Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập2 #trang19–21 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.31★Trang 19— Trắc nghiệm — nguyên hàm của hàm lũy thừa

Bài 4.31 (trang 19).

\int x^{2} d x

bằng
A.

2 x + C

.
B.

\frac{1}{3} x^{3} + C

.
C.

x^{3} + C

.
D.

3 x^{3} + C

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq = - 1$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Hàm lũy thừa

x^{2}

— dùng thẳng

\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C

: tăng số mũ lên

1

rồi chia cho số mũ mới. Bẫy: phương án A là ĐẠO HÀM của

x^{2}

, phương án C quên chia cho

3

1Cách 1. Công thức nguyên hàm của lũy thừa

Định hướng. Áp công thức với $α = 2$ .

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C = \frac{1}{3} x^{3} + C

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đạo hàm các phương án

Định hướng. Phương án đúng có đạo hàm bằng $x^{2}$ .

(2 x)^{'} = 2

; B:

(\frac{1}{3} x^{3})^{'} = x^{2}

; C:

(x^{3})^{'} = 3 x^{2}

; D:

(3 x^{3})^{'} = 9 x^{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Dùng tích phân xác định để thử

Định hướng. Nếu $F$ là nguyên hàm của $x^{2}$ thì $F (1) - F (0) = \int_{0}^{1} x^{2} d x$ , mà tích phân này là diện tích dưới parabol, bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông đơn vị.

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

F (1) - F (0) = 2

; B:

\frac{1}{3}

; C:

1

; D:

3

Vậy chỉ B khớp.

Nhận xét. Diện tích dưới $y = x^{2}$ trên $[0; 1]$ bằng $\frac{1}{3}$ là kết quả cổ điển của Archimedes.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, một dòng; nếu phân vân thì đạo hàm lại như Cách 2.

Đáp số. B.

\frac{1}{3} x^{3} + C

Sai lầm thường gặp. Nhầm nguyên hàm với đạo hàm nên chọn A; hoặc chỉ tăng số mũ mà quên chia, chọn C.

🚀 Mở rộng. Tổng quát

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

; thử

\int (x^{2} + x^{5}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{6}}{6} + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.32★Trang 19— Trắc nghiệm — đồng nhất hệ số của họ nguyên hàm

Bài 4.32 (trang 19).

\int (x^{2} + 3 x^{3}) d x

có dạng

\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4} + C

, trong đó

a

b

là hai số nguyên. Giá trị

a + b

bằng
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 6.

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ; $\int (f + g) d x = \int f d x + \int g d x$ .
Hai đa thức bằng nhau với mọi $x$ khi và chỉ khi các hệ số tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Tính nguyên hàm từng số hạng rồi so với dạng

\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4}

. Cũng có thể đạo hàm dạng đã cho rồi đồng nhất với

x^{2} + 3 x^{3}

. Bẫy: đọc nhầm

\frac{3 x ^{4}}{4}

thành

b = \frac{3}{4}

1Cách 1. Tính nguyên hàm rồi so hệ số

Định hướng. Tính từng số hạng và viết đúng khuôn $\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4}$ .

\int (x^{2} + 3 x^{3}) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{4} x^{4} + C

a = 1

b = 3 \Rightarrow a + b = 4

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đạo hàm dạng đã cho và đồng nhất

Định hướng. Dạng đã cho phải có đạo hàm bằng $x^{2} + 3 x^{3}$ .

(\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4})^{'} = a x^{2} + b x^{3}

a x^{2} + b x^{3} = x^{2} + 3 x^{3}

với mọi

x

\Leftrightarrow a = 1

b = 3

a + b = 4

Vậy chọn A.

3Cách 3. Lập hệ từ hai tích phân xác định

Định hướng. Gọi $F (x) = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4}$ ; hai tích phân trên $[0; 1]$ và $[- 1; 0]$ cho hai phương trình theo $a$ , $b$ .

F (1) - F (0) = \int_{0}^{1} (x^{2} + 3 x^{3}) d x = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{4} = \frac{13}{12}

F (0) - F (- 1) = \int_{- 1}^{0} (x^{2} + 3 x^{3}) d x = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{a}{3} - \frac{b}{4} = - \frac{5}{12}

Cộng hai vế:

\frac{2 a}{3} = \frac{8}{12} \Rightarrow a = 1

; trừ hai vế:

\frac{b}{2} = \frac{18}{12} \Rightarrow b = 3

a + b = 4

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy hệ số của nguyên hàm được xác định hoàn toàn qua các tích phân xác định.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đạo hàm dạng đã cho là thấy ngay

a = 1

b = 3

Đáp số. A.

a + b = 4

Sai lầm thường gặp. Viết

\int 3 x^{3} d x = \frac{3}{4} x^{4}

rồi lấy

b = \frac{3}{4}

(không nguyên), hoặc lấy

b = 1

nên

a + b = 2

và chọn B.

