càng cao.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) so số trung bình, ý b) so độ lệch chuẩn — độ lệch chuẩn của tiền lãi chính là thước đo độ rủi ro của phương án đầu tư. Hai mẫu cùng đơn vị và số trung bình không chênh nhiều (

18, 5

và

16, 9

) nên so sánh bằng độ lệch chuẩn là hợp lí. Hai bảng cùng các nhóm nên đổi biến chung một lần cho cả hai.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Cỡ mẫu mỗi lĩnh vực $n = 25$ ; tính số trung bình và phương sai theo định nghĩa cho từng lĩnh vực.

Lĩnh vực A

x_{1} = 7, 5; x_{2} = 12, 5; x_{3} = 17, 5; x_{4} = 22, 5; x_{5} = 27, 5

n = 2 + 5 + 8 + 6 + 4 = 25

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot 7 , 5 + 5 \cdot 12 , 5 + 8 \cdot 17 , 5 + 6 \cdot 22 , 5 + 4 \cdot 27 , 5}{25} = \frac{462 , 5}{25} = 18, 5

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( 7 , 5 - 18 , 5 ) ^{2} + 5 \cdot ( 12 , 5 - 18 , 5 ) ^{2} + 8 \cdot ( 17 , 5 - 18 , 5 ) ^{2} + 6 \cdot ( 22 , 5 - 18 , 5 ) ^{2} + 4 \cdot ( 27 , 5 - 18 , 5 ) ^{2}}{25}

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot ( - 11 ) ^{2} + 5 \cdot ( - 6 ) ^{2} + 8 \cdot ( - 1 ) ^{2} + 6 \cdot 4 ^{2} + 4 \cdot 9 ^{2}}{25} = \frac{850}{25} = 34

s_{A} = s_{A}^{2} = 34 \approx 5, 83

Lĩnh vực B

x_{1} = 7, 5; x_{2} = 12, 5; x_{3} = 17, 5; x_{4} = 22, 5; x_{5} = 27, 5

n = 8 + 4 + 2 + 5 + 6 = 25

\overline{x}_{B} = \frac{8 \cdot 7 , 5 + 4 \cdot 12 , 5 + 2 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 6 \cdot 27 , 5}{25} = \frac{422 , 5}{25} = 16, 9

s_{B}^{2} = \frac{8 \cdot ( 7 , 5 - 16 , 9 ) ^{2} + 4 \cdot ( 12 , 5 - 16 , 9 ) ^{2} + 2 \cdot ( 17 , 5 - 16 , 9 ) ^{2} + 5 \cdot ( 22 , 5 - 16 , 9 ) ^{2} + 6 \cdot ( 27 , 5 - 16 , 9 ) ^{2}}{25}

s_{B}^{2} = \frac{8 \cdot ( - 9 , 4 ) ^{2} + 4 \cdot ( - 4 , 4 ) ^{2} + 2 \cdot 0 , 6 ^{2} + 5 \cdot 5 , 6 ^{2} + 6 \cdot 10 , 6 ^{2}}{25} = \frac{1616}{25} = 64, 64

s_{B} = s_{B}^{2} = 64, 64 \approx 8, 04

Vậy a) $\overline{x}_{A} = 18, 5 > \overline{x}_{B} = 16, 9$ (triệu đồng) nên về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực A đem lại tiền lãi cao hơn. b) $s_{A} = 34 \approx 5, 83$ , $s_{B} \approx 8, 04$ (triệu đồng): tiền lãi ở lĩnh vực B phân tán hơn nhiều, tức đầu tư vào B rủi ro hơn; lĩnh vực A vừa lãi trung bình cao hơn vừa ít rủi ro hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Tính số trung bình rồi dùng công thức rút gọn $s^{2} = \frac{1}{n} \sum m_{i} x_{i}^{2} - \overline{x}^{2}$ .

