Bài 3. Ôn tập phân số

Định hướng. Đếm số ô đã tô màu (tử số) và tổng số ô bằng nhau đã chia (mẫu số) của từng hình rồi viết phân số.

Vậy hình tổ ong tô màu $\frac{8}{13}$ hình, hình vuông tô màu $\frac{4}{9}$ hình.

Định hướng. Đếm số ô còn trắng, lấy tổng số ô trừ đi số ô trắng để tìm số ô tô màu — tránh đếm sót ô tô màu nằm xen kẽ.

Vậy kết quả vẫn là $\frac{8}{13}$ và $\frac{4}{9}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Tách hình tổ ong và hình vuông thành từng hàng, đếm số ô tô màu trên mỗi hàng rồi cộng lại — cách này ít bỏ sót nhất với hình có nhiều ô.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: $\frac{8}{13}$ và $\frac{4}{9}$.

Nhận xét. Đếm theo từng hàng nhỏ giúp không bỏ sót hay đếm lặp ô nào — rất hữu ích với hình tổ ong có các ô lục giác xếp so le.

Định hướng. So sánh mẫu số (hoặc tử số) của hai phân số liền nhau để biết chúng đã nhân hay chia cho số nào, rồi áp dụng số đó cho phần còn lại.

Vậy các chữ số cần điền lần lượt là $15$, $8$, $8$, $3$, $12$; ba phân số rút gọn là $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$.

Định hướng. Rút mỗi phân số về dạng tối giản trước, sau đó nhân ngược trở lại để tìm từng số hạng còn thiếu trong dãy — hữu ích khi phải điền nhiều bước liên tiếp.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: các ô cần điền là $15$, $8$, $8$, $3$, $12$.

Định hướng. Với mỗi cặp phân số liền nhau, tính xem mẫu số (hay tử số) đã gấp hoặc kém bao nhiêu lần, rồi áp dụng đúng tỉ số đó cho số còn lại.

Vậy ba cách đều thống nhất một kết quả, chứng tỏ các số đã điền đúng.

Nhận xét. Cách tính tỉ số gấp/kém chỉ tiện khi tỉ số đó là số tự nhiên; với câu b nên quay lại tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số.

Định hướng. Với câu a, thử chia tử và mẫu mỗi phương án cho các số 2, 3, 5, 7... nếu còn chia hết được thì chưa tối giản. Với câu b, đếm số phần tô màu trên mỗi hình rồi rút gọn về mẫu số 5 để so với $\frac{2}{5}$.

Vậy phân số tối giản là $\frac{5}{8}$ (chọn D); hình có phần tô màu bằng $\frac{2}{5}$ là hình B.

Định hướng. Thay vì rút gọn từng hình về mẫu số 5, hãy quy đồng $\frac{2}{5}$ lên mẫu số 10 trước rồi so trực tiếp với số phần đã tô — nhanh hơn khi mẫu số của hình đã cho sẵn là 10.

Vậy kết quả vẫn là D và B, khớp với Cách 1.

Định hướng. Giả sử một phương án đúng, thử chia hoặc quy đổi để kiểm tra; sai thì loại ngay, không cần tính đầy đủ mọi phương án theo đúng thứ tự.

Vậy bằng cách loại trừ, ta vẫn đi đến đúng hai đáp án D và B như hai cách trên.

Nhận xét. Cách loại trừ tiết kiệm thời gian khi làm trắc nghiệm vì không phải tính đầy đủ mọi phương án, nhưng cần tính cẩn thận từng bước loại để không bỏ sót phương án đúng.

Định hướng. Kiểm tra xem mẫu số nào lớn nhất có chia hết cho (các) mẫu số còn lại không — nếu có thì chọn luôn làm mẫu số chung, không cần tính bội chung nhỏ nhất qua phân tích thừa số.

Vậy quy đồng xong, ba nhóm phân số có cùng mẫu số lần lượt là $36$, $80$, $36$.

Định hướng. Lấy tích tất cả các mẫu số đã cho làm mẫu số chung — cách làm tổng quát, dùng được cho MỌI bài quy đồng dù các mẫu số có là bội của nhau hay không, nhưng số sẽ to hơn Cách 1 nên phải rút gọn lại.

Vậy cách nhân tất cả mẫu số vẫn ra đúng kết quả, nhưng phải rút gọn thêm một bước để về đúng mẫu số nhỏ nhất như Cách 1.

Định hướng. Trước khi quy đồng, thử rút gọn phân số có mẫu lớn nhất xem có đưa về mẫu nhỏ hơn không — đây là bước kiểm tra nhanh giúp chắc chắn đã chọn đúng MSC nhỏ nhất.

