Bài tập cuối chương V

Định hướng. Thay trực tiếp rồi khai triển.

Vậy chọn B.

Định hướng. Dạng $2x+y+z+D=0$, thay $A$ để tìm $D$.

Vậy $(P):2x+y+z+1=0$, chọn B.

Định hướng. Lọc theo vectơ pháp tuyến rồi thử điểm $A$.

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hai phương án C, D cùng chứa bộ số $1$, $-3$ của điểm $A$ — đúng kiểu bẫy lấy nhầm điểm làm vectơ.

Định hướng. Lấy ba hệ số của $t$ theo thứ tự $x$, $y$, $z$.

Vậy chọn D.

Định hướng. Lấy hai điểm ứng với $t=0$ và $t=1$.

Vậy chọn D.

Định hướng. Rút $t$ đưa về dạng chính tắc, mẫu số là vectơ chỉ phương.

Vậy $\overrightarrow{u}=(2;-2;1)$, chọn D.

Nhận xét. Điểm $M(1;3;-2)$ trùng phương án A — nhắc lại: toạ độ điểm không phải vectơ chỉ phương.

Định hướng. $\overrightarrow{u}=(2;3;-1)$, viết phương trình chính tắc qua $A$.

Vậy chọn B.

Định hướng. Mẫu phải là $(2;3;-1)$ và $A$ phải làm các tử bằng $0$.

Vậy chọn B.

Định hướng. Viết $d$ dạng tham số trước.

Vậy chọn B.

Nhận xét. Thay $t$ vào $(P)$: $2(1+2t)+3(2+3t)-(-1-t)-1=14t+8=0$, được hình chiếu của $A$ tại $t=-\frac{4}{7}$.

Định hướng. Tính tích vô hướng và hai độ dài.

Vậy chọn A.

Định hướng. Loại hai phương án âm; tử số $|\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{u}}^{\prime }|=1$ rất nhỏ so với $|\overrightarrow{u}||{\overrightarrow{u}}^{\prime }|\approx 13,4$ nên côsin gần $0$.

Vậy chọn A.

Định hướng. Tính $\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{u}}^{\prime }$ qua $|\overrightarrow{u}-{\overrightarrow{u}}^{\prime }{|}^2$.

Vậy chọn A.

Nhận xét. Hai đường thẳng gần vuông góc: $\phi \approx 85,73^{\circ }$.

Định hướng. $\overrightarrow{u}=(1;\sqrt{2};1)$, $\overrightarrow{n}=(0;1;0)$.

Vậy chọn A.

Định hướng. $\cos \phi =\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}]|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|}$.

Vậy $\phi =45^{\circ }$, chọn A.

Định hướng. Hình chiếu của $\overrightarrow{u}$ lên $(Oxz)$ là ${\overrightarrow{u}}_1=(1;0;1)$ (bỏ thành phần $y$); góc cần tìm là góc giữa $\overrightarrow{u}$ và ${\overrightarrow{u}}_1$.

Vậy $\phi =45^{\circ }$, chọn A.

Nhận xét. Thành phần vuông góc $\sqrt{2}$ bằng đúng độ dài hình chiếu $\sqrt{2}$, nên tam giác vuông cân — góc $45^{\circ }$.

Định hướng. Bán kính bình phương là bình phương khoảng cách $IA$.

Vậy chọn C.

Định hướng. Tâm $I(1;2;-1)$ cho sẵn $a$, $b$, $c$; thay $A$ để tìm $d$.

Vậy chọn C.

Định hướng. Tâm đúng là $(1;2;-1)$ nên loại B, D; vế phải phải là $R^2$ nên loại A.

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm thông tin: $d=0$ nên mặt cầu đi qua gốc toạ độ $O$.

Định hướng. Đọc $a=1$, $b=-2$, $c=0$, $d=1$.

Vậy $I(1;-2;0)$, $R=2$, chọn B.

Định hướng. Gom bình phương đủ.

