Bài 1 · 5.31★Trang 61— Trắc nghiệm — vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0
Bài 5.31 (trang 61). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−2y−3z+1=0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có toạ độ là A.(1;2;3). B.(1;−2;3). C.(1;2;−3). D.(1;−2;−3).
Kiến thức cần nhớ
Mặt phẳng Ax+By+Cz+D=0 (với A2+B2+C2=0) có một vectơ pháp tuyến n=(A;B;C).
Nếu a, b không cùng phương và cùng song song (hoặc nằm trên) (P) thì [a,b] là một vectơ pháp tuyến của (P).
🧠 Phân tích tư duy
Mặt phẳng cho ở dạng tổng quát Ax+By+Cz+D=0 nên vectơ pháp tuyến đọc thẳng từ ba hệ số của x, y, z. Bốn phương án chỉ khác nhau ở dấu, vì vậy chỗ phải giữ là dấu trừ của −2y và −3z. Bẫy: bỏ qua dấu, chọn A.
1Cách 1. Đọc hệ số của phương trình tổng quát
Định hướng. Ba hệ số của x, y, z chính là toạ độ một vectơ pháp tuyến.
(P):1⋅x+(−2)⋅y+(−3)⋅z+1=0 ⇒n=(1;−2;−3)
Vậy chọn D.
2Cách 2. Thử tính vuông góc với hai vectơ nằm trong (P)
Định hướng. Lấy ba điểm của (P) để có hai vectơ nằm trong (P); vectơ pháp tuyến phải vuông góc với cả hai.
3Cách 3. Tích có hướng của hai vectơ trong mặt phẳng
Định hướng. Hai vectơ không cùng phương nằm trong (P) cho ngay vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng.
[MN,MK]=(1⋅1−0⋅0;0⋅3−2⋅1;2⋅0−1⋅3)=(1;−2;−3)
Vậy chọn D.
Nhận xét. Cách 3 cũng chính là cách viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm; ở đây nó kiểm tra lại đúng hệ số của đề.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhìn hệ số là xong trong một giây; Cách 2 chỉ dùng khi đề cho mặt phẳng dưới dạng khác (qua ba điểm, chứa hai đường thẳng).
Đáp số.D. (1;−2;−3)
Sai lầm thường gặp.Chọn A (1;2;3) vì bỏ dấu các hệ số: thử lại (1;2;3)⋅(2;1;0)=4=0 nên (1;2;3) không vuông góc với (P). Cũng hay nhầm lấy cả hằng số D=1 làm toạ độ.
🚀 Mở rộng.Mọi vectơ k(1;−2;−3) với k=0 đều là vectơ pháp tuyến của (P); thử hỏi ngược: trong các vectơ (−2;4;6), (2;4;−6) vectơ nào là vectơ pháp tuyến của (P)?
Bài 2 · 5.32★Trang 61— Trắc nghiệm — mặt phẳng qua một điểm, biết vectơ pháp tuyến
Bài 5.32 (trang 61). Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1;−1;2) và nhận vectơ n=(2;1;−1) làm một vectơ pháp tuyến là A.x−y+2z+1=0. B.x−y+2z−6=0. C.2x+y−z−1=0. D.2x+y−z+1=0.
Kiến thức cần nhớ
Mặt phẳng qua M0(x0;y0;z0), vectơ pháp tuyến n=(A;B;C): A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0.
M∈(P)⇔M0M⋅n=0.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho đủ một điểm và một vectơ pháp tuyến — dạng cơ bản nhất của phương trình mặt phẳng. Hai phương án A, B có hệ số (1;−1;2) là toạ độ của điểm I chứ không phải của n, nên loại ngay. Còn lại chỉ cần tính đúng hằng số tự do.
1Cách 1. Công thức mặt phẳng qua một điểm
Định hướng. Thay thẳng toạ độ I và n vào công thức rồi khai triển.
Định hướng. Hệ số đã biết là (2;1;−1), chỉ còn tìm D nhờ điểm I thuộc mặt phẳng.
(P):2x+y−z+D=0 I∈(P)⇔2⋅1+(−1)−2+D=0 ⇔D=1
Vậy(P):2x+y−z+1=0, chọn D.
3Cách 3. Loại trừ bằng vectơ pháp tuyến rồi thay điểm
Định hướng. Lọc theo hệ số trước, sau đó thử điểm I vào hai phương án còn lại.
A, B: n=(1;−1;2) không cùng phương với (2;1;−1) C: 2⋅1+(−1)−2−1=−2=0 D: 2⋅1+(−1)−2+1=0
Vậy chọn D.
Nhận xét. Phương án A, B được dựng từ việc lấy nhầm toạ độ điểm làm vectơ pháp tuyến — một bẫy rất hay gặp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: một dòng tìm D là xong, ít khai triển nên khó sai dấu; Cách 3 cũng rất nhanh khi các phương án chênh nhau rõ.
Đáp số.D. 2x+y−z+1=0
Sai lầm thường gặp.Khai triển sai dấu −1⋅(z−2)=−z−2 sẽ ra 2x+y−z−3=0; hoặc nhầm vai trò điểm và vectơ, chọn A hay B. Thử lại: với phương án C, điểm I cho vế trái −2=0 nên C sai.
🚀 Mở rộng.Viết phương trình mặt phẳng qua I(1;−1;2) và song song với (Q):2x+y−z+7=0 — cùng vectơ pháp tuyến nên đáp số vẫn là 2x+y−z+1=0.
Bài 3 · 5.33★Trang 61— Trắc nghiệm — vectơ chỉ phương từ phương trình chính tắc
Bài 5.33 (trang 61). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:2x−1=1y+2=−2z−3. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có toạ độ là A.(1;−2;3). B.(2;1;−2). C.(2;1;2). D.(1;2;3).
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng ax−x0=by−y0=cz−z0 (abc=0) đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u=(a;b;c).
Nếu M, N là hai điểm phân biệt thuộc d thì MN là một vectơ chỉ phương của d.
🧠 Phân tích tư duy
Phương trình chính tắc ax−x0=by−y0=cz−z0 cho vectơ chỉ phương ngay ở ba mẫu số. Phương án A là toạ độ một điểm thuộc d — cái bẫy quen thuộc; phương án C làm mất dấu trừ của mẫu −2.
1Cách 1. Đọc mẫu số của phương trình chính tắc
Định hướng. Ba mẫu số theo thứ tự x, y, z là toạ độ vectơ chỉ phương.
2x−1=1y+2=−2z−3⇒u=(2;1;−2)
Vậy chọn B.
2Cách 2. Chuyển sang phương trình tham số
Định hướng. Đặt tỉ số chung bằng t, hệ số của t là vectơ chỉ phương.