Vậy việc kiểm tra phân số có mẫu lớn nhất trước giúp khẳng định chắc chắn MSC đã chọn là nhỏ nhất, kết quả trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 không phải lúc nào cũng rút gọn được, nhưng là bước kiểm tra nhanh, hữu ích trước khi bắt tay quy đồng.

Định hướng. Gạch bỏ (giản ước) những thừa số xuất hiện ở CẢ tử số và mẫu số trước, phần còn lại mới nhân hoặc rút gọn tiếp.

Vậy $\frac{8\times 6\times 13}{13\times 16\times 6}=\frac{1}{2}$ và $\frac{9\times 19\times 15}{19\times 12\times 5}=\frac{9}{4}$.

Định hướng. Tính đúng giá trị của tích ở tử số và tích ở mẫu số trước, sau đó rút gọn phân số lớn về tối giản — cách làm "thẳng", không cần nhìn ra thừa số chung ngay từ đầu nhưng số sẽ to hơn.

Vậy kết quả vẫn là $\frac{1}{2}$ và $\frac{9}{4}$, khớp với Cách 1 nhưng phải rút gọn số lớn hơn nhiều.

Định hướng. Viết mỗi thừa số thành tích các thừa số nguyên tố, thừa số nguyên tố nào có ở cả tử và mẫu thì giản ước hết — cách chắc chắn nhất khi thừa số không hiện rõ quan hệ chia hết như $16=8\times 2$.

Vậy phân tích ra thừa số nguyên tố cũng cho đúng kết quả $\frac{1}{2}$ và $\frac{9}{4}$ như hai cách trên.

Nhận xét. Cách phân tích thừa số nguyên tố chắc chắn không bỏ sót thừa số chung nào, nhưng mất thời gian hơn — chỉ nên dùng khi Cách 1 không nhìn ra ngay thừa số chung ẩn (như $16$ chứa $8$).

Định hướng. Đưa các cặp về cùng một mẫu số (quy đồng hoặc viết số tự nhiên thành phân số) rồi so sánh tử số.

Vậy các dấu cần điền lần lượt là: $>$, $<$, $=$, $<$, $>$, $<$.

Định hướng. Với các cặp đã CÙNG mẫu số hoặc CÙNG tử số, dùng thẳng quy tắc so sánh nhanh mà không cần quy đồng — chỉ quy đồng khi thật sự khác cả tử lẫn mẫu.

Vậy sáu dấu cần điền vẫn là $>$, $<$, $=$, $<$, $>$, $<$ — khớp Cách 1 nhưng làm nhanh hơn với ba câu cùng tử, cùng mẫu, nhân đôi.

Định hướng. Với hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, so sánh $a\times d$ với $b\times c$: nếu $a\times d>b\times c$ thì $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$, và ngược lại — cách này không cần tìm mẫu số chung.

Vậy tích chéo cũng cho đúng sáu dấu: $>$, $<$, $=$, $<$, $>$, $<$.

Nhận xét. So sánh bằng tích chéo rất nhanh cho từng cặp riêng lẻ nhưng không cho ra một mẫu số chung để nhìn tổng quát — hợp với bài chỉ so sánh HAI phân số một lúc như bài này.

Định hướng. Với câu hỏi so 1, chỉ cần nhìn tử số và mẫu số. Với câu hỏi so một phân số cho trước, rút gọn từng phương án về dạng đơn giản nhất rồi so sánh trực tiếp.

Vậy phân số bé hơn $1$ là $\frac{29}{30}$ (chọn B); phân số lớn hơn $\frac{5}{7}$ là $\frac{24}{28}$ (chọn D); phân số bé hơn $\frac{3}{5}$ là $\frac{11}{20}$ (chọn C).

Định hướng. Câu a: hiệu (tử số trừ mẫu số) âm hay dương cho biết phân số bé hay lớn hơn 1. Câu b, c: thay vì rút gọn phương án, hãy quy đồng NGƯỢC phân số mốc theo mẫu số của từng phương án rồi so tử số — mỗi cặp dùng mẫu số chung riêng của cặp đó.

Vậy quy đồng ngược phân số mốc theo từng phương án cũng cho đúng ba đáp án B, D, C.

Định hướng. Vì đã học số thập phân ở lớp 5, có thể đổi mỗi phân số ra số thập phân gần đúng để so sánh nhanh — dùng để kiểm tra lại kết quả.

Vậy ước lượng bằng số thập phân cũng khẳng định lại đúng ba đáp án B, D, C như hai cách trên.

Nhận xét. Đổi ra số thập phân chỉ nên dùng để KIỂM TRA nhanh vì có số phải làm tròn — bài làm chính thức vẫn nên trình bày bằng quy đồng hoặc so sánh tử-mẫu cho chặt chẽ.