🚀 Mở rộng. Thử với

\int (2 x^{2} - 5 x^{4}) d x = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{5} x^{5} + C

a = 2

b = - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.33★Trang 19— Trắc nghiệm — tính chất cộng đoạn của tích phân

Bài 4.33 (trang 19). Cho

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

và

\int_{2}^{5} f (x) d x = 7

. Giá trị của

\int_{0}^{5} f (x) d x

là
A. 10.
B. 4.
C.

- 4

.
D. 3.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.34★Trang 19— Trắc nghiệm — tính chất nhân hằng số của tích phân

Bài 4.34 (trang 19). Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

và

\int_{0}^{4} f (x) d x = 4

. Giá trị của tích phân

\int_{0}^{4} 2 f (x) d x

là
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.35★Trang 19— Trắc nghiệm — Newton – Leibniz với tích phân của đạo hàm

Bài 4.35 (trang 19). Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên

R

f (0) = 1

và

\int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = 4

. Khi đó giá trị

f (2)

bằng
A. 5.
B.

- 3

.
C. 6.
D. 8.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.36★★Trang 19— Trắc nghiệm — giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn

Bài 4.36 (trang 19). Giá trị trung bình của hàm

f (x)

trên đoạn

[a; b]

được tính bởi công thức

m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

. Khi đó, giá trị trung bình của hàm số

f (x) = x^{2} + 2 x

trên đoạn

[0; 3]

là
A.

\frac{8}{3}

.
B. 18.
C. 6.
D. 5.

Kiến thức cần nhớ

$m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Giá trị trung bình của hàm bậc nhất trên $[a; b]$ bằng giá trị tại trung điểm; của $x^{2}$ trên $[0; c]$ bằng $\frac{c ^{2}}{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.37★Trang 20— Trắc nghiệm lí thuyết — diện tích hình phẳng khi hàm không dương

Bài 4.37 (trang 20). Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

[a; b]

và

f (x) \leq 0

\forall x \in [a; b]

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

, trục

O x

và hai đường thẳng

x = a

x = b

được tính bằng công thức
A.

S = \int_{a}^{b} f (x) d x

.
B.

S = - \int_{a}^{b} f (x) d x

.
C.

S = π \int_{a}^{b} f (x) d x

.
D.

S = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; $f \leq 0$ trên $[a; b]$ thì $S = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ là thể tích khối tròn xoay.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.38★★Trang 20— Trắc nghiệm — ý nghĩa tích phân của tốc độ thay đổi

Bài 4.38 (trang 20). Một đất nước tiêu thụ dầu theo tốc độ xác định bởi

r (t) = 20 \cdot e^{0, 2 t}

tỉ thùng mỗi năm, trong đó

t

là thời gian tính theo năm,

0 \leq t \leq 10

. Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là
A.

r (10)

.
B.

r (10) - r (0)

.
C.

\int_{0}^{10} r^{'} (t) d t

.
D.

\int_{0}^{10} r (t) d t

Kiến thức cần nhớ

Nếu $Q^{'} (t) = r (t)$ thì lượng tích luỹ trên $[a; b]$ là $Q (b) - Q (a) = \int_{a}^{b} r (t) d t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.39★★Trang 20— Trắc nghiệm — lập công thức diện tích từ hình vẽ

Bài 4.39 (trang 20). Cho

S

là diện tích phần hình phẳng được tô màu như Hình 4.7 (đồ thị

y = f (x)

đồng biến, đồ thị

y = g (x)

nghịch biến, hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ

m

, tung độ

n

; phần tô màu nằm giữa trục hoành và đồ thị thấp hơn, từ

x = a

đến

x = b

). Khi đó biểu thức tính diện tích

S

là
A.

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

.
B.

S = \int_{a}^{m} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g (x) - f (x) ∣ d x

.
C.

S = \int_{a}^{m} ∣ f (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g (x) ∣ d x

.
D.