Nhận xét. Điểm M(1;−2;3) chính là phương án A — đó là toạ độ điểm, không phải vectơ chỉ phương.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đọc ba mẫu số là xong; Cách 3 hữu ích khi đường thẳng được cho qua hai điểm.
Đáp số.B. (2;1;−2)
Sai lầm thường gặp.Chọn A vì lấy nhầm (x0;y0;z0)=(1;−2;3); hoặc chọn C vì quên dấu mẫu −2. Kiểm tra: điểm (1;−2;3)+(2;1;2)=(3;−1;5) cho −25−3=−1=1, không thuộc d, nên (2;1;2) không phải vectơ chỉ phương.
🚀 Mở rộng.Mọi vectơ k(2;1;−2), k=0, đều là vectơ chỉ phương; thử kiểm tra (−4;−2;4) có phải vectơ chỉ phương của d không.
Bài 4 · 5.34★Trang 61— Trắc nghiệm — vectơ chỉ phương từ phương trình tham số
Bài 5.34 (trang 61). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:⎩⎨⎧x=1+2ty=−2+tz=3−t. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có toạ độ là A.(1;−2;3). B.(2;0;0). C.(2;1;−1). D.(2;1;1).
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct có vectơ chỉ phương u=(a;b;c) và đi qua M0(x0;y0;z0).
🧠 Phân tích tư duy
Phương trình tham số có dạng x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct: vectơ chỉ phương là bộ hệ số của t. Phương án A là điểm ứng với t=0, phương án D quên dấu trừ của −t.
1Cách 1. Đọc hệ số của tham số t
Định hướng. Hệ số của t trong ba phương trình là toạ độ vectơ chỉ phương.
x=1+2t, y=−2+1⋅t, z=3+(−1)⋅t ⇒u=(2;1;−1)
Vậy chọn C.
2Cách 2. Hiệu hai điểm của đường thẳng
Định hướng. Hai giá trị tham số khác nhau cho hai điểm, hiệu của chúng là vectơ chỉ phương.
t=0:M(1;−2;3); t=1:N(3;−1;2) MN=(2;1;−1)
Vậy chọn C.
3Cách 3. Khử tham số về phương trình chính tắc
Định hướng. Rút t từ ba phương trình, mẫu số của dạng chính tắc là vectơ chỉ phương.
t=2x−1=1y+2=−1z−3 ⇒u=(2;1;−1)
Vậy chọn C.
Nhận xét. Phương án B, (2;0;0), chỉ lấy hệ số của t trong phương trình đầu — thiếu hai toạ độ còn lại.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đọc hệ số của t, không cần tính gì thêm.
Đáp số.C. (2;1;−1)
Sai lầm thường gặp.Chọn D (2;1;1) vì bỏ sót dấu của −t; kiểm tra: M+(2;1;1)=(3;−1;4), nhưng điểm của d có x=3 thì t=1, z=2=4, nên (2;1;1) sai.
🚀 Mở rộng.Đường thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ là x=2t, y=t, z=−t — cùng vectơ chỉ phương, chỉ đổi điểm đi qua.
Bài 5 · 5.35★Trang 61— Trắc nghiệm — phương trình chính tắc của đường thẳng
Bài 5.35 (trang 61). Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2;−1;1) và nhận vectơ u=(1;2;−3) làm một vectơ chỉ phương là A.2x−1=−1y−2=1z+3. B.1x−2=2y−1=−3z−1. C.1x−2=2y+1=−3z−1. D.2x−1=1y−2=1z+3.
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng qua M0(x0;y0;z0), vectơ chỉ phương u=(a;b;c), abc=0: ax−x0=by−y0=cz−z0.
🧠 Phân tích tư duy
Có điểm và vectơ chỉ phương khác 0 với cả ba toạ độ khác 0 — viết thẳng phương trình chính tắc. Phương án A, D đảo vai trò điểm và vectơ; phương án B viết sai dấu tử y−1 thay vì y+1.
1Cách 1. Thay vào công thức chính tắc
Định hướng. Tử số lấy x−x0, mẫu số lấy toạ độ u.
1x−2=2y−(−1)=−3z−1 ⇔1x−2=2y+1=−3z−1
Vậy chọn C.
2Cách 2. Lọc theo mẫu số rồi thử điểm
Định hướng. Mẫu số phải tỉ lệ với (1;2;−3); sau đó thử điểm I làm cả ba tử bằng 0.
A: mẫu (2;−1;1), D: mẫu (2;1;1) — không tỉ lệ với (1;2;−3) B: I(2;−1;1) cho y−1=−2=0 C: x−2=0, y+1=0, z−1=0
Vậy chọn C.
3Cách 3. Đi qua phương trình tham số
Định hướng. Viết dạng tham số trước rồi rút t — cách này dùng được cả khi có toạ độ vectơ bằng 0.
⎩⎨⎧x=2+ty=−1+2tz=1−3t ⇒t=1x−2=2y+1=−3z−1
Vậy chọn C.
Nhận xét. Phương án B là đường thẳng song song với d nhưng đi qua (2;1;1) — sai một dấu là sai cả đường thẳng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: loại hai phương án bằng mẫu số chỉ mất vài giây, rồi thử một điểm là xong.
Đáp số.C. 1x−2=2y+1=−3z−1
Sai lầm thường gặp.Viết tử y−1 vì chép thẳng số −1 mà không đổi dấu, ra phương án B: đường thẳng B đi qua (2;1;1), khác điểm I(2;−1;1) của đề.
🚀 Mở rộng.Viết phương trình đường thẳng qua I và song song với trục Oz: vectơ chỉ phương (0;0;1) có toạ độ bằng 0 nên chỉ viết được dạng tham số x=2, y=−1, z=1+t.
Bài 6 · 5.36★★Trang 61— Trắc nghiệm — phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm
Bài 5.36 (trang 61). Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1;0;−1), B(2;1;1). Phương trình đường thẳng AB là A.⎩⎨⎧x=1+3ty=tz=1+2t. B.⎩⎨⎧x=−1+ty=tz=−1+2t. C.⎩⎨⎧x=2+ty=1+tz=1+2t. D.⎩⎨⎧x=−1+3ty=tz=−1+2t.
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương AB=(xB−xA;yB−yA;zB−zA).
Một phương trình tham số viết đúng khi vectơ chỉ phương cùng phương với AB và có một điểm thuộc đường thẳng.
🧠 Phân tích tư duy
Đường thẳng qua hai điểm: vectơ chỉ phương là AB, điểm đi qua lấy A hoặc B. Phương án A có vectơ chỉ phương đúng nhưng điểm (1;0;1) không thuộc AB — bẫy dành cho người chỉ nhìn hệ số của t.
1Cách 1. Viết từ điểm A và vectơ AB
Định hướng. Tính AB rồi viết phương trình tham số qua A.