Lĩnh vực A

\overline{x}_{A} = \frac{2 \cdot 7 , 5 + 5 \cdot 12 , 5 + 8 \cdot 17 , 5 + 6 \cdot 22 , 5 + 4 \cdot 27 , 5}{25} = \frac{462 , 5}{25} = 18, 5

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{2 \cdot 7 , 5 ^{2} + 5 \cdot 12 , 5 ^{2} + 8 \cdot 17 , 5 ^{2} + 6 \cdot 22 , 5 ^{2} + 4 \cdot 27 , 5 ^{2}}{25} = \frac{9406 , 25}{25} = 376, 25

s_{A}^{2} = 376, 25 - 18, 5^{2} = 34

s_{A} = s_{A}^{2} = 34 \approx 5, 83

Lĩnh vực B

\overline{x}_{B} = \frac{8 \cdot 7 , 5 + 4 \cdot 12 , 5 + 2 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 6 \cdot 27 , 5}{25} = \frac{422 , 5}{25} = 16, 9

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{8 \cdot 7 , 5 ^{2} + 4 \cdot 12 , 5 ^{2} + 2 \cdot 17 , 5 ^{2} + 5 \cdot 22 , 5 ^{2} + 6 \cdot 27 , 5 ^{2}}{25} = \frac{8756 , 25}{25} = 350, 25

s_{B}^{2} = 350, 25 - 16, 9^{2} = 64, 64

s_{B} = s_{B}^{2} = 64, 64 \approx 8, 04

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Giá trị đại diện cách đều $5$ : đổi $u = \frac{x - 17 , 5}{5} \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ , dùng chung cho hai lĩnh vực.

Lĩnh vực A

u = \frac{x - 17 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 5 \cdot ( - 1 ) + 8 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 4 \cdot 2}{25} = 0, 2

s_{u}^{2} = \frac{2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 4 \cdot 4}{25} - 0, 2^{2} = 1, 4 - 0, 04 = 1, 36

\overline{x}_{A} = 17, 5 + 5 \cdot 0, 2 = 18, 5

s_{A}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot 1, 36 = 34

s_{A} = s_{A}^{2} = 34 \approx 5, 83

Lĩnh vực B

u = \frac{x - 17 , 5}{5}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1; u_{5} = 2

\overline{u} = \frac{8 \cdot ( - 2 ) + 4 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 2}{25} = - 0, 12

s_{u}^{2} = \frac{8 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 4}{25} - (- 0, 12)^{2} = 2, 6 - 0, 0144 = 2, 5856

\overline{x}_{B} = 17, 5 + 5 \cdot (- 0, 12) = 16, 9

s_{B}^{2} = 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 25 \cdot 2, 5856 = 64, 64

s_{B} = s_{B}^{2} = 64, 64 \approx 8, 04

Nhận xét. Chỉ cần $\overline{u}_{A} = 0, 2 > \overline{u}_{B} = - 0, 12$ và $s_{u, A}^{2} = 1, 36 < s_{u, B}^{2} = 2, 5856$ là đủ trả lời cả hai ý; nhân $5$ và $25$ chỉ để ra đúng đơn vị triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3: một bảng

u

dùng cho cả hai lĩnh vực, mọi phép tính trên số nguyên nhỏ; Cách 1 phải bình phương các độ lệch lẻ như

- 11

6, 5

- 9, 4

Đáp số. a)

\overline{x}_{A} = 18, 5

\overline{x}_{B} = 16, 9

(triệu đồng): lĩnh vực A lãi trung bình cao hơn. b)

s_{A} = 34 \approx 5, 83

s_{B} = 64, 64 \approx 8, 04

(triệu đồng): đầu tư vào B rủi ro hơn.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "B tốt hơn vì độ lệch chuẩn lớn hơn nên có cơ hội lãi to" — độ lệch chuẩn lớn là rủi ro cao, không phải lãi cao. Cộng nhầm cỡ mẫu (mỗi lĩnh vực có

25

nhà đầu tư, không phải

50

🚀 Mở rộng. Tính hệ số biến thiên

C V = \frac{s}{x}

của hai lĩnh vực (

C V_{A} \approx 0, 32

C V_{B} \approx 0, 48

) và kiểm tra kết luận "B rủi ro hơn" không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.16★★★Trang 86— Tính đủ các số đo độ phân tán và nêu ý nghĩa (nhóm độ dài khác nhau)

Bài 3.16 (trang 86). Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:

Mức xà (cm)	$[170; 172)$	$[172; 174)$	$[174; 176)$	$[176; 180)$
Số vận động viên	$3$	$10$	$6$	$1$

a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ (với $m_{1} > 0$ , $m_{k} > 0$ ) là $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Tứ phân vị thứ $r$ : $Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ , với $[a_{p}; a_{p + 1})$ là nhóm chứa $Q_{r}$ ( $r = 1, 2, 3$ ).
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán quanh số trung bình; chỉ nên dùng để so sánh hai mẫu cùng đơn vị và có số trung bình xấp xỉ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

