Bài 11. Ước chung. Ước chung lớn nhất

Để liệt kê đầy đủ tập hợp ước của một số mà không bỏ sót, ta phân tích số đó ra thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số theo mọi tổ hợp có thể; ước chung của hai số chính là phần giao nhau của hai tập hợp ước đó.

Vậy Ư(105) = {1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105}, Ư(140) = {1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140} và ước chung của 105 và 140 là {1; 5; 7; 35}.

Không cần phân tích ra thừa số nguyên tố, ta có thể tìm ước bằng cách chia thử: mỗi khi tìm được một ước $d$ của $n$ thì $n:d$ cũng là một ước của $n$, nhờ đó chỉ cần thử $d$ chạy đến khi $d\cdot d$ vượt quá $n$.

Vậy đối chiếu hai tập hợp trên vẫn được ước chung của 105 và 140 là {1; 5; 7; 35}, thống nhất với Cách 1.

Nếu một số chia hết cho số kia thì số nhỏ hơn (số đi chia) chính là ước chung lớn nhất, vì bản thân nó đã là ước chung và không thể có ước chung nào vượt quá chính nó.

Vậy ước chung lớn nhất của $35$ và $105$ là $35$; ước chung lớn nhất của $15$; $180$; $165$ là $15$.

Để kiểm chứng bằng một hướng đi khác, ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố rồi chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.

Vậy kết quả vẫn là $35$ và $15$ như Cách 1.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố để tìm ước chung lớn nhất, sau đó toàn bộ ước chung của các số đã cho chính là tập hợp ước của ước chung lớn nhất đó, khỏi cần liệt kê ước từng số rồi giao thủ công.

Vậy a) ước chung lớn nhất là $18$, ước chung là {1; 2; 3; 6; 9; 18}; b) ước chung lớn nhất là $5$, ước chung là {1; 5}.

Ta có thể tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán Euclid, tức là chia liên tiếp số lớn cho số nhỏ và lấy số dư, không cần phân tích ra thừa số nguyên tố.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $18$ và {1;2;3;6;9;18}; $5$ và {1;5}.

Ta bám sát đúng hai định nghĩa đã học: ước chung của các số là ước của tất cả các số đó; ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung.

Vậy a) điền "ước chung"; b) điền "ước chung lớn nhất".

Ta kiểm chứng lại bằng một cặp số cụ thể thoả mãn giả thiết, xem kết luận có đúng với định nghĩa đã học hay không.

Vậy cả hai ví dụ đều xác nhận đáp số như Cách 1: a) ước chung; b) ước chung lớn nhất.

Vì mỗi hộp có cùng một số bút và Tuấn, Hà đều mua nguyên số hộp nên số bút mỗi hộp phải chia hết cả $25$ và $20$, tức là một ước chung của $25$ và $20$; điều kiện mỗi hộp có từ hai chiếc trở lên giúp loại bớt nghiệm không phù hợp thực tế.

Vậy mỗi hộp bút chì màu có $5$ chiếc bút.

Thay vì liệt kê hết ước rồi giao, ta tìm ngay ước chung lớn nhất bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, từ đó suy ra toàn bộ ước chung cần xét.

Vậy mỗi hộp có $5$ chiếc bút, thống nhất với Cách 1.

Theo đúng định nghĩa, ta liệt kê đầy đủ các ước của từng số (không kể chính số đó), cộng lại rồi so sánh tổng với số ban đầu.

Vậy trong ba số đã cho, $28$ và $496$ là số hoàn hảo, còn $10$ thì không.

Với số có nhiều ước như $496$, ta phân tích ra thừa số nguyên tố trước để liệt kê ước một cách có hệ thống, tránh bỏ sót ước lớn khi chia thử bằng tay.

Vậy kết quả vẫn là $28$ và $496$ là số hoàn hảo, thống nhất với Cách 1.

Vì $a$ vừa là ước của $480$ vừa là ước của $720$ nên $a$ là một ước chung của hai số đó; $a$ lớn nhất nghĩa là $a$ chính là ước chung lớn nhất của $480$ và $720$.

Vậy số tự nhiên $a$ lớn nhất cần tìm là $240$.

Ta có thể tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán Euclid, chia liên tiếp số lớn cho số nhỏ và lấy số dư, không cần phân tích ra thừa số nguyên tố.

Vậy $a=240$, thống nhất với Cách 1.

Một phân số là tối giản khi ước chung lớn nhất của tử và mẫu bằng $1$; nếu ước chung lớn nhất lớn hơn $1$ thì ta chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất đó để đưa về dạng tối giản.

Vậy $\frac{21}{36}$ chưa tối giản, rút gọn được $\frac{7}{12}$; còn $\frac{23}{73}$ đã là phân số tối giản.

Ta dùng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu, không cần phân tích ra thừa số nguyên tố.

Vậy kết quả không đổi so với Cách 1: $\frac{21}{36}$ rút gọn thành $\frac{7}{12}$, còn $\frac{23}{73}$ đã tối giản.

Nếu ước chung lớn nhất của hai số bằng $17$ thì cả hai số đó đều phải chia hết cho $17$, tức là bội của $17$; điều kiện không vượt quá $60$ giúp giới hạn số bội cần xét, ta chỉ cần liệt kê rồi thử từng cặp.

Vậy các cặp số cần tìm là $(17;34)$; $(17;51)$; $(34;51)$.

Ta có thể đặt hai số cần tìm dưới dạng bội của $17$ với hệ số nguyên tố cùng nhau, rồi giới hạn hệ số theo điều kiện không vượt quá $60$.

Vậy kết quả không đổi: $(17;34)$; $(17;51)$; $(34;51)$.

Vì ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ bằng $16$ nên ta đặt $a=16m$, $b=16n$ với ước chung lớn nhất của $m$ và $n$ bằng $1$; nhờ đó phương trình tổng trở thành một phương trình đơn giản theo $m,n$.

Vậy các cặp số cần tìm là $(a;b)=(16;80)$ hoặc $(80;16)$.

Ta có thể thử trực tiếp trên các bội của $16$ nhỏ hơn $96$ mà không cần đặt ẩn phụ, kiểm tra từng cặp có tổng bằng $96$ và đúng ước chung lớn nhất bằng $16$ hay không.

Vậy kết quả vẫn là $(a;b)=(16;80)$ hoặc $(80;16)$, thống nhất với Cách 1.

Vì ước chung lớn nhất của hai số bằng $8$ nên ta đặt $a=8m$, $b=8n$ với ước chung lớn nhất của $m$ và $n$ bằng $1$; nhờ đó điều kiện về tích $a\cdot b$ trở thành một phương trình đơn giản theo $m,n$.

Vậy các cặp số cần tìm là $(8;48)$; $(48;8)$; $(16;24)$; $(24;16)$.

Ta có thể liệt kê trực tiếp các ước của $384$ đồng thời là bội của $8$, ghép mỗi ước với thương tương ứng và kiểm tra điều kiện ước chung lớn nhất bằng $8$, không cần đặt ẩn phụ.

Vậy các cặp thoả mãn vẫn là $(8;48)$; $(48;8)$; $(16;24)$; $(24;16)$, khớp với Cách 1.