A: x=−1⇒t=−32, khi đó y=−32=0 — không qua A B: x=2⇒t=3, khi đó z=5=1 — không qua B C: x=−1⇒t=−3, khi đó y=−2=0 — không qua A D: t=0→(−1;0;−1)=A, t=1→(2;1;1)=B
Vậy chọn D.
3Cách 3. Lọc vectơ chỉ phương rồi kiểm tra điểm đi qua
Định hướng. Chỉ A và D có vectơ chỉ phương (3;1;2); phân biệt hai phương án bằng điểm ứng với t=0.
B, C: u=(1;1;2) không cùng phương với (3;1;2) A: t=0→K(1;0;1), AK=(2;0;2) không cùng phương với (3;1;2) D: t=0→(−1;0;−1)=A
Vậy chọn D.
Nhận xét. Phương án A là đường thẳng song song với AB chứ không trùng AB.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tính AB một dòng rồi đối chiếu; phương án D còn được xác nhận ngay vì t=1 cho đúng điểm B.
Đáp số.D. x=−1+3t, y=t, z=−1+2t
Sai lầm thường gặp.Chỉ nhìn hệ số của t mà chọn A: điểm K(1;0;1) của A không thuộc AB, vì AK=(2;0;2) không cùng phương với (3;1;2). Một số em tính nhầm AB=(1;1;2) nên chọn B hoặc C.
🚀 Mở rộng.Viết phương trình chính tắc của AB: 3x+1=1y=2z+1; thử tìm giao điểm của AB với mặt phẳng (Oxy): z=0⇒t=21, được (21;21;0).
Bài 7 · 5.37★★Trang 61— Trắc nghiệm — đường thẳng qua một điểm, vuông góc với mặt phẳng
Bài 5.37 (trang 61). Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2;1;−3) và vuông góc với mặt phẳng (P):x−2y+z−3=0 là A.1x−2=−2y−1=1z+3. B.1x−2=2y−1=1z−3. C.1x−2=−2y−1=1z−3. D.1x−2=2y−1=1z+3.
Kiến thức cần nhớ
d⊥(P) thì vectơ pháp tuyến nP là một vectơ chỉ phương của d.
Đường thẳng qua (x0;y0;z0), vectơ chỉ phương (a;b;c): ax−x0=by−y0=cz−z0.
🧠 Phân tích tư duy
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương — đây là chìa khoá. Bốn phương án chỉ khác nhau ở dấu của mẫu y và tử z, nên phải giữ đúng hai dấu: −2 và z+3.
1Cách 1. Vectơ pháp tuyến thành vectơ chỉ phương
Định hướng. Lấy u=nP rồi viết phương trình chính tắc qua I.
u=nP=(1;−2;1) d:1x−2=−2y−1=1z+3
Vậy chọn A.
2Cách 2. Loại trừ theo mẫu số và điểm đi qua
Định hướng. Mẫu số phải là (1;−2;1), tử số phải triệt tiêu tại I.
B, D: mẫu (1;2;1) không cùng phương với (1;−2;1) C: tại I, z−3=−6=0 A: tại I, x−2=y−1=z+3=0
Vậy chọn A.
3Cách 3. Viết phương trình tham số rồi kiểm tra tính vuông góc
Định hướng. Từ tham số hoá, kiểm tra vectơ chỉ phương vuông góc với hai vectơ nằm trong (P).
d:x=2+t, y=1−2t, z=−3+t (2;1;0) và (1;0;−1) nằm trong (P) vì 2−2=0, 1−1=0 (1;−2;1)⋅(2;1;0)=0, (1;−2;1)⋅(1;0;−1)=0 ⇒t=1x−2=−2y−1=1z+3
Vậy chọn A.
Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao vectơ pháp tuyến dùng được làm vectơ chỉ phương: nó vuông góc với mọi vectơ nằm trong (P).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhớ “vuông góc với mặt phẳng thì u=n” là viết được ngay.
Đáp số.A. 1x−2=−2y−1=1z+3
Sai lầm thường gặp.Viết tử z−3 vì quên đổi dấu toạ độ −3 của I (ra C), hoặc làm mất dấu −2 (ra B, D). Thử lại C: điểm I(2;1;−3) cho z−3=−6 trong khi x−2=0, nên I∈/ đường thẳng C.
🚀 Mở rộng.Tìm hình chiếu vuông góc H của I trên (P): thay x=2+t, y=1−2t, z=−3+t vào (P) được 6t−6=0, t=1, H(3;−1;−2).
Bài 8 · 5.38★Trang 62— Trắc nghiệm — tâm và bán kính mặt cầu dạng chính tắc
Bài 5.38 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x+1)2+y2+(z−3)2=4. Toạ độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là A.I(1;0;3), R=4. B.I(1;0;3), R=2. C.I(−1;0;3), R=2. D.I(−1;0;3), R=4.
Kiến thức cần nhớ
Mặt cầu (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 có tâm I(a;b;c), bán kính R.
Dạng khai triển x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 có R=a2+b2+c2−d.
🧠 Phân tích tư duy
Phương trình dạng (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 cho tâm và bình phương bán kính. Hai bẫy nằm sẵn trong phương án: đổi dấu sai tâm (x+1 ứng với a=−1) và quên khai căn (R2=4 chứ không phải R=4).
1Cách 1. Đối chiếu với dạng chính tắc
Định hướng. Viết lại từng bình phương dưới dạng (x−a)2 để đọc đúng dấu.
(x−(−1))2+(y−0)2+(z−3)2=22 ⇒I(−1;0;3), R=2
Vậy chọn C.
2Cách 2. Khai triển rồi dùng công thức a, b, c, d
Định hướng. Đưa về dạng khai triển để tính R bằng công thức, kiểm tra độc lập.
Nhận xét. Cách 3 nhắc lại bản chất: mặt cầu là tập các điểm cách tâm một khoảng R.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đọc tâm đổi dấu, bán kính khai căn — một dòng.
Đáp số.C. I(−1;0;3), R=2
Sai lầm thường gặp.Đọc tâm I(1;0;3) vì không đổi dấu x+1, hoặc lấy R=4 vì quên khai căn. Phản ví dụ: với I(1;0;3), điểm M(1;0;3) thuộc (S) (vế trái bằng 4) lại trùng tâm — vô lí.
🚀 Mở rộng.Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) không? Khoảng cách từ I tới (Oxy) là ∣3∣=3>R=2 nên không cắt.
Bài 9 · 5.39★Trang 62— Trắc nghiệm — tâm và bán kính mặt cầu dạng khai triển
Bài 5.39 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0. Toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là A.I(1;−2;−1), R=3. B.I(1;2;1), R=9. C.I(1;2;1), R=3. D.I(1;−2;−1), R=9.
