Bài 12. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Ý đồ: liệt kê lần lượt các bội của 8 và của 12 rồi chọn ra những số xuất hiện ở cả hai dãy, đó chính là bội chung.

Vậy $B(8)=\{0;8;16;24;32;40;48;\dots \}$, $B(12)=\{0;12;24;36;48;\dots \}$, $BC(8,12)=\{0;24;48;72;\dots \}$.

Ý đồ: thay vì dò từng cặp số trong hai dãy, ta tìm ngay bội chung nhỏ nhất rồi suy ra toàn bộ tập hợp bội chung chính là tập hợp bội của số đó.

Vậy $BC(8,12)=\{0;24;48;72;\dots \}$, khớp với kết quả liệt kê trực tiếp.

Ý đồ: đối chiếu trực tiếp từng câu với định nghĩa bội chung và bội chung nhỏ nhất đã học.

Vậy a) điền bội chung; b) điền bội chung nhỏ nhất.

Ý đồ: chọn thử một cặp số $a,b$ cụ thể để kiểm tra xem phát biểu điền vào có đúng với định nghĩa hay không, từ đó khẳng định chắc chắn từ cần điền.

Vậy a) điền bội chung; b) điền bội chung nhỏ nhất, khớp với cách suy luận từ định nghĩa.

Ý đồ: vì $m,n$ đã được phân tích sẵn ra thừa số nguyên tố, chỉ cần liệt kê mọi thừa số nguyên tố xuất hiện rồi lấy mỗi thừa số với số mũ lớn nhất.

Vậy a) $\text{BCNN}(m,n)=1600830$; b) $\text{BCNN}(m,n)=22050000$.

Ý đồ: tính UCLN bằng cách lấy các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất, rồi dùng công thức tích hai số bằng tích UCLN và BCNN để kiểm tra lại kết quả ở Cách 1.

Vậy cả hai câu đều cho cùng một kết quả như Cách 1, khẳng định $\text{BCNN}(m,n)=1600830$ và $22050000$.

Ý đồ: phân tích 105 và 140 ra thừa số nguyên tố để tìm BCNN, sau đó suy ra tập hợp bội chung là tập hợp bội của BCNN.

Vậy $\text{BCNN}(105,140)=420$ và $BC(105,140)=\{0;420;840;\dots \}$.

Ý đồ: tìm UCLN trước (thường dễ nhẩm hơn với các số có thừa số chung rõ ràng), rồi suy ra BCNN bằng công thức tích, tránh phải liệt kê lại toàn bộ thừa số riêng.

Vậy $\text{BCNN}(105,140)=420$ và $BC(105,140)=\{0;420;840;\dots \}$, thống nhất với Cách 1.

Ý đồ: phân tích từng số ra thừa số nguyên tố rồi ghép thừa số chung, riêng với số mũ lớn nhất để tìm BCNN.

Vậy a) $\text{BCNN}(31,93)=93$; b) $\text{BCNN}(24,60,120)=120$.

Ý đồ: khi một số trong nhóm chia hết cho tất cả các số còn lại, BCNN chính là số lớn nhất đó mà không cần phân tích đầy đủ ra thừa số nguyên tố.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $\text{BCNN}(31,93)=93$ và $\text{BCNN}(24,60,120)=120$.

Ý đồ: ba bạn cùng nhắn tin trở lại đúng vào những mốc thời gian là bội chung của ba chu kì 45, 30, 60 phút, nên thời điểm gần nhất tiếp theo chính là bội chung nhỏ nhất của ba số đó.

Vậy lần tiếp theo cả ba bạn cùng nhắn tin lúc 12 giờ trưa.

Ý đồ: liệt kê trực tiếp các mốc nhắn tin của từng bạn tính từ 9 giờ rồi tìm mốc thời gian sớm nhất mà cả ba cùng xuất hiện, không cần qua công thức thừa số nguyên tố.

Vậy lần tiếp theo cả ba bạn cùng nhắn tin lúc $9+3=12$ giờ trưa, khớp với Cách 1.

Ý đồ: gọi số người là $x$, vì xếp hàng 5, 6, 8 đều dư đúng 1 người nên $x-1$ cùng lúc chia hết cho cả 5, 6, 8, tức $x-1$ là một bội chung của ba số này.

Vậy có chính xác 481 người dự buổi tập đồng diễn thể dục.

