Bài 16. Phép nhân số nguyên

$115\cdot 8=920$.

Câu a: $-115$ và $8$ khác dấu nên tích mang dấu $"-"$, do đó $(-115)\cdot 8=-920$.

Câu b: $115$ và $-8$ khác dấu nên tích mang dấu $"-"$, do đó $115\cdot (-8)=-920$.

Câu c: $-115$ và $-8$ cùng dấu (cùng âm) nên tích mang dấu $"+"$, do đó $(-115)\cdot (-8)=920$.

Câu a: $(-115)\cdot 8$ có đúng $1$ thừa số âm (số lẻ) nên tích âm: $(-115)\cdot 8=-920$.

Câu b: $115\cdot (-8)$ có đúng $1$ thừa số âm (số lẻ) nên tích âm: $115\cdot (-8)=-920$.

Câu c: $(-115)\cdot (-8)$ có đúng $2$ thừa số âm (số chẵn) nên tích dương: $(-115)\cdot (-8)=920$.

Câu a: $287$ và $522$ đều là số nguyên dương (cùng dấu) nên $287\cdot 522>0$.

Câu b: $-375$ là số âm, $959$ là số dương (khác dấu) nên $(-375)\cdot 959<0$.

Câu c: $-278$ và $-864$ đều là số nguyên âm (cùng dấu) nên $(-278)\cdot (-864)>0$.

Câu a: có $0$ thừa số âm (số chẵn) nên $287\cdot 522>0$.

Câu b: có $1$ thừa số âm (số lẻ) nên $(-375)\cdot 959<0$.

Câu c: có $2$ thừa số âm (số chẵn) nên $(-278)\cdot (-864)>0$.

Câu a: $(+32)\cdot (-25)=-(32\cdot 25)=-800$; $(-7)\cdot (-8)=7\cdot 8=56$. Vì $-800<56$ nên $(+32)\cdot (-25)<(-7)\cdot (-8)$.

Câu b: $(-44)\cdot (-5)=44\cdot 5=220$; $(-11)\cdot (-20)=11\cdot 20=220$. Vì $220=220$ nên $(-44)\cdot (-5)=(-11)\cdot (-20)$.

Câu c: $(-24)\cdot (+25)=-(24\cdot 25)=-600$; $(+30)\cdot (-21)=-(30\cdot 21)=-630$. Vì $-600>-630$ nên $(-24)\cdot (+25)>(+30)\cdot (-21)$.

Câu a: $(+32)\cdot (-25)$ có $1$ thừa số âm nên mang dấu âm, còn $(-7)\cdot (-8)$ có $2$ thừa số âm nên mang dấu dương. Một số âm luôn nhỏ hơn một số dương, vậy $(+32)\cdot (-25)<(-7)\cdot (-8)$.

Câu b: cả hai tích $(-44)\cdot (-5)$ và $(-11)\cdot (-20)$ đều có $2$ thừa số âm nên cùng dương; so trị tuyệt đối $44\cdot 5=220$ và $11\cdot 20=220$ bằng nhau nên hai tích bằng nhau.

Câu c: cả hai tích $(-24)\cdot (+25)$ và $(+30)\cdot (-21)$ đều có $1$ thừa số âm nên cùng âm; so trị tuyệt đối $24\cdot 25=600$ và $30\cdot 21=630$. Trong hai số âm, số có trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn, nên từ $600<630$ suy ra $-600>-630$, tức $(-24)\cdot (+25)>(+30)\cdot (-21)$.

Câu a: muốn $a\cdot b>0$ (tích dương) thì $a$ và $b$ phải cùng dấu. Vì $a$ âm nên $b$ cũng phải là số nguyên âm.

Câu b: muốn $a\cdot b<0$ (tích âm) thì $a$ và $b$ phải khác dấu. Vì $a$ âm nên $b$ phải là số nguyên dương.

