Chủ đề 1. Ôn tập và bổ sung

Bài 5. Ôn tập các phép tính với phân số

Vở bài tập Toán 5 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Tiết 1 - Bài 1★Trang 15— Cộng, trừ hai phân số khác mẫu số; cộng, trừ phân số với số tự nhiên

Tiết 1 - Bài 1 (trang 15). Tính.
a)

\frac{5}{6} + \frac{11}{18} = ......

\frac{21}{20} - \frac{4}{5} = ......

\frac{4}{7} + 3 = ......

4 - \frac{13}{6} = ......

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số của hai phân số rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng.
Một số tự nhiên bất kì viết được thành phân số có mẫu số tuỳ ý bằng cách nhân số đó với đúng mẫu số cần quy đồng.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phép tính đều là cộng hoặc trừ phân số khác mẫu số. Ở câu a, b mẫu số này là bội của mẫu số kia (18 chia hết cho 6, 20 chia hết cho 5) nên chỉ cần quy đồng một phân số. Ở câu c, d có một số tự nhiên đứng cùng phân số — bẫy hay gặp là quên viết số tự nhiên thành phân số có cùng mẫu số trước khi cộng, trừ.

1Cách 1. Quy đồng theo mẫu số lớn hơn (mẫu số này là bội của mẫu số kia)

Định hướng. Với mỗi câu, chọn mẫu số lớn hơn làm mẫu số chung vì mẫu số lớn là bội của mẫu số bé, chỉ quy đồng một phân số rồi cộng hoặc trừ tử số.

\frac{5}{6} + \frac{11}{18} = \frac{15}{18} + \frac{11}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}

\frac{21}{20} - \frac{4}{5} = \frac{21}{20} - \frac{16}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

\frac{4}{7} + 3 = \frac{4}{7} + \frac{21}{7} = \frac{25}{7}

4 - \frac{13}{6} = \frac{24}{6} - \frac{13}{6} = \frac{11}{6}

Đáp số: a)

\frac{13}{9}

; b)

\frac{1}{4}

; c)

\frac{25}{7}

; d)

\frac{11}{6}

Vậy bốn kết quả lần lượt là $\frac{13}{9}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{25}{7}$ , $\frac{11}{6}$ .

2Cách 2. Quy đồng bằng tích hai mẫu số rồi rút gọn

Định hướng. Quy đồng cả hai phân số bằng cách lấy tích hai mẫu số làm mẫu số chung — cách này luôn đúng dù hai mẫu số có quan hệ bội - ước hay không, cộng trừ xong mới rút gọn.

\frac{5}{6} + \frac{11}{18} = \frac{5 \times 18}{6 \times 18} + \frac{11 \times 6}{18 \times 6} = \frac{90}{108} + \frac{66}{108} = \frac{156}{108} = \frac{13}{9}

\frac{21}{20} - \frac{4}{5} = \frac{21 \times 5}{20 \times 5} - \frac{4 \times 20}{5 \times 20} = \frac{105}{100} - \frac{80}{100} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

\frac{4}{7} + 3 = \frac{4}{7} + \frac{3 \times 7}{7} = \frac{4}{7} + \frac{21}{7} = \frac{25}{7}

4 - \frac{13}{6} = \frac{4 \times 6}{6} - \frac{13}{6} = \frac{24}{6} - \frac{13}{6} = \frac{11}{6}

Đáp số: a)

\frac{13}{9}

; b)

\frac{1}{4}

; c)

\frac{25}{7}

; d)

\frac{11}{6}

Vậy cả bốn kết quả khớp với Cách 1, dù quy đồng theo cách nào.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để ước lượng, rồi tính chính xác bằng phân số đối chiếu

Định hướng. Ước lượng kết quả bằng số thập phân trước để loại các đáp số vô lý, sau đó vẫn tính chính xác bằng phân số vì số thập phân chỉ dùng để kiểm tra nhanh.

\frac{5}{6} \approx 0, 83

\frac{11}{18} \approx 0, 61

, tổng ước lượng khoảng

1, 44

; tính đúng bằng phân số:

\frac{5}{6} + \frac{11}{18} = \frac{13}{9} \approx 1, 44

(khớp ước lượng).
b)

\frac{21}{20} = 1, 05

;

\frac{4}{5} = 0, 8

; hiệu ước lượng khoảng

0, 25

; tính đúng:

\frac{21}{20} - \frac{4}{5} = \frac{1}{4} = 0, 25

(khớp).
c)

\frac{4}{7} \approx 0, 57

; cộng

3

được ước lượng khoảng

3, 57

; tính đúng:

\frac{4}{7} + 3 = \frac{25}{7} \approx 3, 57

(khớp).
d)

\frac{13}{6} \approx 2, 17

;

4

trừ đi còn khoảng

1, 83

; tính đúng:

4 - \frac{13}{6} = \frac{11}{6} \approx 1, 83

(khớp).
Đáp số: a)

\frac{13}{9}

; b)

\frac{1}{4}

; c)

\frac{25}{7}

; d)

\frac{11}{6}

Vậy cả bốn kết quả phân số đều khớp với ước lượng thập phân, khẳng định bài làm đúng.

Nhận xét. Đổi ra số thập phân chỉ giúp kiểm tra nhanh xem đáp số có 'nhìn hợp lý' không, đáp số chính thức của bài vẫn phải là phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (quy đồng theo mẫu số lớn hơn) vì số nhỏ, tính nhanh; Cách 3 (ước lượng thập phân) rất hợp để tự kiểm tra lại đáp số trong lúc làm bài kiểm tra.

Đáp số. a)

\frac{13}{9}

; b)

\frac{1}{4}

; c)

\frac{25}{7}

; d)

\frac{11}{6}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở câu c, d: quên đổi số tự nhiên (

3

hoặc

4

) thành phân số có cùng mẫu số với phân số kia trước khi cộng, trừ — ví dụ tính nhầm

4 - \frac{13}{6} = \frac{4 - 13}{6}

(trừ tử số ngay cả khi mẫu số hai bên chưa giống nhau).

🚀 Mở rộng. Thử thay câu a bằng

\frac{7}{12} + \frac{5}{8}

— hai mẫu số 12 và 8 không phải bội của nhau, phải dùng cách quy đồng ở Cách 2 (tích hai mẫu số) mới quy đồng được.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Tiết 1 - Bài 2★Trang 15— Tính giá trị biểu thức có phân số (cộng trừ liên tiếp; biểu thức có dấu ngoặc)

Tiết 1 - Bài 2 (trang 15). Tính giá trị của biểu thức.
a)

\frac{3}{5} + \frac{13}{15} - \frac{4}{5} = ......

\frac{43}{18} - (1 + \frac{5}{6}) = ......

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức chỉ có phép cộng, trừ thì tính lần lượt từ trái sang phải.
Biểu thức có dấu ngoặc thì tính trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ có cộng, trừ nên tính lần lượt từ trái sang phải sau khi quy đồng chung một mẫu số. Câu b có dấu ngoặc nên phải tính trong ngoặc trước — bẫy hay gặp là trừ

\frac{43}{18}

cho từng số hạng trong ngoặc mà quên gộp ngoặc lại thành một phân số trước.

1Cách 1. Quy đồng chung một mẫu số cho cả biểu thức rồi tính một lần

Định hướng. Quy đồng tất cả các phân số trong biểu thức về cùng một mẫu số chung, sau đó cộng trừ tử số một lần cho cả biểu thức.

a) mẫu chung của 5 và 15 là 15:

\frac{3}{5} + \frac{13}{15} - \frac{4}{5} = \frac{9}{15} + \frac{13}{15} - \frac{12}{15} = \frac{9 + 13 - 12}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

b) trong ngoặc trước:

1 + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}

; mẫu chung của 18 và 6 là 18:

\frac{43}{18} - \frac{11}{6} = \frac{43}{18} - \frac{33}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}

Đáp số: a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{5}{9}

Vậy hai kết quả là $\frac{2}{3}$ và $\frac{5}{9}$ .

2Cách 2. Tính lần lượt từng bước, quy đồng hai phân số một

Định hướng. Không gộp mẫu chung ngay, mà quy đồng và tính từng cặp hai phân số một, đi tới đâu chắc tới đó.

a) tính trước

\frac{3}{5} + \frac{13}{15}

\frac{9}{15} + \frac{13}{15} = \frac{22}{15}

; rồi trừ tiếp:

\frac{22}{15} - \frac{4}{5} = \frac{22}{15} - \frac{12}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

b) trong ngoặc trước:

1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}

; rồi trừ:

\frac{43}{18} - \frac{11}{6} = \frac{43}{18} - \frac{33}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}

Đáp số: a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{5}{9}

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $\frac{2}{3}$ và $\frac{5}{9}$ .

3Cách 3. Dùng tính chất kết hợp để nhóm số hạng thuận tiện

Định hướng. Ở câu a, nhóm hai phân số $\frac{13}{15}$ và $\frac{4}{5}$ lại với nhau trước vì trừ được ngay một số dương, không phải quy đồng lại từ đầu.

\frac{3}{5} + \frac{13}{15} - \frac{4}{5} = \frac{3}{5} + (\frac{13}{15} - \frac{4}{5})

; trong ngoặc:

\frac{13}{15} - \frac{4}{5} = \frac{13}{15} - \frac{12}{15} = \frac{1}{15}

; cộng tiếp:

\frac{3}{5} + \frac{1}{15} = \frac{9}{15} + \frac{1}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

b) trong ngoặc trước rồi trừ như Cách 1:

\frac{43}{18} - \frac{11}{6} = \frac{5}{9}

Đáp số: a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{5}{9}

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả $\frac{2}{3}$ và $\frac{5}{9}$ .