"Các số đặc trưng đo mức độ phân tán" gồm đủ bốn số: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn. Bẫy của bảng: nhóm cuối

[176; 180)

dài

4

cm trong khi ba nhóm đầu dài

2

cm — giá trị đại diện của nó là

178

, và khi tính tứ phân vị phải dùng đúng độ dài từng nhóm. Vì các giá trị đại diện

171; 173; 175; 178

không cách đều, đổi biến chỉ trừ đi

173

(bước

h = 1

1Cách 1. Định nghĩa R · công thức tứ phân vị · phương sai theo định nghĩa

Định hướng. $n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20$ . Tính lần lượt $R$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ , $Δ_{Q}$ theo công thức SGK, rồi phương sai theo định nghĩa.

R = 180 - 170 = 10

\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5

3 < 5 \leq 3 + 10 = 13 \Rightarrow Q_{1} \in [172; 174)

Q_{1} = 172 + \frac{\frac{20}{4} - 3}{10} \cdot (174 - 172) = 172 + \frac{2}{10} \cdot 2 = 172, 4

\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15

3 + 10 = 13 < 15 \leq 3 + 10 + 6 = 19 \Rightarrow Q_{3} \in [174; 176)

Q_{3} = 174 + \frac{\frac{3 \cdot 20}{4} - ( 3 + 10 )}{6} \cdot (176 - 174) = 174 + \frac{2}{6} \cdot 2 = \frac{524}{3} \approx 174, 67

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{524}{3} - 172, 4 = \frac{34}{15} \approx 2, 27

x_{1} = 171; x_{2} = 173; x_{3} = 175; x_{4} = 178

\overline{x} = \frac{3 \cdot 171 + 10 \cdot 173 + 6 \cdot 175 + 1 \cdot 178}{20} = \frac{3471}{20} = 173, 55

s^{2} = \frac{3 \cdot ( 171 - 173 , 55 ) ^{2} + 10 \cdot ( 173 - 173 , 55 ) ^{2} + 6 \cdot ( 175 - 173 , 55 ) ^{2} + 1 \cdot ( 178 - 173 , 55 ) ^{2}}{20}

s^{2} = \frac{3 \cdot ( - 2 , 55 ) ^{2} + 10 \cdot ( - 0 , 55 ) ^{2} + 6 \cdot 1 , 4 5 ^{2} + 1 \cdot 4 , 4 5 ^{2}}{20} = \frac{54 , 95}{20} = 2, 7475

s = s^{2} = 2, 7475 \approx 1, 66

Vậy a) $R = 10$ cm; $Q_{1} = 172, 4$ , $Q_{3} \approx 174, 67$ , $Δ_{Q} = \frac{34}{15} \approx 2, 27$ cm; $\overline{x} = 173, 55$ , $s^{2} = 2, 7475$ , $s \approx 1, 66$ cm.

2Cách 2. Nội suy tần số tích luỹ · công thức rút gọn

Định hướng. Tứ phân vị đọc bằng tỉ lệ trên đường gấp khúc tần số tích luỹ; phương sai bằng trung bình các bình phương trừ bình phương số trung bình.

R = 180 - 170 = 10

Tần số tích luỹ:

3; 13; 19; 20

\frac{Q _{1} - 172}{174 - 172} = \frac{5 - 3}{13 - 3} \Rightarrow Q_{1} = 172 + 2 \cdot \frac{2}{10} = 172, 4

\frac{Q _{3} - 174}{176 - 174} = \frac{15 - 13}{19 - 13} \Rightarrow Q_{3} = 174 + 2 \cdot \frac{2}{6} = \frac{524}{3} \approx 174, 67

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{524}{3} - 172, 4 = \frac{34}{15} \approx 2, 27

\overline{x} = \frac{3 \cdot 171 + 10 \cdot 173 + 6 \cdot 175 + 1 \cdot 178}{20} = \frac{3471}{20} = 173, 55

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{3 \cdot 17 1 ^{2} + 10 \cdot 17 3 ^{2} + 6 \cdot 17 5 ^{2} + 1 \cdot 17 8 ^{2}}{20} = \frac{602447}{20} = 30122, 35

s^{2} = 30122, 35 - 173, 5 5^{2} = 2, 7475

s = s^{2} = 2, 7475 \approx 1, 66

Vậy a) $R = 10$ cm; $Q_{1} = 172, 4$ , $Q_{3} \approx 174, 67$ , $Δ_{Q} = \frac{34}{15} \approx 2, 27$ cm; $\overline{x} = 173, 55$ , $s^{2} = 2, 7475$ , $s \approx 1, 66$ cm.

