Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài tập cuối chương V

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 23 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập2 #trang35–39 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.28★Trang 35— Trắc nghiệm — mặt phẳng qua điểm, biết vectơ pháp tuyến

Bài 5.28 (trang 35). Trong không gian

O x y z

, phương trình mặt phẳng

(P)

đi qua

A (1; 0; - 3)

và nhận vectơ

n = (2; 1; 1)

làm vectơ pháp tuyến là
A.

2 x + y + z - 1 = 0

.
B.

2 x + y + z + 1 = 0

.
C.

x - 3 z + 1 = 0

.
D.

x + 3 z + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ có vectơ pháp tuyến $(A; B; C)$ : $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có điểm và vectơ pháp tuyến: dạng cơ bản

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

. Phương án C, D dựng từ toạ độ điểm

A

— bẫy lẫn điểm với vectơ; A và B cùng hệ số, khác nhau ở hằng số, nên chỉ cần tính đúng

D

1Cách 1. Công thức mặt phẳng qua một điểm

Định hướng. Thay trực tiếp rồi khai triển.

2 (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z + 3) = 0

\Leftrightarrow 2 x + y + z + 1 = 0

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tìm hằng số tự do

Định hướng. Dạng $2 x + y + z + D = 0$ , thay $A$ để tìm $D$ .

2 \cdot 1 + 0 + (- 3) + D = 0 \Leftrightarrow D = 1

Vậy $(P) : 2 x + y + z + 1 = 0$ , chọn B.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Lọc theo vectơ pháp tuyến rồi thử điểm $A$ .

n = (1; 0; - 3)

, D:

n = (1; 0; 3)

— không cùng phương với

(2; 1; 1)

2 + 0 - 3 - 1 = - 2 \neq = 0

2 + 0 - 3 + 1 = 0

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hai phương án C, D cùng chứa bộ số $1$ , $- 3$ của điểm $A$ — đúng kiểu bẫy lấy nhầm điểm làm vectơ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phép cộng để tìm

D

Đáp số. B.

2 x + y + z + 1 = 0

Sai lầm thường gặp. Khai triển

1 \cdot (z + 3)

thành

z - 3

thì ra

2 x + y + z - 5 = 0

, không có trong phương án; còn phương án A bị loại vì

A (1; 0; - 3)

cho vế trái

2 + 0 - 3 - 1 = - 2 \neq = 0

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng qua

A

và song song với

(O x y)

có vectơ pháp tuyến

(0; 0; 1)

z + 3 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.29★Trang 35— Trắc nghiệm — vectơ chỉ phương từ phương trình tham số

Bài 5.29 (trang 35). Trong không gian

O x y z

, một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 - 2 t z = - 2 + t

là
A.

u_{1} = (1; 3; - 2)

.
B.

u_{2} = (2; - 2; 0)

.
C.

u_{3} = (2; 2; 1)

.
D.

u_{4} = (2; - 2; 1)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ , $z = z_{0} + c t$ có vectơ chỉ phương $(a; b; c)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình tham số: vectơ chỉ phương là bộ hệ số của

t

. Phương án A là điểm ứng với

t = 0

; B bỏ mất hệ số của

t

ở

z

; C mất dấu trừ.

1Cách 1. Đọc hệ số của

t

Định hướng. Lấy ba hệ số của $t$ theo thứ tự $x$ , $y$ , $z$ .

u = (2; - 2; 1)

Vậy chọn D.

2Cách 2. Hiệu hai điểm

Định hướng. Lấy hai điểm ứng với $t = 0$ và $t = 1$ .

M (1; 3; - 2)

N (3; 1; - 1)

M N = (2; - 2; 1)

Vậy chọn D.

3Cách 3. Khử tham số

Định hướng. Rút $t$ đưa về dạng chính tắc, mẫu số là vectơ chỉ phương.

t = \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}

Vậy $u = (2; - 2; 1)$ , chọn D.

Nhận xét. Điểm $M (1; 3; - 2)$ trùng phương án A — nhắc lại: toạ độ điểm không phải vectơ chỉ phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, đọc là ra.

