Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Bài tập cuối chương IV

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 4.20★Trang 27— Trắc nghiệm — nguyên hàm của

sin (a x)

Bài 4.20 (trang 27). Một nguyên hàm của hàm số

f (x) = sin 2 x

là
A.

F (x) = 2 cos 2 x

.
B.

F (x) = - cos 2 x

.
C.

F (x) = \frac{1}{2} cos 2 x

.
D.

F (x) = \frac{- 1}{2} cos 2 x

Kiến thức cần nhớ

$\int sin (a x) d x = - \frac{1}{a} cos (a x) + C$ , $\int cos (a x) d x = \frac{1}{a} sin (a x) + C$ với $a \neq = 0$ .
$F$ là một nguyên hàm của $f$ khi và chỉ khi $F^{'} (x) = f (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi "một nguyên hàm" của

sin 2 x

— hàm lượng giác có hệ số

2

bên trong, dấu hiệu dùng công thức

\int sin (a x) d x = - \frac{1}{a} cos (a x) + C

. Bốn phương án chỉ khác nhau ở hệ số trước

cos 2 x

, nên cái cần giữ là dấu trừ và thừa số

\frac{1}{2}

. Bẫy: quên chia cho

2

(ra B) hoặc quên dấu trừ (ra C).

1Cách 1. Dùng công thức nguyên hàm của

sin (a x)

Định hướng. Áp thẳng công thức với $a = 2$ rồi chọn hằng số $C = 0$ .

\int sin 2 x d x = - \frac{1}{2} cos 2 x + C

Chọn

C = 0

F (x) = - \frac{1}{2} cos 2 x = \frac{- 1}{2} cos 2 x

Vậy chọn D.

2Cách 2. Đạo hàm từng phương án

Định hướng. Phương án nào có đạo hàm đúng bằng $sin 2 x$ thì đó là một nguyên hàm.

(2 cos 2 x)^{'} = - 4 sin 2 x

(- cos 2 x)^{'} = 2 sin 2 x

(\frac{1}{2} cos 2 x)^{'} = - sin 2 x

(\frac{- 1}{2} cos 2 x)^{'} = \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 sin 2 x) = sin 2 x

Vậy chỉ phương án D cho đạo hàm bằng $f (x)$ .

3Cách 3. Nhận ra

sin 2 x

là đạo hàm của

sin^{2} x

Định hướng. Viết $sin 2 x = 2 sin x cos x = (sin^{2} x)^{'}$ , rồi hạ bậc để đưa về dạng $cos 2 x$ như các phương án.

(sin^{2} x)^{'} = 2 sin x cos x = sin 2 x

\Rightarrow \int sin 2 x d x = sin^{2} x + C = \frac{1 - cos 2 x}{2} + C = - \frac{1}{2} cos 2 x + (\frac{1}{2} + C)

Chọn hằng số

\frac{1}{2} + C = 0

F (x) = \frac{- 1}{2} cos 2 x

Vậy chọn D.

Nhận xét. $sin^{2} x$ và $- \frac{1}{2} cos 2 x$ đều là nguyên hàm của $sin 2 x$ — chúng chỉ lệch nhau một hằng số $\frac{1}{2}$ , đúng như lí thuyết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ công thức

\int sin (a x) d x

là ra ngay trong một dòng; Cách 2 là cách kiểm tra lại chắc chắn khi phân vân dấu.

Đáp số. D.

F (x) = \frac{- 1}{2} cos 2 x

Sai lầm thường gặp. Quên chia cho hệ số

2

nên chọn B:

F (x) = - cos 2 x

; đạo hàm lại thấy

(- cos 2 x)^{'} = 2 sin 2 x \neq = sin 2 x

. Hoặc nhớ nhầm "nguyên hàm của

sin

là

cos

" nên chọn C.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: một nguyên hàm của

sin (a x + b)

là

- \frac{1}{a} cos (a x + b)

; thử tìm nguyên hàm của

sin^{2} x

bằng cách hạ bậc

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.21★Trang 27— Trắc nghiệm — họ nguyên hàm của hàm mũ

e^{x}

Bài 4.21 (trang 27). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

2 e^{x}

là
A.

2 x e^{x} + C

.
B.

- 2 e^{x} + C

.
C.

2 e^{x}

.
D.

2 e^{x} + C

Kiến thức cần nhớ

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ ; $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k \neq = 0$ .
Họ nguyên hàm luôn có dạng $F (x) + C$ , $C$ là hằng số tuỳ ý.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ "họ tất cả các nguyên hàm" là dấu hiệu đáp án phải có hằng số

+ C

. Hàm

e^{x}

có đạo hàm bằng chính nó nên nguyên hàm của

2 e^{x}

giữ nguyên dạng. Bẫy: phương án C đúng biểu thức nhưng thiếu

+ C

, chỉ là MỘT nguyên hàm chứ không phải họ.

1Cách 1. Dùng bảng nguyên hàm

Định hướng. Đưa hằng số $2$ ra ngoài rồi dùng $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

\int 2 e^{x} d x = 2 \int e^{x} d x = 2 e^{x} + C

Vậy chọn D.

2Cách 2. Đạo hàm các phương án có hằng số

Định hướng. Đạo hàm của biểu thức trước $+ C$ phải bằng $2 e^{x}$ .

(2 x e^{x})^{'} = 2 e^{x} + 2 x e^{x} \neq = 2 e^{x}

(- 2 e^{x})^{'} = - 2 e^{x} \neq = 2 e^{x}

(2 e^{x})^{'} = 2 e^{x}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ theo cấu trúc "họ nguyên hàm"

Định hướng. Trước hết loại phương án thiếu hằng số, sau đó chỉ cần so dấu và dạng.

2 e^{x}

không có

+ C

nên chỉ là một nguyên hàm, không phải họ
A: có thừa số

x

— dạng của nguyên hàm

x e^{x}

, sai
B: trái dấu với

2 e^{x}

trong khi

e^{x}

là hàm tự đạo hàm ra chính nó, sai

Vậy còn lại D.

Nhận xét. Với câu hỏi về "họ nguyên hàm", phương án thiếu $+ C$ luôn bị loại đầu tiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng. Cách 3 giúp nhận ra ngay bẫy thiếu

+ C

ở phương án C.

Đáp số. D.

2 e^{x} + C

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì thấy

(2 e^{x})^{'} = 2 e^{x}

mà quên đề hỏi HỌ tất cả nguyên hàm, phải có

+ C

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int a e^{k x} d x = \frac{a}{k} e^{k x} + C

(

k \neq = 0

); thử với

\int 2 e^{3 x} d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.22★★Trang 27— Trắc nghiệm — nguyên hàm thoả mãn điều kiện cho trước

Bài 4.22 (trang 27). Nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = e^{x} - 3 e^{- x}

thoả mãn

F (0) = 4

là
A.

F (x) = e^{x} - 3 e^{- x}

.
B.

F (x) = e^{x} + 3 e^{- 2 x}

.
C.

F (x) = e^{x} + 3 e^{- x}

.
D.

