Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.31★Trang 19— Trắc nghiệm — nguyên hàm của hàm lũy thừa

Bài 4.31 (trang 19).

\int x^{2} d x

bằng
A.

2 x + C

.
B.

\frac{1}{3} x^{3} + C

.
C.

x^{3} + C

.
D.

3 x^{3} + C

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq = - 1$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Hàm lũy thừa

x^{2}

— dùng thẳng

\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C

: tăng số mũ lên

1

rồi chia cho số mũ mới. Bẫy: phương án A là ĐẠO HÀM của

x^{2}

, phương án C quên chia cho

3

1Cách 1. Công thức nguyên hàm của lũy thừa

Định hướng. Áp công thức với $α = 2$ .

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C = \frac{1}{3} x^{3} + C

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đạo hàm các phương án

Định hướng. Phương án đúng có đạo hàm bằng $x^{2}$ .

(2 x)^{'} = 2

; B:

(\frac{1}{3} x^{3})^{'} = x^{2}

; C:

(x^{3})^{'} = 3 x^{2}

; D:

(3 x^{3})^{'} = 9 x^{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Dùng tích phân xác định để thử

Định hướng. Nếu $F$ là nguyên hàm của $x^{2}$ thì $F (1) - F (0) = \int_{0}^{1} x^{2} d x$ , mà tích phân này là diện tích dưới parabol, bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông đơn vị.

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

F (1) - F (0) = 2

; B:

\frac{1}{3}

; C:

1

; D:

3

Vậy chỉ B khớp.

Nhận xét. Diện tích dưới $y = x^{2}$ trên $[0; 1]$ bằng $\frac{1}{3}$ là kết quả cổ điển của Archimedes.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, một dòng; nếu phân vân thì đạo hàm lại như Cách 2.

Đáp số. B.

\frac{1}{3} x^{3} + C

Sai lầm thường gặp. Nhầm nguyên hàm với đạo hàm nên chọn A; hoặc chỉ tăng số mũ mà quên chia, chọn C.

🚀 Mở rộng. Tổng quát

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

; thử

\int (x^{2} + x^{5}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{6}}{6} + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.32★Trang 19— Trắc nghiệm — đồng nhất hệ số của họ nguyên hàm

Bài 4.32 (trang 19).

\int (x^{2} + 3 x^{3}) d x

có dạng

\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4} + C

, trong đó

a

b

là hai số nguyên. Giá trị

a + b

bằng
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 6.

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ; $\int (f + g) d x = \int f d x + \int g d x$ .
Hai đa thức bằng nhau với mọi $x$ khi và chỉ khi các hệ số tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Tính nguyên hàm từng số hạng rồi so với dạng

\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4}

. Cũng có thể đạo hàm dạng đã cho rồi đồng nhất với

x^{2} + 3 x^{3}

. Bẫy: đọc nhầm

\frac{3 x ^{4}}{4}

thành

b = \frac{3}{4}

1Cách 1. Tính nguyên hàm rồi so hệ số

Định hướng. Tính từng số hạng và viết đúng khuôn $\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4}$ .

\int (x^{2} + 3 x^{3}) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{4} x^{4} + C

a = 1

b = 3 \Rightarrow a + b = 4

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đạo hàm dạng đã cho và đồng nhất

Định hướng. Dạng đã cho phải có đạo hàm bằng $x^{2} + 3 x^{3}$ .

(\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4})^{'} = a x^{2} + b x^{3}

a x^{2} + b x^{3} = x^{2} + 3 x^{3}

với mọi

x

\Leftrightarrow a = 1

b = 3

a + b = 4

Vậy chọn A.

3Cách 3. Lập hệ từ hai tích phân xác định

Định hướng. Gọi $F (x) = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4}$ ; hai tích phân trên $[0; 1]$ và $[- 1; 0]$ cho hai phương trình theo $a$ , $b$ .

F (1) - F (0) = \int_{0}^{1} (x^{2} + 3 x^{3}) d x = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{4} = \frac{13}{12}

F (0) - F (- 1) = \int_{- 1}^{0} (x^{2} + 3 x^{3}) d x = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{a}{3} - \frac{b}{4} = - \frac{5}{12}

Cộng hai vế:

\frac{2 a}{3} = \frac{8}{12} \Rightarrow a = 1

; trừ hai vế:

\frac{b}{2} = \frac{18}{12} \Rightarrow b = 3

a + b = 4

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy hệ số của nguyên hàm được xác định hoàn toàn qua các tích phân xác định.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đạo hàm dạng đã cho là thấy ngay

a = 1

b = 3

Đáp số. A.

a + b = 4

Sai lầm thường gặp. Viết

\int 3 x^{3} d x = \frac{3}{4} x^{4}

rồi lấy

b = \frac{3}{4}

(không nguyên), hoặc lấy

b = 1

nên

a + b = 2

và chọn B.

🚀 Mở rộng. Thử với

\int (2 x^{2} - 5 x^{4}) d x = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{5} x^{5} + C

a = 2

b = - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.33★Trang 19— Trắc nghiệm — tính chất cộng đoạn của tích phân

Bài 4.33 (trang 19). Cho

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

và

\int_{2}^{5} f (x) d x = 7

. Giá trị của

\int_{0}^{5} f (x) d x

là
A. 10.
B. 4.
C.

- 4

.
D. 3.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đoạn

[0; 2]

và

[2; 5]

nối liền nhau thành

[0; 5]

— dấu hiệu dùng tính chất cộng đoạn (Chasles cho tích phân). Bẫy: lấy hiệu

7 - 3

vì nhầm với

\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}

1Cách 1. Tính chất cộng đoạn

Định hướng. Ghép hai đoạn liền kề.

\int_{0}^{5} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{5} f (x) d x = 3 + 7 = 10

Vậy chọn A.

2Cách 2. Viết qua nguyên hàm

Định hướng. Gọi $F$ là một nguyên hàm của $f$ ; mỗi tích phân là hiệu hai giá trị của $F$ .

F (2) - F (0) = 3

F (5) - F (2) = 7

F (5) - F (0) = [F (5) - F (2)] + [F (2) - F (0)] = 7 + 3 = 10

Vậy chọn A.

3Cách 3. Chọn hàm cụ thể thoả giả thiết

Định hướng. Chọn $f (x) = p x + q$ và tìm $p$ , $q$ từ hai dữ kiện.