Kiến thức cần nhớ
x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 là mặt cầu khi a2+b2+c2−d>0; tâm I(a;b;c), R=a2+b2+c2−d.
🧠 Phân tích tư duy
Phương trình dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0: tâm có toạ độ bằng nửa hệ số đổi dấu. Bẫy ở chỗ quên đổi dấu (ra I(1;2;1)) và nhầm R với R2=9.
1Cách 1. Công thức a, b, c, d
Định hướng. Chia hệ số của x, y, z cho −2 để được a, b, c.
3Cách 3. Loại trừ theo dấu của tâm và độ lớn bán kính
Định hướng. Dấu của hệ số +4y quyết định b<0; còn R2=9 thì R=3.
+4y=−2by⇒b=−2<0 — loại B, C R2=1+4+1+3=9⇒R=3 — loại D
Vậy chọn A.
Nhận xét. Hai phương án có R=9 đều là bẫy “quên khai căn”.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đọc a, b, c và tính R trong một dòng; Cách 2 an toàn hơn khi hệ số của x2 khác 1.
Đáp số.A. I(1;−2;−1), R=3
Sai lầm thường gặp.Quên dấu “−2a” nên đọc tâm (1;2;1); hoặc tính R2=1+4+1−3=3 vì quên d=−3 mang dấu âm. Kiểm tra: với I(1;2;1) thì phương trình phải có −4y, trái với đề.
🚀 Mở rộng.Với giá trị nào của m thì x2+y2+z2−2x+4y+2z+m=0 là phương trình mặt cầu? Cần 1+4+1−m>0, tức m<6.
Bài 10 · 5.40★★Trang 62— Tổng hợp — mặt phẳng qua ba điểm, đường thẳng qua hai điểm, mặt cầu
Bài 5.40 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;−1), B(0;1;2), C(−1;−2;3). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình đường thẳng AC. c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC. d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Kiến thức cần nhớ
[a,b]=(a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1) vuông góc với cả a và b.
Mặt cầu đường kính AC: tâm là trung điểm AC, R=2AC; M thuộc mặt cầu ⇔MA⋅MC=0.
Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn câu là bốn dạng cơ bản của chương: mặt phẳng qua ba điểm cần một vectơ pháp tuyến [AB,AC]; đường thẳng qua hai điểm cần AC; mặt cầu đường kính AC cần trung điểm và nửa độ dài; mặt cầu tâm A qua B có R=AB. Chỗ dễ sai nhất là tính tích có hướng.
1Cách 1. Tích có hướng, trung điểm và khoảng cách
Định hướng. Dùng thẳng các công thức cơ bản cho từng câu.
a) AB=(−1;1;3), AC=(−2;−2;4) [AB,AC]=(1⋅4−3⋅(−2);3⋅(−2)−(−1)⋅4;(−1)(−2)−1⋅(−2))=(10;−2;4) n=(5;−1;2): 5(x−1)−y+2(z+1)=0⇔5x−y+2z−3=0 b) u=−21AC=(1;1;−2): ⎩⎨⎧x=1+ty=tz=−1−2t c) I(21−1;20−2;2−1+3)=(0;−1;1), R=2AC=24+4+16=6 x2+(y+1)2+(z−1)2=6 d) R=AB=1+1+9=11: (x−1)2+y2+(z+1)2=11
Vậy a) 5x−y+2z−3=0; b) x=1+t, y=t, z=−1−2t; c) x2+(y+1)2+(z−1)2=6; d) (x−1)2+y2+(z+1)2=11.
2Cách 2. Thay toạ độ vào dạng tổng quát
Định hướng. Mặt phẳng và mặt cầu đều viết ở dạng có ẩn hệ số, thay các điểm đã biết để tìm hệ số.
a) (ABC):ax+by+cz+d=0 A:a−c+d=0; B:b+2c+d=0; C:−a−2b+3c+d=0 Chọn c=2: a=2−d, b=−4−d, −(2−d)−2(−4−d)+6+d=0⇔4d+12=0⇔d=−3 ⇒a=5, b=−1: 5x−y+2z−3=0 b) 1x−1=1y=−2z+1 c) MA⋅MC=0⇔(1−x)(−1−x)+(−y)(−2−y)+(−1−z)(3−z)=0 ⇔x2+y2+z2+2y−2z−4=0⇔x2+(y+1)2+(z−1)2=6 d) x2+y2+z2−2x+2z+d=0, B:0+1+4+0+4+d=0⇔d=−9 ⇔(x−1)2+y2+(z+1)2=11
Vậy cùng bốn đáp số như Cách 1.
3Cách 3. Vectơ pháp tuyến giải từ điều kiện vuông góc; kiểm tra bằng điểm
Định hướng. Vectơ pháp tuyến n=(a;b;c) phải vuông góc với AB và AC; đường thẳng và mặt cầu kiểm tra lại bằng điểm đã biết.
a) {−a+b+3c=0−2a−2b+4c=0⇔{b=a−3ca+b=2c⇔a=25c, b=−2c c=2: n=(5;−1;2); B:0−1+4−3=0, C:−5+2+6−3=0 b) t=−1: (0;−1;1) là trung điểm, t=−2: (−1;−2;3)=C c) IA2=1+1+4=6, IC2=1+1+4=6 d) AB2=(−1)2+12+32=11
Vậy a) 5x−y+2z−3=0; b) x=1+t, y=t, z=−1−2t; c) x2+(y+1)2+(z−1)2=6; d) (x−1)2+y2+(z+1)2=11.
Nhận xét. Câu b) còn có thể viết qua C: x=−1+t, y=−2+t, z=3−2t — cùng một đường thẳng, chỉ khác điểm gốc của tham số.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tích có hướng cho vectơ pháp tuyến trong một dòng; câu c) và d) chỉ cần trung điểm và độ dài.
Đáp số.a) 5x−y+2z−3=0. b) x=1+t, y=t, z=−1−2t (hoặc 1x−1=1y=−2z+1). c) x2+(y+1)2+(z−1)2=6. d) (x−1)2+y2+(z+1)2=11.
Sai lầm thường gặp.Sai dấu ở thành phần thứ hai của tích có hướng (a3b1−a1b3) sẽ ra n=(10;2;4): kiểm tra n⋅AB=−10+2+12=4=0 nên sai. Ở câu c) hay lấy R=AC=26 thay vì nửa độ dài.
🚀 Mở rộng.Tính diện tích tam giác ABC: S=21[AB,AC]=21100+4+16=30.
Bài 11 · 5.41★★Trang 62— Mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm
Bài 5.41 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:⎩⎨⎧x=1+ty=−2+tz=4−2t. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc toạ độ O.
Kiến thức cần nhớ
Mặt phẳng chứa đường thẳng d (qua M, vectơ chỉ phương u) và điểm A∈/d có vectơ pháp tuyến [u,MA].