Đáp số. D.

u_{4} = (2; - 2; 1)

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì lấy nhầm phần hằng số; chọn C vì bỏ dấu của

- 2 t

. Kiểm tra C:

M + (2; 2; 1) = (3; 5; - 1)

, nhưng điểm của đường thẳng có

x = 3

thì

y = 1 \neq = 5

🚀 Mở rộng. Đường thẳng đã cho cắt mặt phẳng

(O x y)

tại

t = 2

: điểm

(5; - 1; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.30★Trang 35— Trắc nghiệm — đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 5.30 (trang 35). Trong không gian

O x y z

, cho mặt phẳng

(P) : 2 x + 3 y - z - 1 = 0

và điểm

A (1; 2; - 1)

. Phương trình chính tắc của đường thẳng

d

đi qua

A

và vuông góc với mặt phẳng

(P)

là
A.

\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{- 1}

.
B.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

.
C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 1}

.
D.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{- 1}

Kiến thức cần nhớ

$d ⊥ (P)$ thì $u_{d} = n_{P}$ .
Đường thẳng qua $(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , chỉ phương $(a; b; c)$ : $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.31★★Trang 36— Trắc nghiệm — côsin góc giữa hai đường thẳng

Bài 5.31 (trang 36). Trong không gian

O x y z

, côsin của góc giữa hai đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 1 + t z = - 2 + t

và

Δ^{'} : \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{- 5}

bằng
A.

\frac{5}{30}

.
B.

\frac{- 5}{30}

.
C.

\frac{3 5}{10}

.
D.

\frac{- 3 5}{10}

Kiến thức cần nhớ

$cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{∣ u \cdot u ^{'} ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ u ^{'} ∣} \geq 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.32★★Trang 36— Trắc nghiệm — góc giữa đường thẳng và mặt phẳng toạ độ

Bài 5.32 (trang 36). Trong không gian

O x y z

, góc giữa đường thẳng

Δ : \frac{x + 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 2}{1}

và mặt phẳng

(O x z)

bằng
A.

4 5^{\circ}

.
B.

3 0^{\circ}

.
C.

6 0^{\circ}

.
D.

9 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$sin (Δ, (P)) = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣ ∣ n ∣}$ .
Mặt phẳng $(O x z)$ : $y = 0$ , vectơ pháp tuyến $(0; 1; 0)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.33★Trang 36— Trắc nghiệm — mặt cầu biết tâm và một điểm

Bài 5.33 (trang 36). Trong không gian

O x y z

, phương trình mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; 2; - 1)

và

(S)

đi qua

A (- 1; 1; 0)

là
A.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6

.
B.

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 6

.
C.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6

.
D.

(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 6

Kiến thức cần nhớ

Mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ đi qua $A$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = I A^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 5.34★Trang 36— Trắc nghiệm — tâm và bán kính mặt cầu dạng khai triển

Bài 5.34 (trang 36). Trong không gian

O x y z

, phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

là phương trình của mặt cầu có tâm

I

và bán kính

R

lần lượt là
A.

I (- 1; 2; 0)

;

R = 2

.
B.

I (1; - 2; 0)

;

R = 2

.
C.

I (- 1; 2; 0)

;

R = 4

.
D.

I (1; - 2; 0)

;

R = 4

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ : tâm $(a; b; c)$ , $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.35★★Trang 36— Trắc nghiệm — mặt phẳng chứa đường thẳng và một điểm

Bài 5.35 (trang 36). Trong không gian

O x y z

, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - 2 + 2 t z = 3 - t

và đi qua điểm

A (2; - 1; 1)

là
A.

n_{1} = (3; - 1; 1)

.
B.

n_{2} = (3; 1; - 1)

.
C.

n_{3} = (1; - 1; 3)

.
D.

n_{4} = (- 1; 3; 1)

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng chứa $Δ$ (qua $M$ , chỉ phương $u$ ) và $A \in / Δ$ : $n = [u, M A]$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.36★Trang 37— Trắc nghiệm — khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài 5.36 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, khoảng cách từ điểm

A (- 2; 1; 0)

đến mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 y + z - 3 = 0

bằng
A. 2.
B. 6.
C. 3.
D. 9.