\int_{0}^{2} (p x + q) d x = 2 p + 2 q = 3

\int_{2}^{5} (p x + q) d x = \frac{21}{2} p + 3 q = 7

\Rightarrow p = \frac{1}{3}

q = \frac{7}{6}

\int_{0}^{5} (\frac{x}{3} + \frac{7}{6}) d x = \frac{25}{6} + \frac{35}{6} = 10

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách chọn hàm cụ thể chỉ để kiểm tra trắc nghiệm; tính chất cộng đoạn mới là lí do đáp số luôn bằng $10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn cận là cộng ngay.

Đáp số. A. 10

Sai lầm thường gặp. Lấy

7 - 3 = 4

và chọn B vì nhầm công thức cộng đoạn với công thức đổi cận

\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho

\int_{0}^{5} f = 10

và

\int_{2}^{5} f = 7

thì

\int_{0}^{2} f = 3

; tổng quát hoá cho nhiều đoạn liền kề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.34★Trang 19— Trắc nghiệm — tính chất nhân hằng số của tích phân

Bài 4.34 (trang 19). Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

và

\int_{0}^{4} f (x) d x = 4

. Giá trị của tích phân

\int_{0}^{4} 2 f (x) d x

là
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hằng số

2

đứng trước

f (x)

được đưa ra ngoài dấu tích phân. Bẫy: nhân

2

vào cận (

\int_{0}^{8}

) hoặc bình phương kết quả.

1Cách 1. Đưa hằng số ra ngoài

Định hướng. Dùng tính chất tuyến tính.

\int_{0}^{4} 2 f (x) d x = 2 \int_{0}^{4} f (x) d x = 2 \cdot 4 = 8

Vậy chọn C.

2Cách 2. Qua nguyên hàm

Định hướng. $F$ là nguyên hàm của $f$ thì $2 F$ là nguyên hàm của $2 f$ .

F (4) - F (0) = 4

\int_{0}^{4} 2 f (x) d x = 2 F (4) - 2 F (0) = 2 \cdot 4 = 8

Vậy chọn C.

3Cách 3. Chọn hàm hằng

Định hướng. Hàm $f (x) = 1$ thoả $\int_{0}^{4} 1 d x = 4$ .

\int_{0}^{4} 2 \cdot 1 d x = 2 \cdot 4 = 8

Vậy chọn C.

Nhận xét. Về hình học: nhân đôi chiều cao đồ thị thì diện tích (có dấu) cũng nhân đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa hằng số

2

ra ngoài dấu tích phân là ra ngay

8

, không cần biết hàm

f

cụ thể.

Đáp số. C. 8

Sai lầm thường gặp. Nhầm thành

\int_{0}^{4} f (x) d x \cdot \frac{1}{2} = 2

(chọn A) hoặc bình phương thành

16

(chọn D).

🚀 Mở rộng. Tổng quát

\int_{a}^{b} (α f + β g) d x = α \int_{a}^{b} f d x + β \int_{a}^{b} g d x

; thử với

\int_{0}^{4} (2 f (x) + 3) d x = 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.35★Trang 19— Trắc nghiệm — Newton – Leibniz với tích phân của đạo hàm

Bài 4.35 (trang 19). Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên

R

f (0) = 1

và

\int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = 4

. Khi đó giá trị

f (2)

bằng
A. 5.
B.

- 3

.
C. 6.
D. 8.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$ .

🧠 Phân tích tư duy

\int_{0}^{2} f^{'} (x) d x

chính là

f (2) - f (0)

— dấu hiệu dùng Newton – Leibniz. Bẫy: trừ ngược thứ tự ra

- 3

1Cách 1. Newton – Leibniz

Định hướng. $f$ là một nguyên hàm của $f^{'}$ .

\int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = f (2) - f (0)

4 = f (2) - 1 \Rightarrow f (2) = 5

Vậy chọn A.

2Cách 2. Khôi phục hàm qua tích phân cận biến

Định hướng. Mọi $f$ có đạo hàm liên tục viết được $f (x) = f (0) + \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t$ .

f (2) = f (0) + \int_{0}^{2} f^{'} (t) d t = 1 + 4 = 5

Vậy chọn A.

3Cách 3. Chọn hàm cụ thể

Định hướng. Chọn đạo hàm là hằng số thoả giả thiết.

f^{'} (x) = 2

\int_{0}^{2} 2 d x = 4

(thoả)

f (x) = 2 x + 1

(vì

f (0) = 1

)

\Rightarrow f (2) = 5

Vậy chọn A.

Nhận xét. Ý nghĩa: tích phân của tốc độ thay đổi bằng lượng thay đổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra tích phân của đạo hàm chính là

f (2) - f (0)

, cộng thêm

f (0) = 1

là xong trong một dòng.

Đáp số. A.

f (2) = 5

Sai lầm thường gặp. Viết

\int_{0}^{2} f^{'} = f (0) - f (2)

nên được

f (2) = - 3

và chọn B.

🚀 Mở rộng. Thêm dữ kiện

\int_{2}^{5} f^{'} (x) d x = - 2

thì

f (5) = 3

; tổng quát

f (b) = f (a) + \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.36★★Trang 19— Trắc nghiệm — giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn

Bài 4.36 (trang 19). Giá trị trung bình của hàm

f (x)

trên đoạn

[a; b]

được tính bởi công thức

m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

. Khi đó, giá trị trung bình của hàm số

f (x) = x^{2} + 2 x

trên đoạn

[0; 3]

là
A.

\frac{8}{3}

.
B. 18.
C. 6.
D. 5.

Kiến thức cần nhớ

$m = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Giá trị trung bình của hàm bậc nhất trên $[a; b]$ bằng giá trị tại trung điểm; của $x^{2}$ trên $[0; c]$ bằng $\frac{c ^{2}}{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức, chỉ cần tính

\int_{0}^{3} (x^{2} + 2 x) d x

rồi chia cho độ dài đoạn

3

. Bẫy: quên chia, chọn phương án 18.

1Cách 1. Tính tích phân rồi chia độ dài đoạn

Định hướng. Áp thẳng công thức.

\int_{0}^{3} (x^{2} + 2 x) d x = (\frac{x ^{3}}{3} + x^{2})_{0}^{3} = 9 + 9 = 18

m = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6

Vậy chọn C.

2Cách 2. Cộng giá trị trung bình của từng số hạng

Định hướng. Giá trị trung bình có tính chất tuyến tính: trung bình của tổng bằng tổng các trung bình.

Trung bình của

x^{2}

trên

[0; 3]

\frac{1}{3} \cdot \frac{27}{3} = 3

Trung bình của

2 x

(hàm bậc nhất) = giá trị tại trung điểm

\frac{3}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} = 3

m = 3 + 3 = 6

Vậy chọn C.