Mặt phẳng đi qua gốc toạ độ có dạng ax+by+cz=0.
🧠 Phân tích tư duy
Mặt phẳng chứa d thì chứa điểm M(1;−2;4) của d và song song với u; lại chứa O nên có thêm vectơ OM. Vectơ pháp tuyến là [u,OM]. Để ý y và z của d có quan hệ rất gọn — dấu hiệu có lời giải “nhìn ra”.
1Cách 1. Tích có hướng
Định hướng. Hai vectơ u và OM nằm trong (P), tích có hướng của chúng là vectơ pháp tuyến.
Bài 12 · 5.42★★Trang 62— Khoảng cách điểm – mặt phẳng; mặt phẳng song song; mặt phẳng vuông góc
Bài 5.42 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−2y+2z−1=0 và hai điểm A(1;−1;2), B(−1;1;0). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P). c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Kiến thức cần nhớ
d(M0,(P))=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣.
(Q)∥(P) thì (Q) có dạng Ax+By+Cz+D′=0 với D′=D.
(R)⊥(P) và (R) chứa A, B thì nR=[AB,nP] (khi hai vectơ không cùng phương).
🧠 Phân tích tư duy
Câu a) dùng công thức khoảng cách. Câu b): song song thì giữ nguyên vectơ pháp tuyến, chỉ đổi hằng số. Câu c): (R) chứa AB và chứa phương của nP (vì (R)⊥(P)), nên nR=[AB,nP]. Bẫy: nghĩ “vuông góc với (P)” là lấy nR=nP.
1Cách 1. Công thức khoảng cách, giữ vectơ pháp tuyến, tích có hướng
Định hướng. Áp thẳng ba công thức chuẩn cho ba câu.
a) d(A,(P))=1+4+4∣1−2⋅(−1)+2⋅2−1∣=36=2 b) (Q):x−2y+2z+D=0, A∈(Q)⇔1+2+4+D=0⇔D=−7 (Q):x−2y+2z−7=0 c) AB=(−2;2;−2)=−2(1;−1;1), nP=(1;−2;2) [(1;−1;1),(1;−2;2)]=((−1)⋅2−1⋅(−2);1⋅1−1⋅2;1⋅(−2)−(−1)⋅1)=(0;−1;−1) nR=(0;1;1): (y+1)+(z−2)=0⇔y+z−1=0
Vậy a) 2; b) (Q):x−2y+2z−7=0; c) (R):y+z−1=0.
2Cách 2. Hình chiếu vuông góc, tập điểm, hệ điều kiện vuông góc
Định hướng. a) tìm chân đường vuông góc H; b) (Q) là tập các điểm M với AM⊥nP; c) giải hệ n⋅AB=0, n⋅nP=0.
a) H(1+t;−1−2t;2+2t)∈(P)⇔1+t+2+4t+4+4t−1=0⇔t=−32 AH=∣t∣⋅∣nP∣=32⋅3=2 b) AM⋅nP=0⇔(x−1)−2(y+1)+2(z−2)=0⇔x−2y+2z−7=0 c) n=(a;b;c): {a−b+c=0a−2b+2c=0⇒b=c, a=0 n=(0;1;1): y+z−1=0
Vậy a) 2; b) x−2y+2z−7=0; c) y+z−1=0.
3Cách 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và dựng thêm một điểm
Định hướng. a) dùng luôn (Q): khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách giữa (Q) và (P); c) (R) chứa đường thẳng qua A vuông góc với (P), nên chứa C=A+nP.
b) (Q):x−2y+2z−7=0 a) d((Q),(P))=1+4+4∣−7−(−1)∣=2 c) C=(1+1;−1−2;2+2)=(2;−3;4)∈(R) (R) qua A, B, C: B:1+0−1=0, C:−3+4−1=0 với y+z−1=0
Vậy a) 2; b) x−2y+2z−7=0; c) y+z−1=0.
Nhận xét. Điểm C dựng thêm biến bài “vuông góc với mặt phẳng” thành bài “qua ba điểm” quen thuộc.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: ba công thức, mỗi câu một dòng; Cách 3 câu a) rất gọn khi đã có sẵn (Q).
Đáp số.a) d(A,(P))=2. b) (Q):x−2y+2z−7=0. c) (R):y+z−1=0.
Sai lầm thường gặp.Ở câu c) lấy nR=nP thì được mặt phẳng song song với (P) chứ không vuông góc: x−2y+2z−7=0 không chứa B (−1−2+0−7=−10=0). Ở câu a) hay quên trị tuyệt đối hoặc quên chia cho A2+B2+C2=3.
🚀 Mở rộng.Tìm điểm đối xứng của A qua (P): A′=A+2tnP với t=−32, được A′(−31;35;−32).
Bài 13 · 5.43★★★Trang 62— Vị trí tương đối hai đường thẳng; đường thẳng song song; mặt phẳng chứa đường thẳng; giao điểm
Bài 5.43 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và hai đường thẳng d:1x=2y−1=2z, d′:2x+1=2y+2=−1z−3. a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d′. b) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với đường thẳng d. c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d. d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).
Kiến thức cần nhớ
d qua M, chỉ phương u; d′ qua M′, chỉ phương u′. Nếu [u,u′]=0 thì: [u,u′]⋅MM′=0⇔d, d′ cắt nhau; =0⇔d, d′ chéo nhau.
Mặt phẳng chứa d và điểm A∈/d có vectơ pháp tuyến [u,MA].
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y=0.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a) có hai phép thử: hai vectơ chỉ phương có cùng phương không, rồi tích hỗn tạp [u,u′]⋅MM′ có bằng 0 không. Câu b), c) dùng lại vectơ chỉ phương của d. Câu d): mặt phẳng (Oxz) là y=0 — thay vào tham số hoá của d.
1Cách 1. Tích hỗn tạp và tích có hướng
Định hướng. Dùng tiêu chuẩn tích hỗn tạp cho a); vectơ chỉ phương của d cho b), c); tham số hoá cho d).
a) M(0;1;0), u=(1;2;2); M′(−1;−2;3), u′=(2;2;−1) [u,u′]=(2⋅(−1)−2⋅2;2⋅2−1⋅(−1);1⋅2−2⋅2)=(−6;5;−2)=0 MM′=(−1;−3;3), [u,u′]⋅MM′=6−15−6=−15=0 b) Δ:1x−1=2y=2z−2 c) MA=(1;−1;2), [u,MA]=(2⋅2−2⋅(−1);2⋅1−1⋅2;1⋅(−1)−2⋅1)=(6;0;−3) n=(2;0;−1): 2(x−1)−(z−2)=0⇔2x−z=0 d) d:x=t, y=1+2t, z=2t; y=0⇔t=−21 ⇒(−21;0;−1)
Vậy a) d, d′ chéo nhau; b) 1x−1=2y=2z−2; c) 2x−z=0; d) (−21;0;−1).