Nhận xét. Nhóm hai phân số $\frac{13}{15}$ và $\frac{4}{5}$ (Cách 3) giúp câu a luôn ra số dương ở bước trung gian — tránh phải làm việc với số âm, điều lớp 5 chưa học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (quy đồng chung một mẫu số) vì chỉ quy đồng một lần cho cả biểu thức, ít bước hơn Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{5}{9}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở câu b: trừ

\frac{43}{18}

lần lượt cho

1

rồi cho

\frac{5}{6}

mà quên đây là phép trừ CẢ NGOẶC, đúng ra phải cộng

1

với

\frac{5}{6}

trước được

\frac{11}{6}

, rồi mới trừ một lần.

🚀 Mở rộng. Thử thêm câu c)

\frac{7}{9} - (\frac{2}{3} - \frac{1}{6})

— trong ngoặc có cả trừ, càng cần tính trong ngoặc trước để khỏi nhầm dấu.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Tiết 1 - Bài 3★★Trang 15— So sánh hai phân số khác mẫu số; tìm hiệu hai phân số

Tiết 1 - Bài 3 (trang 15). Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng.
Hai bạn Việt và Nam cùng chạy thi trên một đoạn đường. Sau một phút, Việt chạy được

\frac{3}{4}

đoạn đường, Nam chạy được

\frac{7}{12}

đoạn đường.
Vậy sau một phút:
A. Nam chạy nhiều hơn Việt

\frac{4}{12}

đoạn đường.
B. Việt chạy nhiều hơn Nam

\frac{1}{6}

đoạn đường.
C. Nam chạy nhiều hơn Việt

\frac{1}{6}

đoạn đường.

Kiến thức cần nhớ

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số.
Hiệu hai phân số cùng mẫu số bằng hiệu hai tử số, giữ nguyên mẫu số.

🧠 Phân tích tư duy

Phải so sánh

\frac{3}{4}

và

\frac{7}{12}

trước khi biết ai chạy nhiều hơn — quy đồng về cùng mẫu số 12 để so sánh trực tiếp tử số. Bẫy của đề: phương án A và C đều nói 'Nam chạy nhiều hơn Việt' (sai chiều so sánh) và phương án A còn sai luôn cả hiệu số (

\frac{4}{12}

thay vì

\frac{2}{12}

), phải tính đúng cả hai vế (ai hơn ai, hơn bao nhiêu) mới chọn đúng.

1Cách 1. Quy đồng rồi so sánh trực tiếp

Định hướng. Quy đồng $\frac{3}{4}$ về mẫu số 12 để so sánh cùng mẫu với $\frac{7}{12}$ , từ đó xác định ai chạy nhiều hơn và hơn bao nhiêu.

Việt:

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

; Nam:

\frac{7}{12}

. So sánh:

\frac{9}{12} > \frac{7}{12}

nên Việt chạy nhiều hơn Nam.
Việt chạy nhiều hơn Nam số phần đoạn đường là:

\frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

(đoạn đường)
Đáp số: chọn đáp án B.

Vậy Việt chạy nhiều hơn Nam $\frac{1}{6}$ đoạn đường, chọn đáp án B.

2Cách 2. Ước lượng - loại trừ bằng số thập phân

Định hướng. Đổi cả hai phân số ra số thập phân để so sánh nhanh, sau đó loại các phương án sai chiều trước khi tính hiệu chính xác.

\frac{3}{4} = 0, 75

;

\frac{7}{12} \approx 0, 58

. Vì

0, 75 > 0, 58

nên Việt chạy nhiều hơn Nam — loại ngay phương án A và C (cả hai đều nói Nam chạy nhiều hơn Việt, sai chiều). Chỉ còn phương án B cần kiểm tra hiệu số:

\frac{3}{4} - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{1}{6}

đoạn đường, đúng như B nêu.

Vậy loại được A, C ngay từ bước ước lượng, còn lại đúng đáp án B.

3Cách 3. Tính bằng phân số bù (phần đường còn lại chưa chạy)

Định hướng. So sánh phần đường CÒN LẠI mà mỗi bạn chưa chạy (lấy 1 trừ đi phần đã chạy) — bạn nào còn lại ÍT hơn thì đã chạy NHIỀU hơn.

Phần Việt còn lại:

1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = \frac{3}{12}

đoạn đường. Phần Nam còn lại:

1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}

đoạn đường. Vì

\frac{3}{12} < \frac{5}{12}

nên Việt còn lại ít hơn, tức là Việt đã chạy nhiều hơn Nam. Hiệu phần đã chạy bằng đúng hiệu phần còn lại:

\frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

đoạn đường.

Vậy vẫn ra Việt chạy nhiều hơn Nam $\frac{1}{6}$ đoạn đường, chọn đáp án B.

Nhận xét. Ba cách đều gặp nhau ở kết luận B — khi làm trắc nghiệm chỉ cần một trong ba cách là đủ, nhưng nên chọn Cách 2 (ước lượng) để loại nhanh phương án sai chiều trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài trắc nghiệm nên dùng Cách 2 (ước lượng bằng số thập phân) để loại ngay hai phương án sai chiều A, C trước khi tính chính xác — nhanh hơn hẳn so với tính đủ ba phương án.

Đáp số. Chọn đáp án B: Việt chạy nhiều hơn Nam

\frac{1}{6}

đoạn đường.

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: quy đồng đúng (

\frac{9}{12}

và

\frac{7}{12}

) nhưng đọc ngược chiều so sánh, tưởng

\frac{7}{12}

lớn hơn nên chọn nhầm phương án C (Nam chạy nhiều hơn Việt) — một nguồn tham khảo khi đối chiếu bài này cũng ghi nhầm đáp án thành C dù chính phép tính họ đưa ra lại chứng minh Việt chạy nhiều hơn, đây là lỗi ghi nhãn cần cảnh giác.

🚀 Mở rộng. Thử đổi giả thiết: Nam chạy được

\frac{5}{6}

đoạn đường thay vì

\frac{7}{12}

— khi đó phải so sánh

\frac{3}{4}

với

\frac{5}{6}

(quy đồng mẫu 12), kết quả đổi chiều: Nam chạy nhiều hơn Việt.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 15

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Tiết 1 - Bài 4★★Trang 16— Toán có lời văn: cộng, trừ phân số biểu thị 'phần của một tổng thể coi là 1 đơn vị'

Tiết 1 - Bài 4 (trang 16). Ngày thứ Bảy, Mai đọc được

\frac{3}{5}

số trang của quyển truyện. Ngày Chủ nhật, Mai đọc tiếp được

\frac{3}{10}

số trang của quyển truyện đó. Hỏi Mai còn phải đọc bao nhiêu phần số trang của quyển truyện nữa thì mới xong quyển truyện đó?

Kiến thức cần nhớ

Coi cả quyển truyện là 1 đơn vị khi tính phần còn lại.
Phần còn lại bằng 1 (toàn bộ) trừ đi tổng các phần đã biết.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai phần đã đọc ở hai ngày riêng biệt và hỏi phần CÒN LẠI — dấu hiệu của dạng 'tổng thể coi là 1'. Hướng làm: cộng hai phần đã đọc trước, sau đó lấy 1 (cả quyển truyện) trừ đi tổng đó. Bẫy: dễ nhầm lẫn giữa 'số trang' và 'phần số trang', phải luôn nhớ mọi phân số trong bài đều chỉ MỘT PHẦN của cả quyển truyện.

1Cách 1. Cộng gộp hai ngày rồi lấy 1 trừ đi (đúng khuôn Tóm tắt — Bài giải — Đáp số)

Định hướng. Tìm tổng số phần trang Mai đã đọc trong hai ngày, coi cả quyển truyện là 1 đơn vị rồi lấy 1 trừ đi tổng đó.

Tóm tắt
Thứ Bảy:

\frac{3}{5}

số trang
Chủ nhật:

\frac{3}{10}

số trang
Còn phải đọc: ? phần số trang

Bài giải
Hai ngày Mai đã đọc được số phần số trang của quyển truyện là:

\frac{3}{5} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}

(số trang)
Mai còn phải đọc số phần số trang của quyển truyện là:

1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}

(số trang)
Đáp số:

\frac{1}{10}

số trang.

Vậy Mai còn phải đọc $\frac{1}{10}$ số trang của quyển truyện nữa thì xong.

2Cách 2. Trừ dần từng ngày (không cộng gộp trước)

Định hướng. Coi cả quyển truyện là 1 đơn vị, trừ dần từng phần đã đọc của từng ngày thay vì cộng gộp trước.

Bài giải
Sau ngày thứ Bảy, phần số trang còn lại là:

1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

(số trang)
Sau ngày Chủ nhật, phần số trang còn lại là:

\frac{2}{5} - \frac{3}{10} = \frac{4}{10} - \frac{3}{10} = \frac{1}{10}

(số trang)
Đáp số:

\frac{1}{10}

số trang.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: còn $\frac{1}{10}$ số trang.