3Cách 3. Quy tắc Simpson

Định hướng. Hàm bậc hai nên Simpson cho tích phân chính xác từ ba giá trị $f (0)$ , $f (\frac{3}{2})$ , $f (3)$ .

f (0) = 0

f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 = \frac{21}{4}

f (3) = 15

\int_{0}^{3} f (x) d x = \frac{3}{6} (0 + 4 \cdot \frac{21}{4} + 15) = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18

m = \frac{18}{3} = 6

Vậy chọn C.

Nhận xét. Theo Simpson, trung bình của hàm bậc hai trên một đoạn là $\frac{f ( a ) + 4 f ( c ) + f ( b )}{6}$ với $c$ là trung điểm của đoạn — một công thức tính nhẩm rất nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hai dòng); Cách 3 là cách nhẩm nhanh khi hàm là đa thức bậc không quá ba.

Đáp số. C.

m = 6

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

\frac{1}{b - a}

nên chọn 18; hoặc lấy trung bình cộng hai đầu mút

\frac{f ( 0 ) + f ( 3 )}{2} = 7, 5

(không đúng với hàm không tuyến tính).

🚀 Mở rộng. Thử tìm giá trị trung bình của

f (x) = sin x

trên

[0; π]

m = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin x d x = \frac{2}{π}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.37★Trang 20— Trắc nghiệm lí thuyết — diện tích hình phẳng khi hàm không dương

Bài 4.37 (trang 20). Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

[a; b]

và

f (x) \leq 0

\forall x \in [a; b]

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

, trục

O x

và hai đường thẳng

x = a

x = b

được tính bằng công thức
A.

S = \int_{a}^{b} f (x) d x

.
B.

S = - \int_{a}^{b} f (x) d x

.
C.

S = π \int_{a}^{b} f (x) d x

.
D.

S = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; $f \leq 0$ trên $[a; b]$ thì $S = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ là thể tích khối tròn xoay.

🧠 Phân tích tư duy

Công thức gốc là

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

; vì

f \leq 0

nên

∣ f ∣ = - f

. Hai phương án có

π

là dạng công thức thể tích, không phải diện tích. Bẫy: chọn A vì quen công thức "diện tích = tích phân" mà quên điều kiện dấu.

1Cách 1. Bỏ trị tuyệt đối theo dấu của

f

Định hướng. Dùng công thức tổng quát rồi thay $∣ f ∣ = - f$ .

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{a}^{b} (- f (x)) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

Vậy chọn B.

2Cách 2. Thử với một hàm cụ thể

Định hướng. Lấy $f (x) = - 1$ trên $[0; 1]$ : hình phẳng là hình vuông cạnh $1$ , diện tích bằng $1$ .

\int_{0}^{1} (- 1) d x = - 1

; B:

- (- 1) = 1

π \cdot (- 1) = - π

; D:

π \int_{0}^{1} 1 d x = π

Vậy chỉ B cho đúng diện tích $1$ .

3Cách 3. Đối xứng qua trục hoành

Định hướng. Lấy đối xứng hình phẳng qua $O x$ được hình giới hạn bởi $y = - f (x) \geq 0$ có cùng diện tích.

S = \int_{a}^{b} (- f (x)) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

C, D có thừa số

π

— thứ nguyên của thể tích khối tròn xoay, loại

Vậy chọn B.

Nhận xét. Tích phân có dấu của hàm không dương là số không dương, nên diện tích phải thêm dấu trừ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 2 là mẹo kiểm tra lí thuyết chắc chắn nhất.

Đáp số. B.

S = - \int_{a}^{b} f (x) d x

Sai lầm thường gặp. Chọn A — khi

f \leq 0

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq 0

, diện tích âm là vô lí.

🚀 Mở rộng. Nếu

f

đổi dấu tại

c \in (a; b)

(âm trên

[a; c]

, dương trên

[c; b]

) thì

S = - \int_{a}^{c} f d x + \int_{c}^{b} f d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.38★★Trang 20— Trắc nghiệm — ý nghĩa tích phân của tốc độ thay đổi

Bài 4.38 (trang 20). Một đất nước tiêu thụ dầu theo tốc độ xác định bởi

r (t) = 20 \cdot e^{0, 2 t}

tỉ thùng mỗi năm, trong đó

t

là thời gian tính theo năm,

0 \leq t \leq 10

. Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là
A.

r (10)

.
B.

r (10) - r (0)

.
C.

\int_{0}^{10} r^{'} (t) d t

.
D.

\int_{0}^{10} r (t) d t

Kiến thức cần nhớ

Nếu $Q^{'} (t) = r (t)$ thì lượng tích luỹ trên $[a; b]$ là $Q (b) - Q (a) = \int_{a}^{b} r (t) d t$ .

🧠 Phân tích tư duy

r (t)

là TỐC ĐỘ tiêu thụ (tỉ thùng/năm), còn đề hỏi TỔNG LƯỢNG dầu — tổng lượng là tích phân của tốc độ theo thời gian. Bẫy: B và C bằng nhau (Newton – Leibniz) và đều là độ thay đổi của tốc độ, không phải lượng dầu.

1Cách 1. Tốc độ là đạo hàm của lượng tích luỹ

Định hướng. Gọi $Q (t)$ là lượng dầu đã tiêu thụ tính từ $t = 0$ , khi đó $Q^{'} (t) = r (t)$ , $Q (0) = 0$ .

Q (10) = Q (10) - Q (0) = \int_{0}^{10} Q^{'} (t) d t = \int_{0}^{10} r (t) d t

Vậy chọn D.

2Cách 2. Loại trừ bằng đơn vị và Newton – Leibniz

Định hướng. Đơn vị của lượng dầu là tỉ thùng; đơn vị của $r$ là tỉ thùng/năm.

r (10)

có đơn vị tỉ thùng/năm — là tốc độ, loại
B, C:

\int_{0}^{10} r^{'} (t) d t = r (10) - r (0)

— độ tăng tốc độ, cùng đơn vị tỉ thùng/năm, loại cả hai
D: (tỉ thùng/năm)

\cdot

(năm) = tỉ thùng

Vậy chọn D.

3Cách 3. Chia nhỏ thời gian (tổng Riemann)

Định hướng. Trong khoảng rất ngắn $Δ t$ tốc độ gần như không đổi nên lượng dầu xấp xỉ $r (t_{i}) Δ t$ ; cộng lại và cho $Δ t \to 0$ .

Lượng dầu

\approx \sum r (t_{i}) Δ t \to \int_{0}^{10} r (t) d t

Cụ thể:

\int_{0}^{10} 20 e^{0, 2 t} d t = 100 (e^{2} - 1) \approx 638, 9

(tỉ thùng)

Vậy chọn D.