Kiến thức cần nhớ

$d (M_{0}, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.37★★Trang 37— Trắc nghiệm — vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 5.37 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 2 + t z = - 1 + 2 t

và

Δ^{'} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{- 3}

.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.

Kiến thức cần nhớ

$[u, u^{'}] \neq = 0$ : $[u, u^{'}] \cdot M M^{'} = 0 \Leftrightarrow$ cắt nhau; $\neq = 0 \Leftrightarrow$ chéo nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.38★★Trang 37— Mặt phẳng qua ba điểm; phương trình đường thẳng qua hai điểm

Bài 5.38 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, cho ba điểm

A (2; 3; - 1)

B (- 1; 2; 0)

và

C (3; 1; 2)

.
a) Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

$n_{(A B C)} = [A B, A C]$ .
Đường thẳng qua $M_{0}$ , chỉ phương $(a; b; c)$ : tham số $x = x_{0} + a t$ , …; chính tắc $\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ ( $ab c \neq = 0$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.39★★Trang 37— Vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng; đường thẳng song song

Bài 5.39 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 3 t y = 1 + 2 t z = - 1 + t

và

Δ^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + s y = 2 - s z = 3 + 2 s .

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

.
b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

.
c) Viết phương trình đường thẳng

d

đi qua

A (- 3; 2; 2)

và song song với đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

$[u, u^{'}] \cdot M M^{'} \neq = 0 \Leftrightarrow$ chéo nhau.
$cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{∣ u \cdot u ^{'} ∣}{∣ u ∣ ∣ u ^{'} ∣}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.40★★Trang 37— Khoảng cách; mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng; đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Bài 5.40 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

I (3; - 2; - 1)

và mặt phẳng

(P) : x - 2 y - 2 z + 3 = 0

.
a) Tính khoảng cách từ điểm

I

đến mặt phẳng

(P)

.
b) Viết phương trình mặt cầu

(S)

có tâm

I

và

(S)

tiếp xúc với

(P)

.
c) Viết phương trình đường thẳng

d

đi qua

I

và

d

vuông góc với

(P)

Kiến thức cần nhớ

$d (I, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
$(S)$ tâm $I$ tiếp xúc $(P) \Leftrightarrow R = d (I, (P))$ .
$d ⊥ (P) \Rightarrow u_{d} = n_{P}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.41★★★Trang 37— Giao điểm đường thẳng – mặt phẳng; đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường cho trước; góc

Bài 5.41 (trang 37). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 t z = - 1 - 2 t

và mặt phẳng

(P) : 2 x + y + z + 5 = 0

.
a) Tìm toạ độ giao điểm

I

của đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(P)

.
b) Viết phương trình đường thẳng

Δ^{'}

nằm trên mặt phẳng

(P)

đồng thời cắt

Δ

và vuông góc với

Δ

.
c) Tính góc giữa đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

$Δ^{'} \subset (P)$ , $Δ^{'} ⊥ Δ$ , $Δ^{'}$ cắt $Δ$ $\Rightarrow$ $Δ^{'}$ qua $I = Δ \cap (P)$ , $u^{'} = [n_{P}, u]$ .
$sin (Δ, (P)) = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣ ∣ n ∣}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 5.42★★★Trang 38— Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau; mặt phẳng chứa đường này song song đường kia

Bài 5.42 (trang 38). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 t y = - 2 + t z = 1 + 3 t

và

Δ^{'} : \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 1}{- 2}

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa

Δ

và song song với đường thẳng

Δ^{'}

Kiến thức cần nhớ

$Δ$ , $Δ^{'}$ chéo nhau $\Leftrightarrow [u, u^{'}] \cdot M M^{'} \neq = 0$ .
$(P) \supset Δ$ , $(P) ∥ Δ^{'}$ $\Rightarrow n_{P} = [u, u^{'}]$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 5.43★★★Trang 38— Mặt cầu — vị trí điểm; cực trị khoảng cách

Bài 5.43 (trang 38). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

và điểm

A (2; - 1; 1)

.
a) Tìm tâm

I

và bán kính

R

của mặt cầu

(S)