Chọn $a=-2$. Thử $b$ dương, ví dụ $b=3$: $(-2)\cdot 3=-6<0$, không cho tích dương. Thử $b$ âm, ví dụ $b=-3$: $(-2)\cdot (-3)=6>0$, đúng là tích dương. Vậy muốn $a\cdot b>0$ thì $b$ phải âm — khớp câu a.

Với $b=3$ (dương) ở trên, $(-2)\cdot 3=-6<0$ đúng là tích âm. Vậy muốn $a\cdot b<0$ thì $b$ phải dương — khớp câu b.

1) $-28$ và $15$ khác dấu nên $x\cdot y=-(28\cdot 15)=-420$.

2) $55$ và $-8$ khác dấu nên $x\cdot y=-(55\cdot 8)=-440$.

3) $-27$ và $-35$ cùng dấu nên $x\cdot y=27\cdot 35=945$.

4) $-25$ và $-280$ cùng dấu nên $x\cdot y=25\cdot 280=7000$.

5) có thừa số $x=0$ nên $x\cdot y=0\cdot (-653)=0$.

6) $-364$ và $1$ khác dấu nên $x\cdot y=-(364\cdot 1)=-364$.

7) $-1$ và $293$ khác dấu nên $x\cdot y=-(1\cdot 293)=-293$.

8) $-532$ và $-1$ cùng dấu nên $x\cdot y=532\cdot 1=532$.

1) $1$ thừa số âm (lẻ) $\to$ âm: $28\cdot 15=420\to -420$.

2) $1$ thừa số âm (lẻ) $\to$ âm: $55\cdot 8=440\to -440$.

3) $2$ thừa số âm (chẵn) $\to$ dương: $27\cdot 35=945\to 945$.

4) $2$ thừa số âm (chẵn) $\to$ dương: $25\cdot 280=7000\to 7000$.

5) có thừa số $0$ $\to$ tích $=0$.

6) $1$ thừa số âm (lẻ) $\to$ âm: $364\cdot 1=364\to -364$.

7) $1$ thừa số âm (lẻ) $\to$ âm: $1\cdot 293=293\to -293$.

8) $2$ thừa số âm (chẵn) $\to$ dương: $532\cdot 1=532\to 532$.

Câu a: $9\ne 0$ nên $9(x+28)=0$ chỉ xảy ra khi $x+28=0$, suy ra $x=-28$.

Câu b: $(27-x)(x+9)=0$ nên $27-x=0$ hoặc $x+9=0$, suy ra $x=27$ hoặc $x=-9$.

Câu c: $(-x)(x-43)=0$ nên $-x=0$ hoặc $x-43=0$, suy ra $x=0$ hoặc $x=43$.

Câu a: thay $x=-28$ vào $9(x+28)$ được $9\cdot (-28+28)=9\cdot 0=0$, đúng.

Câu b: thay $x=27$ vào $(27-x)(x+9)$ được $(27-27)(27+9)=0\cdot 36=0$, đúng; thay $x=-9$ được $(27-(-9))(-9+9)=36\cdot 0=0$, đúng.

Câu c: thay $x=0$ vào $(-x)(x-43)$ được $0\cdot (-43)=0$, đúng; thay $x=43$ được $(-43)\cdot (43-43)=(-43)\cdot 0=0$, đúng.

Câu a: $(29-9)\cdot (-9)+(-13-7)\cdot 21=20\cdot (-9)+(-20)\cdot 21$.

$=(-20)\cdot 9+(-20)\cdot 21=(-20)\cdot (9+21)=(-20)\cdot 30=-600$.

Câu b: $(-157)\cdot (127-316)-127\cdot (316-157)=(-157\cdot 127+157\cdot 316)-(127\cdot 316-127\cdot 157)$.

$=-157\cdot 127+157\cdot 316-127\cdot 316+127\cdot 157=(157\cdot 316-127\cdot 316)+(-157\cdot 127+127\cdot 157)$.

