Bài 19. Hình chữ nhật. Hình thoi. Hình bình hành. Hình thang cân

Đặt ê ke vào từng góc của tứ giác b: cả bốn góc đều vuông (bằng $90^{\circ }$) nên tứ giác b là hình chữ nhật (căn cứ: dấu hiệu tứ giác có bốn góc vuông).

Dùng thước đo bốn cạnh của tứ giác d: cả bốn cạnh đều bằng nhau nên tứ giác d là hình thoi (căn cứ: dấu hiệu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau).

Hai tứ giác a và c có các cạnh không bằng nhau và các góc không vuông nên không phải hình chữ nhật cũng không phải hình thoi.

Với tứ giác b: gấp theo đường nối trung điểm hai cạnh đối thì hai nửa chồng khít (đây là trục đối xứng của hình chữ nhật, ứng với hai cặp cạnh đối bằng nhau và bốn góc vuông) nên b là hình chữ nhật.

Với tứ giác d: gấp theo đường chéo thì hai nửa cũng chồng khít (đường chéo là trục đối xứng của hình thoi, ứng với bốn cạnh bằng nhau) nên d là hình thoi.

Các tứ giác a, c khi gấp theo bất kì đường nào cũng không chồng khít hoàn toàn nên không phải hình chữ nhật, không phải hình thoi.

Xét tứ giác EFGH (hình c): đo được $EH=FG$ và nhận thấy $EH$ song song $FG$ (hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau) nên EFGH là hình bình hành (căn cứ: tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Xét tứ giác MNPQ (hình b): $QP$ song song $MN$ (đáy lớn và đáy bé), còn hai cạnh bên $QM=PN$ (đo bằng thước thấy bằng nhau) nên MNPQ là hình thang cân (căn cứ: hình thang có hai cạnh bên bằng nhau).

Tứ giác ABCD (hình a) có hai cạnh bên không bằng nhau nên chỉ là hình thang thường; hình d có 5 cạnh nên không phải tứ giác.

Trong hình c (EFGH), dùng compa kiểm tra giao điểm hai đường chéo EG và FH: giao điểm là trung điểm của cả hai đường chéo (mỗi đường chéo bị chia thành hai đoạn bằng nhau). Đây chính là tính chất riêng của hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) nên EFGH là hình bình hành.

Trong hình b (MNPQ), dùng compa đo hai đường chéo $QN$ và $MP$: hai đường chéo này dài bằng nhau nhưng giao điểm của chúng không phải trung điểm của cả hai đường (chỉ là trung điểm của đường này thì không phải trung điểm đường kia). Đây là tính chất riêng của hình thang cân (hai đường chéo bằng nhau) nên MNPQ là hình thang cân.

Vẽ đoạn thẳng $EF=5$ cm.

Tại E, dùng ê ke vẽ tia vuông góc với EF; trên tia đó lấy điểm D sao cho $ED=3$ cm (căn cứ: giả thiết cho $DE=3$ cm).

Tại F, dùng ê ke vẽ tia vuông góc với EF (cùng phía với D); trên tia đó lấy điểm G sao cho $FG=3$ cm (căn cứ: cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau, $FG=DE$).

Nối D với G. Vì $DG\parallel EF$ và $DG=EF=5$ cm nên tứ giác DEFG có bốn góc vuông, do đó là hình chữ nhật.

Tính độ dài đường chéo bằng định lí Pythagore trong tam giác vuông DEF: $D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2=3^2+5^2=34$, suy ra $DF=\sqrt{34}$ cm.

Vẽ đoạn thẳng $DF=\sqrt{34}$ cm, xác định trung điểm O của DF. Vẽ đường tròn tâm O bán kính $OD=OF=\sqrt{34}/2$ (căn cứ: trung điểm đường chéo hình chữ nhật cách đều bốn đỉnh).

Vẽ cung tròn tâm D bán kính 3 cm, cắt đường tròn tâm O tại E. Lấy G là điểm đối xứng của E qua O (căn cứ: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Vẽ đoạn thẳng $MN=4$ cm.

Tại M, vẽ một tia Mx tạo với MN một góc bất kì; trên Mx lấy điểm Q sao cho $MQ=4$ cm (căn cứ: bốn cạnh hình thoi bằng nhau).

Vẽ đường thẳng qua Q song song với MN và đường thẳng qua N song song với MQ; hai đường này cắt nhau tại P.

Chọn nửa độ dài hai đường chéo là $m=2$ cm và $n=2\sqrt{3}$ cm sao cho cạnh hình thoi $\sqrt{m^2+n^2}=\sqrt{4+12}=4$ cm (căn cứ: trong hình thoi, nửa hai đường chéo và cạnh tạo thành tam giác vuông).