.
b) Chứng minh rằng điểm

A

nằm trong mặt cầu

(S)

.
c) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

đi qua điểm

A

sao cho khoảng cách từ tâm

I

của mặt cầu

(S)

đến mặt phẳng

(P)

là lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

$M$ nằm trong mặt cầu $\Leftrightarrow I M < R$ .
Với $(P)$ qua $A$ : $d (I, (P)) \leq I A$ ; dấu bằng khi $(P) ⊥ I A$ tại $A$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 5.44★★Trang 38— Nhận dạng phương trình mặt cầu

Bài 5.44 (trang 38). Trong không gian

O x y z

, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a)

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x - 8 z + 5 = 0

.
b)

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 z + 17 = 0

.
c)

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 5 = 0

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0$ là mặt cầu $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ; tâm $(a; b; c)$ , $R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 5.45★Trang 38— Hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Bài 5.45 (trang 38). Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(P) : 2 x + 2 y - z + 8 = 0

và

(Q) : 2 x + 2 y - z + 2 = 0

.
a) Chứng minh rằng

(P) ∥ (Q)

.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

Kiến thức cần nhớ

$(P) : A x + B y + C z + D = 0$ , $(Q) : A x + B y + C z + D^{'} = 0$ , $D \neq = D^{'}$ $\Rightarrow (P) ∥ (Q)$ .
$d ((P), (Q)) = \frac{∣ D - D ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 5.46★Trang 38— Mặt phẳng theo đoạn chắn

Bài 5.46 (trang 38). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

P (2; 3; 5)

. Gọi

A

B

C

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

P

trên các trục

O x

O y

O z

. Viết phương trình mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

Hình chiếu của $M (a; b; c)$ lên $O x$ , $O y$ , $O z$ lần lượt là $(a; 0; 0)$ , $(0; b; 0)$ , $(0; 0; c)$ .
Mặt phẳng qua $(a; 0; 0)$ , $(0; b; 0)$ , $(0; 0; c)$ ( $ab c \neq = 0$ ): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 5.47★★Trang 39— Mặt phẳng chứa hai điểm và vuông góc với mặt phẳng

Bài 5.47 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (2; - 1; - 3)

;

B (3; 0; - 1)

và mặt phẳng

(P) : x - 3 y - z - 5 = 0

. Viết phương trình mặt phẳng

(Q)

chứa hai điểm

A

B

đồng thời vuông góc với mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

$(Q) ∋ A, B$ , $(Q) ⊥ (P)$ $\Rightarrow n_{Q} = [A B, n_{P}]$ (khi $A B$ không vuông góc với $(P)$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 5.48★★Trang 39— Ứng dụng thực tế — góc giữa hai mặt phẳng

Bài 5.48 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, mặt sàn nằm ngang của một ngôi nhà thuộc mặt phẳng

(O x y)

, một mái của ngôi nhà thuộc mặt phẳng

(α) : x + y + z - 1 = 0

. Hỏi mái nhà có độ dốc bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

$cos ((α), (β)) = \frac{∣ n _{α} \cdot n _{β} ∣}{∣ n _{α} ∣ ∣ n _{β} ∣}$ .
Đường dốc nhất của mặt phẳng nghiêng vuông góc với giao tuyến của nó với mặt ngang.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 5.49★★★Trang 39— Điểm thuộc mặt cầu — biểu thức lượng giác

Bài 5.49 (trang 39). Trong không gian

O x y z

, trong khoảng thời gian từ 0 đến 1, một vật thể chuyển động sao cho tại mỗi thời điểm

t \in [0; 1]

, vật thể đó ở vị trí

M (\frac{1}{2} sin t; 2 sin t cos t; \frac{1}{2} sin t - cos t)

. Hỏi trong quá trình chuyển động nói trên, vật thể có luôn thuộc mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0

hay không?

Kiến thức cần nhớ

$M \in (S) \Leftrightarrow x_{M}^{2} + y_{M}^{2} + z_{M}^{2} = 1$ .
$sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ ; với $t \in [0; \frac{π}{2}]$ thì $sin t \geq 0$ , $cos t \geq 0$ .