3Cách 3. Sơ đồ đoạn thẳng (chia quyển truyện thành 10 phần bằng nhau)

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng biểu diễn cả quyển truyện, chia thành 10 phần bằng nhau (mẫu số chung của $\frac{3}{5}$ và $\frac{3}{10}$ ), tô phần đã đọc của từng ngày rồi đếm phần còn trống.

Đoạn thẳng biểu diễn quyển truyện chia thành

10

phần bằng nhau: ngày thứ Bảy đọc

\frac{3}{5} = \frac{6}{10}

, tức

6

phần; ngày Chủ nhật đọc thêm

\frac{3}{10}

, tức

3

phần. Tổng cộng đã tô

6 + 3 = 9

phần trong

10

phần, còn trống đúng

10 - 9 = 1

phần, tức

\frac{1}{10}

số trang (xem hình).
Đáp số:

\frac{1}{10}

số trang.

Vậy nhìn trên sơ đồ cũng thấy rõ phần còn trống là $\frac{1}{10}$ số trang, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Sơ đồ đoạn thẳng ở Cách 3 giúp 'nhìn thấy' ngay phần còn lại mà không cần làm phép trừ phân số, rất hợp để kiểm tra lại đáp số bằng mắt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (đúng khuôn Tóm tắt — Bài giải — Đáp số): cộng gộp hai ngày trước rồi trừ một lần, ít bước tính hơn Cách 2.

Đáp số.

\frac{1}{10}

số trang.

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: quên coi cả quyển truyện là 1 đơn vị, lấy nhầm

10 - 9 = 1

rồi ghi đáp số là '

1

số trang' thay vì đúng phải là

\frac{1}{10}

số trang (một phần mười quyển truyện).

🚀 Mở rộng. Thử đổi đề: nếu ngày thứ Hai Mai đọc thêm

\frac{1}{10}

số trang còn lại nữa thì Mai đã đọc xong đúng cả quyển truyện chưa? (Đáp: đã xong, vì

\frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 16

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Tiết 1 - Bài 5★★Trang 16— Phân tích một phân số thành tổng hai phân số tối giản (bài toán mở, đố vui)

Tiết 1 - Bài 5 (trang 16). Đố em! Viết phân số

\frac{3}{4}

thành tổng hai phân số tối giản.

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.
Có thể tách tử số của một phân số thành tổng hai số tự nhiên nhỏ hơn để được hai phân số cùng mẫu số có tổng bằng phân số ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán mở, có nhiều đáp án đúng miễn hai phân số cộng lại bằng

\frac{3}{4}

và cả hai đều tối giản (tử số, mẫu số không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1). Hướng làm nhanh nhất là tách

3

(tử số) thành tổng hai số tự nhiên nhỏ hơn rồi giữ nguyên mẫu số

4

, sau đó rút gọn nếu được.

1Cách 1. Tách trực tiếp tử số cùng mẫu số rồi rút gọn

Định hướng. Tách tử số $3$ thành $1 + 2$ , giữ nguyên mẫu số $4$ , được hai phân số cùng mẫu; rút gọn phân số nào chưa tối giản.

\frac{3}{4} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}

. Trong đó

\frac{1}{4}

đã tối giản, còn

\frac{2}{4}

rút gọn được thành

\frac{1}{2}

(vì

2

và

4

cùng chia hết cho

2

). Vậy:

\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}

. Kiểm tra lại:

\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}

(đúng).
Đáp số:

\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}

Vậy một cách viết đúng là $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Quy đồng lên mẫu số khác rồi tách tử số mới

Định hướng. Quy đồng $\frac{3}{4}$ lên mẫu số $8$ (mẫu số khác 4), tách tử số mới thành hai số sao cho cả hai phân số con đều tối giản với mẫu 8.

\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{1 + 5}{8} = \frac{1}{8} + \frac{5}{8}

. Cả

\frac{1}{8}

và

\frac{5}{8}

đều tối giản (1 và 5 đều không có ước chung nào với 8 lớn hơn 1). Kiểm tra:

\frac{1}{8} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

(đúng).
Đáp số:

\frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{5}{8}

(một cách viết khác với Cách 1).

Vậy Cách 2 cho một đáp án KHÁC Cách 1 nhưng vẫn đúng, chứng tỏ bài toán có nhiều lời giải.

3Cách 3. Liệt kê - thử các cặp phân số tối giản có mẫu số khác nhau

Định hướng. Thử ghép một phân số có mẫu số 3 với một phân số có mẫu số khác, sao cho tổng đúng bằng $\frac{3}{4}$ .

Thử

\frac{1}{3}

: còn thiếu

\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}

— mà

\frac{5}{12}

cũng tối giản (5 và 12 không có ước chung lớn hơn 1). Vậy còn có:

\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{5}{12}

.
Đáp số: có nhiều cách viết đúng, ví dụ

\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}

hoặc

\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{5}{12}

Vậy bài toán có nhiều đáp số đúng, miễn hai phân số tối giản cộng lại đúng bằng $\frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Đề bài không yêu cầu MỘT đáp số duy nhất — học sinh viết đúng bất kì cặp phân số tối giản nào có tổng bằng $\frac{3}{4}$ đều được chấp nhận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (tách tử số cùng mẫu rồi rút gọn) vì nhanh và chắc chắn ra một đáp số đúng, không cần thử nhiều lần như Cách 3.

Đáp số. Một cách viết đúng:

\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}

(học sinh viết đáp số tối giản khác vẫn đúng nếu tổng bằng

\frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: viết

\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}

mà quên rút gọn

\frac{2}{4}

thành

\frac{1}{2}

—

\frac{2}{4}

CHƯA tối giản (2 và 4 cùng chia hết cho 2) nên chưa thoả yêu cầu đề bài.

🚀 Mở rộng. Thử làm tương tự với

\frac{5}{6}

: viết thành tổng hai phân số tối giản (ví dụ

\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3}

, kiểm tra lại

\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 16

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Tiết 2 - Bài 1★Trang 16— Nhân, chia phân số; nhân, chia phân số với số tự nhiên

Tiết 2 - Bài 1 (trang 16). Tính.
a)

\frac{4}{7} \times \frac{7}{16} = ......

\frac{14}{9} : \frac{8}{9} = ......

5 \times \frac{3}{10} = ......

\frac{18}{7} : 6 = ......

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số.
Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số đảo ngược của phân số thứ hai.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b là nhân/chia hai phân số thuần tuý — nên rút gọn trước khi nhân để số nhỏ, dễ tính. Câu c, d có số tự nhiên nên phải viết số đó thành phân số có mẫu số 1 trước khi áp dụng đúng quy tắc nhân/chia phân số.

1Cách 1. Rút gọn trước khi nhân (rút gọn chéo)

Định hướng. Trước khi nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số, rút gọn các cặp tử số - mẫu số có ước chung để số tính toán nhỏ đi.

\frac{4}{7} \times \frac{7}{16}

: rút gọn

7

ở tử và mẫu, rút gọn

4

và

16

cho

4

= \frac{1}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

\frac{14}{9} : \frac{8}{9} = \frac{14}{9} \times \frac{9}{8}

: rút gọn

9

ở tử và mẫu, rút gọn

14

và

8

cho

2

= \frac{7}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

5 \times \frac{3}{10} = \frac{5 \times 3}{10}

: rút gọn

5

và

10

cho

5

= \frac{3}{2}

\frac{18}{7} : 6 = \frac{18}{7} \times \frac{1}{6}

: rút gọn

18

và

6

cho

6

= \frac{3}{7}

Đáp số: a)

\frac{1}{4}

; b)

\frac{7}{4}

; c)

\frac{3}{2}

; d)

\frac{3}{7}

Vậy bốn kết quả lần lượt là $\frac{1}{4}$ , $\frac{7}{4}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{3}{7}$ .

2Cách 2. Nhân/chia trực tiếp rồi mới rút gọn kết quả cuối

Định hướng. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu (hoặc đổi phép chia thành phép nhân với phân số đảo ngược) trước, rút gọn phân số kết quả sau cùng.

\frac{4}{7} \times \frac{7}{16} = \frac{4 \times 7}{7 \times 16} = \frac{28}{112} = \frac{1}{4}

\frac{14}{9} : \frac{8}{9} = \frac{14}{9} \times \frac{9}{8} = \frac{126}{72} = \frac{7}{4}

5 \times \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

\frac{18}{7} : 6 = \frac{18}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}

Đáp số: a)

\frac{1}{4}

; b)

\frac{7}{4}

; c)

\frac{3}{2}

; d)

\frac{3}{7}

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1, dù không rút gọn từ đầu.

3Cách 3. Tính ngược để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Sau khi tính ra kết quả, nhân hoặc chia ngược kết quả với phân số kia để kiểm tra có ra đúng phân số ban đầu không.

a) Kết quả nghi là

\frac{1}{4}

; kiểm tra:

\frac{1}{4} \times \frac{16}{7} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}

(đúng bằng phân số ban đầu) nên phép nhân đúng.
b) Kết quả nghi là

\frac{7}{4}

; kiểm tra:

\frac{7}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{56}{36} = \frac{14}{9}

(đúng bằng số bị chia) nên phép chia đúng.
c) Kết quả nghi là

\frac{3}{2}

; kiểm tra:

\frac{3}{2} : \frac{3}{10} = \frac{3}{2} \times \frac{10}{3} = 5

(đúng bằng thừa số ban đầu) nên phép nhân đúng.
d) Kết quả nghi là

\frac{3}{7}

; kiểm tra:

\frac{3}{7} \times 6 = \frac{18}{7}

(đúng bằng số bị chia) nên phép chia đúng.
Đáp số: a)

\frac{1}{4}

; b)

\frac{7}{4}

; c)

\frac{3}{2}

; d)

\frac{3}{7}

Vậy cả bốn kết quả đều được kiểm tra ngược thành công, khẳng định Cách 1 và Cách 2 làm đúng.