Định hướng. Tìm mẫu số chung của cả bốn phân số, quy đồng, rồi sắp xếp theo tử số từ bé đến lớn (hoặc ngược lại).

Vậy thứ tự từ bé đến lớn là $\frac{5}{12}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{23}{24}$, $\frac{39}{36}$; thứ tự từ lớn đến bé ngược lại.

Định hướng. Trước tiên xếp các phân số lớn hơn 1 sang một nhóm, bé hơn 1 sang nhóm kia; trong nhóm bé hơn 1 mới cần quy đồng để so tiếp — giảm bớt số phân số phải quy đồng cùng lúc.

Vậy tách nhóm bé hơn 1/lớn hơn 1 trước giúp quy đồng ít số hơn (chỉ 3 phân số thay vì 4), kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Lấy lần lượt từng phân số, so sánh bằng tích chéo với các phân số đã sắp xếp trước đó để chèn đúng vị trí — giống cách sắp xếp từng thẻ bài trên tay.

Vậy chèn từng phân số theo tích chéo cũng cho đúng thứ tự $\frac{5}{12},\frac{2}{3},\frac{23}{24},\frac{39}{36}$ như hai cách trên.

Nhận xét. Cách chèn từng phần tử không cần tìm mẫu số chung của cả bốn phân số cùng lúc, nhưng phải so sánh nhiều cặp hơn — chỉ nên dùng khi mẫu số chung của cả dãy quá lớn.

Định hướng. Đưa bốn phân số về cùng một mẫu số chung, so sánh tử số để tìm phân số lớn nhất và bé nhất.

Vậy bạn Nam ăn nhiều bánh pi-da nhất ($\frac{5}{6}$ cái), bạn Mi ăn ít bánh pi-da nhất ($\frac{1}{3}$ cái).

Định hướng. Xét xem mỗi phân số lớn hơn hay bé hơn $\frac{1}{2}$ để chia thành hai nhóm, sau đó chỉ cần so sánh trong nội bộ từng nhóm nhỏ — không phải quy đồng cả bốn phân số cùng lúc.

Vậy so với mốc $\frac{1}{2}$ trước giúp chia nhỏ bài toán, kết quả vẫn là Nam ăn nhiều nhất, Mi ăn ít nhất.

Định hướng. Vì đã học số thập phân, có thể đổi mỗi phân số ra số thập phân (làm tròn nếu cần) để so sánh nhanh, trực quan hơn phân số.

Vậy đổi ra số thập phân cũng cho cùng kết luận: Nam ăn nhiều bánh pi-da nhất, Mi ăn ít bánh pi-da nhất.

Nhận xét. Cách đổi ra số thập phân chỉ nên dùng để ước lượng nhanh vì $\frac{1}{3}$ và $\frac{7}{12}$ là số thập phân vô hạn hoặc phải làm tròn — bài làm chính thức nên trình bày bằng quy đồng phân số cho chính xác tuyệt đối.

Định hướng. Vì tử số cần tìm phải lớn hơn $4$ (do $\frac{\dots }{9}>\frac{4}{9}$ cùng mẫu số), thử lần lượt $5,6,7,\dots$ và kiểm tra xem $\frac{\dots }{9}$ có bé hơn $\frac{5}{8}$ không.

Vậy $\frac{4}{9}<\frac{5}{9}<\frac{5}{8}$, số cần điền là $5$.

Định hướng. Quy đồng $\frac{4}{9}$ và $\frac{5}{8}$ về mẫu số chung $72$, tìm khoảng giá trị của phân số cần tìm theo mẫu số $72$, rồi suy ngược về mẫu số $9$.

Vậy quy đồng cả hai mốc về mẫu số $72$ cũng cho đúng một kết quả: số cần điền là $5$.

Định hướng. Gọi tử số cần tìm là $x$ ($x$ là số tự nhiên). Từ $\frac{4}{9}<\frac{x}{9}$ suy ra $x>4$; từ $\frac{x}{9}<\frac{5}{8}$, dùng tích chéo suy ra $x\times 8<5\times 9$, để tìm $x$.

Vậy dùng điều kiện tích chéo cũng khẳng định chắc chắn chỉ có một số duy nhất thoả mãn: số cần điền là $5$.

Nhận xét. Bài toán chỉ có ĐÚNG MỘT đáp số vì khoảng giữa $4$ và $x\times 8<45$ (tức $x<5,625$) chỉ chứa đúng một số tự nhiên lớn hơn $4$, đó là $5$ — nếu đề đổi mẫu số khác có thể sẽ có nhiều hơn một đáp số.