F (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + 4

Kiến thức cần nhớ

$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$ ( $k \neq = 0$ ), đặc biệt $\int e^{- x} d x = - e^{- x} + C$ .
Nguyên hàm thoả $F (x_{0}) = y_{0}$ : tìm họ $G (x) + C$ rồi giải $G (x_{0}) + C = y_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hàm và một giá trị

F (0) = 4

— dạng "tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện khử hằng số

C

". Khó nhất là nguyên hàm của

e^{- x}

: đạo hàm của

e^{- x}

là

- e^{- x}

nên dấu bị đảo. Bẫy: phương án D có "

+ 4

" trông giống điều kiện

F (0) = 4

nhưng thực ra làm

F (0) = 8

1Cách 1. Tìm họ nguyên hàm rồi khử hằng số

Định hướng. Tìm $F (x) = G (x) + C$ , thay $x = 0$ để tìm $C$ .

F (x) = \int (e^{x} - 3 e^{- x}) d x = e^{x} - 3 \cdot (- e^{- x}) + C = e^{x} + 3 e^{- x} + C

F (0) = 1 + 3 + C = 4 + C

F (0) = 4 \Leftrightarrow C = 0

F (x) = e^{x} + 3 e^{- x}

Vậy chọn C.

2Cách 2. Thử điều kiện

F (0) = 4

và điều kiện

F^{'} = f

Định hướng. Phương án đúng phải qua cả hai "cửa": giá trị tại $0$ bằng $4$ và đạo hàm bằng $f$ .

F (0) = 1 - 3 = - 2 \neq = 4

, loại
B:

F (0) = 1 + 3 = 4

nhưng

F^{'} (x) = e^{x} - 6 e^{- 2 x} \neq = f (x)

, loại
C:

F (0) = 1 + 3 = 4

và

F^{'} (x) = e^{x} - 3 e^{- x} = f (x)

F (0) = 1 + 3 + 4 = 8 \neq = 4

, loại

Vậy chọn C.

3Cách 3. Dùng công thức

F (x) = F (0) + \int_{0}^{x} f (t) d t

Định hướng. Định lí Newton – Leibniz cho thẳng nguyên hàm có giá trị cho trước tại $0$ , không cần tìm $C$ .

F (x) = F (0) + \int_{0}^{x} (e^{t} - 3 e^{- t}) d t = 4 + (e^{t} + 3 e^{- t})_{0}^{x}

= 4 + e^{x} + 3 e^{- x} - (1 + 3) = e^{x} + 3 e^{- x}

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 hợp khi điều kiện cho tại một điểm cụ thể: hằng số tự triệt tiêu trong phép trừ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần tính

F (0)

của bốn phương án là loại ngay A và D, còn B và C phân biệt nhờ số mũ

- 2 x

sai.

Đáp số. C.

F (x) = e^{x} + 3 e^{- x}

Sai lầm thường gặp. Viết

\int e^{- x} d x = e^{- x} + C

(quên dấu trừ) nên được

F (x) = e^{x} - 3 e^{- x} + C

F (0) = - 2 + C = 4

C = 6

— không trùng phương án nào, hoặc vội chọn A.

🚀 Mở rộng. Thử tìm nguyên hàm

F

của

f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x}

thoả

F (0) = 1

— đáp số

F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.23★Trang 27— Trắc nghiệm — công thức Newton – Leibniz với tích phân của đạo hàm

Bài 4.23 (trang 27). Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x)

liên tục trên

R

f (1) = 16

và

\int_{1}^{3} f^{'} (x) d x = 4

. Khi đó giá trị của

f (3)

bằng
A. 20.
B. 16.
C. 12.
D. 10.

Kiến thức cần nhớ

Newton – Leibniz: $\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$ .
Ý nghĩa: tích phân của tốc độ thay đổi trên $[a; b]$ bằng lượng thay đổi của đại lượng.

🧠 Phân tích tư duy

Tích phân của

f^{'}

trên

[1; 3]

chính là độ biến thiên

f (3) - f (1)

— dấu hiệu dùng Newton – Leibniz. Biết

f (1)

thì cộng thêm độ biến thiên là ra

f (3)

. Bẫy: lấy

16 - 4 = 12

vì nhầm thứ tự trừ.

1Cách 1. Newton – Leibniz

Định hướng. $f$ là một nguyên hàm của $f^{'}$ , nên tích phân bằng hiệu hai giá trị của $f$ .

\int_{1}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (1)

4 = f (3) - 16

f (3) = 20

Vậy chọn A.

2Cách 2. Viết

f (x)

qua tích phân cận biến

Định hướng. Mọi $f$ có đạo hàm liên tục đều khôi phục được từ giá trị đầu và tích phân của đạo hàm.

f (x) = f (1) + \int_{1}^{x} f^{'} (t) d t

f (3) = 16 + \int_{1}^{3} f^{'} (t) d t = 16 + 4 = 20

Vậy chọn A.

3Cách 3. Chọn một hàm cụ thể thoả mãn giả thiết

Định hướng. Kết quả không phụ thuộc hàm cụ thể, nên chọn $f^{'}$ là hằng số cho gọn.

Chọn

f^{'} (x) = 2

\int_{1}^{3} 2 d x = 2 \cdot 2 = 4

(thoả mãn)

f (x) = 2 x + c

f (1) = 2 + c = 16 \Rightarrow c = 14

f (x) = 2 x + 14 \Rightarrow f (3) = 6 + 14 = 20

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách "chọn hàm đặc biệt" chỉ dùng được cho trắc nghiệm, khi đề đảm bảo đáp số là duy nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

\int_{1}^{3} f^{'} = f (3) - f (1)

, một dòng là xong.

Đáp số. A.

f (3) = 20

Sai lầm thường gặp. Viết

\int_{1}^{3} f^{'} (x) d x = f (1) - f (3)

(đảo thứ tự) nên được

f (3) = 16 - 4 = 12

và chọn C.

🚀 Mở rộng. Nếu thay giả thiết thành

\int_{1}^{3} f^{'} (x) d x = - 4

thì

f (3) = 12

; tổng quát

f (b) = f (a) + \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.24★★Trang 27— Trắc nghiệm — diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Bài 4.24 (trang 27). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} - 2 x

y = - x^{2} + 4 x

và hai đường thẳng

x = 0

x = 3

là
A.

- 9

.
B.

9

.
C.

\frac{16}{3}

.
D.

\frac{20}{3}

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f (x)$ , $y = g (x)$ , $x = a$ , $x = b$ .
Nếu $f (x) - g (x)$ không đổi dấu trên $[a; b]$ thì $S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ .
Diện tích hình viên phân parabol bằng $\frac{2}{3}$ diện tích hình chữ nhật ngoại tiếp (Archimedes).

🧠 Phân tích tư duy

Hình phẳng nằm giữa hai đồ thị trên

[0; 3]

, nên

S = \int_{0}^{3} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

. Hiệu hai hàm là

6 x - 2 x^{2} = 2 x (3 - x)

không âm trên cả đoạn, nên bỏ được dấu giá trị tuyệt đối mà không phải chia khoảng. Bẫy: diện tích không thể âm, nên phương án

- 9

bị loại từ đầu.

1Cách 1. Công thức diện tích giữa hai đồ thị

Định hướng. Xét dấu hiệu hai hàm trên $[0; 3]$ rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

(- x^{2} + 4 x) - (x^{2} - 2 x) = - 2 x^{2} + 6 x = 2 x (3 - x) \geq 0

với mọi

x \in [0; 3]

S = \int_{0}^{3} (- 2 x^{2} + 6 x) d x = (- \frac{2 x ^{3}}{3} + 3 x^{2})_{0}^{3}

= - \frac{2 \cdot 27}{3} + 27 = - 18 + 27 = 9

Vậy $S = 9$ , chọn B.