Nhận xét. Đây chính là cách tích phân ra đời: cộng vô số "lượng nhỏ = tốc độ × thời gian".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: xét đơn vị loại ngay ba phương án.

Đáp số. D.

\int_{0}^{10} r (t) d t

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nghĩ "tốc độ tại năm thứ 10 là lượng dầu"; hoặc chọn C vì thấy tích phân nhưng nhầm lấy tích phân của đạo hàm

r^{'}

🚀 Mở rộng. Lượng dầu tiêu thụ riêng trong 5 năm cuối là

\int_{5}^{10} 20 e^{0, 2 t} d t = 100 (e^{2} - e) \approx 467, 1

tỉ thùng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.39★★Trang 20— Trắc nghiệm — lập công thức diện tích từ hình vẽ

Bài 4.39 (trang 20). Cho

S

là diện tích phần hình phẳng được tô màu như Hình 4.7 (đồ thị

y = f (x)

đồng biến, đồ thị

y = g (x)

nghịch biến, hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ

m

, tung độ

n

; phần tô màu nằm giữa trục hoành và đồ thị thấp hơn, từ

x = a

đến

x = b

). Khi đó biểu thức tính diện tích

S

là
A.

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

.
B.

S = \int_{a}^{m} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g (x) - f (x) ∣ d x

.
C.

S = \int_{a}^{m} ∣ f (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g (x) ∣ d x

.
D.

S = \int_{a}^{m} ∣ g (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ h (x) ∣ d x$ với $h$ là đường biên trên (khi biên dưới là trục hoành).
Hình có biên thay đổi tại $x = m$ thì chia tích phân tại $m$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phần tô màu nằm giữa trục hoành và một đường "gãy": trên

[a; m]

là đồ thị

f

(đi lên), trên

[m; b]

là đồ thị

g

(đi xuống). Vậy phải chia tại

m

và mỗi đoạn dùng một hàm với trục hoành. Bẫy: A và B là diện tích GIỮA HAI ĐỒ THỊ — phần hình không tô màu.

1Cách 1. Đọc biên trên theo từng đoạn

Định hướng. Trên $[a; m]$ biên trên là $y = f (x)$ , trên $[m; b]$ là $y = g (x)$ , biên dưới luôn là trục hoành.

S = S_{[a; m]} + S_{[m; b]} = \int_{a}^{m} ∣ f (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g (x) ∣ d x

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ theo ý nghĩa hình học

Định hướng. Mỗi công thức mô tả một hình; so với phần tô màu.

A, B: diện tích hình giữa hai đường

y = f

và

y = g

— không chạm trục hoành, loại
D: trên

[a; m]

dùng

g

(đường nằm trên, không phải biên của miền tô), loại
C: đúng biên

f

trên

[a; m]

và biên

g

trên

[m; b]

Vậy chọn C.

3Cách 3. Biên trên là hàm

min

Định hướng. Phần tô màu là ${(x; y) : a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq min {f (x); g (x)}}$ .

f (x) \leq g (x)

khi

x \leq m

g (x) \leq f (x)

khi

x \geq m

S = \int_{a}^{b} min {f (x); g (x)} d x = \int_{a}^{m} f (x) d x + \int_{m}^{b} g (x) d x

Vì

f, g > 0

trên đoạn đó nên trùng với

\int_{a}^{m} ∣ f ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g ∣ d x

Vậy chọn C.

Nhận xét. Hình tô màu kiểu "dưới cả hai đồ thị" luôn ứng với hàm $min$ ; kiểu "giữa hai đồ thị" mới ứng với $∣ f - g ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hình xác định biên trên từng đoạn là xong.

Đáp số. C.

S = \int_{a}^{m} ∣ f (x) ∣ d x + \int_{m}^{b} ∣ g (x) ∣ d x

Sai lầm thường gặp. Chọn A hoặc B vì thấy hai đồ thị trên hình; hoặc chọn D vì nhầm vai trò

f

g

(đường đi lên là

f

🚀 Mở rộng. Nếu phần tô màu là miền giữa hai đồ thị trên

[a; m]

thì

S = \int_{a}^{m} (g (x) - f (x)) d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.40★★Trang 20— Trắc nghiệm — bài toán tăng trưởng, tìm hàm từ tốc độ

Bài 4.40 (trang 20). Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ

t

có số lượng

N (t)

con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là

N^{'} (t) = \frac{8000}{t}

và sau ngày thứ nhất (

t = 1

) có 250 000 con. Sau 6 ngày (

t = 6

), số lượng của quần thể vi khuẩn là
A. 353 584 con.
B. 234 167 con.
C. 288 959 con.
D. 264 334 con.

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{t} d t = ln ∣ t ∣ + C$ .
$N (b) = N (a) + \int_{a}^{b} N^{'} (t) d t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết tốc độ

N^{'} (t)

và giá trị

N (1)

— dạng "nguyên hàm + điều kiện ban đầu", hoặc dùng thẳng

N (6) = N (1) + \int_{1}^{6} N^{'} (t) d t

. Nguyên hàm của

\frac{1}{t}

là

ln t

(với

t > 0

). Bẫy: phương án B nhỏ hơn 250 000 — vô lí vì quần thể đang tăng.

1Cách 1. Tìm hàm

N (t)

Định hướng. Nguyên hàm của $\frac{8000}{t}$ với $t > 0$ , khử hằng số bằng $N (1)$ .

N (t) = \int \frac{8000}{t} d t = 8000 ln t + C

N (1) = C = 250000

N (6) = 8000 ln 6 + 250000 \approx 14334 + 250000 = 264334

Vậy sau 6 ngày quần thể có khoảng 264 334 con, chọn D.

2Cách 2. Newton – Leibniz cho lượng tăng

Định hướng. Lượng vi khuẩn tăng thêm từ ngày 1 đến ngày 6 bằng tích phân của tốc độ.

N (6) = N (1) + \int_{1}^{6} \frac{8000}{t} d t = 250000 + 8000 ln t ∣_{1}^{6}

= 250000 + 8000 ln 6 \approx 264334

Vậy chọn D.

3Cách 3. Ước lượng để loại trừ

Định hướng. $N^{'} (t) = \frac{8000}{t}$ giảm trên $[1; 6]$ , nên lượng tăng bị kẹp giữa tốc độ nhỏ nhất và lớn nhất nhân với 5 ngày; rồi chọn phương án phù hợp và tính chính xác bằng máy.