Vẽ hai đường thẳng vuông góc cắt nhau tại O. Trên đường thứ nhất lấy $M$, $P$ sao cho $OM=OP=2\sqrt{3}$ cm; trên đường thứ hai lấy $N$, $Q$ sao cho $ON=OQ=2$ cm.

Nối lần lượt $M,N,P,Q$. Vì hai đường chéo MP, NQ vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên MNPQ là hình thoi, mỗi cạnh bằng $\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=4$ cm.

Vẽ đoạn thẳng $HF=4$ cm.

Vẽ đường thẳng đi qua F tạo với FH một góc bất kì; trên đường đó lấy điểm E sao cho $FE=3$ cm (căn cứ: giả thiết $EF=3$ cm).

Vẽ đường thẳng qua E song song với FH và đường thẳng qua H song song với FE; hai đường này cắt nhau tại K (căn cứ: cạnh đối hình bình hành song song và bằng nhau).

Vẽ đoạn thẳng $EF=3$ cm và đoạn thẳng $FH=4$ cm chung đỉnh F, không nằm trên cùng một đường thẳng.

Xác định trung điểm O của đường chéo EH (căn cứ: hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, EH và FK là hai đường chéo của EFHK).

Lấy K là điểm đối xứng của F qua O, tức là O cũng là trung điểm của FK.

Vẽ đoạn thẳng $AC=6$ cm.

Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm và cung tròn tâm C bán kính 5 cm; hai cung tròn này cắt nhau tại B, khi đó $AB=3$ cm, $BC=5$ cm (căn cứ: điểm trên cung tròn cách tâm đúng bằng bán kính).

Vẽ đường thẳng qua A song song với BC và đường thẳng qua C song song với AB; hai đường thẳng này cắt nhau tại D (căn cứ: cạnh đối hình bình hành song song).

Trong tam giác ABC, áp dụng định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos (BAC)$, tức là $25=9+36-36\cos (BAC)$, suy ra $\cos (BAC)=20/36=5/9$, do đó góc $BAC\approx 56^{\circ }$.

Vẽ đoạn thẳng $AC=6$ cm. Dùng thước đo góc dựng tia Ax sao cho góc $xAC\approx 56^{\circ }$; trên Ax lấy điểm B sao cho $AB=3$ cm.

Xác định trung điểm O của AC (căn cứ: hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường); lấy D là điểm đối xứng của B qua O.

Vẽ đoạn thẳng $MN=5$ cm.

Dùng thước đo góc, đặt tâm thước tại M, vẽ tia Mx sao cho góc $NMx=60^{\circ }$.

Trên tia Mx lấy điểm Q sao cho $MQ=5$ cm (căn cứ: bốn cạnh hình thoi bằng nhau).

Vẽ đường thẳng qua Q song song với MN và đường thẳng qua N song song với MQ; hai đường này cắt nhau tại P.

Vì $MN=MQ=5$ cm và góc $NMQ=60^{\circ }$ nên áp dụng định lí côsin: $N{Q}^2=5^2+5^2-2\cdot 5\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=25$, suy ra $NQ=5$ cm; vậy tam giác MNQ đều cạnh 5 cm (căn cứ: tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$ là tam giác đều).

Vẽ đoạn thẳng $MN=5$ cm. Vẽ hai cung tròn bán kính 5 cm tâm M và tâm N, cắt nhau tại Q, ta được tam giác đều MNQ (không cần đo góc).

Vẽ cung tròn tâm N và cung tròn tâm Q cùng bán kính 5 cm, cắt nhau tại P khác phía M (căn cứ: MNPQ là hình thoi nên $NP=QP=MN=5$ cm).

Đo lần lượt bốn cạnh: $MN$, $NP$, $PQ$, $QM$.

Kết quả đo cho thấy $MN=NP=PQ=QM$ (bốn cạnh bằng nhau).

Trong tam giác ABD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và AB nên MN là đường trung bình, suy ra $MN=\frac{1}{2}BD$ (căn cứ: đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh thứ ba).

Tương tự, trong tam giác CBD, $QP=\frac{1}{2}BD$; trong tam giác ABC, $NP=\frac{1}{2}AC$; trong tam giác ACD, $QM=\frac{1}{2}AC$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau: $AC=BD$ (căn cứ: tính chất hình chữ nhật). Do đó $MN=NP=PQ=QM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$.

Đo các cạnh của tứ giác EFPQ: kết quả cho $EF=PQ$ và $EQ=FP$ (hai cặp cạnh đối bằng nhau).

Dùng ê ke đặt vào từng góc của tứ giác ABCD: cả bốn góc A, B, C, D đều bằng $90^{\circ }$.

Trong tam giác ABC, E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC nên EF là đường trung bình, suy ra $EF\parallel AC$ và $EF=\frac{1}{2}AC$ (căn cứ: tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác ACD, Q và P lần lượt là trung điểm của DA và DC nên $QP\parallel AC$ và $QP=\frac{1}{2}AC$.