S = \int_{a}^{m} ∣ g (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ h (x) ∣ d x$ với $h$ là đường biên trên (khi biên dưới là trục hoành).
Hình có biên thay đổi tại $x = m$ thì chia tích phân tại $m$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.40★★Trang 20— Trắc nghiệm — bài toán tăng trưởng, tìm hàm từ tốc độ

Bài 4.40 (trang 20). Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ

t

có số lượng

N (t)

con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là

N^{'} (t) = \frac{8000}{t}

và sau ngày thứ nhất (

t = 1

) có 250 000 con. Sau 6 ngày (

t = 6

), số lượng của quần thể vi khuẩn là
A. 353 584 con.
B. 234 167 con.
C. 288 959 con.
D. 264 334 con.

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{t} d t = ln ∣ t ∣ + C$ .
$N (b) = N (a) + \int_{a}^{b} N^{'} (t) d t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.41★★Trang 21— Tìm họ nguyên hàm — hạ bậc lượng giác, hàm mũ, đa thức

Bài 4.41 (trang 21). Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

y = sin^{2} \frac{x}{2}

;
b)

y = e^{2 x} - 2 x^{5} + 5

Kiến thức cần nhớ

Hạ bậc: $sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}$ .
$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$ ; $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ; $\int cos x d x = sin x + C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.42★★Trang 21— Tìm nguyên hàm thoả mãn điều kiện cho trước

Bài 4.42 (trang 21). Tìm một nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = 2 x - \frac{1}{x}

thoả mãn điều kiện

F (1) = 3

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ ; $ln 1 = 0$ .
$F (x) = F (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.43★★Trang 21— Tính tích phân — trị tuyệt đối, hàm mũ, lượng giác

Bài 4.43 (trang 21). Tính:
a)

\int_{0}^{3} ∣ 3 - x ∣ d x

; b)

\int_{0}^{2} (e^{x} - 4 x^{3}) d x

; c)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x + cos x) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
$∣ u ∣ = u$ khi $u \geq 0$ ; diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.44★Trang 21— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành

Bài 4.44 (trang 21). Tính diện tích

S

của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = 3 x^{2} + 1

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 2

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; $f \geq 0$ thì $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Simpson đúng tuyệt đối với đa thức bậc không quá $3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.45★★Trang 21— Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành

Bài 4.45 (trang 21). Cho hình phẳng

D

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} + 1

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 1

. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

D

quanh trục hoành.

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Thể tích khối trụ $π r^{2} h$ ; khối nón $\frac{1}{3} π r^{2} h$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 4.46★★Trang 21— Tích phân chứa tham số — bất phương trình theo tham số

Bài 4.46 (trang 21). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để

\int_{0}^{3} (10 x - 2 m) d x > 0

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} k d x = k (b - a)$ với $k$ là hằng số.
$\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) \cdot \overline{f}$ , với $\overline{f}$ là giá trị trung bình; hàm bậc nhất có giá trị trung bình bằng giá trị tại trung điểm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 4.47★★★Trang 21— Bài toán thực tiễn — tìm hàm từ tốc độ thay đổi

Bài 4.47 (trang 21). Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ

m

có

F (m)

người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là

F^{'} (m) = \frac{150}{2 m + 1}

và ngày đầu tiên (

m = 0

) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của

F (m)

và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$ ( $a \neq = 0$ ).
$F (b) = F (a) + \int_{a}^{b} F^{'} (m) d m$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 4.48★★Trang 21— Bài toán thực tiễn — quãng đường là tích phân của vận tốc

Bài 4.48 (trang 21). Một ô tô đồ chơi trượt xuống dốc và dừng sau 5 giây, vận tốc của ô tô đồ chơi từ thời điểm

t = 0

giây đến

t = 5

giây được cho bởi công thức

v (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 0, 1 t^{3}

(m/s). Tính quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại (làm tròn kết quả theo đơn vị mét đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $s = \int_{a}^{b} v (t) d t$ khi $v (t) \geq 0$ trên $[a; b]$ .
Simpson đúng tuyệt đối với đa thức bậc không quá $3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 13. Ứng dụng hình học của tích phân Bài tiếp theo ›Bài 14. Phương trình mặt phẳng

📚 Cùng chương: Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Nguyên hàm – Tích phân — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài tập cuối chương IV

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Đề THPT 2027 – Ứng dụng đạo hàm

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Khảo sát hàm số 12

Nguyên hàm – Tích phân

Toán 12 Toàn diện — cả năm