Vậy $I(1;-2;0)$, $R=2$, chọn B.

Định hướng. Hệ số $-2x$ cho $a=1>0$; $R^2=4$ cho $R=2$.

Vậy chọn B.

Nhận xét. Mặt cầu tiếp xúc với trục $Oy$? Khoảng cách từ $I$ tới $Oy$ là $\sqrt{1^2+0^2}=1\ne 2$ — không tiếp xúc, mà cắt $Oy$.

Định hướng. $M(1;-2;3)$, $\overrightarrow{u}=(1;2;-1)$, $\overrightarrow{MA}=(1;1;-2)$.

Vậy chọn A.

Định hướng. Phương án đúng vuông góc với cả $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{MA}$.

Vậy chọn A.

Định hướng. Mặt phẳng qua $A$ có vectơ pháp tuyến $(3;-1;1)$ phải chứa $M$ và một điểm khác của $\Delta$.

Vậy mặt phẳng $3x-y+z-8=0$ chứa $\Delta$ và $A$, chọn A.

Định hướng. Thay toạ độ $A$ vào vế trái rồi chia cho độ dài vectơ pháp tuyến.

Vậy chọn C.

Định hướng. Tìm chân đường vuông góc $H=A+t\overrightarrow{n}$.

Vậy chọn C.

Định hướng. Mặt phẳng qua $A$ song song với $(P)$ là $2x-2y+z+6=0$; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Vậy chọn C.

Định hướng. $M(1;2;-1)$, $\overrightarrow{u}=(-1;1;2)$; $M^{\prime }(2;1;-3)$, ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=(2;1;-3)$.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau, chọn B.

Định hướng. Tham số hoá ${\Delta }^{\prime }$: $(2+2s;1+s;-3-3s)$, giải hệ ba phương trình.

Vậy cắt nhau, chọn B.

Định hướng. Nếu $M^{\prime }\in \Delta$ và hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì hai đường cắt nhau tại $M^{\prime }$.

Vậy cắt nhau tại $(2;1;-3)$, chọn B.

Nhận xét. Đề “giấu” giao điểm chính là điểm của ${\Delta }^{\prime }$ — thử điểm trước thường tiết kiệm cả hệ phương trình.

Định hướng. Tính hai vectơ cạnh rồi tích có hướng.

Vậy a) $x-10y-7z+21=0$; b) như trên.

Định hướng. Mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ đi qua $A$, $B$, $C$; đường thẳng viết qua điểm $B$.

Vậy a) $x-10y-7z+21=0$; b) hai cách viết trên cùng một đường thẳng.

Định hướng. $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$; thử lại bằng ba điểm.

Vậy a) $x-10y-7z+21=0$; b) $x=2+3t$, $y=3+t$, $z=-1-t$.

Định hướng. $M(2;1;-1)$, $\overrightarrow{u}=(3;2;1)$; $M^{\prime }(-1;2;3)$, ${\overrightarrow{u}}^{\prime }=(1;-1;2)$.

Vậy a) chéo nhau; b) $\frac{\sqrt{21}}{14}$; c) $x=-3+3t$, $y=2+2t$, $z=2+t$.

Định hướng. a) hệ vô nghiệm và hai vectơ không cùng phương; b) $\sin \phi =\frac{|[\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime }]|}{|\overrightarrow{u}||{\overrightarrow{u}}^{\prime }|}$.

Vậy cùng kết quả như Cách 1.

Định hướng. a) $(\alpha )\supset \Delta$, $(\alpha )\parallel {\overrightarrow{u}}^{\prime }$, thử $M^{\prime }$; b) dùng $|\overrightarrow{u}-{\overrightarrow{u}}^{\prime }{|}^2$.

Vậy a) chéo nhau; b) $\frac{\sqrt{21}}{14}$; c) $d$ như trên, song song (không trùng) với $\Delta$.

Nhận xét. Khoảng cách giữa $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$ là $d(M^{\prime },(\alpha ))=\frac{8}{\sqrt{3}}$.