Từ hai điều trên suy ra $EF\parallel QP$ và $EF=QP$, do đó tứ giác EFPQ là hình bình hành (căn cứ: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau).

Vì ABCD đã cho là hình có các góc bằng nhau và bằng $90^{\circ }$ (theo giả thiết của Hình 4.14), nên ABCD là hình chữ nhật.

Đo bốn cạnh của tứ giác OABC: $OA=AB=BC=CO$ (bốn cạnh bằng nhau) nên OABC là hình thoi (căn cứ: dấu hiệu bốn cạnh bằng nhau).

Đo bốn cạnh của tứ giác OCDE: $OC=CD=DE=EO$ (bốn cạnh bằng nhau) nên OCDE là hình thoi.

Đặt ê ke vuông góc với đường thẳng BE, dịch chuyển ê ke tới CD: ê ke cũng vuông góc với CD, chứng tỏ $BE\parallel CD$.

Dùng thước đo hai đường chéo của tứ giác BCDE: $BD=CE$.

Mở compa với khoảng cách đúng bằng OA, sau đó lần lượt đặt vào AB, BC, CO: cả ba đoạn đều trùng khít với khoảng compa, chứng tỏ $OA=AB=BC=CO$ nên OABC là hình thoi.

Làm tương tự với OC: đặt compa bằng OC rồi ướm lên CD, DE, EO, thấy trùng khít nên $OC=CD=DE=EO$, do đó OCDE là hình thoi.

Vì OABC, OCDE là hai hình thoi chung cạnh OC và đối xứng nhau qua đường thẳng OC, nên B và E là hai điểm đối xứng tương ứng với A và D qua trục này; suy ra $BE\parallel CD$ và $BD=CE$ (căn cứ: tính đối xứng trục).

Cắt ba hình tam giác đều bằng nhau, mỗi hình có cạnh $4$ cm.

Đặt tam giác thứ nhất và tam giác thứ hai nằm cạnh nhau, chung một cạnh bên, đỉnh quay lên trên; hai đáy của chúng tạo thành một đoạn thẳng dài $4+4=8$ cm.

Đặt tam giác thứ ba lật ngược (đỉnh quay xuống dưới) vào đúng khoảng trống hình tam giác còn lại ở giữa hai tam giác trên, sao cho ba cạnh của nó trùng khít với ba cạnh kề của hai tam giác kia.

Mỗi tam giác đều có ba góc bằng $60^{\circ }$. Tại mỗi đầu của đáy lớn, góc của hình ghép chính là góc $60^{\circ }$ của tam giác ngoài cùng, nên hai góc kề đáy lớn bằng nhau (đều bằng $60^{\circ }$).

Tại mỗi đầu của đáy bé, góc của hình ghép là góc $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ (kề bù với góc $60^{\circ }$ của tam giác giữa), nên hai góc kề đáy bé cũng bằng nhau (đều bằng $120^{\circ }$).

Đường thẳng đứng đi qua đỉnh tam giác giữa và trung điểm đáy lớn chia hình ghép thành hai nửa đối xứng nhau (căn cứ: ba tam giác đều bằng nhau xếp đối xứng qua trục này).

Cắt tám hình thang cân bằng nhau, mỗi hình có đáy nhỏ bằng cạnh bên (ba cạnh: đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau, chỉ đáy lớn dài hơn).

Vẽ một bát giác đều nhỏ ở tâm khay; đặt đáy nhỏ của từng hình thang cân trùng khít với từng cạnh của bát giác đó, đáy lớn quay ra phía ngoài.

Vì tám hình thang cân bằng nhau và được xoay đều quanh tâm mỗi lần $360^{\circ }÷8=45^{\circ }$, các cạnh bên của hai hình thang liền kề khớp sát vào nhau (căn cứ: hai cạnh bên bằng nhau và đối xứng qua trục đi qua tâm).

Đặt tâm quay O là tâm của bát giác đều ở giữa. Vì các hình thang cân bằng nhau tuyệt đối, phép quay $45^{\circ }$ quanh O biến hình thang thứ nhất thành đúng hình thang thứ hai, hình thứ hai thành hình thứ ba, ... (căn cứ: phép quay bảo toàn hình dạng và khoảng cách).

Sau đúng $8$ lần quay $45^{\circ }$ liên tiếp (tổng cộng $360^{\circ }$), hình quay trở lại đúng vị trí ban đầu, chứng tỏ tám hình thang khép kín thành một vòng hoàn chỉnh, không hở cũng không chồng lấn.

Vì đáy nhỏ bằng cạnh bên nên khi khép vòng, các cạnh bên của hai hình thang liền kề luôn bằng đúng đáy nhỏ chung, ghép khít vào nhau mà không để lại khe hở.