Nhận xét. Kiểm tra ngược (nhân/chia đảo lại) là cách tự chấm bài rất hiệu quả với phép nhân, chia phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (rút gọn chéo trước khi nhân) vì số tính toán nhỏ, ít khả năng nhân sai; Cách 3 (tính ngược) dùng để tự kiểm tra khi làm xong.

Đáp số. a)

\frac{1}{4}

; b)

\frac{7}{4}

; c)

\frac{3}{2}

; d)

\frac{3}{7}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở câu c, d: quên viết số tự nhiên (

5

hoặc

6

) thành phân số có mẫu số

1

trước, dẫn đến áp dụng sai quy tắc (ví dụ chia nhầm tử số cho

6

thay vì nhân với

\frac{1}{6}

🚀 Mở rộng. Thử tính

\frac{9}{20} : 3 \times \frac{4}{5}

— biểu thức có cả chia lẫn nhân liên tiếp, phải làm lần lượt từ trái sang phải.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 16

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Tiết 2 - Bài 2★★Trang 17— Toán có lời văn: chu vi, diện tích hình vuông với kết quả là phân số

Tiết 2 - Bài 2 (trang 17). Viết phân số thích hợp vào chỗ chấm.
Người ta làm một hàng rào xung quanh bồn hoa hình vuông. Biết tổng độ dài hàng rào đó là

14

m.
a) Độ dài cạnh của bồn hoa đó là …….. m.
b) Diện tích của bồn hoa đó là ……… m

^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình vuông bằng 4 lần độ dài cạnh, nên cạnh bằng chu vi chia cho 4.
Diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh (cùng đơn vị đo).

🧠 Phân tích tư duy

Hàng rào bao quanh bồn hoa chính là chu vi hình vuông, gồm 4 cạnh bằng nhau — nên cạnh bằng chu vi chia 4. Đây là dạng quen thuộc nhưng đáp số ra phân số (không phải số tự nhiên) vì

14

không chia hết cho

4

, đúng bối cảnh 'ôn tập phân số' của bài.

1Cách 1. Tính cạnh trước bằng phép chia, rồi tính diện tích

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức: cạnh bằng chu vi chia 4, diện tích bằng cạnh nhân cạnh.

Bài giải
Độ dài cạnh của bồn hoa là:

14 : 4 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}

(m)
Diện tích của bồn hoa là:

\frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{4}

^{2}

)
Đáp số: a)

\frac{7}{2}

m; b)

\frac{49}{4}

^{2}

Vậy cạnh bồn hoa là $\frac{7}{2}$ m và diện tích là $\frac{49}{4}$ m $^{2}$ .

2Cách 2. Đổi ra số thập phân để tính rồi đổi lại phân số

Định hướng. Tính bằng số thập phân cho trực quan ( $14 : 4 = 3, 5$ m), sau đó đổi kết quả sang phân số như đề yêu cầu.

Độ dài cạnh:

14 : 4 = 3, 5

m, đổi sang phân số:

3, 5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}

m. Diện tích:

3, 5 \times 3, 5 = 12, 25

^{2}

, đổi sang phân số:

12, 25 = \frac{1225}{100} = \frac{49}{4}

^{2}

.
Đáp số: a)

\frac{7}{2}

m; b)

\frac{49}{4}

^{2}

Vậy kết quả trùng với Cách 1: cạnh $\frac{7}{2}$ m, diện tích $\frac{49}{4}$ m $^{2}$ .

3Cách 3. Chia nhỏ hình vuông thành các ô đơn vị để kiểm tra diện tích

Định hướng. Coi cạnh $\frac{7}{2}$ m gồm $7$ nửa mét; hình vuông cạnh $7$ nửa-mét được ghép từ $7 \times 7 = 49$ ô vuông nhỏ cạnh $\frac{1}{2}$ m.

Mỗi ô vuông nhỏ cạnh

\frac{1}{2}

m có diện tích

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

^{2}

. Hình vuông lớn gồm

7 \times 7 = 49

ô như vậy, nên diện tích là

49 \times \frac{1}{4} = \frac{49}{4}

^{2}

.
Đáp số: diện tích bồn hoa là

\frac{49}{4}

^{2}

, khớp hai cách trên.

Vậy chia nhỏ hình vuông ra 49 ô cũng cho đúng diện tích $\frac{49}{4}$ m $^{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 giúp 'nhìn thấy' vì sao diện tích lại ra một phân số có tử số là 49 — đúng bằng số ô vuông nhỏ ghép nên hình lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (áp dụng công thức trực tiếp) vì nhanh gọn; Cách 2 (đổi thập phân) hợp để tự kiểm tra kết quả bằng phép tính quen thuộc hơn.

Đáp số. a)

\frac{7}{2}

m; b)

\frac{49}{4}

^{2}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: quên đơn vị diện tích là m

^{2}

(viết nhầm thành m), hoặc tính diện tích bằng cách lấy chu vi nhân cạnh thay vì cạnh nhân cạnh.

🚀 Mở rộng. Thử đổi tổng độ dài hàng rào thành

18

m — khi đó cạnh bồn hoa là

18 : 4 = \frac{9}{2}

m, diện tích là

\frac{81}{4}

^{2}

, vẫn ra phân số vì

18

không chia hết cho

4

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Tiết 2 - Bài 3★Trang 17— Tính giá trị biểu thức có phân số: nhân, chia liên tiếp và có dấu ngoặc

Tiết 2 - Bài 3 (trang 17). Tính giá trị của biểu thức.
a)

\frac{8}{15} \times \frac{5}{4} : 2 = ......

\frac{13}{9} : (\frac{13}{16} \times 4) = ......

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức chỉ có nhân, chia thì tính lần lượt từ trái sang phải.
Biểu thức có dấu ngoặc thì tính trong ngoặc trước.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ có nhân, chia nên làm lần lượt từ trái sang phải. Câu b có dấu ngoặc nên phải nhân trong ngoặc trước — bẫy hay gặp là chia

\frac{13}{9}

cho

\frac{13}{16}

trước rồi mới nhân 4, làm sai thứ tự phép tính.

1Cách 1. Tính lần lượt từ trái sang phải, rút gọn ở mỗi bước

Định hướng. Thực hiện đúng thứ tự các phép tính, rút gọn ngay khi có thể để số nhỏ, dễ tính bước sau.

\frac{8}{15} \times \frac{5}{4} : 2 = \frac{8 \times 5}{15 \times 4} : 2 = \frac{2}{3} : 2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

b) trong ngoặc trước:

\frac{13}{16} \times 4 = \frac{13}{4}

; rồi chia:

\frac{13}{9} : \frac{13}{4} = \frac{13}{9} \times \frac{4}{13} = \frac{4}{9}

Đáp số: a)

\frac{1}{3}

; b)

\frac{4}{9}

Vậy hai kết quả là $\frac{1}{3}$ và $\frac{4}{9}$ .

2Cách 2. Đổi mọi phép chia thành phép nhân với phân số đảo ngược ngay từ đầu

Định hướng. Viết lại toàn bộ biểu thức dưới dạng chỉ có phép nhân rồi nhân một lần, rút gọn cuối cùng.

\frac{8}{15} \times \frac{5}{4} : 2 = \frac{8}{15} \times \frac{5}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{8 \times 5 \times 1}{15 \times 4 \times 2} = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}

\frac{13}{9} : (\frac{13}{16} \times 4) = \frac{13}{9} \times \frac{16}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{13 \times 16 \times 1}{9 \times 13 \times 4} = \frac{208}{468} = \frac{4}{9}

Đáp số: a)

\frac{1}{3}

; b)

\frac{4}{9}

Vậy trùng khớp với Cách 1: $\frac{1}{3}$ và $\frac{4}{9}$ .

3Cách 3. Rút gọn ngay các thừa số trùng nhau trước khi nhân

Định hướng. Quan sát biểu thức thấy số $13$ ở câu b xuất hiện cả ở số bị chia lẫn số chia — rút gọn ngay hai số $13$ cho nhau trước khi tính.

\frac{13}{9} : (\frac{13}{16} \times 4)

: viết lại thành

\frac{13}{9} \times \frac{16}{13 \times 4}

, rút gọn

13

ở tử và mẫu ngay:

= \frac{1}{9} \times \frac{16}{4} = \frac{1}{9} \times 4 = \frac{4}{9}

a) tương tự rút gọn sớm:

\frac{8}{15} \times \frac{5}{4} : 2

, rút gọn

5

và

15

cho

5

, rút gọn

8

và

4

cho

4

= \frac{2}{3} \times \frac{1}{1} : 2 = \frac{2}{3} : 2 = \frac{1}{3}

Đáp số: a)

\frac{1}{3}

; b)

\frac{4}{9}

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả — rút gọn sớm (Cách 3) giúp các số luôn nhỏ, ít khả năng tính nhầm.

Nhận xét. Quan sát để rút gọn CHÉO trước khi nhân là kĩ năng quan trọng khi làm việc với phân số có tử, mẫu lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 3 (rút gọn sớm) khi thấy số trùng nhau giữa tử và mẫu như số 13 ở câu b; câu a không có số trùng rõ thì dùng Cách 1 (tính lần lượt) cho chắc chắn.