3Cách 3. Đếm ngược từ đầu mút phải · đổi biến u = x − 173

Định hướng. Tứ phân vị tính lùi từ đầu mút phải của nhóm; phương sai tính trên $u = x - 173 \in {- 2; 0; 2; 5}$ (trừ đi một hằng số không làm đổi phương sai).

R = 180 - 170 = 10

3 < 5 \leq 13

13 < 15 \leq 19

Q_{1} = 174 - \frac{13 - 5}{10} \cdot 2 = 174 - 1, 6 = 172, 4

Q_{3} = 176 - \frac{19 - 15}{6} \cdot 2 = 176 - \frac{4}{3} = \frac{524}{3} \approx 174, 67

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{524}{3} - 172, 4 = \frac{34}{15} \approx 2, 27

u = \frac{x - 173}{1}

u_{1} = - 2; u_{2} = 0; u_{3} = 2; u_{4} = 5

\overline{u} = \frac{3 \cdot ( - 2 ) + 10 \cdot 0 + 6 \cdot 2 + 1 \cdot 5}{20} = 0, 55

s_{u}^{2} = \frac{3 \cdot 4 + 10 \cdot 0 + 6 \cdot 4 + 1 \cdot 25}{20} - 0, 5 5^{2} = 3, 05 - 0, 3025 = 2, 7475

\overline{x} = 173 + 1 \cdot 0, 55 = 173, 55

s^{2} = 1^{2} \cdot s_{u}^{2} = 1 \cdot 2, 7475 = 2, 7475

s = s^{2} = 2, 7475 \approx 1, 66

Vậy a) $R = 10$ cm; $Q_{1} = 172, 4$ , $Q_{3} \approx 174, 67$ , $Δ_{Q} = \frac{34}{15} \approx 2, 27$ cm; $\overline{x} = 173, 55$ , $s^{2} = 2, 7475$ , $s \approx 1, 66$ cm.

Nhận xét. Vì nhóm cuối dài gấp đôi nên không chọn được $h = 2$ cho mọi giá trị đại diện; lấy $h = 1$ vẫn đưa về số nguyên nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3:

Q_{1} = 174 - 1, 6

nhẩm được, còn phương sai chỉ làm với

- 2; 0; 2; 5

— tránh bình phương các số cỡ

173

như ở Cách 2.

Đáp số. a)

R = 10

cm;

Δ_{Q} = \frac{524}{3} - 172, 4 = \frac{34}{15} \approx 2, 27

cm;

s^{2} = 2, 7475

;

s \approx 1, 66

cm. b) Thành tích của các vận động viên khá đồng đều: một nửa số vận động viên ở giữa có mức xà chênh nhau khoảng

2, 27

cm, và thành tích thường dao động quanh mức trung bình

173, 55

cm khoảng

1, 66

cm; khoảng biến thiên

10

cm lớn hơn nhiều do chỉ

1

vận động viên ở nhóm

[176; 180)

Sai lầm thường gặp. Lấy giá trị đại diện nhóm cuối là

177

(quen tay cộng

1

như các nhóm dài

2

) — đúng là

\frac{176 + 180}{2} = 178

. Tính

Q_{3}

với độ dài nhóm

4

trong khi nhóm chứa

Q_{3}

là

[174; 176)

dài

2

🚀 Mở rộng. Bỏ vận động viên duy nhất ở nhóm

[176; 180)

R

giảm từ

10

xuống

6

cm, còn

Δ_{Q}

và

s

thay đổi ít hơn nhiều — thử tính để thấy

R

nhạy với giá trị ở rìa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.17★★Trang 86— So sánh độ ổn định của hai thiết bị đo bằng độ lệch chuẩn

Bài 3.17 (trang 86). Trong bài thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo

10

lần cho kết quả như sau:

Hiệu điện thế đo được (Vôn)	$[3, 85; 3, 9)$	$[3, 9; 3, 95)$	$[3, 95; 4)$	$[4; 4, 05)$
Số lần An đo	$1$	$6$	$2$	$1$
Số lần Bình đo	$1$	$3$	$4$	$2$

Tính độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả đo của An và Bình. Từ đó kết luận xem vôn kế của bạn nào cho kết quả đo ổn định hơn.