\frac{8000}{6} \cdot 5 \approx 6667 \leq N (6) - N (1) \leq 8000 \cdot 5 = 40000

\Rightarrow 256667 \leq N (6) \leq 290000

: loại A, B
Máy tính:

8000 ln 6 \approx 14334, 04

nên

N (6) \approx 264334

, loại C

Vậy chọn D.

Nhận xét. Ước lượng hai phía giúp loại nhanh phương án vô lí trước khi bấm máy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép tính

250000 + 8000 ln 6

trên máy là ra.

Đáp số. D. 264 334 con

Sai lầm thường gặp. Lấy

N (6) = 8000 ln 6

(quên hằng số) hoặc dùng

C = 250000 - 8000

vì nhầm

ln 1 = 1

🚀 Mở rộng. Quần thể đạt 270 000 con khi

8000 ln t = 20000 \Leftrightarrow t = e^{2, 5} \approx 12, 2

, tức vào khoảng ngày thứ 13.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.41★★Trang 21— Tìm họ nguyên hàm — hạ bậc lượng giác, hàm mũ, đa thức

Bài 4.41 (trang 21). Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

y = sin^{2} \frac{x}{2}

;
b)

y = e^{2 x} - 2 x^{5} + 5

Kiến thức cần nhớ

Hạ bậc: $sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}$ .
$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$ ; $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ ; $\int cos x d x = sin x + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là bình phương của

sin

— không có trong bảng, nhưng công thức hạ bậc

sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}

đưa về

cos x

. Câu b) là tổng các hàm cơ bản, tách từng số hạng. Bẫy: nguyên hàm của

e^{2 x}

là

\frac{1}{2} e^{2 x}

, không phải

e^{2 x}

hay

2 e^{2 x}

1Cách 1. Hạ bậc và dùng bảng nguyên hàm

Định hướng. Đưa câu a) về $cos x$ ; câu b) tách từng số hạng.

\int sin^{2} \frac{x}{2} d x = \int \frac{1 - cos x}{2} d x = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} sin x + C

\int (e^{2 x} - 2 x^{5} + 5) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{2 x ^{6}}{6} + 5 x + C = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{x ^{6}}{3} + 5 x + C

Vậy a) $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} sin x + C$ ; b) $\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{x ^{6}}{3} + 5 x + C$ .

2Cách 2. Đoán dạng rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Sau hạ bậc, nguyên hàm câu a) có dạng $A x + B sin x$ ; câu b) có dạng $A e^{2 x} + B x^{6} + D x$ .

(A x + B sin x)^{'} = A + B cos x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos x \Rightarrow A = \frac{1}{2}

B = - \frac{1}{2}

(A e^{2 x} + B x^{6} + D x)^{'} = 2 A e^{2 x} + 6 B x^{5} + D = e^{2 x} - 2 x^{5} + 5

\Rightarrow A = \frac{1}{2}

B = - \frac{1}{3}

D = 5

Vậy a) $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} sin x + C$ ; b) $\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{x ^{6}}{3} + 5 x + C$ .

3Cách 3. Dùng tích phân cận biến

\int_{0}^{x}

Định hướng. $G (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ là một nguyên hàm của $f$ ; họ nguyên hàm là $G (x) + C$ .

\int_{0}^{x} \frac{1 - cos t}{2} d t = (\frac{t}{2} - \frac{1}{2} sin t)_{0}^{x} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} sin x

\int_{0}^{x} (e^{2 t} - 2 t^{5} + 5) d t = \frac{e ^{2 x} - 1}{2} - \frac{x ^{6}}{3} + 5 x

Hằng số

- \frac{1}{2}

gộp vào

C

Vậy a) $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} sin x + C$ ; b) $\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{x ^{6}}{3} + 5 x + C$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy các nguyên hàm khác nhau chỉ lệch nhau một hằng số, nên họ nguyên hàm không phụ thuộc cận dưới được chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1; điểm mấu chốt của câu a) là nhớ công thức hạ bậc.

Đáp số. a)

\frac{x}{2} - \frac{1}{2} sin x + C

; b)

\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{x ^{6}}{3} + 5 x + C

Sai lầm thường gặp. Câu a) viết

\int sin^{2} \frac{x}{2} d x = \frac{1}{3} sin^{3} \frac{x}{2}

(coi như lũy thừa của

x

) — sai vì đạo hàm lại có thêm thừa số

cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}

; câu b) viết

\int e^{2 x} d x = e^{2 x}

🚀 Mở rộng. Tương tự:

\int cos^{2} \frac{x}{2} d x = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} sin x + C

; cộng với câu a) được

\int 1 d x = x + C

— một cách kiểm tra đẹp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.42★★Trang 21— Tìm nguyên hàm thoả mãn điều kiện cho trước

Bài 4.42 (trang 21). Tìm một nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = 2 x - \frac{1}{x}

thoả mãn điều kiện

F (1) = 3

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ ; $ln 1 = 0$ .
$F (x) = F (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng "họ nguyên hàm + điều kiện": tìm

x^{2} - ln ∣ x ∣ + C

rồi dùng

F (1) = 3

. Điều kiện cho tại

x = 1 > 0

nên xác định nguyên hàm trên khoảng

(0; + \infty)

, nơi

ln ∣ x ∣ = ln x

. Bẫy: nhầm

ln 1 = 1

1Cách 1. Họ nguyên hàm rồi khử hằng số

Định hướng. Tìm họ nguyên hàm, thay $x = 1$ .

F (x) = \int (2 x - \frac{1}{x}) d x = x^{2} - ln ∣ x ∣ + C

F (1) = 1 - 0 + C = 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 2

Vậy $F (x) = x^{2} - ln ∣ x ∣ + 2$ .

2Cách 2. Tích phân cận biến từ

x_{0} = 1

Định hướng. Newton – Leibniz cho thẳng nguyên hàm có giá trị $3$ tại $1$ (xét $x > 0$ ).

F (x) = 3 + \int_{1}^{x} (2 t - \frac{1}{t}) d t = 3 + (t^{2} - ln t)_{1}^{x}

= 3 + x^{2} - ln x - 1 = x^{2} - ln x + 2

Vậy $F (x) = x^{2} - ln ∣ x ∣ + 2$ (trên $(0; + \infty)$ là $x^{2} - ln x + 2$ ).

3Cách 3. Đặt dạng và đồng nhất hệ số

Định hướng. Nguyên hàm có dạng $A x^{2} + B ln ∣ x ∣ + D$ .

F^{'} (x) = 2 A x + \frac{B}{x} = 2 x - \frac{1}{x} \Rightarrow A = 1

B = - 1

F (1) = 1 + D = 3 \Rightarrow D = 2

Vậy $F (x) = x^{2} - ln ∣ x ∣ + 2$ .