Đáp số. a)

\frac{1}{3}

; b)

\frac{4}{9}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở câu b: chia

\frac{13}{9}

cho

\frac{13}{16}

trước rồi mới nhân với

4

, quên biểu thức trong ngoặc

\frac{13}{16} \times 4

phải tính xong TRƯỚC khi đem ra chia.

🚀 Mở rộng. Thử tính

\frac{9}{25} : (\frac{3}{10} \times \frac{3}{5})

— cũng có ngoặc chứa phép nhân, rèn đúng kĩ năng tính trong ngoặc trước.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Tiết 2 - Bài 4★★Trang 17— Toán có lời văn: diện tích hình chữ nhật với các cạnh là phân số, chia đều thành nhiều phần

Tiết 2 - Bài 4 (trang 17). Một tấm tôn dạng hình chữ nhật có chiều dài

\frac{12}{5}

m, chiều rộng

\frac{5}{4}

m. Bác Sơn chia tấm tôn đó thành 4 phần bằng nhau (như hình vẽ) để làm thùng. Tính diện tích mỗi phần tấm tôn làm thùng.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng (cùng đơn vị đo).
Chia đều một hình thành n phần bằng nhau thì diện tích mỗi phần bằng diện tích cả hình chia cho n.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hình chữ nhật với chiều dài, chiều rộng là phân số, và hình vẽ cho thấy tấm tôn được chia thành 4 phần bằng nhau bởi các đường thẳng song song với chiều rộng. Hướng làm nhanh nhất: tính diện tích CẢ tấm tôn trước bằng phép nhân phân số, rồi chia đều cho 4 phần.

1Cách 1. Tính diện tích cả tấm tôn rồi chia 4

Định hướng. Tính diện tích cả tấm tôn hình chữ nhật bằng công thức chiều dài nhân chiều rộng, sau đó chia đều cho 4 phần.

Bài giải
Diện tích của tấm tôn hình chữ nhật đó là:

\frac{12}{5} \times \frac{5}{4} = 3

^{2}

)
Diện tích của mỗi phần tấm tôn làm thùng là:

3 : 4 = \frac{3}{4}

^{2}

)
Đáp số:

\frac{3}{4}

^{2}

Vậy diện tích mỗi phần tấm tôn là $\frac{3}{4}$ m $^{2}$ .

2Cách 2. Tính chiều dài mỗi phần trước, rồi tính diện tích trực tiếp

Định hướng. Vì 4 phần được chia bằng các đường song song với chiều rộng, chiều dài của mỗi phần bằng chiều dài cả tấm tôn chia 4; chiều rộng mỗi phần vẫn giữ nguyên $\frac{5}{4}$ m.

Chiều dài mỗi phần:

\frac{12}{5} : 4 = \frac{12}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{5}

(m). Diện tích mỗi phần:

\frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

^{2}

).
Đáp số:

\frac{3}{4}

^{2}

, khớp với Cách 1.

Vậy tính trực tiếp diện tích từng phần cũng cho đúng $\frac{3}{4}$ m $^{2}$ .

3Cách 3. Nhân ngược để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Coi diện tích cả tấm tôn là 1 khối gồm 4 phần bằng nhau; kiểm tra lại bằng cách nhân diện tích một phần với 4 xem có đúng bằng diện tích cả tấm không.

Diện tích cả tấm tôn đã tính ở Cách 1 là

3

^{2}

. Nếu diện tích mỗi phần là

\frac{3}{4}

^{2}

thì

4

phần phải có tổng diện tích:

\frac{3}{4} \times 4 = 3

^{2}

), đúng bằng diện tích cả tấm tôn.
Đáp số: xác nhận diện tích mỗi phần là

\frac{3}{4}

^{2}

Vậy phép nhân ngược ( $\frac{3}{4} \times 4 = 3$ ) xác nhận cả hai cách trên đều đúng.

Nhận xét. Nhân ngược đáp số với số phần là cách kiểm tra nhanh và đáng tin cậy cho mọi bài chia đều diện tích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (tính diện tích cả tấm rồi chia 4) vì đúng khuôn 'Bài giải' quen thuộc, ít bước tính hơn Cách 2.

Đáp số.

\frac{3}{4}

^{2}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: nhầm tưởng chia tấm tôn thành 4 phần thì CHIỀU RỘNG cũng bị chia 4, tính sai diện tích mỗi phần thành

\frac{12}{5} \times \frac{5}{4} : 4 : 4

(chia hai lần) thay vì chỉ chia diện tích cho 4 một lần.

🚀 Mở rộng. Thử đổi đề: nếu Bác Sơn chia tấm tôn thành 6 phần bằng nhau, diện tích mỗi phần sẽ là

3 : 6 = \frac{1}{2}

^{2}

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Tiết 2 - Bài 5★★Trang 18— Tính bằng cách thuận tiện: áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân phân số

Tiết 2 - Bài 5 (trang 18). Tính bằng cách thuận tiện.
a)

\frac{7}{9} \times \frac{13}{17} \times \frac{17}{13} = ......

\frac{15}{14} \times \frac{8}{11} \times \frac{7}{15} \times \frac{11}{8} = ......

Kiến thức cần nhớ

Tích của một phân số với phân số nghịch đảo của nó luôn bằng 1.
Phép nhân nhiều phân số có tính chất giao hoán và kết hợp: có thể đổi chỗ, nhóm các thừa số theo thứ tự thuận tiện nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có các phân số 'nghịch đảo của nhau' xuất hiện trong tích, như

\frac{13}{17}

và

\frac{17}{13}

ở câu a. Nếu nhân đúng thứ tự viết sẽ ra số rất to, khó rút gọn. Vì vậy phải dùng tính chất giao hoán để đưa hai phân số nghịch đảo lại gần nhau, nhân trước để triệt tiêu thành 1.

1Cách 1. Nhóm hai phân số nghịch đảo lại với nhau

Định hướng. Dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm riêng cặp phân số nghịch đảo của nhau, nhân trước để được kết quả bằng 1.

\frac{7}{9} \times \frac{13}{17} \times \frac{17}{13} = \frac{7}{9} \times (\frac{13}{17} \times \frac{17}{13}) = \frac{7}{9} \times 1 = \frac{7}{9}

\frac{15}{14} \times \frac{8}{11} \times \frac{7}{15} \times \frac{11}{8} = (\frac{15}{14} \times \frac{7}{15}) \times (\frac{8}{11} \times \frac{11}{8}) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}

Đáp số: a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{1}{2}

Vậy hai kết quả là $\frac{7}{9}$ và $\frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp theo đúng thứ tự viết rồi rút gọn

Định hướng. Nhân lần lượt từ trái sang phải theo đúng thứ tự đề cho, rút gọn dần ở mỗi bước — để thấy vì sao Cách 1 thuận tiện hơn hẳn.

\frac{7}{9} \times \frac{13}{17} = \frac{91}{153}

; rồi

\frac{91}{153} \times \frac{17}{13} = \frac{91 \times 17}{153 \times 13}

, rút gọn

17

với

153

(vì

153 = 17 \times 9

) được

\frac{91}{9 \times 13} = \frac{91}{117}

, rút gọn tiếp

91

và

117

cho

13

= \frac{7}{9}

b) nhân lần lượt bốn phân số theo đúng thứ tự rồi rút gọn dần cũng ra

\frac{1}{2}

nhưng các số trung gian lớn hơn nhiều (tử số, mẫu số có tới 4-5 chữ số).
Đáp số: a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{1}{2}

Vậy kết quả cuối cùng vẫn giống Cách 1, nhưng các bước trung gian phức tạp hơn hẳn — đúng như tên bài 'tính bằng cách thuận tiện' gợi ý.

3Cách 3. Rút gọn chéo tất cả các thừa số trước khi nhân bất kì cặp nào

Định hướng. Nhìn toàn bộ dãy phân số một lượt, rút gọn mọi cặp tử số - mẫu số trùng nhau trước, dù chúng không đứng cạnh nhau.

a) trong dãy

\frac{7}{9} \times \frac{13}{17} \times \frac{17}{13}

, thấy

13

(tử của phân số 2) trùng mẫu của phân số 3 và

17

(mẫu của phân số 2) trùng tử của phân số 3 — rút gọn cả hai cặp cùng lúc, chỉ còn lại

\frac{7}{9}

.
b) trong dãy

\frac{15}{14} \times \frac{8}{11} \times \frac{7}{15} \times \frac{11}{8}

, rút gọn

15

(tử 1, mẫu 3), rút gọn

8

(tử 2, mẫu 4) và rút gọn

11

(mẫu 2, tử 4) cùng lúc, chỉ còn

\frac{1}{14} \times 7 = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}

.
Đáp số: a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{1}{2}

Vậy rút gọn chéo toàn bộ dãy một lượt cho kết quả nhanh nhất, giống Cách 1 nhưng không cần viết ngoặc nhóm riêng.

Nhận xét. Cách 1 (nhóm cặp nghịch đảo) và Cách 3 (rút gọn chéo cả dãy) thực chất cùng một tư duy 'tìm cặp số triệt tiêu nhau' — chỉ khác cách trình bày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (nhóm cặp phân số nghịch đảo bằng tính chất kết hợp) vì trình bày rõ ràng, dễ chấm điểm; Cách 3 nhanh hơn khi làm nháp cá nhân.