2Cách 2. Hiệu hai tích phân của từng đồ thị

Định hướng. Trên $[0; 3]$ đồ thị $y = - x^{2} + 4 x$ luôn nằm trên, nên $S = \int g - \int f$ (tích phân có dấu tự bù phần nằm dưới trục hoành).

\int_{0}^{3} (- x^{2} + 4 x) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2})_{0}^{3} = - 9 + 18 = 9

\int_{0}^{3} (x^{2} - 2 x) d x = (\frac{x ^{3}}{3} - x^{2})_{0}^{3} = 9 - 9 = 0

S = 9 - 0 = 9

Vậy $S = 9$ , chọn B.

3Cách 3. Công thức Archimedes cho viên phân parabol

Định hướng. Hàm hiệu $h (x) = 2 x (3 - x)$ là một parabol cắt trục hoành tại $0$ và $3$ ; diện tích dưới vòm bằng $\frac{2}{3}$ hình chữ nhật đáy $3$ , cao bằng đỉnh.

Đỉnh tại

x = \frac{3}{2}

h (\frac{3}{2}) = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

S = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{9}{2} = 9

Vậy $S = 9$ , chọn B.

Nhận xét. Diện tích giữa hai parabol $y = f$ , $y = g$ chỉ phụ thuộc hàm hiệu $f - g$ ; khi hiệu là tam thức bậc hai có hai nghiệm $α, β$ và hệ số $a$ thì $S = \frac{∣ a ∣ ( β - α ) ^{3}}{6}$ , ở đây $\frac{2 \cdot 27}{6} = 9$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 để ra nhanh (hoặc công thức

\frac{∣ a ∣ ( β - α ) ^{3}}{6}

), còn Cách 1 là cách trình bày tự luận chuẩn.

Đáp số. B.

S = 9

Sai lầm thường gặp. Tính

\int_{0}^{3} (x^{2} - 2 x) d x - \int_{0}^{3} (- x^{2} + 4 x) d x = 0 - 9 = - 9

(lấy dưới trừ trên) rồi chọn A — diện tích không bao giờ âm.

🚀 Mở rộng. Thử tính diện tích giới hạn bởi

y = x^{2}

và

y = 2 x + 3

: hiệu có hai nghiệm

- 1

3

nên

S = \frac{4 ^{3}}{6} = \frac{32}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.25★★Trang 27— Trắc nghiệm — diện tích hình phẳng khi đồ thị đổi dấu nhiều lần

Bài 4.25 (trang 27). Cho đồ thị hàm số

y = f (x)

trên đoạn

[- 2; 2]

như Hình 4.32 (đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ

- 2

- 1

1

2

; phần hình phẳng giữa đồ thị và trục hoành trên

[- 2; 2]

được tô màu).
Biết

\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x = \frac{- 22}{15}

và

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{76}{15}

. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là
A. 8.
B.

\frac{22}{15}

.
C.

\frac{32}{15}

.
D.

\frac{76}{15}

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; trên đoạn $f (x) \leq 0$ thì $\int ∣ f (x) ∣ d x = - \int f (x) d x$ .
Tích phân có dấu = (diện tích phần trên trục) $-$ (diện tích phần dưới trục).

🧠 Phân tích tư duy

Đồ thị lúc nằm dưới, lúc nằm trên trục hoành — dấu hiệu phải chia đoạn theo các nghiệm

- 2

- 1

1

2

và lấy giá trị tuyệt đối từng phần. Đề cho sẵn ba tích phân có dấu, nên chỉ cần đổi dấu hai phần nằm dưới trục. Bẫy: cộng thẳng ba tích phân có dấu được

\frac{32}{15}

— đó là tích phân, không phải diện tích.

1Cách 1. Chia đoạn theo dấu của

f

Định hướng. Trên $[- 2; - 1]$ và $[1; 2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành, trên $[- 1; 1]$ nằm trên.

S = \int_{- 2}^{2} ∣ f (x) ∣ d x = - \int_{- 2}^{- 1} f (x) d x + \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x

= \frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15} = \frac{120}{15} = 8

Vậy $S = 8$ , chọn A.

2Cách 2. Từ tích phân có dấu suy ra diện tích

Định hướng. Tích phân trên cả đoạn bằng phần trên trừ phần dưới; diện tích thì bằng phần trên cộng phần dưới.

Phần trên trục:

S_{1} = \frac{76}{15}

; phần dưới trục:

S_{2} = \frac{22}{15} + \frac{22}{15} = \frac{44}{15}

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = S_{1} - S_{2} = \frac{32}{15}

S = S_{1} + S_{2} = (S_{1} - S_{2}) + 2 S_{2} = \frac{32}{15} + \frac{88}{15} = \frac{120}{15} = 8

Vậy $S = 8$ , chọn A.

3Cách 3. Dựng lại hàm

f

từ đồ thị rồi tính trực tiếp

Định hướng. Đồ thị là đường bậc bốn đối xứng qua $O y$ , có bốn nghiệm $\pm 1$ , $\pm 2$ , nên $f (x) = k (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ ; dùng một dữ kiện để tìm $k$ , các dữ kiện còn lại để kiểm tra.

f (x) = k (x^{4} - 5 x^{2} + 4)

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2 k (\frac{x ^{5}}{5} - \frac{5 x ^{3}}{3} + 4 x)_{0}^{1} = 2 k \cdot \frac{38}{15} = \frac{76 k}{15} = \frac{76}{15} \Rightarrow k = 1

\int_{1}^{2} f (x) d x = (\frac{32}{5} - \frac{40}{3} + 8) - \frac{38}{15} = \frac{16}{15} - \frac{38}{15} = \frac{- 22}{15}

(khớp đề)

S = \frac{76}{15} + 2 \cdot \frac{22}{15} = 8

Vậy $S = 8$ , chọn A.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy số liệu của đề là nhất quán: hàm $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ có $f (0) = 4$ , đúng đỉnh giữa trên hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi dấu hai tích phân âm rồi cộng, không cần biết công thức của

f

Đáp số. A.

S = 8

Sai lầm thường gặp. Cộng thẳng

\frac{- 22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{- 22}{15} = \frac{32}{15}

và chọn C — đó là

\int_{- 2}^{2} f (x) d x

, không phải diện tích; phần dưới trục hoành phải lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Dùng hàm

f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)

ở Cách 3, thử tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = f (x)

và trục hoành trên đoạn

[0; 2]

— đáp số

\frac{38}{15} + \frac{22}{15} = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.26★★Trang 28— Trắc nghiệm — thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành

Bài 4.26 (trang 28). Cho hình phẳng

(S)

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = 1 - x^{2}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = - 1

x = 1

. Thể tích của khối tròn xoay khi quay

(S)

quanh

O x

là
A.

\frac{3 π}{4}

.
B.

\frac{3 π}{2}

.
C.

\frac{2 π}{3}

.
D.

\frac{4 π}{3}

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f (x)$ , $y = 0$ , $x = a$ , $x = b$ quanh $O x$ .
Thể tích khối cầu bán kính $R$ : $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

y = 1 - x^{2}

là nửa trên đường tròn tâm

O

bán kính

1

; quay nửa hình tròn quanh

O x

được khối cầu bán kính

1

. Có thể dùng công thức

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

hoặc nhận ra ngay khối cầu. Bẫy: quên bình phương hàm số, hoặc quên nhân

π

1Cách 1. Công thức thể tích khối tròn xoay

Định hướng. Bình phương hàm số là mất căn, tích phân còn đa thức.