Nhận xét. Vì $f$ không xác định tại $0$ , điều kiện $F (1) = 3$ chỉ cố định hằng số trên $(0; + \infty)$ ; trên $(- \infty; 0)$ hằng số có thể khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1: hai dòng, chỉ cần nhớ

ln 1 = 0

Đáp số.

F (x) = x^{2} - ln ∣ x ∣ + 2

Sai lầm thường gặp. Lấy

ln 1 = 1

nên

C = 3

, được

F (x) = x^{2} - ln ∣ x ∣ + 3

; hoặc viết

\int \frac{1}{x} d x = - \frac{1}{x ^{2}}

(nhầm với đạo hàm).

🚀 Mở rộng. Thử tìm

F

là nguyên hàm của

f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{x}

thoả

F (e) = e^{3}

F (x) = x^{3} + 2 ln ∣ x ∣ - 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.43★★Trang 21— Tính tích phân — trị tuyệt đối, hàm mũ, lượng giác

Bài 4.43 (trang 21). Tính:
a)

\int_{0}^{3} ∣ 3 - x ∣ d x

; b)

\int_{0}^{2} (e^{x} - 4 x^{3}) d x

; c)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x + cos x) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
$∣ u ∣ = u$ khi $u \geq 0$ ; diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có trị tuyệt đối: xét dấu

3 - x

trên

[0; 3]

— luôn không âm nên bỏ được dấu

∣ ∣

. Câu b), c) dùng thẳng bảng nguyên hàm và Newton – Leibniz. Bẫy câu b):

e^{0} = 1

chứ không phải

0

1Cách 1. Newton – Leibniz

Định hướng. Bỏ trị tuyệt đối ở câu a) rồi tính cả ba bằng nguyên hàm.

3 - x \geq 0

trên

[0; 3]

\int_{0}^{3} (3 - x) d x = (3 x - \frac{x ^{2}}{2})_{0}^{3} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}

\int_{0}^{2} (e^{x} - 4 x^{3}) d x = (e^{x} - x^{4})_{0}^{2} = (e^{2} - 16) - (1 - 0) = e^{2} - 17

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x + cos x) d x = (- cos x + sin x) ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = (0 + 1) - (- 1 + 0) = 2

Vậy a) $\frac{9}{2}$ ; b) $e^{2} - 17$ ; c) $2$ .

2Cách 2. Ý nghĩa hình học và tính chất tích phân

Định hướng. Câu a) là diện tích tam giác; câu b) tách hai tích phân; câu c) dùng tính đối xứng của $sin$ , $cos$ trên $[0; \frac{π}{2}]$ .

a) Miền dưới

y = 3 - x

trên

[0; 3]

là tam giác vuông cân cạnh

3

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}

\int_{0}^{2} e^{x} d x = e^{2} - 1

\int_{0}^{2} 4 x^{3} d x = 2^{4} = 16

, hiệu

e^{2} - 17

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = 1

(hai đồ thị đối xứng qua

x = \frac{π}{4}

), tổng bằng

2

Vậy a) $\frac{9}{2}$ ; b) $e^{2} - 17$ ; c) $2$ .

3Cách 3. Biến đổi lượng giác (câu c) và kiểm tra bằng máy

Định hướng. $sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ ; các câu còn lại kiểm bằng máy tính.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 sin (x + \frac{π}{4}) d x = - 2 cos (x + \frac{π}{4})_{0}^{\frac{π}{2}} = - 2 (- \frac{2}{2} - \frac{2}{2}) = 2

a) máy cho

4, 5

; b) máy cho

- 9, 6109 \dots

và

e^{2} - 17 \approx - 9, 6109

Vậy a) $\frac{9}{2}$ ; b) $e^{2} - 17$ ; c) $2$ .

Nhận xét. Kết quả câu b) âm là hợp lí vì $4 x^{3}$ lớn hơn $e^{x}$ trên phần lớn đoạn $[0; 2]$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1; riêng câu a) nói ngay kết quả bằng diện tích tam giác ở Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{9}{2}

; b)

e^{2} - 17

; c)

2

Sai lầm thường gặp. Câu b) coi

e^{0} = 0

nên ra

e^{2} - 16

; câu c) viết nguyên hàm của

sin x

là

cos x

nên ra

0

🚀 Mở rộng. Thử tính

\int_{0}^{6} ∣ 3 - x ∣ d x

: chia tại

x = 3

, được hai tam giác, tổng

9

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 4.44★Trang 21— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành

Bài 4.44 (trang 21). Tính diện tích

S

của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = 3 x^{2} + 1

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 2

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; $f \geq 0$ thì $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Simpson đúng tuyệt đối với đa thức bậc không quá $3$ .

🧠 Phân tích tư duy

3 x^{2} + 1 > 0

với mọi

x

, nên đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành và

S = \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x

không cần trị tuyệt đối. Bẫy: quên số hạng

1

khi lấy nguyên hàm.

1Cách 1. Công thức diện tích

Định hướng. Hàm dương nên bỏ trị tuyệt đối.

S = \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = (x^{3} + x)_{0}^{2} = 8 + 2 = 10

Vậy $S = 10$ .

2Cách 2. Chia thành hình chữ nhật và phần dưới parabol

Định hướng. Đường $y = 3 x^{2} + 1$ là parabol $y = 3 x^{2}$ nâng lên 1 đơn vị: miền gồm hình chữ nhật $2 \times 1$ và miền dưới $y = 3 x^{2}$ .

Hình chữ nhật:

2 \cdot 1 = 2

Miền dưới

y = 3 x^{2}

trên

[0; 2]

\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x = 2^{3} = 8

S = 2 + 8 = 10

Vậy $S = 10$ .

3Cách 3. Quy tắc Simpson

Định hướng. Hàm bậc hai nên Simpson cho kết quả chính xác từ ba giá trị $f (0)$ , $f (1)$ , $f (2)$ .

f (0) = 1

f (1) = 4

f (2) = 13

S = \frac{2}{6} (1 + 4 \cdot 4 + 13) = \frac{30}{3} = 10

Vậy $S = 10$ .

Nhận xét. Simpson là cách tính nhẩm rất nhanh diện tích dưới parabol.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1 (một dòng); Cách 3 để nhẩm kiểm tra.

Đáp số.

S = 10

Sai lầm thường gặp. Lấy nguyên hàm

x^{3}

mà quên

+ x

nên ra

S = 8

; hoặc viết nguyên hàm của

3 x^{2}

là

6 x

(đạo hàm).