Đáp số. a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: nhân tuần tự từ trái sang phải mà không nhận ra cặp nghịch đảo, dẫn tới nhân số quá lớn rồi rút gọn sai hoặc bỏ sót ước chung, ra kết quả chưa tối giản.

🚀 Mở rộng. Thử tính bằng cách thuận tiện:

\frac{5}{8} \times \frac{9}{11} \times \frac{8}{5} \times \frac{11}{9}

— có tới HAI cặp nghịch đảo, tích cuối cùng bằng

1

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Tiết 3 - Bài 1★★Trang 18— Nhận biết đúng/sai của một phép tính phân số đã làm sẵn (kiểm tra lại từng bước)

Tiết 3 - Bài 1 (trang 18). Đ, S? Với mỗi phép tính sau, đúng thì ghi Đ, sai thì ghi S.
a)

\frac{11}{15} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

\frac{13}{18} + \frac{5}{6} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}

\frac{5}{14} \times \frac{7}{3} = \frac{35}{42} = \frac{5}{6}

\frac{20}{27} : \frac{4}{3} = \frac{60}{108} = \frac{5}{9}

Kiến thức cần nhớ

Muốn kiểm tra một phép cộng, trừ phân số đã quy đồng, phải kiểm tra mẫu số chung có đúng là bội chung của hai mẫu số ban đầu không.
Một phép tính có nhiều bước thì mỗi bước phải đúng — sai bước quy đồng làm sai luôn cả kết quả cuối, dù bước rút gọn sau đó tính đúng.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là dạng bài yêu cầu KIỂM TRA lại phép tính người khác đã làm, không phải tự tính từ đầu — phải tính LẠI ĐỘC LẬP từng câu rồi so với kết quả đề đưa ra, không được nhìn qua loa rồi đoán đúng/sai. Bẫy: câu a) mẫu số chung dùng trong bài (12) không phải là mẫu số chung đúng của 15 và 3 (phải là 15), nên toàn bộ phép quy đồng ở câu a sai ngay từ bước quy đồng.

1Cách 1. Tính lại độc lập rồi so sánh với đề

Định hướng. Với mỗi câu, tự tính lại từ đầu bằng cách quy đồng đúng mẫu số chung, so kết quả của mình với kết quả đề đã cho.

a) Tính lại: mẫu chung của

15

và

3

là

15

(không phải

12

như đề ghi):

\frac{11}{15} - \frac{2}{3} = \frac{11}{15} - \frac{10}{15} = \frac{1}{15}

. Kết quả đúng là

\frac{1}{15}

, KHÁC với

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

mà đề ghi — câu a) SAI, ghi S.
b) Tính lại: mẫu chung của

18

và

6

là

18

\frac{13}{18} + \frac{5}{6} = \frac{13}{18} + \frac{15}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}

. Khớp đúng với đề — câu b) ĐÚNG, ghi Đ.
c) Tính lại:

\frac{5}{14} \times \frac{7}{3} = \frac{35}{42}

, rút gọn

\frac{35}{42} = \frac{5}{6}

(chia cả tử và mẫu cho

7

). Khớp đúng với đề — câu c) ĐÚNG, ghi Đ.
d) Tính lại:

\frac{20}{27} : \frac{4}{3} = \frac{20}{27} \times \frac{3}{4} = \frac{60}{108}

, rút gọn

\frac{60}{108} = \frac{5}{9}

(chia cả tử và mẫu cho

12

). Khớp đúng với đề — câu d) ĐÚNG, ghi Đ.
Đáp số: a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.

Vậy bốn câu lần lượt là S, Đ, Đ, Đ — chỉ câu a) sai vì quy đồng nhầm mẫu số chung.

2Cách 2. Kiểm tra ngược bằng phép tính đảo

Định hướng. Với câu trừ, cộng ngược kết quả với số trừ xem có ra đúng số bị trừ không; với câu chia, nhân ngược kết quả với số chia xem có ra đúng số bị chia không.

a) Đề ghi kết quả

\frac{3}{4}

; kiểm tra ngược:

\frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12}

, mà

\frac{17}{12}

khác

\frac{11}{15}

(số bị trừ ban đầu) — không khớp nên câu a) SAI, ghi S.
b) Đề ghi kết quả

\frac{14}{9}

; kiểm tra ngược:

\frac{14}{9} - \frac{5}{6} = \frac{28}{18} - \frac{15}{18} = \frac{13}{18}

, đúng bằng số hạng ban đầu — câu b) ĐÚNG, ghi Đ.
c) Đề ghi kết quả

\frac{5}{6}

; kiểm tra ngược:

\frac{5}{6} : \frac{7}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}

, đúng bằng thừa số ban đầu — câu c) ĐÚNG, ghi Đ.
d) Đề ghi kết quả

\frac{5}{9}

; kiểm tra ngược:

\frac{5}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{27}

, đúng bằng số bị chia ban đầu — câu d) ĐÚNG, ghi Đ.
Đáp số: a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.

Vậy kiểm tra ngược cho cùng kết quả với Cách 1: chỉ câu a) sai.

3Cách 3. Ước lượng bằng số thập phân để phát hiện nhanh câu sai

Định hướng. Đổi các phân số ra số thập phân gần đúng để so sánh nhanh hai vế, phát hiện ngay câu nào chênh lệch rõ rệt trước khi tính chính xác.

\frac{11}{15} \approx 0, 73

;

\frac{2}{3} \approx 0, 67

; hiệu ước lượng khoảng

0, 06

— rất khác xa

\frac{3}{4} = 0, 75

mà đề ghi, nên nghi ngờ câu a) SAI ngay từ bước ước lượng, tính chính xác lại xác nhận đúng là

\frac{1}{15} \approx 0, 07

, không phải

0, 75

.
b)

\frac{13}{18} \approx 0, 72

;

\frac{5}{6} \approx 0, 83

; tổng ước lượng khoảng

1, 56

, gần với

\frac{14}{9} \approx 1, 56

— câu b) ĐÚNG.
c)

\frac{5}{14} \approx 0, 36

;

\frac{7}{3} \approx 2, 33

; tích ước lượng khoảng

0, 83

, gần với

\frac{5}{6} \approx 0, 83

— câu c) ĐÚNG.
d)

\frac{20}{27} \approx 0, 74

;

\frac{4}{3} \approx 1, 33

; thương ước lượng khoảng

0, 56

, gần với

\frac{5}{9} \approx 0, 56

— câu d) ĐÚNG.
Đáp số: a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.

Vậy ước lượng thập phân phát hiện ngay câu a) là câu sai duy nhất, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Câu a) là câu 'bẫy' rõ nhất của bài: chỉ cần thuộc đúng cách tìm mẫu số chung (bội chung nhỏ nhất của 15 và 3 là 15, không phải 12) là tránh được lỗi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 3 (ước lượng thập phân) để phát hiện nhanh câu a) là câu sai, sau đó dùng Cách 1 (tính lại độc lập) để có lời giải chắc chắn ghi vào bài.

Đáp số. a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: thấy đề đã 'tính sẵn' nên tin luôn kết quả mà không kiểm tra lại bước quy đồng ở câu a) — mẫu số

12

KHÔNG phải là bội chung của

15

và

3

(bội chung nhỏ nhất đúng phải là

15

), nên toàn bộ câu a) sai từ bước đầu tiên dù bước rút gọn

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

ở sau lại tính đúng.

🚀 Mở rộng. Thử tự đặt thêm câu e)

\frac{7}{10} + \frac{1}{5} = \frac{9}{10}

— tính lại xem đúng hay sai (đáp: đúng, vì

\frac{7}{10} + \frac{2}{10} = \frac{9}{10}

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Tiết 3 - Bài 2★★Trang 18— Tính giá trị biểu thức có phân số: nhân với tổng trong ngoặc; trừ kết hợp chia

Tiết 3 - Bài 2 (trang 18). Tính giá trị của biểu thức.
a)

\frac{8}{9} \times (\frac{1}{8} + \frac{3}{4}) = ......

\frac{28}{24} - \frac{4}{6} : 2 = ......

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức có dấu ngoặc thì tính trong ngoặc trước.
Biểu thức có cả nhân/chia lẫn cộng/trừ thì thực hiện nhân, chia trước; cộng, trừ sau.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có dấu ngoặc nên cộng trong ngoặc trước rồi mới nhân. Câu b có cả trừ và chia nên phải chia trước, trừ sau — bẫy hay gặp là trừ

\frac{28}{24}

cho

\frac{4}{6}

trước rồi mới chia 2, làm sai thứ tự ưu tiên phép tính.

1Cách 1. Tính đúng thứ tự ưu tiên phép tính

Định hướng. Ở câu a, cộng trong ngoặc trước rồi nhân; ở câu b, chia trước rồi mới trừ.

a) trong ngoặc trước:

\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7}{8}

; nhân tiếp:

\frac{8}{9} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{9}

b) chia trước:

\frac{4}{6} : 2 = \frac{4}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

; trừ tiếp:

\frac{28}{24} - \frac{1}{3} = \frac{28}{24} - \frac{8}{24} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}

Đáp số: a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{5}{6}

Vậy hai kết quả là $\frac{7}{9}$ và $\frac{5}{6}$ .