2Cách 2. Giải hệ tìm điểm chung
Định hướng. a) Tham số hoá cả hai đường, hệ vô nghiệm và hai vectơ không cùng phương thì chéo nhau; c) thay ba điểm vào dạng tổng quát.
a) d:(t;1+2t;2t), d′:(−1+2s;−2+2s;3−s) ⎩⎨⎧t=−1+2s1+2t=−2+2s2t=3−s Từ hai phương trình đầu: 1+2(−1+2s)=−2+2s⇔s=−21, t=−2 Phương trình thứ ba: 2t=−4, 3−s=27, −4=27 — hệ vô nghiệm 21=22 nên u, u′ không cùng phương b) Δ:x=1+t, y=2t, z=2+2t c) (P):ax+by+cz+e=0 qua A(1;0;2), M(0;1;0), N(1;3;2) M:b+e=0; N−A:3b=0⇒b=0, e=0; A:a+2c=0 c=−1, a=2: 2x−z=0 d) 2y−1=20−1=−21⇒x=−21, z=−1
Vậy cùng bốn kết quả như Cách 1.
3Cách 3. Mặt phẳng chứa d song song với d′; quan hệ 2x=z trên d
Định hướng. a) dựng mặt phẳng chứa d và song song với d′, nếu M′ không thuộc mặt phẳng đó thì chéo nhau; c) nhận ra mọi điểm của d có z=2x.
a) (α) qua M(0;1;0), n=[u,u′]=(−6;5;−2): −6x+5y−2z−5=0 M′(−1;−2;3): 6−10−6−5=−15=0⇒M′∈/(α) c) d:x=t, z=2t⇒2x−z=0 với mọi t A(1;0;2): 2⋅1−2=0⇒A∈(2x−z=0) d) (Oxz)∩d: y=1+2t=0, điểm (−21;0;−1) thoả 2x−z=0
Vậy a) chéo nhau; c) (P):2x−z=0; b), d) như trên.
Nhận xét.u⋅u′=2+4−2=4=0 nên d, d′ chéo nhau nhưng không vuông góc; góc giữa chúng có cosφ=3⋅34=94.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 cho câu a): một tích có hướng và một tích vô hướng là kết luận được; câu c) nếu nhìn ra z=2x (Cách 3) thì chỉ mất một dòng.
Đáp số.a) d và d′ chéo nhau. b) Δ:1x−1=2y=2z−2. c) (P):2x−z=0. d) (−21;0;−1).
Sai lầm thường gặp.Ở câu a) thấy hệ vô nghiệm liền kết luận “chéo nhau” mà quên kiểm tra hai vectơ chỉ phương có cùng phương không (nếu cùng phương thì là song song). Ở câu d) nhầm mặt phẳng (Oxz) với z=0, ra điểm (0;1;0) — đó là giao với (Oxy).
🚀 Mở rộng.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d, d′: [u,u′][u,u′]⋅MM′=6515.
Bài 14 · 5.44★★★Trang 62— Mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
Bài 5.44 (trang 62). Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−2y−2z−3=0 và đường thẳng d:2x−1=1y+1=−1z. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Kiến thức cần nhớ
(Q)⊃d và (Q)⊥(P) thì nQ=[ud,nP] (khi d không vuông góc với (P)).
Chùm mặt phẳng qua giao tuyến của (α1), (α2): m(α1)+n(α2)=0, m2+n2=0.
🧠 Phân tích tư duy
(Q) chứa d nên song song với u; (Q)⊥(P) nên song song với nP. Hai vectơ này không cùng phương nên nQ=[u,nP], điểm đi qua lấy ngay M(1;−1;0) của d. Bẫy: lấy nhầm điểm hoặc nhầm nQ=nP.
1Cách 1. Tích có hướng của u và nP
Định hướng. Hai vectơ song song với (Q) cho vectơ pháp tuyến.
Nhận xét. Kiểm tra: nQ⋅u=8−3−5=0 và nQ⋅nP=4+6−10=0 — đúng cả hai điều kiện.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một tích có hướng và một điểm; Cách 3 đáng nhớ vì dùng được cả khi đường thẳng cho bằng giao tuyến hai mặt phẳng.
Đáp số.(Q):4x−3y+5z−7=0
Sai lầm thường gặp.Lấy nQ=nP thì (Q)∥(P) chứ không vuông góc; lấy nQ=u thì (Q)⊥d. Tính sai thành phần giữa của tích có hướng thành (−4;−3;−5): thử n⋅u=−8−3+5=−6=0 là lộ ngay.
🚀 Mở rộng.Giao tuyến của (Q) và (P) chính là hình chiếu vuông góc của d lên (P) — thử tìm phương trình hình chiếu đó.
Bài 15 · 5.45★★★Trang 63— Mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng khác
Bài 5.45 (trang 63). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: d:1x+1=2y−1=−1z và d′:1x−1=1y−2=2z+1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d′.
Kiến thức cần nhớ
(P)⊃d, (P)∥d′ thì nP=[u,u′] và M′∈/(P) (với M′∈d′).
(P) chứa d nên song song với u, song song với d′ nên song song với u′: nP=[u,u′]. Điểm đi qua lấy của d. Bước hay bị bỏ quên: kiểm tra d′ không nằm trong (P), nếu không thì đề không có mặt phẳng “song song”.
1Cách 1. Tích có hướng hai vectơ chỉ phương
Định hướng. Vectơ pháp tuyến là [u,u′], đi qua M(−1;1;0).
Bài 16 · 5.46★★Trang 63— Mặt phẳng qua một điểm, vuông góc với hai mặt phẳng
Bài 5.46 (trang 63). Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x−y−z−1=0, (Q):2x+y−z−2=0 và điểm A(−1;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Kiến thức cần nhớ
(R)⊥(P), (R)⊥(Q) ((P), (Q) cắt nhau) thì nR=[nP,nQ].
[nP,nQ] là vectơ chỉ phương của giao tuyến (P)∩(Q).
🧠 Phân tích tư duy
(R) vuông góc với cả (P) và (Q) nên song song với nP và nQ; vậy nR=[nP,nQ]. Nhìn theo hình: (R) vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
1Cách 1. Tích có hướng hai vectơ pháp tuyến
Định hướng. Tính [nP,nQ] rồi viết mặt phẳng qua A.
Bài 17 · 5.47★★★Trang 63— Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng
Bài 5.47 (trang 63). Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:1x+2=2y+3=−2z−3 và d′:⎩⎨⎧x=1−ty=−2+tz=2t. a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d′. b) Tính góc giữa d và d′.
