Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

Câu a: $735$ và $-5$ khác dấu nên thương mang dấu $"-"$. Ta có $735:5=147$, suy ra $735:(-5)=-147$.

Câu b: $-528$ và $-12$ cùng dấu (cùng âm) nên thương mang dấu $"+"$. Ta có $528:12=44$, suy ra $(-528):(-12)=44$.

Câu c: $-2020$ và $101$ khác dấu nên thương mang dấu $"-"$. Ta có $2020:101=20$, suy ra $(-2020):101=-20$.

Câu a: thử $(-147)\cdot (-5)=735$, đúng bằng số bị chia nên $735:(-5)=-147$.

Câu b: thử $44\cdot (-12)=-528$, đúng bằng số bị chia nên $(-528):(-12)=44$.

Câu c: thử $(-20)\cdot 101=-2020$, đúng bằng số bị chia nên $(-2020):101=-20$.

Với $21$: ta có $21=1\cdot 21=3\cdot 7$, nên các ước dương của $21$ là $1;3;7;21$.

Kèm theo các số đối, các ước của $21$ là $-21;-7;-3;-1;1;3;7;21$, viết gọn là $\pm 1;\pm 3;\pm 7;\pm 21$.

Với $-66$: ước của $-66$ cũng chính là ước của $66$ (vì đổi dấu số bị chia không làm thay đổi tập ước). Ta có $66=1\cdot 66=2\cdot 33=3\cdot 22=6\cdot 11$, nên các ước dương của $66$ là $1;2;3;6;11;22;33;66$.

Kèm theo các số đối, các ước của $-66$ là $\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6;\pm 11;\pm 22;\pm 33;\pm 66$.

Với $21$: thử lần lượt $1,2,3,\dots$ xem số nào chia hết $21$. Ta được $21:1=21$, $21:3=7$, $21:7=3$, $21:21=1$; các số $2,4,5,6$ không chia hết $21$.

Vậy các ước dương của $21$ là $1;3;7;21$, kèm số đối ta có đủ các ước $\pm 1;\pm 3;\pm 7;\pm 21$.

Với $66$: thử lần lượt các số từ $1$ đến $11$ (vì $11\cdot 11=121>66$ nên các ước lớn hơn sẽ lặp lại ước đã có dạng $66:d$). Ta được các ước dương $1;2;3;6;11;22;33;66$.

Vì đề bài xét $-66$, tập ước không đổi so với $66$ nên vẫn gồm $\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6;\pm 11;\pm 22;\pm 33;\pm 66$.

Các bội dương của $11$ theo thứ tự tăng: $11;22;33;44;55;66;77;88;99;110;\dots$. Vì $99<100$ và $110>100$ nên các bội dương thoả mãn là $11;22;33;44;55;66;77;88;99$.

Các bội âm của $11$ theo thứ tự giảm: $-11;-22;-33;-44;-55;\dots$. Vì $-44>-50$ và $-55<-50$ nên các bội âm thoả mãn là $-11;-22;-33;-44$.

Bội khác $0$ nghĩa là không lấy số $0$, dù $0$ vẫn nằm trong khoảng $(-50;100)$.

Bội của $11$ có dạng $11k$ với $k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $-50<11k<100$ suy ra $-50/11<k<100/11$, tức $-4,5\overline{4}<k<9,0\overline{9}$.

Vì $k$ nguyên nên $k\in \{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$; bỏ $k=0$ vì đề yêu cầu bội khác $0$.

Thay từng $k$ vào $11k$: $k=-4\to -44$; $k=-3\to -33$; $k=-2\to -22$; $k=-1\to -11$; $k=1\to 11$; $k=2\to 22$; $k=3\to 33$; $k=4\to 44$; $k=5\to 55$; $k=6\to 66$; $k=7\to 77$; $k=8\to 88$; $k=9\to 99$.

Các bội dương của $3$ không vượt quá $18$ là $3;6;9;12;15;18$.

Các bội âm của $3$ không nhỏ hơn $-18$ là $-3;-6;-9;-12;-15;-18$.

Số $0$ cũng là bội của $3$ (vì $0=3\cdot 0$) và $0$ nằm trong đoạn $[-18;18]$ nên $0$ cũng thuộc $P$.

Tập hợp tất cả các bội của $3$ tìm được, sắp theo thứ tự tăng dần, chính là các phần tử của $P$.

Vì $x⋮3$ nên có thể viết $x=3k$ với $k$ là số nguyên.

Điều kiện $-18\le x\le 18$ trở thành $-18\le 3k\le 18$, chia cả ba phần cho $3$ được $-6\le k\le 6$.

Vì $k$ nguyên nên $k\in \{-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6\}$, có $13$ giá trị.

Thay $x=3k$ cho từng $k$: $k=-6\to x=-18$; $\dots$; $k=0\to x=0$; $\dots$; $k=6\to x=18$.

Các ước dương của $21$ là $1;3;7;21$ (vì $21=1\cdot 21=3\cdot 7$).

Ghép cặp ước dương với thương tương ứng, ta được hai cách phân tích bằng số dương: $21=1\cdot 21$ và $21=3\cdot 7$.

Vì tích của hai số âm cũng là số dương, đổi dấu cả hai nhân tử trong mỗi cách trên, ta được thêm hai cách: $21=(-1)\cdot (-21)$ và $21=(-3)\cdot (-7)$.

Vì $21>0$, hai nhân tử $a$ và $b$ phải cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm), không thể một dương một âm.

Trường hợp cùng dương: $a$ là ước dương của $21$, thử $a=1,2,3,\dots ,21$ và chỉ nhận $a=1,3,7,21$ vì $21$ chia hết cho các số này; tương ứng $b=21,7,3,1$.

Trường hợp cùng âm: lấy đối của từng cặp dương ở trên, được $(-1,-21)$ và $(-3,-7)$ (không kể thứ tự hoán vị của mỗi cặp).

Vì $x$ chia hết cho $x$ (mọi số nguyên khác $0$ đều chia hết cho chính nó), và theo giả thiết $x+5$ chia hết cho $x$, nên hiệu của hai số này cũng chia hết cho $x$.

Ta có $(x+5)-x=5$, suy ra $5$ chia hết cho $x$, tức $x$ là một ước của $5$.

Ư(5) $=\{-5;-1;1;5\}$ (vì $5=1\cdot 5=(-1)\cdot (-5)$), nên $x$ chỉ có thể nhận một trong bốn giá trị này.

Thử lại: $x=-5\to x+5=0$, mà $0⋮(-5)$ (thoả mãn); $x=-1\to x+5=4$, mà $4⋮(-1)$ (thoả mãn); $x=1\to x+5=6$, mà $6⋮1$ (thoả mãn); $x=5\to x+5=10$, mà $10⋮5$ (thoả mãn).

Vì $x\ne 0$ (số $0$ không là ước của số nào) và $x$ phải là ước của $5$ theo lập luận ở Cách 1, chỉ cần xét bốn số nguyên $-5;-1;1;5$.

Lập bảng: với $x=-5$ thì $x+5=0=(-5)\cdot 0$ nên chia hết; với $x=-1$ thì $x+5=4=(-1)\cdot (-4)$ nên chia hết; với $x=1$ thì $x+5=6=1\cdot 6$ nên chia hết; với $x=5$ thì $x+5=10=5\cdot 2$ nên chia hết.

Cả bốn trường hợp đều thoả mãn $(x+5)⋮x$, và không còn ước nào khác của $5$ để xét thêm.