V = π \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2})^{2} d x = π \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x

= π (x - \frac{x ^{3}}{3})_{- 1}^{1} = π (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{4 π}{3}

Vậy $V = \frac{4 π}{3}$ , chọn D.

2Cách 2. Nhận ra khối cầu

Định hướng. $y = 1 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1$ , $y \geq 0$ : nửa đường tròn bán kính $1$ , quay quanh đường kính được mặt cầu.

Khối tròn xoay là khối cầu bán kính

R = 1

V = \frac{4}{3} π \cdot 1^{3} = \frac{4 π}{3}

Vậy $V = \frac{4 π}{3}$ , chọn D.

3Cách 3. Tỉ số Archimedes cầu – trụ

Định hướng. Khối cầu nội tiếp khối trụ bán kính $1$ , chiều cao $2$ ; Archimedes chỉ ra thể tích cầu bằng $\frac{2}{3}$ thể tích trụ. Có thể kiểm bằng lát cắt: thiết diện cầu là $π (1 - x^{2})$ , thiết diện trụ là $π$ .

V_{t r u} = π \cdot 1^{2} \cdot 2 = 2 π

V = \frac{2}{3} \cdot 2 π = \frac{4 π}{3}

Vậy $V = \frac{4 π}{3}$ , chọn D.

Nhận xét. Hiệu hai thiết diện $π - π (1 - x^{2}) = π x^{2}$ là thiết diện của hai khối nón đỉnh $O$ , nên $V_{c a u} = V_{t r u} - V_{2 n o n} = 2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}$ — đây chính là lập luận của Archimedes.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra khối cầu bán kính

1

là ra đáp số không cần tích phân; Cách 1 là trình bày chuẩn khi làm tự luận.

Đáp số. D.

V = \frac{4 π}{3}

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương, tính

π \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x = \frac{π ^{2}}{2}

(không có trong phương án), hoặc chỉ tính trên

[0; 1]

được

\frac{2 π}{3}

rồi chọn C.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: quay

y = R^{2} - x^{2}

- R \leq x \leq R

quanh

O x

được

V = π \int_{- R}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x = \frac{4}{3} π R^{3}

— chính là cách chứng minh công thức thể tích khối cầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.27★★Trang 28— Trắc nghiệm — tìm vận tốc từ gia tốc bằng nguyên hàm

Bài 4.27 (trang 28). Một vật chuyển động có gia tốc là

a (t) = 3 t^{2} + t

(m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là
A. 8 m/s.
B. 10 m/s.
C. 12 m/s.
D. 16 m/s.

Kiến thức cần nhớ

$v^{'} (t) = a (t)$ nên $v (t) = \int a (t) d t$ ; $v (t_{2}) = v (t_{1}) + \int_{t_{1}}^{t_{2}} a (t) d t$ .
Quy tắc Simpson $\int_{a}^{b} g (t) d t = \frac{b - a}{6} [g (a) + 4 g (\frac{a + b}{2}) + g (b)]$ đúng tuyệt đối khi $g$ là đa thức bậc không quá $3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc, nên vận tốc là nguyên hàm của gia tốc, hằng số xác định nhờ

v (0) = 2

. Có thể đi đường tắt:

v (2) = v (0) + \int_{0}^{2} a (t) d t

. Bẫy: quên cộng vận tốc ban đầu, được

10

m/s.

1Cách 1. Tìm hàm vận tốc

Định hướng. Lấy nguyên hàm của gia tốc, dùng $v (0) = 2$ để tìm hằng số.

v (t) = \int (3 t^{2} + t) d t = t^{3} + \frac{t ^{2}}{2} + C

v (0) = C = 2

v (t) = t^{3} + \frac{t ^{2}}{2} + 2

v (2) = 8 + 2 + 2 = 12

Vậy vận tốc sau 2 giây là 12 m/s, chọn C.

2Cách 2. Newton – Leibniz cho độ tăng vận tốc

Định hướng. Độ tăng vận tốc từ $0$ đến $2$ giây bằng tích phân của gia tốc.

v (2) = v (0) + \int_{0}^{2} (3 t^{2} + t) d t = 2 + (t^{3} + \frac{t ^{2}}{2})_{0}^{2}

= 2 + (8 + 2) = 12

Vậy vận tốc sau 2 giây là 12 m/s, chọn C.

3Cách 3. Quy tắc Simpson (đúng tuyệt đối với đa thức bậc hai)

Định hướng. Gia tốc là đa thức bậc hai nên tích phân tính được chỉ từ ba giá trị $a (0)$ , $a (1)$ , $a (2)$ .

a (0) = 0

a (1) = 4

a (2) = 14

\int_{0}^{2} a (t) d t = \frac{2}{6} (0 + 4 \cdot 4 + 14) = \frac{30}{3} = 10

v (2) = 2 + 10 = 12

Vậy vận tốc sau 2 giây là 12 m/s, chọn C.

Nhận xét. Simpson là một cách kiểm tra rất nhanh khi hàm dưới dấu tích phân là đa thức bậc thấp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng tính

\int_{0}^{2} a (t) d t = 10

rồi cộng vận tốc ban đầu.

Đáp số. C. 12 m/s

Sai lầm thường gặp. Quên hằng số (coi

v (0) = 0

) nên được

v (2) = 10

và chọn B; hoặc lấy đạo hàm của

a (t)

thay cho nguyên hàm.

🚀 Mở rộng. Từ

v (t) = t^{3} + \frac{t ^{2}}{2} + 2

, thử tính quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu:

\int_{0}^{2} v (t) d t = \frac{28}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.28★★Trang 28— Tìm họ nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm cơ bản

Bài 4.28 (trang 28). Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

y = 2^{x} - \frac{1}{x}

;
b)

y = x x + 3 cos x - \frac{2}{sin ^{2} x}

Kiến thức cần nhớ

$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ ( $0 < a \neq = 1$ ); $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq = - 1$ ).
$\int cos x d x = sin x + C$ ; $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi hàm là tổng/hiệu của các hàm có sẵn trong bảng: hàm mũ

a^{x}

, hàm

\frac{1}{x}

, lũy thừa,

cos x

\frac{1}{sin ^{2} x}

— dấu hiệu tách từng số hạng. Riêng

x x

phải viết thành lũy thừa

x^{\frac{3}{2}}

trước khi dùng công thức. Bẫy:

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣

(có trị tuyệt đối) và

\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = - cot x

(có dấu trừ).

1Cách 1. Tách số hạng và dùng bảng nguyên hàm

Định hướng. Nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm; đổi $x x = x^{\frac{3}{2}}$ .

\int (2^{x} - \frac{1}{x}) d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} - ln ∣ x ∣ + C

\int x^{\frac{3}{2}} + 3 cos x - \frac{2}{sin ^{2} x} d x = \frac{x ^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + 3 sin x - 2 (- cot x) + C

= \frac{2}{5} x^{2} x + 3 sin x + 2 cot x + C

Vậy a) $\frac{2 ^{x}}{ln 2} - ln ∣ x ∣ + C$ ; b) $\frac{2}{5} x^{2} x + 3 sin x + 2 cot x + C$ .

