Bài 10. Số nguyên tố

Cơ số 6, 9, 8 trong A, B chưa phải số nguyên tố nên ta viết mỗi cơ số thành tích các thừa số nguyên tố trước, sau đó dùng công thức lũy thừa của lũy thừa $(x^m{)}^n=x^{m\cdot n}$ để gộp số mũ cùng cơ số.

Vậy $A=2^2\cdot 3^8$ và $B=2^6\cdot 3\cdot 5^2$.

Để kiểm chứng theo một hướng đi khác, ta tính A, B ra giá trị cụ thể rồi chia liên tiếp cho các số nguyên tố tăng dần đến khi thương bằng 1.

Vậy $A=2^2\cdot 3^8$, $B=2^6\cdot 3\cdot 5^2$.

Với mỗi số, ta chia liên tiếp cho các số nguyên tố tăng dần $2,3,5,7,\dots$ cho đến khi thương bằng 1.

Vậy $145=5\cdot 29$; $310=2\cdot 5\cdot 31$; $2020=2^2\cdot 5\cdot 101$.

Ta tách mỗi số thành tích của hai số quen thuộc rồi phân tích tiếp từng thừa số cho đến khi tất cả các thừa số đều là số nguyên tố.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $145=5\cdot 29$; $310=2\cdot 5\cdot 31$; $2020=2^2\cdot 5\cdot 101$.

Chữ số $a$ chạy từ 0 đến 9 nên ta xét lần lượt từng giá trị, dùng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 để loại nhanh các hợp số, số còn nghi vấn thì chia thử các số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của nó.

Vậy a) $a\in \{1;9\}$; b) $a\in \{0;1;2;4;5;6;7;8\}$ (loại $a=3$ và $a=9$ vì cho số nguyên tố).

Ta có thể đối chiếu trực tiếp mười số cần xét với bảng số nguyên tố nhỏ hơn 500 đã học, thay vì chia thử từng trường hợp.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $a\in \{1;9\}$; b) $a\in \{0;1;2;4;5;6;7;8\}$.

Trước hết dùng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 để phát hiện nhanh hợp số; số nào không chia hết cho 2, 3, 5 thì chia thử tiếp các số nguyên tố cho đến khi thương nhỏ hơn số chia (chặn bởi căn bậc hai).

Vậy $829$ và $971$ là số nguyên tố; $9891$, $12344$, $32015$ là hợp số.

Với hai số có ba chữ số, ta tra trực tiếp bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000 đã học; với ba số lớn hơn thì dùng dấu hiệu chia hết để tách ngay ra một ước thật sự.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $829$, $971$ là số nguyên tố; $9891$, $12344$, $32015$ là hợp số.

Đi từ trên xuống: ở mỗi dòng đã biết số bị chia và thương, số chia còn thiếu bằng số bị chia chia cho thương.

Vậy a) hai số còn thiếu là $2$ và $5$, với $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$; b) hai số còn thiếu là $2$ và $3$, với $504=2^3\cdot 3^2\cdot 7$.

Đi ngược từ dưới lên để kiểm chứng: số bị chia của một dòng bằng thương của dòng đó nhân với số chia của dòng đó.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$; b) $504=2^3\cdot 3^2\cdot 7$.

Đi từ dưới lên: nhân hai nhánh con đã biết để được nhánh cha, cứ thế đi dần lên gốc.

Vậy a) $p=35,d=6,q=42$, số ở gốc là $1470$; b) $p_2=33,d_2=14,q_2=70$, số ở gốc là $2310$.

Gộp trực tiếp mọi số nguyên tố ở các nhánh cuối cùng (không cần tính từng nhánh trung gian) để kiểm chứng số ở gốc.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) số ở gốc là $1470=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2$; b) số ở gốc là $2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

Số $2021$ là số lẻ. Nếu hai số nguyên tố cộng lại cho một số lẻ thì một trong hai số đó phải chẵn, mà số nguyên tố chẵn duy nhất là $2$.

Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng $2021$.

Xét theo hai trường hợp của cặp số nguyên tố cần tìm, dựa trên tính chẵn lẻ của từng số hạng.

Vậy không có cặp số nguyên tố nào thoả mãn, tức $2021$ không viết được thành tổng của hai số nguyên tố.

Xếp $n$ hình vuông đơn vị thành hình chữ nhật kích thước $m\times k$ chính là tìm một cặp ước $m,k$ với $m\le k$ và $m\cdot k=n$; ta liệt kê trực tiếp các cặp ước như vậy.

Vậy a) $7$ có một cách xếp; b) $12$ có ba cách xếp; c) $n$ nguyên tố thì chỉ có một cách xếp, $n$ hợp số thì có nhiều hơn một cách xếp.

Ta đếm số ước của $n$ rồi suy ra số cặp ước, từ đó khái quát hoá kết luận cho mọi $n$.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $n$ nguyên tố ứng với một cách xếp, $n$ hợp số ứng với nhiều hơn một cách xếp.

Ta tìm một ước chung của cả hai số hạng trong tổng mà không cần tính giá trị cụ thể của tổng.

Vậy cả hai tổng đều là hợp số.

Ta tính giá trị cụ thể của từng tích, cộng lại rồi phân tích tổng ra thừa số nguyên tố để khẳng định trực tiếp.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: cả hai tổng đều là hợp số.

Ta thử trừ một hoặc hai số nguyên tố nhỏ khỏi số đã cho rồi kiểm tra phần còn lại có phải là số nguyên tố hay không.

Vậy $17=3+3+11$; $20=2+7+11$; $36=5+31$; $50=3+47$.

Ta liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn số đã cho rồi ghép hai hoặc ba số trong danh sách đó sao cho tổng đúng bằng số cần biểu diễn.

Vậy có thể chọn $17=5+5+7$; $20=2+5+13$; $36=13+23$; $50=19+31$ (mỗi số có thể viết theo nhiều cách khác nhau).