Kiến thức cần nhớ

Mẫu ghép nhóm $[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})$ với tần số $m_{1}, \dots, m_{k}$ : giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ , $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ , $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Phương sai $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ (cùng đơn vị với số liệu).
Đổi biến $u = \frac{x - c}{h}$ ( $h > 0$ ): $\overline{x} = c + h \overline{u}$ , $s_{x}^{2} = h^{2} s_{u}^{2}$ , $s_{x} = h s_{u}$ .
Với các lần đo lặp lại cùng một đại lượng, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì thiết bị đo càng ổn định (chính xác).

🧠 Phân tích tư duy

"Ổn định hơn" nghĩa là các lần đo ít phân tán hơn, quy về so sánh hai độ lệch chuẩn. Trước khi so phải kiểm tra hai số trung bình xấp xỉ nhau. Số liệu có ba chữ số thập phân nên đổi biến giúp tránh sai số tính toán.

1Cách 1. Theo định nghĩa: trung bình của bình phương độ lệch

Định hướng. Mỗi bạn đo $10$ lần; tính số trung bình rồi phương sai theo định nghĩa.

Bạn An

x_{1} = 3, 875; x_{2} = 3, 925; x_{3} = 3, 975; x_{4} = 4, 025

n = 1 + 6 + 2 + 1 = 10

\overline{x}_{A n} = \frac{1 \cdot 3 , 875 + 6 \cdot 3 , 925 + 2 \cdot 3 , 975 + 1 \cdot 4 , 025}{10} = \frac{39 , 4}{10} = 3, 94

s_{A n}^{2} = \frac{1 \cdot ( 3 , 875 - 3 , 94 ) ^{2} + 6 \cdot ( 3 , 925 - 3 , 94 ) ^{2} + 2 \cdot ( 3 , 975 - 3 , 94 ) ^{2} + 1 \cdot ( 4 , 025 - 3 , 94 ) ^{2}}{10}

s_{A n}^{2} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 065 ) ^{2} + 6 \cdot ( - 0 , 015 ) ^{2} + 2 \cdot 0 , 03 5 ^{2} + 1 \cdot 0 , 08 5 ^{2}}{10} = \frac{0 , 01525}{10} = 0, 001525

s_{A n} = s_{A n}^{2} = 0, 001525 \approx 0, 039

Bạn Bình

x_{1} = 3, 875; x_{2} = 3, 925; x_{3} = 3, 975; x_{4} = 4, 025

n = 1 + 3 + 4 + 2 = 10

\overline{x}_{B} = \frac{1 \cdot 3 , 875 + 3 \cdot 3 , 925 + 4 \cdot 3 , 975 + 2 \cdot 4 , 025}{10} = \frac{39 , 6}{10} = 3, 96

s_{B}^{2} = \frac{1 \cdot ( 3 , 875 - 3 , 96 ) ^{2} + 3 \cdot ( 3 , 925 - 3 , 96 ) ^{2} + 4 \cdot ( 3 , 975 - 3 , 96 ) ^{2} + 2 \cdot ( 4 , 025 - 3 , 96 ) ^{2}}{10}

s_{B}^{2} = \frac{1 \cdot ( - 0 , 085 ) ^{2} + 3 \cdot ( - 0 , 035 ) ^{2} + 4 \cdot 0 , 01 5 ^{2} + 2 \cdot 0 , 06 5 ^{2}}{10} = \frac{0 , 02025}{10} = 0, 002025

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 002025 = 0, 045

Vậy $s_{A n} \approx 0, 039$ V, $s_{B} = 0, 045$ V (Bình); số trung bình hai bạn xấp xỉ nhau ( $3, 94$ và $3, 96$ V) mà $s_{A n} < s_{B}$ nên vôn kế của bạn An cho kết quả đo ổn định hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn: trung bình của các bình phương trừ bình phương của số trung bình

Định hướng. Dùng công thức rút gọn cho từng bạn.