2Cách 2. Đoán dạng rồi tìm hệ số bằng đạo hàm

Định hướng. Biết đạo hàm của $2^{x}$ , $ln ∣ x ∣$ , $x^{2} x$ , $sin x$ , $cot x$ nên đặt nguyên hàm dạng tổ hợp các hàm đó, đạo hàm rồi đồng nhất hệ số.

a) Đặt

F = A \cdot 2^{x} + B ln ∣ x ∣

F^{'} = A ln 2 \cdot 2^{x} + \frac{B}{x} = 2^{x} - \frac{1}{x} \Rightarrow A = \frac{1}{ln 2}

B = - 1

b) Đặt

F = A x^{2} x + B sin x + D cot x

F^{'} = \frac{5 A}{2} x x + B cos x - \frac{D}{sin ^{2} x}

\frac{5 A}{2} = 1

B = 3

- D = - 2 \Rightarrow A = \frac{2}{5}

B = 3

D = 2

Vậy a) $\frac{2 ^{x}}{ln 2} - ln ∣ x ∣ + C$ ; b) $\frac{2}{5} x^{2} x + 3 sin x + 2 cot x + C$ .

3Cách 3. Đưa về cơ số

e

và kiểm tra ngược bằng đạo hàm

Định hướng. Viết $2^{x} = e^{x l n 2}$ để dùng $\int e^{k x} d x = \frac{e ^{k x}}{k}$ ; ở câu b) đạo hàm kết quả để kiểm tra từng số hạng.

\int 2^{x} d x = \int e^{x l n 2} d x = \frac{e ^{x l n 2}}{ln 2} + C = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

\Rightarrow \int (2^{x} - \frac{1}{x}) d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} - ln ∣ x ∣ + C

\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 3 sin x + 2 cot x^{'} = x^{\frac{3}{2}} + 3 cos x - \frac{2}{sin ^{2} x} = x x + 3 cos x - \frac{2}{sin ^{2} x}

Vậy hai họ nguyên hàm đúng như trên.

Nhận xét. Muốn chắc chắn không sai dấu ở $cot x$ , luôn đạo hàm lại kết quả: $(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1 (nhanh và chuẩn), rồi dành 10 giây làm bước kiểm tra ở Cách 3 cho số hạng

cot x

vì rất dễ sai dấu.

Đáp số. a)

\frac{2 ^{x}}{ln 2} - ln ∣ x ∣ + C

; b)

\frac{2}{5} x^{2} x + 3 sin x + 2 cot x + C

Sai lầm thường gặp. Viết

\int 2^{x} d x = 2^{x} ln 2 + C

(nhầm với đạo hàm); viết

\int \frac{2}{sin ^{2} x} d x = 2 cot x

nên kết quả b) ra

- 2 cot x

; quên trị tuyệt đối trong

ln ∣ x ∣

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int x^{n} x d x = \frac{2}{2 n + 3} x^{n + 1} x + C

; thử với

\int x^{2} x d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.29★★Trang 28— Tìm nguyên hàm thoả mãn điều kiện cho trước

Bài 4.29 (trang 28). Tìm một nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = 2 cos x + \frac{1}{sin ^{2} x}

thoả mãn điều kiện

F (\frac{π}{4}) = - 1

Kiến thức cần nhớ

$\int cos x d x = sin x + C$ ; $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$ .
$F (x) = F (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hàm và giá trị tại

\frac{π}{4}

— dạng "họ nguyên hàm + điều kiện để khử

C

". Hai số hạng đều nằm trong bảng; điểm cần cẩn thận là

\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = - cot x

và giá trị

cot \frac{π}{4} = 1

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

1Cách 1. Họ nguyên hàm rồi khử hằng số

Định hướng. Tìm $F (x) = 2 sin x - cot x + C$ rồi thay $x = \frac{π}{4}$ .

F (x) = \int (2 cos x + \frac{1}{sin ^{2} x}) d x = 2 sin x - cot x + C

F (\frac{π}{4}) = 2 \cdot \frac{2}{2} - 1 + C = 2 - 1 + C

2 - 1 + C = - 1 \Leftrightarrow C = - 2

Vậy $F (x) = 2 sin x - cot x - 2$ .

2Cách 2. Tích phân cận biến từ điểm

\frac{π}{4}

Định hướng. Newton – Leibniz cho thẳng nguyên hàm có giá trị $- 1$ tại $\frac{π}{4}$ .

F (x) = - 1 + \int_{π /4}^{x} (2 cos t + \frac{1}{sin ^{2} t}) d t = - 1 + (2 sin t - cot t) ∣_{π /4}^{x}

= - 1 + 2 sin x - cot x - (2 - 1) = 2 sin x - cot x - 2

Vậy $F (x) = 2 sin x - cot x - 2$ .

3Cách 3. Đặt dạng và đồng nhất hệ số

Định hướng. Nguyên hàm phải có dạng $A sin x + B cot x + D$ ; ba ẩn được xác định bởi $F^{'} = f$ và điều kiện tại $\frac{π}{4}$ .

F (x) = A sin x + B cot x + D \Rightarrow F^{'} (x) = A cos x - \frac{B}{sin ^{2} x}

A = 2

- B = 1 \Rightarrow B = - 1

F (\frac{π}{4}) = 2 - 1 + D = - 1 \Rightarrow D = - 2

Vậy $F (x) = 2 sin x - cot x - 2$ .

Nhận xét. Hàm $F$ chỉ xác định trên các khoảng mà $sin x \neq = 0$ ; điều kiện tại $\frac{π}{4}$ cho ta nguyên hàm trên khoảng $(0; π)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quen thuộc, ba dòng; Cách 2 hay khi muốn tránh sai ở bước giải

C

Đáp số.

F (x) = 2 sin x - cot x - 2

Sai lầm thường gặp. Viết

\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = cot x

nên ra

F (x) = 2 sin x + cot x + C

C = - 2 - 2

— sai dấu; hoặc lấy

cot \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

🚀 Mở rộng. Thử tìm nguyên hàm

F

của

f (x) = sin x + \frac{1}{cos ^{2} x}

thoả

F (0) = 2

— đáp số

F (x) = - cos x + tan x + 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 4.30★★Trang 28— Bài toán thực tiễn — vận tốc là nguyên hàm của gia tốc

Bài 4.30 (trang 28). Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.

Kiến thức cần nhớ

$v (t) = \int a (t) d t$ ; $v (t) = v (0) + \int_{0}^{t} a (s) d s$ .
Chuyển động biến đổi đều: $v = v_{0} + a t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Viên đạn bay lên chịu gia tốc trọng trường hướng xuống, nên chọn chiều dương hướng lên thì

a (t) = - 9, 8

. Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc với

v (0) = 30

. Bẫy: lấy

a = + 9, 8

khiến vận tốc tăng dần — vô lí với vật ném lên.

1Cách 1. Nguyên hàm của gia tốc

Định hướng. Chọn chiều dương hướng lên, gốc thời gian lúc bắn.

a (t) = - 9, 8

v (t) = \int (- 9, 8) d t = - 9, 8 t + C

v (0) = C = 30 \Rightarrow v (t) = 30 - 9, 8 t

v (2) = 30 - 19, 6 = 10, 4

Vậy vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây là 10,4 m/s (đang hướng lên).