🚀 Mở rộng. Thử tính diện tích giới hạn bởi

y = 3 x^{2} + 1

y = x + 3

: hai đồ thị cắt tại

x = - \frac{2}{3}

x = 1

S = \frac{125}{54}

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 4.45★★Trang 21— Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành

Bài 4.45 (trang 21). Cho hình phẳng

D

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} + 1

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0

x = 1

. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

D

quanh trục hoành.

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Thể tích khối trụ $π r^{2} h$ ; khối nón $\frac{1}{3} π r^{2} h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bình phương hàm số là mất căn:

f^{2} (x) = x^{2} + 1

— dấu hiệu công thức

V = π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x

cho tích phân đa thức rất gọn. Bẫy: quên bình phương mà tích phân thẳng

x^{2} + 1

(khó và sai).

1Cách 1. Công thức thể tích

Định hướng. Bình phương hàm số rồi tích phân.

V = π \int_{0}^{1} (x^{2} + 1) d x = π (\frac{x ^{3}}{3} + x)_{0}^{1} = π (\frac{1}{3} + 1) = \frac{4 π}{3}

Vậy $V = \frac{4 π}{3}$ .

2Cách 2. Cắt lát: trụ cộng nón

Định hướng. Thiết diện tại $x$ có diện tích $π (x^{2} + 1) = π \cdot 1^{2} + π x^{2}$ : đúng bằng tổng thiết diện của khối trụ bán kính $1$ và khối nón bán kính đáy $x$ (quay $y = x$ ).

Khối trụ bán kính

1

, cao

1

V_{1} = π

Khối nón quay

y = x

0 \leq x \leq 1

V_{2} = \frac{1}{3} π \cdot 1^{2} \cdot 1 = \frac{π}{3}

V = V_{1} + V_{2} = \frac{4 π}{3}

Vậy $V = \frac{4 π}{3}$ .

3Cách 3. Quy tắc Simpson

Định hướng. $f^{2} (x) = x^{2} + 1$ là đa thức bậc hai nên Simpson chính xác.

f^{2} (0) = 1

f^{2} (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}

f^{2} (1) = 2

V = π \cdot \frac{1}{6} (1 + 4 \cdot \frac{5}{4} + 2) = π \cdot \frac{8}{6} = \frac{4 π}{3}

Vậy $V = \frac{4 π}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 là nguyên lí Cavalieri: hai khối có thiết diện bằng nhau ở mọi độ cao thì thể tích bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1; Cách 2 cho cái nhìn hình học rất đẹp, nên nêu khi giảng.

Đáp số.

V = \frac{4 π}{3}

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương, viết

V = π \int_{0}^{1} x^{2} + 1 d x

; hoặc quên nhân

π

và ghi

V = \frac{4}{3}

🚀 Mở rộng. Quay cùng miền quanh trục hoành nhưng trên

[0; 2]

V = π (\frac{8}{3} + 2) = \frac{14 π}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 4.46★★Trang 21— Tích phân chứa tham số — bất phương trình theo tham số

Bài 4.46 (trang 21). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để

\int_{0}^{3} (10 x - 2 m) d x > 0

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} k d x = k (b - a)$ với $k$ là hằng số.
$\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) \cdot \overline{f}$ , với $\overline{f}$ là giá trị trung bình; hàm bậc nhất có giá trị trung bình bằng giá trị tại trung điểm.

🧠 Phân tích tư duy

m

là hằng số khi tích phân theo

x

, nên tích phân là một biểu thức bậc nhất theo

m

; điều kiện dương cho một bất phương trình bậc nhất. Bẫy: đếm cả

m = 0

(không nguyên dương) hoặc lấy cả

m = 8

1Cách 1. Tính tích phân rồi giải bất phương trình

Định hướng. Coi $m$ là hằng số.

\int_{0}^{3} (10 x - 2 m) d x = (5 x^{2} - 2 m x)_{0}^{3} = 45 - 6 m

45 - 6 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{15}{2} = 7, 5

m

nguyên dương:

m \in {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Vậy có 7 giá trị của $m$ .

2Cách 2. Giá trị tại trung điểm

Định hướng. Hàm dưới dấu tích phân bậc nhất nên tích phân bằng độ dài đoạn nhân giá trị tại trung điểm $x = \frac{3}{2}$ .

\int_{0}^{3} (10 x - 2 m) d x = 3 (10 \cdot \frac{3}{2} - 2 m) = 3 (15 - 2 m)

3 (15 - 2 m) > 0 \Leftrightarrow m < 7, 5

Vậy có 7 giá trị nguyên dương $m = 1, 2, \dots, 7$ .

3Cách 3. Diện tích hình thang có dấu

Định hướng. Đồ thị $y = 10 x - 2 m$ là đường thẳng; tích phân là "diện tích có dấu" hình thang có hai đáy $f (0) = - 2 m$ , $f (3) = 30 - 2 m$ , chiều cao $3$ .

\int_{0}^{3} (10 x - 2 m) d x = \frac{( - 2 m ) + ( 30 - 2 m )}{2} \cdot 3 = \frac{3 ( 30 - 4 m )}{2}

> 0 \Leftrightarrow m < 7, 5

Kiểm tra biên:

m = 7

cho

45 - 42 = 3 > 0

;

m = 8

cho

45 - 48 = - 3 < 0

Vậy có 7 giá trị.

Nhận xét. Biểu thức $45 - 6 m$ giảm theo $m$ , nên chỉ cần kiểm tra hai giá trị sát biên là chắc chắn không đếm thừa/thiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ra ngay

45 - 6 m > 0

Đáp số. 7 giá trị (

m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

)

Sai lầm thường gặp. Tích phân sai

\int_{0}^{3} 2 m d x = 2 m

(quên nhân độ dài đoạn), được

45 - 2 m > 0

, ra 22 giá trị; hoặc đếm cả

m = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int_{0}^{a} (k x - 2 m) d x > 0 \Leftrightarrow m < \frac{k a}{4}

(

a > 0

); thử với

k = 8

a = 5

m < 10

, có 9 giá trị nguyên dương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 4.47★★★Trang 21— Bài toán thực tiễn — tìm hàm từ tốc độ thay đổi

Bài 4.47 (trang 21). Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ

m

có

F (m)

người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là

F^{'} (m) = \frac{150}{2 m + 1}

và ngày đầu tiên (

m = 0

) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của

F (m)

và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$ ( $a \neq = 0$ ).
$F (b) = F (a) + \int_{a}^{b} F^{'} (m) d m$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết tốc độ

F^{'} (m)

và

F (0) = 50

— dạng "nguyên hàm + điều kiện ban đầu". Hàm

\frac{1}{2 m + 1}

có nguyên hàm

\frac{1}{2} ln (2 m + 1)

(hệ số

2

bên trong phải chia ra). Bẫy: quên thừa số

\frac{1}{2}

, ra

150 ln (2 m + 1)

1Cách 1. Nguyên hàm và điều kiện ban đầu

Định hướng. Với $m \geq 0$ thì $2 m + 1 > 0$ , bỏ được trị tuyệt đối.