$=316\cdot (157-127)+0=316\cdot 30=9480$.

Câu a: $29-9=20$ và $-13-7=-20$, biểu thức trở thành $20\cdot (-9)+(-20)\cdot 21$.

$20\cdot (-9)=-180$; $(-20)\cdot 21=-420$; $-180+(-420)=-600$.

Câu b: $127-316=-189$ và $316-157=159$.

$(-157)\cdot (-189)=29673$; $127\cdot 159=20193$; $29673-20193=9480$.

Số vải tăng thêm khi may $420$ bộ là $420\cdot x$ (dm).

Câu a: $x=18$ nên số vải tăng thêm là $420\cdot 18=7560$ (dm).

Câu b: $x=-7$ nên số vải tăng thêm là $420\cdot (-7)=-2940$ (dm); vì đây là số âm nên thực ra kiểu mới dùng ÍT hơn kiểu cũ $2940$ dm vải.

Câu a: $420\cdot 18=(400+20)\cdot 18=400\cdot 18+20\cdot 18=7200+360=7560$ (dm), khớp Cách 1.

Câu b: $420\cdot (-7)=(400+20)\cdot (-7)=400\cdot (-7)+20\cdot (-7)=-2800+(-140)=-2940$ (dm), khớp Cách 1.

Trước tiên, không số nào trong năm số bằng $0$: nếu có, tích ba số bất kì chứa số đó sẽ bằng $0$, trái với giả thiết "luôn là số âm".

Giả sử tồn tại một số dương trong năm số, gọi là $a$. Xét $a$ cùng hai số bất kì $b,c$ trong bốn số còn lại: vì $a\cdot b\cdot c<0$ mà $a$ dương nên $b\cdot c$ phải âm, tức $b$ và $c$ khác dấu nhau.

Điều này đúng với MỌI cách chọn $2$ số $b,c$ trong bốn số còn lại, nghĩa là hai số bất kì trong bốn số đó luôn khác dấu nhau. Nhưng bốn số đó chỉ mang $2$ loại dấu (âm hoặc dương), nên trong bốn số phải có ít nhất hai số cùng dấu — mâu thuẫn với việc "hai số bất kì luôn khác dấu".

Vậy không thể có số dương nào trong năm số; kết hợp với việc không có số nào bằng $0$, suy ra cả năm số đều là số nguyên âm.

Tích của năm số nguyên âm có $5$ (số lẻ) thừa số âm nên tích đó là số âm.

Gọi năm số là $a,b,c,d,e$. Theo giả thiết, $a\cdot b\cdot c<0$ và $a\cdot b\cdot d<0$.

Xét thương $\frac{a\cdot b\cdot c}{a\cdot b\cdot d}=\frac{c}{d}$: tử và mẫu đều âm nên thương này dương, suy ra $c$ và $d$ cùng dấu. Lập luận tương tự với $a\cdot b\cdot e<0$, ta được $c$ và $e$ cùng dấu. Vậy $c,d,e$ cùng dấu với nhau.

Nếu $c,d,e$ cùng dương: từ $b\cdot c\cdot d<0$ với $c,d$ dương suy ra $b$ âm; từ $a\cdot c\cdot d<0$ suy ra $a$ âm. Khi đó $a\cdot b$ (hai số âm) phải dương; nhưng từ $a\cdot b\cdot c<0$ với $c$ dương lại suy ra $a\cdot b$ âm — mâu thuẫn. Vậy $c,d,e$ không thể cùng dương.

Do đó $c,d,e$ cùng âm. Khi đó $c\cdot d$ dương (âm nhân âm), nên từ $a\cdot c\cdot d<0$ suy ra $a$ âm; tương tự từ $b\cdot c\cdot d<0$ suy ra $b$ âm. Vậy cả năm số $a,b,c,d,e$ đều âm.

Tích của năm số âm có $5$ (số lẻ) thừa số âm nên là một số âm.