2Cách 2. Newton – Leibniz cho độ biến thiên vận tốc

Định hướng. Độ biến thiên vận tốc trong 2 giây bằng tích phân của gia tốc.

v (2) = v (0) + \int_{0}^{2} (- 9, 8) d t = 30 + (- 9, 8 t) ∣_{0}^{2}

= 30 - 19, 6 = 10, 4

Vậy $v (2) = 10, 4$ m/s.

3Cách 3. Diện tích dưới đồ thị gia tốc

Định hướng. Đồ thị $a (t) = - 9, 8$ là đường nằm ngang dưới trục; "diện tích có dấu" của hình chữ nhật đó là độ thay đổi vận tốc.

Hình chữ nhật rộng

2

, cao

9, 8

, nằm dưới trục:

Δ v = - 2 \cdot 9, 8 = - 19, 6

v (2) = 30 + (- 19, 6) = 10, 4

Vậy $v (2) = 10, 4$ m/s.

Nhận xét. Cả ba cách đều cho công thức $v = v_{0} + a t$ quen thuộc của Vật lí; tích phân là cách tổng quát, dùng được cả khi gia tốc thay đổi theo thời gian.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1: ra luôn hàm

v (t) = 30 - 9, 8 t

, dùng được cho câu hỏi khác (ví dụ lúc nào đạt độ cao lớn nhất).

Đáp số.

v (2) = 10, 4

m/s

Sai lầm thường gặp. Lấy gia tốc dương

a = 9, 8

nên được

v (2) = 49, 6

m/s — vận tốc tăng khi bay lên là vô lí; hoặc quên vận tốc ban đầu, ra

- 19, 6

🚀 Mở rộng. Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi

v (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{30}{9 , 8} \approx 3, 06

s; độ cao đó là

\int_{0}^{30/9, 8} (30 - 9, 8 t) d t = \frac{3 0 ^{2}}{2 \cdot 9 , 8} \approx 45, 92

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 4.31★★★Trang 28— Bài toán thực tiễn — quãng đường là tích phân của vận tốc

Bài 4.31 (trang 28). Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là

v (t) = - \frac{2 t}{5} + 4

(km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu

t = 0

là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường đi được trên $[a; b]$ khi $v (t) \geq 0$ : $s = \int_{a}^{b} v (t) d t$ .
Toạ độ $s (t)$ là nguyên hàm của $v (t)$ ; $s (t)$ lớn nhất khi $v$ đổi dấu từ dương sang âm.

🧠 Phân tích tư duy

Cá chỉ tiến ngược dòng khi

v (t) > 0

; vận tốc giảm dần và bằng

0

tại

t = 10

, sau đó cá không tiến thêm được nữa. Vậy khoảng cách xa nhất là quãng đường đi được từ

t = 0

đến

t = 10

, tức

\int_{0}^{10} v (t) d t

. Bẫy: không tìm thời điểm dừng mà lấy cận tuỳ ý.

1Cách 1. Tìm thời điểm dừng rồi tích phân vận tốc

Định hướng. Giải $v (t) = 0$ để biết cá bơi được bao lâu, rồi tính quãng đường.

v (t) = 0 \Leftrightarrow - \frac{2 t}{5} + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 10

;

v (t) > 0

với

0 \leq t < 10

s = \int_{0}^{10} (- \frac{2 t}{5} + 4) d t = (- \frac{t ^{2}}{5} + 4 t)_{0}^{10}

= - 20 + 40 = 20

Vậy khoảng cách xa nhất con cá có thể bơi được là 20 km.

2Cách 2. Diện tích tam giác dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Đồ thị $v (t)$ là đoạn thẳng đi từ $(0; 4)$ xuống $(10; 0)$ ; quãng đường bằng diện tích tam giác vuông tạo với hai trục.

Hai cạnh góc vuông:

10

(giờ) và

4

(km/h)

s = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20

Vậy khoảng cách xa nhất là 20 km.

3Cách 3. Hàm vị trí và giá trị lớn nhất

Định hướng. Gọi $s (t)$ là khoảng cách tới cửa sông, $s (0) = 0$ ; tìm giá trị lớn nhất của $s (t)$ .

s (t) = \int v (t) d t = - \frac{t ^{2}}{5} + 4 t + C

s (0) = 0 \Rightarrow C = 0

s (t) = - \frac{1}{5} (t^{2} - 20 t) = 20 - \frac{1}{5} (t - 10)^{2} \leq 20

Dấu bằng khi

t = 10

Vậy khoảng cách xa nhất là 20 km, đạt sau 10 giờ.

Nhận xét. Cách 3 giải thích rõ chữ "xa nhất": sau $t = 10$ vận tốc âm, cá bị dòng nước đẩy lùi nên $s (t)$ giảm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: vận tốc tuyến tính nên chỉ là diện tích tam giác, không cần nguyên hàm; Cách 1 là trình bày tự luận chuẩn.

Đáp số. 20 km

Sai lầm thường gặp. Lấy tích phân trên một khoảng thời gian tuỳ ý lớn hơn

10

(chẳng hạn

\int_{0}^{20} v d t = 0

) — sau

t = 10

vận tốc âm nên phần đó làm quãng đường "co lại".

🚀 Mở rộng. Nếu vận tốc là

v (t) = - \frac{t}{5} + 4

thì cá dừng lúc

t = 20

và bơi xa nhất

\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 4 = 40

km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 4.32★★Trang 28— Tính tích phân bằng công thức Newton – Leibniz

Bài 4.32 (trang 28). Tính các tích phân sau:
a)

\int_{1}^{4} (x^{3} - 2 x) d x

; b)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (cos x - sin x) d x

;
c)

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{sin ^{2} x}

; d)

\int_{1}^{16} \frac{x - 1}{x} d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ với $F$ là một nguyên hàm của $f$ .
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ( $α \neq = - 1$ ); $\int \frac{d x}{sin ^{2} x} = - cot x + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tích phân đều có nguyên hàm trong bảng sau khi đổi căn thành lũy thừa (

x = x^{\frac{1}{2}}

\frac{x - 1}{x} = x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}}

). Hướng đi: tìm một nguyên hàm rồi thay cận. Bẫy ở câu d): phải chia từng số hạng của tử cho

x

trước, không được "rút gọn"

x - 1

với

x

1Cách 1. Newton – Leibniz trực tiếp

Định hướng. Đổi căn về lũy thừa, tìm nguyên hàm rồi thay cận trên trừ cận dưới.

\int_{1}^{4} x^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}} d x = (\frac{x ^{4}}{4} - \frac{4}{3} x x)_{1}^{4} = (64 - \frac{32}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{4}{3}) = \frac{653}{12}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (cos x - sin x) d x = (sin x + cos x) ∣_{0}^{\frac{π}{2}} = (1 + 0) - (0 + 1) = 0

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{sin ^{2} x} = (- cot x) ∣_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = - 1 + 3 = 3 - 1

\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} d x = (\frac{2}{3} x x - 2 x)_{1}^{16} = (\frac{128}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 2) = 36

Vậy a) $\frac{653}{12}$ ; b) $0$ ; c) $3 - 1$ ; d) $36$ .

2Cách 2. Tách thành các tích phân cơ bản quen thuộc

Định hướng. Dùng tính chất tuyến tính và công thức $\int_{a}^{b} x^{α} d x = \frac{b ^{α + 1} - a ^{α + 1}}{α + 1}$ ; câu b) dùng tính đối xứng của $sin$ và $cos$ trên $[0; \frac{π}{2}]$ .