F (m) = \int \frac{150}{2 m + 1} d m = 150 \cdot \frac{1}{2} ln (2 m + 1) + C = 75 ln (2 m + 1) + C

F (0) = 75 ln 1 + C = C = 50

F (m) = 75 ln (2 m + 1) + 50

F (10) = 75 ln 21 + 50 \approx 228, 34 + 50 = 278, 34

Vậy $F (m) = 75 ln (2 m + 1) + 50$ ; ngày thứ 10 có khoảng 278 người mắc bệnh.

2Cách 2. Newton – Leibniz cho số ca tăng thêm

Định hướng. Số người tăng thêm từ ngày $0$ đến ngày $m$ là tích phân của tốc độ lan truyền.

F (m) = F (0) + \int_{0}^{m} \frac{150}{2 t + 1} d t = 50 + 75 ln (2 t + 1) ∣_{0}^{m} = 50 + 75 ln (2 m + 1)

F (10) = 50 + 75 ln 21 \approx 278

Vậy $F (m) = 75 ln (2 m + 1) + 50$ ; $F (10) \approx 278$ người.

3Cách 3. Đặt dạng và đồng nhất hệ số

Định hướng. Nguyên hàm phải có dạng $A ln (2 m + 1) + B$ .

(A ln (2 m + 1) + B)^{'} = \frac{2 A}{2 m + 1} = \frac{150}{2 m + 1} \Rightarrow A = 75

F (0) = B = 50

F (10) = 75 ln 21 + 50 \approx 278, 34

Vậy $F (m) = 75 ln (2 m + 1) + 50$ ; ngày thứ 10 có khoảng 278 người.

Nhận xét. Tốc độ lan truyền giảm dần theo $m$ nên số ca tăng chậm lại — đồ thị $F$ có dạng hàm logarit.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1; nhớ chia cho hệ số

2

khi lấy nguyên hàm của

\frac{1}{2 m + 1}

Đáp số.

F (m) = 75 ln (2 m + 1) + 50

;

F (10) \approx 278

người

Sai lầm thường gặp. Viết

\int \frac{150}{2 m + 1} d m = 150 ln (2 m + 1)

nên

F (10) \approx 507

— sai vì quên chia cho

2

; hoặc làm tròn

278, 34

thành

279

🚀 Mở rộng. Số người mắc bệnh vượt 300 khi

75 ln (2 m + 1) > 250 \Leftrightarrow 2 m + 1 > e^{10/3} \approx 28, 03 \Leftrightarrow m > 13, 5

, tức từ ngày thứ 14.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 4.48★★Trang 21— Bài toán thực tiễn — quãng đường là tích phân của vận tốc

Bài 4.48 (trang 21). Một ô tô đồ chơi trượt xuống dốc và dừng sau 5 giây, vận tốc của ô tô đồ chơi từ thời điểm

t = 0

giây đến

t = 5

giây được cho bởi công thức

v (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 0, 1 t^{3}

(m/s). Tính quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại (làm tròn kết quả theo đơn vị mét đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $s = \int_{a}^{b} v (t) d t$ khi $v (t) \geq 0$ trên $[a; b]$ .
Simpson đúng tuyệt đối với đa thức bậc không quá $3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Quãng đường

= \int_{0}^{5} v (t) d t

khi

v (t) \geq 0

; viết

v (t) = t^{2} (\frac{1}{2} - 0, 1 t) = 0, 1 t^{2} (5 - t) \geq 0

trên

[0; 5]

nên không phải chia đoạn. Bẫy: làm tròn quá sớm các số hạng trung gian.

1Cách 1. Tích phân vận tốc

Định hướng. Xét dấu $v (t)$ rồi tính tích phân trên $[0; 5]$ .

v (t) = 0, 1 t^{2} (5 - t) \geq 0

với

t \in [0; 5]

s = \int_{0}^{5} (\frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{10} t^{3}) d t = (\frac{t ^{3}}{6} - \frac{t ^{4}}{40})_{0}^{5} = \frac{125}{6} - \frac{625}{40}

= \frac{125}{6} - \frac{125}{8} = \frac{125}{24} \approx 5, 21

Vậy quãng đường ô tô đồ chơi đi được đến khi dừng là khoảng 5,21 m.

2Cách 2. Hàm quãng đường

s (t)

Định hướng. Tìm $s (t)$ với $s (0) = 0$ , rồi tính $s (5)$ .

s (t) = \int v (t) d t = \frac{t ^{3}}{6} - \frac{t ^{4}}{40} + C

s (0) = 0 \Rightarrow C = 0

s (5) = \frac{125}{6} - \frac{625}{40} = \frac{125}{24} \approx 5, 21

Vậy khoảng 5,21 m.

3Cách 3. Quy tắc Simpson (đúng tuyệt đối với đa thức bậc ba)

Định hướng. $v (t)$ là đa thức bậc ba nên chỉ cần $v (0)$ , $v (2, 5)$ , $v (5)$ .

v (0) = 0

v (2, 5) = 3, 125 - 1, 5625 = 1, 5625

v (5) = 12, 5 - 12, 5 = 0

s = \frac{5}{6} (0 + 4 \cdot 1, 5625 + 0) = \frac{5}{6} \cdot 6, 25 = \frac{125}{24} \approx 5, 21

Vậy khoảng 5,21 m.

Nhận xét. $v (5) = 0$ khớp với dữ kiện "dừng sau 5 giây" — đây là cách kiểm tra đề nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1; Cách 3 là mẹo nhẩm cực nhanh vì vận tốc là đa thức bậc ba.

Đáp số.

s = \frac{125}{24} \approx 5, 21

Sai lầm thường gặp. Tính

v (5)

thay cho quãng đường (được

0

), hoặc lấy nguyên hàm của

0, 1 t^{3}

là

0, 1 \cdot \frac{t ^{4}}{3}

🚀 Mở rộng. Vận tốc lớn nhất khi

v^{'} (t) = t - 0, 3 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{10}{3}

, khi đó

v = \frac{50}{27} \approx 1, 85

m/s.

Mở bài này trong app ↗