Bạn An

\overline{x}_{A n} = \frac{1 \cdot 3 , 875 + 6 \cdot 3 , 925 + 2 \cdot 3 , 975 + 1 \cdot 4 , 025}{10} = \frac{39 , 4}{10} = 3, 94

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot 3 , 87 5 ^{2} + 6 \cdot 3 , 92 5 ^{2} + 2 \cdot 3 , 97 5 ^{2} + 1 \cdot 4 , 02 5 ^{2}}{10} = \frac{155 , 25125}{10} = 15, 525125

s_{A n}^{2} = 15, 525125 - 3, 9 4^{2} = 0, 001525

s_{A n} = s_{A n}^{2} = 0, 001525 \approx 0, 039

Bạn Bình

\overline{x}_{B} = \frac{1 \cdot 3 , 875 + 3 \cdot 3 , 925 + 4 \cdot 3 , 975 + 2 \cdot 4 , 025}{10} = \frac{39 , 6}{10} = 3, 96

\frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) = \frac{1 \cdot 3 , 87 5 ^{2} + 3 \cdot 3 , 92 5 ^{2} + 4 \cdot 3 , 97 5 ^{2} + 2 \cdot 4 , 02 5 ^{2}}{10} = \frac{156 , 83625}{10} = 15, 683625

s_{B}^{2} = 15, 683625 - 3, 9 6^{2} = 0, 002025

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 002025 = 0, 045

3Cách 3. Đổi biến về số nguyên nhỏ u = (x − c) : h

Định hướng. Giá trị đại diện cách đều $0, 05$ : đổi $u = \frac{x - 3 , 975}{0 , 05} \in {- 2; - 1; 0; 1}$ cho cả hai bạn.

Bạn An

u = \frac{x - 3 , 975}{0 , 05}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 6 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1}{10} = - 0, 7

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1}{10} - (- 0, 7)^{2} = 1, 1 - 0, 49 = 0, 61

\overline{x}_{A n} = 3, 975 + 0, 05 \cdot (- 0, 7) = 3, 94

s_{A n}^{2} = 0, 0 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 0025 \cdot 0, 61 = 0, 001525

s_{A n} = s_{A n}^{2} = 0, 001525 \approx 0, 039

Bạn Bình

u = \frac{x - 3 , 975}{0 , 05}

u_{1} = - 2; u_{2} = - 1; u_{3} = 0; u_{4} = 1

\overline{u} = \frac{1 \cdot ( - 2 ) + 3 \cdot ( - 1 ) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{10} = - 0, 3

s_{u}^{2} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1}{10} - (- 0, 3)^{2} = 0, 9 - 0, 09 = 0, 81

\overline{x}_{B} = 3, 975 + 0, 05 \cdot (- 0, 3) = 3, 96

s_{B}^{2} = 0, 0 5^{2} \cdot s_{u}^{2} = 0, 0025 \cdot 0, 81 = 0, 002025

s_{B} = s_{B}^{2} = 0, 002025 = 0, 045

Nhận xét. So sánh $s_{u}^{2}$ là đủ: $0, 61 < 0, 81$ . Đổi biến đặc biệt đáng giá ở bài này vì số liệu gốc có tới ba chữ số thập phân, bình phương ra sáu chữ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3:

\overline{u}

và

s_{u}^{2}

nhẩm được với số nguyên

- 2; - 1; 0; 1

, rồi chỉ nhân

0, 0 5^{2} = 0, 0025

Đáp số.

s_{A n} = 0, 001525 \approx 0, 039

s_{B} = 0, 002025 = 0, 045

V (Bình). Vôn kế của An cho kết quả ổn định hơn.

Sai lầm thường gặp. So sánh số trung bình (

3, 94 < 3, 96

) rồi kết luận về độ ổn định — số trung bình không đo độ ổn định. Làm tròn

\overline{x}

hay

x_{i}^{2}

sớm trong công thức rút gọn:

15, 525125 - 3, 9 4^{2}

là hiệu của hai số rất gần nhau, làm tròn đến hai chữ số thập phân là mất hết.

🚀 Mở rộng. Nếu hiệu điện thế thật của mạch là

4, 00

V thì vôn kế nào "đúng" hơn? (Phân biệt độ ổn định — đo bằng

s

— với độ lệch khỏi giá trị thật — đo bằng

∣ \overline{x} - 4∣

Mở bài này trong app ↗