Kiến thức cần nhớ
[u,u′]=0 và [u,u′]⋅MM′=0⇔d, d′ chéo nhau.
cos(d,d′)=∣u∣⋅∣u′∣∣u⋅u′∣, 0∘≤(d,d′)≤90∘.
🧠 Phân tích tư duy
Hai vectơ chỉ phương (1;2;−2) và (−1;1;2) rõ ràng không cùng phương, nên chỉ còn phân biệt cắt nhau hay chéo nhau bằng tích hỗn tạp. Câu b) dùng cosφ=∣u∣∣u′∣∣u⋅u′∣ — nhớ trị tuyệt đối vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90∘.
1Cách 1. Tích hỗn tạp và công thức côsin
Định hướng. Tính [u,u′]⋅MM′ rồi côsin góc.
a) M(−2;−3;3), u=(1;2;−2); M′(1;−2;0), u′=(−1;1;2) [u,u′]=(2⋅2−(−2)⋅1;(−2)(−1)−1⋅2;1⋅1−2⋅(−1))=(6;0;3)=0 MM′=(3;1;−3), [u,u′]⋅MM′=18+0−9=9=0 b) cosφ=1+4+4⋅1+1+4∣1⋅(−1)+2⋅1+(−2)⋅2∣=363=61 φ≈65,91∘
Vậy a) d, d′ chéo nhau; b) cosφ=61, φ≈65,91∘.
2Cách 2. Giải hệ tìm điểm chung; góc qua sin
Định hướng. a) Hệ vô nghiệm và hai vectơ không cùng phương thì chéo nhau; b) tính sinφ bằng độ dài tích có hướng rồi suy ra côsin.
a) ⎩⎨⎧−2+s=1−t−3+2s=−2+t3−2s=2t Hai phương trình đầu: s=3−t, −3+6−2t=−2+t⇔t=35, s=34 Phương trình thứ ba: 3−38=31, 2t=310, 31=310 — vô nghiệm b) sinφ=∣u∣∣u′∣∣[u,u′]∣=3636+0+9=65 cosφ=1−65=61
Vậy a) chéo nhau; b) φ≈65,91∘.
3Cách 3. Mặt phẳng chứa d song song d′; định lí côsin cho hai vectơ
Định hướng. a) Dựng (α)⊃d, (α)∥u′, kiểm tra M′; b) dùng ∣u−u′∣2=∣u∣2+∣u′∣2−2u⋅u′.
a) (α): n=(6;0;3)∥(2;0;1), qua M: 2(x+2)+(z−3)=0⇔2x+z+1=0 M′(1;−2;0): 2+0+1=3=0⇒M′∈/(α) b) u−u′=(2;1;−4), ∣u−u′∣2=21 21=9+6−2u⋅u′⇒u⋅u′=−3 cosφ=36∣−3∣=61
Vậy a) chéo nhau; b) φ≈65,91∘.
Nhận xét. Khoảng cách giữa d và d′ là d(M′,(α))=53 — cùng một phép tính với câu a).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tích hỗn tạp cho câu a) và công thức côsin cho câu b), không phải giải hệ.
Đáp số.a) d và d′ chéo nhau. b) cos(d,d′)=61, góc ≈65,91∘.
Sai lầm thường gặp.Quên trị tuyệt đối ở câu b), được cosφ=−61 và góc ≈114,09∘ — vượt 90∘ nên không thể là góc giữa hai đường thẳng. Ở câu a) chỉ giải hai phương trình rồi kết luận cắt nhau mà quên thử phương trình thứ ba.
🚀 Mở rộng.Tìm đường vuông góc chung của d và d′: phương của nó là [u,u′]=(6;0;3), độ dài đoạn vuông góc chung bằng 459=53.
Bài 5.49 (trang 63). Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P):x+y+z−1=0 và mặt phẳng Oxy.
Kiến thức cần nhớ
cos((P),(Q))=∣nP∣⋅∣nQ∣∣nP⋅nQ∣.
Mặt phẳng (Oxy): z=0, vectơ pháp tuyến k=(0;0;1).
🧠 Phân tích tư duy
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy trị tuyệt đối): mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến k=(0;0;1). Ngoài công thức còn có thể dựng góc phẳng nhị diện nhờ ba giao điểm của (P) với các trục.
1Cách 1. Côsin góc giữa hai vectơ pháp tuyến
Định hướng. Dùng nP=(1;1;1) và k=(0;0;1).
cosφ=3⋅1∣1⋅0+1⋅0+1⋅1∣=31 φ≈54,74∘
Vậycosφ=31, φ≈54,74∘.
2Cách 2. Đường dốc nhất của (P) so với (Oxy)
Định hướng. Giao tuyến của (P) và (Oxy) có phương (1;−1;0); trong (P) lấy vectơ vuông góc với giao tuyến, góc của vectơ này với (Oxy) là góc cần tìm.
Nhận xét. Với hình lập phương cạnh 1 đỉnh O, mặt cắt góc ABC tạo với mặt đáy đúng góc này.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một dòng tính côsin; Cách 3 là cách “nhìn hình” giúp nhớ vì sao công thức đúng.
Đáp số.cosφ=31, góc giữa (P) và (Oxy) xấp xỉ 54,74∘.
Sai lầm thường gặp.Lấy vectơ pháp tuyến của (Oxy) là (1;1;0) hoặc (1;0;0) — đó là vectơ nằm trong (Oxy), không phải pháp tuyến; với (1;0;0) ra cosφ=31 trùng hợp, nhưng với (1;1;0) ra 62, sai.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: mặt phẳng ax+by+cz+d=0 tạo với (Oxy) góc có cosφ=a2+b2+c2∣c∣.
Bài 20 · 5.50★★★Trang 63— Ứng dụng thực tế — góc giữa hai mặt phẳng
Bài 5.50 (trang 63). Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Kiến thức cần nhớ
Góc giữa hai mặt phẳng: cosφ=∣n1∣∣n2∣∣n1⋅n2∣; mặt nằm ngang có n=(0;0;1).
Mặt phẳng không thẳng đứng z=ax+by+c nghiêng với mặt ngang góc φ có tanφ=a2+b2.
Trong tam giác đều, trung tuyến đồng thời là đường cao.
🧠 Phân tích tư duy
Ba vị trí đôi một cách nhau 2 m tạo thành tam giác đều cạnh 2 trên mặt nước (mặt phẳng nằm ngang); dây dọi thẳng đứng nên ba điểm chạm đáy nằm ngay dưới ba đỉnh, sâu 4; 4,4; 4,8. Gắn hệ trục với mặt nước là (Oxy), trục Oz hướng lên, rồi tính góc giữa đáy bể và (Oxy). Nhận xét hay: độ sâu 4,4 đúng bằng trung bình của 4 và 4,8.