Ý đồ: sau khi đã biết $\text{BCNN}(5,6,8)=120$, thay vì liệt kê hết dãy $x-1$ rồi mới lọc, ta chặn ngay khoảng $399\le x-1\le 499$ và tìm bội của 120 rơi vào khoảng đó.

Vậy có chính xác 481 người dự buổi tập đồng diễn thể dục, khớp với Cách 1.

Ý đồ: dùng công thức $a\cdot b=\text{UCLN}(a,b)\cdot \text{BCNN}(a,b)$ để tính tích $a\cdot b$, sau đó đặt $a,b$ theo UCLN để đưa về phương trình tích của hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy a) $(a;b)\in \{(15;180);(45;60)\}$; b) $(a;b)\in \{(11;484);(44;121)\}$.

Ý đồ: vì $a$ và $b$ đều là ước của $\text{BCNN}(a,b)$ và đều là bội của $\text{UCLN}(a,b)$, ta liệt kê các ước của BCNN chia hết cho UCLN rồi kiểm tra lại đúng cặp có UCLN bằng giá trị đề cho.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $(a;b)\in \{(15;180);(45;60)\}$; b) $(a;b)\in \{(11;484);(44;121)\}$.

Ý đồ: để cộng trừ so sánh phân số thuận lợi nhất, ta chọn mẫu chung nhỏ nhất chính là BCNN của các mẫu số, rồi nhân cả tử và mẫu mỗi phân số với lượng thích hợp để đưa về mẫu chung đó.

Vậy a) $\frac{5}{14}=\frac{15}{42}$, $\frac{4}{21}=\frac{8}{42}$; b) $\frac{4}{5}=\frac{48}{60}$, $\frac{7}{12}=\frac{35}{60}$, $\frac{8}{15}=\frac{32}{60}$.

Ý đồ: sau khi quy đồng, kiểm tra lại bằng cách rút gọn từng phân số mới về đúng phân số ban đầu để chắc chắn phép quy đồng không làm sai giá trị phân số.

Vậy phép quy đồng ở Cách 1 là chính xác: a) $\frac{15}{42}$ và $\frac{8}{42}$; b) $\frac{48}{60}$, $\frac{35}{60}$, $\frac{32}{60}$.

Ý đồ: số cần tìm vừa chia hết cho 25 vừa chia hết cho 79 nên nó là một bội chung của 25 và 79; số nhỏ nhất có 4 chữ số thoả điều kiện này chính là BCNN(25, 79) nếu bản thân BCNN đã có đúng 4 chữ số.

Vậy $\overline{abcd}=1975$, tức máy tính xách tay ra đời năm 1975.

Ý đồ: nhận xét 25 và 79 không có ước chung nào khác 1 (vì 79 là số nguyên tố và không chia hết cho 5), nên có thể tính ngay BCNN bằng tích hai số mà không cần liệt kê đầy đủ thừa số.

Vậy $\overline{abcd}=1975$, máy tính xách tay ra đời năm 1975.

Ý đồ: năm cần tìm chia hết đồng thời cho 2, 5, 101 nên là một bội chung của ba số này; vì đề đã cho biết thuộc thế kỉ XI (từ năm 1001 đến 1100) nên chỉ cần tìm bội chung nằm trong khoảng đó.

Vậy $\overline{abcd}=1010$, vua Lý Thái Tổ đã dời đô vào năm 1010.

Ý đồ: vì $2,5,101$ đôi một không có ước chung nào khác 1 nên BCNN của chúng chính là tích trực tiếp ba số, không cần lập bảng số mũ.

Vậy vua Lý Thái Tổ đã dời đô vào năm 1010.

Ý đồ: hai răng đánh dấu chỉ khớp lại đúng vị trí cũ khi số răng đã trôi qua vừa là bội của 20 (đủ số răng để bánh I quay nguyên vòng) vừa là bội của 15 (đủ số răng để bánh II quay nguyên vòng), nên số răng cần tìm là BCNN(20, 15).

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 60 răng cưa; khi đó bánh xe I quay 3 vòng, bánh xe II quay 4 vòng.

Ý đồ: tính UCLN(20, 15) trước bằng nhận xét thừa số chung, rồi suy ra BCNN bằng công thức tích để kiểm tra chéo kết quả ở Cách 1.

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 60 răng cưa, tương ứng bánh xe I quay 3 vòng và bánh xe II quay 4 vòng, thống nhất với Cách 1.