\int_{1}^{4} x^{3} d x = \frac{4 ^{4} - 1}{4} = \frac{255}{4}

\int_{1}^{4} 2 x^{\frac{1}{2}} d x = 2 \cdot \frac{4 ^{\frac{3}{2}} - 1}{\frac{3}{2}} = \frac{28}{3}

, hiệu

\frac{255}{4} - \frac{28}{3} = \frac{765 - 112}{12} = \frac{653}{12}

b) Đồ thị

y = sin x

và

y = cos x

đối xứng nhau qua đường thẳng

x = \frac{π}{4}

nên

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = 1

, hiệu bằng

0

cot \frac{π}{6} - cot \frac{π}{4} = 3 - 1

\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{64 - 1}{\frac{3}{2}} = 42

\int_{1}^{16} x^{- \frac{1}{2}} d x = \frac{4 - 1}{\frac{1}{2}} = 6

, hiệu

42 - 6 = 36

Vậy a) $\frac{653}{12}$ ; b) $0$ ; c) $3 - 1$ ; d) $36$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Nhập trực tiếp từng tích phân (chế độ Radian cho b, c) rồi so với giá trị thập phân của đáp số.

a) máy cho

54, 41666 \dots

và

\frac{653}{12} = 54, 41666 \dots

b) máy cho

0

c) máy cho

0, 73205 \dots

và

3 - 1 \approx 0, 73205

d) máy cho

36

Vậy các kết quả trùng khớp.

Nhận xét. Máy tính chỉ để kiểm tra; bài tự luận vẫn phải trình bày Newton – Leibniz như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1; với câu b) có thể nói ngay kết quả

0

nhờ đối xứng ở Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{653}{12}

; b)

0

; c)

3 - 1

; d)

36

Sai lầm thường gặp. Câu c) viết nguyên hàm là

cot x

nên ra

1 - 3

(âm) — vô lí vì hàm dưới dấu tích phân dương; câu d) "rút gọn"

\frac{x - 1}{x} = x - 1

là sai.

🚀 Mở rộng. Thử tính

\int_{1}^{9} \frac{x + 1}{x} d x = (\frac{2}{3} x x + 2 x)_{1}^{9} = \frac{64}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 4.33★★Trang 28— Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

Bài 4.33 (trang 28). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = e^{x}

y = x

x = 0

và

x = 1

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
Bất đẳng thức $e^{x} \geq x + 1$ với mọi $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đồ thị

y = e^{x}

và

y = x

không cắt nhau (vì

e^{x} \geq x + 1 > x

), nên hiệu

e^{x} - x

luôn dương trên

[0; 1]

và bỏ được trị tuyệt đối. Hướng đi:

S = \int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x

. Bẫy: đi tìm giao điểm của

e^{x}

và

x

(không có) mất thời gian.

1Cách 1. Công thức diện tích giữa hai đồ thị

Định hướng. Xét dấu $e^{x} - x$ trên $[0; 1]$ rồi tính tích phân.

e^{x} \geq 1 > x

với

x \in [0; 1)

và

e^{1} > 1

nên

e^{x} - x > 0

trên

[0; 1]

S = \int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x = (e^{x} - \frac{x ^{2}}{2})_{0}^{1} = (e - \frac{1}{2}) - 1 = e - \frac{3}{2}

Vậy $S = e - \frac{3}{2} \approx 1, 218$ .

2Cách 2. Hiệu hai diện tích dưới đồ thị

Định hướng. Miền cần tính = miền dưới $y = e^{x}$ bỏ đi tam giác dưới $y = x$ (cả hai trên $[0; 1]$ ).

Diện tích dưới

y = e^{x}

\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1

Tam giác vuông dưới

y = x

\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}

S = (e - 1) - \frac{1}{2} = e - \frac{3}{2}

Vậy $S = e - \frac{3}{2}$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng máy tính và ước lượng

Định hướng. So giá trị máy tính với một khoảng ước lượng thô để chắc chắn không sai lớn.

Máy tính:

\int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x \approx 1, 2183

và

e - \frac{3}{2} \approx 1, 2183

Ước lượng:

1 \leq e^{x} - x \leq e - 1

trên

[0; 1]

(hàm

e^{x} - x

đồng biến vì đạo hàm

e^{x} - 1 \geq 0

), nên

1 \leq S \leq e - 1 \approx 1, 718

Vậy $S = e - \frac{3}{2}$ nằm đúng trong khoảng ước lượng.

Nhận xét. Chặn trên, chặn dưới bằng giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm là cách phát hiện nhanh các lỗi sai dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 2 khi vẽ hình ra (rất trực quan), trình bày chuẩn thì dùng Cách 1.

Đáp số.

S = e - \frac{3}{2}

Sai lầm thường gặp. Tính

\int_{0}^{1} (x - e^{x}) d x = \frac{3}{2} - e

rồi ghi diện tích âm; hoặc quên số hạng

- 1

khi thay cận dưới

e^{0} = 1

, ra

e - \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Thử tính diện tích giới hạn bởi

y = e^{x}

y = x + 1

x = 0

x = 2

S = \int_{0}^{2} (e^{x} - x - 1) d x = e^{2} - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 4.34★★Trang 28— Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành

Bài 4.34 (trang 28). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục

O x

:
a)

y = 1 - x^{2}

y = 0

x = - 1

x = 1

; b)

y = 25 - x^{2}

y = 0

x = 2

x = 4

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .
Thể tích chỏm cầu bán kính $R$ , chiều cao $h$ : $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .
$f$ chẵn thì $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng đứng — áp thẳng

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

. Câu a) có hàm chẵn nên được nhân đôi nửa đoạn; câu b) là một phần của khối cầu bán kính

5

(một "đới cầu"). Bẫy: câu a) quên bình phương

(1 - x^{2})

1Cách 1. Công thức thể tích khối tròn xoay

Định hướng. Bình phương hàm số, khai triển rồi dùng Newton – Leibniz.

V = π \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2})^{2} d x = π \int_{- 1}^{1} (1 - 2 x^{2} + x^{4}) d x = π (x - \frac{2 x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5})_{- 1}^{1}

= π \cdot 2 (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) = \frac{16 π}{15}

V = π \int_{2}^{4} (25 - x^{2}) d x = π (25 x - \frac{x ^{3}}{3})_{2}^{4} = π (\frac{236}{3} - \frac{142}{3}) = \frac{94 π}{3}

Vậy a) $V = \frac{16 π}{15}$ ; b) $V = \frac{94 π}{3}$ .

2Cách 2. Tận dụng tính chẵn và tách tích phân

Định hướng. Câu a) hàm $(1 - x^{2})^{2}$ chẵn nên chỉ tính trên $[0; 1]$ ; câu b) tách thành phần hằng và phần lũy thừa.

V = 2 π \int_{0}^{1} (1 - 2 x^{2} + x^{4}) d x = 2 π (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) = 2 π \cdot \frac{8}{15} = \frac{16 π}{15}

V = π (25 \int_{2}^{4} d x - \int_{2}^{4} x^{2} d x) = π (25 \cdot 2 - \frac{64 - 8}{3}) = π (50 - \frac{56}{3}) = \frac{94 π}{3}

Vậy a) $V = \frac{16 π}{15}$ ; b) $V = \frac{94 π}{3}$ .