2Cách 2. Rút gọn phân số trước rồi mới tính

Định hướng. Rút gọn các phân số về dạng tối giản trước khi thực hiện phép tính chính, tránh số lớn không cần thiết.

\frac{8}{9}

đã tối giản; trong ngoặc:

\frac{1}{8} + \frac{3}{4} = \frac{7}{8}

(đã tối giản); nhân:

\frac{8}{9} \times \frac{7}{8}

, rút gọn

8

ở tử và mẫu:

= \frac{1}{9} \times 7 = \frac{7}{9}

b) rút gọn

\frac{28}{24} = \frac{7}{6}

và

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

trước; chia:

\frac{2}{3} : 2 = \frac{1}{3}

; trừ:

\frac{7}{6} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Đáp số: a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{5}{6}

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1, tính toán gọn hơn nhờ rút gọn sớm.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để ước lượng, kiểm tra lại kết quả phân số

Định hướng. Ước lượng nhanh bằng số thập phân trước, rồi so sánh với kết quả phân số đã tính để tự kiểm tra.

\frac{8}{9} \approx 0, 89

; trong ngoặc

\approx 0, 875

; tích ước lượng

\approx 0, 78

, gần với

\frac{7}{9} \approx 0, 78

(khớp).
b)

\frac{28}{24} \approx 1, 17

;

\frac{4}{6} : 2 \approx 0, 33

; hiệu ước lượng

\approx 0, 83

, gần với

\frac{5}{6} \approx 0, 83

(khớp).
Đáp số: a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{5}{6}

Vậy cả hai kết quả phân số đều khớp với ước lượng thập phân.

Nhận xét. Hai câu của bài rèn đúng hai bẫy thứ tự phép tính khác nhau: ngoặc-trước (câu a) và nhân/chia-trước-cộng/trừ-sau (câu b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 2 (rút gọn trước khi tính) vì số nhỏ, ít khả năng nhân/cộng sai; Cách 3 dùng để tự kiểm tra lại đáp số.

Đáp số. a)

\frac{7}{9}

; b)

\frac{5}{6}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở câu b: trừ

\frac{28}{24}

cho

\frac{4}{6}

trước rồi mới chia

2

, làm sai thứ tự ưu tiên (đúng ra phải chia

\frac{4}{6}

cho

2

trước, được

\frac{1}{3}

, rồi mới trừ).

🚀 Mở rộng. Thử tính

\frac{9}{10} \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{4} : 2

— biểu thức có đủ cả ngoặc, nhân, chia, cộng, rèn đúng thứ tự ưu tiên phép tính đầy đủ nhất.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Tiết 3 - Bài 3★★Trang 18— Toán có lời văn: tìm một số biết tỉ số với số đã cho (phân số của một số)

Tiết 3 - Bài 3 (trang 18). Hưởng ứng phong trào trồng cây xanh, lớp 5A trồng được 72 cây, lớp 5B trồng được số cây bằng

\frac{8}{9}

số cây của lớp 5A. Hỏi cả lớp 5A và lớp 5B trồng được bao nhiêu cây?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm phân số của một số, ta lấy số đó nhân với phân số.
Tổng số của hai nhóm bằng số của nhóm này cộng số của nhóm kia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số cây lớp 5A và tỉ số của số cây lớp 5B so với 5A — dấu hiệu của dạng 'tìm phân số của một số'. Hướng làm: nhân số cây lớp 5A với phân số

\frac{8}{9}

để ra số cây lớp 5B, rồi cộng hai lớp lại.

1Cách 1. Tìm số cây lớp 5B rồi cộng hai lớp (đúng khuôn Tóm tắt — Bài giải — Đáp số)

Định hướng. Tìm số cây lớp 5B bằng cách nhân số cây lớp 5A với phân số $\frac{8}{9}$ , sau đó cộng số cây hai lớp lại.

Tóm tắt
Lớp 5A: 72 cây
Lớp 5B: bằng

\frac{8}{9}

số cây lớp 5A
Cả hai lớp: ? cây

Bài giải
Lớp 5B trồng được số cây là:

72 \times \frac{8}{9} = 64

(cây)
Cả hai lớp 5A và 5B trồng được số cây là:

72 + 64 = 136

(cây)
Đáp số:

136

cây.

Vậy cả hai lớp trồng được $136$ cây.

2Cách 2. Viết gộp một biểu thức liên tiếp

Định hướng. Viết gộp phép tính tìm số cây lớp 5B và phép cộng hai lớp thành một biểu thức liên tiếp, không tách hai bước riêng.

Số cây cả hai lớp là:

72 + 72 \times \frac{8}{9} = 72 + 64 = 136

(cây)
Đáp số:

136

cây, khớp với Cách 1.

Vậy viết gộp một biểu thức vẫn cho đúng $136$ cây.

3Cách 3. Dùng tính chất nhân một số với một tổng (tính theo tỉ số gộp)

Định hướng. Coi số cây lớp 5A là 1 lần ( $\frac{9}{9}$ lần), cả hai lớp gộp lại là $(1 + \frac{8}{9})$ lần số cây lớp 5A, tính tỉ số này trước rồi nhân một lần với 72.

Cả hai lớp bằng số lần số cây lớp 5A là:

1 + \frac{8}{9} = \frac{9}{9} + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}

(lần). Số cây cả hai lớp là:

72 \times \frac{17}{9} = 136

(cây)
Đáp số:

136

cây.

Vậy cách tính gộp theo tỉ số $\frac{17}{9}$ cũng cho đúng $136$ cây, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ cần MỘT phép nhân duy nhất (thay vì một phép nhân và một phép cộng) — rất hợp khi phải tính nhẩm nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (đúng khuôn Tóm tắt — Bài giải — Đáp số) vì rõ từng bước, dễ trình bày và dễ chấm điểm.

Đáp số. 136 cây.

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: nhầm

\frac{8}{9}

là số cây lớp 5B ÍT HƠN lớp 5A

\frac{8}{9}

số cây (tức lấy

72 - 72 \times \frac{8}{9}

) thay vì đúng nghĩa 'số cây lớp 5B BẰNG

\frac{8}{9}

số cây lớp 5A' (phải nhân, không trừ).

🚀 Mở rộng. Thử đổi đề: nếu lớp 5B trồng nhiều hơn lớp 5A

\frac{1}{9}

số cây lớp 5A (thay vì bằng

\frac{8}{9}

), thì lớp 5B trồng được

72 + 72 \times \frac{1}{9} = 80

cây.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Tiết 3 - Bài 4★★Trang 19— Tính bằng cách thuận tiện: áp dụng tính chất một số nhân với một tổng

Tiết 3 - Bài 4 (trang 19). Tính bằng cách thuận tiện.
a)

\frac{5}{13} \times \frac{3}{8} + \frac{8}{13} \times \frac{3}{8} = ......

\frac{7}{8} \times \frac{11}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{7}{8} = ......

Kiến thức cần nhớ

Tính chất một số nhân với một tổng: $a \times b + a \times c = a \times (b + c)$ .
Phép nhân phân số có tính chất giao hoán nên $a \times b$ và $b \times a$ là như nhau — có thể đổi chỗ để nhận ra thừa số chung.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có dạng

a \times b + c \times b

— cùng một thừa số

\frac{3}{8}

(câu a) hoặc

\frac{7}{8}

(câu b) xuất hiện ở cả hai tích. Dấu hiệu này cho thấy nên đặt thừa số chung ra ngoài theo tính chất một số nhân với một tổng, thay vì nhân từng tích rồi cộng (sẽ ra số lớn, khó rút gọn).

1Cách 1. Đặt thừa số chung ra ngoài (nhân một số với một tổng)

Định hướng. Nhận ra thừa số chung ở cả hai tích, đặt ra ngoài dấu ngoặc rồi cộng hai phân số còn lại bên trong.

\frac{5}{13} \times \frac{3}{8} + \frac{8}{13} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{8} \times (\frac{5}{13} + \frac{8}{13}) = \frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8}

b) đổi chỗ thừa số

\frac{1}{6} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{8} \times \frac{1}{6}

\frac{7}{8} \times \frac{11}{6} + \frac{7}{8} \times \frac{1}{6} = \frac{7}{8} \times (\frac{11}{6} + \frac{1}{6}) = \frac{7}{8} \times 2 = \frac{7}{4}

Đáp số: a)

\frac{3}{8}

; b)

\frac{7}{4}

Vậy hai kết quả là $\frac{3}{8}$ và $\frac{7}{4}$ .

2Cách 2. Nhân từng tích rồi cộng lại (không dùng tính chất phân phối)

Định hướng. Tính riêng từng tích theo đúng thứ tự đề cho rồi mới cộng hai kết quả lại, để thấy vì sao Cách 1 thuận tiện hơn.

\frac{5}{13} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{104}

;

\frac{8}{13} \times \frac{3}{8} = \frac{24}{104}

; cộng lại:

\frac{15}{104} + \frac{24}{104} = \frac{39}{104} = \frac{3}{8}

(rút gọn cho

13

)
b)

\frac{7}{8} \times \frac{11}{6} = \frac{77}{48}

;

\frac{1}{6} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{48}

; cộng lại:

\frac{77}{48} + \frac{7}{48} = \frac{84}{48} = \frac{7}{4}

(rút gọn cho

12

)
Đáp số: a)

\frac{3}{8}

; b)

\frac{7}{4}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1, nhưng số tính toán trung gian lớn hơn hẳn.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra kết quả

Định hướng. Đổi các phân số ra số thập phân, cộng theo cả hai cách trên để đối chiếu kết quả cuối cùng.