1Cách 1. Toạ độ hoá và vectơ pháp tuyến
Định hướng. Đặt ba điểm trên mặt nước là (0;0;0), (2;0;0), (1;3;0); ba điểm đáy nằm ngay bên dưới.
3Cách 3. Đường đồng mức và đường dốc nhất trong tam giác đều
Định hướng. Gọi ba vị trí trên mặt nước là A, B, C (sâu 4; 4,4; 4,8). Trung điểm D của AC sâu 24+4,8=4,4 bằng độ sâu tại B, nên BD là đường cùng độ sâu; đường dốc nhất vuông góc với BD, chính là AC.
D là trung điểm AC: hD=4,4=hB BD⊥AC (trung tuyến của tam giác đều) tanφ=AChC−hA=24,8−4=0,4 φ≈21,80∘
Vậy đáy bể nghiêng khoảng 21,80∘.
Nhận xét. Cách 3 không cần hệ trục: chỉ nhờ tính chất trung điểm của hàm bậc nhất và trung tuyến của tam giác đều.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 3 hay nhất: hai dòng lập luận là ra tanφ=0,4; đi thi nếu không nhìn ra thì Cách 1 luôn làm được.
Đáp số.Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang khoảng 21,80∘ (tanφ=0,4).
Sai lầm thường gặp.Lấy tanφ=20,8 nhưng lại cho rằng mọi cạnh tam giác đều là đường dốc nhất: theo cạnh AB chỉ được 20,4=0,2, ra 11,31∘ — sai vì AB không vuông góc với đường cùng độ sâu. Nhiều em còn đặt B′ cao hơn A′ (dấu +0,4) làm hướng nghiêng lộn, tuy góc vẫn đúng nhưng hình vẽ sai.
🚀 Mở rộng.Nếu ba độ dài dây dọi là 4; 4,6; 4,8 m thì độ sâu không còn “cách đều”; làm lại bằng Cách 1 hoặc Cách 2 để tìm góc nghiêng.
Bài 21 · 5.51★★Trang 63— Ứng dụng thực tế — góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 5.51 (trang 63). Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục toạ độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm A(1;2;−1) và B(5;6;−2). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Kiến thức cần nhớ
sin(d,(P))=∣u∣∣n∣∣u⋅n∣.
Hình chiếu vuông góc của A(x;y;z) trên (Oxy) là (x;y;0).
🧠 Phân tích tư duy
Đường ống là đường thẳng AB, mặt sàn là (Oxy) có vectơ pháp tuyến k=(0;0;1): đúng dạng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Có thể nhìn trực quan: độ chênh cao 1 so với độ dài hình chiếu ngang 42.
1Cách 1. Công thức sin với n=k
Định hướng. Vectơ chỉ phương AB, vectơ pháp tuyến (0;0;1).
Định hướng. Chiếu A, B xuống (Oxy); góc cần tìm là góc giữa AB và hình chiếu A′B′.
A′(1;2;0), B′(5;6;0), A′B′=16+16=42 Độ chênh cao: ∣zB−zA∣=1 tanφ=421=82 φ≈10,02∘
Vậyφ≈10,02∘.
3Cách 3. Côsin qua tỉ số hình chiếu
Định hướng. Độ dài hình chiếu bằng độ dài đoạn nhân với cosφ.
cosφ=ABA′B′=3342=3332 sinφ=1−3332=331
Vậyφ≈10,02∘.
Nhận xét. Ba cách cho cùng một góc vì sinφ=331, cosφ=3342, tanφ=82 là ba tỉ số của cùng một tam giác vuông.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1; nếu muốn kiểm tra nhanh bằng trực giác thì dùng Cách 2 (chênh cao chia chiều dài ngang).
Đáp số.Góc giữa đường ống và mặt sàn xấp xỉ 10,02∘ (sinφ=331).
Sai lầm thường gặp.Dùng cosφ=331 (nhầm sang công thức góc hai đường thẳng) ra φ≈79,98∘ — một đường ống gần như thẳng đứng, trái hẳn với độ chênh cao chỉ 1 trên chiều dài ngang 42≈5,66.
🚀 Mở rộng.Độ dốc của ống thường ghi theo phần trăm: tanφ=82≈17,7%; thử tìm điểm B trên đường ống để độ dốc đúng 2% khi giữ nguyên hình chiếu ngang.
Bài 22 · 5.52★★★Trang 63— Ứng dụng thực tế — mặt cầu, tiếp tuyến, định lí Pythagore
Bài 5.52 (trang 63). Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí B là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho BAO=90∘, với O là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình x2+y2+z2=1 và người quan sát ở vị trí B(1;1;−1). Gọi A là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí B. Tính khoảng cách AB.
Kiến thức cần nhớ
Mặt cầu x2+y2+z2=1 có tâm O(0;0;0), bán kính R=1.
Tam giác vuông tại A: AB2=OB2−OA2.
Phương tích của B đối với mặt cầu: OB2−R2 bằng bình phương độ dài tiếp tuyến kẻ từ B.
🧠 Phân tích tư duy
Điều kiện BAO=90∘ nói BA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A: tam giác OAB vuông tại A với OA=R=1 và OB tính được từ toạ độ. Khoảng cách AB không phụ thuộc vị trí của A trên đường chân trời — đó là lí do đề nói “A bất kì”.
1Cách 1. Định lí Pythagore trong tam giác OAB
Định hướng. Tam giác OAB vuông tại A, biết hai cạnh OA, OB.
Định hướng.BA là tiếp tuyến kẻ từ B, nên AB2 bằng phương tích của B đối với (S) — chỉ cần thay toạ độ B vào vế trái của phương trình mặt cầu.
PB/(S)=xB2+yB2+zB2−1=1+1+1−1=2 AB2=PB/(S)=2
VậyAB=2.
Nhận xét. Cách 2 còn cho thêm: mọi điểm của đường chân trời thuộc mặt phẳng x+y−z=1, nên đường chân trời là giao của mặt cầu với mặt phẳng này — một đường tròn, đúng như hình ảnh chiếc nón.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhận ra tam giác vuông là xong trong hai dòng; Cách 3 là cách nhanh nhất cho người đã quen phương tích.
Đáp số.AB=2 (đơn vị độ dài của hệ toạ độ).
Sai lầm thường gặp.Tính AB=OB−OA=3−1 vì nghĩ A nằm trên đoạn OB — điểm đó là điểm gần B nhất trên mặt đất, không phải điểm trên đường chân trời; với điểm đó góc BAO=180∘ chứ không vuông.
🚀 Mở rộng.Tính bán kính đường chân trời: đường tròn giao của (S) và mặt phẳng x+y−z=1, khoảng cách từ O tới mặt phẳng là 31 nên bán kính bằng 1−31=36.