3Cách 3. Hình học: hiệu hai chỏm cầu (câu b) và kiểm tra bằng máy (câu a)

Định hướng. Câu b): $y = 25 - x^{2}$ là nửa đường tròn bán kính $5$ , khối tạo thành là phần cầu từ $x = 2$ đến $x = 4$ = chỏm cao $3$ trừ chỏm cao $1$ .

b) Chỏm từ

x = 2

đến

x = 5

h = 3

V_{1} = π \cdot 9 (5 - 1) = 36 π

Chỏm từ

x = 4

đến

x = 5

h = 1

V_{2} = π \cdot 1 (5 - \frac{1}{3}) = \frac{14 π}{3}

V = V_{1} - V_{2} = 36 π - \frac{14 π}{3} = \frac{94 π}{3}

a) Máy tính:

π \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2})^{2} d x \approx 3, 3510

và

\frac{16 π}{15} \approx 3, 3510

Vậy a) $V = \frac{16 π}{15}$ ; b) $V = \frac{94 π}{3}$ .

Nhận xét. Công thức chỏm cầu cũng được chứng minh bằng chính tích phân $π \int_{R - h}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 2: tính chẵn giảm một nửa việc thay cận ở câu a), tách tích phân làm câu b) gọn và ít sai.

Đáp số. a)

V = \frac{16 π}{15}

; b)

V = \frac{94 π}{3}

Sai lầm thường gặp. Câu a) dùng

π \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{4 π}{3}

(quên bình phương); câu b) thay cận sai

\frac{x ^{3}}{3}

ở

x = 2

thành

\frac{8}{3}

nhưng quên nhân

25

với

2

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu a): quay

y = 1 - x^{2}

quanh

O x

thu được khối có thể tích

\frac{16 π}{15}

; thử quay

y = a^{2} - x^{2}

(

- a \leq x \leq a

) — đáp số

\frac{16 π a ^{5}}{15}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 4.35★★★★Trang 28— Bài toán thực tiễn — thể tích vật thể rỗng bằng hiệu hai khối tròn xoay

Bài 4.35 (trang 28). Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số

y = \frac{1}{175} x^{2} + \frac{3}{35} x + 5

(0 \leq x \leq 30)

(

x

y

tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành

O x

. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm³ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ ; thể tích vỏ giữa hai mặt tròn xoay: $V = π \int_{a}^{b} (g^{2} (x) - f^{2} (x)) d x$ với $g \geq f \geq 0$ .
Hằng đẳng thức $(f + 1)^{2} - f^{2} = 2 f + 1$ .
Thể tích khối trụ: $V = π r^{2} h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đất sét = khối "ngoài" trừ khối "trong". Mặt trong sinh bởi

y = f (x)

; thành dày 1 cm nên mặt ngoài sinh bởi

y = f (x) + 1

. Bình đặt trên bệ xoay,

x = 0

ứng với đáy (bán kính trong

f (0) = 5

) và

x = 30

là miệng bình, nên ngoài thành bình còn một đáy dày 1 cm: khối trụ bán kính

f (0) + 1 = 6

, cao

1

. Bẫy: hiệu

(f + 1)^{2} - f^{2}

rút gọn được thành

2 f + 1

— không cần khai triển bình phương đa thức bậc hai.

1Cách 1. Hiệu hai khối tròn xoay rồi cộng phần đáy

Định hướng. Tính riêng khối ngoài, khối trong trên $[0; 30]$ , lấy hiệu, cộng thêm đáy hình trụ.

f (x) = \frac{1}{175} x^{2} + \frac{3}{35} x + 5

f (0) = 5

f (30) = \frac{89}{7}

V_{n g o ai} = π \int_{0}^{30} (f (x) + 1)^{2} d x

V_{t r o n g} = π \int_{0}^{30} f^{2} (x) d x

V_{n g o ai} - V_{t r o n g} = π \int_{0}^{30} [(f + 1)^{2} - f^{2}] d x = π \int_{0}^{30} (2 f (x) + 1) d x

= π \int_{0}^{30} (\frac{2}{175} x^{2} + \frac{6}{35} x + 11) d x = π (\frac{2 x ^{3}}{525} + \frac{3 x ^{2}}{35} + 11 x)_{0}^{30}

= π (\frac{720}{7} + \frac{540}{7} + 330) = 510 π

Đáy:

V_{d a y} = π \cdot 6^{2} \cdot 1 = 36 π

V = 510 π + 36 π = 546 π \approx 1715, 31

Vậy cần khoảng $546 π \approx 1715, 31$ cm³ đất sét.

2Cách 2. Tính diện tích dưới đồ thị trước, rồi dùng

2 f + 1

Định hướng. Vì hiệu cần tính là $π \int_{0}^{30} (2 f + 1) d x = 2 π \int_{0}^{30} f d x + 30 π$ , chỉ cần một tích phân của $f$ (chính là diện tích dưới đường sinh).

\int_{0}^{30} f (x) d x = (\frac{x ^{3}}{525} + \frac{3 x ^{2}}{70} + 5 x)_{0}^{30} = \frac{27000}{525} + \frac{2700}{70} + 150 = \frac{360}{7} + \frac{270}{7} + 150 = 240

Thành bình:

2 π \cdot 240 + 30 π = 510 π

V = 510 π + 36 π = 546 π

Vậy cần $546 π \approx 1715, 31$ cm³ đất sét.

3Cách 3. Cắt lát vành khăn và kiểm tra bằng máy tính

Định hướng. Cắt bình bởi mặt phẳng vuông góc với $O x$ tại $x$ : thiết diện của thành bình là hình vành khăn bán kính trong $f (x)$ , ngoài $f (x) + 1$ .

S (x) = π [(f (x) + 1)^{2} - f^{2} (x)] = π (2 f (x) + 1)

V_{t hanh} = \int_{0}^{30} S (x) d x

Máy tính:

\int_{0}^{30} π (\frac{2}{175} x^{2} + \frac{6}{35} x + 11) d x \approx 1602, 21 = 510 π

V \approx 1602, 21 + 113, 10 = 1715, 31

Vậy cần khoảng 1715,31 cm³ đất sét.

Nhận xét. Độ dày 1 cm ở đây được hiểu là bán kính ngoài hơn bán kính trong 1 cm tại mỗi lát cắt, đó là cách mô hình hoá thông thường ở mức chương trình lớp 12.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhờ

(f + 1)^{2} - f^{2} = 2 f + 1

chỉ phải tính một tích phân đa thức bậc hai, không phải bình phương đa thức.

Đáp số.

V = 546 π \approx 1715, 31

cm³ (thành bình

510 π

cm³, đáy

36 π

cm³)

Sai lầm thường gặp. Lấy

π \int_{0}^{30} [(f + 1) - f]^{2} d x = 30 π

(bình phương hiệu thay cho hiệu bình phương); hoặc quên phần đáy dày 1 cm.

🚀 Mở rộng. Nếu bình có đáy ở phía miệng rộng

x = 30

(miệng bình ở

x = 0

) thì đáy có bán kính

\frac{89}{7} + 1 = \frac{96}{7}

và

V = 510 π + π (\frac{96}{7})^{2} \approx 2193

cm³ — cách đặt mô hình thay đổi đáng kể đáp số.

Mở bài này trong app ↗