\frac{5}{13} \approx 0, 385

\frac{8}{13} \approx 0, 615

\frac{3}{8} = 0, 375

; tính:

(0, 385 + 0, 615) \times 0, 375 = 1 \times 0, 375 = 0, 375

, đúng bằng

\frac{3}{8}

.
b)

\frac{7}{8} = 0, 875

;

\frac{11}{6} \approx 1, 833

;

\frac{1}{6} \approx 0, 167

; tính:

0, 875 \times (1, 833 + 0, 167) = 0, 875 \times 2 = 1, 75

, đúng bằng

\frac{7}{4} = 1, 75

.
Đáp số: a)

\frac{3}{8}

; b)

\frac{7}{4}

Vậy kiểm tra bằng số thập phân xác nhận cả hai kết quả phân số đều đúng.

Nhận xét. Nhận diện được thừa số chung ( $\frac{3}{8}$ ở câu a, $\frac{7}{8}$ ở câu b) là chìa khoá để làm 'thuận tiện' — không có bước này bài vẫn ra đúng đáp số nhưng mất nhiều thời gian hơn hẳn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (đặt thừa số chung ra ngoài) vì đúng tinh thần 'tính bằng cách thuận tiện' của đề, số tính toán nhỏ nhất.

Đáp số. a)

\frac{3}{8}

; b)

\frac{7}{4}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp ở câu b: không nhận ra

\frac{1}{6} \times \frac{7}{8}

và

\frac{7}{8} \times \frac{11}{6}

có chung thừa số

\frac{7}{8}

vì thứ tự viết khác nhau — quên áp dụng tính chất giao hoán trước khi đặt thừa số chung.

🚀 Mở rộng. Thử tính bằng cách thuận tiện:

\frac{9}{10} \times \frac{2}{7} + \frac{9}{10} \times \frac{5}{7}

— cùng dạng nhưng thừa số chung đứng trước cả hai tích, dễ nhận ra hơn.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Tiết 3 - Bài 5★★★Trang 19— Toán có lời văn ứng dụng thực tế: chia đoạn dây thành các phần bằng nhau để đo một độ dài cho trước

Tiết 3 - Bài 5 (trang 19). Đố em! Mai ơi! Từ đoạn dây dài

\frac{4}{3}

m, làm thế nào lấy được đoạn dây dài 1 m mà không dùng thước đo nhỉ? Em hãy cùng Mai tìm cách giúp Nam.

Kiến thức cần nhớ

Gấp đôi liên tiếp một đoạn dây chia đoạn đó thành các phần bằng nhau: gấp đôi 1 lần được 2 phần, gấp đôi 2 lần được 4 phần.
Nếu đoạn dây dài $\frac{4}{3}$ m gồm đúng 4 phần bằng nhau thì mỗi phần dài $\frac{4}{3} : 4 = \frac{1}{3}$ m, và 3 phần trong số đó ghép lại dài đúng 1 m.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán mở kiểu 'đố vui' không có phép tính đặt sẵn — phải tự nghĩ ra CÁCH LÀM (gấp đoạn dây) rồi mới tính bằng số. Mấu chốt:

\frac{4}{3}

m hơn

1

m đúng

\frac{1}{3}

m; nếu gấp đoạn dây thành các phần bằng

\frac{1}{3}

m thì có thể đo được đúng 1 m mà không cần thước, vì

\frac{4}{3}

m gồm đúng

4

phần

\frac{1}{3}

1Cách 1. Gấp đôi liên tiếp để chia đoạn dây thành 4 phần bằng nhau

Định hướng. Gấp đôi đoạn dây 2 lần liên tiếp để chia thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần dài $\frac{4}{3} : 4 = \frac{1}{3}$ m, rồi lấy đúng 3 trong 4 phần đó.

Gấp đôi đoạn dây lần thứ nhất được

2

phần bằng nhau, mỗi phần dài

\frac{4}{3} : 2 = \frac{2}{3}

m. Gấp đôi tiếp lần thứ hai, mỗi phần lại chia đôi, được

4

phần bằng nhau, mỗi phần dài

\frac{2}{3} : 2 = \frac{1}{3}

m.
Kiểm tra:

4

phần mỗi phần

\frac{1}{3}

m ghép lại vừa đúng

\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}

m, khớp đoạn dây ban đầu.
Lấy đúng

3

phần trong

4

phần đó ghép lại, ta được đoạn dây dài:

\frac{1}{3} \times 3 = 1

(m)
Đáp số: gấp đôi đoạn dây 2 lần để chia thành 4 phần bằng

\frac{1}{3}

m, lấy 3 phần được đúng 1 m.

Vậy gấp đôi đoạn dây 2 lần liên tiếp rồi lấy 3 trong 4 phần bằng nhau là cách lấy đúng 1 m mà không cần thước.

2Cách 2. Tính phần dư trước rồi suy ra cách cắt bỏ

Định hướng. Tính xem đoạn dây $\frac{4}{3}$ m dài hơn 1 m bao nhiêu, từ đó suy ra cần gấp để đo và cắt bỏ đúng phần dư đó.

\frac{4}{3}

m dài hơn

1

m số mét là:

\frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}

(m). Vậy chỉ cần cắt bớt đúng

\frac{1}{3}

m thì đoạn dây còn lại sẽ dài đúng

1

m. Để đo được

\frac{1}{3}

m mà không dùng thước, ta tìm xem

\frac{4}{3}

m gấp bao nhiêu lần

\frac{1}{3}

\frac{4}{3} : \frac{1}{3} = 4

(lần), nghĩa là gấp đoạn dây thành

4

phần bằng nhau (mỗi phần

\frac{1}{3}

m) rồi cắt bỏ đúng

1

phần, giữ lại

3

phần dài đúng

1

m.
Đáp số: cắt bỏ đúng

1

trong

4

phần bằng nhau (mỗi phần

\frac{1}{3}

m) của đoạn dây.

Vậy tính phần dư $\frac{1}{3}$ m trước cũng dẫn tới đúng cách làm: chia dây thành 4 phần, cắt bỏ 1 phần.

3Cách 3. Sơ đồ đoạn thẳng minh hoạ 4 phần bằng nhau

Định hướng. Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn đoạn dây $\frac{4}{3}$ m, chia thành 4 phần bằng nhau, tô đậm 3 phần cần giữ lại để nhìn trực quan phần cần lấy.

Trên sơ đồ, đoạn dây

\frac{4}{3}

m được chia thành

4

phần bằng nhau, mỗi phần đại diện cho

\frac{1}{3}

m (xem hình). Tô đậm

3

phần liền nhau: tổng độ dài phần tô đậm là

\frac{1}{3} \times 3 = 1

(m), đúng bằng đoạn dây cần lấy; phần còn lại (1 phần,

\frac{1}{3}

m) là phần thừa cần bỏ đi.
Đáp số: lấy đúng 3 phần liền nhau trong 4 phần bằng nhau của đoạn dây.

Vậy nhìn trên sơ đồ cũng thấy ngay 3 phần tô đậm dài đúng 1 m, khớp cả hai cách tính ở trên.

Nhận xét. Bài toán 'đố em' này không có một phép tính duy nhất mà là một CÁCH LÀM thực tế — điều quan trọng là giải thích được VÌ SAO gấp đôi 2 lần lại cho ra đúng phần cần lấy, không chỉ nêu kết quả 1 m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài nên dùng Cách 1 (gấp đôi liên tiếp) vì đúng với cách làm thực tế ngoài đời — không cần tính phần dư như Cách 2, chỉ cần gấp đôi 2 lần là ra ngay 4 phần bằng nhau.

Đáp số. Gấp đôi đoạn dây 2 lần liên tiếp để chia thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần

\frac{1}{3}

m), rồi lấy đúng 3 phần liền nhau, được đoạn dây dài đúng 1 m.

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp: gấp đôi 1 lần (được 2 phần, mỗi phần

\frac{2}{3}

m) rồi dừng lại, tưởng lấy 1 phần là xong — thực ra

\frac{2}{3}

m chưa đúng 1 m, phải gấp đôi thêm lần nữa mới ra phần

\frac{1}{3}

m để ghép đủ 3 phần thành 1 m.

🚀 Mở rộng. Thử đố tương tự với đoạn dây dài

\frac{5}{4}

m, muốn lấy đúng 1 m: đoạn dây hơn 1 m đúng

\frac{1}{4}

m, cần nghĩ cách gấp phù hợp để đo được

\frac{1}{4}

m mà không dùng thước.

Nguồn: Vở bài tập Toán 5 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://loigiaihay.com/giai-bai-5-on-tap-cac-phep-tinh-voi-phan-so-tiet-1-trang-15-16-vo-bai-tap-toan-5-ket-noi-tri-thuc-a172753.html · https://loigiaihay.com/giai-bai-5-on-tap-cac-phep-tinh-voi-phan-so-tiet-2-trang-16-17-18-vo-bai-tap-toan-5-ket-noi-tri-thuc-a172754.html · https://loigiaihay.com/giai-bai-5-on-tap-cac-phep-tinh-voi-phan-so-tiet-3-trang-18-19-vo-bai-tap-toan-5-ket-noi-tri-thuc-a172755.html · https://vietjack.com/vbt-toan-5-kn/bai-5-on-tap-cac-phep-tinh-voi-phan-so.jsp