Bài 1 · 2.33★Trang 39— Tìm tập hợp ước của một số và ước chung của hai số
Hãy tìm tập hợp Ư(105), tập hợp Ư(140) và tập hợp ước chung của 105 và 140.
Kiến thức cần nhớ
Phân tích ra thừa số nguyên tố để liệt kê đầy đủ tập hợp ước, không bỏ sót
1Cách 1
Để liệt kê đầy đủ tập hợp ước của một số mà không bỏ sót, ta phân tích số đó ra thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số theo mọi tổ hợp có thể; ước chung của hai số chính là phần giao nhau của hai tập hợp ước đó.
Phân tích 105=3⋅5⋅7. Ghép các thừa số theo mọi tổ hợp (kể cả không lấy thừa số nào, ứng với ước 1) ta được đủ các ước của 105 là 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105.
Phân tích 140=22⋅5⋅7. Ghép các thừa số 20,21,22 với 50,51 và 70,71 ta được đủ các ước của 140 là 1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140.
Đối chiếu hai tập hợp vừa liệt kê, các giá trị xuất hiện ở cả hai bên là 1; 5; 7; 35.
Vậy Ư(105) = {1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105}, Ư(140) = {1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140} và ước chung của 105 và 140 là {1; 5; 7; 35}.
2Cách 2
Không cần phân tích ra thừa số nguyên tố, ta có thể tìm ước bằng cách chia thử: mỗi khi tìm được một ước d của n thì n:d cũng là một ước của n, nhờ đó chỉ cần thử d chạy đến khi d⋅d vượt quá n.
Với 105: thử lần lượt 1,3,5,7 đều chia hết 105, cho các ước đi kèm là 105,35,21,15; đến d=11 thì 11⋅11=121 đã lớn hơn 105 nên dừng. Gom lại: Ư(105) = {1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105}, khớp với Cách 1.
Với 140: thử lần lượt 1,2,4,5,7,10 đều chia hết 140, cho các ước đi kèm là 140,70,35,28,20,14; đến d=12 thì 12⋅12=144 đã lớn hơn 140 nên dừng. Gom lại: Ư(140) = {1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140}, khớp với Cách 1.
Vậy đối chiếu hai tập hợp trên vẫn được ước chung của 105 và 140 là {1; 5; 7; 35}, thống nhất với Cách 1.
Sai lầm thường gặp.Liệt kê thiếu ước lớn (như quên ước bằng chính số đó), hoặc phân tích sai 140=22⋅5⋅7 thành 2⋅5⋅7 nên bỏ sót các ước có nhân tử 22 như 4,20,28,140.
Bài 2 · 2.34★Trang 39— Tìm ước chung lớn nhất khi một số là ước (hoặc bội) của số còn lại
Tìm ước chung lớn nhất của: a) 35 và 105; b) 15; 180 và 165.
Kiến thức cần nhớ
Nhận biết quan hệ chia hết giữa các số để suy ra ngay ước chung lớn nhất
1Cách 1
Nếu một số chia hết cho số kia thì số nhỏ hơn (số đi chia) chính là ước chung lớn nhất, vì bản thân nó đã là ước chung và không thể có ước chung nào vượt quá chính nó.
a) Vì 105 chia hết cho 35 nên 35 là một ước chung của 35 và 105; đây cũng là ước chung lớn nhất có thể vì 35 là chính số đó.
b) Vì 180 chia hết cho 15 và 165 chia hết cho 15 nên 15 là ước chung của cả ba số 15; 180; 165, đồng thời là ước chung lớn nhất vì không có số nào lớn hơn 15 mà vẫn chia hết 15.
Vậy ước chung lớn nhất của 35 và 105 là 35; ước chung lớn nhất của 15; 180; 165 là 15.
2Cách 2
Để kiểm chứng bằng một hướng đi khác, ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố rồi chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.
a) 35=5⋅7; 105=3⋅5⋅7. Thừa số nguyên tố chung là 5 và 7, đều với số mũ nhỏ nhất là 1, nên ước chung lớn nhất bằng 5⋅7=35, khớp Cách 1.
b) 15=3⋅5; 180=22⋅32⋅5; 165=3⋅5⋅11. Thừa số nguyên tố chung của cả ba số là 3 và 5, đều với số mũ nhỏ nhất là 1, nên ước chung lớn nhất bằng 3⋅5=15, khớp Cách 1.
Vậy kết quả vẫn là 35 và 15 như Cách 1.
Đáp số.Ước chung lớn nhất của 35 và 105 là 35; ước chung lớn nhất của 15, 180, 165 là 15
Sai lầm thường gặp.Nhầm lẫn khi phần b) chỉ so sánh hai trong ba số rồi kết luận vội, quên kiểm tra số còn lại có cùng chia hết cho ước chung lớn nhất đã tìm hay không.
Bài 4 · 2.36★Trang 39— Nhận biết khái niệm ước chung và ước chung lớn nhất qua câu điền khuyết
Điền các từ thích hợp vào chỗ chấm: a) Nếu a chia hết cho 7 và b chia hết cho 7 thì 7 là ... của a và b; b) Nếu 9 là số lớn nhất sao cho a chia hết cho 9 và b chia hết cho 9 thì 9 là ... của a và b.
Kiến thức cần nhớ
Bám sát định nghĩa: ước chung là ước của tất cả các số, ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong các ước chung
Bài 5 · 2.37★★Trang 40— Bài toán thực tế đưa về tìm ước chung thoả điều kiện cho trước
Tuấn và Hà mỗi người mua một số hộp bút chì màu, mỗi hộp có từ hai chiếc bút trở lên và số bút trong mỗi hộp là như nhau. Biết Tuấn mua tất cả 25 chiếc bút, Hà mua tất cả 20 chiếc bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?
Kiến thức cần nhớ
Số bút mỗi hộp phải là ước chung của tổng số bút hai bạn mua, kết hợp điều kiện thực tế để chọn đúng nghiệm
Bài 6 · 2.38★★★Trang 40— Kiểm tra một số có phải là số hoàn hảo hay không
Một số tự nhiên bằng tổng tất cả các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là số hoàn hảo (ví dụ 6 có các ước không kể chính nó là 1; 2; 3 và 1+2+3=6 nên 6 là số hoàn hảo). Trong ba số 10; 28; 496, số nào là số hoàn hảo?
Kiến thức cần nhớ
Liệt kê đầy đủ ước của một số (không kể chính nó) rồi cộng lại để so sánh
